Izkušnje 42 Vzgoja, september 2020, letnik XXII/3, številka 87 Že vrsto let poučujem matematiko in opažam, da dijaki prihajajo iz osnovne šole s pomanjkljivim znanjem pri tem predmetu. Morda zato, ker se vedno več učencev uči na pamet, to pa ostane le v kratkoročnem spominu. Matematiko se je težko učiti na pamet, sem pa že večkrat zasledila, da se dijaki učijo 'recept za reševanje računa'. Težave s snovjo pri pouku matematike Ana Radovčič je prof. matematike in računalništva ter prof. inkluzivne pedagogike. Osem let poučuje matematiko na Srednji šoli Izola. Pri matematiki je osnovno znanje temelj za vsako nadaljnjo snov. Matematika je po- dobna gradnji hiše; postaviti je treba dobre temelje, na katerih se gradi naprej. Brez temeljev ni mogoče zgraditi hiše. Tudi pri matematiki je brez osnov težko razumeti zahtevnejšo snov. Vsako leto v prvem letni- ku srednje šole ponovimo snov iz osnovne šole, dodatno razložimo nejasnosti pri osnovah in nadgradimo že znano snov. Le tako lahko nadaljnja tri leta dijake nau- čim povezovanja in reševanja težjih nalog. Snov, ki jo potrebujemo vsa štiri leta, zaje- ma npr. vietovo pravilo, ulomke, kvadrat vsote in razlike, računanje s potencami … Prvi letnik je osnova Vsako leto v prvih letnikih porabim več ur za razlago snovi, za katero vem, da je zelo po- membna pri nadaljnjem učenju. Dijake zelo rada učim po naslednjem postopku: najprej sama razložim snov, naredim prvi primer ob razlagi, nato pa kličem dijake pred tablo, da rešujejo naloge. Tako vidim, ali so snov ra- zumeli. Če je kdo od njih ni dobro razumel, mu jo ponovno razložim. S tem pridobim tudi pozornost ostalih dijakov v klopeh, da dvakrat ali trikrat slišijo razlago. Vedno jim povem, da snov raje razložim enkrat preveč kot enkrat premalo. Morda je tudi kdo, ki je med razlago klepetal ali gledal na telefon, pa ga nisem opazila. Ta ima možnost ponovno slišati razlago in jo tudi razumeti. Ko opa- zim, da so vsi dijaki razumeli snov, jim dam nov, težji primer in nato rešujejo težje naloge na tablo. Tak sistem poučevanja uporabljam že mnoga leta. Ugotovila sem, da morajo di- jaki tako poslušati in se truditi. Ko namreč pridejo pred tablo, si želijo rešiti nalogo, da meni in sošolcem pokažejo znanje. V prvem letniku je dijakom še nerodno, saj se ne po- znajo med sabo. Dokler se ne navadijo na sistem, se pritožujejo, zakaj morajo hoditi pred tablo. Na sredini šolskega leta pa ugo- tovijo, da je to zanje pozitivno, da se na ta način več naučijo, in če česa ne razumejo, z veseljem prosijo za dodatno razlago. V višjih letnikih se veselijo reševanja nalog na tablo; so dnevi, ko bi lahko rekla, da tekmujejo, kdo bo prvi prišel pred tablo. Snov, ki jo potrebujejo vsa štiri leta V prvem letniku dijaki ponovijo in obno- vijo znanje, ki ga bodo potrebovali prav vsa štiri leta. Osredotočila se bom na raču- nanje z izrazi, predvsem na kvadrat vsote in razlike. Pri podani snovi jim razložim, da morajo pri računanju kvadrata vsote in razlike to zapisati na naslednji način: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 in (a − b) 2 = a 2 − 2ab +b 2 . Povem jim, da bomo kvadrat vsote in razli- ke uporabljali vsa štiri leta in je to zelo po- membno pri nadaljnjem računanju. Skupaj ponovimo zapis, opozorim jih, da to nika- kor ni isto, kot če zapišejo (a + b) 2 = a 2 + b 2 . Kljub temu jih še vedno kar nekaj naredi to napako. V eni šolski uri to ponovim večkrat. Ko dijak pride pred tablo in računa narobe, počakam, ali ga bo popravil kdo od ostalih dijakov. Če se to ne zgodi, z rdečim floma- strom prečrtam rezultat, naredim tri klicaje in napišem pravilno. Povem jim, naj enako naredijo tudi v zvezek, saj bodo le tako ob učenju doma pozorni na napako. Razložim jim, da lahko kvadrat vsote in razlike rešu- jejo tudi tako, da napišejo dva enaka okle- paja in množijo vsakega z vsakim. Dam jim možnost, da se vsak sam odloči, kateri na- čin bo uporabil. Pomembno je, da pridejo do pravilnega rezultata. Po predani snovi jim vedno dam domačo nalogo, ki jo nare- dijo do naslednje šolske ure. Že na začetku šolskega leta dijakom povem, da je pisanje domačih nalog obvezno, saj je to edini na- čin, da se sproti učijo. V prvem letniku tra- ja nekaj časa, da začnejo pisati naloge. Ker pa vztrajam in redno pregledujem, kdo jih je naredil in kdo ne, čez čas velika večina začne pisati domače naloge. Menim, da je sprotno utrjevanje snovi dolgoročno boljše, saj se kasneje, ko se srečajo z že znano snov- jo, veliko prej spomnijo, kako se lotiti nalo- ge. Če se dijaki učijo en dan pred testom, kasneje večino naučenega pozabijo. Pri nekaterih urah dam dijakom samostoj- no delo. Medtem ko rešujejo naloge, hodim po razredu in jih nadzorujem. Tako vidim, kdo rešuje naloge in kdo ne. Do dijaka, ki ne dela, pristopim in ga vprašam, zakaj ne rešu- je nalog. Če se izgovarja, nato pa vseeno zač- ne delati, grem dalje. Če pa vidim, da ne ra- zume, mu dodatno razložim snov, da bo tudi on razumel. Ko imamo naslednjič samostoj- no delo, tega dijaka presedem k sošolki/so- šolcu, za katerega vem, da mu matematika 'leži', in nalogo rešujeta v paru. Delo v paru najraje razporedim tako, da sodelujeta dijak, ki snov razume, in dijak, ki jo slabše razume. Le tako spodbudim, da si pomagata. Z de- lom v paru jih tudi spodbujam, da se naučijo pomagati sočloveku in da znajo deliti znanje. Višji letniki pri razumevanju stare snovi V višjih letnikih razlagam že obravnavano snov tako, da dijake vključim v razlago. Z Izkušnje Vzgoja, september 2020, letnik XXII/3, številka 87 43 vprašanji jih vodim do pravilnih odgovorov. V večini primerov mi tako uspe razložiti staro snov. Skupaj gremo čez snov, povem jim, na kaj morajo paziti, rešimo osnov- ni primer, nato pa snov apliciram na novo poglavje, v katerem se uporabi staro znanje. V edno zahtevam, da si vse zapišejo v zvezek. Kar je zelo pomembno, si dijaki zapišejo z rdečim pisalom in označijo s tremi klicaji. Tako pri učenju doma takoj vidijo, na kaj morajo biti pozorni. V višjih letnikih dija- kom poleg samostojnega dela in dela v paru pri določeni snovi dovolim uporabljati te- lefone. Lahko si namestijo aplikacijo Pho- tomath (veliko jih to že pozna in jo imajo na telefonu). Razložim jim, da je zelo po- membno, da sami rešujejo naloge, in ko pri- dejo do težav ali do napačne rešitve, primer poslikajo z aplikacijo, ta pa jim pokaže po- stopek reševanja ter pravilno rešitev. Tako dijaki lahko pogledajo, kje so naredili na- pako, jo popravijo ter nalogo pravilno rešijo do konca. Poudarim, naj ne prepisujejo reši- tev iz aplikacije, ampak naj z njeno pomočjo le popravijo napako. Tako se naučijo, da ko pridejo do napake, ne obupajo in nehajo re- ševati, ampak poiščejo pomoč in odpravijo napako. Iz napak se namreč najbolje učijo. Analiza reševanja kvadratov vsote in razlike v prvem letniku V prvi šolski nalogi sem dijakom dala dve nalogi, ki vsebujeta kvadrat vsote in razlike. Prva taka naloga (3. Potenciraj) je zahte- vala, da rešijo kvadrat razlike. Glede na to, da smo velikokrat ponovili kvadrat vsote in razlike, označili, na kaj morajo biti pozorni, ter zadnjo šolsko uro pred testom tudi re- šili take primere, sem bila presenečena nad rešenim. Od 28 dijakinj je samo 13 dijakinj V tretjih letnikih sem razložila snov o kva- dratu vsote in razlike, naredili smo kar ne- kaj vaj, kjer so morali to uporabiti, eno uro pred testom pa smo na tabli skupaj rešili podoben primer. Tudi njih sem opozorila, na kaj morajo biti pozorni pri reševanju kvadratne enačbe, če dobijo kvadrat vsote in razlike. Pozitivno sem bila presenečena, saj je od 20 dijakinj del naloge s kvadratom razlike narobe rešilo 5 dijakinj, pravilno pa kar 15 dijakinj. Slika 5 prikazuje narobe re- šeno nalogo, Slika 6 pa pravilno rešeno na- logo pri kvadratu razlike. Predlogi za izboljšanje razumevanja snovi Pri vsaki uri matematike se trudim čim bolje razložiti snov. Vem, da nekateri di- jaki novo snov hitro razumejo, drugi pa zelo počasi. Nenehno se trudim ponavljati snov. Na začetku vsake ure ponovim snov prejšnje ure. Pri razlagi nove snovi se tru- dim razložiti večkrat, saj želim, da bi vsi v razredu razumeli snov. Med samostojnim reševanjem nalog hodim po razredu od di- jaka do dijaka. Trudim se, da bi v šoli dobili čim več znanja, po potrebi tudi dodatno razlago. Kljub vsemu vloženemu trudu je še nekaj takih dijakov, ki na koncu slabo pišejo šolsko nalogo ali dobijo slabo ustno oceno. Morda je to odraz slabega domačega učenja in premalo vaj, slabo razumljene snovi ali samo slabega dne. Iz dneva v dan se trudim biti dobra učiteljica, trudim se biti zgled, kako se lahko s trudom in pridnim delom daleč pride in pridobi lepe ocene. Z leti sem se naučila, da si razredi in dijaki niso po- dobni, ampak da moram vsakega posame- znika dobro spoznati, saj mu le tako lahko prilagodim razlago, pristop in mu skušam čim bolj približati matematiko. Moj cilj ni dati negativno oceno, ampak dijake spod- buditi, da se potrudijo, da izboljšajo svoje znanje in dobijo čim boljšo oceno. Med študijem na fakulteti mi je predavatelj pedagogike rekel, da študente raje oceni z višjo kot nižjo oceno. Takrat tega nisem ra- zumela, z izkušnjami pa sem pridobila ena- ko mnenje in enak pristop do dijakov kot on do študentov. Če pri spraševanju dam dijaku, ki se trudi, eno oceno več, se bo ta v prihodne še bolj potrudil in še več naučil, saj bo imel pozitivno mnenje o sebi in več samozavesti. Imel bo motivacijo in občutek, da zmore in da se lahko nauči nekaj več. Slika 1: Narobe rešena naloga Slika 3: Narobe rešena naloga Slika 5: Narobe rešena naloga Slika 4: Pravilno rešena naloga Slika 2: Pravilno rešena naloga Slika 6: Pravilno rešena naloga Analiza reševanja kvadratov vsote in razlike v tretjem letniku pravilno rešilo nalogo. Ostalih 15 dijakinj pa je nalogo rešilo narobe. Slika 1 prikazuje na- robe rešeno nalogo, druga slika pa pravilno rešeno nalogo. Pri naslednji nalogi (7. Izraz poenostavi in rezultat razstavi) je bil kvadrat razlike upo- rabljen v bolj kompleksni različici. Presene- tilo me je, da je kar 19 od 28 dijakinj pravil- no rešilo del naloge, kjer so morale uporabiti kvadrat razlike. Devet dijakinj je ta del nalo- ge rešilo narobe. Slika 3 prikazuje napačno rešen kvadrat razlike, Slika 4 pa pravilno. Zanimivo je, da je pri kompleksnejši nalogi več dijakinj pravilno rešilo del naloge s kva- dratom razlike. Povedale so, da jih je pri 3. nalogi zmedlo navodilo »Potenciraj«.