i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 52 — #1 i
i
i
i
i
i
POPOLNA PRIREJANJA PO PRAVILNIH POLIEDRIH
SIMON ČOPAR
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Ključne besede: popolno prirejanje, pravilni poliedri, teorija grafov, točkovne grupe
Popolno prirejanje oziroma 1-faktor grafa je razdelitev sosednjih vozlǐsč grafa v pare,
tako da vsako vozlǐsče uporabimo natanko enkrat, če taka razdelitev sploh obstaja. Ogle-
dali si bomo popolna prirejanja na pravilnih poliedrih ter raziskali število takih prirejanj
in njihove simetrije.
PERFECT MATCHING ON REGULAR POLYHEDRA
A perfect matching, or a 1-factor of a graph, is a partitioning of neighbouring graph
vertices into pairs, such that each vertex is only used once. We will look into perfect
matching of vertices on regular polyhedra and investigate the number of such matchings
and their symmetries.
Uvod
Za motivacijo si oglejmo dodekaedra s pobarvanimi robovi na sliki na na-
slovnici. Sta enaka, le drugače zasukana, ali sta mogoče različna? Na koliko
načinov lahko pobarvamo robove, da vsako oglǐsče pripada natanko enemu
pobarvanemu robu? Takšna vprašanja so si zastavljali kemiki pri raziskova-
nju zgradbe benzena [5], splošnih aromatskih spojin [7] in fulerenov. Oglji-
kovi atomi so 4-valentni, in če so vezani na tri druge atome, je le ena izmed
vezi lahko dvojna. Razporeditvam dvojnih vezi pravimo Kekulejeve1 struk-
ture [2, 1, 4].
Slika 1. Trije nabori povezav istega grafa. Povezave (a) ne predstavljajo prirejanja, saj
je rdeče vozlǐsče povezano dvakrat. Prirejanje (b) ni popolno, saj sivi vozlǐsči nista del
povezave. Povezave (c) so primer popolnega prirejanja.
1Friedrich August Kekulé (1829–1896), nemški kemik
52 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 53 — #2 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
V kontekstu teorije grafov take strukture ustrezajo popolnim prirejanjem
[6]. Prirejanje je vsaka razdelitev vozlǐsč grafa v povezane pare brez skupnih
vozlǐsč. Prirejanje je popolno, če nobeno vozlǐsče ne ostane nepovezano
(glej sliko 1). Na poliedru si iskanje popolnega prirejanja lahko nazorno
predstavljamo z izbiranjem povezav med oglǐsči. V posplošenem smislu
bomo iskali tudi popolna prirejanja grafa, ki sestoji iz robov poliedra ter
diagonal njegovih ploskev, kar bomo imenovali ploskovno popolno prirejanje.
Poliedri niso abstraktni grafi, ki bi vsebovali le informacijo o povezanosti
vozlǐsč, temveč so vpeti v tridimenzionalni prostor in nosijo različne rota-
cijske simetrije. S simetrijami se ukvarja teorija grup, ki nam daje orodja
za opis simetrijskih lastnosti.
Preštevanje in klasifikacija vseh popolnih prirejanj grafa je zahtevno
kombinatorično vprašanje. V nadaljevanju si bomo ogledali algoritem za
sistematično številčenje in popis različnih popolnih prirejanj na platonskih
telesih ter na prisekanem ikozaedru.
Algoritem za številčenje
Popolna prirejanja za izbrani polieder bomo iskali v dveh korakih. V prvem
koraku bomo poiskali vsa veljavna popolna prirejanja poliedru prirejenega
grafa, ne glede na simetrije. V drugem koraku bomo odstranili prirejanja,
ki so podvojena, le različno zasukana.
Za opis prirejanj oglǐsča označimo s števili od 1 do n. Robovi poliedra
so predstavljeni z neurejenimi pari števil, množica vseh robov pa določa
graf poliedra. V prirejanju vrstni red parov ni pomemben, prav tako ni
pomemben vrstni red oglǐsč v paru. Da prirejanj ne štejemo večkrat, jih
označimo tako, da sta oznaki v vsakem paru urejeni po velikosti, pari med
seboj pa po velikosti prve oznake v paru.
Za poln graf (graf, ki ima vsa vozlǐsča povezana med seboj) je torej prvo
vozlǐsče prvega para vedno 1, drugo izbiramo med preostalimi n− 1, tretje
je spet enolično določeno kot najmanǰse izmed preostalih, sledi izbira med
n− 3 ostalimi in tako naprej, kar nas privede do (n− 1)!! možnih prirejanj.
Z izjemo tetraedra poliedri niso polni grafi, zato ni vsaka na zgornji
način izbrana povezava del grafa. Prirejanja gradimo s postopnim doda-
janjem parov vozlǐsč obstoječim delnim prirejanjem, pri čemer za vsako
dodano povezavo sproti preverimo, ali je del grafa. Za grafe poliedrov, ki
imajo sorazmerno malo povezav, to močno zmanǰsa računsko zahtevnost v
primerjavi s preverjanjem vseh (n− 1)!! množic parov vozlǐsč. Še vedno pa
je delnih prirejanj, ki jih moramo preveriti v vmesnih korakih, več kot na
koncu dobljenih popolnih prirejanj. Pri nekaterih delnih prirejanjih, šele ko
poskusimo dodati zadnji par vozlǐsč, ugotovimo, da se ne izide. Maksimalno
število delnih prirejanj je zaradi porabe spomina in časovne zahtevnosti ozko
grlo algoritma.
52–61 53
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 54 — #3 i
i
i
i
i
i
Simon Čopar
Sledi minimalna koda v Pythonu, ki vrne seznam vseh popolnih prirejanj
za poljuben graf, podan z množico povezav v obliki parov vozlǐsč. Oznake
vozlǐsč za graf oktaedra, podan v kodi, so prikazane na sliki 2.
# vrača seznam prirejanj iz podanega prirejanja z dodanim parom
def dodaj_rob(prirejanje, n, robovi):
# poiščemo vozlišča, ki jih še nismo uporabili
ostali=[ i for i in range(1,n+1) if i not in prirejanje ]
# dodamo par na vse možne načine,
# ki so med dovoljenimi robovi
return [ prirejanje + [ostali[0],i]
for i in ostali[1:] if (ostali[0],i) in robovi ]
def poisci_prirejanja(n, robovi):
# začnemo s seznamom enega praznega prirejanja
prirejanja = [ [] ]
# dodajamo pare postopoma, potrebujemo n/2 parov
for _ in range(n//2):
# p teče po starih prirejanjih
# q teče po novih z dodanim enim parom
prirejanja = [ q for p in prirejanja
for q in dodaj_rob(p, n, robovi) ]
return prirejanja
# primer klica za oktaeder (oznake v sliki 2)
robovi={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,5),
(2,6),(3,4),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}
poisci_prirejanja(6,robovi)
Prirejanja, ki jih simetrijske operacije poliedra preslikajo drugo v dru-
gega, štejemo v isti ekvivalenčni razred. Simetrijske preslikave pravilnih
poliedrov sestavljajo točkovno grupo G0, popolna prirejanja pa imajo pra-
viloma nižjo simetrijo – eno izmed podgrup G ⊂ G0 simetrijske grupe pr-
votnega poliedra. Enoličnost oštevilčenja zagotovimo tako, da na vsakem
prirejanju uporabimo vse preslikave iz simetrijske grupe G0 prvotnega poli-
edra, ter izberemo oštevilčenje z leksikografsko najnižjo vrednostjo. Hkrati
zabeležimo vse preslikave, ki prirejanje preslikajo samo vase, s čimer do-
bimo simetrijsko grupo posameznega prirejanja G. Red podgrupe |G| nam
pove število nerazločljivih orientacij prirejanja, kvocient |G0|/|G| pa govori
o številu različnih orientacij vsakega prirejanja.
Pomembna je tudi kiralnost oziroma simetričnost na neprave rotacije.
Zrcaljenja ne moremo izvesti s fizično rotacijo v prostoru, zato prirejanja,
ki niso ekvivalentna svoji zrcalni sliki, nastopajo v zrcalnih parih. Simetrijo
tistih prirejanj, ki so ekvivalentna svoji zrcalni sliki, opisujejo grupe rotacij
54 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 55 — #4 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
z zrcaljenji, ki imajo dvakrat večji red kot pripadajoča grupa pravih rotacij.
Grupe z nepravimi rotacijami bomo označevali z G∗.
Ko oglǐsčem priredimo oznake, lahko simetrijske operacije, v tem pri-
meru prave rotacije in rotacije z zrcaljenjem, predstavimo z bijektivnimi
preslikavami med oznakami. Preslikava {1 7→ 3, 2 7→ 1, 3 7→ 2, 4 7→ 4}
na primer predstavlja rotacijo tetraedra za 120◦ okrog oglǐsča 4. Ročno
generiranje preslikav bi bilo dolgotrajno, predvsem za grupo simetrij ikoza-
edra, ki ima 60 elementov. Dovolj je, da določimo preslikavi za generatorja
grupe. Celotno grupo potem dobimo tako, da z generatorji delujemo na že
znane elemente grupe, vse dokler postopek ne privede do nobenega novega
elementa več.
Zaradi večje kompleksnosti implementacijo simetrijskega koraka prepu-
stimo bralcu.
Tetraeder, oktaeder in ikozaeder
Najenostavneǰsi polieder v treh dimenzijah je simpleks – tetraeder. V do-
govorjenem oštevilčenju obstajajo le tri različna popolna prirejanja,
(1, 2)(3, 4) (1, 3)(2, 4) (1, 4)(2, 3),
ki jih z rotacijami lahko preslikamo drug v drugega. Za tetraeder je enolično
oštevilčenje edinega stanja (1, 2)(3, 4), z diedrsko simetrijsko grupo D2d, ki
ima red 8 (4 brez zrcaljenj).
Za graf oktaedra, ki ima 6 vozlǐsč, dobimo 8 popolnih prirejanj. Rota-
cije iz simetrijske grupe oktaedra pokažejo, da imamo le dve različni stanji,
(1, 2)(3, 4)(5, 6) ter (1, 2)(3, 6)(4, 5) (za oznake oglǐsč glej sliko 2), ki sesta-
vljata zrcalni par. Stanji imata diedrsko simetrijo D3 reda 6.
Zadnji izmed trikotnǐskih platonskih poliedrov je ikozaeder, ki ima 12
oglǐsč. Opisani algoritem obǐsče maksimalno 273 delnih prirejanj, na koncu
pa dobimo 125 veljavnih popolnih prirejanj, kar je občutno manj od 11!! =
10395 »surovih« oštevilčenj, ki bi jih dobili s slepim pregledom vseh možnih
množic parov oglǐsč.
Simetrijska grupa ikozaedra vsebuje 60 rotacij. Po eliminaciji simetrij-
sko identičnih prirejanj na ikozaedru jih ostane 8: trije zrcalni pari in dve
prirejanji, ki sta sami po sebi zrcalno simetrični. V tabeli 1 so zbrana vsa
popolna prirejanja skupaj s podatki o simetriji.
Nobeno izmed popolnih prirejanj ne ohrani polne ikozaedrične simetrije.
Najbolj simetrično stanje, prvo v tabeli 1, ima simetrijo tetraedra in spomni
na konstrukcijo ikozaedra iz treh medsebojno pravokotnih zlatih pravoko-
tnikov.
Če moč grupe poliedra, v tem primeru je to grupa ikozaedra, delimo z
močjo njene podgrupe, ki opisuje simetrijo posameznega prirejanja, dobimo
52–61 55
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 56 — #5 i
i
i
i
i
i
Simon Čopar
N
e
k
ir
a
l
n
a
p
r
ir
e
ja
n
ja
K
ir
a
l
n
a
p
r
ir
e
ja
n
ja
1 2
34
5
6
7
8
9
10 11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 2
34
5
6
7
8
9
1 0 11
12
1
2
3
4
5
6 7
8
9 1
0
1112
1 2
34
5
6
7
8
9
1 0 11
12
1 2
34
5
6
7
8
9
10 11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1 2
34
5
6
7
8
9
10 11
12
G
(G
∗ )
T
(T
h
)
D
3
(D
3
d
)
D
3
D
2
C
2
|G
|
1
2
6
6
4
2
T
a
b
e
la
1
.
P
o
p
o
ln
a
p
ri
re
ja
n
ja
n
a
ik
o
za
ed
ru
,
ra
zv
rš
če
n
a
p
o
p
a
d
a
jo
či
si
m
et
ri
ji
.
D
v
e
st
a
n
ji
im
a
ta
zr
ca
ln
o
si
m
et
ri
jo
,
p
re
o
st
a
la
p
a
so
k
ir
a
ln
a
in
n
a
st
o
p
a
jo
v
zr
ca
ln
ih
p
a
ri
h
.
S
ta
n
ja
so
o
ri
en
ti
ra
n
a
ta
k
o
,
d
a
n
a
zo
rn
o
p
ri
ka
zu
je
jo
si
m
et
ri
jo
.
N
av
ed
en
e
so
g
ru
p
e
p
ra
v
ih
ro
ta
ci
j
G
,
z
g
ru
p
o
p
o
sp
lo
še
n
ih
ro
ta
ci
j
G
∗
n
av
ed
en
o
v
o
k
le
p
a
ju
v
p
ri
m
er
ih
n
ek
ir
a
ln
ih
p
ri
re
ja
n
j.
M
o
či
g
ru
p
|G
|n
a
m
p
ov
ed
o
št
ev
il
o
o
ri
en
ta
ci
j,
v
ka
te
ri
h
p
ri
re
ja
n
ja
iz
g
le
d
a
jo
en
a
k
o
.
M
o
č
g
ru
p
e
ik
o
za
ed
ra
(6
0
),
d
el
je
n
a
z
m
o
čj
o
p
o
d
g
ru
p
e
p
ra
v
ih
ro
ta
ci
j
|G
|,
n
a
m
p
ov
e
št
ev
il
o
ra
zl
ič
n
ih
o
ri
en
ta
ci
j
is
te
g
a
p
ri
re
ja
n
ja
.
56 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 57 — #6 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
Slika 2. Edini različni popolni prirejanji na oktaedru. Prirejanji sta zrcalni, v prikazani
projekciji ravnino zrcaljenja napenjajo vozlǐsča (1, 2, 6, 4).
število različnih orientacij tega prirejanja. Vseh 125 veljavnih prirejanj
je torej razdeljeno na različno orientirane različice 8 različnih prirejanj iz
tabele 1 na način 125 = 60/12 + 60/6 + 2× 60/6 + 2× 60/4 + 2× 60/2.
Kocka, dodekaeder in nogometna žoga
Osnovne ploskve tetraedra, oktaedra in ikozaedra so trikotniki, zato lahko
njihova oglǐsča povežemo le z robovi samega poliedra ali pa skozi njegovo
notranjost, ki nas zaradi težke predstavljivosti in računske zahtevnosti ne
zanimajo. Za poliedre z drugačnimi osnovnimi ploskvami pa imamo na voljo
tudi diagonale ploskev. Graf povezav v tem primeru ni planaren, ampak
vsebuje vozlǐsča vǐsje stopnje.
Zastavimo posplošen problem, pri katerem dovolimo robove ter plo-
skovne diagonale poliedra pod pogojem, da se povezave ne sekajo. Te rešitve
bomo imenovali ploskovna popolna prirejanja in zahtevajo dodaten računski
korak, ki odstrani prirejanja, pri katerih se povezave na površini poliedra
sekajo.
S tem pogojem kljub neplanarnosti grafa ohranimo planarnost prirejanj,
kar pomeni, da jih lahko vložimo na površino poliedra. Ploskovna popolna
prirejanja torej lahko ǐsčemo s flomastrom in papirnatimi poliedri.
Za kocko najdemo 45 veljavnih ploskovnih popolnih prirejanj, od tega
7 različnih (tabela 2), ko upoštevamo učinek vseh 24 simetrij kocke. Tri
prirejanja so nekiralna, dve pa nastopata v kiralnih parih. Prvi dve prirejanji
v tabeli 2 vsebujeta le povezave vzdolž robov kocke in sta torej tudi popolni
52–61 57
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 58 — #7 i
i
i
i
i
i
Simon Čopar
N
e
k
ir
a
l
n
a
p
r
ir
e
ja
n
ja
K
ir
a
l
n
a
p
r
ir
e
ja
n
ja
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8 1
2
3
4
5
6
7
8
1 2
3 4
5 6
7 8
1 2
3 4
5 6
7 8
G
(G
∗ )
D
4
(D
4
h
)
D
2
(D
2
d
)
D
2
(D
2
h
)
D
4
C
2
|G
|
8
4
4
8
2
T
a
b
e
la
2
.
P
lo
sk
ov
n
a
p
o
p
o
ln
a
p
ri
re
ja
n
ja
n
a
k
o
ck
i.
P
rv
i
d
v
e
v
se
b
u
je
ta
le
ro
b
ov
e
k
o
ck
e,
p
re
o
st
a
la
p
a
tu
d
i
d
ia
g
o
n
a
le
.
Z
a
n
ek
ir
a
ln
a
p
ri
re
ja
n
ja
st
a
n
av
ed
en
i
g
ru
p
a
p
ra
v
ih
ro
ta
ci
j
G
in
v
o
k
le
p
a
ju
g
ru
p
a
ro
ta
ci
j
z
zr
ca
lj
en
ji
.
58 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 59 — #8 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
prirejanji grafa kocke brez diagonal. Nobeno izmed prirejanj ne ohrani polne
simetrije kocke, prav tako pa nobeno ne izgubi vseh simetrij – najnižjo
simetrijo ima zadnje stanje v tabeli, ki ima zgolj eno dvoštevno os rotacije.
Rešitve za kocko so med drugim relevantne tudi kot načini povezovanja
defektov v tekočekristalnih koloidih [3].
Ploskovna prirejanja dodekaedra predstavljajo občutno večji računski
izziv. Skupaj s ploskovnimi diagonalami graf vsebuje 20 vozlǐsč, poveza-
nih s 90 povezavami. Maksimalno število delnih prirejanj med izvajanjem
algoritma je 406817, ki nato vrne 139083 dovoljenih popolnih prirejanj.
Končno število različnih popolnih prirejanj je bilo do sedaj razmeroma
majhno. Pri dodekaedru, ki si deli simetrijsko grupo z ikozaedrom, pa tudi
po upoštevanju simetrij ostane 2476 ploskovnih popolnih prirejanj, od tega
42 zrcalno simetričnih, preostala pa nastopajo v zrcalnih parih. Razvrstitev
prirejanj po simetriji je navedena v tabeli 3. Le tri izmed njih (slika 3)
vsebujejo samo robove dodekaedra in rešijo problem popolnih prirejanj za
graf dodekaedra.
S podrobno primerjavo ugotovimo, da sta dodekaedra na sliki na naslov-
nici dejansko različna. Čeprav smo dobili seznam vseh različnih prirejanj,
je naivna primerjava vzorčnega prirejanja s tem seznamom še vedno lahko
zamudna, saj v principu zahteva rotacijo strukture v vseh 60 orientacij in
primerjavo enakosti povezav v dani orientaciji. Da se temu izognemo, si
pomagamo z enostavno določljivimi invariantami. Invariante so količine,
neodvisne od orientacije – če imata dve konfiguraciji, v našem primeru dve
prirejanji, različni invarianti, sta zagotovo različni, s čimer si lahko zelo
zmanǰsamo število potrebnih primerjav. Za popolna prirejanja na dode-
kaedru je ena izmed invariant število ploskev, ki nimajo nobenega roba v
prirejanju. Levi dodekaeder na sliki na naslovnici ima dve taki ploskvi, desni
pa nobene, kar dokaže, da sta različna.
V primeru kocke (tabela 2) sta prikladni invarianti število diagonal ter
število različnih smeri povezav, ki zadostujeta za ločevanje vseh prirejanj,
z izjemo razločevanja pripadnikov zrcalnih parov, za kar bi potrebovali še
kiralno invarianto.
Za konec si oglejmo še rezultate za prisekani ikozaeder (tradicionalna
nogometna žoga). Ta primer je tudi relevanten za Kekulejeve strukture
buckminsterfulerena C60 [1]. Ta graf ima 60 vozlǐsč in 90 povezav, diagonal
pa ne bomo upoštevali, saj groba ocena pokaže, da bi bilo število možnosti
v tem primeru astronomskih razsežnosti. Algoritem vrne 12500 popolnih
prirejanj, ob upoštevanju simetrije 260 različnih, klasificiranih v 16 različnih
grup, kot kaže tabela 4. Med njimi je tudi eno popolno prirejanje s polno
ikozaedrično simetrijo, o katerem lahko bralec razmisli sam.
52–61 59
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 60 — #9 i
i
i
i
i
i
Simon Čopar
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1011
12
131415 16
1718
19 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1011
12
131415 16
1718
19 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1011
12
131415 16
1718
19 20
Slika 3. Edina tri popolna prirejanja na dodekaedru brez diagonal. Prvo ima maksimalno
simetrijo (5-̌stevna diedrska simetrija z zrcaljenji, D5d), preostali dve pa sta zrcalni par z
minimalno simetrijo C2.
Nekiralna prirejanja Kiralna prirejanja
|G| G∗ število |G| G število
10 D5d 1 10 D5 2× 2
5 S10 2 5 C5 1× 2
4 D2h 1 4 D2 6× 2
2 C2h 6 2 C2 136× 2
2 C2v 3
1 Cs 29 1 C1 1072× 2
Tabela 3. Ploskovna popolna prirejanja na dodekaedru lahko razvrstimo v 11 različnih
simetrijskih grup, od najbolj simetričnih s petštevno simetrijo v prvi vrstici, do povsem
nesimetričnih v spodnji. V levem stolpcu so prirejanja z zrcalno simetrijo, v desnem pa
tista, ki nastopajo v dveh zrcalnih različicah. Pri nekiralnih prirejanjih je v stolpcu G∗
navedena grupa z zrcaljenji vred, ker podaja več informacij o simetriji, v stolpcu |G| pa
so, podobno kot v preǰsnjih tabelah, štete le prave rotacije, saj rotacij z zrcaljenjem ne
moremo doseči s fizičnim obračanjem telesa.
60 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 2
i
i
“Copar” — 2020/9/1 — 12:28 — page 61 — #10 i
i
i
i
i
i
Popolna prirejanja po pravilnih poliedrih
Nekiralna prirejanja Kiralna prirejanja
|G| G∗ število |G| G število
60 Ih 1
12 Th 1 12 T 1× 2
10 D5d 2
6 D3d 3 6 D3 2× 2
5 C5v 1 4 D2 3× 2
3 C3v 3 3 C3 7× 2
3 S6 1
2 C2h 4 2 C2 19× 2
2 C2v 4
1 Cs 36 1 C1 70× 2
Tabela 4. Ploskovna popolna prirejanja na nogometni žogi zajamejo 16 različnih sime-
trijskih grup.
Sklep
Svet okoli nas je poln zanimivosti, ki lahko zaživijo svoja življenja kot pov-
sem samostojna matematična vprašanja. Naloga, ki se je v organski kemiji
in fiziki kompleksnih materialov porodila iz nuje, lahko služi kot lekcija iz
geometrije in teoretične obravnave simetrij. V tem prispevku smo si ogle-
dali popolna prirejanja na grafih najenostavneǰsih poliedrov, nihče pa nam
ne brani, da bi si ne izbrali grafov drugačnih simetrij in vprašanje popolnih
prirejanj reševali kot programerski izziv ali konjiček za preživljanje prostega
časa.
LITERATURA
[1] S. J. Austin, P. W. Fowler, P. Hansen, P. D. E. Monolopoulos in M. Zheng, Chemical
Physics Letters 228 (1994) 478–484.
[2] D. Babić in N. Trinajstić, Fullerene Science and Technology 2 (1994), 343–356.
[3] S. Čopar, N. A. Clark, M. Ravnik in S. Žumer, Soft Matter 9 (2013), 8203–8209.
[4] T. Došlić, J. Math. Chem. 41 (2007), 183–192.
[5] A. Kekulé, Über die Constitution des Benzols, Berichte Der Deutschen Chemischen
Gesellschaft 2 (1869), 362–365.
[6] L. Lovász in M. D. Plummer, Matching theory, North-Holland, 1986.
[7] M. Randić, Journal of Chemical Information and Modeling 44 (2004), 365–372.
52–61 61