SOLA_
neverjetna verjetnost
DARJO FELDA
Pedagoška fakulteta Univerza na Primorskem
Math. Subj. Class. (2010): 97-01, 97K50
V prispevku pokažemo na napake pri vpeljevanju verjetnosti v učbenikih za matematiko za deveti razred osnovne sole.
INCREDIBLE PROBABILITY
In the paper, errors in introducing probability in mathematics textbooks for the ninth grade of primary school are shown.
Uvod
Odvec je pripomniti, da je treba učenca uvajati v katerokoli matematično vsebino z veliko mero previdnosti. Jezik, ki ga uporabljamo v procesu učenja in poučevanja, mora biti prilagojen razvojni stopnji učenca, kljub temu pa matematično korekten in nedvoumen. Učbeniki in druga učbeniska gradiva naj bi bili opora samostojnemu učenju in zato namenjeni učenču. Morali bi nuditi jasno in natančno podane matematične pojme in končepte oziroma usmeritve, a se, zal, vanje prikradejo hude nepravilnosti.
Pri pregledovanju izdelkov, kijih učenči oddajo na načionalnem preverjanju znanja matematike, opazamo določene napačne oziroma povrsne zapise in postopke resevanja matematičnih problemov, za katere bi tezko sodili, da so plod samostojnega razmisleka posameznih učenčev. Prej nasprotno -izkazujejo se kot plod nekih naučenih pravil in postopkov v pročesu učenja in poučevanja matematike, skozi katerega se prebijajo ti učenči.
Za ta prispevek smo se odločili potem, ko smo ob t. i. poizvedbah prejeli od nekaterih sol fotokopije delov učbenikov, s katerimi naj bi se dokazovala pravilnost in popolnost resitev posameznih nalog, kakor so jih zapisali učenči. Prav te fotokopije so nas spodbudile, da smo natančneje pregledali poglavje o verjetnosti v obeh učbenikih, iz katerih so bili fotokopirani deli uvodnih strani omenjenega poglavja. Gre za učbenika Kocka 9, matematika za 9. razred osnovne SSole in Skrivnosti SStevil in oblik, učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne sole.
Verjetnost in ucni nacrt
Glede na učni načrt za matematiko (glej [4]) se učenci srečajo z verjetnostjo v 9. razredu osnovne Sole, čeprav so operativni cilji in vsebine le orientacijsko vezani na določen razred. Lahko bi se torej verjetnost (delno) obravnavala tudi prej v tretjem vzgojno-izobrazevalnem obdobju. Najbrz je smiselno, da bi se nekatere dejavnosti, vezane na usvajanje verjetnosti, izvajale čelo ze v nizjih razredih osnovne sole in da bi učenči vstopili v zaključni razred z nekaterimi predhodnimi konkretnimi izkusnjami s slučajnimi dogodki. V nizjih razredih seveda ne gre za poučevanje verjetnosti v strogem matematičnem smislu, pač pa za postopno srečevanje z verjetnostjo ter sprotno spoznavanje in nadgrajevanje pojmov iz verjetnosti ob izvajanjih poskusov, ki so učenčem blizu. Pomembno je, da učenči pridobijo pravilne predstave o verjetnosti.
Verjetnost je v tretjem vzgojno-izobrazevalnem obdobju zapisana pod temo druge vsebine, za katero so opredeljeni nekateri globalni čilji tega vzgojno-izobrazevalnega obdobja. Izmed njih se le eden neposredno nanasa na verjetnost, in sičer: (učenci) na primerih spoznajo statistično verjetnost. Ustrezni operativni čilji so zapisani v sklopu Izkušnje s sluCajnimi dogodki, kjer je zapisano, da učenči:
•	pridobijo izkusnje o stevilsko izrazeni verjetnosti;
•	očenijo verjetnost s sklepanjem in utemeljevanjem (zivljenjske situačije);
•	izvajajo poskuse (met kočke, met zebljičkov, met kovanča, met valja idr.), opazujejo izbrane dogodke, zapisejo izide in napovedujejo verjetnost dogodka;
•	izvajajo poskuse in na podlagi analize s kombinatoričnim drevesom napovedujejo izide (npr. met kovanča);
•	zberejo, uredijo, analizirajo rezultate poskusa in ob konkretnih primerih (poskusih) spoznajo statistično verjetnost dogodka;
•	povezejo pojma statistična in matematična verjetnost ([4]).
Pripadajoče vsebine so podane kot: pojmi: poskus, dogodek, izid; dogodek: nemogoč, gotov, slučajen dogodek; verjetnost dogodka (statistična verjetnost).
Vsi nasteti operativni čilji in vsebine so obvezni.
V učnem načrtu za matematiko so zapisana tudi pripadajoča didaktična priporočila, ki jih povzemamo dobesedno: Prve izkušnje s pojmi poskus, dogodek, izid in verjetnost dogodka naj učenci pridobivajo skozi izvajanje
poskusov, kot so met kovanca, met kocke, vrtenje kazalca na vrtavki idr.
V	poskusu najprej izberejo dogodek in opazujejo (štejejo) ugodne izide za izbrani dogodek. Primer: v poskusu met kocke je lahko izbrani dogodek: „pade pet pik". Za zašetne dejavnosti pripravimo preproste situacije. (Je je npr. vrtavka rdeša, je dogodek, da se bo kazalec ustavil na rdeši barvi, gotov dogodek, dogodek, da se ustavi kazalec na beli barvi, pa nemogoš. Verjetnost prvega dogodka je ena, drugega pa niš. (Ce je vrtavka dvobarvna (pol/pol), je verjetnost dogodka, da se ustavi na eni izmed barv, enaka 2. V poskusu met kovanca je verjetnost dogodka, da „pade cifra", enaka 1. Verjetnost dogodka, da v poskusu met kocke „padejo tri pike", pa je 1. Z izvajanjem poskusov si ušenci pridobivajo izkušnje z napovedovanjem dogodkov (nemogoš, gotov, slučajni dogodek ...) in njihovih verjetnosti (verjetnost gotovega dogodka je ena, verjetnost nemogošega dogodka je niš, verjetnost slušajnega dogodka pa med niš in ena), pri ^emer se zavedajo pomena sste-vila ponovitev poskusa. Osnove napovedovanja dogodkov lahko vpeljemo oziroma povezemo s poznavanjem delov celote (npr. ciljanje v tarco), pri cemer ucenci tudi zapišejo verjetnost dogodka s številom ([4]).
V učnem načrtu ni med standardi znanja omenjen noben standard, ki bi se neposredno navezoval na verjetnost. Niti med nastetimi minimalnimi standardi ni nobenega s področja verjetnosti.
Ce pogledamo v učni načrt, sprejet leta 1998 ([3]), ki se mu veljavnost izteka, je področje verjetnosti veliko bolj skopo predstavljeno. V okviru teme Druge vsebine - obdelava podatkov je sklop Izkusnje s slucajnimi dogodki s čiljem Pridobiti izkusnje o numericno izrazeni verjetnosti. Po učnem načrtu naj bi se obdelala vsebina, ki obsega pojme: dogodek, izid; verjetnost (empiricni pristop); dogodek: nemogoč, gotov, enako verjeten itd. Pod spečialno didaktična priporočila in dejavnosti je zapisano zgolj: Ucenec/ucenka s poskusom ugotovi oz. oceni verjetnost dogodka (pri cemer se zaveda pomena stevila poskusov). Na podlagi analize s kombinatoricnim drevesom napove izide.
Učenje in poučevanje verjetnosti
V	nasi solski praksi ima učbenik vlogo, ki mu ne pripada. Veliko učiteljev se namreč pri pouku oziroma načrtovanju pouka pretirano zgleduje po uvajanju vsebin na način, kot je predstavljeno v izbranem učbeniku. Tako se na solah odločajo za učbenike, ki so „vseč" učiteljem in so večinoma (pre)bogato opremljeni z različnimi razlagami in dodatki ter „zanimivostmi", ki večine učenčev ne zanimajo, učitelji pa dobijo v njih dovolj informačij za izpeljavo pouka, ki je podrejen tem učbenikom. Namesto da bi učitelji kritično sprejemali, kar jim ponuja učbenik, (pre)mnogokrat neposredno prenasajo učenčem informačije iz učbenika in, zal, slepo zaupajo zapisanemu v njem, "ker je učbenik potrjen". V nadaljevanju si oglejmo nekaj spodrsljajev iz
učbenikov za matematiko za 9. razred osnovne sole. Besedilo, ki ga bomo dobesedno povzeli iz učbenikov, bomo zapisali s to pisavo.
Kocka 9, matematika za 9. razred osnovne sole
V verjetnost naj bi vstopili z zgledom: Anja in Jurij sta igrala Clovek ne jezi se. Anja je trdila, da bo zagotovo v prvem metu vrgla 6 pik.
Sledi pojasnilo: Anjina trditev temelji na njeni zelji, da bi zares ze v prvem metu vrgla 6 pik. Met kocke poimenujemo dogodek. Mogoč dogodek pri metu kocke je padec 1, 2, 3, 4, 5 ali 6 pik. Če pa kocka pokaze 6 pik, kot si je zelela Anja, je to ugoden izid.
Dodana je se preglednica in zapis pod njo:
Vseh mogocih dogodkov je 6, le eden pa ima za Anjo tudi ugoden izid. Mate-maticna verjetnost, da bo Anja ze v prvem poskusu vrgla 6 pik, je torej 1 : 6
ali 6.
Verjetnost je kolicnik med stevilom ugodnih izidov in številom vseh dogodkov.
Kot lahko vidimo, se ponuja izjemno nekorekten vstop v verjetnost. Osnovni pojmi iz verjetnosti, s katerimi naj bi učenci dopolnili matematični jezik, da bi se o verjetnosti pogovarjali in jo spoznavali, so napačno vpeljani. Met kocke je opredeljen kot dogodek namesto kot poskus, v nadaljevanju pa učence se zbegamo, saj je glede na opredelitev dogodka razumeti, da je mogoč dogodek pri tem dogodku (namreč metu kocke) padec 1, 2, 3, 4, 5 ali 6 pik, za nameček pa je zeleni mogoč dogodek (to je padec 6 pik) pri dogodku (metu kocke) ugoden izid.
Zdi se, da je besedna zveza „mogoč dogodek" napačno uporabljena namesto besede „izid". Tako bi morali zapisati: „Izid pri metu kocke je padec 1, 2, 3, 4, 5 ali 6 pik.", v preglednici pa namesto zapisa „Vsi dogodki" uporabiti „Vsi izidi". Pod preglednico bi morali zapisati: „Vseh izidov je 6, le eden pa je ugoden za Anjo." Verjetnosti ne bi smeli navdajati v obliki razmerja, definicijo pa bi morali zapisati: „Verjetnost je količnik med stevilom ugodnih izidov in stevilom vseh izidov."
V učbeniku je za tem se primer meta kovanca, ki se navezuje na primer Anje in Jurija z vprasanjem: Kaj pa ce bi metala kovanec in zelela, da pade podoba? Nadaljuje se analogna „zmesnjava", vključno s preglednico, v kateri ni naveden pravi ugoden izid - namesto „podobe" je „stevilka". Tako je zapisano: Ce bi metala kovanec, bi imela samo dve moznosti, pade lahko podoba ali stevilka.
Pri metu kovanca sta mogoca samo dva dogodka, ugoden pa je izid, ko kovanec kaže podobo. Od dveh izidov je za nas ugoden en sam, kar matematiCno zapišemo 1 ali 1 : 2.
Pri desetiskih ulomkih verjetnost lahko predstavljamo v odstotkih. Tako lahko reCemo: verjetnost, da bo kovanec pokazal podobo, je 50 %.
Poudariti je treba, da je verjetnost nenegativno število, ki ni večje od 1. Zapisujemo ga lahko v obliki ulomka ali z odstotki, pa tudi z decimalno številko (npr.: 8, 12,5 %, 0,125), zadnja zapisa včasih zaokroZamo na nekaj dečimalk natančno (npr.: 36, 2,78 %, 0,0278). Verjetnost je količnik in ne razmerje, zato zapis v obliki razmerja ni primeren. Pri uvajanju verjetnosti raje povejmo, da je ugoden npr. en izid izmed dveh ali en izid izmed (šestih, kar zapisemo v obliki 2 ali 1.
Zanimivo sta uvedena gotov in nemogoč dogodek: Kadarkoli vrzemo kovanec, bo zagotovo padel na eno stran. Dogodek, ki se zagotovo zgodi, imenujemo gotovi dogodek. Verjetnost gotovega dogodka je 100 % in jo lahko zapisemo s stevilom 1.
Verjetnost, da pade stevilka pri metu kovanca, je torej:
Pri metu kovanca je enaka verjetnost, da pade podoba, kot da pade stevilka. Ugodna izida sta vedno enako verjetna.
Pri metu kovanca ni moznosti, da bi kovanec ostal v zraku. Dogodek, ki se ne more zgoditi, imenujemo nemogoči dogodek.
Po tej razlagi je gotov dogodek pri metu kovanča, da le-ta pade na eno stran, nemogoč pa, da le-ta ostane v zraku. V pojasnilu k izračunu verjetnosti, da pade stevilka, je nemarno zapisano, da je stevilo 1 gotov dogodek namesto verjetnost gotovega dogodka.
Bolje bi bilo, če bi gotov dogodek v tem primeru opisali s „Pade podoba ali stevilka" ali „Pade katerakoli stran", nemogoč pa z „Ne pade ne podoba ne stevilka".
Eden izmed zgledov, s katerim naj bi razjasnili nekatere osnovne pojme o verjetnosti, je podan tako:
V vrecki je 6 belih in 9 crnih zetonov.
a) Koliksna je verjetnost, da na slepo iz vrecke potegnemo crne zetone?
b) Kolikšna je verjetnost, da potegnemo bel žeton?
Takoj opazimo, da prvo vprašanje ni jasno, saj ne vemo, ali potegnemo vse CCrne zzetone. Iz postopka reSevanja se sicer izkaZe, da bi moralo pisati: ... iz vrečke potegnemo črn žeton. Iskanje odgovora na prvo vprasanje nas takoj preseneti, saj je zapisano: V vrecki je skupaj 15 žetonov, torej je vseh dogodkov 15. UCenec tako dobi zmotno prepriCanje, da je stevilo dogodkov pri poskusih, ko vleCemo zetone ali kroglice iz vreCke, enako stevilu zetonov ali kroglic v vreCki, kar seveda ne drzi. Do odgovora nas vodi zapis: Za nas je ugoden izid, ce izvlečemo crn žeton, teh pa je 9. Verjetnost, da potegnemo crn žeton, je torej 15 = 5 ali 60 %. Ta sicer napaCen premislek je v skladu z zapisom na robu strani uCbenika, kjer je povzeta napaCna definicija verjetnosti, po kateri stevilo ugodnih izidov delimo s stevilom vseh mogočih dogodkov, za nameCek pa je dodana se „formula": verjetnost = Vgj^dOgeOZd'ki.
Veliko enostavneje bi bilo, Ce bi se naslonili na intuicijo in preprosto zapisali: "Ker je 9 izmed 15 zetonov Crnih, je verjetnost, da na slepo izvleCemo Crn zeton, enaka 15 = 3 ali 60 %." Za uCence je tak razmislek veliko bolj jasen kot pa zapleteno in strokovno oporeCno ovinkarjenje.
NiC manj „raztresenosti" ni v iskanju odgovora na drugo vprasanje: Iž vrečke vedno potegnemo crn ali bel žeton, kar imenujemo gotovi dogodek. Verjetnost gotovega dogodka je vedno 1. Zato lahko verjetnost, da ižvlecemo bel žeton, ižracunamo kot ražliko: 1 — | = |. Na koncu je sicer spodrsljaj, ki nakazuje na nedoslednost pri „prevajanju", saj se pojavi kar frnikola: Verjetnost, da iž vrečke na slepo ižvlecemo crn žeton, je 5, ža belo frnikolo
pa 5.
Skrivnosti stevil in oblik, učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne sole
Že v napovedi je zapisano, da bomo v poglavju o verjetnosti med drugim izvedeli, kdaj je dogodek slucajen, kdaj je gotov in kdaj nemogoc, Ceprav je najbrz misljeno, da naj bi izvedeli, kateri dogodek (pri nekem poskusu) je sluCajen, kateri gotov in kateri nemogoC.
Ob nastevanju dogodkov, ki se zgodijo v poskusu vrži posteno igralno kocko, so po vrsti zapisani standardni elementarni dogodki, zmoti pa zava-jajoCa slika, ki naj bi loCevala posteno igralno kocko od nepostene.
poštena igralna kocka nepoštena igralna kocka
Kot vemo, poštenost običajne igralne kočke pomeni, da se vsak izid zgodi z verjetnostjo 6 oziroma da se po metu kočke vsaka njena mejna ploskev z enako verjetnostjo postavi na „zgornjo stran". Ce je na dveh mejnih ploskvah postene igralne kočke 6 ]3ik, je pač verjetnost, da pade 6 pik, enaka 3. Morda bi bilo dobro opozoriti, da je predstavljena mreza postene igralne kočke neobičajna. Običajna igralna kočka ima namreč na nasproti lezečih mejnih ploskvah skupaj 7 pik.
V	nadaljevanju srečamo nekaj nedomisljeno oblikovanih povedi, na primer „Če bi imeli v skledi same rumene kroglice, bi bila na slepo izvlecena kroglica vedno rumene barve" kot opis gotovega dogodka. Ce je namreč izvlečena krogliča rumena, je le-ta vedno rumene barve, razen če jo prebarvamo ali zbledi. Bolje bi bilo zapisati, da bi bila na slepo izvleCena kroglica zagotovo rumena (saj je predpostavljeno, da so v skledi same rumene kroglice).
Izrazoslovje je vprasljivo tudi v povedih „Ker so v skledi 4 rumene in 4 bele kroglice, je nakljuCno izvleCena kroglica ali rumene ali pa bele barve. Izbor barve bi bil nakljucen - slucajen, zato recemo, da je taksen dogodek slučajen dogodek". Tako ni jasno, kaj slučajen dogodek sploh je - ali je to omenjeni nakljuCen izbor barve? Raje bi zapisali: „Ker so v skledi 4 rumene in 4 bele krogliče, je naključno izvlečena krogliča ali rumene ali pa bele barve. Dogodek Izvlecena kroglica je rumena se zgodi, če naključno (slučajno) izvlečemo krogličo rumene barve, sičer pa ne. Zato je ta dogodek slučajen dogodek. Podobno ugotovimo, da je dogodek Izvlečena kroglica je bela slučajen."
Sledijo se večje nejasnosti, saj popolnoma izgubimo rdečo nit. Po besedilu v učbeniku naj bi namreč verjetnost slucajnega dogodka lahko napovedovali empiricno (s poskusanjem) ali teoreticno. Avtorji opisejo empirično napovedovanje verjetnosti dobesedno tako: „Opravimo veliko število ponovitev poskusa in si sproti zapisujemo ali se dani dogodek zgodi ali ne. Izracunamo kolicnik med frekvenco dogodka in stevilom vseh izvajanj poskusa", teoretično pa: „Verjetnost slucajnega dogodka poskusamo oceniti, ne da bi v resnici izvedli poskuse. To lahko naredimo v primerih, kjer ni nobenega razloga, da bi se en elementarni dogodek zgodil veckrat kot drugi (met kovanca ali igralne kocke)".
Prečejsnja zmeda je tudi v navedeni klasiCni definiciji verjetnosti, saj je najprej zapisano: „Kadar so posamezni izidi enakovredni glede moznosti, da se zgodijo, je verjetnost slucajnega dogodka kolicnik med stevilom ugodnih izidov (m) in stevilom vseh moznih elementarnih dogodkov (n) v nekem poskusu", sledi pa formula:
p(A)_ stevilo moznih ugodnih dogodkov = m stevilo moznih elementarnih dogodkov n
V	učbeniku sledi definičija frekvenče dogodka na posebnem zgledu, čeprav je bil ze v opisu t. i. empiricnega napovedovanja verjetnosti govor o frekvenči, nato pa popolnoma nekonsistentna definičija relativne frekvenče,
saj je navedeno: „Zapišemo količnik med številom ugodnih izidov za dogodek in številom vseh ponovitev poskusa", za tem pa ulomek:
frekvenca dogodka
število vseh ponovitev poskusa '
ki je poimenovan relativna frekvenca dogodka in katerega vrednost H = 1 = 0,2 je izračunana za posebni zgled (Pri igri Človek ne jezi se, je Špela 3-krat v 15-tih metih kocke vrgla sestico). Očitno gre za „neločevanje" med ugodnimi izidi in frekvenco dogodka, pa tudi za nerazumevanje pojma relativna frekvenca, saj lahko preberemo razlago „V zapisanem primeru je Špela opravila le 15 ponovitev poskusa. Če se zelimo priblizati tocni vrednosti za relativno frekvenco, moramo izvesti veliko vecje stevilo poskusov (npr. tisoc)" in se poseben povzetek „Relativna frekvenca je kolicnik med stevilom ugodnih izidov za dogodek in stevilom vseh ponovitev poskusa. Racunamo jo le pri enakovrednih dogodkih. Relativna frekvenca doloca teoreticno verjetnost."
Pa smo pred dilemo: najprej je bilo teoretično napovedovanje verjetnosti opisano z „Verjetnost slucajnega dogodka poskusamo oceniti, ne da bi v resnici izvedli poskuse", čeprav ni bilo pojasnjeno, kako to dejansko napravimo, iz tega povzetka pa naj bi teoretično verjetnost določali z relativno frekvenčo. Ali gre za isti pojem?
Niti z resenima primeroma si pri razjasnjevanju pojmov ne moremo pomagati, prej nasprotno. Že besedilo prvega primera je nejasno in matematično sporno. Tako gre:
Mecem dve igralni kocki. Koliksna je verjetnost, da je vsota pik na obeh kockah 5?
a)	Opravi 100 poskusov in ugotovi, kolikokrat je ugoden izid.
b)	Narisi kombinatoricno drevo za vse mozne izide.
c)	Doloci verjetnost dogodka na osnovi meritev.
c)	Doloci relativno frekvenco in napovej teoreticno verjetnost.
d)	Primerjaj, ali si se pri izvajanju poskusa priblizal teoreticni verjetnosti.
Kdor je usvojil prave verjetnostne pojme in končepte, najbrz ne zna resiti
naloge. Porajajo se mu vprasanja: Zakaj je treba opraviti 100 poskusov, da bi ugotovili, kolikokrat je ugoden izid in kateri izid sploh? Kako naj določimo verjetnost dogodka na osnovi meritev - katerih meritev, kaj naj merimo? Kako z relativno frekvenčo napovemo teoretično verjetnost - kaj sploh je teoretična verjetnost? Ce relativna frekvenča določa teoretično verjetnost, ni kaj napovedovati. Kako naj primerjamo, ali smo se pri izvajanju poskusa priblizali teoretični verjetnosti?
Poglejmo resitev primera, kakor je navedena v učbeniku:
a) opravimo poskuse, stevilo padlih pik zapisemo v preglednico in obarvamo stolpec, ce je vsota pik na obeh kockah 5.
Sledi pregledniča v 4 delih, ni pa nikakrsnega pojasnila. Nemara je treba presteti, koliko stolpčev je obarvanih, a na ta način prestejemo, da se je ome-
njeni dogodek zgodil 12-krat, ne izvemo pa, kako ugotovimo, kolikokrat je ugoden izid. Pozoren bralec bi sicer nasel napako Ze v barvanju stolpcev, saj eden izmed stolpcev v tretjem delu preglednice ni obarvan, ceprav v njem nastopata stevili 4 in 1.
št. pik 1. kocke	1	6	3	5	5	3	I 4	4	6	6	5	2	4	6	3	6	4	1	4		1 3		4	2	6
št. pik 2. kocke	1	1	4	5	6	2	3	6	3	2	2	3	6	2	5	1	5	1	5	i ! 2	1 2		1	3	6
																									
št. pik 1. kocke	2	1	6	1	6	4	6	1	4	f 1	5	4	4	4	4	2	3	5	2	2	6	5	2	2	5
št. pik 2. kocke	1	1	2	5	3	4	3	1	1	5	6	2	3	5	4	5	3	3	5	3	4	2	6	4	2
št. pik 1. kocke	6	3	1	3 '	6	6	4	3	5	3	4	1	2	5	3	6	2	5	4	1 5	2	4	3	3	6
št. pik 2. kocke	2	4	4	2	3	4	5	3	5	1	6	1	4	1	4	4	4	2			6	1	3	4	5
																									
št. pik 1. kocke	3	5	3	4	6	2	6	1	5	1	4	4	4	6	3	1	1	5	1	1	4	2	4	6	5
št. pik 2. kocke	1	1	1	6	2	6	6	5	4	4	2	3	3	4	1	1	1	4	2	3	3	6	4	1	5
b) narišemo kombinatoricno drevo vseh možnosti za met dveh kock. Vidimo, da je vseh možnosti 36.
c)	Vsota 5 pik je padla 12-krat v 100 poskusih, zato je verjetnost na osnovi meritev
P (Am) = 11| = 0,12 = 12 %.
Glede na resitev je torej verjetnost dogodka na osnovi meritev pravzaprav kar relativna frekvenca in ni jasno, zakaj je tako poimenovana.
C) Ugodne možnosti za vsoto 5 pik so stiri: 1,4 2, 3 3, 2 4, 1. IzraCunamo relativno frekvenco P (A) = 36 = 0,1 = 11,1 %.
Tu ni kaj dodati, saj je v resnici izracunana verjetnost po klasicni definiciji, ki jo avtorji napacno imenujejo relativna frekvenca.
d)	Izracunamo; koliksen del teoreticne verjetnosti je verjetnost pri merjenju. P (Am) = P (A) = 36 i1i) : 36 = 1,08 = 108 % Teoreticna
verjetnost se od dejansko izmerjene verjetnosti razlikuj^za 8 %.
Verjetno si to znajo razloziti le pisci ucbenika. Ce privzamemo, da je P (Am) verjetnost pri merjenju, pa karkoli ze to je, je torej P (A) teoretična
verjetnost, da smo lahko izračunali, kar je zahtevano pod d). Pod č) je isti P (A) imenovan relativna frekvenca ... Oglejmo si se drugi primer:
Rok je v zrak hkrati metal dva kovanca za 50 centov, Špela pa je v tabelo zapisovala dogodke, ki so se pri tem zgodili.
a)	dogodek A: na obeh kovancih pade Triglav
b)	dogodek B: na obeh kovancih pade števka	(: L^i^i
c)	dogodek C\ na enem od kovancev pade Triglav, na drugem pa Stevka
Poskus sta ponovila stokrat.
Z raCunanjem verjetnosti ugotovi, ali sta se pri izvajanju poskusa priblizala pričakovanim rezultatom.
Pred samo rešitvijo primera je v učbeniku dodano:
Seveda se takoj vprasamo, o katerih resitvah je govor; najbrz so misljeni izidi pri metu dveh kovančev. Iz pregledniče naj bi razbrali, kolikokrat se je zgodil posamezni izid. Nekoliko nejasno je, kako je Spela vedela, na katerem kovanču je padla stevilka, če nista na obeh kovančih padli stevilki - ali sta bila kovanča označena? Pozoren braleč opazi, da je namesto besede številka napačno uporabljena beseda števka.
Naj navedemo le resitev a), kot je zapisana v učbeniku, drugi dve sta reseni analogno.
/^'UgoderT
Rešitev:	^iL^dogod^
a) Izračunamo verjetnost za dogodek A: P(A) = ^ = 0,25.
možm dogo^
Izmerjena verjetnost dogodka A. P(AJ = ^ = 0,28.
Pri izvajanju poskusa A Rok in Špela nista dobila pričakovanega rezultata. Verjetnost pri meritvah je 112 % (0,28 : 0,25) izračunane verjetnosti, torej sta se zmotila za 12 %.
Spet ostanemo brez besed, zlasti ob dodatku ... sta se zmotila za ... Zelo nenavadne so tudi nekatere naloge za vajo. Navedimo dve:
Zapisi vse možne dogodke za vsak poskus.
a)	Rok obiskuje pouk
b)	učiteljica pisno ocenjuje
c)	Špela naključno izbere osebo iz njene nivojske skupine
Ce n^,pokukamo" v resitve, bi stezka uganili, kateri so vsi mozni dogodki za poskus Rok obiskuje pouk. A resitev je sila preprosta: Rok je pri pouku, Rok ni pri pouku. Sedaj bi morda braleč nastel tudi vse mozne dogodke za poskus učiteljica pisno ocenjuje.
Iz kupa 32 igralnih kart (komplet vsebuje 4-krat: kralj, dama, fant, as, 10, 9, 8, 7) 100-krat na slepo izvleci eno karto, jo poglej, zapisi, katera je, in karto vrni.
a)	v razpredelnico zapisuj vse dogodke
b)	izracunaj verjetnost za dogodek A: izvlecena karta je kralj
c)	na osnovi podatkov v razpredelnici izracunaj, kolikokrat se je zgodil dogodek A
c) za koliko se razlikujeta rezultata pri b in c?
Resevaleč je pred dilemo, ali naj po vrsti zapisuje vse dogodke, ki se lahko zgodijo, če izvlečemo karto iz kupa 32 kart, ali naj sproti zapisuje, kateri dogodek se je dejansko zgodil pri posamezni ponovitvi poskusa. Pod točko b je najbrz misljena ena izvedba poskusa, ni pa jasno, kaj pravzaprav pove razlika rezultatov pri b in č oziroma zakaj primerjamo verjetnost dogodka A s frekvenčo tega dogodka pri 100 ponovitvah poskusa.
Nasploh je v opisanem delu toliko protislovij in nekorektno vpeljanih pojmov, da bi bilo treba vse pojme uvesti povsem na novo in sistematično ter se pri tem opreti na nek^,znani" poskus, na primer met (postene igralne) kočke. Frekvenčo dogodka in relativno frekvenčo dogodka bi morali navezati na stevilo ponovitev poskusa, statistično verjetnost dogodka pa bi opredelili z relativno frekvenčo pri dovolj velikem stevilu ponovitev poskusa. Pri matematični (klasični) verjetnosti bi si lahko pomagali s pregledničo, kot je podana v prej omenjenem učbeniku Kocka 9, le da je treba besedno zvezo Vsi dogodki" zamenjati z Vsi izidi". V nadaljevanju bi morali biti primeri in naloge za vajo podani konsistentno in strokovno pravilno, prvi primer bi zapisali na primer:
Mečem dve igralni kocki. Kolikšna je verjetnost dogodka Vsota pik na obeh kockah je enaka 5"?
a)	Nariši kombinatorično drevo za vse močne izide.
b)	Določi matematično verjetnost omenjenega dogodka.
c)	Opravi 100 poskusov in preštej, kolikokrat seje zgodil omenjeni dogodek.
č) Določi relativno frekvenco omenjenega dogodka.
d)	Primerjaj matematično verjetnost z relativno frekvenco.
Resitve primerov bi morale biti opremljene s koristnimi komentarji, ki bi bili učenču v pomoč pri utrjevanju posameznih pojmov iz verjetnostnega računa.
Sklep
Naj poudarimo, da ni bil nas namen kakorkoli soditi o „potrjenih" učbenikih za osnovno solo. Dotaknili smo se le poglavja o verjetnosti iz tistih dveh učbenikov, katerih fotokopirane strani je prejela predmetna komisija za matematiko, ki pripravlja gradivo za izvedbo načionalnega preverjanja znanja matematike in oblikuje navodila za vrednotenje izdelkov učenčev. Braleč lahko ze iz dobesedno povzetih besedil presodi, da niti uporabljeni jezik ni najboljsi. Primeri, s katerimi naj bi učenči vstopili v verjetnost, so dovolj elementarni in zato primerni za seznanitev z osnovnimi pojmi, a se, zal, ti pojmi uvajajo nepravilno in nekorektno. Učenči zato usvojijo napačne začetne pojme iz verjetnosti, sposobnejsi pa najbrz opazijo nelogične povezave med navedenimi definičijami in upati je, da pridejo do pravih informačij.
Seveda nas mora skrbeti, če se učenči naučijo izkrivljene matematične končepte, saj z njimi lahko dosezejo kvečjemu matematično polpismenost in zelo luknjičave strategije resevanja (realističnih) problemov. Učitelji bi morali opozoriti učenče na vsako napako v učbeniku in jih poučiti, kako je pravilno. Ker so učbeniki v t. i. učbeniskih skladih, bi bilo treba ob prvi uporabi učbenikov vsaj označiti nepravilnosti. Sičer pa je skoraj neverjetno, da se lahko besedila s toliko nejasnosti ter strokovnih nepravilnosti in nekorektnosti sploh znajdejo v učbenikih.
LITERATURA
[1]	J. Berk, J. Draksler in M. Robic, Skrivnosti SStevil in oblik, učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne Sole, Rokus Klett, Ljubljana, 2010.
[2]	M. Dornik, T. Smolej, M. Turk in M. Vehovec, Kocka 9, matematika za 9. razred osnovne Sole, Modrijan, Ljubljana, 2008.
[3]	G. TomSiC, M. CotiC, Z. Magajna in A. Zakelj, UCni naCrt: program osnovnošolskega, izobruževa/nja. Matematika, Ministrstvo za Solstvo, znanost in Sport : Zavod RS za solstvo, Ljubljana, 2002.
[4]	A. Zakelj et al., Program osnovna sola - matematika - uCni načri, Ministrstvo za solstvo in sport : Zavod RS za solstvo, Ljubljana, 2011.
http://www.obzornik.si/