i
i
“1482-Vencelj-1” — 2010/8/25 — 8:55 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 29 (2001/2002)
Številka 4
Stran 203
Marija Vencelj:
TIM, FERMAT IN KOLIČNIKI
Ključne besede: naloge, teorija števil, elementarna aritmetika, prašte-
vila, deljenje.
Elektronska verzija:
http://www.presek.si/29/1482-Vencelj-naloge.pdf
c© 2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
I Naloge
TIM, FERMAT IN KOLIČNIKI
Sosedov T im je še osnovnošolec, zato ima najraje aritmetične probleme
in matematične zgodbe.
Nedavno sem mu pripovedovala, kako je največji matematik 17. sto-
letj a , Francoz Pi erre Fermat , ugotovil , da so števila
2
21 + 1 = 5, 222 + 1 = 17, 223 + 1 = 257, 224 + 1 = 65537
vsa po vrsti praštevila , in od to d nap ak sklepal, da je število oblike 22 n +1,
kjer je n na ravno št evilo, vedno praštevilo. Že prvo naslednj e število te
oblike namreč ni pr aštevilo, sa j je 225 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417.
Tudi 226 + 1 ni praštevilo.
S Timom sva računski del opisane zgodbe preveril a t udi računalniško
s programom Derive, ki je z razcepom zadnjih dveh števil v hipu opravil.
Da ot rok računalniške dobe ne bi izgubil spoštovanja do matem atikov
pret eklosti , sem predlagala , da pogledava še, kako je pri n = 7. Po
polurne m mletju se je Timu moj dokaj dober računalnik tako zasmilil,
da sva ga razrešila naročene naloge.
Je pa zgodba v fantovem razmišljanju pu stila globoko sled . Izumil je
nov stavek: "Pa je to zmeraj res?"
Tako je bilo tudi, ko sva se pogovarj ala o deljenju števil. Tima so
bolj zanimali količniki kot ost anki , zato sva sklenila na te kar pozabi ti.
Predlagala sem mu takole iskanj e količnika pri deljenju 27914 : 315.
Delitelj 315 razcepimo (ne nujno na prafaktorje) , npr. 315 = 5 · 7 · 9. Nato
delimo dano število 27914 s prvim faktorj em 5, dobimo količnik 5582,
na ostanek pa pozabimo. Doblj eni količnik delimo z drugim faktorjem
7, dobimo novi količnik 797 in spe t pozabimo na ostanek. Novi količnik
delimo z zadnjim faktorj em v razcepu delit elja , to je z 9. Dobimo 88, kar
proglasimo za iskani rezultat (za ostanek smo se pa že navadili , da nanj
pozabim o). .Seveda sva napravila preskus z direktnim deljenjem števila
27914 s številom 315 in tudi dobila količnik 88.
Po skusila sva še z deljenjem 123 : 32, pri čemer sva delitelj 32 razce-
pila na produkt petih dvojk. Zapored sva dobil a količnike 61, 30, 15, 7
in , kot zadnjega , pravilni rezultat 3.
Tim je samo vzdihnil: "Pa je to zmera j res?"
To pa je že naloga za vas!
1. Če se vam zdi, da pr avilo v splošnem ne velja , poiščite protiprimer!
2. Če mislite , da pr avilo velja, dokažite njegovo pravilnost!
Marija Vencelj