MATEMATIKA V začetku je bila točka •i' vi' Marko Razpet -> Figurativna števila, med katerimi so tudi več-kotniška, so znana že zelo, zelo dolgo. Ljudje so že v sivi davnini razporejali enake predmete, npr. zrna semen ali kamenčke, v pravilne geometrijske figure in prej ali slej jih je zanimalo skupno število teh predmetov. V prispevku bomo namesto semen in kamenčkov razporejali točke, ki so na naših slikah namenoma pretirano odebeljene. Stari Grki, še posebno pitagorejči, za katere je bilo število bistveno, so poznali večkotniška števila, med katera spadajo tudi najpreprostejša - trikotniška. Vsem pa je skupna točka. Zato tudi tak naslov našega članka. Večkotniška števila, ki ustrezajo pravilnemu k-kotniku, sestavljajo zaporedje V(k) ,V(k) ,V(k),... Spodnji indeks označuje število točk na stranici. Za trikotniška števila je k = 3 in tedaj bomo pisali enostavneje: Tn = vn3). Na sliki 1 je k = 6, kar pomeni, da predstavljamo šestkotniška števila Vi6). Začnimo s točko A1, ko jo bomo šteli za najpreprostejši večkotnik (slika 1), prvi po vrsti. Ta ima samo eno točko, kar pomeni v|6) = 1. Za vsako naravno število k > 3 je v|k) = 1. Nadaljujemo s točkama A1 in A2, ki naj bosta ogli-šči pravilnega k-kotnika, drugega po vrsti, daljiča A1A2 pa njegova straniča, rečimo ji osnovniča. Preostalih oglišč ne bomo poimenovali, vse točke pa bomo risali odebeljeno. Vseh točk je šest, torej v26) = 6. V splošnem primeru je v2k) = k. Nato osnovničo A1A2 podaljšamo za faktor 2 prek A2 do točke A3 in daljičo A1A3 vzamemo za osnovničo tretjega pravilnega k-kotnika, ki ga narišemo na istem bregu premiče nosilke daljiče A1A2, kot je drugi pravilni k-kotnik. Na vse straniče in v oglišča tretjega pravilnega k-kotnika dodamo nove točke v € Ai A2 A3 A4 SLIKA 1. Četrto šestkotniško število medsebojni razdalji |A1A2|. Dobimo figuro, ki vsebuje nove točke. Vsako seveda štejemo le enkrat. Število vseh točk na prvem, drugem in tretjem pravilnem k-kotniku je tretje k-kotniško število v3k). V primeru k = 6 je vseh točk v36) = 15. Opišimo še en korak. Osnovničo A1A2 podaljšamo za faktor 3 prek A2 in A3 do točke A4 in daljičo A1A4 vzamemo za osnovničo četrtega pravilnega k-kotnika, ki ga narišemo na istem bregu premiče nosilke daljiče A1A2, kot sta drugi in tretji pravilni k-kotnik. Tudi tokrat na vse straniče in v oglišča novega, četrtega pravilnega k-kotnika dodamo nove točke v medsebojni razdalji |A1A2|. Spet dobimo figuro, ki vsebuje nove točke. Število vseh točk na prvem, drugem, tretjem in četrtem pravilnem k-kotni-ku je četrto k-kotniško število v4k). V primeru k = 6 je vseh točk v46) = 28. Postopek tako nadaljujemo, podaljšujemo osnovničo, nad njo konstruiramo pravilni k-kotnik, mu v oglišča in na straniče dodajamo 6 PRESEK 45 (2017/2018) 5 MATEMATIKA nove točke v medsebojni razdalji |AiA2|, vse do os-novnice AiA2 ...An, ki je (n - 1)-krat daljša kot AiA2. Vseh tock je V^, torej n-to k-kotniško število. Številu Vpravimo tudi n-to veckotniško število reda k. Najlaže je najti izraz za n-to trikotniško število Tn, ki je očitno kar vsota prvih n zaporednih naravnih števil: Tn = 1+2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2 ' (1) Zaporedje trikotniških števil se prične takole: ■ 1, 3,6,10,15, 21, 28, 36,45, 55. Od vseh relacij, ki veljajo za trikotniška števila, zapi-šimo samo očitno rekurzijo Tn = Tn-1 + n. Trikotni-ška števila so pomembna zato, ker lahko z njimi na preprost nacin izrazimo katerokoli veckotniško število. Ravno to bomo naredili v nadaljevanju. Kot zanimivost povejmo, da število n(n + 1), ki nastopa v formuli za trikotniško število, imenujemo podolžno število. Ni pa nujno, da pri ponazoritvi veckotniških števil vztrajamo pri pravilnih večkotnikih. Na sliki 2 imamo primer, ko trikotniško število predstavimo z raznostraničnim trikotnikom. Diofant iz Aleksandrije, ki je živel v 3. stoletju našega štetja, nam je zapustil obširno razpravo O vec-kotniških številih. Njegovi zapisi se nam zdijo prečej zapleteni, ker v njegovem času še niso zapisovali in računali tako, kot mi dandanes. Večinoma so si pomagali z geometrijsko razlago. Dokazal je enakost (4), kar bomo ponovili, pri čemer bomo seveda uporabljali moderno pisavo. Ai A2 A3 A4 SLIKA 2. Četrto trikotniško število ■ ■■An SLIKA 3. Deveto šestkotniško število Kako torej lahko izrazimo večkotniška števila s trikotniškimi? Pomagamo si s sliko 3, kjer so narisani pravilni šestkotniki z vsemi potrebnimi točkami. Enako bi postopali z vsakim pravilnim k-kotni-kom in njegovimi V^ točkami. Narišemo vse diagonale iz oglišča A1. Teh je očitno k-3 in delijo pravilni k-kotnik na k - 2 trikotnikov. Paziti moramo, da točk ne bi dvakrat šteli. Zato smo trikotnike na sliki različno obarvali in jih med seboj ločili z vzporedničami diagonalam. Vsak tak trikotnik ima na straniči n - 1 točko in zato vsebuj e Tn-1 točk. Posebej smo izločili točke A1,A2,... ,An. Teh je n, na k - 2 trikotnikih pa je (k - 2)Tn-1 točk. S tem smo našli izraz Vnk) = n + (k - 2)T n-1. (2) Pretvorimo ga lahko tudi v druge oblike, npr.: - Vnk) = Tn + (k- 3)Tn-1 = n(2 + (k- 2)(n-1)). (3) Za k = 4 dobimo štirikotniška ali kvadratna števila Qn, za k = 5 petkotniška ali pentagonalna števila Pn, za k = 6 šestkotniška ali heksagonalna števila Hn. Izrazi zanje so: Qn =Vn4) = n2, Pn =Vn5) = 1 n(3n - 1), Hn =Vn6) = n(2n - 1). -> 7 PRESEK 45 (2017/2018) 5 MATEMATIKA —^ Za veckotniška števila je Diofant izpeljal z geometrijsko metodo enakost ■ 8(k - 2)vnk) + (k - 4)2 = (2 + (2n - 1)(k - 2))2. (4) Sedaj jo lahko preverimo tako: ■ 8(k - 2)Vnk) + (k - 4)2 = 4n(k - 2)(2 + (k - 2)(n - 1)) + ((k - 2) - 2)2 = = 8n(k - 2) + 4n(k - 2)2(n - 1) + (k - 2)2-4(k - 2) + 4. Združimo na desni strani prvi in četrti ter drugi in tretji clen, število 4 pa postavimo na prvo mesto: ■ 8(k - 2)V(k] + (k - 4)2 = 4 + (8n - 4)(k - 2) + (4n(n - 1) + 1)(k - 2)2 = 4 + 4(2n - 1)(k - 2) + (2n - 1)2(k - 2)2 = (2 + (2n - 1)(k - 2))2. Enakost (4) nam pomaga odgovoriti na vprašanje, kdaj je dano število N veckotniško reda k. To je takrat, ko je 8(k - 2)N + (k -4)2 = Q2 za neko naravno število Q. Ker mora po (4) biti Q = 2 + (2n-1)(k-2), dobimo enacbo 2n - 1 = (Q - 2)/(k - 2), ki ima rešitev n Q + k - 4 2(k - 2) • n;: H 1—i 1— SLIKA 4. Število 36 je trikotniško, štirikotniško in trinajstkotniško. 3. naloga. Preverite naslednjo trditev. Ce sta j in k naravni števili, vecji kot 2, in je njuna vsota sodo število, potem velja enakost v(j) Vn + V(k) = 2V(n(j+k)/2). XXX Križne vsote Np A? -> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na zacetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. V poštev pridejo seveda le naravne rešitve. Za primer si poglejmo število N = 36. Da bo to število k-kotniško, mora biti število 288(k- 2) + (k -4)2 kvadratno, denimo Q2. S poskušanjem najdemo za k = 3,4,13, 36 ustrezne Q, in sicer 17, 24, 57,104, in ustrezne n, ki so 8,6, 3, 2. To pomeni, da je število 36 hkrati osmo trikotniško, šesto štirikotniško ali kvadratno, tretje trinajstkotniško (slika 4) in, trivialno, drugo šestintridesetkotniško. 1. naloga. Dokažite, da nobeno podolžno število ni kvadratno. 2. naloga. Za katere k je število N = 1225 veckotni- ško reda k in katero po vrsti? >3 10 10 6 7 6 10 10 15 XXX 8 PRESEK 45 (2017/2018) 5