KUBIČNE KRIVULJE TRIKOTNIKA TANJA VEBER I. gimnazija v Celju Math. Subj. Class. (2010): 51N20; 51M04; 14H45; 51N35 Članek obravnava kubične krivulje trikotnika. To so krivulje tretjega reda, ki potekajo skozi vsa tri oglǐsča trikotnika, sredǐsča včrtane ter pričrtanih krožnic. Nekatere premice v ravnini določajo družino kubičnih krivulj trikotnika, med njimi je najbolj znana Eulerjeva premica, ki določa družino kubičnih krivulj, imenovano Eulerjev snop kubičnih krivulj trikotnika. CUBIC CURVES OF A TRIANGLE This article investigates cubic curves of a triangle. These are curves of the third degree, which pass through the vertices of the triangle and through the incenter and the excenters of the triangle. Some lines in the plane determine a family of cubic curves, the most famous one is the Euler line, which determines the family of cubic curves, called the Euler pencil of cubic curves of the triangle. Uvod Prvi odmevneǰsi rezultati iz geometrije trikotnika, matematičnega področja, ki obravnava značilne točke trikotnika, njihove posebnosti in povezave, se- gajo v 18. stoletje. Iz tega časa izhajata izrek o Eulerjevi premici trikotnika in izrek o Simsonovih premicah. Največji razmah je geometrija trikotnika doživela v 19. stoletju, ko so bili dokazani novi izreki o tem, da določene točke trikotnika vedno ležijo na isti premici oziroma isti krožnici. Iz tega časa izvirajo nekatere znamenite krožnice trikotnika, kot so Feuerbachova, Spiekerjeva in Fuhrmannova krožnica, ter nekatere nove značilne premice trikotnika, na primer Brocardova os in Lemoineova premica. Nekaj doda- tnega zagona je to področje dobilo z Möbiusovo uvedbo homogenih koordi- nat, ki so olaǰsale analitičnogeometrijski pristop k obravnavani tematiki. V dvajsetem stoletju pa je bilo to področje za dalj časa potisnjeno na stranski tir. V zadnjem obdobju je geometrijo trikotnika moč ponovno v večji meri zaslediti v literaturi, kar je posledica razvoja računalnǐskih orodij za dina- mično geometrijo, ki nam omogočajo več matematičnega eksperimentiranja in s tem olaǰsajo postavljanje novih hipotez. Veliko zaslug na tem podro- čju prav gotovo lahko pripǐsemo Clarku Kimberlingu, ki je v svoji knjigi [3] navedel seznam 360 značilnih točk trikotnika, seznam premic, na kate- rih ležijo vsaj tri od njih ter seznam krožnic, na katerih ležijo vsaj štiri od 50 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika njih. Še več značilnih točk, že prek 3600, pa najdemo na Kimberlingovi spletni strani [10]. Kimberlingovo delo je geometrijo trikotnika po eni strani zaokrožilo, po drugi strani pa se odpirajo vedno nova vprašanja pri obrav- navi stožnic, splošnih krivulj drugega reda, pa tudi posplošitve, povezave in obravnave krivulj tretjega reda ter krivulj vǐsjih stopenj. V tem članku bomo spoznali nekaj zanimivosti o kubičnih krivuljah trikotnika. Pri njihovi obravnavi nam bodo delo olaǰsala nekatera dejstva, ki jih bomo predstavili v naslednjih dveh razdelkih. Trilinearne koordinate Naj bo ABC poljuben trikotnik v ravnini z oglǐsči A,B,C in stranicami a, b, c, pri čemer oglǐsče A leži nasproti stranice a, oglǐsče B nasproti stra- nice b in oglǐsče C nasproti stranice c. Naj bo P poljubna točka v ravnini. Evklidske razdalje točke P do nosilk stranic a, b, c označimo z α0, β0, γ0. Tem razdaljam dodamo predznake (in dobimo novo trojico števil α1, β1, γ1) na naslednji način. Nosilka stranice trikotnika razdeli ravnino trikotnika na dve polravnini. Polravnino, ki vsebuje tretje oglǐsče trikotnika, imenujemo pozitivni breg trikotnika glede na dano nosilko, drugo polravnino pa nega- tivni breg. Če točka P leži na negativnem bregu trikotnika glede na nosilko stranice a, potem ima α1 negativni predznak, torej α1 = −α0, če pa leži na pozitivnem bregu trikotnika glede na nosilko stranice a, pa je α1 = α0. Ana- logno velja glede predznakov števil β1 in γ1. Trojica realnih števil α1, β1, γ1 natanko določa točko v ravnini in jo imenujemo dejanske trilinearne razdalje točke P . Za določitev točke bi bili dovolj samo dve trilinearni razdalji. S pomočjo vpeljanih dejanskih trilinearnih razdalj lahko definiramo homogene trilinearne koordinate točke P . Definicija 1. Homogene trilinearne koordinate točke P so vsaka trojica realnih števil α, β, γ, ki zadoščajo pogojem α1 = kα, β1 = kβ, γ1 = kγ, kjer so α1, β1, γ1 dejanske trilinearne razdalje točke P , k pa neničelno realno število. V nadaljevanju bomo homogene trilinearne koordinate imenovali kar triline- arne koordinate. Trilinearne koordinate točke P označujemo P = α : β : γ. Kadar imamo opravka z danim trikotnikom v ravnini, vpeljemo trilinearne koordinate, saj se v teh koordinatah zapis nekaterih značilnih točk triko- tnika in nekaterih premic precej poenostavi. Trilinearne koordinate oglǐsč trikotnika so A = 1 : 0 : 0, B = 0 : 1 : 0, C = 0 : 0 : 1, enačbe nosilk stranic trikotnika so α = 0, β = 0, γ = 0, 50–62 51 Tanja Veber prav tako imajo poenostavljen zapis enačbe simetral notranjih in zunanjih kotov trikotnika α = β, β = γ, γ = α ter α = −β, β = −γ, γ = −α. Izberimo točko P znotraj trikotnika s stranicami a, b, c in naj bodo P (α1, β1, γ1) njene dejanske trilinearne razdalje. V tem primeru ni težko premisliti, da je aα1 + bβ1 + cγ1 = 2S, kjer je S ploščina trikotnika ABC. Enako velja za druge točke v ravnini. Zato je za poljubne trilinearne koor- dinate P = α : β : γ poljubne točke v evklidski ravnini izraz aα + bβ + cγ enak nekemu večkratniku ploščine in je zato različen od 0. Včasih je dobro, da evklidsko ravnino vložimo v projektivno ravnino in se tako izognemo težavam, ki nastanejo, kadar se v ravnini dve (vzporedni) premici ne sekata. Projektivna ravnina ima tako poleg običajnih točk še za eno premico dodatnih točk, ki jim rečemo točke v neskončnosti, premici pa premica v neskončnosti. Na njej ležijo presečǐsča vzporednih premic. Običajni model projektivne ravnine dobimo, če za ” točke“ vzamemo pre- mice v prostoru skozi koordinatno izhodǐsče, ” premica“ skozi dve taki točki pa je ravnina, ki jo določata tema dvema točkama pripadajoči sekajoči se premici. V tako konstruirani ravnini se poljubni dve premici (ravnini skozi izhodǐsče) sekata. S pomočjo trilinearnih koordinat točke evklidske ravnine zlahka vložimo v tovrstno projektivno ravnino. Točki P = α : β : γ namreč priredimo premico v prostoru skozi koordinatno izhodǐsče in s smernim vek- torjem (α, β, γ). Preslikava je dobro definirana, saj različni zapisi iste točke določajo isto premico. Izkaže se, da se točke s premice skozi dve dani točki preslikajo v premice na ravnini skozi izhodǐsče, ki jo določata premici, ki sta sliki začetnih dveh točk. Ravnine v prostoru skozi koordinatno izhodǐsče imajo enačbo oblike lα+mβ + nγ = 0 za realne vrednosti l, m, n. To po- meni, da točke s premice skozi dve točki zadoščajo taki enačbi, kar pomeni, da je lα+mβ+nγ = 0 enačba premice v trilinearnih koordinatah. Ker smo že videli, da enakosti aα+ bβ + cγ = 0 ne zadošča nobena točka v evklidski ravnini, po drugi strani pa je to premica v projektivni ravnini, sledi, da je to ravno prej omenjena premica v neskončnosti. Če presečǐsče dveh premic projektivne ravnine leži na tej premici, to dejansko pomeni, da sta ustrezni premici v evklidski ravnini vzporedni. Na podlagi lastnosti projektivnih koordinat s pomočjo preprostih geo- metrijskih razmislekov (in izračunov) pokažemo, da veljajo naslednje pove- zave med točkami in premicami, podanimi s trilinearnimi koordinatami. Na primer, presečǐsče dveh premic ustreza smernemu vektorju, ki je vektorski produkt normal dveh ravnin. Trditev 1. Premici z enačbama lα+mβ + nγ = 0 in l′α+m′β + n′γ = 0 se sekata v točki (mn′ −m′n) : (nl′ − n′l) : (lm′ − l′m). 52 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika TOČKA DEJANSKE RAZDALJE TRILINEARNE KOORDINATE A,B,C (va, 0, 0), (0, vb, 0), (0, 0, vc) 1 : 0 : 0, 0 : 1 : 0, 0 : 0 : 1 I (r, r, r) 1 : 1 : 1 O (R cosA,R cosB,R cosC) cosA : cosB : cosC IA, IB, IC (−ra, ra, ra), (rb,−rb, rb),(rc, rc,−rc) −1 : 1 : 1, 1 : −1 : 1, 1 : 1 : −1 V (2R cosB cosC, 2R cosC cosA, 2R cosA cosB) 1 cosA : 1 cosB : 1 cosC F ( R 2 cos(B − C), R 2 cos(C −A), R 2 cos(A−B) ) cos(B − C) : cos(C −A) : cos(A−B) T ( 2S 3a , 2S 3b , 2S 3c ) 1 a : 1 b : 1 c oz. 1 sinA : 1 sinB : 1 sinC Trditev 2. Premice z enačbami l1α+m1β+n1γ = 0, l2α+m2β + n2γ = 0 in l3α+m3β + n3γ = 0 so konkurentne (se sekajo v skupni točki) natanko tedaj, ko velja ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ l1 m1 n1 l2 m2 n2 l3 m3 n3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0. Trditev 3. Naj bosta α1 : β1 : γ1 in α2 : β2 : γ2 dve različni točki. Enačbo premice, ki poteka skozi ti dve točki, dobimo z determinanto ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ α β γ α1 β1 γ1 α2 β2 γ2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0. 50–62 53 Tanja Veber Prav tako pridemo s preprostimi, a dalǰsimi izračuni do trilinearnih koor- dinat nekaterih značilnih točk trikotnika. V tabeli so navedene trilinearne koordinate oglǐsč trikotnika, sredǐsča I trikotniku včrtane krožnice, sredǐsč IA, IB, IC trikotniku pričrtanih krožnic, sredǐsča O trikotniku očrtane kro- žnice, sredǐsča F krožnice devetih točk ter vǐsinske točke V in težǐsča triko- tnika T . V nadaljevanju bomo oglǐsča in notranje kote trikotnika s strani- cami a, b, c označevali z A, B, C. Iz teksta pa bo razvidno, na kaj se v tistem delu nanaša oznaka. Izogonalna transformacija ravnine V nadaljevanju bomo potrebovali naslednjo trditev: Trditev 4. Premici lα −mβ = 0 in mα − lβ = 0 sta simetrični glede na simetralo kota C. Dokaz. Na premicah z enačbama lα−mβ = 0 oziromamα−lβ = 0 izberimo točki T = αT : βT : γT oziroma S = αS : βS : γS tako, da bosta usmerjena kota ǫ = ∠ACT in ǫ′ = ∠SCB ostra kota. Velja lαT − mβT = 0 in mαS − lβS = 0. Iz prve enačbe dobimo, da je αT βT = m l , iz druge enačbe pa βS αS = m l . S pomočjo spodnje slike lahko zapǐsemo sin ǫ = βT |CT | , sin(C − ǫ) = αT |CT | , sin ǫ′ = αS |CS| , sin(C − ǫ′) = βS |CS| . S preoblikovanjem zgornjih enakosti dobimo naslednje: βT αT = sin ǫ sin(C − ǫ) = l m = αS βS = sin ǫ′ sin(C − ǫ′) . 54 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika Od tod sledi, da je sin ǫ · sin(C − ǫ′) = sin ǫ′ · sin(C − ǫ). Nato uporabimo adicijski izrek za sinus razlike in v nekaj korakih dobimo tan ǫ = tan ǫ′. To pa pomeni, da je ǫ = ǫ′. S tem smo dokazali, da sta premici skozi oglǐsče C in točko T oziroma S simetrični glede na simetralo kota C. Prav tako velja, da sta premici z enačbama mβ−nγ = 0 in nβ−mγ = 0 simetrični glede na simetralo kota A ter premici nγ− lα = 0 in lγ−nα = 0 simetrični glede na simetralo kota B. Imejmo dan △ABC in točko P , ki leži v ravnini danega trikotnika. Pre- mico AP prezrcalimo preko simetrale kota A, premico BP preko simetrale kota B ter CP preko simetrale kota C. Pokažimo, da so tako dobljene premice iz treh konkurentnih premic s presečǐsčem P spet konkurentne. Naj bo točka P = l : m : n presečǐsče premic AP, BP in CP . Enačbe premic skozi pare danih točk so po vrsti: nβ −mγ = 0, lγ − nα = 0, mα− lβ = 0. Po trditvi 4 so enačbe simetričnih premic k danim premicam: mβ − nγ = 0, nγ − lα = 0, lα−mβ = 0. Determinanta ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 m −n −l 0 n l −m 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ima vrednost 0, zato so tudi te premice konkurentne. To dejstvo je osnova, na podlagi katere bomo definirali izogonalno trans- formacijo ravnine. Definicija 2. Naj bo P točka v ravnini trikotnika ABC, ki ne leži na no- beni izmed nosilk stranic trikotnika. Premico AP prezrcalimo preko sime- trale notranjega kota pri oglǐsču A, premici BP ter CP pa ustrezno preko simetral notranjih kotov pri oglǐsčih B in C. Točko, v kateri se sekajo vse tri prezrcaljene premice, imenujemo izogonalna konjugiranka točke P in jo označujemo s P ′. Preslikavo, ki vsaki točki P priredi izogonalno konjugi- ranko, pa imenujemo izogonalna transformacija ravnine. 50–62 55 Tanja Veber V definiciji izogonalne transformacije izločimo točke, ki ležijo na nosilkah stranic trikotnika. Poglejmo si, zakaj. Če je točka P eno od oglǐsč trikotnika, denimo P = A, potem premica PA sploh ni določena, preostali premici PB in PC pa se obe preslikata v nosilko stranice BC. V tem primeru torej nimamo kandidata za točko P ′. Če točka P leži na nosilki katerekoli stranice trikotnika, bi se z izogonalno transformacijo preslikala v nasprotno oglǐsče trikotnika. S tem bi izgubili injektivnost izogonalne transformacije. Zato izogonalno transformacijo obravnavamo kot preslikavo ravnine brez nosilk trikotnika. Nekatere lastnosti izogonalne transformacije so precej očitne. 1. Izogonalna transformacija je involucija: izogonalna konjugiranka izogo- nalne konjugiranke je prvotna točka. Kvadrat izogonalne transformacije je identiteta. Torej je (P ′)′ = P . 2. Če točka P leži na katerikoli izmed simetral notranjih kotov trikotnika, leži na tej simetrali tudi njena izogonalna konjugiranka, saj se simetrala, preko katere zrcalimo, pri zrcaljenju ohranja. To pomeni, da se ohranja presečǐsče simetral notranjih kotov, to pa je sredǐsče trikotniku včrtane krožnice; I ′ = I. 3. Prav tako se z izogonalno transformacijo ohranjajo simetrale zunanjih kotov, saj je kot med simetralama zunanjega in notranjega kota pravi kot. Od tod vidimo, da se ohranjajo tudi sredǐsča pričrtanih krožnic. Naslednji izrek podaja trilinearne koordinate izogonalne konjugiranke k dani točki. Izrek 5. Naj bo P = α : β : γ točka v ravnini trikotnika ABC, ki ne leži na nobeni izmed nosilk stranic trikotnika. Njena izogonalna konjugiranka je P ′ = α−1 : β−1 : γ−1. Zato namesto P ′ pogosto pǐsemo kar P−1. Dokaz. Naj bo P točka s trilinearnimi koordinatami l : m : n, ki ne leži na nobeni izmed nosilk stranic trikotnika. V tem primeru so vsa tri realna števila l, m in n različna od 0. Enačbe premic AP , BP , CP se glasijo: nβ −mγ = 0, lγ − nα = 0, mα− lβ = 0. Te premice se z zrcaljenjem preko simetral notranjih kotov trikotnika pre- slikajo v premice, katerih enačbe so navedene pred definicijo 2, kjer smo tudi dokazali, da so konkurentne. Presečǐsče teh premic je (po trditvi 1) izogonalna konjugiranka točke P s trilinearnimi koordinatami P ′ = mn : ln : ml = l−1 : m−1 : n−1. 56 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika Omenili smo že, da se sredǐsča trikotniku včrtane in pričrtanih krožnic z izogonalno transformacijo ohranjajo, hitro pa se o tem lahko prepričamo, če si pogledamo trilinearne koordinate teh točk. I = 1 : 1 : 1 = I−1, IA = −1 : 1 : 1 = I −1 A , IB = 1 : −1 : 1 = I −1 B in IC = 1 : 1 : −1 = I −1 C . Če se vprašamo, kdaj je točka enaka svoji izogonalni kojugiranki, dobimo (a, b, c) = ( k a , k b , k c ) , kar pomeni, da je a2 = b2 = c2 = k. V trilinearnih koordinatah to pomeni a = ±1, b = ±1, c = ±1 in (primerjajte tabelo) vidimo, da velja naslednji izrek. Posledica 6. Sredǐsča danemu trikotniku včrtane in pričrtanih krožnic so edine točke, ki se z izogonalno transformacijo ohranjajo. Iz tabele, kjer imamo podane trilinearne koordinate značilnih točk triko- tnika, lahko razberemo še en par izogonalnih konjugirank, to sta sredi- šče trikotniku očrtane krožnice O = cosA : cosB : cosC in vǐsinska točka V = cos−1A : cos−1B : cos−1C. V teh dveh razdelkih smo si na kratko ogledali trilinearne koordinate in izogonalno transformacijo ravnine, kar bomo potrebovali pri opisovanju kubičnih krivulj. Vsi radovedni bralci, ki sta jim ti dve poglavji vzbudili toliko zanimanja, da bi želeli podrobneje raziskati omenjeni področji, lahko več najdejo na spletni strani [9]. Kubične krivulje trikotnika V tem razdelku si bomo najprej pogledali definicijo kubične krivulje triko- tnika. Definicija 3. Kubična krivulja trikotnika s tečajem F,ΓF , je množica točk, ki so kolinearne s svojo konjugiranko in tečajem kubične krivulje; ΓF = {P ;P, P −1, F so kolinearne}. V naslednjem izreku bomo upravičili tako definirano ime množice ΓF . Izrek 7. Množica točk ΓF je kubična krivulja, ki poteka skozi sredǐsča tri- kotniku včrtane in pričrtanih krožnic, tečaj F in točko F−1. Dokaz. Naj bo F = f1 : f2 : f3 fiksna točka (tečaj krivulje ΓF ). Točka P = α : β : γ naj bo poljubna točka na krivulji ΓF . Vemo, da je njena izogonalna konjugiranka točka P−1 = βγ : γα : αβ. Če naj bodo točke F, P, P−1 kolinearne, mora veljati: ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f1 f2 f3 α β γ βγ γα αβ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0. 50–62 57 Tanja Veber Od tod sledi, da je: f1α(β 2 − γ2) + f2β(γ 2 − α2) + f3γ(α 2 − β2) = 0. (i) Dobili smo enačbo množice ΓF v trilinearnih koordinatah, ki je tretje sto- pnje. Kot smo že omenili, bi enačbo lahko izrazili tudi v kartezičnih koordi- natah in bi bila prav tako tretje stopnje. Ker se po posledici 2 točke I, IA, IB, IC z izogonalno transformacijo ohranjajo, zagotovo ležijo na kubični krivulji. Prav tako neposredno iz definicije kubične krivulje sledi, da na tej krivulji ležita tudi točki F in F−1. Strogo gledano se množica ΓF in krivulja z enačbo (i) ne ujemata povsem. Razlikujeta se namreč v presečǐsčih slednje z nosilkami stranic trikotnika. V teh točkah izogonalna transformacija ni definirana in zato te ne ustrezajo definiciji množice ΓF . Vendar pa običajno zaradi preprostosti z izrazom kubična krivulja trikotnika preprosto razumemo celo krivuljo z enačbo (i). Upoštevaje ta dogovor, na kubični krivulji trikotnika očitno ležijo tudi vsa tri oglǐsča trikotnika ABC. Iz definicije kubične krivulje trikotnika pa sledi naslednji izrek: Izrek 8. Če točka P leži na krivulji ΓF , potem na njej leži tudi njena izo- gonalna konjugiranka. Pravimo, da je ΓF izogonalno simetrična. Ni težko premisliti, čemu je enaka kubična krivulja trikotnika, če za tečaj vzamemo oglǐsče trikotnika. Na podlagi enačbe (i) vidimo, da gre za unijo treh premic: nosilke stranice, ki leži nasproti izbranega oglǐsča, ter sime- tral notranjega in zunanjega kota trikotnika ob izbranem oglǐsču. Podobno vidimo, da dobimo tri premice tudi v primeru, če za tečaj vzamemo sredi- šče včrtane ali eno od sredǐsč pričrtanih krožnic. Zato se dogovorimo, da kubično krivuljo trikotnika ΓF , kjer je F ∈ {A, B, C, I, IA, IB, IC}, imenujemo trivialna kubična krivulja trikotnika. Prav tako se dogovorimo, da bomo kubično krivuljo trikotnika imenovali degenerirana kubična krivulja trikotnika, če jo bomo lahko zapisali kot unijo krivulj prvega in drugega reda ali kot unijo treh krivulj prvega reda. Trivialne kubične krivulje spadajo to- rej med degenerirane kubične krivulje trikotnika. Ali velja tudi obratno? Ne, izkaže se, da velja naslednji izrek, ki ga tu le navajamo. Dokaz izreka najdete v [7]. Izrek 9. Kubična krivulja trikotnika s tečajem F je degenerirana natanko takrat, ko F leži na katerikoli izmed simetral notranjih ali zunanjih kotov danega trikotnika. V nadaljevanju pa bomo omenili snope kubičnih krivulj trikotnika. 58 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubične krivulje trikotnika Definicija 4. Naj bosta P in P−1 izogonalni konjugiranki v ravnini danega trikotnika, pri čemer P 6= P−1, in p premica skozi točki P in P−1. Potem družino {ΓF , F ∈ p} imenujemo snop kubičnih krivulj trikotnika, pripadajoč paru konjugirank P in P−1. Iz definicije takoj sledi naslednji izrek: Izrek 10. Naj bo {ΓF , F ∈ p} snop kubičnih krivulj trikotnika, pripadajoč paru konjugirank P in P−1. Vse krivulje iz tega snopa potekajo skozi točki P in P−1. Vsaka premica, ki vsebuje par izogonalnih konjugirank, določa snop ku- bičnih krivulj trikotnika. Z izbiro točke F na premici skozi točki P in P−1 pa je kubična krivulja trikotnika iz tega snopa natanko določena. Ena iz- med bolj znanih premic je Eulerjeva premica, to je premica, na kateri ležijo težǐsče trikotnika, vǐsinska točka trikotnika in sredǐsče trikotniku očrtane krožnice. Vǐsinska točka in sredǐsče trikotniku očrtane krožnice sta izogo- nalni konjugiranki. Snop kubičnih krivulj trikotnika, katerih tečaj leži na Eulerjevi premici, imenujemo Eulerjev snop kubičnih krivulj trikotnika. A B C O I I I I A B C A B C I I I I A B C Slika 1. Levo: Napoleonova kubična krivulja trikotnika ima za tečaj Feuerbachovo sre- dǐsče F , to je sredǐsče krožnice devetih točk. Na tej kubični krivulji ležijo vse točke v povezavi z znanimi Napoleonovimi trikotniki, to so oglǐsča Napoleonovih notranjih in zu- nanjih trikotnikov ter notranja in zunanja Napoleonova točka. Desno: McCayeva kubična krivulja trikotnika. Tečaj je sredǐsče trikotniku očrtane krožnice. Zanjo je značilno, da njena presečǐsča s trikotniku očrtano krožnico tvorijo enakostranični trikotnik. Zato ima ta kubična krivulja trikotnika vedno tri asimptote, ki se sekajo pod kotom 60◦. 50–62 59 Tanja Veber Eulerjev snop kubičnih krivulj trikotnika Za konec naštejmo nekaj dejstev in izhodǐsč za nadaljnja razmǐsljanja o ku- bičnih krivuljah trikotnika, s poudarkom na krivuljah iz Eulerjevega snopa. Izberimo si za dani trikotnik v ravnini enakokraki trikotnik. Tedaj je Euler- jeva premica simetrala kota nasproti osnovnice. Tečaji vseh kubičnih krivulj trikotnika iz Eulerjevega snopa tako ležijo na simetrali notranjega kota tri- kotnika. Že v izreku 8 smo omenili, da so v tem primeru vse kubične krivulje trikotnika iz tega snopa degenerirane. Zapǐsemo jih lahko kot unijo stožnice in Eulerjeve premice ali kot unijo Eulerjeve premice in še dveh simetral notranjih oziroma zunanjih kotov danega enakokrakega trikotnika. A B C I I I I T A B C A B C I I I I V A B C Slika 2. Levo: Thompsonova kubična krivulja trikotnika, njen tečaj je težǐsče trikotnika ABC. Desno: Vǐsinska kubična krivulja trikotnika, njen tečaj je vǐsinska točka trikotnika ABC. V raznostraničnem trikotniku tvorijo Eulerjev snop raznotere kubične krivulje. Najpomembneǰse med njimi so McCayeva, Napoleonova, Thomp- sonova, vǐsinska, Darbouxova in Neubergova. Poleg trikotnika ABC, Eu- lerjeve premice, ki je označena s črtkano črto, in ustreznih kubičnih krivulj je na slikah prikazana tudi trikotniku ABC očrtana krožnica, in to zaradi naslednjih dejstev: oglǐsča trikotnika vedno ležijo tako na kubični krivu- lji trikotnika kot na očrtani krožnici. Izkaže pa se, da se število dodatnih presečǐsč kubične krivulje s trikotniku očrtano krožnico ujema s številom asimptot kubične krivulje trikotnika. Če ima kubična krivulja trikotnika z očrtano krožnico tri dodatna presečǐsča, označimo jih s točkami P, Q, R, 60 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2 Kubi"cne krivulje trikotnika potem je tečaj F kubične krivulje trikotnika vǐsinska točka trikotnika PQR, asimptote kubične krivulje trikotnika pa so vzporedne premicam PF , QF , RF . A B C I I I I A B C A B C I I I I A B C Slika 3. Levo: Darbouxova kubična krivulja trikotnika. Tečaj je De Longchampsova točka, ki je zrcalna slika vǐsinske točke preko sredǐsča trikotniku očrtane krožnice. Desno: Neubergova kubična krivulja trikotnika. Tečaj le-te je točka v neskončnosti na Eulerjevi premici, ki jo označujemo z N . Ta točka je presečǐsče Eulerjeve premice in premice v ne- skončnosti. Neubergova kubična krivulja trikotnika seka trikotniku očrtano krožnico samo v eni točki, ki jo imenujemo Neubergova točka. Neubergova kubična krivulja trikotnika ima eno samo asimptoto. Sklep Kljub tisočletni zgodovini geometrije in dolgoletnim izkušnjam človeštva s to vejo matematike smo vedno znova presenečeni, koliko življenja skriva v sebi tako preprost objekt, kot je trikotnik. Ne le, da nam tri točke v ravnini določajo več kot 3600 različnih značilnih točk trikotnika, z izbiro četrte točke, tečaja kubične krivulje trikotnika, v življenje obudimo krivulje tretjega reda. Ko ta četrta točka drsi po Eulerjevi premici trikotnika, se pred nami zvrstijo člani Eulerjevega snopa kubičnih krivulj trikotnika z mnogimi skupnimi lastnostmi in mnogimi posebnostmi. Kdo ve, kakšna presenečenja v zvezi s trikotniki nas še čakajo v prihodnosti? 50–62 61 LITERATURA [1] S. L. Loney, The elements of coordinate geometry, Part II, Trilinear Coordinates, etc., MacMillan, London, 1957. [2] J. Casey, Analytic geometry, 2nd edition, Hodges & Figgis, Dublin, 1893. [3] C. Kimberling, Triangle centers and central triangles, Congr. Numerantium 129, 1998. [4] H. M. Cundy in C. F. Parry, Some cubic curves associated with a triangle, J. Geom. 53 (1995), 41–66. [5] G. M. Pinkernell, Cubic curves in the triangle plane, J. Geom. 55 (1996), 141–161. [6] Z. Čerin: On the cubic of Napoleon, J. Geom. 66 (1999), No. 1–2, 55–71. [7] T. Veber: Kubične krivulje trikotnika, magistrsko delo, Maribor, 2003. [8] Cubics in the Triangle Plane, dostopno na spletu: http://pagesperso-orange.fr/bernard.gibert/ctc1.html, povzeto dne 10. 2. 2012. [9] Trilinear coordinates and other methods of modern analytical geometry of two dimen- sions: an elementary treatise, dostopno na spletu: http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle= euclid.chmm/1263315790, povzeto 10. 2. 2012. [10] Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle centers, dostopno na spletu: http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html, povzeto dne 10. 2. 2012. VESTI MATEMATIČNE NOVICE Abelovo nagrado dobil Endre Szemerédi Norveška Akademija znanosti je razglasila Abelovega nagrajenca za leto 2012. To je madžarski matematik Endre Szemerédi (Matematični inštitut Alfréd Rényi v Budimpešti in Oddelek za računalnǐstvo na Univerzi Rutgers v ZDA). Nagrado je dobil za delo v diskretni matematki in teoretičnem računalnǐstvu. Njegovi rezultati so pomemben prispevek k aditivni teoriji števil in ergodični teoriji. Boštjan Kuzman je podrobneje opisal [1] njegove dosežke v Delovi prilogi Znanost. Vladimir Arnold na Krasu Pred dvema letoma (junija 2010) je v Parizu umrl slavni ruski matematik Vladimir Arnold. Rojen je bil leta 1937 v Odesi v družini, ki je že več generacij nazaj dala znanstvenike. Njegova mati je bila Židinja. Arnold je bil zmeraj ponosen, da je potomec in del ruske inteligence. Po njegovih besedah ([2], str. 436): 62 Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 2