α Matematika v šoli ∞ XXI. [2015] ∞ 71-81 Geometrija prepogibanja papirja Geometry of Folding Paper Σ Povzetek Iz lista papirja formata A4 bomo izdelali nekaj likov in jim določili obseg in ploščino. Enakostranični trikotnik in pra- vilni šestkotnik pa bomo zložili iz kvadratnega lista papirja. Vsem zloženim likom bomo izračunali dolžine stranic, obseg in ploščino. Večina računov temelji na poznavanjem skladnos- ti, podobnosti in Pitagorovem izreku. V srednji šoli pa lahko računamo tudi s kotnimi funkcijami. Postopek zlaganja lahko pokažemo in ga narišemo z Geogebro, ali pa učenci prepogiba- jo papir ob pomoči slik, ki smo jih s tem programom že nari- sali. Program je lahko tudi v pomoč učencem pri preverjanju lastnosti likov in izračunanih količin, kot so dolžine stranic, obsegi in ploščine likov. Ključne besede: geometrija, prepogibanje papirja, liki, raz- vedrilna matematika, GeoGebra Σ Abstract We will make a few shapes from an A4 sheet of paper and de- termine their circumference and area. We will fold an equilate- ral triangle and regular hexagon from a square sheet of paper. We will calculate the lengths of the sides, the circumference and area of all the folded shapes. Most of the calculations are based nada razpet 072 on the knowledge of symmetry, similarity and the Pythagorean theorem. In secondary school the calculations can also be done using trigonometric functions. The folding procedure can be demonstrated and drawn with Geogebra or pupils can fold the paper referring to pictures drawn previously with this program. The program can also assist pupils in checking the properties of shapes and of the calculated quantities, such as the lengths of sides, circumferences and areas of shapes. Key words: geometry, folding paper, shapes, entertaining mathematics, GeoGebra. α Uvod S prepogibanjem lista papirja formata A4 smo se prvič srečali na enem od seminarjev projekta TEMPUS, ki ga je vodil J. Monag- han (Leeds, 1993). Takrat smo se ukvarjali le z enakostraničnim in enakokrakim trikotni- kom. Kasneje smo na seminarjih za učitelje matematike osnovnih in srednjih šol v Slove- niji (v okviru projekta Tempus in strokovnih srečanj DMFA Slovenije) obravnavali še dru- ge like in zlaganje povezali z računalniškim programom Cabri. V prispevku bomo vse slike risali s prosto dostopnim programom GeoGebra. β Prepogibanje lista papirja formata A4 Papir formata A4 dobimo z zaporednim raz- polavljanjem pole papirja s ploščino 1 m 2 . To pomeni, da ima list papirja formata A4 plo- ščino 1/16 m 2 . Dolžini stranic sta določeni tako, da sta v razmerju . Stranici takega lista sta potem približno a = 210 mm, b ≈ 297 mm. Če razrežemo list papirja (pra- vokotnik) po simetrali daljše stranice, dobi- mo dva skladna pravokotnika formata A5, s stranicama in njuno razmerje je zopet . Tudi list formata A6 ima tako razmer- je stranic. Vsi ti pravokotniki so si podobni. S prepogibanjem to pokažemo tako, da pra- vokotnike prepognemo po diagonali in jih položimo drug na drugega tako, da se uje- majo v enem oglišču in ležijo prepognjene diagonale druga na drugi, kot to kaže Slika 1. [Slika 1] Preverjanje podobnosti listov papirja for- matov A4, A5 in A6 Enakokraki trikotnik Do nadaljnjega bomo uporabljali kot osnovo list papirja formata A4, ki ga bomo poime- novali kratko list. Potek zgibanja enakokra- kega trikotnika kaže Slika 2. Geometrija prepogibanja papirja 073 Ker smo list prepognili tako, da je rob CD poravnan z robom CD', je lik ED'C enakokrak pravokotni trikotnik s krakoma |ED'| = |D'C| = a. Diagonala |EC| = , to pa pomeni, da je |EC| = |BC|. Če papir prepognemo še po diagonali EB pravokotni- ka ABD'E, dobimo enakokrak trikotnik EBC, saj ni težko dokazati, da je ∠AEB = ∠BEC = ∠CBE. Dolžini dveh stranic enakokrakega trikot- nika EBC že poznamo, saj sta enaki dolžini daljše stranice lista, torej . Osnovnica trikotnika pa je dolga: Višina na osnovnico trikotnika je: Izračunajmo še obseg trikotnika: S slike pa je razvidno, da je ploščina tega trikotnika enaka polovični ploščini lista. [Slika 3] Koti v enakokrakem trikotniku [Slika 2] Trikotnik EBC je enakokrak 074 Geometrija prepogibanja papirja Izračunajmo še velikosti kotov. Ker je EC diagonala kvadrata, je kot γ = φ 1 = 45°. Kota ob osnovnici enakokrakega trikotnika α in β sta enaka in merita 67,5°. Notranja kota deltoida ABA'E ε in δ sta prava kota, kot α 1 = 135° in zato kot β 1 = 45°, torej tudi kot φ = 45° in je potem trikotnik BD'G enako- krak pravokotni trikotnik. Pravzaprav bi lahko ploščino trikotnika EBC izračunali hitreje, če bi prej premislili, kako smo zgibali trikotnik. Štirikotnik ABA'E je deltoid, stranica A'B je pravokotna na stra- nico EC, torej je |A'B| = v višina na strani- co EC. Ploščino izračunamo po osnovnem obrazcu za računanje ploščine trikotnika: Točka G je višinska točka trikotnika. Po- kažimo, da je to res. Daljica A'B je pravokot- na na stranico EC, torej je ena od višin tri- kotnika EBC. Daljica ED' je pravokotna na krak BC, torej je tudi to višina. Obe daljici se sekata v točki G. Točka G je višinska točka trikotnika EBC. Izračunajmo razdaljo |GD'|. Ker je in je trikotnik BD‘G enakokrak, je . Deltoid Deltoid zložimo podobno kot enakokrak tri- kotnik, različna je le zadnja faza prepogiban- ja, kjer ne prepognemo po diagonali EB, am- pak prepognemo tako, da oglišče A pade na daljico ED', kot kaže Slika 4. Kote deltoida že poznamo: α = β = γ = 45°, δ = 135°. Pokazati moramo, da je |EF| = |FB|. Štirikotnik AFA'E je kvadrat, saj smo strani- co EA prenesli na ED'. Potem je: In stranica Diagonali deltoida sta Izračunajmo še obseg in ploščino delto- ida: [Slika 4] Nastal je deltoid EFBC. Deltoidu včrtana in očrtana krožnica 075 Ali pa drugače: Temu deltoidu lahko krožnico včrtamo in očrtamo. Središče deltoidu očrtane krožnice je v razpolovišču FC, v točki S 1 polmer pa je Polmer deltoidu včrtane krožnice s sre- diščem v točki S je Enakostranični trikotnik Kako zgibamo enakostranični trikotnik, je prikazano na Sliki 5. Najprej prepognemo list po simetrali daljice AB, nato zgibamo oglišče C preko take premice skozi D, da pade C na simetralo AB. Pri tem sta še vedno a in b stranici lista, ki ga prepogibamo. Ker smo oglišče C položili na C', je šti- rikotnik DC'GC deltoid s simetralo DG. Z leve slike (Slika 5) razberemo, da je trikot- nik FC'D pravokotni trikotnik s hipotenuzo a in eno kateto a/2, s kotoma ∠FDC' = 30° in ∠DC'F = 60°. Bralec bo hitro izračunal še vse ostale kote in ugotovil, da je tudi pravokotni trikotnik DC'G polovica enakostraničnega trikotnika, pri tem je |DC' | = v višina enako- straničnega trikotnika, ki ga želimo zložiti. Torej je osnovnica enakostraničnega tri- kotnika |DG| enaka Hitro izračunajmo še obseg in ploščino trikotnika: Tudi polmera včrtane in očrtane krožnice ni težko izračunati: Iz enakostraničnega trikotnika lahko do- bimo pravilni šestkotnik tako, da poiščemo težišče T in potem oglišča enakostraničnega trikotnika postavimo na točko T. Osnov- nica tega šestkotnika je tretjina osnovnice enakostraničnega trikotnika. Od tod dal- je pa ni težko izraziti še obsega in ploščino šestkotnika. [Slika 5] Postopek za zlaganje enakostraničnega trikotnika. Na koncu še spodvihamo trikotnik A ‘MN 076 Geometrija prepogibanja papirja Pravilni osemkotnik Stranica osemkotnika je torej enaka krajši stranici odrezanega pravokotnika torej smo dobili pravil- ni osemkotnik. Romb Navedli bomo dva načina zgibanja romba. Prvi način kaže Slika 7. List razdelimo na štiri skladne pasove in v vsaki polovici začnemo zgibati tako kot pri zlaganju enakostraničnega trikotnika. Posto- pek je na Sliki 7. Ni težko ugotoviti, da sta notranja kota tega romba velika 60° in 120°. S primerjavo rezultatov, ki smo jih dobili pri računanju enakostraničnega trikotnika, ugotovimo, da je in je to višina enakostraničnega trikotnika z List razdelimo na kvadrat in pravokotnik kot kaže Slika 6. Da smo zares dobili pra- vilni osemkotnik, moramo pokazati, da je |G' 1 G 1 | = |G 1 H'|. Pravokotnik GHH'G' smo simetrično položili na diagonalo DD' kvad- rata AD'CD. Pravokotnik se točno prilega v kvadrat. To še dokažimo. Stranica pravo- kotnika |G' 1 G 1 | = a( – 1) in je diagonala kvadrata AG 1 A'G' 1 . Stranica pravokotnika G'H' = a. Pokazati moramo, da je stranica pravokotnika G'H' hipotenuza pravokotnega trikotnika GCH in da točki G in H ležita na stranicah kvadrata ABCD. , Torej se pravokotnik GHH'G' natančno prilega kvadratu. Izračunajmo še stranice osemkotnika G 1 H'. [Slika 6] List formata A4 razdelimo na kvadrat in pravokotnik. Pravokotnik položimo na diagonali kva- drata, kot kaže slika in zavihamo trikotnike 077 osnovnico |EG| in hkrati višina romba. Torej je . Obseg o = 4 ∙ |EG|. Ploščina romba je ena- ka vsoti ploščin dveh skladnih enakostranič- nih trikotnikov z osnovnico |EG|. Torej: Ampak to ni največji romb, ki ga lahko dobimo iz lista formata A4. največji romb Kako ga zložimo, kaže Slika 8. Daljica DB je diagonala romba in hkrati diagonala pravokotnika ABCD. Diagonalo DB smo razpolovili (točka S), nato pa pois- kali pravokotnico nanjo tako, da smo točko B postavili na točko D in dobili drugo diagonalo LK. Ker smo dela diagonale DB prekrili vemo, da je |DS| = |SB|. Če potegnemo skozi točko S vzporednico z AB, lahko hitro pokažemo (skladni trikotniki), da je tudi |LS| = |SK| (Mimogrede: Točka S razpolavlja vsako dal- jico, ki ima krajišči na vzporednih stranicah pravokotnika in gre skozi S.) Trikotnika KSB in KSD sta skladna. Oba sta pravokotna ima- ta eno skupno kateto in |DS| = |SB|, zato tudi velja, da je |DK| = |KB| in seveda potem iz [Slika 7] Zložili smo romb [Slika 8] Daljici DB in LK sta diagonali romba. S je središče pravokotnika ABCD 078 Geometrija prepogibanja papirja istega razloga tudi |LB| = |LD| = |DK|. To pa pomeni, da je štirikotnik LBKD romb. Trikotnik BSK je podoben trikotniku BCD. Dobimo: in [Slika 9] Štirikotnik LBKD je romb Izračunali smo dolžino osnovnice romba. Izračunajmo še dolžini diagonal: Ker se v rombu diagonali sekata pravokot- no, je ploščina romba Nalogo lahko rešujemo tudi z metodami analitične geometrije. Koordinatni sistem postavimo tako, da kot kaže Slika 9. Po- iščemo enačbo premice p skozi točki D in B, določimo koordinate točke S, zapišemo enačbo pravokotne premice q na premico p, ki gre skozi točko S. Presečišči premice q z nasprotnima stranicama kvadrata sta potem preostali dve oglišči romba. še ena zanimivost: [Slika 10] Ploščina trapeza ABCM je Prepognimo list A4 tako, kot kaže Slika 10. Trikotnika ABD' je enakokrak pravokot- ni trikotnik, saj je Ker je ena kateta tega trikotnika a, po Pitagorovem izreku dobimo, da je tudi |BD'| = a. Potem je tudi trikotnik MD'C enakokrak pravokotni trikotnik, kar hitro ugotovimo, če izračuna- mo, kolikšni so koti, ki imajo vrh v D'. Štiri- kotnik ABCM je trapez. Dolžine vseh stranic poznamo že od prej. Izračunajmo ploščino tega trapeza: Ploščina trapeza je torej enaka ploščini kvadrata, ki smo ga odrezali pri izdelavi pra- vilnega osemkotnika. γ Prepogibanje kvadratnega lista papirja V kvadrat lahko narišemo enakostranični trikotnik na več načinov (Hull, 1969), nekaj primerov je na Sliki 11: 079 a) stranica enakostraničnega trikotnika je enaka stranici kvadrata, b) nobeno oglišče enakostraničnega trikot- nika ni v oglišču kvadrata, c) eno oglišče enakostraničnega trikotnika je v oglišču kvadrata, drugo oglišče je na eni od stranic kvadrata, tretje je znotraj kvadrata, d) eno oglišče enakostraničnega trikotnika je v oglišču kvadrata, drugi dve pa sta na stranicah kvadrata. Skicirajmo te možnosti: Prvi kvadrat na Sliki 11 lahko iz kvadrat- nega lista papirja hitro zložimo. Potek kaže Slika 12. [Slika 12] Trikotnik ABD‘ je enakostraničen Trikotnik ABD' je enakostraničen. Za- kaj? Oglišče D smo preslikali v D', zato je |AD| = |AD'| = a. Ali lahko najdemo največji trikotnik, ki je včrtan v kvadrat s stranico a? Pravzaprav je stranica takega trikotnika že na Sliki 12. Nje- gova stranica je daljica AG. Kako ga zložimo iz kvadrata, je prikazano na Sliki 13. Hull v svoji knjigi sicer namigne, kako bi izračunali stranice in kote, vendar pri tem največkrat uporablja kotne funkcije in pri dokazovanju tudi odvode, ki pa se jim bomo mi izognili. [Slika 13] Kvadratu smo včrtali največji možni enakostranični trikotnik [Slika 11] V kvadrat smo na štiri načine narisali enakostranični trikotnik 080 Geometrija prepogibanja papirja Izračunajmo označene kote na Sliki 13. Trikotnik ABD' je enakostraničen trikotnik z osnovnico a, zato je kot δ = 60°. Daljica AG je simetrala deltoida ADGD', katerega kot z vrhom v oglišču A meri 30°, zato je kot β = 15°. Trikotnik ABH je skladen s trikot- nikom ADG, torej je tudi kot γ = 15°. Torej meri kot HAG 60°. Ker velja |AH| = |AG|, sta kota ob stranici HG skladna, merita po 60°, torej je trikotnik AHG enakostraničen. Izračunajmo osnovnico trikotnika. Naj- prej izračunajmo sinus kota 15°. Lahko ga iz- računamo kar iz trikotnika ADC na Sliki 14. Naj bo polmer kroga r = 1 enota. Trikotnik SDC je polovica enakostraničnega trikotnika z osnovnico SC in višino SD. [Slika 14] Izračunajmo sinus in tangens kota 15° V tabelah najdemo vrednost sinusa kota β = 15° zapisano drugače, namreč kot Ampak Zdaj znamo izračunati osnovnico enako- straničnega trikotnika |AH|. Nismo navedli dokaza, da je to zares naj- večji enakostranični trikotnik, ki ga lahko včrtamo v kvadrat, ampak o tem kdaj pri- hodnjič. Pravilni šestkotnik Iz kvadratnega lista papirja zložimo še naj- večji možni pravilni šestkotnik. [Slika 15] V kvadrat smo včrtali največji možni šestkotnik 081 Postopek je podoben kot pri zlaganju ena- kostraničnega trikotnika, zahteva pa nekaj ročnih spretnosti. Najprej kvadrat razdelimo na štiri skladne kvadrate (Slika 15). V kvad- rat ESFD »včrtamo« največji možni enako- stranični trikotnik, kot smo to naredili pri zlaganju enakostraničnega trikotnika, prika- zano na Sliki 13. Osnovnico šestkotnika lahko hitro do- ločimo, saj poznamo osnovnico največjega enakostraničnega trikotnika, ki ga včrtamo v kvadrat, le da smo zdaj enakostranični tri- kotnik včrtali v kvadrat z osnovnico . Torej je osnovnica šestkotnika |MS| enaka: δ Za konec V osnovni šoli lahko vse predstavljene izra- čune izvedemo le s poznavanjem pravokot- nega trikotnika in podobnosti. Tudi kotnih funkcij ni treba poznati, saj lahko računamo z razmerji stranic. V srednji šoli pa lahko račune skrajšamo z uporabo kotnih funkcij oziroma računamo največje vrednosti z od- vodi. Tudi dolžine stranic lahko izračunamo z razdaljami točk, ki jih dobimo s presečišči premic, ki so nosilke stranic, višin in diago- nal likov. Če primerno izberemo stranico osnovnega kvadrata, lahko pravilnost izra- čunov učenci preverijo z merjenji stranic zloženih likov. Vse slike smo narisali z Geo- Gebro. Zlaganje lahko torej izvedemo na dva načina: pokažemo postopek, učenci zložijo lik, nato postopek narišejo z GeoGebro, izra- čunajo stranice in kote in rezultate preverijo z GeoGebro. Lahko pa jim pokažemo sliko lika, narisanega z GeoGebro. Učenci morajo lik zložiti in izračunati stranice ter kote. Ri- sanje slike, ki prikazuje, kako naj lik zložimo, je navadno za učence težavnejše. ε Literatura 1. Monaghan J. (1993). Seminar v okviru projekta Tem- pus. University of Leeds. Neobjavljeno gradivo. 2. Hull T. (1969). Project Origami, CRC Press. Str. 1–14.