i
i
“4-2-Vidav” — 2010/5/6 — 14:41 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 4 (1976/1977)
Številka 2
Strani 116–117
Ivan Vidav:
KAKO RAZREŽEMO KVADRAT NA SAME
OSTROKOTNE TRIKOTNIKE
Ključne besede: matematika, geometrija, kvadrat, trikotnik.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/4/4-2-Vidav.pdf
c© 1976 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
KAKO RAZREžEMO KVADRAT NA SAME OSTROKOTNE TRIKOTNIKE
Pogosto naletimo v matematiki na probleme, ki so razumlji'i
brez posebnega znanja matematike, rešitev pa ni tako preprosta,
kakor se zdi na prvi pogled. Takšno je npr. vprašanje, ki smo
ga navedli v naslovu. Pri tem povejmo, da imenujemo trikotnik
ostrokoten, če so vsi njegovi notranji koti ostri .
Nalogo lahko zastavimo tudi takole:
Se stavi iz samih ostrokotnih trikotnikov kvadrat!
Rekli bi, da pač ne more biti posebno težko razrezati kva-
drat na ostrokotne trikotnike . Vsak bralec pa se lahko sam s
poskušanjem prepriča, da videz vara in da naloga ni tako pre-
prosta, ker pravokotnih trikotnikov ne štejemo za ostrokotne.
Preden navedemo rešitev, si zastavimo tole vprašanje: Dana
je osnovnica trikotnika AB. Kje mora ležati vrh C, da bo triko-
tnik ABC ostrokoten? Narišimo krog s premerom AB, v krajiščih A
in B pa postavimo pravokotnici AE in BF (glej sliko 1). Trikot-
nik ABC je ostrokoten natanko
tedaj, kadar leži vrh C med
pravokotnicama AE in BF, toda
zunaj kroga s premerom AB (na
sliki 1 je to polje osenčeno).
če leži namreč vrh C na pra-
vokotnici AE : li na njeni le-
vi strani, je kot pri A pravi
ali top; če leži vrh C na BF
ali na desni te pravokotnice,
je kot pri B pravi ali top.
Naj bo zdaj vrh c med pravo-
kotnicama, toda zunaj kroga. V
tem primeru sta očitno kota pri
A in Bostra. Kaj pa pri et če
je P presečišče kroga s stranico
AC, je kot APB kot v polkrogu, torej pravi kot. Kot pri C pa je
oster, ker je manjši od pravega kota APB, ki je nepriležni zu-
nanji kot kota pri c v trikotniku BPC. Podobno se prepričamo,
da je v trikotniku ABC1 kot pri C1 t op , če leži vrh C1 v not ra-
njosti kroga .
116
D F
ka GHE in GHF st a na m r eč en ako -
A B kr a ka . Vena kokr a kemtrik ot niku
s ta kot a ob osnovn i ci vedno ostra,
kot ob vr hu pa je tudi os t e r ,
če je osno vn i ca dovolj majhna v prim erjavi z vi šino. To je v
našem primeru očitno res . (Os novnico GH s i lahko izberemo po-
ljubno majhno .) Drugi trikotniki pa so ostrokotni iz razloga ,
ki smo ga navedli v začetku : Vrh G trikotnika AEG je med pravo-
kotni cama AD in EF in zunaj kroga s premerom AE. Podobno ugoto-
vimo, da so ostali trikotniki ostrokotni.
Brez dokaza naj povemo , da kvadrata ni mogoče r az r ezati na
manj kakor osem ostrokotnih trikotni kov.
Bralec, ki ga to veseli , naj poskuš a razrezati na s am e ost-
rokotne t r i kot ni ke enakokrak pravokoten trikotn i k (to je polo-
vico kvadrata). Naloga je rešlj iva s sedmimi tri kotni ki .
Ivan Vidav
117