LIST ZA MLADE MATEMATIKE OO FIZIKE ASTRONOME 12DAJA DMFA SRS MA TEMAT I KA 14 T e ori ja g r a fov in ke mi ja ( Iv an Gut man ) Kr it e r i j de lj ivos t i s 7 i n 1 3 ( Dr ago lj u b M. Mi l o š e v l č ) 1 6 A ri tm e t ič na i n g eo me t r i js k a s r e - d i na dve h po z i t i v n i h š te v i l ( Dr a g ol j u b M. M i l o š e v i č) 1 8 Neka te re n e ena k os t i v p r a v o k o t n e rn t r ik o tni ku ( Dr ago l j ub M. Mi l o še vic) 2 1 46 48 47 P l oš č i n a p rav i l ne g a dv a na jst ko t - n ik a (Orag ol j ub M . Mi l o š e v I č ) ( L j u bo mi r Kostrevc) Kak o r a z p o l o vi mo dalji c o samo s š e st i l o m ( Ma ri j a Venc e lj) Re fe re n d um ( Ka r e l Ba j c) Pira midi ( Pe t er L e giša") Z n a men i t i S lov e nec Odb o j sv e t l o be na v o dn i g"ad i n i (P . Gosar ) ( Ma r ko Pe tkov šek , Roman Ro jko) ( And r e j L i k a r ) Ug a n ka o l e v c u ( Roman Ro jk o) Re pu b l l š k o p r e d te k mo v a n j e mla d i h ma t ematikov ( Ma rk o Pet kovše k) Dva deci (Karel Ba j c ) Le t al s k a n a lo ga ( Rom a n Ro jk o ) Nal o o e s k r og I i ca mi . Kol e dars k a n a l og a ( Roman Ro j k o ) Prv a št e vi I k a n a z a dnj e mes to ( Kare l Ba j c ) ( Pe t er Pet ek , Ma t il da Le na rč ič ) Mi mo b e ž n i c i ( J an e z Rak o v e c ) O Kv antu ( F . S'e v e r ) U t r in k i i z a str o no mi j e ( Boja n D i n t i n j a na) 54 ~ I a n om akt iva matematikov na 51 52 53 2 4 25 29 3 1 32 34 39 4 0 42 43 BISTROVI DEC MA TEMATICNO RAZVEDRI LO KRIŽANKA F IZ IKA PRESEKOV ŠKRA T POSKUS I -PREMIS LI-OOGOVOR I P I SM A BRALCEV NALOGE NOVE KNJ IGE TEK MO VANJ A-NALO GE PREM ISL I IN REŠi NALOGE BRAL CEV PRESEK OV ŠK RAT REŠ i TVE NALOG STVAR NO KAZALO RE Š i TEV NALOG 55 56 57 58 59 6 3 sr edn j i h šo la h ( Ciri l Vel kovrh) ( Rok Sosič) (Z b ra l i n u red i I Pete r Petek ) (Ci ri l Vel ko v r h) Reš it ev na loge s k r o g l icami. reš i t ev k o l e d a r s k e n a l og e P rese k 8 1 9 8 0 / 8 1 Re ši te v naloge o l ov c u UVODNI K S to š t ev i Lk o p r "a enjamo izd ajat i ž e deve t i Letnik Pres eka . V La n s kem Le t u sm o pr i čakovaLi upadanj e š teviLa naroanikov , kar pa s e n a naše v eL i ko v es e Lj e ni z go diLo. S k o r a j 2 0 . 0 0 0 naroa- n i ko v vs t raj a i n upamo , da b o t ako t u d i o s t a Lo . Ob zaaetku no - v e ga šo Ls k e ga Leta p on ovno pro s i mo uaiteLj e matematika in fizi - ke n a sre dnj i h in o s no vni h š o La h , da to š t ev i Lk o Pre seka , kat e - r o s mo posLaL i na vs a k o vs a k o šo Lo vsaj v t ol ikem števiLu , k o t zadnj o v La ns k em Letu , posredujejo v sem uaen aem, j o pono vno p r e d s t av i j o i n p r iporoai jo . Prav ta k o jih Le po prosimo , d a zbrg na n ar oai La p ošLjejo na n a š naslo v aimpre j , a naj k a s n e j e d o 1 9 . s eptembra 1 9 81 . V tem aasu odda jamo v t i skarno r okopi s ž e z a dr ugo št e v i Lk o Pre s ek a i n moramo ve d et i , ka k š n o nakLado Lah k o naroai mo . Pro si Li pa v as bomo t udi , da nam ob kon c u koLedar ske - ga Leta na k a ž et e t udi ustr e z no n aroanino ( z a s k up i n s k a naroa i La j e 7 0 . - din , za posamez nike pa 87 , 50 dinj . V Lanskem koL e da r skem Letu s mo z ar a d i prime rne s ub v e n c ij e i n dob r ega g os p od a r j e n ja uspe Li izdat i šest štev iLk . Za d n j i d v e v s e b u j e t a enoten t eks t , deLo enega same ga avtorja . Ka k o s t e sp r e j e Li to no v o s t? V Letošnj em Le t u p a vam ne moremo ob Ljubit i e nake b ere . VeLik p oras t cen i n e ko n oms k e t ežave t er , k ar na s je š e najboLj pri zade Lo , z man j šan j e sub v e n c i j e na p o Lovic o La n - skoL e t n e vs ote , nam ne d op u š aa j o opt i mi z ma . KLj ub t emu b omo s k uša Li t ud i v pri hodnjem š oLskem Le t u i zda t i v saj š t iri š t e - v i Lk e z no rm a Ln i m obsegom. Andr ej Lika r , Ci riL Ve Lk ovrh -x--------------- Č L A N I AKTI VA MA TEMA T I KOV I N F I ZI KOV Š O 1a ... .. . . •. .... • .. .... . • . . . . . . . . t o čen naslo v NAROC AMO: i zvodov I i s t a za mlade matema t i ke, fizik e in astr o - nome PRESEK - I X le tnik, za š o l s ko l eto 19 81/ 82 po c eni 70.- di n (po s amezna n aročnina 87, 50 d in ) . N ar o čnin o bomo nak a zal i skupaj ali v .... obrok ih najkasneje do .... . .. 19 8 .. Podpis: .. SLI KOV NA KRIZANKA ~M "M ~= ~:~~l.C . GOSl l V S E N O N E R B I I L S ~~ K R C O R O r.:=:: ~~~ A L tr_ ' U T A- S M R E K O :~i' S T O R A E R R A S I M E N N E Z I ,"~':"" K ," "':[0. T U"" V A T 1""It('" N A T PRESEK - Li s t z a mla de matem atike, fi z ike i n astrono me . 9. l e t n i k , šo lsko l eto 198 1/ 82 , 1. š tev i l k a , str. 1-64 . Uredni ški odbor : Vl a di mi r Batage l j [ bi s t r o vl d e c ) • Dani j el Be z ek ( br al ci s p r a š u j e j o l n o d g ov a r j a j o) , Andrej č e d e ž (as t ro no mi ja). J o ž e Dover, Rad o F l e g a r (u r e d n i k) . To maž Fo r t un a , Fra nci F o r stneri č, Bo jan Goll i ( t e kmov a n j a - nal o ge iz fizike ), Pa ve l Gr e go r c ( ugank e , križ an ke ). Mar j an Hriba r ( f iz i ka ), Met ka Luz a r - Vl a c hy ( po sk usi - p rem i s l i -odgovo r i), And r e j Kme t ( Pre se kov a kn j iž n ica - ma tema ti ka ) , Ljubo Ko s t r ev c , J ož e Ko tni k , Edvard Kra mar ( g lav n i u redn i k, tek mo v a n j a - na l og e iz ma t e ma t ik e), Mat ilda Len ar č i č (p ism a b r al ce v) , An dr e j l i k ar . (o dgovo rni u re d n ik), S l o bo d a n 2u mer ( Pre s ekova k n jižnica - fi z ika), F r an c i Obla k, Pete r Pet e k ( n a log e b r alcev , p re mi s l i i n r e š i ), Tomaž Pisa nski (m a t em a t ik a) , Toma ž S k ul j , Zvo n ko T rontelj, Marja n Vagaja , Ci ril Velkovrh (nove knj ige , no v i ce -zan i mi v o st i ) . Rokopis j e n atip'kala Drag ica Sokač, jeziko vno g a j e p r e g l e d a la S a ndra Ob l a k , o premi l a p a sta g a Bo rut Del a k i n V i š n ja Kovač ič, s l l ke sta naris ala Slav ko le s nj ak i n Ra f ko š a u l i. Dop i se poš il jaj te i n lis t na ročaj te n a nas l o v: Komi s i ja z a tisk p ri Društ vu mat emati k o v, f i z i ko v i n ast ro nomov SRS - P RES EK , Ja dran s ka 1 9 , 61001 Ljubljana , p .p . 2 77 tel . 265-06 1/5 3 . š tev. ž iro ra ču na 50 101-6 78-48 36 3 . de v i zni raču n pr i Lju b ljanski bank i š tev. 3 2 0 09 - 00 7 - 10022 / 6 . Naro čnina z a šo ls ko l e t o je z a po s a me zn a n a r o čila 87, 5 0 d i n , za s k u p i ns ka p a 70 .- d i n ; za i no z e mstvo 7 iJ 56 00 Li t , 100 . -A s c h . Po sam e zn a š tev i l ka s t a ne 2 1.- di n . List s of inanc irata 15 5 in R5 S . Of s et tisk č a s o p i s n o i n g ra fi čn o podjet j e " DELO" . Ljubl j an a . L i s t iz haj a št i ri krat l etno . Nak l ada 2 3 .00 0 iz vod o v . co 19 8 0 Dr u š tv o matema tiko v , fiz ikov i n a s t ro n o mov SR S 2 MATEMATIKA TEORIJA GRAFOV IN KEM IJA 1. del : Gr a f i Kemik i nava dn o niso ljubite lji ma t eme t i ke i j pa t udi matemati ki se ne zani majo pos ebno za kemij o . Kljub tem u pa se ma t emat ika pr ece j upora bl ja v kemi ji. En o od podr otij , ki i ma jo poseben pomen v kemiji, je del matemati ke, ki s e imenuje teorij a gr a - f ov. V tem t l a nku si bom o na j pre j ogl edali osnovn e poj me t eo ri - je graf ov, še le pot em bomo sp rego vo r i li o nj eni povezavi s ke- mij o . Teori ja grafo v p r o u c u J~ obj e kt e , ki se imenuj e jo grafi . Nikar se jih ne ustra šite! Grafi so e ni od najbo lj enostavno pred- stavl jivih objekt ov, ki j ih preu tuje mod erna matematika. Razu- met imoramo 1e dva poj ma: točka in po vezava . Gra fi s o narnr e č se st avl jen i i z t otk in povezav . Tot ke gr afa si ~ redot i mo s kro žc i al i ve t j i mi pi kam i . Nek ate r e t otk e so poveza ne s t rto , ki ji pravim o povezava . Ne ka tere tot ke pa med sebo j nis o pove- zan e . I n to j e vse! Pa s i narišimo gr af: (s lika 1) Narisani graf oz na t i mo z G. Vidim o, da ima pet totk ( ki smo jih oštev il ti li z 1, 2, 3, 4 in 5) in š e s t povezav . Dve t o č ki v gr a f u st a s osedni , t e st a poveza ni s poveza vo . V graf u G s o s osedne npr . na sledn je tot ke : 1 in 2, 4 i n 5 i td . če pa dve to tki nista pov ezani z nobeno povezavo , pravimo, da nista s os ed ni. Tako v grafu G npr . totki 2 in 4 nista sosedni. 3 Graf je natanko d ol o čen, če vemo, kolik o točk ima in katere točke s o sosedne t e r ka tere ni so s os edne . Ogle jmo s i s eda j naslednja dva gr afa, G' in J< , ,l' . (S 1 i ka 2) S li k a G S l i k a 2 c Z ma l o dela lahk o hi tr o pr eve ri mo, da s o v grafih G ' i n G " s osed ne r av no t i s t e t o č k e , ki so sos edne v gra f u G s prve s l ike. I sto ve l ja tudi z a ne s os edne t očke. Za to pravzap rav vse t r i ri sbe G, G ' in G " pr ed s t avljaj o i sti graf. Iz primera lahko t orej povzamemo na s l ed j j e : pr av nič ni pomembno, kako gr a f na rišemo, ampa k je važno le to , ka tere njegove točke spo- jimo s poveza vami. Ravn o t ak o ni pom embno, kak o oštevilč imo toč ke grafa . št e vil o povez av, ki s e stika jo v neki t o čki gr afa, imenujemo stopn j a t e to čke. Na pr i mer , to fk a 1 v gr afu G ima stopn jo št i r i , t o čke 2, 3, 4 in 5 pa ima j o s t opnj e 2 , 1,2 in 3. Kemiki s top nj i točke vč as i h prav i jo tud i vale nca t o čke - kasneje bomo vi de l i za kaj. Og le j mo s i š e ne ka j pr e pr osti h prime rov gra f ov . Ce ima gr a f le dve toč k i , imamo dve možnosti : t o č k i s ta pov e za ni ali pa ne. Zato obs t a ja ta na t a nko dv a grafa z dvem a t o čk ama, G , in G2 . ( S1 i ka 3) --o C, 4 o o S l i k a 3 Obe točki v grafu G, imata stopnjo ena, točki v G2pa sta stop- nje nič . Grafov na štirih točkah je enaj st; to so G3 - G, 3 . o o o o 1-: --- Go o - 0---0G3 G4 Gs G6 GJ U IL: O bJ rsl ~ Ga G9 GlO (,;, ('~ 2 G13 Sli ka 4 Skušajte po iskati vse grafe, ki imajo tri točke (natanko štirje so). Grafov s pet in več točkami je precej več. Preveč, da bi jih vse narisali. Zato bomo navedli le po en primer grafa naS, 8 in 11 točkah. (Slika 5) Sli ka 5 Skupna lastnost grafov G , 4 , G' 5 in G ' 6 je, da imajo njihove točke stopnjo ena ali štiri. Doslej nismo pojma grafa niti poskušali definirati tako pre- cizno in strogo, kot je v matematiki nujno . Vendar pa za začet­ nike to sploh ni pomembno. Tisti, ki želijo spoznati teorijo grafov pobliže in podrobneje, bodo našli vse potrebno v obsto- ječih učbenikih*. Sedaj pa dokažimo lastnost, ki je skupna vsem grafom. Naj ima 5 graf G P točk in q povezav ter naj imajo točke stopnje d " d2 , dp ' I zrek . Vsota stopenj vseh toč k grafa G je enaka dvak ratnemu številu povezav teg a grafa . 2q (1 ) Dokaz . Po definiciji je d i število povezav . ki izhajajo iz i - t e toč ke grafa. Ko napravimo vsoto stopenj vseh točk. šteje- mo vsako povezavo dvakrat. saj vsa ka povezava povez uje dve toč­ ki. Od tu sledi ena čba (1) . Gornji izrek je zna n kot prv i izrek v zgodovini teorije grafov. Dokaza l ga je veliki š vi c ar sk i matematik Leonha rd Eule r (1707- 17 8 3). Kakšno zvezo pa imajo grafi s kemijo? Predno odgovorimo na to vprašanje, se spomnimo na pomembno družino zasičenih ogljiko- vodikov, t. im. alkane. Sem sp ada j o npr. metan (CH,,) . etan (C2 H6 ) . pr opan ( C3 He ) . butan (e"H , 0 ) . pentan (CS H, 2 ) itd. Stru ktu rne formule pr vi h t r eh členov v tem za poredju so takšne: H I H-C-H I H S l i ka 6 H H I I H-C-C-H I I H H H H H H-~-l-l-H I I I H H H č e te fo rmule primerjamo z grafi G , ,, , G , S in G16 , takoj opazi- mo ve l iko podobnos t. Aralogija med s tru kturnimi f ormulami kemij skih mole kul in dolo čenim i grafi ni slučaj. ampak nam kaže na povezav o med kemijo in te orijo grafov . V drugem delu tega č l a n ­ ka bomo spoznali. da so strukturne formule pravzaprav grafi. in da je tak šno gledanje nanje lahko zeko kor i s t no . * n p r . : D. Cv e t ko v l č , M. Mil i c, Teo r i ja gra fova i n jene p r -imen e , Nau čna knj iga, Beograd, 1977. Op .: tud i v slovenš čini s e pripra vlja u čbenik iz o snov teorije grafo v in bo izšel v erjetno v Presekovi knjižici. 6 2. del: Mol eku 1 a r n igr a f i V prvem delu smo se seznani li z osnovnimi pojmi teorije grafov, kot npr. graf, točka, povezava, stopnja točke (valenca). Vide - li smo, da sta dve točki povezani, če med njima obstaja poveza- va, sicer pa nista povezani. Na koncu smo omenili podobnost med grafi in kemijskimi formulami . Sedaj s i bomo ogledali še ne kaj pojmov, ki so povezani z grafi, zatem pa bomo končno prešli na področje kemije. Najprej se bo- mo nauč i li, kako potujemo po grafu. Mis l i mo si, da t o č k e gra fa predstavljajo mesta, povezave pa ceste med njimi. Iz nekega me- sta (točke) lahko potujemo v drugo mesto, če med njima obstaja pot, tj. zaporedje c e s t , ki ju povezuj e . Ravno ta ko definiramo tudi pot v poljubnem gr afu : Definic i j e . Po t med točkama x in y iz grafa G je zaporedje medsebojno raz ličnih povezav, za katere velja naslednje: - prva povezava iz zaporedja se začne v točki x vsaka naslednja povezava se začne v tisti točki, kjer se je nehala predhodna in zadnja povezava nas pri pelje v t oč ko y . če se pot začne in ko nča v i s t i oočki, potem pravi mo, da je to sk lenjena pot . številu povezav, ki sestavljajo pot, pa pravimo do l ž ina poti . Pomembno je, da si zapomnimo, da morajo biti vse povezave na poti v grafu medsebojno razli čne. Zelo pomembna lastnost gr a f a je povezanost. Pravimo, da je graf G p ov e zan , če med poljubnima dvema njegovima točkama obstaja ne ka pot. če pa obstajata dve točki, ki nista povezani z nobe - no potjo, pravimo, da je graf nepoveza~. Ko graf narišemo, kaj hitro vid imo, a li je povezan. če je slika sestav ljena iz enega kosa, je povezan, če pa imamo dva ali več ločenih kosov, je nepovezan. Zato sta grafa G' 7 in G ' 8 povezana, graf G ' 9 pa je nepovezan. (Slika 7) 7 O .\" , 2 .1" 3 7 4 5 6 Sl i ka 7 Kot primer s i og l e jmo g ra f G ' 7 , katereg a pov e za ve smo ošte v i l - čil i z 1, 2 •. . . , 7. :~e d t o čkam a x in y s o na sled nje tr i po ti : ( 1 , 2 ) , (1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , 7 ,2) in (1 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3, 2 ) ; nj i - ho v e d olži n e s o zapovrstjo 2 , 7 in 7 . Skušaj t e poiskati vse pot i med to č ka ma ;r i n y v gra f u G ' 8 (ose m poti je ) . V graf u G' 8 s o to čno t r i s k l e nje ne poti, k i se z ač n ej o in ko nčajo v toč k i x. I s t o velja tu di z a to čko y . Vs i trij e grafi G ' 7 > G ' 8 in G ' 9 vse b uj ejo s k l e nje ne pot i . Po - se b no pr e pr osti a ze lo pomem bni pa so g r afi , ki ne vsebujejo \ nobene skl e nje ne po t i. č e so ti g ra f i h kr ati š e povezani , jih i menuj emo d r e ve sa . De f i n ic i j a . Dv e o o je po v ez an gr a f , k i ne v sebu je sk l e nje n i h po t i. Dr e vesa ig r aj o pomembno v lo go v t e ori ji gra fov. Odkril ( be r i : prv i upora b ljal) ji h je a ng l eš ki matematik ~ rthu r Ca y Ze y ( 18 2 1- 18 9 5 ) . Na na sl e dn ji slik i so nari s ana v s a dre v e s a z 2 , 3 , 4 i n 5 toč k a m i. - V v\ c I c W c r o +(~o (;2' ~2 (,; 3 <1;4 (,'26 ( ;27 ce ta drevesa pazlji vo pogl edamo , opa zimo, da vs a ko vsebuj e točko sto pnje e na, in da j e š t ev i l o t očk ved no za ena v eč j e od števi la povezav . Ali imaj o ti dve la s tno sti vsa drev e sa ? Od govo r je pr i trd i len. Iz ~e k l . Drevo z vsaj dvema t očk ama vse buj e t oč k o st opnj e ena . Lz r ek 2 . Drevo na p točkah i ma na t an ko p - l pov e z av . Doka z iz~eka l . Vzemimo po lj ub no dr ev o , ki ima vsa j dv e toč ki (d revo z e no samo toč ko ~e i zjem a ) , i n s i i z ber i ma polj ubno točko v tem drevesu. Sedaj pa pojd i mo na pot iz izbrane to č ee . Vse točke, do kater i h pr is pe mo na na ši pot i, so medseb ojn o raz lične, saj bi v na sp r otn em pr i mer u obsta j a la s kl en j e na pot v dr e ves u. Pot se mor a ne kje k on č ati , in s ice r r avn o t a kr a t, ko pr idemo do nek e točke stop nje en a. Tor e j točka s t opnje ena gotovo obstaja . Dokaz i z ~e ka 2. Dokaz bo pote ka l z uporabo ma temat ič ne ind uk- c ije . Ker smo v ide l i, da i zrek ve lja za vsa dr eve s a na dv eh , 3, 4 in 5 točkah, moramo po kaza t i le še nas l ed nj i in du kc i js ki korak : " ce i ma j o vsa drevesa s p točka m i natan ko p - l pove zavo, pot em i ma j o drevesa s p +1 točkam i p pov ez av ." Predpostavi mo, da z a nek p vel j a, da ima j o vsa dr e vesa s p točkam i p - l povezav . Vzemimo se daj po lj ubno drevo na p+l točkah i n dokažimo , da ima p povezav . Na ood lagi izr ek a 1 i ma i z br a no drevo T o + 1 vsaj en o t o č k o stopnje e na . ce t o t o č ko odstran imo iz d~evesa Tp+1' na m preos ta ne dr ev o Tp na p toč kah . Velja tud i obratno : po lju bno dre v o T 1 s p+ 1 to č k a m i l a hko IJ' skonstru iramo tako, da na ne ko drevo T s IJ toč kam i obes i mo p (s pomočjo ene nove povez ave!) novo t o č k o s t opnj e e na. č e ima T p - 1 povezavo, i ma po tem T 1 P povezav . To pa je r av no t o, p p + kar smo želel i dokazati. Način dokaz ovan j a z mate mat ič n o ind ukc ijo se zel o pogosto uporablja v teor ij i grafov . Struktu r ne f or mul e se upo rab l ja jo v organsk i kemi j i že od s r e - d ine prejšnjega stoletja. Pr vi so ji h upora bi l i kemi ki August 9 Ke kul e ( 1829- 1896 , N e m č i j a) , Ar c hi ba l d Sco t t Cou pe r (182 8 -1 892 ), škotska) i n Aleksandar Mihajlovič Bu t l e rov ( 1828 - 1886 , Rusija) . Str uk t ur ne f ormul e s e do ločajo na podl a gi kem ij s kih reakc ij, v ka ter ih so de luje opa zovana sroj i na , i n s p om o čj o raz nih fizi ka ln o kem i j s kih met od . Vendar pa moraj o s t r uktu r ne fo r mul e ustrez ati š e naslednji m f ormalnim pravi l om . 1. At ome pr eds tav i mo z us t rezn imi kemi js ki mi s imbo l i ( H za vori ik, O za ki si k , C za og lj ik, Fe za žele zo i t d. ) . 2 . Dva a toma v mol eku l i s t a kemijsko povez an a ali pa ne. Ce obstaja kem ijska ve z med nji ma, njun e s imbo l e s po jimo s črtico . Ce med atomoma ni kem ijske ve z i , ju ne pov e žemo. Mo žne so tu d i dvoj ne i n tro jne kemi jsk e ve zi , ven da r o nj i h na t em mes tu ne bom o govorili. 3 . At om A je povezan z at omom B na i s ti n a č i n kot atom B z ato mo m A. 4. š te v i lo črt i c, ki i zh a j a j o i z ne kega e t oma, je va lenc a t eg a a t oma . Obi ča jno (a ne vedno ) je val en ca i sta za vs e a tom e e ne ga kemijs kega e lement a ( 1 za vod ik , 2 za ki si k, 4 za og lj ik i td. ) . Og lejmo s i s ed aj do bro zna ni pr i mer - e til ni a lko hol , ki ima st ru ktur no formulo l . (S l ika H H I I H-C-C-O-H I I H H Kaj vse l a hko razb eremo i z te formu l e? Dva atoma og ljika sta pov eza na dr ug z dru gim , a t om kis i ka je pov e zan le z enim od obe h og l j iko v i h at omo v, od š est ih at omov vodika s e j ih pet veže z og l j i kom, š es t i pa s kisi kom i t d. Za kem ika so to zelo pomemb ni podatki . 1 O Strukturna formula simbolično prikazuje medsebojno povezanost atomov v molekuli . Ker že vemo, kaj so to grafi, nam ne bo težko ugotoviti, da kemijske strukturne formule dejansko pre dstavljajo graf e. Komur kemija ni delala težav, ne bo težko ugo t oviti, da obstaja na slednja poveza va med jezik om kemije in jezik om teorije grafov : strukturna formula atom kemijska vez valenca atoma povezana atoma a lka n graf točka povezava stopnja točke sosed nj i točk i drevo Graf, ki ustreza etiln emu alkoholu, j e G Z 7 . Od formule 1 se raz likuje le po tem, da njegove točke ni so označene s H, C in O. Grafi, ki na ta način prikazujejo kemijsko struktur o, se imenujejo mole kula r ni gra fi. Ze v prvem delu članka smo omeni li nasičene ogljikovodike - alkane : metan (CH4 ) , etan (C ZH 6 ) , propan ( C3 Ha ) , bu t a n (C 4H,u ), pentan ( Cs H, z ) itd . Zdaj vemo , da so bil i grafi G, 4. G, s in G' 6 pravzaprav molekularni graf i metana, e t a na in propana . Mole kularni grafi alkanov so drevesa in si cer takšna drevesa, ki imajo le točke stopenj ena (ki ustrezajo atomom vodika) in točke stopnje štiri (atomi ogljika, ki je štirivalenten). Ena od prvih stvar i, ki se jih naučimo pri organski kemiji , je ta, da je splošn a formula za alkane CnH2n + 2 . Al i ste že kdaj skušali doka zat i . da ta formu la velja res za v s e alkane? Verjetno ni ste, a tudi če bi, bi vam to težko uspelo brez poznav anja teorije grafov . To napako bomo sedaj popr avili in bomo dok azali (tako kot se dokažejo matematične trditve), da imajo vsi a l ka ni formulo oblike CnH2n +2. 11 Oglejm o s i poljubno dre vo , ki ima le to čk e stopnje en a i n t o č k e st op nje š t i r i . Tak gra f ustr eza molekularnemu gr afu alk a na . Rec imo , da ima izbr an o drevo n to čk s t opnj e š t i r i in m to č k st opnje e na . Dokaž i mo, da mora bit i v tem pr ime ru m = 2n + 2. Drevo ima m + n točk in ima za to po izreku 2 n +m - l povezav . V prvem de l u čl anka s mo po ka zal i , da je vso t a va l e nc vse h to čk v graf u enaka dvojnemu št evil u povezav. To pomeni, da je 4n + m 2 ( n + m - 1 ) od koder z enostavn im račun anjem dob imo, da je m = 2n + 2 kar smo tu di mora li dokazati . To j e bila enostavna , a ne čist o triv ialna upor a ba te orije gr afo v v kemij i . Zdaj pa bomo opi s a l i še mn ogo težji prob lem . Ob staja l e en metan, e t a n i n en pro pan , tj . mo lekul e s formulo CH., C2 H6 i n C3H a l a hko mar i š emo na en sam na č in . Venda r pa obs tajata dva butana, tj . dva r a z l i č n a ogl jikovodik a f or mule C4H , Q. Ima t a raz ličn e s t r uk t ur ne f ormul e in za t o. t udi r az lična mo l e kularna grafa. Za take s poj i ne pravimo, da s o i zome r e . Mo leku larna grafa i zomer butana sta G 2 B in G 2 9 . ( Sl i ka >H< G;9 Ravno tako obs t aja jo t ri ra zl ične i zomere pent ana . Pos kus ite jih na r isa ti ! Ke mike j e ze lo do l go m u č il o vprašanje , ko liko r a z l i č n i h a lk a - nov s formulo C n~n +2 0b sta j a . Za n =6 in n =7 s o to št e vi lo znali d oločit i, t a ko da s o nJri s al i vs e m o g o č e pr imere . Vendar pa z rast o či m š tev i l om ~ št evilo izomer tak o hi t r o na r a š ča ( g l e j da lje ), da tak šno na i v no preštevan je ne nride več v poštev . 1 2 Dolg j e spisek kemiko v i n matemat i kov , ki so sk oraj sto let obl ega l i pr oble m š t ev i la iz omer a l ka nov . Izka zal o s e je , da je to re s tr d or eh . N aj v e č je na tem p o droč j u pri s pe val sod ob- ni am eriški mat ema ti k ma dž arsk ega po rek la Gyijrg y Pul y a ( 1887 - ). Pdl ya je l et a 1937 na š e l sp l oš en pos t opek za d ol o čanje š t e vi l a gr afo v z dan imi la stno stm i (v na šem pr ime ru s o t o dre ve sa , ka ter i h točke ima j o le stopnje e na al i štiri) . P61yajeva t eorij a j e pre ši ro ka in pr e t ežk a , da bi jo t u opiso - vali . Nam esto te ga bomo navedl i l e re zul t a t e , do ka t e r i h l ahk o pr i demo s p omo čj o t e te ori j e. n števi lo i zomer Cn H2n + 2 6 5 7 ~ 8 18 9 35 10 75 12 355 15 434 7 20 366319 30 4 11 1846763 40 6249 11788 05831 Teo r ija grafov se v kemi j i upor abl j a t ud i na mnog i h dru gi h področjih. še posebej se je njen pomen v kemiji p o v e č a l v zad - nj i h de s e ti h le t i h . Z gotovostjo pa l a hko trdi mo naslednje: e na od značiln o st i so d obne kemij e je v t em, da vanjo z vs a ki m dnem bo lj pr odi r a j o matema tič ne me t ode i n matematični nač in mišl je nja. I v a n Gutman , Kraguj evac preve del : Bo j a n Moha r 13 KRITERIJ DELJIVOSTI S' 7 IN 13 če h o č e m o ugotoviti, ali je neko c e l o števi lo m del j i vo s 7 a li 13 , neposredno de limo š t e vi lo m s š t e v i l om 7 a li 13. Na pr i mer, če je m = 84 , imamo 84 : 7 = 12 ali 84 = 7.1 2 ; če pa j e m = 7458, i mam o 7458 : 7 = 1065 i n 3 ostane a l i 7458 = =7 . 1065 + 3 . V prvem pr imeru pravi mo, da je šte vi lo m deljivo s šte vi lom 7 i n zapi še mo 7 184 v drugem pa števil o m ni de lj i vo s 7, kar za piš emo 7 ~ 74 58 Vendar zahteva preverj an je de ljivost i s šte vi l om 7 ali 13 znatno več čas i n truda , če je š t e vi l o m več števi lč no . Kri te - r ij de l ji vos ti z neposredn im prever janjem je res da vedno upo- r ab e n, ni pa dovol j prakt ičen . Za t o bomo na šli ugodn e j š e ga. Vs a ko celo š tev i lo m l ah ko e no l ič no pr edst a vi mo v ob l ik i m = IDa + b kj e r sta a i n b ce l i št ev i l i . Stev ilo b pomeni en ice , šte vi lo a pa dobimo , če od m enice odrežemo. Nadalje je m = 3( a - gb) + 7 (a + 4b ) Ke r je 7 (a + 4b ) de lji vo s 7 , je za to , da bi bi l o deljivo s 7 tu di števi lo m , potrebno i n zados tno, da j e de ljivo s 7 števi lo a - gb . Na podoben način obdelamo delj ivost s 13. Zato zapi šemo štev i - l o m v tak i le ob liki m = 13 (a - 2b ) - 3( a - gb ) i n s pe t s klepamo, da j e št e vi lo m de l j i vo s 13 če in s amo č e j e delj i vo s 13 š tev i , a 3(a - gb), to se pravi tud i š t e v i l o a - gb. Tak o smo pokaz ali i z r e k : Stevilo m je delj ivo s 7 ali 13 natanko takra t , ko je delji - vo s 7 ali 13 število, ki ga dobimo , če števi l u m od r e žemo enice in od dobl j e ne ga štev ila odš t ejemo devet kra t no štev i - lo e nic . Pre izku s imo zd aj, ali je števil o 64 585 de ljivo s 7 a l i 13. Po zg ornjem kr iteriju moramo t orej pre izk usiti al i je de lj ivo s 7 1 lj a l i 13 št ev i l o 64 58 - 9. 5 = 6413. š e vedno je to š t e vi l o pre- ve l iko za ne posre de n pr e i zk us , zato š e enk rat upo rabimo i zr ek i n dobim o š t e v i l o 64 1 - ~ .3 = 614. Pa š e en kr at, da dobimo 61 - 9 . 4 = 25 . Zdaj pa že vidimo , da 25 ni de l j i vo niti s 7 niti s 13 in zat o tudi š t ev i lo 64 585 ni deljivo niti s 7 niti s 13 . S h ema tič no bi račun zap is al i tako l e 6 4 5 8 5 - 4 5 9.5 6 4 1 3 - 2 7 9 .3 6 1 4 - -LL 9 . 4 2 5 Na log e. 1. Pr everi , ka ko je z delji vo s t j o s 7 in 13 za š t ev i l o 47 543! 2. Dokaži, da i z 7 ( a + 5b ) s le di 71 ( 10a + b ) ! Ali velja tudi obra t no? 3. Re zultat pr eJ sn je na loge obli kuj v kriteri j za deljiv ost ce l i h š tev i l s 7 in tako prei zku si deljiv ost š t e vila 32 578 s štev i lo m 7. 4 . Ses tavi podobn a pr avil a za de lj ivo st s šte vil i 11,17,19 i n 23. 5 . številu 7A 546 iz ber i štev i lo A ta ko, da bo del jiv o z 19 ! Dragoljub M. Milo še v i d pre v. Pe te r Petek REBUS - r .eš ite v i z P/8-4 Na mornari ških za stavah, ki jih dviguje fižo l ček iz "Ukroče­ n e ma tem a t ik e " p iš e: "KRILANIČ" (avtor) in "POLAR" (i l u s t r a t o r ome n j e n e broš ure) . Ci r i l. Velkov rh.. 15 AR I TMETIč NA IN GEOMETRIJSKA SREDINA DVEHPOZITIVN IH šTEV IL V članku bomo na tri načine dokazali , da je ar itmetična s r ed i - na dve h poz i t i vni h štev i l vedno v e č j a ali vsaj enaka geometrij- sk i s r ed i n i . Po defini c iji je a r i t me ri3 na s r e d i n a A dveh šte vil a in b e na ka A geomet ri j sk s red ina G dve h števil a in b e na ka G Trd imo , da je vs e l e j A 2 G. Doka a 1 . Po zgornj ih definicijah imamo A - G =~ _ /CiE a + b - 2 la b C/ a - l b ) 2. 22 2 Torej je res A ~ G. a + b 2 l a b D' o k a z 2. Na s l i ki 1 imamo pravokotni t r i ko t n i k MNP z vr i s a ni - ma vi šino in t e ž išč n i c o na hipotenuzo. Trikotnika MPP ' i n PN P ' s t d pod obna , ke r se ujemata v ustrez n ih kot i h . (Zak aj? ) Na slik i s mo označil i z a odsek hipotenuze MP ' i n z b drugi ods ek NP ' . I z podobnosti tr i kotn ikov MP 'P in PP'N sledi ,\1 a : h h b li P P h 2 z: abp h = laE5 MP : lIp M P : lI b S li ka 1 P N T o č k a P , je sred išče tr i kot nik u očr ta n e kro ž nice i n j e za to tež išč n ica enaka 16 tp = MP , = NP , t P Ca + bJ/2 V pravo ko t nem tr iko tn iku PP,P ' j e t hi po t e nuza i n h kate ta, p p zato ve l ja t > h . Ena kost nastop i l e, če se tež išč n i c a inp p višina uj ema t a, ka r se zgod i v enakokrakem pravokot nem tr ikot- niku , torej tedaj, ko je a = b . Zaključ imo t a + b J/ 2 <: ab Doka z 3 . Na s liki 2 i mamo enak okraki trapez , ki mu je mog o č e včrtati krožn ico. Osnovni c i tra peza at a a i n b . Ker sta ods e ka t a ngen t iz i s t e toč ke na krog enaka , dobimo AF == AE == a/ 2 i n F D == DG b / 2 i n od t od AD= AF + FD=AE + DG (a + bJ / 2 S l i k a 2 Oglejm o s i pr a voko t ni t r i ko t ni k ADD '! Stran ico AD smo ravnokar spoznal i : AD = t a + b)!2 . Stran i ca AD ' pa j e v enakokrakem trapezu enaka ( a - b J/ 2 . Po Pitagorovem i z r e ku i mamo DD ' 2 z: ( ( a + b ) / 2) 2 - (( a - b ) / 2 ) 2 ab DD ' = vab Spet je hi po t enuz a AD ar itme t ič na s re di na in katet a DD geo - me t ri č n a s re d ina . Hi potenuz a je večja od katet e l e v pri meru, ko je a = b - tr apez se s premeni v kvadrat - se obe da lji c i po kri vat a . Vedn o pa velj a AD ~ DD' oz iroma ( a + b J/ 2 ;;; ab 17 Naloge l . če j e x> O, velja x + 1 <: 2 l x . Dokaži! Kdaj vel ja enakost ? 2. Dokaži, da za poziti vni števili x in y veljata neena kosti ( i) x / y + y / x <: 2 (i i) xy ;;; 17X~T12 Kd aj veljata enakosti? 3 . Poi š č i največjo vrednos t izraza xl {mx 2 + n ) , če sta m i n n pozitivn i števil i . 4. St r a ni c i a in b s t a kateti, o je h ipotenuz a pr av okotneg a trik otni ka. Dokaži , da velja a + b ;;; o 1 2 5 . š t e v i l a m, n , p , q s o pozit ivna . Dokaži: ( m + n + p + q ) 2 ;;; 2 5 6mn p q Dragol jub M. Miloševi6 prev. Pe t e r Pe t e k NEKATERE NEENAKOSTI V PRAVOKOTNEt1 TR 1KOTN 1KU Dobr o ve mo , da za vsa k trik otn i k velja tri kotni ška neena kost: s t r an ica trikotnik a je v e č ja od r a z l i ke in manj ša od vsote os- t alih dveh stranic trikotnika . Oglejmo si ne katere neena kosti, ki veljajo za pravok otni tr ikotnik! l. č e je P plo š č in a i n c hipotenuza pravokotnega trik otnika, ve lja neenako st P ;;; 0,25 0 2 Doka z . Ke r j e kva drat vsak e ga r ea lnega š t e v i l a pozitive n a l i ni č, velja za kat et i pr a vok o t neg a trikotn,ik a a in b (sl ik a 1) neen a kos t (a - b ) 2 ~ O, t .j. a 2 + b 2 <: 2ab. Pitagorov iz rek nam pove, da j e a 2 + b 2 = c 2 , ploščino pravok otne ga trikotnik a iz- računamo po formuli P =ab I 2, iz zgornje neen akosti dobimo p ~ c 2 / 4 , kar smo mora li doka zat i. 18 A b B " Sl i ka 1 2. Za kateti a in b pra voko tnega t r i kot ni ka i n njun i te ž i š č ni ci ta i n tb ve lja ne enakos t t~ + t 5 ~ fr (a + b )2 Doka z . Pog lejmo na sl i ko 2. Trikotnika ACA l in BCB l st a pr a voko- tna, za to vel ja t~ b 2 + ( a / 2 ) 2 2 t b a 2 + (b / 2 ) 2 Ena kost i seš t eje mo i n dobi mo t~ + t~ = i(a2 + b 2 ) Ke r pa smo v do kazu neea nkosti videli, da velj a a 2 + b 2 ~ ~ (a + b ) 2/ 2 , iz zgorn j e s eš t et e ena kosti že sled i trd itev iz- r e ka . B A , A~::::::="'--~"f--~_--:lIC S l i k a 2 3. V prav okotnem tri kot ni ku velja : a + b ~ 2 /2p Do k a z . Neenakosti a 2 + b 2 ~ 2ab prištejemo na obeh straneh po 2ab , da dobimo (a + b ) 2 ~ 4ab , t.j. a + b > 21<10 , od koder pa sp e t za radi P = ab /2 sled i nee nak os t , ki jo že l i mo do kazati . 19 4 . V pr a vo ko tn em trik ot ni ku ve l j a dvoj na ne e nako s t t a + t b < .l 1 < a + b 2 Dok a z . Iz s l i ke 2 preberemo dve t ri kot ni š ki neenakost i , za tr i- ko t n i ka ACA) in BCB) : ta < b + a / 2 tb < a + b / 2 Ko j u s eš t ej emo, dob i mo de s n i del zaht e van e ne ea nkost i : ta + tb < ~( a + b ) Ker sta ta in t b hip ot enu zi omenjen i h tr ikot n i kov , s ta večj i od ka tet a i n b : ta > b i n t b > a . Spet s eš tejemo ta + tb > a + b , ka r pr i nes e še levi del dv ojne neenakost i . NA LOGE 1 . Dokaž i, da z a polmer R o č rtaneg a i n r v črtanega kr oga pravo- kot ne ga t r i ko t n i ka ve lja R > r( 1 + n) ! 2. Za kateti a , b in višin o h pravoko tn ega tr ikotn ika veljata neenakost i (1 ) a + b ~ 2h/ 2 ( I I ) 1/ a + 1/ b :; ,'2/ h 3 . T e ži š č n i c e t a ' t b ' t e in ploščin a P pr av okot ne ga t riko tn i ka s o v od n.osu : , 2 2 t~ + tb + te ~ 6p Dr a gol jub M. Mi l oše v i 6 pre ved e l Pe t e r Pe te k za PLOščI NA PRAV ILNEGA DVANAJSTKOTN IKA Pok a za l i bomo ka ko l ahk o izr a ču n amo p lo šč in o pr avilnega dva- na j s t ko t ni ka, če poz namo A) s t ra nico a pravilnega dv an ajstkotnika B) polmer P dvanaj stkotniku opisanega kroga A) 1 . nač i n Nad vsak o drugo st r a n i co pravilnega dva najstk otnika A , A 2 • • • A ' 2 ( s lika 1) konstru ir amo na notranj i s t r a ni po en ena kos tra - ni č en tri ko tni k . Lah ko je pok azat i , da njihovi vrhovi M " M2 , •• • Ms predsta vl jajo ogl išča pravi l nega šestko tnika s s t r a nico a . Ta ko smo dvanaj stkotnik razstavili na 6 s kladn ih kvadr ato v in 12 s kla dni h en a ko strani čnih t r i ko tn i kov . Zat o je pl o šč ina enaka S li k a 2. način (),H--"-::~--3~O S li ka 2 Izberemo e ne ga od 12 s kladnih enakokrakih trikotnikov z vr hom v s r e d i š č u dvanajstkot nika in stra nico a ko t os nov nico (s l ika 2 ) . Kon stru iramo višino na osnovnico 00 , . Pot em i zb e r emo na 2 1 dalji ci OO, t ot ko P tako, da je trikotnik A ,A 2P enakostranite n, torej < A,PA 2 = < A2PA, = 60 0 • Kot ob vr hu O je enak 360 0 : 12= = 30 0 , kot OA , A2 ima 75 0 , < OA,P = < OA2P = 15 0 • Tri kotni k A, A2P je enakostraniten, t r ik o t nik A ,P O pa i ma dva kot enaka 15 0, zato je enakokrak in zato OP = A ,P = a . Vi šina OO , j e t orej sesta vljena iz vi šine ena kostrani tneg a trik otn ika O, p = =a 13/ 2 in da l jice OP = a . Tako je ploština trikotni ka A, A20 enaka p ( M , A 2 O) = a ( a + a 13/ 2 ) / 2 = a 2 (2 + 13) / 4 Ploština dvanajstko tn ika je dvanajstkrat ve t j a B) 1 . nač i n Pra vi ln i dva na j s t ko t ni k j e sestavljen iz š e s t i h skl adnih del - toi dov . Eden od nji h je ABCO na sliki 3 . Diagon ali de lt oi da sta obe ena ki po lmeru p ot r t a ne ga kroga . Di agonal a BO se kar uje ma spolmerom, dia gona la AC pa je s t r ani c a pra vilnega še s t - ko t ni ka in zato spet en aka po lmeru r . Tak o imamo ( P = 6 IJI-t------~ () S l i k a 3 2 . način Sl i ka lj Na sl iki 4 vid imo tri s t ran ic e pravilneg a dvanaj stk otnik a in kvadrat, ki smo ga kon struira li nad po lmerom P . Najprej bomo 22 pokazali, da ima ta enakokraki trap ez ABCD i n petko t nik ABCDE enak i p lošč i ni . S I ika 5 T o č k i M i n N sta nožišči nor ma l , ki ju ' spust imo i z t o č k B in C na d ia gona lo AD kva drata . Kot ABC j e kot pra v i l neg dva naj s t - ko tn ika in za to enak 150°, kot ABM je tako 150 ° - gOo = 60 ° in je trikotni k ABM pol ovica enakostran ičnega. Ke r je < DAE = 45° in < BAM = 30°, velja < BAE = 15°. Pravo kotn ik MBC N je polo vi ca kvadrata (MB = ~ BA = i BC = i a ) i n ima plo šči no a 2 / 2 . Poglejmo s liko 5 ! Po s imetrij i s kl e pamo , da je tr ikot nik BCE enakostran ičen in zato po p lo šči n i e nak vsot i p lošč i n t ri ko tni kov ABM i n DCN . Ko ti BAE. BEA . CED in CDE so vs i e nak i 15°, zato j e < DCE = 150 ° . I z točke D potegnemo norma lo na podaljše k stranice EC in dobimo n o ž i š č e F . Ker je < DCF = = 180° - 150° = 30° , je tudi tri kotn i k CDF pol ov ic a e na kos t r a - n i č n e g a in DF = a / 2 . To pa je r av no višin a trikotn i ka CDE na stranic o CE, ki je e nak a a . P l o š čina trikotnika CDE j e t orej a 2 / 4 . Isto ve lj a za t ri kotn ik ABE . Vsota njunih pl oščin je zato a 2 / 2, kar j e ravna p lo ščina pravo ko tnika BMNC. Upoš tevaje vse p loščinske enako st i vidimo, da ima t rapez ABCD en ako p loščino kot pe t ko t n i k ABCDE . Ker dasta skupaj po l kvadrata, je p loščina petko tn ika OABCD enaka trem četrtinam p lošč i ne 23 kva drat a OA ED, t o je ir2 Dvanajstk otnik sesta vlja jo š t ir j e e naki pe t kotn iki s plo ščinami ir2 . Tako dob i mo končno P = 4 . %'p( OAED) = 3r 2 Nal ogi: 1. Up orabi trapez ABCD na s l i ki 4 in z njegovo pomocJo še e n- kr at i z r a č u n a j pl o šč ino pravi ln ega dvanajstkotn ika, če poznaš nj e govo strani co a ! 2 . Iz r a zi p lošč i no prav i l ne ga dva na j s t ko t nika, č e poznaš pol- mer p v č rtane g a kroga. Drag ol jub M. Milo š ev i 6 prev . Pete r Pe tek BISTROVIDECD _ Ve liki vojskovodja je naročil s voj emu arhitektu, naj mu sezi da gr ad. Sezidan na j bo iz petih zidov (ki se l ahk o kr i ža j o ) , v vsakem zidu pa naj bodo štir je opa zova l ni st ol pi. Stolpov naj bo dese t . Arhitekt mu je kma lu pr i nes e l n ačrt, ki ga vidite na s l ik i . Toda vladar ni b il zadovoljen. Na js i bom v ka t e r emkol i st ol pu, vedno sem izp ostavl j e n d ir ek tn i m na pa dom od zunaj, je r e ke l. K pre j š njim zahtev am j e d oda l ' š e en o, vsaj e n stolp naj bo v not r a nj os t i obz i dj a . Sev eda pa so lahko z i do v i različno dolg i . ~orajo pa biti ravni . • Kako je arhitekt r eš i l zahtev no na l ogo? Lj u bo mir Kostrev c 24 v MATEMATICNO RAZVEDRILO KAKO RAZ PO LOVIMO DALJICO SAMOS šESTI LOM Na lo go, poiskati razpolovišče dan e da l j i c e z upor a bo šesti la in r a vn i la , zn a r e š i ti vsa k . V šes ti lo vzam emo poljube n dovo l j ve - l i k po l mer in okro g kra j išč dalj i ce kot s re d iš č na ri šemo dva veli ka kr oga. Na to z rav nilom narišemo premi co s koz i nj un i pre - seč i šč i . To čka v ka ter i ta pr em i ca seka dano dalji co , je raz po - l o v i š č e da lj i ce . Pri kons tr ukc i j i mo ramo paz i t i l e na to, d a šesti lo dovol j r a zpr emo , da s e kr oga res tu di sekata . Navada j e še, da oba kroga rišemo l e de l no v b l iž i n i nju nih pr e seč išč (s 1 i ka 1 ) . Ve ndar moremo rešiti na logo t ud i v pr i me r u, če imam o s amo šes t i lo. Ta trd it e v je samo drobec na sl ed nj e ve l iko sp lo - š ne j š e res nice: Vs a k o kons - t ~ u k a i j o , ki jo Zahko i z v e d emo s š e s t i Zom in ~avniZom, je m o č izpeZ jati š e s amo s š~s t i Z om . B A <: -----~- S l i ka 1 S sp loš no t r dit vi j o se to po t ne bomo ukvar jali - morda kda j d r u g i č . Povr n i mo se k za stav ljeni nalogi v nas lo vu . Ker kon s - tr ukc ije ne bomo samo na ved li , ampak tu d i ute melj i l i . pot re bu- je mo nek a j pr iprave . Z ~ a a Z j e nj e na k~og . Na j bo v ravni n i da n kr og K s sre diščem n in polme r om ~ ~ Nada lje na j bo T po l ju bna točka t e ravn ine . To- č ki O i n T d o l o č at a po l trak , ki i ma iz ho dišče v O in gre s koz i 25 T . Na tem polt r a ku izberimo to č k o T ' t a ko , da bo za odda l j en o- s ti t o č k T in T ' od sredi šča kr oga ve lja la zveza ( 1 ) OT oOT "z: 1"2 Tako iz brano t o č k o T ' imenuj emo zrcalna slika točke T gl ede na krog K. Takoj vid i mo, da je tudi obratno t očka T zrcalna s li ka točk e T ' glede na K. Zr cal nos t je t or e j vza jemna re lacija (s l i - ka 2). Sl i k a 2 Sl i ka 3 Ce leži točka T zunaj kr oga K, je OT > 1" i n iz OT .OT ' = 1" 2 sl e - d i OT ' < 1", tor ej lež i T ' znotraj kro ga K. To pomen i , da pr e- s l ik a zrc alj en je t o č k e zuna j kroga K v notranje t očke in obra t - no, notranje v zunanje . Ta koj se t udi vidi, da je T = T ' , če T i zbe r emo na krožnic i . Sre d išče O kro ga K j e edina t o č k a , ka tere zrc a lna s l ik a ni do- ločena. Tedaj namreč O in T sovpa data i n ta edina t o č k a ni do - volj za določitev pol t r a ka , na kat erem na j bi ležala zrcalna sl ika. Oči tn o pa j e , da se zrc alna slika T ' točke T tem bolj odda l j uje od o , č i m bolj se T s r ed i š č u o pr ib l i žuje. Zato vča­ sih pra vimo, da se središče kroga, na ka ter ega zrcal i mo, pre- sl ika v neskonč nos t. Geome t r i js k a k o n s t r u kcij a zrca l n e t očk e. Dani t o č ki T l ah ko kOD s tr uiramo zrca l no točko T ' gl ede na kr og K s amo s šes t i lom, br ez 26 upor ab e r avni l a. Trdite v ve l j a povs em splošn o, če le T ni sr e- dišče kroga K. Vendar bom o tu pokazali konstrukcijo le za pri- mer , če leži točka T zunaj kroga K, ker bo to zadošča la za naše nad aljnje potrebe. Naj bo dan krog K s sre di ščem O in polmerom p in točka T zunaj kroga (slika 3 ) . S šestil om narišimo kr og s s r e d i š č e m v t oč ki T in spo lmer om OT o Ta krog poteka skozi središče O kroga K in očitno seka krog v dveh točkah, ki ju označimo recimo z M in N. Nar i š i mo nato še dva krog a, enega s sredi ščem v M, drugega s središčem v N , in oba spolmerom P , torej oba s kozi točko o. Razen v točki O, se ta dva kroga sekata še veni točki, za katero bomo vide l i, da je r avno zrcalna slika toč ke T glede na krog K, zato to prese- čišče že vnaprej označimo s T'. Konstrukcijo smo res izvedli samo s šestilom. Dokazati moramo le še trditev, da sta T i n T ' zrcalni točki. Pa poglejmo ! če še enkrat sledimo konstrukciji, hitro ugotovimo, da imajo točke O, T in T' neko skupno lastno st. Za vsako izmed njih nam- reč velja, da sta njeni razdalji od točk M in N med seboj ena ki . Vemo, da je geometr ijsko mesto točk, ki so enako oddaljene od dveh fiksnih točk, premica (natančneje si metra la daljice, ki ima ti točki za krajišči). To pa ne pomeni nič drugega kot to, da le že t oč ke O , T , T ' na isti premici. Iz kons t r ukc i j e je tudi jasno, da ležita T in T ' na tej premici na isti strani točke O, t orej na istem poltraku z izhodiščem O. Dokazati moramo še velj avnost zveze ( 1 ) . Tri kotnika OMT i n OMT ' sta oba enakokraka i n imata skupen kot z vrhom v o. Ker je ta kot v obeh trikotni kih kot od osnovnici , s ta trikotnika podobna. Potem velja za ra zmer ji nj uni h krakov in osnovnic s orazmerje OT OM OM OT ' in zaradi OM = P dobimo OT.OT ' strukcije potrjena. p 2 • S tem je pravilnost kon- 27 Ra zpoLo vim o daL jico samo s š e s t i Lom. Naj bo dana dalji ca s kra - jiščema A in B ( slika 4) . Narišimo kro g s sred i š če m v B in s po lmerom AB . Po krožnici nato trikrat zapored nane simo po lmer AB začenši v točk i A . Ko nčna točka C , ki jo do bimo pri na naša - nju, l e ž i na premi ci skozi to čki A in B i n zan jo velja AB = BC oz i r oma AC = 2AB . Nar i šimo š e en krog - to pot s središčem v A in spet s polmerom AB - ter prezr ca l imo točko C glede na ta krog . Za za r c al no sl i- ko C ' velja AC .AC = AB2 ka r da AC ' . 2AB AB2 in 2AC '= AB Tor ej je C ' točka , ki razp olav lja da ljico AB . ~~~ / \ A C B IC Sli ka 4 Vse smo r e s oprav i l i br e z upor ab e ra vnila . Opozorim na j še , da na s l ik i 4 zaradi preg lednosti n i smo na r i s a li vsega pos t op ka z r c a lje nj a toč k e C, ampak samo C ' , kot njegov rezu ltat . S pomo- čj o s l i ke 3 lahko dopol n i risbo br al e c sam. Ma rija ve noe l i 28 REFERENDUM Naš a o bč i na pot re buje novo bol n išn ico, šo lo in vrtec; de na rj a pa i ma le za dv a obje kta . Da bi bi lo z izb ranima objektoma č i m v eč l j ud i zad ovoljnih, je bil razpi san r efer endum . Na njem j e mo ra l vsak o bča n od govo r i t i na nasl ednja tri vp r a ša nj a: 1) Na j zgradim o ra je bolni šni c o ali šolo? 2 ) Na j zgra di mo raj e šo lo ali vrt e c ? 3) Na j z gr adimo r aje vrt ec a l i bolni šn i co? Možn e od govor e (8 jih j e ) naj pre gledn ej e ponaz or imo z "usme r je- nimi gr a f i ". Vsa k t ak graf s e st oj i iz treh točk, ki ponaz arjaj o bolni š ni c o , šo lo in vrt ec . Te t ri t o č k e so pove z ane me d s eb oj z usme rje n imi da l ji ca mi. Na pr ime r , č e i ma nek i o b č a n raje bolni- š nic o kot šo lo, bo na njegovem gr a f u pot eka l a p u šč ica od bo ln i - š n i ce pr o t i šoli . Mož ne odg ovo re pon az ar jaj o gra f i na s l ik i 1 . bAAb B š B Š B S B S AAbb B š B Š B Š B S + Gr afa št . 4 i n št. 8 na sl i ki sem dal v ok lepa j . To pa za to , ker ob čane c e n i m kot pamet ne in dosl edn e l judi. In t ežk o bi bi - l o o zn a č i t i za pametne ga in dosl edn ega ne koga , ki i ma r a j e bol- n i šn i co kot šo lo, r aj e šo l o kot vrt e c in ra j e vrte c kot boln i š - ni co ! 29 Res j e 2100 obfa nov "p amet no in dos l edno " odgovor i lo na zas t a v- l j e na vpr a šanj a . Ni t i ede n ni od govor i l z gr a f om š t. 4 niti z gra fo m št . 8 . Ko l i ko gla s ov so posa me zni gra f i dobil i , kaž e raz - pre del n ica: graf št . prej et i glasov 1 600 2 200 3 300 4 O 5 100 6 500 7 400 8 O Da bi upoštev al i ljud sk o vol jo in po nj e j u krep a li, so s i t i naši obf i ns ki mož j e za st avi li t r i vp ra š anja : 1) Ko l i ko obfan ov ima ra je bol ni š ni c o ko t šolo? Odg ovor je bil: 600 + 200 + 300 = 1100 (g lej gra f e 1 ,2 ,3) . Odve č je pr ipomniti , da j ih je os ta l i h 1000 i me l o raje šo lo kot bol n iš n i co ( gra f i 5 ,6 ,7 ). 2) Kol i ko obfanov i ma raj e šolo kot vr te c ? Odgo vor se je gla s i l : 600 + 100 + 400 = 1100 (g ra f i 1, 5, 7 ) . 3) Ko l i ko obf a nov ima raj e vrte c ko t bo l ni šnico ? Od gov or : 200 + 5== + 400 = 1100 (graf i 2 ,6 ,7) . Ponazor imo z grafom , kaj ljudje žel ijo , so dejali mestni očetje. Vse bi bi lov redu, fe b i kot kon č n i graf dobi 1i graf 1 (tedaj b i zg r adili boln i šni c o in šo lo ter se odre kl i vr tcu ) a l i g r a f 2 (tedaj bi zg radil i bol ni š n i c o i n vrte c, šo l a pa b i pofaka l a) al i . . . Tod a zm aga l j e r av no "nes pamet ni in nedos ledn i" gra f na sl ik i 2: 30 v D B Š GRAF ZADREGE Klj ub temu, da je vsak vol i lee glasova l "dosled no " , pa konč ni graf, ki naj bi izražal že l j o v e č i n e , ni bil "dos lede n", s a j že l je več ine i z nje ga ni so mogl i dobi ti. Kapel Baja PIRAMIDI Pr ijate lj Marko Kranjc , ki štud ir a v ZDA, ml Je z a d n j i č pisal o prob lemu, ki je nasta l pr i oce nj evanj u sprejem nega izpita na neke m co l leg eu. (Ameriš ki co l l ege ne ka ko odgovar ja naši vi šji šol i .) š lo j e za nasl ednjo nal ogo . Imamo dve piramidi : ABCD in EPGH I , ka t er i h trik otne s tr ani c e so skl adn i enakostraničn i triko tnik i . Zl e pi mo tri kot ni ka BCD in EIH . Kol iko stra nsk i h pl os kev i ma t e l o , ki ga ta ko dobimo ? o I Ameri š ki sp r ej emni izpiti so ob iča jno ze lo podo bn i i nte li ge n- č n im testom . Sest avlj eni so iz mno go eno stav nih vpraša nj, ki zah t evaj o l e kratek razmislek. Na vid ez je taka t udi naš a na loga . Po tem izp i tu pa s e je ed en od š t ude nt ov pr i tož i l, č eš da so mu po kr i vic i š te l i rešite v za n a p a čn o . Ko so ugotovi li, da je pr ito žba u p ra v iče na, so morali r az ve lj av i ti re z ult a t e nekaj tisoč dr ugi m š t uden tom. Vpraša nj e, koliko st r ans kih pl os kev ima dob l j e no te lo, za st av - ljam o zda j bralcem Pr es e ka. Posku si t e iz pa pi r j a nared i ti mo- de l tega t e lesa (seve da kar br ez obe h zlep ljen i h t rik otnikov ) ! Pete p Le g i š a 3 1 SLIKOVNA KR IZANK A "ZNAME NITI SLOV EN EC " 1754-1802 - ~ . DOMAtE ŽI LA DC· LETNI PR, PRI TR- SKLADAT. IVAN JANEZ POSEK JADILNICA 2 .IME SAVIN TAVČAR MENART VODNICA GOZDA JAK ' ~ .!2.: ~ IZVE- J~ OENEC ~~~ ;: ~(/> SOSEDNJI PERJEČRKI HLAPLJI VA PRI REPI .,~' ~~.~ rt) TEKO~NAVRSTA NARKOTIK ENOČLENI KOPICE. ·_·1 ~f .,q • -c, ~. "'f~ ~ ~I BESEDA II ~BREZ PO- UDARKA..... ..... POPEVKAR KALCIJ SANITET NI PESTNER LUK A V MAT ERIA L I VAN IZRAELU OSNOVNA FI ZIK. ČARGO KOli Č i NA KOPNO SREDI -VODE (MNOŽ.l D VRHNJE OKONČ I NA N~ OBLAČiLO 'o ! MAZ ILO ANGL. Ž. IME - ~ ARAB SKI OTOK V NIZEK ENOTA ZA KNEZ ARAFURSK. ŽEN SKI KOLIČiNO MORJU P. GLAS SNOVI TURŠKI VE LI KAŠ ' .tRKA - -SESTAVIL : DRAGO ABECEDE ~ ~ IPAVLE TRŠAR -GREGORC VASJA I FES IOOCVIRK NALEC ~ - 2 I ~ ~1'" - TRENJE J ~.Ii 32 EVA- LKA JPIN A NTON KUHELJ ABE LO V BRAT PRITOK '9" ILMENSKE- GA JEZERA V SZ TELOVAD. PRVIN A S,ROJNI ELEMENT ZA ZVEZO ICA L:I SL.PI SEC t ' BOBRI"J TJ RINO GR~KA CRKA JA Z (LA TI N. ) AMERICIJ GAL EJA ilIJSKO M.IME ALKOHlJL. P I JAČA ElITEV . MERILU ~ iES TRA ROJSTNI KRAJ PRI MORAVČAH ENOTA ZA _ MERJENJE TUJE t. IME IME VEC Č EŠKIH VLADARJE 2~~~l8. EGIPC-:BOC PLODNO~I ET BI N KRI STAN lOOMNs'iČ RAZ- SODl ŠCE t.. IME JOŽE NAJOŽJA (LJ UBK.l SORODNICA RIJ EKA TRSKA VA SILIJ MIRK OTOK V SREDO- ZEMLJU RUSKO Ž. IME RADON NEVOJAK LAD JA ZA PREVOZ VEZNIK VOZ IL ARIJA (O RIG.) 33 FIZIKA ODBOJ SVETLOBE NA VODNI GLADINI Vodna gl adi na deluje kot zr c alo . V stoječi vodi se l ah ko pr av dobr o vidi mo . Za to je potrebno l e , da smo dovolj osvetlj en i, voda s ama pa mo ra biti v sen ci . To nam najbol j e do kaž e pogled v gl obok vodnja k . Razmerje med svetl obnim t okom odbi t e i n vpadle svetlobe na vodn o površi no, ki mu pravimo tudi odb oj- nost , je v sp lo šnem majhno, pri n a vp ič n e m vpadu ža rk ov le okoli 0 .0 2. Zato zazna mo odbito svetlo bo le, če j e mal o s tr ans ke svetlobe, ki iz vira od osvetljenih predmetov , v okoli ci al i v vodi sami. Odbojn os t R nar ašča s kotom lJ med sm er jo ža rka in norma 1no na gl ad ino. 51ej sl . 1! Zna t e n udboj dobi mo 1e pri zelo ve likih koti h, lJ > 70° . Dosti sončne svetlob e se na primer odbije na morsKi gladin i ob s o n č n e m vzhodu a l i zah odu. R S li ka 1 x Sli k a 2 B valovita gladina z 10' 20' 30' 40" 50' 60' 70' BO" 90' 0 .4 0.3 0.7 05 0 .1 0.2 0.8 0 .9 0.6 1.0 Tedaj vpad ajo so nčni ža r ki na morsko gladino zelo poševno in je z a t o od boj s vet lob e m o č an. So nčni za hod na morju predstavlja iz r edn o lep i n s l ik ov i t s vet lo bni po j av. To , kar pri t em v i di - mo, pa ne s pominja do s ti na z r calno s l iko sonca v z rca lu, ki na j bi ga pr edstavljal a mor ska g l adina. Namesto zrca lne s l ik e vidimo na morj u s vetlikajočo se svetlobno progo v smeri zaha - jajočega so nca . Nekaj podobnega opazujemo na morju i n jezerih tu di ponoči ob g l eda nj u odseva odda lje ni h s vet i l . t~orska po- vr š ina ni ni koli g l ad ka kot zrca lo. ~ jena val ovit ost vpl iva na to, kako se na nj e j s ve t loba od bija . Pr i vod njaku se najla- že prepr ičamo, da valova nje na vodi, ki ga povzročimo s spu - stom kamenčka, zaniha in popač i zrca lno sliko. V tem zapisu bomo poskuš a li n at ančneje poveda ti, kako se svetlobni žarki odbijajo na valo vit i gla d i n i vode . Opazova lec na morsk i obal i gl ed a ze lo oddaljeno svetilo, ki je l e mal o nad obzorjem. Njegovo oko zazna d irektne in na morsk i g ladini odbite žarke . To je ponazorjeno na sl . 2, kjer je t ud i predstavljen koordinatn i sistem, s pomočjo katerega bomo nare- dili ne ka j preprostih računov. Opazovalčevo oko je na mestu A v višini h nad morjem. Di r e kt ni žarek je označen s črko a, žarek. ki se odbije na mo r s ki gla d ini na mestu B, pa s č r k o b. Iz hod išče koordin a tnega s is tema O pr e ds t a vl j a podno žje opazo- valca na ni vo ju mor j a. Koord inatna os DX lež i na glad ini v smeri proti svet i lu. Os OZ je navpična . Os OY, ki ni narisana na sl. 2, je pravokotna na ostal i dve osi. Koordinate točk na mors ki gladini so t or e j ( x , y , O) . Kotna višina svetila, ki ga bomo obravnava li kot neskončno oddaljeno, je označena s črko ~. Pog lejmo najprej , kdaj se l a hko žar ek b odb ije v točki B s koord inatam i (x , O, O) tako , da odbit i žarek pr i de v opazova l- čevo oko pri A. Pogoj z a to je primeren nagib u vo dne g ladine v tej točk i glede na vodoravno lego. Ker sta pri zrcalnem odb oju vpadni in odbojni kot enaka, sledi iz sli ke zahteva i,P / - o: = l() + o. ali u = i I[ar c t g ( ~ ) - ~ JI 3 5 Odvi s nos t ab so lu tne vrednosti kota a je pokazana na s l. 3 za h = 1 i n ~ = 8°. Posebnost pred stavlja točka X o = h t g- 1~ , kj e r je a = O i n ki ust r eza mestu zrca lnega odbo ja pr i popo ln oma vodor avn i vod ni gla d in i . V p o d r o č j u x < x okot lal hitro ra st e z zm an j šev a njem odda lje nos t i x . Na spro t no pa narašča nje lal z r a st oči m x pri x > X o ni t ako hitr o i n v 1 imiti x ko t loq dose že r a zm erom a ma j hno vredn ost ." 12 . Raz 1ičn o obnase nj e la l pri x < X o i n x > X o j e ze l o pomembno za raz umevanje svet l obne pr oge na mor j u ob s o nč n em zah odu . Svet l obna proga nikol i ne sega do obale oz irom a opazovalca . Začne se šele v ne ki r azda lji . Pogl ed na sl . 3 nam t a koj pov e zak aj. Na g i b , ki ga i ma lahko del vodne g lad ine na vodora vno ravn ino, je odv i - sen od va lovitosti a l i razburk a nosti mo rja. Pr i dokaj mirnem morju , l e te daj je sončni zaho d za r e s le p , so ve l i ki nag ib i malo ve r j e t ni. Zato ne pride do odboja pri majhnih razdaljah. Sl ika nam t ud i pove. da pr i ve l ik i h x te omej itve pri za haj a- jočem soncu ne bo , ker je n ajvečj i potre ben nagi b le ~ /2 . S l i k a 3'2'5 h=1 ,'f =8° oL-_~(--.- ·..-.,...--,..----,~ 10 9 B 7 6 S 4 3 2 č im bliže horizontu je svet ilo, tem vecJa je razdalja X o ' Pr i h = 2m in ." = 80 je X o pr i bl i žno 14m. Do tu smo s e zanimal i l e za odboj svet lobe na morski glad in i vzdolž črte OX. 2ark i svet i l a pa se lahko od bijejo tud i na de- lih morske g la dine levo i n desno od te črte ta ko, da pr i de odb it a svet loba v opazova lčevo oko . Le nagi b us t re znega de la morske povr š i ne mora bi ti ravno prav i l en . Iz študija pogojev, ki mo rajo bit i iz po ln j e ni pr i t a kem od bo j u , bomo r azu me l i , kaj d ol o č a š iri no svetle proge na mor ju. Zani ma nas pre dvsem nagib 36 --------- a , ki ga mor a imeti norma la na vodno povrs l no na mestu (x , Y, O) g l ede na navpičnico. Ka ko izra ču namo a bomo le na kazali. Z nekaj spretnosti in znanja trigonometrije ali vektorskega računa bo bralec sam izpel jal odvisnost kota a od koordinat x in y . Najprej si izbe remo dva enotin a vektorja es in eo' Prv i kaže iz toč ke (x, s, O) proti svetilu, drugi pa proti opazoval- cu. V komp or.entni ob li ki se ve kto rja es i n eo za pišeta es (c os e , O, s t ne) e o ( h 2+ x 2+ y 2 ) _ 1/ 2 (-x, _y , h ) Pri odboju na zrca lu ležita vpadni in odbiti žarek v ravnini, ki gre sk ozi normalno n na zr calo in z njo tudi okleoata enak kot . Glej sl. 4! Sklepamo, da vekt or es + eo kaže v smeri nor- male n na vodno gladino v toč ki (x, y , O). Komponent e ve ktorja es + eo so es + eo [ CO S'l' x- + y 2 ) 1/ 2 , ( h2 + x 2 Y ( h2 x 2 + y 2 ) 1/ 2 , + sinil' + h ']( h 2 + x 2 + y 2 ) 1/ 2 Njegova dolžina pa je po Pitagorovem izreku les + eol= 2 '/ 2II + ( h s i ne - xc os 4» (h 2 + x 2 + y 2 ) - 1 / 2 '/2] ~ e d a j z lahkoto izračunamo potreben nagib normale na vodno gladino na mestu (x , u, O) . Kosinus nagiba a je podan z raz- merjem komponente z vek to;ja es + eo in njegove dolžine . Torej co s Ta izraz nam omogoča izračunati a za poljubno mesto na gladini . Na sl. 5 so narisane črte, ki povezujejo na vodni gladini točke z enakim nagibom a za primer h = I in of = 8 0 • 37 Ne prez ri , da j e merilo v sm eri y d rug ačno kot v smeri x! Pr i kot ih a < f / 2 so č r te ena kega nagiba zak l j učene kri vul j e , pr i a > f / 2 pa ne . Težišče ploskve, ki jo omejuje z a k l j u č e n a kr i vu- lja, se z rastoč im a odmika od točke x = x o' ki ustreza odboju na vodoravni gladi ni) vedno bol j pr ot i velikim x . S1. 5 spomi- nja na glavo kome ta z jedrom in repom. Zanimivo je, da kot a ze lo hitro narašča z [YI, če drž imo x konstante n. Zato so maj hni nagib i možni le v neposredni bližini osi OX. Ob mirnem morju prevladujejo le majhni o , Sedaj j e razumljivo, za kaj je svetlobna prog a, ki jo vidimo na morju ob sončnem zahodu, raz - meroma ozka. Pri zelo veli kih razdaljah x »xo se krivulje enakega nagiba, če je a >..p/ 2 , močno razširijo. Vendar pri tem y ne raste hitreje kot x. Sli k a 4 n 1.0 h=l ,'f ~ 8' Q ::1 5° -o- 0.5 7· ~- . 3·~ - o 5 1\. 15 30 X10 20 25 30 -0.5 - t.0 Sli ka 5 Migo tanja odb ite s vetl obe ni t r e ba pose bej raz lagat i . Morje valo vi i n nagib a na izb ranem mes t u gladine se stalno spremi- nja . Odbita svetloba pr i de v oč i opazovalca le v trenut kih, ko je izpolnjen pogoj, ki smo ga izpe ljal i za kot a . Zanim ivo bi bil o vide ti, kakš na j e pogostost različnih nagi- bov . Dati kolikor toli ko zanesljiv odgo vor na to vprašanje ni lah ko . Očitno je le, da so majhni nagibi bolj verjetni kot veliki. Pr i čistem sinusnem valovanju je največji možen nagib a : arctg (2 rr H/ >.), kjer je H amplituda valovanja in }. va l ovna dolžina . Vel i ke nagi be dobimo torej le pri ve likih amp litudah ali maj hni h valovani h dolž inah valova nj. 38 Tu smo govor i li le o velikosti nagiba vod ne g lad i ne. Za smer, v ka ter o so pov rš ina vode na gne , se pa nismo za ni ma li. V res - nici je velikos t nagibE pogosto m o č n o odvisna od smeri . Ob obalah stoječih voda na vadno pre vladujejo va lo vanja, ki so usmerjena proti kopnemu . Zato so nag i bi pov ršine v smer i proti obali a li proč od obal e večji kot v smeri vzdolž obale. To so pa že podrobnosti, ki bi jih morali upoštevati ob na t a n č ne j > šemu študiju odboja svet lobe na valov iti gladini vode. P. Gos a r PRESEKOV SKRAT ______________________---J~ PO P RAVEK Preseko v škrat jev 4 . na 1og i za II . r a zred z XX I. zveznega tekmovanja sre dn ješolcev v matematik i ( Presek 8 (1980-81) 3, str . 1 70) postroži l dva neenačaja in s tem nap ravil n a l o g o manj za nimivo. P r a v il n o mora b iti a,9 " 2 0 0 in b21 ,. 200. Prav tako j e škrat šaril po na loga h za I V . r a z r e d , kjer mora bit i v 2 n a l o g i n ;;: k, v 3 . n al og i pa j e k-1 a n+ 1 2c o + cl + 10c 2 + . . . + 10 ck Marko Petkovšek Uredništvo P r e s e ka 1eroristična dejav nost P r e s e k o v e g a šk rata je i me la t udi v tretji štev i lki Preseka (8, 8 0/81) hude posledice . škrat je v članek o namizni avto mobi lski dirki podtaknil kar tri mine. Najprej je p r i s il i l risarjevo roko, da je narobe nari - sa l s1 iko 2, nato je obe si iki za men jal, nazadn je pa še po- pačil avt orjev pr iim ek . S ledn je se pogosto dogaja tud i bolj izkušenim uradnim o rgano m, kar j e za škrata n a j b r ž olajševal- na okoliščina. Za napako na s l iki 2 pa pred lagam, da jo bralci sami po iščejo. Lj u b l j a n a , la. 2 . 8 1 Ro man Ro jko 39 POSKUSI - PREMISLI ODGOVORI v tretji številki l a ns kega Pres eka smo vam zad ali nalogo o j o- gur to vem lo nčku . Dobili smo precej odgovorov, vsi so pravilno opisali izid poskusa, pri r azlagi pa se je ma rsi komu zata knilo . Zal je uredn ica te rubrike zbole la in vam ne morem poved ati, kdo vse je poslal odgovor in kdo je dobil na grado . To boste zvedeli v dr ugi š te vi lki l e t oš nj ega Preseka . Sedaj pa opišemo in raz lož imo na logo. če lo nč e k poln vode prekr ijemo s pap irjem in obrn emo, voda ne od teče. Zunanj i zračni tl a k na pap i r je ma lo večj i od t laka vode nan j . Ma j hna tl a č n a raz lika premaga težo pap irja in ga še rahlo upogne na vzgor. Tako se papir l e po prileže na rob kozarca (g le j s l iko 1) . Kako pri de do tega? Tl a k zraka na vrhu kozar ca je namreč enak zračnemu tlaku , ko je koza r ec v pokončn i legi. S li ka 2 »> < , / '\ / \ I \ I I ~ y / , ~I \ ....... _--_ .... / \ / / / voda zrak tlak zraka PO S li ka če kozar ec povez nemo, se zrak dvig ne na kozarčevo dno, njegov tlak je še ved no enak zračnem u. če pa pi r sp ustimo, se vodna glq dina neopazno zn i ža . Zr ak se r azp ne, zato se tla k zm anj ša . 40 Gla d i na se zn iž a t oli ko , da z unan j i zrač n i t lak premaga vsoto t laka z r a ka v kozarc u in hid r o s t ati čn e g a tl ak a vode. Gl ad i na se z niž uje z a r a di odteka nja vode iz kozarca, če n i bi l pap i r že pr i o b račanj u koz a r c a upogn je n . Poskus se l e po rosreč i s t r š o a upog l j i vo ravno plas t ič no fo l ijo. Vse utemel ji tve , ki smo j i h na vedli, bi d r žal e t ud i, če ne bi ime li papi r j a . Zakaj ga potem sp lo h rab imo? Vcdna gla d ina je " pr em eh ka" i n bi majhna motnja povzročila hudo def or macij o povr š ine ( g l e j s li ko 2) . Voda bi prav hi t r o iztek la . če i mamo dovol j ozko cev pa gre tudi br e z pap i rja . Površi na se tu ne deform i ra . Ponekod še dane s uporab ljajo posebno b u č ~ za pre - naša nje vi na i z soda v koza rce ( s l ika 3). Odprt ino zgor a j za maš ijo s prsto m in narah lo odpr e j o , ko h o č e j o vino natoč it i . Na podoben način potekajo tekoči ne kemiki z r o čnim i biretami (s lika 4) . --- - - - S l i ka 4 o O O O O O O O O O O O O O O O O O O O o O o O o O O o o o o o Sl i ka 5 S l i ka 3 Ko plaste l in ods t ra ni mo , voda hi poma i zt e č e . Tl a k na vr hu ko - zar ca se v trenut k u i z enači z zračn i m ~ papi r t eže vode n e zd rži . Zdaj pa k nov i na log i ! Na l i j te v kozare c ki sl o vo do i n opa z uj te m ehu r č k e , ki se dv i ga - j o na pov rši no ( s l i ka 5)! Ka ter i so hitr ej š i, v eč j i a l i ma r:j š i ? 41 Kozarec naglo dvignite! Ali se hitrost mehurčkov glede na koza- rec poveča a li zmanjša? Kozarec hitro spustite! Kako je zdaj s hitrostjo mehurčkov glede na kozarec? Ke r mo rate opazovati hi - trost mehurčkov glede na kozare c , je najbolje, da ga dr žite trdno pred očmi in se dv igate ter s p uš č a te sami . Pos kusite svo- ja opažanja tudi razložiti! Naj vam pomagajo še star ši ali uči ­ te lji! Na jboljše odgovore bom o nag radili. Nanje čakamo do 30. septembra 1981. Andrej Li ka r UGANKA O LOVCU Nekateri morda š e ne poznate ugan ke o l ovcu, ki je hodil en ki l omet er proti j ugu , en ki l omet e r pr ot i vzhodu , nat o pa š e en ki l omet e r pr oti severu in je pri š el na i s t o mesto , kj e r je svojo pot začel . Nato je ubil medveda , uganiti pa je tr eba , ka kš ne barve j e ta medved . Na j pr e j nas seveda zanim a, kje s e nahaja t is t o mesto, kamo r se je love c po svoji poti · v treh r azl ičnih sm e r eh vrni l. Po kr ajš em premisleku pridemo do sklepa , da se t a l ovs ka zgodba dogaj a na severnem tečaju , naš l ovec ( naj brž j e Eskim) pa je preh od il pot , ki ji u č eno r e čem o t udi s f er i č n i trikotnik. To pa pome ni , da j e medved bele ba rve. Seda j pa si oglejm o še malo manj znano nadal je vanj e te uga nke : Al i je s eve rn i t ečaj ed i na to čk a na Zemlji , ki i ma opisan o las tn ost ? Roman Ro jko 42 TEKMOVANJA-NALOGE REPUBLI šKO PREDTEKMOVANJE MLADIH ~1ATEMATI KOV - SREDNJEšOLCEV čep ra v je bi l 7 . ma rec eden pr v ih l epih poml ad nih dni v leto - šnj em l etu, se j e šo ls kih pre d tek mova nj iz ma t ema ti ke udel e ži- l o ka r 1073 d ij a kov i n d i j ak i nj (3 77 v 1 . , 298 v 2 . , 230 v 3 . in 168 v 4 . r a zr ed u) s 33 s r ednji h šol iz vse Slo ve ni je. Klj ub t emu, d a nalog e niso bile prelahke , je bil us peh v pr vi h tr eh letnikih izr edn o dober : š o l ske t ekmov a l ne kom isij e oz . akt ivi pro fes or jev ma t ema tik e in fiz i ke , k i s o pr edt ekmov a nj e izv edli , so za r e publi š ko tekmo va nje pre dlaga li v 1 . r . 103. v 2 . r. 82 i n v 3 . r . 79 ka nd idato v . Poprečno š tevi lo t o č k pred l a ga nih tek mo va lce v j e bi lo v 1. r . 13. 33 , v 2 . r . 13 .83 in v 3. r . 13,4 8. V 4. razredu pa je bil usp e h s lab, saj je bilo pr edla - ganih le 29 dijako v s poprečno 10 , 9 1 t očkami . Doseg ljiv ih t o č k je b il o 20 . Nal-o ge s .p r e d t e k mo v a n j a : l. r'a z r ed 1. Za katere p so š tev ila p , p + 10 , p + 20 praštevi la? 2. Z e lement i množ ice ostankov pri del j e nju z a , ki jo o znač i ­ mo z Z/Z a , rač unamo takole : vs o t o dveh e lementov do bimo tako. da ju seštejemo na običajen način in dobljenemu šte- vi lu p oiščemo ostanek pri de ljenju z a : produkt dveh ele- mentov dobimo tako. da ju zmnožimo na ob ičajen n a č i n i n doDljenemu števi lu p0 i š č e m o ostanek pr i deljenju z ~ . Ta ko naprdvimo i z Z/Z a ko lobar . Sesta vi seštev anko in poš t e vanko za ko lobar 2/ 25 i n reši v nj em enač bo 3x + 2 ; 1 43 3 " števi l i x 7 in X ' 2 st a racio na ln i . Doka ži , da je x rac iona l - no števi lo! 4 . I z zvezka i z t r gamo na jpre j vsak s edmi l i st , i zmed pr eos t a l ih l i s t ov vsak pe ti li st in ko nčno izm ed pr eost alih lis tov še vsak tre tj i l i st . Osta ne 25 l i st ov. Ko l i ko li s t ov je i me l zvezek na začetk u? 2 . ra z r ed 1. Naj bo a >O. Po išči vse reš itve e načbe ra-+X + ~ la +x -~ x 2. Naj bo a > 1 , b > 1 . Poi š či vs e re šitve sis te ma dv eh ena č b z dve ma nez nanka ma l ogax + l ogaY 2 l 09bx - l 09bY 4 3. Kr ogu je oč rtan e nakokrak t rape z, ki i ma kot ob os no vni ci 30° in zna no p lo šč ino p. Ko l ik j e krak? 4 . V kva dra t u ABCD s s t r a n ico a o z nač i m o r a zp ol o vi š č e st ra nice CD s P in r azp ol o vi š č e s tra n ice AD s Q. Dalji ci BP in CQ s e seka ta v t o č k i T . ! z r a č u n a j dol žin o da l jice AT ! .3. l"a2-r e d 1. N ič le po li noma p (x ) = x 3 - 6x 2 + ax + b so t ri za poredn a cela števila . !zračunaj a in b ! ' 2 . P o išč i vse rešitve enačbe cos 2x s i n x + cos x = 1 _ sin iX 3 . ! zračunaj vs o t o S = sin 2 x + sin 2( x+1 °) + s i n2( x+2 °) . . . + s i n2 (x+ 179°) 4 . Tr i je hokej ski kl ubi , A , B i n c , so prir edil i t urni r, na katerem j e ig r al vsak klu b z vsa kim. Kot običaj no je do bi l kl ub za zma go 2 točki , za neod ločen i z i d točko in za po - raz O točk. Po t ur nirj u je bi l a v časopis u ob javl jena na- s le dnj a ra zpr ede l ni ca : 44 število klu b o d igr . zmag porazov neod I . danih dob l j. točk t e kem tekem go lov go l ov A 2 2 O 1 O 2 3 B 2 1 1 O 3 6 2 c 1 O 1 2 O 1 1 Dru g i d a n je časopis o b j a v i I po pr a ve k , da so bil a v razpr ed e l - nic i natanko 4 števila napačna. Zapiš i pravi lno raz predel nic o! 4 . l' az l' e d 1. P oi šči vse po li nam e p ( x ) z lastnost jo p ( 2x ) = p '(x ) . ( p '(x )) , 2 . Naj bo O a - 2 = b Seve da si ugotovi la, ko je pa (skoraj) res! Prvo pravilo naj- deš, če en akost del iš z ( a + bl. Drugo pravilo pa se izluš č i, č e na obeh st raneh prišt eje š b 2 in opaziš, da je b 2 + 4b + 4 kva drat dvoč lenika . Kdaj pa t i pravi li ve ndarle ne veljata? Iz vojske nam je pi sa l Rud o lf Bregar : Pre sek mi je z e l o všeč in tu v vojski preb erem vsega od prve do zadn je s trani. Poši ljam vam nekaj nalog iz fizi ke i n mate - matike . Moram pa reči , da si j i h nisem s am izmis lil in da sem jih dobil v rus k i revi ji Kvant . Samo posplošil sem jih in jim s premeni l besed i l o, drugače pa je osnova ista . Mislim , da bi bilo dob ro , če bi to r ev i j o predstav ili v Pre seku . Revi ja Kv ant ima ze l o veliko t aki h nalog . Vs em članom uredništv a ž e l im š e v eliko de l ovnih uspe hov pri se s t aV l j an j u in urej anju Pr e s eka. 48 Na jpre j hvala za dobre želje, za naloge i n za predlog. Kot vi d i š , smo ga sprejeli in med novimi knjigami predstavljamo Kva nt . Na lo ge bomo prej ali slej uporabili v Preseku . Z mate- m ati čni mi in fizi kalnimi nalogami je približno tako kot s ša l ami . N a jv ečkra t sploh ni jasno, kdo je a vt or, gredo od ust do us t, vs ak do nek a j svojega doda a l i kaj spremeni. Pozdrav - lje n , pa piši nam še kaj. Lep p oz drav . Še nap re j imejte take ali še večje uspehe pri urej anju Pr e se k a . Mogoče š e maj hn a pro š n ja . Objavl jate ču dov i­ te matematične na loge , toda ve l iko z a n imiv o s ti zgub i jo , č e so z a d a j rešitve . Roka te kar s rbi , da bi poškilil v r e ši t v e. To r e j p redlagam, da bi reši t ve nalog r a j e objavl jali v nasled- n j i številki . Le p pozdrav Magda čevdek, Nova Gorica Pod obn o kot t i smo r a zmiš l j a l i že tudi v uredniškem odboru . Po dru gi stra ni pa nas sk r bi, da mine p r e v eč č a s a od ene do druge števi lke Prese ka in bralci že pozabijo, kakšna je bila naloga al i pa jih ne zanima več. Se veda je tvoj predlog zanimiv, kot vs i predl ogi bralcev; o obja vljanju nalog in rešitev bomo mo- ral i še r azp ra v l j a t i . Veseli bomo vseh mnenj in pred logov! Peter PeteK I z Kos t anjevic e na Kr k i smo pr e j e l i naslednje pismo : Tovar i š Presek ! Pošil jam o ti lepe pozdrave in ti želimo v n ovem desetletju še mnogo uspe hov . č l an i m at em a t i čn eg a k rožka 7 . r azreda smo sklenili , da ti pošl jemo skromn i pri spevek , n a- lo g o , k i naj bi ne bila prete žka za osnovnošolce , za kate re o b j a v l ja t e bolj malo nalog . Poleg te naloge vam pošil jamo t ud i spominčici za število~(~' ki sm o s e jih sami že n au či Zi. Čepra v sm o pozni, upamo, da j i h boste v saj prebrali. Pismo, ki so nam ga pos l ali č l a n i matematičnega kr ožka 7 . raz- re da osnovne šol e Kosta nj ev ic a na Krk i, nas je raz veselilo posebno z a t o, ker s mo z a č ut il i u čine k Preseka, da vas je 49 združ il v ak t i vno s kupi no . Hval a za prispevek in s tem za po- mo č pr i prizadevan j u, da bi Presek pribl ižali osnovn ošolcem . Zelimo vam obi lo us pe ha in rasti na področju ma t ema t i ke . Andreja Erdlen iz Poljčan piš e: S poštovani ! Obi sku jem tret ji letnik ekonomske s redn je š o le - t u ri s t i J na s mer v Ce l j u . Prese k sem n a r oJa l a l e v os emle t k i, zdaj p a mi ga naroča prijateljica , ki hodi na pedagoško gimna- z ijo . Zelo mi je všeč , čeprav nalog ne r ešu j e m sproti - tokrat pa J , ko imam J a s . No , če p rav je dane s z a dnj i dan po Jitnic , sem si vz e la J as z a " trenut k e ma t em a t i ke " . Re iila s em n e k aj n a l og i z starih Presekov , pa tudi s ama sem sestavila eno , ki vam j o danes po šiljam . Draga An dr e j a , tvojo na logo smo z ve sel jem s pr e j e l i za objavo, tebe pa za sode lavka, če se t ud i t i s tem str i njaš. Kadar boš spet ut egni l a , nam l e pi ši. Lep poz drav tebi in tvoj i prijate- 1ji c i. Zoranu Gro mu iz Vrhni ke s e zahva l j uje mo za pis mo i n pe smi c o z ob š irn im komentarjem . Upamo, da s i pre bral obd e la no s pomi n- či co v rubri ki Premisli i n r eši. Og l a s i se š e kda j . S r e č no ! Mar i na šime c iz črnomlja nam je na pi s al a tako le : S poštovani ! Prejmite lepe pozdrave od prvošolke Jrnomel jske gimna z ije . Zdi s e mi da so Jlanki Preseka na primerni v i šini . Najbol j me z a n i ma a st ronomija , tudi o tem je z e l o v e l i ko na - pi s a neg a . V 2 . š t e v i l k i l e tošn j ega Pr es eka sem za s l edila na zadnji strani Jlanek Zapomnite s i število ~ Pošil jam vam pesmico , čeprav sama priznam , da je s l a ba . Naj bo kot dokaz , da rada re šujem v aš e u g a nke , Jep rav s e najve čkrat bojim poslati r eii tR v . Ma r i na , tvoje zvesto s pr em l ja nje Prese ka i ma veli ko vr edn ost . Pogumno nam poši lj a j svoj e r ešitve . Ta ko si boš pr i dobi l a sposob nosti za sestav ljanje na log, ki bodo l ah ko oboga t i le Presek. Pozdrav lj ena ! 50 Matejka Kropec je posla la pismo v katerem pravi: Spo štovani prijatel ji ! Da , kar pri jatelji va s imen u jem, čepra v se ne poz nam o o s e b n o , toda vaš Pre sek s e mi j e tako p r i l j u b il , da ga b e rem od začetka d o konca , c e l o po v e č kra t . Na l oge r e - šu je m bol j z a z a bav o , a vseeno so mi v ečkrat p omagal e pri ko n t r o l.k a h , Vš eč s o mi na lo g e iz f i z i k e in iz mat em atike. Tudi z a a stronomijo s e z a n i ma m. Ve čkra t r ešuj e m n a l o g e z a s r e dnj e š o l e , č epra v sem š e l e uče n ka 7 . r a zr e da o s novne š o l e . Matej ka, hvala za pr ijateljsk o pismo in za spominčico. Tudi v bod oče nam poš il j a j sv oje rešitve. Lepo te pozdravljamo . Mati l da Lenarč i č NALOGE [@] ----------------------'~ MIMOBEŽNIC I Dani sta mim obežnic i p i n q . Na premi ci p izbe remo različn i toč ki A in B , na premici q pa r a z l i č n i točki C in D. Skozi točki A in C potegnemo pr emico a , skozi B in D premico b . Ali se pre mici a in b l a hko sekata? Odgovor utemelj i! Jan e z Ra ko ve c 1. če v enakostraničnem trikotniku zvežemo središča stranic, dobimo štiri skladne trikotnike . če izločimo en trikotnik, nam ostane trapez. Ali lahko ta trapez razdeliš na štiri skladne trapeze? 2. Iz štirih enakih pa ličic in paličic, ki so dvakrat daljše, sestavi tri skladne kvadrate! 3. Nariši samo s šestilom pet točk, ki ležijo na isti premici - kolinearne točke! Pavle Za jc 51 NOVE KNJIGE o KVANTU Le nekaj let sem naročnik ruske revije Kva nt . IZhaja enkr at mesečno . Kva nt je namenjen popul ar iz ac ij i fizi ke i n matemati ke. Vsaka š t evi lka obs ega okrog še s td e s e t st r ani bogat o il us tri r a- nega teksta , ki je razdeljen na v e č ali manj s ta lne ru br ike, kot s o : Delavni ca Kva nt a , ~atematič ni kr ože k, Na l oge , Po str a- ne h učbenikov, Kvant za mla jše šolarje, Praktikum maturan tov, Recenz ija in bibl iograf ij a , Ves t i, Reši t ve in odgovori in š a hovsk a s tra n. Na z a č e t ku vsak e štev ilk e j e v eč kra jši h pr e - glednih č l a nk o v i z matemat i ke , fizike i n astr onomij e . V r ubr ik i Delav nica Kvanta je opisan do ločen fizikalni poj av in kak o ga i zm eri mo . Ti poskus i so ponavadi dokaj prepros ti, kljub t emu pa zahtevajo precej fizika lnega z na nj a in izna jd ljivo st i . V ~ at em a ti č n em kro žku j e dob r o obde lan a do l o č e n a matem a t i čna tema ( o b ič a jn o i z geo me t r i je . ali iz an alize funk ci j). V razde lk u za vaje so dane š tiri matematične in štiri f i z i ka l ne na loge, zr aven pa še reš itve na l og iz st a r ejš i h š t evilk . V ru- briki Po straneh učbenikov so natančno obdelana določena mate- m a t ič n a pog lav j a, i l ustrir an a z na log ami . Kvant za mlaj še šo - l arje postav lja š t i r i lažje na loge iz geometri je in a r i t met ik e in krajš i čla nek po s večen matematični a li f izikalni tem i, toda ta ru brik a običajno ne pre se ga štirih strani . V Pr aktik umu maturantov so ponavadi predst avljeni postopk i za r eš eva nje do l oč e ne g a ti pa m a t e mat i č n ih a l i fizik alnih na l og. Ta rub r ik a naj bi bi l a predvsem trenin g za sprejemne i zpi t e na fa kul t e t a h. Veliko krat ji sledi š e ce l sp isek na log s spreje mnih izpitov a li pa včasih naloge z mat em atičn ih i n fizikalnih ol i mp i ad o 52 " .. r1HO - nOnYJlII P"", ,, ... H" .. " O- TF T I OC" IK)"PHJUI •••~t a« • . • • • t " , ., , .u Recen zija i n bib liografija nam predstavi in k r i t i č no oc e ni r ov e knji ge , v glavnem pr eprost o in jasn o pi sane za šir o k kr og br a l c ev. Na zad nj i h straneh je i nfo r mac ij a o or ga ni zac ij i raz- nih fiz ikalnih in matematičnih š ol. šahovs ka st ran pa ponuja raz ne š ahovs ke pr ob leme i n reš itve prob lemo v iz starejših š te vilk. Revij a Kva nt j e primern a predv sem za srednješol ce. za osn ovno š o l o pa je v g lavnem pre težka, saj so os novnošo lcem nam enjene l e šti ri st r ani. Posebna ovi ra pr i branju j e ru s ki j ez i k i n pis ava - c ir i l i ca . Komu r rušč i n a ni ov i ra, lah ko nar oč i revij o Kv a nt oktobr a v trgovini DZS , Ti to va 25. F. Se v er PROSEN MAR IJAN - UTR INKI IZ ASTRONOMIJE, Mla d i n s ka knj i ga, 19 8 0 . Ce na 340. - Knji g a zapoln j uje v r zel v t o v rst n i mladins ki lite ratu r i p r i na s . Vs ebina j e r azd eljena na tr i d e l e . V p rve m so obd e lan i a stronoms ki pojm i , v d r ugem s e srečam o z zan im i vo p r e d s t a v i t v i- j o ast r ono mi j e skozi z go dov i no, v tr etjem d elu pa avto r b r a lc a 5 3 sez n a n i z nekaj prim eri as t r o no ms ke prak s e, od kate r i h je po - sebe j p ri vla č n o p reds ta vl jen i h pe t pos ku s o v z a d o m a č o r ab o . P r il o ž en j e tudi se z n a m domači h in p r e veden i h del iz ast ro no - mije, k i j ih a vt or p ripor o ča v b ra nj e . Kn jiga je o prem ljena z odličn im i ilu s t r a c i j a mi Ma tjaž a Sch mi dt a. Boj an Din t in.?ana Č L A~ OM AKTIVA MATE MATI KOV NA SREDNJIH ŠOLA H V Zbir ki i zbranih po gla v ij i z mat ema t ik e , ki j o i z d a j a Dr u š t v o ma tema t ikov , fi zi ko v i n as t ronomov SR Sl o v en ij e v i me nu VT O Mat e ma ti ka i n me han ik a p r i Fa k u l t e t i z a n a ra v o sl o vj e i n te h - nol o gij o , j e d o l a ni i zš lo že 1 6 učbeniko v . Ke r je med nji mi več tak ih knj ig, k i so z an im iv e z a uč it el j e matematik e, bo mo po s la li na oq l e d na v sako s r e d n jo šo lo v S lo ve ni j i i z bo r kn jig iz te zb irk e . Pr e dl a g a mo , da si knji g e o g ledat e najp rej učit elj i , po ka ž e t e j ih tudi d rugim k o leg om na šo l i t er nam s p oro č i te , ka te re knji g e bo s t e n a r o č i l i. Č e bo z a č la ne ko l ek - tiv a z a n i mivi h več k n j i g i st ega na sl o v a , v am j i h bomo posl a l i nak na dn o. Knj i g e , ki vas ne bod o z a ni ma le, na m v rni te. V z a - v i tk u va m bo mo po sl al i na sl e d n je k n j i g e : Cen a v d in 4 . Za kr a j š e k E., Pro gra ms k i j e z i k pasc al 1 1. Su h a d o l c A . , Li n e a r ni t op o l o š ki prostor i 12. Wirth N. , Ra č u nal n i š k o programi r a nje 13. Pet e k P. , Va j e iz d iferencialn ih enačb 14. Nad r ah N. , Co bo l 1 5. Krama r E. , Zb ir ka vaj iz verje t nostnega rač u na 70 . - (5 6 . -) 150 . - ( 1 2 0 . - ) 2 50 . -(20 0 . -) 225 . -(180 . - ) 250. - (20 0. -) 60 .- ( 48 . -) 16 . Hla dnik M., Nal o g e i n pr i mer i i z f unkci on aln e a na lize i n t e ori j e me re 125 . - ( 10 0 .- ) M ur šič M., Os n o v e teh n iške meh ani ke , 1 . de l ., St a t i ka 2 50 . - ( 20 0 . - ) Sk u p n a v red nost po sl a ni h kn jig 13 80.-(1104 .-) 5 4 Na zalog i p a imam o š e nekat er e drug e knj ige i z te zb i rke: C en a "vdin 3 . Za kr a j š e k E . , Fortr am 5 . Ja mn i k R. , Uvo d " v m at ema ti č n o st at is t i k o 6 . Do bo v i š e k M., Reš en e nal o g e iz anal iz e I . , 1 . de 1 250 .-(20 0 . - ) 7 0 . - ( 5 6. -) 8 0 . - ( 6 4 . - ) 7 . K rič a ni č F ., L i n e a r n a a J gebra 8 . Zakr a jšek E . Upd a te 10. Su hod o l c A., Se b i a d j u n g i r a n i ooe r a t o r j i 100 . - (8 0. - ) 40 . - (J 2. -) 12,50 (10 .-) Se pos ebe j pa pripo ročamo bolj šim dijak om, ki s e za nim ajo z a matematik o in računa l n išt vo, o z . ti stim, ki obi skujej o mat ema - tično oz . r a č u n a l n i š k o usmer ite v, da si og ledajo u č be n i k e p r o- gramski h jez ikov : Fortra n , Pas cal, Cobo l , ter u č b e n i k R a č u n al­ ni š k o pr ogramiranje, ki jih bod o lahko s pridom u po ra b l j e l ! p r i pouku . V ok lepa j u so navedene cene, ki v e ljajo za člane dru š t v a in na ročnike Pr es eka, v tej akcij i pa tud i za usta nove. Zato vam pri p or očamo, da ob tej p r l L lk l o skrbite tud i šol ske knjižnice z na šimi i zdaj ami . Knj i g e vam bomo poslal i z a d n j e dni se p t e mb r a . Če jih ne ž e l i t e pr ej eti, v a s prosimo, da nam t o spo ročite na naš naslo v , oz. na t e l. šte vi l ko ( 0 6 1 ) 265-061 /53 d o 15 .9.1981. Odloč itev , koli ko k n jig bost e naro č ili pa nam pošljite v s a j do 31. 10. 19 81 . Ci r i l Vel k ovrh PREMISLI IN REŠi-------~ Na kolik o r azli čni h načinov l ah ko p lača ~ 1 d i n a r ? Up orab i s e - veda kovance za 0,05, 0,10, 0, 20, 0,50 in 1 d in . Rok Sosič Kr-an j 55 NALOGE BRALCEV 1. Alenka je tr ikra t mlajša od mame i n retkrat mlajša od stare mame. Branko je za tre tj ino starejši od Alenke in trikrat mlaj- š i od očeta. Stari oče bo čez devet l e t štirikrat starejši od Alenke . Ko l iko so s tari posamezni č lani dr už ine, če je njihova skup na starost da nes 247 le t? Andreja Erdlen 2. Pro du kt dru gega in dvanajstega č lena aritmetičnega zapored - ja je e nak 1, pr odukt čet r tega in dese tega pa je enak b. Po- išči sed mi č len zaporedja! 3. Reš i e načbo x 2 - [x] = 2, kjer je [x] c eli del števi la x. Rudolf Bregar 1,6 1,3 2 ~6 4 4. Doro lni rrazna polja v kva - dratu, da bo produkt v vseh vodoravn ih in navpičnih vrs tah enak 13. S on j a Dolžan 56 5 . V ne ki vas i je komaj dvan aj st hi š, vendar kar pecej prebi- val ce v . Hi šn e š tev i l ke so od 1 do 12. V hiša h s štev i lka ma 3 i n 12 j e po 5 č l a n ov. V hišah št . 2 , št . 8 i n š t. 9 sta po dva člana. V hi š i š t. 4 je dvakrat toliko ose b , ko t j i h j e v hi ši št. 3 . č e se šteješ š t evi l o ljudi v hiša h št . 9 in št. 4 in deli š z dva, dobi š š t ev i l o oseb v hi- šah št. 10 in š t. 11 . Vedi pa , da ima hi š a š t. 10 manj članov kot hi š a š t . 11. V novo hi š o š t . 5 sta se vselila dva mladopo- roč e nca . V hi ši št . 6 je š t i r ič l a nsk a družina , v hiši š t. 7 pa dv a krat ve č ja . V hi ši š t. 1 s o včeraj dobili prvega otroka . Ko l iko l j udi s t a nuje v vas i? Matematični krožek 7 . razreda oš Kostanjevica na Krki Nal og e Zbral in uredil Pete r Petek PRESEKOV ŠKRAT----~ Na ročn ike Preseka, ki imajo ka k izvod 3. o z . 4 . š tevi l ke lan - skega Preseka odveč ~ v ljudno pros i mo , d a n am g a o dstop ijo ter poš ljejo na naš naslov . To ve l j a pr edv s e m za sk u pi n s ke naročnike: sredn je in os novne šo l e. Ti s kar ski s troj se je pri tiskanju te h dveh števi l k u s tavil "tri s ek u n de p rekm a l u " , za to qam je zma njka lo nekaj š te vi l k z a dol žn ostne i z v o de. la razumevanje i n usluge se vam prip o r o čamo. Ciril Velkovrh 57 v RESITVE NALOG Rešitev naloge s strani 47 Zadošča, če vzamemo eno samo krogi ico, vzeti pa jo moramo i z posode z napisom CRNA-BELA. Upoštevati moramo podate k, da je vsak napis na posodah napačen. Ce smo vzel i črno krogi ico, imamo takole stanje: Cepa j e bil ata k r o q l ica bela imamo: Rešitev naloge s strani ~7 Med datumi Ha tudi 1 1 in 22, zato morata številki in 2 nastopati na obeh kockah. Tudi O mora biti na obeh kockah , saj bi sicer ne mogl i prikazati vseh datumov od 01 do 09 (kocka ima samo 6 ploskev) . Ostalo je še 6 prostih ploskev na obeh kockah. Te v poljubnem vrstnem redu zasedejo števil- ke 3,4, 5, 6, 7, 8, številka 9 pa je na glavo postav ljena številka 6. Tako imamo na primer na eni kocki številke O 1 2 3 4 5, nad r u g i pa O 1 2 6 7 8. Roman Rojko 58 MATEMATIKA STVARNO KAZALO PRESEK - list za mlade matematike, fizike in astronome 8 (1980/81) št. 1-6, 256 + 64 + 32 str. + pril o UVODNIK (Andrej Likar) 1; (Andrej Likar) 65; Kakšen rokopis si želijo urednik1 Preseka (Ciril Velkovrh) 129; Kaj vse lahko napišemo s 14-imi glavami na IBM pisalnem stroju (Ciril Velkovrh) 193; Beseda urednika (Andrej Kmet) 258. Zanimiva matematika? (Tomaž Pisanski, Roman Rojko) 4; Celi trikotniki (Tomaž Pisanski) 6; število razdelitev enakih predmetov na sku - pine (Edvard Kramer) 13; Enačba srca (Karel Bajc) 19, 1/1; Metoda zaporednih približkov (Franci Forstnerič) 81; število ce loštevil- skih trikotnikov z danim obsegom (Edvard Kramar) 93; Uniformni polieder (Janez Lesnjak, foto Marjan Smreke) 111/1; Nenavadni ulomek (Milan Hladnik) 131, 177; Pravilna telesa (John Shawe Taylor) 134, 182; Prvi koraki Sonje Kovalevske v matematiko (Alojzij Vad- nal) 197; Pascalov trikotnik (Franci For- stnerič) 200; Poenostavljena domina (Karel Bajc) 206; Ukročena matematika: zapoznel o opozorilo na računske zakone ali fižol na- mesto množic (Franc Križanič, Miloš Požar) (= 257). FIZIKA Mpembov pojav ali zmrzovanje vroče in hladne vode (Janez Strnad) 24; Odboj žoge (Andrej Likar) 67; O tem, zakaj solijo ceste in še o čem (Janez Strnad) 73; Velika knjiga o foto- grafiji (Ciril Velkovrh) 11/2. 127, 11/3; Namizna avtomobilska dirka (Roman Rojko) 143; Varčevanje in fizika (Marjan Hribar) 145; 59 AS TRONOMIJA MATEMA TIčNO RAZ VEDRI LO Skakalnica v Pl a ni ci ( Al oj z i j Vadna l ) 146 ; Sve t l oba l a s e r j a ( Ma r t i n čo p i č , pr i r . Marj an Hribar) 209; Laserogra m ( fo to Ma rj an Sme r ke) IV/ 1. Fotografija zve zdnega neba (Bejan Di ntinjan a) 34 ; Površina Jupitrovega satelita , 11/1; Novi rez ultati ra z iskav osončja ( Zor a n Kne- žev ic, prev. Andrej čadež) 98; Presekova zvezdna karta (Pav la Ranzinge r , Bo j an Dinti- njana) 1 (= 32 1) . Bra t in sestra (Franci Ob lak) 156, 183; Da - l j i ca in ra vn ilce ( Ivan Pucelj) 220 ; Nalo ga o Presek ovem zn amenju ( Mar ko Pet kovše k) 222 , 250 . PREM I SL I I N RESI ( Lju bo Kostre vc, Ivan Vidav) 40; Komet Bradfield ( Andr e j čadež) 159; Zap omn i te s i števil o TI ( Pe t er Petek , J a nko Mode r ) 11/4, 248 ; 16 kart (Tomaž Pisanski) 229 . POSKU SI - PREM I SLI - ODG OV OR I KRI2 ANKA BI STRO VIDEC BO LJ ZA SALO KOT ZA RES 60 Presekove značke (Pa vel Grego r c) 32, 108; Odgov orni ur ednik i Pr e s e ka ( Pav e l Gre gor c ) 96, 133; Sonj a Kova le vs ka (Pave l Gregor c ) 224. Presek, l i s t za mlade matemat ike, fizike in as tronome (Stanislav Zorko, Vladimi r Bat a- ge l j) 44 , 252 ; Koli ko je kombi naci j ( Tomaž Pisan ski) 46 , 245; Pre števanje črk ( Ro ma n Rojko ) 187 , 250. ( Me t ka Luzar -Vla chy) 42, 184; Pr ep ro st posku s - n a p a č n a raz la ga (Andrej Lik a r ) 223 . Ena kosti (V la d imi r Bat agel j ) 18, 243 ; Tet a Amalija se gre detektiva ( Pe t e r Petek ) 150 , 183 . NALOGE TE KM OVA NJA - NALOGE RE SITVE NAL OG Prav okotnik (Mi l an Hladni k) 12, 1/4; Ml adi m matematikom - Vegovcem (Pavl e Zaj c) 151 , 179; Pravilni šesterokotnik in kvadrat (Dra goljub M. Miloše vi c, prev . Peter Pete k ) 208 , 249 . Zvezno te km ovanje mladih fi zikov v Zadr u (Bojan Golli) 49; 24 . republiš ko t ek mo vanje in predtekm ovanje mladih matematikov srednje- šolcev (Gorazd Lešnjak) 54; Rešitve ne kate- ri h nalog z 20 . zvezn ega srednješols kega tek - mov an j a i z mate mat ike (Fran ci Fors tner ič, Bojan Mohar ) 109; Republi šk o te kmovanje mla- dih fizik ov v Novi Gorici (Bojan Golli) 118; Zv ezno tekmovanje mladih fizikov (Mar ko Pleško) 122; Mednarodn o matematično te kmova- nje v Mers ch-u (Luxemburg) (Leon Matoh ) 162; 11. zve zno te kmovanje iz matematike za osnov- noš ol ce (S t ani s l av Horvat ) 165; XX I. zve zno te kmovanje s r ednj eš ol cev v ma t emat ik i - Kum- r ove c 26-28. aprila 1980 (Mar ko Pet kovše k) 168; Kol edar tekm ovanj iz mate matike za Ve- gova priznanja 1980/8 1 (Pavle Zaj c ) 1973; Razpis tekmov anj srednje šolcev i z mate matik e i n f i z ik e v šo l s kem letu 1980/ 81 (Marko Pet - kovš ek, Boja n Golli) 174 ; Tekmovanja mladih Vegovcev v šol sk em letu 1979 / 80 ( Pavl e Zajc ) 226 , 230, 234 . PIR - r e š i t ev iz P/7 /1 (Ljub omir Kost r evc) 104; Bi strovidec - re š i t ev i z P 7/ 3 (Vladi- mi r Ba t agel j ) 105; Pravilni še s t e r oko tn i k - r eš i t e v iz P 7/ 2 (Vladimir Bat agelj ) 106; PI R - re šitev iz P 7/3; Rešitve ne kate rih nal og z 21 . zveznega tekmovanja srednješol- cev i z matematike (Aleksandar Juri ši c, Mitj a Benza, Leon Matoh) 236. 6 1 PIS~lA BRALCEV NOVICE PRESEKOV šKRAT REBUS NOVE KNJIGE (Matilda Lenarčič) 47; Dragi Presek (Alojz Kodre, Tomaž Pisanski) 158. J. B. Tito (B. Jakac, 1966) 1/2; Letna mate- matična šola, Bled-80 (Helena Prelec) 155; Presek na kongresu (Ciril Velkovrh) 157; Po- ročilo o letni šoli mladih matematikov (To- maž Cokan) 216; Matematična predavanja za srednješolce (Mark Pleško) 217. (Ciril Velkovrh) 215 "Ukr o č ena matematika" (Ciril Velkovrh) 252 Matematika - leksikon CZ (Peter Petek) 31; Mintakovic S., Neeuklidska geometrija Loba- čevskega (Janez Rakovec) 44; Presekova knjiž- nica - naročilnica (Marija Hrovath, Ciril Velkovrh) 63, 64,1/3; Kocjančič D., Foto- grafirajmo snemajmo (Peter Legiša) 188; Mal V., Tretje oko (Peter Legiša) 189; Tesla N., Moji pronalazci (Metka Luzar-Vlachy) 190; Starejše številke Preseka (Marija Hrovath) 191; Fižolčki na pohodu (Ciril Velkovrh) 192; Naslovne strani P-7, 111/3; Presekove revije (Ciril Velkovrh) 253; Rakovec J ., Osnovni pojmi topologije (Bojan Magajna) 254 ; Polonijo M., Matematički problemi za rado- znalce (Tomaž Pisanksi) 255; šesta številka Preseka (Ciril Velkovrh) 256, IV/3; šuveljak M. in dr., Natječemo se u znanju astronomije (Marijan Prosen) IV/4; Presekova knjižnica, V/4, VI/4. - Novim naročnikom Preseka priporočamo, da naročijo tudi sta- r e j s e številke lista . V kazalu ste spoznali, da je tudi v prejšnjih letih bilo objavljeno marsikaj, kar vas bo prav gotovo zanimalo. Na tretji strani ovitka si lahko ogledate naslove strani vseh šestih številk, kolikor j ih je izšlo v 62 REŠiTVE NALOG z 1epi- člankov. Rešitev ugan ke o l ovcu s strani 42 Ze po tem lako je vprašanje zastavljeno, lahko slutimo, da severni tečaj ni edina taka točka. Poglejmo, kje so še druge . V7 p~imo okoli južnega te~aja vzporednik (krofnico) z obse- gom enega kilometra. če začnemo hoditi po njem iz katereko- li točke, pridemo po 1 km na isto točko nazaj in pr i tem prehodimo ves vzpo rednik. Premaknima se sedaj za l km proti ~ e v e r u . Priš li smo do ene od točk, ki jih zahteva naloga. Poglejmo na sl iko in se p r ep r i č aj m o : l-__~Il J 1km Najprej gremo lkm prot i jugu (iz A VB ) , nato I km proti vzhodu (iz B v B) in še l km proti severu (iz B v A ). Toč­ ka A je torej prava, prave pa so tudi vse druge točke na 6 3 vzp or ed nik u (na sliki j e črt k an), ki se na haj a 1km s e verne- neje od t istega z obsegom 1km. Odgo vor na našo uga nko i ma t ore j že za cel vzpor ednik točk ( n e s k o n č n o jih je), to pa še ni so vs e. Vze mi mo oko li južn e- ga tečaja vzporedni ke z obsegi 1/2km, 1/3km , 1/4 km i n ta ko napre j . Ce z a čnem o po njih hod i t i iz katerekoli t o čke , pr i - demo po l km hoj e spet na ist o mest o, pr i t em pa smo vzpo- rednike pr e hod i l i 2 k ra t , 3 krat , 4 krat in t a ko na prej. Seda j pa moramo s t opiti še do vz por edni kov , ki s o 1km s e - verneje od prvot nih, pa smo našli to čke, po ka t erih naloga sp ra š uj e . Sami s e pre pri č ajt e , da so te toč k e res pr a ve. Ka kš e n je torej k o n č n i odgovo r na na l ogo? Na Zem lj i je neskončno točk s predpisano lastno st j o . Ena j e severni tečaj, druge pa s o na vz por ed ni ki h , ki s e nah a j ajo 1km severne je od tistih z obs eg i 1km, 1/2 km, 1/3km , 1/4km itd . Na vs akem vzporedni ku je n esk o n č n o te~ to č k , vz por edni kov sa mih pa je rav no ta ko n e s ko nčno. Na jb r ž pa ne daje hoj a pr ot i vzhodu po krožni ci z obse gom 1/2 met ra nobe neg a pravega veselja . Roman Roj k o 6 4 Ste že slišali za Jurija Vego? Gotovo ste ob tem vprašanju pomislili na Logaritemske ta- blice, ali na Vegova prizna- nja, za katera se potegujejo najbolj ši osnovnošolski mate- matiki na raznih tekmovanjih. Torej že veste, da je bil ma- tematik in sicer eden največ­ jih slovenskih matematikov, katerega najpomembnejše delo so Logaritemske tabele. 2eli- te izvedeti kaj več o njem ? Ponudila se vam je priložnost, da svojo željo uresničite. Pri Mladinski knjigi je v zbirki Obrazi izšla drobna knjižica, v kateri avtor San~ di S i t a r slikovito prikaž e njegovo življenje in delo. Vega se je še v mladosti izkazal za odličnega matematika . Po konča­ nem šolanju je stopil v vojaške vrste, kjer je ostal do svoje tragične smrti. Odlikoval se je pri streljanju z možnarji in topovi, za zasluge v bitkah mu je bil dodeljen celo na slov barona. V mirnem času se je poleg matematike ukvarjal še z astronomijo in fiziko. Za matetem atike je to gotovo zanimivo branje, toda tudi vsi, ki jih zanima zgodovina, se lahko veli- ko naučijo. Avtor tako zanimivo in temeljito osvetli zgodovin- sko ozadje dogajanj na prehodu iz 18. v 19 . stoletje, da je to zanj~ prava poslastica. Pi tem se ne omeji samo na dogodke na Balkanu, temveč poseže po vsej Evropi. No, vs ega vam pa res ne smem povedati! Pa prijetno branje! Naročniki Preseka lahko dobijo brošuro s 20% popustom Pri Komi- siji za tisk DMFA SRS, Ljubljana, Jadranska c. 19 Dar ja ~u iek Weinberg St even, PRVE TRI MINU - T E : s od obn i pog led na nastanek veso l je . - L j u bl j an a : Dru štvo ma temat ikov , fiz ikov in as tro - nomov SRS, 1981. - Cena 250 . - ( 200. - din). Knj i ga je i zš l a kot dva in t ride - seta knjiga v knj ižn ic i SI GM A, ki j~ na roč n ikom PRE SEKA dobro znana . I zdal o jo je Dr uš t vo matemat ikov, fizikov in astro- nom ov SR Slo ve nij e brez pomoc l kake druge s lovenske za ložbe , za to j e . t ud i nj en a nak l ada le 500 i zvodov. Knj iga j e ze lo popu larn a v svetu . Prevedena je ž~ v ve č j e z i kov . Avtor je do - bi l vrsto priznanj za po ljud no- zn anstv en o pi s an j e. Let a 1979 pa s i je deL i l tud i No be lovo nagrado za fiz iko . Nasta nek veso- lj a je op i s an r azumljivo širokemu krogu bra l cev, a hkrati vzne - mirljiv o in poučno t udi za strokovnjake . Avt or opisu je stan - dardn i model za razvoj ves6 lja,po katerem je bil o na z a č e t k u ves olj e ze lo majh no, ze l o vroče , ze lo gosto in se j e zelo hit- ro šir i lo . Ta ča s j e bi l v pr imerjav i z nadaljnj i m obdobjem zelo kratek. O značujemo ga kot "velik i pok " ali eksplozijo. Ob širjenju vesolj a s t a se tem peratura in gostota sprva hi t r o , na- to pa čedalje po časne je ma nj š al i do dan a š nj e stopn je . Omenjeno knj i go l ah ko kup i jo n a r o čki ki Pr es ek a v pi sar ni Ko mis ije za ti s ka DM FA SRS, Ljubl j a na , Jadranska c . 19 , z 20% popustom. Na ročn ik o m v skupn i in član o m dru štva pa pošljemo knjige tUQi po pošt i . Ci r il Ve l-k o v r h