OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ.    LJUBLJANA    LETNIK 58    ŠT. 1    STR. 1–40    JANUAR 2011
C  KM Y 
2011
Letnik 58
1
i
i
“kolofon” — 2011/3/14 — 12:42 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JANUAR 2011, letnik 58, številka 1, strani 1–40
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Marko Petkovšek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Dreven-
šek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter
Šemrl, Vladimir Bensa (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re-
publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2011 DMFA Slovenije – 1825 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
BASELSKI PROBLEM
ALEKSANDER SIMONIČ
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A99, 40-03, 40A25
V članku obravnavamo Eulerjev pristop k reševanju baselskega problema. Podrob-
neje je predstavljena njegova prva rešitev, v nadaljevanju članka pa sledi opis kasneǰsega
dopolnjevanja dokaza.
THE BASEL PROBLEM
The article discusses Euler’s method of solving the Basel problem. While the first
part of the article presents his first solution in detail, the rest of the article describes how
the proof was later completed.
Uvod
Z neskončnimi vrstami se je srečal že starogrški matematik Arhimed (287–
212 pr. n. št.) pri kvadraturi odseka parabole in tako dokazal konvergenco
geometrijske vrste
∞∑
n=1
1
4n
=
1
3
.
Prav tako je ena prvih preučevanih vrst harmonična vrsta
∞∑
n=1
1
n
,
za katero je najzgodneǰsi dokaz divergence v 14. stoletju podal Francoz Ni-
cole Oresme (1323–1382).
Za obdobje pravega razmaha raziskovanja neskončnih vrst pa štejemo
17. stoletje. V tem času so matematiki odkrili logaritme in za natančno
računanje so potrebovali natančne tabele. Logaritemsko funkcijo so razvili
v potenčno vrsto, ki ji danes pravimo Taylorjeva (Brook Taylor (1685–
1731)), čeprav sta podobne razvoje odkrila že Nicholas Mercator (1620–
1687) in James Gregory (1638–1675). Kot primer takšne vrste se pogosto
navaja
ln(1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+ · · · , (1)
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
s konvergenčnim območjem (−1, 1].
Okoli leta 1650 se je Pietro Mengoli (1625–1686) v Novae quadraturae
arithmeticae ukvarjal z izračunom vsote vrste
∞∑
n=1
1
n2
. (2)
Problema sta se lotila tudi angleška matematika John Wallis (1616–
1703) in Henry Oldenburg (1615–1677). Wallis je v knjigi Arithmetica
infinitorum (1655) izračunal vsoto vrste (2) na tri decimalna mesta na-
tančno, Oldenburg pa je leta 1673 s problemom seznanil Gottfrieda Leib-
niza (1646–1716).
Leibniz se je v tem času ukvarjal z izračunom vsote vrste
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
,
njeni členi se pojavijo v harmoničnem trikotniku1, in jo izračunal, takole:
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
=
∞∑
n=1
(
1
n
− 1
n+ 1
)
= 1 .
A problem, ki ga je odprl Mengoli, je ostal nerešen. Leibniz je za pomoč
zaprosil Jakoba Bernoullija (1654–1705), enega največjih matematikov
tistega časa.
Jakob Bernoulli je leta 1689 napisal knjigo Tractatus de seriebus infinitis,
v kateri je podrobno obravnaval nekatere neskončne vrste, med drugim tudi
vrsto (2). Najprej je pokazal, da za vsak k ≥ 1 velja
1
k2
≤ 2
k(k + 1)
.
Potem je brez zadržkov zapisal
1 +
1
22
+ · · ·+ 1
k2
+ · · · ≤ 2
1 · 2
+
2
2 · 3
+ · · ·+ 2
k(k + 1)
+ · · · = 2
in zaključil
∞∑
n=1
1
n2
≤ 2 .
1Označimo s Hi,j število v i-ti vrstici in j-tem stolpcu harmoničnega trikotnika, pri
čemer je j ≤ i. Naj velja Hi,1 = 1/i. Preostala števila generiramo z rekurzijo Hi,j −
Hi+1,j = Hi+1,j+1.
2 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 3 — #3 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
Za Jakoba Bernoullija je bil to dovolj dober argument pri dokazu konver-
gence vrste (2). Kljub uspehu pa nikakor ni znal izračunati njene vsote v
zaključeni obliki. Priznal je poraz in v Tractatus zapisal naslednji stavek:
Če kdo najde in nam pove, kar se nam je dotlej kljub naporom izmikalo,
večna mu bo naša hvaležnost.2
S tem je bila matematična javnost seznanjena s problemom, ki je danes znan
kot baselski3 problem.
Eulerjevi numerični rezultati
Ni znano, kdaj je Leonhard Euler (1707–1783) prvič izvedel za baselski
problem, dejstvo pa je, da je bil njegov zasebni učitelj matematike Johann
Bernoulli (1667–1748), Jakobov brat. Zato mnogi predvidevajo, da je prav
Johann seznanil Eulerja s problemom.
Med letoma 1727 in 1733 sta Daniel Bernoulli (1700–1782), Johan-
nov sin, in Euler delovala v Sankt Peterburgu. Verjetno sta razpravljala
tudi o tem problemu, saj je Euler v članku De summatione innumerabi-
lium progressionum4 leta 1731 opisal postopek za hitreǰsi numerični izračun
vsote vrste (2). Euler je želel izračunati vsoto na nekaj decimalnih mest na-
tančno, vendar bi moral sešteti vsaj tisoč členov, da bi bil rezultat natančen
na komaj tri decimalna mesta.
Eulerjeva metoda je bila izraziti določeni integral
I =
∫ 1
2
0
(
− ln(1− x)
x
)
dx
na dva različna načina. Pri prvem je funkcijo ln(1− x) zamenjal z vrsto (1)
in integriral
I =
∫ 1
2
0
( ∞∑
n=1
xn−1
n
)
dx =
∞∑
n=1
1
2nn2
.
Pri drugem načinu je naredil substitucijo 1− x = y in dobil
I = −
∫ 1
2
0
ln(1− x)
x
dx =
∫ 1
2
1
ln y
1− y
dy .
2[5], str. 42
3Basel, mesto v Švici in kraj, kjer je bil Tractatus napisan.
4Objavljen leta 1738 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 , str. 91–
105.
1–11 3
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 4 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
Potem je integrand razvil v vrsto, vsak člen integriral z metodo per partes
in dobil
I =
∞∑
n=1
1
n2
− (ln 2)2 −
∞∑
n=1
1
2nn2
.
Po primerjavi rezultatov obeh načinov je zapisal
∞∑
n=1
1
n2
=
∞∑
n=1
1
2n−1n2
+ (ln 2)2.
Število ln 2 je preprosto izrazil z vrsto (1) in seštel prvih dvajset členov,
torej
ln 2 = − ln
(
1− 1
2
)
=
∞∑
n=1
1
n2n
≈
20∑
n=1
1
n2n
≈ 0,6931471 ,
in nato še
∞∑
n=1
1
2n−1n2
≈
14∑
n=1
1
2n−1n2
≈ 1,1644806 .
Tako je dobil vsoto vrste na šest decimalnih mest natančno:
∞∑
n=1
1
n2
≈ 1,644934 .
Pri tej izpeljavi je lepo vidno Eulerjevo manipuliranje z izrazi, kot so vrste
in integrali. Tak način dela je postal njegova stalnica in še danes vpliva na
celotno matematiko.
Naslednjo numerično metodo je Euler opisal v članku Methodus generalis
summandi progressiones5 leta 1732. Uporabil je t. i. Eulerjevo sumacijsko
formulo
b∑
n=a
f(n) =
∫ b
a
f(x)dx+
1
2
(f(a) + f(b))
+
r∑
k=1
B2k
(2k)!
(
f (2k−1)(b)− f (2k−1)(a)
)
+
1
(2r + 1)!
∫ b
a
B2r+1(x− bxc)f (2r+1)(x)dx, (3)
5Objavljen leta 1738 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 6 , str. 68–
97.
4 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 5 — #5 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
kjer je funkcija f vsaj (2r + 1)-krat zvezno odvedljiva na intervalu [a, b],
pri čemer sta a in b celi števili, r pa je poljubno naravno število. Zadnji
integral pomeni ostanek in je bil dodan kasneje. Števila Bn se imenujejo
Bernoullijeva števila, funkcije Bn(x) pa Bernoullijevi polinomi . Dokaz for-
mule je Euler objavil leta 1735, bralec pa si lahko podrobneǰsi dokaz pogleda
v [3, str. 522]. Euler je formulo takoj začel uporabljati na najrazličneǰsih
primerih, tudi na vrsti (2). Ročno je izračunal
10∑
n=1
1
n2
=
1968329
1270080
≈ 1,549767731166540690350 .
Preostanek vrste je izračunal po (3) za a = 11, b→∞, r = 13 in dobil
∞∑
n=11
1
n2
≈
∫ ∞
11
1
x2
dx+
1
2 · 112
+
13∑
k=1
B2k
112k+1
≈ 0,095166335681685746122 ,
kar je skupaj prineslo
∞∑
n=1
1
n2
≈ 1,64493406684822643647 .
Prvi neenačaj je tam zato, ker smo izpustili ostanek sumacijske formule.
Število r je sicer poljubno, vendar vpliva na natančnost rezultata in se določi
na podlagi ocenitve ostanka (zgoraj vzeti r smo določili na tak način).
S tem je bila vsota vrste izračunana na dvajset decimalnih mest na-
tančno. Čeprav Euler še vedno ni bil zadovoljen (baselski problem je spra-
ševal po natančni vsoti), je njegova sumacijska metoda postala nepogrešljivo
orodje pri raziskovanju asimptotičnega vedenja vrst in velikih števil ter tako
posredno prispevala tudi k dokazu praštevilskega izreka6.
Rešitev
Leta 1735 je Euler našel rešitev in jo opisal v članku De summis serierum
reciprocarum7.
Eulerjeva rešitev temelji na posplošitvi Newton-Girardove formule (Isaac
Newton (1642–1727), Albert Girard (1595–1632). Naj bodo a1, a2, . . . , an
6Naj π(x) označuje število praštevil, ki ne presegajo x. Izjavo, da je
limx→∞(π(x) log x)/x = 1, imenujemo praštevilski izrek.
7Objavljen leta 1740 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7 , str. 123–
134.
1–11 5
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 6 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
poljubna realna števila. Izraz oblike
σk =
∑
1≤i1,i2,...,ik≤n
ai1ai2 · · · aik
imenujemo k-ti elementarni simetrični polinom števil a1, a2, . . . , an. Posebej
definiramo: σ0 = 1. Naj bo Sk =
∑n
i=1 a
k
i , kar je tudi simetrični polinom,
toda ne vedno elementaren. Newton-Girardova formula povezuje simetrične
polinome Sk in elementarne simetrične polinome σk:
mσm +
m∑
k=1
(−1)kSkσm−k = 0; 1 ≤ m ≤ n .
Od tu kaj hitro sledi zapis vsote Sk samo s simetričnimi polinomi
S1 = σ1,
S2 = σ21 − 2σ2,
S3 = σ31 − 3σ1σ2 + 3σ3. (4)
Formula velja za poljubno veliko naravno število n. Euler je šel v skrajnost
in privzel, da formula velja tudi za neskončno zaporedje. Obravnaval je
neskončne produkte in pripadajoče potenčne vrste oblike(
1− x
A
)(
1− x
B
)(
1− x
C
)
· · · = 1− αx+ βx2 − γx3 ± . . . (5)
Po primerjavi obeh strani je zapisal
α =
1
A
+
1
B
+
1
C
+ · · · , β = 1
AB
+
1
AC
+
1
BC
+ · · · , γ = 1
ABC
+ . . .
in po uporabi posplošenih formul (4)
1
A
+
1
B
+
1
C
+ · · · = α,
1
A2
+
1
B2
+
1
C2
+ · · · = α2 − 2β,
1
A3
+
1
B3
+
1
C3
+ · · · = α3 − 3αβ + 3γ . (6)
Euler je obliko v (5) izbral še z drugim namenom. Množica A,B,C, . . .
predstavlja ničle neskončnega produkta. Izraz (5) pa zagotavlja, da so to
tudi vse ničle neskončne potenčne vrste. Očitno je, da to drži pri končnem
produktu in vrsti. Ponovno je Euler posplošil primer na neskončnost.
6 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 7 — #7 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
Euler je svoje rezultate uporabil na funkciji
f(x) = 1− sinx
sin a
, (7)
kjer je a fiksirano število, ki ni večkratnik števila π. Ničle funkcije f so
x =

a,
2nπ + a,
(2n− 1)π − a,
−(2nπ − a),
−((2n− 1)π + a),
kjer je n ∈ N. Sledimo Eulerju in funkcijo zapǐsimo kot potenčno vrsto:
f(x) = 1− x
sin a
+
x3
3! sin a
∓ . . .
Upoštevamo (5) in dobimo
f(x) =
(
1− x
a
) ∞∏
n=1
(
1− x
(2n− 1)π − a
)
·
(
1 +
x
(2n− 1)π + a
)
·
(
1− x
2nπ + a
)
·
(
1 +
x
2nπ − a
)
. (8)
Od tu z uporabo formul (6) sledi
1
a
+
∞∑
n=1
(−1)n+1
(
1
nπ − a
− 1
nπ + a
)
=
1
sin a
, (9)
1
a2
+
∞∑
n=1
(
1
(nπ − a)2
+
1
(nπ + a)2
)
=
1
sin2 a
, (10)
1
a3
+
∞∑
n=1
(−1)n+1
(
1
(nπ − a)3
− 1
(nπ + a)3
)
=
1
sin3 a
− 1
2 sin a
. (11)
Naj bo a = π2 . Potem je po (10)
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
=
π2
8
.
Ker pa je
∞∑
n=1
1
n2
=
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2
+
1
4
∞∑
n=1
1
n2
,
1–11 7
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 8 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
lahko zaključimo
∞∑
n=1
1
n2
=
π2
6
.
S tem je bil baselski problem po 46 letih rešen. Euler je rešitev zaupal Da-
nielu Bernoulliju, vendar je kmalu vsak evropski matematik vedel, kdo je
mladi genij. Ko je Johann Bernoulli izvedel za Eulerjev uspeh, je zapisal:
In tako je zadoščeno goreči bratovi želji, ki je spoznal, da je iskanje vsote
težje, kot si kdor koli lahko predstavlja, in je javno priznal, da je ves njegov
trud zaman. Ko bi le moj brat še živel.8
Nadaljnji rezultati in kritike
Euler se kljub uspehu, ki mu je zagotovil matematično kariero, ni ustavil.
V prej omenjenem članku De summis . . . je po (11) pri a = π2 izračunal
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)3
=
π3
32
.
Podobno kot funkcijo (7) je obravnaval sinxx in dobil
sinx
x
=
∞∏
n=1
(
1− x
2
(nπ)2
)
, (12)
od koder je z uporabo (6) izračunal še vrednosti
∞∑
n=1
1
n4
=
π4
90
,
∞∑
n=1
1
n6
=
π6
945
,
∞∑
n=1
1
n8
=
π8
9450
,
∞∑
n=1
1
n10
=
π10
93555
,
∞∑
n=1
1
n12
=
691π12
6825 · 93555
.
Kmalu po objavi dokaza pa so prǐsle kritike. Daniel Bernoulli je Eu-
lerju očital, da je v dokazu privzel, da Newton-Girardove formule veljajo za
neskončno zaporedje in da je delal z neskončnimi vrstami kot s polinomi.
Pojavili so se še drugi dvomi. Ali so vse rešitve enačbe sinx = sin a realne?
8[2], str. 445
8 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 9 — #9 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
Zakaj ničle funkcije f(x) določajo neskončni produkt tak, kot je? Tudi funk-
cija exf(x) ima enake ničle, pa zagotovo ne more imeti istega neskončnega
produkta. Teh težav se je zavedal tudi Euler, vendar je bil o veljavnosti
svojih formul dokaj prepričan. Izračunani rezultati so se ujemali z numerič-
nimi, pri posebnih primerih pa je dobil že znane vrste. Npr. pri a = π2 vrsta
(9) postane znana
1− 1
3
+
1
5
− · · · = π
4
.
Prav tako pri a = π4 dobimo
1 +
1
3
− 1
5
− 1
7
+
1
9
+
1
11
− · · · = π
2
√
2
,
ki je bila znana že Newtonu. Produkt (12) pri x = π2 postane znani Wallisov
produkt
π
2
=
2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · 8 · . . .
1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · . . .
.
Ti posebni primeri so Eulerja opogumili, da je objavil rešitev. Kljub temu
ga je radovednost gnala naprej in je v naslednjih sedmih letih svoje rezultate
postavil na trdneǰse temelje.
Začel je z dokazovanjem produkta (12), iz katerega je zlahka izpeljal
podobne faktorizacije za druge kotne funkcije in s tem utemeljil produkt
(8). Glavno orodje pri tem sta Eulerjevi formuli
sin z =
eiz − e−iz
2i
, cos z =
eiz + e−iz
2
,
s katerima je mimogrede dokazal, da imajo kotne funkcije samo realne ničle.
Ko je bila pravilnost zapisa produkta (12) dokazana, se je lotil vrste (9).
Dobil jo je kot rezultat logaritmiranja in odvajanja produkta (8). Postopek
je opisal v članku De summis serierum reciprocarum ex potestatibus nume-
rorum naturalium ortarum dissertatio altera, in qua eaedem summationes
ex fonte maxime diverso derivantur9 leta 1742, čeprav lahko upravičeno
trdimo, da je do rezultatov prǐsel že prej.10 Eulerjeva izpeljava postane
ob upoštevanju enakomerne konvergence brezhibna. Preko vrste (9) je v
splošnem dokazal
∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n− 1)2k+1
=
E2k
22k+2(2k)!
π2k+1 ,
9Objavljen leta 1743 v Miscellanea Berolinensia 7 , str. 172–192.
10Eulerjeve formule se pojavijo v pismih Christianu Goldbachu (1690–1764) leta
1741 in 1742.
1–11 9
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 10 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleksander Simonič
kjer se števila E2k imenujejo Eulerjeva števila. Podobno je logaritmiral in
odvajal še produkt (12) ter izpeljal
∞∑
n=1
1
n2k
=
(−1)k−122k−1B2k
(2k)!
π2k .
Na tem mestu omenimo še, da je Euler, željan prepričati vse tiste, ki
so dvomili o produktu (12), leta 1743 objavil članek Démonstration de la
somme de cette suite 1+ 14 +
1
9+etc.
11, kjer je ponovno izračunal vsoto vrste
(2). Temelj dokaza je izraz
(arcsinx)2
2
=
∫ x
0
arcsin t√
1− t2
dt ,
od koder je z razvojem arcsinx v potenčno vrsto dobil želeni rezultat. Po-
drobnosti izpeljave lahko bralec najde v [1, str. 1079].
Euler je našel vsote vrst in neskončnih produktov za nekatere posebne
primere, nikakor pa ni našel natančne vsote vrste
∞∑
n=1
1
n2k+1
. (13)
V članku De seriebus quibusdam considerationes12, napisanem leta 1739, je
numerično izračunal vsoto vrste za k = 1, 2, 3, 4, 5. Pod vplivom rezultata
pri sodih potencah je predpostavjal, da je vsota enaka Nπ2k+1, in poskušal
najti racionalen N . Vendar mu to ni uspelo.
Baselski problem po Eulerju
Članek bomo sklenili s tremi primeri, ki izhajajo iz baselskega problema in
so matematike zaposlovali še dolgo časa po Eulerju.
Euler se je že leta 1737 zavedal pomembnosti vrste (2) v zvezi s praštevili.
V članku Variae observationes circa series infinitas13 je dokazal enakost
∞∑
n=1
1
ns
=
∏
p
1
1− p−s
,
11Objavljen v Journ. lit. d’Allemange, de Suisse et du Nord , 2:1, str. 115–127.
12Objavljen leta 1750 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 12 , str. 53–
96.
13Objavljen leta 1744 v Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 , str. 160–
188.
10 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“BasProb” — 2011/3/14 — 11:10 — page 11 — #11 i
i
i
i
i
i
Baselski problem
kjer produkt teče po vseh praštevilih. Ta pomembni rezultat je temelj po-
zneǰse analitične teorije števil. Bernhard Riemann (1826–1866) je spoznal
pomembnost vrste in jo obravnaval kot kompleksno funkcijsko vrsto, znano
pod imenom Riemannova funkcija zeta. V prelomnem članku Ueber die An-
zahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse14 je dokazal znamenito
funkcijsko enačbo
ζ(1− s) = 2(2π)−sΓ(s) cos
(πs
2
)
ζ(s) .
Manj znano pa je, da je Euler med intenzivnim iskanjem vsote vrste (13) v
članku Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant
directes que réciproques15 leta 1749 objavil prav tako funkcijsko enačbo.
Omenili smo že težave pri predstavljanju funkcije z neskončnim produk-
tom prek njenih ničel. Na to vprašanje je prvi odgovoril Karl Weierstrass
(1815–1897) med preučevanjem analitičnih funkcij. Prav tako je Weierstrass
zaslužen za uvedbo pojma enakomerne konvergence, s katerim je pojasnil
upravičenost odvajanja in integriranja funkcijskih vrst.
Kaj pa danes vemo o skrivnostni vrsti (13)? Še vedno ne vemo, kakšna je
njena vsota v zaključeni obliki. Znano pa je, da je vsota za k = 1 iracionalno
število, kar je leta 1979 dokazal Roger Apéry (1916–1994). Najnoveǰsi
rezultati so iz let 2000 in 2001, ko je bilo dokazano, da za neskončno števil
k vsota vrste predstavlja iracionalno število in da ima za k = 2, 3, 4, 5 vsaj
ena od vrst iracionalno vsoto.
LITERATURA
[1] R. Ayoub, Euler and the zeta function, The American Mathematical Monthly, Vol. 81,
No. 10, 1067–1086 (1974).
[2] C. B. Boyer, A history of mathematics, New York, John Wiley & Sons, 1991.
[3] K. Knopp, Theory and Application of Infinite Series, New York, Dover publications,
1990.
[4] V. S. Varadarajan, Euler through time: a new look at old themes, Washington, The
Mathematical Association of America, 2006.
[5] W. Dunham, Euler: the master of us all, Washington, The Mathematical Association
of America, 1999.
[6] E. W. Weisstein, Newton-Girard Formulas, MathWorld – A Wolfram Web Resource,
http://mathworld.wolfram.com/Newton-GirardFormulas.html.
[7] The Euler Archive, http://www.math.dartmouth.edu/∼euler/.
14Objavljen leta 1859 v Monatsberichte der Berliner Akademie.
15Objavljen leta 1768 v Memoires de l’académie des sciences de Berlin 17 , str. 83–106.
1–11 11
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 12 — #1 i
i
i
i
i
i
ULTRAKRATKI LASERSKI SUNKI
URŠKA JELERČIČ IN IRENA DREVENŠEK OLENIK
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 42.65.Re, 42.55.Rz, 42.60.Fc, 42.65.Ky
V članku obravnavamo ultrakratke sunkovne laserske sisteme in opisujemo metode, s
katerimi lahko v laserju Ti:safir generiramo femtosekundne in atosekundne pulze. Pri tem
sledimo trem bistvenim tehnikam, ki jih uporabljamo pri tvorbi sunkov: metodi vklepanja
faz resonatorskih nihanj, metodi ojačevanja na osnovi frekvenčne modulacije in metodi
frekvenčnega pomnoževanja. Za konec predstavimo še možnosti izboljšav v prihodnosti.
ULTRASHORT LASER PULSES
We discuss ultrafast pulsed laser systems and describe methods of femtosecond and
attosecond pulse generation in the case of Ti:sapphire laser. We describe three main
techniques, which are used for the formation of pulses: mode-locking of resonator modes,
amplification based on frequency modulation, and frequency multiplication. We also
present potential improvements expected in the future.
Uvod
Maimanov prvi rubinski laser je javnost leta 1960 pospremila z mešanimi
občutki. Medtem ko se je strokovna skupnost izuma navdušeno veselila in
so konkurenti nanj gledali z veliko mero zavisti, se je splošna javnost nove
tehnologije močno bala, saj so bili prepričani, da so znanstveniki ustvarili
novo obliko orožja. Dandanes laserje malokdo povezuje z nevarnostjo in
težko je zanikati njihov pozitivni vpliv na vsakdanje življenje. Spremenila
pa se ni le javna podoba laserja, ampak tudi njegove zmogljivosti. Pri tem je
enega najbolj dramatičnih razvojev doživelo področje ultrakratkih laserskih
sunkov, ki se jim posvečamo v pričujočem članku. Izum tovrstnih laserjev
je omogočil napredek v mnogih tehnoloških in raziskovalnih panogah. La-
serji z ultrakratkimi sunki namreč omogočajo izjemno precizno dovajanje
kratkih sunkov energije izbranim sistemom (bodisi mikroskopskim bodisi
makroskopskim). Omenjeno natančnost izkoriščamo pri različnih tehničnih
aplikacijah (predvsem v medicini kot alternativni način neinvazivnih tera-
pij) in tudi v bazičnih raziskavah, pri preučevanju hitrih procesov, ki jih s
primerno kratkimi laserskimi sunki sedaj lahko opazujemo v realnem času.
12 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 13 — #2 i
i
i
i
i
i
Ultrakratki laserski sunki
Delovanje laserja
Laser lahko deluje v kontinuiranem ali sunkovnem načinu, pri čemer velja,
da lahko vsak kontinuirani laser uporabimo tudi kot sunkovni, obratno pa
ne. Preprost laser lahko sestavimo iz treh osnovnih delov: resonatorja, oja-
čevalnega sredstva in črpalnega mehanizma (slika 1). Resonator je navadno
sestavljen iz dveh zrcal, med katerima se svetloba odbija, pri čemer je eno od
zrcal delno prepustno in omogoča izhajanje svetlobe iz resonatorja. Dolžina
resonatorja določa možne frekvence laserskega spektra, ki pri uporabi ravnih
zrcal (Fabry-Perotov resonator) znašajo:
ωN =
πcN
L
, (1)
kjer je c hitrost svetlobe, L razdalja med zrcaloma, N = 1, 2, 3 . . . pa red
lastnega nihanja elektromagnetnega polja. Ker resonator sam po sebi ne
ojačuje svetlobe, pač pa se njena intenziteta zaradi izgub manjša, moramo
za ojačevanje poskrbeti z ojačevalnim sredstvom, za kar lahko uporabimo
snovi v različnih agregatnih stanjih: trdnem (polprevodniki, npr. GaAs,
ali pa kristali, npr. Nd:YAG), plinastem (npr. CO2) ali tekočem. Ojače-
vanje se zgodi, ko od zrcal odbita svetloba prehaja skozi ojačevalno sred-
stvo, ki ga shematsko opišemo kot množico energijskih nivojev (slika 2), pri
tem pa se sproži stimulirano sevanje z višjih energijskih nivojev v nižje [1].
Ker je za ojačevanje potrebna obrnjena zasedenost energijskih stanj v snovi
(večje število atomov mora biti v vzbujenem kot pa v osnovnem stanju),
kar ni naravno stanje atomskega sistema, za vzpostavljanje potrebnih po-
gojev uporabljamo črpalni mehanizem. Tako pridobljena laserska svetloba
je časovno neomejena, posledično pa so izhodne moči laserskega snopa rela-
tivno majhne in znašajo od nekaj mW do nekaj kW. Po drugi strani lahko
z uvedbo sunkovnega načina delovanja močno omejimo trajanje sunka in
tako drastično povečamo vršno moč, ki lahko brez težav doseže nekaj TW
(1012 W). Take ekstremne moči trajajo le izjemno kratek čas, kar poudarimo
s poimenovanjem ultrakratki sunki. Izraz je bil prvič uporabljen leta 1982,
ko so bili najkrajši tehnološko dosegljivi sunki dolgi nekaj femtosekund, med-
tem ko lahko danes brez večjih težav posegamo že globoko v atosekundno
(< 10−15 s) področje.
Kontinuirano delujoči laser lahko predelamo v improvizirani sunkovni
laser že tako, da mu dodamo zunanji zaklop, ki selektivno prepušča vpadno
svetlobo le v kratkih intervalih. Pri tem se porajata dve očitni pomanjkljivo-
12–24 13
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 14 — #3 i
i
i
i
i
i
Urška Jelerčič in Irena Drevenšek Olenik
Slika 1. Shema zgradbe preprostega laserja.
sti, in sicer omejena hitrost mehanizma zaklopa, ki omejuje trajanje sunka,
in omejenost maksimalne energije sunka, ki jo določa povprečna energija la-
serja. Za praktične potrebe zato potrebujemo učinkovitejšo metodo, ki naj
poskrbi, da se energija laserja v intervalih med sunki ne izgublja, ampak
shranjuje. Želimo, da se energija skladišči bodisi v obliki svetlobe, ujete
znotraj resonatorja, bodisi kot povečana obrnjena zasedenost atomskega sis-
tema. Pri ultrakratkih sunkih za dosego sunkovnega delovanja navadno upo-
rabimo metodo faznega vklepanja laserskih nihanj.
Fazno vklepanje laserskih nihanj
Sunkovni laserji v nasprotju z zgoraj opisanimi kontinuirano delujočimi od-
dajajo svetlobo širokega spektra. Frekvenčne komponente, ki ustrezajo raz-
ličnim lastnim frekvencam resonatorja, so med seboj neodvisne, zato se nji-
hovo optično polje zaradi destruktivne interference praktično izniči. Če pa
poskrbimo za primeren mehanizem, ki povzroči uskladitev faze različnih
lastnih nihanj, se njihova optična polja konstruktivno seštejejo in tvorijo su-
nek z veliko izhodno močjo. Celotno število različnih resonatorskih nihanj,
ki prispevajo k sunku, je določeno z intrinzičnimi lastnostmi ojačevalnega
sredstva. Pri tem je bistvena porazdelitev atomskih nivojev, ki določajo
spektralni razpon procesa optičnega ojačevanja. Zato pri izbiranju ojače-
valnih sredstev za sunkovne laserje težimo k takim snovem, ki imajo čim
več različnih atomskih prehodov, kar pomeni, da mora biti njihova nivojska
14 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 15 — #4 i
i
i
i
i
i
Ultrakratki laserski sunki
Slika 2. Primer štirinivojske atomske sheme ojačevalnega sredstva, primernega za upo-
rabo v sunkovnem laserju. Optično ojačevanje poteka med nivoji iz skupine 3 in 2.
struktura močno razvejena (slika 2). Konstruktivno seštevanje delnih polj v
želeni kratki sunek se običajno ne zgodi samodejno. Pomagamo si s faznim
vklepanjem, ki poskrbi, da so faze različnih lastnih nihanj resonatorja med
seboj enake. Oglejmo si, kako se v preprostem modelu Fabry-Perotovega re-
sonatorja na ta način tvorijo kratki sunki [2]. Vsak lastni nihajni način lahko
predstavimo v obliki ravnega valovanja, ki se propagira vzdolž osi resona-
torja (ki jo označimo kot os z ) s hitrostjo c = c0/n. Potem lahko električno
polje svetlobe v resonatorju v kompleksnem zapisu opišemo z vsoto:
E(z, t) =
∑
j
Aje
i2πνj(t−z/c), (2)
pri čemer je νj = ν0 + jνF frekvenca j-tega nihajnega načina (j = 0, ±1,
±2 ...), νF = c/2L pa osnovna frekvenca resonatorja dolžine L. Predposta-
vimo tudi, da nihajni način j = 0 sovpada s centralno frekvenco atomskih
prehodov med nivoji 3 in 2, ki jo označimo kot ν0. Amplitude |Aj | določimo
na osnovi spektralnega profila odziva ojačevalnega sredstva in resonatorskih
izgub, faze Aj pa so v splošnem zaradi svoje naključne narave statistično
nekorelirane. Če izraz za frekvenco j-tega nihajnega načina νj postavimo v
12–24 15
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 16 — #5 i
i
i
i
i
i
Urška Jelerčič in Irena Drevenšek Olenik
Slika 3. Časovna odvisnost intenzitete izhodne laserske svetlobe pri vklenjenih fazah.
Namesto kontinuiranega sevanja dobimo kratke laserske sunke [2].
izraz za električno polje, dobimo:
E(z, t) = A(t− z
c
)ei2πν0(t−z/c), (3)
kjer smo vpeljali kompleksno ovojnico kot:
A(t̃) =
∑
j
Aje
i2πjνF t̃, t̃ = t− z
c
.
Vidimo, da je kompleksna ovojnica A(t̃) periodična funkcija s periodo TF =
1/νF . Če torej izberemo amplitude in faze kompleksnih koeficientov Aj na
pravi način, lahkoA(t̃) zavzame obliko ozkih periodičnih sunkov. To najlažje
uvidimo tako, da si zamislimoM prispevkov z indeksi j = 0,±1,±2, . . . ,±S,
tako da veljaM = 2S+1. Prispevki naj imajo enake vrednosti kompleksnih
koeficientov Aj = A0. V tem primeru lahko izraz za kompleksno ovojnico
zapišemo kot:
A(t̃) = A0
S∑
j=−S
ei2πjνF t̃ = A0
sin(Mπt̃/TF )
sin(πt̃/TF )
. (4)
Intenziteto svetlobe izračunamo kot I(t̃, z) ∝ |A(t− z/c)|2 in znaša:
I(t̃, z) ∝ |A0|2
sin2(Mπ(t− z/c)/TF )
sin2(π(t− z/c)/TF )
. (5)
Dolžina laserskega sunka pri vklenjenih fazah je odvisna od števila nihajnih
prispevkov M , ki je sorazmerno s širino pripadajoče atomske črte ∆ν. Če
16 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 17 — #6 i
i
i
i
i
i
Ultrakratki laserski sunki
predpostavimo, da v grobem velja M ≈ ∆ν/νF , sledi, da je dolžina sunka
τ določena kot τ = TF /M ≈ 1/∆ν. Ker so lahko vrednosti ∆ν v nekaterih
snoveh zelo velike, lahko posledično ustvarimo zelo kratke sunke (slika 3).
Na zgornji način opisano fazno sklopljeno elektromagnetno valovanje s
svetlobno hitrostjo potuje med zrcaloma. Ko doseže delno prepustno zrcalo,
del valovanja zapusti resonator in se manifestira kot kratek izhodni laser-
ski sunek. Preostali del valovanja se odbije nazaj do neprepustnega zrcala
ter nato spet potuje do delno prepustnega zrcala in tvori nov sunek. Dva
zaporedna sunka sta torej časovno ločena ravno za preletni čas resonatorja,
TF = 2L/c.
V praksi lahko fazno vklepanje dosežemo na pasivni ali aktivni način. Pri
aktivnem vklepanju faz uporabimo aktivne modulatorje svetlobe, na primer
elektrooptične ali pa akustooptične modulatorje, pri pasivnem vklepanju faz
pa za oblikovanje sunkov izkoriščamo pasivne nelinearne optične elemente.
Pasivni način je pri pripravi ultrakratkih laserskih sunkov dosti bolj upora-
ben, saj omogoča doseganje krajših dolžin sunka kot aktivno vklepanje, ki
je omejeno s hitrostjo odziva uporabljenih optičnih modulatorjev. Pri pa-
sivnem vklepanju lahko na primer v resonatorsko votlino uvedemo t. i. satu-
racijski absorber – optično sredstvo, katerega prepustnost je močno odvisna
od intenzitete vpadne svetlobe. Izberemo takega, ki absorbira svetlobo z
nizko intenziteto, svetlobo z visoko intenziteto pa prepušča. V resonatorju
se v začetku vzpostavi veliko število lastnih nihanj z različnimi frekvencami
in fazami. Prej ali slej se zgodi, da pride do konstruktivne interference za
določen delež lastnih nihanj, kar povzroči porast v intenziteti (slika 4). Ta
začetni najvišji sunek (skupaj z mnogimi drugimi nižje intenzitete) potuje
med resonatorskimi zrcali in prehaja skozi absorber. Pri tem se sunki nižje
intenzitete absorbirajo, sunek najvišje intenzitete pa prepusti. Ker se proces
mnogokrat ponovi, se najmočnejši sunek s časom močno ojača in skrajša,
nizkointenzitetni „repi“ sunka in ozadje pa se zaradi selektivne absorpcije
manjšajo. Tako po daljšem času dobimo en sam močan sunek, ki je posle-
dica vklenjenih faz.
Ojačevalno sredstvo Ti:safir
Eno najbolj primernih ojačevalnih sredstev za sunkovne laserje je kristal sa-
firja, dopiranega s titanovimi ioni (Ti:safir). Že leta 1981 je Peter Moulton
s svojo ekipo na Massachusetts Institute of Technology (MIT) predstavil ek-
12–24 17
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 18 — #7 i
i
i
i
i
i
Urška Jelerčič in Irena Drevenšek Olenik
Slika 4. Primer superpozicije štirih fazno vklenjenih valovanj. Zgornje štiri krivulje
prikazujejo posamezna delna valovanja pri štirih različnih frekvencah, medtem ko spodnja
(obrobljena) krivulja ponazarja njihovo superpozicijo [3].
speriment, s katerim je pokazal, da laser Ti:safir oddaja zelo širok spekter
frekvenc, čeprav so za črpanje uporabili monokromatsko svetlobo kontinui-
ranega laserja [4]. Izkaže se, da pri črpanju z valovno dolžino λ ∼ 530 nm
kristal oddaja svetlobo v razponu 600 nm < λ < 900 nm (od oranžne do in-
frardeče). V splošnem je s takim kristalom dosegljiv še širši spekter valovnih
dolžin (odvisno od izbire črpalne frekvence), ki se razteza od 700 do 1050 nm.
Z uporabo širokega spektra lahko brez kakršnih koli težav ustvarimo sunke
dolžine τ ∼ 10 fs, z malce več truda pa lahko realiziramo tudi sunke, dolge
le τ ∼ 5 fs. Ti ekstremno kratki sunki ustrezajo valovanju, ki zajema le
nekaj nihajnih period, kar pomeni, da se bližajo teoretični absolutni meji.
Maxwellove enačbe elektrodinamike namreč omejujejo dolžino najkrajšega
sunka, ki se lahko generira, na nihajni čas ene periode valovanja. Krajši
sunki so teoretično nemogoči, ker bi bili v nasprotju z oscilirajočo naravo
rešitve Maxwellovih enačb in se kot taki ne bi mogli širiti v prostoru.
18 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 19 — #8 i
i
i
i
i
i
Ultrakratki laserski sunki
Ojačevanje na osnovi frekvenčne modulacije sunka
S faznim vklepanjem pa se zgodba ne konča, saj so femtosekundni sunki vi-
dne svetlobe, ki trajajo le nekaj nihajnih period, odločno predolgi za veliko
množico procesov, ki bi jih z laserji želeli podrobneje raziskati. Krajše sunke
dobimo, če skrajšamo nihajni čas oziroma valovno dolžino. To dosežemo
tako, da običajne femtosekundne sunke pošljemo skozi optično nelinearno
sredstvo, v katerem nastane elektromagnetno valovanje pri višjih harmonič-
nih frekvencah. Izkaže se, da so konvencionalno pridobljeni femtosekundni
sunki prešibki za takšno frekvenčno pomnoževanje, zato jih moramo najprej
ojačati vsaj za faktor 100 oz. 1000. Ker pa lahko visoke moči poškodu-
jejo ojačevalno sredstvo, običajno uporabimo tehniko ojačevanja na osnovi
frekvenčne modulacije sunka (chirped-pulse amplification – CPA). Običajni
laserski sunki so navadno že sami po sebi frekvenčno modulirani. Pri pre-
hajanju svetlobe skozi optično ojačevalno sredstvo v laserju običajno pride
do optičnega Kerrovega pojava (enačba 7) in fazne samo-modulacije. Lo-
mni količnik ojačevalnega sredstva je namreč odvisen od intenzitete vpadne
svetlobe, kar pomeni, da se različni deli laserskega sunka propagirajo z raz-
ličnimi faznimi hitrostmi. Odvisnost lomnega količnika n od intenzitete I
podaja enačba
n(I) = n0 + n2I, (6)
kjer n0 pomeni običajni lomni količnik, n2 pa nelinearni lomni količnik.
Velikost nelinearnega lomnega količnika je odvisna od vrste uporabljenega
sredstva ter znaša 10−16 − 10−14 cm2/W v navadnih steklih, 10−14 − 10−7
cm2/W v dopiranih steklih in 10−10 − 10−2 cm2/W v polprevodnikih [2].
Fazo propagirajočega elektromagnetnega valovanja zapišemo kot:
φ(t) = ω0t− kz = ω0t− k0z[n0 + n2I]. (7)
Pri tem uvedemo oznako za frekvenco idealnega laserskega sunka ω0 ter
oznako za pripadajoči valovni vektor k0 = ω0c . Efektivno frekvenco laser-
skega sunka izračunamo po definiciji ω(t) = ∂φ(t)∂t in dobimo (slika 5):
ω(t) = ω0 − k0zn2
∂I(t)
∂t
. (8)
Vidimo, da prisotnost Kerrovega pojava spremeni efektivno frekvenco laser-
skega sunka, ki je bila pred vstopom v optično sredstvo konstantna (slika 6);
po prehodu skozi sredstvo se frekvenca v začetnem delu sunka efektivno
12–24 19
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 20 — #9 i
i
i
i
i
i
Urška Jelerčič in Irena Drevenšek Olenik
Slika 5. Shema spremembe frekvence idealnega laserskega sunka ω0 zaradi pojava fazne
samomodulacije [5].
Slika 6. Sprememba frekvenčne odvisnosti idealnega laserskega sunka (levo) ob priso-
tnosti Kerrovega pojava (desno).
zmanjša, v zadnjem delu sunka pa poveča. V osrednjem območju se fre-
kvenca s časom spreminja linearno, kar povzroči linearno zgoščevanje osci-
lacij v laserskem sunku. Pravimo, da je laserski sunek pozitivno frekvenčno
moduliran. Pri tehniki CPA laserski sunek pred nadaljnjim ojačevanjem naj-
prej usmerimo na par uklonskih mrežic oziroma na katerikoli drug optični
element z disperzijo, kar povzroči, da se frekvenčne komponente v snopu
20 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 21 — #10 i
i
i
i
i
i
Ultrakratki laserski sunki
Slika 7. Shema ojačevanja na osnovi fazne modulacije sunka [6].
prostorsko razklenejo (slika 7). Optične elemente postavimo tako, da imajo
nizkofrekvenčne komponente, ki so na čelu sunka, zaradi disperzije krajšo
pot skozi optični sistem kot pa visokofrekvenčne komponente, zaradi česar
se slednje še dodatno časovno zakasnijo. Laserski sunek se pri tem lahko
podaljša za faktor 105 in več. Intenziteta takega sunka je sedaj zmanjšana
bistveno pod prag za poškodbe in sunek lahko varno usmerimo v ojačevalno
sredstvo. Tam se svetloba nato ojača za več redov velikosti in po izstopu
pade na komplementarni sistem mrežic, ki različne frekvenčne komponente
po podobnem načelu, kot je opisano zgoraj, ponovno združi skupaj v kratek
sunek.
Tehnike CPA pa ne uporabljamo le pri zmernem ojačevanju pri ustvar-
janju ultrakratkih sunkov, ampak je pomembno orodje tudi pri doseganju
laserskih sunkov z izjemno visokimi močmi. Pri slednjem so še posebej pro-
blematični nelinearni procesi v ojačevalnem sredstvu (npr. samofokusiranje),
ki lahko uničijo ojačevalno sredstvo, če se ojačevanja lotimo brez predhodne
razširitve sunka. Hitro se lahko zgodi tudi, da intenziteta laserskega snopa
preseže mejo 700 GW/cm2, kar povzroči tvorbo plazme v zraku oziroma
v ojačevalnem sredstvu in tako močno spremeni uklonske lastnosti snopa.
Omenjene meje torej med ojačevanjem ne smemo preseči.
12–24 21
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 22 — #11 i
i
i
i
i
i
Urška Jelerčič in Irena Drevenšek Olenik
Nelinearni pojavi – na poti od fs do as
Na izhodu iz ojačevalnika imamo sedaj na voljo primerno ojačan sunek,
ki ga lahko pošljemo v nelinearno optično sredstvo, s pomočjo katerega se
generira svetloba s krajšo valovno dolžino. Za primer spet vzemimo laser
Ti:safir s centralno valovno dolžino 750 nm (bližnja infrardeča svetloba).
Najkrajši sunki, ki jih tak laser lahko tvori, imajo dolžino ene periode in
trajajo 2.5 fs. Nadaljnje krajšanje torej zahteva precej višje frekvence, ki
morajo segati daleč v ultravijolično področje. Za doseganje sunkov, krajših
od 100 as, tako potrebujemo svetlobo iz skrajno ultravijoličnega območja
spektra s tipičnimi valovnimi dolžinami okoli 12 nm [3].
Za generiranje svetlobe krajših valovnih dolžin uporabimo nelinearne po-
jave v snovi. Valovno dolžino lahko na primer skrajšamo za polovico, če pod-
vojimo frekvenco, kar imenujemo frekvenčno podvajanje svetlobe. Pretvorbe
v višje harmonične frekvence dosežemo z uporabo višjih redov nelinearnosti.
Pri tem gre v grobem za pojav, v katerem se n nizkoenergijskih fotonov z
energijo ~ω pretvori v en visokoenergijski foton z energijo n~ω. Podrobna
razlaga teorije ustvarjanja višjih harmonikov je precej zapletena, zato na
tem mestu povzemamo sipalni model P. Corkuma [7]. Zamislimo si laserski
sunek visoke intenzitete, ki ga usmerimo v inertni plin. Elektroni atomov
plina so zaradi odsotnosti električnega polja laserskega sunka v minimumu
pripadajočega atomskega potenciala (slika 8 – črna prekinjena črta). Ko
na plin posvetimo z lasersko svetlobo, na elektrone deluje dodatno optično
električno polje laserja (slika 8 – črna polna črta), zaradi česar elektroni
čutijo spremenjen potencial (slika 8 – siva polna črta). Pri tem pride do
dveh bistvenih sprememb: na levi strani jame se potencial v primerjavi z
neperturbiranim stanjem zviša, na desni pa zniža in tako tvori potencialno
bariero, skozi katero lahko elektron z določeno verjetnostjo tunelira. Pri-
sotnost optičnega električnega polja torej povzroči ionizacijo, po kateri se
pobegli elektron še dodatno pospešeno oddaljuje od matičnega atoma. Ker
je električno polje laserske svetlobe izmenično, se njegova smer po polovici
periode obrne in isti elektron se začne pospešeno vračati proti matičnemu
atomu. Ko elektron doseže matični atom, pride do rekombinacije, pri tem pa
se v obliki fotona sprosti energija, enaka kinetični energiji, ki jo je elektron
nabral med pospeševanjem. Proces se v splošnem dogaja na mnogo elektro-
nih hkrati, zato so njihove kinetične energije široko porazdeljene. To pomeni,
da imajo tudi oddani fotoni zelo različne energije in namesto običajnega dis-
22 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 23 — #12 i
i
i
i
i
i
Ultrakratki laserski sunki
Slika 8. Potencial elektrona (siva krogla) v notranjosti matičnega atoma pred (prekinjena
črta) in po (siva polna črta) vključitvi optičnega električnega polja (črna polna črta).
Električno polje svetlobe povzroči, da elektron tunelira skozi potencialno bariero in zapusti
matični atom.
kretnega sevalnega spektra dobimo zvezni spekter visokoenergijskih fotonov
na območju ultravijolične svetlobe. Nezaželeni del spektra nato izločimo z
uporabo ustreznih filtrov.
Na osnovi opisanega pojava lahko torej vpadni laserski sunek določene
frekvence pretvorimo v sunek veliko višje frekvence. Z uporabo primernega
plina in ob ustrezno izbranih pogojih lahko brez težav dosežemo 100- in
večkratno frekvenčno pomnoževanje, kar je dovolj, da svetlobo iz bližnjega
infrardečega spektra premaknemo v ultravijolično področje. Najkrajši sunki,
ki jih lahko danes na tak način ustvarimo z uporabo laserja Ti:safir, so dolgi
τ ≈ 80 as (1 as = 10−18 s).
Obeti za prihodnost
V prihodnosti si obetamo velik napredek na področju nadaljnjega krajša-
nja sunkov in zmanjševanja segrevanja laserskega sistema, kar bi omogočilo
12–24 23
i
i
“Jelercic” — 2011/3/15 — 8:22 — page 24 — #13 i
i
i
i
i
i
Urška Jelerčič in Irena Drevenšek Olenik
veliko hitrejše frekvence ponavljanja sunkov in širšo uporabo ultrakratkih
sistemov v praksi. Za te namene lahko uporabimo optično parametrično
ojačevanje (OPA – optical parametric amplification), ki izkorišča nelinearne
pojave v kristalih in omogoča pretvorbo monokromatske svetlobe v sve-
tlobo širokega spektra (kot je to mogoče v kristalu Ti:safir). Drugače od
ojačevalnih sistemov na osnovi stimulirane emisije se med parametričnim
ojačevanjem svetloba praktično ne absorbira, zaradi česar je tudi segrevanje
ojačevalnega sredstva manjše. Hkrati lahko tako dosežemo večje spektralne
širine, kar že samo z uporabo metode vklepanja faz vodi do zelo kratkih
sunkov. Morda najboljša lastnost parametričnega ojačevanja pa je možnost
ustvarjanja svetlobe z zelo kratkimi valovnimi dolžinami pri frekvenčnem po-
množevanju. S pomočjo parametričnega ojačevanja lahko namreč ustvarimo
laserske sunke različnih valovnih dolžin, s katerimi vstopamo v proces gene-
riranja višjih harmonikov, pri čemer si na začetku želimo sunke čimdaljših
valovnih dolžin. Energija fotonov, ki nastanejo kot posledica nelinearnega
odziva, je namreč direktno odvisna od kinetične energije elektronov, ki se
pospešujejo v optičnem električnem polju. Daljša kot je perioda električnega
polja (torej daljša kot je valovna dolžina vstopnega sunka), več časa se elek-
tron lahko pospešuje in tako nakopiči več energije. Na ta način postanejo z
generacijo višjih harmonikov dosegljive tudi valovne dolžine mehkih rentgen-
skih žarkov (λ ∼ 1 nm). S kombinirano uporabo parametričnega ojačevanja
in drugih tehnik raziskovalci pričakujejo, da bodo kmalu lahko ustvarili sun-
kovne laserske sisteme, ki bodo segali že v zeptosekundno (τ < 10−18 s)
področje.
LITERATURA
[1] J. Strnad, Petdesetletnica laserjev, Obzornik mat. fiz. 57 (2010), 97–106.
[2] B. Saleh et al., Fundamentals of Photonics, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., New
Jersey (2007).
[3] A. Cavalieri, Beyond ultrafast, Physics World 23, 47–51 (2010).
[4] P. F. Moulton, Spectroscopic and laser characteristics of T i : Al2O3, J. Opt. Soc. Am.
B 3, 125–133 (1986).
[5] http://en.wikipedia.org/wiki/Self-phase_modulation (ogled 10. 12. 2010).
[6] http://en.wikipedia.org/wiki/Chirped_pulse_amplification (ogled 10. 12. 2010).
[7] P. B. Corkum, Plasma Perspective on Strong-Field Multiphoton Ionization, Phys.
Rev. Lett. 71, 1994–1997 (1993).
24 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“SAZU” — 2011/3/15 — 8:49 — page 25 — #1 i
i
i
i
i
i
ŠOLA
POSVET O POUKU FIZIKE, KEMIJE IN MATEMATIKE
NA SLOVENSKI AKADEMIJI ZNANOSTI IN
UMETNOSTI
MOJCA ČEPIČ
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Slovenska akademija znanosti in umetnosti je v sredo, 22. septembra 2010,
organizirala drugega v seriji posvetov, namenjenih poučevanju različnih po-
dročij. Tokrat so se predavatelji in razpravljavci posvetili poučevanju treh
predmetov: fizike, kemije in matematike, če jih naštejemo po abecedi.
Po uvodnem nagovoru akad. prof. dr. Jožeta Trontlja so se predavatelji
posvetili prvemu sklopu, ki se je ukvarjal s Kvaliteto pouka in ga je povezo-
val akad. prof. dr. Franc Forstnerič s Fakultete za matematiko in fiziko UL
(FMF). Prof. dr. Mojca Čepič s Pedagoške fakultete UL je predstavila po-
men fizikalnih vsebin za vsakdanje življenje, doc. dr. Damjan Kobal s FMF
je razpravljal o pogojih za kvalitetnega učitelja matematike in prof. Alenka
Mozer z gimnazije Vič je predstavila nov inovativni pristop pri poučevanju
naravoslovnih predmetov. Naslednji sklop, ki se je ukvarjal z izobraževanjem
učiteljev, je povezovala prof. dr. Nataša Vaupotič, sicer dekanica Fakultete
za naravoslovje in matematiko UM (FNM). Prof. dr. Nataša Bukovec s Fa-
kultete za kemijo in kemijsko tehnologijo UL (FKKT) je predstavila predlog
stalnega strokovnega izpopolnjevanja, namenjenega seznanjanju učiteljev s
strokovnimi in didaktičnimi novostmi, prof. dr. Gorazd Planinšič s FMF je
opozoril na težave, s katerimi se srečuje učitelj, in težave, s katerimi se sre-
čuje izobraževanje učiteljev fizike. Prof. dr. Matej Brešar s FMF in FNM
je razložil obstoječo shemo izobraževanja učiteljev matematike in poudaril,
da je dobra. Zadnji sklop, v katerem so se oglasili uporabniki in izvajalci
s svojimi stališči, je vodila prof. dr. Nataša Bukovec s FKKT. Prof. Marta
Zabret s Šolskega centra Rudolfa Maistra je koncizno, a vendar humorno
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 25
i
i
“SAZU” — 2011/3/15 — 8:49 — page 26 — #2 i
i
i
i
i
i
Mojca Čepič
predstavila še druge probleme, povezane z nemotiviranostjo učencev in ne-
kritično podporo staršev, s katerimi s srečujejo učitelji, v njenem primeru
matematike. Prof. dr. Marija Bešter Rogač s FKKT je predstavila pogled
strokovnjaka, a hkrati tudi starša, na zmešnjavo, ki jo je mogoče zaslediti v
učbenikih. Nazadnje sta na probleme pouka fizike v gimnazijah, predvsem
na zelo veliko raznolikost v sposobnostih in motiviranosti učencev na marsi-
kateri gimnaziji, opozorila mag. prof. Vitomir Babič s Šolskega centra Lava
v Celju in na probleme pri pouku fizike na osnovnih šolah, še posebej na
zelo nizko priznane potrebe po laborantih, prof. Meta Trček z osnovne šole
Ivana Cankarja na Vrhniki.
V zadnjem delu sta se posvetu pridružila prof. dr. Igor Lukšič, minister za
šolstvo in šport, ter v. d. direktorja Direktorata za visoko šolstvo dr. Stojan
Sorčan. Moderatorji posameznih sklopov so gostoma predstavili problema-
tiko, obravnavano v posameznih sklopih, akademik prof. dr. Franc Forstnerič
pa je gostoma predstavil tudi predloge sklepov. Uresničeni predlogi bi lahko
vodili do učinkovitega izboljšanja kvalitete pouka in učenja naravoslovno-
matematičnih predmetov, vendar je za njihovo uresničevanje nujno potrebna
institucionalna podpora Ministrstva za šolstvo in Ministrstva za visoko šol-
stvo, znanost in tehnologijo, svoje pa bi morale prispevati tudi univerze.
Nekaj besed sta povedala tudi oba gosta. Minister prof. dr. Igor Lukšič je
omenil, da je šolstvo zelo krhek sistem in lahko dobro mišljeni ukrepi, kot
npr. povečevanje učenčevih pravic, vodijo do negativnih posledic, ki niso
bile predvidljive. Prav tako je omenil, da imajo lahko premiki v obsegih
predmetov dolgoročne posledica za obstoj študijskih programov. Dr. Stojan
Sorčan je pojasnil nekatere dejavnosti ministrstva v zvezi z raziskavami, žal
pa se v svojem govoru ni dotaknil problemov, ki so jih izpostavljali sklepi in
jih lahko pomaga reševati le Ministrstvo za visoko šolstvo, znanost in teh-
nologijo. Posvet se je nadaljeval v konstruktivni debati prisotnih, rezultat
posveta pa so v nadaljevanju navedeni predlogi izboljšav. Prispevki preda-
vateljev bodo izdani kot posebna publikacija, ki je že pripravljena za tisk.
Na voljo naj bi bili tudi na spletni strani SAZU.
26 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“SAZU” — 2011/3/15 — 8:49 — page 27 — #3 i
i
i
i
i
i
Posvet o pouku fizike, kemije in matematike na Slovenski akademiji znanosti in umetnosti
Predlog skupnih sklepov
Preambula
Učenje in razvoj sta možna le v pregledno strukturiranem svetu vrednot
in odgovornosti. Slednje dokazujejo tudi številne resne znanstvene raziskave
(predvsem s področja nevropsihologije). Šolo, ki uči odgovornosti, vztraj-
nosti, trdega dela ter razumevanja, in ne šole, ki temelji na kratkoročnih
ambicijah napredovanja, zahtevajo tudi odgovorni starši in vizija razvoja
družbe. Prav kvaliteten pouk znanosti, od osnovne prek srednje in do vi-
sokih šol, je pri tem ključen. Realizacijo take šole, od katere smo trenutno
zelo oddaljeni, lahko zagotovijo predvsem kvalitetni učitelji. Zagotovitev
najboljših učiteljev in kvalitetnega pouka, ki lahko temelji na osebni odgo-
vornosti in ne na formalizirani kvaliteti, bi morala biti nacionalna prioriteta.
Vzporedno z zavračanjem permisivne vzgoje je nujno ustvariti ozračje, v ka-
terem poglobljeno delo v šoli ne bo več pomenilo nepotrebnega napora, pač
pa možnost za vznemirljiva doživetja in dragoceno popotnico za uspešno in
bogato življenje.
Predlogi za doseganje zgoraj navedenega:
Kaj velja obdržati
• Naravoslovni predmeti in matematika ponujajo osnovna znanja, ki jih
mora imeti vsak izobraženec. Ti predmeti sodijo v nujno splo-
šno izobrazbo. Njihov razvoj, vpeljava novih vsebin in znanstvenih
spoznanj mora potekati postopoma in med predmeti enakovre-
dno. Podpora razvoju le enega predmeta bi pomenila škodo za celotno
naravoslovno-matematično izobraževanje. Pomembne so tudi medpred-
metne povezave.
• Naravoslovje temelji na eksperimentalnem delu, zato moramo ohraniti
obstoječe standarde laboratorijskega dela.
• Vsak predmet pokriva svoje specifike, zato zahteva strokovno izobraže-
nega učitelja. Sedanji način izobraževanja, kjer na gimnazijskih pro-
gramih z bolj poglobljeno vsebino izobražujejo enopredmetni učite-
lji, na osnovnih in strokovnih šolah pa dvopredmetni učitelji, ki so
25–29 27
i
i
“SAZU” — 2011/3/15 — 8:49 — page 28 — #4 i
i
i
i
i
i
Mojca Čepič
predmetno področje študirali v času svojega dodiplomskega študija, se
je pokazal za uspešnega in ga je treba obdržati.
Predlogi Ministrstvu za šolstvo in šport
• Za dvig kvalitete bodočih učiteljev naravoslovno-matematičnih pred-
metov je nujno treba zagotoviti sistem kadrovskih štipendij. Kadro-
vske štipendije bi morale biti namenjene najboljšim na področjih, kjer
je učiteljev preveč, ter imeti še dodatno stimulativno vlogo za načrto-
vanje kadrov na področjih, kjer je učiteljev sicer trenutno dovolj, a
vpisna situacija nedvoumno nakazuje, da bo čez deset let pomanjka-
nje.
• Za stimulacijo vpisa na te smeri, pa tudi stimulacijo splošne nara-
voslovne ozaveščenosti, je treba omogočiti dve ravni mature za na-
ravoslovne predmete in uvesti obvezni izbirni maturitetni predmet iz
nabora naravoslovno-tehničnih predmetov.
• Zagotoviti dvig kvalitete aktivnih učiteljev naravoslovno-matematičnih
predmetov z obveznimi izobraževanji, ki omogočajo spoznavanje novih
znanstvenih dosežkov in didaktičnih pristopov na učiteljevem strokov-
nem področju. Podobne zahteve imajo tudi drugi regulirani poklici.
Obvezna izobraževanja naj postanejo del redne delovne obremenitve,
npr. z uro pouka manj tedensko.
• Vzpostavi naj se kvaliteten sistem svetovanja učiteljem pri njihovem
delu in strokovnem razvoju.
• Poiskati mehanizme za razvijanje odgovornosti učencev za svoje
znanje, za razvijanje pripadnosti učencev in dijakov učeči se skupnosti
in za medsebojno spoštovanje udeležencev v učnem procesu.
• Ustanoviti je treba recenzentske skupine za posamezna področja, ki
bodo skrbele za strokovni pregled vseh učnih gradiv, tako učbenikov
kot delovnih zvezkov, priročnikov, e-gradiv in drugih pripomočkov z
vidika ožje strokovne in didaktične ustreznosti. Iskanje recenzentov ne
sme biti v domeni založnikov.
28 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“SAZU” — 2011/3/15 — 8:49 — page 29 — #5 i
i
i
i
i
i
Posvet o pouku fizike, kemije in matematike na Slovenski akademiji znanosti in umetnosti
• Vzpostaviti mehanizme povratnih informacij o dobrih (in slabih) učite-
ljih in tudi sistem povratnih informacij o njihovi kvaliteti dela učiteljem.
Povečati težo kvalitetnega dela v razredu pri napredovanjih.
Predlogi Ministrstvu za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo
• Zavedati se moramo, da je izobraževanje učiteljev naravoslovnih
predmetov in matematike finančno enako zahtevno kot študijski
programi istih strok, zato je treba vpeljati enako financiranje tudi
za pedagoške smeri strok.
Predlogi Ministrstvu za šolstvo in šport ter Ministrstvu za visoko šolstvo,
znanost in tehnologijo
• Poklic učitelja je za državo ključnega pomena. Morebitnega pomanjka-
nja kadrov ni mogoče nadomeščati z učitelji, ki nimajo ustreznih stro-
kovnih predmetnih znanj in jih tudi ni mogoče uvažati, ker poteka pouk
v slovenščini. Zato je treba vpeljati poklic učitelja kot reguliran poklic
z ustreznim varovanjem študijskih programov, ki učitelje izobražujejo.
• V izobraževalnih programih postaviti kriterije za doseganje visokih stan-
dardov znanja pred množičnost, da se ustavi inflacija podeljevanja odlič-
nih ocen, spričeval, diplom. . .
• Organizirati centre (npr. v okviru fakultet, kjer potekajo izobraževa-
nja učiteljev), ki bi dajali učiteljem dodatno podporo z znanjem
in opremo ter posledično povečali motivacijo za naravoslovno-tehniške
študije.
• Zagotoviti podporo institucijam neformalnega izobraževanja, ki
s svojim delom in dosežki na področju posredovanja naravoslovja in
matematike široki javnosti že izkazujejo odličnost in s tem prispevajo k
pojmovanju znanja kot pomembne osebne vrline in družbene vrednote.
Predlog univerzam
• Univerzitetni učitelji, ki poučujejo specialne didaktike, se morajo s tem
specialnodidaktičnim področjem tudi aktivno raziskovalno ukvarjati in
to dokazovati s svojo (mednarodno odmevno) bibliografijo v habilitacij-
skih postopkih, kot to velja za vsa habilitacijska področja.
25–29 29
Vesti
VESTI
Sedemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Kot že mnogo let poprej se je tudi v letu 2010 ekipa Fakultete za mate-
matiko in fiziko, Univerze v Ljubljani udeležila mednarodnega tekmovanja
študentov matematike. Tokrat so se s študenti z vsega sveta pomerili Urban
Jezernik iz tretjega letnika ter Špela Špenko, David Gajser in Gašper Zadnik
iz četrtega letnika. Kot zadnjih nekaj let se nam je pridružil še predstavnik
Univerze na Primorskem, študent tretjega letnika Peter Muršič.
Tekmovanje ni imuno za zunanje dogodke, tako se je letos število sode-
lujočih študentov prvič v zgodovini tekmovanja zmanǰsalo glede na preǰsnje
leto. Razloga naj bi bila predvsem dva: nekaterim ekipam ni uspelo zbrati
denarja za udeležbo (bojda je kriva tudi recesija), nekatere ekipe pa so imele
težave s pridobivanjem viz za Bolgarijo. Ta je že nekaj let del skupnosti dr-
žav, ki se zavzemajo za družbo znanja ter za splošno odprtost do drugih
kultur. Tako je seveda povsem logično, da so študentom matematike iz Ni-
gerije zavrnili prošnjo za vizo in ti niso mogli sodelovati. Kljub temu se je
pomerilo več kot 300 študentov, kar je med drugim nemajhen organizacijski
zalogaj. Lokalni organizatorji iz Blagoevgrada so ga izpeljali dovolj dobro,
da bodo gostili tekmovanje tudi v letu 2011.
Naša ekipa je dosegla enega večjih uspehov zadnjih let. Špela Špenko,
Urban Jezernik in Gašper Zadnik so osvojili drugo, David Gajser pa tretjo
nagrado. Tudi Peter Muršič je osvojil priznanje. Glede na to, da mnoge
univerze organizirajo posebne priprave ter izbore tekmovalcev (mi pa ne),
ta uspeh ni zanemarljiv. V posebnem točkovanju univerz smo dosegli sicer
zelo dobro 27. mesto med 90 univerzami.
Tudi družabni del ni zaostajal za preǰsnjimi leti. Na nogometni tekmi
med Srbijo in Iranom so morali posredovati celo lokalni gasilci. Huǰsega ni
bilo, le nekaj vej so zakurili (morda igralci sami, verjetno zaradi vzdušja).
A sredi poletja v Bolgariji večinoma vlada suša, zato tako početje ni ravno
zaželeno.
V študentskem domu je bilo vseskozi veselo, še posebej pa po drugem
tekmovalnem dnevu, ko je bilo delo opravljeno. Ena od posledic celonočne
zabave je bila ta, da se je izleta prihodnjega dne udeležilo nekoliko manj
študentov. Naša ekipa je poslala enega predstavnika, kar je bilo bolje od
naših sosedov v študentskem domu, ekipe iz Innsbrucka, ki so se odpravili
na avtobus pet ur po njegovem odhodu.
Ob vrnitvi domov naših študentov sicer ni pričakala navdušena mno-
žica, so pa vseeno dobili priznanja, ki jim gredo. Najprej jih je v septembru
30 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
Sedemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
sprejel rektor Univerze v Ljubljani prof. dr. Stanislav Pejovnik. V decem-
bru so bili povabljeni še na srečanje z ministrom Gregorjem Golobičem in
predsednikom republike dr. Danilom Türkom. Obširneǰsa poročila z obeh
dogodkov najdete na internetnih straneh Fakultete za matematiko in fiziko
Univerze v Ljubljani, Urada predsednika republike in Ministrstva za visoko
šolstvo, znanost in tehnologijo.
Še nekaj besed o matematični plati tekmovanja. Študenti so dva dni po
pet ur reševali po pet nalog. Vsak dan je bila prva naloga lahka in bi jo
morali rešiti res skoraj vsi, naslednje tri naj bi bile srednje težavnosti, zadnja
pa je bila običajno zelo težka oziroma nerešljiva. Predstavil bi dve (res lahki)
nalogi ter nekaj dilem, pred katerimi so se znašli ocenjevalci. Problemi pri
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 31
Vesti
ocenjevanju izdelkov študentov so namreč pogosto, milo rečeno, nemajhni.
Poleg tega ocenjevanje po pravilu traja dolgo v noč, ko tudi koncentracija
ocenjevalcev že popusti. Tako je nujno, da obstaja možnost popravkov.
Kljub temu se včasih zgodi, da je kak študent oškodovan za kakšno točko
– kar lahko pomeni tudi nižjo nagrado (seveda moralno, saj materialnih
nagrad skoraj ni).
Poskusimo najprej rešiti najlažjo nalogo.
Naloga 1. Dokažite, da za vsak par 0 < a < b velja
∫
b
a
(x2 + 1)e−x
2
dx ≥ e−a
2
− e−b
2
.
Ker je naloga res lahka, bi jo zmogel rešiti vsak. Uradna rešitev je upo-
rabila Cauchyjev izrek o povprečni vrednosti, nekaj odvajanja in neenakost
med aritmetično in geometrično sredino. Kot običajno so študenti našli
precej lažjo rešitev.
Rešitev. Ker je x2 + 1 ≥ 2x, je
∫
b
a
(x2 + 1)e−x
2
dx ≥
∫
b
a
2xe−x
2
dx =
[
−e−x
2
]b
a
= e−a
2
− e−b
2
.
Filozofski problem, okoli katerega so se vrteli ocenjevalci, je naslednji:
ali lahko neenakost x2+1 ≥ 2x zapǐsemo kot dejstvo? Študenti, ki so jo za-
pisali, bi jo verjetno znali tudi utemeljiti. A princip, po katerem se ocenjuje
izdelke, je seveda ta, da se oceni tisto, kar je na papirju, ne pa tisto, kar je
(najverjetneje) v študentovi glavi. Tega se zavedajo tudi nekateri študenti,
zato so zgoraj omenjeno neenakost poskusili dokazati res podrobno. Eden
izmed dokazov je bil recimo tale:
Dokaz neenakosti. Neenakost očitno velja za x ≥ 2, saj v tem primeru velja
že x · x ≥ 2 · x. Če je x ≤ 1
2
, je 2x ≤ 1 in neenakost spet velja. Ostane
območje 1
2
< x < 2. Najprej pogledamo območje 1
2
< x ≤ 1. Tu velja,
da je odvod leve strani enak 2x ≤ 2, odvod desne strani pa je enak 2. To
pomeni, da funkcija x2 + 1 počasneje narašča od 2x. Ker je v desnem robu
intervala (v x = 1) vrednost obeh funkcij enaka, velja, da je leva funkcija
nad desno, torej x2+1 ≥ 2x. Podobno razmislimo na intervalu [1, 2]: odvod
leve funkcije je 2x ≥ 2, odvod desne je še vedno enak 2. Tako smo dobili,
da za vse realne x velja x2 + 1 ≥ 2x.
Ni presenečenje, da je bila pri ocenjevalcih bolje sprejeta naslednja ar-
gumentacija: ker je x2 + 1− 2x = (x− 1)2 ≥ 0, je x2 + 1 ≥ 2x.
Podobne probleme (branje misli) smo imeli pri naslednji nalogi. Tudi ta
je bila lahka.
32 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
Naloga 2. Ali za vsak začetni člen x0 konvergira zaporedje, podano
rekurzivno za vsak n ≥ 0 s predpisom
(a) xn+1 = xn cosxn?
(b) xn+1 = xn sinxn?
Rešitev. Zaporedje x0 = π, xn+1 = xn cosxn ne konvergira. Velja
namreč, da je xn = (−1)
nπ.
Za drugo zaporedje je odgovor pritrdilen, kar najlažje vidimo tako: funk-
cija f(x) = x sinx je soda, kar med drugim pomeni, da je f(x) = f(−x) =
f(|x|). Poleg tega je zaporedje |xn| nenaraščajoče in seveda navzdol ome-
jeno, torej ima limito. A ker je xn+1 = f(xn) = f(|xn|) in je f tudi zvezna,
|xn| pa je konvergentno, je tudi xn konvergentno zaporedje.
Mimogrede: nenaraščajoče zaporedje je nekaj drugega kot zaporedje, ki
ne narašča. Tudi tu je bilo kar nekaj vročih mnenj v komisiji. Večinoma
smo se le domenili, da moramo nekaj tolerance pustiti tudi zaradi uporabe
tujega jezika – tekmuje se namreč v angleščini, ki ni materni jezik večine
tekmovalcev (celo tistih ne, ki prihajajo iz Londona ali Princetona).
Kogar zanimajo še druge naloge (ki so večji izziv), si jih lahko ogleda na
uradni strani tekmovanja, www.imc-math.org.uk.
Gregor Šega
PETER ŠEMRL GLAVNI UREDNIK REVIJE LINEAR
ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS
Z novim letom je prof. dr. Peter Šemrl postal eden od štirih glavnih
urednikov ugledne revije Linear Algebra and its Applications. V tej reviji je
mnogo objavljal sam, pa tudi drugi slovenski matematiki. To veliko prizna-
nje ne preseneča, če poznamo njegovo izredno uspešno znanstveno in tudi
urednǐsko delo. Že prej je bil namreč urednik pri tej reviji. Profesor Šemrl
je urednik tudi pri reviji Linear and Multilinear algebra.
Profesor Šemrl ves čas deluje v International Linear Algebra Society
(ILAS). Bil je plenarni predavatelj na Deveti konferenci ILAS v Haifi (Izrael,
2001) in na Trinajsti konferenci ILAS v Amsterdamu (2006). Imel je Taus-
sky Todd Lecture (kar je redko podeljeno priznanje) na Enajsti konferenci
ILAS v Coimbri (Portugalska, 2004). Bil je član programskega odbora Šti-
rinajste konference ILAS v Šanghaju (2007).
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 33
i
i
“Zadnik” — 2011/3/15 — 8:25 — page 34 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
MARS 2010
Lansko leto med 15. in 20. avgustom je potekal že peti MARS – matema-
tično raziskovalno srečanje srednješolcev. Po štirih letih na Fakulteti za
matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije v Kopru se je MARS
lani preselil v Bohinj, v Center šolskih in obšolskih dejavnosti. Njegovo
poslanstvo pa ostaja nespremenjeno – dijakom želi približati raziskovanje
matematike s čim širšim pogledom na obravnavane probleme. Tokrat smo
enaindvajsetim dijakom, ki so se nam pridružili, za raziskovanje ponudili
precej raznolike teme, od računalniško obarvanih (Regularni jeziki in končni
avtomati, Problem trdnih zakonov, GPS), uporabnih (Diskontiranje, Vozli),
diskretnih (Rado graf, Šifra: MARS) pa do že prav resne analize (Rieman-
nova zeta funkcija in Eulerjev produkt). Mimogrede so se naučili rokovanja
z urejevalnikom matematičnih besedil LATEX in programom za dinamično
geometrijo – geogebro. Ob strani smo jim stali Boštjan Kuzman s Pedago-
ške fakultete v Ljubljani, David Gajser (taborovodja), Uroš Kuzman, Nino
Bašić, Maja Alif, Aleksander Simonič, Dejan Širaj in Gašper Zadnik s Fa-
kultete za matematiko in fiziko v Ljubljani ter Anja Komatar, študentka
matematike na Cambridgeu.
Prve štiri večere bivanja na MARSu so nam obzorja širili tudi gostu-
joči predavatelji, asist. dr. Marjan Jerman (Zgodovina reševanja polinom-
skih enačb), doc. dr. Barbara Boldin (Matematični modeli v biologiji), prof.
34 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“Zadnik” — 2011/3/15 — 8:25 — page 35 — #2 i
i
i
i
i
i
MARS 2010
dr. Neža Mramor – Kosta (Triangulacije: kako iz množice točk sestaviti
obliko?) ter doc. dr. Marko Slapar (Štetje praštevil in Riemannova hipo-
teza).
Dejan Širaj je pripravil triurno delavnico na temo teorije iger, na kateri
je predstavil nekaj preprostih iger za dva igralca ter zmagovalne strategije,
ki smo jih tudi preizkusili. Nakazal je tudi pomen tega področja v finančni
matematiki.
Da pa se dijaki sredi poletja vendarle ne bi le učili in raziskovali, smo
poskrbeli za družabni program. Uradni del MARSa se je začel z vzletom,
njegov namen je, da se dijaki in mentorji na zabaven način spoznajo. Vsak
dan smo si vzeli krajši odmor ali dva za kakšno športno aktivnost in za
krepitev moštvenega duha, zvečer pa smo se posvetili igranju družabnih iger
ali namiznega tenisa. Predzadnji dan so dijaki končali svoje raziskovalno
delo, po kosilu pa so se podali na veliko MARSovsko avanturo, ki je letos
zahtevala kar nekaj spretnosti in veščin preživetja v naravi. Prav vsi so
jo uspešno prestali, ob vrnitvi pa so jih že čakali tudi udeleženci preteklih
MARSov. Vsi skupaj smo prisluhnili udeležencem različnih mednarodnih
tekmovanj iz znanj na olimpijskem večeru, potem pa se je začel piknik in
praznovanje MARSovega petega rojstnega dne s torto.
Seveda se je družabni večer z MARSovci vseh generacij zavlekel pozno
v noč, ampak to dijakom ni preprečilo, da bi prihodnji dan dokončali še
predstavitve svojega dela, ki so ga nato na pristanku prikazali tudi staršem
in drugim udeležencem.
Podrobnosti o poteku dogajanja na MARSu, o delu dijakov, o gostih
in o družabnem dogajanju si lahko ogledate tudi na naši spletni strani
http://mars.dmfa.si/, kjer bodo v aprilu na voljo tudi informacije o na-
slednjem MARSu, ki bo predvidoma od 21. do 28. avgusta 2011 zopet v
CŠOD Bohinj.
MARS 2010 so finančno podprli Ministrstvo za visoko šolstvo, znanost
in tehnologijo RS, Zavarovalnica Triglav in ŠOU v Ljubljani, različna darila
za udeležence pa so prispevali g. Simonič, DMFA – založništvo, Logika d. d.,
IMFM in UP FAMNIT.
Gašper Zadnik
http://www.obzornik.si/
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 35
i
i
“Razpet” — 2011/3/4 — 9:56 — page 36 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
H. Gintis, THE BOUNDS OF REASON – Game Theory and the
Unification of the Behavioral Sciences, Princeton University
Press, Princeton, Oxford, 2009, 304 strani.
V predstavljeni knjigi Herberta Gin-
tisa ima teorija iger osrednjo vlogo pri
razumevanju človekovega vedenja in
njegove prirojene nagnjenosti k spre-
minjanju družbenih norm, četudi v la-
stno škodo. Teorija iger je namreč po-
membna za vse tiste znanosti, ki imajo
kakorkoli opravka z obnašanjem ozi-
roma vedenjem ljudi. Take znanosti so
na primer biologija, ekonomija, antro-
pologija in politološke znanosti. Ven-
dar pa knjiga dokazuje, da teorija iger
sama ne more povsem razložiti člove-
kovega vedenja in da pogosto potre-
buje pomoč drugih, tako imenovanih
behaviorističnih znanosti. Gintis dokazuje, da je sama teorija iger brez širše
podpore družboslovnih znanosti zgolj matematični pripomoček in da, če po-
gledamo z druge strani, ni pravih družboslovnih znanosti brez teorije iger.
Gintis opozarja, da teorija iger ne pojasni, kdaj in kako lahko zaupamo
razumu. Teorija iger neupravičeno predpostavlja določene pogoje, toda lju-
dje imamo svojevrstno obliko spoznavanja in razumevanja, ki nimata le ra-
zumskega, ampak tudi socialni predznak. Gintis zagovarja enoten pristop k
razumevanju človekovega obnašanja in meni, da postavljanje strogih meja
med behavioristična področja v ekonomiji, sociologiji, antropologiji in psi-
hologiji nima nobenega znanstvenega opravičila in da imamo zdaj analitična
orodja, ki jih usklajeno povezujejo. Knjiga združuje prednosti klasičnih, evo-
lucijskih in behaviorističnih znanstvenih področij s teorijo iger ter slednje
36 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
i
i
“Razpet” — 2011/3/4 — 9:56 — page 37 — #2 i
i
i
i
i
i
ponuja kot koristno orodje za inovativen študij behaviorističnih znanosti.
Še na kratko o avtorju. Leta 1940 rojeni Herbert Gintis je diplomiral iz
matematike na University of Pennsylvania, nato je magistriral, prav tako iz
matematike, in sicer na Harvardu, kjer je tudi opravil doktorat iz ekonomije.
Kot profesor je predaval na več univerzah in inštitutih v ZDA in Evropi. Od
leta 2003 je upokojen. Je avtor knjige Game Theory Evolving in avtor
oziroma soavtor številnih člankov ter knjig, na primer Moral Sentiments,
Material Interests, Unequal Chances in Foundations of Human Sociality.
Marko Razpet
H. Gintis, GAME THEORY EVOLVING – A Problem-Centered
Introduction to Modeling Strategic Interaction, Princeton
University Press, Princeton, Oxford, 2009, 408 strani, druga
izdaja.
Knjiga se začne s poglavjem o te-
oriji verjetnosti in nadaljuje s poglav-
jem, ki obravnava Bayesovo teorijo od-
ločanja. Začetni poglavji sta name-
njeni lažjemu prehodu v tretje po-
glavje, v katerem so predstavljeni osno-
vni pojmi teorije iger.
Naslednja tri poglavja obravnavajo raz-
lične vrste strategij v teoriji iger in
Nashevo ravnovesje. Sledijo poglavja
z bolj specifično vsebino, ki vsebu-
jejo tudi manj znane izraze iz poslov-
nega sveta: model principal-agent, si-
gnalne igre in ponovljene igre. Zadnja
štiri poglavja knjige imajo poudarek
na značilnostih razvojne teorije iger, razvojno stabilnih strategij, dinamičnih
sistemih, razvojni dinamiki in stohastičnih dinamičnih sistemih. Pojasnimo
na kratko, za kaj gre pri modelu principal-agent. Principal plačuje agenta
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 37
i
i
“Razpet” — 2011/3/4 — 9:56 — page 38 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
za določeno nalogo, toda agent razpolaga z informacijami, ki jih verjetno
izrablja za doseganje lastnih ciljev.
Vse pravkar omenjene teme, zlasti njihova pestrost, vključno s klasično
teorijo iger in dinamiko sistemov, so v prid knjigi, če jo primerjamo z drugimi
s podobno vsebino.
Poglavje se običajno začne s krajšim uvodom v snov, ki jo namerava
obravnavati. Sledi glavna razlaga, ki je podkrepljena z zgledi in nalogami za
samostojno reševanje. Le-ti posegajo na primer v ekonomske, družboslovne
in psihološke znanosti. Rešitve nalog so zbrane na koncu knjige.
Druga izdaja opisane knjige prihaja med bralce devet let za prvo, in
to nekoliko predelana ter krajša. Ni običajen učbenik, saj snov podaja s
številnimi zgledi z različnih področij in ne le s suhoparno teorijo. V zglede
se je treba zares poglobiti ter vživeti. Ravno zaradi tega in vrstnega reda
podajanja snovi morda knjiga marsikomu ne bo preveč všeč. Tu in tam je
treba kak pojem iskati celo na kasnejših straneh namesto na že pregledanih,
je pa tudi nekaj podvajanja. Morda se je avtorju v trenutku nepazljivosti to
zgodilo pri predelavi prve izdaje. Zdi se, da se je avtor marsičesa lotil preveč
formalno in abstraktno, kar je v nasprotju z njegovim konceptom knjige. So
pa raznovrstni zgledi pravi vir nalog iz teorije iger.
Na koncu knjige najdemo seznam uporabljenih simbolov, rešitve nalog,
ki so zastavljene sproti, njihove vire, obsežen seznam literature in stvarno
kazalo.
Avtorja, uglednega ekonomista Herberta Gintisa, smo že predstavili v
opisu njegove knjige The Bounds of Reason – Game Theory and the Unifi-
cation of the Behavioral Sciences.
Marko Razpet
http://www.obzornik.si/
38 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
VPRAŠANJA IN ODGOVORI
Dragi bralci, v četrti številki preǰsnjega letnika smo zastavili nalogo o ge-
pardu, ki lovi gazelo. Veseli smo, da je naloga naletela na dober odziv, in v
povzetku odgovorov vam bomo predstavili glavni oris rešitve. Seveda smo
imeli odgovor
”
na zalogi“ in se z izjemo nekaterih podrobnosti ujema s ti-
stim, ki ga je v knjigi
”
Navadne diferencialne enačbe in variacijski račun“
opisal že France Križanič. Na to rešitev so nas opozorili tudi pozorni bralci.
Povzemimo nalogo: v začetku je gazela v izhodǐsču koordinatnega sis-
tema, ko opazi geparda pa začne bežati v smeri osi y s hitrostjo v0. Gepard
je na začetku na osi x pri koordinati −x0 < 0, nato pa lovi gazelo s stalno
hitrostjo v1 tako, da je vseskozi usmerjen proti gazeli. Gepard ujame gazelo
v točki (0, y0).
Gibanje geparda je opisano s parametrično krivuljo t 7→ (x(t), y(t)).
Očitno je t 7→ x(t) strogo naraščajoča funkcija, zato lahko gepardovo pot
opǐsemo z grafom funkcije y = y(x). Ker je gepard vseskozi obrnjen proti
gazeli, je smerni koeficient tangente na krivuljo y(x) v točki, ki jo gepard
doseže ob času t, enak:
tgϕ =
dy
dx
= y′ =
y − v0t
x
. (1)
Iz te enačbe želimo eliminirati čas, zato jo prepǐsemo v xy′ = y − v0t in
odvajamo po x: y′ + xy′′ = y′ − v0t
′, kjer t′ označuje dt/dx. Komponenta
gepardove hitrosti v smeri osi x je
dx
dt
= v1 cosϕ =
v1
√
1 + y′2
.
Če to upoštevamo v preoblikovani enačbi (1), dobimo
xy′′ = −k
√
1 + y′2 ,
kjer smo označili k = v0/v1. V enačbi lahko ločimo spremenljivki
dy′
√
1 + y′2
= −k
dx
x
in integriramo. Integral na levi spada med osnovne integrale in ga lahko
napǐsemo kot arsh y′ ali pa kot dolgi logaritem ln(y′ +
√
y′2 + 1). Dobimo
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 39
Rešitev naloge Gepard in gazela
arsh y′ = −k ln |x| + c. Začetni pogoj narekuje, da je odvod gepardove
krivulje enak nič, saj je gepard obrnjen proti gazeli, ki je takrat v izhodǐsču:
0 = − lnxk0 + c in zato
y′ = sh ln
xk0
|x|k
= sh ln
xk0
(−x)k
.
Z uporabo shx = 1
2
(ex − e−x) dobimo
y′ =
1
2
(
xk0
(−x)k
−
(−x)k
xk
0
)
.
Ponovno integriramo in upoštevamo začetni pogoj y(−x0) = 0:
y =
1
2
(
(−x)k+1x−k
0
1 + k
−
xk0(−x)
1−k
1− k
)
+
x0k
1− k2
. (2)
Na podoben način pridemo do enakega rezultata, če najprej zapǐsemo
dolžino poti, ki jo do trenutka t opravi gepard: s = v1t. Pot izrazimo še s
krivuljnim integralom in dobimo zvezo:
t =
1
v1
∫
x
x0
√
1 + y′2 dx . (3)
V tem času gazela priteče vzdolž osi y do v0t. Ker je gepard usmerjen proti
gazeli, velja
y′ =
y − v0t
x
=
y − k
∫
x
x0
√
1 + y′2 dx
x
.
Enačbo pomnožimo z x in odvajamo po x. Spomnimo: če odvajamo integral
neke funkcije po spremenljivki v meji, je tak odvod enak vrednosti funkcije
na meji: d
dx
∫
x
konst
f(u) du = f(x). Dobimo seveda enako kot prej
y′ + y′′x = y′ − k
√
1 + y′2 .
Pot geparda za tri različna razmerja hitrosti k = 0.1; 0.5; 0.8 kaže slika
1. Kadar je gepard le malo hitreǰsi od gazele (k → 1), se krivulja skoraj
asimptotično približuje navpični osi in lov lahko traja zelo dolgo.
Čas, ki ga gepard potrebuje, da ujame gazelo, bi lahko izračunali iz (3).
Lažje pa pridemo do istega rezultata, če izračunamo čas, ki ga do konca
porabi gazela. Konec se zgodi v točki (0, y0) na osi y. Te točke ni težko
40 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1
Rešitev naloge Gepard in gazela
Slika 1
izračunati iz (2): y0 =
kx0
1−k2
. Do te točke gazela teče s konstantno hitrostjo
v0 in za pot potrebuje
t =
x0
v1(1− k2)
.
Pri k → 1 gre čas t → ∞. Za k > 1 bi dobili t < 0, kar pa ni fizikalno
smiseln rezultat. Če je gepard počasneǰsi od gazele, je seveda ne bo ujel.
Povejmo še zgodbo o kmetu in prašičku. Kmet stoji v oglǐsču kvadratne
ograde, v oglǐsču diagonalno nasproti zeva luknja, prašiček pa je v sosednjem
oglǐsču. Prašiček se v trenutku, ko začnemo meriti čas, požene s hitrostjo
v0 proti luknji, kmet pa, enako kot prej gepard, s hitrostjo v1 ves čas teče v
smeri proti prašičku. Kolikšna vsaj mora biti kmetova hitrost, da prašička
ujame pred luknjo? Najmanǰso hitrost potrebuje v mejnem primeru, ko
prašička ujame pri luknji. Krivulja gibanja kmeta je enaka kot pri gepardu.
Kmet ujame prašička, če je y(x = 0) = x0, saj smo privzeli kvadratno
ogrado. Pogoju zadosti k, ki je rešitev enačbe k = 1−k2. Fizikalno smiselna
rešitev je k = (
√
5− 1)/2 oziroma v1 = (
√
5 + 1)v0/2 ≈ 1.618v0.
Ob obravnavi naloge z gepardom se je cenjenemu bralcu porodila po-
dobna zanimiva naloga, ki vam jo podajamo v premislek. Ime naloge je
Gospod Hulot in njegov pes gresta na sprehod. Pes je na vrvici, ki jo g. Hu-
lot kraǰsa z enakomerno hitrostjo. Po kakšni krivulji se giblje pes, če g. Hulot
koraka s konstantno hitrostjo naravnost v smeri pravokotno na začetno smer
vrvice?
Aleš Mohorič
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 1 III
i
i
“kolofon” — 2011/3/14 — 12:42 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JANUAR 2011
Letnik 58, številka 1
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Baselski problem (Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11
Ultrakratki laserski sunki (Urška Jelerčič in Irena Drevenšek Olenik) . . 12–24
Šola
Posvet o pouku fizike, kemije in matematike na Slovenski akademiji zna-
nosti in umetnosti (Mojca Čepic) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25–29
Vesti
Sedemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Gregor
Šega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30–33
Peter Šemrl glavni urednik revije Linear Algebra and its Applications
(Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
MARS 2010 (Gašper Zadnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–35
Nove knjige
The bounds of reason – Game Theory and the Unification of the Beha-
vioral Sciences (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36–37
Game theory evolving – A Problem-Centered Introduction to Modeling
Strategic Interaction (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37–38
Vprašanja in odgovori
Rešitev naloge Gepard in gazela (Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39–III
CONTENTS
Articles Pages
The Basel Problem (Aleksander Simonič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11
Ultrashort Laser Pulses (Urška Jelerčič in Irena Drevenšek Olenik) . . . 12–24
School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–29
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–35
New Books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–38
Questions and answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39–III
Slika prikazuje ples laserskega curka med štirimi zgoščenkami, ki so zle-
pljene s podatkovnimi stranmi nasproti v kvadratni okvir. Sredinske luknje
na zgoščenkah so prekrite z dovolj velikimi koščki pete zgoščenke. Curek
vstopa od zgoraj in se zaradi interference razcepi na več delnih curkov, ki
nadaljujejo svojo pot tako, kot uči optika. V vodo smo dodali nekaj kapljic
mleka, da so laserski curki vidni. (Avtor: Gorazd Planinšič)