i i “1001-Vidav-resitev” — 2010/6/16 — 14:38 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 17 (1989/1990) Številka 5 Strani 258–262 Ivan Vidav: REŠITEV ENAČBE x2 +y2 + 1 = xyz V NARAV- NIH ŠTEVILIH Ključne besede: matematika, reševanje enačb, desetiški sestav, rekre- acijska matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/17/1001-Vidav.pdf c© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. 258 RESITVE ENACBE x 3 + y3 + 1 = xyz V NARAVNIH STEVllIH Zastavimo si tole vprašanje: Za katere pare naravnih števil x in y je vsota x 2 + y2 + 1 deljiva s produktom XV? Če zaznamujemo kvocient med vsoto in produktom z z, zadoščajo x, y, z enačbi x 2 + y2 + 1 = xyz (1) Poiščimo vse njene rešitve v naravnih številih! Ali obstaja rešitev, pri kateri sta x in yenaka? Če je x = y , seenačba (1) glasi 2x2 + 1 =x 2z . Od tod je x 2(z - 2) = 1. Produkt naravnih števil pa je enak 1 le, če so vsi faktorji enaki 1. Torej je x = 1 in z - 2 = 1. Tako dobimo rešitev x = y = 1, z = 3, ki ji bomo rekli triviaina rešitev enačbe (1). V vsaki nevtralni rešitvi pa je x -=1= y. Naj bodo x, y, z naravna števila, ki zadoščajo enačbi (1). Če prenesemo člen x 2 z leve na desno in nato delimo z x, dobimo v 2 + 1.L = yz - x (2) x Vidimo, da je kvocient (y2 + 1)/x celo število yz -:- x. Prav tako ugotovimo, da je kvocient (x2 + 1)/y celo število, in sicer enako xz - y. Postavimo x' = y, y' =1:'':''_+_1, z' =z x x', V', z' so naravna števila. Izračunajmo X,2 + y ,2 + 1 = 1:'':''3_1 (x 2 + y2 + 1) x 2 Upoštevajmo, da x, y, z zadoščajo enačbi (1), pa dobimo X,2 + y,2 + 1 =x'y'z' (3) Torej je tudi trojka x', V', z ' rešitev enačbe (1) v naravnih številih. Če izhajamo iz triviaine rešitve x = y = 1, z = 3, dobimo po formulah (3) rešitev x = 1, y = 2, z = 3, iz te rešitev x = 2, y = 5, z = 3 itd. Enačba (1) se ne spremeni, če v njej zamenjamo x in y. Zato je tudi trojka x ' = ~..:.-~.!, y' = x, z' =z (4) y rešitev v naravnih številih, če je x, y, z taka rešitev. Trojko (4) smo namreč do- bili tako, da smo v formulah (3) zamenjali x in y, x' pa z V'. Denimo, da je x manjši kakor y. tedaj y - x > O. Potem velja za rešitev (3) 259 y' - x' =1:'_+_1 - y =JdY_=_~~_L >O x x Torej je tudi x' < v'. Ker je x < y =x', je x' večji od x , y' pa večji od y. Kako je pri rešitvi (4)? Tu imamo y' - x' = x - ~:'~_1 = ~l.Y_=_Jtl-=-_l y y Produkt x(y - x) naravnih števil x in y - x je najmanj 1, enak 1 pa je le v pri- meru, ko je x = 1 in y - x = 1, tedaj y = 2. Iz rešitve x = 1, Y =2 dobimo tri- vialno rešitev x' = 1, y' = 1. V vseh drugih primerih pa je x' < V'. To namreč pove zgornja enakost. Ker je y ' =x < y, je nova rešitev manjša od prejšnje. Imejmo rešitev, pri kateri je x < y. Formule (3) ji priredijo večjo rešitev x', y', tej pa še večjo xu, yu. Če tako nadaljujemo, dobimo neskončnozapore- dje rešitev, v katerem je vsaka naslednja večja od prejšnje. Če pa rečunamo po formulah (4). se zaporedne rešitve nekaj časa manjšajo. Ker so naravna števila, se mora manjšanje po nekaj korakih končati. V prejšnjem odstavku smo videli, da se konča tedaj. ko pridemo do triviaine rešitve. Od tam naprej se rešitve spet večajo. Če je x > y , dajo naraščajoče zaporedje rešitev formule (4). rešitve doblje- ne s formulami (3) pa se manjšajo toliko časa, dokler ne pridemo do triviaine rešitve. Vse rešitve, ki jih dob imo iz začetne rešitve po formulah (3) ali po formu- lah (4), imajo isti z . Pri triviaini rešitvi pa je z = 3 . Ker nas formule (4) po nekaj korakih vselej privedejo do triviaine rešitve, kadar je x < y , formule (3) pa, kadar je x > y , je torej z = 3 v vsaki rešitvi enačbe (1) v naravnih številih. Tako smo dokazali trditev: Če sta x in y taki naravni števili, da je vsota x 2 + y2 + 1 deljiva s pro- duktom xv, je kvocient enak 3. Ker je vselej z = 3, je dovolj, če v rešitvi enačbe (1) v naravnih številih na- vedemo le x in y. Formule (3) priredijo rešit vi x, y rešitev x', y '. Poiščimo zdaj rešitev x", y", ki pripada rešitvi x', y' po formulah (4). Dobimo ,2 + 1 x" =~---- = (y2 + 1) . --~-- = x, y" =x ' = y y' y2 + 1 Torej nas formule (4) privedejo nazaj na prvotno rešitev x, y . Prav tako dobimo prvotno rešitev, če poiščemo najprej novo rešitev po formulah (4). tej pa po- tem rešitev po formulah (3). Naj bo dana poljubna rešitev x, y enačbe (1). kjer je x < y. Videli smo, 260 da pridemo z uporabo formul (4) po nekaj korakih do triviaine rešitve x = 1. V = 1. V prejšnjem odstavku smo ugotovili . da delujejo formule (3) v naspro- tni smeri kakor (4) . Zato nas po istem številu korakov privedejo od triviaine rešitve nazaj na dano rešitev x, V. Kadar pa je x > V. pridemo do triviaine rešitve s formulami (3) , od triviaine rešitve do dane rešitve pa nas privedejo formule (4). Tako smo ugotovili. da dobimo iz triviaine rešitve katerokoli rešitev enačbe (1) z uporabo formul (3) ali pa (4). Izračunali smo. da je kvocient (V2 + 1)1x enak Vz - x. Ker je z = 3 v vsaki rešitvi enačbe (1) v naravnih števil ih. lahko zapišemo formule (3) tudi takole x' = V, V' = 3V - x, z' = z (3*1 Novi x' je enak prejšnjemu V. Zato se dajo dobiti vse rešitve enačbe (1) iz enega samega zaporedja števil. Oglejmo si namreč zaporedje pr i katerem sta prva člena U O,U I,U2 ... · (5) Uo = 1 in Ul = 1 trije poljubni zaporedni členi un_ 1' Un' un+ 1 pa so med seboj povezani z enačbo (6) S tem je zaporedje (5) določeno. Tako je po formuli (6) U 2 = 3u) - U o = 2, U3 = 3U2 - U l = 5. itd . Očitno so vsi členi U naravna števila. n Velja tale trditev : Poljubna sosedna člena un - 1 = x in un = V zaporedja (5) dasta rešitev enačbe (1) v naravnih številih. Res. začetna člena Uo = 1 in Ul = 1 določata trivialno rešitev. Denimo. da za neki indeks n velja naša trditev. da je torej x = un_ 1' V = un rešitev. Po formulah (3*) dobimo iz nje rešitev x'=V=u in V'=3V-x=3u -U t ' Ker velja zveza (61.jev'=u +1'n n n - n Zato tudi naslednji par zaporednih členov Un = x' in un+ 1 = V' zadošča enačbi. Po indukciji sklepamo, da je vsak par sosednih členov rešitev enačbe (1). Ker določata začetna člena trivialno rešitev in dobimo iz rešitve x = un_ 1' V = u n rešitev x' = Un• V' = Un+ 1 po formulah (3ll'1. te formule pa nas privedejo do vsake rešitve. pri kateri je x < V, so v zaporedju (5) zajete vse take rešitve. Iz (6) dobimo U =3u - U n-1 n n+ 1 (6*) Ta formula omogoča računanje členov zaporedja (5) z desne proti levi. Z njo 261 lahko opredelimo tudi člene un z negativnimi indeksi n. Tako je U = 3uo - Ul =2 U · =3u - Uo = 5 itd .-1 ' -2 -1 Členi so ista števila kakor pri pozitivnih indeksih. sledijo pa si v nasprotnem vrstnem redu. Zaporedje Un se zdaj razteza v obe smeri v neskončnost. Glasi se ...•89.34.13,5,2.1.1,2.5.13.34,89. ... (7) V sredi sta člena Uo = 1. Ul = 1. ki določata trivialno rešitev. Zaporedna člena U 1 = x in U = V na desni strani dasta rešitev. pri kateri je x < V. na levin- n strani pa rešitev. kjer je x > V. V zaporedju (7) so tako zajete prav vse rešitve enačbe (1) v naravnih številih. Nadaljnje člene na desni računamo po formuli (6). na levi pa po formuli (6*). Na koncu si oglejmo še podobno enačbo x 3 + V3 + 1 = xyz (8) Tudi tu nas zanimajo rešitve v naravnih številih x, V, z. Triviaina rešitev je spet x = V = 1. z = 3. Iz dane rešitve x, V, z pridemo do novih rešitev s podobnimi formulami, kakor so (3) in (4). Če prenesemo člen x 3 z leve na desno in nato delimo enačbo z x. ugotovimo. da je kvocient (V3 + l)/x enak celemu številu Vz - x 2 • Zato so x'» V, 3 + 1V' = -Y •z' = vz 2 - xV2 - x 2 Z X (9) ii: cela števila. Nekoliko dolgovezen račun pokaže, da zadoščajo enačbi (8). torej dajo novo rešitev v naravnih številih. Prav tako dobimo novo rešitev. če v (9) zamenjamo x in V. torej postavimo , _ x 3 + 1 2 2 2 X ------. V'=x, z'=xz -x V-V z V Iz triviaine rešitve pridemo po formulah (9) najprej do rešitve x = 1, V = 2, z = 5. nato do rešitve x = 2. V = 9, z = 41 itd. Formule (9*) pa dajo iz trivi- aine rešitve enake rešitve kakor (9). le da sta v njih zamenjana x in V. Ker je tudi tu novi x enak prejšnjemu V, lahko sestavimo zaporedje .... 365.9.2.1,1,2.9.365. ... (10) Dva poljubna sosedna člena x = un_ 1 in V = un dasta rešitev enačbe (8) v na- ravnih števil ih. S pikami označene člene na desni računamo po formulah (9). na levi po formulah (9*). Zato velja med tremi zaporednimi členi zveza U U = U 3 + 1 (11) n-1 n+1 n