Bojan Kuzma ZBIRKA DOMAČIH NALOG IZ ANALIZE I IN ANALIZE II (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 3) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila: Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, Univerza na Primorskem Primorski inštitut za naravosloven in tehnične vede Koper Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije % rt-O s * o. (AlIVE^V i/NlVt^1" UNIVERZA NA PRIMORSKEM UNtVERSITA DEL LITORALE UNIVERSITY OF PRIMORSKA Titov trg 4, SI - 6000 Koper Tel.: + 386 5 611 75 00 Fax.: + 386 5 611 75 30 E-mail: info@upr.si http://www.upr.si © TeMeNa, 2009 Vse pravice pridržane Koper, 2009 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 517(075.8)(076.1) KUZMA, Bojan Zbirka domačih nalog iz Analize I in Analize II [Elektronski vir] / Bojan Kuzma. - El. knjiga. - Koper : Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, 2009. - (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike ; št. 3) Način dostopa (URL): http://temena.famnit.upr.si/files/files/zv_3_DS.pdf ISBN 978-961-92689-2-6 246642688 Zbirka domačih nalog iz Analize I in Analize II Bojan Kuzma Koper, 2009 Kazalo 1 Predgovor 3 2 Analiza I in II — računske naloge 5 3 Analiza I in II — teoretične naloge 86 1 Predgovor Zaradi stalnih in ponavljajočih se Zelja slušateljev po primerkih starih izpitnih vprašanj sem se odločil izdati zbirko vseh kolokvijev in izpitov pri predmetih kjer sem svojčas sam vodil vaje in ki v grobem ustrezajo sedanjima Analiza I in Analiza II. Temu sedaj dodajam tudi zbirko vseh domačih nalog. Zbirka je nastajala skozi več let. V tem času sem vodil vaje na Univerzi v Mariboru in kasneje na Univerzi v Ljubljani. Zal je bil čurričulum pri tedanjih predmetih malče drugačen kot je sedaj. Zato sem se odločil, da bom zbirko zgolj v grobem razdelil kro-nolosko. Vsekakor so v kronoloskem vrstnem redu urejene naloge iz tedanje Analize I — tako so najprej nanizane domače naloge iz enega solskega leta, temu nato sledijo domače naloge iz naslednjega solskega leta, in tako dalje. Za tem pa sem dodal se tiste naloge iz tedanjega predmeta Analiza II, ki ustrezajo vsebinam sedanje Analize II. Preostale naloge iz tega predmeta, ki osvetljujejo tematiko funkčije več spremenljivk, sem uvrstil v drugo zbirko. Tu in tam se kaksna od nalog ponovi v več letih. Primerilo se je, da se je ponovila kar čelotna skupina nalog — v tem primeru sem iz zbirke odstranil vse nadaljnje repetičije. Zbirko sem začel z nekaj primeri ze resenih nalog. Vabim vas, da jih poskusite resiti najprej sami; mogoče pa predlagana resitev ni najbolj elegantna? Na tem mestu bi rad dodal, da naloge niso moje. Ve činoma sem jih črpal iz znanih zbirk nalog kot so (i) M. U s čumlič, P. Mili č ič: Zbirka zadataka iz vi s e matematike 1. Beograd. Nau č na knjiga, 1984. (ii) B. G. Sergeevi č, B. P. Demidovi č (prevajaleč I. Uremovič): Zadači i rijeseni primjeri iz vi se matematike s primjenom na tehni čke nauke. Zagreb. Tehni čka knjiga, 1978. (iii) M. Dobovisek, M. Hladnik, M. Omladič : Reene naloge iz analize I. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, 1972. (iv) V. Batagelj: Diskretne strukture. 1 - naloge. Ljubljana, IMFM FNT, Oddelek za matematiko, 1979. (v) M. Dobovisek, B. Magajna: Naloge iz algebre 1. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, 1984. (v) M. Kolar, B. Zgrablič: Več kot nobena, a manj kot tisoč in ena resena naloga iz linearne algebre. Ljubljana, Pedagoska fakulteta, 1996. (vi) P. Mizori-Oblak, B. Kru s i č (avtor dodatnega besedila): Matematika za s tudente tehnike in naravoslovja, Del 1. Ljubljana, Fakulteta za strojni stvo, 1997. (vii) P. Mizori-Oblak, Matematika za študente tehnike in naravoslovja, Del 2. Ljubljana, Fakulteta za strojništvo, 1991. (viii) P. Mizori-Oblak, Matematika za študente tehnike in naravoslovja, Del 3. Ljubljana, Fakulteta za strojništvo, 1986. (ix) E. Kramar, Resene naloge iz linearne algebre. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, 1989. Tu in tam pa se najde tudi kaksna izvirna naloga. Cisto na konec sem dodal se nekaj nalog, ki sem jih razdelil na predavanjih v letu 2008/2009. S Časoma, ko se bo tovrstnih nalog nabralo veC, bo ta razdelek postal dalj si. Naj na koncu zazelim obilo veselja pri resevanju. 2 Analiza I in II — računske naloge 1. Dano je naravno število a. Zaporedji (pn)n in (qn)n definiramo rekurzivno na naslednji nacin: Za vsak n > 2. Dokazi naslednji trditvi: (a) PnQn-i - Pn— 1 Qn = (—1)n—i za vsak n > 3. (b) Pnqn = Pn—iqn+i za vsak n > 2. Obe tocki se dokažeta s popolno indukcijo; dokaz le za (a) (tocka (b) pa za Domaco Nalogo.) • p2 = api+po = a, in p3 = ap2+pi = a2 + 1. Podobno je = aqi +qo = 1 in q3 = aq2+qi = a. • Za n = 3 trditev velja, saj je p3q2 — p2q3 = (a2 + 1) • 1 — a • a =1 = ( — 1)2 • n ^ (n +1): pn+1 qn — pn qn+i = {apn + p«-0 cin — Pn (a qn + qn_i) = —p„ q„_i + p„_i q„ = —( —1)n-i po indukcijski hipotezi. 2. Upostevaj pomen prvega odvoda in cim natancnejse skiciraj graf funkcije f '(x) = esln x cos x + esln x cos x sin x = esln x cos x (1 + sin x). Zanimajo nas niCle odvoda in njegov predznak. Ker je eslnx > 0, o predznaku odloca cosx (1 + sinx). Ker je 1 + sinx > 0; dejansko o predznaku odloca samo cos x. Torej funkcija narasca na x G [—n/2,n/2] ter pada na x G [n/2, 3n/2], nato pa se vse periodicno ponovi. Ekstremi pa so tam, kjer je cosx = 0 ali pa je sin x = —1, torej v x = n/2 + kn za k G Z. V okolici x = — n/2 sta cos x in (1 + sin x) priblizno enaka nic. Prvi odvod je tam enak produktu dveh skoraj nicelnih stevil, zato je funkcija zelo polozna. V okolici x = n/2 je samo cos x priblizno nic. Zato je v okolici te tocke f bolj strma kot v okolici x = —n/2. Graf pa poteka priblizno takole: Po = 0,pi = 1, qo = 1, qi = 0, Pn = apn— i + Pn—2 qn = aqn— i + qn—2 f (x) = esin x sin x 3. Elipso + ^T^i = 1 zavrtimo okoli osi x. Za katero vrednost parametra a > 0 ima dobljeno rotacijsko telo najmanjši možni volumen? Volumen: /a pa y2(x) dx = n -a J — ( Extreme ima tam, ko je odvod enak nic: (l + a2) (a2-x2) 4 (l + a2) tt 3a V ,_8 n 4(1 + a2) 4 (-1 + a2) n 3 3 a2 3 a2 torej: a = 1. 4. DoloCi konvergenCno obmoCje in poišCi vsoto vrste J2(en - 1)xn n= 1 oo oo oo oo oo - l)x» = ]Te'V> - = E(-)" " 5>" = n= 1 n= 1 n=1 n=1 n= 1 enačaj velja ce |x| < 1 in |ex| < 1, torej je konvergencni polmer R = 1/e. a 0 1. Dana je množica M := {z e C; 0 < |z| < 1 in |z + z\ = \z — z\} (a) Skiciraj množico M v kompleksni ravnini. (b) Dokazi, da je za poljuben z e M in poljubno liho naravno stevilo n tudi zn e M. z + ž je realni del, z — ž pa imaginarni del števila z. Torej je M določenaz | Re z\ = \ Im z |, oziroma: Ce z G M, je bodisi z = M^fer, aH pa z = M^f, ali pa z = |z| , ali pa z = |z| . Tedaj je =izi- (±i±iv=izi- (fi-1 ± n~2 V2 J V Vž J v V2 i± A V. i± A2 (. i± i\2 f. i±i N" ••• • ± V2 J \ V2 J '"V V2 J V v^ 2. Upoštevaj pomen prvih dveh odvodov in Cim natanCneje narisi graf funkcije f (x) x /'(#) = ^ in f"{x) = ^ 2 3x ^ 3 . Prvi odvod je pozitiven na definicijskem območju Df = R \ ( —i, i), z izjemo robnih tock x = ±1, kjer f ni odvedljiva. Torej je f strogo naraščajoča in zvezna tako na (—to, —i] kot tudi na [i, to). Se več, na prvem intervalu je negativna, na drugem pa pozitivna, se pravi, da je monotona in zvezna povsod na Df. Stevec drugega odvoda spremeni predznak pri prehodu skozi x = ±-^/2/3 — tu bi prevoj, ako bi ti dve točki ležali v &f. Ker pa ne lezita, f nima prevojev. Kljub temu je f''(x) > 0 za x e (—to, —i) (torej je tu konveksna) in je f''(x) < 0 za x e (i, to) (torej je tu konkavna). Potek f: 3. (a) Izračunaj integral f ^ dx ex ro / • n n (b) Ali konvergira vrsta ^^ nn+1 ( —J ? n=1 ^ ' f clx = f x2e~x clx = —h C, po (dvakratni) uporabi pravila per partes. (b): Korenski kriterij: i i "+1 i j_ n+i sin — _ n+i — n « • n n« VKI = «" -f =-^-= ---- 1/2- Torej vrsta konvergira (njena približna vsota: 1.839593061267518). 4. Dana je funkčija f (x) := xex. (a) Funkčijo f razvij v Taylorjevo vrsto okoli to č ke 1. (b) S pomočjo točke (a) izračunaj vsoto vrste • Vstaviš t := x - 1, oziroma g (t) := f (t + 1) = (t + 1)et+1 = (t + 1)ee4. Torej je w v ' ^ n! ^ n! ^ n! ^ \(n - 1)! n! I 0 0 0 1 vv ' 7 ,n torej f(x) = f(t + 1)1^! = = e + f> - 1)" + 1 Vstavis x := e + 1, pa dobis: f 2e2 3e3 4e4 \ 2e2 f 3e2 4e3 2e2 ^ (» + 2)e"+1 + + (n + i)! Torej: = l/e(/(e + 1) - e - = -1 - 2 e + (1 + e) 1. DoloCi sestavljeno izjavo, ki bo imela v pravilnostni tabeli nasledjne vrednosti: 1000011101110111 2. Pokaži, da za poljubne množiCe A, B, C, D velja: A U B U C U D = (A\B) U (B\C) U (C\D) U (D\A) U (A n B n C n D) 3. Pokaži, da za poljubne množiCe A, B, C velja: (A\B) C (A\C) U (C\B) Kdaj velja Celo enaCaj? 4. Na množiti N je definirana relatija R s predpisom (a,b) G R 5 | (3a + 2b) Ali je R ekvivalenCna relaCija? 1. Dokazi, da je 52n+i • 2n+2 + 3n+2• 22n+i deljivo z 19 pri vsakem n G N U {0}. 2. Resi neenacbo |2x — |x2 — 1| | < 1 (x G R). 3. Naj bosta /s | 3x 1 ; I x I ^ 2 (' / \ | x 1 ; x > 1 g(x) := < . n f (x) := < 0 , ^ ' \ sin x ; |x| > 2 J y ' [2 + x ; x < — 1 Poisci funkciji (g o f )(x) in (f o g)(x) in narisi njuna grafa! 4. Ali je funkcija f :(—1, 1) ^ R x x |x| — 1 (a) injektivna ? (b) surjektivna ? Ce ni injektivna, skrci definicijsko obmocje, da bo postala injektivna; ce ni surjektivna, ustrezno skrci zalogo vrednosti. Poisci tudi inverzno funkcijo od tako dobljene funkcije. 1. Dani sta množiti A in B. PoisCi resitev enaCbe A\X = B\X in X\A = X\B 2. DoloCi naravni definiCijski obmoCji funkCijama f(x) := ln \/l + tan;r g(x) := tan 1 + lnx 3. Preveri, Ce je funktija f : R2 ^ R2 (x,y) ^ (x2 — y2, 2xy) injektivna ož. surjektivna. 4. PoisCi osnovno periodo funktije f(t) := 3 +sin t - ^sin21. 1. Resi sistem neenacb |x + 2| + |y — 2| < 3 |x| + |y| < 2 2. Poisci infimum, supremum, minimum in maksimum množice 3. Poisci vse resitve neenacbe 15 (—1 + x) <-43 +15 ar x2 + 2x 4. Stevilo, ki ima v petiskem sistemu zapis n = 123+0(12340) zapisi v enajstiskem. (Stevke, ki so znotraj oklepaja, se periodicno ponavljajo. Za zapis znaka 10 v enajstiskem sistemu uporabi 'a'.) v. domača naloga pri predmetu analiza i 1. Pokaži, da ima množiCa M := {x G R; x3 < 3} supremum, ki ga ožnaCimo ž s. Nato preveri, da s resi enaCbo x3 = 3. 2. Naj bodo a, b, c, d G C, in |c| = |d|. Pokaži, da velja neenakost |a| — |b| |c| + |d| < a + b c + d < |a| + |b| |c| — |d| 3. Pokaži, da je 4. Kateri množiti je enaka 1 ~7f ^ V7" (n G N) i=1 IJ (x, 2x] A := Q n [0,1] ceA n 1. S pomocjo matematicne indukcije pokaži veljavnost formule n(n + 1)(n + 2)(n + 3) J]k(k + 1)(k + 2) k=l 2. Poisci vsa kompleksna števila, ki zadostijo enacbi z2 3. Poisci množico tock v kompleksni ravnini, ki zadoscajo enacbi z + 2~ = 4. Razstavi polinom x4 + 1 na produkt kvadratnih in linearnih polinomov s koeficienti v obsegu realnih stevil. 1. Poisci limito v odvisnosti od a G R 1 + a + a2 +-----+ an lim -1-1-t 1 4 1 16 1 1 4" 2. Poisci naravno definicijsko obmocje funkcijama f(x) := ln \/l + tan;r g(x) := tan vT+lmr, ce ves, da je ln : (0, to) — R. 3. Preveri, ce za naravna stevila n velja trditev n1 -< > - 2(v/"~+T — 1) 2n 5. Funkcija f : C\{1} ^ C je podana s predpisom z2 ><--> = — Poisci vsa kompleksna stevila z, za katera je f (z) e R. 6. Poi s c i vsa kompleksna s tevila z, za katera je 3 \ z \ z2 4 1. Preveri, Ce vrsta konvergira. 2. Pokaži, da vrsta y/n(n + 1) n E n=1 n3 konvergira, in ižraCunaj koliko Clenov moramo sesteti, in na koliko deCimalk moramo žaokroževati delne režultate, da bi jo ižraCunali na pet deCimalk. 3. IžraCunaj limiti lim x 4. IžraCunaj limiti 5. Dana je funkCija ■\Jx + \f~x + v^ x — sin 2x lim- x + sin 3x lim (yX + v^l — x3^j lim >i 1 - Jx f : R\{ —1,1}- R; x x 1 + |x| PoisCi žalogo vrednosti Zf, preveri, Ce je injektivna, in Ce je, poisCi inverž g 1, kjer je g : R\{ —1,1} — Zf funkCija ž istim predpisom kot f. 6. Rekurživno je podano žaporedje x1 := 1; xn+1 3 n S pomoCjo indukCije pokaži, da je —|xn| < 16 16 < | xn|; (tj. |xn+1| < |xn|) in |xn| < 5. Pokaži, daje žaporedje alternirajo Ce (torej so lihi Cleni žaporedja poži-tivni, sodi pa negativni). 1 1 x—»oc —> 1. Ali lahko poi s č e s realno s tevilo a, da bo funkčija f (x) := ( 3.T-4 . < 1 v —2+3.T / ' — povsod zvezna? 2. Dana je funkčija sin(.T— 1) _ f(x) := X cos —. x sičer Poi s či njeno definičijsko obmo čje; v to čkah, kjer ni definirana ji dodeli take vrednosti, da bo postala zvezna na čelotni realni osi, nato pa izra čunaj odvod tako dobljene funkčije. 3. Ali je funkčija /o; x = o f (x) := s .1 . x sin - sicer x zvezna v to čki 0? Poi s či tudi njene ni čle in skičiraj njen graf. 4. Izračunaj limito lini Vx2 + 1 — \Jx2 — 4:X 5. Izrač unaj limito 1 — čos 2x lim- x^o x sin x brez uporabe L'Hospitalovega pravila! 6. Izračunaj odvod funkčije f(x) := x(xX). 1. Napi s i ena cbo tangente in normale za krivuljo y = ln(cos x) v tocki x = 0. 2. Dokaz i da gredo vse normale krivulje 2at a(1 — t2) x=--, y = —-(a > 0) 1 + t2 y 1 + t2 v ; skozi isto tocko. Katera je ta skupna tocka? 3. Poi s c i tisti pravokotnik, ki ima pri danem obsegu najve cjo plo s cino (tj. obseg pravo-kotnika je konstantno enak o). 4. Doloci definicijsko obmocje, asimptote, ekstreme, konveksnost oz. konkavnost in cim natancneje nari si funkcijo _ i y = xe ^ 5. Izrac unaj kot, pod katerim se sekajo parabola y = x2 in premica z enac bo 3x —y = a; v posebnem, ko je a = 2. 6. Izra cunaj ekstreme funkcije x arcsin x + VT x2 na njenem naravnem definicijskem obmo cju. 7. Izra cunaj vsoto vrste f^-l)' k 3 3 f (x) := x 1 Poi s c i funkciji (g o f )(x) in (f o g)(x)! 4. Ali je funkcija f :(—1, 1) x R x |x| — 1 ; x > —1 ; x < —1 (a) injektivna ? (b) surjektivna ? Ce ni injektivna, skrci definicijsko obmocje, da bo postala injektivna; ce ni surjek-tivna, ustrezno skrci zalogo vrednosti. Poi s ci tudi inverzno funkcijo od tako dobljene funkcije. —> 1. Dokaž i, da je 5n + 2n+1 deljivo s 3 pri vsakem n G N. 2. Re s i neena Cbo |2x — |x2 — 1| | < 1 (x G R). 3. Naj bo f(x) := ln + \Jx2 — 4 Poišči funkcijo (/ o /)! Pri katerih vrednostih x je f definirana? 4. Ali je funktija f :(—1, 1) - R x x x2 — 1 (a) injektivna ? (b) surjektivna ? Ce je odgovor na obe vpras anji pritrdilen, poi s Ci tudi njej inveržno funkCjo. 1. Poi s ci limito 1 + a + a2 + a3 +-----+ an lim , , ™ 1 + i + ii + 2. Doloci definicijski obmocji funkcijama f(x) := ln v^ + tan x i" (|a| < 1). g(x) := tan \/l + ln x 3. Definirajmo zaporedji an := sin n b„ 2n - 3 5n + 2 Za vsako zaporedje posebej odgovori: Ali je monotono? Omejeno? Dolo ci stekali s ca in limito, ce obstaja! 4. Poi s ci osnovno periodo funkcije /(t) := 3 + sin t. — - sin 21. 1. Ali lahko poi s Ce s realno stevilo a, da bo funkCija ( 3.t-4 a v^ . ^ i v —2+3.t / ' — . 3. _ . Jax ■ a fi.r) : , J y J 1 sin(x-1) —-——-; sicer x—1 ' povsod žvežna? 2. Poi s Ci to Cke nežvežnosti ža funkCijo 1 + e^ 3. Izračunaj limito lim \Ar2 + 1 — Vx2 — Ax 4. Ižra Cunaj limito .. 1 — cos 2x lim- x^o x sin x brež uporabe L'Hospitalovega pravila! 1. Izra cunaj lim \ x + \/x + vx — v x 2. Poi s ci to cke nezveznosti za funkcijo /(*) := 1 1 + e* 3. Izračunaj limito lim \Ar2 + 1 — \Ar2 — >oo 4. Izra cunaj limito .. 1 — cos 2x iim- x sin x brez uporabe L'Hospitalovega pravila! 1. Dokaz i, da je funkčija f (x) := čos(x) enakomerno zvezna na čeli realni osi. 2. Ali je funkčija zvezna v to čki 0? Poi s či tudi njene ni čle in skičiraj njen graf. 3. Nari si parametri čno podano funkčijo x(t):= e4 y(t):=log t2. 4. Podana je funkčija v polarni obliki r := 2 sin 20. Dolo či njene ni čle, definičijsko območje, zalogo vrednosti in jo nari si. 3. Nari si parametri cno podano funkcijo x(t):= e4 y(t):=log t2. 4. Podana je funkcija v polarni obliki r := 2 sin 20. Dolo ci njene ni cle, definicijsko obmocje, zalogo vrednosti in jo nari si. 1. Dana je funkcija Ali lahko dolocis a, da bo funkcija povsod zvezna? 2. Dolo ci osnovno periodo, poi s ci ni cle in nari si funkcijo 1 cos x + - cos 2x 2 v. domača naloga pri predmetu analiza i 1. Izrač unaj odvod funkčije 2. Dokaz i, da funkčija f(x) := x(x*). y ._ e5'T + 2 ustreza ena čbi v'" — 13y' — 12y = 0. 3. Poišči za funkcijo, podano parametrično x = e-t čost y = e-t sin t 4. Dana je funkčija f(x) := x cos —. x Poi s či njeno definičijsko obmo čje; v to čkah, kjer ni definirana ji dodeli take vrednosti, da bo postala zvezna na čelotni realni osi, nato pa izra čunaj odvod tako dobljene funkčije. 1. Izra cunaj odvod funkcije f (x) := (xx)x . 2. Dokaz i, da funkcija _ e5x + 2 y e.T ustreza ena cbi Vm — 13y' — 12y = 0. 3. Poišči ^ za funkcijo, podano parametrično x = e-t cost y = e-t sin t 4. V katerih točkah ima funkcija y := \/sin x navpi cne tangente? 1. Napi s i ena Cbo tangente in normale ža krivuljo y = ln(Cos x) v toCki x = 0. 2. Dokaž i da gredo vse normale krivulje 2at a(1 — t2) * = -o) V =-a (a > 0) 1 +12 y 1 +12 K ' skoži isto toCko. Katera je ta skupna toCka? 3. Poi s C i tisti pravokotnik, ki ima pri danem obsegu najve Cjo plo s Cino (tj. obseg pravo-kotnika je konstantno enak o). 4. DoloCi definiCijsko obmoCje, asimptote, ekstreme, konveksnost ož. konkavnost in Cim natanCneje nari si funkdjo _ i y = xe ^ 1. Napi s i ena cbo tangente in normale za krivuljo y = ln(cos x) v to cki x = 0. 2. Razstavi stevilo 10 na vsoto dveh stevil tako, da bo njun produkt maksimalen. 3. Poi s ci prvih pet od nič različnih clenov Taylorjeve vrste za funkcijo 22 y = x ln x. (Razvijamo ga v okolici to cke 1.) 4. Doloci definicijsko obmocje, asimptote, ekstreme, konveksnost oz. konkavnost in cim natancneje nari si funkcijo 5 — x V = 9^2 1. Pokaz i, da je za vsako naravno stevilo izjava (po 4 Pl) 4 4 P2) 4 (• ■ ■ ((Pn— 1 4 Pn) 4 (po 4 Pn)) " ' ) ^ tavtologija. 2. Pokaz i, da za poljubne mnoz ice A, B, C, D velja: A U B U C U D = (A\B) U (B\C) U (C\D) U (D\A) U (A n B n C n D) 3. Pokaz i, da za poljubne mnoz ice A, B, C velja: (A\B) C (A\C) U (C\B) Kdaj velja celo ena c aj? 4. Dane so mnozice A,B,C. Resi sistem enacb (tj. kdaj je sistem re sljiv, in ce je re s ljiv, koliko in katere re s itve ima?) A\X = X\B X\A = C\X 5. Na mnoz ici N je definirana relacija R s predpisom (a, b) G R 5 | (3a + 2b) Ali je R ekvivalen cna relacija? 1. Dokaz i, da je 52n+1 ■ 2n+2 + 3n+2■ 22n+1 deljivo z 19 pri vsakem n G N U {0}. 2. Re s i neena čbo |2x — |x2 — 1| | < 1 (x G R). 3. Naj bosta /s | 3x 1 ; I x I ^ 2 (' / \ | x 1 ; x > 1 g(x) := < . n f (x) := < 0 , ^ [sin x ; |x| > 2 J y ' [2 + x ; x < — 1 Poi s či funkčiji (g o f )(x) in (f o g)(x) in nari si njuna grafa! 4. Naj bosta 3x 1 ; x 2 x2 1 ; x > 1 g(x) := < . n f (x) := < 0 , ^ ' \ sin x ; |x| > 2 J y ' [2 + x ; x < — 1 Poi s či funkčiji (g o g)(x) in (f ■ g)(x) in nari si njuna grafa! 5. Ali je funkčija f :(—1, 1) ^ R x x i- |x| — 1 (a) injektivna ? (b) surjektivna ? Ce ni injektivna, skrči definičijsko območje, da bo postala injektivna; ce ni surjektivna, ustrezno skrči zalogo vrednosti. Poi s či tudi inverzno funkčijo od tako dobljene funkčije. 1. Preveri, ce sta funkciji f, g : R — R, definirani s predpisom sin(x); / : x ^ { x G [—n/2,n/2] x > 7r/2 g : x x + n/2 — 1; x < —n/2 x + |x| bijekciji, in ce sta, jima poi s c i inverze. 2. Dolo ci naravni definicijski obmo cji funkcijama f(x) := ln \/l + tanrr g(x) := tan 1 + lnx 3. Preveri, ce je funkcija R2 f : R2 (x,y) — (x2 — y2, 2xy) injektivna oz. surjektivna. 4. Poi s ci osnovno periodo funkcije f(t) := 3 +sin t - - sin 21. 5. Poisci najvecjo podmnozico v R, da bo zozitev funkcije f : R — R, definirane s predpisom . 3 x ; |x| ^ 1 f : x — S 2 . N' sicer injektivna. Skrci tudi mnoz ico R, da bo surjektivna in poi s ci inverz dobljene funk- 1. Pokaž i, daje 11 1 H—t= + • • • H—1= > \/n, s/l s/2 s/Tl 2. Pokaž i, da je arccos(j^r) = |2arctan;r| 3. Re si sistem neena Cb |x + 2| + |y — 2| < 3 |x| + |y| < 2 4. Poi s C i vse re s itve neenaC be 15 (—1 + x) x2 + 2x 5. Stevilo, ki ima v peti skem sistemu žapis n = 12310(12340) žapisi v enajsti skem. (Stevke, ki so žnotraj oklepaja, se periodiCno ponavljajo. Za žapis žnaka 10 v enajsti skem sistemu uporabi 'a'.) 1. Pokaz i, da ima mnoz ica M := {x G R; x3 < 3} supremum, ki ga oznacimo z s. Nato preveri, da s resi enacbo x3 = 3. 2. Naj bodo a, b, c, d G C, in |c| = |d|. Pokazi, da velja neenakost |a| — |b| |d| < a + b c + d < |a| + |b| |c| — |d| 3. Pokaži, daje cos(-f) 4. Pokaži, daje sin(?) 1+V5 . Nato izračunaj še cos(fcf) za k G Z. ' b-VB Nato izračunaj še sin(fc?) za k G Z. 5. Pokazi, da med poljubnima dvema razli cnima realnima steviloma lezi vsaj eno iracionalno. 6. Razbij polinom x5 + 1 na produkt samih linearnih in kvadratnih polinomov. c 4 2 2 1. S pomocjo matematicne indukcije pokazi veljavnost formule ŽA-(A-+l)(A- + 2) = "(" + 1)("4+2"" + 3) k=1 2. Izrac unaj n sin k9 k=i 3. Poisci mnozico tock v kompleksni ravnini, ki zadoscajo enacbi z + 23 = |z| 4. Denimo, da je Z17 = 1, in Z =1. Pokazi, da je za vsako naravno stevilo k, ki ni deljivo s 17 izpolnjeno: 1 + Zk + Z2k + ■ ■ ■ + Z16k = 0 5. Pokaz i, da za vsako naravno stevilo n obstaja polinom pn z realnimi koeficienti, da je n cos n9 = pn(tan 9) ■ cosn 9 6. Pokaz i, da je polinom z2n + zn + 1 deljiv s polinomom z2 + z + 1 natanko tedaj, ko naravno stevilo n ni deljivo s 3. 1. Poi s C i limito v odvisnosti od a G R 1 + a + a2 +-----+ an lim -1-1-t 1 4 1 16 1 1 4" 2. Poi s C i naravno definidjsko obmo Cje funkdjama f(x) := ln s/l + tan;r g(x) := tan vT+lmr, Ce ve s , da je ln : (0, to) — R. 3. Preveri, Ce ža naravna stevila n velja trditev n1 -< > - 2(v/"~+T — 1) n z2 5. Funkčija f : C\{1} ^ C je podana s predpisom f (z) z — 1 Poi s č i vsa kompleksna s tevila z, za katera je f (z) G R. 6. Poi s č i vsa kompleksna s tevila z, za katera je 3|z| z2 4 1 1. Preveri, ce vrsta konvergira. 2. Pokaz i, da vrsta y/n(n + 1) n E4 ' n3 n= 1 konvergira, in izrac unaj koliko c lenov moramo se s teti, in na koliko decimalk moramo rezati delne rezultate, da bi jo izra cunali na pet decimalk. 3. Izrac unaj limiti lim x ■sj X + y/x + v^ lim + v^l — x3) 4. V ravnini so dane paralelne premice L1, L2, L3, kjer je L2 med L1 in L3. Razdalja med L1 in L2 je a, med L2 in L3 pa b. Pokaži da je ploščina enakostraničnega trikotnika, ki ima oglišča na teh premicah, enaka + ab + b2) 5. Dana je funkcija f : R\{ —1,1}- R; x x 1 + |x| Poi s ci zalogo vrednosti Zf, preveri, ce je injektivna, in ce je, poi s ci inverz g 1, kjer je g : R\{ —1,1} — Zf funkcija z istim predpisom kot f. 6. Rekurzivno je podano zaporedje x1 := 1; xn+1 x3 _ n — n 16 S pomočjo indukcije pokaži, da je —< < (tj. < in |xn| < 5. Pokazi, daje zaporedje alternirajo ce (torej so lihi cleni zaporedja pozitivni, sodi pa negativni). 1 x—»oc 1. Ali lahko poi s c e s realno s tevilo a, da bo funkcija r / 3.T-4 0) zados č a Leibnitzevemu pogoju, torej K+1I < K|; lim |an| = 0. Pokaz i, da je N S ^ ( —1) — 1)nan n=1 < |an+1|. 2. Poi s či kot, pod katerim se sekata impličitno podani krivulji 2 2 2 7,2 xy = a ; x — y = b 3. Pokazi, da se tangenta na krivuljo xy = a2 le-te dotakne v točki, ki razpolavlja odsek te tangente med koordinatnima osema. 4. Dokaz i da gredo vse normale krivulje 2at a(1 — t2) X = TTT21 y = ~i~T¥~ (a>0) skozi isto točko. Katera je ta skupna točka? 5. Poi s č i tisti pravokotnik, ki ima pri danem obsegu najve čjo plo s čino (tj. obseg pravo-kotnika je konstantno enak o). 6. Dolo či definičijsko obmo čje, asimptote, ekstreme, konveksnost oz. konkavnost in čim natančneje nari si funkčijo _ 1 y = xe ^ 7. Izrač unaj kot, pod katerim se sekajo parabola y = x2 in premiča z enač bo 3x —y = a; v posebnem, ko je a = 2. 8. Izrač unaj ekstreme funkčije x arčsin x + VT x2 na njenem naravnem definičijskem obmo čju. 9. IžraC unaj vsoto vrste vM-i)* 3i! i= 1 na pet deCimalk natanCno; dolo Ci tudi, na koliko deCimalk je potrebno režati delne režultate (delamo v fiksni detimalni vejiti ž režanjem odve Cnih deCimalk). 1. Pokaži, da lahko funktijo x — e 1/x2 definiramo v toCki x = 0 tako, da bo postala žvežna in dvakrat žvežno odvedljiva. IžraC unaj, koliko je f '(0). 2. Po krož niCi K^(—1, 0), 1) s sredi s Cem v to Cki T1(—1, 0), polmera 1 kroži kolesar v požitivni smeri s konstantno hitrostjo. Z isto hitrostjo in v isti smeri kroži drugi kolesar po krožniti K2((—1, 0), 1); ko je prvi kolesar v toCki (0, 0), je drugi v toCki (1, —1). PoisCi najveCjo in najmanj so medsebojno raždaljo med kolesarjema. 3. ToCkasto telo se giblje po koordinatni ravnini ž enakomerno hitrostjo v1, kadar je x > 0 in ž enakomerno hitrostjo v2, C e je x < 0. Po kaks ni poti bo najhitreje pri slo iž to Cke T1(a, 0) do toCke T2(b, c), kjer je a > 0 ter b < 0? 4. Preveri, da lahko funkcijo ^^ definiramo v točki x = 0, da bo postala zvezna. Poišči tudi (če obstajajata) prva dva neničelna odvoda dobljene razširitve pri x = 0. 5. Odvajaj funkciji yi(x) := |;r| ter y2(;r) := Kolikokrat staodvedljivi na celotni realni osi? 6. Koliko je od funkcije f(x) := ^zf^gr? 7. Preveri, da je ža vsako naravno s tevilo n ižjava (Po ^ P1) ^ ^(p1 ^ P2) ^ (• ■ ■ ((Pn-1 ^ pn) ^ (Po ^ Pn)) ' ' ' ) tavtologija. 8. Ižra Cunaj plo s Cino lika, omejenega s krivuljami t = x2; y = 2x- 9. Koliko meri plos Cina asteroide ž enaCbo y2/3 + x2/3 = a2/3 Nasvet: v integral uvedi novo substitucijo x2/3 := t. Nato uporabi izrek Cebiseva, ki ga najdeš v BronStejn—Semendjajevem priročniku na strani 396. 1. Pokaz i, da so za vsako naravno s tevilo izjave A1 := (po ^ £1) ^ (Po ^ P1) (i) A2 := (po ^ P1) ^ ((p1 ^ P2) ^ (Po ^ P2)) An := (po ^ P1) ^ ^(P1 ^ P2) ^ ■ ■ ((Pn-1 ^ Pn) ^ (po ^ Pn)) ' ' ' (n) tavtologije. 2. Preveri veljavnost naslednjega sklepa. „Ce delam, imam denar. Ce lenarim, sem zadovoljen. Ce delam, nisem zadovoljen, ce pa lenarim, nimam denarja. No, lahko le delam, ali pa lenarim. Torej: Zadovoljen sem ce in samo ce sem brez denarja." 3. Doloci sestavljeno izjavo, ki bo imela v pravilnostni tabeli nasledne vrednosti: 1000011101110111 4. Pokaz i, da za poljubne mnoz ice A, B, C, D velja: A U B U C U D = (A\B) U (B\C) U (C\D) U (D\A) u (A n B n C n D) 5. Pokaz i, da za poljubne mnoz ice A, B, C velja: (A\B) C (A\C) U (C\B) Kdaj velja celo ena c aj? 6. Dane so mnozice A,B,C. Resi sistem enacb (tj. kdaj je sistem re sljiv, in ce je re s ljiv, koliko in katere re s itve ima?) A\X = X\B X\A = C\X 7. Bodi A := {r G Q; 0 < r < \/2}. Poišči množici [—r, r] ter f^i—r, r]. reA reA Mogo če ni odve č pripomniti, da je potrebno utemeljiti vsak korak ;-) 1. Stevilo S je stekališče zaporedja yOn) , ce za vsak pozitiven e in za vsako naravno stevilo N obstaja tako naravno stevilo n > N, da je |an — S| < e. Napi si to izjavo z logi cnimi simboli, nato napi si negacijo te izjave, in jo spremeni v logi cno ekvivalentno obliko, kjer negacije stojijo le neposredno pred predikati. Koncno povej z besedami, kdaj S ni stekališče zaporedja (ar, 2. Mnozica Q C X x Y je pravokotnik, ce je oblike Q = A x B kjer je A C X in B C Y. Denimo, da sta Q1 = A1 x B1 in = A2 x B2 dve taksni mnozici. Pokazi, da je pravokotnik tudi Q1 H Q2. Preveri se, da lahko razliko Q1\Q2 zapisemo kot unijo najvec dveh pravokotnikov. (Precej ti bo pomagala primerna skica!) 3. Naj bo A := {(x,y) G R2; y = —x}. Definirajmo druz ino mnoz ic B(a,b) := {(x,y) G R2; (x — a)2 + (y — b)2 = 1}. Poi s ci mnoz ic^(a b)eA B^). 4. Naj bosta 3x — 1 ; |x| < 2 g(x) := sin x ; | x| > 2 f(x) : x2 — 1 ; x > — 1 2 + x ; x < —1 Poi s ci funkciji (g o f )(x) in (f o g)(x) in nari si njuna grafa! 5. Naj bosta 3x — 1 ; |x|< 2 , ( x2 — 1 ; x> —1 g(x) := f(x) : sin x ; |x| > 2 1 2 + x ; x < —1 Poi s ci funkciji (g o g)(x) in (f o g)(x) in nari si njuna grafa! 6. Poi s ci (f o f)(x), ce je f : R ^ R definirana s predpisom f(x) : |J|-i' ^ 2; x = 1 0; x = 1 7. Ali je funkčija f :(—1, 1) ^ R x x i- |x| — 1 (a) injektivna? (b) surjektivna? Ce ni injektivna, skrči domeno, da bo postala injektivna; ce ni surjektivna, ustrezno skrči kodomeno. Poi s či tudi inverzno funkčijo od tako dobljene funkčije. 1. Preveri, če sta funkčiji f, g : R — R, definirani s predpisom sin(x); / : x ,_, <( x G [—n/2,n/2] x > 7r/2 g : x x + n/2 — 1; x < —n/2 x + |x| bijekčiji, in če sta, jima poi s č i inverze. 2. Dolo či naravni definičijski obmo čji funkčijama f(x) := ln \/l + tanrr g(x) := tan 1 + lnx 3. Preveri, č e je funkčija R2 f : R2 (x,y) — (x2 — y2, 2xy) injektivna oz. surjektivna. 4. Poi s či osnovno periodo funkčije f(t) := 3 +sin t - - sin 21. 5. Poisči največjo podmnozičo v R, da bo zozitev funkčije f : R — R, definirane s predpisom . 3 x ; |x| ^ 1 f : x — S 2 . N' sičer injektivna. Skrči tudi mnoz ičo R, da bo surjektivna in poi s či inverz dobljene funk- 1. Poi s ci neskon cno unijo in presek u b(«,č) n B(«^), Pri cemer je indeksna mnozica A := {(a, P) G R2; a2 + P2 = 9}, ter so B(«^) := j(x,y) G R2; a (x - a) = P (P - y) A fa--, & < x < a + —FJ=) A (b--. a < y < b + , a ) 1 v Va2 + b2 - - Va2 + b2J V Va2 + 62 ~ Va2 + 62^ J tangente na kroznico A v to cki (a, P) dolzine 2. 2. Dani sta mnoz ici A,B. Ugotovi, kdaj je sistem enacb re sljiv, in poi s ci vse resitve X n A = A; X n A = X n B; XUA=AnB 3. Dani sta preslikavi f, g : {1, 2, 3, 4, 5, 6} — {1, 2, 3, 4, 5, 6} f = f 123456 N = f 123456 N f = ^263141; g \ 6 4 6 2 1 3 j Poisci vse mozne preslikave h : {1, 2, 3, 4, 5, 6} — {1, 2, 3, 4, 5, 6}, da bo f o h = g. Poi s ci tudi vse take, da bo h o f = g. (Opomba: Tabela pomeni, da se s tevilo iz gornje vrstice preslika v s tevilo iz spodnje vrstice; npr. f (1) = 2 in f (6) = 1.) 4. Dani sta preslikavi f, g : 1, 2, 3, 4, 5, 6 — 1, 2, 3, 4, 5, 6 f = f 123456 \ = f 123456 \ f = 2 6 3 1 4 1 g = 6 4 6 2 1 3 Poi s ci vse mozne preslikave h : 1, 2, 3, 4, 5, 6 — 1, 2, 3, 4, 5, 6, da bo g o h = f. Poi s ci tudi vse take, da bo h o g = f. 5. Pokaz i, da je Kdaj velja enac aj? 6. Pokaz i, da je Kdaj velja enac aj? (A\B) x C C (A x C) \ (B x D). (A\B) x (C\D) C (A x C) \ (B x D). 1. Pokaži, da je f(x) := arcsin^^- = 7r — 2arctan;r, če je x > 1. Nato na podoben na Cin dolo Ci se ostale vrednosti funkCije f. 2. V anketi je sodelovalo 100 dijakov. Iž njihovih odgvorov žvemo, da jih 32 žanima sport 20 žanima glasba 45 žanima tehnika 15 žanimata sport in glasba 7 žanimata sport in tehnika 9 žanimata glasba in tehnika, ter 31 ne žanima niC, kar se sporta, glasbe ali tehnike ti Ce. DoloCi stevilo dijakov, ki jih žanima natanko ena od teh dejavnosti, torej sport, glasba in tehnika. 3. Koliko je med lihimi stevili od 1 do n takih, ki so hkrati popolni kvadrati (torej so oblike k2 ža nek k G N), in niso deljiva s 5. 4. Naj bo I := (0,1). Pokaži, da je kvadrat, tj. I x I enako moCna množiCa ž njegovo straniCo, tj. 5. Naj bo f : (—1,1) — R definirana ž SkrCi kodomeno, da bo postala surjektivna, in poisCi inverž, Ce obstaja. 1. Pokaz i, da ima mnoz ica M := {x G R; x3 < 3} supremum, ki ga oznacimo z s. Nato preveri, da s resi enacbo x3 = 3. 2. Pokaz i, da ima mnoz ica M := {x G R; x3 > 3} infimum, ki ga oznacimo z i. Nato preveri, da i resi enacbo x3 = 3. 3. Poi s ci vse re sitve enacbe sin |x + y| = cos |x — y|. 4. Preveri, da je za poljubni naravni stevili a, n stevilo (a4ra+1 — a) deljivo s 30. 5. Pokaz i, da med poljubnima dvema razli c nima realnima s teviloma lez i vsaj eno racionalno. 6. Pokazi, da med poljubnima dvema razli cnima realnima steviloma lezi vsaj eno iracionalno. 1. S pomocjo matematicne indukcije pokazi veljavnost formule ŽA-(A-+l)(A- + 2) = "(" + 1)("4+2"" + 3) k=1 2. Izrac unaj n sin k9 k=1 3. Poisci mnozico tock v kompleksni ravnini, ki zadoscajo enacbi z + 23 = |z| 4. Denimo, da je Z17 = 1, in Z =1. Pokazi, da je za vsako naravno stevilo k, ki ni deljivo s 17 izpolnjeno: 1 + Zk + Z2k + ■ ■ ■ + Z16k = 0 5. Pokaz i, da za vsako naravno stevilo n obstaja polinom pn z realnimi koeficienti, da je n cos n9 = pn(tan 9) ■ cosn 9 6. Pokaz i, da je polinom z2n + zn + 1 deljiv s polinomom z2 + z + 1 natanko tedaj, ko naravno stevilo n ni deljivo s 3. 1. Ali je f : R2\{(0, 0)} — R2\{(0, 0)}, ki (x tji i_^ f x ^ injektivna? 2. Ali je f : R2\{(0,0)} — R2\{(0,0)}, ki (x u*) i_^ ( x ^ surjektivna? 3. S pomočjo matematične indukčije pokazi veljavnost neenačbe n\ < ; (n! = 1 • 2 • 3 • • • (n - l)n). kjer je n G N. (Nasvet: Mogoče ti bo koristila formula 2nn < (1 + n)n, ki jo preveri s z binomskim izrekom.) 4. S pomočjo matematične indukčije pokazi veljavnost formule ŽA-(A-+l)(A- + 2) = "(" + 1)("4+2"" + 3) k=1 5. Za katere vrednosti parametra A je funkčija f (x) := (A2 — A — 2)x2 + 2Ax =1 vedno pozitivna? 6. Poi s č i vse re s itve ena čb ci) Jx-\ + \Jx+ \ = 2 b) \Jx + 2 + \J?yx — 2 = 4 c) 2x+^2x2 + x- 1 = 1 1. Ižra Cunaj n sin k9 k=1 2. PoisCi množiCo toCk v kompleksni ravnini, ki žadosCajo enaCbi z + 23 = |z| 3. Denimo, da je Z17 = 1, in Z =1. Pokaži, da je ža vsako naravno stevilo k, ki ni deljivo s 17 ižpolnjeno: 1 + Zk + Z2k + ■ ■ ■ + Z16k = 0 4. Pokaž i, da ža vsako naravno s tevilo n obstaja polinom pn ž realnimi koefitienti, da je n cos n9 = pn(tan 9) ■ Cosn 9 5. Pokaž i, da je polinom z2n + zn + 1 deljiv s polinomom z2 + z + 1 natanko tedaj, ko naravno stevilo n ni deljivo s 3. 1. Zapi si prvih pet clenov zaporedja, pokazi, da je zaporedje monotono in navzgor omejeno, ter izra cunaj limito ct-i '■— 1; Q>n+i '■— v2cin 2. Poi s ci limito zaporedja 1 1 1 1 Cln ■= ~—7 + ^ + --7 H-----1- 2 ■ 1 3 ■ 2 4 ■ 3 n(n - 1) 3. Poi s ci limiti (n + 2)! + (n + 1)! n 3n+1 + 5n+2 hm ------lim - (n + 3)! n^^ 3n + 5n 4. Pokaz i, da za vsako naravno stevilo n velja l + + + > 2(v/"~+T — 1) 2n 5. Funkcija f : C\{1} — C je podana s predpisom z2 ><--> = — Poi s c i vsa kompleksna s tevila z, za katera je f (z) G R. 6. Poi s c i vsa kompleksna s tevila z, za katera je 3|z| z2 4 1 1. Dana je funkCija f : (—to, —1) U (1, to) — R; x x 1 + |x| PoisCi žalogo vrednosti Zf, preveri, Ce je injektivna, in Ce je, poi s C i inverž funktije g : (—to, —1) U (1, to) — Zf, ki argument slika v isto stevilo kot f. 2. Poi s C i vsa ražli Cna kompleksna s tevila z,w, da bo isto C asno p(z) = p(w), ter q(z) = q(w), kjer je p(z) = z5 + z in q(z) = z5 + z2. 3. Naj bodo a, b, c, d G C, in |c| = |d|. Pokaži, da velja neenakost |a| — |b| |d| < a+b c + d < |a| + |b| |c| — |d| 4. Pokaži, daje cos(?) 5. Pokaži, daje sin(f) 1+V5 . Nato izračunaj še cos(A:-|) za k G Z. 's-Vš -. Nato izračunaj še sin(fcf) za k G Z. 6. S pomoCjo prej snjih dveh nalog ražbij polinom x5 + 1 na produkt samih linearnih in kvadratnih polinomov. —> c 4 2 2 1. Preveri, ce vrsta konvergira. 2. Pokaz i, da vrsta y/n(n + 1) E n=1 n3 konvergira, in izrac unaj koliko c lenov moramo se s teti, in na koliko decimalk moramo rezati delne rezultate, da bi jo izra cunali na pet decimalk. 3. Izra cunaj limiti lim x ■\Jx + \f~x + v/i lim (yX + v^l — x3^j 4. V ravnini so dane paralelne premice L1, L2, L3, kjer je L2 med L1 in L3. Razdalja med L\ in L2 je a, med L2 in L3 pa b. Pokaži da je ploščina enakostraničnega trikotnika, ki ima oglišča na teh premicah, enaka a2 + ob + 62) Poišči točki 5. Rekurzivno je podano zaporedje x1 := 1; xn+1 x3 9x n S pomocjo indukcije pokazi, da je —|xn| < 16 16 < |xn|; (tj. |xn+1| < |xn|) in |xn| < 5. Pokazi, daje zaporedje alternirajo ce (torej so lihi cleni zaporedja pozitivni, sodi pa negativni). 1 x—>oc 1. Zapi si prvih pet clenov zaporedja, pokazi, da je zaporedje monotono in navzgor omejeno, ter izra cunaj limito ci\ := 1; an+1 := \J2an 2. Poi s ci limito zaporedja 1 1 1 1 dn ■= r + r + -—- H-----1- 2 ■ 1 3 ■ 2 4 ■ 3 n(n - 1) 3. Poi s ci limiti v (n + 2)! + (n + 1)! v 3n+1 + 5n+2 Iim ------lim - n (n + 3)! n 3n + 5n 4. Naj bosta z1 in z2 poljubni to c ki v kompleksni ravnini. Poi s c i to c ki z3 in z4, da bo z1, z2, z3, z4 kvadrat. 5. Pokaz i, da za vsako naravno stevilo n velja l + + + > 2(v/"~+T — 1) n 6. Funkcija f : C\{1} — C je podana s predpisom z2 ><--> = — Poi s c i vsa kompleksna s tevila z, za katera je f (z) G R. 7. Poi s ci vsa kompleksna stevila z, za katera je 3|z| z2 4 1. Ali lahko poi s C e s realno s tevilo a, da bo funkdja f (x) := sin(x—1) ——i— ; sicer X — 1 ' povsod žvežna? 2. Dana je funkCija f(x) := x cos —. x Poi s Ci njeno definitijsko obmo Cje; v to Ckah, kjer ni definirana ji dodeli take vrednosti, da bo postala žvežna na Celotni realni osi, nato pa ižraCunaj odvod tako dobljene funkCije. 3. Ali je funkCija /0; x = 0 f(x) := 1 krsm-; sicer X žvežna v to Cki 0? Poi s Ci tudi njene ni Cle in skiCiraj njen graf. 4. Ižra Cunaj limiti (a) lim \Jx2 + 1 — Vx2 — 4r, (b) lim- x—x—o x sin x brež uporabe L'Hospitalovega pravila! 5. Ižra Cunaj limiti (a) lim (-—M (b) lim cos1^ x x— 0) zados c a Leibnitzevemu pogoju, torej K+1I < K|; lim K! = 0. Pokaz i, da je N S ^(-1) -1)na n=1 < |«n+1|- 2. Poi s ci kot, pod katerim se sekata implicitno podani krivulji 2 2 2 7,2 xy = a ; x - y = b 3. Pokazi, da se tangenta na krivuljo xy = a2 le-te dotakne v tocki, ki razpolavlja odsek te tangente med koordinatnima osema. 4. Dokaz i da gredo vse normale krivulje 2at a(1 -12) X = TTT21 y = ~i~T¥~ (a>0) skozi isto tocko. Katera je ta skupna tocka? 5. Poi s c i tisti pravokotnik, ki ima pri danem obsegu najve cjo plo s cino (tj. obseg pravo-kotnika je konstantno enak o). 6. Dolo ci definicijsko obmo cje, asimptote, ekstreme, konveksnost oz. konkavnost in cim natancneje nari si funkcijo y = xe ^ i 7. Izrac unaj kot, pod katerim se sekajo parabola y = x2 in premica z enac bo 3x-y = a; v posebnem, ko je a = 2. 8. Izrac unaj ekstreme funkcije x arcsin x + VT x2 na njenem naravnem definicijskem obmo cju. 9. Izrac unaj vsoto vrste "" (-1)* E- 3i! i=1 na pet decimalk natancno; dolo ci tudi, na koliko decimalk je potrebno rezati delne rezultate (delamo v fiksni decimalni vejici z rezanjem odve cnih decimalk). xii. domača naloga pri predmetu analiza i 1. Preveri, da je vrsta konvergentna, in določi koliko členov moramo sesteti, da bi jo izračunali na pet dečimalk natančno. " 1 V- i=1 2. Ali lahko poisčes realno stevilo a, da bo funkčija f(x) := a ,t^+4.t—5 ,t3+2.t2—.t—2 sin(x-1) _ x1 sicer povsod zvezna? 3. Dana sta funkčiji x — 1; x < 0 [2 + x; x < 0 f (x) := ^ 1 — x; 0 0). 3. Zavrti krivuljo 1 y := x2 + 1 omejeno z x = ±1, y = 0 okoli abscisne osi in izrac unaj volumen dobljenega telesa. 4. Na prvem loku cikloide x := a(t - sin t) y := a(1 - cos t) poi s c i to c ko, ki deli ga deli v razmerju 1:3. 1. Ali konvergira vrsta Odgovor utemelji! 2. Izra cunaj vsoto vrste 3. Dokaz i, da integral n 1 a n=1 ^ (n + k)(n + k + l) n=0 | sin x| -dx x divergira. 4. Koliko c lenov moramo se s teti, da bi dobili vsoto ^V^TT na 6 decimalk natancno? (Opomba: najprej dokazi, da vrsta res konvergira!) DC 0 1. Ali konvergira vrsta n a" n=1 Odgovor utemelji! 2. Ižra Cunaj vsoto vrste ^ (n + k)(n + k + l) n=0 3. Dokaž i, da vrsta konvergira in jo tudi približ no ižraCunaj na dve detimalki natanCno -- (_1)n n4 n=l (Nasvet: najprej ugotovi, koliko Clenov moramo sesteti!) 4. S pomoCjo Raabejevega kriterija odloCi, ali vrsta - ^(a + l)(a + 2)---(a + n) konvergira! 1. Dano je zaporedje funkčij u„(x) := en(lnx-1). Poi s či definičijsko območje funkčije u(x) := limn^ro un(x). Ali zaporedje konvergira enakomerno na (1, e)? 2. Upoštevaj, da je = ^ in izračunaj fOO I ro ^ ^ -I- «4 ) x2 + n4 v n=1 (Nasvet: Najprej dokazi, da vrsta konvergira enakomerno.) 3. V odvisnosti od parametra a G R preu č i absolutnost, pogojnost in enakomernost konvergenče ro / \ an x x + 1 n=1 4. Razvij v Taylorjevo vrsto funkčijo f (x) := 2 sin(x2) + 3. Koliko č lenov moramo se s teti, da bi izrač unali f (1) na tri dečimalke? 0 1. Dano je zaporedje funkcij Un(x) := en(lnx-1). Poi s ci definicijsko obmocje funkcije u(x) := limn^^ un(x). Ali zaporedje konvergira enakomerno na (1, e)? 2. Upoštevaj, da je = ^ in izračunaj rtt / ^ 1 \ ^ • //' j dX' v.n=1 / (Nasvet: Najprej dokazi, da vrsta konvergira enakomerno.) 3. Poi s ci vsoto 3n 2n n=1 4. Razvij v Taylorjevo vrsto funkcijo f(x) := 2Vl - + 3. 1. Poisci ploscino lika, ki ga omejujeje krivulja z enacbo x\2 f y\2/3 5) +(f) =1 2. Poi s ci volumen telesa, ki nastane z rotacijo ploskve, omejene z y2 = x3, x =1, y = 0 okoli abscisne in okoli ordinatne osi. 3. Poi s ci plo s cino lika, ki ga omejuje krivulja 3 2x y= 2a — x na svojem naravnem definicijskem obmo cju. 4. Poi s ci dol zino loka tistega dela krivulje x V 2a — x pri katerem ordinata (y-os) lez i med 0 in a. 1. Poi s c i volumen torusa (avtomobilske zra cnice) (Nasvet: torus dobimo z rotacijo kroga polmera r s sredi s cem v to cki T(0,R); R > r.) 2. Poisci naravno definicijsko obmocje, nicle, pole, ekstreme ter asimptote krivulje 9y2 = x(3 - x)2 in jo nato nari si. Izracunaj tudi povrsino telesa, ki nastane z rotacijo krivulje okoli abscisne osi. 3. S pomocjo primerne substitucije pokaz i, da je /•n/2 fn/2 In := / sinn xdx = cosn xdx Jo Jo Nato izrazi In s pomo cjo In-1, in izra cunaj I10. 4. Naj bosta p, q G N. S pomo cjo parcialne integracije izracunaj B(p,q) := / tp-1(1 - t)q-1 o 1. Ražvij funkCijo 1/x2 v Taylorjevo vrsto reda n v okoliti to C ke x =1. 2. S pomoCjo Taylorjeve formule ižraCunaj cos 15° na s tiri detimalke natanCno. (Nasvet: Najprej s pomo Cjo formule ža ostanek ižraCunaj, koliko Clenov moramo sesteti.) 3. S pomoCjo Taylorjeve formule ižraCunaj /•1/4 / v/TT~r3 Jo na stiri deCimalke natan Cno. 4. S pomoCjo Taylorjeve formule ižraCunaj r-1 • / sin x Jo v7* na tri deCimalke natan Cno. 1. V kroz no kri zis če s sredi s čem v to čki T(0,1) polmera 1 pripelji iz česte y =1 gladko pot, ki bo često zapustila v točki T(2,1) in se na krizisče priključila v T( 1/2,^) 2. S pomočjo razvoja funkcije f(x) := l/\Jl — x v Taylorjevo vrsto izračunaj na eno dečimalko nihajni čas matemati čnega nihala pri odklonu 0o := 120°, če je dolzina enaka l := 1/16g s2; g je gravitačijski pospe sek. Torej je treba izračunati integral T/2 # . gn Jo v 1 — k2 sin2 0 3. S pomočjo aproksimacije funkcije f(x) := l/\Jl — x v točkah xo, x 1, . . . , xn s polinomom stopnje n izra čunaj na eno dečimalko nihajni č as matemati č nega nihala pri odklonu 0o := 120°, če je dolzina enaka l := 1/16g s2; g je gravitačijski pospesek. Torej je treba izra čunati integral T/2 # • e. / ■ = ; A: = sinf Jo y 1 — k2 sin2 0 1. Poi s ci kubi cni zlepek, ki gre skozi to cke T1(0, 0), T2(1,1),T3(2, 0),T4(3, -1). 2. Z metodo najmanj sih kvadratov aproksimiraj funkcijo sin(x) v to ckah x = 0, ±n/4, ±n s pomo cjo linearne kombinacije funkcij ln x,ex, 1. 3. Poi s ci sin(x2)(n)(0). 4. Interval [-1/2,1/2] razdeli na 2n enakih delov in poisci polinom stopnje 2n, ki aproksimira funkcijo f(x) := j^r na tem intervalu na 2 decimalki natančno. Zahtevamo še, da poteka skozi točke k = —n, —(n — 1),..., n — 1, n. (Nasvet: Pomagaj si s funkcijo g (t) := ki jo aproksimiraš v točkah T (j^vj, g (t^t)) •) 1. Poi s c i povr s ino, ki jo omejuje astroida x2/3 + y2/3 = a2/3; (a > 0) 2. Poi s ci povrsino med strofoido 2 x(x - a) 2 V = --; a > 0) 2a - x in njeno absciso. 3. Poi s ci povrsino avtomobilske zracnice, ki jo multinacionalka Michelin dela tako, da kro znico x2 + (y - b)2 = a2; (b > a > 0) zavrti okoli abscise. 4. Poi s ci dol zino sklenjenega dela krivulje 9ay2 = x(x - 3a)2 1. PoisCi plosCino lika, ki ga omejujeje krivulja ž enaCbo x\2 f y\2/3 5) +(f) =1 2. Poi s Ci volumen telesa, ki nastane ž rotaCijo ploskve, omejene ž y2 = x3, x =1, y = 0 okoli abscisne in okoli ordinatne osi. 3. Poi s Ci plo s Cino lika, ki ga omejuje krivulja 3 2x y= 2a — x na svojem naravnem definicijskem obmo Cju. 4. Poi s Ci dol žino loka tistega dela krivulje x V 2a — x pri katerem ordinata (y-os) lež i med 0 in a. 1. Razvij funkcijo m 1 x2 + 3x + 2 v Taylorjevo vrsto po potencah (x + 4). 2. Razvij funkcijo f (x) := (1 + ex)3 V Taylorjevo vrsto okoli to cke x = 0. 3. Razvij funkcijo f(x) := V Taylorjevo vrsto po potencah x - 4. 4. S pomocjo Simpsonove metode izracunaj integral n 2n / cos(x2) dx o na tri decimalke natan cno. 5. S pomocjo primerne substitucije pokaz i, da je /•n/2 fn/2 In := / sinn xdx = cosn xdx oo Nato izrazi In s pomo cjo In-2, in izra cunaj I10. 6. Naj bosta p, q G N. S pomo cjo parcialne integracije izracunaj r 1 1 B(p,q):= / tp-1(1 - t)q-1 o 1. Koliko C lenov Tayloreve vrste je treba vžeti, da bi ižra Cunali cos 18° na tri decimalke? Ko to ugotovi s , tudi ižra Cunaj cos 18° na tri decimalke. 2. Koliko Clenov Tayloreve vrste ža funkcijo f (x) := ln(1 + x) je treba vžeti, da bi ižra Cunali ln 2 = f (1) na tri decimalke? 3. S pomoCjo ražvoja sin x v Taylorevo vrsto okoli to Cke 0 ižraCunaj na dve deCimalki natan Cno. 4. S pomoCjo ražvoja funkcije ex/2 v Taylorevo vrsto ižraCunaj integral na tri decimalke: 1/9 1. S pomo Cjo primerne substitucije ižraC unaj direktno dolo Cena integrala (torej brež prehoda na nedolo Ceni integral). f4 dx , fln2 ,-- , / --= dx / v ex — 1 dx Jo 1 + Vx JO 2. Direktno ižraC unaj dolo Cena integrala (torej brež prehoda na nedolo Ceni integral). ^ I l-x2 , f 3 dx dx JV2/2 V X2 J1 xVx2 + 5^ + 1 3. Poi s C i konvergen Cni polmer ža vrsti OO OO > 2n x - n rx \ n n 4- 1 V 9 ) ' 2.^' 4. Poi s Ci vsoto vrste n + 1 V2/ ^ nn n=1 n=1 oo 2n 1 2n n=1 1. Poi s ci vsoto vrste ro s(x) := n(n + 1)xn-1 n=1 in izracunaj, za katere x je konvergentna. 2. Poi s ci vsoto vrste (-1)n-1 E ^ (2n - 1)3n-1 3. Razvij funkcijo f H 0-"; x=0 v Taylorjev polinom reda n = 2 okoli tocke a = 0, in natančno izračunaj pri tem storjeno napako, ce x G [0,1] (hocemo torej vedeti, pri katerem x G [0,1] je napaka najve cja, in kolik s na je). 4. S pomocjo trapezne metode izracunaj /V1^2 dx 0 na dve decimalki natan cno. 1. Razvij 1/x2 v poten c no vrsto po potencah x - 1 in poi s c i konvergen c ni interval. 2. Razvij cos2 x v poten c no vrsto po potencah x - n/4. 3. Razvij Vi + ^ po potencah 4. Poi s ci vsoto vrste (_1)r ^ (2n - 1)3n-1 7=1 v ' 1. S pomočjo interpolačijskega polinoma izračunaj integral r1/2 dx Jo v/m3 in očeni napako. Funkčijo aproksimiramo v to čkah 0,1/8,1/4,1/2. 2. S pomočjo interpolačijskega polinoma izračunaj integral / čos x2 dx o in oceni napako. Funkcijo aproksimiramo v točkah 0, 0'2, 0'4, 0'6, \Jn/2. 3. S pomočjo interpolačijskega polinoma izračunaj integral / sin x2 dx o in oceni napako. Funkcijo aproksimiramo v točkah 0, 0'2, 0'4, 0'6, \A"/2 4. S pomočjo interpolačijskega polinoma izračunaj integral f1 2 / ex dx o in očeni napako. Funkčijo aproksimiramo v to čkah 0, 0^3, 0^6, 0^9,1. 3 Analiza I in II — teoretične naloge Domače naloge iz teorije pri predmetu Analiza I — temelji analize (2008-2009) 1. Slika 1: Zgornji trikotnik smo razdelili na 4 like, in jih premaknili, da smo dobili spodnji trikotnik. Ploscine naj bi se pri premikih ohranjale. Toda kljub vsemu ima spodnji trikotnik ve cjo plo s c ino kot zgornji (saj je v njemu en dodatni kvadratek). Zakaj plo s cini nista enaki? 2. Ali za mnoz ice A, B, C in D vedno velja, da je (A x B) U (C x D) C (A U C) x (B U D)? Kdaj pa velja celo enakost? 3. Pokaz i, da ima v mnozici realnih stevil vsaka navdol omejena neprazna podmnoz ica Q C R infimum (tj. najve cjo moz no spodnjo mejo). Nasvet: Bodi S := {s G R; s je spodnja meja Q}. Pokaz i, daje (i) S navzgor omejena, neprazna (torej ima po Dedekindovem aksiomu supremum), in (ii) da je sup S = inf Q. 4. Preveri, da je n-ti clen Fibonaccijvega zaporedja a1 = 1 = a2 an+1 an + an-1 podan s formulo . _ - (i (1 - v/5))" + (1 + n n