m # o PRESEK LETNIK 41 (2013/2014) ŠTEVILKA 3 .m ■«i ■ > m i .t j Ki?« »J® MARS 2013 RAD BI TE VIDEL DAN ODPRTIH VRAT EVROPSKE VESOLJSKE AGENCIJE SUDOKU KOT POSEBEN PRIMER PROBLEMA PREVOZA ISSN 0351-6652 9770351665135 9770351665135 MATEMATIČNI TRENUTKI S Ü V pogled v možgane 2 -> Zelo težko je razumeti, kako deluje človeški um. V primerjavi s starimi metodami nam nove tehnike slikanja glave, ki temeljijo na uporabi vektorjev, ten-zorjev in matrik, dajo veliko več informacij o komunikacijskih poteh v možganih. Zdravniki tako lažje kontrolirajo zavest ter diagnosticirajo številne bolezni in nepravilnosti v delovanju možganov, npr. Alzheimerjevo bolezen in kap. Dosedanje metode so opisovale le eno razsežnost, z vektorji in matrikami pa lahko predstavimo trirazsežno gibanje molekul in tako opazujemo prenašanje komunikacijskih signalov. Novih metod pa ne uporabljamo le kot pomoc pri diagnozi, omogocajo nam tudi veliko boljše razumevanje celotne strukture komunikacijskih poti v možganih. Znanstveniki so pricakovali zapleteno in zavozlano mrežo poti, s pomocjo diferencialnih enacb in diferencialne geometrije pa so odkrili zelo natan-cno strukturo, ki poteka v treh ukrivljenih smereh. Preseneceni so ugotovili, da vsaka od smeri ustreza smeri v razvoju možganov. Kogar zanima vec, si lahko prebere prispevek Dane Mackenzie Diffusion Tensor Imaging: A New View of the Brain v knjigi Fueling Innovation and Discovery: The Mathematical Sciences in the 21st Century. _ XXX PRESEK 41 (2013/2014) 3 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 41, šolsko leto 2013/2014, številka 3 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2013/2014 je za posamezne naročnike 18,00 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 15,75 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikačij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2013 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1919 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institučije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. Slika na naslovnici: Isaac Newton je sam pogosto pripovedoval, da mu je opazovanje padanja jabolka z drevesa pomagalo oblikovati teorijo gravitacije, prvic objavljene leta 1687. Potomec izvirnega drevesa raste pred glavnim vhodom v Trinity College pod sobo v kateri je Newton živel v casu svojega delovanja na univerzi v Cambridgeu. Foto: Igor Serša M ATEMATI KA MaRS 2013 nU vU NU Vesna Iršič -> Med 18. - 24. avgustom 2013 je v Bohinju že osmo leto zapored potekal matematični tabor za srednješolce MaRS (Matematično Raziskovalno Srečanje). Udeležilo se ga je osemnajst dijakov in dijakinj iz vse Slovenije, kot udeleženci so se jim pridružili še trije študentje, za uspešno odpravo pa je poskrbelo šest članov posadke: Maja Alif, David Gajser, Nejc Rosenstein, Matej Roškarič, Jana Vi-drih in Lara Kozarski, v oporo pa jim je bil tudi dr. Boštjan Kuzman. Tako kot vsa leta doslej je bila osrednja marsovska dejavnost priprava projektov. MaRSovci smo se razdelili v skupine po tri in se pod okriljem svojega mentorja spopadli z izbranim matematičnim problemom. Preden smo ga rešili, smo morali spoznati nekaj novih matematičnih znanj, nato pa smo še napisali kratek Članek in pripravili predstavitev. Letos so se dijaki pri projektih ukvarjali s: Hilbertovim hote- lom, taktikami in verjetnostjo pri namizni igri Risk, razdelitvijo ravnine s premicami, matematičnim modelom strjevanja gela, teorijo grafov in problemom najkrajše poti ter aksiomom izbire. Študentska skupina se je posvetila Turingovemu stroju in Posto-vemu problemu. Nadebudneže vabimo, da se tudi sami spoprimejo s preprostejšimi problemi, ki so bili del katerega od projektov. Rešitve lahko najdete pod zavihkom »Projekti« na spletni strani mars. famni t.upr.si. SLIKA 1. Mentorji pred izplutjem na jezero SLIKA 2. Posadka na letošnjem MaRS-u: Matej, David (spodaj) Maja, Lara, Jana (zgoraj); Nejc, Problem. MaRS je vedno bolj priljubljena turistična destinacija. Povpraševanje se izjemno hitro povečuje, zato so tam zgradili hotel Neskončno, hotel s števno neskončno sobami. Ta se je začel hitro polniti in se je nekega dne tudi napolnil. Poleg vseh običajnih postopkov na rečepčiji so bili vsi gostje pri-morani podpisati izjavo, da bodo ubogali ukaze, ki jih bodo dobili preko zvočnika, tudi če bodo zelo nenavadni. (a) Na MaRS je prispela petčlanska družina. Ker je pred hotelom vedno visel napis Proste sobe, so zahtevali vsak svojo sobo. (b) Prispela pa je tudi vesoljska ladja z neskončno potniki, izmed katerih je vsak zahteval svojo sobo. Kako naj rečeptor hotela nastani potnike v posameznem primeru? Problem. Lastniča Turistične agenčije MaRS se je odločila, da bo nagradila nekaj bivših strank in tako še povečala priljubljenost svoje agenčije. Kandidate za nagrado je zbrala v skupni sobi in jim povedala, da jih bodo kmalu postavili v vrsto ter vsakemu na glavo dali belo ali črno kapo. Pri tem bo vsak kandidat videl le barve kap vseh tistih kandidatov, ki bodo pred njim. Kdor ugane barvo svoje kape, dobi nagrado. Kandidati bodo ugibali barvo kape od zadnjega proti prvemu, in sičer na glas, tako da bodo vsi slišali vsakega kandidata. Za kakšno strategijo naj se kandidati za nagrado dogovorijo, da jih bo kar največ nagrado dobilo, čeprav lahko vsak izmed njih reče le bela ali črna? Problem. Na voljo imaš domine Zloži jih v vrsto eno za drugo tako, da boš zgoraj in spodaj dobil enak niz znakov. Pri tem lahko vsako domino uporabiš poljubno mnogokrat (vendar končno mnogokrat). Tipičen marsovski dan se je začel z zajtrkom, zaspani MaRSovči pa smo se dokončno prebudili šele pri jutranji telovadbi. Dopoldnevi prvih dni tabora so bili namenjeni različnim delavničam. Dr. Uroš Kuzman nas je popeljal v svet kompleksnih števil in nam predstavil njihovo povezavo z geometrijo. Mentorji so nam predstavili urejevalnik besedil LTEX, program GeoGebra in tudi nekaj osnov retorike, ki so nam pomagale pri predstavitvah projektov staršem, profesorjem in prijateljem. MaRS so obiskali tudi štirje predavatelji - dr. Milan Hladnik, dr. Boštjan Kuzman, Sergio Hiroki Koike Quinatar in dr. Andrej Bauer, ki so nas popeljali v različne svetove matematike in nam popestrili večere. Izvedeli smo, da lahko z neoznačenim ravnilom SLIKA 3. Nejceva skupina pri pripravi svojega projekta SLIKA 4. Delavnica o kompleksnih številih PRESEK 41 (2013/2014) 3 5 -> SLIKA 5. Večerno predavanje dr. Andreja Bauerja in šestilom načrtamo natanko iste točke kot samo s šestilom, spoznali končna polja, politope in osnove lambda računa. Na predavanjih smo se srečali tudi z naslednjima problemoma: Problem. Koliko različnih ogrlic s petimi kroglicami lahko naredimo, če imamo na voljo dovolj kroglič v dveh različnih barvah? Problem. S katerimi pravilnimi mnogokotniki lahko tlakujemo ravnino (t. j. pokrijemo vso ravnino brez prekrivanja)? Vsak dan je Lara pripravila uganko dneva, s katero smo se lahko spopadali v prostem času. Tudi vi lahko poskusite razrešiti katero izmed njih: Problem. Premakni eno vžigaličo, da bo enačba na sliki 6 veljala (pri tem ne smeš spreminjati znaka =). Problem. Že Egipčani so račionalna števila zapisovali v obliki ulomkov, le da so imeli vsi njihovi ulom-ki v števču število 1. Število gg zapiši kot vsoto (a) dveh različnih egipčanskih ulomkov, (b) treh različnih egipčanskih ulomkov. Zgled: 22 = 11 + 18 = 8 + 12 + 72. Clani posadke so poskrbeli, da naporno delo MaR-Sovčev ne bi preveč izčrpalo. Zato smo se v sredo podali na pohod ob koritih Mostniče, kjer smo uživali v čudoviti naravi, namaknju nog v mrzlo vodo in odličnem štrudlju v koči na konču poti. Tudi druge dni smo imeli nekaj prostega časa, ki smo ga izkoristili za kopanje v jezeru in učenje hoje po vrvi (>slačkli-ning<). Poleg tega je bil vsak dan po večernem predavanju družabni večer, ki se je ponavadi zavlekel pozno v noč. MaRSovči smo se pomerili v namiznem tenisu, osvajanju otoka Catan, že tradičionalni mafiji, igri s kartami Hanabi, taroku, napadanju Tokia, sajenju fižolčkov in osvajanju sveta pri Risku. Zadnji popoldan je potekala Velika MaRSovska avantura, orientačijski pohod z matematičnimi nalogami na kontrolnih točkah. Na avanturi se nam je pridružilo tudi prečej nekdanjih MaRSovčev, tako da je na njej skupaj sodelovalo kar 11 skupin. Za vtis, kakšno je bilo vzdušje na kontrolnih točkah, se lahko tudi sami spoprimete z enim problemom: Problem. Izračunaj ploščino območja med tremi dotikajočimi se krogi z radijem 1 (glej sliko 8). SLIKA 6. Uganka dneva - naloga z vžigalicami SLIKA 7. Na pohodu ob koritih Mostnice 6 PRESEK 41 (2013/2014) 3 SLIKA 8. Naloga z avanture - ploščina območja Zvečer je sledila razglasitev rezultatov z avanture. Zmago sta si delili dve skupini, ki sta za nagrado prejeli veliko MaRSovsko čokolado, ostali MaRSovci pa smo njim na čast izvedli MaRSovski pozdrav, s katerim smo tudi med tednom pozdravili vsakega obiskovalca. Nato je sledil še piknik ob tabornem ognju, glasbeni spremljavi dveh kitar, harmonike in mnogih navdušenih pevcev. Okoli polnoči nas je dež sicer pregnal izpod milega neba, druženje pa se je nadaljevalo v jedilnici in se za nekatere ni koncalo vse do zajtrka. Naslednje jutro je po poskusnih predstavitvah sledil pristanek, ki se je zakljucil s prijetnim druženjem, slovesom in željo, da se še kdaj srecamo - ce ne na MaRS-u pa vsaj na Zemlji. Rešitev naloge iz prejšnje številke sU vU nU Marko Razpet Ce je polinom P(x) = 6x4 - 5x3 + ax2 + 7x +12 deljiv s trinomom Q(x) = 3x2 -x + ß, potem očitno obstajata taki števili A in j, za kateri velja P(x)/Q(x) = R(x) = 2x2 + Ax + j. Ker mora potem veljati enakost P(x) = Q(x)R(x), dobimo: ■ 6x4 - 5x3 + ax2 + 7x + 12 = = (3x2 - x + ß)(2x2 + Ax + j). Po množenju trinomov na desni strani in po urejanju imamo enakost ■ 6x4 - 5x3 + ax2 + 7x + 12 = 6x4 + (3A - 2)x3 + + (2ß - A + 3j)x2 + (ßA - j)x + ßj, ki pa velja le, ce se polinoma na levi in desni strani ujemata v istoležnih koeficientih, zato morajo števila a, ß,A in j zadoščati sistemu enacb: ■ 3A - 2 = -5 2ß - A + 3 j = a ßA - j = 7 ßj = 12 Iz prve enačbe takoj dobimo A = -1, tretja in Četrta enačba pa se potem glasita: ß + j = -7, ßj = 12. Očitno imamo dve rešitvi: ß1 = -3, j1 = -4; ß2 = -4, j2 = -3. Iz druge enačbe v sistemu pa sledi še: SLIKA 9. Skupina Packi na kontrolni točki na veliki MaRSovski avanturi XXX ■ ai = 201 + - A = -17, a = + 3^2 - A = -16. Naloga ima dve rešitvi. Polinom 6x4 - 5x3 - 17x2 + 7x + 12 je deljiv s trinomom 3x2 - x - 3, ko dobimo kvocient 2x2 -x -4, polinom 6x4 - 5x3 - 16x2 + 7x + 12 pa s trinomom 3x2 - x - 4, ko dobimo kvocient 2x2 - x - 3. XXX Dobrodošli v Hotelu neskončno1 nU vU NU Tilen Lušovnik, Špela Pušnik, Tisa Ževart in Jana Vidrih (mentorica) -> Tretji teden avgusta smo srednješolci, ki nas veseli matematika, in skupina mentorjev, v veČini študentov matematike, preživeli v Bohinju na 8. Matematičnem Raziskovalnem Srečanju, na kratko MaRS-u. Tam smo poslušali predavanja z različnih področij matematike, imeli matematično - računalniške delavnice, v manjših skupinah pa smo pripravili in na konču predstavili tudi svoje projekte. Našega smo začeli s krajšo zgodbo o Hotelu neskončno. MaRS je vedno bolj priljubljena turistična destin-cija. Povpraševanje se izjemno hitro povečuje, zato so tam zgradili Hotel neskončno, hotel z neskončno enoposteljnimi sobami. Ta se je začel hitro polniti in se je nekega dne tudi napolnil. Poleg vseh običajnih postopkov na rečepčiji so bili vsi gostje primorani podpisati izjavo, da bodo ubogali vse ukaze, ki jih bodo dobili preko zvočnika, tudi če bodo zelo nenavadni. Tisti dan, ko se je hotel napolnil, je prišla petčlanska družina. Ker je pred hotelom visel napis Proste sobe, so zahtevali svojo sobo. Rečeptor jim je ugodil, naslednji dan pa ga je čakala še težja naloga. Najprej se je pripeljala vesoljska ladja z neskončno potniki, nato pa še neskončno vesoljskih ladij, vsaka z neskončno potniki. Rečeptor je bil v vseh primerih dolžan sprejeti vse goste v hotel. Kako? 1Clanek je nastal na poletnem taboru MaRS 2013 (Matematično Raziskovalno Srečanje za srednješolče). Množice Pri reševanju naloge, opisane v uvodu, smo si pomagali z množičami. Poznamo končne in neskončne množiče. Moč končne množiče je enaka številu elementov, ki jih množiča vsebuje. Dve množiči imata enako moč, če vsebujeta enako število elementov. Množiča {*, •} ima enako moč kot množiča z elementi {1, 2, 3,4}. Moč obeh množič je 4. Najbolj »vsakdanja« neskončna množiča je množiča naravnih števil, množiča števil, s katerimi štejemo. Množiče, ki imajo enako število elementov kot množiča naravnih števil, imenujemo števno neskončne množice. Neskončne množiče, ki imajo večjo moč, pa so neštevne. Da bomo lahko ugotovili, kdaj imata dve množiči enako elementov, definiramo bi-jektivno preslikavo. Preslikava iz množiče A v mno-žičo B je bijektivna, če je vsak element iz množiče B slika natanko enega elementa iz množiče A. Množiča je števno neskončna, če jo bijektivna preslikava preslika na množičo naravnih števil. Rečemo lahko tudi, da je množiča števna, če lahko vse elemente postavimo v neko zaporedje. Moč števno neskončne množiče je enaka K0, kar preberemo alefnič. Za lažje razumevanje pojma moči množič si najprej poglejmo nekaj osnovnih primerov. Ce je neka množiča podmnožiča, še ne pomeni, da ima tudi manjšo moč. Ceprav je množiča sodih naravnih števil podmnožiča naravnih števil, imata obe množiči enako moč. Da bi dokazali to izjavo, moramo skon- SLIKA1. Avtorji: Špela, Tilen, Tisa (z leve) in Jana (zgoraj) struirati bijekčijo med danima množičama. Preslikava f naj bo podana z naslednjim predpisom: ■ f : N - 2N n — 2n. Preslikava f številu 1 priredi število 2, številu 2 število 4, številu 3 število 6 in tako naprej. Na ta način smo vsakemu naravnemu številu priredili natanko eno sodo število in vsakemu sodemu natanko eno naravno število. Torej je preslikava f bijektivna. Da je množiča sodih števil števno neskončna, bi lahko dokazali tudi tako, da bi soda števila uredili v zaporedje 2,4,6, 8, ... Tako bi vsakemu številu določili, na katerem mestu stoji ter mu tako enolično priredili neko naravno število - njegovo zaporedno mesto v zapisu zaporedja. Iz zgornjega razmisleka je razvidno, da je množiča števno neskončna natanko tedaj, ko lahko njene elemente razvrstimo v zaporedje. To bomo v nadaljevanju večkrat uporabili. Števna so tudi čela števila Z = {...,-3,-2,-1,0,1, 2, 3,...}. Vsakemu čelemu številu priredimo natanko eno naravno število tako, da jih uredimo v zaporedje ■ 0,1,-1, 2,-2, 3,-3,4, -4,... Racionalna števila Množiča račionalnih števil je števno neskončna. To bomo dokazali s pomočjo tabele na sliki 2. V prvi vrstiči tabele so vsa čela števila, zapisana po prejšnjem zaporedju, brez števila 0, v prvem stolpču pa vsa naravna števila. Ostala števila dobimo z deljenjem čelih števil z naravnimi. Tako dobimo vsa račionalna števila razen 0. Razvrstimo sedaj račionalna števila v zaporedje. Prvi člen zaporedja je 0, naslednje člene pa določamo po diagonalah. Na prvi diagonali je en člen 1, na drugi sta dva člena: 2 in -1, na tretji so trije členi: 1, - 2 in 2. Clene na vsaki diagonali, po vrsti od spodaj navzgor, zapisujemo v zaporedje. Clenov, ki smo jih že izpisali, ne izpisujemo več. Ulomka 1 2 2 in 2 sta enaka, zato ulomka ^ ne izpišemo. Zapišimo prvih nekaj členov zaporedja: 0,1, 1, -1, 1, -1, 2, 1, -1, -2, 1, ' ' 2' ' 3 2 ' 4' 3' 5' 4, 3, 3 6, ... 1 -1 2 -2 3 -3 ,1 2, 2 ,•• 3 , 3 1 , "1 ,'1 ~y ,1 2,- 2, 3 ... • ' 3 2 , ~2 /2 , "2 .2 2 ,1 2 ' 2/ 3 , 3 3 , ~3 ,3 , "'3 3- ' "3 ,1 2, 2, 3 , 3 4 , ~4 ,4 ,~4 V "4 ,1 ' X' 2. 2, 3 , 3, 5 .. ~5 ,"5 /i .1 ,1 2' .3 6 .. ~6 ,6 ,6 2 ,2 ,3 7 ■•'"i y 7 , '"i ,• •'' 7 . /~1 SLIKA 2. Dokaz števne neskončnosti množice racionalnih števil Realna števila in Cantorjev diagonalni dokaz Najpreprostejši zgled neštevne množiče je množiča realnih števil R. Da realnih števil ni števno neskončno, je leta 1877 dokazal Georg Ferdinand Cantor. Njegov dokaz nam pove, da je realnih števil več kot naravnih, čeprav sta obe množiči neskončni. Izrek. Interval [0,1] ni števno neskončen. Predpostavimo, da interval [0,1] je števno neskončen. Potem lahko števila iz tega intervala označimo z r1 ,r2 ,r3..., saj jih lahko uredimo v zaporedje. Vsa števila ri, za i e N podamo v desetiškem zapisu. Dečimalni zapis števila ni enoličen, zato za števila, ki imajo dva različna desetiška zapisa (npr. 0,6999... = 0,7000...), uporabimo zapis, ki se končuje z devetičami. Vzemimo primer tega zaporedja realnih števil: r1 = 0,62985765. r2 = 0,35634274. r3 = 0,72938906. r4 = 0,67298331. r5 = 0,14265386. r6 = 0,98564352. r7 = 0,21435746. r8 = 0,64532185. Iz tega zaporedja skonstruiramo novo število % tako, da pogledamo k-to števko za desetiško vejico v zapisu k-tega števila rk. Torej pri številu r1 pogledamo prvo decimalko, pri r2 drugo, pri r17 pa sedemnajsto decimalko. Ce je ta k-ta števka števila rk enaka 5, bo k-ta števka števila % enaka 4; ce pa k-ta števka rk ni enaka 5, bo k-ta števka števila % enaka 5. Tako bomo dobili realno število % iz intervala [0,1]. Iz zgornjega primera bi npr. skonstruirali takšno število: ■ % = 0,54554554... G [0,1]. Ker smo na zacetku predpostavili, da zaporedje r1,r2,r3, ... zajame vsa realna števila na intervalu [0,1], bi moral obstajati tudi tak n G N, da bi bil % = rn. Zaradi nacina izbire števk števila % pa se % od rn razlikuje vsaj v števki na n-tem mestu. Od števila r1 se npr. razlikuje v prvi števki, od števila r2 v drugi itd. To pomeni, da števila % v zaporedju r1,r2,r3, ... ni. Torej v zaporedju niso oštevilcena vsa realna števila iz intervala [0,1]. S tem pridemo do protislovja s predpostavko iz zacetka dokaza, da je interval [0,1] števno neskoncen in lahko njegove elemente uredimo v zaporedje. Tako smo pokazali, da interval [0, 1] ni števno neskoncen. Posledica. Moc množice realnih števil je vecja od moci množice naravnih števil, tj. |R| > |N|. Ker vemo, daje |[0,1]| > |N|, je dovolj pokazati |[0,1]| = |R|. Poišcimo torej bijektivno preslikavo, ki preslika interval [0,1] c R v množico realnih števil R. To lahko naredimo s kompozitumom dveh bijektivnih preslikav. Najprej interval [0,1] preslikamo v interval (0,1) s funkcijo f(%) = 1; 2 ; 1; 3 ; 1 ; n+2 ; %; %=0 % = 1 % = n, n G N sicer. Funkcija f število 0 preslika v 2, 1 v 3, 1 v 3. Podobno kot število 1 1 2' x v 3, 2 v 42 preslikamo tudi druga števila oblike n'; imenovalcu ulomka prištejemo 2. Vsa ostala števila preslikamo sama vase. Enostavno je videti, daje f injektivna in surjektivna, torej bijektivna.2 Zdaj poišcimo še bijektivno preslikavo iz intervala (0,1) v množico realnih števil R. To naredimo s funkcijo g, ki je podana z: g(%) = %(% -1)' 4 2 - -2 - -4 SLIKA 3. Graf bijektivne funkcije g, ki preslika interval (0,1) v realna števila. 2Namig: števila oblike n obravnavaj posebej. 0 2 0 2 4 Funkcija g je zaradi monotonosti injektivna, surjek-tivna pa je zato, ker je zvezna in ima ustrezni limiti limX|0 = in limiti = Kompozitum g ◦ f : [0,1] — R je bijektiven, torej imata množici [0,1] in R enako moc. Iz tega sledi, da je tudi množica realnih števil R neštevno neskončna, torej ima večjo moč od množice naravnih števil N. prve ladje, ki je imel vsoto enako 2. Za njim sta sobi dobila potnika z vsoto 3 in za njima še ostali po nara-šcajocem zaporedju izracunane vsote 4, 5, 6, ... Število potnikov, ki imajo enako vsoto, je vedno koncno, kar je razvidno iz tabele 1. Vsak potnik ima tako pred seboj le koncno drugih gostov in ve, da bo v koncnem casu dobil svoj kljuc. Hotel neskončno Literatura Ko je prišla v hotel petclanska družina, je bil hotel že poln. Receptor jim je moral dodeliti sobe. Po zvoc-niku je sporocil, da naj se vsak gost pomakne za pet sob naprej. Clani družine so dobili sobe od 1 do 5. Nekega dne pa je prispela vesoljska ladja z ne-skoncno potniki. Receptor je moral najti novo rešitev. Vsem gostom v hotelu je ukazal, da pomnožijo številko svoje sobe z 2 in poišcejo sobo z dobljeno številko. Nove goste je razporedil v sobe z lihimi številkami. To je delovalo, dokler ni prišlo neskoncno ladij, vsaka z neskoncno potniki. Receptorja je to najprej presenetilo in ni vedel, kaj naj stori, po premisleku pa se je spomnil rešitve. Najprej je goste v hotelu ponovno premestil v sobe s sodimi številkami in tako izpraznil neskoncno sob z lihimi številkami. Vsak potnik v ladji ima doloceno številko ladje in številko sedeža v ladji. Receptor je gostom ukazal, naj seštejejo številko svoje ladje in sedeža. Nato jim je delil kljuce praznih (lihih) sob po zaporedju njihove izracunane vsote. Najprej je sobo dobil prvi potnik iz 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12 13 [1] N. Casey, Welcome to the Hotel Infinity!, http://www.ccs3.lanl.gov/mega-math/ workbk/infinity/inhotel.html, citirano dne 19. 8. 2013. [2] Števna množica, http://sl.wikipedia.org/ wi ki /stevna_mnozi ca, citirano dne 19. 8. 2013. [3] Cantorjev diagonalni dokaz, http://sl.wiki pedi a.org/Cantorjev_ diagonalni_dokaz, citirano dne 19. 8. 2013. _XXX Križne vsote •is ■i' ■i' -> Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v zaporednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) razlicne. TABELA 1. Številke v prvi vrstici predstavljajo številko sedeža v ladji, številke v prvem stolpcu pa številko ladje. V tabeli je za vsakega potnika napisana vsota teh dveh števil. 8 6 5 15 16 11 12 11 4 14 XXX Rad bi te videl Koliko svetlobe odbijajo RAZLIČNE barve TKANIN? Tinka Trop in Monika Bačec -> Poletje je čas sproščenih večernih sprehodov do odmaknjenih, skoraj pozabljenih kotičkov, od koder je najlepši pogled na sonce, ki se utaplja v morju, ali navzgor v prostranstva vesolja. Zaradi prijaznejših temperatur velikokrat pred odhodom ne pomislimo, da bi s seboj vzeli toplejša oblačila. Prav tako preprosto pozabimo, da nas lahko ujame noč in bi bilo s seboj primerno vzeti kakšno odsevno telo. Na blogih in spletnih forumih, kjer se tematika dotakne varnosti pešcev v cestnem prometu in njihove vidnosti, pogosto naletimo na zapise razjarjenih voznikov. Ti se pritožujejo nad pešci brez ustreznih odsevnih teles, ki so povrhu vsega obleceni še v temnejša oblacila. Kakšna pa je razlika med kolicino svetlobe, ki se odbije od svetlejših in temnejših obla-cil? Voznik v avtomobilu vidi pred seboj predmete, ki jih osvetlijo avtomobilski žarometi. Ko svetloba, ki je elektromagnetno valovanje, sestavljeno iz mešanice valovanj z razlicnimi valovnimi dolžinami in ja-kostmi, vpade na površino dolocene barve, ta absorbira del svetlobe. Del spektra valovnih dolžin, ki se odbije, doloca barvo površine. Človeško oko ni enako obcutljivo na razlicne dele barvnega spektra. V ocesu imamo dvoje receptorjev: palicice in cepke. Palicice so obcutljivejše za svetlobo, vendar ne locijo barv. Z njimi si pomagamo predvsem v mraku. Čepki so treh vrst in z njihovo pomocjo locujemo barve. Predstavljajmo si, da se v nocnih urah na neosvetljeni cesti srecata voznik avtomobila in pešec, oble- IQ SLIKA 1. čen v tipična poletna bombažna oblačila. Pri simula-čiji teh razmer smo v zatemnjenem prostoru s temno modrim ozadjem uporabili samostoječi reflektor ter na dve stojali naslonjeno ploščo pravokotne oblike, na katero smo pritrdili bombažne majiče različnih barv. Voznikovo oko smo nadomestili s senzorjem svetlobe, t. i. Vernier Light Sensor LS-BTA, ki je združljiv s programsko opremo LoggerPro. Senzor meri osvetljenost, torej svetlobni tok, ki vpada na površino osvetljenega dela siličijeve fotodiode. Izhodni izmerki senzorja so v fiziološki enoti lux. Ta nam pove, da je občutljivost senzorja v odvisnosti od valovne dolžine podobna občutljivosti človeškega očesa pri enakih valovnih dolžinah vpadne svetlobe. Kot takšen, je senzor primeren nadomestek voznika avtomobila. Pred pričetkom meritev je bilo potrebno preveriti, ali bo pri merjenju pomembno, kakšen je kot med senzorjem svetlobe in napeto tkanino. Ko opazujemo svetlo piko, ki jo svetlobni vir ustvarja na zaslonu iz tkanine, ugotovimo, da jo vidimo enako svetlo, ne glede na to pod kakšnim kotom jo opazujemo. O tem govori Lambertov zakon, ki velja za črno telo in hrapava svetila: svetlost ploskovnega svetila je neodvisna od smeri opazovanja. Kot vir snopa svetlobe smo uporabili projektor, namenjen predvajanju diapozitivov z zaslonko, ki je imela krožno odprtino premera (3,0 ± 0,5) mm. Svetlobni snop iz projektorja je vpadal pravokotno na zaslon z belo tkanino, kot prikazuje slika 3. Izmerili smo osvetljenost v odvisnosti od kota med senzorjem in smerjo vpadne svetlobe. Senzor smo nastavili v najobčutljivejše območje, primerno za merjenje osvetljenosti med 0 in 600 lux. V tem območju je resolucija meritev 0,2 lux. Zajemali smo 20 izmerkov/s. Meritev je trajala deset sekund. Končno vrednost izmerka smo določili kot povprečje meritve. Od vseh meritev je odšteto ozadje, ki smo ga izmerili tako, da smo izmerili osvetljenost enake postavitve brez priključenega vira svetlobe. Meritve prikazuje graf na sliki 5. Vidimo, da osvetljenost ni odvisna od orientačije senzorja. S to ugotovitvijo se lahko vrnemo nazaj k prej zastavljeni simulačiji srečanja voznika avtomobila in neoznačenega pešča. Postavitev eksperimenta prikazuje skiča na sliki 6. SLIKA 2. SLIKA 3. Kot vir svetlobe smo uporabili reflektor, saj se najbolje približa svetlobnemu snopu avtomobilske luči. Snop svetlobe se pri oddaljevanju od svetila širi navzven in je na oddaljenosti, kjer naleti na pešča (na podlago napeto blago), dovolj širok, da osvetli vso površino tkanine in tudi del ozadja, ki je predstavljeno s temno modrim okenskim senčilom. SLIKA 4. 40 H 35 -_ 30- r 25- § 20 H v f 15- o 10 - 5 - 0 30 kot [◦ ] 60 SLIKA 5. Osvetljenost v odvisnosti od kota med pravokotnico na zaslon in senzorjem -> 0 PRESEK 41 (2013/2014) 3 13 SLIKA 6. Za primerljivost meritev z različnimi tkaninami smo poskrbeli tako, da je bila postavitev pri vseh delih poskusa enaka. Podlaga z blagom je bila zmeraj enako oddaljena od izvora in senzorja, saj smo na mize in podlago zarisali, kje stoji kateri izmed delov poskusa. Tkanine smo napeli na podlago in ne samo obesili, saj so bile majice različnih velikosti in smo tako poskrbeli, da je bila odbojna površina zmeraj enaka. Vse majice se bile iz 100 % bombaža. Pomembna predpostavka je bila, da se ozadje opazno ne spreminja. Eksperiment smo izvedli v čim bolj zatemnjeni učilnici. Bilje sončen dan brez oblakov, ki bi spreminjali osvetljenost v učilniči. Pred vsako meritvijo smo najprej naredili meritev ozadja - torej meritev postavitve brez prižganega reflektorja. Te izmerke smo nato odšteli od meritev. Merili smo v srednjem območju občutljivosti od 0 do 6000 lux z ločljivostjo 2 lux. Zajemali smo 20 £ 15 - '^vl^Üisii ^ ¡v ' I ,<"■/ - - ♦ : 'J • . . . . * * * WiMfi-, fflnu SLIKA 7. SLIKA 8. Vrstni red barv: bela, rumena, oranžna, rdeča, ciklamna, turkizna, siva, svetlo zelena, vijolična, modra, crna. izmerkov/s v desetih sekundah. Koncni izmerek je povprecje vseh meritev. Izmerke prikazuje graf na sliki 8, kjer je prikazan odstotek odbite svetlobe a ■ a ■ 100% b a = osvetljenost na doloceni razdalji od zaslona s tkanino b = osvetljenost na mestu tkanine v odvisnosti od barve tkanine. Razmislimo, kaj nam povedo zgornji podatki. Svetla oblacila odbijejo dobrih 20 % vpadne svetlobe, temnejša pa le slabih 6 %. Torej svetla oblacila odbijajo skoraj štiri krat vec svetlobe! V tem trenutku postane jasno, zakaj voznik pešca, oblecenega v svetla oblacila, zagleda prej kot tistega v temnih. Morda pomislimo še na odsevna telesa, od katerih se odbije vsa vpadna svetloba. V primerjavi s svetlimi oblacili lahko recemo, da se od le-teh odbije pet krat manj svetlobe, kot jo odbije odsevno telo. Ko vas ob neosvetljeni cesti nepripravljene ujame noc, bodite previdni. Ce vidite avtomobil, to še ne pomeni, da je tudi voznik že zagledal vas. _ XXX www.presek.si www.dmfa.si 25 s 20 10 0 44. mednarodna fizikalna olimpijada v Kopenhagnu, Danska nU NU NU Jurij Bajc -> Po regijskem in državnem tekmovanju srednje-šolčev iz fizike ter izbirnem tekmovanju za olimpijsko ekipo so se na olimpijado uvrstili: Mičhel Adamič in Bine Brank z Gimnazije Bežigrad, Ljubljana, Žan Kokalj z II. gimnazije Maribor, Žiga Krajnik z Gimnazije Škofja Loka in Žiga Nosan z Gimnazije Ledina, Ljubljana. Tako kot v prejšnjih letih je vse stopnje tekmovanja tudi v šolskem letu 2012/13 organiziralo in izvedlo Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA Slovenije). Strokovni vodji ekipe in člana mednarodne komisije sva bila dr. Barbara Rovšek in dr. Jurij Bajč s Pedagoške fakultete v Ljubljani. Udeležbo na olimpijadi sta finančno omogočili DMFA Slovenije in Ministrstvo za izobraževanje, znanost in šport. Olimpijada je potekala med 7. in 15. julijem 2013 v Kopenhagnu na Danskem. Sodelovalo je okoli 380 tekmovalčev iz 82-ih držav. Naši tekmovalči so osvojili dve bronasti medalji in eno pohvalo. Bronasti medalji sta osvojila Mičhel Adamič in Žiga Krajnik, pohvalo pa Bine Brank. Naslednja, 45. mednarodna fizikalna olimpijada, bo od 13. do 21. julija 2014 v Astani v Kazahstanu. SLIKA 1. Slovenska olimpijska ekipa na svečani otvoritvi. Z leve proti desni: Barbara Rovšek (vodja), Žiga Nosan, Žiga Krajnik (bronasta medalja), Bine Brank (pohvala), Žan Kokalj, Michel Adamič (bronasta medalja) in Jurij Bajc (vodja). _ XXX ■is ■i' ■i' Nagradna križanka t,n tkosni ££ mešiček radii Emrni najvišje mfa lüesi prostor vstavi« antična maloaz. igralec costner športni vaditelj krivulja spremembe stanja plina v toplot. kamnita ograia CARSKI, ZLAn ? kdor se uvaja v kako vedo natančno omejeno trajanje severna soseda latvue dauna preteklost starogrška sklenjena grafični format, nekdanji trinidad. sprinter boloon sušica hrbtnega mozga sveženj vrednostnih papirjev predmeti za okras telesa prevoz Gii,F2i!)0 hrvaški skozi „.ss' zgodo- drugo ¿is» državo ¡nrjjjjj nodilo ■®H količnik sile in ploskve, na katero ta deluje portugal. nogometni zvezdnik bokalič utemeljitelj klasične mehanike mesto izkopanin v egiptu film. snemalec preddverje zgradbe državni udar vnetje stegen. živca mesto v švici naš strojnik (igor) oznaka za tiho izvajanje v glasbi naša smučarka (ana) izumitelj parnega stroja (james) naravna časovna enota bodičast rastlin. izrastek črka» svojega malarja oznaka središča dolenjske igralec greene poldrag kamen z belimi in črnimi progami švicarska igralka (ursula) 10 sladek sredozemski plod, figa odtenek fr. matematik, pionir analize zgodov. obdobje navojnica stara kamnita kritina mesto 0mfa magnetni pomnilnik v računalniku naše elektro ital tiskovna agencua velik morski sesalec enaka samoglasnika ober avstral. papiga s perjanico parazit v sadežu prelaz pri kamniku anton ažbe starogr. astronom qalek-sandriie veznik v oziral odvisnih stavkih velika veža v javnih zgradbah pokojni španski igralec (fernando) 11 N A C R A D N I R A Z P I S -> Crke iz oštevilcenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 20. januarja 2014, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. XXX Dan odprtih vrat Evropske vesoljske agencije Dunja Fabjan ESTEC - središče za raziskovanje vesolja in vesoljsko tehnologijo Izmed devetih središč Evropske vesoljske agencije je ESTEC (European Space Research and Technology Center) v mestecu Noordwijk na severu Nizozemske najvecji center. Inkubator tehnologije in glavno sre-dišce za razvoj tehnologije za raziskovanje vesolja je svoja vrata odprl obiskovalcem v nedeljo, 6. oktobra 2013. Dogodek je bil del prireditev ob svetovnem tednu vesolja, ki je letos potekal med 4. in 10. oktobrom. Tik pred vstopom v središce je na vecjem zaslonu obiskovalcem (bilo jih je vec kot 8500) dobrodošlico izrekel astronavt Luca Parmitano, ki je bil v tistih dneh poveljnik misije na Mednarodni vesoljski postaji. Med dnevom odprtih vrat so specializirani laboratoriji in vrsta oddelkov predstavljali svoje delo. Ker je ESTEC izjemno veliko središce z razvejano paleto aktivnosti bomo v clanku predstavili le del dejavnosti, ki si jih je bilo mogoce ogledati. Vesoljske misije Na dolgem hodniku, ki znotraj glavne stavbe pelje do laboratorijev za testiranje, so bile razvršcene postojanke, namenjene Esinim vesoljskim misijam in nekaterim laboratorijem. Omeniti velja tri pomembnejše vesoljske misije, izmed katerih se je ena pred kratkim zakljucila (vesoljski teleskop Planck), druga bo kmalu izstreljena (vesoljski teleskop Gaia), tretja pa bo cez nekaj mesecev dosegla kriticni trenutek (vesoljska sonda Ro-setta). Misija Rosetta je najstarejša izmed treh, saj je prvi osnutek nastal pred dvajsetimi leti, izstreljena pa je bila leta 2004. Ime nosi po slavni steli odkriti v egip- čanskem pristanišču Rosetta (danes Rašid), ki je bila temeljnega pomena za razvozlanje hieroglifov. Vesoljska Rosetta in njen pristajalni modul Philae, ki se bosta spustila na jedro kratkoperiodičnega kometa 67P/Churyumov-Gerasimenko, bosta raziskovala naravo plinov in prahu, ki sestavljajo jedro kometov. Podobno kot stela bo Rosetta razvozlala uganke povezane z razumevanjem nastanka Sončevega sistema. Vesoljska trnuljčica Rosetta, ki je trenutno v hi-bernaciji, naj bi se sama prebudila 20. januarja 2014 in orientirala svojo anteno proti Zemlji. Od tega tre- SLIKA1. Zastava Evropske vesoljske agencije pred vhodom v center ESTEC. (Foto: Dunja Fabjan) nutka dalje bodo izvedeni še zadnji testi pred zbliža-njem z orbito kometa 67P/Churyumov-Gerasimen-ko, v bližino katerega bo prišla maja meseca in na katerega bo spustila modul Philae novembra leta 2014. Komet bo Rosetta spremljala tudi po prehodu peri-helija, ki se bo zgodil 15. avgusta 2015. SLIKA 2. Model vesoljske misije Gaia v merilu 1:10. (Foto: Dunja Fabjan) SLIKA 3. Makete vesoljskega teleskopa EChO - Exoplanet Characterisation Observatory, sonde Phoebus - High Speed Reentry Demonstrator in lunarnega pristajalnega modula. (Foto: Dunja Fabjan) Drug teleskop je konec oktobra sprejel svoj zadnji signal in dokončno ugasnil (prešel v trajno hiberna-cijo). Vesoljski satelit Planck, namenjen meritvam mikrovalovnega sevanja ozadja, je bil izstreljen maja 2009. V letu dni je dokončal svoj prvi pregled neba z obema instrumentoma v visokih (100-857 GHz) in nizkih (30-70 GHz) frekvencah. Najnatančnejši termometer v vesolju (ohlajen je bil na -273,15 0C) je hladilno tekocino (tekoci helij) porabil do januarja 2012, kar je tudi pomenilo konec opazovanj v visokih frekvencah. Od takrat dalje je s pregledi neba nadaljeval le v nižjih frekvencah in svoje aktivno življenje koncal 23. oktobra, še prej pa je bil odposlan na stabilnejšo in nekoliko oddaljeno orbito od prejšnje. SLIKA 4. Nemški astronavt Reinhold Ewald po predavanju. (Foto: Dunja Fabjan) Gaia je vesoljski satelit, ki je namenjen raziskovanju strukture, lastnosti in nastanka naše Galaksije. Ob koncu petletnih opazovanj bo izdelan najnatančnejši 3D zemljevid zvezd v naši Galaksiji. Gaia bo izvedla izjemno natančno astrometrijo, fotometrijo in spektroskopijo milijarde zvezd, opazovala bo torej kar 10000 krat vec zvezd, kot jih je opazoval njen predhodnik, satelit Hipparcos. Lastnosti vsake zvezde bo v obdobju svojega delovanja merila večkrat (sedemdesetkrat), opazovala pa bo tudi asteroide, objekte Kuiperjevega pasu ter pol milijona oddaljenih kvazarjev. Gaia nosi na svojem krovu največjo kamero, ki je doslej letela v vesolje, saj jo sestavlja mozaik 106-ih CCDjev, s skupno skoraj milijardo slikovnih elementov! Nastajanje satelita Na koncu daljšega hodnika, kjer so se obiskovalci seznanili z vesoljskimi misijami, pri katerih sodeluje Evropska vesoljska agencija, so bile na mizi razsta- vljene makete vesoljskih satelitov, teleskopov, pristajalnih modulov in sond. Vsaka izmed teh maket predstavlja optimizirano rešitev danega problema. To so začetni osnutki vesoljskih satelitov, ki nastanejo znotraj oddelka Concurrent Design Facility. Namesto sekvencnega reševanja in opravljanja nalog, ki priticejo posamičnemu oddelku (npr. za telekomunikacije, za pogonske sisteme), se vsi akterji (od stranke, ki bi rada razvila satelit, do znanstvenikov, inženirjev, strokovnjakov in nenazadnje tudi odvetnikov) zberejo v vecji, z racunalniki opremljeni delovni sobi, in skupaj nacrtujejo zasnovo satelita. S paralelnim opravljanjem nalog (concurrent design engineering) in koordinacijo vodje projekta izoblikujejo najuspešnejšo strategijo. Sproti rešujejo težave in išcejo alternativne rešitve, kar omogoca hitrejše projektiranje in manjše stroške dela. Na tak nacin je lahko zasnova satelita pripravljena v mesecu dni (letno je pripravljenih približno 12 zasnov satelitov), koncni osnovni dokument pa dokoncan in dopolnjen v nekaj mesecih. Ta dokument služi kot osnova za nadaljnje delo in pripravo koncnega satelita. SLIKA 5. Prototipi robotskih vozil na Planetary Utilisation Testbed v laboratoriju za avtomatiko in robotiko. Preizkusno področje velikosti 8 m x 8 m je napolnjeno s peskom različnih velikosti, gramozom in kamenjem ter primerno za testiranje roverjev na površinah podobnih planetarnim, saj so prisotni manjši krater, peščena sipina in strmo pobočje. (Foto: Dunja Fabjan) 20 PRESEK 41 (2013/2014)3 3D tiskanje za izgradnjo postaje na Luni Proces aditivne proizvodnje oziroma 3D tiskanja se je razvil v osemdesetih letih. Uporabljajo jo za hitrejšo izdelavo prototipov in industrijskih izdelkov, na Evropski vesoljski agenciji pa že razmišljajo, kako bi s pomočjo 3D tiskanja zgradili lunarno postajo. Na dnevu odprtih vrat je bil razstavljen prototip osnovnega zidaka, težak 1,5 tone. Esini industrijski partnerji so preverjali, kako bi lahko 3D tiskanje uporabili na Luni in so zato uporabili peščeni material, podoben Lunini prsti. Trenutno je tiskalnik za lunarne zidake sposoben tiskanja s hitrostjo dveh metrov na uro, cilj pa je, da bi celotno postajo na ta nacin zgradili v tednu dni. Da bili bi zidaki dovolj trdni in ne pretežki, so bili izdelani z votlimi celicami (hollow cell design), njihova struktura nas spominja na notranjost pticjih kosti. Srečanje z evropskimi astronavti Med dnevom odprtih vrat je bilo mogoce prisluhniti predavanjem treh astronavtov razlicnih generacij: prvemu Esinemu astronavtu Ulfu Merboldu, nizozemskemu astronavtu Andreju Kuipersu, ki se je lansko leto vrnil z Mednarodne vesoljske postaje, ter Reinholdu Ewaldu, ki je leta 1997 preživel dvajset dni na vesoljski postaji Mir. Slednji je imel zanimivo predavanje o svojih izkušnjah med misijo, ki se je je udeležil leta 1997. Nemški fizik je v Zvezdno mesto prvic dospel leta 1990 kot clan nemške ekipe astronavtov. Na vesoljski postaji je kasneje preživel nekaj tednov, glavni eksperiment, ki mu je sledil, pa je bil on sam. Na sebi je namrec preizkušal efekt brez-težnostnega prostora na metabolicne procese in je med bivanjem na postaji moral slediti posebni dieti. S pomocjo meritev, ki jih je izvedel, so takrat ugotovili, da je v vesolju ravnovesje soli v clovekovem telesu razlicno kot na Zemlji. Med nekaj tedenskim bivanjem na Miru je bil so-casno prisoten tudi ameriški astronavt slovenskega rodu Jerry Linenger. Ravno v tistem obdobju je prišlo do znanega požara na krovu vesoljske postaje; in pripovedovanje o tem dogodku je bilo pretresljivo. Takrat je bilo namrec na krovu prisotnih šest astronavtov (dve ekipi), požar pa je prepreceval dostop do ene izmed Sojuzovih kapsul, kar je pomenilo, da bi se v najhujšem primeru rešila le polovica posadke. Kot je bralcem znano, so astronavti uspeli pogasiti požar in rešiti postajo, ki je delovala še nekaj let. To seveda ni vse... V evropskem središcu ESTEC, ki je letos že tretjic zapored odprlo vrata ob svetovnem tednu vesolja, je bil možen tudi 3D ogled modula Mednarodne vesoljske postaje, razstavnih prostorov laboratorija za avtomatiko in robotiko v centru Erasmus, ogled vesoljske sonde BepiColombo, Esine prve misije namenjene raziskovanju Merkurja, ki bo poletela leta 2015, poskrbljeno pa je bilo tudi za najmlajše z igrami na prostem in v centru Space Expo. Vsem, ki se zanimajo za vesoljske tehnologije, zelo priporocam da si ob naslednji priliki ogledajo to središce, kjer bodo lahko spoznali tehnicno srce Evropske vesoljske agencije, v katerem se rojevajo novi projekti, namenjeni raziskovanju vesolja. Spletne strani Evropska vesoljska agencija http://www.esa.i nt/ESA. _XXX Križne vsote Rešitev s strani 11 •J/ •i' Np 8 6 5 3 2 15 16 5 4 7 11 2 8 4 11 4 1 3 14 6 8 XXX RAC UNALNI STVO Sudoku kot poseben primer problema prevoza Dragana Bočovič -> Ceprav je Sudoku na Japonskem postal priljubljen leta 1980, se je na zahod razširil šele leta 2004. Hitro je postal ena izmed najbolj uspešnih in priljubljenih ugank. Sudoku 9 x 9 mreža je danes vsakdanji del številnih časopisov. V svetu, kjer obstajajo aplikačije že za skoraj vse, tudi za Sudoku najdemo digitalne različiče. V prejšnji številki Preseka [5] smo se naučili nekaj o problemu prevoza, tokrat se bomo poglobili v problem, ga povezali s Sudoku uganko in obravnavali Sudoku kot poseben primer problema prevoza. Igra Sudoku Spomnimo se najprej, kako je Sudoku uganka sploh sestavljena. Sudoku kvadrat lahko definiramo kot mrežo velikosti 9 x 9, pri cemer vsaka vrstica, vsak stolpec in vsak od devet oznacenih 3 x 3 blokov oz. kvadratov (slika 1) vsebujejo števila od 1 do 9, vsako natanko enkrat. Sudoku uganka je uganka, pri kateri so na zacetku nekatera polja zapolnjena, nekatera pa prazna. Čilj reševalca je, da izpolni prazna polja tako, da je rezultat pravilen Sudoku kvadrat. Sudoku uganke delimo glede na težavnost na stopnje od 1 do 5 [2]. Med težavnostjo Sudokuja in številom zacetnih števil, podanih v Sudoku mreži, ni nikakršne povezave. Obstajajo zelo težki Sudokuji, ki imajo zelo veliko podanih zacetnih števil, in tudi zelo lahki, ki jih imajo zelo malo [3]. S priljubljenostjo igre so se pojavile še razlicne (drugacne in težje) vrste Sudokuja, med njimi [4]: ■ Sudoku-X Pri tem Sudokuju moramo upoštevati še, da se morajo števila od 1 do 9 v diagonalah pojaviti le en- krat - tako nekateri Sudokuji pridobijo enolicno rešitev. Sodo-lihi Sudoku Tak Sudoku ima dolocena polja osencena. Na podlagi podane uganke razberemo, ali v osencena polja vpisujemo soda ali liha števila. Geometrijski Sudoku Kvadrat tega Sudokuja je sestavljen iz razlicnih geometrijskih likov, imenovanih nonomine. Razmejeni so z debelejšo crto. Sestavlja jih devet polj, v katere je potrebno vpisati števila od 1 do 9. BarvniSudoku To je Sudoku, pri katerem moramo upoštevati še, da se smejo števila od 1 do 9 v oznacenih obarvanih likih pojaviti le enkrat. SLIKA 1. Označeni 3 x 3 bloki oz. kvadrati Sudoku kot poseben problem prevoza Spomnimo se osnovne formulacije problema prevoza [5], s katerim minimiziramo stroške prevoza dobrin iz različnih izvornih tock (npr. skladišč) v različne končne točke (npr. trgovine): m n ■ minimiziraj z = X X ci,j • xi,j i=1j=l pri pogojih: n X xij < si za i = 1,... ,m j=i m X xitj > dj za j = 1,... ,n i=1 xi j > 0 za i = 1, ...,m in j = 1, ...,n ■ Število si predstavlja zalogo enot v izvorni točki i, kjer je i = 1 , . . . , m. Število dj predstavlja, koliko enot naroča končna točka j, kjer je j = 1 , . . . , n. S številom cij označimo, koliko stane prevoz ene enote od izvorne točke i do končne točke j, za i = 1,...,m in j = 1,...,n. S številom xi j označimo, koliko enot pošljemo od izvorne točke i do končne točke j, za i = 1,...,m in j = 1 , . . . , n. Za podrobnejšo razlago si poglejte prejšnjo številko Preseka [5]. Reševanje uganke Sudoku zahteva, da 81 števil razporedimo v 81 čelič Sudoku mreže (oštevilčenje čelič vidimo na sliki 2). Zato v preoblikovanju Sudoku uganke v problem prevoza uporabimo 81 končnih točk, ki jih moramo upoštevati, vsaka s povpraševanjem ene enote (v vsako čeličo zapišemo natanko eno število). Na voljo imamo 81 števil, in sičer števila od 1 do 9, vsako natanko devet krat. V enačbi 1 torej velja m = 9 in n = 81. Naj bosta s množiča izvornih točk (v prejšnji številki Preseka [5] množiča skladišč) in d množiča končnih točk (v prejšnji številki Preseka [5] množiča trgovin) takšni, da je si = 9, za i = 1,...,9 (vsako od devetih števil se pojavi devet krat), in dj = 1, za j = 1,..., 81 (vsak kvadratek Sudoku matrike 9 x 9 prejme eno število od omenjenih 81). Vsaka od devetih izvornih točk i lahko pošlje k vsaki od 81 končnih točk j eno enoto po čeni ci j. Ilustračija opisanega je prikazana na sliki 3. V nadaljevanju bomo opisali, kako določimo matriko čen, ki je prisotna pri vseh oblikah problema prevoza. Postopek izračuna matrike čen je povzet po [1]. Pri modeliranju različnih Sudoku ugank, množiči izvornih točk s in končnih točk d ostajata nespremenjeni. Strošek za čeno cij nastane pri prevozu ene enote od izvorne točke i do končne točke j. Zato je potrebno oblikovati matriko čen c, ki določi čeno prevoza ene enote od izvorne do končne točke. S pomočjo osnovne Sudoku matrike bomo najprej definirali devet pomožnih matrik n i, i = 1,..., 9 (za vsako število od 1 do 9 eno), velikosti 9 x 9, nato bomo iz teh matrik sestavili končno matriko čen. Matriko 1 ustvarimo na naslednji način: 1. Začnemo z matriko (i = 1) 1= 0 0 2. Poiščemo število 1 v osnovni matriki (če le-to obstaja). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 SLIKA 2. Oštevilčenje celic. 0 0 —^ 3. Na mesto, kjer smo v osnovni matriki našli število 1, damo v matriko rii število -1, vsa ostala mesta v isti vrstici, istem stolpcu in 3 x 3 kvadratu, v katerem se število nahaja, pa povečamo za 1. 4. Točki 2 in 3 ponovimo za vsako število 1 v osnovni matriki. Na enak način ustvarimo vse preostale matrike ni, i = 2,..., 9. Poglejmo si, kako postopek deluje na konkretnem primeru. Vzemimo Sudoku uganko s slike 4 in izra-čunajmo n9 (opazujemo torej mesta, kjer se v osnovni matriki nahaja število 9). Končno matriko cen sestavimo tako, da posamezna manjša matrika predstavlja eno vrstičo velike matrike. Torej i-ta vrstiča končne matrike je matrika ni, pri čemer vrstiče matrike ni postavimo zaporedoma eno zraven druge in dobimo vrstičo dolžine 81. Tako je dimenzija matrike čen, ki jo dobimo, enaka 9 x 81. Izkaže se, da ima za tako določeno matriko čen vsaka optimalna rešitev vrednost čiljne funkčije enako z = -N, kjer je N število števil, podanih v začetni Sudoku uganki. Sedaj, ko imamo določeno tudi matriko čen, lahko zapišemo Sudoku kot poseben problem prevoza. Naj bo M = {1, 2,..., 9},N = {1, 2,..., 81}, R = {1, 2, 3}. Formulirajmo omejitve našega problema prevoza: 9 81 minimiziraj z = i=1j=1 i,J 81 1- I Xi,J = si j=1 9 2- X x i=1 i,J = dJ i G M J G N 3- Xij G {0,1} i G M, J G N Te tri točke smo razložili in opisali v prejšnji številki Preseka [5]. Za pravilno Sudoku rešitev manjkajo še dodatne omejitve: V vsaki vrstiči se vsako število od 1 do 9 pojavi natanko enkrat: 4- X xK (J-1) -9+i = 1 J G M, k G M i=1 s1 = 9 1 Število k nam pove, za katero število preverjamo pogoj; k G M, ker moramo preveriti za vsa števila. Število j nam pove, za katero vrstičo preverjamo pogoj; j G M, ker moramo preveriti za vse vrstiče. Vsota, ki gre od i = 1 do i = 9, označuje sprehod čez čelotno vrstičo. si = 9 i Xi,J s9 = 9 9 1 d1 = 1 dJ = 1 81 d81 = 1 SLIKA 3. Prevozni model Sudoku uganke. J Primer. k = 1, j = 3: preverjamo, ali pogoj velja za število 1 za 3. vrstico. Vsota opiše sprehod cez celice 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 (kot vidimo na sliki 2, so to celice 3. vrstice). V vsakem stolpcu se vsako število od 1 do 9 pojavi natanko enkrat: Primer. k = 1, j = 1: preverjamo, ali pogoj velja za število 1 za 1. stolpec. Vsota opiše sprehod cez celice 1, 10, 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73 (kot vidimo na sliki 2, so to celice 1. stolpca). V vsakem od devetih oznacenih kvadratov se vsako število od 1 do 9 pojavi natanko enkrat: 5. X xk,(i-1)-9+j = 1 i=1 j G M, k G M Število k nam pove, za katero število preverjamo pogoj; k G M, ker moramo preveriti za vsa števila. Število j nam pove, za kateri stolpec preverjamo pogoj; j G M, ker moramo preveriti za vse stolpce. Vsota, ki gre od i = 1 do i = 9, oznacuje sprehod cez celotni stolpec. 6. X X xk,(a-1)-27+(b-1)-3 + (i-1)-9+j = 1 i=1j=1 k G M, a G R,b G R Število k nam pove, za katero število preverjamo pogoj; k G M, ker moramo preveriti za vsa števila. Števili a in b nam povesta, za kateri 3 x 3 kvadrat preverjamo pogoj; a G R, b G R, da tvorimo devet razlicnih parov (saj imamo devet razlicnih kvadratov). 4 2 1 0 6 3 4 7 8 2 6 3 6 1 5 8 5 2 3 7 9 1 8 4 1 5 4 2 1 9 6 3 4 7 8 2 6 3 6 1 5 8 5 2 3 7 (93 1 8 4 1 5 O O 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 -1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 SLIKA4. Primer matrike n PRESEK 41 (2013/2014) 3 25 RAČUNALNIŠTVO ■ Dvojna vsota označuje sprehod cez celoten kvadrat. Primer. k = 1, a = 3, b = 1: preverjamo, ali pogoj velja za število 1 za 3 x 3 kvadrat v levem spodnjem kotu (glej sliko 1). Vsota opiše sprehod čez celice 55, 56, 57, 64, 65, 66, 73, 74, 75 (kot vidimo na sliki 2, so to celice kvadrata v levem spodnjem kotu). Sedaj je možno rešiti Sudoku uganko tako, da rešimo problem prevoza, predstavljenega z izvornim vektorjem 5, koncnim vektorjem d in matriko cen c ter z dodatnimi omejitvami (kot je definirano zgoraj). To lahko naredimo s pomocjo jezika za modeliranje v matematicni optimizaciji, kot je recimo AMPL. Pokazali smo, da lahko Sudoku uganko oblikujemo kot poseben primer problema prevoza. Primer reševanja Poglejmo delovanje metode na primeru. Naj bo podana naslednja Sudoku uganka A: A = 4 2 1 9 6 3 4 7 8 2 6 3 6 1 5 8 5 2 3 7 9 1 8 4 1 5 Najprej za vsa števila od 1 do 9 tvorimo matrike Ui. Za lažjo predstavo si poglejmo matriko za i = 3: n<3> = 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 -1 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 -1 1 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 -1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 1 Iz matrik n i, i = 1,..., 9, sestavimo matriko cen c, velikosti 9 x 81, zapisano v tabeli 1. Odebeljeno označen del matrike ri3 vidimo na začetku tretje vrstice matrike c. V jeziku AMPL ustvarimo datoteke .mod, .dat in .txt (pomen in sestavo teh smo pojasnili v prejšnji številki Preseka [5]). Algorithm 1 AMPL model (.mod) set M := {1. ■ 9}; set N := {1. .81}; set R := {1. ■ 3}; param c {M,N}; param s {i in M}; param d {j in N}; var x {i in M,j in N} binary; minimize Sudoku: sum {i in M, j in N} c [i,j]*x[i,j]; subject to ponudbe {i in M}: sum {j in N} x[i,j] = s[i]; subject to povpraševanje {j in N}: sum {i in M} x[i ,j] = d[j]; subject to vrstica {i in M, sum {n in M} x[k,(i-1)*9+n] subject to kvadrat {i in R, sum {l in R, n in R} x[k,((i-1)*27+(j-1)*3+ (1-1)*9+n)] = 1; subject to stolpec {i in M, sum {n in M} x[k,(n-1)*9+i] k in M}: = 1; j in R, k in M}: k in M}: = 1; Algorithm 2 AMPL model (.dat) param s := Q ■ 19 2 93 9 4 9 596 9 7 9899 9; param d := 11 2 13 14 1 516 1 7 1819 1 10 1 11 1 12 1 13 1 14 1 15 1 16 1 17 1 18 1 19 1 20 1 21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 26 1 27 1 28 1 29 1 30 1 31 1 32 1 33 1 34 1 35 1 36 1 37 1 38 1 39 1 40 1 41 1 42 1 43 1 44 1 45 1 46 1 47 1 48 1 49 1 50 1 51 1 52 1 53 1 54 1 55 1 56 1 57 1 58 1 59 1 60 1 61 1 62 1 63 1 64 1 65 1 66 1 67 1 68 1 69 1 70 1 71 1 72 1 73 1 74 1 75 1 76 1 77 1 78 1 79 1 80 1 81 1; 1; param c: # matri ka cen c Algorithm 3 AMPL model (.txt) so1ve; di splay x; S pomočjo AMPL reševalnika kot rezultat dobimo matriko velikosti 9 x 81, zapisano v tabeli 2. Iz nje moramo razbrati rešitev. Indeksi stolpcev označujejo številke celic (oštevilčenje celic je prikazano na sliki 2), indeksi vrstic pa števila od 1 do 9, ki jih vpisujemo v Sudoku mrežo. Če je v stolpcu j v vrstici i število 1, to pomeni, da imamo v celici številka j v Sudoku mreži število i. Kot vidimo, imamo v stolpcu 6 v vrstici 7 število 1. To pomeni, da se v celici številka 6 v Sudoku mreži nahaja število 7. Na ta nacin preberemo naslednjo rešitev Sudoku uganke A: A = Literatura [1] M. Mansour, Sudoku as a special transportation problem (online), 28. 6. 2013. http://arxiv.org/pdf/1210.2584v1.pdf. [2] J. Rosenhouse, L. Taalman, Taking Sudoku Seriously: The Math Behind the World's Most Popular Pencil Puzzle, Oxford University Press, New York, 2011. [3] D. Green, Conceptis Sudoku difficulty levels explained (online), 28. 6. 2013. http://www.concepti spuzzles.com/i ndex. aspx?uri=i nfo/arti cle/2. [4] Wikipedia: Sudoku (online), 28. 6. 2013. http://sl.wiki pedi a.org/wi ki/Sudoku. [5] D. Bozovic in A. Taranenko, Linearni problem prevoza, Presek 41, st. 2, 24-27. 4 2 3 1 6 7 5 8 9 1 5 6 2 9 8 3 4 7 7 9 8 5 3 4 2 1 6 8 4 5 7 2 6 1 9 3 9 3 7 8 4 1 6 5 2 2 6 1 3 5 9 8 7 4 5 1 4 6 7 3 9 2 8 3 7 2 9 8 5 4 6 1 6 8 9 4 1 2 7 3 5 c = 1 1 2 -1 2 1 1 1 2 0 0 1 2 2 2 1 -1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 0 1 -1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 -1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 -1 0 0 0 0 0 1 TABELA 1. x = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 TABELA 2. _XXX Plamen svece Aleš Mohorič -> Vzemite si trenutek in opazujte plamen sveče. Pri tem pazite, da si zaradi premočne svetlobe ne poškodujete oči. Opazili boste, da plamen ni zgolj svetel zmazek, ampak ima obliko in barve (slika 1). Pa jih opišimo. Sveca je sestavljena iz trdnega goriva - t. j. obi-cajno parafin (vrsta voska), gorljiv ogljikovodik, ki se tali pri temperaturi višji od sobne, a ne previsoki. Iz voska izhaja stenj, pletena, gorljiva vrvica, po kateri se staljen vosek dviga zaradi površinske napetosti; pojav imenujemo kapilarni vlek. Ko sveco prižgemo, toplota plamena tali vosek, ki se dviga po stenju in dovaja gorivo, da plamen ne ugasne. Sveca izgoreva s hitrostjo 1 g v 10 min in oddaja toploto z mocjo 80 W. Pri gorenju kisik iz zraka reagira z voskom, ki zaradi toplote izpareva iz stenja. Pri gorenju nastajajo vroci plini: vodna para in ogljikovi oksidi ter saje, svetloba in toplota. Toplota plamena povzroca taljenje voska na vrhu svece in njegovo izparevanje iz stenja. Razen zacetne toplote, ki jo dovede vžigalica, se proces vzdržuje sam od sebe. V plamenu prepoznamo štiri znacilna obmocja (slika 2). 1400 °C 1200 °C 600 °C 800 °C SLIKA 1. SLIKA 2. Štiri značilna območja plamena V spodnjem, modrikastem območju je dovolj kisika; parafin izgoreva z značilnim modrim plamenom pri temperaturi približno 800 ° C. Nad tem območjem je temnejša cona (na fotografiji ni dobro vidna, ker se nahaja v notranjosti plamena), kjer je zaradi pomanjkanja kisika izgorevanje slabše in ima temperaturo 600 °C. Na robu tega območja nastajajo saje in temperatura naraste na 1000 °C. Tudi v naslednjem območju izgorevanje zaradi pomanjkanja kisika ni učinkovito. V tem območju saje žarijo s temperaturo okoli 1200 °C; to daje plamenu rumenkasti nadih. V četrtem območju, ki objema plamen na vrhu in robovih, je spet dovolj kisika. Zaradi visokih temperatur (1400 ° C) izgorevajo v tem območju tudi saje. Vroči plini imajo manjšo gostoto od okoliškega zraka in vzgon jih vleče navzgor. Zato ima plamen podolgovato obliko in je usmerjen navpično. Vlek pravzaprav pomaga pri gorenju, saj plini med dviganjem k plamenu iz okoliče posrkajo svež zrak, v katerem je kisik, potreben za gorenje. V razmerah breztežnosti konvekčije ni, kisik do plamena priteka mnogo težje, plamen je šibek in ima okroglo obliko. Tovrstne poskuse so izvajali na vesoljski postaji in tak plamen kaže slika 3. SLIKA 3. Plamen svece v breztežnosti Barvni sudoku sU sU sU V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstiči, v vsakem stolpču in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. D v O □ D m > a. < ta > m H a 3 5 8 6 4 5 2 5 1 6 6 ..............:..............:..............:.............. 7 2 8 4 1 4 2 7 L 7 E P 9 Z 8 S S 9 8 2 P E L L ¿12 9 S 8 P E P E S 8 2 9 L 7 Z P L S E L 6 8 E 8 6 L L P 5 Z 8 5 4 E L L Z 9 6 Z L L 8 5 3 P xxx xxx PRESEK 41 (2013/2014) 3 29 Knjižnica Sigma Že od leta 1959 nam Knjižnica Sigma prinaša poljudna in strokovna besedila za popularizacijo podrocij matematike, fizike, astronomije in racunalništva. Vkljucuje tako zbirke nalog z razlicnih tekmovanj, dopolnilne ucbenike, prirocnike in drugo zanimivo branje domacih avtorjev, kot tudi nekaj prevodov tujih avtorjev. John A. Adam MATEMATIČNI SPREHODI V NARAVO 280 strani format 14 x 20 cm mehka vezava 27,31 EUR Poleg omenjenih lahko v Knjižnici Sigma najdete še precej drugih del. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naroČite: http://www.knjižnica-sigma.si/ Individualni naročniki revije Presek, Člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroČilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. Stephen Senn KOCKANJE S SMRTJO Slučajnost, tveganje in zdravje 296 strani format 14 x 20 cm mehka vezava 29,99 EUR sU vU nU RESITEV NAGRADNE KRlS ANKE presek 41/2 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz druge številke 41. letnika Preseka je Problem prevoza. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Klara Golubic iz Celja, Ivanka Tompa iz Ljubljane in Anita Brolih iz Preddvora, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _x x x PODARITE PRILJUBLJENO SLOVENSKO POLJUDNOZNANSTVENO REVIJO! B Lepo darilo za vso družino *Po rezultatih Nacionalne raziskave branosti revijo GEA bere kar 73 000 ljudi. Prve štiri številke revije GEA in darilo prejmete takoj. NA VASO ZELJO DODAMO VOSCILNICO! Ob pošiljki lahko prejemniku revije pripravimo še osebno naslovljeno voščilnico. Pokličite nas na 080 11 08 in skupaj bomo izbrali primerno besedilo, ki bo še polepšalo odlično darilo. DARILO ZA VAS: do zdravja in okolja prijazna steklenička. Brez BPA, drži 0,6 litra. NAROČILNICA, S KATERO PODARJAM 12 ŠTEVILK REVIJE GEA: □ DA, naročam revijo Gea: od septembra 2013 do avgusta 2014. Naročnina za 12 številk znaša 17,60 € x 3 (52,80 €) . Ob podarjeni naročnini brezplačno prejmem darilo: stekleničko. Prosimo, odrežite ® PLAČNIK Vpišite svoje podatke PREJEMNIK REVIJE Vpišite podatke o osebi, ki ji želite podariti naročnino *Ime in priimek *Ime in priimek/Priimek družine *Naslov *Naslov *Poštna št. in pošta *Poštna št. in pošta Rojstni datum Telefon/GSM E-pošta *Davčna številka *Datum naročila *Obvezni podatki *Podpis plačnika Rojstni datum PRODAJNO-PLAČILNI POGOJI DDV je zajet v ceno. Naročnino zaračunavamo v 3 obrokih brez obresti. S podpisom potrjujete, d , ki so natisnjeni na naročilnici, in da ste bili nanje ob nakupu izrecno opozorjeni, ter dovoljujete, da Mladinska knjiga Založba, d. d., Mladinska knjiga Trgovina, d. o. o., in Cankarjeva založba - Založništvo, d. o. o., z namenom izpolnjevanja ali uveljavljanja pravic iz pogodbenega razmerja in neposrednega trženja vzpostavijo, vzdržujejo in upravljajo evidenco z vašimi osebnimi podatki za neomejeno časovno obdobje ter posredujejo te podatke za te namene druga drugi. Vse navedene družbe zagotavljajo varstvo osebnih podatkov po zakonu, ki ureja varstvo osebnih podatkov. Kadarkoli lahko pisno ali po telefonu zahtevate, da v 15 dneh trajno ali začasno prenehamo uporabljati vaše osebne podatke za namen neposrednega trženja ter vas o tem v nadaljnjih 5 dneh obvestimo na naše stroške. □ Označite z znakom x, če v prihodnje ne želite prejemati promocijskega gradiva. Naročilo/pogodba se sklepa v slovenskem jeziku. Sklenjena pogodba je shranjena v Službi oskrbe kupcev Mladinske knjige Založbe, d. d., Slovenska 29, Ljubljana. Naročilo na domači naslov bomo vsako leto obnovili, dokler ga ne boste pisno ali osebno preklicali. Preklic velja za naslednje obračunsko obdobje. Pri sklenitvi pogodbe o dobavi časopisov, revij in periodičnega tiska nimate pravice do odstopa od pogodbe za že prejete izvode. Če kupec ne poravna zapadlih obveznosti v roku, ki je naveden na položnicah, zapade celotna preostala kupnina v takojšnje plačilo ter jo bomo sodno izterjali z zakonskimi zamudnimi obrestmi, pred tem pa bomo pustili petnajstd-nevni rok za poravnavo obveznosti. Družba je vpisana v register pri Okrožnem sodišču v Ljubljani pod številko 1/02643/00, osnovni kapital znaša 5.141.149,22 EUR. Naročilnico vložite v ovojnico in pošljite na naslov MLADINSKA KNJIGA ZALOZBA, Služba oskrbe kuflH, 1536 Ljubljana, www.mladinska.com/podari-revijo 080 11 08 Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je priznanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega Casa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je razliCica imena Marija, v Cast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poucne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrecenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlicno prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poucna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-za1ozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.