Računanje temperaturnih napetosti v elastičnem področju
UDK: 531:536.4:517.2 ASM/SLA :U10,Q25p, U4e
F. Grešovnik
Obravnavane so osnove elastomehanike. Deformacij-ski tenzor je razširjen za primer, ko je prisotno tudi temperaturno raztezanje materiala. Na tej osnovi je prikazana splošna linearna zveza med napetostmi in deformacijami. Skupaj z gibalno enačbo za elastični kontinuum služi za izračun temperaturnih napetosti. Ustrezne diferencialne enačbe so prikazane tudi v cilindričnih in krogelnih koordinatah. Med praktičnimi primeri je obravnavano nastajanje napetosti zaradi osno simetričnega spreminjanja temperature valjastega telesa, napetosti v primeru navla-čenja plašča na os valja ter nastajanje napetosti zaradi središčno simetričnega spreminjanja temperature krogle.
1. UVOD
V	materialu nastanejo napetosti zaradi zunanjih mehanskih vplivov, temperaturnih gradientov ter gravitacijskih in elektromagnetnih polj. Prva dva vpliva sta pogosto vzrok za nastanek razpok oziroma za zlome.
V	tem članku je obravnavano nastajanje napetosti zaradi temperaturnih gradientov. Obdelani so samo primeri, ko se material obnaša čisto elastično, natančneje rečeno, ko velja med napetostmi in deformacijami linearna zveza. Zunanji mehanski vplivi niso upoštevani, vendar je iz rešenih primerov razvidno, kako bi lahko upoštevali na primer hidrostatski tlak.
Uporabljena je analitična metoda reševanja diferencialnih enačb. V zadnjih letih se na tem področju vedno bolj uveljavljata numerično reševanje diferencialnih enačb in metoda končnih elementov1. Poudariti je treba, da imata ti dve metodi očitno prednost le v primeru, če imamo na razpolago dovolj eksperimentalnih podatkov o lastnostih materiala. Za hitre ocene napetosti v materialu pa so rezultati analitične metode vsekakor ugodnejši, ker so pregledni in omogočajo hitre prilagoditve konkretnim razmeram. Seveda pa se moramo tu omejiti le na najpreprostejše geometrijske oblike preiz-kušancev.
2. OSNOVE ELASTOMEHANIKE Napetostni tenzor
Pil Pl2 Pl3 ] p= P2I P22 P23	C)
L p3l P32 P33 -opisuje stanje napetosti, to je ploščinsko porazdeljenih sil, v elastičnem kontinuumu. Silo na enoto ploskve, ki je pravokotna na koordinato xs (i=l, 2, 3) s smernim vektorjem ei; dobimo s pomočjo komponent tega ten-zorja takole:
>i= 2 Pik
(2)
k- I
Silo na enoto ploskve, ki je pravokotna na poljubno smer n, dobimo po obrazcu	^
p„ = 2 P, cos (n, e;) = 2 Pi ani (3)
i-l i-l
Na osnovi (2) in (3) lahko hitro pokažemo, da se pri transformaciji koordinatnega sistema napetostni tenzor pretvori takole:	^ ^
Pnr=Z Z a"i arj Pij'	W
i- I i- 1
kar je osnovna značilnost tenzorjev drugega reda. S pomočjo enačbe (4) poiščemo glavne smeri, to je tisti koordinatni sistem, v katerem so normalne napetosti pnn ekstremne. Izkaže se, da so takrat tangencialne napetosti pnr (r4= n) enake nič.
Iz gibalnih enačb za kontinuum sledi, da je tenzor P simetričen, torej
Pij = Pji
Sled tenzorja P	^
TrP = Ž Pu-Ii
i- 1
se pri transformaciji koordinatnega sistema ne spreminja.
Pod vplivom sil se elastični kontinuum deformira, kar pomeni, da se spreminjajo razdalje med točkami in koti med zveznicami točk (si. 1). Omenjene spremembe popišemo z deformacijskim tenzorjem
r =
-	Yi 1 Y12 Y13 Y2I Y22 Y23
-	Y3I Y32 Y33 J
(5)
Nazorni pomen komponent tega tenzorja je takle:
yn =2 e,, = 2
M' N', - MN,
MN,
Yj2 = y 1 + y2 in analogno za ostale.
S» pomočjo premikov točk u pa se komponente y;j izračunajo,takole:
_ 8 u, | 8 u, Yij 8 Xj 8 xi
(6)
Iz (6) takoj sledi, daje T simetrični tenzor. Pri transformaciji koordinatnega sistema se pretvori podobno,
Xii =
Pn.
(7)
pri čemer je E Youngov modul (modul elastičnosti). Preizkušanec se deformira tudi v prečni smeri:
(8)
E l22=p Y33_ _Pn_ vn b 2 h 2 - m-vp„
m imenujemo Poissonova konstanta, v pa Poissonovo število. Iz (7) in (8) sklepamo, da pri večosni obremenitvi velja zveza:
I"l=Pn_v P22_vP33
2 E E E oziroma
E^l = (l+v)pll-vll,
splošno pa za vsako glavno smer:
E^ = (l+v)Pii-v I,	(9)
S transformacijsko formulo lahko izrazimo komponente deformacijskega tenzorja v poljubnem koordinatnem sistemu:
2
Ym„ = -[(1 +n)pmn-vl, Smn],
(10)
ker je ymn Kroneckerjev simbol (= 1, če je m = n, sicer je
Enačbo (10) lahko tudi obrnemo in izrazimo komponente napetostnega tenzorja kot linearno funkcijo komponent deformacijskega tenzorja
3. OSNOVNE ENAČBE ZA IZRAČUN TEMPERATURNIH NAPETOSTI V ELASTIČNEM PODROČJU
Če homogeno in izotropno telo enakomerno segreje-mo ali ohladimo od poljubne izhodiščne temperature na neko drugo temperaturo, so temperaturni specifični raztezki et v vseh smereh enako veliki
£T = a T
(12)
Pri tem je a temperaturni koeficient dolžinskega raztez-ka, T pa sprememba temperature. Ustrezen deformacij-ski tenzor je torej izotropen in se glasi:
rT =
2 a T 0 0 0 2 a T 0 0 0 2 a T J
(13)
Slika 1
Spremembe pri deformaciji elastičnega kontinuuma
Fig. 1
Changes in deformation of elastic continuum
kot kaže obrazec (4). Pri tem se spet sled tenzorja ne spremeni. Sled deformacijskega tenzorja ima nazoren pomen; enak je dvakratni volumski dilataciji.
Trr = 2;Yii = 2ev = 2^
i-1	V
Enoosni natezni preizkus (smer obremenjevanja: e,) izotropnega materijala pokaže pri majhnih napetostih naslednje zveze med napetostimi in deformacijami:
Če preprečimo prosto temperaturno raztezanje z zunanjim vpetjem ali okoliškimi območji v telesu (z drugačno temperaturo), nastopijo temperaturne napetosti, ki ustrezajo elastičnim deformacijam. Celotni raztezek snovi je sestavljen iz elastičnega raztezka in temperaturne raztezka. Od tod sledi, da se elastični deformacijski tenzor zapiše:
r„,=
Yi i"
721 Y31
2 a T
Yl2 Y22"
Y32
Yl3
2 aT y23
Y33-
2 aT
(14)
Pri popolnoma togem vpetju je Ymn = 0 in je re,= -Tt. Pri popolnoma neoviranem raztezanju in pri homogenem temperaturnem polju pa so vse komponente tenzorja rel enake 0.
Hookeov zakon (11) se ob prisotnosti temperaturnih raztezkov glasi:
Pmn = 2G^ + I^£v8mn_l^aT8^ (15)
Vpeljali smo strižni modul G, ki je z modulom elastičnosti povezan z enačbo
G = -
2(1 +v)
(16)
V primeru, ko lahko volumske sile zanemarimo, se gibalna enačba za elastični kontinuum zapiše:
k=i O xk dV
p je gostota snovi, t pa čas.
Če vstavimo Hookeovo enačbo (15) v gibalno enačbo (17) in pri tem upoštevamo (6), dobimo:
Aii- + - 1	P g2 u,_ 2(1 +v) T)
' 1 -2v 8 xj G <9 t2 1 -2v 8 x, J
o2	o2
A je Laplaceov operator —- +—- +.
8x* 8x\ 8x]
V cilindričnih koordinatah se te enačbe zapišejo za osnosimetrični primer takole:
—	gibalna enačba za radialno smer:
Š2u + ŠEu + l(D ) =	H 9 al
8v 8z r	P5t= t9a)
—	gibalna enačba za aksialno smer:
<?Prz , 8p„ | prz= 82w
8t 8t. r Si1
(19 b)
_ komponente deformacijskega tenzorja:
8u „. o u v	_£H
" " " 8z'y'2~dz 8v
Yrr=2 J^ ' Y<p<p — 2 '	2
ostale so 0
— volumska dilatacija:
du , u. 8w
ev =--1---1--
8 r r <9z
(20)
(20 a)
Namesto enačbe (18) imamo: + _ 1 de, " r1 '
u , _t_ gKv P d2u _ 2(1 + v) a(qT) (21a) Au " -2 + i _ 2v Sr G ^t2 1 - 2v 8r
Aw +
1 g£v Pa;w_2(l+v)g(aT)
l-2ve>z G dt2 1 — 2v 8z
(21 b)
Laplaceov operator ima obliko:
A=!A(rJL)+4	(22)
r 8r v ^r' az2 V krogelnih koordinatah se enačbe zapišejo za primer simetrije glede na koordinatno izhodišče takole: — gibalna enačba za radialno smer:
^ + |(Prr-p«pp) = P§, P83 = PW (23)
812
komponente deformacijskega tenzorja:
i du	, _u
Yrr = 2 — , Yp<p = 788 = 2-, 8 r	r
(24)
ostale so 0
— volumska dilatacija:
(24 a)
8 u
c/ u . U
ev =--1-2 -
dr r Namesto enačbe (18) imamo
_ 2u 1 — 2v p 82u _ 1 + v <9(aT) 25) U r2 2(l-v)Gat2 1 — v 8 r Laplaceov operator pa se glasi:
1 8 i8
r2 8t v 8r'
(26)
4. PRIMERI
med seboj pravokotne, lahko uporabimo enačbo (15) in dobimo:
2G r,, . du , ui EaT r = -— (1-v) —+ v - --— 1 - 2v	8r r 1 -
2v
(27)
2G
Pzz =
1 — 2v	' r 8rJ 1 -2v
2G /5u , u\ EaT , , , "(T-+ -)--;—^T = v(Prr + Pw)-
1 — 2v dr r' 1 — 2v -EaT.
(29)
(30)
Reševanje splošnega sistema parcialnih diferencialnih enačb (18), (21 a) in (21 b) ter (25) je zahtevna naloga. Poenostavitev dobimo v kvazistacionarnem primeru, ko je pospešek tako majhen, da ga lahko zane-
marimo. Dodatno poenostavitev dobimo, če lahko priv-zamemo ravninsko stanje deformacij.
Osnosimetrično spreminjanje temperature valjastega telesa
Dolg votel valj z notranjim polmerom Rn in zunanjim polmerom Rz naj bo ogrevan ali ohlajen tako, daje temperatura odvisna le od polmera in časa, vendar naj velja kvazistacionarni približek. Obe osnovni ploskvi naj bosta togo vpeti.
Pri teh pogojih je Yzz = 0 in se vse napetosti izražajo s pomiki u v radialni smeri. Ker so tudi v cilindričnem koordinatnem sistemu posamezne koordinatne smeri
Enačba (21) se poenostavi v obliko
a2u j 1 8u u _j+vgj ar2 r ar r2 1 - v ar Leva stran te enačbe se da zapisati v obliki
K !>>!)
in je zato mogoče diferencialno enačbo (20) rešiti z integriranjem. Splošna rešitev je
u = C i r + — + 7-^— — f xT(x,t)dx (31) r 1 - v r ro
C, in C2 sta integracijski konstanti. Določimo ju tako, da na notranji in zunanji površini postavimo prr = 0. Iz enačbe (27) sledi, da mora biti izpolnjena enačba
Ci-(1-2v)% = -!^(1-2v)4( xT(x,t)dx r2 1-v	r r„
za r = Rn in r = R2. Od tod sledi
C1=l^(l-2v)^T(Rz,t);C2--r^-C1, (32) 1 — V	2	1 — iv
pri čemer je
=	xT(x,t)dx	(33)
r" _ Kn R„
povprečna temperatura (poprečenje po ploskvi) med Rn in r.
S pomočjo enačb (27), (28) in (29) potem dobimo:
(34)
T(r, t) — 2T (r, t)]
Ea r^
1-v
(35)
T(RZ, t) — T (r, t)] (36)
Če je valj poln, je Rn = 0 in C2 = 0, pa dobimo
Prr =
Ea
2(1-v)
[T(RZ, t) — T(r, t)] (37)
Ea r t
, T(RZ, t) 4- T(r, t) — 2T (r,t)](38) 2(1 -v) L
pzz = ^L[vT(Rz,t)-T(r,t)] (39) 1-v
Če ima potek temperature v odvisnosti od polmera obliko kvadratne parabole (ta predpostavka je dokaj dobro izpolnjena v trenutku, ko je razlika med temperaturo na površini in v sredini velja največja), lahko zapišemo
T = ar2 + b,
(40) 79
ŽKZB (1987) štev. 2 — Računanje temperaturnih napetosti v elastičnem področju
pri čemer je a=	, b = Tn (Tn je temperatura v
Rz
sredini valja, Tz pa na površini valja).
Povprečni temperaturi T (r, t) in T (R2, t) izračunamo po prilagojenem obrazcu (33) in dobimo
T(r, t) = I^r2 + Tn	(41)
T(RItt)-Ia±i	(42)
Če ta dva izraza vstavimo v enačbe (37), (38) in (39), dobimo
- =	(44)
in
P^lv^-T.-^H] (45)
Če Je Tn = T„ preide enačba (45) v znani izraz P22= -Ea Tn. Negativne napetosti imajo tlačni značaj, pozitivne pa natezni značaj.
Poteka prr in v odvisnosti od polmera sta prikazana na sliki 2 in 3.
Slika 2
Potek radialne normalne napetosti prr v odvisnosti od polmera
Fig. 2
Course of radial normal stress prr as a function of radius
Slika 3
Potek cirkularne normalne napetosti pw v odvisnosti od polmera
Fig. 3
Course of circular normal stress p9(p as a function of radius
Če sta obe osnovni ploskvi valja prosti, lahko dobimo rešitev tako, da prištejemo k rešitvi (36), (39) ali (45) po preseku konstantno aksialno napetost (pzz)m ki mora biti tolikšna, da se rezultirajoča aksialna sila uniči2. Temu pogoju ustreza negativna povprečna vrednost napetosti pzz po enačbah (36), (39) ali (45).
— 2 R' (pzz)o= pzz=--T7 $ r pzz (r) dr	(46)
o
Če se omejimo na rezultat enačbe (45), dobimo
T 4- T
(PzZ)o= Ea —11
in je pri prostih osnovnih ploskvah valja odvisnost aksi-alne normalne napetosti pzz od polmera takale:
. =Ea(Tz-Tn)/1-2 jjj	47)
Pzz 2(1-v)	R;	(47)
Na osnovi enačb (43) in (44) vidimo, da je
Pzz = Prr + P<p<p Radialna in cirkularna napetost zaradi tega postopka nista prizadeti, rezultati pa po St.-Venantovem principu veljajo le v dovolj veliki oddaljenosti od obeh osnovnih ploskev. Potek napetosti p'z7 v odvisnosti od polmera je prikazan na sliki 4.
E o( (Tz ~Tn 2 (1 - V)
»lika 4
Potek aksialne normalne napetosti p2z v odvisnosti od polmera
Fig. 4
Course of axial normal stress pzz as a function of radius
Navlačenje plašča na os
Na os navlečemo plašč valja. Pri tem naj bo polmer osi za AR večji, kot je notranji polmer plašča (slika 5). Kolikšne napetosti pri tem nastanejo?
Nalogo rešimo s pomočjo rezultatov v 1. primeru. Če ni temperaturnih razlik, odpadejo v enačbah (27), (28), (29) in (30) vsi členi, ki vsebujejo temperaturo. Zaradi tega se pomiki točk v radialni smeri zapišejo za plašč
Slika 5
Spremembe dimenzij po navlačenju plašča na os valja
Fig. 5
Dimensional changes in pulling a casing on a cjlindrical axis
u = C,r + — r
C, = (l-2v)
prr=G
I-v	R2'

če sta osnovni ploskvi togo vpeti — v plašču
1 - v R- r-
„ R„ AR i 1 , I i
v R„ AR
Pz2 = 2G
— v
R;
če sta obe osnovni ploskvi togo vpeti.
Iz (50) in (51) je razvidno, da imajo radialne napetosti povsod tlačni značaj, cirkularne in aksialne napetosti pa imajo v osi tlačni značaj, v plašču pa natezni značaj. V osi so vse napetosti neodvisne od kraja, v plašču pa to velja le za aksialno napetost. Če sta obe osnovni ploskvi prosti, ravnamo tako, kot je opisano v 1. primeru in so aksialne napetosti identično enake 0. Najbolj kritične so cirkularne napetosti v plašču neposredno ob stiku z osjo. Od tod dobimo oceno
AR <

C -v)
G R„(4t
+
1
R, R
)
(52)
Navlačenje izvedemo tako, da plašč segrejemo za AR
AT> -
a R„
(53)
(48)
za os pa
u' = C, r	(49)
Integracijske konstante določimo iz naslednjih treh pogojev:
a)	pri r=R„:u-u'=R0-Rpi=AR
b)	pri r=Rn:(prr)os = (prr)pl
c)	pri r=Rz:(prr)pi = 0
Ob privzetku, da imata os in plašč enake elastične lastnosti, dobimo
C' — M — 2v) R" AR (—-—) C|-(1 2(1 — v) R2 R2
Rn AR c Rn AR 2R2 (1 — v) 2 2(1-v)
Sledijo enačbe za normalne napetosti — v osi
R„ AR , 1 1 \ n (l7T — 7TT' = Pi
Če plašč navlečemo na cev, se radialni pomiki točk v cevi zapišejo
u' = C',r + C' 2 r
in je zato potreben še robni pogoj ob notranji površini cevi
d) za r=Rnc:prr = p0,
sicer je račun podoben kot zgoraj.
Središčno simetrično spreminjanje temperature krogle
Polna krogla s polmerom R naj ima glede na središče simetrično, sicer pa poljubno porazdelitev temperature T(r, t). Velja naj kvazistacionarni približek. Zanimajo nas napetosti v krogli, če je njena površina prosta. Enačba (25) se poenostavi v
a2u 2 gu 2u_ 1 +v a(a T)
<9r2 + r dr r2 1 - v dr Levo stran te enačbe lahko zapišemo
s 11 r s
(54)
A I4F C1"2 u)]} dr r2 dr J)
in se zato diferencialna enačba (54) da rešiti z zaporednim integriranjem. Splošna rešitev je
U=^+J±5!ai t X2 T(x, t) dx (55) 3 1 - v r- o Integracijsko konstanto C, določimo iz pogoja (Prr)r-R = 0, pri tem pa poiščemo prr z uporabo enačbe
(15)
= 2G(—+ -
ev-
1+v
aT);
(56)
(50)
2 1 — 2v ' 1 — 2v yrr in ev sta določena z enačbama (24) in (24 a). Dobimo
C i = 2 a T(R, t),	(57)
1 - v
R
T(R, t) = -M x2 T (x, t) dx	(58)
R o
pri čemer je
Končni rezultat za p,, je 2 Ea
Prr = -
(51)
3 1 — v Na podoben način dobimo
[T(R, t)-T(r, t)]	(59)
P<p<p =
i Ea 3 1 -v
2 [T(R, t) + T(r, t)-3 T (r,t)] =
= Pss
(60) 81
Ce poznamo funkcijo T (r, t), lahko izračunamo prr in Pw; T (r, t) je mogoče v nekaterih primerih tudi izračunati z reševanjem difuzijske enačbe za prevajanje toplote
8 T »T K — = a AT, a = —. 81	pc
(61)
X.je toplotna prevodnost, c pa specifična toplota materiala, po katerem se širi toplota. V primeru krogelne simetrije temperaturnega polja se enačba (61) zapiše:
a 82(r 1) _8J r dr2 8\
(62)
8 r1 a
(64)
Njena splošna rešitev je
Q-Z ^
sin
n = 1 r
Tu je že upoštevana zahteva, da mora biti rešitev končna pri r = 0. Pri r=R mora biti Q = 0, iz česar sledi

= nn, oziroma
l/g = nn ' a R
(65)
Koeficiente določimo tako, da je izpolnjen začetni pogoj
To = Z
A„ . ni —2 sin — r r R
(66)
Če enačbo (66) pomnožimo z r sin (— r) dr in integrira-
R
mo od r = 0 do r=R, sledi zaradi ortonormiranosti trigonometričnih funkcij
2T0R
A„ = -
nTi
(-1)
n + I
Končna rešitev enačbe (62) je torej 2T,,R f (-!)"+'
T(r, t) =
Jtr n = I
n;ir
sin-e
R
- a 0^712 ( / r2
(67)
(68)
Ta vrsta je enakomerno konvergentna tako glede spremenljivke t kot glede spremenljivke r. Po obrazcu (58) dobimo iz enačbe (68)
(-1)"
T(r, t) = 6 T0(—)2 2
rcr n=l n R nnr\ , ,
--Sin - e-an2n2,/R
njir R '
(cos--
x R
(69)
S tem lahko izračunamo prr in PW = P8<)- Grafa funkcije T(r, t) in T (r, t) v brezdimenzijski obliki sta na slikah 6 in 7.
To enačbo je mogoče analitično rešiti za tak idealiziran primer: krogla z začetno enakomerno temperaturo T0 se ohlaja v sredstvu s temperaturo O (temperaturno skalo
si mislimo prilagojeno tako, da njeno izhodišče sovpada s temperaturo hladilnega sredstva). Toplotna pre-stopnost med kroglo in hladilnim sredstvom naj bo neskončno velika, kar pomeni, da površina krogle takoj na začetku ohlajanja doseže temperaturo kopeli.
Enačbo (62) rešimo z ločitvijo spremenljivk, to je z nastavkom
P(t) = e-P"1	<63)
Za Q(r) dobimo potem diferencialno enačbo
0,25 0,30 ^
Slika 6
Potek temperature krogle med ohlajanjem v odvisnosti od kraja in časa (v brezdimenzijski obliki)
Fig. 6
Iemperature changes in a sphere during cooling as a function of position and tirne (in dimensionless form)
0,25 0,30 r?
Slika 7
Potek poprečne temperature notranjosti krogle med ohlajanjem v odvisnosti od časa (v brezdimenzijski obliki)
Fig. 7
Change of the average temperature in the interior of the sphere during cooling, depending on tirne (in dimensionless form)
Literatura
F. Sturm in R. Harreither: Berechnung von Warmespan-nungen mit der Methode der finiten Elemente, Arch. Eisen-huttenwes. 47 (1976), št. 6, str. 357
H. Parkus: Instationare Warmespannungen, Springer Ver-lag, Dunaj 1959
ZUSAMMENFASSUNG
Eine Beschreibung der Spannungen im elastischen Bereich mit Hilfe des Spannungstensors vvird gegeben. Die Bedeutung der Komponenten des Verformungstensors wird gezeigt. Auf Grund der experimentall festgestellten Verbindungen zwi-schen den Spannungen und Verformungen bei einachsigem Zugversuch ist die Verbindung zvvischen den Komponenten dieser zwei Tensoren ausgefiihrt worden. Mit der Erweiterung des Verformungstensors fiir den Fall wo auch eine isotrope Temperaturausdehnung des Werkstoffes anvvesend ist vvird noch allgemeine lineare Verbindung zwischen Spannungen und Verformungen angegeben. Zusammen mit der Bewegungs-gleichung fiir den elastischen Kontinuum dient diese fiir die Be-rechnung der Temperaturspannungen. Entsprechende Diffe-
renzialgleichungen werden auch in zylindrischen und Kugel-koordinaten angegeben. Unter den praktischen Beispielen wird die Entstehung der Spannungen vvegen der achsen-simetrischen Temperaturanderung des zylindrischen Kor-pers, Spannungen im Falle des Aufziehens eines Mantels auf die Achse des Zylinders, und die Entstehung der Spannungen vvegen der vom Mittelpunkt ausgehenden symmetrischen Temperaturanderung einer Kugel. Die analytische Methode ist fiir die Losung der Differenzialgleichungen angevvendet worden. Aussere mechanische Einfliisse vverden nicht berucksichtigt, jedoch ist aus den gelossten Beispielen zu entnehmen wie zum Beispiel hydrostatischer Druck beriichsichtigt werden konnte.
SUMMARY
The description of stresses in an elastic continuum by a stress tensor is presented. The significance of the components of the strain tensor is also given. Based on the experimentally determined correlations between the stresses and strains at un-iaxial tensile test the correlation betvveen the components of the two tensors was deduced. By extending the strain tensor on the čase where also isotropical temperature expansion of material is present, even a more general linear correlation- be-tvveen the stresses and the strains is given. Together with the motive equation for the elastic continuum it can be applied in calculating the temperature stresses. Corresponding differen-
tial equations are given also for cylindrical and spherical coordinates. As practical examples the appearance of stresses due to axially symmetric variation of temperature in a cylin-der, the stresses appearing in pulling-on a casing over a cylin-drical axis, and the appearance of stresses due to centre sym-metrical variation of temperature in a sphere were calculated. Analytical method for solving differential equations was applied. External mechanical indluences are not taken in account, but the solved examples show how e. g. hydrostatic pressure could be taken in account.
3AKJ1KDMEHHE
riphbeaeho onHcaHe HanpsDKeHHfl b 3JiacTHHHOM KOHTHHy-ywe npn noMomH Hanpa>KeHHH ynpyrocTH. PaccMOTpeHHO 3hanehhe K0Mii0HeHT fle(()0pMauH0HH0H ynpyrocTH. Ha ocho-BaHiin 3KcnepnMeHTaJibHO ycTaHOBJieHHOH cb«3h Me»ay HanpajKeHiieM h ,ne(j)opMauHeH npn 0ziH00ceB0M HaTHJKHOM onbiTe BbiBeaeHa cBfl3b Me»ay K0Mn0HeHTaMH 3thx aByx yn-pyrocTefi.
C pacuinpeHHeM ae(J)0pMauH0HH0ii ynpyrocTH, Hnp. Koraa npncyTCTByeT TaK)Ke H30Tp0nH0 TeMnepaTypHoe pacra>KeHHe MaTepnajia, nphbeiieha eme 6ojiee b o6uieM bhne jihhehhaa CBS3b \ie*ziy Hanpa>KeHHeM h fle^op.viauHeH. BMecTe c HBH)jcy-iiihhm ypaBHeHneM ajta 3JiacTHHHoro KOHTHHyyMa cjiy)KHT fljia BbiMHCJieHHa TeMnepaTypHbix Hanpa)KeHiiH.
CooTBeTCTBeHHbie aH(J)(j)epeHUHajTbHbie ypaBHeHna npn-
beaehbi tak>ke b (Jjopvie uhjwh.aphheckhx h iuapoo6pa3Hbix
KOOpUHHaT.
Me»ay npaKTHnecKHMH npHMepaMH paceMaTpHBaeTeH nosiBjieHne hanpa)kehha bcjiczjctbhh ocecHMMeTpHHHoro m-MeHeHHH TeMnepaTypbi uHJiHHupHHecKoro Tejia, HanpsDKeHHa Ha npHMepe HaTarHBaHH« Kopnyca Ha ocb BajiKa, TaioKe Hac-tynjiehha hanpajkehhhii bcneactbhh ueHTpajibHO chmmct-puHHoro H3MeHeHHH TeMnepaTypw mapa.
ynoTpe6jieH aHanHTHHecKHH Meroa pemeHHH 4H(J)(J)epeH-UHajlbHbIX ypaBHeHHH. BHeUJHHH MexaHHieCKHH BJIHHHHH He 6biJiH nphhhtbi bo bhhmahhe, xoth h3 pa3peuieHHbix npHMep-ob mojkho BHfleTb, hto He ripe/ICTaBJIHJIO 6bl npenHTCTBHH, ec-jih 6bi, HanpHMep, yHHTbiBajiH i H/ipocraTHMecKoe flaBJieHHe.