i
i
“kolofon” — 2016/8/31 — 7:06 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAREC 2016, letnik 63, številka 2, strani 41–80
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2016 DMFA Slovenije – 1998 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 41 — #1 i
i
i
i
i
i
BORSUK-ULAMOV IZREK
KATJA KELVIŠAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 55M25
V članku se bomo seznaninli z Borsuk-Ulamovim izrekom in njegovo uporabo v pro-
blemu poštene delitve. Bolj konkretno se bomo ukvarjali s problemom pravičnega razreza
torte. Pokazali bomo tudi izrek o sendviču. Nadalje si bomo ogledali Borsuk-Ulamovemu
izreku ekvivalentne trditve. S pomočjo teorije stopnje v evklidskih prostorih bomo izpe-
ljali posplošitev Borsuk-Ulamovega izreka na simetrične množice. Pri tem bomo spoznali
pojem stopnje gladke in zvezne preslikave, ovojno število ter njihove številne lastnosti.
BORSUK-ULAM THEOREM
In this article we will get familiar with the Borsuk-Ulam theorem and its application in
a fair division problem. More concretely, we will deal with the fair cake-cutting problem.
We will also prove the Ham Sandwich theorem. Furthermore we will take a look at
equivalent statements of the Borsuk-Ulam theorem. We will obtain the generalization of
the Borsuk-Ulam theorem on symmetric sets, which we will do with the help of degree
theory in Euclidean spaces. We will also get to know new terms, such as the degree of a
smooth or continous mapping and winding number, and their characteristics.
Uvod
Prvič sem se z Borsuk-Ulamovim izrekom srečala že v prvem letniku študija
matematike, ko smo pri Analizi 1 pokazali, da v vsakem trenutku na Zemlji
obstajata dve nasprotni si točki z enako temperaturo. Omenili smo še, da
obstajata antipodni točki, ki imata poleg temperature enak tudi pritisk. Ta-
krat izreka samega še nisem poznala in tako nisem vedela, da to pravzaprav
sledi iz najbolj znane oblike Borsuk-Ulamovega izreka, ki pravi naslednje:
Izrek 1. Za vsako zvezno preslikavo f : Sn → Rn obstaja točka x ∈ Sn, da
velja f(x) = f(−x).
V izreku je s Sn mǐsljena enotska sfera v evklidskem prostoru Rn+1,
vendar izrek velja tudi za enotsko sfero v nekaterih drugih normah na Rn+1,
npr. v L1 normi, ter za bolj splošne podmnožice Rn+1.
Izrek je dobil ime po Stanislawu Ulamu, ki je problem zastavil, in Karolu
Borsuku, ki ga je dokazal.
Zgornja verzija Borsuk-Ulamovega izreka je bila ena izmed treh origi-
nalnih trditev, ki jih je Karol Borsuk objavil leta 1933 v reviji Fundamenta
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 41
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 42 — #2 i
i
i
i
i
i
Katja Kelvišar
Mathematicae, glej [3]. Od takrat so se razvile številne različice, posplošitve
ter aplikacije. Kot Borsuk-Ulamov izrek je v nadaljevanju članka mǐsljen
izrek 1, razen ko je navedeno drugače.
V prvem delu članka se bomo osredotočili na uporabo izreka. Pomembno
vlogo bo odigral t. i. izrek o sendviču, ki sledi iz Borsuk-Ulamovega izreka.
Uporablja se na določenem področju problema poštene delitve (angl. fair
division), ki izhaja iz problemov vsakdanjega življenja, kot so npr. dražbe,
delitve premoženja ob ločitvah, razrez torte itd.
V drugem delu članka pa si bomo ogledali nekaj Borsuk-Ulamovemu
izreku ekvivalentnih trditev in pokazali ekvivalence. Nato bomo s pomočjo
teorije stopnje v evklidskih prostorih izpeljali posplošitev tega izreka na
simetrične množice. Pri tem bomo uporabili lastnosti stopnje preslikave in
ovojnega števila.
Z Borsuk-Ulamovim izrekom ste se bralci revije Obzornik že seznanili
leta 1987, glej [4].
Primer uporabe Borsuk-Ulamovega izreka
Iz Borsuk-Ulamovega izreka sledi nekaj pomembnih trditev s področja to-
pologije in diskretne matematike. V tem razdelku se bomo osredotočili na
izrek o sendviču in njegovo uporabo v problemu poštene delitve.
Problem poštene delitve se ukvarja z delitvijo množice dobrin X med
njene upravičence, tako da vsak dobi delež, ki mu najbolj pripada.
S tem problemom so se ljudje začeli ukvarjati že zelo zgodaj, ko je prǐslo
do delitve vojnega plena, premoženja, posesti, itd. Večino primerov so re-
šili enostransko s pomočjo avtoritete (kralji, razsodniki, . . .), matematične
(logične) rešitve so bile redke. Večji premiki na tem področju so se zgodili
v zadnjem stoletju, ko se je razvilo kar nekaj algoritmov za različne tipe
problema delitve.
Poznamo različne tipe problema poštene delitve, saj so predmeti, ki jih
moramo razdeliti, lahko zelo različni. X je tako lahko končna množica nede-
ljivih objektov, kot npr. klavir, avto, stanovanje, ali pa množica neskončno
deljivih objektov, npr. denar, torta. Objekti so prav tako lahko homogeni,
kjer je pomembna samo količina, ki jo posameznik prejme, ali heterogeni,
kjer je pomembno, kaj točno (glede na svoje preference) prejme. V nada-
ljevanju članka se bomo ukvarjali z delitvijo heterogene množice z deljivimi
objekti, kot je npr. torta (angl. cake-cutting problem), pri čemer bomo
predpostavili, da so preference posameznikov aditivne. To pomeni: če si
posameznik določen kos objekta želi 40-odstotno, si preostanek objekta želi
60-odstotno. Vsota mora torej vedno biti 100 %.
42 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 43 — #3 i
i
i
i
i
i
Borsuk-Ulamov izrek
Eden od prispevkov k modernemu reševanju problema poštene delitve
je tudi izrek o sendviču. Zvezna verzija tega izreka se glasi:
Izrek 2. Naj bodo A1, A2, . . . , An ⊂ Rn omejene množice z volumnom
(
∫
Ai
dV obstaja za vsak i). Potem obstaja hiperravnina h, ki vsako od teh
množic razpolovi.
Dokaz. Izrek bomo dokazali z uporabo Borsuk-Ulamovega izreka na ustrezni
zvezni preslikavi f : Sn−1 → Rn−1. Izberimo poljubno točko ν na enotski
sferi Sn−1 ⊂ Rn in tako točko Tν na premici skozi izhodǐsče s smernim
vektorjem ν, da hiperravnina Hν z normalo ν skozi točko Tν razpolavlja
množico A1. Velja torej
∫
A1∩H+ν dV =
∫
A1∩H−ν dV , pri čemer sta H
+
ν in H
−
ν
zaprta polprostora z robom Hν , prvi v smeri normale, drugi pa v nasprotni
smeri. Točka Tν obstaja zaradi omejenosti množice A1. Če je množica A1
nepovezana, je takšnih točk lahko več in tvorijo cel interval, za točko Tν pa
izberemo na primer sredǐsčno točko tega intervala. Preslikavo f definiramo
s predpisom f(ν) =
(∫
Ai∩H+ν dV
)n
i=2
. Ni težko videti, da je preslikava f
zvezna. Po Borsuk-Ulamovem izreku torej obstaja taka točka x ∈ Sn−1, da
je f(x) = f(−x). Iz konstrukcije vidimo, da je Tx = T−x in Hx = H−x =:
h. Enakost f(x) = f(−x) pomeni, da hiperravnina h razpolavlja množice
A2, . . . , An, po konstrukciji pa razpolavlja tudi množico A1.
Čeprav izrek o sendviču zagotavlja, da je sendvič ali torto mogoče razde-
liti pod predpostavkami kot v izreku, nam ne pove ničesar o tem, kako naj
bi to storili. Nekaj o tem nam pove naslednji algoritem za pravično delitev
torte med n oseb, glej [5, str. 328, 329]. Denimo, da n ljudi sedi za okroglo
mizo s torto v sredǐsču mize. Nekdo začne in odreže kos, za katerega se
mu zdi, da ustreza eni n-tini, ter odrezani kos poda osebi na svoji levi. Če
se tej osebi zdi, da je njen predhodnik odrezal manj ali točno eno n-tino,
jo enostavno poda naprej v levo, sicer pa odreže odvečni del in ga vrne k
preostanku torte v sredǐsču mize. Sedaj zmanǰsan kos poda levemu sosedu.
Postopek se ponavlja, dokler nihče več ne zmanǰsa kosa. Kos dobi oseba, ki
ga je nazadnje zmanǰsala. Algoritem se nato ponovi med n− 1 osebami, ki
še niso dobile kosa, in preostankom torte.
V zgornjem algoritmu smo torto razdelili na n kosov. Torto pa je mo-
goče razdeliti na samo dva dela glede na preference n ljudi tudi direktno z
uporabo Borsuk-Ulamovega izreka, glej [6, str. 16, 17]. Torto predstavimo
s kompaktno množico T ⊂ R3. Želimo jo razdeliti na dva dela v skladu z
željami n ljudi. Vsaka oseba lahko prereže torto, nastale kose pa nato razde-
limo v dve skupini, ki predstavljata iskana dela. Želje ljudi, ki so lahko npr.
41–52 43
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 44 — #4 i
i
i
i
i
i
Katja Kelvišar
kos torte z več čokolade ali tisti z več jagodami itn., opǐsemo z zveznimi
funkcijami ρi : T → R+ ∪ {0}, i = 1, . . . , n, kjer je za i-tega opazovalca
vrednost kosa torte K ⊂ T enaka
∫
K ρidV . Koordinatni sistem v R
3 izbe-
remo tako, da torto omejujeta ravnini {z = 0} in {z = 1}. Vsaka oseba
naredi rez {z = ci}, pri čemer je ci ∈ [0, 1] za vsak i = 1, . . . , n. Brez škode
za splošnost velja ci ≤ cj za i ≤ j. Videti želimo, da obstajajo taki rezi
in razdelitev teh n + 1 kosov v dve skupini, ki tvorita razdelitev torte na
podmnožici A in B, da bo delitev v očeh n ljudi poštena. To pomeni, da
mora za vsak i veljati
∫
A ρidV =
∫
B ρidV .
Razdelitvi n + 1 kosov na dva dela priredimo točko na n-sferi S v L1
normi na prostoru Rn+1, torej na množici {x ∈ Rn+1;
∑n+1
i=1 |xi| = 1} takole:
zapomnimo si debeline posameznih kosov, ki jih označimo z d1, . . . , dn+1 in
zanje velja d1 = c1 − 0, . . . , di = ci − ci−1, . . . , dn+1 = 1 − cn. Opazimo∑n+1
i=1 |di| = 1. Razdelitvi priredimo točko (±d1, . . . ,±dn+1) na sferi S, kjer
je predznak k-te komponente pozitiven, če je k-ti kos v delu A, in negati-
ven, če je v delu B torte T . Definirajmo sedaj funkcijo f , na kateri bomo
uporabili Borsuk-Ulamov izrek. Da izrek velja tudi za zgoraj definirano
n-sfero S, ki je simetrična množica, sledi iz četrtega razdelka tega članka.
Funkcija f : S → Rn, ki točko (z1, . . . , zn) ∈ S slika v
(∫
A ρidV
)n
i=1
, je
zvezna in zadošča predpostavkam Borsuk-Ulamovega izreka. Obstaja torej
točka z ∈ S, da je f(z) = f(−z). Iz konstrukcije vidimo, da točki z ∈ S in
−z ∈ S izhajata iz kosov enakih debelin (absolutne vrednosti koordinat),
vlogi delov torte A in B pa sta zamenjani (koordinate točke z so nasprotno
predznačene kot koordinate točke −z). Ker sta tudi sliki obeh točk enaki,
velja
∫
A ρidV =
∫
B ρidV .
Ekvivalentne trditve Borsuk-Ulamovemu izreku
V tem razdelku si bomo ogledali nekaj ekvivalentnih formulacij Borsuk-
Ulamovega izreka in dokazali njihovo ekvivalentnost [2, izrek 2.1.1].
Trditev 3. Za vsak n ≥ 0 so spodnje trditve ekvivalentne:
1. Za vsako zvezno preslikavo f : Sn → Rn obstaja točka x ∈ Sn, da velja
f(x) = f(−x).
2. Za vsako liho zvezno preslikavo f : Sn → Rn obstaja točka x ∈ Sn, da
velja f(x) = 0.
3. Ne obstaja liha zvezna preslikava f : Sn → Sn−1.
44 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 45 — #5 i
i
i
i
i
i
Borsuk-Ulamov izrek
4. Ne obstaja zvezna preslikava f : Bn → Sn−1, ki je liha na robu, torej
zadošča pogoju f(−x) = −f(x) za vse x ∈ Sn−1 = ∂Bn.
5. (Ljusternik in Shnirel’man) Za vsako pokritje sfere Sn z n + 1 zapr-
timi množicami F1, . . . , Fn+1 obstaja vsaj ena množica Fi, ki vsebuje
antipodni točki (Fi ∩ (−Fi) 6= ∅).
Dokaz. (1.⇒ 2.) Za liho preslikavo f po točki 1 dobimo f(x) = f(−x), od
koder sledi f(x) = 0.
(2.⇒ 3.) Če bi liha zvezna preslikava f : Sn → Sn−1 ⊂ Rn obstajala, bi
bilo to v nasprotju s točko 2, ker 0 /∈ Sn−1 ⊂ Rn.
(3. ⇒ 1.) Če obstaja taka preslikava f : Sn → Rn, da za vsako točko
x ∈ Sn velja f(x) 6= f(−x), je s predpisom
g(x) =
f(x)− f(−x)
||f(x)− f(−x)||
dana liha zvezna preslikava g, ki slika iz n-sfere v (n− 1)-sfero.
(3. ⇔ 4.) Pri dokazu ekvivalence si bomo pomagali s projekcijo π :
(x1, . . . , xn+1) 7→ (x1, . . . , xn), ki je homeomorfizem zgornje hemisfere n-
sfere (označimo jo s S+) na n-disk.
(3. ⇒ 4.) Privzemimo, da je preslikava g : Bn → Sn−1 liha na robu.
Preslikavo f definiramo tako: f(x) = g(π(x)) za x ∈ S+. Upoštevamo lihost
in preslikavo f razširimo na spodnjo hemisfero, torej f(−x) = −g(π(x)) za
x ∈ S+. Preslikava f je tako definirana na vsem Sn; predpisa se ujemata
na preseku, ker je preslikava g liha na ekvatorju Sn. Je tudi liha ter zvezna,
saj je zvezna na obeh zaprtih hemisferah. To nasprotuje točki 3.
(3. ⇐ 4.) Iz lihe preslikave f : Sn → Sn−1 dobimo preslikavo g : Bn →
Sn−1, g(x) := f(π−1(x)), ki je liha na ∂Bn.
(1. ⇒ 5.) Dano je zaprto pokritje F1, . . . , Fn+1. Zvezno preslikavo f :
Sn → Rn definiramo takole: f(x) := (dist(x, F1), . . . ,dist(x, Fn)), pri čemer
je dist(x, Fi) razdalja točke x do zaprte množice Fi. Po 1. obstaja točka
x ∈ Sn, za katero je f(x) = f(−x) = y. Če je i-ta koordinata točke y enaka
0, potem tako x kot −x ležita v Fi, i ∈ {1, . . . , n}. Če pa so vse koordinate
y neničelne, x in −x ležita v Fn+1.
(5. ⇒ 3.) Recimo, da obstaja f : Sn → Sn−1, da je f(−x) = −f(x).
Sfero Sn−1 razbijemo na n + 1 zaprtih množic Z1, . . . , Zn+1, da velja Zi ∩
−Zi = ∅ za vsak i ∈ {1, . . . , n + 1}. To lahko storimo tako, da lica
n-simpleksa, ki vsebuje 0 v svoji notranjosti, projiciramo na Sn−1. V
R2 bi torej z radialno projekcijo stranice trikotnika projicirali na S1, v
R3 bi isto naredili s ploskvami tetraedra itd. Če sedaj pogledamo F1 =
41–52 45
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 46 — #6 i
i
i
i
i
i
Katja Kelvišar
f−1(Z1), . . . , Fn+1 = f
−1(Zn+1), vidimo, da zaradi lihosti f in lastnosti
množic Zi velja Fi ∩ −Fi = ∅ za vsak i ∈ {1, . . . , n+ 1}.
Pokazali smo ekvivalence med zgornjimi trditvami, ne pa tudi njihove
veljavnosti. To bomo storili v naslednjem razdelku.
Posplošitev Borsuk-Ulamovega izreka
Za posplošitev Borsuk-Ulamovega izreka na simetrične množice potrebu-
jemo nekaj znanja iz teorije stopnje v evklidskih prostorih. Najprej si bomo
ogledali stopnjo gladke preslikave, nato pa še stopnjo zvezne preslikave, ki
jo dobimo s pomočjo aproksimacije zvezne preslikave z gladkimi. Obrav-
navali bomo nekaj pomembneǰsih lastnosti tako definirane stopnje, ki jih
bomo kasneje uporabili v dokazu posplošitve. S stopnjo preslikave je te-
sno povezano tudi ovojno število, s katerim bomo formulirali posplošitev
Borsuk-Ulamovega izreka.
Preden definiramo stopnjo gladke preslikave, ponovimo še pojem regu-
larne vrednosti. Točka a ∈ Rm je regularna vrednost preslikave f : D ⊂
Rn → Rm, če je diferencial, predstavljen z Jacobijevo matriko Jf (x), sur-
jektiven za vsak x ∈ f−1(a). Po Sard-Brownovem izreku [1, izrek 3.4, str.
63] je množica regularnih vrednosti gosta v Rm, torej regularno vrednost
najdemo v vsaki odprti množici.
Za celotni razdelek privzemimo, da je D ⊂ Rn omejena odprta množica
in X = D\D njena topološka meja. Ker je D kompaktna množica, je slika
zvezne preslikave f : D → Rn kompakt in norma ||f || = max{||f(x)|| : x ∈
D} je zato dobro definirana.
Trditev 4. Naj bo f : D → Rn gladka preslikava in a ∈ Rn\f(X) regularna
vrednost f |D. Potem je f−1(a) končna množica (lahko tudi ∅).
Dokaz. Množica f−1(a) je vsebovana v D, ki je kompaktna. Zato je dovolj
videti, da je f−1(a) diskretna in zaprta. Vzemimo poljuben x ∈ f−1(a).
Po izreku o inverzni preslikavi je f lokalni difeomorfizem v neki okolici Ux
točke x, kar sledi iz neizrojenosti Jacobijeve matrike. Torej je x edina točka
v preseku Ux ∩ f−1(a), iz česar sledi diskretnost množice f−1(a). Množica
je zaprta, saj je praslika zaprte množice {a}.
Definicija 5. Naj bo f : D → Rn gladka preslikava in a ∈ Rn\f(X) regu-
larna vrednost f |D kot v preǰsnji trditvi. Stopnjo f definiramo kot
d(f,D, a) =
∑
x∈f−1(a)
signx(f),
46 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 47 — #7 i
i
i
i
i
i
Borsuk-Ulamov izrek
kjer je
signx(f) = sign det (Jf (x)) = ±1
predznak f v x, Jf (x) pa Jacobijeva matrika preslikave f v x.
Predznak diferenciala preslikave f nosi informacijo o orientaciji. Če
je signx(f) = 1, diferencial v točki x ∈ D orientacijo ohranja, če velja
signx(f) = −1, pa jo obrne.
Sedaj si oglejmo pomembno lastnost zgoraj definirane stopnje gladke
preslikave:
Trditev 6 (lokalna konstantnost stopnje [1, str. 139]). Za vsako re-
gularno vrednost a obstaja odprta okolica W v množici regularnih vrednosti
Rf |D\f(X), da velja: d(f,D, a) = d(f,D, x) za vsak x ∈W .
Dokaz. Množice
{
Ux;x ∈ f−1(a)
}
iz dokaza trditve 4 ustrezno zmanǰsamo,
da je na njih predznak det (Jf (x)) konstanten. To lahko storimo zaradi
zveznosti determinante Jacobijeve matrike. Za W vzamemo
W :=
⋂
x∈f−1(a)
f(Ux)\
f
D\ ⋃
x∈f−1(a)
Ux
 .
Preden si ogledamo še eno pomembno lastnost stopnje gladke presli-
kave, se spomnimo, kaj je homotopija preslikav. Naj bosta X, Y topološka
prostora ter f1, f2 : X → Y zvezni preslikavi. Homotopija od f1 do f2
je zvezna preslikava H : X × [0, 1] → Y , za katero velja H(x, 0) = f1(x)
in H(x, 1) = f2(x) za vsak x ∈ X. Predstavlja torej pot med f1 in f2
v prostoru zveznih preslikav. Pogosto namesto H(x, t) pǐsemo kar Ht(x).
Pravimo, da sta f1 in f2 homotopni preslikavi.
Trditev 7 (homotopska invariantnost stopnje [1, str. 140–144]). Za
gladko preslikavo H : [0, 1]×D → Rn in točko a ∈ Rn\H([0, 1]×X) velja:
d(H0, D, a) = d(H1, D, a).
Pomembna posledica zgornje trditve je, da za gladke preslikave f : D →
Rn in povezane množice U ⊂ Rn\f(X) velja, da je stopnja d(f,D, a) enaka
za vse regularne vrednosti a ∈ U . Omogoča nam, da stopnjo gladke presli-
kave definiramo tudi v neregularnih vrednostih.
Definicija 8. Naj bo f : D → Rn gladka preslikava, a ∈ Rn\f(X) in U po-
vezana komponenta Rn\f(X), ki vsebuje a. Potem je d(f,D, b) konstantna
za vse b ∈ U , ki so regularne vrednosti preslikave f |D. Stopnjo nad a tako
definiramo kot d(f,D, a) = d(f,D, b) za poljuben tak b.
41–52 47
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 48 — #8 i
i
i
i
i
i
Katja Kelvišar
Regularna vrednost b ∈ U iz zgornje definicije vedno obstaja po Sard-
Brownovem izreku.
V nadaljevanju bomo uporabljali predvsem stopnjo zvezne preslikave, ki
jo dobimo s pomočjo gladke takole:
Trditev 9. Naj bo f : D → Rn zvezna preslikava in a ∈ Rn\f(X). Potem
obstaja gladka preslikava g : D → Rn, za katero je ||f − g|| < dist(a, f(X)).
Stopnja d(g,D, a) je za vse take g enaka.
Dokaz. Po Weierstrassovem aproksimacijskem izreku najdemo polinomsko
preslikavo P , ki je seveda gladka, tako da velja ||P−f || < 12 dist(a, f(X)). Po
Sard-Brownovem izreku pa najdemo regularno vrednost za P |D, imenujmo
jo b, da velja: ||a− b|| < 12 dist(a, f(X)). Preslikava g, ki ustreza definiciji,
je g = P +a− b. Da imata gladki preslikavi g in g, ki sta obe blizu f , enako
stopnjo nad točko a, preverimo s homotopijo H : [0, 1]×D → Rn : (x, t) 7→
(1− t)g(x) + tg(x), kjer velja a /∈ H([0, 1]×X).
Definicija 10. Naj bo f : D → Rn zvezna preslikava in a ∈ Rn\f(X).
Potem po preǰsnji trditvi obstaja gladka preslikava g : D → Rn, za katero
je ||f − g|| < dist(a, f(X)). Za takšne g je stopnja d(g,D, a) že definirana,
pri čemer je a ∈ Rn\f(X), in je za vse take g enaka. Stopnjo f definiramo
kot
d(f,D, a) = d(g,D, a).
Za stopnjo zveznih preslikav seveda veljajo lastnosti, navedene v trditvah
6 in 7. Še več, veljajo spodnji sklepi:
Trditev 11 (Nagumo, Führer, Deimling [1, str. 149, 150]).
1. Če je f enaka inkluziji IdD : D → D ⊂ Rn, potem je stopnja preslikave
f nad točko a enaka 1, če je a ∈ D, in 0, če velja a /∈ D.
2. (obstoj rešitve) Naj bo f : D → Rn zvezna preslikava in a /∈ f(X). Če
je d(f,D, a) 6= 0, obstaja točka x ∈ D, za katero je f(x) = a.
3. (aditivnost stopnje) Naj bosta D1, D2 ⊂ D disjunktni odprti množici,
f : D → Rn zvezna preslikava in a točka, za katero velja a /∈ f(D\(D1∪
D2)). Potem je d(f,D, a) = d(f,D1, a) + d(f,D2, a).
Preden definiramo ovojno število, ki ga bomo uporabili v posplošitvi
Borsuk-Ulamovega izreka, potrebujemo še naslednji izrek, ki sledi iz homo-
topske invariantnosti stopnje:
48 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 49 — #9 i
i
i
i
i
i
Borsuk-Ulamov izrek
Izrek 12 ([1, str. 150]). Naj bosta f, g : D → Rn zvezni preslikavi, ki
se ujemata na meji D, torej je f |X = g|X , in a točka, za katero velja
a /∈ f(X) = g(X). Potem je d(f,D, a) = d(g,D, a).
Definicija 13. Naj bo f : X → Rn zvezna preslikava, f : D → Rn njena
zvezna razširitev in a ∈ Rn\f(X). Ovojno število f okoli a definiramo kot
w(f, a) = d(f,D, a).
Ovojno število je dobro definirano, saj po Tietzejevem razširitvenem
izreku razširitev f : D → Rn vedno obstaja, njena stopnja pa je po zgornjem
izreku 12 enaka za poljubno f . Za tako definirano ovojno število veljajo
vse lastnosti stopnje zvezne preslikave (lokalna konstantnost, homotopska
invariantnost).
Lema 14 ([1, str. 161, 162]). Naj bosta D,X ⊂ Rn, kot smo predposta-
vili na začetku razdelka, naj 0 /∈ D in naj bo D simetrična množica glede
na 0, tj., za x ∈ D je tudi −x ∈ D. Privzemimo še, da je f : X → Rn
soda (liha) zvezna preslikava in 0 /∈ f(X). Potem ima f sodo (liho) zvezno
razširitev f : D → Rn, za katero velja 0 /∈ f(D ∩ {xn = 0}).
Preslikavo v lemi konstruiramo postopoma, s pomočjo trditve, ki se od
leme razlikuje le v tem, da f slika v prostor vǐsje dimenzije, kot je dimenzija
D, ter da točka 0 ni vsebovana v sliki razširitve f . To trditev dokažemo s
pomočjo indukcije, kjer v indukcijskem koraku uporabimo sklep, da lahko
zvezno preslikavo, ki ne vsebuje točke 0 v sliki kompaktne domene K, zvezno
razširimo na kompaktno množico M (K ⊂ M), tako da tudi slika M ne
vsebuje točke 0. Lema nato sledi iz trditve in Tietzejevega razširitvenega
izreka.
Sedaj imamo na voljo vsa orodja, da dokažemo posplošitev Borsuk-
Ulamovega izreka, ki pravi:
Izrek 15. Naj bo D ⊂ Rn simetrična omejena odprta množica, 0 ∈ D,
X = D\D, f : X → Rn zvezna preslikava, 0 /∈ f(X).
1. Če velja
f(x)
||f(x)||
6= f(−x)
||f(−x)||
za vse x ∈ X, je ovojno število w(f, 0) liho, torej neničelno.
2. Če velja
f(x)
||f(x)||
6= − f(−x)
||f(−x)||
za vse x ∈ X, je ovojno število w(f, 0) sodo in enako nič, če je n liho.
41–52 49
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 50 — #10 i
i
i
i
i
i
Katja Kelvišar
Opazimo, da prvi pogoj v zgornjem izreku izpolnjujejo lihe preslikave,
drugega pa sode.
Dokaz. V dokazu bomo izračunali ovojno število w(f, 0), ki je po definiciji
enako stopnji razširitve preslikave f nad 0. Razširitev bomo označili kar z
oznako f . Na začetku bomo razširitev »popravili«, da bo liha preslikava v
prvem oziroma soda v drugem delu dokaza. S pomočjo homotopije bomo vi-
deli, da imata »popravljena« liha/soda preslikava in naša razširitev f enako
stopnjo nad 0. Iz tega sledi sklep, da je izrek dovolj pokazati na lihih/sodih
preslikavah.
Predpostavimo, da velja pogoj 1. Po Tietzejevem razširitvenem izreku
lahko preslikavo f razširimo na D, torej do f : D → Rn, ki pa ne zadošča
nujno 1. pogoju, zato jo ustrezno »popravimo« v preslikavo g.
Preslikavo g definiramo kot g : D → Rn : x 7→ f(x)− f(−x), ki je očitno
liha. S homotopijo Ht(x) = f(x)−tf(−x), H0 = f , H1 = g želimo pokazati,
da se stopnja ni spremenila, torej da je stopnja f enaka stopnji g. Da bo to
res, moramo po trditvi 7 preveriti še, da velja 0 /∈ H([0, 1]×X), kar bomo
pokazali s protislovjem. Recimo, da je 0 = f(x)− tf(−x) za neki x ∈ X in
neki 0 ≤ t ≤ 1. Ker po predpostavki izreka velja 0 /∈ f(X), mora biti t > 0.
Iz zveze f(x) = tf(−x) z normiranjem dobimo f(x)||f(x)|| =
f(−x)
||f(−x)|| , kar je v
nasprotju s pogojem 1.
Preslikavi f in g imata torej enaki stopnji. Dovolj je pokazati, da izrek
velja za lihe preslikave, zato bomo od zdaj naprej privzeli, da je f liha. S
pomočjo f bomo nato definirali nove preslikave, ki bodo imele nad točko 0
enako stopnjo kot f . Tako bomo lažje izračunali želeno stopnjo in s tem
ovojno število.
Naj bo ε > 0 dovolj majhen, da je K = {x; ||x|| ≤ ε} ⊂ D. Preslikavo
f1 definiramo takole:
f1 : K ∪X → Rn : x 7→
{
f(x); x ∈ X,
x; x ∈ K.
Zaradi lažjega pisanja označimo D1 = D\K, X1 = D1\D1 = X∪{||x|| = ε}
in f2 = f1|X1 .
Po lemi 14 obstaja taka liha razširitev f2 : D1 → Rn preslikave f2 na
D1, da velja 0 /∈ f2(D1 ∩ Rn−1). Sedaj definiramo našo končno preslikavo
f3, za katero bomo izračunali ovojno število okoli 0.
f3 : D → Rn : x 7→
{
f2(x); x ∈ D1,
x; x ∈ K.
Ker se f3 in f ujemata na X, iz izreka 12 sledi d(f,D, 0) = d(f3, D, 0).
50 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 51 — #11 i
i
i
i
i
i
Borsuk-Ulamov izrek
Stopnjo d(f3, D, 0) bomo izračunali z uporabo aditivnosti stopnje (la-
stnost 3 trditve 11) na D1 in odprti krogli K0 = {x; ||x|| < ε}. Za prvi del,
torej za izračun d(f2, D1, 0), bomo prav tako uporabili aditivnost stopnje,
za kar potrebujemo dve disjunktni množici, ki ustrezata predpostavkam.
Definiramo ju kot: D1+ = D1 ∩ {xn > 0}, D1− = D1 ∩ {xn < 0}.
Ker 0 /∈ f2(D1\(D1+ ∪D1−)), sledi, da je d(f2, D1, 0) = d(f2, D1+, 0) +
d(f2, D1−, 0). Radi bi videli, da je d(f2, D1+, 0) = d(f2, D1−, 0).
To vidimo, če upoštevamo simetrijo domene in lihost preslikave f2. De-
finiramo preslikavo ϕ : Rn → Rn : x 7→ −x in f2(x) zapǐsemo kot f2(x) =
ϕ−1 ◦ f2 ◦ϕ|D1(x). Enakost d(f2, D1+, 0) = d(ϕ
−1 ◦ f2 ◦ϕ|D1(x), D1+, 0) =
d(f2, D1−, 0) sledi iz verižnega pravila ter predznaka Jacobijeve determi-
nante. Velja torej d(f2, D1, 0) = 2d(f2, D1+, 0) = 2N , N ∈ Z.
Za drugi del gledamo d(Id,K0, 0). Iz 1. lastnosti trditve 11 sledi, da je
d(Id,K0, 0) = 1.
Za končni izračun d(f,D, 0) = d(f3, D, 0) bomo uporabili aditivnost
stopnje na prvem in drugem delu. To lahko storimo, ker sta K0 ∪ (D\K) ⊂
D, K0, D\K disjunktni in 0 /∈ f3(D\(K0 ∪ (D\K))). Torej:
d(f,D, 0) = d(f3, D, 0) = d(Id,K0, 0) + d(f2, D1, 0) = 1 + 2N.
Res dobimo liho število, 1. del izreka je tako dokazan.
Predpostavimo sedaj, da velja pogoj 2. Uporabljali bomo podobne
sklepe kot pri dokazu 1. dela z nekaj popravki. Na začetku, ko razširimo
preslikavo f na D in potrebujemo sodo razširitev, preslikavo g tokrat de-
finiramo kot g(x) = f(x) + f(−x). Veljajo analogni sklepi. Preslikavo f1
definiramo:
f1 : K ∪X → Rn : x 7→
{
f(x); x ∈ X,
|x| = (|x1|, |x2|, . . . , |xn|); x ∈ K.
Ustrezno prilagodimo tudi preslikavo f3:
f3 : D → Rn : x 7→
{
f2(x); x ∈ D1,
|x|; x ∈ K.
Sledi
ϕ−1 ◦ f2 ◦ ϕ|D1(x) = ϕ
−1f2(−x) = ϕ−1(f2(x)) = −f2(x).
In iz tega
d(f2, D1−, 0) = d(ϕ
−1 ◦ f2 ◦ ϕ|D1 , d1+, 0) = d(−f2, D1+, 0) =
(−1)nd(f2, D1+, 0).
41–52 51
i
i
“Kelvisar” — 2016/8/31 — 12:25 — page 52 — #12 i
i
i
i
i
i
Katja Kelvišar
Velja torej:
d(f2, D1, 0) = d(f2, D1+, 0) + (−1)nd(f2, D1+, 0) = (1 + (−1)n)N,
za neki N ∈ Z. Preden izračunamo d(f,D, 0), si oglejmo še d(|Id|,K0, 0),
ki jo bomo potrebovali v končnem izračunu. Ta je po 2. lastnosti trditve 11
enaka d(|Id|,K0, 0) = d(|Id|,K0, a) = 0, kjer je a = (−1, 0, . . . , 0) /∈ |Id|(X).
Stopnja, ki nas zanima, je tako enaka:
d(f,D, 0) = d(f3, D, 0) = d(|Id|,K0, 0) + d(f2, D1, 0) = 0 + (1 + (−1)n)N,
N ∈ Z.
Dokažimo sedaj še Borsuk-Ulamov izrek s pomočjo zgornje posplošitve:
Dokaz izreka 1. Pokazati želimo, da za zvezno preslikavo f : Sn → Rn
obstaja točka x ∈ Sn, za katero je f(x) = f(−x). Po Tietzejevem razširi-
tvenem izreku obstaja zvezna razširitev f : Bn+1 → Rn preslikave f , da je
f |Sn = f .
Definiramo preslikavo g : Sn → Rn+1 : x 7→ (f(x), 1), ki zadošča predpo-
stavkam posplošitve Borsuk-Ulamovega izreka 15 (D = int(Bn+1), X = Sn,
0 /∈ g(Sn) ⊂ Rn × {1}). Ovojno število w(g, 0) je enako stopnji poljubne
zvezne razširitve preslikave g na Bn+1 nad točko 0. Oglejmo si stopnjo nad
točko 0 naslednje razširitve g : Bn+1 → Rn+1 : x 7→ (f(x), 1). Ta je enaka 0,
saj 0 /∈ g(Bn+1) ⊂ Rn×{1}. Sledi, da obstaja točka x ∈ Sn, za katero velja
g(x)
||g(x)|| =
g(−x)
||g(−x)|| , kar je res natanko tedaj, ko je
(f(x),1)√
1+||f(x)||2
= (f(−x),1)√
1+||f(−x)||2
,
torej ko (f(x), 1) in (f(−x), 1) ležita na istem poltraku skozi izhodǐsče. Ta
poltrak seka hiperravnino Rn×{1}, na kateri v celoti leži g(Sn), v natanko
eni točki, zato je (f(x), 1) = (f(−x), 1), iz česar sledi f(x) = f(−x).
LITERATURA
[1] E. Outerelo, J. M. Ruiz, Mapping Degree Theory, Graduate Studies in Mathematics
108, American Mathematical Society, Providence, 2009.
[2] J. Matoušek, Using the Borsuk–Ulam Theorem, Lectures on Topological Methods in
Combinatorics and Geometry, 2nd corrected printing, Springer-Verlag, Berlin, 2008.
[3] K. Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, Fund. Math. 20
(1933), 177–190.
[4] N. Mramor-Kosta, On Borsuk’s antipodal system, Obzor. Mat. Fiz. 34 (1987), 65–72.
[5] T. Hill, Mathematical Devices for Getting a Fair Share, American Sci. 88 (2000), 325–
332, ogled 1. 1. 2016, dostopno na people.math.gatech.edu/~hill/publications/
PAPER\$\%\$20PDFS/MathematicalDevicesforGettingaFairShare2000.pdf.
[6] T. Prescott, Extensions of the Borsuk-Ulam Theorem, diplomsko delo, Harvey Mudd
College, 2002, ogled 29. 02. 2016, dostopno na www.und.edu/instruct/tprescott/
papers/thesis/thesis.pdf.
52 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 53 — #1 i
i
i
i
i
i
GRAVITACIJSKI VALOVI
ALEŠ MOHORIČ1,2 IN ANDREJ ČADEŽ1
1Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
2Institut Jožef Stefan, Ljubljana
PACS: 04.30.-w
Gravitacijski valovi so potujoče motnje v ukrivljenosti prostor-časa, ki jih ustvarjajo
gibajoči objekti. Valovanje napove splošna teorija relativnosti. Prvič so ga izmerili leta
2015 z merilnim sistemom LIGO. Valovanje je nastalo ob združitvi dveh masivnih črnih
lukenj, oddaljenih dobro milijardo svetlobnih let.
GRAVITATIONAL WAVES
Gravitational waves are ripples in the curvature of space-time, caused by accelerated
objects. Waves are described by general theory of relativity. The phenomenon was succes-
fully directly detected for the first time in 2015 with the measuring system LIGO. The
detected waves were the result of two black holes merger more than a billion light-years
ago.
Pred kratkim je v strokovni javnosti pa tudi širše odjeknila novica, da so
prvič neposredno zaznali gravitacijske valove [1, 2]. Kaj ti valovi so, katera
sila jih povzroča? Analogijo hitro najdemo v elektromagnetnem valovanju
in električni sili. Elektromagnetno valovanje dobro poznamo iz vsakdanjega
življenja. Npr. svetlobo zaznamo z očmi, mikrovalovi prenašajo informa-
cijo med mobilnimi telefoni in dovajajo toploto hrani v mikrovalovni pečici,
rentgenska svetloba prodira skozi telo in njene sence govorijo o stanju naših
kosti. Pojavov, povezanih z gravitacijskim valovanjem, pa ne znamo kar
tako stresti iz rokava. Ti pojavi so tako šibki, da še Albert Einstein, ki je
pojav napovedal, ni verjel, da jih bomo sploh kdaj merili. Pa poglejmo,
kako šibki so v resnici.
Električna in gravitacijska sila sta si na prvi pogled zelo podobni. Elek-
trično silo med dvema točkastima delcema z nabojema e1 in e2 opǐse Cou-
lombov zakon: Fe =
e1e2
4πε0r2
er. er je enotski vektor, vzporeden zveznici del-
cev. Sila pada s kvadratom medsebojne razdalje r in je vzporedna zveznici
nabojev; privlačna za naboja nasprotnih predznakov in odbojna za naboja
z enakim predznakom. Električna sila veže elektrone v atom in atome med
seboj, odgovorna je za kemijske vezi. Svojo vlogo ima tudi v električnih virih
in praktično poganja življenje. Gravitacijsko silo med točkastima delcema
z masama m1 in m2 opǐse Newtonov gravitacijski zakon: Fg = G
m1m2
r2
er.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 53
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 54 — #2 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
G = 6, 67 · 10−11 m3 kg−1 s−2 je gravitacijska konstanta. Gravitacijsko silo
Zemlje na telesa v njeni okolici imenujemo teža. Gravitacijska sila deluje
tudi med drugimi telesi na Zemljinem površju, a je tako majhna, da je obi-
čajno ne opazimo. Že na prvi pogled opazimo podobnost med izrazoma za
silo. V obeh je sila obratno sorazmerna s kvadratom razdalje med telesoma.
Pomembna razlika je: gravitacijska sila je vedno privlačna, telesa nimajo
negativne mase.
Poleg električne in gravitacijske sile poznamo samo še močno in šibko
silo, ki urejata interakcije med osnovnimi delci in sta tako odgovorni za
zgradbo atomskih jeder in njihovo stabilnost. Med vsemi je gravitacijska
sila naǰsibkeǰsa, zato njen vpliv na mikroskopske delce običajno zanemarimo.
Vendar pa se ta sila zato, ker ima samo naboje ene vrste, ki se medsebojno
privlačijo, razširja po celotnem vesolju in tako obvladuje njegovo strukturo.
Lastnost telesa, da s silo vpliva na telesa v svoji okolici, opǐsemo s po-
ljem, ki ga to telo ustvarja v svoji okolici: električno nabita telesa ustvarjajo
električno polje, vsaka masa pa gravitacijsko polje. Polje predstavljajo vek-
torji v vsaki točki prostora, ki dajo silo na testni delec v dani točki, če
jakost polja pomnožimo z nabojem ali maso delca. Takim poljem sil lahko
priredimo ustrezna potencialna polja – ki predstavljajo potencialno energijo
testnega delca na danem mestu v polju.
Coulombov in gravitacijski zakon ne pojasnita, kako se sila razširja od
izvora do testnega delca. Nekoč so si predstavljali, da se ustrezna polja
raztezajo od trenutne lega telesa, ki oddaja polje, na enak način za vsak
trenutni čas. Posebna teorija relativnosti pa je pokazala, da istočasnost ne
more biti absoluten pojem: to, kar je istočasno v enem sistemu opazovalcev,
zagotovo ni istočasno za sistem opazovalcev, ki se glede na prve gibljejo. Ta
ugotovitev je vodila do ideje, da se morajo polja sil razširjati po prostoru
kot valovanje. Analiza električne sile je pokazala, da tak razmislek vodi v
pravo smer. Električna sila je namreč neločljivo povezana z magnetno silo.
Na gibajoči naboj deluje tudi magnetna sila, če ustvarjajo magnetno polje
tokovi ali množica drugih gibajočih se nabojev. Zato moramo električno in
magnetno polje obravnavati skupaj kot elektromagnetno polje. Enačbe, ki
opisujejo povezavo med poljem in naboji, so znane Maxwellove enačbe, ki
se v praznem prostoru zapǐsejo takole: zakon o električnem pretoku pravi,
da je električni pretok skozi sklenjeno ploskev enak objetemu naboju. V
diferencialni obliki ga zapǐsemo ε0∇·E = ρe, kjer je ρe gostota električnega
54 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 55 — #3 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi
naboja. Zakon o magnetnem pretoku pravi, da so magnetne silnice vedno
sklenjene in zato je magnetni pretok skozi sklenjeno ploskev enak nič ali
∇·B = 0. Po indukcijskem zakonu je inducirana napetost v sklenjeni zanki
enaka spremembi magnetnega pretoka skozi to zanko: ∇×E = −∂B∂t . Zakon
o magnetni napetosti pa povezuje magnetno napetost po sklenjeni zanki s
tokom, ki ga zanka objame, ali v diferencialni obliki: ∇×B = µ0(je+ε0 ∂E∂t ),
kjer je je gostota električnega toka.
Maxwellove enačbe imajo zanimivo obliko. Štiri enačbe ∇ · E = ρeε0 in
∇×B = µ0je+µ0ε0 ∂E∂t povezujejo izvore elektromagnetnega polja s poljem,
enačbe ∇ ·B = 0 in ∇ × E = −∂B∂t pa omejujejo polji E in B ne glede na
prisotnost nabojev ali tokov. Zaradi take oblike enačb je mogoče električno
in magnetno polje izraziti s skalarnim potencialom ϕ in vektorskim potenci-
alom A, ki sta definirana z enačbama E = −∇ϕ− ∂A∂t in B = ∇×A. S tako
izbiro potencialov so omejitvene Maxwellove enačbe avtomatično izpolnjene,
enačbe, ki povezujejo polji z izviri, pa preidejo v: ∇2ϕ + ∂∂t(∇ ·A) = −
ρe
ε0
in ∇2A− 1
c2
∂2A
∂t2
−∇
(
1
c2
∂ϕ
∂t +∇ ·A
)
= −µ0je.
Če se ozremo korak nazaj, opazimo še eno zanimivost. Potenciala A
in ϕ, ki pripadata danemu paru E in B, nista enolično določena, saj spre-
memba A → A +∇Ψ in ϕ → ϕ − ∂Ψ∂t s poljubno skalarno funkcijo Ψ prav
nič ne spremeni fizikalno merljivih polj E in B. To lastnost elektromagne-
tne teorije imenujemo umeritvena invariantnost. Umeritvena invariantnost
nudi teoretiku ugodnost, da lahko s primerno izbiro funkcije Ψ najde kako
posebej lepo obliko potencialov A in ϕ. Takemu postopku rečemo umerja-
nje potencialov in ga navadno definiramo s kako enačbo, ki jo imenujemo
umeritveni pogoj. Priljubljeni umeritveni pogoj 1
c2
∂ϕ
∂t +∇ ·A = 0 pripelje
preostale Maxwellove enačbe v obliko valovnih enačb: ∇2ϕ− 1
c2
∂2ϕ
∂t2
= −ρeε0
in ∇2A − 1
c2
∂2A
∂t2
= µ0je. Znano je, da lahko rešitve za A in ϕ zapǐsemo z
uporabo Greenove funkcije v obliki1:
A(r, t) =
µ0
4π
∫
je (r
′, t− |r− r′|/c)
r− r′
d3r′ ,
ϕ(r, t) =
1
4πε0
∫
ρe (r
′, t− |r− r′|/c)
r− r′
d3r′ , (1)
1Spomnimo, da velja v elektromagnetni teoriji zakon o ohranitvi naboja, ki se v dife-
rencialni obliki zapǐse: ∂ρe
∂t
+∇ · je = 0. Zato je umeritveni pogoj avtomatično izpolnjen,
če vsaka od komponent A in ϕ neodvisno reši valovno enačbo.
53–63 55
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 56 — #4 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
kar jasno kaže, da se elektromagnetna interakcija med delci prenaša kot
valovanje, ki se razširja s svetlobno hitrostjo. Maxwellove enačbe torej av-
tomatično vključujejo razširjanje elektromagnetne sile z valovanjem elektro-
magnetnega polja s hitrostjo c.
Podobno lahko razmǐsljamo tudi o gravitacijskem polju. Newtonov za-
kon opǐse silo med mirujočimi masami, za natančno obravnavo sil med gi-
bajočimi masami pa je treba Newtonovo gravitacijsko silo, podobno kot
Coulombovo, razširiti z novo teorijo gravitacijskega polja. Einsteina [3] so
pri tem razvoju vodila načela posebne teorije relativnosti in načelo ekviva-
lence, ki pravi, da padajo v gravitacijskem polju vse mase z enakim pospe-
škom. Odtod je prǐsel do spoznanja, da je pospešek povezan s spremembo
prirastka razdalje v zaporednih časovnih intervalih, zato je mogoče gibanje
v gravitacijskem polju opisati tudi kot »nepospešeno« gibanje v »ukrivlje-
nem« prostoru, kjer se razdalja med točkami v prostoru spreminja drugače
kot v 4-razsežnem prostoru posebne relativnosti, kjer jo zapǐsemo v obliki
ds2 = −c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2. V ukrivljenem prostoru zapǐsemo razdaljo
med točkami v obliki ds2 =
3∑
µ=0
3∑
ν=0
gµνdx
µdxν , pri čemer so gµν komponente
simetričnega metričnega tenzorja, ki so v splošnem funkcije koordinat xµ.
Metrika je sorazmerna s tenzorjem posplošene napetosti Tµν , v kate-
rem nastopajo členi, ki ustrezajo gostoti energije, gibalne količine, strižne
napetosti in tlaka:
Gµν =
8πG
c4
Tµν .
Einsteinov tenzor Gµν je simetričen z divergenco nič in ga lahko sestavimo
iz dela, ki opǐse prostornino v ukrivljenem prostoru, in dela, ki opǐse ukri-
vljenost prostora: Gµν = Rµν − gµνR/2.
Preprost uvid v delovanje teorije gravitacije dobimo, če jo obravnavamo
za šibka polja. Vpeljemo »kartezične« koordinate: x0 = ct, x1 = x, x2 = y
in x3 = z, metrični tenzor pa razstavimo na diagonalni tenzor Minkovskega
ηµν z diagonalnimi komponentami −1, 1, 1, 1 in na tenzor gravitacijskih po-
tencialov hµν , ki so v splošnem funkcije vseh štirih koordinat in so po ab-
solutni vrednosti veliko manǰse od 1. Einsteinova teorija gravitacije se v
tem približku opǐse z enačbami, ki so zelo podobne Maxwellovim enačbam,
ker vsebujejo člene, ki se zapǐsejo kot valovna enačba. Poleg tega so enačbe
gibanja snovi v gravitacijskem polju invariantne glede na transformacije ko-
56 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 57 — #5 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi
ordinat xµ → xµ + ξµ, ki transformirajo gravitacijske potenciale kot
hµν → hµν +
∂ξµ
∂xν
+
∂ξν
∂xµ
(2)
in predstavljajo umeritvene transformacije gravitacijske teorije. Najbolj
kompaktno obliko gravitacijskih enačb v šibkem polju (samo v bližini črnih
lukenj in nevtronskih zvezd polje ni šibko) dobimo, če vpeljemo reducirane
gravitacijske potenciale hµν = hµν − 12ηµνh, pri čemer je h =
∑
µν
ηµνhµν .
Enačbe polja se tako zapǐsejo v obliki:
∇2hµν −
1
c2
∂2hµν
∂t2
+ ηµν
(
∇2h− 1
c2
∂2h
∂t2
)
+
∂Vµ
∂xν
+
∂Vν
∂xµ
= −16π
c4
GTµν ,
pri čemer je h = −h in
Vµ =
∑
νλ
∂hµν
∂xλ
ηνλ . (3)
Enačbe polja se ravno tako kot pri elektromagnetni teoriji še poenostavijo,
če s polji ξµ izberemo posebej simetrične umeritvene pogoje. Posebej lepo
umeritev dobimo s pogoji Vµ = 0, ki naredijo enačbe gravitacijskega polja
nadvse podobne enačbam elektromagnetnega polja:
∇2hµν −
1
c2
∂2hµν
∂t2
= −16π
c4
GTµν . (4)
Odtod je jasno razvidno, da se mora gravitacijska sila, prav tako kot elek-
tromagnetna, razširjati skozi prostor kot valovanje s svetlobno hitrostjo. Še
več, razvoj kvantne teorije polja, ki opisuje preostali dve od štirih osnov-
nih sil narave, je pokazal, da morajo biti vsa polja opisljiva z umeritvenimi
teorijami. Zato je detekcija gravitacijskih valov tako pomemben kamen v
mozaiku, ki prestavlja enotno delovanje vseh naravnih sil.
Na kratko se pomudimo še pri posplošitvi Newtonovih zakonov, s ka-
terimi opǐsemo silo, ki deluje na testno maso v gravitacijskem polju, ki je
dano z gravitacijskimi potenciali hµν . Enačbe »masa krat pospešek je sila«
moramo zapisati za štiri komponente pospeška, ki je merjen glede na lastni
čas testnega delca τ :
mẍµ = m
3∑
σ=0
3∑
λ=0
3∑
ν=0
ηµσ
(
∂hνλ
∂xσ
− ∂hνσ
∂xλ
)
ẋλẋν .
53–63 57
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 58 — #6 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
Kje tiči Newtonova gravitacijska sila v teh enačbah2? Povedali smo, da
sta Coulombova in Newtonova gravitacijska sila pravzaprav sili, ki delujeta
med mirujočimi telesi, zato zapǐsimo štiri gornje enačbe za primer, ko so
vse krajevne komponente hitrosti enake nič (ẋ1 = 0, ẋ2 = 0, ẋ3 = 0) in je
gravitacijsko polje od časa neodvisno (
∂hµν
∂x0
= 0):
mẍ0 = 0
mẍ1 = m
∂h00
∂x1
(
ẋ0
)2
mẍ2 = m
∂h00
∂x2
(
ẋ0
)2
mẍ3 = m
∂h00
∂x3
(
ẋ0
)2
Iz prve enačbe je razvidno, da je ẋ0 = d(ct)dτ konstanta; za njeno vrednost
vzamemo kar c, če uravnava mirujoči opazovalec svojo uro s koordinatnim
časom. V preostalih treh enačbah spoznamo na levi produkt mase in kom-
ponent pospeška, na desni pa je z mc2 pomnožen gradient potenciala h00.
Torej je −h00c2 kar Newtonov gravitacijski potencial3. Vseh preostalih po-
tencialov v tenzorju hµν mirujoče mase na zaznajo, ravno tako kot mirujoči
električni naboji ne zaznajo komponent elektromagnetih potencialov, ki so
odgovorni za magnetno polje. Majhnost vsakdanjih hitrosti glede na hitrost
svetlobe in majhnost gravitacijskih potencialov na Zemlji torej pojasnita,
zakaj je Newtonova mehanika tako zelo uspešna za opis dinamike skoraj
vsega, kar se giblje okrog nas. Vprašanje, ali je Einsteinova fizika res bolǰsa
od Newtonove, je zahtevalo eksperimentalne potrditve, ki jih je bilo mogoče
doseči le z zelo natančnimi merjenji.
Einstein je predlagal tri teste, ki bi pokazali razliko med napovedmi
njegove in Newtonove teorije. Prvo neujemanje med napovedjo Newtonove
teorije in opazovanji je bila že prej znana precesija perihelija Merkurjevega
tira, ki znaša skoraj desetino ločne minute na leto, vendar se v sto letih raz-
likuje od newtonovske napovedi za 43 ločnih sekund. To ni veliko, vendar
dovolj, da so astronomi iskali planet znotraj Merkurjeve tirnice, s katerim bi
2Bralec se lahko hitro prepriča, da se tako zapisan pospešek ne spremeni pri umeritveni
transformaciji (2).
3Za primer lahko izračunamo vrednost h00 na površju Zemlje: Newtonov gravitacijski
potencial je ϕg = −G
MZemlje
R2
Zemlje
RZemlje = −gRZemlje = −9, 81ms−2 6, 371×106m = −6, 25×
107m2s−2. Torej je h00 = −ϕgc2 = 6, 9× 10
−10, kar je res majhno.
58 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 59 — #7 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi
pojasnili razliko. Einstein je pokazal, da se majhna izmerjena razlika lepo
ujema z njegovo teorijo, vendar takrat še ni požel velike slave, saj je razlika
43 ločnih sekund na stoletje tako majhna, da bi jo bilo mogoče pripisati tudi
kakšnemu drugemu vplivu. Danes vesoljske sonde, ki obiskujejo druga telesa
v Osončju, še dosti bolj natančno potrjujejo skladnost gibanja z moderno
teorijo gravitacije. Drugi test, ki je Einsteinovo ime ponesel med zvezde,
pa je napoved, da gravitacija deluje tudi na svetlobo tako, da ukrivi njeno
pot. Če prihaja svetloba k nam tako, da na svoji poti obide veliko maso,
npr. Sonce, deluje Sonce kot nekakšna leča, ki popači sliko neba. Angleški
astronom Frank Watson Dyson je predlagal, da bi tako popačenje opazo-
vali na zvezdnem nebu okrog Sonca, ki je vidno med Sončevim mrkom, ko
Luna zakrije bleščavo Sonca. Tako je Arthur Stanley Eddington skupaj z
Dysonom organiziral dve ekspediciji za opazovanje Sončevega mrka 29. maja
1919. Eddington je analiziral fotografije, posnete v obeh ekspedicijah, in na
naslovnicah pomembnih časopisov objavil, da se popačenje povsem ujema
z napovedjo Einsteinove teorije. Dandanes vpliv gravitacije na smer poto-
vanja svetlobe prepoznamo pri mnogih oddaljenih astronomskih objektih,
ki se nahajajo za drugim masivnim telesom ali galaksijo. Pojav imenujemo
gravitacijsko lečenje. Gravitacijske leče, ki jih najdejo veliki teleskopi v glo-
binah vesolja, pričajo o prisotnosti temne snovi v vesolju. Tretji klasični test
splošne teorije relativnosti je napoved, da se valovna dolžina svetlobe, ki je
oddana blizu velike mase, dalǰsa na poti proč od mase. Poskus, ki je potrdil
napovedi teorije, sta leta 1959 izvedla Robert Pound in Glen A. Rebka. Re-
lativna sprememba valovne dolžine svetlobe je bila pri omenjenem poskusu
le nekaj bilijardink in zato sta morala uporabiti izredno občutljivo metodo
merjenja spremembe frekvence svetlobe, ki vključuje Mössbauerjev pojav.
Po uspehu teh treh testov se je odprlo novo področje eksperimentalne fizike,
ki si je zadalo nalogo zelo natančno eksperimentalno preveriti vse aksiome
Einsteinove teorije in napovedi, ki iz nje sledijo. Tehnologije, ki so se ob
tem razvile, so pomembno prispevale k razvoju mnogih področij znanosti in
tehnike, posebej pri astronavtiki in raziskovanju vesolja.
Vprašanje obstoja in pomena gravitacijskih valov je bilo dolga leta eno
najbolj intrigantnih in tehnološko zahtevnih. S prvimi poskusi detekcije gra-
vitacijskih valov je začel Joe Weber v šestdesetih letih preǰsnjega stoletja.
Weber je verjel, da bi lahko gravitacijski valovi, če obstajajo, resonančno
vzbudili v nihanje dovolj veliko maso. Webrov instument, ki je bil v svo-
53–63 59
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 60 — #8 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
a) b) c)
Slika 1. Pojavi, ki potrjujejo napovedi splošne teorije relativnosti: a) precesija Merkur-
jeve tirnice; ponazoritev je pretirana, v resnici se os elipse zavrti le za 5740 sekund v
stotih letih, vendar je od tega samo za 43 ločnih sekund odgovorna Einsteinova precesija,
za večino premika pa so odgovorne motnje, ki jih v gibanju Merkurja povzročajo ostali
planeti. b) Negativ Sončevega mrka, ki ga je leta 1919 naredil Sir Arthur Eddington. S
primerjavo lege zvezd na tem posnetku in lege, kadar pogleda ne zakriva Sonce, lahko
ugotovimo kako se ukrivi pot svetlobe, ko potuje blizu Sonca. c) Rdečkasta galaksija
LRG 3-757 v sredini slike deluje kot gravitacijska leča, ki preslika bolj oddaljeno galaksijo
v modrikasto podkev. V desni polovici slike je vidna še ena modrikasta galaksija, ki je po
svojih fizikalnih značilnostih verjetno zelo podobna lečeni galaksiji.
jih časih neverjetno občutljiv, je res zaznaval občasna nenadna vzbujanja,
vendar ni šlo za vzbujanja z gravitacijskimi valovi, ampak je šlo morda za
vzbujanje, ki so ga povzročali preskoki dislokacij med kristalnimi ravninami
v detektorski masi. Kljub temu, da Weber ni zaznal gravitacijskih valov, je
vzbudil zanimanje za svoje delo in povzročil nastanek skupin po vsem svetu,
ki so sprejele izziv, da bodo našle način za potrditev obstoja gravitacijskih
valov.
Prvi posredni dokaz za obstoj gravitacijskih valov so leta 1974 nudila
opazovanja frekvence, s katero kroži pulzar v sistemu dveh nevtronskih zvezd
PSR B1913+16. Russell Hulse in Joseph Taylor sta pokazala, da se obhodni
čas pulzarja manǰsa skladno z napovedmi teorije. Obhodna frekvenca se
veča, ker sevanje gravitacijskih valov zmanǰsuje energijo sistema zvezd. Za
to delo sta leta 1993 prejela Nobelovo nagrado za fiziko. Vendar je bil ta
poskus le posreden dokaz gravitacijskega valovanja. Neposredna meritev
je bila še dobra štiri desetletja v prihodnosti. Pa si oglejmo, kakšni so
gravitacijski valovi, ki jih lahko neposredno zaznamo.
Kako valujejo gravitacijski potenciali v ravnem gravitacijskem valu lahko
hitro ugotovimo iz enačb gravitacijskega polja (4) in umeritvenih pogojev
60 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 61 — #9 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi
(3). Podobno kot za raven elektromagnetni val, ki se razširja s svetlobno
hitrostjo v smeri osi z, sledi iz enačbe (4) za raven gravitacijski val rešitev:
hµν = εµν sin
(
2π
λ
x3 − 2πν x
0
c
)
, (5)
pri čemer so εµν konstantne komponente tenzorja amplitud gravitacijskega
vala, med valovno dolžino in frekvenco vala pa velja znana zveza λν = c.
Vendar to še ni dokončna rešitev, saj moramo upoštevati še umeritvene
pogoje (3), ki so zadoščeni, če so vse komponente ε0ν in ε3ν enake nič.
Po nekaj algebre ugotovimo, da ima tenzor amplitud samo dve linearno
neodvisni komponenti, navadno označeni z a+ in a×, ki takole predstavljata
εµν :
εµν =

0 0 0 0
0 a+ a× 0
0 a× −a+ 0
0 0 0 0

Gravitacijski val prenaša energijo, zato lahko govorimo o gostoti energijskega
toka, ki se mora tako kot pri Poyntingovem vektorju elektromagnetnega
polja izražati s kvadrati odvodov potencialov (
∂hµν
∂xλ
). Po takem sklepanju
uganemo, da mora imeti izraz za gostoto energijskega toka obliko jgv ∝
1
λ2
(
|a+|2 + |a×|2
)
, sorazmernostni faktor, ki mora imeti enoto moči, pa je
treba poiskati v dobrem učbeniku, npr. [4]. Vendar se splača še prej malo
pomisliti, katere osnovne konstante morajo sestavljati ta faktor. Pravzaprav
nimamo velike izbire, za teorijo gravitacije sta pomembni samo dve: G in c
in iz njiju lahko sestavimo konstanto P0 =
c5
G = 3.63×10
52 W, ki ima enoto
moči. Gostota energijskega toka v gravitacijskem valu se res zapǐse v obliki:
jgv =
π
8
c5
Gλ2
(
|a+|2 + |a×|2
)
.
Ta izraz najbolj nazorno poudarja šibkost interakcije gravitacijskega vala s
snovjo in pojasni, zakaj je bilo potrebno vložiti toliko naporov za detekcijo
valov. Moč P0 je namreč grooo. . . omozanska. To je moč, ki bi jo proizvedli,
če bi celotno maso Sonca pretvorili v energijo v petih mikrosekundah. Šele
pri tako veliki moči bi na razdalji ene valovne dolžine od izvora valovanja
zaznali spremembo hµν velikosti 1. Ker v vesolju tako velike in hitre spre-
membe energije ne morejo biti prav pogoste, saj bi v tem primeru hitro
53–63 61
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 62 — #10 i
i
i
i
i
i
Aleš Mohorič in Andrej Čadež
zmanjkalo barionske snovi, smo se včasih spraševali, ali je sploh smiselno
pričakovati, da bo prǐslo do odkritja gravitacijskih valov. Vprašati je bilo
treba, kateri pojav v vesolju bi utegnil največ energije spremeniti v energijo
gravitacijskih valov, kakšna je značilna frekvenca takih valov in na kakšen
način lahko zaznamo očitno zelo majhne spremembe gravitacijskih potenci-
alov.
Kot je razvidno iz enačb (4), je izvor gravitacijskega polja napetostni
tenzor, zato je razumljivo, da lahko proizvaja gravitacijske valove snov, ki
se ji spreminja napetostni tenzor. Ker potrebujemo veliko moč, moramo
iskati izvore gravitacijskih valov med velikimi masami, zvezdami ali črnimi
luknjami, ki se zelo hitro pospešujejo, ker krožijo v parih, kot npr. znameniti
dvojni pulzar Hulsa in Taylorja.
Rešimo enačbe polja (4) upoštevaje umeritveni pogoj Vµ = 0! Za na-
petostni tenzor uporabimo definicije: T00 = ρc
2, T0i = ρcvi, Tij = ρvivj
in ugotovimo, da je umeritveni pogoj Vµ =
∑
ηνλ
∂hµν
∂xλ
= 0 tako kot pri
elektromagnetni teoriji skladen z ohranitvenim zakonom energije in gibalne
količine
∑
ηνλ
∂Tµν
∂xλ
= 0. Zato lahko za vsako komponento gravitacijskih
potencialov neodvisno rešimo valovno enačbo z Greenovo funkcijo, kot pri
enačbah (1). Naj ima dvozvezdje masi m1 in m2, ki ju veže gravitacijska
sila in krožita okoli skupnega težǐsča v ravnini xy, kot kaže slika 2. Izho-
dǐsče koordinatnega sistema postavimo v težǐsče, tako da legi teles opǐsemo
z r1 = b
m2
m1+m2
(cos(ωt), sin(ωt), 0) in r2 = −b m1m1+m2 (cos(ωt), sin(ωt), 0).
Razdalja med telesoma je b, krožna frekvenca ω pa je določena s tretjim Ke-
plerjevim zakonom: d3ω2 = G(m1 + m2). Integrali napetostnega tenzorja
so:
∫
T00dr
′ = (m1 + m2)c
2,
∫
T0idr
′ = (m1v1i + m2v2i)c ter
∫
Tijdr
′ =
m1v1iv1j + m2v2iv2j . Uvedemo še M = m1 + m2 in µ =
m1m2
m1+m2
in dobimo
za komponente potencialov:
hµν = 2
G
c2r

2M 0 0 0
0 µ
(
ωb
c
)2
0 0
0 0 µ
(
ωb
c
)2
0
0 0 0 0
+
+
2Gµ
c4r
(ωb)2

0 0 0 0
0 − cos(2ωtret) − sin(2ωtret) 0
0 − sin(2ωtret) cos(2ωtret) 0
0 0 0 0
 , (6)
62 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Mohoric” — 2016/8/25 — 14:32 — page 63 — #11 i
i
i
i
i
i
Gravitacijski valovi
težišèe
b
x
z y
m1
m2
w
Slika 2. Gravitacijsko vezani telesi, ki krožita okoli skupnega težǐsča s frekvenco, ki
ustreza ω2b3 = G(m1 + m2). Frekvenca se poveča, če se razdalja med telesoma zmanǰsa.
tret = t − |r − r′|/c je retardirani čas. Gornja matrika sicer predstavlja
rešitev enačb polja, vendar njenega valovnega, od časa odvisnega dela, v
splošnem še ne moremo primerjati z gravitacijskim ravnim valom (5), ker
v splošnem ni ortogonalen na radialno smer, v kateri se razširja valovanje.
To težavo lahko rešimo z dodatno umeritvijo polja z vektorskim poljem, ki
predstavlja ravni val s frekvenco ω. Tukaj se bomo zadovoljili s tem, da je
val v smeri osi ±z ravno prav zapisan, za preoblikovanje rešitve v splošno
smer pa napotimo bralca na dober učbenik in iz njega prepǐsemo izraz za
izsev gravitacijskega valovanja4, ki ga dobimo kot integral gostote toka po
krogli, ki vsebuje dvozvezdje:
Lgv =
2G
5c5
µb2ω3. (7)
Ta izraz bomo uporabili v prispevku, v katerem bo opisan detekcijski sistem,
s katerim so prvič neposredno izmerili gravitacijske valove. Prispevek bo
objavljen v naslednji številki Obzornika.
LITERATURA
[1] D. Castelvecchi, W. Witze, Einstein’s gravitational waves found at last, Nature News,
doi:10.1038/nature.2016.19361., dostopano februar 2016.
[2] B. P. Abbott et al., Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole
Merger, Phys. Rev. Lett. 116 6, 2016. 061102. arXiv:1602.0383 7free to read. Bib-
code:2016PhRvL.116f1102A. doi:10.1103/PhysRevLett.116.061102.
[3] A. Einstein, Die Feldgleichungen der Gravitation, Sitzungsberichte der Preussischen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847, 1915.
[4] A. Čadež, Teorija gravitacije, Matematika – fizika, 49, 1. natis. Ljubljana, DMFA–
založnǐstvo, 2011.
4Tisti del hµν , ki je od časa odvisen in se nanaša na gravitacijsko valovanje ima sled
nič, zato se pri gravitacijskem valu h in h ne razlikujeta.
53–63 63
i
i
“Legisa” — 2016/8/25 — 14:32 — page 64 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
V SPOMIN PROFESORICI SNEGULKI DETONI
Januarja letos je v Domu stareǰsih obča-
nov na Bokalcah v svojem 95. letu umrla
prof. dr. Snegulka Detoni. Rodila se je 22.
maja 1921. leta v Ljubljani. Svojo mla-
dost je preživela v Begunjah na Notranj-
skem. Del mladosti je preživela v rojstni
vasi, nato se je preselila v Ljubljano, kjer je
doštudirala in diplomirala na Tehnǐski fa-
kulteti. Prvo službo je nastopila na Bakte-
riološkem inštitutu Medicinske fakultete.
Na povabilo prof. dr. Antona Peterlina se
je leta 1946 zaposlila na Oddelku za fiziko
Tehnǐske fakultete. Kot edina asistentka
za predmet Fizika na Univerzi v Ljubljani
je vodila vaje iz fizike za vse slušatelje Tehnǐske visoke šole (elektrotehnike,
strojnike, rudarje, metalurge, gradbenike, geodete; okoli 250 slušateljev na
semester) in za slušatelje Prirodoslovno matematične fakultete (fizike, mate-
matike, kemike, geologe, meteorologe; okoli 80 slušateljev). Ker je potekala
pod njenim vodstvom večina pismenih izpitov iz fizike, je zbrala izpitne na-
loge in jih opremila z rešitvami, tako da so izšle leta 1960 v knjigi »Naloge
iz fizike« (S. Detoni, R. Korbar (risbe), T. Skubic, (107 strani)). Knjiga je
doživela potem še štiri izdaje v letih 1965, 1970, 1974 in 1977, v katerih je
dodala posebne naloge z izbirnimi odgovori. Pomagala pa je tudi pri ekspe-
rimentalnem delu predavanj iz fizike. Leta 1954 se je zaposlila na Katedri
za strukturno kemijo, kjer je pod mentorstvom prof. dr. Dušana Hadžija
leta 1956 zagovarjala doktorsko disertacijo z naslovom Struktura sulfinskih
kislin. Sodelovala je v organizacijskem odboru mednarodnega simpozija o
vodikovi vezi, ki je bil v Ljubljani v juniju leta 1957. Simpozija se je ude-
ležil tudi prof. dr. Linus C. Pauling, dvakratni Nobelov nagrajenec, ki ji
je ponudil enoletno štipendijo za delo na svojem oddelku na kalifornijski
univerzi Caltech v Passadeni, vendar štipendije ni izkoristila, saj ni dobila
jugoslovanske vize za odhod v Ameriko. Odpotovala pa je na Dansko, kjer
je dobila 8-mesečno štipendijo danske vlade leta 1958. Delala je na uni-
verzi v Köbenhavnu pri prof. dr. Borge Baku na področju mikrovalovne in
infrardeče spektroskopije.
Kot asistentka, strokovna in znanstvena sodelavka je vodila vaje iz infrar-
deče in ultravijolične spektroskopije in iz teoretskih osnov organske kemije.
Leta 1960 je za eno leto prevzela predavanja prof. dr. Dušana Hadžija, ki
64 Obzornik mat. fiz. 63 (2015) 2
i
i
“Legisa” — 2016/8/25 — 14:32 — page 65 — #2 i
i
i
i
i
i
V spomin profesorici Snegulki Detoni
je bil na študiju v Ameriki. Od leta 1963 dalje pa je predavala osnove ke-
mije visokomolekularnih spojin za 4. letnik študijske smeri Organska kemija.
Od leta 1976 je imela na podiplomskem študiju kemijsko tehnološke smeri
predavanja o infrardeči in ramanski spektroskopiji in rentgenski analizi po-
limerov.
Posebej se je posvetila študiju vodikove vezi. Raziskovala je vodikove
vezi z vibracijsko spektroskopijo in s pripravo ustreznih spojin in krista-
lov. Raziskovala je tudi infrardeče in ramanske spektre organskih molekul
z vezmi S-O, Se-O, P-O in C-N in organske kisline z močnimi in šibkimi
vezmi O-H.
Sodelovala je tudi pri eksperimentalnem delu s feroelektriki v skupini
prof. dr. Roberta Blinca na Institutu Jožef Stefan. Leta 1961 je s prof.
dr. Robertom Blincem in sodelavci prejela Kidričevo nagrado za raziskave
feroelektrikov z vodikovimi vezmi.
Z referati o vodikovi vezi je sodelovala na štirih mednarodnih simpozijih
in kongresih. Samostojno, s prof. dr. Dušanom Hadžijem in s prof. dr.
Robertom Blincem ter sodelavci je objavila 53 znanstvenih člankov.
Leta 1980 je bila upokojena, vendar je bila še naprej povezana z znano-
stjo. Z veseljem je sodelovala pri pripravi razstave Slovenke v fiziki in pri
pisanju knjige »Fizika, moj poklic«. Udeležila se je odprtja razstave Slo-
venke v fiziki na Institutu Jožef Stefan, na Kemijskem inštitutu v Ljubljani
in v njeni rojstni občini Cerknici. Med znanstvenicami ima pomembno me-
sto, saj je bila prva znanstvenica in profesorica na univerzi na področju
fizike v Sloveniji.
Med sodelavci na Katedri za strukturno kemijo Fakultete za kemijo in
kemijsko tehnologijo Univerze v Ljubljani in na Oddelku za strukturno ke-
mijo Kemijskega inštituta je bila Snegulka Detoni zelo priljubljena. Veselje
jo je bilo srečati in se pogovoriti z njo. Bila je prijetna sogovornica in če se
je izkazalo, da je lahko ponudila pomoč, je bila to vedno pripravljena sto-
riti. Tudi v svoji rojstni vasi, v Begunjah, je vzdrževala prijateljske stike s
sovaščani. Kot ozaveščena naravovarstvenica se je zavzemala za okolju prija-
zne rešitve pri ohranjanju habitatov na področju presihajočega Cerknǐskega
jezera.
Snegulka je bila v pravem pomenu besede dama: nikoli nestrpna, vedno
prijazna, nikoli ni pokazala, če jo je kdo – nehote ali hote – prizadel. Bolečino
je ohranila zase, za druge je našla prijazne besede in topel nasmeh. Ni se
pritoževala, vedno je pomagala, tudi v času, ko so ji pojemale življenjske
moči.
Ohranili jo bomo v lepem spominu.
Marija Ipavec, Norma Mankoč Borštnik, Branko Borštnik, Helena Jan-
žekovič, Maksimilijan Turšič, Veronika Iglič Kralj in Maja Remškar v imenu
Neformalne zveze slovenskih fizičark
Obzornik mat. fiz. 63 (2015) 2 65
i
i
“Kuzman” — 2016/8/30 — 8:53 — page 66 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
7. EVROPSKI KONGRES MATEMATIKE V NEMČIJI
V Berlinu je od 18. do 22. julija 2016 potekal 7ECM (7th European Con-
gress of Mathematics), osrednje evropsko matematično znanstveno srečanje,
ki ga pripravijo vsaka štiri leta. Prvi kongres je bil leta 1992 v Parizu, sle-
dili so mu Budimpešta, Barcelona, Stockholm, Amsterdam in Krakow. Na
letošnji kongres je prǐslo okoli 1200 udeležencev. Organizacijski odbor je
vodil Volker Mehrmann s Tehnǐske univerze v Berlinu v sodelovanju z vrsto
partnerskih nemških ustanov, za vsebino kongresa pa je odgovorno Evrop-
sko matematično društvo (European Mathematical Society), ki kot plenarne
predavatelje na kongres povabi vodilne evropske matematike in podeli na-
grade združenja.
Na uvodni slovesnosti kongresa so predstavniki EMS podelili 12 nagrad.
Nagrade za vrhunsko znanstveno delo raziskovalcem, mlaǰsim od 35 let,
so segle na različna področja matematike, prejeli pa so jih Mark Braver-
man (teorija izračunljivosti), Vincent Calvez (matematična biologija), Hugo
Duminil-Copin (matematična fizika), James Maynard (teorija števil), Guido
De Philippis (geometrijska teorija mere), Peter Scholze (algebraična geome-
trija), Péter Varjú (aritmetična kombinatorika), Geordie Williamson (teorija
upodobitev), Thomas Willwacher (algebraična topologija) in Sara Zahedi
(dinamični sistemi). Poleg omenjenih nagrad sta bili podeljeni še nagrada
Otta Neugebauerja za zgodovino matematike, ki jo je prejel Jeremy Gray za
vrsto knjižnih del (zadnja med njimi je Hidden Harmony – Geometric Fanta-
sies. The Rise of Complex Function Theory, 2013), in nagrada Felixa Kleina
za delo na področju matematike v industriji, ki jo je prejel Patrice Hauret za
delo na področju razvoja pnevmatik v podjetju Michelin. Življenjepisi na-
grajencev nedvomno kažejo, da so dobili nagrade upravičeno, nepristranski
opazovalec pa bo vseeno opazil izrazito prevlado moškega spola in zaho-
dnoevropskih držav, ki jim uspe zaradi bolǰsih možnosti na svoje ustanove
pritegniti tudi (pre)številne talente iz vzhodnih držav.
66 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kuzman” — 2016/8/30 — 8:53 — page 67 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
Na kongresu so kot plenarni predavatelji svoje aktualno raziskovalno
delo predstavili Karen Vogtmann, Peter Scholze, Gil Kalai, Barbara Wohl-
muth, Daniel Peralta-Salas, Karine Chemla, Antti Kupiainen, Leonid Pol-
terovich in Alexander Gaifullin. Širšemu matematičnemu občinstvu so bila
namenjena tudi posebna plenarna predavanja, ki so jih pripravili Abelov na-
grajenec 2012 Endre Szemerédi (Abelovo predavanje Aritmetična zaporedja
in leme teorije grafov), Don Zagier (Hirzebruchovo predavanje Aritmetika
in topologija diferencialnih enačb), Helmut Pottmann (predavanje za širšo
javnost Matematika v sodobni arhitekturi), Peter Scholze (predavanje za
mlade Števila in geometrija) ter E. Knobloch, J. Sprekels, G. Wanner in G.
M. Ziegler (zgodovinska predavanja o Leibnizu, Weierstrassu, Lagrangeu in
Eulerju).
Preostali program je potekal v 17 splošnih sekcijah in 46 minisimpozijih.
Minisimpozij z naslovom Simetrija v diskretnih strukturah je organiziral
Primož Potočnik, od slovenskih matematikov sta kot predavatelja na kon-
gresu sodelovala Tomaž Pisanski in Dragan Marušič. Med spremljevalnimi
aktivnostmi kongresa so se zvrstile še razprave, posvečene financiranju razi-
skovalnega dela, promociji matematičnih dosežkov, objavljanju znanstvenih
člankov in prihodnosti matematičnega publiciranja, razstava matematičnih
vizualizacij Imaginary, razstava portretov Ženske v matematiki v Evropi,
zgodovinska razstava Transcending Tradition o delu judovskih matemati-
kov v Nemčiji, predstavitve publikacij mednarodnih založb, projekcija dveh
filmov režiserke E. Eremenko (Colors of Math, Discrete Charm of Geome-
try), ter karierni dan za mlade matematike.
Na sklepni kongresni slovesnosti je predsednik EMS Pavel Exner raz-
glasil kraj naslednjega kongresa in skupaj s Klavdijo Kutnar in Tomažem
Pisanskim evropsko matematično skupnost toplo povabil v Portorož leta
2020.
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 67
i
i
“Kuzman” — 2016/8/30 — 8:53 — page 68 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
SLOVENIJA BO GOSTILA EVROPSKI KONGRES
MATEMATIKE 2020
Ob robu 7. Evropskega kongresa matematike v Berlinu je 16. in 17. ju-
lija 2016 na znameniti Humboldtovi univerzi potekalo tudi zasedanje Sveta
Evropskega matematičnega društva (Council of European Mathematical So-
ciety). Udeleženci zasedanja so med drugim glasovali tudi o organizaciji
naslednjega, 8. kongresa leta 2020. Predstavnika Univerze na Primorskem,
prof. dr. Klavdija Kutnar in prof. dr. Dragan Marušič, sta predstavila slo-
vensko kandidaturo za izvedbo kongresa od 5. do 10. julija 2020 v Portorožu.
Kandidaturo je sicer pripravil organizacijski odbor pod vodstvom prof. dr.
Tomaža Pisanskega, v njem pa so sodelovali predstavniki vseh slovenskih
fakultet in raziskovalnih ustanov s področja matematike. Podporo sloven-
skemu predlogu so že pred glasovanjem izrazile tudi številne tuje ustanove,
predvsem univerze, inštituti in matematična društva iz sosednjih držav, ka-
terih predstavniki tudi sodelujejo v razširjenem organizacijskem odboru. V
neposrednem boju je slovenski predlog s 45 glasovi premagal predlog španske
Univerze v Sevilli, ki je prejel 33 glasov. Kongres bo verjetno eden najve-
čjih znanstvenih dogodkov v Sloveniji doslej in ponuja odlično priložnost za
promocijo matematike in slovenskih znanstvenih ustanov v evropski mate-
matični skupnosti. Osnovni podatki o načrtovanem kongresu so dosegljivi
na spletni strani www.8ecm.si.
O DEJAVNOSTIH EVROPSKEGA MATEMATIČNEGA
DRUŠTVA
Evropsko matematično društvo (EMS – European mathematical society)
je bilo ustanovljeno leta 1990, njegov predhodnik je bil Evropski matema-
tični svet (European Mathematical Council), v okviru katerega so se od leta
1978 dalje povezovale predvsem zahodnoevropse države. Pri ustanovitvi so
pomembno vlogo odigrali ugledni matematiki Sir Michael Atiyah (Fieldsov
in Abelov nagrajenec), Jean Pierre Bourguignon (danes predsednik Evrop-
skega raziskovalnega sveta) in Friedrich Hirzebruch, ki je postal tudi prvi
predsednik EMS.
Sedaj je predsednik EMS Pavel Exner (mandat 2015–18), za nova pod-
predsednika sta bila letos v Berlinu izvoljena Volker Mehrmann in Armen
Sergeev. Pod okriljem EMS poleg 10-članskega izvršilnega odbora delujejo
še odbori za uporabno matematiko, države v razvoju, izobraževanje, elek-
tronsko publiciranje, etiko, evropsko solidarnost, publikacije, spodbujanje
javnega zavedanja, srečanja, ženske v matematiki ter forum ERCOM vo-
diteljev evropskih raziskovalnih institucij. V nekaterih od teh odborov so
že sodelovali tudi slovenski matematiki (Tomaž Pisanski v odboru za etiko,
68 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kuzman” — 2016/8/30 — 8:53 — page 69 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
Matej Brešar v odboru za države v razvoju).
Dejavnosti EMS so danes zelo raznovrstne. EMS vsaka 4 leta orga-
nizira Evropski matematični kongres, na katerem s podeljevanjem nagrad
spodbuja raziskovalne usmeritve. Sodeluje in finančno podpira tudi številne
znanstvene dogodke (znanstvene poletne šole, raziskovalne vikende, vabljena
konferenčna predavanja in podobno) ter aktivnosti, povezane z izobraževa-
njem ali promocijo znanosti. Izdaja več kot 20 periodičnih znanstvenih
publikacij s področja matematike in 13 zbirk monografskih publikacij; v
zbirki EMS Series of Lectures in Mathematics je denimo nedavno objavil
knjigo Higher-Dimensional Generalized Manifolds: Surgery and Construc-
tions Dušan Repovš (soavtorja A. Cavicchioli, F. Hegenbarth).
Letošnji pregled članstva je pokazal, da ima v EMS največ individualnih
članov Francija, sledijo ji Nemčija, Italija in Združeno kraljestvo, iz vsake
od preostalih evropskih držav pa je aktivnih članov le peščica – Slovenija
ima trenutno 8 individualnih članov, status institucionalne članice pa sta
imela v zadnjem obdobju DMFA Slovenije in UP FAMNIT. Za člane nacio-
nalnih društev je letna članarina nižja, prav letos je bil v Berlinu sprejet tudi
sklep o brezplačnem 3-letnem članstvu za mlade, ki se včlanijo v času do-
diplomskega ali podiplomskega študija. Individualni člani EMS prejemajo
tiskano publikacijo EMS Newsletter, ki izhaja štirikrat letno na približno 70
straneh. V njej so kraǰsi pregledni znanstveni članki, aktualni intervjuji s
prejemniki znanstvenih nagrad, poročila o dogodkih, predstavitve raziskav
s področja matematičnega izobraževanja in podobno.
Ob koncu omenimo še, da ima dobro urejena spletna stran EMS, www.
euro-math-soc.eu že nekaj časa tudi odprto bazo učiteljskih, doktorskih
in podoktorskih delovnih mest za matematike, v kateri oglašujejo delovna
mesta mednarodne znanstveno-raziskovalne in tudi industrijske ustanove. V
času pisanja tega prispevka je bilo v njej 43 mest s še aktualnim rokom za
prijavo.
Boštjan Kuzman
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 69
i
i
“Lebic” — 2016/8/31 — 10:48 — page 70 — #1 i
i
i
i
i
i
Vesti
FMF SEMINAR ZA UČITELJE MATEMATIKE
Seminar za učitelje matematike na Fakulteti za matematiko in fiziko UL
ima že dolgoletno tradicijo in je gotovo eden najkvalitetneǰsih seminarjev.
Seminar poteka v dveh delih, septembra in januarja. Na sporedu seminarja
srečamo raznolike vsebine. Poleg matematičnih tem, uporabe matematike
in razmǐsljanj o matematiki na seminarju med predavatelji spoznamo tudi
znane psihologe, zdravnike, pravnike, . . . , ki osvetlijo svoj pogled na ži-
vljenje, poučevanje, matematiko ali težave z mladostniki še z drugih zornih
kotov.
Od splošnih tem smo na seminarju 2015/16 januarja poslušali predavanje
o zasvojenosti z alkoholom zdravnika in psihiatra Jožeta Kocipra, dr. Bojan
Hvala pa je v povezavi z današnjimi problemi v slovenskem šolstvu in družbi
osvetlil šest (zanimivih socioloških) indeksov nizozemskega sociologa Geerta
Hofstedeja. V septembru je Jana Dular, pravnica in ustanoviteljica huma-
nitarnega društva ELA predstavila svoje življenje in delo v Afriki . . . drug
svet, drugačne vrednote, drugačne težave . . . Ko se med poslušanjem zaveš,
da ugodnosti in udobje evropskega življenja jemljemo že preveč za samo po
sebi umevne.
Med poljudno matematičnimi predavanji smo poslušali spomine in anek-
dote dr. Tomaža Pisanskega in predavanje dr. Marka Razpeta o zmotah v
matematiki.
Dr. Peter Šemrl je govoril o lepotah dokazovanja matematičnih resnic.
Spraševal se je, koliko je nujno dokazati in do kolikšne mere lahko zaupamo
preǰsnjim generacijam matematikov, da so dobro opravili svoje delo in so
dokazi brez napak. Spodbudil nas je k razmǐsljanju o tem, kaj je resnica
pri drugih znanostih in kaj pri matematiki. Pri medicini se je že pokazalo,
da so bile njihove resnice napačne, fizikalna resnica pa je samo najbolǰsi
možen matematičen model, ki si ga glede na današnje merilne naprave lahko
zamislimo, medtem ko so matematične resnice večne, zaključi dr. Šemrl. A
po drugi strani mu Bertrand Russell oporeka, da matematiki ne vemo, o
čem govorimo, niti če je to, kar govorimo, res.
Dr. Damjan Kobal je primerjal naloge naše mature, naloge TIMSSa ter
naloge nekaterih sprejemnih izpitov na Japonske univerze. V deželah, kjer je
znanje večja vrednota, so naloge težje in pričakovanja učiteljev večja kot pa
v evropskih državah in Ameriki, kjer so vrednote zaradi moči potrošnǐstva
drugačne. Kot je prebrati v noveǰsih raziskavah, je uspešnost pri matematiki
(kot seveda tudi drugod) precej bolj odvisna od delavnosti kot od talentov.
O uporabi matematike je govorila dr. Nada Lavrač, ko je predstavila
delo svojega tima, ki se na IJS ukvarja s podatkovnim rudarjenjem.
V današnjem času smo ob vseh prednostih, ki jih ponuja tehnologija,
pozabili vedenja iz preteklosti. Dr. Pino Koc je v svojem predavanju Me-
70 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Lebic” — 2016/8/31 — 10:48 — page 71 — #2 i
i
i
i
i
i
FMF seminar za učitelje matematike
hansko reševanje diferencialnih enačb razložil, kako so zgrajeni mehanski
stroji, ki znajo reševati tudi zapletene diferencialne enačbe in sicer tako,
da na eni strani rǐsejo podatke, na drugi strani pa se izrisuje graf rešitve.
Neverjetne ideje, ki te spodbudijo videti in razumeti odvod in integral še z
drugega zornega kota.
O najnoveǰsih spoznanjih fizike pa smo poslušali predavanje dr. Igorja
Muževiča o fotoniki s tekočimi kristali. Električna vezja niso več vedno kos
željam po čim hitreǰsi računalnǐski obdelavi podatkov in kot kaže bi lahko
tekoče kristale uporabili za izdelavo svetlobnih vezij, po katerih bi namesto
elektrike tekla svetloba.
Zakaj pride do navideznih anomalij, če generator naključnih števil upo-
rabimo na ravninskih likih, se je v svojem predavanju spraševal dr. Bojan
Hvala in nam s primeri v Geogebri razložil, kaj se dogaja ter kako popraviti
izbiro slučajnih točk, da bodo po veliko ponovitvah približno enakomerno
razporejene po ravninskem liku.
Med teoretično matematične teme pa bi lahko uvrstili predavanje dr.
Gregorja Ciglerja o frizijskih vzorcih in njihovih grupah simetrij.
Na Bledu so na spomeniku Josipu Plemlju zapisane tudi njegove formule
in dr. Miran Černe nas je popeljal skozi glavne korake dokaza najbolj znanih
Plemljevih formul.
In včasih se zazdi, da so zapletene formule lahko tudi preproste. Dr.
Marko Kandić je povezal znane limite in neenakosti ter razložil, kako priti
do Stirlingove formule in Wallisove produktne formule za π/2.
Dr. Bor Plestenjak je v svojem predavanju najprej ločil sisteme linearnih
enačb na tiste, pri katerih se pri majhni spremembi podatkov tudi rešitev
malo spremeni, in na tiste, ki so že na majhne spremembe podatkov zelo
občutljivi, nato pa pokazal, kako uporabljajo singularni razcep pri reševanju
občutljivih sistemov pri numerični linearni algebri in zaključil s primerom
uporabe teorije pri obdelavi slik, kot je ostrenje zamegljenih fotografij.
Če bi seštevanje in množenje definirali drugače, kot smo navajeni (a +
b = min{a, b}, ab = a + b), se znajdemo v tropskih polkolobarjih. Dr.
David Dolžan nas je najprej naučil na novo računati in reševati polinomske
enačbe, potem pa razložil še nekaj primerov uporabe. Prav neverjetno se
zdi, da sta na novo izmǐsljeni računski operaciji lahko v pomoč v ekonomiji,
kriptografiji, filogenetiki, . . .
Na seminarju za učitelje matematike tako vedno izveš kaj novega, dobǐs
nov odgovor na vprašanje dijakov »Kje se pa to uporablja?« in v odmorih
ob kavi in pǐskotih poklepetaš s kolegi z drugih šol.
Prav kmalu bo na sporedu nov cikel srečanj v š. l. 2016/17.
Več sprotnih informacij o seminarju in arhiv seminarja pa najdete na
spletni strani: http://uc.fmf.uni-lj.si/mi/.
Hanka Lebič
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 71
i
i
“Kozak” — 2016/8/31 — 10:58 — page 72 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
Bor Plestenjak, Razširjen uvod v numerične metode, DMFA –
založnǐstvo, 2015, 420 strani.
V zbirki univerzitetnih učbenikov
in monografij Matematika–Fizika
založbe DMFA–založnǐstvo je v
septembru preteklega leta pod za-
poredno številko 52 izšla knjiga
Razširjen uvod v numerične me-
tode avtorja Bora Plestenjaka. Po
besedah avtorja je knjiga nastala
po zapiskih, ki jih je vrsto let upo-
rabljal in posodabljal ob predava-
njih različnih predmetov s podro-
čja numerične matematike na Uni-
verzi v Ljubljani.
Knjigo sestavlja štirinajst po-
glavij, ki jim sledi zgledno sesta-
vljeno stvarno kazalo, skupaj 420
strani. K razumevanju besedila
nam pomaga 84 slik in 26 tabel,
spoznamo 50 samostojno zapisa-
nih algoritmov. Citiranih je 56 virov. Besedilo je podprto s številnimi
numeričnimi primeri, ki osvetljujejo teoretične izpeljave. Poglavja so zasno-
vana po enotnem ključu. Predstavljenemu gradivu sledi razdelek Matlab,
v katerem je kratek, vsebini poglavja prirejen nabor ukazov jezika Matlab.
Ti ponujajo programsko rešitev problemov, ki jih poglavje opisuje. Sledi
razdelek, ki poudari vire za dodatno branje, v pomoč bralcu, ki bi želel snov
poglavja še razširiti. Poglavje sklene razdelek Naloge, ki ga bodo s pridom
uporabljali študenti pri utrjevanju snovi in pripravah na izpite. Med prebi-
ranjem knjige bo bralec vesel tudi številnih opomb, v katerih dobimo kratko
biografsko pojasnilo o avtorju, ki ga zgodovinsko povezujejo z danim delom
zapisane snovi. Polistajmo bežno po vsebini knjige.
V prvem poglavju avtor pojasni predstavitev števil v računalniku in
opǐse standard IEEE, ki ga uporablja večina noveǰsih računalnikov. Tu spo-
znamo vrste napak, ki jih srečujemo pri numeričnem računanju, ter pojme,
72 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kozak” — 2016/8/31 — 10:58 — page 73 — #2 i
i
i
i
i
i
Razširjen uvod v numerične metode
kot so občutljivost problema, stabilnost metode, analiza zaokrožitvenih na-
pak ipd. Dodani poučni primeri: računanje števila π, izračun ex iz Taylor-
jeve vrste, reševanje kvadratne enačbe, . . . nas zgovorno opozorijo na poseb-
nost računanja z v računalniku predstavljivimi števili.
Drugo poglavje razgrne nabor postopkov za iskanje ničel funkcij ene
spremenljivke. Srečamo bisekcijo, navadno iteracijo, tangentno, sekantno in
Müllerjevo metodo, inverzno interpolacijo ter sestavljene metode. V drugem
delu poglavja so opisane metode, namenjene iskanju ničel polinomov.
V tretjem poglavju avtor predstavi algoritme za reševanje sistemov li-
nearnih enačb, vpelje občutljivost problema in analizira vpliv napak, ki pri
reševanju lahko nastanejo. Poglavje naniza najprej osnovna orodja pri oce-
njevanju napak, vektorske in matrične norme. Sledi podroben opis korakov
in analiza osnovnega algoritma eliminacije. Poglavje sklenejo postopki, pri-
rejeni reševanju linearnih sistemov posebne oblike, ko je pripadajoča matrika
npr. simetrična, tridiagonalna, kompleksna ali razpršena.
Kraǰse četrto poglavje je namenjeno reševanju sistemov nelinearnih ena-
čb. Spoznamo Jacobijevo iteracijo, več besed je namenjenih Newtonovi
metodi in izpeljankam, omenjene so tudi variacijske metode.
V petem poglavju avtor osvetli reševanje predoločenih sistemov linear-
nih enačb, torej aproksimacijo po metodi najmanǰsih kvadratov, ki temelji
na diskretnem skalarnem produktu. Najprej spoznamo osnovni QR raz-
cep, nato avtor vpelje tudi v naslednjih poglavjih nepogrešljive ortogonalne
matrične transformacije, Givensove rotacije in Householderjeva zrcaljenja.
Sledita razširjeni QR in singularni razcep ter zahtevneǰsa razlaga in analiza
nedoločenih problemov in problemov defektnega ranga. Poglavje končujejo
posplošitve metode najmanǰsih kvadratov.
Šesto poglavje podrobno predstavi in analizira nesimetrični problem la-
stnih vrednosti. Najprej srečamo opis problema in nekaj splošnih izrekov,
ki pomagajo pri ocenjevanju napak, in spoznamo pomen Schurove forme pri
stabilnem preoblikovanju prvotnega problema. Med metodami so najprej
na vrsti potenčna metoda in njene izpeljanke, kot je npr. inverzna iteracija.
Sledi izpeljava ortogonalne in QR iteracije ter obširna razlaga prijemov,
ki pospešijo osnovni QR algoritem, redukcija na Hessenbergovo obliko in
premiki. Poglavje konča izpeljava končne oblike algoritma, implicitne QR
iteracije.
Naslednje poglavje avtor namenja reševanju problema lastnih vrednosti
simetričnih matrik. Uvodnemu delu in opisu Rayleighove iteracije sledi pet
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 73
i
i
“Kozak” — 2016/8/31 — 10:58 — page 74 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
metod, ki vse najdejo svoje mesto v praktični uporabi: QR iteracija za
simetrični problem lastnih vrednosti, bisekcija in Sturmovo zaporedje, deli
in vladaj, Jacobijeva metoda in relativno robustne reprezentacije. Poglavje
se konča z nekaj besedami o tem, za kakšne vrste problemov je kakšna od
metod primerneǰsa od drugih.
Osmo poglavje je namenjeno reševanju posplošitev problema lastnih vre-
dnosti in računanju singularnega razcepa. Avtor najprej vpelje matrični šop
in problem lastnih vrednosti za to posplošitev ter razloži QZ algoritem. Sle-
dijo nelinearni problemi lastnih vrednosti in opis osnovnih metod. Zadnji
del poglavja obravnava numerično računanje singularnega razcepa, ki je bil
vpeljan že v petem poglavju. Predstavljene so metode: QR iteracija za
singularni razcep, dqds in Jacobijeva metoda za singularni razcep.
Deveto poglavje obravnava aproksimacijo funkcij ene spremenljivke, po-
drobneje pa enakomerno aproksimacijo s polinomi in bližnjico, ekonomiza-
cijo Čebǐseva.
Deseto poglavje je avtor namenil polinomski in odsekoma polinomski in-
terpolaciji. Avtor izpelje izražavo interpolacijskega polinoma v Lagrangeevi
in Newtonovi obliki in pojasni nekaj pomembnih lastnosti deljenih diferenc.
Sledita razdelka o zlepkih in Bézierovih krivuljah.
Enajsto poglavje govori o numeričnem odvajanju in predvsem integri-
ranju. Med integracijskimi pravili spoznamo najprej Newton-Cotesove for-
mule in njihovo nadgradnjo, sestavljena pravila. Sledijo adaptivne metode
in Rombergova metoda kot ekstrapolacija sestavljenih pravil. V drugem
delu so predstavljene Gaussove kvadraturne formule. Poglavje sklenejo raz-
delki o računanju izlimitiranih integralov in integriranju v več prostorskih
razsežnostih.
V dvanajstem poglavju je obravnavano numerično reševanje navadnih
diferencialnih enačb, v večjem delu začetnih problemov. Začetek govori o
obstoju rešitve, občutljivosti problema in stabilnosti metod. Sledi prvi ra-
zred numeričnih metod, enočlenske metode. Spoznamo preproste metode,
npr. Eulerjevo, in praktično zelo pomembne metode Runge-Kutta. Razlagi
metod je dodana beseda o stabilnosti in konvergenci enočlenskih metod. Sle-
dijo razdelki, ki obravnavajo linearne veččlenske metode in opozarjajo na
možne težave pri njihovi uporabi, kot je npr. inherentna nestabilnost ipd.
Avtor omeni tudi začetne probleme vǐsjega reda, implicitno podane diferen-
cialne enačbe in metodo zveznega nadaljevanja. Poglavje končuje reševanje
robnih problemov drugega reda, v linearnem in nelinearnem primeru.
74 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kozak” — 2016/8/31 — 10:58 — page 75 — #4 i
i
i
i
i
i
Razširjen uvod v numerične metode
Reševanju parcialnih diferencialnih enačb je namenjeno trinajsto po-
glavje. Začenja ga reševanje paraboličnih parcialnih diferencialnih enačb.
Spoznamo eksplicitno, implicitno in Crank-Nicolsonovo shemo. Sledi elip-
tični tip in diferenčna metoda za reševanje Poissonove enačbe. Predstavnik
hiperboličnega tipa enačb je valovna enačba. Avtor predstavi običajno pet-
točkovno diferenčno metodo in hiperbolični tip sklene s splošneje uporabno
metodo karakteristik. Na koncu omeni še metodo končnih elementov kot
pogosto uporabljan način pri reševanju eliptičnih problemov.
V zadnjem poglavju avtor naniza iterativne metode za reševanje sis-
temov linearnih enačb. Jacobijeva in Gauss-Seidelova metoda, SOR ter
izpeljanke sodijo v klasični nabor metod, ki jih uporabljamo pri reševanju
sistemov linearnih enačb, ki jih dobimo z diskretizacijo parcialnih diferen-
cialnih enačb eliptičnega tipa. Zajeten del poglavja sestavljajo metode, ki
temeljijo na podprostorih Krilova. Tu se predpostavi le, da algoritem zna
izračunati produkt matrike sistema enačb in poljubnega vektorja. Avtor
predstavi Arnoldijev in Lanczosev algoritem ter GMRES – posplošeni mi-
nimalni ostanek. Poglavje konča opis metode konjugiranih gradientov.
Knjiga Razširjen uvod v numerične metode je pisana strokovno korek-
tno, razumljivo in lahko berljivo. Tako po pestrosti numeričnih primerov
kot po primerno uravnoteženem matematičnem upravičevanju predstavlje-
nih metod je zgleden obširen uvod v numerično računanje. Zato jo kot
učbenik toplo priporočam študentom pri numeričnih predmetih, ki se pod
tem ali drugim imenom predavajo na prvi stopnji univerzitetnega študija.
A knjige ne sprejmimo le kot učbenik. Je dobro berilo za vse bralce, ki želijo
na čim širšem naboru matematičnih problemov spoznati korake v njihovo
numerično reševanje.
Peto poglavje, še posebej pa tri poglavja, ki sledijo, obravnavano snov na
osnovnem nivoju bistveno in podrobno nadgradijo tako z naborom metod
kot s strogo matematično analizo, ki sežeta do najsodobneǰsih spoznanj.
Našteta poglavja so zato nedvomno izvrstno učno gradivo za posamezne
izbirne predmete s področja numerične linearne algebre, ki se predavajo na
vǐsjih stopnjah študija.
Knjigo lahko kupite pri DMFA – založnǐstvu po članski ceni 22,40 EUR.
Jernej Kozak
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 75
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 76 — #1 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Marius Overholt: A Course in Analytic Number Theory, Ameri-
can Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2014, 371
strani.
Učbenik je namenjen študentom vǐsjih
letnikov, ki želijo spoznati osnovne me-
tode analitične teorije števil. Avtor v
uvodu pravi, da knjiga ne zahteva po-
sebnega predznanja, razen poznavanja
osnov kompleksne analize, algebre in li-
nearne algebre. Vsako poglavje zaokro-
žijo vaje oziroma naloge ter zelo podro-
bne, zanimive in poučne zgodovinske
opombe in reference na knjige in članke,
v katerih so predstavljene teme obravna-
vane podrobneje.
Analitična teorija števil se v glavnem
posveča aproksimativnemu preštevanju
objektov iz teorije števil, kot so npr. pra-
števila, delitelji, rešitve diofantskih enačb,
točke mrež znotraj danega območja, razčlenitve celih števil, itd. Vendar njen
domet ni omejen le na preštevanje števil, in za nekatere probleme (npr. v
algebraični teoriji števil) dajo njene metode tudi eksaktne rešitve.
Prototip in eden zgodovinsko prvih primerov aproksimativnega prešte-
vanja v teoriji števil je praštevilski izrek, ki število π(x) praštevil p ≤ x
aproksimira s t. i. integralnim logaritmom li(x) =
∫ x
2
du
log(u) .
Relacijo limx→∞
π(x)
li(x) = 1, ki jo je na podlagi empiričnega opažanja,
kako se praštevila vse bolj redčijo v tabeli števil do 1000, okrog 1792 for-
muliral mladi Gauss, najprej v obliki zakona oziroma hipoteze, da je na
intervalih (x − h, x] približno h/ log(x) praštevil, in ki so jo najbolǰsi ma-
tematiki s klasičnimi metodami zaman poskušali dokazati več kot sto let,
sta leta 1896 neodvisno dokazala Jacques Hadamard in Charles de la Vallée
Pousin na temelju idej Bernharda Riemanna, z uporabo kompleksne analize
na Riemannovi zeta funkciji ζ(s) =
∑∞
n=1 n
−s, kar je pomenilo prvo veliko
zmagoslavje analitične teorije števil.
Na gornjem zgledu lepo vidimo, kako matematika v svojem nastajanju,
76 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 77 — #2 i
i
i
i
i
i
A Course in Analytic Number Theory
drugače od poučevanja matematike, ki terja izčǐsčene definicije, strogost
in ekonomičnost, zahteva bujno domǐsljijo ter kreativen in drzen skok v
neznano, tega presežka pa zgolj z asketsko logiko in dedukcijo, ki ostajata
v varni domeni znanega, ni mogoče doseči. Seveda pa dokazi pomembnih
izrekov poleg dobre začetne ideje, ki raziskovanje pravilno usmeri, praviloma
zahtevajo vztrajnost, domiselnost in osredotočenost na cilj v vseh fazah dela;
nekateri matematiki zato začenjajo vse svoje dokaze s črkami Q. E. D. – kot
opomin, da se v gozdu neštetih možnih poti ne smejo izgubiti, ampak morajo
svoje delo kronati z otipljivim rezultatom!
Ker je porazdelitev praštevil eden ključnih problemov v teoriji števil, so
matematiki vztrajno iskali in našli še mnoge bolǰse ocene za funkcijo π(x).
Tako je npr. v knjigi dokazan rezultat |π(x)−
∫ x
2
du
log(u) | ≤ Cxe
−c log1/10(x) za
x ≥ x0.
V analitični teoriji števil so pomembne tudi ocene velikosti napake pri
aproksimaciji f(x) v g(x) neke aritmetične funkcije f : N → R z neko
analitično funkcijo g(x) : R → R. Tipičen tak problem je t. i. Dirichletov
problem deliteljev. Če označimo število deliteljev naravnega števila n z d(n),
potem lahko povprečno število teh deliteljev 1x
∑
n≤x d(n) aproksimiramo z
log(x) + 2γ − 1, kjer je γ = 0,57772 . . . Euler-Mascheronijeva konstanta.
Kako hitro pri tej aproksimaciji absolutna napaka konvergira k 0, ko gre
x → ∞? To je Dirichletov problem deliteljev iz leta 1838, ki ima bogato
zgodovino in je še do danes nerešen.
Delitelji in praštevila sodijo v t. i. multiplikativno teorijo števil. Metode
analitične teorije števil pa so uporabne tudi v t. i. aditivni teoriji števil, npr.
za dokaz Waringove domneve iz leta 1770 (prvi jo je dokazal David Hilbert
1909), da se da vsako naravno število n izraziti kot vsota n =
∑g(k)
i=1 a
k
i
omejenega števila k-tih potenc nenegativnih celih števil ai, pri čemer je to
število g(k) <∞ odvisno od k.
Poglavja so (glede medsebojne odvisnosti) urejena po shemi: 1→ (2, 3),
3 → (4, 5), 5 → (6, 7, 8), 8 → (9, 10) in imajo naslednje naslove oziroma
vsebino:
V prvem poglavju z naslovom Aritmetične funkcije je najprej opisana
metoda Čebǐseva, s katero je mogoče dokazati π(x) v li(x), njena začetna
ideja pa je zelo preprosta. Ker je po zgoraj omenjenem praštevilskem izreku
gostota praštevil do n približno 1/log(n), se pri preštevanju praštevil zdi
naravneje vsakemu praštevilu dati utež log(p) namesto 1. Tako je Čebǐsev
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 77
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 78 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
vpeljal uteženo preštevalno funkcijo ϑ(x) =
∑
p≤x log(p). Ker pa so potence
praštevil razmeroma redke, je vpeljal še eno preštevalno funkcijo ψ(x) =∑
pk≤x log(p). Ti dve funkciji sta aproksimativno enaki, z njima pa lahko
praštevilski izrek izrazimo v obliki ψ(x) v x oziroma ϑ(x) v x. Za bolǰso
predstavo o zahtevnosti teh izpeljav povejmo le, da ustrezni dokaz v knjigi
zavzema skoraj tri strani!
Z izbolǰsano verzijo svoje metode je Čebǐsev našel za funkcijo ψ(x) na-
slednji meji: 0,921 · x ≤ ψ(x) ≤ 1, 106 · x za vse dovolj velike x, in upo-
rabil ti meji za prvi dokaz Bertrandovega postulata, ki pravi, da za vsak
x ≥ 2 obstaja najmanj eno praštevilo na intervalu (x/2, x]. Ta njegov čla-
nek iz leta 1850 velja za začetek študija lokalne porazdelitve praštevil. V
knjigi je podan kraǰsi dokaz Bertrandovega postulata iz dveh delov: i) za
2 ≤ x ≤ 797 trditev sledi iz opažanja E. G. H. Landaua, da je v zapo-
redju praštevil 2, 3, 5, 7, 11, 17, 31, 59, 107, 211, 401, 797 vsako število manǰse
od dvakratnika svojega predhodnika; ii) za x ≥ 797 pa se da (na podlagi
Ramanujanove ideje in z veliko računske spretnosti) razliko ϑ(x) − ϑ(x/2)
omejiti navzdol s funkcijo f(x) = log(2)3 −log(4x)−
3 logn2(x)
2 log(2) −4 log(2)x
1/2, ki
ima za x ≥ 797 pozitiven odvod f ′(x) > 0, v točki x = 797 pa ima pozitivno
vrednost f(797) = 1,2, torej je ϑ(x)− ϑ(x/2) ≥ f(x) > 0, Q. E. D.
Knjiga pomeni nekaj standardnih orodij, ki se uporabljajo v analitični
teoriji števil. Tako npr. dolge račune z neenakostmi zelo poenostavi Ba-
chmannov zapis f(x) = O(g(x)), ki pomeni, da obstaja neka konstanta
C > 0 in neko realno število x0, da velja |f(x)| ≤ Cg(x) na intervalu
x ≥ x0; pri ocenjevanju integralov na intervalu I dostikrat pride prav Höl-
derjeva neenakost
∫
I |f(x)g(x)|dx ≤ (
∫
I |f(x)|
pdx)1/p(
∫
I |g(x)|
qdx)1/q, kjer
je 1 < p, q < ∞ in 1/p + 1/q = 1; morda najpogosteje uporabljano orodje
v analitični teoriji števil je parcialna sumacija (diskretna analogija inte-
gracije per partes), katere osnovna verzija je identiteta:
∑n
m=1 ambm =
bn
∑n
m=1 am −
∑n−1
m=1(bm+1 − bm)
∑m
k=1 ak. Za ocenjevanje uteženih vsot
aritmetičnih funkcij f : N→ C je zelo uporabna formula parcialne sumacije∑
n≤x f(n)g(n) = F (x)g(x)−
∫ x
1 F (u)g
′(u)du, kjer je F (u) =
∑
n≤x f(n) su-
macijska funkcija aritmetične funkcije f , g pa je zvezna funkcija z odsekoma
zveznim odvodom na (1,∞].
Kot primer zahtevneǰse metode, predstavljene v Overholtovi knjigi, ome-
nimo metodo normalnega reda (angl. normal order method) P. Turána, opi-
sano v drugem poglavju knjige. Realna funkcija g je normalni red za realno
78 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 79 — #4 i
i
i
i
i
i
A Course in Analytic Number Theory
funkcijo f , če za vsak ε > 0 velja neenakost −εg(n) ≤ f(n)− g(n) ≤ εg(n)
za n ≤ x z največ oε(x) izjemami, kjer je f(x) = o(g(x)) Landauova mali-o
notacija za limx→+∞ f(x)/g(x) = 0.
G. H. Hardy in S. A. Ramanujan sta pokazala, da imata funkciji ω(n) =∑
p|n 1 različnih praštevilskih deliteljev števila n in Ω(n) =
∑
pk|n 1 vseh
deliteljev števila n obe normalni red log(log(n)). To je v knjigi dokazano s
Turánovo metodo, ki ima tudi verjetnostno interpretacijo. Turánov dokaz
pa je odprl polje raziskovanja, ki se imenuje verjetnostna teorija števil.
V tretjem poglavju z naslovom Karakterji in Eulerjevi produkti je doka-
zana identiteta
∏
p
∑∞
k=0 f(p
k) =
∑∞
n=1 f(n), ki velja za poljubno nenega-
tivno multiplikativno aritmetično funkcijo f , tj. tako, ki ni identično enaka
nič in za katero je f(mn) = f(m)f(n) , če je le gcd(m,n) = 1. Obravnavane
so tudi Dirichletove vrste
∑∞
n=1 ann
−s s koeficienti an ∈ C in spremenljivko
s ∈ C. Dirichletovo vrsto
∑∞
n=1 f(n)n
−s aritmetične funkcije f imamo lahko
za rodovno funkcijo funkcije f . Podobno kot so formalne potenčne vrste∑∞
n=0 anz
n uporabne v aditivni teoriji števil zaradi lastnosti zmzn = zm+n
monomov, tako so Dirichletove vrste primerne za multiplikativne probleme
zaradi lastnosti m−sn−s = (mn)−s Dirichletovih monomov.
Pomembno vlogo v analitični teoriji števil igrajo tudi ideje iz harmonične
analize; ta način je vpeljal Dirichlet okrog 1830. Kot pravi M. Overholt, v
harmonični analizi študirajo aproksimacije ali celo natančne reprezentacije
funkcij s končnimi linearnimi kombinacijami f(x) = c1b1(x)+c2b2(x)+ · · ·+
cNbN (x), ali pa z neskončnimi vrstami ali integrali, kjer si vse bazne funkcije
bn(x) delijo neko skupno simetrijsko lastnost. Le-ta je navadno določena
z delovanjem neke grupe na prostoru, na katerem so funkcije definirane.
Najbolj znan primer so klasične Fourierove vrste f(x) v
∑∞
n=−∞ fne(nx),
kjer so vse bazne funkcije e(nx), dane z e(x) = e2πix periodične s periodo 1.
Najpreprosteǰsi primer uporabe harmonične analize v analitični teoriji
števil se nanaša na tiste aritmetične funkcije f : Z → C, ki so periodične s
periodo q. Le-te so izomorfne prostoru kompleksnih funkcij na ciklični grupi
Z/Zq. V knjigi je kot primer izpeljan Fourierov razvoj Legendrovega simbola
(np ) = p
−1/2 ∑p
k=1
√
p
τp
(kp )e(kn/p). Posplošitev teh metod naravno vodi do
zelo uporabnega koncepta reprezentacij grup. Če namreč neko abstraktno
grupo G, o kateri sicer ne vemo veliko, homomorfno preslikamo npr. v neko
grupo matrik, lahko z metodami linearne algebre študiramo prvotno grupo
G. Vendar so reprezentacije grup pomembne ne samo v teoriji grup, ampak
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 79
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 80 — #5 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
tudi v analitični teoriji števil, in sicer za generiranje baznih funkcij v smislu
zgoraj skicirane harmonične analize aritmetičnih funkcij.
Tako je npr. Dirichlet s pomočjo idej harmonične analize dokazal izrek o
praštevilih v aritmetičnih zaporedjih, enega pomembnih mejnikov v teoriji
števil, ki pravi: Če sta p in q naravni, tuji si števili, potem aritmetično
zaporedje pm + q, kjer m = 0, 1, 2, . . . , vsebuje neskončno mnogo praštevil.
Pri svojem dokazu pa se ni mogel nasloniti na teorijo grup, saj je bil pojem
grupe okrog 1830 znan le v obliki permutacijskih grup rešitev polinomskih
enačb.
Četrto poglavje je posvečeno krožni metodi, ki je uporabna v diofantski
analizi. Z njo se da oceniti število celoštevilskih rešitev različnih polinom-
skih enačb nad Z, kadar je število neznank dovolj veliko. V knjigi je razvita
do mere, da se da z njo dokazati Waringovo domnevo. Ta metoda se je
najprej pojavila v članku Hardyja in Ramanujana (1917) o particijski funk-
ciji p(n), ki šteje, na koliko načinov lahko zapǐsemo n kot vsoto naravnih
števil, pri čemer vrstni red ni važen. Z analizo singularnosti njene rodovne
funkcije f(z) =
∑∞
n=0 p(n)z
n, ki se jo da predstaviti z neskončnim produk-
tom f(z) =
∏
(1− zm)−1, ter z uporabo Cauchyjeve integralske formule sta
dobila asimptotsko oceno p(n) v
eπ
√
2n/3
4n
√
3
.
V petem poglavju je predstavljena metoda konturnih integralov, s katero
se da dobiti asimptotske ocene za sumacijske funkcije F (x) =
∑
n≤x an iz
ustreznih Dirichletovih vrst A(s) =
∑∞
n=1 ann
−s s pomočjo teorije residuov.
S to metodo je v šestem poglavju dokazan praštevilski izrek π(x) v
ψ(x) =
∑
pk≤x log(p) v obliki, da obstaja c > 0, da je ψ(x) =
x+O(xe−c·log
1/10(x)), ko x→ +∞.
Morebitnega bralca naj opozorimo, da težavnost knjige iz poglavja v
poglavje narašča. Ob tem se spomnimo Evklidove opazke, da ni kraljevske
poti v matematiko.
V sedmem poglavju je praštevilski izrek posplošen na aritmetična za-
poredja n ≡ a (mod q). Že sama formulacija Siegel-Walfiszovega izreka je
zahtevna, dokaz prav tako.
V osmem poglavju so obravnavane Fourierove vrste, Poissonova for-
mula, Jacobijeva funkcija theta ϑ : C × H → C, definirana s predpi-
som ϑ(z, τ) =
∑∞
n=−∞ e
πin2τe(nz), nadalje funkcija gama Γ(s), ki jo po
Weierstrassu lahko definiramo s pomočjo neskončnega produkta v obliki
80 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2
i
i
“Kovic” — 2016/8/31 — 7:15 — page 81 — #6 i
i
i
i
i
i
A Course in Analytic Number Theory
1
Γ(s) = se
γs
∏∞
n=1(1 +
s
n)e
−s/n, ter funkcijska enačba za Riemannovo funk-
cijo ζ(s) v obliki: π−(1−s)/2Γ(1−ss )ζ(1− s) = π
−s/2Γ( s2)ζ(s).
Knjiga postaja, kot že rečeno, iz poglavja v poglavje vse bolj dostopna le
specialistom (ali vsaj tistim, ki natančno preštudirajo vsa preǰsnja poglavja).
V devetem poglavju je podan dokaz izreka Ikehare z metodami komple-
ksne analize. Kdor ta izrek pozna, ve, o čem je govor, kdor ga ne pozna,
se mu tega ne da razložiti na kratko. Nespecialist za to področje lahko
na takšne izreke gleda le kot na oddaljene vrhove Himalaje, izgubljene v
meglicah.
V desetem poglavju je izpeljana eksplicitna formula za ψ(x), v kateri na-
stopajo netrivialne ničle Riemannove funkcije zeta: ψ(x) = x−
∑
ζ(ρ)=0
xρ
ρ −
log(2π)− 12 log(1− x
−2).
Čému brati takšno knjigo, oziroma kaj lahko nespecialist za to področje
s tem pridobi? Odgovor je odvisen od vsakega bralca, njegove vztrajno-
sti in pripravljenosti za učenje nečesa novega in neznanega. Tudi če tega
področja sploh ne pozna in če knjigo prebere le po diagonali, si bo lahko
ustvaril neko osnovno predstavo o tem, kakšne probleme analitična teorija
števil sploh obravnava. Če bo premagal pogost, a povsem neumesten strah
pred formulami, v katerih mrgoli integralov in grških črk, se bo lahko pre-
pričal, da se da prav vse razumeti, če le napreduje sistematično in v tempu,
ki ga pač zmore, in če rešuje tudi naloge na koncu poglavij. Prebiranje po-
drobnih zgodovinskih opomb pa mu bo osvetlilo in približalo razvoj idej in
metod tega zanimivega področja v širšem kontekstu, kar ga bo še dodatno
spodbudilo, da se z bolǰsim razumevanjem ponovno vrne k študiju mest, ki
so se mu prej zdela težka.
Če je ta prispevek vsaj enega bralca navdušil za analitično teorijo števil
ali ga celo spodbudil k odločitvi za študij tega izredno zanimivega in zah-
tevnega področja, za kar se zdi Overholtova knjiga zelo primeren uvod, saj
dolgo in naporno pot do vrha vendarle naredi nekako prijazno in dostopno,
je njegov namen dosežen. Čudovit razgled, o katerem lahko dolgo samo sa-
njaš, odpre pa se šele z vrha gore, poplača vse. Iz doline vidǐs samo meglice
in tu in tam kakšen sončni žarek. A kot pravi stara kitajska modrost: Pot,
dolga tisoč milj, se začne z enim korakom.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 2 VII
i
i
“kolofon” — 2016/8/31 — 7:06 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAREC 2016
Letnik 63, številka 2
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Borsuk-Ulamov izrek (Katja Kelvišar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41-52
Gravitacijski valovi (Aleš Mohorič in Andrej Čadež) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53–63
Vesti
V spomin profesorici Snegulki Detoni
(Neformalna zveza slovenskih fizičark) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–65
7. evropski kongres matematike v Nemčiji (Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . 66–69
FMF seminar za učitelje matematike (Hanka Lebič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70–71
Nove knjige
Bor Plestenjak, Razširjen uvod v numerične metode (Jernej Kozak) . . . 72–75
Marius Overholt: A Course in Analytic Number Theory (Jurij Kovič) . . . 76–VII
CONTENTS
Articles Pages
Borsuk-Ulam theorem (Katja Kelvišar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41–52
Gravitational waves (Aleš Mohorič and Andrej Čadež) . . . . . . . . . . . . . . . . 53–63
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–71
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–VII
Na naslovnici: Joe Weber je v šestdesetih letih prejšnjega stoletja sprožil eks-
perimentalni lov na gravitacijske valove. Slika ga kaže z eno izmed njegovih gra-
vitacijskih anten. Foto: Univerza v Marylandu.