i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 146 | #1 i i i i i i NOVEKNJIGE Janez Mulec, Zivljenjska pot matematika Iva Laha 1 , samozalo zba, 2023, 177 str. Vsakdo ima v svoji omari kak sen skrit predal cek, ki se ga boji odpreti, da ne bi iz njega pogledali okostnjaki preteklosti. To velja tudi za Slovence kot narod, za Slovenijo kot dr zavo, pa tudi za vse biv se dr zave, ki smo jim Slovenci, se ne tako dale c v preteklosti, pripadali. Vse prerado pa se zgodi, da tistih skritih predal ckov nikoli ne odpremo. Pri posameznikih je razlog v grozi, ki nas prevzema ob misli, da bi obudili ze davno pokopane nepopravljive grehe, ki smo jih zagre sili sami ali pa na si predniki. Pri zanikanju skupinskega zgodovinskega spomina pa obstajata predvsem dva po- glavitna razloga. Po vsaki vojni, po vsaki bitki, po vsakih volitvah zmagovita stran pi se zgodovino na novo. Pri tem skrbi v casih s posebnimi propagandnimi slu zbami, da skriti predal cki ostajajo skriti in da vrata vanje ostanejo trdno zaprta. Drugi, se veliko huj si pro- blem pa je, da ima vsaka omara, vsak spomin, omejen vek trajanja. Ko omara preperi in razpade, je vsebina skritega predal cka za vse ve cne case izgubljena. Pri cujo ca knjiga pa pred pozabo ohranja pomembna dejstva. Predstavlja zagozdo, ki za vedno ohranja odprta vrata enega od skritih predal ckov slo- venske zgodovine ter zgodovine slovenske znanosti in matematike. Prikazuje namre c z dokumenti podprto zivljenjsko zgodbo po krivici zapostavljenega slovenskega razumnika Iva Laha (5. 9. 1896{23. 3. 1979). Avtor knjige je bil od mladosti povezan z Ivom Lahom in Lahovimi. Je njegov daljni sorodnik (njegova stara mama je bila Ivova sestri cna). Oba izhajata iz istih krajev ( Strukljeva vas, kjer se je rodil Ivo Lah, je le 13 kilo- metrov oddaljena od Cerknice, kjer je prebival Janez Mulec). Mulec je Laha 1 Malo pred Bo zi cem sem prejel v dar izvod te knjige, ki je iz sla v samozalo zbi v 100 izvodih. Dne 28. 12. 2023, le nekaj dni po njenem izidu, so njenega avtorja, Janeza Mulca, pokopali. 146 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 147 | #2 i i i i i i Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha poznal vse do njegove smrti, skoraj 40 let. To daje knjigi se poseben osebni pe cat, kar pa prav ni c ne zmanj suje njene objektivnosti in verodostojnosti. Knjiga namre c prina sa iz Lahove osebne zapu s cine stevilne dokumente, fotograje, zapiske itd., ki jih lahko vsak bralec interpretira po svoje. Raz- kritja dale c presegajo pomen separatov Lahovih strokovnih in znanstvenih del, ki jih je se za casa zivljenja zapustil Narodni in univerzitetni knji znici. Nekaj izvemo tudi o o cetu Iva Laha oziroma o tem, kako ga je videl Ivo. Po njem je namre c podedoval veselje do ra cunanja, po drugi strani pa je prek njega vsrkaval notranjsko prakti cno praznoverje. Ivov o ce je bil eden zadnjih mo z dale c naokoli, ki je znal zdraviti zivino z zagovarjanjem. Zdravljenje s praznoverjem je bilo za revne kmete privla cnej se od zdravljenja z vero. Namesto 20 soldov, ki jih je ra cunal Ivov o ce za zagovarjanje, bi bilo zupnikovo zdravljenje s sveto ma so v farni cerkvi bistveno dra zje. V svojem dalj sem spisu »Zagovarjanje (resni cni dogodek) « Ivo na hudomu sen na cin razlo zi razliko med liberalci in klerikalci, ko kot fanti c med odgovori na zupnikovo vpra sanje »Kateri so grehi zoper vero?« na steva med drugim » Ce se kdo k liberalcem zapi se . . . ce kdo . . . zagovarja . . . «. Pojasni tudi materino veliko bojazen, da ne bi bila zveli cana, ker je prvi otrok prezgodaj privekal na svet in je videla edino zagotovilo za odre senje, ce bi kateri od obeh sinov pel novo ma so. Zato je podprla zupnikovo priporo cilo, naj nadarjenega Iva po sljejo solat v Ljubljano, ceprav pri hi si ni bilo veliko denarja. Pa se ji zelja ni uresni cila niti pri Ivu niti pri njegovem mlaj sem bratu Jo zetu, ki je leta 1945 skupaj s svojim osemnajstletnim sinom po vrnitvi iz Vetrinj umrl v tabori s cu Teharje. Po kon cani srednji soli v Ljubljani je Ivo Lah leta 1915 vstopil v solo za castnike avstro-ogrske vojske kot enoletni prostovoljec. Zaradi vojne in povojnih dogodkov je ostal v uniformi kar stiri leta. Mul ceva knjiga odkriva fotograje vojaka, castnika Iva Laha, najprej iz Neumarkta na Ju znem Tirol- skem, potem pa iz zaledja so ske fronte. Lah je med vojno prebolel trebu sni tifus. Po vojni pa se je pridru zil Malgajevim borcem za severno mejo. Patriotizem, ki ga je Ivo Lah izkazal v stirih letih v bojih v voja ski uniformi, mu ni prinesel odre sitve, niti na nacionalni niti na osebni ravni. Slovenija je izpod nadvlade Dunaja pri sla pod nadvlado Beograda. Za Laha in njegovo generacijo pa je to pomenilo, da je bil pripadnik vojske, ki je izgubila vojno. Izgubil pa je tudi stiri pomembna leta v svojem akademskem razvoju in je bil tako v bistveno slab sem polo zaju od studentov, ki so se uniformi izognili. Zanimivo je, da se je po kon cani vojni odlo cil za studij na Univerzi v Zagrebu. Gotovo je imel tam bolj se mo znosti izpopolnjevanja v uporabni matematiki kot v Ljubljani, kjer je na univerzi Josip Plemelj dajal ton v obli- kovanju odnosa matematikov do uporabe matematike zunaj naravoslovja. Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 147 i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 148 | #3 i i i i i i Nove knjige Se preden je Lah leta 1925 diplomiral na lozofski fakulteti iz matematike, je na Kraljevi visoki soli za trgovino in promet leta 1923 opravil dr zavni izpit in bil prav tam eno leto asistent iz matematike. Ceprav je kasneje ve ckrat predaval na univerzi, je svoje poslanstvo videl zunaj akademske sfere. Lahov pristop k matematiki je bil podoben pristopu Jurija Vege in na- sproten Plemljevemu. Medtem ko je Plemelj videl odlike matematike pred- vsem v njeni globini in cistosti, ki je doumljiva le najbolj sim in najsposob- nej sim matematikom, navadnim smrtnikom pa je popolnoma nedosegljiva, sta videla Vega in Lah matematiko predvsem kot sredstvo za razumevanje in izbolj sevanje pojavov realnega sveta in sta se brez kak snih manjvredno- stnih kompleksov lotila ustvarjanja matematike. In tudi ona dva sta se zapisala s svojim delom v zgodovino svetovne matematike. Seveda pa je tudi med njima velika razlika. Medtem ko je Vega izhajal iz izbolj sevanja vsega, kar je bilo povezano s topni stvom, od zlaganja krogel v kopice do balistike ter priro cnikov za hitro ra cunanje, pa je Laha zanimala uporaba matematike pri dru zbenih podsistemih, v ekonomiji, demograji, statistiki, zavarovalni stvu, aktuarstvu. Beseda »aktuar« je pri sla v moj besednjak sele po slovenski osamosvojitvi, saj se je je pred tem dr zal, tako kot npr. be- sede »renta« ali besedne zveze »prostovoljno zavarovanje«, pridih zatohlega kapitalizma. Med najpomembnej sa Lahova dela lahko uvrstimo tri: eno predvojno, dve pa povojni. 1. Bil je eden izmed vodilnih pionirjev aktuarstva v Jugoslaviji. Aktivno se je udele zeval svetovnih aktuarskih kongresov. Doma pa je osnoval in stiri leta, do Hitlerjevega napada na Jugoslavijo, urejal revijo »Glasnik udru zenja aktuara kraljevine Jugoslavije «. To je bila prva revija na teh prostorih, ki je objavljala clanke iz aktuarstva, demograje, statistike in matematike. 2. Leta 1947 je iz sla njegova trijezi cna knjiga »Ra cunske osnovice zivotnog osiguranja« [5]. 3. Leta 1954 je objavil mednarodno odmeven prispevek v angle s cini [6], potem pa se v nem s cini [7], v katerem je objavil koeciente, ki pove- zujejo nara s cajo ce potence s padajo cimi in so jih v svetovni literaturi poimenovali »Lahova stevila «. Zanimivo je, da noben od teh velikih Lahovih dose zkov pri pouku ma- tematike v soli ali na univerzi nikjer v Jugoslaviji ni bil omenjen, ceprav smo Lahova stevila poznali in smo jih pri pou cevanju kombinatorike tudi omenjali. Razumeti je treba, da je bila kombinatorika tudi kasneje dolgo casa pri nas omalova zevana, zato se temu sprva nismo cudili. Nekega dne 148 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 149 | #4 i i i i i i Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha je k meni pri sel pokojni kolega prof. Marko Petkov sek in mi pokazal stran v knjigi [3], kjer so avtorji pripisali odkritje Lahovih stevil nekemu Ivu Lahu. Sele ko sva se prepri cala, da je clovek, po katerem se imenujejo Lahova ste- vila, Slovenec in sem ob prelomu stoletja, deset let po osamosvojitvi ter vzpostavitvi demokrati cnega sistema pri nas, stopil v stik z Lahovo h cerko Marijo, smo izvedeli za revijo »Glasnik« in za knjigo »Ra cunske osnovice «. »Glasnik« bi se moral zapisati v zgodovino slovenske matematike, saj za 12 let prehiteva Obzornik za matematiko in ziko, ki je za cel izhajati leta 1949. Resnici na ljubo je bil »Glasnik« glasilo dru stva aktuarjev, ki je vklju cevalo zelo specializirane matematike, ampak tedaj dru stva matema- tikov sploh se ni bilo. Zanimivo je, da je bil clan dru stva aktuarjev srbski akademik, matematik Jovan Karamata, medtem ko v Sloveniji razen Laha ni bilo med aktuarji poklicnega matematika. Mul ceva knjiga ne govori veliko o aktuarjih in »Glasniku«. Prina sa pa pomembne podatke, povezane z »Ra cunskimi osnovicami «. Ivo Lah je bil namre c clan dr zavne delegacije, ki se je v Rimu pogajala z Italijo o vojnih reparacijah. Ni bil v prvi vrsti, ampak je v ozadju stevila izra cunal na osnovi podatkov iz »Osnovic«. Medtem ko so politiki argumentirali »na pamet«, jim je on dajal verodostojne, s stevili podprte argumente za jugoslovanske zahteve. Namesto argumenta mo ci je uporabljal mo c argumentov, ki jih je morala sprejeti tudi nasprotna stran. Tudi o tem nismo vedeli ni cesar. Skoraj neverjetno je, da so njegovo knjigo »Osnovice« razglasili za proti- marksisti cno in jo odpeljali na uni cenje, ceprav je le nekaj let poprej prav ta knjiga pomagala komunisti cni oblasti. Po besedah njegove h cerke, naj bi bil razlog za to nesprejemljiv citat »Natura non facit saltus« (Narava ne dela skokov), ki naj bi zagovarjal evolucijo pred revolucijo. Med pogovorom pred cetrt stoletja mi je Marija Lah omenila, da se je neko c njen o ce pohvalil, da celo neka stevila imenujejo po njem. Ni pa mi zaupala, da so tudi Lahova stevila steli za protimarksisti cna. O tem zalostnem dejstvu lahko preberemo v Mul cevi knjigi. Ivo Lah zapi se besede na sliki 1. Ta osnutek oziroma kopijo dopisa nadrejenemu je Ivo Lah napisal verje- tno leta 1961, vsekakor pa med koncem leta 1960 in pred aprilom leta 1963. Knjiga»An Introduction to Combinatorial Analysis« [10] je sicer iz sla ze dve leti prej. Clanek »Eine Naherungsformel zum Zinsfussproblem der Leibe- rente mittels Poukka-Lahscher Zahlen« [2] je bil namre c objavljen oktobra 1960, aprila 1963 pa se je FNRJ preimenovala v SFRJ. Ve c kot petnajst let, potem ko so ga leta 1945 diskreditirali, je nad njim viselo prekletstvo »antimarksizma«. Pa si oglejmo z matemati cne plati veli cino Lahovega spoznanja. Lahova stevila so namre c dragulj, ki je le zal stoletja neodkrit vsem na o ceh, tudi Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 149 i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 150 | #5 i i i i i i Nove knjige Slika 1. Dokument je v knjigi objavljen na strani 63. najve cjim svetovnim matematikom. Razlog, da je cakal na Laha, stoji v preprostem dejstvu, da ga » cisti « matematiki niso pri cakovali, ker ga niso potrebovali. Ivo Lah pa je stevila odkril, ker jih je potreboval, v zapostav- ljeni, aktuarski matematiki. Cude z Lahovih stevil je v njihovi presenetljivi raznovrstni uporabnosti. Ko sem po Google Scholar poiskal prispevke, ki omenjajo »Lah number« sem dobil samo za leto 2023 kar 32 navedkov v revijah iz raznih vej matematike in drugih znanosti. Eno od takih interpre- tacij v klasi cni kombinatoriki sva na sla in potrdila s pokojnim kolegom prof. Markom Petkov skom v dveh prispevkih [8, 9]. Prav globoka zasidranost La- hovih stevil v kombinatoriki je razlog, da so ta stevila in njihove posplo sitve se dandanes predmet intenzivnega raziskovanja. Ivo Lah pa je do svojih stevil pri sel tako, da je zapisal povezavo med nara s cajo cimi in padajo cimi potencami, ki ji pravijo tudi Lahova identiteta. V prostoru polinomov obi cajne potence x n ;n = 0; 1;::: sestavljajo bazo. Znano je, da je zanimivih baz prostora polinomov ve c. Med njimi sta se pri Lahovih aktuarskih problemih pojavili bazi nara s cajo cih potenc x (n) in padajo cih potenc ( x) n . Pri tem je: x (n) =x(x + 1)::: (x +n 1); (x) n =x(x 1)::: (x n + 1): 150 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 151 | #6 i i i i i i Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha Ivo Lah je dognal, da se pri izra zanju ene baze z drugo pojavljajo posebna stevila, ki se zdaj imenujejo Lahova stevila. Zveza med nara s cajo cimi in obi cajnimi potencami je bila ze znana. Tam se kot koecienti pojavljajo Stirlingova stevila prve vrste n k . Prav tako je bila znana zveza med obi- cajnimi potencami in padajo cimi potencami. Zveza so Stirlingova stevila druge vrste n k . Lah pa je s svojimi stevili in s svojo zvezo (identiteto) kompletiral trikotnik. Omenimo se tri zanimivosti. Trikotnik na sliki ima svojevrstno simetrijo. Ce ga prezrcalimo prek navpi cne vi sine, obrnemo pu s cice in zamenjamo Stirlingova stevila prve vrste s Stirlingovimi stevili druge vrste, preide sam vase. Jovan Karamata, ki je avtor omenjenih simbolov, je deloval tudi kot aktuar in sta se z Lahom poznala. V »Osnovicah« Ivo Lah citira aktuarja Roberta Fruchta [1], ki je takrat nekaj let deloval v Trstu, preden se je preselil v Valparaiso in postal znan kot eden izmed pionirjev algebrajske teorije grafov. Kako majhen je svet in se veliko manj si je svet matematike! V Lahovi identiteti x (n) = n X k=1 n k (x) k nastopajo nepredzna cena Lahova stevila n k = n! k! n 1 k 1 : Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 151 i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 152 | #7 i i i i i i Nove knjige Oznake za Stirlingova stevila je vpeljal Jovan Karamata [4], midva s kolegom Petkov skom pa sva jih v obeh prispevkih v istem slogu raz sirila se na Lahova stevila: n k . Stirlingova stevila in obe zvezi je odkril ze dvesto let prej skotski mate- matik James Stirling { Bene can, matematik z nenavadno razgibanim zivlje- njem. Kot podpornik hi se Stuartov se je mladi Stirling umaknil v Benetke. Ko pa je tam odkril skrivnost bene canskega steklarstva, se je v strahu za zivljenje s pomo cjo Isaaca Newtona vrnil v Anglijo. Bene cani so razvili ume- tnost steklarstva ze v antiki in so imeli stoletja monopol nad to pomembno gospodarsko panogo. Pri cuvanju skrivnosti muranskega steklarstva niso izbirali sredstev. In Ivo Lah je zapolnil luknjo v znanju, ki je zijala vsem matematikom na o ceh dobrih dvesto let. Njegova stevila naj bi bila protimarksisti cna. Le ko pregledamo vsebino dokumentov v knjigi, lahko razumemo sistem, ki je privedel do tak snih absurdnih zaklju ckov. Stvar je bila zelo preprosta. Po koncu vojne so bili ljudje razdeljeni na »na se «, to je na pripadnike OF, in na »sovra znike «. Najhuj se sovra znike je re zim likvidiral. Malo manj hude sovra znike pa je »le« diskreditiral. Na sel jih je s pomo cjo spicljev, ki so bili primerno indoktrinirani in radikalizirani, pogosto pa so jih na sli kar med »spreobrnjenimi sovra zniki «, ki so si z la znimi denunciacijami olaj sali zivljenje in izbolj sali prihodnost. Medtem ko so Ivovega brata in njegovega sina sli iskat v Avstrijo in so ju likvidirali, so Iva in njegovo zeno na podlagi anonimnih ovadb razglasili za sovra znika ljudstva in jima odvzeli volilno pravico. Zeno pa so celo za mesec dni (od 12. 5. do 10. 6. 1945) priprli. Zanimive so obto zbe, ki sta jih bila dele zna. Lahovo zeno je nekdo obto zil, da naj bi med okupacijo imela doma Hitlerjevo sliko. Vsakemu studentu prava priporo cam, da naj prebere prito zbe, ki sta jih pisala zakonca Lah. Ena od obto zb Ivove zene naj bi bilo dejstvo, da ni »prispevala k nabiralnim akcijam, katere zakonito organizirajo ljudske oblasti«. V prito zbi navaja, da je bila ze pred vojno invalidsko upokojena, po vojni pa so ji odvzeli invalidsko rento, tako da ni imela sredstev, s katerimi bi »prispevala k nabiralnim akcijam«. Pripor in izguba volilne pravice sta povzro cila, da so sosedje sovra zno gledali na zakonca Lah. Ta stigma je spremljala Iva Laha tudi na njegovi strokovni poti vse do smrti. Kot vrhunskega strokovnjaka ga je re zim nujno potreboval. Tako je bil v letih 1949/50 del jugoslovanske delegacije pod vodstvom Jo zeta Bri- leja, ki se je v Rimu pogajala o italijanskih reparacijah. Slu zbeni kolegi pa so o njem sirili neresni cne govorice in so ga na vsakem koraku onemogo- cali. Hoteli so mu celo prepre citi udele zbo na pogajanjih v Rimu, ce s da bo u sel iz dr zave. Iz ohranjenih dokumentov vidimo obupen boj pokon cnega posameznika proti skorumpiranemu sistemu. Nekje zapi se, da ima sam ve c 152 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 153 | #8 i i i i i i Janez Mulec, Življenjska pot matematika Iva Laha znanstvenih objav kot vsi tiso ci uslu zbencev Zveznega urada za statistiko in evidenco. Re zim je potreboval rezultate njegovega dela, hkrati pa ga je zani ceval in uni ceval kot cloveka. Odrekal mu je po steno pla co. Po uspehu pri pogajanjih v Rimu so ga premestili na drugo delovno mesto, s cini cnimi besedami, da za tako izjemnega strokovnjaka pri njih ni prostora. Kasneje so ga pahnili v pokoj z mizerno pokojnino, reko c »da od zira kruh mlaj- sim «. Ta del knjige o Lahu je vreden se posebej pozornega branja. Niso bila torej sporna Lahova stevila. Sporen je bil njih odkritelj, ki kljub stra- hovitim pritiskom in diskreditacijam ni zelel spoznati znanstvenih prednosti marksizma. Lah je v svojih ocenah, ki jih je pisal svojim nadrejenim, neizprosno objektiven. Jugoslavija bi lahko od okupatorjev iztr zila veliko ve c. Model, ki ga je uporabil v pogajanjih z Italijani, bi se dalo brez truda uporabiti tudi pri Avstrijcih, Nemcih in Mad zarih. Pa je pri slo leta 1952 do uni cenja arhivov socialnega zavarovanja okupatorskih oblasti. Lah ugotavlja, da so dr zavna podjetja, ki so skrbela za odpadni papir, sama spodbujala uni ce- vanje arhivov. Papir so kupovala po 3 din na kilogram, naprej pa so ga prodajala za 17 din na kilogram in pla cevala uslu zbencem socialnega zava- rovanja provizijo. Razlika v ceni je delovala kot magnet v skladu z doktrino, da ima v Jugoslaviji ideologija prednost pred ekonomijo. Druga spodbuda za uni cevanje arhivov pa so bili ljudje, katerih podatki so bili zapisani v arhivih, saj so se bali, da jih bodo ozna cevali za sodelavce okupatorja. Veli cina Iva Laha je v njegovi odkriti skrbi za izbolj savo zivljenjskih razmer delavstva in vlogi socialnega zavarovanja pri tem. Na to zivljenjsko temo je objavil stevilne prispevke pred vojno in med vojno. Po vojni pa je bila njegova zdravorazumska, ekonomska miselnost trn v peti in v ostrem nasprotju z revolucionarno miselnostjo nove oblasti. Glede na to, da Lahovo delo presega okvire matematike, bi morali nje- gove spise poiskati in v celoti digitalizirati, kar pa zahteva veliko naporov in znanja, saj jih je izjemno veliko in zal niso vsi locirani v NUK-u. V eni svojih ohranjenih prito zb Ivo Lah omenja, da je v dnevnem casopisju po vsej Jugoslaviji objavil skoraj tiso c poljudnih prispevkov. Za nanciranje takega projekta pa bi morala poskrbeti dr zava. Pa ne gre samo za Laha. Prav bi bilo, da bi javno rehabilitirali njega in vse podobne razumnike, ki so se zna sli v kolesju revolucije in porevo- lucionarnih norosti. Zal pa stigma, ki je leta 1945 potiskala Iva Laha v anonimnost, u cinkuje se dandanes. Zalostno je, da je tri desetletja po osa- mosvojitvi knjiga o zivljenjski poti Iva Laha morala iziti v samozalo zbi in da na sa dr zava se vedno ne zmore odstraniti ideolo skih pla snic ob pogledu na svojo zgodovino. Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4 153 i i \Pisanski" | 2024/2/25 | 10:15 | page 154 | #9 i i i i i i Nove knjige Zahvale: Avtor je bil dele zen podpore ARRS (raziskovalni program P1-0294 in raz- iskovalni projekti J1-1690, N1-0140, J1-2481). Zahvaljuje se recenzentom za skrbno branje, prof. Marku Razpetu pa se za pomo c pri oblikovanju v L A T E X-u. LITERATURA [1] R. Frucht, Sulle relazioni che esistono fra due tipi di formule proposte per il calcolo approssimato delle rendite vitalizie, Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari 7 (1936), 327{339. [2] W. J. C. de Heer, Eine Naherungsformel zum Zinsfuproblem der Leibrente mit- tels POUKKA-LAHscher Zahlen, Blatter DGVFM 5 (1960), 101{104; dostopno tudi na https://doi.org/10.1007/BF02809284. [3] R. L. Graham, D. E. Knuth in O. Patashnik, Concrete Mathematics, Addison- Wesley, Reading, Mass., 1989. [4] J. Karamata, Th eor emes sur la sommabilit e exponentielle et d’autres sommabili- t es rattachant , Mathematica (Cluj) 9 (1935), 164{178. [5] I. Lah, Ra cunske osnovice zivotnog osiguranja , Dr zavni zavod socialnog osigura- nja, Zagreb, 1947. [6] I. Lah, A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics, Boletin do Instituto dos Actuarios Portugueses 9 (1954), 7{15. [7] I. Lah, Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften und Anwendung in der mathematischen Statistik, Mitteilungsbl. Math. Statist. 7 (1955), 203{212. [8] M. Petkov sek in T. Pisanski, The Lah identity and the Argonauts, The ME Journal 11 (2002), 385{386. [9] M. Petkov sek in T. Pisanski, The combinatorial interpretation of unsigned Stirling and Lah numbers, The ME Journal 12 (2007), 417{424. [10] J. Riordan, An introduction to combinatorial analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1958. Toma z Pisanski http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ 154 Obzornik mat. fiz.70 (2023) 4