i
i
“Strnad-temperatura” — 2010/5/31 — 14:41 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 3
Strani 146–153
Janez Strnad:
TEMPERATURA TELESA OB DOTIKU
Ključne besede: fizika, temperatura.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/884-Strnad.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
TEMPERATURA TELES OB DOTIKU
Preden pri fiziki v 7. razredu uvedemo temperaturo, omenimo občutek, da se
zdijo ob dotiku nekatera telesa toplejša kot druga . 'Temperaturo snovi včasih
lahko ocenimo, ker jo zaznamo s kožo." Na drugi strani vemo, da imajo telesa
enako temperaturo, če se dolgo dotikajo. "Kuhinjsko posodje v omari naj bi
torej imelo enako temperaturo kot omara sama. Pa potipa] omaro in nato še
krožnik pa lonec. Ali v vseh primerih zaznaš enako temperaturo?" (J. Ferbar
in F. Plevnik, Fizika za 7. razred, DZS, Ljubljana 1974, str. 77, 78). Aluminij-
ski lonec se zdi hladnejši kot stekleni krožnik in ta hladnejši kot lesena omara.
Ali znamo to pojasniti? Vp rašanje je dokaj zahtevno. V notranjosti
človeškega telesa se na račun razgradnje hrane, predvsem sladkorjev in sorodnih
snovi, sprošča toplota , ki prehaja s prevajanjem in s tokom krvi proti površju
telesa. Temperatura v notranjosti telesa je višja kot na površju. Najnižja je na
štrleč ih predelih - nosu, ušesih, kon icah prstov - okoli 36° C. Nekaj višja je
na primer pod pazduha, običajno 37,6° C. S površja kože prehaja toplota v
okolico. Na nepokritih delih telesa je pri tem odločilno počasno gibanje okol-
nega zraka. Na vetru je temperatura kože nižja. Pri tem ima vlogo tudi pot,
ki izhlapeva z vlažne kože.
Čutnice za temperaturo ležijo pod površjem kože v globini okoli 0,4 mi-
limetra. Na njihovem mestu je temperatura nekoliko višja kot na površju kože.
Navadno nas čutnice ne opozarjajo ne na mraz ne na vročino. Brž ko se do-
taknemo telesa, pa vplivamo tudi na tok toplote v koži. To kaže, da so razmere
zapletene. Do odgovora na vprašanje pridemo lahko le, če jih poenostavimo.
To v fiziki pogosto naredimo in upamo, da vseeno dobimo smiselne odgovore.
Že v kratkem uvodu smo uporabljali fizikalni količini temperaturo in
toploto, za podrobnejšo razlago pa bomo potrebovali še nekaj zakonov.
Oglejmo si jih po vrsti.
Temperaturo naredimo bolj domačo s Feynmanovo primero. Po kopanju
pridete mokri iz vode in se obrišete z brisačo. Pri tem preide voda s kože na
brisačo. Denimo pa, da je brisačo zmočil naliv, ko ste bili v vodi. Če zdaj upo-
rabite brisačo, prehaja voda z nje na kožo. Vpeljimo "mokrost" kot količino,
ki pove, kako uporabna je brisača za brisanje. Če je mokrost kože večja kot
mokrost brisače, prehaja voda s kože na brisačo. Če je mokrost brisače večja
kot mokrost kože, pa prehaja voda z brisače na kožo. Mokrosti ustreza tempe-
ratura, vodi pa toplota.
Toplota je količina, ki meri, koliko energije si izmenjata telesi, ko si ne
izmenjata dela. Če telo prejme toploto, se mu energija poveča, če jo odda, pa
se mu zmanjša. Toploto mer imo v enakih enotah kot energijo, v joulih, J.
146
V vsakdanjem življenju merimo temperaturo v stopinjah Celzija, /1 C. Pri
navad nem zračnem tlaku priredimo tališču ledu temperaturo 0° C in 'vrelišču
vode temperaturo 100° C. Toda v fiziki merimo temperaturo v kelvinih, K. Po
dogovoru ima trojno stanje vode, v katerem so v ravnovesju led, voda in vodna
para, temperaturo 273,16 K. Ker ustreza temu stanju 0,01° C, ustreza
-273,15° C ravno O K. To je absolutna ničle, ki se ji lahko sicer poljubno pri -
bližamo, a je ne moremo doseči. Po navedenem dogovoru je kelvin enako velik
kot stopinja Celzija . Zaradi tega izrazimo temperaturno razliko v stopinjah
Celzija in v kelvinih z enakim merskim številom . Če se omejimo na temperatu-
rne razlike , lahko v sestavljenih enotah vedno uporabimo kelvin, čeprav navaja-
mo temperaturo v stopinjah Celzija.
Za koliko stopinj se poviša temperatura telesu, če mu dovedemo toploto,
in zniža, če od njega toploto odvedemo? Dovedena ali odvedena toplota je
sorazmerna s spremembo temperature in z maso telesa:
Q =m cp (T- T1 ( 1)
Sorazmernostni koeficient cp' specifična toplota, meri lastnost snovi in pove,
koliko joulov toplote je treba dovesti kilogramu snovi, da se segreje za 1 sto-
pinjo. Enota zanjo je J /kgK. Indeks p opozarja , da se med poskusi tlak ne spre-
minja in bi ga v našem primeru sploh ne bilo treba posebej navajati. Če telo
prejme toploto, se segreje in je končna temperatura T in začetna T'. Če telo
toploto odda, se ohladi in je končna temperatura T', a začetna T. Enačbo (1)
spoznajo učenci v 7. razredu (str. 96 v navedenem učbeniku).
Potrebujemo pa še zakon o prevajanju toplote, ki ne pride na vrsto v
osnovni šoli. Temperaturi teles, ki se -de t lkata , se izenačita. Telesu z višjo
temperaturo se temperatura zniža in telesu z nižjo se zviša. Telo z višjo začetno
temperaturo toploto odda, telo z nižjo pa jo prejme. Toplota teče s kraja z
višjo temperaturo na kraj z nižjo . O prevajanju toplote govorimo, če prehaja
toplota po mirujoči snov i in če ni sevanja . Zakon o toplotnem prevajanju zade-
va toploto , ki se v določenem času prenese s prevajanjem s telesa z višjo tempe-
raturo na telo z nižjo.
Pregledne okoliščine si zagotovimo z zahtevama, da se s časom nič ne spre-
minja in da teče toplota samo veni smeri. Vzamemo dve veliki telesi, katerih
temperaturi se s časom ne spreminjata. Mednju damo prizmo tako, da se
osnovni ploskvi dotikata velikih teles (slika 1) . Prizmo obdamo s snovjo, ki
toploto zelo slabo prevaja, na primer spolistirenom. Počakamo,da se tempera-
tura delov prizme ustali in se poslej s časom ne spreminja. Toplota, ki jo telo
z višjo temperaturo T v času t odda in telo z nižjo temperaturo T' prejme, je
147
(o)
konstantna
temperatura
T'
snov, ki ne prevaja toplote
konstantna
temperatura
T
T
T' •razdalja
(b )
temperatura
T' ~"'~,~
Slika 1. Prevajanje toplote veni smeri v
okoliščinah , ki se ne spreminjajo s časom.
Med veliki telesi z višjo temperaturo Tin
nižjo temperaturo T' postavimo prizma iz
določene snovi z osnovno ploskvijo S in
dolžino I . Temperatura v prizmi ena ko-
merno narašča od T' do T [al . Pri enaki
temperaturni razlik i steče skoz i dve enaki
vzporedni prizmi v enakem času dvakrat
tolikšna toplota kot skozi eno. Prizmi si
lahko mislimo sestavljen i v eno z dvojnim
presekom; pretečena toplota je torej so-
razmerna s presekom pr izme (bl. Pri enak i
temperaturni razliki steče skozi dve enaki
zaporedni prizmi v enakem času samo po-
lovica toplote, ki b i stekla skozi eno. Priz -
mi si lahko mislimo sestavljeni v eno z
dvojno dolžino; pretečena toplota je torej
obratno sorazmema z dolžino prizme (cl.
( c )
5
•razdalja p
T
temperatura
T'~~
148
temperatura
Slika 2. Razmere ob stiku pri zme z za-
četno temperaturo T' in velikega telesa
z višjo temperaturo T. Temperatu ra v
vrhnji plasti prizme je odvisna od kraja
in od časa. Sklenjeno narisana črta se
nana ša na začetni trenutek , črtkana
krivu lja pa na poznejš i čas. S pikami
in črtkam i je narisana ravna črta , ki
ustreza naši ocen i.
T '
/
I'-1/
l '
II
/ :
'"
konstantna
temperatura
T
T
razdalja
sorazmerna s tem časom, z osnovno ploskvijo prizme S in s temperaturno razl i-
ko T - T' in obratno sorazmerna z dolžino prizme 1:
Q=AtS(T-T1 /1 (2)
Sorazmernostni koef icient A, top lotna prevodnost, mer i last nost snovi in
pove , kolikšna toplota preide v sekundi skozi prizmo z osnovno
ptoskvijo 1 m2 in dolž ino 1 m pri temperaturn i raz liki 1 stopinje. Toplotna pre-
vodnost ima torej enoto J rn/ srn? K = W/Km, saj je 1 joule/sekundo = 1 watt.
Enačba (1) in zakon o prevajanju toplote (2) omogočata, da poiščemo
odgovor na postav ljeno vprašanje . Pri tem ne gre čisto brez računanja . Pa še ta -
ko mo ramo marsikaj spregledati.
Mislimo si zda j veliko telo s konstantno temperaturo T. Obenj v začetnem
trenutku t = O pritisnemo osnov no ploskev S prizme z nižjo temperaturo T'
(slika 2). Prizma ima gostoto p , specifično toploto cp in toplotno prevodnost
A. Prizma prejme toploto od velikega telesa in se zaradi tega segreje. Toda v
nasprotju z začetno zahtevo se zdaj okoliščine spreminjajo s časom. Ali si
lahko vseeno pomagamo z zakonom (2) in enačbo (l)? Po zakonu bi oddalo
veliko telo toploto Q = AtS(T - T1 /1, če bi bila na drugi strani plasti s konstan-
tno debelino 1 tempe ratura T'. Po enačbi (1) pa bi se zaradi dovedene toplote
Q = mcp (T - T1 povečala temperatura plasti od T' na T, če bi imela vsa plast
enako temperaturo. V našem primeru ni tako in je vse pomešano: toplota , ki
se prevaja skozi plast, se porabi za to, da zviša temperaturo plasti.
149
Ne glede na ta pomislek izenačimo toploto, ki jo veliko telo odda, s toplo-
to, ki jo prejme plast, ko se od temperature T' segreje do temperature T.
Vendar si mislimo, da se debelina plasti 1s časom spreminja. Zato izrazimo ma-
so plasti z njeno prostornino SI in gostoto takole: m = p S I. Tako dobimo:
X tS (T- T') II= p S Icp (T- T')
Morda bo kdo predlagal, da je na desni strani bolje upoštevati povprečno tem-
peraturo plasti 1 (T -+- T') in namesto razlike T - T' ust rezno razliko
..!. (T + T') - T' = ..!. (T - T') . A ker smo o tem negotavi, raje ne upoštevamo
2 2
faktorja 1na desni in imamo naš rezultat samo za oceno.
Iz zapisane zveze sledi ocena za debelino plasti, do katere seže v času t
temperaturna sprememba:
V spominu na faktor 1, o katerem smo govorili in ki sp remlja gostoto p, je
naša ocena za debelina plasti r nekoliko premajhna. Koeficient XIpCp ima eno-
to W/Km(kg /m 3)(J /kgK) = m2 Is. Račun velja samo, če je dolžina prizme
precej večja od ocenjene debeline plasti I .
Ni težko zapisati ustrezne ocene za čas, v katerem seže temperaturna spre -
memba do določene globine 1:
t = PI (Xlp cp)
Nasprotno kot za 1, a iz istega razloga, je naša ocena za čas t prevelika. Oceni-
mo čas, v katerem seže temperaturna sprememba do čutnic v globini 0,4 mili-
metra :
-8 2 - 7 21t=16.10 m 11,5.10 (m s)=1sekunda
Za kožo vzamemo kar podatek, k i velja za vodo.
Ko smo ob veliko telo s konstantno temperaturo pris lonili prizma, v kate-
ri se je temperatu ra s časom spreminja la, smo eno od teles obravnavali drugače
kot drugo. Popravimo to in ob ravnavajmo obe telesi enako . Sestavimo enaki
osnovni ploskvi dveh dolgih prizem. Prva z višjo temperaturo T toploto odda
in se ji zniža temperatura, druga z nižjo temperaturo T'toploto prejme in se ji
zviša temperatura. Prenesena toplota je odvisna od temperature To na stiku
prizem. T - To je temperaturna razlika med temperaturo v globini 1 prve
prizme in temperaturo ob stiku, To - T' pa temperaturna razlika med tempe-
150
raturo ob stiku in temperaturo v globini l ' druge prizme. Vzamemo, da je
toplota, ki jo prva prizma odda, enaka toploti, ki jo druga prejme. Zakon o
prevajanju toplote (2l pove za ta primer:
"AtS (T- Tol l/="A'tS' (To - r'i/!'
V enačbo vstavimo ocenjeni debelin i plasti:
Konstante brez črtice zadevajo prvo prizmo z višjo temperaturo, konstante s
črtico pa drugo z nižjo. Iz nastaleenaČbe~ (T- Tol =.J"A'P'cp'(To-T1
izračunamo temperaturo ob stiku:
Ker smo globino, do kate re seže temperaturna sprememba, samo ocenili,
pričakujemo, da je tudi To samo ocena za temperaturo ob stiku . Vendar ni ta -
ko: ne samo , da je rezultat pravi, tudi s časom se ne spreminja. Zares pa se tem-
peraturi T in T' spreminjata s časom in z oddaljenostjo od stika (slika 3l . Zara -
di tega smo smel i govoriti nekoliko megleno. Navsezadnje vzamemo za podatka
začetni temperaturi; vsaka od obeh je spočetka enaka po vsej prizmi. Enačba
Preglednica podatkov za specifično toploto cp' toplotno prevodnost "A, gostoto
P, koeficient "AlpCp in koeficient .J "Apcp I"A'p'cp ' glede na vodo ter tempera-
turo ob stiku s prstom, če je začetna temperatura prsta 360 C in telesa, ki ~e
ga dotaknemo , 200 C.
snov cp "A p "Alpcp .JApcp1"A'p'cp ' To
kJ/kgK W/Km kg/m 3 m2 I s
voda 4,2 0,63 1.103 1,5.10-7 1 28 o C
zrak 1,0 0,026 1,2 2,1.10-5 0,0035 35,9
les 0,9 0,13 0 ,5.103 3.0.10-7 0,15 34
steklo 0,8 0,65 2,6.103 3,0 .10-7 0,72 29
marmo r 0,9 3,0 2,7.10 3 1,2.10 - 6 1,7 26
aluminij 0,38 240 2,7.10 3 2,3.10-3 3 24
srebro 0,24 420 10,5.103 1,7.10-4 20 20,7
151
za temperaturo ob s!i.ku obeh prizem velja, dokler sta prizmi dovolj dolgi v pri-
merjavi z .jA/ pCp yt in yI"A' /P'cp'.Jt. V fiziki večkrat dobimo zanesljiv rezul-
tat po nezaneslj ivi poti.
Iz preglednice razberemo , da je temperatura ob stiku p rsta z aluminijsk im
lo ncem nižja kot ob stiku s steklenim kro žnikom in ob tem nižja kot ob stiku
z leseno omaro. Temperatura v globini 0 ,4 milimetra pod površjem prsta je
razdalj a
T
oS ->: /:.<~.... .
// 0, 5 5/.:..·
.~/ ...... ,... 2 s, / '
/ ./1,,// č loveško t elo (bolno )
TO
t emperatu ra
38 0 C~=---....,.~::o---~--,.,.--~
človeško telo (zd ravo)
T'
temperatura
-0,8 -D.61
(
-0.4 1- 0•2
{
O 0.2 0,4 0,6 0,8 mm od stika
T
O s
marmor
32
28
r'...
/'0. 5 5 .. ·· ··
/ .... 2 s
I
I .
I .. '
I .'
I ...·
(..'
TO
č loveš ko te lo
T' --- 20 razdalja
- 0, 8 -0.6 - 0.4 -0,2 O 0,2 0.4 0,6 0.8 mm od st ika
Slika 3 . Razmere ob sti ku zdravega človeškega teles a z nižjo temperatu ro 36 ° C in bolnega
č loveškega telesa z višjo temperatu ro 3eo C (zgo raj) in ob st iku te lesa iz ma rmorj a s tem pe-
ratu ro 20° C in človeškega telesa s t emperaturo 36° C (spod aj) . Risb i kažeta kr ajevni
pote k te mperature na z ačetku Ir = O, sklenjeno) , po 0 ,5 sekunde (č rt kano ) in po 2 se-
kund ah ( pikčasto l. Na zgornji risb i so s pik am i in črtkami naris ane ravne č rte , k i ustreza-
jo ocenam z zapisanimi enačbami. Za silo je mogoče oce niti, kako se spreminja s č asom
temperatura 0 ,4 milimetra pod pov ršjem na mestu čutnic . Risbi sta vzeti iz članka
A.B . Bjalko, Teplo tvoih ruk , Kvant (1987) 3 (4) , ki je dal zamisel za ta zap is.
152