KONFIGURACIJSKI PROSTORI IN TOPOLOSKA KOMPLEKSNOST ALEKSANDRA FRANC Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 55M30, 55R80 Na nekaj primerih pogledamo, kako določimo konfiguracijski prostor robotskega sistema. Spoznamo se pojem topoloske kompleksnosti in s pomočjo znanega Brouwerjevega rezultata o vektorskih poljih na sferah poisCemo eksplicitna pravila gibanja ter določimo topolosko kompleksnost sfer. CONFIGURATION SPACES AND TOPOLOGICAL COMPLEXITY We look at a few examples of configuration spaces and introduce the notion of topological complexity. Finally, we use the famous Hairy Ball Theorem of Brouwer to construct explicit motion planning rules and determine the topological complexity of spheres. Konfiguracijski prostori Poiskati Zelimo matematične modele, ki dobro opisujejo mehanske, robotske ali fizikalne sisteme. Tak sistem je lahko na primer robotska roka v tovarni avtomobilov, robotski sesalnik, ki se vozi po nasi dnevni sobi, vozički, s katerimi po tirih na tovarniskih tleh prevažamo komponente iz enega dela tovarne v drugega, molekula plina, ki potuje po prostoru, ali pa recimo vrtavka. Pri vsakem takem sistemu opazujemo konfiguracijski prostor, tj. prostor vseh moznih polozajev oziroma stanj sistema. Ce zelimo sistem premakniti iz enega stanja v drugo, potem moramo samo poiskati neko pot v konfiguračijskem prostoru, ki ti stanji povezuje, in ta pot, če obstaja, nam bo povedala, prek katerih stanj moramo izvesti premik. Z vprasanjem obstoja in zveznih izbir takih poti se bomo ukvarjali v razdelku o topoloski kompleksnosti, tukaj pa si na nekaj primerih oglejmo, kako lahko določimo konfiguračijski prostor danega sistema. Spodnji primeri so večinoma povzeti po [1, §3.5]. Primer 1. Denimo, da je nas sistem sestavljen iz ene same robotske roke, ki je vpeta v enem krajisču in se lahko prosto vrti v ravnini, kot nakazuje slika 1(a). Polozaj roke je natančno določen s kotom ki ga roka oklepa z vodoravničo. Kot ^ je lahko poljubno stevilo z intervala [0,2n], pri čemer krajisči 0 in 2n določata isti polozaj. Konfiguračijski prostor tega sistema je torej krozniča S1. Slika 1. Enostavna (a) in sestavljena (b) robotska roka. Položaj sistema je natančno določen ž označenimi koti ^ oziroma i = 1,... ,n, konfiguracijski prostor pa je krožniča S1 oziroma produkt S1 x ... x S1 n kopij krožnice, kjer je n stevilo ročič. Primer 2. Posplositev prejšnjega primera je robotska roka, sestavljena iž več žaporedno vežanih ročic, ki so vse prosto vrtljive v isti ravnini. Primer takega sistema je prikažan na sliki 1(b). Tokrat je stanje sistema povsem določeno, če požnamo se kote, ki jih vsaka naslednja ročiča oklepa s tisto pred njo. Vsak od kotov je spet neko stevilo ž intervala [0, 2n], pri čemer krajisči 0 in 2n določata isti položaj, poleg tega pa lahko kote ižberemo poljubno. Možni položaji sistema torej ustrežajo urejenim n-teričam ) in konfiguračijski prostor je produkt n kopij kro-žniče, S1 x ... x S1. Konfiguračijski prostor ža primer n = 2 je prikažan na sliki 4(b). Primer 3. Na sliki 2(č) je shema molekule ogljikovega monoksida, ki jo sestavljata atom ogljika (večji, temnejsi) in atom kisika (manjsi, svetlejsi). Zanimajo nas vsi možni položaji te molekule v R3. Njen položaj je natanko določen, če požnamo krajevni vektor težisča vt € R3 in vektor v, ki določa smer od težisča do sredisča ogljikovega atoma. Slednji določa neko smer v R3, njegova velikost pa je vedno enaka, žato leži na neki sferi S2 C R3. Konfiguračijski prostor tega sistema je torej R3 x S2. Primer 4. Konfiguračijski prostor molekule vode v ravnini je R2 x S1, saj je njen položaj natančno določen s krajevnim vektorjem sredisča atoma kisika rT € R2 in s kotom ^ € S1, ki ga ta vektor oklepa ž enim od obeh vodikovih atomov. Seveda moramo vnaprej določiti, katerega od obeh vodikovih atomov smo ižbrali. Na sliki 2(d) smo ga ižbrali tako, da drugi vodikov atom oklepa kot ^ + 104,45° ž vektorjem fT, merjeno od fT v smeri, ki je (c) (d) Slika 2. Molekuli ogljikovega monoksida (c) in vode (d) v prostoru R3 in v ravnini R2. nasprotna vrtenju urinih kazalcev. Ta konfiguracijski prostor si lažje predstavljamo, Ce upoštevamo, da je ravnina R2 homeomorfna odprtemu disku B2, in tako dobimo odprt torus i?2 x Skot vidimo na sliki 4(d). Pa recimo, daje molekula vode v R3. Položaj kisikovega atoma doloCimo s krajevnim vektorjem rT € R3. Položaj prvega vodikovega atoma je potem dolocen z nekim vektorjem smeri v € S2. Drugi vodikov atom je lahko kjerkoli na kroZnici, ki jo opise, ko molekulo zavrtimo okrog osi, ki poteka cez sredisci preostalih dveh atomov. Zato za dolocitev položaja molekule potrebujemo se drugi vektor smeri u € SKonfiguracijski prostor je torej R3 x S2 x S1. A B (f) Slika 3. Enostavna robotska roka s premikajocim se vrtiscem (e) in sistem dveh robotov na neskoncnem tiru (f ). Primer 5. Denimo, da vrtisce robotske roke iz primera 1 ni fiksno, ampak se lahko premika vzdolz neke daljice, tirnice dolzine d > 0. Shema sistema je na sliki 3(e). Položaj sistema je določen z razdaljo x € [0, d] od levega pritrdišča tirnice do vrtisca ter s kotom ^ € S1, ki ga rocica oklepa s tirnico. Konfiguracijski prostor je torej kolobar [0,d] x S1, produkt intervala in krožnice s slike 4(e). Primer 6. Nazadnje si oglejmo se primer dveh robotov, oznacimo ju z A in B, ki se premikata po neskoncni tirnici, kot vidimo na sliki 3(f). Robota lahko predstavimo s tockama na realni osi. Njuna polozaja sta torej dolocena s parom realnih stevil (xa, xB). Seveda robota ne smeta biti istocasno v isti tocki, zato je konfiguracijski prostor mnozica {(XA,XB) € R X R | XA = XB}, tj. ravnina brez simetrale y = x. Opazimo, da je v tem primeru konfigu-racijski prostor sestavljen iz dveh kosov. V vseh drugih primerih so bili konfiguracijski prostori povezani s potmi in smo lahko iz poljubnega stanja sistema presli v poljubno drugo stanje. V tem primeru pa ocitno ne moremo robotov samo s premikanjem po premici pripeljati iz stanja, ko se robot A nahaja levo od robota B, do stanja, ko je robot B levo od robota A. Konfiguracijski prostor smo narisali na sliki 4(f). Posplositev tega primera je konfiguracijski prostor n razlicnih tock v m-razseznem evklidskem prostoru, F(Rm, n) = {(xi,..., x„) € (Rm)n | xi = x^- za i = j}. Pred nekaj leti sta Farber in Grant [7] dokoncno izracunala topolosko kompleksnost F(Rm,n). To invarianto bomo spoznali v naslednjem razdelku. Topoloska kompleksnost Topoloska kompleksnost, ki jo je vpeljal Farber [3] leta 2001, meri, kako zapleteno je gibanje po konfiguracijskem prostoru nekega robotskega sistema. Tukaj bomo podali nekaj osnovnih dejstev, podrobnosti pa lahko bralec najde v Farberjevih clankih [3], [4], [6] ali pa v cetrtem poglavju knjige [5]. Ceprav vse trditve veljajo tudi v vecji splosnosti (na primer za CW komplekse), bomo tukaj predpostavili, da je konfiguracijski prostor mnogoterost, tj. prostor, v katerem ima vsaka tocka okolico, homeomorfno evklidskemu prostoru Rk ali pa polprostoru R+ za neki fiksen k € N. Naj bo topoloski prostor X konfiguracijski prostor nekega robotskega sistema. Gibanje robota lahko predstavimo s potjo med dvema tockama (zacetnim in koncnim polozajem robota). Predpostavimo, daje X povezan s potmi, tako daje res mogoce priti iz vsake tocke do vsake druge, in oznacimo z X1 prostor vseh poti v X. Naj bo n preslikava n: X1 ^ X X X, n(a) = (a(0), a(1)), 84 Obzornik mat. fiz. 60 (2013) 3 (d) (f) Slika 4. Konfiguračijski prostori: (b) torus S1 x S1 za robotsko roko z dvema ročičama, (d) polni torus brez robnega torusa B"2 x S1 za molekulo vode v R2, (e) kolobar I x S1 za ročičo na premičnem pritrdišču in (f) ravnina brez simetrale lihih kvadrantov za dva robota na premiči. ki vsaki poti a: I ^ X priredi njeno začetno in končno točko. Isčemo algoritem s: X x X ^ X1, ki bi za poljuben par točk (x,y) € X x X vrnil neko pot s(x, y): I ^ X, poleg tega pa zelimo, da bi bile te poti zvezno odvisne od x in y. Seveda bo veljalo tudi n o s = idXxX. Preslikavi s s takimi lastnostmi pravimo prerez. Hitro se lahko prepričamo, da prerez, ki je zvezen na vsem X x X, obstaja le tedaj, ko je prostor X kontraktibilen (tj. lahko ga skrčimo v točko Xo € X z zvezno preslikavo H: X x I ^ X, za katero je H(x, 0) = x in H(x, 1) = x0 za vse x € X) [3, izrek 1]. Namesto globalnega si torej raje oglejmo lokalne zvezne prereze. Vprasajmo se, najmanj koliko lokalnih prerezov potrebujemo, da lahko za poljuben par točk dobimo pot med njima. Tako naravno pridemo do naslednje definičije [3, definičija 2]: Definicija 1. Topološka kompleksnost TC(X) prostora X je najmanjse naravno stevilo n, za katero obstajajo pokritje (Ui, U2,..., Un} produkta X x X z odprtimi mnozičami in preslikave si: Ui ^ X1, za katere je n o si = id^^, i = 1,..., n. Ce tak n ne obstaja, pravimo, da je TC(X) = to. Formulačija je zelo podobna definičiji Lusternik-Sčhnirelmannove kategorije [2, definičija 1.1]: Definicija 2. Lusterni^-Schnirelma^nnova (LS) kategorija čat(X) prostora X je najmanjse naravno stevilo n, za katero obstaja pokritje (U1,..., Un} prostora X z odprtimi množicami, ki jih lahko znotraj X skrčimo v točko. CCe tak n ne obstaja, pravimo, da je cat(X) = to. Takoj opazimo, da je topolosko kompleksnost in LS kategorijo v splo-Snem težko določiti neposredno po definiciji. Poiskati moramo namreč pokritje z najmanjsim možnim stevilom množic z Zelenimi lastnostmi, potem pa moramo se dokazati, da je res optimalno. Pri tem so nam v pomoc ste-vilne zgornje in spodnje meje. Tukaj bomo nasteli nekaj najpreprostejsih. LS kategorija je omejena z dimenzijo [9, trditev 2.1]. Analogna dimenzijska neenakost velja tudi za topolosko kompleksnost, hkrati pa lahko topolosko kompleksnost omejimo z LS kategorijo navzgor in navzdol [3, izrek 4] in [3, izrek 5]: Trditev 1. Naj bo X s potmi povezana mnogoterost. Tedaj je: (a) cat(X) < dim(X) + 1, (b) TC(X) < 2 ■ dim(X) + 1 in (c) cat(X) < TC(X) < cat(X x X) < 2 ■ cat(X) - 1. Dimenzijski oceni za LS kategorijo in topolosko kompleksnost lahko se izboljsamo, ce je prostor X visoko povezan (pri n > 1 pravimo, daje prostor X n-povezan, ce je za vse i < n vsaka preslikava S^ ^ X homotopna kaki konstantni preslikavi, tj. ce lahko slike poljubnih sfer dimenzij n ali manj znotraj prostora X skrcimo v tocko). Rezultat za LS kategorijo je izpeljal James [9, trditev 5.1], za topolosko kompleksnost pa Farber [4, izrek 5.2]. Izrek 2. Naj bo X (p — 1)-povezan^a mn^ogoterost. Potem je (a) cat(X) < + 1 in (b) TC(X) < )+1 + 1. Primer 7. Poglejmo, kaj nam te zgornje meje povedo o sferah. Sfera Sn je n-dimenzionalen in (n — 1)-povezan prostor (Sm ne moremo homotopsko netrivialno preslikati v Sn pri m < n — 1, npr. kroznico na sferi lahko vedno skrcimo v tocko). Iz ocene 1(a) dobimo slabo zgornjo mejo cat(Sn) < n +1, iz ocene 2(a) pa boljso cat(Sn) < n + 1 = 2. n Izkaze se, da je cat(Sn) = 2. Po definiciji je namrec LS kategorija prostora enaka 1 natanko tedaj, ko je prostor kontraktibilen, sfere pa to niso (to lahko dokazemo s pomocjo Brouwerjevega izreka o fiksnih tockah preslikav na diskih). Kategoricna spodnja meja 1(c) nam pove, da je 2 < TC(Sn). Dimenzijska ocena za topolosko kompleksnost 1(b) pravi, da je TC(Sn) < 2n + 1, medtem ko dobimo s pomocjo LS kategorije boljso oceno 1(c): TC(Sn) < 2 ■ 2 — 1 = 3. Ce upostevamo se povezanost, dobimo TC(Sn) < ^^ + 1 = 2 + 1 + ^ = 3 +1. n n n Ker je TC(Sn) naravno stevilo, lahko spet sklepamo le, daje TC(Sn) < 3. IzkaZe pa se, da je ta meja ostra samo za sode n, medtem ko pri lihih n velja TC(Sn) = 2. To bomo pokazali v naslednjem razdelku. Sfere V tem razdelku bomo dolocili topolosko kompleksnost sfer Sn. Pomagali si bomo z znanim Brouwerjevim rezultatom o (ne)pocesanih sferah: Izrek 3. Na Sn obstaja povsod neničelno gladko tangentno vektorsko polje natanko tedaj, ko je n lih. Najprej razlozimo, od kod izreku ime. Sfero Sn predstavimo kot pod-mnozico tock {(X1, . . . , Xn+1) € Rn+1 | + ... + = 1} v Rn+1. Vektorsko polje na Sn je preslikava v: Sn ^ Rn+1, ki vsaki tocki sfere priredi neki vektor iz Rn+1. Lahko si torej predstavljamo, da iz vsake tocke na sferi Sn raste las, ki kaze v neko smer v Rn+1. Sfero zelimo pocesati, tj. radi bi dosegli, da je v vsaki tocki pripadajoci vektor tangenten na sfero (pravokoten na polmer). Zgornji izrek nam pove, da pri lihih n to vedno lahko storimo, pri sodih n pa nikoli. O prvem se lahko hitro prepricamo, saj ni tezko videti, da za sfero S2n-1 = {(X1,X2,...,X2„-1,X2„) € R2n | xl + ... + xln = 1} predpis (X1,X2, . . .,X2n-1,X2n) ^ (—X2,X1, . . . , —X2n,X2n-1) krajevnemu vektorju vsake tocke sfere priredi neki vektor, ki je nanj pravokoten (njun skalarni produkt je enak 0). Tezje je dokazati, da za sfere sodih dimenzij takega predpisa ni. Kroznico S1 torej lahko pocesemo, medtem ko bomo na zogi S2 vedno dobili kak vrtinec, singularno tocko, v kateri bo polje enako nic. Dva primera okolice singularne tocke sta prikazana na sliki 5. Vrnimo se k topoloski kompleksnosti. V primeru 7 smo ugotovili, da je 2 < TC(Sn) < 3. Za lihe n je TC(Sn) = 2, kar dokazemo tako, da V; \ \ 1 ^ ^ - ■ 1 i i A > > > V \ t - X v X V; \ S 4 / i f A > > V v i 4 1 X X. v > \ Ik k 4 4 4 4 X - T r A A V V Ik A i X v v V v v k i 4 4 4 jf ^ T r A > > v k A 4 4 >s > > v V k 4 4 ■4 * »v A A 1 T ^ > > v i 4 4 / 4 > > v V k 4 •<• ■r < v •V •V ■V T A v k 4 4 4 < -: v -V A T k 4 Y f ■r r- - — — ► - >- ^ 1 - > T -v v r- v < 4 T -V < v > > A A T A A, ■K. v ^ y 4 4 4 k V A T ■V -V ■V ^ jf^ > > A t T 1 •V \ V -k." 4 4 4 4 k V > > ^ T 1 A •V >' A' Ji A f r T 1 A \ A. X 4 4 4 k k V > > A T 1 ^ > f r T 1 \ \ ^ X X " j i k i V v > A r T i \ ^ / f i t i \ \ H X \ X . i T t V V A f i \ - / / / i i i ^ i \ \ \ \ t \ V: V A A i \ Slika 5. Dva primera obnašanja vektorskega polja v okolici singularne tocke. konstruiramo pokritje Sn x Sn ž dvema množičama, nad katerima obstajata žvežna prereža. Naj bo U1 = {(x,y) € Sn x Sn | x = -y}, U2 = {(x,y) € Sn x Sn | x = y}. Iž prve množiče smo torej ižvželi pare antipodnih točk, iž druge pa tiste pare, kjer sta obe koordinati enaki. Prerež s1: U1 ^ (S")1 naj vsakemu paru točk (x,y) € U1 priredi pot s1(x,y), ki teče od x do y po krajsem loku vždolž glavne krožniče, določene ž x in y. Ker točki x in y nista antipodni, je prerež s1 dobro definiran in poljubnemu paru točk (x,y) € U1 priredi najkrajso možno pot po sferi od x do y. zdaj pa uporabimo dejstvo, da imamo pri lihih n na Sn neko povsod ne-ničelno tangentno vektorsko polje v. To polje v vsaki točki sfere Sn natanko določa neko glavno krožničo in se neko odlikovano smer na tej krožniči. Prerež s2: U2 ^ (Sn)1 naj vsakemu paru točk (x,y) € U2 priredi pot s2(x,y), ki gre najprej od x do antipodne točke -x vždolž glavne krožniče v smeri, določeni ž v(x), nato pa teče od —x do y po najkrajsi možni poti. Tudi prerež s2 je dobro definiran, ker polje v ni nikjer enako nič in ker točki —x in y nista antipodni. Na sliki 6 sta ža primer n = 1 prikažana po dva primera ža vsak prerež. Na sferah sodih dimenžij pa ne obstajajo povsod neničelna tangentna vektorska polja, žato žgornja ideja odpove. Z nekaj ižnajdljivosti lahko najdemo pokritje s tremi množičami. Za sode n obstaja na Sn tangentno vektorsko polje, ki je neničelno povsod ražen v eni točki xo € Sn. Množičo U1 in prerež s1 definiramo enako kot pri lihih n. Množičo U2 nekoliko Slika 6. Na sliki (a) sta prikazani poti si(x,y) za dve razlicni (genericni) izbiri x in y. Na sliki (b) sta prikazani poti s2 (x, y) pri istih dveh izbirah za x in y. (5e je x = y, je s1(x, x) = cx konstantna pot, s2(x,x) pa ni definirana. C3e je y = —x, opise s2(x, —x) lok med x in —x v pozitivni smeri (doloceni z vektorskim poljem v), s1(x, —x) pa ni definirana. popravimo: U2 = {(x,y) € Sn x Sn | x = y,x = xo}. Na tem U2 lahko definiramo s2 kot zgoraj, saj je v(x) za x € U2 nenicelno. Skupaj mnozici Ui in U2 pokrijeta ves Sn x Sn razen tocke (x0, —x0). Izberimo poljubno kontraktibilno okolico U3 tocke (x0, —x0). Nad U3 tedaj obstaja zvezen prerez s3. S konstrukcijo pokritja smo torej dobili se eno potrditev, daje TC(Sn) < 3. Potrebujemo se spodnjo mejo, ki bi pokazala, da za sode n velja TC(Sn) > 2. Dobimo jo iz kohomoloske ocene. Farber [3, izrek 7] je pokazal naslednji izrek: Izrek 4. Naj bo k obseg. Tedaj je TC(X) > zclfc(X) + 1. Tukaj je zclfc(X) dolzina najdaljsega netrivialnega produkta dolocenih kohomoloskih razredov. V primeru sodih sfer S2k lahko najdemo kohomoloske razrede afc, za katere je a^ = 0, od koder potem sklepamo, da je zclQ(S2k) > 2 in zato TC(S2k) > 3. Za lihe sfere taki razredi ne obstajajo. Dokazali smo: Izrek 5. Za n-dimen^zionaln^o sfero Sn velja: TC(Sn) = 2; n lih, 3; n sod. Kaj pa topoloske kompleksnosti konfiguracijskih prostorov iz prvega razdelka? Pomagali si bomo z dejstvom, da je topoloska kompleksnost homo-topska invarianta. To pomeni, da se ne spremeni, ce prostor zamenjamo s kakšnim drugim homotopsko ekvivalentnim prostorom. Tako bi lahko na primer skrčili v točko poljuben kontraktibilen podprostor, pa to ne bi vplivalo na topolosko kompleksnost. Lahko bi tudi na prostor v poljubni točki vzdolž enega od krajisč prilepili interval (rečemo, da smo dodali brk), ali pa čelo skrčili čel kontraktibilen faktor v produktu prostorov v točko. To so zgolj najpreprostejsi in geometrično nazorni primeri konstrukčij, ki ne spremenijo homotopskega tipa prostora, a za nase potrebe bodo zadosčali. Nekaj primerov je ilustriranih na sliki 7. Slika 7. V kvadratu I x I stisnemo v točko daljičo {2} x I, sferi S2 dodamo dva brka, v kolobarju S1 x I skrčimo kontraktibilni faktor I v točko. V vseh treh primerih tako dobimo prostor, ki je homotopsko ekvivalenten prvotnemu. (a) Enostavna robotska roka: Konfiguračijski prostor je krozniča in vemo, daje TC(S1) =2. (b) Sestavljena robotska roka: Topolosko kompleksnost produkta n kro-znič je izpeljal Farber [3, izrek 12]: TC(S1 x ... x S1) = n + 1. (č) Molekula CO v prostoru: Prostor R3 x S2 je homotopsko ekvivalenten sferi S2 (faktor R3 je kontraktibilen in ga lahko skrčimo v točko), zato je TC(R3 x S2) = TC(S2) = 3. (d) Molekula H2O v ravnini: Prostor R2 xS1 je homotopsko ekvivalenten krozniči S1, zato je TC( x S1) =TC(S1) = 2. 2 (e) Enostavna robotska roka s premikajočim se vrtiscem: Prostor I x S1 je prav tako homotopsko ekvivalenten kroznici Szato je TC(/ x S 1) = TC(S 1) = 2. (f) Roboti v evklidskem prostoru: Pri konfiguracijskih prostorih n robotov v Rm so zanimivi le primeri, ko je n > 2 in m > 2. Pri n = 1 je namrec \ 1) = Rm in TC(F(Rm, 1)) = 1, pri m = 1 pa dobimo prostore n) = {(xi,..., Xn) e Rn | Xi = Xj za i = j}, ki niso povezani s potmi. Hiperravnine Xi = Xj jih namrec razdelijo na n! kontraktibilnih kosov, vsak ustreza nekemu vrstnemu redu n tock na premici, tj. neki permutaciji n elementov. Pri m, n > 2 velja TC(F(Rm,n)) = I 2n — m sihd ^ ^ ^^ 1 2n — 2; m sod. LITERATURA [1] C. Adams in R. Franzosa, Introduction to Topology: Pure and Applied, Pearson, 2008. [2] O. Cornea, G. Lupton, J. Oprea in D. Tanre, Luaternik-Schnirelmann Category, Mathematical Surveys and Monographs 103, AMS, 2003. [3] M. Farber, Topological Complexity of Motion Planning, Discrete Comput. Geom. 29 (2003), 211-221. [4] M. Farber, Instabilities of Robot Motion, Topology and its Applications 140 (2004), 245-266. [5] M. Farber, Invitation to Topological Robotics, EMS Publishing House, Zurich, 2008. [6] M. Farber, Topology of robot motion planning, Morse Theoretic Methods in Nonlinear Analysis and in Symplectic Topology, Paul Biran, Octav Cornea, Francois Lalonde editors, Springer, 2006, 185-230. [7] M. Farber in M. Grant Topological complexity of configuration spaces, Proceedings of the AMS 137 (2009), 1841-1847. [8] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, dostopno na http://www.math.cornell.edu/ hatcher/AT/ATpage.html [9] I. M. James, On category in the sense of Lusternik-Schnirelmann, Topology 17 (1978), 331-348.