Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusic, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj G 2 9 v GEODETSKI VESTNIK | letn. / Vol. 631 št. / No. 21 Vi/ |63/2| DEFORMACIJSKA ANALIZA DEFORMATION ANALYSIS V GEODETSKIH MREŽAH Z WITH ROBUST METHODS IN | ROBUSTNIMI METODAMI GEODETIC NETS -=c UDK: 528.4 Klasifikacija prispevka po COBISS.SI: 1.01 Prispelo: 1. 2. 2019 Sprejeto: 22. 4. 2019 DOI: 10.15292/geodetski-vestnik.2019.02.163-178 SCIENTIFIC ARTICLE Received: 1. 2. 2019 Accepted: 22. 4. 2019 IZVLEČEK V članku je opisan postopek deformacijske analize v geodetskih mrežah z robustnimi metodami. Značilnost tega postopka je iterativno prilagajanje uteži in transformacija S, tako da se vektor premikov d transformira v datum, ki ga določajo točke z manjšo koordinatno razliko med dvema terminskima izmerama. V članku je najprej podano teoretično ozadje postopka, nato je postopek uporabljen na primeru simuliranih meritev v dveh terminskih izmerah. Izračunani rezultati postopka deformacijske analize z robustnimi metodami na obravnavanem primeru se ne razlikujejo bistveno od rezultatov, pridobljenih s klasičnimi postopki deformacijske analize. ABSTRACT _ This article describes the deformation analysis approach with robust methods in geodetic networks. The characteristic of this approach is the iterative weighted similarity transformation in which the displacement vector d is transformed into a datum determined by points with a smaller coordinate difference between two epochs. The article first gives a theoretical background of the approach, and then the approach is applied to the case of simulated measurements in two epochs. The calculated results of the deformation analysis approach with the robust methods in the present case do not differ significantly from the results obtained by conventional deformation analysis approaches. KLJUČNE BESEDE KEY WORDS deformacijska analiza, robustne metode, računski primer deformation analysis, robust methods, numerical example Z ROBUSTNIM Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusic, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amlr Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | I 163 | | 63/2 | GEODETSKI VESTNIK ~ 1 UVOD ES Z metodami deformacijske analize lahko na podlagi geodetskih meritev, ki jih opravimo na točkah geodetske mreže v različnih časovnih trenutkih, ugotavljamo stabilnost referenčnih točk v geodetski mreži in določamo premike kontrolnih točk na objektih (Bogatin in Kogoj, 2006). Metode deformacijske analize razdelimo (Welsch in Heunecke, 2001) na: — metode, v katerih so premiki in deformacije uporabljeni kot funkcije časa, ali pa čas ni modeliran, — metode, v katerih so premiki in deformacije uporabljeni kot funkcije vzročnih sil, ali pa vzročne sile niso modelirane, — metode, ko je stanje objekta v ravnovesju, ali nenehno v gibanju, — opisne (deskriptivne) oziroma vzročne (kavzalne) modele. Testiranje statistično značilnih premikov v metodah deformacijske analize obravnavamo s klasičnimi postopki in tudi z robustnimi postopki deformacijske analize (Savšek, 2017). cc -< cc cc -i cc 2 TEORETIČNO OZADJE Deformacijsko analizo z robustnimi metodami razdelimo na šest korakov (Lim in Setan, 2014; Ogundare, 2016), ki jih podrobneje opišemo v podpoglavjih v nadaljevanju. 2.1 Izravnava meritev vsake posamezne terminske izmere posebej kot proste mreže in odkrivanje morebitnih grobo pogrešenih meritev Podobno kot pri drugih metodah deformacijske analize lahko med seboj primerjamo le terminske izmere, ki se po natančnosti meritev ne razlikujejo statistično značilno ter imajo usklajeno natančnost kotnih in dolžinskih meritev (Ambrožič, 2004). Med meritvami v posamezni terminski izmeri ne sme biti grobo pogrešenih, zato jih poiščemo in izločimo. Za iskanje in izločitev uporabimo enega izmed splošno znanih postopkov (Caspary, 1988; Grigillo in Stopar, 2003). Za deformacijsko analizo v geodetskih mrežah z robustnimi metodami moramo uporabiti rezultate izravnave meritev posamezne terminske izmere kot proste mreže, saj pred deformacijsko analizo ne vemo, katera referenčna točka je stabilna in katera ne (Chen et al., 1990). Orientacijske neznanke in morebitno neznanko faktorja merila mreže moramo v enačbah popravkov odstraniti z eno od metod redukcije neznank (Van Mierlo, 1978). 2.2 Transformacija terminskih izmer v isti geodetski datum z uporabo transformacije S Če se v geodetski mreži število točk v eni terminski izmeri razlikuje od števila v drugi terminski izmeri, ali je v obravnavanih terminskih izmerah različen geodetski datum (ker smo na primer v eni izmeri merili samo smeri, v drugi pa dolžine in smeri), moramo koordinatne neznanke neidentičnih točk izločiti oziroma geodetski datum uskladiti. To lahko naredimo s transformacijo S, ki je dobro opisana v literaturi (Van Mierlo, 1978; Caspary, 1988; Marjetič in Stopar, 2007). Po tem koraku lahko primerjamo koordinate točk različnih terminskih izmer med seboj, saj se vse točke nanašajo na isti geodetski datum. 2.3 Testiranje homogenosti natančnosti meritev obravnavanih izmer Testiranje homogenosti natančnosti meritev obravnavanih izmer naredimo s testiranjem hipoteze o homogenosti natančnosti meritev v dveh izmerah, kar je mnogokrat opisano v literaturi (Chrzanowski Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION | 164 | ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | GEODETSKI VESTNIK I 63/2 | et al., 1986; Mihailovic in Aleksic, 1994; Ambrožič, 2001). Po testiranju izračunamo novo oceno za referenčno varianco a posteriori ct2 in skupno število nadštevilnih meritev v dveh izmerah f (Ambrožič, 2001 - enačba (4); Mihailovic in Aleksic, 1994 - enačba (5.2.5); Chrzanowski et al., 1986 - enačba (4.11); Frankic, 2012 - enačba(8)). 2.4 Izračun vektorja premikov in pripadajoče kovariančne matrike premikov iz rezultatov izravnave obravnavanih izmer Po testiranju statistične homogenosti natančnosti meritev dveh obravnavanih med seboj mersko neodvisnih izmer izračunamo vektor premikov d in pripadajočo kovariančno matriko premikov Qdd po mnogokrat zapisanih enačbah (Chen et al., 1990 - enačba (10); Vrečko in Ambrožič, 2013 - enačbi (1) in (4); Mihailovic in Aleksic, 1994). 2.5 Izračun vektorja premikov z uporabo iterativnega prilagajanja uteži s transformacijo S in izračun kovariančne matrike premikov Ker nestabilnih referenčnih točk geodetske mreže še nismo identificirali, se lahko izračunani premiki nanašajo na geodetski datum, ki ga določajo tudi te nestabilne referenčne točke, ali pa imamo lahko v obravnavanih terminskih izmerah različen geodetski datum. Težavo rešimo z metodo iterativnega ^ prilagajanja uteži s transformacijo S (angl. Method of Iterative Weighted Similarity Transformation ali na ¡^ kratko IWST), ki jo je predlagal Chen, 1983. Drugi raziskovalci (Pardoe et al., 2018, ali Berné Valero in Beselga, 2005) metodo imenujejo IRLS (angl. Iteratively ReweightedLeast Squares). Metoda iterativnega prilagajanja uteži s transformacijo S temelji na tem, da transformiramo vektor premikov d v datum, ki ga določajo točke z manjšo koordinatno razliko med dvema terminskima izmerama. Manjšim koordinatnim razlikam med dvema terminskima izmerama tako dodelimo večjo utež, večjim koordinatnim razlikam pa manjšo utež (Vrečko in Ambrožič, 2013). Če torej v transformaciji S obravnavamo nestabilne referenčne točke kot grobo pogrešene meritve, lahko z robustnimi (statističnimi) metodami, ki v splošnem zmanjšajo ali celo eliminirajo vpliv grobo pogrešenih meritev, rešimo problem določitve geodetskega datuma. Geodetski datum določimo z oceno M, ki je posplošena metoda največjega verjetja (angl. Maximum Likelihood Estimation) (Marjetič in Kregar, 2016). Teoretično s tem postopkom določimo datum, ki minimizira prvo normo končne projekcije vektorja premikov (Chen, 1983; Setan in Singh, 2001; Vrečko in Ambrožič, 2013; Amiri-Simkooei et al., 2017). Postopek je modifikacija transformacije S (Marjetič in Stopar, 2007). V klasični transformaciji S imamo v matriki E., kot sta jo označila Marjetič in Stopar, 2007, v enačbi (31) vrednosti na diagonali le 0 ali 1. V metodi iterativnega prilagajanja uteži pa matriko E, zamenjamo z matriko uteži W(,t), vrednosti njenih elementov na diagonali določimo z iteracijskim postopkom. Vektor premikov točk d in pripadajočo kovariančno matriko premikov Qdd izračunamo: d® = S« d, (1) Q H = s(" (s<« > )T (2) kjer so: Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, JusufTopoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | | 165 | I 63/2| GEODETSKI VESTNIK ^ S(it) = I - H(HT W(it)H) 'HT W(it) ... matrika transformacije S velikosti 2 m x 2 m (m je število točk v LJ_J d geodetski mreži), (3) ¡53 H ... datumska matrika velikosti 2 m x d (dje defekt datuma) - (Marjetič in Stopar, 2007 - enačba ¡d (13); Marjetič et al., 2012), l_i_i CC gc W(") = diag (a{f)) ... matrika uteži velikosti 2 m x 2 m, (4) H co{f) ... vrednost utežne funkcije, njen izračun podajamo v nadaljevanju (i=1.. .2m), -=c (it) ... iteracijski korak. -=c g Na začetku privzamemo, da je matrika uteži enaka enotski matriki: E cc W=0) = I oz.®,("=0) = 1,i = 1...2m, (5) torej vse točke v enaki meri določajo datum mreže. Ta rešitev je popolnoma enaka rešitvi, ki bi jo dobili po transformaciji S v prosto geodetsko mrežo (Caspary, 1988). Na začetku uporabimo vektor komponent premikov točk d (izračunan v podpoglavju 2.4): d(it=0) = d. Nato v naslednjih iteracijah izračunamo vektor komponent premikov točk d&M) = S(it+1) d(it) (6) tako, da v matriki transformacije S S(it+1) = I - H(HT W(it+1)H)-1HT W(it+1) (7) uporabimo z različnimi ocenami M izračunane matrike uteži W('t+1). Vrednosti elementov na diagonali matrike uteži (4) torej izračunamo z različnimi utežnimi funkcijami. Poznamo mnogo različnih utežnih funkcij, izbrane smo za 2D-geodetske mreže uporabili v naši raziskavi. Podajamo jih v preglednici 1. Števec iteracijskih korakov oziroma ponovitev (it) gre od nič do vrednosti, ki jo dobimo, ko je izpolnjen pogoj, da je največja razlika komponent vektorja premika |d('t+1) - d(,t)j manjša od izbrane meje prekinitve iteracijskega procesa S (Setan in Singh, 2001; Ta^i, 2008; Sušic et al., 2017): max.(|d(it+1) - d(">|) < S. (8) Preglednica 1: Utežne funkcije. V enačbah je d'*'' komponenta vektorja premika točke i, torej ali dyf\ ali dx('\ enačba (1 oziroma 6), od, pa standardna deviacija komponente premika točke i, torej ali ody,, ali adx,, ki je diagonalni element matrike kofaktorjev koordinatnih neznank, enačba (2). s("' je dolžina vektorja premika, računana po enačbi (11), a. je standardna deviacija premika točke i, računana po enačbi (12). Utežna funkcija Ocena za komponente vektorja premika točke i Ocena za premik točke i d i (.»o i 1 = — X <*) i L(n 2 ocena L a>';'+1) = \d('1 ["2, v = 1,2 Tomaž Ambrožič, Admir Mulahuslč, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJ® ANALIZA V | 166 | ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | ocena L! ocena L1 -L2 2 v-2 GEODETSKI VESTNIK | 63/2 | Utežna funkcija Ocena za komponente vektorja premika točke i Ocena za premik točke i Huberjeva ocena 1 če je jdf^ | < qi 1 če je ji"q, q, = cCTd, d"+1)=< q> ■ 1 (,")k qi = ccts ■ , ,. če je \d ' > q yf ^ 1 , 1 P^"^ če je jf* ' | > qi modificirana Huberjeva ¡d1 = Fairova ocena Chauchyjeva ocena Welscheva ocena V" )l V" q. k)l .k n ' je J-1 q, 1 1+ df q, qi 2 , qt = c&dt 1+ • g i = c / (k("> 1 Y ^ / (1f(" )P 2 ^ df "+1 = exp — k_l I q■ 1 > q, = cCTd, cdf*1 = exp — k q V V ^ ) j V q, V ) ) g i = c German-McClurejeva Hampelova ocena (i + (di,i")2) 1 če je 0 < \k\") | < qt če je qi < |d,'") | < ut q, (v - V"")|) (1+() I d(" )| če je ui < d(i" ) < v |di(i") (v, - u,) 0 če je j d'f) | > v.t qt = ,u, = ¿oy, v, = cadt 1 če je jd\"^ < qi 1 če je 0 < < q, qi I (,")l r-f-j če je q, < < u k" ^ q■ (v, -|^)|) . ( ^ če je u£ < k ) < vi k ) (vi — ) 0 če je j s(i") j > vl qi = , ut = ba:, v^t = cCTs danska ocena exp 2 -,,(i"+1) : jd q, 1 če je jf,"M < qi exp če je jf,"M > qi ■ q. = cCTf -i Tukeyjeva —(f JJ če je jd,") | < qi q, = cCTd, d+1)=^ ( (f(,">Y I2 1 — 1 k— I če je jf("M < q V q, J qi = ccts ocena V v 7 ) 0 če je jd,"^ > qi V v 7 0 če je ji(i"^ > qi Ocena L1 minimizira prvo normo vektorja komponent premika d = ^\d{" ' | = min, ta ocena zmanjša i=1 vpliv grobo pogrešenih meritev. Prvi jo je uporabil avtor postopka Chen (1983) in več drugih avtorjev (Setan in Singh, 2001; Ta§p, 2008; Pennacchi, 2008; Erenoglu, 2018). Rešitev nedoločenosti v d('t) = 0 opisujemo v nadaljevanju, glej enačbi (9a) in (10). Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJ® ANALIZA V ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | I 167 | q ocena je q ocena I 63/2| GEODETSKI VESTNIK cc -< cc cc -i E cc Ocena Lj—Lj ohranja prednosti ocen L1 (zmanjša vpliv grobo pogrešenih meritev) in L2 (rešitev je enolična), za majhne d(ft) se obnaša kot L2, za večje pa kot L1 (Pennacchi, 2008). Raziskovalci predlagajo v oceni Lp (Pennacchi, 2008) vrednost eksponenta v= 1,2, saj s takšno izbiro ohranimo robustnost ocene (na oceno grobo pogrešene meritve malo vplivajo), težavo predstavlja nedo-ločenost v d(a) = 0 — rešitev te težave opisujemo v nadaljevanju, glej enačbi (9b) in (10). Za izračun Huberjeve ocene lahko uporabimo za c = 1,3450 (Pennacchi, 2008; Banas, 2017; Pardoe et al., 2018), drugi avtorji (Nowel, 2015; Gašinec in Gašincova, 2016; Hassan, 2016; Sušic et al., 2017; Erenoglu, 2018) pa predlagajo vrednosti za c med 1,5 in 2. Prav tako lahko za izračun modificirane Huberjeve ocene uporabimo za c = 1,2107 (Pennacchi, 2008), drugi avtorji, ki jo imenujejo Andrewsova ocena, pa predlagajo c = 1,5*2 (Andrews, 1974; Erenoglu, 2018) ali c = 1,339*2 (Pardoe et al., 2018), težavo pa predstavlja nedoločenost v d(t) = 0 - rešitev te težave opisujemo v nadaljevanju, glej enačbi (9c) in (10). Za izračun Fairove ocene uporabimo za c = 1,3998 (Pennacchi, 2008), za izračun Chauchyjeve ocene uporabimo za c = 2,3849, za izračun Welscheve ocena uporabimo za c = 2,9846 (Pennacchi, 2008; Gašinec in Gašincova, 2016), za izračun Tukeyjeve ocene uporabimo za c = 4,6851 (Pennacchi, 2008) — to oceno imenujejo tudi Beaton-Tukeyjeva ocena (Sisman, 2010). V izračunu German-McClurejeve ocene ne nastopa parameter c (Pennacchi, 2008). Za izračun Hampelove ocene uporabimo za a = 1,5, b = 3 in c = 6 oziroma a = 0,8, b = 1,6 in c = 3,2 (Erenoglu, 2018), a = 1,7, b = 3,4 in c = 8,5 (Banas, 2017) ali a=2, b=4 in c = 8 (Labant et al., 2011), za izračun danske ocene uporabimo za c = 3 (Erenoglu, 2018), drugi predlagajo c = 2 (Hassan, 2016). Opozoriti moramo, da je v izračunu danske ocene, katere avtor je prof. Krarup, v kar nekaj člankih napaka (Hassan, 2016; Erenoglu, 2018) — ulomek v eksponentu je treba kvadrirati! Težavo v izračunu ocen L1, Lp in modificirane Huberjeve ocene v točki nedoločenosti d{.fi} = 0 rešimo tako, da vrednost utežne funkcije izračunamo v njeni bližini, (Chen, 1983; Setan in Singh, 2001; Ta^i, 2008; Sušic et al., 2017). 1 m (it+i) id') ... ocena L1 za komponente vektorja premika točke i, m("+1) = \d(it) + s\ . • • ocena Lp za komponente vektorja premika točke i, (9 a) (9b) (it+1) f\d — 2 modificirana Huberjeva ocena za komponente vektorja premika točke i, (9c) kjer je: s ... izbrana majhna vrednost, ali kar zapišemo, da je na primer ®.(,'+1) = 109, (10) Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, | 168 | ANALYSIS WITH Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, [ GEODETIC NETS|163-178| | DEFORMACIJSKA ANALIZA V q GEODETSKI VESTNIK I 63/2 | in ne ®.("+1) = 0, kot je zapisano v Chen, 1983; Chrzanowski et al., 1986; Chen et al., 1990, saj: — ni v skladu z osnovnim konceptom metode iterativnega prilagajanja uteži s transformacijo S (manjšim koordinatnim razlikam med dvema terminskima izmerama dodelimo večjo utež, večjim koordinatnim razlikam pa manjšo utež), — ni logično, da v točki nedoločenosti d^ = 0, to je v točki, ki ni spremenila položaja (to je torej stabilna referenčna točka), dodelimo vrednost utežne funkcije ©.("+1) = 0, — izračunamo popolnoma drugačne vrednosti, kot če uporabimo enačbe (9), — se rezultati, ki jih prikazujemo v tretjem poglavju, razlikujejo od pričakovanih (izračunanih z enačbami 9), če uporabimo ®.(it+1) = 0. Po končanem iteracijskem procesu imamo na diagonali matrike W, enačba (4), elemente blizu 1 oziroma 1 na tistih mestih, ki se nanašajo na komponente vektorja premika točke, ki se niso statistično spremenile (stabilne komponente), in elemente blizu 0 oziroma 0 na mestih, kjer se nanašajo na komponente vektorja premika točke, ki so se statistično spremenile, če vrednosti utežnih funkcij izračunamo z ocenami po enačbah v preglednici 1. Izjema sta oceni L1, Lp in modificirana Huberjeva ocena, ko v točki nedoločenosti d.(") = 0 ne moremo izračunati uteži, rešitev podajamo z enačbo (9) ali (10). Na koncu iteracijskga procesa zavzame števec iteracijskih korakov vrednost (it = kon). Če v enačbah za izračun premikov d (izračunan v podpoglavju 2.4) in pripadajočo kovariančno matriko premikov Qdd (izračunana v podpoglavju 2.4) obravnavamo tudi kontrolne točke na objektu (nedatumske točke), imamo na diagonali matrike W elemente z vrednostmi 0 na tistih mestih, ki se nanašajo na komponente vektorja premika teh točk (Nowel, 2015; Sušic et al., 2017), saj te točke obravnavamo kot nestabilne. Ker so komponente vektorja premikov odvisne od orientacije koordinatnega sistema, ki je določen s približnimi koordinatami, nekateri avtorji (Caspary, 1988; Caspary et al., 1990; Nowel, 2015; Nowel, 2016) predlagajo za izračun utežne funkcije namesto komponent vektorja premika točke i uporabo premika točke s: si =V dyf + dxf > (11) ki je neodvisen od orientacije koordinatnega sistema s standardno deviacijo oziroma varianco (Savšek-Safic et al., 2006; Nowel, 2015; Savšek, 2017): i J.. \ dy. 2 dy. dx. Ji 2 . Ji i ady, + 2——+ j. s. l i i dx 2 (12) Tako lahko s premikom točke zapišemo v naši raziskavi uporabljene utežne funkcije, ki jih podajamo v preglednici 1. Ocena L1 za premik točke i zdaj minimizira prvo normo vektorja premika m ml ^ ~ d = E*' = }) +(dx-'>) = min- (Setan in Singh, 2001). (13) i=i i=i Iteracijski proces prekinemo, ko je izpolnjen pogoj, da je največja razlika premikov točk med dvema iteracijskima korakoma js.(,t+1) - s.(,t)j manjša od izbrane meje prekinitve iteracijskega procesa S. Težavo v izračunu ocen L1, L in modificirane Huberjeve ocene v točki nedoločenosti si(it) = 0 lahko rešimo Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, JusufTopoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | | 169 | | 63/2 | GEODETSKI VESTNIK C£L DC ■ Huberjeva ocena c = 1,3450 modificirana Huberjeva ocena c = 1,2107 Fairova ocena c = 1,998 Chauchyjeva ocena c = 2,3849 Welscheva ocena c = 4,6851 Tukeyjeva ocena C = 4,6851 i j { re n O m " S -o d) in —T £ M X O danska ocena c = 3 končno skupno 3 24 9 1 1 9 7 5 4 5 5 7 4 4 4 3 3 3 4 1 1 3 3 3 3 dydx v, dydx - dydx - dydx - dydx - dydx v, dydx v, dydx - dydx - dydx - dydx - dydx - 1 dy -20.0 -18.4 -10.8 -14.6 -14.5 -14.4 -11.6 -17.5 -19.4 -19.4 -10.8 -19.4 -19.4 -19.4 dx s -34.6 -38.1 -44.1 -37.0 -37.7 -37.6 -37.5 -37.7 -37.6 -37.5 -44.1 -37.5 -37.5 -37.5 40.0 42.3 42.9 45.4 45.4 39.8 41.8 40.4 41.1 40.3 41.3 39.3 40.6 41.5 41.9 42.3 42.3 42.3 42.3 45.5 45.4 42.3 42.3 42.3 42.3 42.3 2 dy -30.0 -37.1 -29.5 -33.3 -33.2 -33.1 -30.3 -36.2 -38.1 -38.1 -29.5 -38.1 -38.1 -38.1 dx s 52.0 50.0 51.8 53.7 53.0 53.1 55.3 50.7 49.4 49.4 51.8 49.5 49.5 49.5 60.0 62.3 62.0 59.6 59.6 63.2 62.5 62.5 62.3 62.6 62.4 61.1 62.6 62.3 62.4 62.4 62.4 62.4 62.4 59.6 59.6 62.5 62.5 62.4 62.5 62.5 3 dy 25.0 21.4 22.0 22.9 23.0 23.0 24.0 22.0 21.4 21.4 22.0 21.4 21.4 21.4 dx -43.3 -42.2 -35.8 -37.1 -37.7 -37.6 -34.1 -41.4 -43.5 -43.5 -35.8 -43.5 -43.5 -43.5 s 50.0 47.3 48.3 42.0 42.0 43.6 46.4 44.2 46.6 44.1 46.5 41.7 45.0 46.9 47.8 48.5 48.5 48.5 48.5 42.0 42.0 48.5 48.5 48.5 48.5 48.5 4 dy dx 0.0 0.0 0.0 1.8 -4.0 0.0 0.1 0.1 -0.2 0.5 0.7 0.7 -4.0 0.7 0.7 0.7 1.0 5.1 5.9 5.2 5.4 8.0 2.5 0.9 0.9 5.1 1.0 1.0 s 0.0 1.8 0.8 6.5 6.5 5.9 2.7 5.2 2.9 5.4 3.0 8.0 4.5 2.6 1.8 1.2 1.2 1.2 1.2 6.5 6.5 1.2 1.2 1.2 1.2 1.2 5 dy 0.0 -1.6 -6.4 -1.9 -1.8 -1.8 -2.3 -1.1 -0.8 -0.8 -6.4 -0.8 -0.8 -0.8 dx 0.0 -2.7 -7.1 -1.1 -1.8 -1.7 -1.1 -2.2 -2.3 -2.3 -7.1 -2.3 -2.3 -2.3 s 0.0 3.1 3.4 9.6 9.6 2.2 2.9 2.5 2.4 2.4 2.3 2.6 2.3 2.5 2.3 2.5 2.5 2.5 2.5 9.6 9.5 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 6 dy 0.0 0.4 3.3 2.6 2.7 2.8 4.4 1.1 0.0 0.0 3.3 0.0 0.0 0.0 dx 0.0 0.0 -10.6 -0.4 -1.1 -1.0 -2.2 0.3 1.3 1.3 -10.6 1.3 1.3 1.3 s 0.0 0.4 0.0 11.1 11.1 2.6 0.8 2.9 1.4 2.9 1.4 4.9 2.1 1.1 1.1 1.3 1.3 1.3 1.3 11.1 11.0 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3 7 dy 25.0 24.1 25.5 25.8 25.9 26.0 27.2 24.8 24.0 24.0 25.5 24.0 24.0 24.0 dx 43.3 42.9 40.8 45.3 44.6 44.7 45.8 43.5 42.9 42.9 40.8 42.9 42.9 42.9 s 50.0 49.2 48.6 48.1 48.1 52.1 49.8 51.6 50.3 51.7 50.3 53.3 51.2 50.0 49.6 49.1 49.1 49.1 49.1 48.1 48.1 49.2 49.2 49.2 49.2 49.2 | j uporabljene ocene za izračun končnih vrednosti premikov Podatki o premikih točk po komponentah in skupnih premikih so podani numerično v preglednici 2, statistično značilni premiki po komponentah in statistično značilni skupni premiki so označeni z barvno podlago, in grafično na sliki 1. Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION | 172 | ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | GEODETSKI VESTNIK I 63/2 | 3.1 Komentar rezultatov - premiki točk po koordinatnih komponentah V izračunu utežne funkcije z oceno L1 za komponente vektorja premika točke po enačbi iz srednjega stolpca v preglednici 1 težavo nedoločenosti rešimo na oba predlagana načina. Če v enačbi (9a) uporabimo vrednosti za s med 0,0001 m in 0,000001 m, ali če uporabimo enačbo (10), se vrednosti za skupen premik točke ne razlikujejo za več kot desetinko milimetra, različno je le število korakov iteracijskega procesa (kar zaradi današnjih procesorjev ni pomembno). Če izračunamo utežne funkcije z oceno L1—L2 za komponente vektorja premika točke po enačbi v preglednici 1, se dobljeni rezultati precej razlikujejo od simuliranih. Po tej oceni dobimo, da sta se premaknili tudi točki 5 in 6, kar se ne ujema s simuliranimi rezultati. V izračunih utežne funkcije z oceno Lp za komponente vektorja premika točke po enačbi v preglednici 1 uporabimo različne vrednosti eksponenta v. Če uporabimo za vrednost v= 1,1 ali v= 1,2, dobimo vrednost za komponento vektorja premika točke največ 6,2 mm drugačno od simulirane (navedena vrednost velja za komponento x točke 3), vendar po testiranju stabilnosti posamezne komponente za vse točke pravilno potrdimo simulirani premik oziroma stabilnost točke. Če pa izračunamo utežno funkcijo z eksponentom v > 1,3, pa trditev po testiranju stabilnosti posamezne komponente ni vedno pravilna glede na simuliran premik. Če v enačbi (9b) uporabimo vrednosti za s med 0,0001 m in 0,000001 m, ali če uporabimo enačbo (10), se vrednosti za skupen premik točke razlikujejo kvečjemu za 0,0001 m, različno je le število korakov iteracijskega procesa. S Huberjevo oceno za komponente vektorja premika točke po enačbi v preglednici 1 dobimo največjo razliko 5,6 mm v vrednosti za komponento x vektorja premika točke 3, če v izračunu utežne funkcije uporabimo c = 1,3450 oziroma c = 2,0, razlike na drugih točkah so manjše. Ne glede na vrednost c pa za točko 4 velja, da po testiranju stabilnosti posamezne komponente dobimo, da se je točka premaknila, kar je drugače glede na simulirano stanje. Podobne rezultate kot s Huberjevo oceno dobimo tudi z modificirano Huberjevo oceno za komponente vektorja premika točke po enačbi v preglednici 1. Največjo razliko 5,7 mm dobimo v vrednosti za komponento x vektorja premika točke 3, če v izračunu utežne funkcije uporabimo c = 1,2107, c = 1,339 oziroma c = 1,5, razlike na drugih točkah so manjše. Za točko 4 po testiranju stabilnosti posamezne komponente spet dobimo, da se je točka premaknila, kar je drugače glede na simulirano stanje. Če v enačbi (9c) uporabimo vrednosti za s med 0,0001 m in 0,000001 m, ali če uporabimo enačbo (10), vedno dobimo enake rezultate, enako je celo število korakov iteracijskega procesa. Z uporabo Fairove ocene za komponente vektorja premika točke po enačbi v preglednici 1 dobimo precej podobne rezultate, kot jih dobimo s Huberjevo oceno. Točka 4 ponovno izkazuje neskladje s simulirano stabilnostjo. Chauchyjeva, Welscheva in Tukeyjeva ocena za komponente vektorja premika točke po enačbah v preglednici 1 dajo podobne rezultate simuliranim. Potrjena je stabilnost točk 4, 5 in 6 ter nestabilnost točk 1, 2, 3 in 7. Po testiranju stabilnosti posamezne komponente z German-McClurejevo oceno za komponente vektorja premika točke po enačbah v preglednici 1 se za točki 5 in 6 rezultat ne ujema glede s simuliranim stanjem. Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, JusufTopoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | | 173 | | 63/2 | GEODETSKI VESTNIK ^ Če uporabimo različne konstante (Erenoglu, 2018; Banas, 2017; Labant et al., 2011) v Hampelovi oce-''' d ni za komponente vektorja premika točke po enačbi v preglednici 1, dobimo precej podobne rezultate Se — izračunane komponente premikov se razlikujejo za največ 3,6 mm, izračunani premiki pa 2,5 mm. g Potrjena je stabilnost točk 4, 5 in 6 ter nestabilnost točk 1, 2, 3 in 7. Zelo podobne rezultate, dobljene £ s Hampelovo oceno, dobimo tudi z dansko oceno za komponente vektorja premika točke po enačbah 25 v preglednici 1. Cl_ SE 3 3.2 Komentar rezultatov - skupni premik točk H V petem koraku deformacijske analize pa lahko naenkrat izračunamo vektor premika za posamezno točko g d z metodo iterativnega prilagajanja uteži s transformacijo S. Ves izračun naredimo popolnoma enako, kot opisan postopek izračuna vektorja premika po komponentah, le za izračun diagonalnih elementov matrike W uporabimo utežne funkcije iz desnega stolpca namesto iz srednjega stolpca v preglednici 1 in izračunano testno statistiko po enačbi (17) primerjamo s kritično vrednostjo, ki je v vseh primerih izračunov vektor premika za posamezno točko z različnimi utežnimi funkcijami enaka F ^ a = 3,150 (f= 60,h = 2). V preglednici 2 prikazujemo rezultate po zadnji iteraciji v stolpcih z oznako j. Rezultati testiranja premikov točk, ki jih izračunamo z različnimi ocenami M oziroma z različnimi utežnimi funkcijami, so med seboj podobni, saj pravilno določijo, katere točke so se statistično značilno premaknile, le ocena L1—L2 in German-McClurejeva ocena za premik točke napačno določita, da so se točke 4, 5 in 6 statistično značilno premaknile. Tudi sicer dobimo s tema dvema ocenama zelo podobne rezultate. Če pa primerjamo velikosti izračunanih premikov točk in ne upoštevamo rezultatov ocene L1—L2 in German-McClurejeva ocene, saj dobimo z njima najslabše rezultate, lahko rečemo, da dobimo največjo razliko glede na simulirane premike z oceno L1 (za točke 1, 5 in 7) in Fairovo oceno (za točke 2, 3, 4 in 6). Če za rešitev težave nedoločenosti v izračunu utežne funkcije z oceno L1 za vektorja premika točke uporabimo v enačbah (14a), (14b) ali (14c) vrednosti za s med 0,0001 m in 0,000001 m, se vrednosti za skupen premik točke razlikujejo kvečjemu za 0,0001 m, različno je tudi število korakov iteracijskega procesa. Na sliki 1 grafično prikazujemo izračunane premike točk najprej, če jih obravnavamo po komponentah (zgoraj), in nato, če naenkrat izračunamo vektor premika. Ob izbiri ustreznega merila in različnih barv lahko že iz grafičnega prikaza prepoznamo: — izračunani premiki po komponentah se na simulirano nestabilnih točkah (1, 2, 3 in 7) nebistveno razlikujejo, — izračunani skupni premiki se na simulirano nestabilnih točkah (1, 2, 3 in 7) nebistveno razlikujejo, — za izračun premikov po komponentah dajejo na simulirano nestabilnih točkah vse metode podobne rezultate, dovolj dobre, da je odločitev o nestabilnosti lahka, — evidentna je napačno ugotovljena nestabilnost točk 4, 5 in 6 za ocene L1—L2, German-McClurejevo oceno ter nestabilnost točke 4 tudi za Huberjevo, modificirano Huberjevo in Fairovo oceno. Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION | 174 | ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | GEODETSKI VESTNIK I 63/2 | Slika 1: Levo: izračunani premiki točk, če jih obravnavamo po komponentah premika točke; desno: izračunani premiki točk, če naenkrat izračunamo vektor premika za posamezno točko. 3.3 Končni premiki točk V zadnjem, šestem koraku deformacijske analize opravimo testiranje stabilnosti posamezne komponente oziroma naenkrat obeh komponent vektorja premika točke geodetske mreže. Sestavimo testno statistiko po enačbi (17) z izračunanim &"=km'> — enačba (18) in QdHik°"> — enačba (19). Končne rezultate podajamo v preglednici 2 (zadnji stolpec — končno). Izračunane končne premike točk, če jih obravnavamo po komponentah premika točke, zapišemo pod d d, če pa jih naenkrat izračunamo, jih zapišemo pod j. Če za izračun premikov (in pripadajočih kovariančnih matrik premikov) uporabimo tiste ocene M, ki dajo enak rezultat po testiranju premikov (ocena L1 in Lp, Chauchyjeva, Welscheva, Tukeyjeva, Hampe-lova in danska ocena za komponente vektorja premika točke ter ocena L1 in Lp, Huberjeva, modificirana Huberjeva, Fairova, Chauchyjeva, Welscheva, Tukeyjeva, Hampelova in danska ocena za premik točke), izračunamo z vsemi ocenami popolnoma enake rezultate za vrednosti komponent premikov, vrednosti premikov in rezultate po testiranju premikov. Z drugimi ocenami (ki jih v prejšnjem stavku nismo navedli), s katerimi dobimo drugačne rezultate po testiranju premikov, pa se rezultati za vrednosti komponent premikov pričakovano razlikujejo od simuliranih. 4 SKLEP V članku podrobno opisujemo postopek deformacijske analize z robustnimi metodami. Geodetski datum moramo v izravnavi terminske izmere izbrati tako, da ga določajo samo stabilne referenčne točke. Le tako lahko primerjamo koordinate točk različnih terminskih izmer med seboj in določamo njihove premike. Če geodetski datum določajo tudi nestabilne referenčne točke, kar se v praksi lahko zgodi, rešitev ni primerljiva, saj ne moremo med seboj primerjati koordinat točk in določati premikov točk, ki se nanašajo na različne geodetske datume. Težavo zaradi zahteve, da morajo geodetski datum določati samo stabilne referenčne točke, rešimo z robustnimi metodami, ko nestabilne referenčne točke obravnavamo kot grobo Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, JusufTopoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | | 175 | I 63/2 I GEODETSKI VESTNIK cc -< D cc cc -=c E cc pogrešene meritve v modelu. Rezultat uporabe robustnih metod zagotavlja, da je tako določeni datum robusten glede na referenčne točke, ki so se statistično premaknile (Chen, 1983). Za izračun vrednosti elementov na diagonali matrike uteži, ki jo potrebujemo za izračun matrike transformacije S, smo uporabili različne utežne funkcije. Vse utežne funkcije smo izračunali z dvema različnima načinoma obravnavanja premikov, in sicer smo najprej uporabili posamezne komponente vektorja premika točke in nato skupen premik točke. Izračune smo naredili z različnimi konstantami v Huberjevi, modificirani Huberjevi, Fairovi, Chauchyjevi, Welschevi, Tukeyjevi, Hampelovi in danski oceni, ki smo jih zasledili v literaturi in so jih predlagali avtorji prispevkov. Tudi težavo v točki nedo-ločenosti pri uporabi nekaterih utežnih funkcij (oceni L1 in Lp ter modificirana Huberjeva ocena) smo reševali na tri različne načine. Z oceno L1, Lp ali Chauchyjevo, Welschevo, Tukeyjevo, Hampelovo ali dansko oceno za komponente vektorja premika točke smo dobili zelo podobne rezultate in pravilno trditev o stabilnosti posamezne točke Ko smo ugotavljali stabilnost referenčnih točk z oceno L1, Lp ali Huberjevo, modificirano Huberjevo Fairovo, Chauchyjevo, Welschevo, Tukeyjevo, Hampelovo ali dansko oceno, če smo naenkrat izračunali skupen premik točke, smo tudi dobili zelo podobne rezultate. Z naštetimi metodami smo dobili rezultate ki so podobni simuliranim, torej izhodiščnim rezultatom, pa tudi rezultatom, ki jih dobimo z drugimi metodami deformacijske analize, pri katerih se uporablja kongruenčni model (Hannover, Karlsruhe, Delft, Fredericton in München). Prav tako so si bili rezultati zelo podobni, če smo za izračun utežnih funkcij uporabili različne konstante. Pri uporabi različnih načinov reševanja težave v točki nedoločenosti, ki nastopi pri nekaterih ocenah, smo prišli do spoznanja, da po vseh načinih dobimo zelo podobne rezultate. ZAHVALA Prispevek je nastal v okviru raziskovalnega programa Geoinformacijska instrastruktura in trajnostniprostorski razvoj Slovenije (P2-0227), ki ga sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije — ARRS iz državnega proračuna. Literatura in viri: Ambrožič, T. (2001). Deformacijska analiza po postopku Hannover. Geodetski vestnlk, 45 (1-2), 38-53. http://www.geodetski-vestnik.com/45/gv45-12. pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Ambrožič,T. (2004). Deformacijska analiza po postopku Karlsruhe. Geodetski vestnik, 48 (3), 315-331. http://www.geodetski-vestnik.eom/56/1/gv56-1_009-026. pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Amiri-Simkooei, A. R., Alaei-Tabatabaei, S. M., Zangeneh-Nejad, F., Voosoghi, B. (2017). Stability Analysis of Deformation-Monitoring Network Points Using Simultaneous Observation Adjustment of Two Epochs. Journal of Surveying Engineering, 143 (1), 1-16. DOI: https://doi.org/10.1061/(ASCE)SU.1943-5428.0000195 Andrews, D. F. (1974). A Robust Method for Multiple Linear Regression.Technometrics, 16 (4), 523-531. DOI: https://doi.org/10.1080/00401706.1974.10489233 Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusič, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | [ | 176 | ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | Bañas, M. (2017). Application of Robust Estimation Methods to Displacements Determination in Geodetic Control Network of Dam. Baltic Geodetic Congress, 22-25 June 2017, Gdansk (str. 89-94). DOI: https://doi.org/10.1109/BGC. Geomatics.2017.42 Berné Valero, J. L., Baselga, S. (2005). Robust estimation in geodetic networks. Física de la Tierra, 17, 7-22. http://revistas.ucm.es/index.php/FITE/article/view/ FITE0505110007A, pridobljeno 5. 5. 2018. Bogatin, S., Kogoj, D. (2006). Pregled modelov vrednotenja geodetskih kontrolnih meritev. Geodetski vestnik, 50 (2), 201-210. http://www.geodetski-vestnik. com/50/2/gv50-2_201-210.pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Caspary, W. F. (1988). Concepts of Network and Deformation Analysis. Kensington: The University of New South Wales, School of Surveying. Caspary, W. F., Haen, W., Borutta, H. (1990). Deformation Analysis by Statistical MACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION GEODETSKI VESTNIK I 63/2 | Methods. Tonometries, 32 (1), 49-57. DOI: https://doi.org/10.1080/0040 1706.1990.10484592 Chen, Y. Q. (1983). Analysis of Deformation Surveys - A Generalized Approach. Doktorska disertacija. Frederieton: University of New Brunswick, Department of Geodesy and Geomatics Engineering. http://www2.unb.ea/gge/Pubs/TR94. pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Chen, Y. Q., Chrzanowski, A., Secord, J. M. (1990). A strategy for the analysis of the stability of reference points in deformation surveys. CISM Journal ACSGC, 44 (2), 141-149. https://www.researchgate.net/publication/296725463_A_ stra tegy_for_the_analysis_of_the_stability_of_reference_points_in_ deformation_surveys, pridobljeno 5. 5. 2018. Chrzanowski, A., Chen,Y. Q., Secord, J. M. (1986). Geometrical analysis of deformation surveys.VY. Bock (ur.), Proceedings of the Deformation MeasurementsWorkshop, 31 Oetober-1 November, Boston (str. 170-206). Boston: Massachusetts Institute of Technology. http://www2.unb.ea/eege/publieations/downloads/CCGE%20 -%201986%20-%20Geometrical%20analysis%20of%20deformation%20 surveys.pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Erenoglu, R. C. (2018). A Novel Robust Sealing for EDM Calibration Baselines using Monte Carlo Study. Tehnički vjesnik, 25 (1), 92-99. DOI: https://doi. org/10.17559/TV-20160407214150 Frankic, K. (2012). Analiza deformacij s Helmertovo transformacijo. Geodetski vestnik, 56 (1), 27-40. DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2012.01.027-040 Gašinee, J., Gašineova, S. (2016). Landslide deformation analysis based on robust M-estimations. Inzynieria Mineralna, 17 (1), 171-176. http://yadda.iem.edu. pl/yadda/element/bwmeta 1 .element.bazteeh-d7a8f9e5-23dd-4ee5-8216-aa3565d34b65/e/IM_1-2016-a25.pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Grigillo, D., Stopar, B. (2003). Metode odkrivanja grobih pogreškov v geodetskih opazovanjih. Geodetski vestnik, 47 (4), 387-403. http://www.geodetski-vestnik.com/47/4/gv47-4_387-403.pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Hassan, K. M. Z. (2016). Comparative Evaluation Among Various Robust Estimation Methods in Deformation Analysis. Spatial Information Research, 24 (4), 485-492. DOI: https://doi.org/10.1007/s41324-016-0047-5 Labant, S., Weiss, G., Kukučka, P (2011). Robust adjustment of a geodetic network measured by satellite technology in the Dargovskyeh Hrdinov suburb. Acta Montanistiea Slovaea, 16 (3), 229-238. https://www.researehgate.net/ publication/268408359_Robust_adjustment_of_a_geodetic_network_ measured_by_satellite_technology_in_the_Dargovskych_Hrdinov_suburb, pridobljeno 5. 5. 2018. Lim, M. C., Setan, H. 2014, A Practical Deformation Monitoring Procedure and Software System for CORS Coordinate Monitoring. V FIG Congress 2014, Engaging the Challenges - Enhancing the Relevance, 16.-21. junij 2014, Kuala Lumpur, Malezija (str. 1-22). https://www.fig.net/resourees/monthly_artieles/2014/ april_2014/lim_setan_april_2014.pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Marjetič, A., Kregar, K. (2016).Določitev primernega geodetskega datuma z uporabo robustnih statističnih metod. Geodetski vestnik, 60 (2), 212-226. DOI: https:// doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2016.02.212-226 Marjetič, A., Stopar, B. (2007). Geodetski datum in S-transformaeija. Geodetski vestnik, Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusic, Nedim Tuno, Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, Dušan Kogoj | [ ANALYSIS WITH ROBUST METHODS IN GEODETIC NETS | 163-178 | 51 (3), 549-564. http://www.geodetski-vestnik.eom/51/3/gv51-3_549-564. ^ pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Marjetič, A., Zemljak, M., Ambrožič, T. (2012). Deformaeijska analiza po postopku Sg Del ft. Geodetski vestnik, 56 (1), 9-26. DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski- S vestnik.2012.01.009-026 Van Mierlo, J. (1978). A testing procedure for analysing geodetic deformation cc measurements. V L. Hallermann (ur.), Proceedings of the II. International j±l Symposium on Deformation Measurements by Geodetic Methods, Bonn, — Germany (str. 321-353). Stuttgart: Konrad Wittwer. Mihailovic, K., Aleksič, I. (1994). Deformaciona analiza geodetskih mreža. Beograd: Univerzitet u Beogradu, Gradevinski fakultet, Institut za geodeziju. Nowel, K. (2015). Robust M-Estimation in Analysis of Control Network Deformations: § Classical and New Method. Journal of Surveying Engineering, 141 (4), 1-10. ^ DOI: https://doi.org/10.1061/(ASCE)SU.1943-5428.0000144 Nowel, K. (2016). Investigating efficacy of robust M-estimation of deformation from observation differences. Survey Review, 48 (346), 21-30, DOI: https://doi.org /10.1080/00396265.2015.1097585 Ogundare, J. O. (2016). Precision Surveying: The Principles and Geomatics Practice. Hoboken: John Wiley & Sons. Pardoe, I., Simon, L., Young, D. (2018). Regression Methods, Lesson 13: Weighted Least Squares & Robust Regression, 13.3 - Robust Regression Methods. State ^ College: The Pennsylvania State University, Department of Statistics Online ^ Programs. https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat501/node/353/, pridobljeno 5. 5. 2018. Pennacchi, P (2008). Robust estimate of excitations in mechanical systems using M-estimators - Theoretical background and numerical applications. Journal of Sound and Vibration, 310 (4-5), 923-946. DOI: https://doi.org/10.1016/j. jsv.2007.08.007 Savšek, S. (2017). Alternativna metoda testiranja premikov v geodetski mreži. Geodetski vestnik, 61 (3), 387-411. DOI: https://doi.org/10.15292Z/geodetski-vestnik.2017.03.387-411 Savšek-Safic, S., Ambrožič, T., Stopar, B., in Turk, G. (2006). Determination of Point Displacements in the Geodetic Network. Journal of Surveying Engineering, 132 (2), 58-63. DOI: https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9453(2006)132:2(58) Setan, H., Singh, R. (2001). Deformation analysis of a geodetic monitoring network. Geomatica, 55 (3), 333-346. http://eprints.utm.my/id/eprint/1191/1/2001-geomatica.pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Sisman,Y. (2010). Outlier measurement analysis with the robust estimation. Scientific Research and Essays, 5 (7), 668-678. http://www.academicjournals.org/article/ article1380536697_Sisman.pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Soldo, J., Ambrožič, T. (2018). Deformacijska analiza po postopku Mönchen. Geodetski vestnik, 62 (3), 392-412. DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2018.03.392-414 Sušic, Z., Batilovic, M., Ninkov, T., Bulatovic,V., Aleksic, I., Nikolic, G. (2017). Geometric deformation analysis in free geodetic networks: case study for Fruska Gora in Serbia. Acta Geodynamica et Geomaterialia, 14 (3), 341-355. DOI: https://doi. org/110.13168/AGG.2017.0017 Ta^i, L. (2008). Dam Deformation Measurements with GPS. Geodezija ir Kartografija, MACIJSKA ANALIZA V GEODETSKIH MREŽAH Z ROBUSTNIMI METODAMI | DEFORMATION I 177 | | 63/2 | GEODETSKI VESTNIK 34 (4), 116-121. DOI: https://doi.org/10.3846/1392-1541.2008.34.116-121 ES d Ta$, L. (2010). Analysis of dam deformation measurements with the robust and non-robust methods. Scientific Research and Essaysm, 5 (14), 1770-1779. http://www.academicjournals.org/article/article1382947377_Tasci.pdf, ä pridobljeno 5. 5. 2018. Vrečko, A., Ambrožič, T. (2013). Deformacijska analiza po postopku Fridericton. Geodetski vestnik, 57 (3), 479-497. DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2013.03.479-497 K N NI -< IR N E E Welsch, W. M., Heunecke, O. 2001, Models and terminology for the analysis of geodetic monitoring observations, Official report of the Ad-Hoc committee of FIG Working Group 6.1.VThe 10th FIG International Symposium on Deformatior Measurements, 19.-22. marec 2001, Orange, Kalifornija, ZDA (str. 390-412). https://www.fig.net/resources/proceedings/2001/com6_orange_2001/pdf/ Session%20XI_Paper%201.pdf, pridobljeno 5. 5. 2018. Ambrožič T., Mulahusic A., Tuno N., Topoljak J., Hajdar A., Kogoj D. (2019). Deformacijska analiza v geodetskih mrežah z robustnimi metodami. Geodetski vestnik, 63 (2), 163-178. DOI: https://doi.org/10.15292/geodetski-vestnik.2019.02.163-178 izr. prof. dr. Tomaž Ambrožič, univ. dipl. inž. geod., univ. dipl. inž. rud. Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Jamova cesta 2, SI-1000 Ljubljana e-naslov: tomaz.ambrozic@fgg.uni-lj.si izr. prof. dr. Admir Mulahusic, univ. dipl. inž. geod. Univerza v Sarajevu, Gradbena fakulteta Patriotske lige 30, BIH-71000 Sarajevo, Bosna in Hercegovina e-naslov: admir_mulahusic@gf.unsa.ba doc. dr. Nedim Tuno, univ. dipl. inž. geod. Univerza v Sarajevu, Gradbena fakulteta Patriotske lige 30, BIH-71000 Sarajevo, Bosna in Hercegovina e-naslov: nedimi_tuno@gf.unsa.ba doc. dr. Jusuf Topoljak, univ. dipl. inž. geod. Univerza v Sarajevu, Gradbena fakulteta Patriotske lige 30, BIH-71000 Sarajevo, Bosna in Hercegovina e-naslov: jusuf_topoljak@gf.unsa.ba asist. mag. Amir Hajdar, univ. dipl. inf. Univerza v Sarajevu, Gradbena fakulteta Patriotske lige 30, BIH-71000 Sarajevo, Bosna in Hercegovina e-naslov: amir_hajdar@gf.unsa.ba izr. prof. dr. Dušan Kogoj, univ. dipl. inž. geod. Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Jamova cesta 2, SI-1000 Ljubljana e-naslov: dusan.kogoj@fgg.uni-lj.si Tomaž Ambrožič, Admir Mulahusic, | 178 | ANALYSIS WITH Jusuf Topoljak, Amir Hajdar, i GEODETIC NETS|163-178| loj | DEFORMACIJSKA ANALIZA V