 P51(2023/2024)2 12 Kako je Isaac Newton dokazal drugi Keplerjev zakon? R H  S Š Svoja prva dva zakona o gibanju planetov je Jo- hannes Kepler postavil leta 1609 na podlagi po- datkov o gibanju planetov okoli Sonca, pri tem pa je uporabil podatke, ki jih je nekaj desetletji pred njim zbral Tycho Brahe. V prvem zakonu pove, da seplanetigibljejookrogSoncapoelipsah,Soncepa senahajavenemodgorišˇ celipse. DrugiKeplerjev zakon,imenovantudiizrekoplošˇ cinskihitrosti,pa se glasi tako: Daljica, ki povezuje planet in Sonce, opiše enake plošˇ cine v enakihˇ casih. T 3 T 4 S T 1 T 2 P 1 P 2 A B SLIKA1. Plošˇ cina modrega obmoˇ cja je sorazmerna s ˇ casom potovanja odA doB. Na zgornji sliki je Sonce oznaˇ ceno s S in se na- haja v gorišˇ cu elipse, po kateri se giblje planet. Ker staplošˇ ciniP 1 inP 2 enaki,jepoKeplerjevemzakonu ˇ cas, v katerem planet opravi pot od toˇ cke T 1 do T 2 , enakˇ casu, vkaterem opravi pot odT 3 doT 4 . Kepler- jev zakon lahko z drugimi besedami izrazimo tudi tako: ˇ Cas gibanja planeta od toˇ ckeA do toˇ ckeB je so- razmeren s plošˇ cino obmoˇ cja omejenega z dalji- cama SA,SB in delom elipse od A do B (v smeri gibanja). Planeti se torej gibljejo hitreje, ko so bližje Soncu in poˇ casneje, ko so dlje stran. Kepler zakona, ki ga je postavil na podlagi podatkov, ni znal dokazati ali matematiˇ cno argumentirati — to je storil kakšnih sedem desetletij kasneje Newton. V tem ˇ clanku se bomo sprehodili po Newtonovih stopinjah ter pred- stavili korake in matematiˇ cne argumente, s katerimi je utemeljil Keplerjev zakon. Newton je izpeljavo, ki ji bomo sledili tudi mi, zapisal v knjigi Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ki velja za enega najveˇ cjih dosežkov v fiziki in znanosti nasplošno in v kateri med drugim tudi izpelje gravitacijski zakon, s katerim natanˇ cno opiše gibanje planetov v Sonˇ c- nem sistemu. Omenitijetreba,dajebilaedinaNewtonovapred- postavka,izkaterejeizpeljalKeplerjevzakon,dana telodelujesilaprotinepremiˇ cnitoˇ ckivprostoru. Pri tem pa velikost te sile in tirnica, po kateri se giblje telo, nista znani, in kot bomo videli v nadaljevanju, tudi nista pomembni. Propositio I. Theorema I., v katerem je zapisan Keplerjev zakon 1 , torej velja za vsakršno gibanje telesa, na katerega deluje sila proti nepremiˇ cni toˇ cki v prostoru. V izpeljavi bomo tudi videli, da je vsako takšno gibanje telesa ravninsko. 1 Propositio I. Theorema I. se pojavi na zaˇ cetku drugega po- glavja prve knjige Principie in se glasi tako: Plošˇ cine, ki jih gi- bajoˇ ca telesa opišejo z radiji, ki jih narišemo k nepremiˇ cnemu središˇ cu sile, ležijo v isti nepremiˇ cni ravnini, in so sorazmerne s ˇ casi, v katerih so opisane.  P51(2023/2024)2 13 ~ v ~ v 2 ~ v 1 D C B A ~ N ~ M SLIKA2. Razlaga Newtonove trditve. Pa pojdimo po Newtonovih stopinjah! Preden se poglobimo v Newtonovo izpeljavo, bomo navedli tr- ditev, ki jo Newton uporabi v njej. 2 ˇ Cenatelodelujetadvesili, potemteloopravipot po diagonali paralelograma v enakem ˇ casu, kot biopravilopotpostranicahtegaparalelograma, ˇ ce bi ti dve sili delovali na telo loˇ ceno. ˇ Ce telo miruje v toˇ cki A in nanj deluje (za kratek trenutek) zgolj sila ~ M, se telo giblje premo enako- mernopodaljiciAB invdanemˇ casuprispedotoˇ cke B. Podobno, ˇ ce na telo deluje zgolj sila ~ N, se telo giblje premo enakomerno po daljici AC, ter v ena- kem ˇ casu prispe do toˇ cke C. Ko pa na telo delujeta obe sili hkrati, se telo premo enakomerno giblje po diagonali AD in v enakem ˇ casu prispe do toˇ cke D (slika 2, levo). Z drugimi besedami, vsota hitrosti ~ v 1 in ~ v 2 je hitrost ~ v (slika 2, desno). Trditev velja tudi za sile, premike, pospeške itd. in predstavlja osnovo seštevanja vektorskih koliˇ cin. Sedaj pa pojdimo k dokazovanju Keplerjevega za- kona. Naj bo S (nepremiˇ cna) toˇ cka v prostoru, in naj sila vselej deluje v smeri proti tej toˇ cki. Telo se na zaˇ cetku nahaja v toˇ cki A. ˇ Casovni interval, v ka- terem bomo opazovali gibanje telesa, razdelimo na enake dele in predpostavimo, da v prvem delu ˇ casa telo opravi pot od toˇ cke A do toˇ cke B, ob tem zane- marimo delovanje sile in upoštevamo zgolj njegovo premo enakomerno gibanje po daljici AB (slika 3). 3 Ko se telo nahaja v toˇ cki B, bi ob odsotnosti vsakr- šne sile, nadaljevalo pot po daljici Bc, ki je po dol- žini enaka daljici AB (tukaj Newton upošteva, da so ˇ casovni intervali enako dolgi). 2 Trditev je zapisana v Corollarium I, na zaˇ cetku Principie, in se pojavi neposredno po zapisu treh Newtonovih zakonov. Trditev navajamo skladno z Newtonovo dikcijo. 3 Spomnimo se, da (po 1. Newtonovem zakonu) telo, na kate- rega ne deluje nobena sila, bodisi miruje ali pa se giblje premo enakomerno. Vendar v toˇ cki B predpostavimo, da sila deluje z velikim sunkom in telesu doda konstantno hitrost v smeri vektorja − → BS. ˇ Ce uporabimo trditev, ki smo jo navedli zgoraj, in upoštevamo inertno hitrost telesa v smeri vektorja − → BC, ter hitrost v smeri vektorja − → BS ugotovimo, da se telo zaˇ cne gibati po diagonali pa- ralelograma BcCV in na koncu drugega ˇ casovnega obdobja prispe do toˇ cke C. Tako smo dobili geome- trijsko konstrukcijo, za katero velja naslednje: TrikotnikBCS leživistiravninikottrikotnikABS. Plošˇ cina trikotnika BcS je enaka plošˇ cini triko- tnikaABS. Plošˇ cina trikotnika BcS je enaka plošˇ cini triko- tnikaBCS. Zgornje trditve lahko hitro razmislimo tako: ker da- ljici Bc in BV ležita v isti ravnini kot trikotnik ABS sledi, da paralelogram BcCV leži v isti ravnini kot trikotnik ABS, in zato tudi BCS leži v isti ravnini kot trikotnik ABS (s tem smo dokazali prvo toˇ cko). Trikotnika BcS in ABS imata isto višino in osnov- nici enakih dolžin, torej imata enaki plošˇ cini (to do- kazuje drugo toˇ cko). Podobno velja, da imata tri- kotnika BcS in BCS isto višino, saj je BV vzpore- dna s cC, in ker imata skupno osnovnico SB, sledi, da imata enako plošˇ cino (s tem smo dokazali tretjo toˇ cko). Iz treh zgornjih lastnosti sledi dvoje: prviˇ c, giba- nje telesa (v prvih dveh ˇ casovnih intervalih) je rav- ninsko, saj daljici AB in BC ležita v isti ravnini, in drugiˇ c, plošˇ cini trikotnikov ABS in BCS sta enaki. S tem smo torej razmislili, da sta plošˇ cini obmoˇ cij, ki ju opiše daljica, ki povezuje pot, po kateri se giblje telo s toˇ cko S, v prvem in drugem ˇ casovnem inter- valu enaki. Opazimo, da so zgornje ugotovitve neodvisne od dolžine daljice BV in torej veljajo ne glede na to, kako veliko hitrost v smeri vektorja − → BS dodamo te- lesuvtoˇ ckiB,oziromasoneodvisneodvelikostisile, ki deluje proti toˇ ckiS.  P51(2023/2024)2 14 B c V A S C d D SLIKA3. Newtonova geometrijska konstrukcija. Postopekponovimonavsehdelihˇ casovnegainter- vala: v toˇ cki C predpostavimo, da sunek sile deluje proti toˇ cki S in doda telesu hitrost v smeri vektorja − → CS ter ga tako preusmeri iz svoje inertne smeri Cd v smeri po daljici CD proti toˇ cki D. Tudi tukaj kon- strukcijo naredimo tako, da je|Cd|=|BC|, in z ana- lognimi argumenti kot zgoraj pridemo do sklepa, da je plošˇ cina trikotnikaCDS enaka plošˇ cini trikotnika BCS, ki pa je enaka plošˇ cini trikotnikaABS. Tako vidimo, da je plošˇ cina obmoˇ cja, ki ga opiše daljica, kipovezuje pot telesa stoˇ ckoS, sorazmerna sštevilomtrikotnikov,kijihtoobmoˇ cjevsebuje. Ker pa je število trikotnikov enako številu ˇ casovnih de- lov, sledi, da je plošˇ cina obmoˇ cja sorazmerna s ˇ ca- som. Newton dokonˇ ca izpeljavo tako, da število triko- tnikov pošlje v neskonˇ cnost, dolžine stranicAB,BC, CD (intakonaprej)paproti0. Grezapomembenko- rak, ki predstavlja osnovo infinitezimalnega raˇ cuna in prehod od diskretne k zvezni sliki. Pri tem ne navaja podrobnosti (posebej pa ne navaja, kako ve- liki naj bodo zamiki v smeri toˇ cke S, v odvisnosti od dolžine ˇ casovnega dela), vendar trdi, da poligon- ska krivulja ABCD (in tako naprej), po kateri se gi- blje telo, konvergira (limitira) proti ukrivljeni liniji 4 , ko število trikotnikov pošljemo v neskonˇ cnost in ko delovanje sile proti toˇ cki S upoštevamo vedno bolj 4 Iz latinskega originala Principie smo »linea curva« prevedli kot »ukrivljena linija«, kar si lahko razlagamo kot »krivulja«. S B A D C SLIKA4. Poligonske krivulje konvergirajo proti ukrivljeni liniji. pogosto v »neskonˇ cno« majhnih ˇ casovnih zamikih. Kako si lahko predstavljamo približevanje poligon- ske krivulje k ukrivljeni liniji, je prikazano na sliki 4. Rdeˇ ce in modro sta poligonski krivulji, in ko šte- vilo daljic poligonske krivulje pošljemo v neskonˇ c- nost,le-takonvergiraprotiukrivljeniliniji(zelenona sliki 4). Ker je plošˇ cina obmoˇ cja med poligonsko krivuljo in toˇ ckoS sorazmerna sˇ casom, ki ga telo potrebuje za pot po tej poligonski krivulji, velja enako tudi za ukrivljeno linijo, proti kateri konvergirajo poligon- skekrivulje. StemNewtonzakljuˇ ciizpeljavoKepler- jevega zakona. V nadaljevanju Newton dokaže, da na vsako telo, ki se giblje pospešeno v prostoru in ima konstan- tnoplošˇ cinskohitrost(gledenaizbranotoˇ ckovpro- storu), deluje sila v smeri proti tej toˇ cki. Drugi Ke- plerjev zakon torej natanko doloˇ ca gibanja teles s konstantno plošˇ cinsko hitrostjo – to so tista giba- nja, na katera deluje sila v smeri nepremiˇ cne toˇ cke. Keplerjevi zakoni zasedajo pomembno mesto v fi- ziki, saj jih je Newton uporabil pri izpeljavi gravi- tacijskega zakona. Opisani primer pa kaže na to, da je pot do pomembnih znanstvenih odkritij obiˇ cajno polna ovinkov, na njih pa spoznanja iz razliˇ cnih po- droˇ cij lahko sovpadajo in druga drugo tudi podpi- rajo. Avtorja se zahvaljujeta Jani Padežnik Gomilšek in BorutuZalarjuzanjunekomentarje,popravkeinpo- moˇ c pri pisanjuˇ clanka. ×××