i
i
“1054-Domajnko-0” — 2010/7/1 — 12:29 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 18 (1990/1991)
Številka 5
Strani 290–293
Vilko Domajnko:
MALA ZBIRKA NALOG L. FIBONACCIJA
Ključne besede: naloge, Presekova nadloga.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1054-Domajnko.pdf
c© 1991 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
PRESEKOVA NADLOGA290
MALA ZBIRKA NALOG lo FIBONACCIJA
Ita lijanski matematik leonardo
Fibonacci (1170 - 1250) velja
za najpomembnejšega evro-
pskega matematika v 13. sto-
letj u. Med drug im je Evropej-
cem prvi predlagal uporabo de-
set ih števk (c ifer) - številskih
znamenj, kijih danes uporablja-
mo širom sveta , v njegovem ča­
su pa so j ih uporabljal i zgolj v
ara bskih delelah. Poleg tega pa
so pomemb ni tud i njegovi pri-
spevki k teorij i diofantskih
enačb , pri reševanju kubičnih
en ačb in še kje. Marsikomu pa
je ime poznano za radi Fibona -
ccijevega za poredja .
Leonardo Fibonacci
Leta 1228 je Fibonacci izdal zna menito delo Liber abaci (K njiga o a baku) .
ln prav iz t e knj ige izvira tud i večina izmed dvanajs terice nalog, ponuje nih
v pokušino bralcem Preseka . Zaht evnost ni spek t er te h nalog je kar širok.
Med njimi je na m reč veliko takšnih, ki se j ih la hko lot ijo že tud i osnovnošolci,
z nekateri mi drugimi pa ut egnejo imet i precej op ravka tu di v matem at iki
spretnejši srednješolc i. A kakorkol i že - rešitve t istih nalog , ki ji h bost e zmo gli,
nam seved a le pos1j ite . Nagrade vas čakajo!
Se tole - prede n se zares loti te reševanja nalog , preberi te tud i Opombe
k nalogam in namig e za reševanje. Utegne koristi t i!
Zdaj pa zares.
1. Kralj je poslal 30 ljud i v svoj og romni sadovnjak, da bi mu ta m sa dili
drevesa .
Povej , koliko dni bi potrebovalo 36 1j udi za to, da bi posadili 440 0 dreves,
če je zna no, da je on ih 30 ljudi sadilo 1000 drev es nata nko 9 d ni.
2. Katero število da , če ga mno žiš z ~6' svoj kvad rat ?
291
3 . Ko liko pa rov zajcev dobimo od e neg a pa ra novoroje ni h zajcev po e nem
let u, če privza memo , da vsak izmed pa rov skoti vsak m es ec po e n nov
par , ki j e za te m plod en od drug ega m eseca sta rosti napr ej, in da med
t e mi zajci ni smrt nih pr im er ov?
4. Neki mo ž ima sadovnjak z ja blanam i, v kate rega vod i sedem vrat. Ko
se je n ekoč vračal iz sadovnjaka , j e dal stražarju pri prvih vra ti h polovico
ja bolk iz košare, ki jo je nos il s seboj . Zatem m u je dodal še eno ja bolko .
Dr uge mu je dal polovico tistega, kar mu j e os ta lo , in spet še eno ja bolk o
pov rhu . In tak o naprej tudi vsakemu izm ed naslednjih petih stražarj ev
- polovico jabolk iz košare , za povrh pa še e no. Naposled je zapustil
sadovnjak z e nim sa m im jabolk om v koš a ri.
Kol iko jabo lk j e nabral t a dobr i mož t ist ikrat v svoj em sadovnjaku?
5 . Nekdo je vloži l en d en arij . Zarad i obresti bo im el čez pet let že dva
denar ija , pet let zate m pa se mu bo bogastvo v ba nki znova podvoj ilo .
Pov ej , na kol iko d e narij ev bi z ra se l t a njeg ov vlože ni d e narij v sto let ih?
6 . Ne ki možje za p usti l svoj em u najs tarej šernu sinu en zlatn ik in šesed m ino
vse h preostalih zla tnikov . Zatem j e dal dru gem u najs ta rejšernu sin u iz
preo sta le vsote dv a z lat nika in spet še sed m ino vse h preosta lih zla t nikov.
Od t eg a , ka r mu j e ostalo, j e dal tretj em u s inu t ri zla t nike in še se dmino
vse h preosta lih . In t ako napr ej - vsak nasled nj i je dob il po en zlat nik več
o d prejšn j ega in še sedmino vs eh preosta lih zlatn ikov povrhu . Za dn j i,
naj mla jši, je naposled do bi l, kar j e pa č ostalo . Toda , gl ej - vsi si no vi so
dobili e na ko !
Ko liko sinov je imel mož in kol iko zla tnikov ji m je ra zdelil?
7. Ka t erih pet uteži j e t re ba izb rati , d a bi se da lo z njih o vo pomočjo s t e hta t i
kat erokol i breme, ki ni t ežj e od 30 kilog ra mov in č i ga r te žo meri m o z
na rav nim število m ?
T udi ut eži naj te htajo ce lo š tevi lo kilogramov. Teh ta š t a ko , da na eno
stran tehtn ice postavljaš uteži, na dru go stran pa brem e .
8. O ni j e ku pil 30 pt i č kov za vs ega sk upaj 30 ceki no v . S cena mi j e bilo na
semnju pa ta ko le : za t ri vrabce j e bilo t reb a odštet i po cekin, za prav
toli ko so p rodaja li tu di pa r d ivj ih golobov, med te m ko so bili d o mači
golob i že po dva ce kin a vs ak . Kup il je o d vsakega po nekaj .
Ko liko pt i č ev t e in one vrst e je torej t eda j no sil do mov?
292
9. Dokaži, da je produkt vsote dveh kvadratov z vsoto drug ih dveh kvad ra-
tov spet vsota dveh kvadratov .
10. Poišči tak ulom ek x , da bosta števili x 2 +5 in x 2 - 5 vsako zase kvadrata
nekega drugega ulomka.
11. Trije imajo skupaj veliko denarja . Prvi je lastnik polovice, drug i tretj ine,
tretji pa šestine vsega. Potem pa se spro med seboj in vsak izmed nj ih
si nagrabi s tega kupa, dokler tam ne ostane prav n ič več. Ko se spet
nekoliko pomirijo , vrne prvi polovico t istega, kar je vzel , drugi t retj ino
nagrabljen ega , tretj i pa le šestino nagrabljenega . Ves vrnjeni denar dajo
znova na en kup in si ga pot em še enkrat razdel e med seboj na enake
dele . In začuda - na tak način dobi vsak sp et prav t isti znesek , ki mu je
pripadal po dog ovo ru že od vsega za četka!
Povej, koliko denarja je bilo na t ist em kupu na začetku in koliko je dobi l
vsa k izmed teh treh .
12. Reši ena čbo x 3 + 2x 2 + 10x = 20.
Opombe k nalogam in namigi za reševanje
3. Ze omenjeno Fibonaccijevo za poredje se mora za svojo popular nost za-
hvaliti najbrž prav tej na logi.
5. Fibonacci je v svojih tekstih poimenoval znana štev ila z numerus al i
denarij, kar pomeni denar, neznana štev ila pa z res , kar pomeni stva r.
6. To nalogo zasledimo tudi v delih nekaterih kasnejših znameniti h mate-
matikov. Tako sta se z njo ukvarj ala tud i fran coski mat emat ik Nico/as
Chuquet (um rl pribl. 1500) in pa Leonhard Eu/er (1707 - 1783) , vsem
znani švicarski matemat ik.
7. Nalogaje v literaturi bolj znana pod imenom Bach et ov problem o utežeh.
Fra ncoski ma t emat ik Claude Gaspard Bachet de Miziriac (15 87 - 1630)
jo je leta 1612 objavil v svoji zna menit i zbirk i Problem es plaisant et
de7ectab les (Zabavni in oča rlj i v i problem i) .
9. Uporaba črkovn ih simbolov v algebri je bila v 13. stole tj u seveda še le v
povoj ih. Sicer pa na loga govori o t.i . Fibon accijevi enačb i .
10 . Zad nje tr i naloge iz te zb irke so znan e po t em, da j ih je moral Fibona cci
reševati na nekem matematičnem tekmovanju . Rešil ji h je naravnost
bravurozno, če prav zagotovo niso vse lahke. Ker je tud i ta nalog a v dan i
obliki zelo za hte vna , namignimo, da ima iska ni ulome k imenovalec 12 .