i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 177 — #1 i
i
i
i
i
i
NAVIER-STOKESOVA ENAČBA IN ELASTIČNI TRKI
ANDREJ LIKAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 47.10.ad, 47.11.j, 47.32.-y
V prispevku pokažemo, da lahko s sledenjem okroglih ploščic, ki drsijo po gladki plošči
in med seboj elastično trkajo, kar dobro rešimo Navier-Stokesovo enačbo v dveh dimen-
zijah. Tak pristop je tako preprost, da ga lahko brez težav obvladajo tudi srednješolci, ki
so vešči programiranja. Poleg laminarnega toka brez vrtincev obravnavamo tudi vrtince
v vodotokih in vrtinec pri iztekanju vode iz kadi.
NAVIER-STOKES EQUATION AND ELASTIC COLLISIONS
We show that one can quite well solve the Navier-Stokes equation in two dimensions
by following discs which slide on a smooth plate and colide elastically. This approach is so
simple that it can be easily used by high-school students with some programming skills.
Beside laminar flows without eddies we deal with eddies in rivers and bathtub vortex.
Gibanje tekočin obravnavamo z Navier-Stokesovo enačbo. Po postavi-
tvi temeljev matematične analize v 18. stoletju so jo v 19. stoletju dognali
znani matematiki. Motiv pa ni bila nuja po opisu gibanja tekočin, temveč
odkritje, da je svetloba transverzalno valovanje. Na začetku 19. stoletja so
menili, da je svetloba valovanje etra, ki mora biti zato podoben trdni snovi,
po kateri se tako valovanje lahko širi. Claude Navier je zapisal enačbo gi-
banja v trdni snovi, ki si jo je predstavljal kot množico delcev, ki so speti s
centralnimi silami. V njej sta edina parametra gostota snovi in njen strižni
modul. Augustine-Louis Cauchy jo je dopolnil z upoštevanjem stisljivosti.
Simon Denis Poisson je reševal Navierovo enačbo in pokazal, da je poleg
transverzalnega valovanja možno tudi longitudinalo valovanje. Za obe je
izpeljal izraza za njuno hitrost širjenja. Pri širjenju svetlobe v etru so se
morali izogniti longitudinalnemu valovanju, zato so etru pripisovali nenava-
dne lastnosti. Po njem naj bi se longitudinalni valovi pri visokih frekvencah
gibali vse hitreje. Pri nizkih frekvencah pa tak eter naj ne bi nudil odpora,
saj se po njem neovirano gibljejo planeti. Navier in Stokes sta po zgledu
enačb za gibanje trdnin zapisala enačbo za gibanje tekočin, ki danes nosi
njuno ime.
Izpeljava enačbe je prav preprosta. Na majhen delček tekočine delujejo
tri sile, in sicer gradient tlaka, teža in viskozna sila. Ko poznamo sile,
izrazimo pospešek tega delčka z njimi, uporabimo torej 2. Newtonov zakon
in že imamo enačbo napisano, torej: masa krat pospešek je enako vsoti vseh
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 177
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 178 — #2 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
sil na delček. Zapisano malo bolj matematično:
dm
D~v
Dt
= d~Fgradp + d~Fg + d~Fvisk .
Viskozno silo lahko enolično povežemo s hitrostnim poljem ~v, sila zaradi
gradienta tlaka je tudi odvisna od hitrostnega polja, le teža pride v enačbo
kot vnaprej dana sila. Tlak v tekočini pa je povezan z njeno stisljivostjo,
ki jo pri vodi in tudi drugih kapljevinah navadno zanemarimo, pa tudi pri
plinih, če ne gre za velike tlačne razlike v toku in s tem povezane razlike v
gostoti plina.
Na levi strani enačbe moramo upoštevati, da opazujemo gibajoči se del-
ček tekočine. Če se postavimo na določeno točko prostora, se zavemo, da
tja vseskozi priteka tekočina od drugod, zato je treba odvod na levi strani
zapisati takole:
D~v
Dt
=
∂~v
∂t
+ (~v~∇)~v .
Prvi člen na desni spremlja spremembe hitrosti v dani točki, drugi pa po-
skrbi, da se pospešek res nanaša na izbrani delček tekočine. In prav ta člen
dodobra zabeli reševanje Navier-Stokesove enačbe. Enačba ni več linearna,
kar zmede tudi še tako izurjene matematike. Prav ta člen predvidi tudi zelo
zamotano gibanje tekočine v turbulentnem toku. Brez njega bi bilo gibanje
tekočin malce dolgočasno. Precej enačb matematične fizike nima takih osve-
žujočih členov, zato so rešitve teh enačb v stilu »pa saj sem vedel«. Končna
oblika Navier-Stokesove enačbe za tekočine ima tole obliko:
%
D~v
Dt
= −∇p+ %~g + µ∇2~v .
Ker se gostota tekočine malo spreminja, mora veljati še tale povezava med
tlakom in hitrostnim poljem:
p = κ∇ · ~v .
Pri majhni stisljivosti tekočine je parameter κ zelo velik in kar dobro velja:
∇ · ~v = 0 .
V malo primerih se jo posreči rešiti v zaključeni obliki, to je z znanimi
funkcijami kraja in časa. Skoraj vedno smo vezani na numerično reševanje
z računalniki. Pri uporabnih in za industrijo pomembnih primerih moramo
poleg zmogljivega računalnika imeti še ustrezne programe, ki so obsežni in
terjajo veliko časa, da jih razvijemo. Zato jih v specializiranih ustanovah
za velik denar kupijo od priznanih razvijalcev. Za vajo jih razvijajo tudi
študenti na tehnǐskih fakultetah, seveda za preproste šolske primere in v
178 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 179 — #3 i
i
i
i
i
i
Navier-Stokesova enačba in elastični trki
osnovni izvedbi brez zahtevnih grafičnih programov. Tudi na FMF se kdaj
pa kdaj študenti lotijo takih nalog pri predmetih, kjer obravnavajo nume-
rično reševanje parcialnih diferencialnih enačb. Ni upati, da bi se takih
nalog lotevali tudi srednješolci, čeprav jim gre programiranje dobro od rok.
Presenetljivo uspešen pa je pristop, ki ga brez težav razumejo tudi ti. Na-
mesto toka tekočine si zamislimo tok togih kroglic, ki se med seboj elastično
odbijajo, prav tako tudi od sten cevi, po katerih se pretakajo. Taka zamisel
sledi iz kinetične teorije idealnih plinov, kjer molekule pri dani temperaturi
elastično trkajo med sabo in se prilagajajo gibanju sten. Poleg neurejenega
termičnega gibanja, kjer se vektor hitrosti dane molekule časovno izpovpreči
v nič, imajo molekule v gibajočem se plinu tudi makroskopsko hitrost, ki
pa ima od nič različno povprečje. Prav tako je pri kroglicah, ki jim sledimo
in sedaj predstavljajo delčke tekočine. Neurejeno termično gibanje kroglic,
kjer je njihova povprečna hitrost enaka nič, spremlja tudi urejeno gibanje, ki
ponazarja njihov, recimo mu, makroskopski tok. S povprečenjem njihovih
hitrosti na danem mestu pridemo do hitrostnega polja tega toka. Pri tem si
ne belimo glave s tlakom, saj se ta vzpostavi sam od sebe in žene kroglice
po toku, pač tako kot pri idealnem plinu, kjer je tlak posledica trkanja mo-
lekul na stene. Prav tako si ne delamo skrbi z viskozno silo, saj je idealni
plin sam po sebi viskozen. Brez težav vgradimo dodatno viskoznost tako,
da ustrezno spremenimo trke, ki potem niso več elastični, saj upoštevajo
viskozno trenje med kroglicami. S to možnostjo se tu ne bomo ukvarjali.
Vse, kar moramo torej narediti na poti do hitrostnega polja, je slediti kro-
glicam in na danih mestih povprečevati njihove hitrosti. To pa še ni vse.
Pri trku s steno dodamo termični hitrosti kroglice še hitrost gibanja stene.
Poskrbeti moramo za smiselno pritekanje kroglic v opazovani del prostora in
za njihovo odtekanje. Skratka, ne uide nam poskrbeti za dane robne pogoje
naloge.
V nadaljevanju se bomo ukvarjali le z dvodimenzionalnimi tokovi, ki so
preprosteǰsi in pregledneǰsi od tridimenzionalnih, poleg tega pa so tudi bolj
nazorni. Namesto kroglic bomo torej obravnavali ravninsko gibanje kakih
sto okroglih ploščic.
Delovni stroj tovrstnega reševanja tokovnih nalog je obravnava elastič-
nega trka ploščic. Le-ta je preprosta in jo obvlada večina srednješolcev.
Vseeno si oglejmo ta stroj.
Na sliki 1 sta ploščici ravno v stiku, enotski vektor, ki povezuje njuni
sredǐsči, smo označili z ~e. Po trku se obema ploščicama spremeni gibalna
količina. Prvi za, denimo, −G~e, pri drugi pa za G~e, pač zaradi ohranitve
gibalne količine. Velikost G določimo iz energijskega zakona, torej
1
2
mv21 +
1
2
mv22 =
1
2
m
(
~v1 −
G
m
~e
)2
+
1
2
m
(
~v2 +
G
m
~e
)2
.
Na levi strani smo zapisali kinetično energijo ploščic pred trkom, na desni
177–186 179
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 180 — #4 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
Slika 1. Razmere pri elastičnem trku dveh ploščic takoj po trku.
pa po njem. Po kraǰsem računu sledi:
G
m
= ~e · (~v1 − ~v2) ,
iz tega pa takoj dobimo hitrosti ploščic po trku. Enotski vektor ~e je lahko v
poljubni smeri, določiti ga moramo za vsak trk posebej. Pri sledenju ploščic
zaznamo trk, ko se sredǐsči približata bolj kot na razdaljo premera. Vmes
ploščice premikamo glede na njihove hitrosti in čas med zaporednimi koraki.
Sedaj se lotimo nekaj nalog. Najprej bomo ocenili uspešnost naše me-
tode na primerih, kjer so rešitve Navier-Stokesove enačbe natančno znane.
Prvi tak primer je Poiseuillov tok po cevi, ki ga obravnavajo v osnovnem
univerzitetnem tečaju fizike. Ker obravnavamo le dvodimenzionalne tokove,
bomo pač obravnavali stacionarni laminarni tok med dvema vodoravnima
ravninama. Navier-Stokesova enačba je v tem primeru preprosta:
µ
∂2u
∂y2
=
∂p
∂x
∂p
∂y
= 0
Skladno s sliko 1 je tok le v smeri osi x, za vektor hitrosti pa velja ~v =
(u(y), 0)T , s čimer je enačbi majhne stisljivosti ∇·~v = 0 zadoščeno. Tlak se
v smeri y ne spreminja, v smeri x pa je njegov gradient konstanten. Leva
180 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 181 — #5 i
i
i
i
i
i
Navier-Stokesova enačba in elastični trki
stran prve enačbe je namreč odvisna le od y, tlak pa od y ni odvisen, kar
pove druga enačba. Če steni mirujeta, je u(y) podan kot:
u(y) =
1
2µ
∂p
∂x
(y2 − ay)
Na spodnji plošči je y = 0, na zgornji pa y = a. To je znani parabolični
hitrostni profil pri Poiseuillovem toku. Tega sedaj primerjamo z doblje-
nim povprečenjem hitrosti ploščic. Na sliki 2 je razvidno, da je ujemanje
dobljenega profila z eksaktnim zelo dobro.
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0.4
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1  0  0.1  0.2
Slika 2. Hitrostno polje pri Poiseuvillovem toku med dvema ravninama. Prikazani so trije
hitrostni profili vzdolž toka.
Naslednja, eksaktno rešljiva naloga terja določitev toka med dvema kon-
centričnima valjema, kjer se valja vrtita okrog skupne osi. Navier-Stokesovo
enačbo bomo reševali v cilindričnih koordinatah s hitrostnim poljem ~v =
(u, v)T , kjer sta u in v radialni in tangencialni komponenti hitrosti, kot kaže
slika 3.
Enačbi za u in v sta [2]:
%
(
∂u
∂t
+ u
∂u
∂r
+
v
r
∂u
∂ϑ
− v
2
r
)
= −∂p
∂r
+ µ
(
∇2u− u
r2
− 2
r2
∂v
∂ϑ
)
,
%
(
∂v
∂t
+ u
∂v
∂r
+
v
r
∂v
∂ϑ
+
uv
r
)
= −∂p
∂ϑ
+ µ
(
∇2v − v
r2
+
2
r2
∂u
∂ϑ
)
.
∇ · ~v = 1
r
∂(ru)
∂r
+
1
r
∂v
∂ϑ
= 0 .
177–186 181
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 182 — #6 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
Slika 3. Radialna in tangencialna komponenta hitrosti pri opisu toka s cilindričnimi koor-
dinatami.
Pri stacionarnem laminarnem toku je u = 0, tok je torej le v tangencialni
smeri, odvodi po ϑ pa so vsi nič, ker je stacionarno polje od ϑ neodvisno.
Zgornje enačbe se zato močno poenostavijo, spet je enačbi za nestisljivost
tekočine ustreženo in dobimo:
%
v2
r
=
∂p
∂r
,
µ
(
∂2v
∂r2
+
1
r
∂v
∂r
− v
r2
)
= 0 .
Tangencialna hitrost v je odvisna le od r, zato je druga enačba navadna
diferencialna enačba z rešitvama C1r in C2
1
r in splošno rešitvijo:
v(r) = C1r + C2
1
r
.
Konstanti C1 in C2 določimo tako, da dobimo na plaščih valjev predpisani
hitrosti. Naj opozorimo, da je rešitev neodvisna od viskoznosti tekočine,
kar je za primerjavo med našo rešitvijo in eksaktno še posebej ugodno. Od
viskoznosti tekočine je odvisen le čas, v katerem se vzpostavi stacionarno
stanje. Pri zelo majhni viskoznosti je ta čas zelo dolg. Prva enačba pa ni
več diferencialna in je povsem razumljiva: tlačni gradient v radialni smeri
obdrži gibanje izbranega delčka tekočine na krožni poti. Uporabimo jo, če
želimo določiti tlak tekočine med valjema.
182 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 183 — #7 i
i
i
i
i
i
Navier-Stokesova enačba in elastični trki
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
 0
 0.2
 0  0.2  0.4  0.6  0.8  1
r - r1
v(r)
Slika 4. Radialna porazdelitev hitrosti pri toku med dvema valjema, dobljena s povpreče-
njem hitrosti ploščic pri danem radiju.
Na sliki 4 je prikazano povprečje hitrosti ~v ploščic po dalǰsem času v
odvisnosti od radija, kjer povprečje opazujemo. Primerjava z eksaktno re-
šitvijo pokaže, da je naša metoda zelo uspešna.
Po ovrednotenju pristopa s tema primerjavama se lotimo še dveh nalog.
Opazujmo tok med ravninama, ki ga zmotimo z oviro. V tok povprek posta-
vimo ploščo, da lahko teče tok le med ploščo in ravninama. Če opazujemo
tak tok v naravi, opazimo za oviro vrtinca. Pojavita se na gladini, tudi ko
skozi mirujočo vodo potegnemo ploščat predmet, morda lopatico ali žlico.
Na sliki 5 je prikazano polje povprečnih hitrosti ploščic po dalǰsem času. Ja-
sno sta vidna vrtinca za oviro, ki se pojavita kmalu po zagonu programa in
sta postopoma vse bolj izrazita. Hitrostno polje smo primerjali z numerično
rešitvijo Navier-Stokesove enačbe. Ujemanje je zelo dobro, kar nas niti ne
preseneča več.
Oglejmo si še zadnji primer. Ko odmašimo odtok v kopalni kadi, začne
voda odtekati. Kmalu se nad odtokom pojavi vrtinec, ki gladino močno
upogne do skoraj navpične smeri. Večkrat slǐsimo mit, da je smer vrtenja
vode v vrtincu posledica Coriolisove sile, ki se pojavi zaradi vrtenja Zemlje
okrog svoje osi. Zato naj bi se na severni polobli voda vrtela v nasprotnem
smislu kot na južni polobli. Domiselni domačini, ki so doma blizu ekvatorja,
za turiste prirejajo celo demonstracijo tega mita. Na eni strani ekvatorja se
res voda v vrtincu vrti v nasprotni smeri kot na drugi strani. Pri tem sta
kadi le nekaj metrov narazen. Čeprav so turisti zadovoljni, pa Coriolisova
sila nima znatne vloge pri vrtenju vode. Ta sila ima vpliv le pri zelo obsežnih
vremenskih dogajanjih. Vrtinec se pojavi zaradi vrtilne količine, ki jo ima
voda pred vstopom v odtok. Zaradi neravnega dna na gibajočo se vodo
deluje navor, odvisen od ovire. Dobljena vrtilna količina, čeprav majhna,
177–186 183
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 184 — #8 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
Slika 5. Vrtinca za oviro v toku.
blizu odtoka zaradi majhnega polmera vrtinca močno pospeši vodo v njem.
Z metodo trkajočih ploščic smo določili hitrostno polje pri iztekanju
vode. Valjasti posodi smo na sredi izrezali odtok. Ploščice, ki so poni-
knile v odtoku, smo ponovno prestavili na zunanji rob posode. Pri mirujoči
posodi je iztekanje in z njim povezano hitrostno polje po pričakovanju pov-
sem radialno, voda ne naredi vrtinca. Pri vrteči se posodi pa je vrtinec lepo
viden (glej sliko 6). Vrtinec se pojavi tudi pri mirujoči posodi, če tok naleti
na oviro, ki mu z navorom podeli vrtilno količino (glej sliko 7).
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
-2 -1.5 -1 -0.5  0  0.5  1  1.5  2
Slika 6. Vrtinčasto iztekanje tekočine iz vrteče se okrogle posode.
Čeprav je pojav vrtinca pri praznjenju kopalne kadi na široko znan, pa
natančne fizikalne obravnave dogajanja v vrtincu v literaturi ni bilo zasle-
diti. Septembra leta 2003 so v reviji Physical Review Letters objavili članek
184 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 185 — #9 i
i
i
i
i
i
Navier-Stokesova enačba in elastični trki
-2
-1.5
-1
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5  0  0.5  1  1.5  2
Slika 7. Iztekanje iz mirujoče posode z oviro.
Slika 8. Fotografije vrtinca pri iztekanju iz okrogle vrteče se posode, iz [1].
z naslovom »Anatomy of Bathtub Vortex«, v katerem so s poskusi in računi
osvetlili ta pojav. Poskus so naredili z vrtečo se valjasto posodo s sredinskim
odtokom na dnu posode. Posoda je bila prirejena tako, da so lahko opazovali
obliko vrtinca in hitrostno polje okrog njega. Na sliki 8 vidimo fotografije
vrtinca pri različnih kotnih hitrostih posode. Hitrostno polje blizu vrtinca
je izredno zapleteno. Prikazali so ga tako, da so na površino vode in na dno
kanili fluorescentno barvo, na dno zeleno, na površino pa rdečo. Presene-
tljive so tokovnice na dnu, ki se v bližini vrtinca dvignejo in nato ukrivijo
navzdol (glej sliko 9). Opažanja so se ujemala z izračuni tokovnega polja.
Naš pristop seveda ne seže tako daleč, da bi osvetlil podrobnosti v vrtincu
in blizu njega. Za kaj takega bi morali ploščice nadomestiti s kroglicami. O
tem pa morda kdaj drugič.
177–186 185
i
i
“Likar” — 2021/2/19 — 8:18 — page 186 — #10 i
i
i
i
i
i
Andrej Likar
Slika 9. Hitrostno polje v vrtincu in blizu njega je zelo zapleteno. Deli vode na gladini
so obarvani rdeče, deli na dnu posode pa zeleno. Pri iztekanju se voda z dna povzpne
navzgor, ko je blizu vrtinca. a) fotografija pri iztekanju, b) skica tokovnic; iz [1].
LITERATURA
[1] A. Andresen, T. Bohr, B. Stenum, J. Juul Rasmussen in B. Lautrup, Anatomy of a
Bathtub Vortex, Phys. Rev. Lett. 91 (2003), 104502–1.
[2] W. P. Graebel, Advanced Fluid Mechanics, Elsevier, 2007.
186 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 187 — #1 i
i
i
i
i
i
ZANIMIVOSTI
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
Občutljivost in specifičnost
Veliko populacijo V = a + b + c + d pacientov, med katerimi je določen del
okužen, testiramo. Testi imajo nekatere pomanjkljivosti. Tako test pri a
okuženih potrdi okužbo. Pri c okuženih pa test da negativen rezultat – to
so lažno negativni ali napačno negativni. To imamo ponazorjeno v spodnji
tabeli.
−−− okužen ni okužen
pozitiven test a b
negativen test c d
Povzemimo: a je število okuženih s pozitivnim testom, c je število oku-
ženih, a z negativnim testom, torej lažno negativnih. In a+ c je število vseh
okuženih.
Količnik
o =
a
a + c
je občutljivost ali senzitivnost testa [4]. To je torej delež pozitivnih (na
testu) med resnično okuženimi.
Pri neokuženih je test pri b osebah pozitiven – to so lažno pozitivni
neokuženi. Pri d neokuženih pa je test pravilno dal negativen rezultat.
Količnik
s =
d
b + d
je specifičnost testa. To je torej delež negativnih (na testu) med tistimi, ki
resnično niso okuženi.
Pomembno je, da vemo oba podatka; en sam je lahko močno zavajajoč.
Imejmo populacijo, ki vsebuje tako okužene kot neokužene. Goljufivi test
T, ki da vsakič pozitiven rezultat, ima stoodstotno občutljivost, saj je c =
d = 0. Ima pa tudi ničelno specifičnost.
Ničvreden test U, ki da vsakič negativen rezultat, ima a = b = 0. Ni
lažno pozitivnih, zato je specifičnost 100 % – občutljivost pa ničelna.
PCR test za COVID-19 zahteva več ur obdelave v laboratoriju, kjer
pomnožujejo genetski material virusa in tako lahko zaznajo virus tudi pri
majhnih koncentracijah. Po Wikipediji [8] (vsi podatki so iz januarja 2021)
ima povprečno občutljivost okrog 95 %. Če smo bolj podrobni, naj bi bila
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 187
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 188 — #2 i
i
i
i
i
i
Vesti
občutljivost nekako 70- do 100-odstotna, odvisno od znamke testa in metode
odvzema vzorca.
Povprečna specifičnost naj bi bila okrog 99 % (od 92 do 100 odstotkov).
Delež lažno pozitivnih med neokuženimi je zelo majhen. V skromnem deležu
resnično okuženih pa test neupravičeno kaže odsotnost bolezni. PCR test
velja za »zlati standard«: to je trenutno najbolj cenjen test na tržǐsču.
Je eden od tako imenovanih molekularnih testov; razvijajo pa tudi nove,
drugačne teste te kategorije.
Primer 1. Denimo, da imamo populacijo 10.000 ljudi, med katerimi je dva
odstotka, torej 200 ljudi resnično okuženih. Pri občutljivosti 95 % test da
pri a = 190 okuženih pozitiven rezultat. Deset oseb (c=10), torej en promil
celotne populacije, je lažno negativnih. Nekateri med temi bodo brezskrbno
hodili v službo ali družbo in morda okužili druge. Med 9800 neokuženimi
in pri specifičnosti 99 % jih d = 9702 testira negativno, b = 98 pa lažno
pozitivno. Ti zadnji bodo imeli deset dni izolacije in skrbi, čeprav niso
okuženi. Nekateri med lažno pozitivnimi bodo morda verjeli, da so brez
simptomov preboleli okužbo in da so torej imuni, čeprav to ni res.
V opisanem primeru je b = 98 oseb od a+b = 288 vseh oseb s pozitivnim
testom v resnici brez okužbe. Torej je približno vsak tretji, ki ga je test
označil kot okuženega, brez okužbe. Približno dve tretjini tistih s pozitivnim
rezultatom pa je res okuženih.
Test je izločil izredno velik delež okuženih in če bodo ti res v karanteni, bo
širjenje bolezni bistveno manǰse. Velika večina neokuženih bo vsaj začasno
pomirjena.
Primer 2. Podatki naj bodo kot zgoraj, le da je 30 odstotkov populacije,
torej 3000 oseb okuženih. Pri 95-odstotni občutljivosti nam test pri c =
150 ljudeh da lažno negativen rezultat, a = 2850 oseb pa dobi pravilno
diagnozo. Med 7000 neokuženimi je pri specifičnosti 0,99 en odstotek, torej
b = 70 lažno pozitivnih, d = 6930 oseb pa dobi pravilno negativno diagnozo.
Med vsemi (a + b = 2920 osebami) s pozitivnim rezultatom je le 70, torej
približno 2,4 odstotka, lažno pozitivnih. Torej je med tistimi s pozitivnim
testom približno 97,6 % res okuženih. Problem lažno negativnih pa je seveda
bistveno večji kot v preǰsnjem primeru.
Hitri antigenski testi
Hitri antigenski testi reagirajo na določeno, za virus značilno beljakovino
na njegovi površini. Zato mora biti za pozitiven rezultat v vzorcu dovolj
virusov. Časovni interval v poteku bolezni, v katerem test zazna virus, je
188 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 189 — #3 i
i
i
i
i
i
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
precej ožji kot pri PCR testu. Tako je občutljivost manǰsa kot pri PCR
testih in je več lažno negativnih. Specifičnost pa naj bi bila enako visoka
kot pri PCR testih. Tako lahko hitro identificiramo zelo kužne osebe. Ti
testi so veliko ceneǰsi in dajo rezultate že v četrt ali pol ure.
Svetovna zdravstvena organizacija (WHO) priporoča, naj uporabljamo
hitre antigenske teste, ki imajo občutljivost vsaj 80 % in specifičnost vsaj
97 %. Evropska ustanova ECDC priporočilo za občutljivost zvǐsuje na vsaj
90 %. V Franciji gredo korak dalje in priporočajo specifičnost vsaj 99 %.
Problem je, če se pri izbiri testa zanašamo na podatke proizvajalcev. Kot
pravi nedavni članek [2] v reviji The Lancet, je za izredno začasno odobritev
testa v ZDA dovolj že, da producent predloži rezultate testiranja na 30
vzorcih. Preizkus je praktično zmeraj narejen na simptomatskih posamez-
nikih (torej ljudeh s simptomi covida-19), ki so bili pozitivni na PCR testu
(torej na osebah z visoko obremenitvijo z virusom). Kateri PCR test je bil
to, proizvajalci ne navajajo. Nekateri proizvajalci v navodilih pravijo, da so
hitri testi mǐsljeni le za simptomatske posameznike. Ti testi so novost na
tržǐsču in zato ni veliko neodvisnih preverjanj občutljivosti in specifičnosti.
Poleg tega so pri danem testu rezultati precej odvisni od izvedbe.
Raziskovalci z Univerze Oxford so v študiji [11] za hitri antigenski test
I kalifornijskega podjetja ugotovili zelo visoko specifičnost: 99,6 %. Med
vzorci, ki so bili na PCR testu pozitivni, pa je ta antigenski test v povprečju
le 77 % spoznal za pozitivne. Če so teste opravljali laboranti, je bil ta delež
nekaj vǐsji (79 %), če priučeno medicinsko osebje, pa 73 %. Če so teste
opravljali laiki (kot je denimo pri uporabi testov doma), je vrednost padla
pod 58 %.
Kasneǰsa analiza [9] istega testa I, opravljena med množičnim testira-
njem v Liverpoolu, je dala občutljivost 40 % in specifičnost 99,9 %. Med
asimptomatskimi osebami z veliko produkcijo virusa je bila občutljivost
66 %.
Amerǐska raziskava [5] hitrega antigenskega testa S na študentski popu-
laciji (ki ni ravno odraz celotne populacije) je pokazala naslednje rezultate:
na simptomatskih posameznikih: občutljivost 80 %, specifičnost 99 %; na
asimptomatskih študentkah in študentih (brez znakov bolezni): občutljivost
41 %, specifičnost 98,4 %.
V francoski študiji [3] za ta isti test S na asimptomatskih osebah navajajo
občutljivost 70 % in specifičnost 99 %. V dovoljenju za začasno uporabo
testa S so navedeni rezultati iz proizvajalčeve študije: občutljivost 96,7 %,
specifičnost 100 %.
Kako se znajti v džungli tako različnih, večkrat nasprotujočih si rezul-
tatov za en in isti test? Kako izbrati dober test? Odgovor so primerjalne
raziskave, kjer neodvisni znanstveniki več testov uporabijo pod istimi pogoji.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 189
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 190 — #4 i
i
i
i
i
i
Vesti
Nemški virologi in infektologi so v preprintu [1] preizkušali sedem anti-
genskih testov, večinoma izdelkov velikih znanih podjetij. Pet jih je imelo
specifičnost med 98,5 % in 100 %, eden je imel specifičnost 95 % in eden
specifičnost 88 %. Test z najnižjo specifičnostjo je bil dobesedno premalo
specifičen: zdi se, da je včasih reagiral tudi na viruse gripe in druge podobne
viruse. Vendar je bilo s tem mogoče razložiti le pol lažno pozitivnih rezulta-
tov. Namesto občutljivosti so raje merili, kakšne koncentracije virusa lahko
test še zazna.
Francoska primerjava [3] desetih (verjetno tam najbolj popularnih) hitrih
antigenskih testov je pokazala na asimptomatskih posameznikih občutljivost
od 30 do 50 odstotkov pri devetih testih. En sam test (S) je tu dosegel
vrednost 70 %. Ta test je imel specifičnost 99 %, preostali pa 100 %.
Seznam hitrih antigenskih testov, katerih rezultate so nedavno (15. janu-
arja) priznavali pri vstopu v Francijo, je dalǰsi in je na [10]. Med skoraj pet-
desetimi odobrenimi izdelki je tudi test podjetja Shenzhen Ultra-Diagnostics
Biotec. Ta test je kupila naša država. Ni pa bil vključen v gornji primerjalni
raziskavi. Kot razumemo, je pri nas večinoma uporabljen na asimptomat-
skih osebah.
Primer 3. V populaciji V = 10.000 asimptomatskih oseb je x = 10 %,
torej 1000 oseb okuženih. Hitri antigenski test naj ima za to populacijo
občutljivost 0,5 in specifičnost 0,99. Med 1000 okuženimi jih test odkrije
500. Preostalih 500 okuženih je lažno negativnih. Med 9000 neokuženimi je
en odstotek, torej 90 lažno pozitivnih. Pravilno negativno diagnozo pa dobi
8910 oseb.
Test je torej izločil 500 okuženih in 90 neokuženih posameznikov. Pre-
pustil pa je 500 okuženih.
Hitri antigenski testi spregledajo preceǰsen delež okuženih – predvsem
tiste, pri katerih se bolezen šele razvija. Izločijo pa visok delež (trenutno)
zelo kužnih posameznikov. Če tak test ponovimo po nekaj dneh, bomo
izločili veliko tistih, pri katerih se je pri prvem testu bolezen šele začela.
V Beli hǐsi v ZDA so se zanašali na pogoste hitre antigenske teste, a je
vseeno prǐslo do izbruha bolezni. Treba je pač upoštevati tudi druge ukrepe
za preprečevanje okužb.
Presejalni testi
Problem velikega deleža lažno pozitivnih imamo pri presejalnih testih za
nekatere redke, a resne bolezni. To niso diagnostični testi. Gre za sito,
uporabljeno na veliki populaciji, ki naj bi prepustilo kar se da velik delež oseb
brez problemov in zadržalo praktično vse s problemom. Tako je preostanek
190 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 191 — #5 i
i
i
i
i
i
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
na situ (to so pozitivni na testu) bistveno manǰsi od testirane populacije. Na
preostanku laže izvedemo dražja, zamudneǰsa presejanja ali bolj agresivne
diagnostične postopke. Udeležencem takih testov je nujno treba pojasniti,
da pozitiven presejalni test še ne pomeni diagnoze. (Tudi testiranje celotne
populacije s hitrimi testi spada med presejalne teste.)
Eden od presejalnih testov bazira na rentgenskih slikah. Razlike med
kakovostjo dela radiologov so lahko preceǰsnje. Branje komaj vidnih lis na
sliki ni enostavno in zahteva veliko pozornosti in izkušenj. Tudi v literaturi
se podatki o senzitivnosti in specifičnosti danega testa precej razlikujejo.
Če se trudimo, da ne bi spregledali tudi najmanǰse potencialno proble-
matične spremembe, se pravi, povečujemo občutljivost, tvegamo več lažno
pozitivnih rezultatov, torej zmanǰsanje specifičnosti. Uravnoteženje obču-
tljivosti in specifičnosti je pogosto delikatna naloga.
Primer 4. Privzemimo, da občutljivost in specifičnost presejalnega testa
znašata 90 odstotkov, torej s = o = 0,9. Denimo, najprej, da je v popu-
laciji delež nediagnosticiranih problemov (kar ustreza okuženim v preǰsnjih
primerih) en odstotek. Pri V = a + b + c + d = 10.000 testiranih ima le
a + c = 100 oseb problem. Med njimi bo a = 90 dobilo pravo diagnozo,
c = 10 pa lažno negativen rezultat. Od 9900 neproblematičnih pacientk
(pacientov) bi b = 990 dobilo lažen pozitiven rezultat, 8910 pa pravilen ne-
gativen rezultat. Na situ je od 10.000 oseb ostalo 1080 ljudi. Med njimi jih
ima le 90 problem, torej le ena dvanajstina ali približno 8,3 odstotka. Lažno
pozitivnih je enajstkrat toliko, kot je resnično ogroženih. Skozi sito je padlo
10 oseb s problemom in ti za zdaj ne bodo deležni nadaljnje obravnave.
Pozitivna in negativna napovedna vrednost
Iz primerov vidimo, da za uspešnost oziroma uporabnost testa nista po-
membni le njegova občutljivost in specifičnost, temveč tudi delež oseb v
populaciji, ki imajo problem. Naj bo V = a + b + c + d celotna populacija.
Označimo z
x =
a + c
V
delež okuženih (problematičnih) oseb v testu.
Torej je a + c = xV in b + d = V − xV = (1 − x)V . Vemo, da je
a = o(a + c) = oxV in d = s(b + d) = s(1 − x)V . Od tod je b = b + d− d =
(1− x)V − s(1− x)V = (x(s− 1) + 1− s)V in c = a+ c− a = xV − oxV =
(x− ox)V .
Vpeljali bomo dve novi merili. To sta pozitivna napovedna vrednost in
negativna napovedna vrednost. Obe ležita na intervalu od 0 do 1 in sta
močno odvisni od deleža x okuženih (problematičnih) oseb.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 191
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 192 — #6 i
i
i
i
i
i
Vesti
Pozitivna napovedna vrednost ali preciznost p testa je za našo tabelo
enaka
p =
a
a + b
.
Število okuženih s pozitivnim testom delimo s številom vseh, ki imajo pozi-
tiven test. Po gornjih računih je
p(x) =
ox
(s + o− 1)x + 1 − s
.
Tako je p ulomljena linearna funkcija spremenljivke x. Pri fiksni občutlji-
vosti o in specifičnosti s je p močno odvisen od deleža okuženih, saj je
p(0) = 0, p(1) = 1.
Pri presejalnih testih je delež x problematičnih oseb v populaciji blizu
0. Ker je p(0) = 0, je pozitivna napovedna vrednost p(x) majhna: na situ
ostane preveč oseb. To je velik problem tako za paciente (pacientke) kot
za javno zdravstvo. Če so za napačne rezultate odgovorne slučajne napake
(šum), pomaga ponovitev presejalnega testa. Recimo, posamezna doda-
tna digitalna rentgenska slika je glede izpostavljenosti sevanju malenkost v
primerjavi z računalnǐsko tomografijo (CT), ki je ekvivalent nekaj sto posa-
meznim slikam. Mogoče so dodatne nenevarne preiskave, kot je ultrazvok.
Včasih pomaga, če originalno sliko neodvisno pregledata dva strokovnjaka,
ki ob nestrinjanju pokličeta še tretjega. Pomembno je, da zmanǰsamo število
nadaljnjih bolj agresivnih diagnostičnih postopkov.
Negativna napovedna vrednost n testa za našo tabelo je število ne-
okuženih z negativnim testom deljeno s številom vseh, ki imajo negativen
test:
n =
d
c + d
.
Ker je c = (x− ox)V in d = s(1 − x)V , je
n(x) =
s(1 − x)
s− (s + o− 1)x
.
Vidimo: n(0) = 1, n(1) = 0. Če je delež x problematičnih (okuženih) maj-
hen, pričakujemo, da bo n(x) blizu 1 in torej negativna napovedna vrednost
visoka.
Oglejmo si še enkrat primer 1. Pozitivno napovedno vrednost smo že
izračunali: p = 190/288 ≈ 66 %. To odraža dejstvo, ki smo ga že povedali:
med pozitivno testiranimi je približno dve tretjini res okuženih.
Med 9712 osebami z negativnim testom je 9702 res neokuženih, torej je
negativna napovedna vrednost izredno visoka: n ≈ 99,9 %. Za posameznika
je pri negativnem testu možnost okužbe skoraj izključena.
192 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 193 — #7 i
i
i
i
i
i
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
V primeru 2 je pri isti občutljivosti in isti specifičnosti kot v prvem
primeru: p = 2850/(2850 + 70) ≈ 97,6 %. Tolikšen delež je res okuženih
med vsemi, ki so bili na testu pozitivni. Pozitivna napovedna vrednost je
zdaj visoka. Pozitiven rezultat na testu skoraj gotovo pomeni okužbo.
Med 7080 osebami z negativnim testom je 6930 res neokuženih, torej je
negativna napovedna vrednost prav tako visoka: n ≈ 98 %.
Na sliki 1 imamo grafa za pozitivno in negativno napovedno vrednost
(črtkano) pri o = 0,95, s = 0,99.
Slika 1. Pozitivna in negativna napovedna vrednost za o = 0,95, s = 0,99.
V primeru 3 (antigenski test) je med 590 osebami s pozitivnim testom
500 res okuženih, torej je pozitivna napovedna vrednost 500/590 ≈ 85 %.
Med 9410 ljudmi z negativnim testom je 8910 res neokuženih, zato je
negativna napovedna vrednost 8910/9410 ≈ 95 %.
V našem primeru je bilo med 10.000 testi 590 pozitivnih, torej slabih
6 odstotkov. Delež okuženih v testirani populaciji pa je vǐsji in znaša 10
odstotkov. Tudi to ilustrira pomanjkljivosti testa.
Na sliki 2 sta grafa za pozitivno in negativno napovedno vrednost (črt-
kano) pri o = 0,5, s = 0,99.
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 193
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 194 — #8 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 2. Pozitivna in negativna napovedna vrednost za o = 0,5, s = 0,99.
V četrtem primeru (presejalni test) smo že izračunali, da je pozitivna
napovedna vrednost zelo nizka in enaka 1/12 ≈ 8,3 %. Kljub temu bi
lahko rekli, da je test opravil svojo nalogo: populacija, ki gre v nadaljnjo
obravnavo, je približno ena devetina prvotne.
Negativna napovedna vrednost pa je izredno visoka in enaka 8910/8920 ≈
99,9 %. To pač pomeni, da si pri negativnem testu lahko oddahnemo: ver-
jetnost, da imamo problem, je izredno majhna.
Če v četrtem primeru povečamo vrednost za x na 5 odstotkov, je pozi-
tivna napovedna vrednost enaka 450/(450 + 950) ≈ 32 %. V tem primeru
ima približno vsaka tretja oseba s pozitivnim testom res problem. Pozitivna
napovedna vrednost je zdaj mnogo bolǰsa. Negativna napovedna vrednost
je enaka 8550/(8550 + 50) ≈ 99,4 % in tako še vedno izredno visoka.
Naloga. V raziskavi [7] je bilo testiranih 122 oseb. Izračunali so, da je bila
občutljivost testa 97 %, specifičnost 64,5 %, pozitivna napovedna vrednost
89 %. Približno koliko oseb je v resnici imelo problem?
Pisanje tega prispevka je spodbudilo branje odlične poljudne knjige The
Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything [6]. Napisal jo
je Kit Yates, profesor in eden od direktorjev Centra za matematično biologijo
194 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5
i
i
“Legisa” — 2021/2/10 — 12:16 — page 195 — #9 i
i
i
i
i
i
Občutljivost in specifičnost diagnostičnega testa
na Univerzi v angleškem mestu Bath. Čeprav je knjiga izšla pred sedanjo
pandemijo, je njena vsebina še kako relevantna v današnjih razmerah in nam
je bila za vzor, skupaj s predavanji [4] profesorice dr. Maje Petek Šter. Z
veseljem smo uporabili pripombe obeh recenzentov.
(Rešitev naloge: 91–92.)
LITERATURA
[1] V. C. Corman et al., Comparison of seven commercial SARS-CoV-2 rapid Point-of-
Care Antigen 1 tests, preprint, 2020, dostopno na www.medrxiv.org/content/10.
1101/2020.11.12.20230292v1.full.pdf, ogled 25. 1. 2021.
[2] M. C. Fitzpatrick et al., Buyer beware: inflated claims of sensitivity for rapid COVID-
19 tests, The Lancet 397(10268) (2021) 24–25, dostopno na www.thelancet.com/
action/showPdf?pii=S0140-6736, ogled 25. 1. 2021.
[3] S. Fourati et al., Évaluation de la performance diagnostique de neuf
tests rapides antigéniques COVID-19, Assistance publique – Hôpitaux
de Paris, 2020, dostopno na www.aphp.fr/contenu/evaluation-de-la-
performance-diagnostique-de-neuf-tests-rapides-antigeniques-covid-19,
ogled 25. 1. 2021.
[4] M. Petek Šter, Interpretacija rezultatov statističnih testov, Praktična statistika, Me-
dicinska fakulteta, Ljubljana, februar–marec 2016, dostopno na www.mf.uni-lj.si/
application/files/9315/3842/0966/EBM_petek_2.pdf, ogled 25. 1. 2021.
[5] I. W. Pray et al., Performance of an Antigen-Based Test for Asymptomatic and
Symptomatic SARS-CoV-2 Testing at Two University Campuses – Wisconsin, 2020,
CDC Morbidity and mortality weekly report, 1. jan 2021 / 69(5152); 1642–1647, do-
stopno na www.cdc.gov/mmwr/volumes/69/wr/mm695152a3.htmn, ogled 25. 1. 2021.
[6] K. Yates, The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost) Everything, Quercus,
London, 2019.
[7] M. Zeeshan et al., Diagnostic Accuracy of Digital Mammography in the Detec-
tion of Breast Cancer, Cureus 10(4), 2018, dostopno na www.researchgate.net/
publication/324312923_Diagnostic_Accuracy_of_Digital_Mammography_in_
the_Detection_of_Breast_Cancer, ogled 25. 1. 2021.
[8] COVID-19 testing, Wikipedia, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/COVID-19_
testing, ogled 25. 1. 2021.
[9] Expert reaction to Interim Evaluation Report from the Liverpool Covid-19
Community Testing Pilot, Science Media Centre, 2020, dostopno na www.
sciencemediacentre.org/expert-reaction-to-interim-evaluation-report-
from-the-liverpool-covid-19-community-testing-pilot/, ogled 25. 1. 2021.
[10] List of antigen tests authorized for entry to France from UK, dostopno na uk.
ambafrance.org/List-of-antigen-tests-authorized-for-entry-to-France-
from-UK-29434, ogled 25. 1. 2021.
[11] Preliminary report from the Joint PHE Porton Down and University of Oxford
SARS-CoV-2 test development and validation cell : Rapid evaluation of Lateral
Flow Viral Antigen detection devices (LFDs) for mass community testing, do-
stopno na www.ox.ac.uk/sites/files/oxford/media_wysiwyg/UK%20evaluation_
PHE%20Porton%20Down%20%20University%20of%20Oxford_final.pdf, ogled 25. 1.
2021.
Peter Legǐsa
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 5 195