i
i
“Razpet-vsota” — 2010/6/1 — 10:14 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 5
Strani 262–263
Marko Razpet:
VSOTA KVADRATOV PRVIH n NARAVNIH ŠTE-
VIL
Ključne besede: matematika, teorija števil, geometrija, vsota, kvadrat,
kocka, ploššina, prostornina.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/909-Razpet.pdf
c© 1988 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
VSOTA KVADRATOV PRVIH n NARAVNIH ŠTEVIL
Zadnja številka Preseka v preteklem letniku prinaša prispevek, v katerem je pri-
kazana metoda za izračun vsote
SI (n) = 1 + 2 + 3 + ... + n ( 1)
Avtor daje bralcu za nalogo , da vsoto (1) sešteje še na kakšen drug način. Žal se
ne morem spomniti, kje sem spoznal pot, ki si jo bomo zdaj ogledali * .Šli pa
bomo še korak naprej in izračunali vsoto kvadratov prvih n naravnih števil, to
je vsoto
(2)
Vzem imo kvadrat s stranico n in ga razrežimo na n 2 kvadratov s st ranicami
1. Ploščina prvotnega kvadrata je n2 • Po drugi strani pa je njegova ploščina vso-
ta naslednjih delov: ploščine enega vogalnega kvadrata, ploščina treh njegovih
sosednjih kvadratkov, ploščine 5 nadaljnjih kvadratkov, s katerimi smo obrobili
prejšne 4, in tako naprej (če je seveda možno), dokler ne upoštevamo še za-
dnj ih n + (n - 1) = 2 n - 1 kvadratov. Velja torej
1 + 3 + 5 + .oo + (2n -- 1) =n 2 (3)
ka r je razvidno na slik i. Če levo stran v enakosti (3) zapišemo v oblik i
(2.1 -1) + (2.2 -1) + (2.3 -1) +. oo +.(2n -1)
potem dobimo po preureditvi
in končno
nin + 1)SI (n) = ------
2
n lll1l · · O
~ .. . . " o .
: ~) ~ : '
(4)
262
4
3
2
1
234 n
To nas navdihne z mislijo, da lahko vsoto (2) izračunamo na soroden na-
čin, le da namesto kvadrata vzamemo kocko.
Imejmo torej kocko z robom n in jo razrežimo na n 3 kockic z robovi 1.
Prostornina prvotne kocke je n3 • Po drugi strani lahko to prostornino še druga-
če izrazimo. Izberemo si eno od oglišč začetne kocke. Ustrezna vogalna kocki-
ca ima 3 sosednje kockice, ki imajo z vogalno skupen po en kvadratek, 3 sose-
dnje kockice, ki imajo z vogalno skupno samo po en rob, in eno sosednjo ko-
ck ico, ki ima z vogalno skupno samo oglišče. Vogalna kockica ima torej 7 so-
sed. Z enakim premislekom ugotovimo, da ima vogalna kocka z robom 2 že 19
sosednjih kockic z robom 1: od teh se jih dotika vogalne 3.4 = 12 vzdolž kva-
dratov, 3.2 = 6 vzdolž robov in ena v oqlišču, Vogalne kocke z robom n - 1 se
dotika 3(n ._- 1)2 kockic vzdolž kvadratov, 3(n - 1) vzdolž robov in ena v
oqlišču. Prostornina začetne kocke je torej
'1 + (3.1 + 3.1 + 1) + (3.2 2 + 3.2 + 1) + .., + (3(n - 1)2 + 3(n - 1) + 1) = n 3
Če to enakost nekoliko preoblikujemo, dobimo
(3.1 2 - 3.1 + 1) + (3.2 2 - 3.2 + 1) + oo. + (3n 2 - 3n + 1) = n 3
in od tod enakost, ki povezuje SI (n) in S2 (n):
3S 2(n) - 3S 1 (n) + n = n 3
Z upoštevanjem rezultata (4) dobimo
in nazadnje
n(n + 1)(2n + 1)
S2 (n) = --- --------
6
Naloge
1. Izračunaj:1002+101 2+1022+ ... +9992
2. Reši enačbo: S2 (n) = (3n - 2)2
3. Izračunaj.
a) 12+32+52+ +(2n-1)2
b) 12 - 22 + 32 - + (_1)n-'n2
Marko Razpet
* Morda v prispevku Jožeta Malešiča: O formuli za vsoto prvih n naravnih števil, PRE·
SEK 2, ki omenja tud i vsoto kvadratov prvih n naravnih števil (Op. urednika).
263