IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE ISSN 0473-7466 2014 Letnik 61 3 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO div D — pe di vB = 0 rot H = je + dD 9t rot E — — dB dt OBZORNIK MAT. FIZ. • LJUBLJANA • LETNIK 61 • ŠT. 3 • STR 81-120 • MAJ 2014 OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, MAJ 2014, letnik 61, številka 3, strani 81-120 Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553,4232 460 Telefaks: (01) 4232 460,2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč. Sofinančira jo Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-nančiranje domačih znanstvenih periodičnih publikačij. (g 2014 DMFA Slovenije - 1941 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSČ oziroma PAČS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma ltex, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. KRATEK VPOGLED V ZGODOVINO INTEGRACIJE MARJAN JERMAN Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 01-01, 28-03, 97I50 Predstavljene so glavne ideje, ki so vodile do razvoja integracije. Zgodovinski pogled na snov ponuja intuitiven pristop k poučevanju integralov. A SHORT INSIGHT INTO THE HISTORY OF INTEGRATION Main ideas which led to the development of integration are presented. This historical point of view can be used as an alternative intuitive approach to teaching integrals. Uvod Integrali so od nekdaj obvezna snov gimnazijske matematike pri nas in po svetu. Njihovo znanje je sestavni del splosne izobrazbe za vse dijake in nuja za vse bodoče studente naravoslovja in tehnike. Pri njihovem poučevanju in nasploh pri poučevanju bolj zapletenih poglavij matematike v srednji soli smo velikokrat v dilemi, kako narediti kompromis med strogo matematično pravilnostjo, motivacijo, intuitivnostjo in dostopnostjo. V Ameriki je v petdesetih letih, pri nas pa nekaj let kasneje, srednjesol-sko matematiko zajel val tako imenovane »nove matematike«, ki je skusala matematične pojme predstaviti dijakom na najkrajsi, najbolj eleganten in matematično pravilen način. Osnovni namen novih pristopov pri poučevanju matematike je bil na hiter in korekten način čim več dijakov pripraviti na studij tehnike, ki je imel zelo pomembno vlogo pri ogromnih potrebah razvijajoče se industrije po drugi svetovni vojni. Zal se novi pristop v praksi večinoma ni obnesel. Pozitivni učinek je dosegel le pri res najboljsih dijakih, preostali pa so matematiko začeli dojemati kot sterilno znanost, ki je večinoma sama sebi namen. Tudi na dobrih ameriskih univerzah so se se posebej predavatelji tehnike pritozevali, da matematiki na izpitih po-mečejo preveč studentov, večina tistih, ki izpit uspesno opravi, pa svojega znanja ni sposobna uporabiti v praksi. Stanje je zelo lepo opisala izjava profesorja Mortona Browna z Univerze v Mičhiganu, ki bi jo zal prevečkrat lahko uporabili tudi danes: »Študentje se naučijo zložiti skupaj nekaj ključnih simbolov, izjav in enačb in kompilacijo predstaviti kot sprejemljivo rešitev, ne da bi pri tem vedeli, kaj počnejo.« Stvar je sla tako daleč, da je leta 1962 skupina 75 znanih in uspesnih matematikov z vsega sveta napisala ali sopodpisala memorandum [1] v sedmih točkah in pozvala k bistvenim spremembam. V osemdesetih letih je prišlo do resnih poskusov reforme pouka matematike, ki bi matematiko približali sirsi množici dijakov in predstavili njeno uporabno vrednost. Tudi nekatere univerze so bistveno zmanjsale stevilo slusateljev v posamezni predavalnici, v predavanja so vključili veliko grafičnih predstavitev, spodbujali so diskusijo med predavanji, v snov so vključili več praktičnih primerov, del ocene pa so predstavljali domači projekti, kjer je bistven del računanja opravil računalnik. Zal so dobronamerni poskusi pogosto vodili v prečejsnjo zmedo in napake pri poučevanju, kasneje pa so pogosto ugotovili, da imajo studentje večje luknje pri razumevanju osnovnih teoretičnih končeptov. Cutiti je bilo tudi odpor učiteljev, ki so jim bile nove metode poučevanja ali tuje ali prehud izziv in so jih veliko bolj obremenjevale. Zanimivo je, da je o pristopih pri poučevanju analize, se posebej integralov, temeljito premisljeval tudi znani matematik Otto Toeplitz (1881-1940). Svoje poglede [8] je leta 1926 v Düsseldorfu predstavil nemskemu matematičnemu drustvu. Bil je velik ljubitelj in poznavaleč zgodovine matematike. Zagovarjal je tako imenovani »genetski pristop« k pouku matematike, ki nove matematične pojme uvede postopoma, velikokrat s pomočjo briljan-tnih idej, ki so skozi zgodovino vodile do njihovih odkritij. Pri tem večinoma posamične konkretne probleme naravno vodi do njihovih posplositev. Eno od njegovih bolj zanimivih spoznanj je tudi, da se pri obravnavi ni nujno izogibati anahronizmom, ki so v očitnem neskladju z zgodovinskim razvojem. Tako včasih za bolj jasno in enostavno matematično obravnavo na primer ni nič narobe smiselno uporabiti matematične simbole ali čelo matematične pojme, ki v času resevanja problema se niso bili znani, dijakom in studentom pa so veliko blizje kot originalne včasih nerodne in dolgotrajne izpeljave. Svoja spoznanja in praktične učiteljske izkusnje je Toeplitz dolga leta skupaj s studenti brusil in spreminjal v knjigo [9], ki naj bi postala univerzitetni učbenik začetnih poglavij analize. Knjige mu zal ni uspelo dokončati. Posthumno jo je uredil Gottfried Kothe (1905-1989). Takoj po drugi svetovni vojni je izsla v nemsčini, prečej preurejena pa skoraj dvajset let kasneje tudi v anglesčini. Vsem, ki jih zanima poučevanje matematike, se posebej analize, toplo priporočam, da preberejo tudi izjemno informativne predgovore v angleski različiči knjige, ki so jih napisali uredniki posameznih izdaj Gottfried Küthe, Alfred L. Putnam (1928-1977) in David M. Bressoud (1950). Zal tudi genetski pristop ni idealna metoda za poučevanje integralov. Vsi trije uredniki se strinjajo, da bi bilo knjigo tezko uporabiti kot učbenik za sirso populačijo. Zdi se jim primerna kot dodatek za bolj zainteresirane studente in za tiste, ki so osnovne tečaje analize ze poslusali in bi radi svoje znanje videli v drugačni luči. Zelo pa se jim zdi primerna za bodoče in trenutne učitelje matematike. Bralčem Obzornika, ki jih tema zanima, priporočam tudi Burnov članek [4], ki presenetljivo izčrpno na zelo malo straneh povzame duh Toeplitzeve knjige.1 V naslednjih poglavjih bom poskuSal predstaviti nekaj najpomembnejših in najzanimivejsih korakov, ki so skozi zgodovino vodili do matematično korektne definicije integrala. Morda bo kaksna od teh idej prisla prav kateremu od učiteljev vsaj kot motivacija, zanimivost ali popestritev pri poučevanju integralov. Ploščina kroga Grski sofist Antifon (pribl. 5. stoletje pr. Kr.) je prvi poskusal izračunati plosčino kroga z metodo izčrpavanja plosčine. V krog je zaporedoma včrto-val pravilne večkotnike s čedalje več straničami in trdil, da je plosčina kroga enaka plosčini ustreznega včrtanega večkotnika z neskončno straničami. Danes njegova razlaga ne bi vzdrzala stroge matematične presoje, kljub temu pa je ideja prava, njegov rezultat pa ima trdno matematično podlago. Slika 1. Antifonovo izčrpavanje kroga s pravilnimi 2n-kotniki. Pri vsakem dvakratnem povečanju Števila stranic zmanjSamo povrSino nepokritega dela za več kot dvakrat. V krog včrtajmo kvadrat. Ker črtkani kvadrat ABC D na sliki 1 levo vsebuje čeloten krozni izsek ABC, je plosčina osenčenega nepokritega dela kroga manjsa od plosčine včrtanega kvadrata. Zato včrtani kvadrat pokriva več kot polovičo plosčine kroga. Oglisča kvadrata in preseki simetral stranič kvadrata s krozničo so ogli-sča pravilnega osemkotnika, ki vsebuje kvadrat in je prav tako včrtan krogu (slika 1 desno). Podobno kot prej je plosčina osenčenega preostanka kroga 1 Zahvaljujem se dr. Damjanu Kobalu, ki mi je priporočil ta članek. manjša od polovice ploščine črtkanega pravokotnika. Zato smo z osemkot-nikom pokrili več kot polovico dela kroga, ki bi ostal, če bi iz kroga izrezali kvadrat. S postopkom nadaljujemo. Z indukcijo lahko dokazemo, da po vsakokratni podvojitvi stevila stranic plosčino nepokritega ostanka zmanjsamo več kot za polovico. Zato je p(včrtanega 2n-kotnika) > (1 — ^n-r)p(kroga). (1) Od tod vidimo, da je plosčina pravilnega včrtanega 2n-kotnika poljubno blizu plosčini kroga, če je le n dovolj veliko stevilo. Antifonovo delo je dopolnil Brison iz Herakleje (pribl. 5. stoletje pr. Kr.), ki je krogu dodatno očrtal pravilni 2n-kotnik in pokazal, da sta plosčini včrtanega in očrtanega 2n-kotnika poljubno blizu, če je le n dovolj veliko stevilo. S tem rezultatom mu je uspelo na nekaj točnih dečimalnih mest izračunati tudi kasneje uvedeno konstanto n. Z danasnjim znanjem lahko Antifonov rezultat uporabimo za izračun plosčine kroga takole: Pravilni 2n-kotnik, ki je včrtan v krog s polmerom r, je sestavljen iz 2n skladnih enakokrakih trikotnikov s kraki dolzine r in plosčino 1 (2r sin 2n ■ r cos Jn) = 2r2 sin ^n-r, zato je plosčina pravilnega včrtanega 2n-kotnika enaka 2n-1 2 • n P2n = n r sin 2n-r. Z večanjem n in upostevanjem veljavnosti limite limx^0 = 1 dobimo, da je plosčina kroga s polmerom r enaka nr2. Prostornina krogle Arhimed (287-212 pr. Kr.) je svoj izjemen občutek za naravo uporabil pri izračunu prostornine krogle. Pri tem si je pomagal z navorom in tedaj ze znanima prostorninama valja in stozča. Na tem mestu bomo zagresili anahronizem in Arhimedovo ponekod zapleteno premisljevanje utemeljili z uporabo analitične geometrije, ki jo je izumil sele Rene Descartes (1596-1650) več kot tisočletje kasneje. Valj, sto-zeč in kroglo bomo predstavili kot vrtenine. Enačba (x — a)2 + y2 = a2 predstavlja kroznico s sredisčem (a, 0) in polmerom a (slika 2 levo). Prepisemo jo lahko v obliko x2 + y2 = 2ax. Enačba bo dobila fizikalni pomen, če jo pomnozimo s primernimi konstantami: 2a ■ (nx2 + ny2) = x ■ n(2a)2. (2) Slika 2. Arhimedov izračun prostornine krogle. Pri vrtenju premic y = 2a, y = x in kroZnice x2 + y2 = 2ax okrog abscisne osi dobimo valj, stoZec in kroglo. Ko stoZec in kroglo obesimo na rocico 2a, dobimo ravnovesje navorov s silo teZe valja, ki je namescen na nasprotni strani in ima za os daljico med fiksno tocko in skrajno rocico 2a. Posamezne količine v enačbi najprej interpretiramo takole: Na sliko narisimo se premici p: y = x in q: y = 2a. Pri vrtenju premice p, kroZnice in premice q okrog abscisne osi na intervalu [0,2a] dobimo zaporedoma stoZec, kroglo in valj. Kolicine nx2, ny2 in n(2a)2 so ploscine krogov, ki so prerezi stoZca, krogle in valja na oddaljenosti x od ordinatne osi. Enacbo (2) interpretirajmo fizikalno z navorom. V R3 postavimo fiksno tocko v izhodisce koordinatnega sistema, gugalnica pa naj lezi na abscisni osi med x = -2a in x = 2a. Prerez z ravnino y = 0 je narisan na sliki 2 desno. Tedaj enacba (2) pove, da dosezemo ravnovesje, ce na levi strani gugalnice pri rocici -2a obesimo rezino stozca nx2 in rezino krogle ny2, na nasprotni strani pa pri rocici x > 0 obesimo rezino valja n(2a)2. Sedaj sestejmo navore vseh rezin stozca, krogle in valja v ustreznih prijemaliscih. Upostevajmo ze tedaj znano dejstvo, da lahko vsoto navorov vseh rezin valja nadomestimo z navorom sile teze celotnega valja, ki prijemlje v njegovem teziscu. Ce torej na levi strani na rocico dolzine 2a obesimo kroglo in stozec, dosezemo ravnovesje s silo teze valja, ki v celoti prijemlje pri rocici x = a. Demokrit (470-360 pr. Kr.) je ze poznal prostornini valja in stozca. Enakost navorov zato lahko napišemo z enačbo 2a ■ (n(2a)3 ' 2a + Vkrogle) = a ■ (n(2a)2 ■ 2a), iz katere izračunamo, da je prostornina krogle s polmerom a enaka v _ 43 Vkrogle 3na • Kvadratura parabole Arhimed je samo s pomočjo elementarne geometrije izračunal tudi ploščino parabole pod njeno sekanto. Sledili bomo njegovim idejam, zaradi enostav-nejse obravnave pa si bomo zopet pomagali s koordinatnim sistemom. Slika 3. Arhimedova kvadratura parabole. Naj bosta Si (a, a2) in S2(b, b2), a < b, točki na paraboli, podani z enačbo y _ x2 (slika 3). Izračunali bomo plosčino p lika, ki ga od parabole odreze sekanta S1S2. Liku bomo najprej včrtali trikotnik, nato pa bomo nepokriti del zapolnili s čedalje manjsimi trikotniki. Prvi, največji včrtani trikotnik naj ima za oglisča točki S1, S2 in dotika-lisče T tiste tangente na parabolo, ki je vzporedna sekanti S1S2. Tangenta na parabolo v točki T(x,x2), ki je vzporedna sekanti S1S2, ima naklon 2x _ V-T _ b + a, zato gre skozi sredinsko točko T(, ()2). Na primer s pomočjo koordinat lahko izračunamo, da je plosčina trikotnika S1 TS2 enaka P1 _ (¥ )3. (3) Diagonali SiT in TS2 črtkanih pravokotnikov na sliki 3 razdelita ustrezna pravokotnika na ploSčinsko enaka dela. Zato trikotnik S1TS2 pokriva več kot polovico lika, ki ga določata parabola in sekanta. V nadaljevanju v levi in desni nepokriti del parabole na enak način včr-tamo trikotnika. Prvi manjsi včrtani trikotnik S1T1T je določen s točkama Si, T in točko T1 na paraboli, kjer je tangenta na parabolo vzporedna se-kanti S1T. Podobno je desni trikotnik TT2S2 določen s točkama T in S in točko T2, kjer je tangenta vzporedna sekanti TS2. Enačba (3) pove, da je plosčina vsakega tako včrtanega trikotnika enaka kubu poloviče dolzine projekčije ustrezne sekante na absčisno os. Zato je plosčina vsakega od trikotnikov S1T1T in TT2S2 enaka „ _ /1 b-a\3 _ 1 p2 = = 23p1. Postopek nadaljujemo s stirimi se manjsimi trikotniki nad sekantami S1T1, T1T, TT2 in T2S2, nato z ustreznimi osmimi trikotniki in tako naprej. Vsakič z novimi trikotniki pokrijemo več kot polovičo preostanka plosčine, ki je se ne pokrivajo trikotniki iz prejsnjih korakov. Plosčina parabole pod sekanto S1S2 je manjsa od vsote plosčin včrtanih disjunktnih trikotnikov, zato je p > P1 (1 + 2 ■ £ + 4 ■ 43 + ■ ■ ■) = P1 = 4P1. (4) k=0 Po drugi strani z novimi trikotniki vsakič pokrijemo več kot polovičo nepokritega dela parabole: p < 2p1, p < p1 +2 ■ 2p2, p < p1 + 2p2 + 2 ■ 4p3, ... Zato za poljubno stevilo n velja tudi p < p1(1 + 1 + ••• + 4n—i +2 ). (5) Ker sta si vsoti v očenah (4) in (5) poljubno blizu, smo s tem izračunali plosčino parabole pod sekanto S1S2, p = |p1. Na poti k osnovnemu izreku analize Nikolaj Oresme (pribl. 1320-1382) je bil eden od najbolj aktivnih in bistrih srednjeveskih mislečev. Med drugim je prvi dokazal divergenčo harmonične vrste. Nas bo najbolj zanimalo njegovo delo na področju kinematike. Da bi lahko grafično predstavil hitrost v vsakem času gibanja, je izumil stolpčne diagrame. Kar je danes videti samoumevno, je bilo v tistih casih, ko se niso poznali koncepta funkcije in koordinatnega sistema, revolucionarno odkritje. Privzel je, da se telo na posameznem časovnem intervalu giblje s konstantno hitrostjo. Nato je nad vodoravno os nanasal pravokotnike, katerih sirina (intensio, latitudo) je bila sorazmerna času, visina (extensio, longitudo) pa hitrosti, ki jo je imelo telo na tem časovnem intervalu (slika 4 levo). biffatm/fl mifoimiKr rcdif mtfoi mn-T Diffomufcrcwfformc;. C 3Lititn* vtu form i fcuiorie c lU q ut1 ouilii» gruduuj cq DitUuiJ} hut u*¿i 4>port0$ *.u ni a p P«>; tjc eqbuiw. Tla i mr O-cclLue ¿raduuj utter t c cq ouUuu fcHrau^ponoi cqtiu -0« uc ca a;itn° vnifamu tM.crid ut p; cjc cirtiiwwuitw* inonDro:um IcojJc oujiu oia Kiiriui m ruiUa proporci o t eiujc uiic nollj pjiia jumdi vinornu taa m Utundim: tali t iu iierveiici ?rnlb:m.£ei oiho.m t oiftoama C 01? oiffoinucr oiifojrmter oifformia i ilU q uucr t\cdiua graduu cque oii}«ntiuj non tauat cartdcm proporponem iuu.'fii fc «rtdi parte putcbiL Tlotartdum temen rti ¿j* fiCut in fupradictia oiffimioit^ ul» logrur t€ eticfTa g? jtjuum m ter fe eque ouUmium fflpafaf «d ii| ¿mM ti, or.oirtvf« te, Slika 4. Na levi sliki so Oresmejevi diagrami, ki so predhodniki pojmov funkcije in koordinatnega sistema, na desni pa je Galilejev dokaz izreka o srednji hitrosti. Med preučevanjem teh stolpcnih diagramov je ugotovil, da je vsota plo-scin vseh pravokotnikov enaka dolzini prevozene poti. Ce bi dovolili zelo kratke casovne intervale, bi lahko njegov rezultat interpretirali takole: i s' (t) dt = s(b) - s (a). J a Prav tako je s pomocjo interpretacije diagramov izpeljal izrek o srednji hitrosti,2 ki pove, da enakomerno pospeseno telo naredi enako pot kot telo, ki se istocasno giblje enakomerno s hitrostjo, ki je enaka polovici koncne hitrosti pospesenega telesa. Zelo nazoren intuitiven dokaz sledi iz interpretacije enakih ploscin v stolpcnem diagramu. Enak dokaz je podal tudi Galileo Galilei (1564-1642) vec kot dvesto let kasneje (slika 4 desno). Modernizacija metode izčrpavanja Luca Valerio (1552-1618) se je sistematično lotil računanja težišč, ploscin in prostornin. Pri računanju se ni omejil le na klasične like in telesa. Izračunati je znal prostornine teles, ki imajo veliko simetrije ali pa nastanejo ž rotačijo. 2 Izrek so odkrili matematiki z Merton Collega v Oxfordu okrog leta 1330 in ga zato pogosto imenujemo tudi Mertonov izrek o srednji hitrosti. Walter de Merton (1205-1277) je bil sicer politik, po katerem so poimenovali kolidz. Pri računanju je antično metodo izčrpavanja pripeljal blizje definičiji Riemannovega integrala. Glede na danasnje standarde je malo nerodno napisal: »Ce ravninskemu liku pada širina z obeh strani, mu lahko včrtamo in očrtamo lik, ki je sestavljen iz samih pravokotnikov, pri tem pa se ploščini včrtanega in očrtanega lika poljubno malo razlikujeta.« Tezje razumljivo zahtevo, da sirina pada z obeh strani, bi lahko interpretirali z računanjem plo-sčine pod krivuljo, ki do neke točke raste, potem pa pada. Analogno trditev za prostornino pod ploskvijo je napisal tudi za telesa. Zapleteno metodo izčrpavanja, ki potrebuje posredno dokazovanje s protislovjem, je prvi skusal prevesti na enostavnejse direktno sklepanje Simon Stevin (1548-1620). S pomočjo Aristotelovih silogizmov je pokazal, da sta količini, ki sta si poljubno blizu, v resniči enaki. Valerio se je posrednemu sklepanju izognil s premislekom, ki bi ga v danasnjem jeziku interpretirali takole: Ce za neka konvergentna zaporedja (an)n, (&n)n, (bn)n in (b'n)n z neničelnimi členi in limitami a, a' = 0, b in b' = 0 velja an bn — = — za vse n G N, aL bL potem je tudi a an bn b 1 = hm T = hm = U a' n^ra a'n n^^ b'n b' Naj bosta L in L' lika, v katera včrtujemo in okrog katerih očrtujemo čedalje boljse aproksimačije z unijo pravokotnikov. Ce sta plosčini an in a'n v L in v L' včrtane unije pravokotnikov in plosčini bn in bfn očrtane unije vedno v enakem razmerju, sta v istem razmerju tudi plosčini likov L in L'. To Slika 5. Skiča pri četrti lemi v prvi knjigi Newtonovih Prinčipov: Lika sta v enakem plosčinskem razmerju kot plosčine njunih včrtanih in očrtanih unij pravokotnikov. je vsebina četrte leme v prvi knjigi Newtonovih Principov3 (slika 5) in kasneje poimenovano Cavalierijevo načelo, ki v ravninskem primeru pravi: Ce imata lika, ki se nahajata med dvema vzporednima premicama, enako dolge preseke z vsako vmesno vzporedno premico, sta plosčini likov enaki. Danes lahko gledamo na Cavalierijevo načelo kot na poseben primer Fubinijevega4 izreka. Infinitezimale in nedeljive količine Johann Kepler (1571-1630) je sicer dobro poznal grsko matematiko in njene stroge standarde dokazovanja, a je bil zelo prakticen znanstvenik, kije bil za ceno rezultatov pripravljen zamizati na eno oko v primerih, ko z metodami 17. stoletja ni bilo mogoce korektno resiti kaksnega od tezjih problemov. Prakticne potrebe pri racunanju prostornin sodov so pripeljale do mnogih novih metod in rezultatov, ki jih je leta 1615 objavil v knjigi Nova stereome-trija. Like in telesa je rezal na infinitezimalno majhne ne nujno vzporedne koscke razlicnih oblik. S pomocjo izjemne intuicije mu je uspelo kljub zelo liberalnemu delu z infinitezimalno majhnimi kolicinami vedno priti do pravilnih rezultatov. Zvezo med povrsino in prostornino krogle je recimo dobil takole: Najprej je povrsino krogle razrezal na zelo majhne disjunktne koscke. Te koscke si je predstavljal kot osnovne ploskve nekaksnih stozcev s skupnim vrhom v srediscu krogle. S tem je kroglo razrezal na te neobicajne stozce. Ko je sestel prostornine vseh stozcev, so se povrsine njihovih osnovnih ploskev sestele v povrsino krogle. S povecevanjem stevila stozcev so postale njihove osnovne ploskve skoraj ravne, zato je za prostornino teh stozcev vzel kar prostornino obicajnega stozca. Tako je dobil Vkrogle = 3(S1 + S2 + • • •) = 3 Skrogle. Iz Arhimedovega rezultata za volumen krogle tako lahko izracunamo povrsino krogle Skrogle = 4nr2. Skupaj je Kepler izracunal prostornine 96 teles, ki nastanejo z vrtenjem delov stoznic okrog razlicnih osi. Galileo Galilei (1564-1642) je trdil, da je zvezna snov sestavljena iz ne-skoncno kosov nedeljivih delov, do katerih pa ne moremo priti z zaporednim drobljenjem snovi. Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647) je njegovo idejo uporabil tako, da je vsak lik predstavil kot neskoncno unijo vzporednih daljic, ki so tako tanke, da jih ne moremo vec razdeliti na tanjse dele. S pomocjo te predstave je recimo pokazal, da imata trikotnika, na katera deli diagonala paralelogram, enako ploscino. Naj bo ABCD paralelogram 3Isaac Newton: Philosophiae naturalis principia m,athem,atica 4Guido Fubini (1879-1943) D C C E H F H A B A E N G B Slika 6. Levo je Cavalierijev dokaz, da imata trikotnika, na katera z diagonalo razpade paralelogram, enako ploščino. Desno je primer, kjer metoda ne deluje. z diagonalo AC (slika 6 levo). Trikotnika ACD in ABC sta sestavljena iz daljic, ki so vzporedne osnovnici AB. Vsaki daljici EF || AB, E e AD, F e AC, lahko najdemo natanko eno enako dolgo daljico GH || AB, G e AC, H e BC, in obratno. Ker sta trikotnika ACD in ABC sestavljena iz enakih daljic, imata enako ploscino. Pri previdni uporabi je Cavalierijeva metoda z nekaj sreče vodila do pravilnih rezultatov. Zelo kmalu pa je metoda dozivela resne kritike, ko so njegovi sodobniki, med njimi na primer Evangelista Torricelli (1608-1647), nasli primere, pri katerih metoda ne deluje pravilno. Vzemimo recimo neenakokrak trikotnik ABC z osnovnico AB in ga z visino NC razdelimo na trikotnika ANC in NBC (slika 6 desno). Enako kot prej lahko oba trikotnika sestavimo iz daljic, ki so vzporedne visini NC. Vsaki navpicni daljici EF v trikotniku ANC lahko najdemo natanko eno enako dolgo navpicnico GH v trikotniku NBC in obratno, vendar trikotnika ANC in NBC ocitno nimata enake ploscine. Z danasnjim znanjem analize se da lepo razloziti, zakaj Cavalierijeva metoda enkrat deluje, drugic pa ne. Ce si nedeljive daljice predstavljamo kot zelo tanke letvice, ki sestavljajo trikotnike, sta v levem primeru letvici EF in GH enako dolgi in enako visoki. V desnem primeru pa sta letvici EF in GH sicer enako visoki, njuna sirina pa je v razmerju AN : NB. V danas-njem jeziku bi rekli, da v primeru, ko daljici AN in NB parametriziramo s spremenljivko t na intervalu [0,1], enkrat sestevamo ploscine pravokotnikov z osnovnico AN ■ dt, drugic pa ploscine pravokotnikov z osnovnico NB ■ dt. Descartes je v tem casu povzrocil revolucijo v matematiki z uvedbo koordinatnega sistema. Sam je zaradi nekonsistentnosti zavracal uporabo infini-tezimalnih kolicin. Ploscina pod krivuljo Arhimedov antični rezultat o kvadraturi parabole pove, da je ploščina med parabolo y = x2 in sekanto y = a2 enaka štirim tretjinam ploščine al 3 2 3l intervalu [0, a] enaka včrtanega trikotnika, = 4a3, zato je ploščina pod krivuljo y = x2 na 2(2a ■ a2 - |a3) = 1 a3. Cavalieri je skušal priti do enakega rezultata s pomočjo novih orodij. Interval [0, a] je razdelil na n enakih delov in nad všakim delom včrtal in očrtal pravokotnik. Tako je v bištvu ponovno uporabil antično metodo izčrpavanja. Ker parabola narašča, je špodnja očena za ploščino p pod krivuljo enaka n (0 + ( n )2 + (2a )2 + ••• + (^ )2), zgornja pa n ((n )2 + (2a )2 + (3a )2 + ••• + (na ?) ■ Z uporabo tedaj ze znane formule ^n=i i2 = 1 n(n + 1)(2n +1) je tako dobil očeno a3(n - 1)n(2n - 1) a3n(n + 1)(2n + 1) 6n3 P 6n3 . Takrat šičer še nišo poznali končepta limite, a je bilo Cavalieriju jašno, da od tod šledi pričakovani rezultat p = |a3. Podobno je š pomočjo znanih formul za všoto potenč zaporednih števil izračunal ploščine pod krivuljami y = xn za n < 9. S pomočjo izjemnih izkušenj z analitično geometrijo je Pierre de Fermat (1601-1665) izračunal ploščino pod krivuljo y = xm tudi v primeru, ko je m > —1 realno število. Pokazimo le, kako še je lotil špodnjih všot (šlika 7). Najprej je izbral pozitivno število p < 1 in interval (0, a] razbil na neškončno različno dolgih podintervalov oblike (apl,api-1], i € N. Všota ploščin nad temi intervali včrtanih pravokotnikov je enaka S = E(api-1 - api)(api)r i=1 = am+1pm(1 - p) ¿(p^r1 =am+1pm(1 p) i=1 1 - pm+1 Zadnja enakošt drzi, ker zaradi m > -1 velja pm+1 < 1 in zato vršta konvergira. V primeru, ko je m naravno število, lahko zadnjo enakošt preoblikujemo v obliko nm+1 nm S = a p 1 + p + p2 + • • • + pm ■ 92 Obzornik mat. fiz. 61 (2014) 3 -JSt 4 3 • • ap ap ap' 2 ap a Slika 7. Fermatov izračun integrala potenčnih funkcij s pomočjo različno dolgih podin-tervalov. Ko pošljemo p proti 1, dobimo Cavalierijev rezultat za poljubno naravno število m brez uporabe vsote potenc zaporednih naravnih števil. Ce pa m ni naravno število, je v današnjem jeziku treba izračunati limito ki je enaka odvodu funkcije y = xm+1 v točki 1. To je Fermat po všeh izkušnjah z iškanjem tangent vedel in dobil rezultat, ki ga daneš napišemo Ideja z izbiro različno dolgih intervalov je verjetno prišla iz njegovih izkušenj pri računanju ploščine pod krivuljo y = \ na neskončnem intervalu [a, œ). Osnovni izrek analize po navadi povemo takole: Ce je f zvezna funkcija na intervalu [a, b], x € [a, b] in je lim- p^i 1 — p kot Osnovni izrek analize potem je F odvedljiva in F' = f na intervalu (a, b). Drugače: ce je F primitivna funkcija na intervalu [a, b] zvezne funkcije f, je f f (x) = F (b) - F (a). Ja Prvi je osnovni izrek analize zapisal James Gregory (1638-1675). V razširjeni verziji ga je objavil Isaac Barrow (1630-1677), njegov ucenec Isaac Newton (1643-1727) pa je izrek vkljucil v matematicni kontekst. Napisimo njegov dokaz v modernem jeziku. Slika 8. Skica k Newtonovemu dokazu osnovnega izreka analize. Naj bo f nenegativna funkcija, za katero velja f (0) =0. Za x > 0 naj bo y = f (x), h > 0 pa infinitezimalno majhno število. Naj bo z ploščina pod krivuljo y = f(x) na intervalu [0,x] (slika 8). Izberimo število v, za katero je ploščina pravokotnika s stranico h in višino v enaka ploščini pod krivuljo na intervalu [x, x + h]. Ploščina pod krivuljo na intervalu [0,x + h] je enaka všoti ploščin na intervalih [0, x] in [x, x + h], zato je enaka z + hv. Ce povečanje ploščine hv delimo z uštreznim povečanjem abščiše h, dobimo v. Ker je h infinitezimalno majhno število, lahko vzamemo, da je enako 0, zato je v = y in = y. Ce prevedemo ploščinške in infinitezimalne argumente v današnji jezik, bomo opazili, da dokaz potrebuje zveznošt funkčije f. Glede na argumente v dokazu je Newton verjetno dodatno impličitno privzel, da je funkčija f monotona. Zveznošt šta definirala šele Bernard Bolzano (1781-1848) in Auguštin-Louiš Caučhy (1789-1857). Po izreku o šrednji vrednošti za zvezno funkčijo f obštaja število £h € (x, x + h), da je r x+h v = f (&) = h f (t) dt. x Sedaj ponovno zaradi zveznosti f velja = lim + ~ Z(X) = lim f (&) = f (x) = y. hiO h hiO Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), ki je uvedel danaSnjo notacijo za odvode in integrale, je prvi poudaril, da rezultat pove povezavo med določenim integralom in primitivno funkcijo. Interpretacija je tako mocno vplivala na poučevanje, da večina dijakov Se danes napačno razume določeni integral kot obratno operačijo k odvajanju. Definicija določenega integrala George Berkeley (1685-1753) je prvi resno podvomil o logičnih temeljih Newtonove analize. Zapisal je, da tedanji analizi kljub pravilnim rezultatom, ki jih daje, ne moremo zaupati nič bolj kot religiji. Se posebej so ga zmotile neskončno majhne količine, ki jih je primerjal z duhovi umrlih količin. Takrat običajni izračun odvoda funkcije f (x) = x2 je sel recimo takole: dy (x + dx)2 — x2 2x ■ + (dx)2 = 2x + Potem so na nekako pozabili, ker je bilo poljubno majhno stevilo, in dobili f'(x) = 2x. Berkeley je pri izračunu ponudil dve moznosti: bodisi je = 0 in z njim ne smemo deliti bodisi je 2x + = 2x, kar pomeni, da je izračun odvoda napačen. Veliko izjemnih matematikov je skoraj stoletje neuspesno poskusalo utrditi temelje analize, zares pa je uspelo Caučhyju in Karlu Weierstrassu (1815-1897) s korektno definiranima pojmoma limite in odvoda. Tako danes odvod funkčije f (x) = x2 v točki xo izračunamo kot limito lim f(xo + h) — f(xo) = lim (xo + h)2 — x0 = lim 2Xo\+ ^ = 2xo. h.^0 h h^o h h^o h Zanimivo je, daje Abraham Robinson (1918-1974) sele leta 1966 logično pravilno definiral infinitezimalno majhne količine kot primerne ekvivalenčne razrede zaporedij realnih stevil. Robinsonova nestandardna analiza sičer opravičuje klasično računanje z infinitezimalnimi količinami brez danes običajnega ukvarjanja z e in č, a je tako nenavadna, da se ni uveljavila niti v poučevanju niti v raziskovanju. Pred prvo korektno definičijo določenega integrala je prav, da se zavedamo motivačije takratnih matematikov. Integral jim je pomenil plosčino pod grafom funkčije, kot funkčijo pa so si predstavljali predpis y = f (x), ki je bil v večini primerov elementarna funkčija, zagotovo pa zvezna in pogosto tudi nenegativna ter monotona funkcija na integracijskem intervalu. Da so lahko »smiselne« funkcije tudi drugačne, so se zavedeli Sele, ko seje pojavila potreba po integraciji vsot Fourierovih vrst. Cauchy je opazil, da se z oZanjem osnovnic pravokotnikov, ki imajo osnovnico na abscisni osi in so vcrtani grafu, vsota njihovih ploscin priblizuje ploscini pod grafom. Doloceni integral je definiral za zvezno funkcijo f na zaprtem intervalu [a, b] kot limito vsot oblike f (xo)(x1 - x0) + f (x1 )(x2 - xl) + • • • + f (xn-1)(x n xn-1 ), (6) a = X0 < Xl < X2 < • • • < Xn = b, ko gre sirina najsirsega podintervala [xi-1,xi] proti 0. Nato je pokazal, da taksna limita vedno obstaja. Natancen pregled njegovega dokaza pokaze, da je intuitivno pravilen, implicitno pa privzema polnost mnozice realnih stevil, pojem, ki takrat se ni bil znan. Bernhard Riemann (1826-1866) je doloceni integral posplosil na nez-vezne funkcije. V primeru, ko je a = x0 < x1 < ■ ■ ■ < xn = b in so ti € [xi-1,xi] za i = 1, •••,«, je izbor D = {([xi-1,xj],ij); i = ^•••n} poimenoval označena delitev s sirino max1 0 obstaja tak ô > 0, da za vsako označeno delitev D s Širino, manjSo kot ô, velja |R(f, D) - 11 < e. Pri nas običajno definiramo integral s primerjavo spodnjih in zgornjih vsot. To definicijo, ki temelji na antičnem izčrpovanju plosčine, je podal Jean-Gaston Darboux (1842-1917). Lahko je videti, daje definicija ekvivalentna Riemannovi. Izkaze se, da je omejena funkcija Riemannovo integrabilna natanko tedaj, ko je zvezna skoraj povsod. Zveznost skoraj povsod pomeni, da za vsako (poljubno majhno) stevilo e > 0 tocke nezveznosti lezijo v stevni uniji primerno izbranih odprtih intervalov (ai, bi) s skupno dolzino ^i |bi — ai| < e. Tako na primer Dirichletova funkcija %q, ki je enaka 1 na mnozici racionalnih stevil in 0 drugje, ni zvezna v nobeni tocki, zato ni Riemannovo integrabilna. Karl Johannes Thomae (1840-1921) je Dirichletovo funkcijo predelal v funkcijo T (x) =i i 0; x €{0}U (R V x = okrajsan ulomek p, q € N, p € Z, n ki je nezvezna le v vsaki nenicelni racionalni točki, zato je Riemannovo integrabilna na vsakem intervalu.5 Ce je funkcija integrabilna v Riemannovem smislu, se za vsako dovolj drobno delitev Riemannova vsota malo razlikuje od določenega integrala, ne glede na izbiro označenih točk. Ce torej iz Cauchyjeve definicije izpustimo zahtevo po zveznosti funkcije f, je vsaka Riemannovo integrabilna funkcija integrabilna tudi v Cauchyjevem smislu. Tezje je videti, da za omejene funkcije velja tudi obratno. Prakticne probleme, ki so se pojavili pri integraciji bolj neobicajnih funkcij, recimo vsot Fourierovih vrst in funkcij, ki se naravno pojavljajo v verjetnostnem racunu, je uspelo resiti Henriju Leonu Lebesgueu (1875-1941) z vpeljavo merljivih mnozic in aproksimacijo z enostavnimi funkcijami. V precej povrsni interpretaciji bi si lahko predstavljali, da pri Riemannovem integralu najprej razdelimo abscisno os na podintervale in sestejemo plo-scine pokoncnih pravokotnikov, ki imajo te podintervale za osnovnico, pri Lebesgueovem integralu pa najprej na podintervale razdelimo zalogo vrednosti in za osnovnice lezecih pravokotnikov vzamemo ustrezne praslike. V Lebesgueovem smislu je integrabilna tudi Dirichletova funkcija xq. Njen integral na intervalu [0,1] je enak 0. LITERATURA [1] L. V. Ahlfors, ... , A. Wittenberg, On the mathematics curriculum of the high school, American Mathematical Monthly 69 (1962), 189-193. [2] W. S. Anglin, Mathematics: a concise history and philosophy, Undergraduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1994. [3] M. E. Baron, The origins of the infinitesimal calculus, Dover Phoenix Editions, 2003. [4] R. P. Burn, Integration, a genetic introduction, Nordisk Mat. Did., April 1999, 7-27. [5] E. Carruccio, Mathematics and logic in history and in contemporary thought, New Brunswick, NJ Aldine 2006. [6] J. J. O'Connor, E. F. Robertson, The MacTutor history of mathematics archive, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk [7] O. A. Hernandez Rodriguez, J. M. Lopez Fernandez, Teaching the fundamental theorem of calculus: a historical reflection - Newton's proof of the FTC, Loci, January 2012. [8] O. Toeplitz, Das Problem der Universitatsvorlesungen über Infinitesimalrechnung und ihrer Abgrenzung gegenüber der Infinitesimalrechnung an den höheren Schulen, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 36 (1927), 88-99. [9] O. Toeplitz, The calculus, a genetic approach, The University of Chicago Press, 1963. 5Mnozica Q je Stevna, zato lahko tocke nezveznosti funkcije t postavimo v zaporedje (an)n. Vsak clen an zaporedja lezi v odprtem intervalu (an — 2-n-2e,an + 2-n-2e) z dolzino 2-n-1e. Vsota dolzin intervalov je enaka 1 e. VEGOVI PROFESORJI IN NJEGOVA OCENA PRI MATEMATIKI1 STANISLAV JUŽNIČ Math. Subj. Class. (2010): 01A50 Prispevek obravnava na novo odkrito Vegovo visokoSolsko oceno iz matematike. Vegov profesor matematike je bil leta 1774 JoZef Maffei, pomočnik Gabrijela Gruberja. Podane so sluZbene teZave Maffeija in Gruberja ob vzrokih za njun odhod iz Ljubljane. VEGA'S PROFESSORS AND HIS SCORE IN MATHEMATICS The newly discovered student Georg Vega's mark in mathematics is put in the limelight. In 1774 his teacher of mathematics was Josef Maffei, the assistant of Gabriel Gruber. The official troubles and reasons for Maffei and Gruber's later departure from Ljubljana are discussed. Uvod Jurij Vega je svoje študije docela opravil pri ljubljanskih jezuitih. Kakšen je bil njegov ucni uspeh? Kako so na Vegov študij vplivala trenja med njegovimi profesorji? Vegovi profesorji Poglavitni Vegov profesor je bil Gabrijel Gruber, ki je med letoma 18021805 kot general utemeljil obnovo DruZbe Jezusove. Novi papeZ Francisek, prvic v zgodovini jezuit, je krona prizadevanj za obnovo DruZbe Jezusove. Drugi veliki Gruberjev uspeh je bil vzgoja matematika Jurija Vege. Potem ko ga je dodobra izuril v ljubljanskih solskih klopeh, ga je se nadaljnjih pet let zaposloval kot navigacijskega inzenirja pri vzdrzevanju plovnosti reke Mure na Štajerskem. Gruber je izučil veliko brodarskih inzenirjev in ladijskih kapitanov; stevilne svoje studente je zaposlil na posameznih odsekih reke Mure za urejanje plovbe. Najpomembnejsi med njimi je bil Jurij Vega, za njim pa nista veliko zaostajala brata Jozef Marija Šemerl (Schemerl) in Andrej Semerl, prav tako pa ne Gruberjev mlaj si brat Anton Gruber. Jozef Semerl je po Gruberjevem odhodu za dve leti prevzel Gruberjevo katedro in risarsko solo pri liceju. Med najbolj nadarjenimi ljubljanskimi ucenci G. Gruberja je bil Mariborcan Leopold Hofer, ki je po Gruberjevem priporocilu leta 1771 postal ljubljanski stavbni mojster. *Ob proslavi dvestoletnice obnove Družbe Jezusove, pri kateri se je Vega šolal do leta 1773 (P f 14 f iv j. = - Ie. (H ) Maxwell je naStel dvajset spremenljivk in dvajset enačb zanje. Enačbe so imenovali Maxwellove enačbe, dokler ime ni dobilo danasnjega pomena. Vse enačbe niso bile med seboj neodvisne. Tako na primer dobimo enačbo (H) iz enačbe (G), ko upostevamo, da je div jt = 0. V VI. razdelku Elektromagnetna teorija svetlobe je Maxwell iz zapisanih enačb izpeljal valovno enačbo. Tudi tukaj si z vektorsko pisavo skrajsamo pot. Na levi in desni strani enačbe (B) vzamemo rotor //orotH = rot(rotA) in uporabimo vektorsko identiteto rot(rotA) = —V2A + grad(divA). V dielektriku ali praznem prostoru ni prostih nosilčev naboja in je je = 0, tako da je po enačbi (C) rot H = dD/dt = k-ld j/dt. Z enačbo (E) D izrazimo s j in nazadnje uporabimo enačbo (D) za primer, ko ni nabojev in je j = —dA/dt — grad V : j , j. ,,,. . j ,_,2 j d D aao d j //orotH = rot(rotA) = grad(div)A — V A = = — dt k dt aa0 ( d2A BV + grad—- k \dt2 b dt Maxwell je enačbo za komponento v smeri osi y: d(divA) 2A _i/o ( dA + dV A dy y k V dt2 + dydt J odvajal po z in enačbo za komponento v smeri osi z: d (div A) ^2, i/o ( d2 Az , d2 V \ — V2Az = — dz k V dt2 + dzdt ) po y. Drugo enačbo je odstel od prve in dobil: V 2 f dAz 9Ay\ //0 d2 f dAz dAy dy dz J k dt2 \ dy dz V oklepajih na obeh straneh po enacbi (B) prepoznamo komponento Hx. S ciklično permutacijo indeksov dobimo enačbi za preostali komponenti in sestavimo vektorsko valovno enačbo: , jT 1 d2 H k I T V2H = s c = c2 dt2 V //o V ££0 i/o Maxwell je že prej ugotovil, da je magnetno polje pravokotno na smer potovanja valovanja. V ravnem valovanju je vpeljal fazo w = k ■H — wt = kxx+kyy+kzz—wt ž valovnim vektorjem k = (kx, ky, kz) in krožno frekvenco w. Z zvezo gradw = k je po enacbi (B) izrazil: „ dAz dAy dAz dAz. ßßo Hx = —---— = -7— ky — —— kz. dy dz dw dw Dopisal je Se enacbi za komponenti v smeri osi y in z. Prvo enacbo je pomnozil s kx, drugo s ky, tretjo s kz in vse enacbe sestel. Dobil je zvezo k ■ H = 0, ki kaze, da je magnetno polje pravokotno na smer valovnega vektorja. Izpeljal je tudi zvezo med lomnim količnikom in dielektricnostjo n2 = e za ß = 1. Ugotovil je, da je gostota energije v električnem polju we = 1 ED = 2ee0E2. Da je gostota energije v magnetnem polju wm = 2Hb = 1 B2/(ßß0), je ze leta 1853 spoznal Thomson. Maxwell je zapisal valovno enačbo le za magnetno polje. Pripomnil je, da »sestoji val v celoti iz magnetnih motenj«. Morda se tedaj se ni zavedal, da tudi električna motnja potuje kot val. To bi bilo mogoče, saj enačb za električno polje ni zapisal simetrično z enačbami za magnetno polje. Vsekakor je bila to prva izpeljava valovne enačbe iz enačb za električno in magnetno polje. Hitrost, ki sta jo Weber in Kohlrausčh dobila pri električnem poskusu, je primerjal s Fizeaujevo in s Foučaultovo hitrostjo pri poskusu s svetlobo ter nazadnje pribil, da je svetloba elektromagnetno valovanje. V kraj s em članku O načinu, kako naravnost primerjati elektrostatično silo z elektromagnetno s pripombo k elektromagnetni teoriji svetlobe je Maxwell izpeljal valovno enačbo, ne da bi uporabil potenčiale. S člankom je zelel posebej pokazati, da se njegova teorija razlikuje od teorij z delovanjem na daljavo. Omejil seje na ravno valovanje, ki potuje v smeri osi z z električnim poljem v smeri osi x in magnetnim poljem v smeri osi y. Izpeljal je valovno enačbo za magnetno polje, a po sinusni resitvi za Hy je dopisal tudi sinusni re sitvi za Ex in Dx. Vsaj odtlej je vedel za sestavo elektromagnetnega valovanja iz magnetnega in električnega polja. C lanek je bil prečej časa pozabljen, dokler ni nanj opozoril Thomson. V Razpravi o elektriki in magnetizmu je Maxwell v zapisanih enačbah spremenil le nekaj znakov. Tako je vpeljal danas njo gostoto magnetnega polja H namesto prejsnje količine ßH. S tem so postale enačbe za magnetno polje nekoliko bolj podobne enačbam za električno polje. Vpeljal je se nekaj novosti, na primer Maxwellove napetosti, svetlobni tlak, spoznanje, da magnetno polje ne vdre v idealni vodnik, ampak povzroči povrs inske tokove. Se zdaj so v rabi nekateri njegovi znaki, ki jih je izbral po abečedi. Omejili smo se na Maxwellovo obravnavo elektromagnetnega valovanja v praznem prostoru in v izotropnih snoveh. Maxwellove enačbe danes Ob svojem času je Maxwellovo delo zbudilo nekaj pozornosti v Angliji, na celini pa so se nanj odzvali le posamezniki. Ludwig Boltzmann je v letih 1891 in 1893 izdal Predavanja o Maxwellovi teoriji elektrike in svetlobe v dveh delih. Po njegovem mnenju sta tedaj le se Hermann von Helmholtz v Berlinu in Jozef Stefan na Dunaju spoznala pomen Maxwellove teorije. VeČina drugih fizikov je do nje Čutila nezaupanje ali celo odpor. Upirali so se premikalnemu toku in stavili na delovanje na daljavo. Posebej so odklonili zvezo med lomnim količnikom in dielektricnostjo. Tedaj se niso poznali frekvenčne odvisnosti obeh količin. Nekaterim se je teorija, ki je tedaj se tekmovala z drugimi teorijami, zdela nedokoncana. Ovirala jo je tudi »tezavna matematika« in neurejene enačbe. To se je spremenilo zaradi del Oliverja Heavisida, Josiaha Willarda Gibbsa in Heinricha Hertza. Oliver Heaviside (1850-1925) je bil posebnez, ki je s sestnajstimi leti zapustil s olo [5]. Učil se je sam in s časom od telegrafista napredoval do člana Kraljeve druzbe (leta 1891). Pozneje je o Maxwellovi Razpravi zapisal: »Videl sem, da je velika, večja in največja z ogromnimi moznostmi. Bil sem odločen, da knjigo obvladam in sem se lotil dela [... ] Vzelo mi je nekaj let, preden sem razumel toliko, kolikor sem mogel razumeti. Potem sem Maxwella odlozil in sledil svoji lastni poti. Napredoval sem veliko hitreje.« Medtem se je po zaslugi Gibbsa in drugih razvila vektorska analiza. Heaviside jo je pomagal razvijati in jo siril med fiziki. Po Hertzevem odkritju radijskih valov leta 1887 se je spremenil odnos do teorije. Hertz je prispeval tudi k teoriji vzporedno s Heavisidom, a je slednjemu priznal prvenstvo. Heaviside in Hertz sta uredila in poenostavila enačbe in jim dala danasnjo obliko. Nekaj časa so te enačbe imenovali po Heavisidu in Hertzu in tudi po Maxwellu in Hertzu. Danes jih poznamo kot Maxwellove enačbe: divD = pe divB = 0 r 1 dD r dB rot H = rje + -^T- rotE = ——. dt dt Dodati je treba se enačbi: B = ßßo E D = ee0E. Pogosto dodamo se enačbo za Lorentzevo silo na deleč z nabojem e: F = e(E + v x B). Ohmovega zakona in kontinuitetne enačbe pa ne s tejemo k Maxwellovim enačbam. Nekdo je pripomnil, da Maxwell v novih enačbah ne bi prepoznal svojih prvotnih enačb. V praznem prostoru, v katerem ni nabojev in tokov, so enačbe za električno polje simetrične z enačbami za magnetno polje - do minusa v indukčijskem zakonu. George Francis Fitzgerald je zapisal: »Maxwellovo Razpravo obremenjujejo razbitine njegove sijajne crte naskoka, njegova polja s strelskimi jarki, njegove bitke. Razčistil jih je Oliver Heaviside, odprl neposredno pot, uvedel s iroko cesto in raziskal znaten preostanek področja.« Heaviside je naredil s e več. Med drugim je obravnaval telegrafsko enačbo in predlagal, da naj bi s tuljavami v kablih zmanjsali popačenje signala. Predvidel je, da bi nabit delec, ki bi se gibal hitreje kot svetloba, oddajal sevanje, danes znano kot sevanje Cerenkova. Raziskal je gostoto energijskega toka v električnem in magnetnem polju, a pri tem ga je prehitel John Henry Poynting. Heaviside se je rad prepiral. Omenimo samo prepir s Petrom Guthriejem Taitom. Ta si je na vso moč prizadeval, da bi v elektrodinamiki uporabljali Hamiltonove kvaternione, ki jim je bil spočetka naklonjen tudi Maxwell. Heaviside pa se je zavzemal za vektorje. Za studente je valovna enačba pri elektromagnetnem polju pomembna, ker jo izpeljejo iz osnovnih zakonov, to je Maxwellovih enačb, naravnost brez priblizkov. Valovno enačbo pa ze poznajo iz mehanike. Tudi v razvoju fizike so jo spoznali v mehaniki ze prej. Jean le Rond d'Alembert jo je za valovanje v eni razseznosti izpeljal leta 1746. Leonhard Euler jo je za valovanje v treh razseznostih dognal nekaj let pozneje. V tej zvezi kaze omeniti se prispevka Daniela Bernoullija in Joseph-Louisa Lagrangea. Dečembra 2013 je Generalna skupsčina zdruzenih narodov leto 2015 razglasila za Mednarodno leto svetlobe. Kako zelo pomembna je vidna svetloba, ki je ozek pas v spektru elektromagnetnega valovanja, uvidimo, če si zamislimo, kak s no bi bilo zivljenje in sploh svet, če je ne bi bilo. Pri tem so poleg izida Maxwellovega članka leta 1865 upostevali delo Ibn al-Haythama (Alhazena) leta 1015, teorijo transverzalnega etrskega valovanja Augustina Fresnela leta 1815, razlago fotoefekta Alberta Einsteina leta 1905 ter odkritja svetlobnih vodnikov Charlesa Kaa leta 1965. Tehnologije na osnovi svetlobe so izdatno prispevale k razvoju. V Mednarodnem letu svetlobe 2015 naj bi UNESCO, izobrazevalne in raziskovalne ustanove ter strokovna drustva in drugi po vsem svetu sodelovali pri sirjenju zavesti o »pomenu svetlobe in njene uporabe«. LITERATURA [1] J. Clerk Maxwell, On Faraday's lines of force, Transactions of the Cambridge Philosophical Society 10 (1855, 1856). [2] J. Clerk Maxwell, On physical lines of force, The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 21 (1861) 161-175, 281-291, 338348; 22 (1862) 12-24, 85-95. [3] J. Clerk Maxwell, A dynamical theory of the electromagnetic field, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 155 (1865) 459-512. [4] J. Clerk Maxwell, On a method of making a direct comparison of electrostatic with electromagnetic force: with a note on the electromagnetic theory of light, Philosophical Magazine 36 (1868) 316. Vire [1-3] je mogoče dobiti na spletu. [5] P. J. Nahin, Oliver Heaviside, Scientific American 262 (1990) 80-87 (6). NOVE KNJIGE Ivar Ekeland, The Best of All Possible Worlds, Mathematics and Destiny, The University of Chicago Press, Chicago and London, 2006, 207 str. Knjiga je najprej izsla v francoščini (leta 2000) z naslovom Le meilleur des mondes possibles: Mathématiques et destinee. Avtor knjige je francoski matematik z norveškimi koreninami, ki dela v Franciji in v Kanadi. Je specialist za variacijski racun, matema-ticno ekonomijo in nelinearno funkcionalno analizo. Letos praznuje sedemdesetletnico. Knjiga je namenjena siroki publiki, zato vsebuje zelo malo formul. Po-svecena je zgodovini nastanka nacela najmanjše akcije, variacijskemu racu-nu nasploh in razvoju te ideje. Okrog tega avtor nevsiljivo naplete mnoge zgodbe in razmisljanja o znanosti, filozofiji, cloveski druzbi ... Knjiga je odlicen primer francoske kulture in kaze avtorjevo izredno intelektualno sirino in kultiviranost. Je nadvse prijetno branje. Avtor pravi, daje nacelo najmanjse akcije med prvimi formuliral (ceprav pomanjkljivo) francoski matematik in univerzalni znanstvenik Pierre Mo-reau de Maupertuis. Znan je po tem, da je v letih 1736-37 vodil znanstveno odpravo na Laponsko, katere cilj je bil merjenje dolzine loka poldnevnika, ki ustreza eni stopinji razlike v zemljepisni sirini. Isaac Newton je predvideval, da je Zemlja nekoliko sploscena na polih, medtem ko je francoski kraljevi astronom Cassini trdil nasprotno: daje Zemlja podobna podolgovati limoni. Meritve na Laponskem in rezultati podobne odprave v blizino ekvatorja v Peruju so pokazale, da je imel prav Newton. Odprava na Laponsko pa je seveda prinesla svetu se mnogo znanstvenih spoznanj in opisov zivljenja na skrajnem severu. V Pariz je pripeljala celo dve laponski dekleti, ki sta bili sredisce zanimanja in sta se pozneje tam tudi porocili in ustalili. Maupertuis je imel dolgo zelo uspesno kariero: postal je celo predsednik Berlinske akademije znanosti. Imel je mnogo prodornih idej, ki so prehitevale cas - živi svet se mu ni zdel nespremenljiv, špekuliral je o vrtanju proti središču Zemlje ... Kasneje se je preusmeril v metafiziko in na podlagi svojih znanstvenih hipotez raz sirjal idejo, da je svet ustvarjen tako, da je razlika med dobrim in slabim kar največja. Na dvoru pruskega vladarja Friderika II. Velikega je nekaj let bival tudi Voltaire, ki pa je prisel v nemilost in je moral v ponizevalnih okolisčinah zbezati, medtem ko je Maupertuis se naprej uzival kraljevo naklonjenost. Voltaire in arogantni Maupertuis se ze prej nista razumela. Voltaire je ob prihodu odprave z Laponskega napisal verz: Sel si v oddaljene in samotne kraje, da bi dokazal, kar je Newton vedel ves čas, ne da bi vstal od delovne mize. Voltaire se po begu iz Berlina prosvetljenega absolutista Friderika Velikega neposredno seveda ni upal napasti. Zato pa se je lotil vladarjevega favorita Maupertuisa z vsem svojim arzenalom: s strupenim norčevanjem, pome sanim z neverjetnimi izmisljotinami itd. Leta 1751 je holandski profesor Koenig v prestizni reviji Acta Erudi-torum pisal o načelu najmanjse akcije in citiral podobne ideje, ki jih je v nekem pismu izrazil Leibniz leta 1707. Maupertuis je sel v zrak in obtozil Koeniga ponarejanja. To je bilo seveda odveč in slabo premisljeno, saj Leibniz teh svojih briljantnih idej ni razvil, Maupertuis pa je načelo najmanj se akčije uporabljal in marsikaj izračunal in so bile njegove zasluge jasne. Koenig je pismo prepisal pri človeku, ki so ga pa leta 1749 v Sviči obglavili. Leibnizevega pisma v zapu sčini usmrčenega niso na sli. Koenig je kljub temu vztrajal pri svojem in prislo je do velikega javnega spora. (Mnogo kasneje, leta 1913, so nas li se eno kopijo tega Leibnizevega pisma, ki je vsebovala to, kar je trdil Koenig.) V spor se je z največjim veseljem vmes al tudi Voltaire. Leta 1753 so v avstrijsko-pruski vojni avstrijske čete zajele Maupertuisa in ga odpeljale na Dunaj. Tam so ga zaradi njegovih znanstvenih zaslug izpustili. Voltaire je to opisal takole: »Ujeli so ga moravski kmetje, ki so ga slekli do golega in mu iz zepov pobrali petdeset izrekov.« Izdal je čelo knjigo teh pamfletov z naslovom Histoire du docteur Akakia et du natif de Saint-Malo (Zgodba o doktorju Akakiji in človeku iz Saint-Maloja). (Saint-Malo je bil Maupertuisov rojstni kraj.) Začne se takole: »Človeka iz Saint-Maloja se je ze pred časom lotila kronična bolezen, ki jo nekateri imenujejo filotimija, drugi filokratija ... « (Prva grska skovanka pomeni ljubezen do nagrad in časti, druga ljubezen do oblasti.) Mnogi ljudje so uzivali ob teh sporih slavnih ljudi. Voltairovi zlobni pamfleti so uničili Maupertui-sov ugled, tako daje leta 1759 umrl v Sviči kot strt človek. Vendar Voltairu to ni bilo dovolj. Dokončno si je Maupertuisa privos čil po njegovi smrti v Kandidu, kjer ga je karikiral kot večnega in sme snega optimista doktorja Panglossa. (Mimogrede, Ekelund Kandida opisuje kot »mojstrovino«, kar pa se mi zdi pretirano. Voltaire je res znal pisati izredno jasno in udarno. Njegova francoscina je praktično povsem moderna. Po drugi strani je marsikaj v tem delu napisano rokohitrsko. Kot literarna zgodba Kandid zame ni ravno biser.) Načelo najmanjse akcije, njegova zgodovina in razvoj (na trdne temelje je bila stvar postavljena sele sredi devetnajstega stoletja) je samo ogrodje, na katero avtor nevsiljivo naplete mnoge zanimive zgodbe. Prva je o merjenju casa in prostem padu. Ker je stvar zanimiva, bomo malce razsirili eno od zgodb iz obravnavane knjige z drugimi viri. Galileo Galilei je navedel pet sekund za cas, ki ga za padec z visine sto petdeset rimskih cevljev potrebuje sto funtov tezka zelezna krogla. Ta podatek je zbujal dvome, se posebno, ker je Galileo kasneje sam priznal, da so bile nekatere njegove tabele sad preracunavanj iz podatkov o kotaljenju kroglic po klancu. (Pri kotaljenju se del potencialne energije spremeni v rotacijsko. Pri padajoci krogli tega ni.) Cas pa je Galileo meril pogosto z utripi srca. Kakorkoli, po Galilejevi lastni teoriji naj bi krogla v dveh sekundah padla kakih 24 cevljev. Menih Marin Mersenne, znan tudi kot najvecji posrednik znanstvenih informacij v takratni Evropi, se je odlocil, da stvari razjasni. Prvi problem je bil dolzinska enota, ki jo je uporabljal Galilei. Ocitno Mersenne dolgo ni mogel natancno ugotoviti, koliko naj bi meril rimski cevelj. (Zanimivo je, da je leta 1644 Dubrovcan Marin Getaldic v knjigi Cogitata physico-mathematica natisnil dolzino rimskega cevlja, a je v Errata (popravkih) moral navesti, da se je papir skrcil in da je treba natisnjeno dolzino povecati za 40. Starodavni merski sistemi s svojimi lokalnimi posebnostmi so bili prava mora za eksperimentalce.) Leta 1636 se je Mer-senne natancneje spoprijel z merjenjem casa in ugotovil, da nihalo z dolzino 3 pariske cevlje (priblizno 98,6 cm) potrebuje iz ene skrajne tocke do druge (za pol nihaja) eno sekundo. Takemu nihalu so rekli sekundno. Od tod je izmeril, da kamen v dveh sekundah pade 48 cevljev - bistveno vec, kot je sledilo iz Galilejevih trditev, in precej blize pravi vrednosti. Se bolj natancno sta merila jezuita Giovanni Battista Riccioli in Francesco Maria Grimaldi. Riccioli je najprej s poskusi ugotovil, daje stevilo nihajev danega nihala v enem dnevu prakticno konstantno (dokler so amplitude majhne). Pred kratkim je bil narejen angleski prevod latinskih Ricciolijevih zapisov o merjenju casov padajocih krogel [2]. Prevod razgali povrsnosti, ki jih sicer najdemo v porocilih o Ricciolijevem delu, in pokaze, da gre v tem primeru za solidno znanstveno delo na podrocju eksperimentalne fizike. (Prevajalec je sicer moral astronomsko dolge stavke in odstavke razbiti na manj se dele.) Riccioli opisuje, kako je dobil dovoljenje za branje Galilejevih dialogov, ki so bili na Indeksu prepovedanih knjig, in kako je podvomil o rezultatih. Sumljiva mu je bila velika masa (sto funtov), ki jo navaja Galileo, pa odsotnost podatkov, s katerega previsa ali stolpa naj bi Galileo spu scal to izredno teZko kroglo. (Lahko si mislimo, da lastnik stolpa tega ne bi dovolil.) Konstruiral je majčkeno nihalo dolZine 1i| rimskega palca (med osjo in sredino uteZi), ki je za pol nihaja potrebovalo 6 sekunde. Kalibriral ga je z dvema zaporednima prehodoma fiksne zvezde čez »sredino neba«. S kalibracijami nihal in konstrukcijo sekundnih nihal sta se jezuita ukvarjala se leta in bomo o tem zapisali nekaj vec kasneje. Najprej sta ugotovila z mnogimi ponovitvami poskusa, da v casu | sekunde kamen ali glinasta krogla pade 10 cevljev. Nato, da v | sekunde glinasta krogla pade 40 cevljev, v 1| sekunde 90 cevljev, v sekunde 160 cevljev. Torej je bila Galilejeva teorija pravilna, Galilejeve »meritve« pa slabe. Na koncu so spuscali glinaste krogle 280 cevljev navzdol s stolpa Asi-nelli v Bologni. Ustrezen cas je bil 41 sekunde ali 13 polnih nihajev malega nihala. To pomeni tezni pospe s ek nekaj manj kot 30 cevljev na s2. Riccioli z risbo dobro opise, kje in kako je leta 1640 spuscal krogle. Ploscad na vrhu stolpa Torre Asinelli (zgrajenega v letih 1109-1119) je sir s a od konstrukcije pod njo, stolp je bil verjetno ze takrat rahlo nagnjen (danes je vrh od navpicnice odmaknjen za dobra dva metra), tako da je bil polozaj za spuscanje idealen. Glinaste krogle so padale na ograjeno siroko teraso ob vznozju stolpa, tako da niso ogrozale mimoidocih. (Riccioli s irino slikovito opise takole: Sest moz lahko poravnanih z ramo ob rami hodi okrog te terase.) Cas padanja sta merila Grimaldi in se en jezuit na vrhu in Riccioli ob vznozju. Kot pravi, se rezultati obojih niso nikoli razlikovali za vec kot sestinko sekunde. (Ker so zacetek pada skoraj gotovo oznacili zvocno, tudi hitrost zvoka ni igrala vloge.) Iz Ricciolijevih zapisov in danasnjih meritev stolpa lahko ocenimo dol-zino »njegovega« cevlja, kije nekaj vecja od v literaturi navajanih podatkov. Riccioli je ocitno dolocil pospe sek prostega pada na kakih 5 odstotkov na-tancno. Poskuse je Riccioli izvajal tudi na drugih stolpih, ki jih navaja in jih v Bologni ni manjkalo, pa tudi z oken jezuitskega kolegija. Spu scal je hkrati dve krogli razlicnih velikosti ali gostot, eno v bronasto, drugo v leseno skledo - da je bil zven ob trku razlicen. Ugotovil je, da zaradi zracnega upora prihaja do razlik. Kakorkoli, ce odstejemo manj se popravke zaradi upora zraka, so se Galilejevi zakoni enakomerno pospesenega gibanja pokazali kot pravilni. Riccioli opisuje, kako je o rezultatih poskusov obvestil slavnega matematika in profesorja na Bolonjski univerzi Bonaventuro Ca-valierija. Ta je ob Ricciolijevem obisku pocival doma zaradi napada revme in putike, a se je kot nekdanji Galilejev varovanec izredno razveselil eksperimentalne potrditve teorij svojega učitelja. Oba jezuita sta znana tudi po astronomskih doseZkih - izdelala sta zemljevid Luninega povrsja in vpeljala mnoga se danes uporabljana imena za morja, kraterje, gore. Riccioli je prisel kasneje pri zgodovinarjih znanosti v nemilost, ker je zagovarjal geocentrični sistem (čeprav je navajal tudi argumente za heliocentricni sistem), zato so njegove zasluge precej pozabljene. Veliko casa sta jezuita porabila tudi v kasnejsih letih za dolocitev dolzine sekundnega nihala. S pomocjo devetih sobratov, ki so steli in ohranjali nihanje, sta leta 1642 ugotovila, da nihalo z dolzino 3 cevlje 4,2 palca (v rimskih merah) v enem dnevu naredi 86999 polovicnih nihajev. Število se je za slabih 7 promilov razlikovalo od 86400, kolikor je sekund v enem dnevu. (Te poskuse enciklopedija [1] oznacuje iz meni neznanih razlogov kot »farso«.) Naredila sta tudi malce krajse nihalo, dolgo menda 3 cevlje 21 palca, ki pa tudi ni bilo povsem sekundno. Ekelundova knjiga trdi, daje bila ta nova dolzina sad preracunavanj, ampak to je nekonsistentno z dejstvom, da je nihajni cas premo sorazmeren s kvadratnim korenom dolzine, kar naj bi vedel ze Galileo. Kakorkoli, sobratje so se uprli nadaljnjemu sodelovanju v teh napornih poskusih. Dve leti kasneje, 1644 je Mersenne s poskusi preveril, da je nihajni cas nihala premo sorazmeren s kvadratnim korenom dolzine. Mersenne je tudi zlahka ugotovil, da se pri velikih amplitudah nihajni cas poveca. (Emil Beloglavec in Mitja Lakner sta to obravnavala v nasi reviji pred tremi desetletji [3]). Galilejeva trditev, da je nihajni cas neodvisen od amplitude, je bila res le »v limiti«, za majhne amplitude. Galileo se je ze ukvarjal s problemom, kaksne oblike mora biti »drca« med tockama A in B, da kroglica zdrsne iz prve tocke v nizje lezeco drugo tocko v najkrajsem casu (trenje zanemarimo). Tu A ni natancno nad B. Iskano krivuljo so kasneje imenovali brahistohrona ali brahistokrona. (Na predavanjih rad povem studentom, da ta problem bolj ali manj uspesno re-sujejo ptice. Sam sem videl lebdeco postovko, ki je zagledala nekaj uzitnega (mi s , bramorja ...) na tleh. Ptica je zlozila krila in za zacetek pikirala. Ko je dobila nekaj hitrosti, je zacela po malem razpirati krila in usmerjati let. Tangenta na krivuljo leta je bila torej v zacetni tocki navpicna. Tudi nekatere gozdne ptice letajo z malo truda in dovolj hitro z enega drevesa na drugo v globokih lokih - na zacetku in morda na koncu napravijo kak zamah ali dva (in vcasih celo ponovijo lok, ker je razdalja do tal omejitev).) Galileo je domneval, da ima najhitrej s a pot obliko kroznega loka z navpicno tangento na zacetku. Resnicna je le trditev o navpicni tangenti na zacetku - ampak ze sam problem se je pokazal kot izredno spodbuden. V sedemnajstem stoletju se je pojavilo tudi vprasanje, ali obstaja kri- vulja, ki je izohrona ali tavtohrona, se pravi, da kroglica zdrsne po njej iz katerekoli tocke do najniZje tocke v enakem casu. Krivulja cikloida, ki nastane kot sled kotaljenja tocke na kroZnici po premici, je bila znana Ze Mersennu, morda tudi nekaterim pred njim. Določitev lastnosti cikloide (dolZina loka, ploscina pod njo ...) je sproZila tekmovalnost in tudi spore glede prioritete med matematiki v sedemnajstem stoletju. Sele Christiaan Huygens je v drugi polovici sedemnajstega stoletja odkril, da je cikloida tavtohrona krivulja. Sam Huygens je Ze pred tem, leta 1656, iZdelal nacrt prve ure na nihalo, jo dal iZdelati in je patentiral svojo iZnajdbo. Urarji so to visoko tehnologijo sprejeli, Zaceli iZdelovati in tudi predelovati stare urne mehaniZme breZ nihal. Natancnost ur se je iZredno povecala, Za dva velikostna reda. Idejo Za tako uro je imel Ze Galileo, ampak sele Huygens in sodobniki, kot Robert Hooke, so prispevali kljucne in netrivialne tehnicne resitve, nujne Za delovanje, kmalu tudi z nihali na kroZno vZmet. Vidimo, kako neverjetno sta znanost in tehnologija napredovali v manj kot dveh desetletjih. Duha-morno stetje italijanskih jezuitov je postalo anahronizem - nadomestili so ga Zobniski mehaniZmi. Johann Bernoulli je leta 1696 ugotovil, da je resitev problema brahisto-hrone prav tako cikloida. Vendar svoje resitve ni objavil takoj, ampak je problem zastavil v reviji Acta eruditorum. Pet matematikov je poslalo resitve: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus in Guillaume de l'Hopital. Newton naj bi, po porocilu biografa, revijo dobil ob stirih popoldne, re seval problem vso noc in naslednji dan poslal re sitev. Objave teh najbolj s ih evropskih znanstvenikov (revija je izpustila prispevek de l'Hopitala, ucenca Johanna Bernoullija) so bile zacetek variacijskega racuna. Predstavil sem le nekaj stvari iz zacetnega dela te knjige in nekaj malega tudi dodal. Ekelundovo potovanje sega do sedanjosti in ga resnicno ne morem povzeti na kratko. Upam, da je napisano dovolj dobra vaba za bralca, ki bo v knjigi nasel se mnogo mnogo zanimivega. LITERATURA [1] Biographical Encyclopedia of Scientists, Third Edition, John Daintith (ed.), CRC Press, 2009, str. 640 (posnetek v Google Books). [2] Doubting, Testing, and Confirming Galileo: A translation of Giovanni Battista Ricci-oli's experiments regarding the motion of a falling body, as reported in his 1651 Alma-gestum Novum http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1204/1204.3267.pdf, ogled 17. 3. 2014. [3] E. Beloglavec in M. Lakner, Matematično nihalo, Obz. mat. fiz. 31 (1984), 4, 97-100. Peter Legisa VESTI DR. JERNEJ BARBIC MED LETOŠNJIMI SLOANOVIMI NAGRAJENCI Ameriška zasebna Fundacija Alfreda P. Sloana je 18. februarja 2014 razglasila letošnji izbor 126 najboljših mladih znanstvenikov iz ZDA in Kanade, ki delujejo na enem od osmih področij: matematiki, računalništvu, kemiji, računski in evolucionarni molekularni biologiji, nevroznanosti, oceanski znanosti ali fiziki. Med letosnjimi 16 prejemniki prestizne Sloanove raziskovalne nagrade (Sloan Research Fellowship) za področje racunalnistva je tudi slovenski raziskovalec dr. Jernej Barbic (roj. 1976), matematik in profesor za racunalnisko grafiko na University of Southern California, Los Angeles, ZDA. Nagrada, ki jo podeljujejo od leta 1955, prinasa tudi 50.000 USD raziskovalnega denarja, toda vecji kot njena financna vrednost je njen prestiz. Med preteklimi nagrajenci sta bila denimo tudi fizik R. Feynmann in matematik J. Nash ter se 40 kasnejsih prejemnikov Nobelove nagrade, zato ima Sloanova nagrada tudi vzdevek »Nobelova nagrada za mlade«. Dr. Barbic sicer ni prvi slovenski prejemnik - pred njim so nagrado prejeli ze dr. Igor Kukavica (matematika, 2000), dr. Uros Seljak (fizika, 2001), dr. Kristijan Haule (fizika, 2008) in dr. Jure Leskovec (racunalnistvo, 2012). Dr. Barbic izhaja iz okolice Tolmina, kjer je obiskoval tudi gimnazijo. Ze v srednji soli je nase opozoril z uvrstitvijo na mednarodno matematicno olimpijado v letih 1994 in 1995, bil je tudi med diamantnimi maturanti v prvi generaciji ob ponovno uvedeni maturi v Sloveniji leta 1995. Studij teo-reticne matematike na UL FMF je koncal s studentsko Presernovo nagrado, v Sloveniji zaceti doktorski studj pa je nadaljeval na podrocju racunalnistva na univerzi Carnegie Mellon v ZDA in se podoktorsko izpopolnjeval se na Dr. Barbic, Obzornik mat. fiz. 61 castni gost na prireditvi Bistroumi 2014 (2014)3 (foto J. Suntajs) Dr. Barbic s Člani letošnjih olimpijskih ekip DMFA Slovenije. (foto J. Suntajs) znamenitem Massachusetts Institute of Technology. V svetovnih medijih je dr. Barbic prvic zaslovel Ze leta 2011, ko ga je ameriska revija MIT Technology Review uvrstila med 35 najpomembnejsih svetovnih inovatorjev do 35 let ob boku ustanoviteljev Facebooka in Googla. Istega leta pa je prejel tudi nagrado ameriske agencije NSF Early Career Award, ki pomeni petletno financiranje v vrednosti 500.000 USD, ki ga zagotavlja ameriska vlada. Raziskovalno delo dr. Barbica je povezano z racunalnisko grafiko, animacijo, interaktivno fiziko, haptiko in zvokom. Njegove učinkovite algoritme za rese-vanje diferencialnih enacb matematicne fizike uporabljajo stevilna podjetja iz letalske in medicinske industrije, sodeloval pa je tudi s podjetjem Weta Digital pri snemanju filma The Hobbit: The Desolation of Smaug (2013). S svojimi studenti trenutno nadaljuje razvoj odprte C/C++ knjiznice za mehaniko proznih teles s pomocjo metode koncnih elementov (FEM defor-mable objects), ki jo je poimenoval po slovenskem matematiku Juriju Vegi, zanjo pa so pokazala veliko zanimanje podjetja iz racunalniske in filmske industrije. V zadnjih letih se je dr. Barbic iz tujine aktivno vkljuceval tudi v stevilne medijske razprave o izobrazevalnem sistemu in financiranju znanosti v Sloveniji, svoje bogate osebne izkusnje pa rad velikodusno deli z vsemi zainteresiranimi tudi v obliki esejev in blogov na lastni spletni strani. Konec maja je dr. Barbic obiskal Slovenijo in dvakrat tudi javno nastopil. Najprej je kot castni gost prireditve Bistroumi 2014 v Cankarjevem domu nagovoril najboljse mlade matematike, fizike in astronome, nagrajene na drzavnih tekmovanjih v znanju, ki jih prireja DMFA Slovenije, potem pa je sodeloval pri podelitvi nagrad in razglasitvi olimpijskih ekip, med podelitvijo in po njej pa se je tudi zivahno pogovarjal in fotografiral s stevilnimi ucenci in dijaki. Nekaj dni kasneje je obiskal se Pedagosko fakulteto v Ljubljani in v polni predavalnici bodocim uciteljem matematike in racunalnistva Dr. Jernej Barbie med letošnjimi Sloanovimi nagrajenci Dr. Barbič s študenti PeF, bodočimi profesorji matematike in računalništva. (foto B. Kuzman) Dr. Barbič je mladim poslušalcem predstavil tudi svoje raziskovalne dosežke. (foto J. Suntajs) najprej predstavil svojo karierno pot ter svoje vrhunske znanstvene dosežke na področju računalniske grafike, v drugem delu predavanja pa jim je podal stevilne informacije o studiju v ZDA, od načinov soočanja s problemi »akademske integritete« do lastnega pristopa k poučevanju in organizaciji predavanj. Ob koncu je na vprasanje, kaj vidi kot glavni izziv bodočih pedagogov, ki svoje karierne poti večinoma ne vidijo v vrhunskem znanstvenem delu, prijazno odgovoril, daje tudi njegova mati predmetna učiteljica in da je njihovo poslanstvo v tem, da s svojim delom izboljsajo zivljenje generacijam svojih učencev, tako najbolj nadarjenim kot tudi tistim s socialnega roba. Boštjan Kuzman OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, MAJ 2014 Letnik 61, številka 3 ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53 VSEBINA Članki Strani Kratek vpogled v zgodovino integracije (Marjan Jerman) ............................81-97 Vegoviprofesorji in njegova ocena pri matematiki(Stanislav JužniC) .. 98-103 Poldrugo stoletje elektromagnetnih valov (Janez Strnad) ............................104-112 Nove knjige Ivar Ekeland, The Best of All Possible Worlds, Mathematics and Destiny (Peter Legiša) ........................................................................................................113-118 Vesti Dr. Jernej BarbiC med letošnjimiSloanoviminagrajenci (Boštjan Kuzman) ................................................................................................119-XI CONTENTS Članki Strani A short insight into the history of integration (Marjan Jerman) ..................81-97 Vega's Professors and His Score in Mathematics (Stanislav Južnic) ... 98-103 A Century and a half of electromagnetic waves (Janez Strnad)........ 104-112 New books ....................................................................................................................113-118 News ................................................................................................................................119-XI Na naslovnici: MladiJames Clerk Maxwell in Maxwellove enačbe na spektru bele svetlobe (glej članek na strani104).