STRIŽNE NAPETOSTI V ELASTICNIH DVOSLOJNIH LESENIH NOSILCIH Z UPOŠTEVANJEM ZDRSA MED SLOJEMA SHEAR STRESSES IN ELASTIC TIMBER COMPOSITE TWO-LAYER BEAMS WITH INTERLAYER SLIPS asist. dr. Bojan Cas, univ. dipl. inž. grad. Znanstveni clanek bojan.cas@fgg.uni-lj.si UDK/UDC: 624.011.1+624.042 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, Ljubljana Povzetek l V clanku analiziramo vpliv zdrsa med slojema na mehansko obnašanje dvoslojnih kompozitnih prostorskih nosilcev. Podrobno nas zanima predvsem vpliv podaj­nosti stika slojev na razporeditev in velikost strižnih napetosti v precnih prerezih dvosloj­nih lesenih nosilcev. Strižne napetosti v slojih izracunamo na tri nacine: (i) z razvitim matematicnim modelom in pripadajocimi analiticnimi rešitvami, (ii) z racunsko metodo, kot jo predlaga veljavna zakonodaja s podrocja lesenih konstrukcij, standard Evrokod 5 [SIST, 2005], ter (iii) s predlagano modificirano enacbo omenjenega standarda za izracun strižnih napetosti. Primerjava razporeditve in velikosti strižnih napetosti v slojih je pokazala dobro ujemanje med rezultati matematicnega modela ter rezultati ustrezno modificirane enacbe standarda Evrokod 5 [SIST, 2005]. Kljucne besede: 3D-nosilci, elasticnost, kompoziti, zdrs, les, analiticna rešitev, strižne napetosti Summary l This article focuses on three-dimensional two-layer composite beams with slips between the layers. The effect of contact stiffness on shear stresses in compo­site beam cross-section is studied in detail. Shear stresses are calculated by the appli­cation of: (i) a presented mathematical model with analytical solution, (ii) calculation method for layered timber beams with interlayer slips, as proposed by Eurocode 5 [SIST, 2005] and (iii) a suggested modified equation of the abovementioned standard for the calculation of shear stresses in timber composite beam cross-section. The comparison of the distribution and values of shear stresses in composite cross-section shows a good agreement of the results obtained by the presented mathematical model with the results calculated by the proposed modified Eurocode 5 [SIST, 2005] equation. Key words: 3D beams, elasticity, composites, slip, timber, analytical solution, shear stress Dandanes so slojevite kompozitne konstruk­cije pogosto v uporabi v najrazlicnejših ap­likacijah vesoljske, avtomobilske, ladijske ter letalske industrije, pogosta pa je tudi njihova uporaba na podrocju gradbeništva. Upora­bljene so predvsem zaradi njihovih odlicnih lastnosti, kot so ugodno razmerje med težo ter togostjo njihovih precnih prerezov, dobra odpornost proti koroziji, njihova trajnost, toplot­na izolativnost, požarna odpornost, možnost dušenja energije in številne druge. Znacilne slojevite kompozitne konstrukcije oziroma kon­ strukcijski elementi, ki so uporabljeni v grad-beništvu, so sovprežne konstrukcije iz jekla in betona ali lesa in betona, slojevite lesene konstrukcije, lamelirane konstrukcije iz stekla, armiranobetonske konstrukcije, ojacane z dole-pljanjem kovinskih lamel ali z vlakni ojacanih polimernih trakov in ploskovnih elementov. Do uporabe tovrstnih konstrukcij nas pripelje bod-isi zasnova novih konstrukcij bodisi sanacijski postopki obstojecih dotrajanih in zastarelih konstrukcij, pogosto pa tudi sami tehnološki pristopi pri gradnji. Na podlagi navedenega ugotovimo, da je uporabnost slojevitih kompozitnih konstrukcij v gradbeništvu velika. Vendar njihova upo­raba ni brezpogojna, saj je pogojena z ma­terialno-tehnicnimi lastnostmi slojev kot tudi lastnostmi stikovanja posameznih slojev kom­pozitnih konstrukcij. Potrebno togost stika med sloji kompozitih konstrukcij dosežemo z uporabo ustreznih veznih sredstev. Ta se razlikujejo glede na vrsto uporabljenega ma-teriala in glede na stopnjo povezanosti, ki jo zagotavljajo posameznemu stiku med sloji. V splošnem so sloji kompozitnih konstrukcij povezani togo, podajno ali pa so nepovezani. Obicajno so sloji razlicnih materialov med-sebojno povezani z diskretno razporejenimi mehanskimi veznimi sredstvi, kot so npr. mozniki, vijaki, žeblji, mogoca pa je tudi zvez­na izvedba stikov z uporabo elastomernih ali viskoelasticnih materialov. Vecina povezav slojev v kompozitnih konstruk­cijah je podajnih z doloceno stopnjo togosti. To pomeni, da se ob deformiranju teh kon­strukcij relativnim zamikom oziroma zdrsom med posameznimi sloji ne moremo izogniti. Glede na dejstvo, da podajnost povezave ter z njo povezani relativni zamiki slojev bistveno vplivajo na napetostno in deformacijsko stanje slojevitih kompozitnih konstrukcij, so tovrstne raziskave bistvene za pravilno razumevanje obnašanja teh konstrukcij. Tako je bilo v preteklosti opravljenega veliko znanstvenoraziskovalnega dela z namenom boljšega razumevanja obnašanja slojevitih kompozitnih konstrukcij ob upoštevanju zdrsa med posameznimi sloji. To je zbrano v števil­nih objavah v znanstvenih revijah. Newmark s sodelavci [Newmark, 1951] je med prvimi eksperimentalno analiziral sovprežne nosilce iz jekla in betona z upoštevanjem podajne povezave slojev. V svojih raziskavah so up-orabili linearno Euler-Bernoullijevo teorijo no-silcev. Ugotovili so, da je za inženirsko analizo sovprežnih konstrukcij standardni racun z upoštevanjem togega stika dovolj natancen. Na podlagi tega dela je bilo razvito vecje šte­vilo analiticnih racunskih modelov za analizo dvoslojnih nosilcev z upoštevanjem zdrsa med sloji. Goodman in Popov [Goodman, 1968], Girhammar in Gopu [Girhammar, 1993], Schnabl s sodelavci [Schnabl, 2007], Sousa in Silva [Sousa, 2010], Monetto [Mon­etto, 2015] ter Wu s sodelavci [Wu, 2016] so obravnavali slojevite kompozitne nosilce s po­dajno povezavo treh ali vec slojev, Xu in Escedi s sodelavci ([Xu, 2013], [Escedi, 2016]) so obravnavali dvoslojne nosilce, pri katerih je bil zajet tudi vpliv strižnih deformacij skladno s Timoshenkovo teorijo nosilcev, Ranzi s sodelavci [Ranzi, 2006] je analiziral casovno odvisne vplive na obnašanje kompozitnih konstrukcij, Faraboschi [Faraboschi, 2009] in Campi s sodelavci [Campi, 2013] nelinearne ali bilinearne zakone stika, Kroflic ter Schnabl s sodelavci ([Kroflic, 2019], [Schnabl, 2013]) sta upoštevala možnosti razmika slojev, Gir­hammar [Girhammar, 2009] pa je analiziral dinamicni odziv tovrstnih nosilcev. Poleg analiticnih raziskav je bilo precej razisko­valnega napora vloženega v razvoj številnih racunskih modelov za analizo obnašanja slojevitih kompozitnih nosilcev. Adekola [Ade-kola, 1986] ter Lin in sodelavci [Lin, 2017] so razvili koncne elemente za analizo kompozit­nih nosilcev, dinamicno obnašanje tovrstnih konstrukcij sta obravnavala Shen in Lenci s sodelavci ([Shen, 2011], [Lenci, 2012]), nu­mericno analizo sovprežnih nosilcev iz jekla in betona pa sta predstavila Faella in Martinelli s sodelavci ([Faella, 2010], [Martinelli, 2012]). Glede na dostopno znanstveno literaturo ocenjujemo, da sta le Challamel in Girham-mar ([Challamel, 2012], [Challamel, 2013]) razvila analiticno rešitev obnašanja prostor­skih dvoslojnih kompozitnih nosilcev z upo­števanjem zdrsa med sloji. Analiticna rešitev omenjenih avtorjev obravnava problematiko upogibnega in torzijskega uklona vzdolžno ter precno podajno povezanih slojev kompozitnih nosilcev, izpostavljenih enakomerni upogibni obremenitvi. V tem prispevku na kratko predstavimo raz­viti matematicni model za analizo obnašanja prostorskih slojevitih kompozitnih nosilcev s podajno povezavo med sloji s pripadajoco analiticno rešitvijo. Predstavljen je tudi pristop k analizi lesenih slojevitih nosilcev z upošte­vanjem zdrsa med sloji skladno z veljavno zakonodajo, standardom za lesene konstruk­cije Evrokod 5 [SIST, 2005]. V nadaljevanju, upoštevaje osnove mehanike nosilcev, pred­lagamo modifikacijo enacbe iz navedenega standarda za izracun najvecje strižne napetos-ti v precnem prerezu osrednjega lesenega ele­menta. Za znacilni dvoslojni leseni kompozitni nosilec so v clanku predstavljeni rezultati deformacijsko-napetostnega stanja razvitega matematicnega modela s poudarkom na poteku strižnih napetosti vzdolž stika slojev ter po slojevitem precnem prerezu. Rezultati so primerjani z rezultati racunskega postopka standarda Evrokod 5 [SIST, 2005] ter predla­gano modificirano enacbo tega standarda za izracun strižnih napetosti v precnih prerezih dvoslojnih lesenih nosilcev. 2.1 Uvod Na sliki 1 sta prikazani osnovna nedeform­irana in deformirana lega ravnega prostor­skega dvoslojnega kompozitnega nosilca z zacetno dolžino L. Sloja nosilca, ki sta lahko v splošnem iz poljubnega materiala, sta oznacena kot a in b. Oba sloja imata enaki zacetni dolžini LL ˜a ˜Lb ter v splošnem razlicna, vendar konstantna precna prereza prizmaticne oblike površine AXa in AXb . Slo­ja kompozitnega nosilca sta medsebojno povezana s podajnim stikom zanemarljive debeline. Dvoslojni kompozitni nosilec je obravnavan v desnosucnem kartezijevem koordinat­nem sistemu s prostorskimi koordinatami ,,ortnonormiranimi vek- XYZ in baznimi torji EEE,, . Sloja a in b kompozitnega XYZ nosilca imata v nedeformirani legi skupno referencno os, ki sovpada z globalno osjo X kartezijevega koordinatnega sistema. Refer-encna os je v nedeformirani legi parametrizira­na z naravnim parametrom x. Z materialnim koordinatnim sistemom ,,ki v nede­ xyz, formirani legi sovpada s koordinatami pro-storskega koordinatnega sistema ,, XYZ, opišemo deformirano lego kompozitnega nosilca. V splošnem sta oba sloja prostor­skega kompozitnega nosilca obremenjena z linijsko obtežbo P i in linijsko momentno obtežbo M i ( i ab). Ta je sestavljena =,iz kontaktne obtežbe in zunanje obtežbe. Pomen uporabljenih oznak smo prikazali v preglednici 1. 2.2 Predpostavke matematicnega modela Osnovne predpostavke pri izpeljavi osnovnih enacb predstavljenega matematicnega mode-la so: 1. precni prerezi slojev kompozitnega nosil-ca zavzemajo prizmaticno obliko, vgrajen material slojev je homogen, izotropen ter linearno elasticen, Oznake: i i i , , M MM X Y Z torzijski moment okoli osi X in upogibna momenta okoli osi Y in Z i A X površina precnega prereza i i , p p X Y komponente vektorja na­petosti na stiku slojev v smeri osi X in Y b c širina stika i i,, uvw pomiki v smeri osi X, Y in Z i E modul elasticnosti ...i , , X Y Z zasuki okoli osi X, Y in Z i G strižni modul ,uv.. razlika pomikov v smeri osi X in Y i I X torzijski vztrajnostni moment glede na os X X, ..Y zdrsi v smeri osi X in Y i i , II Y Z upogibni vztrajnostni moment glede na os Y in Z i ˆXX specificna sprememba dolžine materialnega vlakna v smeri osi X i i , SS Y Z staticni moment glede na os Y in Z ...i ,, X Y Z torzijska in upogibni ukriv­ljenosti okoli osi X, Y in Z X, KK Y togost stika v smeri osi X in Y Nadpisano/podpisano: i i i , , PPP , X Y Zi i i , , MMM X Y Z komponente linijske in linijske momentne obtežbe v smeri , , EEE X Y Z ex zunanje i i , , N N N X Y Z osna in precni sili v smeri X, Y in Z =,i ab oznaka slojev Preglednica 1•Pomen oznak. 2. obnašanje vsakega izmed slojev opišemo 3. sloja kompozitnega nosilca sta povezana s z linearizirano Reissner-Simovo teorijo podajnim slojem zanemarljive debeline, strižno nepodajnih prostorskih nosilcev 4. na stiku slojev se lahko pojavijo le zamiki, [Simo, 1985], razslojevanje med slojema ni mogoce, 5. oblika in velikost precnih prerezov kom­pozitnega nosilca se med deformiranjem ne spreminjajo, 6. zanemarjeni so toplotni vplivi, reološki po­javi, zacetne zaostale napetosti, izbocitev precnih prerezov, 7. lokalna ali globalna nestabilnost elementov je preprecena, 8. zdrsi med sloji kompozitnega nosilca so majhni. 2.3 Osnovne enacbe prostorskega dvoslojnega kompozitnega nosilca s podajno povezavo slojev Osnovne matematicne enacbe prostorskega dvoslojnega kompozitnega nosilca s podaj-no povezavo slojev so: (i) kinematicne, (ii) ravnotežne ter (iii) konstitucijske enacbe s pri­padajocimi staticnimi oziroma kinematicnimi robnimi pogoji vsakega izmed slojev. Zaradi (iv) veznih enacb, ki dolocajo povezavo med slojema, navedene skupine enacb niso ne­odvisne. V nadaljevanju dodamo oznakam kolicin indekse ()i =, •, kjer indeks i aboznacuje, kateremu izmed slojev kolicina pri­pada. Na podoben nacin je treba razumeti •=•dx tudi oznako ()' d()/ , ki predstav­lja odvod kolicine () •glede na materialno koordinato x. Glede na povedano, sestavlja posplošene ravnotežne enacbe dvoslojnega prostorskega elasticnega nosilca z upošteva­njem zdrsa med slojema sistem algebrajskih in navadnih diferencialnih enacb z ustreznimi robnimi pogoji [Cas, 2018]: Kinematicne enacbe: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Ravnotežne enacbe: (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (26) (18) Vezne enacbe: Konstitucijske enacbe: (27)(28) (19) (29) (30) (20) kjer smo oznacili (31) (21) (32) (33) (22) (23) (34) (24) (35) Robni pogoji abpri xx x===0 : Sistem enacb (1)–(24) sestavlja 24 alge­brajskih in navadnih linearnih diferencialnih enacb prvega reda s konstantnimi koeficienti za ravno toliko neznanih funkcij koordinate x: a b ab a b a , uu, v, , , vw., ., , .., ˆ, ˆX Y Z Z XX b a a a b a b , ˆ., .,,, .., , , NNNN , XX X Y Z Z X X Y Y a b , , , , NMMMM. Z X Y Z Z pri abxx x L===: (25) i V enacbah (25) in (26) smo z U ter j i Sj oznacili robne vrednosti ki- j(=1,...,12)nematicnih in staticnih kolicin pri x=0 in x=L. Osnovne enacbe dvoslojnega kompozitnega nosilca (1)–(24) lahko zapišemo tudi v obliki nepovezanega sistema dveh diferencialnih enacb višjega reda: (36) (37) Analiticno rešitev sistema enacb (36) in (37) izvrednotimo s pomocjo programske opreme MATHEMATICA [Wolfram S., 2017]. Dobljene rešitve zaradi velikosti ter njihove 3• ANALIZA LESENIH SLOJEVITIH NOSILCEV SKLADNO Z EVROKODOM 5 [SIST, 2005] 3.1 Splošno nosilcev s podajno povezavo slojev in temelji na t. i. efektivni upogibni togosti sestavljenega V nadaljevanju predstavimo bistvene pred­postavke in enacbe za analizo lesenih sloje-precnega prereza. S pomocjo parametra . vitih nosilcev skladno z veljavno zakonodajo zajamemo vpliv podajnosti stika oziroma po- s podrocja lesenih konstrukcij Evrokod 5 dajnosti veznih sredstev na upogibno togost [SIST, 2005]. Predstavljena metoda omogoca sestavljenih nosilcev (.=0 pomeni povsem inženirsko racunsko analizo deformacijsko- podajno povezavo, .=1 pa povsem togo). Na napetostnega stanja dvo- ali trislojnih lesenih sliki 2 prikazujemo geometrijske ter materialne kompleksnosti v pricujocem prispevku niso prikazane. Strižne napetosti v precnih prerezih vsake­ga izmed slojev prostorskega kompozitnega nosilca je mogoce izracunati s t. i. postop­kom postprocesiranja ter na osnovi poznanih geometrijskih karakteristik nosilca, notranjih staticnih kolicin posameznega sloja, zunanjih obtežb slojev in znanih kontaktnih napetosti na stiku slojev kompozitnega nosilca [Srpcic, 2003]. V nadaljevanju prikazujemo analiticna izraza za izracun strižnih napetosti xz v pre- cnem prerezu slojev kompozitnega nosil-ca, katerega precna prereza sta pravokotne oblike, nosilec pa je obremenjen le s precno linijsko obtežbo PYi in PZi ( =, iab). ,ex ,ex (38) (39) Racunsko analizo tovrstnih lesenih kompozit­nih nosilcev omogoca tudi standard [SIST, 2005], kar predstavimo v nadaljevanju. oznake slojev, potek normalnih in strižnih napetosti ter lego najvecje strižne napetosti v precnem prerezu slojevitega lesenega nosilca skladno s standardom Evrokod 5 [SIST, 2005]. Metoda, kot je predstavljena v navedenem standardu, privzame, da podprerez z oznako 2 predstavlja osrednji prerez sestavljenega precnega prereza, na katerega sta preko po­dajne sticne površine, ki jo opiše parameter ., prikljucena podprereza z oznako 1 in 3. V pred­hodnem poglavju smo oznake kolicin, ki pri­padajo slojem kompozitnega nosilca, oznacili z nadpisanim indeksom ()i , medtem ko • Slika 2•Geometrijske in materialne oznake slojev lesenega sestavljenega prereza skladno z Evrokod 5 [SIST, 2005] ter karakteristicen potek normalnih in strižnih napetosti. Evrokod 5 [SIST, 2005] uporablja podpisane indekse ()i •. Takšen nacin oznacevanja upo­rabimo tudi v nadaljevanju tega poglavja. 3.2 Efektivna upogibna togost sestavljenega lesenega precnega prereza Za izracun efektivne upogibne togosti ses­tavljenega lesenega precnega prereza s po­dajno povezavo slojev je podana naslednja enacba: (40) kjer Ei predstavlja modul elasticnosti lesa vzporedno z vlakni, Ai površino, Ii pa upo­gibni vztrajnostni moment i -tega podprereza glede na njegovo težišce. ai opiše oddaljenost težišca i -tega podprereza od težišca sestav­ljenega prereza, .i pa že omenjeno podajnost stika dveh sosednjih podprerezov. Pri tem se za osrednji podprerez slojevitega nosilca, ki ga oznacuje indeks 2, privzame številcna vred­nost .2=1. Oddaljenost težišca podprereza 2 od skupnega težišca sestavljenega prereza se izvrednoti, kot sledi: (41) Pri tem h1, h2 in h3 oznacujejo višine posameznih podprerezov slojevitega nosilca. Za podprereza oznacena z indeksoma i=1 in 3 se vrednost parametra ., ki opisuje podaj­nost stika sosednjih podprerezov, izracuna po naslednji enacbi: (42) kjer L opisuje razpon slojevitega prostoležece­ga nosilca (za kontinuirne slojevite nosilce Evrokod 5 [SIST, 2005] predlaga efektivni razpon 0,8L, za previsne nosilce pa 2L, kjer L predstavlja dolžino razpona kontinuirnega nosilca oziroma dolžno previsa konzolnega nosilca), si je razmak veznih sredstev vzdolž stika podprerezov ter Ki modul zdrsa veznega sredstva (npr. za lesne vijake v mejnem stan- 1.5 d N  ju uporabnosti K =K =k , i ser 2  23 mm  kg  k je karakteristicna gostota lesa, 3  m  d [mm] pa premer veznega sredstva, v mej­ 2 nem stanju nosilnosti K =K ). u ser 3 V primeru, da precni prerez sestavljata le dva podprereza, v enacbi (41) upoštevamo h3=0 ter .=0. 3.3 Potek napetosti po sestavljenem lesenem precnem prerezu V nadaljevanju prikažemo izraze za izracun normalnih in najvecje strižne napetosti v sestavljenem lesenem precnem prerezu ter izraz za izracun strižne napetosti na stiku slojev sestavljenega lesenega nosilca, kot jih predlaga standard Evrokod 5 [SIST, 2005]. 3.3.1 Normalne napetosti Z uporabo enacb (43) izracunamo normalne napetosti. Pri tem je si normalna napetost v težišcu, si±sm,i pa normal-na napetost na robovih i -tega podprereza. 3.3.2 Strižne napetosti Najvecja strižna napetost v lesenem sestavlje­nem prerezu nastopi v njegovem težišcu, torej na mestu, kjer so normalne napetosti enake 0. Izracunamo jo s pomocjo izraza: (44) Števec v enacbi (44) predstavlja zmnožek elasticnih modulov lesa podprerezov ter staticnega momenta spodnje/zgornje polo-vice sestavljenega precnega prereza glede na težišce sestavljenega prereza. Zaradi nera­zumevanja izraza v števcu enacbe (44) in ne­dosegljivosti teoreticnih podlag, na osnovi kate­rih je bila ta enacba izpeljana, predlagamo, skladno z osnovami teorije mehanike nosilcev [Srpcic, 2003] ter ob socasnem upoštevanju parametra .i, ki definira podajnost stika sosed­njih podprerezov, modificirano enacbo za izracun najvecje strižne napetosti v težišcu sestavljenega lesenega prereza, ki se glasi: (45) Z razumevanjem osnov enacbe (45) je mogo-ce izracunati strižno napetost .xz tudi v poljub­nem vlaknu sestavljenega lesenega precnega prereza. 3.3.3 Strižna napetost na stiku podprerezov in strižna obremenitev veznih sredstev Strižna napetost na stiku dveh sosednjih podprerezov se izracuna s pomocjo naslednje enacbe: (46) posledicno pa tudi strižna obremenitev posameznega veznega sredstva kot: Na racunskem primeru znacilnega dvosloj­nega lesenega kompozitnega nosilca pred­stavimo študijo vpliva podajnosti stika med slojema na strižne napetosti na stiku slojev ter v precnih prerezih kompozitnega nosil-ca. Strižne napetosti, izracunane z razvitim matematicnim modelom z analiticno rešitvi­jo, primerjamo s strižnimi napetostmi, ki jih izvrednotimo z racunsko metodo skladno z Evrokod 5 [SIST, 2005] ter predlagano modifi­cirano enacbo tega standarda. 4.1 Osnovni podatki kompozitnega nosilca Osnovne geometrijske in materialne podatke ter podatke o obtežbi obravnavanega dvosloj­nega kompozitnega nosilca prikazujemo na sliki 3. Obravnavani kompozitni nosilec pogosto zasle­dimo pri prenovah starejših objektov, kjer je mogoce obstojecim lesenim stropnikom do-dati nov zgornji leseni ojacilni sloj medetažne konstrukcije. Leseni nosilec premošca razpon 500 cm in je obremenjen z enakomernima zvezno razporejenima precnima obtežbama (stalna g = 3.2 kN/m1, spremenljiva q = 2 kN/m1). V konkretnem racunskem primeru predpostavimo, da navedeni obtežbi delujeta v smeri y in z, njuno prijemališce se nahaja na zgornjem desnem vogalu sestavljenega prereza, torej ekscentricno glede na težišce lesenega sestavljenega prereza (slika 3). Prerez sestavljata lesena podprereza: (i) spodnji podprerez širine 18 cm in višine 22 cm ter (ii) zgornji podprerez širine 100 cm in višine 8 cm. Lesena sloja sta pre­ko sticne površine medsebojno povezana z vgrajenimi standardnimi lesnimi vijaki 6/120 mm, ki so vzdolž nosilca razporejeni na enakomernih medsebojnih razdaljah, v dveh vzporednih vrstah. Oba sloja nosilca sta izdelana iz lesa enakih mehanskih lastnosti, Ea=Eb=1100kN/cm2 . V nadaljevanju prikažemo rezultate analiz po racunski metodi iz Evrokoda 5 [SIST, 2005] ter rezultate, dobljene z razvitim in v poglavju 2 predstavljenim matematicnim modelom za analizo slojevitih kompozitnih nosilcev. Primer-javo rezultatov obeh racunskih postopkov opravimo za razlicne razporeditve veznih sred­stev vzdolž stika lesenih slojev. (47) (i=1 za stik podprerezov 1 in 2, i=3 za stik podprerezov 2 in 3). Pri tem dodajmo, da racunska metoda sklad-no z Evrokodom 5 [SIST, 2005] omogoca le ravninsko obravnavo kompozitnega nosilca. Razviti matematicni model pa omogoca, seve­da ob upoštevanju omejitev predstavljenih v poglavju 2, kompozitni nosilec obravnavati prostorsko, torej z upoštevanjem ekscentricne­ga delovanja obtežb qy in qz. Da je v nadalje­vanju mogoca primerjava nekaterih rezultatov, pridobljenih po obeh metodah, tudi v izracunih z razvitim matematicnim modelom, upošte­vamo prijemališce obtežb qy in qz v težišcu slojevitega precnega prereza, kot jih narekuje obravnava lesenih kompozitnih nosilcev sklad-no z Evrokodom 5[SIST, 2005]. 4.2 Najvecje strižne napetosti na stiku lesenih slojev V preglednici 2 prikažemo, v odvisnosti od razmaka vgrajenih veznih sredstev vzdolž stika, poleg najvecje strižne napetosti na stiku lesenih slojev px,MAX, tudi mejno dovoljeno strižno napetost na stiku px,MEJNO, ki jo po­gojuje nosilnost izbranega veznega sredstva (standardni lesni vijak 6/120 mm). Racunska analiza mejnega stanja nosilnosti skladno z Evrokod 5 [SIST, 2005] pokaže, da bi bilo treba vezna sredstva, vgrajena v dveh vzporednih vrstah, razporediti na medosnih [SIST, 2005] Analiticna rešitev razmak veznih sredstev [cm] px,MEJNO [kN/cm2] px,MAX [kN/cm2] izkorišcenost VS [%] px,MAX [kN/cm2] izkorišcenost VS [%] 6 0,0387 0,0319 83 0,0268 69 8 0,0290 0,0284 98 0,0237 82 10 0,0232 0,0256 110 0,0213 92 12 0,0193 0,0233 121 0,0194 100 20 0,0116 0,0171 148 0,0171 147 Preglednica 2•Strižne napetosti na stiku podprerezov ter izkorišcenost veznih sredstev (VS). razdaljah 8 cm vzdolž osi slojevitega lesenega Na sliki 4 so prikazane tudi najvecje strižne nosilca. Glede na rezultate razvitega matema-napetosti na stiku lesenih slojev, ki smo jih ticnega modela za analizo slojevitih nosilcev izvrednotili z razvitim matematicnim modelom na obeh robovih ter na sredini sticne površine slojev. Še posebej pri manjših razmakih veznih sredstev je razvidno, da vrednost strižnih napetosti px,MAX, precno na stik slojev, ni enakomerna. 4.3 Najvecje strižne napetosti v precnem prerezu slojevitega nosilca V preglednici 3 primerjamo najvecje strižne napetosti v precnem prerezu ob podpori sloje­vitega nosilca, izracunane skladno z enacbo (44) iz Evrokoda 5 [SIST, 2005], predlagano modifikacijo te enacbe (enacba(45)) ter naj­vecjo strižno napetost izvrednoteno z razvitim matematicnim modelom za analizo slojevitih kompozitih nosilcev. Najvecja strižna napetost nastopi v spodnjem podprerezu sestavljene­ga nosilca. Podamo tudi oddaljenost mesta najvecje strižne napetosti od sticne površine slojev. Najvecje strižne napetosti ter njihovo lego prikažemo za razlicne razmake veznih sredstev vzdolž stika slojevitega nosilca. Ugotavljamo, da se vrednosti najvecjih strižnih napetosti v lesenih podprerezih, izracunane z modificirano enacbo (45) po Evrokod 5 [SIST, 2005], ter vrednosti izvrednotene z razvitim matematicnim modelom dobro ujemajo. Z uporabo osnovne enacbe (44) za izracun najvecjih strižnih napetosti skladno z Evrokod 5 [SIST, 2005] so vrednosti najvecjih strižnih napetosti nekajkrat višje kot v primeru upo­rabe modificirane enacbe (45). Ugotavljamo tudi, da legi najvecje strižne napetosti v prime-ru toge ter povsem podajne povezave slojev skladno z Evrokod 5 [SIST, 2005] ter razvitim matematicnim modelom prakticno sovpadajo. Pri vmesnih togostih stika pa se lega najvecje strižne napetosti po metodi Evrokod 5 [SIST, 2005] nahaja nekoliko bližje stiku kot v prime-ru izracuna po predstavljenem matematicnem modelu z analiticno rešitvijo. pa ugotavljamo, da bi bilo mogoce vezna sredstva vgraditi na vecjih medosnih razdal­jah vzdolž stika podprerezov, in sicer na medosnih razdaljah 12 cm. Ce bi bila vezna sredstva razporejena skladno z Evrokod 5 [SIST, 2005], bi bila njihova izkorišcenost le 82 %. Gornje ugotovitve prikažemo tudi na sliki 4. Odcitek presecišca krivulje px,MAX,Evrokod5.SIST,2005. oziroma poteka rezultatov razvitega matema­ticnega modela s krivuljo dovoljenih mej­nih vrednosti obremenitev veznih sredstev px,MEJNO,Evrokod5.SIST,2005. na abscisni osi, podaja še dovoljen razmak veznih sredstev vzdolž stika slojev, da njihova nosilnost, skladno z [SIST, 2005] Analiticna rešitev razmak veznih sredstev s [cm] .xz,MAX [kN/cm2] .xz,MAX modificirano [kN/cm2] lega .xz,MAX [cm] .xz,MAX [kN/cm2] lega .xz,MAX [cm] toga povezava 0,1061 0,0507 1,0 0,0507 1,0 6 0,1476 0,0471 7,7 0,0478 8,8 8 0,1554 0,0476 8,5 0,0484 9,2 10 0,1617 0,0480 8,9 0,0489 9,4 12 0,1668 0,0485 9,2 0,0493 9,6 20 0,1805 0,0499 9,8 0,0506 10,1 povsem podajna povezava 0,2188 0,0547 11,0 0,0547 11,0 Evrokod 5 [SIST, 2005], ni prekoracena. Preglednica 3•Vrednosti in lega najvecje strižne napetosti v sestavljenem lesenem prerezu. Odstopanja v vrednostih najvecjih strižnih napetosti v sestavljenem lesenem precnem prerezu obravnavanega kompozitnega nosil-ca, ki smo jih izracunali z racunsko metodo Evrokod 5 [SIST, 2005], s predlagano modi­ficirano enacbo tega standarda (45) ter z razvitim matematicnim modelom predstavimo graficno tudi na sliki 5. Vrednosti in potek strižnih napetosti po prec­nem prerezu ob podpori slojevitega lesenega nosilca, izracunanih z modificirano enacbo (45) ter razvitim matematicnim modelom, za dva razlicna razmaka veznih sredstev vzdolž stika slojevitega nosilca prikažemo na slikah 6 in 7. Vrednosti ter razporeditev strižnih napetosti v spodnjem podprerezu lesenega slojevitega nosilca se dobro ujemajo. V zgornjem podprerezu pa opazimo bistvena odstopanja tako v vrednostih kot poteku strižnih napetosti. Ob uporabi modificirane enacbe za izracun strižnih napetosti (45) se izkaže, da v primeru povsem podajne povezave slojev, zgornji podprerez sploh ni strižno obremenjen. Takšni rezultati ne vzdržijo presoje osnov mehanike nosilcev [Srpcic, 2003]. S pristopom k analizi sloje­vitih nosilcev, kot ga predlaga Evrokod 5 [SIST, 2005], kljub modifikaciji enacbe za izracun strižnih napetosti v precnem pre­rezu (glej enacbo (45)), ta ni primerljiv s predstavljenim matematicnim modelom glede poteka strižnih napetosti v zgornjem podprerezu. Slika 6, 7•Vrednosti in potek strižnih napetosti po lesenih podprerezih skladno z modificirano enacbo (45) ter razvitim matematicnim modelom (s = 8 cm ter povsem podajna povezava slojev). vitih lesenih nosilcev s podajno povezavo slojev skladno s standardom Evrokod 5 [SIST, 2005] ter predlagali modificirano enacbo omenjenega standarda za izracun najvecjih V prispevku smo predstavili nov matematicni dvoslojnih kompozitnih nosilcev s podajno model in pripadajoco analiticno rešitev za povezavo med slojema. Prikazali smo tudi strižnih napetosti v precnih prerezih tovrstnih analizo mehanskega obnašanja prostorskih racunsko metodo za analizo ravninskih sloje-nosilcev. Primerjavo predstavljenih racunskih metod slojevitih nosilcev z upoštevanjem zdrsa med sloji smo izvedli na dvoslojnem lesenem prostoležecem nosilcu, ki je obremenjen z enakomerno ekscentricno zvezno precno ob-težbo. Pri tem smo se še posebej posvetili problematiki strižnih napetosti v precnih pre­rezih slojevitega lesenega nosilca. Ugotav­ljamo, da: – so izracunane najvecje strižne napetosti v precnem prerezu lesenega slojevitega nosilca skladno s standardom za lesene konstrukcije Evrokod 5 [SIST, 2005] tudi do nekajkrat vecje, kot so izracunane strižne napetosti s predstavljenim matematicnim modelom, – je predlagana modificirana enacba stan­darda Evrokod 5 [SIST, 2005] za izracun naj­vecjih strižnih napetosti v precnem prerezu lesenega slojevitega nosilca bistveno na­tancnejša, kot je osnovna enacba omenje­nega standarda, – se z uporabo omenjene modificirane enacbe po standardu Evrokod 5 [SIST, 2005] potek strižnih napetosti v osrednjem prerezu slojevitega lesenega nosilca prak-ticno povsem sklada s potekom strižnih napetosti, kot jih izracunamo z razvitim matematicnim modelom, – navedenega v predhodni alineji ne more-mo trditi za podprereze lesenih sloje­vitih nosilcev, ki so podajno povezani z osrednjim podprerezom slojevitega nosilca, – bi glede na rezultate razvitega matema­ticnega modela bilo mogoce vezna sred­stva vzdolž stika slojev razporediti na vecjih medsebojnih oddaljenostih, kot nakazujejo rezultati racunskih analiz po Evrokodu 5 [SIST, 2005]. Dodajamo tudi, da je prikazani matematicni model z analiticno rešitvijo mogoce uporabiti tudi za verifikacijo drugih razvitih racunskih metod in modelov za obravnavo deformacij­sko-napetostnega stanja prostorskih dvosloj­nih kompozitnih nosilcev z upoštevanjem zdrsa med slojema. Predstavljeni rezultati so pridobljeni v sklopu dela programske skupine Mehanika konstrukcij (P2-0260), ki ju financira Javna agencija za razisko­valno dejavnost Republike Slovenije. Za financno pomoc se jih iskreno zahvaljujemo. Adekola, A., Partial interaction between elastically connected elements of a composite beam, International Journal of Solids and Structures, 4:1125–35, 1986. Campi, F., Monetto, I., Analytical solutions of two-layer beams with interlayer slip and bi-linear interface law, International Journal of Solids and Structures, 50:687–98, 2013. Challamel, N., Girhammar, U.A., Lateral-torsional buckling of vertically layered composite beams with interlayer slip under uniform moment, Engi­neering Structures, 34:505–13, 2012. Challamel, N., Girhammar, U.A., Lateral-torsional buckling of partially composite horizontally layered or sandwich-type beams under uniform mo­ment, Journal of Engineering Mechanics ASCE, 139(8):1047–64, 2013. Cas, B., Planinc, I., Schnabl, S., Analytical solution of three-dimensional two-layer composite beam with interlayer slips, Engineering Structures, 173:269–82, 2018. Ecsedi, I., Baksa, A., Analytical solution for layered composite beams with partial shear interaction based on Timoshenko beam theory, Engineering Structures, 115:107–17, 2016. Faella, C., Martinelli, E., Nigro, E., Steel-concrete composite beams in partial interaction: closed-form exact expression on the stiffness matrix and the vector of equivalent nodal forces, Engineering Structures, 32:2744–54, 2010. Foraboschi, P., Analytical solution of two-layer beam taking into account nonlinear interlayer slip, Journal of Engineering Mechanics ASCE, 135(10):1129–46, 2009. Girhammar, U.A., Gopu, V.K.A., Composite beam-columns with inter-layer slip-exact analysis, Journal of Structural Engineering ASCE, 199(4):1265– 82, 1993. Girhammar, U.A., A simplified analysis method for composite beams with interlayer slip, International Journal of Mechanical Sciences, 51:515–30, 2009. Goodman, J.R., Popov, E.P., Layered beams systems with inter-layer slip, Journal of the Structural Division ASCE, 94(11):2535–47, 1986. Kroflic, A., Planinc, I., Saje, M., Cas, B., Analytical solution of two-layer beam including interlayer slip and uplift, Structural Engineering and Mecha­nics, 34(6):667–83, 2010. Lenci, S., Clementi, F., Effects of shear stiffness, rotatory and axial inertia, and interface stiffness on free vibrations of a two-layer beam, Journal of Sound and Vibration, 331:5247–67, 2012. Lin, J.P., Wang, G., Bao, G., Xu, R., Stiffness matrix for the analysis and design of partial- interaction composite beams, Construction and Building Materials, 156:761–72, 2017. Martinelli, E., Nguyen, Q.H., Hjiaj, M., Dimensionless formulation and comparative study of analytical models for composite beams in partial inter­action, Journal of Constructional Steel Research, 75:21–31, 2012. Monetto, I., Analytical solutions of three-layer beams with interlayer slip and step-wise linear interface law, Composite Structures, 120:534–51, 2015. Newmark, N.M., Siest, C.P., Viest, C.P., Test and analysis of composite beams with in- complete interaction, Proceedings of the Society for Experi­mental Stress Analysis,1:75–92, 1951. Ranzi, G., Bradford, M.A., Analytical solutions for the time-dependent behaviour of composite beams with partial interaction, International Journal of Solids and Structures, 43:3770–93, 2006. Schnabl, S., Saje, M., Turk, G., Planinc, I., Analytical solution of two-layer beam taking into account interlayer slip and shear deformation, Journal of Structural Engineering ASCE, 133(6):886–94, 2007. Schnabl, S., Planinc, I., Exact buckling loads of two-layer composite Reissner’s columns with interlayer slip and uplift, International Journal of Solids and Structures, 50:30–7, 2013. Shen, X., Chen, W., Wu, Y., Xu, R., Dynamic analysis of partial-interaction composite beams, Composites Science and Technology, 71:1286–94, 2011. Simo, J.C., A finite strain beam formulation. The three-dimensional dynamic problem, Part I, Computer Methods in Applied Mechanics and Engi­ neering, 49:55–70, 1985. SIST, SIST EN 1995-1-1:2005, Evrokod 5: Projektiranje lesenih konstrukcij-1-1. del: Splošna pravila in pravila za stavbe, 2005. Sousa, J.B.M., Silva, A.R., Analytical and numerical analysis of multilayered beams with interlayer slip, Engineering Structures, 32:1671–80, 2010. Srpcic, S., Mehanika trdnih teles, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 2003. Wolfram, S., Mathematica, Addison-Wesley Publishing Company, 2017. Wu, P., Zhou, D., Liu, W., Wan, L., Liu, D., Elasticity solution of two-layer beam with a viscoelastic interlayer considering memory effect, International Journal of Solids and Structures, 94–95:76–86, 2016. Xu, R., Wang, G., Bending solutions of the Timoshenko partial-interaction composite beams using Euler-Bernoulli solutions, Journal of Engineering Mechanics ASCE, 139(11):1881–5, 2013.