      P 48 (2020/2021) 16 Glasbena lestvica M V Ste že kdaj pogledali v klavir pod tisti veliki po- krov, ki ga na koncertih dvignejo? Koliko strun skriva v sebi, posebno če ga primerjamo s kitaro ali violino! ln vendar je teh strun v nekem smislu malo, kot bomo videli. Da se bomo laže razumeli, si za začetek oglejmo nekaj fizikalnih in glasbenih pojmov. Pri tem se bo- mo omejili le na najnujnejše, kar potrebujemo za ta sestavek. Vsako nihajoče telo je izvir prostorskega longitudi- nalnega valovanja, ki se širi na vse strani in po vseh snoveh. Ena od bistvenih značilnosti nihanja telesa in z njim vzbujenega valovanja je njuna frekvenca, to je število nihajev v eni sekundi. Merska enota za frekvenco je 1 s´1, za katero pogosto uporabljamo tudi oznako 1 Hz (Hertz). Človeško uho je sposobno zaznati valovanje zraka v širokem frekvenčnem ob- močju od 16 do 20 000 Hz in ga pretvoriti v slušni dražljaj. Prostorsko longitudinalno valovanje v tem frekvenčnem območju imenujemo zvok. Zvok je to- rej vse, kar lahko slišimo. Nihajoče telo, ki je izvir zvoka, bomo imenovali zvočilo. Pomudimo se še malo ob zvoku. Zvočne pojave lahko razdelimo na tone, zvene in šume. Če obidemo strogo fizikalno definicijo, lahko rečemo, da je šum neurejena mešanica valovanj vseh mogočih frekvenc, ki jih s sluhom ne ločimo med seboj. Glede zvenov in tonov se glasbena in fizikalna definicija nekoliko raz- likujeta. Ton je s fizikalnega stališča zvok z neko na- tanko določeno frekvenco. Mi bomo takemu zvoku rekli čisti ali sinusni ton, za razliko od glasbenega tona. Ustvarimo ga lahko le umetno s tonskimi ge- neratorji. Glasbeni ton pa je posebna kombinacija čistih tonov. Poleg osnovnega, to je tona, ki ima v tej kombinaciji najmanjšo frekvenco, recimo f , na- stopajo v njej še tako imenovani delni ali alikvotni toni, to so sinusni toni, katerih frekvence so večkra- tniki frekvence osnovnega tona: 2f , 3f , . . . . V našem ušesu zveni taka kombinacija sozvočno. Dejansko posameznih delnih tonov s sluhom niti ne razločimo, zaznavamo eno samo tonsko višino – višino glasbe- nega tona. Ta je določena s frekvenco f osnovnega tona. Čim večja je ta frekvenca, tem višji se nam zdi ton. Od števila in medsebojnega razmerja jakosti po- sameznih delnih tonov pa je odvisna tako imenovana barva glasbenega tona. Več jih je, bogateje in pol- neje nam ton zveni. Na vprašanje, zakaj je tako, je odgovor preprost: tako smo pač narejeni. Glasbeni ton je poseben primer tistega, kar v fiziki imenujemo zven. Ta je sestavljen iz večjega števila čistih, ne nujno alikvotnih tonov. Razen za glasbene tone se pojma fizikalnega in glasbenega zvena ujemata. Za primer navedimo, da je zven npr. zvok zvona, gonga, činel. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b frekvenca 260 294 330 349 392 440 494 523 ton c1 d1 e1 f1 g1 a1 h1 c2 TABELA 1.       P 48 (2020/2021) 1 7 Vsi zvoki lahko postanejo glasbeno gradivo. So- dobne skladbe vsebujejo tudi šume, evropska glasba zadnjih stoletij pa je uporabljala predvsem glasbene tone in zvene. Najosnovnejši zidaki so glasbeni toni. Kako neizmerno je to zvočno gradivo, povesta dva podatka. Da sega naše slušno območje od 16 Hz do 20 000 Hz, že vemo. Drugi podatek pa pravi, da smo v bolj občutljivem delu tega območja tja do 4000 Hz sposobni med seboj ločiti tona, ki se razlikujeta za vsega 1 Hz. Zato ni čudno, da si je človek že od nek- daj prizadeval v glasbo vnesti določeno enotnost in red. Nastali so razni tonski sestavi s svojimi glasbe- nimi lestvicami, ki so določale množico tonov, iz ka- tere je dani tonski sistem črpal svoje tone. Poznamo veliko lestvic, ki so bile v različnih zgodovinskih ob- dobjih različno pomembne. Prav gotovo vsi poznate C-durovo lestvico, ki je del zahodnoevropskega ton- skega sestava, v katerem oblikujejo skladbe že več kot tristo let. Poglejmo tabelo približnih frekvenc za tone prve oktave: Že iz tabele 1 lahko sklepamo, da v glasbi upo- rabljamo le majhno število tonov. V tem sestavku bomo pogledali, na osnovi kakšnih principov so iz- brani toni evropskega tonskega sestava in do kakšne mere so ta načela realizirana. Prej pa smo dolžni še neko pojasnilo. Zgoraj smo rekli, da so tonski sestavi nastali iz človekove želje po urejenosti v glasbi, ne nazadnje zaradi možnosti njenega zapisa. Mogoče pa se to vprašanje sploh ne bi pojavilo, ali vsaj ne s tako nujnostjo, če bi na vsa- kem glasbilu lahko dobili ton poljubne višine – glede na frekvenco zvezen zvok brez presledkov. Na šte- vilnih glasbilih – na kitari, violini, violončelu . . . – res lahko zaigramo poljuben ton (v mejah obsega glas- bila). Obstajajo po tudi instrumenti, katerih zgradba dopušča le razmeroma majhno število možnih tonov, denimo orgle, klavir, harfa. Če bi povečali število do- pustnih tonov v tonskem sistemu, bi to izredno po- večalo nekatere instrumente in zapletlo njihovo kon- strukcijo. Vidimo torej, da je tudi iz tehničnih razlo- gov potrebno, da vsebuje glasbena skala razmeroma malo tonov. Pozoren bralec je lahko opazil, da smo že dva- krat primerjali klavir z godali. Ugotovili smo, da ima klavir precej strun, pa zmore razmeroma malo to- nov, violina pa ima strun malo, tonov pa lahko iz nje izvabimo zelo veliko. Kako razložiti to navidezno nasprotje, še večje, ker je v obeh glasbilih osnovno zvočilo struna? Za to je potrebno vedeti, kako niha struna, in pozorno opazovati igri violinista in piani- sta. Nihanje strune je mogoče teoretično obravnavati s sredstvi višje matematike. Pojav je zelo zanimiv za fiziko, pa tudi z glasbenimi instrumenti se da na- praviti nekatere poskuse, ki nam dajo določene in- formacije o frekvencah, s katerimi struna niha. Mi se bomo tu seznanili le z rezultati. Najprej povejmo, da struna nikdar ne niha z eno samo frekvenco. Po- leg najmanjše frekvence, s katero niha, to je osnovne lastne frekvence f , niha še z vsemi frekvencami, ki so večkratniki te osnovne frekvence. Struna torej ne oddaja čistega tona, ampak glasbeni ton. Osnovna frekvenca f oziroma višina tona je odvisna od karak- teristik strune. To so dožlina in presek strune, go- stota materiala, iz katerega je narejena, ter velikost sile, s katero je struna napeta. Pri dani struni sta njen presek in gostota materiala določeni, nespremenljivi količini. Pač pa lahko npr. spremenimo silo, s katero je struna napeta. Vsi smo že kdaj videli violinista pri uglaševanju violine. Dejansko pri tem s sukanjem ključev na vratu violine uravnava velikost sil, ki na- penjajo strune. Podobno je pri klavirju. Od časa do časa vijaki, s katerimi so napete strune, popustijo in poklicati je treba uglaševalca. – Pa denimo, da sta sedaj violina in klavir vsak po svoje dobro ugla- šena. Torej o višini tona odloča le še dolžina strune. No, tu pa je bistvena razlika med klavirjem in vio- lino. Klavirske strune določenih dolžin so pritrjene lepo na varnem v resonančni omari instrumenta. Pi- anist povzroči, da struna zaniha, tako da udari tipko klaviature, udarec pa se nato preko kladivca prenese na struno. Po vsem, kar smo povedali, je očitno, da lahko iz klavirja izvabimo kvečjemu toliko glasbenih tonov, kot je v njem strun. Drugače je z violino. Vi- olinist povzroči nihanje strune tako, da potegne po njej z lokom. Istočasno s prsti proste roke pritiska strune ob podlago in pri tem mesto pritiska nepre- stano menjava. S tem spreminja dolžino nihajočega dela strune in z njo tonsko višino. Očitno torej res lahko na violino zaigramo poljuben ton v mejah nje- nega obsega. Povrnimo se sedaj k našemu problemu. Radi bi odgovorili na vprašanje, zakaj so ravno nekateri toni vključeni v glasbeno skalo. Konstrukcija glasbene skale ni tako preprosta kot na primer zgradba temperaturne skale. Tam je inter-       P 48 (2020/2021) 18 SLIKA 1. val med zmrziščem in vreliščem vode razdeljen na sto enakih delov. Pri glasbeni skali pa je treba upo- števati določena načela, ki slede iz narave zvočil in iz občutkov, ki jih v nas ustvarjajo razne kombina- cije tonov. Po prvem načelu je treba skalo izbrati tako, da bodo uporabljeni toni najbolj sozvočni. Po- vedali smo že, da so toni dvojne, trojne, . . . frekvence povsem sozvočni s tonom osnovne frekvence. To- rej moramo zahtevati, naj glasbena skala hkrati s to- nom frekvence f vsebuje vsaj ton frekvence 2f . Če bomo govorili tudi o frekvencah, manjših od f , bomo najprej postavili zahtevo po tonu frekvence f {2. In- terval med danim tonom in tonom dvojne frekvence imenujemo oktava. Je kar precej širok in za glasbo so samo oktavni intervali premalo. Pri izbiri nadalj- njih tonov, ki naj zapolnijo oktavne intervale, mo- ramo izpolniti še en pogoj. Vsi vemo, da lahko isto pesem pojemo više ali niže, pač glede na glas. Če zanemarimo ritem, torej o melodiji ne odloča zapo- redje tonov določenih višin, saj bi se ob prenosu na višje ali nižje sicer skazila. Tudi razlike med frekven- cami zaporednih tonov niso odločilne za melodijo, kot bi kdo lahko prehitro napak pomislil. Isto me- lodijo slišimo, če je razmerje frekvenc tonov, ki jo sestavljajo, obakrat isto. Spet bomo rekli, da smo tako narejeni. Prenesti melodijo više torej pomeni izvesti jo z drugimi, primerno višjimi toni, toda z natančno ohranitvijo razmerij frekvenc tonov, ki jo sestavljajo. Naša druga zahteva, ki jo bomo posta- vili pri konstrukciji glasbene skale, bo sposobnost poljubnega prenosa katerekoli melodije više ali niže. Predpostavimo, da smo uspeli konstruirati tako skalo, to je skalo, ki izpolnjuje naslednja pogoja: a) hkrati s tonom frekvence f vsebuje tudi tona frekvence 2f in f {2, b) dopušča naj prenos vsake melodije brez skaže- nosti. Denimo, da so v tej skali v mejah ene oktave toni naslednjih frekvenc: f “ f0 ă f1 ă f2 ă . . . ă fm´1 ă fm “ 2f Že zaporedje teh tonov pomeni preprosto melodijo. Prenesimo jo navzgor neskvarjeno tako, da bo naj- nižji ton f0 prešel v f1. Nova melodija bo začela s to- nom f1 in se končala z nekim tonom fm`1, ki mora biti oktavni dvakratnik tona f1, ker je fm “ 2f0. Po- leg tega mora biti razmerje med prvim in zadnjim tonom melodije obakrat isto. Ton fm`1 je že višji od zadnjega tona fm v oktavi, je pa prvi za njim. Res. Če bi naša skala vsebovala neki ton f 1 med fm in fm`1 “ 2f1, potem bi bil zaradi zahteve a) v njej tudi ton f 1{2, za katerega bi iz 2f0 “ fm ă f 1 ă fm`1 “ 2f1 sledilo: f0 ă f 1{2 ă f1. To pa je protislovje, ker med f0 in f1 po predpo- stavki ni nobenega tona v skali. Naša začetna melodija sestoji iz pm` 1q različnih tonov. Navzgor prenešena jih ima seveda prav toliko, začenja pa s tonom f1 in končuje s tonom fm`1. To- rej mora porabiti ravno vse tone od f1 do fm`1 in je takale f1 ă f2 ă . . . ă fm ă fm`1. Ker mora biti zaradi zahteve b) neskvarjena, sledi od tod enakost razmerij: f1 f0 “ f2 f1 “ f3 f2 “ . . . “ fm`1 fm . Zahtevama a) in b) torej lahko ustrezajo le tako ime- novane enakorazmerne skale. Matematično se lepše sliši, če rečemo, da morajo frekvence f0, f1, f2, . . . , fn tvoriti geometrijsko zaporedje. Začetni člen je f0, poiščimo še količnik. Če ga označimo s q, imamo fm “ qmf0 “ 2f0, torej qm “ 2. Skala bo natančno določena, če bo znano število m, to je število stopničk med f0 in 2f0.       P 48 (2020/2021) 1 9 Geometrijsko zaporedje navadno podamo z zače- tnim členom, količnikom in številom členov. Pri glas- beni lestvici je naravneje podati namesto začetnega člena kakšen ton iz dobro slišnega območja, takšen, ki ga lahko zaigramo na večino inštrumentov in ki ga lahko zapoje večina ljudi. Po mednarodnih stan- dardih je to ton a1, ki ima frekvenco 440 Hz. Le- genda pripoveduje, da je v starem veku vsako jutro ob zori oddajal ta ton ogromen Memnonov steber v bližini egipčanskih Teb, tako da so po njem glasbe- niki lahko uglaševali svoje inštrumente. Steber naj bi prenehal zveneti ob začetku našega štetja. Danda- našnji pa ta ton oddajajo običajno glasbene vilice, ki jih uporabljajo uglaševalci. Od tona a1 navzdol in navzgor je nato zgrajeno geometrijsko zaporedje teoretično smiselno do mej našega slušnega območja. Ugotovili smo že, da ustreza količnik tega zapo- redja enačbi qm “ 2 (1) kjer je m naravno število, ki pove, na koliko delov je razdeljen oktavni interval. Število m ne sme biti pre- veliko, ker bi bila potem tudi nekatera glasbila pre- velika; prav tako ne more biti enako ena, ker bi bila glasba s samimi oktavnimi intervali revna. Število m pa je sicer lahko še poljubno, kar nam omogoča, da za glasbeno skalo postavimo še kakšno dodatno zah- tevo. Lahko bi npr. v glasbeno lestvico na intervalu pf ,2f q uvedli kakšen tak ton, ki bi bil lepoti glasbe posebej v prid. Sama od sebe pa se ponuja tudi misel, naj bi bil v skali razen 2f denimo še alikvotni ton 3f (ton frekvence 4f je kot dvakratnik 2f že vključen). Videli bomo, da si želji pravzaprav ne nasprotujeta. Poleg pogojev a) in b), ki smo ju postavili v prvem delu, postavimo torej še pogoj c) hkrati s tonom frekvence f naj vsebuje skala tudi ton frekvence 3f . Ker mora zaradi pogoja a) skala z vsakim tonom vse- bovati tudi ton polovične frekvence, to pomeni pri- sotnost tona 32f v skali. Ta ton pa leži med f in 2f . Interval ´ f , 32f ¯ se imenuje čista kvinta, harmo- ničen (sočasen) zveni posebej lepo. Dejstvo, da člove- škemu ušesu čista kvinta lepo zveni, potrjujejo tudi analize narodne glasbe. To je eden intervalov, ki naj- pogosteje nastopajo v narodni glasbi večine evropskih narodov. Zdi se, kot da smo pri koncu naše naloge. S po- močjo pogoja c) bomo določili še eksponent m iz enačbe (1) in delo bo opravljeno! Pa temu ni tako! Vse skupaj se šele sedaj prav zaplete: čiste kvinte v enakorazmerni razdelitvi ok- tavnega intervala ni mogoče realizirati. Nobeno geometrijsko zaporedje namreč ne more hkrati vsebovati členov f , 32f in 2f . Res! Za vsako geometrijsko zaporedje s količnikom q, katerega čle- na sta f in 2f , velja enačba (1) za neki m P N. Če bi tako zaporedje vsebovalo še člen 32f , bi to pomenilo, da obstaja tako naravno število k, za katerega je fqk “ 3 2 f , (2) torej qk “ 3 2 za neki k P N. S potenciranjem dobimo iz enačbe (1) qkm “ 2k in iz enačbe (2) qkm “ ˆ 3 2 ˙m . To da 2k “ ˆ 3 2 ˙m (3) oziroma 2k`m “ 3m. (4) Enačba (4) pa je za k,m P N protislovna, saj imamo na levi sodo, na desni pa liho število. Čiste kvinte torej v enakorazmerni skali ni! Kaj sedaj? Treba se bo nečemu odpovedati. Ena- korazmerni skali bi se zaradi prenosa melodij težko, laže se odpovemo čisti kvinti. Natančneje povedano, odpovemo se njeni čistosti, kvinti sami pa pravza- prav ne. To naredimo z izbiro takega m v enačbi (1), da bo v enakorazmerni skali nastopal tudi ton, ki bo dober približek za 32f . Dober približek pomeni to, da naše uho ne bo zaznalo razlike, torej se bo moral ta približek v slušno najbolj občutljivem območju raz- likovati od 32f za manj kot 1 Hz. Videli bomo, da       P 48 (2020/2021) 110 se to res da doseči in to pri relativno majhnem m. Poglejmo! Potrebovali bomo nekaj več matematičnega zna- nja kot doslej. Nadomestimo obe strani enačbe (3) z njunima logaritmoma z osnovo 2. Če nato še de- limo z m, dobimo k m “ log2 3 2 . (5) Ker ni takih naravnih števil k in m, ki bi ustrezali enačbi (3), sledi, da ni takega ulomka km , da bi bila izpolnjena enačba (5). Lepše povedano: log2 3 2 ni ra- cionalno število. So pa racionalna števila povsod go- sta v množici realnih števil. To pomeni, da lahko k vsakemu realnemu številu najdemo tak racionalen približek, da bo razlika med njima poljubno majhna. Torej obstaja tudi tak ulomek km , ki bo za naše po- trebe dovolj blizu števila log2 3 2 . Za konstrukcijo racionalnih približkov iracional- nih števil so zelo dobro sredstvo tako imenovani ve- rižni ulomki, to so izrazi oblike a1 ` 1 a2 ` 1 a3 ` 1 a4 ` . . . kjer so a1, a2, a3, . . . naravna števila, a1 pa je lahko tudi 0. Vsako pozitivno realno število lahko na en sam način razvijemo v verižni ulomek – neskončen, če je število iracionalno. Najnujnejše informacije o verižnih ulomkih, kakor tudi to, kako pridemo do razvoja števila log2 3 2 v verižni ulomek, boste našli v dodatku ob koncu tega sestavka. Zapišimo nekaj prvih členov tega razvoja: log2 3 2 “ 1 1 ` 1 1 ` 1 2 ` 1 2 ` 1 3 ` . . . (6) Vrednosti zaporednih delnih ulomkov 1 1 “ 1, 1 1 ` 1 1 “ 1 2 , 1 1 ` 1 1 ` 1 2 “ 3 5 , 1 1 ` 1 1 ` 1 2 ` 1 2 “ 7 12 , 1 1 ` 1 1 ` 1 2 ` 1 2 ` 1 3 “ 24 41 , itd. so čedalje boljši racionalni približki števila log2 3 2 . Povejmo še to, da so približki, ki jih dajejo delni ulomki verižnega ulomka, v nekem smislu najprepro- stejši racionalni približki danega števila. Velja na- mreč, da ima vsak ulomek, ki dano število aproksi- mira bolje kot neki delni ulomek temu številu prire- jenega verižnega ulomka, imenovalec večji od imeno- valca tega delnega ulomka. Za nas je ta vidik še kako pomemben. Imenovalec ulomka km , ki ga bomo vzeli za približek števila log2 3 2 bo, kot vemo, pomenil šte- vilo tonov v eni oktavi. Torej bomo dobili z verižnimi       P 48 (2020/2021) 1 11 ulomki optimalno aproksimacijo kvinte glede na šte- vilo tonov v eni oktavi. Poglejmo zaporedne približke! Prva dva: 1 in 1/2 sta pregroba že na prvi pogled. Izračunajmo, kako natančen približek čiste kvinte v prvi oktavi dajejo naslednji ulomki. Prva oktava začenja s tonom c1, ki ima frekvenco 262 Hz. Torej nas zanima aproksi- macija tona s frekvenco 32 ¨ 262Hz “ 393 Hz. Če vzamemo tretji približek, torej log2 3 2 « 3 5 , je 3 2 « 23{5. Hitro lahko izračunamo, da je 23{5 ¨ 262 Hz “ 397 Hz. To pa je preslab približek za 393 Hz, saj je razlike kar za 4 Hz. Po teoriji mora biti naslednji približek boljši. Res dobimo za km “ 7 12 vrednost 27{12 ¨ 262 Hz “ 392,5 Hz, kar pomeni aproksimacijo čiste kvinte na 0,5 Hz natančno. Zato se bomo odlo- čili za približek 712 . To sicer pomeni, da bo napaka čiste kvinte v drugi oktavi, kjer so vse frekvence po- množene z dva, že enaka 1 Hz. Toda raje se bomo sprijaznili s tem, kot da bi vzeli naslednji približek, ki nam ponuja kar 41 stopenj v eni oktavi. Vidimo torej, da tako imenovana dvanajststopenj- ska enakorazmerna lestvica uspešno reši naš problem. Omeniti pa moramo še nekaj. Iz analize narodne in umetne glasbe sledi, pa tudi teoretično lahko spoznamo, da so poleg oktave in kvinte v glas- bi pomembni še nekateri intervali, npr.: velika se- kunda ´ f , 98f ¯ , mala terca ´ f , 65f ¯ , velika terca ´ f , 54f ¯ , kvarta ´ f , 43f ¯ , mala seksta ´ f , 85f ¯ , ve- lika seksta ´ f , 53f ¯ , velika septima ´ f , 158 f ¯ . Tudi ti intervali so v dvanajststopenjski lestvici dokaj do- bro aproksimirani, čeprav ne tako zelo dobro kot kvinta. Še najbolj moti slaba velika terca, pomemben interval, aproksimiran v prvi oktavi le z natančnostjo 2,5 Hz. Tako smo matematični del naloge opravili. Glas- bena lestvica je torej zaporedje tonov, katerih fre- kvence tvorijo geometrijsko zaporedje s členom a1, ki ima frekvenco 440 Hz, in količnikom q “ 12 ? 2, kar za m “ 12 izračunamo iz (1) . Glasbeniki tako izbiro osnovnih zidakov glasbe imenujejo tudi dvanajststo- penjske temperirana uglasitev. Frekvenci dveh sosednjih tonov v skali se torej raz- likujeta za faktor 12 ? 2. Ta najmanjši možni zvočni in- terval imenujemo polton. Interval, ki sestoji iz dveh sosednjih poltonov, se imenuje cel ton. Poleg tona a1 imajo imena tudi drugi toni glasbene lestvice. Vsa skala je razdeljena na oktave, istoležni toni v posameznih oktavah imajo isto ime. Iz katere oktave so, ločimo z indeksi ali velikostjo črke, npr. A, a, a1, a2, . . . Razdelitev na oktave je prikazana na sliki 2. Poimenujmo sedaj tone prve oktave. V njej leži tudi ton a1, in sicer devet poltonskih stopenj za za- četnim tonom. Začetni ton se imenuje c1. Najprej poimenujemo osnovne tone, to so toni, ki so v naši le- stvici približki za veliko sekundo, veliko terco, kvarto, kvinto, veliko seksto in veliko septimo. V raz- dalji celega tona od c1 je ton d1, še cel ton dalje je e1 in še pol tona više f1. Ti štirje osnovni toni tvo- rijo tako imenovani tetrakord. V drugem delu oktave imamo drugi tetrakord, kot melodija identičen s pr- vim. Začenja z g1, ki tvori s c1 kvinto, čez cel ton imamo a1, še čez cel ton h1 in nato še polton do c2. To pa je že oktavni dvakratnik c1 in smo ga zato spet imenovali c. To so toni, za katere smo navedli fre- kvence v tabeli 1 na začetku sestavka. Zaigramo jih lahko z belimi tipkami na klavirju. Ostalo nam je še pet tonov. Tem damo imena po sosednjih osnovnih tonih z dodajanjem besedice is ali es, kar pomeni za polton više ali za polton niže od ustreznega osnov- subkontraoktava kontra- oktava velika oktava mala oktava prva oktava druga oktava tretja oktava četrta oktava peta oktava SLIKA 2.       P 48 (2020/2021) 112 1 2 3 4 5 mala oktava prva oktava druga oktava g a h c1 d1 e1 f1 g1 a1 h1 c2 d2 e2 1´ cis “ des 2´ dis “ es 3´ fis “ ges 4´ gis “ as 5´ ais “ hes (tudi b) SLIKA 3. nega tona. Na klavirju jih predstavljajo črne tipke (slika 3). »Melodija« iz osnovnih tonov c, d, e, f , g, a, h, c se imenuje C-durova lestvica. Če to melodijo pre- nesemo nespremenjeno navzgor, z začetki na različ- nih mestih v oktavi, dobimo še 11 durovih lestvic. Vsaka nosi ime po svojem začetnem tonu. Obstaja pa še 12 tako imenovanih molovih lestvic. Tako ima c-molova lestvica melodijo: c, d, es, f , g, as, b, c. Ostale dobimo z ustreznim prenosom. Medtem ko je intervalni sestav durovih lestvic: cel ton, cel ton, polton, cel ton, cel ton, cel ton, polton, imamo za molove lestvice: cel ton, polton, cel ton, cel ton, pol- ton, cel ton, cel ton. Praviloma so skladbe pisane v nekem izbranem duru ali molu, pri čemer – razen morda na redkih posamičnih mestih – uporabljajo le tone ustrezne lestvice. Drugače izbrani osnovni toni molskih tonalitet vnašajo v melodije neko prikrito di- sonanco, zato imajo v molu pisane skladbe značilen mehko otožen značaj. Za zaključek omenimo še nekaj, česar glasbena te- orija doslej še ni povsem razjasnila. Naša zgornja premišljanja nas silijo k zaključku, da vseh 12 duro- vih tonalitet identično zveni, podobno vseh 12 mo- lovih. Vendar glasbeniki ugotavljajo, da imajo po- samezne tonalitete individualne lastnosti. Tako npr. C-dur ustvarja sončne, jasne, spokojne občutke (Be- thovnova »Aurora«), E-dur strastno napeto pričako- vanje (številna Lizstova dela, Čajkovskega »Bo pre- vladal dan«) in Fis-dur romantično veselje (Griegova »Pomlad«). Možato žalost oznanja c-mol (»Posmrtna koračnica« iz Bethovnove simfonije »Eroica«), globo- ko tragiko es-mol (arija Pauline iz Čajkovskega opere »Pikova dama«). Ni povsem jasno, ali gre pri tem za ustaljeno tradicijo ali za kako objektivno za- konitost. Dodatek Verižni ulomki Verižni ulomki so bili in so še predmet številnih ma- tematičnih raziskav. Obstajajo cele knjige, ki obrav- navajo le verižne ulomke. Če zapišemo neko pozitivno realno število a v obliki a “ a1 ` 1 a2 ` 1 a3 ` 1 a4 ` . . . (7) kjer so členi a1, a2, a3, . . . naravna števila, a1 pa je lahko tudi 0, pravimo, da smo število a razvili v veri- žni ulomek. Tako je npr. 7 4 “ 1 ` 1 1 ` 1 3 in ? 2 “ 1 ` 1 2 ` 1 2 ` 1 2 ` . . . kjer se člen 2 ponavlja v nedogled. Verižni ulomek je torej lahko končen ali neskončen. Ni pa nujno, da je periodičen, kot je naš drugi zgled. Končne veri- žne ulomke imajo racionalna števila, neskončne vsa ostala.       P 48 (2020/2021) 1 13 Verižne ulomke a1, a1 ` 1a1 , a1 ` 1 a2` 1 a3 , . . . ime- nujemo delni ulomki verižnega ulomka (7). Njihove vrednosti so očitno racionalna števila. Te vrednosti konvergirajo k številu a, vsaka naslednja je bliže a od vseh prejšnjih. Kot zanimivost povejmo še, da so izmenično ena manjša, druga večja od a. Kako po iščemo nekaj začetnih členov verižnega ulomka, če je število a iracionalno, ilustrirajmo na primeru a “ log2 32 . Po definiciji logaritma je 2a “ 3 2 . (8) Ker je a ă 1, je a1 “ 0. Člen a2 bomo dobili kot celi del števila x “ 1a . Iz (8) dobimo ˆ 3 2 ˙x “ 2. (9) Ker je ˆ 3 2 ˙1 “ 3 2 ă 2 in ˆ 3 2 ˙2 “ 9 4 ą 2 leži x med 1 in 2, torej je a2 “ 1. Zapišimo sedaj x “ 1 ` 1y . Izračunajmo a3, ki mora biti celi del števila y . V ta namen preoblikujmo enačbo (9) v 3 2 ¨ ˆ 3 2 ˙1{y “ 2, od koder dobimo ´ 4 3 ¯y “ 32 . Spet ugotovimo, da je ´ 4 3 ¯1 ă 32 ă ´ 4 3 ¯2 “ 169 , kar pomeni, da je a3 “ 1. Če tako nadaljujemo, dobimo še a4 “ a5 “ 2 in a6 “ 3, tako, da je začetek razvoja števila log2 3 2 tak, kot ga kaže formula (6). Literatura [1] G. E. Šilov, Prostaja gama – Ustrojstvo mu- zykal’noj škaly, Moskva, 1980. [2] Leksikon CZ, Glasba, Ljubljana 1980 [3] H. Davenport, The higher aritmetic, New York, 1960. [4] J. Grasselli, Diofantske enačbe, DMFA SRS, Lju- bljana, Knjižnica Sigma 38, 1984. ˆ ˆ ˆ Skrita računa na vazi M V Matematiku so prijatelji za rojstni dan poklonili šopek vrtnic z vazo, na katero so napisali dva skrita računa seštevanja, enega v angleškem in drugega v francoskem jeziku.1 1Računa so prijatelji priredili iz ene od angleških knjig rekre- ativne matematike.