i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:41 — page 24 — #1 i
i
i
i
i
i
NOVE KNJIGE
I. Swanson, Introduction to Analysis with Complex Numbers, World Sci-
entific, New Jersey in drugje, 2021, 456 strani.
Knjiga je vsebinsko zaokrožena, samo-
stojna celota, ki obsega standardne vse-
bine začetne matematične analize, kot so
funkcije, zaporedja in vrste, vključene pa
so tudi konstrukcije naravnih, celih, raci-
onalnih, realnih in kompleksnih števil ter
ne nazadnje tudi matematična logika, ki
jo uspešno uporablja pri strogem doka-
zovanju. Nekaj dokazov je v posebnem
tisku razširjenih s podrobneǰsimi poja-
snili, ki se običajno avtorjem ne zdijo po-
trebna, bralcu pa pomagajo, da se laže
prebije do končnega sklepa.
Knjiga, napisana za študente na Reed
Collegeu v Portlandu v državi Oregon,
kjer je avtorica predavala v letih 2005–
2020, je prežeta s številnimi vzorno izde-
lanimi primeri in skrbno izbranimi nalogami za bolǰse razumevanje snovi.
Prav zaradi nekoliko drugačne obravnave, kot smo je navajeni iz naših in
tujih standardnih učbenikov analize, bo morda delo zanimivo tudi za naše
profesorje in študente. Dobesedno nas namreč uči, kar včasih v standardnih
učbenikih pogrešamo, kako na podlagi logike iz aksiomov in že dokazanih tr-
ditev natančno poteka dokaz, predvsem pa, kako le-tega čim bolj razumljivo
zapisati. V ta namen je v knjigi prisotnih tudi veliko nalog, ki zahtevajo
dokaz neke trditve.
Knjiga je smiselno razdeljena na deset poglavij in dva dodatka. Prvi dve
poglavji obravnavata osnove matematike. Velik poudarek je na logiki, ozna-
kah v matematiki, teoriji množic, pojmih relacije in funkcije ter metodah
dokazovanja.
Tretje poglavje se začne s konstrukcijo množice naravnih števil N0 na
podlagi teorije množic. S principom indukcije je nato zgrajena aritmetika
v N0. Urejen kolobar celih števil Z vpelje z urejenimi pari celih števil, to
se pravi s kartezičnim produktom N0 ×N0, v katerem definira ekvivalenčno
relacijo, katere razredi so cela števila. Nato razvije vso aritmetiko celih
24 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:41 — page 25 — #2 i
i
i
i
i
i
Introduction to Analysis with Complex Numbers
števil. Prav tako vpelje urejeno polje racionalnih števil Q z urejenimi pari v
kartezičnem produktu Z×(Z\{0}), v katerem definira ekvivalenčno relacijo,
katere ekvivalenčni razredi so racionalna števila. Urejeno polje realnih števil
R vpelje z Dedekindovimi rezi. Dedekindov in Arhimedov aksiom postaneta
s tem izreka. Dokazan je izrek o obstoju korenov pozitivnih števil. Polje
kompleksnih števil C seveda uvede korektno s kartezičnim produktom R ×
R. V C definira osnovne aritmetične operacije, konjugiranje in absolutno
vrednost. Uvede kompleksno ravnino in njeno topologijo ter polarni zapis.
Poglavje se konča s Heine–Borelovim izrekom.
Četrto poglavje je posvečeno limiti funkcije kot enemu od osrednjih poj-
mov v matematični analizi. Že na začetku definira limito kompleksne funk-
cije kompleksne spremenljivke. Za realne funkcije realne spremenljivke de-
finira levo in desno limito. Obravnava tudi primer, ko število ni limita neke
funkcije. Pri tem opozarja na natančnost definicij, ker vsaka pomanjkljivost
v izražanju lahko spremeni pomen. Sledijo običajni limitni izreki. Poglavje
se konča z neskončno limito realne funkcije realne spremenljivke in limito v
neskončnosti kompleksne funkcije kompleksne spremenljivke.
Peto poglavje obravnava zveznost funkcije. Po definiciji zveznosti in
izreku, ki se naslanja na pojem limite funkcije, sledijo običajni izreki za
zvezne funkcije, izrek o ekstremni vrednosti, izrek o povprečni vrednosti,
definicija in zveznost korenskih funkcij in na koncu še enakomerna zveznost.
Šesto poglavje se ukvarja z odvajanjem funkcij. Odvod definira kar za
kompleksno funkcijo kompleksne spremenljivke. Izpeljana so običajna pra-
vila za odvajanje, pravilo za odvajanje sestavljene funkcije in pravilo za
odvod inverzne funkcije. Dokazani so izrek o povprečni vrednosti (nam bolj
znan kot Lagrangeev izrek), Darbouxov izrek, Rollov izrek, dve varianti
Cauchyjevega izreka in l’Hôpitalovi pravili. Na koncu poglavja so na vrsti
odvodi vǐsjega reda in Taylorjevi polinomi.
V sedmem poglavju je najprej na vrsti določeni integral za realne funkcije
realne spremenljivke, in sicer s spodnjimi in zgornjimi integralskimi vsotami
glede na dano delitev integracijskega intervala. Dokazana so osnovna pra-
vila integriranja in osnovna izreka integralskega računa. Definirani so tudi
posplošeni (izlimitirani) integrali in integral kompleksne funkcije realne spre-
menljivke. V tem poglavju so z integralom definirani naravni logaritem, ek-
sponentna funkcija kot njegov obrat in splošna potenčna funkcija. Poglavje
zaključuje uporaba integrala za računanje dolžine krivulje in prostornine ter
površine rotacijskih teles.
Osmo poglavje obravnava zaporedja. Kompleksno zaporedje uvede kot
Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1 25
i
i
“Razpet” — 2021/6/4 — 8:41 — page 26 — #3 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
kompleksno funkcijo, definirano na množici N0. Pojasni, da se da pozi-
tivna racionalna števila obravnavati kot zaporedje. Definira konvergentno
zaporedje in njegovo limito. Prav tako divergentno zaporedje in neskončno
limito. Izpelje pravila za računanje z limitami. Dokazani so izreki za mo-
notona, omejena in Cauchyjeva zaporedja. Na koncu poglavja so vpeljana
še podzaporedja ter spodnje in zgornje stekalǐsče realnega zaporedja.
Predzadnje, deveto poglavje se ukvarja s številskimi in potenčnimi vrsta-
mi. Vpelje pojma konvergentne vrste in njene vsote ter pojem divergentne
vrste. Dokaže pravila za računanje z vrstami in nekaj konvergenčnih testov.
Definira pojem absolutne konvergence in dokaže izrek o ohranitvi vsote take
vrste pri poljubni permutaciji njenih členov. V nadaljevanju sledijo kom-
pleksne potenčne vrste, konvergenčni polmeri, odvajanje potenčnih vrst,
množenje potenčnih vrst, Taylorjeve vrste, uporaba potenčnih vrst.
V zadnjem, desetem poglavju spoznamo, kako s teorijo potenčnih vrst
vpeljemo eksponentno in trigonometrične funkcije. Vpeljano je število π
kot dvakratnik najmanǰse pozitivne ničle funkcije kosinus, ki je definirana
s potenčno vrsto. Pokazano je, kako lahko razvijemo vso trigonometrijo, če
izhajamo iz eksponentne vrste. Definirane so tudi ciklometrične funkcije in
izračunani so njihovi odvodi.
Prvi dodatek vsebuje kratka navodila, kako pravilno pǐsemo matema-
tična besedila, kako pravilno uporabljamo simbole, kako matematiko študi-
ramo, kaj smemo početi in česa ne, kako pravilno dokazovati in podobno.
Drugi dodatek je zbirka osnovnih pravil matematične logike in najpomemb-
neǰsih formul infinitezimalnega računa. Na koncu knjige najdemo seznam
uporabljenih oznak in stvarno kazalo. Knjiga je dosegljiva v nekoliko kraǰsi
obliki na svetovnem spletu na naslovu: www.math.purdue.edu/~gcavigli/
Swanson.pdf.
Avtorica knjige je naše gore list, Irena Šifrar Swanson, doma v Čreti v
občini Hoče–Slivnica, nekdanja dijakinja II. gimnazije Maribor. Leta 1982
je odpotovala na izmenjavo v ZDA, kjer je študirala matematiko in leta 1992
doktorirala. Tam je postala uspešna profesorica matematike. Podrobnosti
lahko najdemo na svetovnem spletu. Njeno glavno področje matematič-
nih raziskav so komutativne algebre. Imeli smo jo priložnost spoznati leta
2009 na Bledu, kjer je potekalo strokovno srečanje ob 60-letnici ustanovitve
DMFA Slovenije, pa tudi kot gostujočo profesorico v Ljubljani istega leta.
Na Bledu je predstavila temo z naslovom Celostno zaprtje kolobarjev.
Marko Razpet
26 Obzornik mat. fiz. 68 (2021) 1