MATEMATIKA Sistemi linearnih enacb skozi zgodovino Marjan Jerman Uvod Moderno reševanje sistemov linearnih enacb v veliki meri sloni na Gaussovem (1777-1855) clanku iz leta 1809, ko je ob opazovanju asteroida Pallas rešil sistem enajstih enacb s šestimi neznankami. Njegovo metodo sta izpopolnila in modernizirala James Joseph Sylvester (1814-1897), ki je leta 1850 uvedel matrike, in Arthur Cayley (1821-1895), ki je matrike povezal s sistemi linearnih enacb. Bralca na primeru spomnimo, kako danes poteka Gaussova eliminacija. Rešili bomo naslednji sistem linearnih enacb: ■ 3x + 2y + 2z + u = -1 x + y + z + 5u = 5 2x + y + z + 5u = 3 x + 2y - 4z + 3u = 11 Postopoma bomo na videz zapleten sistem enacb pretvorili v ekvivalenten, a veliko bolj enostaven in lažje rešljiv sistem. Pri tem bomo izvajali t. i. Ga-ussove transformacije, ki ohranjajo množico rešitev sistema enacb: (a) Vrstni red enacb lahko zamenjamo. (b) Enačbo lahko pomnožimo s številom, ki ni enako 0. (c) Poljubni enacbi smemo prišteti poljuben vec-kratnik kake druge enacbe. zamenjajmo vrstni red prve in zadnje enacbe: ■ x + 2y - 4z + 3u = 11 x + y + z + 5u = 5 2x + y + z + 5u = 3 3x + 2y + 2z + u = -1 Prvo enacbo ohranimo in hkrati uporabimo zato, da z odštevanjem njenih večkratnikov odstranimo spremenljivko x iz ostalih enacb (od druge enacbe odštejemo prvo enacbo, od tretje dvakratnik prve in od cetrte trikratnik prve): ■ x + 2y - 4z + 3u = 11 -y + 5z + 2u = -6 -3y + 9z - u = -19 -4y + 14z - 8u = -34 Sedaj prepišemo prvo in drugo enacbo ter s pomo-cjo druge enacbe unicimo spremenljivko y v ostalih enacbah: ■ x + 2y - 4z + 3u = 11 -y + 5z + 2u = -6 -6z - 7u = -1 -6z - 16u = -10 Na koncu prepišemo prve tri enacbe in se s pomocjo tretje znebimo spremenljivke z v cetrti enacbi: ■ x + 2y - 4z + 3u = 11 -y + 5z + 2u = -6 -6z - 7u = -1 - 9u = -9 Sedaj rešujemo enacbe od spodaj navzgor: u = 1 Ker se želimo izogniti racunanju z ulomki, najprej - 6z - 7u = -1 => -6z = 6 => z = -1 8 PRESEK 43 (2015/2016) 4 MATEMATIKA ■ - y + 5z + 2u = -6 == -y - 5 + 2 = -6 == y = 3 ■ x + 2y-4z + 3u = 11 = x + 6 + 4 + 3 = 11 = x = -2 Postopek je izjemno učinkovit. Tisti, ki jih zanima računalništvo, so morda opazili, da potrebujemo le eno tabelo za shranjevanje koeficientov, ki jih med postopkom zamenjujemo z novimi: Egipt 1 2 -4 3 11 1 1 1 5 5 2 1 1 5 3 —*■ 3 2 2 1 -1 1 2 -4 3 11 " 0 -1 5 2 -6 0 -3 9 -1 -19 0 -4 14 -8 -34_ 1 2 -4 3 11 " 0 -1 5 2 -6 — 0 0 -6 -7 -1 0 0 -6 -16 -10 12 -4 3 11" 0 -15 2 -6 0 0 -6 -7 -1 0 0 0 -9 -9 Postopek odkrije tudi bolj neobičajne primere, ko sistem enačb bodisi ni rešljiv ali pa je rešitev več. Gaussov postopek, recimo, sistem enačb ■ x + 2y = 3, 2x + 4y = 7, prevede v sistem ■ x + 2y = 3, 0 = 1, ki je očitno protisloven. Sistem x + 2y = 3, 2x + 4y = 6 pa prevede na sistem ■ x + 2y = 3, 0 = 0, ki ima neskončno rešitev oblike x = 3 - 2y. Že zelo stare civilizacije so pri reševanju praktičnih problemov naletele na sisteme linearnih enačb. Poraja se zanimivo vprašanje, kako so jih reševali, ce vemo, da niso premogli niti udobnega matematic-nega zapisa niti osnovnega znanja linearne algebre. Poglejmo si nekaj najbolj zanimivih utrinkov iz zgodovine matematike. mtftwwjte i*^'- .i. 111 j- »&( i ¿mm-m« (.. ~ ■ —M '("l^/ n '' ■ /uE-.va-^' 'irri; T--X. - _Hk. m _ to-tmg, ■Wlälä «dug lUMttlte ;,v. «»••: I... «J; ' WA Ü Sfd. _ t. ill SLIKA 1. Rhindov papirus je zvitek širine 32 cm in dolžine 536 cm. Na sliki je manjši sredinski kos papirusa. Večino stare egipčanske matematike poznamo preko dveh papirusov, ki izvirata iz obdobja nekje med 1850 in 1650 let pr. n. št. Tako imenovani Rhindov papirus je škotski arheolog Alexander Henry Rh-ind (1833-1866) kupil v Luxorju, danes pa ga lahko najdete v Britanskem muzeju. Pisar Ahmes je zapisal 84 problemov. Štiriindvajseti se glasi: (Že neki količini dodamo njeno četrtino, dobimo 15. Kolikšna je ta količina? Problem reši s tedaj običajno metodo napačne predpostavke. Najprej poskusi, če je morda 4 ustrezna rešitev. Ker je 4 ■ 4 + - = 5, 4 kar je trikrat manj kot želenih 15, napačno rešitev poveča za trikrat in s tem dobi pravo rešitev 12. Res je 12 + ¥ = 15. 4 Radovedni bralči, pomislite, ali lahko takšno sklepanje uporabimo za reševanje bolj zapletenih enačb! Babilon O babilonski matematiki vemo veliko več, ker so se dobro ohranili zapisi na glinenih ploščičah. Iz pribli- —* 9 PRESEK 43 (2015/2016) 4 MATEMATIKA -> Nato so uvedli novo spremenljivko SLIKA 2. Babilonska glinena ploščica VAT8389 x + y = 1800 4-300 , 1800 X - 3-300 1800 y = 500 x + y z = x - y ki je z velikostima polj povezana z enostavnima zvezama x + y x — y ■ x = x—y + x-—y = 900 + z, y= 2 2 x + y x - y = 900 - z. žno istega obdobja kot Rhindov papirus izhaja glinena tablica številka 8389, ki jo hranijo v Muzeju antičnega Bližnjega vzhoda v Berlinu. Da bo vsebina tablice lažje razumljiva, najprej navedimo babilonske merske enote: bur in sar sta ploščinski meri, bur = 1800 sar, sar = 36 m2; kur in sila pa pro-storninski meri, kur = 300 sil, sila = liter. Naloga se glasi takole: Prvo polje da 4 kur/bur pšenice drugo pa 3 kur/bur. Prvi pridelek presega drugega za 500 sil. Skupna površina obeh polj je 1800 sar. Koliko pridelka je zraslo na posameznem polju? V današnjem matematičnem jeziku bi nalogo zapisali kot sistem dveh linearnih enacb: Babilonci takšnega zapisa niso poznali, prav tako niso poznali Gaussovega postopka eliminacije. Reševanja so se lotili zelo premeteno. Da bo njihova rešitev bolj jasna, jo zapišimo v današnji notaciji. Najprej so izracunali 900. S pomocjo nove spremenljivke se druga enacba v sistemu prevede na linearno enacbo 2 1 ■ 3 (900 + z) - -(900 - z) = 500, ki je ekvivalentna enostavnejši enacbi ■ 7 z = 350. 6 Od tod so dobili z = 300, x = 900 + z = 1200 in y = 900 - z = 600. Tako prvo polje meri 1200 sar, drugo pa 600 sar. Pripomniti je treba, da je sistematicno pridobivanje enostavnejših ekvivalentnih enacb opisal šele Al Khwarizmi (780-850) v svojem delu Hisab al-jabr w'all-muqabala. Postopek al-jabr v današnjem jeziku dopolni levo in desno stran enacbe tako, da iz-nici negativne clene, postopek al-muqabala pa enac-bo uravnoteži, t. j. pokrajša enake vrednosti na obeh straneh enacbe. Radovedni bralec je morda iz nenavadnih arabskih besed razbral, od kod pride beseda algebra. Fibonacci Leonardo Fibonacci (1175-1235) je v svoji knjigi Liber abaci zapisal naslednji nenavadni problem o (pozitivnem) premoženju petih mož in nepraznem moš-njicku: Prvi in drugi mož imata skupaj z mošnjickom dvakrat vec denarja kot ostali trije skupaj. Drugi in tretji imata skupaj z mošnjickom trikrat vec denarja kot ostali trije; tretji in četrti skupaj z mošnjickom štirikrat vec kot ostali; cetrti in peti skupaj z mošnjickom petkrat vec kot ostali; peti in prvi skupaj z mošnjickom šestkrat vec kot ostali. Koliko denarja je v moš-njicku? 10 PRESEK 43 (2015/2016) 4 MATEMATIKA ¡jciiiin.it-.-•flcfrfA» mefe-pini crqutfiv no ifrffr mw j^ti-mr 7gemttt3ri tttcwmefijMiti n,wctm.7flcftJpim R. pan-tp^m mčfc-£,m.i ~ «-¿¡l? paru ¿witn.ir.jlup.iru «pitliUxnttfca funjf ^ fi,a ltrpirn ' -r JijnromčCr.ci-^li^fu I fiiru - ciiMnfwnjf , q^mürToctmio mite. | wit£>ptvu cScpiiU.iWmfptnjf r, a««tmwrTiH> F . cü^.b^fMttrmt-fiipti-yr , . ,JA ijaemiiurtafcmo.m-fijÄ^irw , r. ct3ipii^.i&>itirtnrfftt (M^tnjfi - cf5vm1n.tr lmrtroni*» tntfc-m-it£> pjru t -t I' c'JciTq^^nr^inif,,.. ^mnirm ulnmo tnelV.cnTr i«ru . t ,-rorntm 4-vptr ffe, r ¿fi,ro lca> T clpltc ^ c möeT .c]iu[i- Iw ojxrn fW-f. ,v „ivm «,*», , rfj , čmo.^tcul cil q5no/-»ftc>Tccpf:wnccirm,ii iwinu rii unNximo.u,^ ■JkjO-r «I " ? ?iwtm^Är-cmcite.firmj wSehci. ..... ■'^ficfDjftr fačč-f «t^nč sc rfinmf n.iir tnefili j jVjrn« hmft. cjuvv prt7 Mff^ttfySr >fior.v«c»Kflq.-»«$7$-«? (f*?**"' knri-mf JMlritr»»*-? :- ^rtriirimqß^Mh.la^kH^tHjTniiSr i itnit«r? 'IC'- ° fflof-i^hSinn.-jSc» «pitf* irn^. cmü.^niwr'c"Wo t£> ? rcNyf, miundnr J irwjjSt, ^ l «tarifi,r. cm.inrsf.of - ; fi • twC icnunAiib ym.>7>oi »t- , ' tMirRifi SrtfijCr /,..rrnr; mj -ifro ^¿mrWicrrciainrf^.fo-»? ir^ucfi^^,. rttwÄrsfiof tSuTenftta«^»fljf i I^rciT « •• ««S >: r > ' fl.T fcO'r?čo Ta sistem je ekvivalenten sistemu: 3 + = X3 + X4 + X5 4 (5 + y) = XI + X4 + X5 5 (5 + y) = XI + X2 + X5 6 (5 + y) = XI + X2 + X3 7 (5 + y) = X2 + X3 + X4 Ce seštejemo vse enacbe, se na desni strani premoženje vsakega od mož pojavi natanko trikrat. Tako je 1 + 1 + i + 6 + 7) (s + y) = 3s, (s + y) = 3s, SLIKA 3. Stran iz Fibonaccijeve knjige Liber Abaci iz leta 1 202 Z Xi, ..., X5 označimo premoženja posameznih mož, z y pa vsebino mošnjička. Danes bi problem zapisali s sistemom enačb: ■ X1 + X2 + y = 2 (x3 + X4 + X5) x2 + x3 + y = 3 (x1 + x4 + x5) x3 + x4 + y = 4(x1 + x2 + x5) x4 + x5 + y = 5(x1 + x2 + x3) x5 + x1 + y = 6(x2 + x3 + x4) Tudi z današnjimi metodami bi nas ta sistem petih enačb s šestimi neznankami kar precej namučil. Leonardo pa se je sistema lotil veliko bolj zvito. Opazil je veliko simetrijo v sistemu in vsaki enačbi pri-štel premoženja mož, ki se nahajajo na desni strani enačbe in hkrati manjkajo na levi. Tako je npr. prvi enačbi prištel na obeh straneh x3 + x4 + x5, drugi x1 + x4 + x5, ..., zadnji pa x2 + x3 + x4. Vsoto x1 + x2 + x3 + x4 + x5 označimo z 5 .S tem sistem enačb prepišemo v obliko: ■ 5 + y = 3 (x3 + x4 + x5 ) 5 + y = 4(x1 + x4 + x5 ) 5 + y = 5 (x1 + x2 + x5 ) 5 + y = 6(x1 + x2 + x3 ) 5 + y = 7(x2 + x3 + x4 ) torej s + y = 1g s. Premoženje prvega moža dobimo s seštetjem druge in četrte enačbe: 1 + ^ (s + y) = x\ + s, Xi - ^ 420 s _ X1 = 12 153s s = 22 153 s. Podobno dobimo premoženje drugega moža s seštetjem tretje in pete enačbe: 1 + ^ (s + y) = X2 + s, _ 12 420 _ _ _ X2 = 35 153s - s = - 153 s. Ta vrednost pa pomeni, da je drugi mož zadolžen, zato naloga sploh ni rešljiva! Zaradi spoštovanja zgodovine povejmo, daje Leonardo zadnji del problema rešil malenkost drugače. Ko so se v tretjem sistemu pojavili ulomki, je kar privzel, da je 5 + y = 420. To je storil zato, da se je izognil računanju z ulomki. Število 420 je namreč najmanjši skupni večkratnik vseh imenovalčev 3, 4, 5, 6 in 7. Njegov na videz napačen privzetek lahko opravičimo z linearnostjo sistema. Finančno gledano je Leonardo znesek 5 + y zamenjal v valuto, v kateri je znesek vreden 420 enot. 9 11 PRESEK 43 (2015/2016) 4 MATEMATIKA -> % s Ji t T ± * Jh _L * A* ± m m X # i * ._A * JE^I % M Hf t * iH & L ir". 0 —- S t t | t A t _» * I * ES V % T _. t -n * T m m. * T m r—* % M — Hf ft M __* t % # i; + t # fc fc "t n -f ¿t m # M 1L Najprej je predstavljena tabela, ki bi jo z arabskimi števili zapisali takole: 1 2 3 2 3 2 3 1 1 26 34 39 Če pozorno pregledate tabelo, boste opazili, da se v stolpcih od desne proti levi skriva vsebina naloge. Navodilo pravi, naj se najprej pomnoži vse elemente v drugem stolpcu s prvim elementom tretjega stolpca, potem pa naj se tretji stolpec odšteva od drugega, vse dokler na vrhu drugega stolpca ne dobimo nicle. Tako dobimo novo tabelico: SLIKA 4. Prva naloga osmega poglavja kitajske knjige Devet poglavij matematične umetnosti Kitajska Največje presenečenje pa se skriva v kitajski knjigi Devet poglavij matematične umetnosti, ki verjetno izvira približno iz let 170-150 pr. n. št. Prva naloga v osmem poglavju sprašuje takole: Iz treh snopov najboljše žitariče, dveh snopov slabše in enega snopa najslabše dobimo 39 skodelič moke; iz dveh snopov najboljše, treh slabše in enega najslabše 34 skodelič in iz enega snopa najboljše, dveh slabše in treh najslabše 26 skodelič. Koliko skodelič moke da posamezen snop vsake od žitarič? Danes bi nalogo napisali kot sistem enacb: ■ 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 Kitajci so za zapis števil uporabljali desetiški sistem in bambusove palcke, ki so jih polagali vodoravno ali navpicno. Palcke so polagali na nekakšno plošco, podobno veliki šahovski tabli. V knjigi je zapisana rešitev naloge, ki je sestavljena iz navodil za prestavljanje palck. 1 2 • 3 - 3 • 2 = 0 3 2 3 • 3 - 2 • 2 = 5 1 3 1 • 3 - 1 • 2 = 1 1 26 34 • 3 - 39 • 2 = 24 3 9 V jeziku moderne matematike so Kitajci naredili Gaussovo eliminacijo. Mi jo delamo po vrsticah od zgoraj navzdol, oni pa so jo naredili po stolpcih od desne proti levi. Postopek so nadaljevali tako, da so najprej s pomocjo tretjega stolpca unicili zgornji element v prvem stolpcu, na koncu pa še s pomocjo novega drugega stolpca drugi element v novem prvem stolpcu: 0 0 3 0 0 3 4 5 2 0 5 2 8 1 1 36 1 1 39 24 39 99 24 39 Tako so prišli do tablice, ki predstavlja analogijo našim zgornje trikotnimi matrikam: Iz tablice lahko preberemo, da iz enega snopa najslabše žitarice dobimo z = H = 11 skodelic moke. Do ostalih dveh donosov so prišli Kitajci podobno kot mi. S pomikanjem proti desni so vsakic dobili vrednost še ene, do sedaj neznane spremenljivke, izražene z znanimi: 5y + 11 = 24 ^ y = 17, 3x + 217 + 11 ^ x = f. _ XXX 12 PRESEK 43 (2015/2016) 4