α Σ Povzetek Izmed treh področij razvoja kompetence učenja učenja (ko- gnitivno, metakognitivno, motivacijsko) smo se osredinili za metakognitivno področje, ki vključuje orientiranje, prever- janje, diagonosticiranje in evalviranje. V prispevku opišemo, kako smo v ponavljali vsebino zaporedij v 4. letniku gimna- zij in vključevali samopreverjanje znanja, samostojno in so- delovalno učenje, preverjanje znanja. Dijake z zastavljanjem primernih vprašanj usmerjamo v njihov lastni proces učenja, kjer ovrednotijo svoje delo in načrtujejo, kako bodo odpravili pomanjkljivosti v svojem znanju. Končamo z lastnimi ugoto- vitvami po opravljenih dejavnostih. Ključne besede: metakognitivne strategije, matematika, učen- je učenja Mojca Plut Ekonomska šola Novo mesto Σ Abstract Among the three aspects of developing the learning to learn com- petence (cognitive, metacognitive and motivational), we focus on the metacognitive aspect, which includes orientation, test- ing, diagnostics and evaluation. The article provides a descrip- tion of how the topic of sequences was revised in the 4th year of high school: it included knowledge self-assessment, independent as well as collaborative learning, and knowledge assessment. By posing appropriate questions, the students are directed into Matematični maraton – vključevanje metakogni- tivnih strategij v pouk matematike pri ponavljanju Mathematical Marathon – Implementation of the Learning to Learn Metacognitive Strategies for Mathematical Lessons Revision Matematika v šoli ∞ XX. [2014] ∞ 53-59 54 Matematični maraton – vključevanje metakognitivnih strategij v pouk matematike pri ponavljanju a »Matematični maraton« V preteklih letih sem se izobraževala na področju učenja učenja (v nadaljevanju UU). Trudim se, da bi svoje pridobljeno znanje čim bolje prenašala tudi na svoje dijake. Vesela sem vsakega nadomeščanja, saj si na ta način lahko vzamemo več časa tudi za UU. Dijake sem seznanila z veliko kognitivnimi učnimi strategijami. Nekateri jih tudi vestno uporab- ljajo. Ker se pogosto zgodi, da imam v enem dnevu tudi po dve uri nadomeščanja v enem razredu, je to kot nalašč za »Matematični ma- raton«. Pripravim ga za učno vsebino, ki jo takrat obravnavam v razredu. V nadaljevanju bom predstavila, kako sem ga izvedla v 4. letniku gimnazije, kjer smo ponavljali zapo- redja. Poudarek pri »Matematičnem marato- nu« je na metakognitivnih učnih strategijah, in sicer na orientiranju, preverjan ju, diago- nosticiranju, evalviranju. Dijaki so ga dobro sprejeli, ker gre za več različnih dejavnosti, ki pozitivno vplivajo na motivacijo dijakov in v delo vnašajo dinamiko. b Ponovimo zaporedje V treh urah pouka v 4. letniku, ki smo jih namenili ponavljanju zaporedij, sem želela, da dijaki dosežejo naslednje operativne cilje: • induktivno sklepajo, posplošujejo in nadaljujejo zaporedje, • najdejo in zapišejo zvezo med členi za- poredja, • berejo različno podana zaporedja, • uporabijo lastnosti zaporedij, • razlikujejo vrsto zaporedja, • izračunajo vsoto n členov zaporedja, iz- računajo vsoto geometrijske vrste. Pričakovani dosežki, ki naj bi jih dijaki dosegli po končanem tematskem sklopu, so: • rešijo naloge, • ovrednotijo svoje delo, • razumejo svoje učenje in imajo nadzor nad njim. Odločila sem se, da bom uporabila na- slednje didaktične pristope: • aktivne oblike pouka (sodelovalno uče- nje, skupinsko delo, individualno delo), • aktivne metode pouka (diskusija, deba- ta) g O dejavnostih učitelja in dijaka Dejavnosti učitelja pri pripravi take učne ure so predvsem tiste, ki jih pripravi doma: • Razmislek o temi, o ciljih. • Priprava gradiva. • Priprava vprašalnika za samoevalvacijo dijakov. Med izvajanjem učnih ur le koordinira delo. Po končanem pouku učitelju ostane le to, da opravi kakovostno analizo vprašalni- ka in z ugotovitvami v nadaljevanju seznani dijake. their own learning process, which leads them to self-evaluation and planning of how to remedy deficiencies in their knowledge. Our personal findings after completed activities are presented in the final part of the article. Keywords: metacognitive strategies, mathematics, learning to learn 55 Vse opisane dejavnosti dijaka so osredin- jene na to, da si dijak vseskozi odgovarja na vprašanja: • K a j že v em o t em? • Z a ka j j e do b r o , d a t o zn a m? • K a k o s e b o m učen j a lo t i l? • K a k o b o m v e de l , d a zn a m? • A li sn o v razum em? • A li n a p r e d u j em? • A li s e t r udim? d Kako tečemo na »matematičnem maratonu«? »Matematični maraton« poteka v več s t o p n j a h. 1. stopnja Dijake najprej seznanim s cilji (ponovitev zaporedij, ovrednotenje svojega dela in znan- ja in načrtovanje). Dijake razdelim v skupine po 5. Dijaki s pomočjo učnega lista (Učni list 1) v skupini ponovijo temeljne pojme in dejstva, ki jih morajo poznati o zaporedjih. Bistvene stvari si tudi zapišejo. Skrbim za to, da so vsi dejavni, da si pomagajo in se do- polnjujejo. 2. stopnja Na drugi stopnji dijakom znotraj skupine priredim oznake A, B, C, D in E. Vsak dijak reši samostojno nalogo, ki jo s to oznako naj- de na učnem listu (Učni list 2). [Učni list 1] Ponavljamo zaporedja 1. stopnja: PONAVLJAMO ZAPOREDJA V skupini razmislite: • Kaj je zaporedje? Kdaj narašča(pada), kdaj je omejeno? • Kdaj je zaporedje aritmetično? Zapišite splošni člen in obrazec za vsoto prvih n členov aritme- tičnega zaporedja. Kaj je aritmetična sredina dveh števil? • Kdaj je zaporedje geometrijsko? Zapišite sploš- ni člen in obrazec za vsoto prvih n členov geo- metrijskega zaporedja. Kaj je geometrijska sre- dina dveh pozitivnih števil? • Kdaj obstaja vsota neskončnega geometrijske- ga zaporedja in kolikšna je, če obstaja? • Zapišite in razložite osnovne pojme in obrazce obrestno-obrestnega računa. [Učni list 2] Naloge, ki jih rešijo posamezniki 2. stopnja: Vsak v skupini naj reši svojo nalogo. A Zapiši prve tri člene zaporedja s splošnim členom a n = 100 – 2n. Dokažite, da je zaporedje aritmetično, in izračunajte vsoto prvih 5000 členov. B Dano je aritmetično zaporedje 7, 14, 21 …. Najmanj koliko členov tega zaporedja moramo sešteti, da bo vsota presegla 2100? C Izračunaj realno število x, za katero so števila x, 4x – 1, 4x prvi trije členi naraščajočega geometrijskega zaporedja. Natančno izračunaj vsoto prvih 20 členov tega geometrijskega zaporedja. D Žogica Marogica neutrudno poskakuje, tako da v n-tem skoku odskoči metra visoko. Zapiši na milimeter natančno, koliko odskoči prvič in koliko desetič. V katerem skoku odskoči 1,5 m visoko? E Izračunaj vsa realna števila a, za katera velja a + a 2 + a 3 + … a n + … = 2a. ( Na levi strani enakosti je neskončna vrsta z n-tim členom enakim a n ) 56 3. stopnja Na naslednji stopnji se ob novem omizju zberejo dijaki, ki so reševali isto nalogo. Po- govorijo se o tem, kako so nalogo reševali. Vsi v skupini morajo obvladati nalogo, ki jim je bila dodeljena. 3. stopnja: Poišči sošolce v razredu, ki so reševali isto nalogo kot ti. Skupaj analizirajte nalogo. 4. stopnja Nato se dijaki ponovno vrnejo v prvotno skupino in poročajo sošolcem, katero nalogo so reševali in kako so jo rešili. Cilj: vsi v sku- pini morajo znati rešiti vseh 5 nalog. 4. stopnja: Vrni se k svoji skupini. Razloži vsem članom skupine nalogo, ki si jo reševal. 5. stopnja Na naslednji stopnji dijaki preizkusijo svoje znanje. Dobijo nov učni list (učni list 3), na katerem so iste naloge, kot so bile na prvem listu. Vsak dijak jih reši samostoj- no. Naloge skupaj pregledamo in ocenimo v skladu s točkovnikom. Naloge po navadi izberem iz Zbirke maturitetnih nalog z rešit- vami. Pri vrednotenju upoštevamo priložen točkovnik. Vodim pogovor, v katerem poja- snjujem in opozarjam na napake, ki sem jih med njihovim reševanjem opazila. 5. stopnja: Letnik: 4. Ime in priimek: Program: gimnazija Snov: ZAPOREDJA Razred: _______________ Uspešnost: _____t/32 t =_______ % Ocena: ___________________ Meje med ocenami glede na uspešnost, izražene v %: [0,45) –nzd [45,60) – zd [60,75) – db [75,90) – pdb [90,100] – odl 1. Zapiši prve tri člene zaporedja s splošnim členom a n = 100 – 2n. Dokažite, da je zaporedje aritmetično, in izračunajte vsoto prvih 5000 členov. 1 7t 2. Dano je aritmetično zaporedje 7, 14, 21,…. Najmanj koliko členov tega zaporedja moramo sešteti, da bo vsota presegla 2100? 2 7t 3. Izračunaj realno število x, za katero so števila x, 4x – 1, 4x prvi trije členi naraščajočega geometrijskega zaporedja. Natančno izračunaj vsoto prvih 20 členov tega geometrijskega zaporedja. 3 7t [Učni list 3] Preizkus znanja Matematični maraton – vključevanje metakognitivnih strategij v pouk matematike pri ponavljanju 57 6. stopnja Na zaključni stopnji dam dijakom še vprašalnik (Vprašalnik 1), s pomočjo katere- ga ovrednotijo svoje delo in načrtujejo, kako bodo odpravili pomanjkljivosti v svojem znanju. Na ta način jih navajam, da spreje- majo odgovornost za svoje dosežke. Vprašal- nik začasno poberem in analiziram. … nadaljevanje [Učnega lista 3] Preizkus znanja 4. Žogica Marogica neutrudno poskakuje, tako da v n-tem skoku odskoči metra visoko. Zapiši na milimeter natančno, koliko odskoči prvič in koliko desetič. V katerem skoku odskoči 1,5 m visoko? 4 6t 5. Izračunaj vsa realna števila a, za katera velja a + a 2 + a 3 + … a n + … = 2a. (Na levi strani enakosti je neskončna vrsta z n-tim členom enakim a n ) 5 5t 1 Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995–2006, Ljubljana 2006, Državni izpitni center, str. 166 2 Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995–2006, Ljubljana 2006, Državni izpitni center, str. 166 3 Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995–2006, Ljubljana 2006, Državni izpitni center, str. 167 4 Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995–2006, Ljubljana 2006, Državni izpitni center, str. 167 5 Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995–2006, Ljubljana 2006, Državni izpitni center, str. 168 6. stopnja RAZMISLI … Kaj si po vseh današnjih dejavnostih na temo »Zaporedja« ugotovil o svojem znanju o zaporedjih? (Analiziraj svoj pisni preskus). Ustrezno označi v tabeli. DA NE Iz splošnega člena zaporedja znam izračunati zahtevane člene. Razlikujem med pojmom »izračunaj« in »dokaži«. Vem, kaj je diferenca aritmetičnega zaporedja in jo znam izračunati. Znam postaviti pogoj, ki se nanaša na zahtevo »vsota členov zaporedja ne bo presegla …« Obvladam reševanje kvadratne neenačbe. Razumem rešitev neenačbe, znam odgovoriti na zastavljeno vprašanje glede na rešitev neenačbe. Vem, kdaj je zaporedje geometrijsko, kdaj je naraščajoče, kakšen pogoj izpolnjujejo trije zaporedni členi geometrijskega zaporedja. Poznam obrazec za končno mnogo členov geometrijskega zaporedja in ga znam uporabiti. 58 DA NE Razumem in uporabljam pojem »natančno izračunaj«. Eksponentne enačbe mi ne delajo težav. Če so podatki v metrih, rezultat pa moram izraziti v milimetrih, mi to ne dela težav. Poznam pojem neskončna geometrijska vrsta in poznam obrazec za vsoto neskončno mnogo členov geometrijskega zaporedja. Vedno premislim o smiselnosti rešitve. Znajdem se v življenjskih nalogah. Znam uporabljati računalo. Zato, da ne bom ponavljal-a istih napak, kot sem jih naredil-a danes, bom … Glede na tvoje primanjkljaje priporočam naslednje vaje iz »zelene knjige«: Definicija zaporedij str. 206/1, 2 Eksponentna enačba str. 183/8, 9 Aritmetično zaporedje str. 207/5, 8, 9, 11, 13 Zaokroževanje str. 183/11 str. 208/26 Geometrijsko zaporedje str. 207/6, 12, 14, 16 Kvadratna neenačba str. 147/7, 20 Neskončna geometrijska vrsta str. 208/20, 21 Naloge reši do jutri. O vsem, kar ti ne gre, vprašaj. Temo »zaporedja« smo skoraj v celoti obdelali že v 3. letniku. Z zaporedji smo se ukvarjali tudi že letos. Kakšno je bilo tvoje znanje o tej temi na začetku 1. ure: odlično dobro povprečno zadovoljivo slabo Snov sem osvojil/-a in utrdil/-a, vse mi je bilo jasno. Snov sem poznal/-a, nekaj malenkosti sem pozabil/-a. Osnovne pojme in dejstva sem poznal/-a, tudi nekatere zahtevnejše. Znal/-a sem le temeljne stvari, imel/-a sem veliko vrzeli. Skoraj vse sem pozabil/-a. Ali ti je uvodni pogovor v skupini pomagal, da si določena znanja priklical/-a? Si se znal/-a lotiti naloge, ki ti je bila dodeljena? Si napredoval/-a, ko si se o nalogi pogovarjal/-a z dijaki, ki so reševali isto nalogo? Ti je koristilo ko so ti sošolci v prvotni skupini razložili snov, ki je bila predmet njihove naloge? Matematični maraton – vključevanje metakognitivnih strategij v pouk matematike pri ponavljanju 59 e Na cilju matematičnega maratona Tak način dela so dijaki dobro sprejeli. Povedo, da se s takim načinom dela veliko naučijo. S pomočjo vprašalnika dobim tudi povratno informacijo. Ugotavljam, da so dijaki, ko gre za ocenjevanje samega sebe, zelo strogi. Večina zna presoditi, česa ne zna, česa ne razume in kje gre le za površnost. Vprašalnike vrnem in jim napišem tudi svoje sporočilo. Tega so veseli. Sama organizacija »Matematičnega maratona« tudi meni po- nuja dober nadzor nad delom. Ker dijaki ves čas delajo sami oziroma v skupini, imam do- volj časa za spremljavo. Sproti si zapisujem pogoste napake in vrzeli, na kar jih v analizi opozorim. Ime se je porodilo pri dijakih. Pri eni izmed izvedb je na koncu dijak navduše- no izjavil: »Saj to je bil pravi maraton«. V današnjih urah matematike: Sem se veliko naučil/-a in dopolnil/-a svoje znanje o zaporedjih. Sem se nekaj naučil/-a. Se nisem veliko naučil/-a. Sem se dolgočasil/-a in so se mi zdele mimo. Kar se tiče srednješolske snovi (matematika 1-matematika 4) : Že dobro obvladam Imam še »luknje« Zato, da matura zame ne bo problem, bom … Profesorica ti sporoča: V življenju je treba vedno gledati naprej in nikoli nazaj, razen ko se želimo zahvaliti za vse lepe trenutke. /Daphne du Maurier/ z Viri in literatura: 1. Zbirka maturitetnih nalog z rešitvami 1995–2006, Ljubljana 2006