PRESEK LETNIK 43 (2015/2016) ŠTEVILKA 5 -> MARS 2015 LEVITACIJA OZIROMA LEBDENJE PO FIZIKALNO PORAZDELITEV ZVEZDNIH KOPIC V GALAKSIJI PROCEDURALNO GENERIRANJE TERENA S PRELOMNIM ALGORITMOM ISSN 0351-6652 9 7 7 035 , 6 6 5 3 5 7 9770351665357 9770351665357 matematični trenutki Določanje višine varščine -> Pravica pogosto ni popolnoma enaka za vse. Ko, denimo, sodnik določa višino varščine, na njegovo od-locitev pogosto vplivajo dejavniki, kot sta dohodek obtoženca in njegova nacionalnost, manj pa, denimo, verjetnost, da bo obtoženec kaznivo dejanje ponovil ali da bo pobegnil. S pomocjo statistic-nega orodja, ki mu pravimo regresijska analiza, so znanstveniki proucili skoraj milijon primerov in tako omogocili objektivno predvidevanje obtožencevega vedenja po izpustu na podlagi placila varšcine. Te pokazatelje so vkljucili tudi v algoritem, ki objektivno in ucinkovito pomaga sodnikom pri odlocitvi; algoritem namrec pomaga predvideti, kateri obtoženec bo verjetno pobegnil, kateri ponovno kršil zakon. Algoritem seveda ne bo nadomestil sodnikov, lahko pa jim pomaga pri dolocitvi višine varšcine. Med polletnim preizkusom je ena od ameriških držav tako hkrati zmanjšala število zaprtih oseb, ki cakajo na sojenje, in število kriminalnih dejanj, ki so jih storili na podlagi varšcine izpušceni zaporniki. Takšni pozitivni rezultati so znižali tudi število potrebnih zaslišanj. Trenutno sistem preizkušajo tudi v drugih državah. Podobne matematicne pristope, ki slonijo na obravnavi ogromne baze podatkov, uporabljajo tudi pri drugih pravnih postopkih, npr. pri identificiranju ocividcev, pri zbiranju forenzicnega materiala in pri policijski obravnavi sosesk. Pravica ni slepa in mora svoje odlocitve sprejemati z odprtimi ocmi. Kogar tema bolj zanima, naj si prebere clanek Shaile Dewan, ki je izšel v New York Timesu 28. junija 2015. _ XXX kolofon Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 43, šolsko leto 2015/2016, številka 5 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Becan (jezikovni pregled), Mojca Cepic, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kracun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohoric (odgovorni urednik), Igor Pesek (racunalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnicni urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2015/2016 je za posamezne narocnike 19,20 eur - posamezno narocilo velja do preklica, za skupinska narocila ucencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna narocnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski racun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovšcina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI560310 0100 0018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proracuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domacih poljudno-znanstvenih periodicnih publikacij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2016 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1984 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina placana pri pošti 1102 Ljubljana. navodila sodelavcem preseka za oddajo prispevkov 2 PRESEK 43 (2015/2016) 5 Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, učenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. MATEMATIČNI TRENUTKI 2 Določanje višine varščine MATEMATIKA MaRS 2015 (Vesna Iršič) Približna konstrukcija kota 1 radian (Jens Carstensen in Alija Muminagič) 11-12 Naloga iz Bakhšalijskega rokopisa (Marko Razpet) 4-8 9-11 F|Z|KA 13-15,18-19 Levitacija oziroma lebdenje po fizikalno (Luka Cmok, Vid Seražin, Miloš Borovšak in Irena Drevenšek Olenik) 19-20 Janez Strnad (Aleš Mohorič) - ^ ASTRONOMIJA 21-25 Porazdelitev zvezdnih kopic v Galaksiji (Dunja Fabjan) RAČUNALNIČTVO 26-29 Proceduralno generiranje terena s Prelomnim algoritmom (Marko Jovčeski) 30 31 RAZVEDRILO Barvni sudoku Nagradna križanka (Marko Bokaličč) Rešitev nagradne križanke Presek 43/4 (Marko Bokaličč) Naravoslovna fotografija - Zmrznjena senca (Aleš Mohorič) TEKMOVANJA priloga 25. tekmovanje iz razvedrilne matematike - šolsko tekmovanje priloga 25. tekmovanje iz razvedrilne matematike -državno tekmovanje Slika na naslovnici: Na naslovnici je vecerna zarja. Zarja nastane po soncnem zahodu ali pa pred njegovim vzhodom. Za zarjo so znacilni odtenki rdeckaste in oranžne svetlobe. Vecerna zarja je obicajno znanilka lepega vremena, saj pomeni, da se za zahodnim obzorjem, od koder obicajno prihaja vreme, skriva obmocje jasnine s cistim zrakom. Zarja je posebej izrazita, ce nebo nad nami prekriva visoka plast oblakov, od katerih se rdeca svetloba zahajajocega Sonca dodatno odbija. (Foto: Tina Ogrinc) /V /V 'ZZ. 2016) 5 MATEMATIKA MaRS 2015 sU nU NU Vesna Iršic -> Letos je potekal že jubilejni deseti tabor za srednješolce MaRS (Matematično Raziskovalno Srečanje). Marsovci smo se od 16. do 22. avgusta zbrali v Rakovem Škocjanu, natančneje v Centru šolskih in obšolskih dejavnosti Rak. Tabora se je udeležilo 22 dijakov in dijakinj iz vse Slovenije, za uspešno odpravo pa je poskrbelo deset članov posadke: David Gajser, Rok Gregorič, Vesna Iršic, Vid Koci-jan, Anja Petkovic, Nejc Rosenstein, Matej Roška-rič, Živa Urbančič, Jana Vidrih in Neža Žager Korenjak, v oporo pa nam je bil tudi dr. Boštjan Kuz-man. Tako kot vsa leta doslej je bila osrednja marsovska dejavnost priprava projektov. Clani posadke smo pripravili osem različnih matematičnih tem, ki so jih udeleženci raziskovali v skupinah po dva ali tri. Vsak dan smo kar nekaj ur namenili delu na svo- SLIKA1. Skupinska slika vseh udeležencev in posadke MaRS 201 5. SLIKA 2. Posadka na letošnjem MaRS-u. Od desne proti levi: Anja, Rok, Neža, Živa, Matej, Jana, Vesna, Nejc, David, Vid. jem projektu. Da so udeleženci lahko problem uspešno rešili, so morali spoznati nekaj novih matematičnih znanj, nato pa napisati krajši Članek ali sestaviti video predstavitev ter morebitno računalniško aplikacijo. Na zaključni prireditvi tabora (t. i. pristanku) pa so udeleženci tabora tudi svojim staršem in drugim obiskovalčem pokazali, kaj so na Marsu raziskovali. Letos so se dijaki pri projektih ukvarjali s he-ksafleksagoni, Taylorjevo vrsto, Abel-Ruffinijevim izrekom, igro Nim, Banačhovim skrčitvenim načelom, problemi na okrogli biljardni mizi, urejevalno razdaljo in problemom umetnostne galerije. Nadebudneže vabimo, da se tudi sami spoprimejo z nekaj preprostejšimi problemi, ki so bili del marsovskih projektov. Ideje za reševanje lahko najdete pod zavihkom »projekti« na spletni strani mars.dmfa.si, kjer so povezave do člankov oz. video predstavitev posameznega projekta. Problem 1. Nim je igra za dva igralča, ki si izmenjujeta poteze. Na začetku je na treh kupih zloženih nekaj kamenčkov: na prvem kupu je pet kamenčkov, 10 PRESEK 43 (2015/2016) 5 MATEMATIKA SLIKA 3. Janina skupina pri pripravi svojega projekta. Problem 2. Na okrogli biljardni mizi se nahaja ena biljardna krogla. Kako naj jo sunemo, da se po dveh odbojih od roba mize krogla vrne na svoje izhodišče? Problem 3. Na sliki 5 je tloris umetnostne galerije. Želimo jo zavarovati pred tatovi. Vanjo namestimo paznike tako, da bodo lahko nadzorovali vsako točko galerije. Pazniki vidijo 360° okoli sebe in neomejeno daleč, vendar ne vidijo skozi zidove in so stacionarni - stojijo na mestu, ne morejo hoditi po prostoru. Da bi bili bolj ekonomični, bi radi najeli najmanjše število paznikov, ki bo pokrilo vsako točko galerije. Koliko jih torej potrebujemo in kam naj jih postavimo? SLIKA 5. Tloris umetnostne galerije za problem 3. SLIKA 4. Vsaka projektna skupina pripravi tudi fotografijo, povezano s temo njihovega projekta. Na sliki vidimo Vidovo skupino pri igranju igre Nim. na drugem štirje, na tretjem pa trije. Igraleč na potezi odstrani enega ali več kamenčkov s kupa. Zmaga igraleč, ki odstrani zadnji kamenček. Ali lahko prvi igraleč zmeraj zmaga (ne glede na poteze drugega igralča)? Nasvet: odigraj nekaj iger s prijateljem! Ko rešiš nalogo, poskusi še s kupčki velikosti (7, 5, 2) ali (17, 15, 12). Tipičen marsovski dan se je kot običajno začel z zajtrkom, zaspani Marsovci pa smo se dokončno prebudili šele pri jutranji telovadbi. Prepustili smo se spominom iz otroštva in odigrali nekaj iger (med dvema ognjema, kdo se boji črnega moža). Dopoldnevi prvih dni tabora so bili namenjeni različnim delavnicam. Prve tri dni nas je na MaRS-u obiskoval dr. Zlatan Magajna, ki je za dijake izvedel delav-ničo z naslovom Popotovanje po trikotniku. Na de-lavniči smo spoznali znamenite točke trikotnika in pomembne izreke elementarne geometrije. Predavatelj je predstavil tudi svoj avtorski program OK Geometry, s pomočjo katerega smo odkrivali lastnosti posameznih konstrukčij in se učili dokazovanja trditev. Več o programu najdete pod zavihkom »OK Geometry« na spletni strani z-maga.si. Ce vam je všeč geometrija, lahko rešite tudi naslednji problem. 10 PRESEK 43 (2015/2016) 5 MATEMATIKA —^ Problem 4. V štirikotniku ABCD označimo razpolo-višca njegovih stranic zaporedoma z EFGH. Pokaži, daje štirikotnik EFGH paralelogram in daje njegova ploščina enaka polovici ploščine štirikotnika ABCD. Mentorji so dijakom predstavili urejevalnik besedil ltex, program GeoGebra in tudi nekaj osnov retorike, ki so dijakom pomagale pri predstavitvah projektov staršem, profesorjem in prijateljem na pristanku. MaRS je obiskalo tudi pet vabljenih predavateljev -ddr. Melita Hajdinjak, dr. Marko Jakovac, dr. Barbara Drinovec Drnovšek, dr. Anton Suhadolc in dr. Boštjan Kuzman, ki so nas popeljali v razlicne svetove matematike in nam popestrili vecere. Izvedeli smo nekaj o komunikaciji med ljudmi in stroji, o zanimivih problemih teorije grafov, pravilnem (in napac-nem) pristopu pri racunanju dolžine in površine, pa tudi o pomembnih slovenskih matematikih in kljuc-nih dogodkih v zgodovini MaRS-a. Na predavanjih smo se srecali tudi z naslednjim problemom: Problem 5. Tri nove stanovanjske hiše je potrebno povezati z elektricno, plinsko in vodovodno postajo. Vse povezave potekajo na enaki globini pod zemljo in se ne smejo križati ali dotikati. Prav tako ne moremo povleci povezave skozi eno izmed hiš ali pod njo. Ali lahko ustrezno napeljemo vse povezave? Kako/zakaj ne? SLIKA 7. Večerno predavanje dr. Antona Suhadolca. SLIKA 8. Slika k problemu 5. SLIKA 6. Delavnica o geometriji trikotnika pod vodstvom dr. Zlatana Magajne. Vsak dan je Živa pripravila uganko dneva, s katero smo se lahko spopadali v prostem casu. Nadebudni Marsovci so letos vecino ugank rešili še pred kosilom, nekatere pa celo že med zajtrkom. Tudi vi lahko poskusite razrešiti katero izmed njih. Problem 6. Mizar ima kocko s stranicami dolžine 3 cm. Iz nje želi narediti 27 kock s stranicami dolžine 1 cm. To zlahka naredi s šestimi rezi, pri cemer odrezanih kosov po rezu ne premika. Ali lahko zmanjša število potrebnih rezov, ce kose po vsakem rezu prerazporedi? 10 PRESEK 43 (2015/2016) 5 MATEMATIKA Problem 7. Šahovskemu polju (8 x 8) odrežemo zgornje levo in spodnje desno polje. Ali lahko preostalih 62 polj prekrijemo z 31-imi dominami? Clani posadke smo poskrbeli, da naporno delo Marsovcev ne bi preveč izčrpalo. Nekajkrat smo se popoldne sprostili ob skupinskih družabnih igrah, nekateri pa tudi ob igranju košarke. Poleg tega smo se podali na pohod po naravoslovni učni poti Rakov Škocjan. Cilj pohoda je bil mali naravni most, ki nas je s svojo lepoto povsem očaral. Dovolj pogumni smo se spustili tudi pod njega in pomahali ostalim Marsovcem, ki so nas počakali zgoraj. Poleg tega je bil vsak dan po večernem predavanju družabni večer, ki se je ponavadi zavlekel pozno v noč. Marsovči smo se pomerili v že tradičionalni mafiji, ki jo je kasneje izrinila igra Werewolves, taroku, množičnemu grajenju železnič v igri Zug um Zug in zdravljenju epidemij v Pandemiču. Zadnji popoldan je potekala Velika marsovska avantura, tj. orientačijski pohod z bolj ali manj matematičnimi nalogami na kontrolnih točkah. Na avanturi se nam je pridružilo tudi nekaj nekdanjih Mar-sovčev, tako da je na njej skupaj sodelovalo kar 10 skupin. Tudi sami se lahko spoprimete z nekaj problemi. Problem 8. Janez in Lojzka sta zelo družabna in rada vabita prijatelje v svoj dom. Nekega večera po- SLIKA10. S pomočjo vrvi smo sestavili živi labirint. SLIKA 9. Odpravili smo se na pohod po Rakovem Škocjanu. vabita k sebi še štiri pare. Med druženjem na zabavi se med seboj pozdravljajo. Partnerja se med seboj nikoli ne pozdravita, saj sta vendar skupaj prišla. Po zabavi Lojzka vse ostale vpraša, koliko ljudi so pozdravili, in vsak ji odgovori drugače. Koliko ljudi je pozdravil Janez? Koliko jih je pozdravila Lojzka? Problem 9. Ali lahko štiri enake krogle postavite tako, da se vsaka dotika ostalih treh? Ali lahko pet enakih kovancev postavite tako, da se vsak dotika preostalih štirih? Kako? Problem 10. Najmanj koliko kovancev moramo odstraniti iz sheme na sliki 11, da središča preostalih kovancev ne tvorijo nobenega enakokrakega trikotnika? Katere? Zvečer je sledila razglasitev rezultatov z avanture. Po dolgih letih ni prišlo do delitve prvega mesta, zmago pa je slavila skupina Mi3. Za nagrado so prejeli Veliko marsovsko Čokolado (ki so jo prijazno razdelili med vse udeležence tabora), ostali Marsovci pa smo jim v cast izvedli marsovski pozdrav, s katerim smo med tednom pozdravljali pomembne goste tabora. PRESEK 43 (2015/2016) 6 135 MATEMATIKA t* SLIKA 11. Skica k problemu 1 0. SLIKA 12. Skupina marsovskih veteranov na kontrolni tocki na Veliki marsovski avanturi. Ker smo letos proslavljali 10. polet na MaRS, nas je po petkovem večernem predavanju o zgodovini MaRS-a čakalo presenečenje: Velika marsovska torta, ob kateri smo MaRS-u zapeli vse najboljše. Sledil je še piknik ob tabornem ognju, kjer ni manjkalo slastnih priboljškov. Oglasila se je tudi harmonika. SLIKA 13. Zadnji vecer smo se pogreli in zapeli ob tabornem ognju. Naslednje jutro je sledil pristanek, kjer so dijaki, vsi oblečeni v vijolične marsovske majice, svoje projekte predstavili družinam. Po prijetnem klepetu in prigrizku je nastopil otožni čas slovesa, ko smo si Marsovči zaželeli lep preostanek počitnič in odšli vsak v svojo smer v upanju, da se kmalu spet vidimo. Mnenja udeležencev o letošnjem MaRS-u: MaRS je tabor za vse tiste, ki uživajo v reševanju matematičnih ugank in ki se preprosto želijo imeti super. (Rok) ■ MaRS -a m (a) 1. mat. druženje takšnih in drugačnih entuziastov, navdušenih nad družabnimi igrami in poglabljanjem v matematične vode; tabor: bivanje v vesoljskih plovilih ni zaželeno. 2. vznes. najboljši možen zaključek počitnič (Sonja) ■ Učenje + zabava + druženje + spoznavanje novih ljudi = MaRS = Noro dober in zabaven teden dni, ki prehitro mine :D (Klara) Vabilo na MaRS 2016 Matematično raziskovalno srečanje MaRS 2016 bo potekalo od nedelje, 14. avgusta, do sobote, 20. avgusta 2016. Bivali bomo v CŠOD Trilobit (Javorniški Rovt). Več informačij: mars.dmfa.si. _ XXX 10 PRESEK 43 (2015/2016) 5 MATEMATIKA Približna konstrukcija kota 1 radian •is ■i' ■i' Jens Carstensen in Alija Muminagič -> Spomnimo: radian (oznaka rad) je merska enota za kot. Velikost središčnega kota (a) v radianih je enaka kvocientu dolžine krožnega loka (l) nad tem kotom in polmerom kroga (r) a = l (glej sliko 1). Po definiciji je radianska mera polkroga, ki v stopinjah meri 180°, enaka kvocientu dolžine polkroga in polmera: rn r = n. Velja torej 180° = n rad in od tu sledi 180° 1 rad = n 57,29578° = 57°17'44,8' in 1° = n 180° rad « 0,01745 rad. Obstaja dokaz, da tocna konstrukcija kota 1 rad ni možna. A obstaja mnogo (zelo duhovitih) približnih SLIKA 1. konstrukcij, od katerih bomo v tem prispevku predstavili tri. 1. konstrukcija Narišimo krožnico k s polmerom 1. V tocki A narišemo tangento t in na isti strani tocke A izberemo tocki B in C, tako da je AC = f in AB = vf. Konstrukcijo daljice vf kaže slika 2. Na koncu poiščemo na tangenti t tocko D tako, daje CD = 4 BC. Premica skozi tocki O in D seka krožnico v tocki E. Trdimo, da je dolžina loka AE približno enaka 1 rad. Poglejmo: AD = AC + CD = AC + 1 BC = AC + 4 (AB - AC) = 4AC + 4AB = f ■ f + 1 vf « 1,558012702, pri cemer je tan1 = 1,557407725. Bralci sami ocenite napako. B D C A SLIKA 2. 1 t PRESEK 43 (2015/2016) 6 137 MATEMATIKA —^ 2. konstrukcija Krožnici k s polmerom 1 vrišimo medsebojno pravokotna premera ADlBC (glej sliko 3). Tocka E raz-polavlja daljico OA, tocka F pa naj leži na daljici AD tako, daje EF = EB. Konstruiramo krožnico k1 s središčem v O in polmerom OF ter tangento iz tocke B na to krožnico. Ta tangenta se dotika krožnice k1 v tocki G in seka krožnico k v tocki H, kakor kaže slika 3. Pitagorov izrek za trikotnik AOEB pove: BE2 = OE2 + OB2 = ( ^ 1 + 12 = t- 72 32 I 2 5 4 Od tod sledi BE = Naprej velja GO = FO = EF - EO = BE - EO = ^ - 2 = tniku AOBG je sin ZOBG = GO = GO = ^T-1 V triko-kar 0,666239 rad ali 2 rad + 3 rad = 1 rad. B D H / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / ' '¡0 1 /\ F O E 1 k1 K ---- k ?A C SLIKA 3. V tem primeru je približna vrednost za 1 rad dana s § arcsin ^T « 0,999359 rad. Spotoma dobimo za nagrado še oceno krožne konstante n: Pitagorov izrek za trikotnik AOBG da: BG2 = OB2 - OG=12- VŠ - 1 V5 - 1 2 ^ BG = 0,618034 ^ VŠ - 1 2 0,786151 pomeni ZOBG = arcsin 2 arcsin (^l-1) « 3 rad. Po izreku o središcnem in obodnem kotu je ZHOC = 2 ■ ZHBC = 2 ■ ZOBG « 2 ■ f rad = | rad. Premica skozi tocko O, vzporedna daljici BH, seka krožnico k v tocki K. Velja ZHOK = 2 rad (= ZKOC). Simetrala kota ZKOC seka krožnico k v tocki L in s slike 3 vidimo, da je ZHOL = ZHOK + ZKOL " " To število je skoraj enako 4 ~ 0,785398. Torej štiri-kratnik daljice BG je približno enak krožni konstanti n, ki ima približno vrednost 3,141592: ■ 4 ■ ^^^ 1 = V8(V5 - 1) « 3,144605. Ob izpeljavi spomnimo še na zlati rez. Zlati rez daljico d razdeli na dva neenaka dela % in d - x. Razmerje dolžine vecjega dela in dolžine daljice je enako razmerju dolžin manjšega in vecjega dela % = . Od tod sledi %2 + dx - d2 = 0. Ce je d = 1 je rešitev kvadratne enacbe % = V5-1 Tocka F razdeli daljico Tz FO DF fo Li DO FO ^ FO DO v razmerju zlatega reza ^l-1, kot smo zgoraj pokazali. 3. konstrukcija EA je premer polkroga k s polmerom 1, OBlEA in tocka C leži na EA tako, da je AC = AB. Jasno je, da je AC = v2 (glej sliko 4). Pravokotnica narisana v tocki C seka krožni lok k v tocki D. Tako je OD = 1 in O C = AC - AO = v2 - 1. Pitagorov izrek za trikotnik AOCD pove CD2 = OD2 - OC2 = 12 - (V2 - 1)2 = 2 (V2 - 1). Nadalje velja CE = AE - AC = 2 - V2. V trikotniku ADEC po Pitagori DE2 = CD2 + CE2 = 2 (V? - 1) - (2 - V2) = 2V2 (V2 - 1) in koncno v trikotniku ADEC velja sm2 p = ^ = iM:--!) = T^ Od tu sledi p = arcsin V « 0,9989 rad. 2 Ta konstrukcija je elegantna in ima majhno napako (poišCcite jo sami). 2 2 1 10 PRESEK 43 (2015/2016) 5 MATEMATIKA A SLIKA 4. Literatura [1] J. Dickson in N. Lord, Approximate constructions of 1 radian, The mathematical gazette, 98, 542, 2014. [2] J. Carstensen in A. Muminagic, Konstruktion of 1 radian, Matematik Magasinet 25, 649. [3] J. Carstensen in A. Muminagic, Konstruktion of 1 radian, 2, Matematik Magasinet 78, 2868. _XXX Naloga iz Bakhšalijskega rokopisa •is ■i' ■i' Marko Razpet Bakhšalijski rokopis Leta 1881 je kmet pri vasi Bakhšali med kamni razvalin našel vecje število popisanih listov iz brezovega lubja. Precej jih je že unicil ali poškodoval zob casa, malo pa še nespretni najditelj, ki pa je bil vsaj toliko priseben, da je vse skupaj predal oblastem. Bakhšali je dandanes v Pakistanu, vecje bližnje mesto je Peša-var. V casu najdbe je bil Pakistan del Indije, ki je bila pod angleško kolonialno upravo. Listi so prišli v roke ucenjakov, ki so hitro ugotovili, da imajo opravka z matematično vsebino. Jezikoslovci in matematiki so liste uredili, fotografirali, prebrali in prepisali ter jih zaceli proucevati. Vseh kolikor toliko celih listov je 70; poimenovali so jih Bakhšalijski rokopis. Posamezni listi so velikosti približno 14,5 x 9 cm, hranijo jih v knjižnici v angleškem Oxfordu. Bakhšalijski rokopis matematiki in jezikoslovci še vedno proucujejo, o cemer pricajo objavljeni clanki in knjige. Bakhšalijski rokopis je napisan v starem indijskem jeziku sanskrtu, ki ni popolnoma klasicen, ker se v njem cuti nekaj lokalnih posebnosti. Pisava pa tudi ni devanagari, ki se obicajno uporablja za pisanje v sanskrtu in v nekaterih današnjih indijskih jezikih. V Bakhšalijskem rokopisu je uporabljena pisava šarada, ki je nastala v severozahodnem delu Indije v 8. ali v 9. stoletju in se je še dolgo potem uporabljala. Števke v rokopisu niso take kot naše, jih pa je 10, vkljucno z niclo. Kar se matematike tice, rokopis uporablja malo simbolov, poleg števk le še vodoravne in navpicne crte ter nekaj kratic. Glede casa nastanka Bakhšalijskega rokopisa si znanstveniki niso enotni. Nekateri ga postavljajo v 7. ali v 8. stoletje, nekateri še v kasnejša stoletja, nekateri, zlasti Indijci, pa kar v 4. stoletje. Tudi ni jasno, ali je rokopis originalen ali pa je morda prepis še starejšega rokopisa. Kakorkoli že je, rokopis je eden najstarejših ohranjenih, ki so ga našli na indijski podcelini. Tudi o avtorstvu ni veliko znanega; vemo pa, da je bil pisec brahman, predstavnik vodilne hindujske kaste, ki je skrbela za ohranitev in širitev hindujske kulturne tradicije. Brahman se je na enem od listov predstavil kot princ računarjev, sin Čhadžaka. Za nas je bolj zanimiva sama vsebina Bakhšalijskega rokopisa. Z nam znanimi pojmi bi vsebino rokopisa lahko razdelili na linearne probleme, diofant-ske enacbe, aritmeticna zaporedja, kvadratne enac-be, plošcine in prostornine ter probleme v zvezi z zlatom in denarjem. www.obzornik.si PRESEK 43 (2015/2016) 6 139 MATEMATIKA —^ Naloga Bakhšalijski rokopis navaja zanimive naloge, ki vodijo do linearnih enacb. Te imajo eno samo ali pa tudi vec rešitev. Oglejmo si primer. Uporabljali bomo besedo dinar, v sanskrtu dinara, ki je bila znana tudi Indijcem kot denarna enota ali določena količina zlata. Oseba A ima sedem žrebcev, oseba B devet kobil, oseba C pa deset kamel. Vsak da po eno žival ostalima dvema, tako da so potem vsi enako bogati. Najdi vrednost vsake živali posebej in vrednosti vseh živali skupaj za vsakega lastnika posebej. Vsak žrebec naj stane x1, vsaka kobila x2 in vsaka kamela x3 dinarjev. Pri tem so x1, x2 in x3 naravna števila. Po predaji živali je oseba A imela pet žreb-cev, eno kobilo in eno kamelo, vse skupaj v vrednosti 5xi + x2 + x3 dinarjev. Oseba B je imela sedem kobil, enega žrebca in eno kamelo, kar je bilo vredno x1 + 7x2 + x3 dinarjev, oseba C pa je na koncu imela osem kamel, enega žrebca in eno kobilo v skupni vrednosti x1 + x2 + 8x3 dinarjev. Ker vemo, da so bili potem vsi enako bogati, denimo, da je bilo premoženje v teh živalih za vsako omenjeno osebo vredno c dinarjev, velja sistem dio-fantskih enacb: ■ 5x1 + x2 + x3 = c, x1 + 7x2 + x3 = c, x1 + x2 + 8x3 = c. Z odštevanjem prve in druge, prve in tretje ter druge in tretje enacbe tega sistema, krajšanjem in preurejanjem dobimo nove enacbe: ■ 2x1 = 3x2, 4x2 = 7x3, 6x2 = 7x3. Leva stran nove prve enacbe je deljiva s številom 2, ki je tuje 3, zato mora x2 biti deljivo z 2. To pomeni, da lahko zapišemo x2 = 2l, kjer je l celo število. Zato je x1 = 3l. Nato dobimo iz nove druge enacbe 7x3 = 12l, kar pa pomeni, da je l deljiv s 7 in ga lahko zapišemo kot l = 7m, kjer je m naravno število. Tako imamo x1 = 21m, x2 = 14m in x3 = 12m. Ker je 6x2 -7x3 = 6- 14m-7- 12m = 0, je izpolnjena tudi nova tretja enacba. Vsaka oseba ima torej živalsko premoženje v vrednosti c = 131m dinarjev. Žrebci so po 21m dinarjev, kobile po 14m dinarjev in kamele po 12m dinarjev. Pri tem je m naravno število. Rešitev je torej nešteto. Rokopis navaja samo eno: x1 = 42, x2 = 28, x3 = 24, c = 262. Dobimo jo iz našega rezultata za m = 2. Opomba Podobne naloge so, kar je presenetljivo, sestavni del z Nobelovo nagrado nagrajene Nashove teorije o vrednosti izdelkov v zaprti ekonomiji. John Forbes Nash mlajši (1928-2015) je bil ameriški matematik in ekonomist. Poleg Nobelove nagrade za ekonomijo leta 1994 (skupaj z Reinhardom Seltenom in Johnom Harsanyijem) je leta 2015 Nash prejel tudi Abelovo nagrado (skupaj z Louisom Nirenbergom), ki se od leta 2003 podeljuje za pomembne rezultate v matematiki. Literatura [1] August Frederich Rudolf Hoernle, On the Ba-khshali Manuscript, Bibliolife, Charleston; faksimile knjižice, ki je izšla na Dunaju 1887 pri založbi Alfred Holder. [2] Svami Satya Prakash Sarasvati, Dr. Usha Jyoti-shmati (ur.), The Bakhshali Manuscript, an Ancient Treatise of Indian Arithmetic, Dr. Ratna Kumari Svadhyaya Sansthana (izd.), Allahabad, 1979. _ XXX www.dmfa.si www.presek.si 10 PRESEK 43 (2015/2016) 5 Levitacija oziroma lebdenje po fizikalno fizika •4/ -i' •i' Luka Cmok, Vid Seražin, Miloš Borovšak in Irena Drevenšek Olenik -> Levitacijo oz. lebdenje ljudje večinoma povezujejo z magijo, hipnozo, ezoteričnimi stanji in podobnimi temami [1]. V pričujočem sestavku pa bomo pokazali, da je levitacija lahko tudi povsem razložljiv fizikalni pojav, ki ga je mogoče realizirati na več načinov [2]. Kot je v fiziki navada, se moramo pri vpeljavi novega pojma najprej dogovoriti za njegovo definicijo. Pri levitaciji je definicijska zgodba naslednja: Na vsa telesa na površju Zemlje deluje teža. Teža je sila, ki poskuša telesa potegniti v središce Zemlje. Zaradi teže predmeti, ki jih vržemo v zrak ali pa spustimo z rok, cez nekaj casa padejo na tla. Ce želimo, da telo miruje v izbrani legi kot, denimo, knjiga, ki stoji na SLIKA 1. knjižni polici, ali pa lestenec, ki visi s stropa, mora nanj poleg teže delovati še neka druga sila, ki deluje v nasprotni smeri sile teže in je enako velika kot sila teže. Takšni sili sta sila police, ki knjigo tišci od spodaj navzgor, in sila vrvice, ki lestenec vlece proti stropu. V obeh primerih sta telesi (knjiga oz. lestenec) v stiku z drugim objektom (polica oz. vrvica), ki povzroca silo (slika 1). Kadar pa telo miruje v zemeljskem težnostnem polju, ceprav ni postavljeno na nobeno podlago ali obešeno oz. fizicno vpeto na ogrodje, govorimo o levitaciji. Tudi pri le-vitaciji je, podobno kot v vseh drugih situacijah mirovanja, sila teže telesa uravnotežena z neko drugo nasprotno enako silo. Razlika je le v tem, da pri levi-taciji te nasprotne sile ne posreduje kontakt s podlago ali ogrodjem. Levitacija na osnovi vzgona Preprosti primer levitacije je vzgon. Pojavi se vedno, ko neko telo potopimo v tekocino. Ce žogo, napolnjeno z zrakom, potopimo pod vodno gladino in nato spustimo, ne pade na dno, ampak splava navzgor na površje vode. Sila, ki žogo poriva na površje, je sila vzgona. Dokler je žoga potopljena, je vzgon vecji od teže in žogo potiska navzgor, ce je žoga napolnjena s snovjo, ki ima manjšo gostoto kot voda, kar za zrak seveda velja. Tudi v vsakdanjem življenju smo ves cas potopljeni v morje tekocine. Ta tekocina je zrak. Ce žogo ali njeno manj masivno razlicico - balon - napolnimo s snovjo, ki ima manjšo gostoto kot zrak, ju zaradi vzgona vlece navzgor proti gladini zracnega morja, se pravi proti vrhu zemeljske atmosfere. Do tovrstnega pojava pride pri balonu, napolnjenim s helijem. Helijev balon sila vzgona vlece navzgor, sila PRESEK 43 (2015/2016) 5 13 FIZIKA SLIKA 2. SLIKA 3. teže pa navzdol. Ker je prva sila večja od druge, balon, če ga spustimo iz rok, odnese navzgor. Ce pa težo balona povečamo, tako da nanj obesimo nekaj lističev papirja, lahko dosežemo, da sta obe sili nasprotno enaki. Balon lebdi oz. levitira na izbranem mestu (slika 2). Opisani pojav obteževanja izkoriščajo balonarji pri vzletu in pristanku potovalnih balonov. V potovalnih balonih namesto helija uporabljamo vroči zrak, ki ima ravno tako manjšo gostoto od hladnejšega zraka v zračnem »morju«, po katerem se giblje balon. Levitacija na osnovi zračnega upora Ce balon napolnimo z zrakom, ki ima enako ali pa le malo višjo temperaturo, kot je temperatura okoliškega zraka, in ga nato spustimo, balon pade proti tlom. Razmere pa se močno spremenijo, kadar piha veter. Veter lahko balon odnese s seboj v smeri ve- tra daleč stran od začetne lege. Ce je veter usmerjen navzgor, balon ne bo več padal, ampak se bo začel dvigati. To dviganje povzroča zračni upor. Upor se pojavlja v vseh tekočinah, ki se gibljejo glede na neko telo in ga občutimo, ko npr. drvimo s kolesom po ravni česti ali pa stojimo v deročem potoku. Upor deluje tudi na žogičo, ki jo postavimo v čurek zraka, ki piha navpično navzgor iz fena za lase. Ko žogičo postavimo na ustje fena, se žogiča najprej nekaj časa dviga, potem pa se njena lega ustali in začne lebdeti. To se zgodi v položaju, v katerem je sila zračnega upora nasprotno enaka sili teže. Sila zračnega upora je odvisna od hitrosti gibanja zraka. Hitrost zraka, ki prihaja iz fena, je največja tik ob ustju, z oddaljevanjem od ustja pa se čurek izpihanega zraka širi in zato hitrost pojema. Zaradi tega žogiča pri svojem gibanju slej ko prej pride v območje hitrosti, v katerem je upor enako velik kot teža; tam se njen položaj ustali. Zanimivo je, da žogiča lahko lebdi, tudi če čurek zraka usmerimo postrani glede na navpičničo (slika 3). Lebdenje preneha šele pri dokaj velikem 142 PRESEK 43 (2015/2016) 5 FIZIKA SLIKA 4. SLIKA 5. nagibnem kotu. Dodatna sila, ki vpliva na lebdenje v takih situacijah, izvira iz podtlaka, ki nastane na območjih z vecjo hitrostjo zraka. Navedeni podtlak ustvari neke vrste past iz hitrega zraka, v katero se ujame žogica. Tako pri zračnem uporu kot pri vzgonu v resnici ne gre za pravo brezkontaktno interakcijo. Balon oz. žogica morata namrec v obeh primerih biti v stiku z okoliškim zrakom. Ce tega stika ne bi bilo, levitacija ne bi bila možna. Ce bi npr. iz sobe, v kateri lebdi helijev balon, izcrpali zrak, bi sila vzgona prenehala delovati in balon bi padel na tla. Podobno tudi fen, ce v sobi ne bi bilo zraka, ne bi mogel povzrocati zracnega toka in zato tudi ne bi bilo sile zracnega upora. Levitacija na osnovi odbojne sile med dvema magnetoma V naravi obstajajo snovi, ki so same po sebi magnetne ali pa jih lahko namagnetimo mi. Tovrstne snovi uporabljamo za kompase ter za plošcice, s katerimi pritrdimo razglednice na hladilnik in druge železne dele pohištva. Vsak magnet ima dva pola, ki ju imenujemo južni in severni pol. Istovrstna pola se odbijata, nasprotna pa privlacita. Ce magnet prelomimo na polovico, ne dobimo locenih polov, ampak dobimo dva manjša magneta, ki imata spet vsak svoj južni in severni pol. Ce en magnet postavimo na pod- lago, tako da je, denimo, njegov severni pol obrnjen navzgor, nad njim pa postavimo drugi magnet, katerega severni pol obrnemo navzdol, pricakujemo, da bomo s pomocjo odbojne sile med magnetoma lahko dosegli lebdenje zgornjega magneta. Žal pa vsa stvar ni tako preprosta, ker je opisana lega zgornjega magneta nestabilna. To pomeni, da se zgornji magnet, takoj ko njegovo gibanje sprostimo, vedno zasuce vstran od navpicnice ter se slej kot prej postavi v lego, v kateri se magneta privlacita, namesto da bi se odbijala. Stabilizacijo lahko dosežemo, ce zgornji magnet, preden ga sprostimo, spravimo v hitro vrtenje okoli navpicne osi [3]. V ta namen ga vgradimo v notranjost vrtavke. Zaradi vrtenja ima magnet vrtilno kolicino oz. spin. Zaradi spina postane lega zgornjega magneta z navzdol obrnjenim severnim polom stabilna in pojavi se levitacija (slika 4). Le-ta vztraja toliko casa, dokler se vrtenje ne upoca-sni in ne zmore vec vzdrževati stabilnosti. Levitacija na osnovi magnetne sile na diamagnetno snov Vemo, da magneti privlacijo nekatere kovine, kot je, denimo, železo. Železna sponka za papir, ki jo približamo magnetu, se »prilepi« na magnet. Za železo in nekatere druge snovi, ki se v bližini magnetov obnašajo podobno kot železo, pravimo, da so feromagne-tne. Na številne materiale, kot so, denimo, aluminij, 18 (T3__ > SH .cd nj T3 ul (T3 (T3 PRESEK 43 (2015/2016) 5 15 FIZIKA plastika in papir, pa magneti na videz nimajo učinka. Vendar to ni res. Magneti vplivajo tudi na druge snovi, a dosti šibkeje kot na feromagnetne materiale. Nekatere snovi, kot je aluminij, magneti šibko privlačijo. Take snovi so paramagnetne. Nekatere snovi pa magneti odbijajo, namesto da bi jih privlačili. Take snovi so diamagnetne. Med diamagnetne snovi spadajo voda, les in številne druge organske snovi. Snov z izjemno močno izraženimi diamagnetnimi lastnostmi je pirolitični grafit [4]. To je umetno pridobljena vrsta grafita, ki se med drugim uporablja tudi za moderatorje v jedrskih reaktorjih. Ce plo-ščičo iz tovrstnega grafita postavimo nad površino močnih magnetov, ploščiča lebdi nad magnetno podlago (slika 5). Odbojna magnetna sila ploščičo odriva navzgor, teža pa jo vleče navzdol. Ploščiča se ustali na tisti višini od podlage, na kateri sta si omenjeni sili nasprotno enaki. Podobna vrsta lebdenja se pojavi tudi, če majhen magnet v obliki kočke postavimo nad podlago iz grafita ali pa v režo med dvema grafitnima ploščama (slika 6). Tokrat mirujeta plošči in se magnet odbija od njiju. Levitacija na osnovi magnetne sile na superprevodno snov Superprevodniki so snovi, po katerih lahko teče električni tok, tudi ko niso priključeni na električno na- petost. Superprevodniki so hkrati tudi idealni diama-gnetni materiali, saj magnetno polje sploh ne more prodreti v njihovo notranjost (superprevodniki tipa I) ali pa lahko v njo prodre le delno (superprevo-dniki tipa II) [5]. Materiali, ki jih poznamo pod imenom visokotemperaturni superprevodniki, so keramični materiali na osnovi bakrovega oksida (kuprati) z dodatkom itrija in barija (YBCO) ali sorodnih elementov (strončij, bizmut). Da tak keramični material postane superprevoden, ga moramo najprej ohladiti na temperaturo pod določeno vrednostjo. Dovolj nizko temperaturo dosežemo, če disk iz tovrstne keramike potopimo v tekoči dušik, ki ima (pri vrenju) temperaturo -196 °C. Ce disk med ohlajanjem postavimo na podlago iz magnetov, ob prehodu iz navadnega prevodnega v superprevodno stanje v njegovi površinski plasti nastanejo električni tokovi, ki praktično povsod, razen v nekaj ozkih linijah, izničijo magnetno polje v njegovi notranjosti (YBCO je superprevodnik tipa II). Zaradi teh tokov ohlajeni disk, potem ko ga vzamemo iz tekočega dušika in postavimo nazaj nad magnetno podlago, lebdi nad podlago na isti višini, kot jo je imel v času ohlajanja (slika 7). Tudi tokrat silo teže kompenzira magnetna sila. Ce disk porinemo proti robu magnetne podlage, kjer je magnetno polje drugačno kot v osrednjem delu, se disk pri robu obrne in se poskuša vrniti v prejšnjo lego. Svojo lego poskuša disk obdržati tudi, če podlago dvignemo iz mize in jo zavrtimo za 180°. Potem disk lebdi pod namesto nad 18 PRESEK 43 (2015/2016) 5 FIZIKA podlago. Lebdenje traja toliko casa, dokler se disk ne segreje na temperaturo, pri kateri preide iz super-prevodnega nazaj v navadno prevodno stanje. Takrat se magnetna sila mocno zmanjša in disk pade na podlago. Zaključek Ce sestavimo skupaj zelo veliko število magnetov, je možno doseci lebdenje tudi za vecja telesa. Najvecji objekti te vrste, ki jih lahko srecamo v vsakdanjem življenju, so superhitri vlaki, ki jih uporabljajo na Kitajskem (Maglev Transrapid) in Japonskem (SCMa-glev) [6]. Ker pri lebdenju ni trenja s podlago, lahko lebdeci vlaki dosegajo zelo velike hitrosti (nad 500 km/h). S takim vlakom bi za pot iz Prekmurja do slovenske obale potrebovali manj kot 30 minut. Žal pa, vsaj za enkrat, Slovenske železnice superhitrih vlakov še ne nacrtujejo, zato kar zaprite oci in pomislite na leteco preprogo iz pravljic. Hm, kaj smo že rekli na zacetku clanka? Da ljudje lebdenje vse prepogosto povezujemo z nadnaravnimi silami. Literatura [1] http://en.wikipedia.org/wiki/ Levitation_(paranormal), ogled 7. 6. 2015. [2] http://en.wikipedia.org/wiki/ Levitation, ogled 7. 6. 2015. [3] http://en.wikipedia.org/wiki/Levitron, ogled 7. 6. 2015. [4] http://en.wikipedia.org/wiki/ Diamagnetism, ogled 7. 6. 2015. [5] http://en.wikipedia.org/wiki/ Superconductivity, ogled 7. 6. 2015. [6] http://en.wi ki pedi a.org/wi ki/Maglev, ogled 7. 6. 2015. X X X www.dmfa-zaloznistvo.si Janez Strnad nU Aleš Mohorič -> Novembra se je poslovil najplodovitejši sodelavec naše revije, kolega fizik, zaslužni profesor Univerze v Ljubljani, dr. Janez Strnad. Njegov Članek je izšel še v predzadnji številki revije. Profesorja sem spoznal, ko sem prestopil prag univerze. Brucom nam je predaval Fiziko, osrednji predmet našega študija. S svojim resnim in zavzetim pristopom, pripravljenostjo odgovoriti na vsa vprašanja, poštenostjo ter odličnostjo ocenjevanja, je pustil pecat generacijam fizikov. Na predavanjih smo lahko slutili, da ve mnogo vec, kot pove. Izvrstno je poznal tako ucno snov, kot težave, ki spremljajo njeno razumevanje. To plat svoje razgledanosti je pokazal v predavanjih Razvoj fizike in v pisanju po- www.presek.si SLIKA 1. Foto: Marjan Smerke PRESEK 43 (2015/2016)5 19 FIZIKA —^ ljudnih in strokovnih člankov za večino slovenskih časopisov ter naravoslovno usmerjenih revij. V tej vlogi sem ga kot urednik dveh takih revij spoznaval prav do zadnjih dni. Janez Strnad je bil rojen 1934 v Ljubljani. Po osnovni šoli in nižji gimnaziji v Slovenj Gradcu ter višji gimnaziji v Mariboru se je vpisal na Fakulteto za naravoslovje in tehnologijo. Po študiju tehniške fizike je postal asistent na današnjem Oddelku za fiziko. Kasneje je študiral na inštitutu za teoretično fiziko univerze v Heidelbergu. Raziskovalno se je ukvarjal z difuzijo nevtronov, posebno teorijo relativnosti in jedrsko fiziko. Zanimalo gaje tudi poučevanje fizike, posebno teorije relativnosti in kvantne fizike. Fiziko se je ves čas trudil približati tudi širši javnosti. V angleščini in nemščini je profesor Strnad objavil preko sto raziskovalnih in strokovnih člankov ter šestdeset referatov, s katerimi je večinoma sodeloval na mednarodnih srečanjih. Objavil je tudi več kot štiristo strokovnih in poljudnoznanstvenih člankov v slovenščini, predvsem v Obzorniku za matematiko in fiziko, Preseku in Proteusu. V časopisih in revijah je objavil več kot sto štirideset prispevkov. Napisal je štiridelni univerzitetni učbenik za fiziko in učbenik ter del učbenika za srednjo šolo. Knjižiči Merim platno, trak na vatle in Prapok prasnov požene v dir mlajšim bralčem približata merjenje razdalj in razvoj Vesolja. Knjiga Iz take so snovi kot sanje obravnava zgradbo snovi, Zgodbe iz fizike pa to, kako fiziki prihajajo do novih spoznanj. Knjiga Fiziki, trinajst portretov je nastala po nizu radij -skih oddaj o življenju pomembnejših fizikov. Prečej knjig in knjižič je profesor Strnad objavil pri Društvu matematikov, fizikov in astronomov. VPresekovi knjižnici so izšle knjižiče Začetki sodobne fizike, Relativnost za začetnike, Začetki kvantne fizike, Jožef Stefan, ob stopetdesetletnici rojstva in Do Newtonovih zakonov. V Knjižnici sigma so izšle Svet nihanj in valovanj, Mala zgodovina vesolja, O poučevanju fizike, Sto let fizike, Mala zgodovina Dopplerjevega pojava, Kvantna fizika, Relativnost, Posebna teorija relativnosti, Mala kvantna fizika in Vozi me, avto, v daljave. V Podiplomskem seminarju iz fizike ali v Izbranih poglavjih iz fizike so izšle knjižiče Fazna, skupinska in signalna hitrost, Poskusi v posebni in splošni teoriji relativnosti, Kvantna fizika za začetnike, Na pot v kvan- SLIKA2. tno elektrodinamiko, Na pot k Sčhwarzsčhildu in Homogeno gravitačijsko polje. Med posebno in splošno teorijo relativnosti. Profesor Strnad je sodeloval je še pri izdaji izpitnih vprašanj in zbirk nalog ter uredil in prevedel več knjig. Bil je glavni in odgovorni urednik in urednik za fiziko Obzornika za matematiko in fiziko. Sodeloval je tudi v uredniškem odboru Proteusa. Sodeloval je pri Slovarju slovenskega knjižnega jezika in pri En-čiklopediji Slovenije. Za svoje delo je profesor Strnad dvakrat prejel nagrado Sklada Borisa Kidriča, plaketo Pavla Grošlja in Levstikovo nagrado. Dobil je tudi več priznanj Društva matematikov, fizikov in astronomov. Pri urednikovanju mi je bil profesor Strnad v veliko pomoč. Tako z nasveti za dobro delo kot s članki, ki jih je imel vedno na zalogi. Pisati je znal za širšo javnost kot tudi za zelo zahtevne bralče. Na Preseku pušča profesor Strnad neizbrisljiv pečat. V naši reviji je objavil skoraj dvesto prispevkov; pred štirimi desetletji je bil tudi naš glavni urednik. Profesor Strnad v mojem spominu ostaja prijatelj; pogrešal ga bom, pogrešal kot izjemno delovnega, a skromnega kolega, ki ti je vedno pripravljen priskočiti na pomoč. _ XXX 20 PRESEK 43 (2015/2016) 5 ASTRONOMIJA Ocena oddaljenosti Sonca od središča Galaksije vU sU vU Dunja Fabjan Pričujoča naloga je bila del izbirnega postopka za uvrstitev srednješolcev v slovensko ekipo na mednarodno olimpijado iz astronomije in astrofizike 2014. Reševanje naloge zahteva znanje sferne trigonometrije, ki ste jo spoznali v prejšnji številki Preseka, zato lahko služi tudi kot dobra vaja za njeno uporabo v astronomiji. V pomoč objavljamo še pristop Krištofa Skoka, našega najuspešnejšega astronomskega olimpijca, k reševanju prvega dela te naloge. Drugi del naloge in ocene napak pa prepuščamo vašemu samostojnemu delu. Naloga Iz priloženih podatkov za kroglaste kopice in iz fotografije Rimske ceste oceni razdaljo Sonca od središca Galaksije ob predpostavki, da so te zvezdne kopice sfericno razporejene okrog središca naše Galaksije. Doloci tudi velikost (polmer) Galaksije. SLIKA 1. Rimska cesta 360 stopinj (Foto: NOAO) -> PRESEK 43 (2015/2016) 6 21 ASTRONOMIJA V tabeli so navedena imena kopic, njihove ekvatorialne koordinate (rektascenzija in deklinacija) ter oddaljenost kopic od Sonca (v kiloparsekih). 1. Ob zgornji predpostavki za porazdelitev kopic bi bilo Sonce v središču Galaksije v primeru, ce bi kopice (kot jih vidimo z Zemlje) bile enakomerno porazdeljene po nebu. Da to ni res, lahko zlahka ugotoviš iz porazdelitve kopic po rektascenziji in porazdelitve po deklinaciji. Nariši oba grafa ter iz obeh porazdelitev oceni, v kateri smeri (na katerih koordinatah) se nahaja središce Galaksije. 2. Iz priloženega posnetka Galaksije doloci potek galakticne ravnine, npr. iz primernih svetlih zvezd v tej ravnini. Za take objekte poišci podatek o ekvatorialnih koordinatah in navedi, katere objekte si uporabil. Iz take ocene lahko pridobiš naklon (inkli-nacijo) galakticne ravnine glede na nebesni ekvator in pretvoriš ekvatorialne koordinate galakticnih kopic v galakticne koordinate le-teh. 3. Za dolocanje središca Galaksije (in oddaljenosti Sonca od njega) si pomagaj s projekcijo oddaljenosti posamicne zvezne kopice na ravnino Galaksije. Razmisli, kako boš prišel do razdalje Sonca od središca Galaksije in velikosti (polmera) Galaksije. Zgoraj opisani postopek predstavlja glavno navodilo za izvedbo naloge. Koncni rezultat se lahko razlikuje od splošno znanega. Lahko si pomagaš z literaturo, ne smeš pa uporabiti znanih galakticnih koordinat kroglastih kopic. Določanje koordinat središča Galaksije in naklona galaktične ravnine Krištof Skok Predpostavimo, da so kopice po haloju Galaksije razporejene enakomerno in da je to obmocje krogelne oblike. Polmer haloja je enak polmeru Galaksije. Ce bi bilo Sonce v središcu te krogle, bi bila porazdeljenost kopic po nebu enakomerna. Ker pa se ne nahajamo v središcu, so kopice po nebu posejane neenakomerno, najgosteje pa so pri pogledu v smeri proti središcu Galaksije. Ce naredimo razporeditev kopic glede na rektascenzijo (sliki 2 zgoraj in 2 spodaj), vidimo, da ima najvec kopic rektascenzijo okoli 18,2 h. To privzemimo kot rektascenzijo središca Galaksije. Podobno postopamo za deklinacijo. Oglejmo si histograma 3 zgoraj in 3 spodaj. Najvec kopic ima deklinacijo okoli -26°, zato to vrednost prevzemimo kot deklinacijo središca Galaksije. Rektascenzija središca Galaksije (RaS): 18,2 h. Deklinacija središca Galaksije (DecS): -26°. Za dolocanje nagnjenosti galakticnega ekvatorja (inklinacija) glede na nebesni ekvator E uporabimo fotografijo Rimske ceste (slika 1). Na fotografiji po-išcemo znane zvezde in druge objekte, ki ležijo na galakticnem ekvatorju. Ker so te zvezde na sredini Rimske ceste, torej v galakticni ravnini oz. na galakticnem ekvatorju, so njihove galakticne širine b enake 0. Zvezde in objekti, ki so uporabljeni v našem primeru, so: M38, HIP 20234, NGC 663, 57 Cyg, HIP 92946, M16, HIP 82729, HIP 71683, HIP 60718 in meglica Rozeta (NGC 2237) z znanimi ekvatorialnimi koordinatami. Poleg tega smo v prvem delu naloge poiskali še koordinati središca Galaksije, RaS in DecS. Oglejmo si odsek nebesne krogle, na katerem imamo nebesni ekvator, severni nebesni pol NCP, galak- SLIKA2. Zgoraj: histogram števila kopic glede na njihovo rektascenzijo. Spodaj: histogram števila kopic glede na njihovo rektascenzijo okoli največje zgostitve. 22 PRESEK 43 (2015/2016) 6 ASTRONOMIJA tični ekvator in severni galaktični pol NGP (slika 4). Iskana inklinačija galaktične ravnine je E. Pola obeh sistemov sta presečišči nebesne sfere in normal osnovnih ravnin, zato je lok med njima dolžine E. Glede na to, daje točka S izhodišče galaktičnega koordinatnega sistema in sta tam obe galaktični koordinati nič, je dolžina loka S Z kar enaka galaktični dolžini zvezde l. SLIKA 3. Zgoraj: histogram števila kopic glede na njihovo deklinacijo. Spodaj: histogram števila kopic glede na njihovo deklinacijo okoli največje zgostitve. SLIKA 4. Oglejmo si sferni trikotnik z oglišči NCP, S in Z. Poznamo dolžine lokov: ■ NCPZ = 90° - S, NCPS = 90° - S S in ■ SZ = l. Kot ob NCP je a - aS = Aa. Za ta trikotnik zapišimo kosinusni izrek: čos(l) = čos(90° - S) • čos(90° - Ss) + + sin(90° - S) • sin(90° - Ss) • čos(Aa) = sin(S) • sin(SS) + + čos(S) • čos(SS) • čos(Aa). Od tod lahko dobimo ■ sin(l) = yl 1 - (čos(l))2 sin(l) je lahko pozitiven ali negativen, a iz praktičnih razlogov je inklinačija E ostri kot, podobno kot za naklon Zemljine vrtilne osi vedno štejemo ostri kot. Kot ob Z poimenujmo / in zapišimo sinusni izrek za obravnavani trikotnik: ■ sin(/)/sin(90° - Ss) = sin(Aa)/sin(l), sin(/) = sin(Aa) • čos(SS)/sin(l). Oglejmo si trikotnik z oglišči NGP, NCP in Z. Dolžina loka od galaktičnega pola do zvezde je 90°, saj je izbrana zvezda na galaktičnem ekvatorju. Kot pri Z je koplementaren Zapišimo kosinusni izrek za ta trikotnik in vstavimo prejšnjo zvezo za sin(/): ■ čos(E) = čos(90°) • čos(90° - S) + + sin(90°) • sin(90° - S) • čos(90° - /) = = čos(S) • sin(/) = čos(S) • sin(Aa) • čos(SS)/sin(l). S tem izrazom pa lahko izračunamo E, tj. naklon galaktičnega ekvatorja glede na nebesni. Tretjine rezultatov, ki najbolj odstopajo od povprečja, ne upoštevamo in dobimo E = 72,9°. PRESEK 43 (2015/2016) 6 23 ASTRONOMIJA -> ID drugo ime rektascenzija (h:min:s) deklinacija oddaljenost od Sonca (kpc) NGC 104 47 Tuc 00:24:05,67 -72:04:52,6 4,5 NGC 288 00:52:45,24 -26:34:57,4 8,9 NGC 362 01:03:14,26 -70:50:55,6 8,6 Whiting 1 02:02:57,00 -03:15:10,0 30,1 NGC 1261 03:12:16,21 -55:12:58,4 16,3 Pal 1 03:33:20,04 + 79:34:51,8 11,1 AM 1 E1 03:55:02,30 -49:36:55,0 123,3 Eridanus 04:24:44,50 -21:11:13,0 90,1 Pal 2 04:46:05,91 +31:22:53,4 27,2 NGC 1851 05:14:06,76 -40:02:47,6 12,1 NGC 1904 M79 05:24:11,09 -24:31:29,0 12,9 NGC 2298 06:48:59,41 -36:00:19,1 10,8 NGC 2419 07:38:08,47 +38:52:56,8 82,6 Ko 2 07:58:17,00 +26:15:18,0 34,7 Pyxis 09:07:57,80 -37:13:17,0 39,4 NGC 2808 09:12:03,10 -64:51:48,6 9,6 E3 09:20:57,07 -77:16:54,8 8,1 Pal 3 10:05:31,90 +00:04:18,0 92,5 NGC 3201 10:17:36,82 -46:24:44,9 4,9 Pal 4 11:29:16,80 +28:58:24,9 108,7 Ko 1 11:59:18,50 +12:15:36,0 48,3 NGC 4147 12:10:06,30 +18:32:33,5 19,3 NGC 4372 12:25:45,40 -72:39:32,4 5,8 Rup 106 12:38:40,20 -51:09:01,0 21,2 NGC 4590 M 68 12:39:27,98 -26:44:38,6 10,3 NGC 4833 12:59:33,92 -70:52:35,4 6,6 NGC 5024 M 53 13:12:55,25 + 18:10:05,4 17,9 NGC 5053 13:16:27,09 +17:42:00,9 17,4 NGC 5139 omega Cen 13:26:47,24 -47:28:46,5 5,2 NGC 5272 M3 13:42:11,62 +28:22:38,2 10,2 NGC 5286 13:46:26,81 -51:22:27,3 11,7 AM 4 13:56:21,70 -27:10:03,0 32,2 NGC 5466 14:05:27,29 +28:32:04,0 16,0 NGC 5634 14:29:37,23 -05:58:35,1 25,2 NGC 5694 14:39:36,29 -26:32:20,2 35,0 IC 4499 15:00:18,45 -82:12:49,3 18,8 NGC 5824 15:03:58,63 -33:04:05,6 32,1 Pal 5 15:16:05,25 -00:06:41,8 23,2 NGC 5897 15:17:24,50 -21:00:37,0 12,5 NGC 5904 M5 15:18:33,22 +02:04:51,7 7,5 NGC 5927 15:28:00,69 -50:40:22,9 7,7 NGC 5946 15:35:28,52 -50:39:34,8 10,6 BH 176 15:39:07,45 -50:03:09,8 18,9 NGC 5986 15:46:03,00 -37:47:11,1 10,4 Lynga 7 BH184 16:11:03,65 -55:19:04,0 8,0 Pal 14 AvdB 16:11:00,60 +14:57:28,0 76,5 NGC 6093 M 80 16:17:02,41 -22:58:33,9 10,0 NGC 6121 M4 16:23:35,22 -26:31:32,7 2,2 NGC 6101 16:25:48,12 -72:12:07,9 15,4 NGC 6144 16:27:13,86 -26:01:24,6 8,9 NGC 6139 16:27:40,37 -38:50:55,5 10,1 Terzan 3 16:28:40,08 -35:21:12,5 8,2 NGC 6171 M 107 16:32:31,86 -13:03:13,6 6,4 1636-283 ESO452-SC11 16:39:25,45 -28:23:55,3 8,3 ID drugo ime rektascenzija (h:min:s) deklinacija oddaljenost od Sonca (kpc) NGC 6205 M13 16:41:41,24 +36:27:35,5 7,1 NGC 6229 16:46:58,79 +47:31:39,9 30,5 NGC 6218 M12 16:47:14,18 -01:56:54,7 4,8 FSR1735 16:52:10,60 -47:03:29,0 9,8 NGC 6235 16:53:25,31 -22:10:38,8 11,5 NGC 6254 M10 16:57:09,05 -04:06:01,1 4,4 NGC 6256 16:59:32,62 -37:07:17,0 10,3 Pal 15 16:59:51,00 -00:32:20,0 45,1 NGC 6266 M 62 17:01:12,80 -30:06:49,4 6,8 NGC 6273 M19 17:02:37,80 -26:16:04,7 8,8 NGC 6284 17:04:28,51 -24:45:53,5 15,3 NGC 6287 17:05:09,13 -22:42:30,1 9,4 NGC 6293 17:10:10,20 -26:34:55,5 9,5 NGC 6304 17:14:32,25 -29:27:43,3 5,9 NGC 6316 17:16:37,30 -28:08:24,4 10,4 NGC 6341 M 92 17:17:07,39 +43:08:09,4 8,3 NGC 6325 17:17:59,21 -23:45:57,6 7,8 NGC 6333 M9 17:19:11,26 -18:30:57,4 7,9 NGC 6342 17:21:10,08 -19:35:14,7 8,5 NGC 6356 17:23:34,93 -17:48:46,9 15,1 NGC 6355 17:23:58,59 -26:21:12,3 9,2 NGC 6352 17:25:29,11 -48:25:19,8 5,6 IC 1257 17:27:08,50 -07:05:35,0 25,0 Terzan 2 HP 3 17:27:33,10 -30:48:08,4 7,5 NGC 6366 17:27:44,24 -05:04:47,5 3,5 Terzan 4 HP 4 17:30:39,00 -31:35:43,9 7,2 HP 1 BH 229 17:31:05,20 -29:58:54,0 8,2 NGC 6362 17:31:54,99 -67:02:54,0 7,6 Liller 1 17:33:24,50 -33:23:20,4 8,2 NGC 6380 Ton 1 17:34:28,00 -39:04:09,0 10,9 Terzan 1 HP 2 17:35:47,80 -30:28:11,0 6,7 Ton 2 Pismis 26 17:36:10,50 -38:33:12,0 8,2 NGC 6388 17:36:17,23 -44:44:07,8 9,9 NGC 6402 M14 17:37:36,10 -03:14:45,3 9,3 NGC 6401 17:38:36,60 -23:54:34,2 10,6 NGC 6397 17:40:42,09 -53:40:27,6 2,3 Pal 6 17:43:42,20 -26:13:21,0 5,8 NGC 6426 17:44:54,65 +03:10:12,5 20,6 Djorg 1 17:47:28,30 -33:03:56,0 13,7 Terzan 5 Terzan 11 17:48:04,80 -24:46:45,0 6,9 NGC 6440 17:48:52,70 -20:21:36,9 8,5 NGC 6441 17:50:13,06 -37:03:05,2 11,6 Terzan 6 HP 5 17:50:46,38 -31:16:31,4 6,8 NGC 6453 17:50:51,70 -34:35:57,0 11,6 UKS 1 17:54:27,2 -24:08:43,0 7,8 NGC 6496 17:59:03,68 -44:15:57,4 11,3 Terzan 9 18:01:38,80 -26:50:23,0 7,1 Djorg 2 ESO456-SC38 18:01:49,10 -27:49:33,0 6,3 NGC 6517 18:01:50,52 -08:57:31,6 10,6 Terzan 10 18:03:36,40 -26:04:21,0 5,8 NGC 6522 18:03:34,02 -30:02:02,3 7,7 NGC 6535 18:03:50,51 -00:17:51,5 6,8 NGC 6528 18:04:49,64 -30:03:22,6 7,9 NGC 6539 18:04:49,68 -07:35:09,1 7,8 24 PRESEK 43 (2015/2016) 6 ASTRONOMIJA ID drugo ime rektascenzija (h:min:s) deklinacija oddaljenost od Sonca (kpc) NGC 6540 Djorg 3 18:06:08,60 -27:45:55,0 5,3 NGC 6544 18:07:20,58 -24:59:50,4 3,0 NGC 6541 18:08:02,36 -43:42:53,6 7,5 2MS-GC01 2MASS-GC01 18:08:21,81 -19:49:47,0 3,6 ES0-SC06 ESO280-SC06 18:09:06,00 -46:25:23,0 21,4 NGC 6553 18:09:17,60 -25:54:31,3 6,0 2MS-GC02 2MASS-GC02 18:09:36,50 -20:46:44,0 4,9 NGC 6558 18:10:17,60 -31:45:50,0 7,4 IC 1276 Pal 7 18:10:44,20 -07:12:27,4 5,4 Terzan 12 18:12:15,80 -22:44:31,0 4,8 NGC 6569 18:13:38,80 -31:49:36,8 10,9 BH 261 AL 3 18:14:06,60 -28:38:06,0 6,5 GLIMPSE02 18:18:30,50 -16:58:38,0 5,5 NGC 6584 18:18:37,60 -52:12:56,8 13,5 NGC 6624 18:23:40,51 -30:21:39,7 7,9 NGC 6626 M 28 18:24:32,81 -24:52:11,2 5,5 NGC 6638 18:30:56,10 -25:29:50,9 9,4 NGC 6637 M 69 18:31:23,10 -32:20:53,1 8,8 NGC 6642 18:31:54,10 -23:28:30,7 8,1 NGC 6652 18:35:45,63 -32:59:26,6 10,0 NGC 6656 M 22 18:36:23,94 -23:54:17,1 3,2 Pal 8 18:41:29,90 -19:49:33,0 12,8 NGC 6681 M 70 18:43:12,76 -32:17:31,6 9,0 GLIMPSE01 18:48:49,70 -01:29:50,0 4,2 NGC 6712 18:53:04,30 -08:42:22,0 6,9 NGC 6715 M 54 18:55:03,33 -30:28:47,5 26,5 NGC 6717 Pal 9 18:55:06,04 -22:42:05,3 7,1 NGC 6723 18:59:33,15 -36:37:56,1 8,7 NGC 6749 19:05:15,30 +01:54:03,0 7,9 NGC 6752 19:10:52,11 -59:59:04,4 4,0 NGC 6760 19:11:12,01 +01:01:49,7 7,4 NGC 6779 M 56 19:16:35,57 + 30:11:00,5 9,4 Terzan 7 19:17:43,92 -34:39:27,8 22,8 Pal 10 19:18:02,10 + 18:34:18,0 5,9 Arp 2 19:28:44,11 -30:21:20,3 28,6 NGC 6809 M 55 19:39:59,71 -30:57:53,1 5,4 Terzan 8 19:41:44,41 -33:59:58,1 26,3 Pal 11 19:45:14,40 -08:00:26,0 13,4 NGC 6838 M 71 19:53:46,49 + 18:46:45,1 4,0 NGC 6864 M 75 20:06:04,69 -21:55:16,2 20,9 NGC 6934 20:34:11,37 +07:24:16,1 15,6 NGC 6981 M 72 20:53:27,70 -12:32:14,3 17,0 NGC 7006 21:01:29,38 + 16:11:14,4 41,2 NGC 7078 M15 21:29:58,33 + 12:10:01,2 10,4 NGC 7089 M2 21:33:27,02 -00:49:23,7 11,5 NGC 7099 M 30 21:40:22,12 -23:10:47,5 8,1 Pal 12 21:46:38,84 -21:15:09,4 19,0 Pal 13 23:06:44,44 + 12:46:19,2 26,0 NGC 7492 23:08:26,63 -15:36:41,4 26,3 Barvni sudoku •is ■i' ■i' V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. TABELA 1. Podatki za kroglaste kopice v Galaksiji. 3 V O □ m Ž > a. < m > m H >W m a. 6 4 1 2 8 3 4 5 3 2 2 4 8 6 8 7 7 6 2 2 8 E 6 17 S L 7 S L 17 7 8 Z 9 E 6 E S 8 L 4 2 L L 17 L 2 3 8 5 9 4 Z 9 S L 3 L 8 E L 8 L Z 9 17 S L S Z E 9 1 8 4 8 6 L 17 S L E Z XXX XXX PRESEK 43 (2015/2016) 5 25 RACUNALNI S TVO Proceduralno generiranje terena s prelomnim algoritmom Marko Jovčeski Uvod Gotovo ste se kdaj ob igranju katere od strateških iger vprašali, na kakšen nacin se vsakic ustvari nova igralna površina. Kako bi se vi lotili generiranja pokrajine? Z razvojem racunalniške grafike se je porodila potreba po hitrem generiranju vsebin, kar bi poenostavilo dolgotrajnost in zahtevnost rocnega modeliranja. V ta namen se je razvilo proceduralno generiranje vsebin, ki algoritmicno ustvarja podatke. Pomemben del tega podrocja predstavlja proceduralno modeliranje, ki vkljucuje algoritme za nakljucno ge-neriranje trirazsežnostnih modelov. Sem spada proceduralno generiranje terena, ki z uporabo algoritmov modelira pokrajine za uporabo v racunalniški grafiki in animaciji, filmski industriji in tudi na drugih podrocjih, kot so geologija, geografija in inženir-stvo [1-4]. Eden od možnih pristopov h generiranju terena je uporaba funkcije dveh spremenljivk, katere graf je ploskev v trirazsežnem prostoru. Vendar se tak pristop navadno ne uporablja, saj so takšne funkcije težko izracunljive, niso dovolj nakljucne in njihovi grafi niso podobni pokrajinam v naravi. V nadaljevanju bomo predstavili enega od možnih pristopov k nakljucnemu modeliranju terena z upo- rabo fraktalnega algoritma. Nastala fraktalna površina bo predstavljala želeni nakljucni teren. Zaradi fraktalnih lastnosti narave se izkaže uporaba takšnega algoritma kot zelo ucinkovita, saj je takšno stopnjo nakljucnosti in kompleksnosti modela z uporabo klasicnih metod težko doseci. Na sliki 1 vidimo primer terena, generiranega s fraktalnim algoritmom. Prelomni algoritem S pojmom prelom opisujemo ploskovno razpoko ali razmeroma ozko razpokano cono v Zemljini skorji, povezano s preteklimi in morebitnimi prihodnjimi tektonskimi premiki [5]. Fraktal lahko definiramo kot geometrijski vzorec, ki ga dobimo s ponavljanjem nekega iterativnega procesa na preprostejšem mnogotniku ali poliedru. Prelomni fraktal na grobo simulira posledice moc-nih potresov vzdolž nakljucnih prelomnih premic. Pod izrazom prelomna premica razumemo vsako takšno premico, ki gre skozi teren in ga deli na dva dela. Fraktal bomo ustvarili na prazni višinski sliki. Višinska slika je sivinska rasterska slika, ki se uporablja za shranjevanje vrednosti, obicajno so to nadmorske višine. Bela barva predstavlja najvišjo višino, SLIKA1. Primer generiranja fraktalnega terena v vec korakih, od leve proti desni 26 PRESEK 43 (2015/2016) 5 RAČUNALNIŠ TVO crna pa najnižjo. Na prazni višinski sliki se bo izvršilo zaporedje »potresov« na sledeči nacin: na sliki se izbere naključna premica in vsako vozlišče nad to premico se premakne gor, vozlišča pod njo pa navzdol. Ta iterativni postopek se ponavlja, dokler ne dobimo zadovoljivega terena. Psevdokoda Algorithm 1 Prelomni fraktal Require: Poligonska ravnina n Ensure: Poligonska mreža n 1: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 iter <= 0 while iter < stIteracij do k <= naključno število > Zgenerira smerni koeficient k n <= naključno število > Zgenerira odsek na osi y for all vozlišce vi g n do fvt ^ Xi • k + n > Izracuna tocko na premici if yi > fvi then > Ce je vozlišce nad premico dvigni zi ^ zi + Ah > Spremeni višino vozlišca vi else spusti zi ^ zi - Ah > Spremeni višino vozlišca vi end if end for zmanjšaj Ah ^ Ah- konst. > Zmanjša spremembo višine iter ^ iter + 1 > Poveca števec izvedenih iteracij end while SLIKA 2. Primer vozlišča vi, ki leži nad generirano premico f. dvorazsežnem ali trirazsežnem prostoru. Vozlišče vi je 3-teriča oblike (xi,yi,zi), kjer so xi,yi in zt elementi iz množiče realnih števil R. Poligonska ravnina se nahaja v tridimenzionalnem prostoru, vendar je premiče dovolj generirati v dvodimenzionalnem prostoru. Zato je koordinata z v algoritmu uporabljena le takrat, ko se spremeni višina vozlišča V. Algoritem izpolnjuje teren iterativno z izbiro dveh naključnih parametrov. Za vsako iteračijo se določita smerni koefičient k in odsek na y osi n. y = k • x + n (1) Delovanje algoritma Poligonska ravnina je poseben primer poligonske mreže, ki zadošča Evklidovi definičiji ravnine. Poligonska mreža je v računalniški grafiki definirana kot 3-teriča (V,E,F), kjer V predstavlja množičo vozlišč (točk v prostoru), E c (V x V) množičo robov (segmentov premiče) in s F c E* označujemo množičo lič (konveksnih poligonov). Vozlišče v računalniški grafiki predstavlja podatkovno strukturo, ki opisuje določene atribute. Običajno je to pozičija točke v Enačba 1 predstavlja ekspličitno enačbo premiče v ravnini z = 0, ki jo enolično določata parametra k in n. Za vsako vozlišče vt poligonske ravnine n je moč izračunati, ali Vi leži nad ali pod generirano premičo. Algoritem preveri, ali bo vozlišče dvignil ali spustil tako, da koordinato xt vstavi v formulo 1. Par (xi,fVi) predstavlja točko, ki leži na premiči f. Iz slike 2 je očitno, da zadošča pogledati odnos med koordinato yi od vozlišča vi in izračunan fVi. V primeru, da je yi > fVi, se to vozlišče dvigne. Na tak način se preverijo vsa vozlišča, ki ležijo na poligon-ski ravnini, in priredi nova višina. Po vsaki iteračiji se zmanjša sprememba višine Ah zato, da teren ne bo imel v vseh točkah enakih višinskih razlik. Atribut consth je konstanta in določa razliko, za katero se zmanjšuje višina. Večja vrednost consth pomeni hitrejše padanje Ah in s PRESEK 43 (2015/2016) 6 27 RACUNALNI S TVO SLIKA 3. Primer štirih višinskih slik dimenzij 256 x 256 pikslov in barvne globine 8 po 4, 8, 32 in 1 28 iteracijah algoritma tem tudi položnejši teren. Manjši consth pomeni, da bo sprememba višine Ah manjša, zato se bo teren bolj strmo vzpenjal ali spušcal. Z drugimi besedami to pomeni, da consth vpliva na razgibanost terena. Atribut stIteracij neposredno vpliva na izgled terena, saj predstavlja število ponovitev algoritma. Za upodobitev realisticnega terena je potrebnih veliko prelomov, kot je razvidno na sliki 5. Sicer na takšen nacin ne moremo generirati nav-picnih prelomov, saj v eksplicitni obliki naklon za navpicno premico ni definiran, vendar izvzetje le-teh ne vpliva obcutno na koncni teren. Primeri generiranih terenov Na sliki 3 so prikazani primeri generiranih višinskih slik pri razlicnem številu iteracij prelomnega algoritma. Zgenerirana višinska slika je odvisna od števila zgeneriranih nakljucnih prelomov, dimenzije te-ksture ter barvne globine teksture. Na skrajno levi višinski sliki, prikazani na sliki 3, jasno locimo, kje so potekale prelomne premice. Na sliki je le nekaj zelo podobnih sivih odtenkov, ki zavzemajo veliko površine. Iz tega lahko sklepamo, da bi teren iz takšne slike bil skoraj povsem raven, z malimi višinskimi razlikami. Druga slika je podobna prejšnji in pridemo tudi do enakih zakljuckov. To ni presenetljivo, saj je razlika v iteracijah algoritma med slikama zelo majhna. Na tretjem primeru opazimo v zgornjem desnem kotu zabrisane meje, kjer so potekale prelomne premice. Ker je tisto obmo- cje svetlo obarvano, vemo, da bi v upodobitvi takšne višinske slike tam stal hrib, kot lahko vidimo na tretjem terenu na sliki 5. Na skrajno desnem primeru zaznamo ogromno razlicnih odtenkov. Povemo lahko le, da ta višinska slika opisuje dve gori ter dolino med njima. Za razliko od prvih dveh višinskih slik, si je brez upodobitve v trirazsežnem prostoru takšen primer težko predstavljati. Ker je višinska slika odvisna tudi od barvne globine generirane teksture, velja, da lahko teksture z vecjo barvno globino tvorijo bolj razgibane terene. SLIKA 4. Primerjava sivinske lestvice med slikama z 8-bitno barvno globino (zgoraj) in 16-bitno barvno globino (spodaj) 28 PRESEK 43 (2015/2016) 5 RAČ UNALNIŠ TVO SLIKA 5. Primer generiranih terenov po 4, 8, 32 in 1 28 iteracijah algoritma na poligonski ravnini velikosti 10 x 10 enot z 1 0201 vozlišču v programu Autodesk Maya Slika 4 ponazarja razliko dveh sivinskih lestvic. Upodobitev višinskih slik iz slike 3 na ravnini v prostoru vidimo na sliki 5. Po dovolj veliko iteracijah algoritma lahko zmodeliramo realisticni fraktalni teren, ki je dovolj dober za uporabo v racunalniški grafiki ali na kakšnem drugem podrocju. Zaključek Vidimo, da fraktalni teren izkazuje znacilnosti, ki bi jih pricakovali v pokrajinah iz narave. Sicer predstavljeni algoritem ne generira jam in votlin, za to se v praksi uporabijo posebni algoritmi, vendar pa smo z implementacijo prelomnega algoritma dobili realisticne gore in doline. Ce bi podoben teren želeli zmodelirati rocno, bi nam to vzelo precej casa. Algoritem z vsako iteracijo obišce vsa vozlišca v poligonski mreži, zato je njegova casovna zahtevnost O(n2), kjer je n število vozlišc poligonske mreže. To med drugim pomeni, da algoritem ni primeren za uporabo v grafiki v realnem casu, saj je prepo-casen. Tovrstni algoritem se zato uporablja v pred-procesiranju, kjer si vnaprej zgeneriramo poljubno število višinskih slik, ki jih potem uporabljamo kot teksture za upodobitev terena. Postavi se nam vprašanje, ali je mogoce prelomni algoritem na kak nacin posplošiti. Izkaže se, da je z nekaj spremembami prelomni fraktal moc pretvoriti v algoritem, ki generira nakljucne planete. V tem primeru ne locujemo ravnine s premico, ampak generi-ramo nakljucne ravnine, ki delijo sfero. Potrebno je samo dolociti lego vozlišc glede na ravnino. Ce se vozlišce nahaja nad prelomno ravnino, ga premaknemo v smeri njegovega normalnega vektorja, v primeru da se nahaja pod njo, pa v negativno smer tega vektorja. Literatura [1] D. S. Ebert, F. K. Musgrave, D. Peachey, K. Perlin in S. Worley, Texturing and Modeling, Third Edition: A Procedural Approach, Morgan Kaufmann, 2002. [2] M. DeLoura, Game Programming Gems 2, Charles River Media, 2001. [3] I. Parberry, Tobler's First Law of Geography, Self Similarity, and Perlin Noise: A Large Scale Analysis of Gradient Distribution in Southern Utah with Application to Procedural Terrain Generation, Technical Report LARC-2014-04, 2014. [4] e-on software, inc. Vue Helps Industrial Light & Magic Create Environments for »Pirates Of The Caribbean: Dead Man's Chest« VFX, ogled 12. 1. 2016. Dostopno na naslovu: http://www.e-onsoftware.com/ news/?page=pressreleases\&date=August\ %201,\%202006. [5] J. Lapajne. Uprava Republike Slovenije za zaščito in reševanje. Nekateri tektonski, seizmotek-tonski in seizmološki termini - 1. Del, ogled 12. 1. 2016. Dostopno na naslovu: http://www. sos112.si/slo/tdocs/ujma/2008/316.pdf. _XXX www.dmfa.si www.presek.si PRESEK 43 (2015/2016) 5 29 RAZVEDRILO Zbirke nalog s tekmovanj Vsako šolsko leto na šolah potekajo različna tekmovanja v znanju matematike in fizike. Za lažjo pripravo vam ponujamo nekaj zbirk tekmovalnih nalog z rešitvami, ki so na voljo pri DMFA-založništvu. Ciril Dominko in Bojan Golli REŠENE NALOGE IZ FIZIKE Z DRŽAVNIH TEKMOVANJ - 4. del Državna tekmovanja 1999-2013 408 strani, format 14 x 20 cm 25,00 EUR Poleg omenjenih lahko v naši ponudbi najdete še veliko drugih zbirk nalog. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse zbirke tudi naročite s popustom: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/tekmovanj a/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. Matjaž Željko: REŠENE NALOGE IZ MATEMATIKE S SREDNJEŠOLSKIH TEKMOVANJ Izb. in drž. tekm. 1997-2006 142 strani, format 14 x 20 cm 12,49 EUR sU vU nU REŠITEV NAGRADNE KRIŠANKE PRESEK 43/4 -> Pravilna rešitev nagradne križanke iz Četrte številke 43. letnika Preseka je Polarni trikotnik. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Jani Cede iz Petrovč, Zoja Gašparic iz Ljubljane in Zala Hriber-šek Mislinje, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ XXX 16 PRESEK 43 (2015/2016) 31 RAZVEDRILO Zmrznjena senca nU vU NU Aleš Mohoriš /¿v -> Kadar so vremenske razmere prave (nizka temperatura zraka in tal, primerna vlažnost), nastane cez noc na tleh plast ledenih kristalov - slana. Ce se noc nadaljuje v dovolj topel, jasen dan, se slana stali - pobere jo. V primeru, da tla ostanejo mrzla in je sončna svetloba glavni vir energije za taljenje ledu, lahko nastane senca, kot jo kaže današnja naravoslovna fotografija. Osenceni del tal je pokrit s slano, na obsijanem pa slane ni vec. Izven zahodnega roba sence ostane ozek pas obsijane slane. Zakaj zahodni rob in kolikšna je širina tega pasu? Zemlja se vrti okoli svoje osi in zato Sonce na videz potuje po nebu od vzhoda proti zahodu. Ustrezno se senca na severni polobli vrti v smeri urinega kazalca in se premika od zahoda proti vzhodu. Od leve sega po sredini v fotografijo senca kamnitega stebra ograje. Dolžino sence ocenimo na 2 m. Nad zgornjim in desnim robom sence poteka kakih 5 cm širok pas obsijane slane. Senca se je s pasu obsijane slane umaknila šele pred kratkim. Sonce se na nebu v eni uri premakne za lok, ki ustreza kotu približno 15°. Hitrost premikanja Sonca po smereh neba (od vzhoda preko juga proti zahodu) pa ni točno 15° na uro, ampak na to hitrost vplivajo tudi geografska širina, letni in dnevni cas - vseeno zaradi preprostosti vzemimo, da se tudi senca obraca za 15° na uro. Kot, ki ob tej poenostavitvi ustreza širini pasu, je približno 5 cm/2 m = 0,03 rad. Senca se za tak kot zasuka v casu 60 min 0,03 rad 180°/15°/n rad = 6 min. Torej, rob sence je segal cez pas slane še pred šestimi minutami. V šestih minutah vpade s Sonca na kvadratni meter veliko, na soncne žarke pravokotno ploskev nad atmosfero 0,5 MJ energije. Na enako velik, vodoravni del tal pri naši zemljepisni širini vpade ob jutranjem casu le kaka desetina te energije. Manj energije vpade zaradi absorpcije v atmosferi in zaradi kota, pod katerim svetloba vpada. Led, ki tvori slano, absorbira le kako desetino te energije. Torej je za taljenje ledu v slani na voljo kakih 5 kJ za kvadratni meter. Talilna toplota ledu je 334 kJ/kg in na kvadratnem metru tal se v šestih minutah stali nekaj deset gramov ledu, kar bi ustrezalo nekaj stotin milimetrov debeli kompaktni plasti ledu. Slana pa ne prekriva tal v enakomerno debeli plasti ampak v množici drobnih kristalckov, med katerimi je zrak in zato so kristalcki tudi dosti daljši od te ocenjene debeline ledu. _ XXX www.dmfa-zaloznistvo.si PRESEK 43 (2015/2016) 5 31 Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizačija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način zastavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroči in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru z več kot 6 milijoni tekmovalčev iz 47 držav sveta v letu 2011. V Sloveniji Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učenče od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih pokličnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Predvsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralča vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. EVROPSKI MATEMATIČNI KENGURU 2002-2004 10,99 EUR 18,74 EUR 14,50 EUR Pri DMFA-založništvo so v Presekovi knjižniči izšle že 4 knjige Matematičnega kenguruja. • Evropski matematični kenguru 1996-2001 (pošlo), • Evropski matematični kenguru 2002-2004, • Mednarodni matematični kenguru 2005-2008, • Mednarodni matematični kenguru 2009-2011. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikačije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/ Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje čene - izkoristite ga! Dodatne informačije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. RAZVEDRILO ■is ■i' ■i' Nagradna križanka 16 PRESEK 43 (2015/2016) 31 RAZVEDRILO NEKDANJA POOBLASČ. INVESTICIJSKA DRUŽBA MESTO V SRBIJI VOZILO ZAPO SNEGU RIMSKA LJUBLJANA LATINSKI PREDLOG NAPAD NA ZNANO OSEBNOST TUBERKULOZA NAŠ PEVSKI ZEMEUSKI OREŠEK UPRAVNIK SHRAMBE ZANATVR. DAJATVE TLAČANOV NAGRADNI RAZPIS -> Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 5. maja 2016, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knjižno nagrado. _ XXX PRESEK 43 (2015/2016) 5 17