9 770351 665821
2
M
A
T
E
M
A
T
IK
A
+F
IZ
IK
A
+A
S
T
R
O
N
O
M
IJ
A
+R
A
ČU
N
A
LN
IŠ
T
V
O
#
ISSN 0351-6652
9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 8 2 1
PR E S E K L E T N I K 4 8 ( 2 0 2 0 / 2 0 2 1 ) Š T E V I L K A 2
 
 
̌ 

 
   
             P     
              
Presek
list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
letnik 48, šolsko leto 2020/2021, številka 2
Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni
pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan
Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika),
Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun
Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar
(fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko
Razpet, Jure Slak (računalništvo), Matjaž Vencelj, Matjaž
Zaveršnik (tehnični urednik).
Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska
ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 633,
telefaks (01) 4232 460, 2517 281.
Internet: www.presek.si
Elektronska pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si
Naročnina za šolsko leto 2020/2021 je za posamezne
naročnike 22,40 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za
skupinska naročila učencev šol 19,60 eur, posamezna številka
6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa
znaša 30 eur.
Transakcijski račun: 03100–1000018787.
List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost
Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova
razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih
periodičnih publikacij.
Založilo DMFA–založništvo
Oblikovanje Tadeja Šekoranja
Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana
Naklada 1100 izvodov
© 2020 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
– 2119
ISSN 2630-4317 (Online)
ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.)
Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov
brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana.
Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike,
fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri-
kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in
srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj
bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš-
jih razredov osnovnih šol in srednješolcem.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež
institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte-
vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma
razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo
biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri
ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno
pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz
drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyri-
ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami
pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni-
štva DMFA–založništvo, Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali
na naslov elektronske pošte info@dmfa-zaloznistvo.si.
Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-
cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek
sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po-
tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo
praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov
TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob-
javo v elektronski obliki na internetu.







̌










b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
b b b b b
    ̌        
P 48 (2020/2021) 22
Vpogled v
črno škatlo
Pogosto se v pogovo-
rih o matematiki pojavi
beseda algoritem, to je
postopek, ki v nekaj za-
porednih korakih reši
zadano nalogo. Dobro
znana primera sta mno-
ženje in deljenje s po-
močjo svinčnika in pa-
pirja. Algoritmi so lah-
ko zelo koristni, a mo-
ramo dobro poznati nji-
hovo delovanje, če želi-
mo, da dajo pravičen re-
zultat. Zadnja leta se
namreč ustvari in širi zelo veliko podatkov, ki jih
uporabljajo na občutljivih področjih, kot so najemi,
posojila in zdravstvo. Ljudje občutimo končne od-
ločitve algoritmov, ne vemo pa, s pomočjo katerih
podatkov in na kakšen način so algoritmi do teh od-
ločitev prišli. Lahko si predstavljamo, da so bile od-
ločitve sklenjene glede na vsebino zaprte črne škatle.
Matematiki in mnogi drugi zahtevajo večjo odprtost
in odgovornost, ki bi omogočila analizo algoritmov
in prepoznala različne oblike pristranskosti (glede
na raso, spol, starost in etnično pripadnost).
Raziskovalci imajo več predlogov, kako zagotoviti
pravičnost. Eden od predlogov zahteva od razvijal-
cev algoritmov, da v naprej dokažejo, da algoritmi
niso pristranski, ne pa da se od uporabnikov pri-
čakuje, da sami odkrijejo nepravičnosti. Spet drugi
predlog uporablja tehnike iz sociologije, recimo,
zahteva odgovore na vprašanja oblike Bi isto osebo
zaposlili, tudi če bi bila druge rase? Ne glede na me-
todo in sprejeta pravila so cilj raziskovalcev transpa-
rentni algoritmi, pri katerih razlaga odločitve na bo
temeljila na stavku Ker se je tako odločila umetna
inteligenca.
Več o tej temi si lahko preberete v knjigi Cathy
O’Neil iz leta 2016 z naslovom Weapons of Math De-
struction: How Big Data Increases Inequality and
Threatens Democracy. ×××
S  : Svetlobni senzorji digitalnih fotoaparatov so občutljivi tudi v bližnji ultravijolǐcni in infrardeči svetlobi, zato
imajo pred senzorjem vgrajen filter, ki prepušča predvsem vidno svetlobo. Z odstranitvijo tega filtra, ki ni enostaven poseg, pa lahko
s fotoaparatom zajemamo slike v širšem spektru. Z razlǐcnimi filtri na objektivu lahko fotografiramo le na želenem spektralnem
območju. Fotografija na naslovnici je bila posneta s filtrom, ki prepušča le infrardečo svetlobo z valovno dolžino nad 950 nanometri.
Pokrajina ni prekrita s snegom, le odbojnost zelenih rastlin je v infrardečem območju velika, zato je vse s soncem osvetljeno rastje
videti belo. Foto: Andrej Guštin
̌ 
2 Vpogled v črno škatlo

4–7 Gotska okna
(Peter Legiša)
8–11 Littlov zakon
(Gašper in Mateja Mrmolja)

12–15 Lebdeča vrtavka
(Andrej Likar)
18–20 Lebdeči magnet
(Andrej Likar)

21–24 Solarografija
(Krištof Skok)
̌̌
25–30 Eksponentne vragolije
(Simon Čopar)

16–17 Nagradna križanka
(Marko Bokalič)
24 Rešitev nagradne križanke Presek 48/1
(Marko Bokalič)
30–31 Naravoslovna fotografija – Naravna
uklonska mrežica
(Aleš Mohorič)

priloga Izbirno tekmovanje za evropsko spletno
olimpijado
priloga Šolsko tekmovanje v znanju poslovne in
finančne matematike ter statistike za
srednje šole
    
P 48 (2020/2021) 2 3
Kazalo
     
P 48 (2020/2021) 24
Gotska okna
P L̌
Pred leti je avtor tega članka v Obzorniku za
matematiko in fiziko objavil kratko poročilo o za-
nimivi knjigi z naslovom Geometry Civilized [1].
Knjigo je napisal ameriški zgodovinar znanosti z
dobrim znanjem klasične geometrije, zbiratelj ele-
mentarnih geometrijskih problemov. V knjigi ima-
mo ogromno zapisov in ilustracij o uporabi geome-
trije v različnih civilizacijah in tudi kar nekaj ma-
tematike. Avtor poleg množice druge snovi obrav-
nava načrte gotskih oken – idealizirano, kot bi bila
sestavljena iz daljic in krožnih lokov.
-1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
0
A B
C
SLIKA 1.
Enakostranǐcni gotski lok
Eden osnovnih elementov takih oken je na sliki 1.
Imamo daljico AB. Narišemo krožni lok s središčem
v točki A skozi B in krožni lok s središčem v točki
B skozi A. Oba loka se sekata v C . Trikotnik ABC
je enakostraničen, zato knjiga sestav lokov AC in
BC imenuje enakostranični gotski lok. Daljica AB je
osnovnica tega loka. Take loke imamo na portalu v
Pleterjah (slika 2) iz leta 1420. Portal je preživel po-
žig samostana v turškem vpadu leta 1471.
SLIKA 2.
Stara gotska cerkev v Pleterjah
Ta osnovni element lahko zapolnimo s krožnica-
mi, z dodatnimi manjšimi gotskimi loki, ki se doti-
kajo. Dobimo lahko lepe vzorce in priložnost za ra-
zne geometrijske naloge. Te so sestavili in tako ali
drugače rešili srednjeveški mojstrski gradbeniki, ki
     
P 48 (2020/2021) 2 5
so zlasti v zgodnjem obdobju združevali znanje ge-
ometrije, arhitekture, gradbeništva in kamnoseštva.
Njihova imena so se praktično vsa izgubila. Ostali so
le kamnoseški znaki na elementih katedral – neka-
kšni podpisi mojstrov. Katedrale so gradile skupine
obrtnikov, ki so se večkrat selile z enega gradbišča
na drugo, ko je zmanjkalo denarja ali pa je bilo po-
trebno počakati, da se apnena malta dovolj strdi, da
so lahko nadaljevali v višino. Brez velike podpore
(in večkrat tudi prostovoljnega dela) prebivalstva pa
take množice čudovitih stavb v (menda mračnem)
srednjem veku ne bi bilo mogoče uresničiti.
Spomnimo se nekaj dejstev iz geometrije. Dve
krožnici s središčema A in B se dotikata v točki T , če
imata v T skupno tangento t. Na slikah 3 in 4 imamo
dva načina dotikanja. Točka T je potem edina sku-
pna točka obeh krožnic. Ker sta daljici AT in BT obe
pravokotni na t, sta kolinearni:
Središči dotikajočih se krožnic in njuno dotikali-
šče ležijo na isti premici.
t
R
1
R
2
A BT
SLIKA 3.
Razdalja med središčema A in B dotikajočih se krožnic je enaka
vsoti polmerov.
Za nas je posebej pomembno naslednje dejstvo:
Razdalja med središčema dotikajočih se krožnic
je enaka: a) vsoti polmerov, če se krožnici dotikata
od zunaj in b) razliki polmerov, če se dotikata od
znotraj.
Včrtajmo enakostraničnemu gotskemu loku z do-
dano osnovnico AB dolžine 2 krožnico s središčem
S kot na sliki 5. Kolikšen je njen polmer r? Ker
se ta krožnica in krožni lok od B do C (ki ima pol-
mer 2) dotikata, je razdalja središč enaka razliki pol-
t
A B T
SLIKA 4.
Razdalja med središčema A in B dotikajočih se krožnic je enaka
razliki polmerov.
SLIKA 5.
merov, torej d(A, S) = 2 − r . Enako vidimo, da je
d(B, S) = 2 − r . To pomeni, da S leži na simetrali
daljice AB. (To je jasno tudi iz simetrijskih razlo-
gov.) Naj bo O središče daljice AB. Trikotnik AOS je
pravokoten, zato je po Pitagorovem izreku
1+ r 2 = (2− r)2 = 4− 4r + r 2.
Od tod je 4r = 3 in r = 3/4.
     
P 48 (2020/2021) 26
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
A B
C
D E
O
S
F
SLIKA 6.
Oglejmo si zdaj malo bolj zapleten primer na sliki
6. Spet je d(A,B) = 2. Tu imamo tri enakostra-
nične gotske loke in krožnico K s polmerom x in
središčem S. Ker se K in lok BC s središčem A do-
tikata od znotraj, je d(A, S) = 2 − x. Ker se K in
lok OD dotikata od zunaj, je d(A, S) = 1 + x. Iz
2− x = 1+ x dobimo x = 1/2 in d(A, S) = 3/2. Naj
bo d(O, S) = y . Iz pravokotnega trikotnika AOS do-
bimo 1 + y2 = 9/4 in od tod y =
√
5/2. Ta vzorec
najdemo v Franciji: v ostankih samostana Saint Jean
des Vignes v kraju Soissons in z mnogo dodatnega
okrasja v palači Palais Synodal v burgundskem me-
stu Sens. Tudi slovensko gotsko okno na sliki 7 ima
v osnovi ta vzorec.
Še bolj zapleten je primer okna na sliki 8. Tu
imamo v enakostraničnem gotskem loku z osnov-
nico AB dolžine 2 spodaj štiri podobne manjše loke
z osnovnico 1/2. Naša prva naloga je določiti polmer
a krožnice, ki se dotika dveh malih gotskih lokov na
desni in loka BC .
Vemo: d(A, S) = 2−a, d(B, S) = d(O, S) = 12+a.
Točka S torej leži na simetrali daljice OB. Označimo
z E razpolovišče daljice OB. Označimo d(E, S) = z.
SLIKA 7.
Gotsko okno
Iz pravokotnega trikotnika OES ugotovimo:
z2 = (d(O, S))2 −
1
4
=
(
1
2
+ a
)2
−
1
4
= a2 + a.
Iz pravokotnega trikotnika AES pa sledi
z2 = (2− a)2 −
9
4
= a2 − 4a+
7
4
.
Če oba izraza izenačimo, dobimo 5a = 7/4 in od tod
a = 7/20 = 0,35.
Izračunamo lahko še
d(E, S) = z =
3
20
√
21.
     
P 48 (2020/2021) 2 7
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
A B
C
OD E
F G H I
S
J
SLIKA 8.
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
A B
C
OD E
F G H I
S
J
T
L
M
SLIKA 9.
Prezrcalimo zdaj to krožnico čez simetralo OC
okna. Naša nadaljnja naloga je konstruirati krožnico
K s polmerom x in s središčem T , ki se dotika obeh
ravno dobljenih krožnic in lokov AC ter BC .
S slike 9 je jasno, da bo točka T na OC . Označimo
d(O,T) = y . Točka L je pravokotna projekcija točke
S na daljico OC . V pravokotnem trikotnika SLT je
d(S, T) = a+ x = x + 7/20 in d(L, T) = y − z.
Pitagorov izrek da
(
x +
7
20
)2
=
1
4
+
(
y −
3
20
√
21
)2
.
Iz pravokotnega trikotnika OBT pa dobimo 1+y2 =
(2− x)2 ali
y =
√
x2 − 4x + 3.
Če to nesemo v prvo enačbo, dobimo
(
x +
7
20
)2
=
1
4
+
(
√
x2 − 4x + 3−
3
20
√
21
)2
.
To ni lepa enačba.
Polmer x zgornjega kroga lahko ocenimo, če upo-
števamo, da so točke M,T , S, B skoraj kolinearne.
Tako je 2x + 2a + 0,5 ≈ 2. Če upoštevamo, da je
a = 0,35, dobimo x ≈ 0,4. Vrednost 0,4 kot rešitev
je navedena v knjigi. Študent, ki je ta vzorec pred-
stavil na seminarju, je verjel knjigi in majhni sliki v
njej. Avtor tega članka je opazil, da ni razloga, da bi
bile te točke kolinearne (kot trdi knjiga). Doma je s
svinčnikom in papirjem dobil pravo vrednost
x =
81
202
,
ki se le minimalno razlikuje od 0,4. Računi so bili
sicer elementarni, a zoprni in jih ne bomo navajali.
(Znebiti se je bilo treba korenov. Poskusite to na-
rediti sami.) Študent je po opozorilu izpeljal enačbe,
jih udobno rešil s programom Mathematica
za simbolično računanje in dobil pravilni rezultat
x = 81/202. V Geogebri lahko narišemo funkciji na
levi in desni strani »grde« enačbe in poiščemo prese-
čišče grafov, ki je pri x = 0,4009900990 . . ..
Literatura
[1] J. L. Heilbron Geometry Civilized, History, Cul-
ture,and Technique, Clarendon Press, Oxford
2000.
×××
     
P 48 (2020/2021) 28
Littlov zakon
G̌  M M
Verjetno ste se že znašli v situaciji, ko se vam
je mudilo, hkrati pa ste bili zelo lačni. Vseeno ste
imeli ravno dovolj časa, da zavijete v najbližjo re-
stavracijo s hitro prehrano. V restavraciji ste že-
leli, da vas postrežejo čim hitreje, da bi lahko po-
hiteli po nadaljnjih opravkih. V današnjem času,
ko se nam ves čas mudi, je odzivnost in kakovost
postrežbe zelo pomembna. Tega se zavedajo tudi
lastniki restavracij. Da bi si zagotovili svoj donos,
morajo med drugim poskrbeti tudi za pretočnost
ljudi v restavraciji z dobro organizacijo dela zapo-
slenih in arhitekturo prostora.
Poglejmo si primer restavracije, ki je odprta od
10h do 16h in je v enem dnevu postregla 120 obi-
skovalcev. Ali lahko izračunamo, koliko časa v resta-
vraciji v povprečju preživi posamezni obiskovalec?
Brez dodatnih podatkov tega ne moremo.
Za začetek si zato oglejmo primer, ko je v resta-
vraciji ves čas deset obiskovalcev. Recimo, da pri-
dejo hkrati in hkrati tudi odidejo, takrat pa pride no-
vih deset obiskovalcev (torej na način, da se medse-
bojno izmenjujejo).
Potemtakem lahko sklepamo, da mora biti izmen
120
10 = 12, torej, da vsak obiskovalec v restavraciji
preživi 612 =
1
2 ure.
Naš problem lahko predstavimo tako, da ga raz-
delimo v tri faze (glej sliko 1): vhod, sistem in izhod.
Pri zgoraj opisanemu problemu je vhod količina obi-
skovalcev, ki prihajajo v restavracijo, sistem je naša
restavracija, kjer opazujemo dogajanje, izhod pa je
količina obiskovalcev, ki je enaka vhodni.
SLIKA 1.
Shema zastavljenega problema
Uporabimo prejšnji premislek in vpeljimo nekaj
notacije za splošne podatke. Z N označimo točno
število obiskovalcev v enem dnevu (v našem primeru
je to 120). Z oznako T označimo celotni čas, ko je
restavracija odprta. Če se odpre ob 10h in je odprta
do 16h, je naš T enak šest ur; vse skupaj lahko zapi-
šemo v časovni okvir [0, T ], torej [0, 6]. Predposta-
viti pa moramo, da v trenutkih 0 in T v restavraciji
ni obiskovalcev (oz. je natanko nič obiskovalcev). Ve-
ljati mora tudi, da restavracijo zapusti enako število
obiskovalcev, kolikor jih je vstopilo vanjo. To eno-
stavno pomeni, da v restavraciji nihče od obiskoval-
cev ne »ponikne«.
Če je v restavraciji (sistemu) hkrati L strank, mora
biti izmen NL , torej vsaka traja W =
T
N
L
= L·TN =
L
λ , oz.
L = λW .
To lahko sedaj ponazorimo tudi geometrijsko. Na-
redimo stolpčni diagram, ki nam prikaže število obi-
skovalcev v restavraciji v trenutku t, kjer t preteče
časovni interval [0, T ]. Naj bo t = 1 prva ura odpr-
tja restavracije, t = 2 druga ura odprtja restavracije
in tako dalje. L naj označuje število obiskovalcev,
ki so hkrati v restavraciji (ves čas enako), λ število
obiskovalcev na uro, W pa čas, ki ga posamezni obi-
skovalec preživi v restavraciji (spet za vse enak). Ker
se v restavraciji izmenjuje deset obiskovalcev, lahko
izmene grafično prikažemo kot na sliki 2. Na sliki
vsak pravokotniček oz. celica predstavljata obisk go-
sta.
     
P 48 (2020/2021) 2 9
SLIKA 2.
Število obiskovalcev v restavraciji
Geometrijski prikaz lahko služi tudi za alterna-
tivno rešitev problema. Za ta namen grafikon na sliki
2 preuredimo v dveh korakih, tako kot kaže slika 3.
Vsi trije grafikoni imajo enako ploščino, saj posa-
mezni lik nastane samo s premeščanjem drugih brez
prekrivanja.
Označimo to ploščino z S. Iz spodnjega grafikona
na sliki 3 dobimo S = LT oz. L = ST , iz levega pa
S = NW oz. W = SN . Ker je L =
S
T , lahko zapišemo,
da je L = ST ·
N
N =
N
T ·
S
N = λ ·W .
Zdaj pa nas zanima, ali to velja tudi v posploše-
nem primeru, ko gostje prihajajo kako drugače in se
v restavraciji ne zadržujejo enako dolgo. Količina λ,
intenzivnost prihajanja strank, ostane definirana kot
λ = NT , količini L in W pa je treba definirati na novo,
saj število gostov v danem trenutku in čas bivanja
posameznega gosta nista več konstanti. Pri definiciji
nam bodo pomagali grafikoni, ki so lahko zdaj videti
malo drugače, npr. tako, kot kažeta sliki 4 in 5.
Sedaj naj bo S ploščina diagrama (glej sliko 4).
Iz slike 5 lahko ugotovimo, da se ploščina še vedno
ohrani, saj en lik nastane iz drugega samo s preme-
ščanjem pravokotnikov brez prekrivanja.
Definirajmo L in W kot povprečji: L naj bo torej
povprečno število strank v sistemu, W pa povprečni
čas bivanja posamezne stranke v sistemu.
Kako pa je definirano povprečje? Povprečna vre-
dnost nenegativne funkcije na določenem intervalu
je ploščina pod njenim grafom, deljena z dolžino in-
tervala. Na ta način ima namreč lik, ki ga omejujejo
graf funkcije, krajišči intervala in abscisna os, isto
ploščino kot pravokotnik, ki ga dobimo, če graf funk-
cije zamenjamo z vodoravnico, ki leži v višini pov-
prečja funkcije. V višji matematiki temu pravimo in-
tegral. Na sliki 4 je to povprečje označeno s črtkano
črto.
Količina L je torej v resnici definirana kot L = ST ,
količina W pa kot W = SN .
Sedaj pa ugotovitve povežimo med sabo. Ko upo-
števamo še zvezo λ = NT , ki je v resnici definicija ko-
ličine λ, sledi že dobljena zveza L = λW. Torej zveza
L = λW se ohrani, če L in W definiramo kot ustrezni
povprečji.
Ni nujno, da sistem gledamo od začetka do konca,
temveč lahko le v določenem časovnem oknu. V tem
primeru moramo pri W gledati le trajanja bivanj v
okviru danega časovnega okna, prihajanje pa razu-
memo tako, da kot prispele štejemo vse stranke, ki
so v sistemu kadar koli znotraj danega časovnega
okna (četudi so morda prišle že prej). Če gledamo
tako, tudi ni nujno, da je bilo na koncu časovnega
okna v sistemu enako število strank kot na začetku.
Izpeljana zveza je znana kot:
Littlov zakon: Če je dan sistem kot na sliki 1
in je λ intenzivnost prihajanja strank, L pov-
prečno število strank v sistemu,W pa povprečni
čas bivanja posamezne stranke v sistemu, vse v
okviru določenega časovnega okna, velja zveza
L = λW .
Obiskovalce lahko ločimo na dve podskupini. Na
tiste, ki obedujejo, in na tiste, ki čakajo na postrežbo.
Recimo, da v povprečju od desetih obiskovalcev, ki
so hkrati v restavraciji, obeduje šest obiskovalcev.
Zanima nas povprečni čas čakanja na postrežbo.
Označimo sedaj z L1 število obiskovalcev, ki obe-
dujejo, in z L2 obiskovalce, ki čakajo na postrežbo.
Nadalje lahko izračunamo, da L2 = L− L1 = 10−6 =
4 obiskovalci čakajo na postrežbo in je W2 =
4
20 =
0,2 ure oz. 12 minut. To je čas, ki ga obiskovalec
v povprečju porabi za čakanje na postrežbo. Littlov
zakon smo tako uporabili za prvo škatlo obiskoval-
cev (glej sliko 6).
Tudi v transportu in logistiki lahko z Littlovo za-
konitostjo opišemo nekatere procese. Pod drobno-
gled vzemimo pretok vozil na enem kilometru od-
seka avtoceste. Ta odsek naj bo tak, da nima nobenih
     
P 48 (2020/2021) 210
SLIKA 3.
Prikaz po posameznih
obiskovalcih
SLIKA 4.
Razlǐcno število obiskovalcev v restavraciji
izvozov, da bi se število vozil v odseku spreminjalo.
Kako bi skupaj povezali količine, kot so gostota, pre-
tok in hitrost prometa?
Najprej pojasnimo pojme. Gostoto prometnega
toka lahko definiramo kot povprečno število vozil v
odseku na razdaljo odseka. Pretok prometa pa dolo-
čimo kot povprečno število vozil v odseku na enoto
časa. Sedaj lahko povezavo med gostoto prometnega
toka in pretoka prometa pokažemo s pomočjo Littlo-
vega zakona.
Naj bo d dolžina odseka in ρ gostota prometnega
toka. Potem lahko zapišemo, da je ρ = Ld , kjer je
L povprečno število vozil v odseku. Če je v hitrost,
je W = dv , saj je W povprečni čas potovanja skozi
odsek. Littlov zakon L = λW dobi obliko ρ = λv .
Od tod lahko tudi vidimo vzrok nastanka kolone
vozil. Če se dotok vozil le rahlo poveča, se pro-
met upočasni in po Littlovem zakonu se gostota pro-
meta poveča – tako zaradi večjega dotoka kot zaradi
zmanjšane hitrosti.
Take primere doživljamo lahko vsak dan na slo-
venskih avtocestah, še posebej v poletnih časih, ko
se izvajajo velika vzdrževalna dela. Delavci omejijo
pretok vozil na en pas, postavijo omejitev hitrosti na
80 km/h, nato pa je tu še dnevni tranzit iz tujine,
ki odhaja na morje. Tako dobimo dolge, kilometrske
kolone vozil zaradi prevelikega dotoka vozil v vzdr-
ževalni odsek in zmanjšane hitrosti.
Ali obstaja kakšen način, s čimer bi zmanjšali take
zastoje? S povečanjem varnostne razdalje bi lahko
zmanjšali gostoto prometnega toka in s tem pove-
čali hitrost vozil. Območje počasnejšega prometa bi
se pri tem podaljšalo, zato pa bi promet tam potekal
bolj tekoče. Če bi npr. ponovno popravljali viadukt
na Ravbarkomandi in bi bila tam omejitev 80 km/h,
bi, recimo, namesto prometa s hitrostjo 130 km/h do
Unca in nato po polžje do Ravbarkomande imeli pro-
met s hitrostjo 80 km/h že od Vrhnike naprej. Tako
bi verjetno prišli do cilja hitreje, vendar je to možno
samo teoretično, saj moramo upoštevati tudi člove-
ški faktor.
     
P 48 (2020/2021) 2 11
SLIKA 5.
Prikaz razlǐcnega števila obi-
skovalcev v restavraciji glede
na posameznega obiskovalca
SLIKA 6.
Shema problema podskupin
obiskovalcev
Sklep
Littlov zakon opisujejo tri linearno povezane koli-
čine. Če poznamo dve izmed njih, lahko tretjo iz-
računamo brez težav. Ta zakonitost nam tudi pove,
da npr. lastniki restavracij ne morejo zagotoviti ve-
likega števila obiskovalcev in s tem tudi višjega do-
bička tako, da bodo (poleg marketinških potez) pove-
čali samo prostorske kapacitete, ampak morajo po-
skrbeti tudi za ustrezno število zaposlenih v resta-
vraciji (natakarjev, kuharjev). Če želimo varčevati pri
zaposlenih, ne bomo ničesar dosegli. Čakalni čas se
bo le povečal, obiskovalci bodo nezadovoljni in se
ne bodo več vračali. Torej Littlov zakon skrbi, da, v
našem primeru, lastniki restavracij niso preveč po-
žrešni in da namesto optimuma za eno stran iščejo
ravnovesje za obe strani.
Literatura
[1] Little’s law, dostopno na ie.technion.ac.il/
serveng/Lectures/Little.pdf, Service Engi-
neering, 2007.
[2] J. D. Little, Little’s Law as Viewed on Its 50th An-
niversary, Operationsresearch 59 2011, 3, 536–
549.
[3] M. Batista, Zvezni modeli prometnega toka, do-
stopno na www.fpp.edu/~milanb/tpmeh/tpt/
tpt04_b5.pdf, 2007.
×××
www.dmfa.si
     
P 48 (2020/2021) 212
Lebdeča vrtavka
A L
Magneti so znani že iz pradavnine, najstarejše
omembe so kitajskega izvora in segajo kakšnih
2500 let nazaj. Drug na drugega delujejo, ne da
bi se dotikali, kar nas še danes prevzame. Sicer
tudi teža deluje tako, le da je tako vsakdanja, da
se ji ne čudimo več. Magneti pa se ne le privlačijo,
temveč se tudi odbijajo, in to z znatnimi silami, ki
jih jasno začutimo že z golimi rokami. Pri elektro-
statiki so te lahko tudi odbojne, a so mnogo manj
izrazite.
Hitro pomislimo, da bi razpostavili magnete tako,
da bi njihova odbojna sila na izbrano postavljeni ma-
gnet izničila njegovo težo. Magnet bi tedaj lebdel.
Lebdenje pač preseneča. Pomislimo na nekatere pti-
ce in žuželke, tu so največji junaki kolibriji, pa na
drone in helikopterje.
Poskusi v tej smeri se nikoli ne posrečijo. Nepritr-
jeni magnet, ki naj bi lebdel, vedno nekam pobegne
ali pa se zasuče in trešči v druge magnete. Na leseno
paličico nataknjeni magnet pa ne more pobegniti in
lebdi nad močnim obročastim magnetom (glej sliko
1). Ne tako dolgo nazaj, v sedemdesetih letih prej-
šnjega stoletja, pa se je posrečilo brez opore obdr-
žati v zraku vrtečo se magnetno vrtavko. Na sliki 2
je vidna postavitev spodnjega obročastega magneta
in lega lebdeče vrtavke. Odkritje je bilo patentirano
in je osnova priljubljeni igrači, ki jo lahko kupimo
pod imenom Levitron (glej sliko 3). Na spodnji ma-
gnet, ki leži na mizi, postavimo tanko vodoravno plo-
ščo, na njej pa na sredini zavrtimo vrtavko . To se
posreči, ker je pod vrtavko luknja. Potem počasi dvi-
gamo ploščo, dokler vrtavka ne obvisi v zraku. Pri
tem moramo poskrbeti, da ima vrtavka ravno pra-
všnjo maso. To najdemo z dodajanjem priloženih
drobnih uteži, ki jih natikamo na vrtavko. Na spletu
najdemo vrsto navodil, kako si tako igračo izdelamo
sami. Izdelava pa ni prav preprosta, ker potrebu-
jemo kar nekaj stvari, ki jih ni lahko dobiti, terja pa
tudi precej potrpljenja pri iskanju pravih lastnosti
vrtavke.
SLIKA 1.
Lebdeči magnet, napeljan na palico, ki poskrbi, da se magnet
ne more obrniti in pobegniti. Teža zgornjega magneta je enaka
odbojni sili med magnetoma.
Zakaj vrtavka lebdi? Prijavitelj patenta je imel ve-
like težave, preden je prepričal uradnike, da je nje-
gov predlog mogoče uresničiti. Kot bomo videli, je
lebdenje sicer izvedljivo, vendar le za las. Hkrati ga
omogočata posebna zgradba magnetnega polja obro-
častega magneta in dinamika vrtavke.
Najprej si oglejmo magnetno polje spodnjega
obročastega magneta. Zgornja ploskev obroča naj
bo severni pol (N), spodnja pa južni (S). V magnetu
si lahko zamislimo množico drobnih magnetnih di-
polov, vsak je sestavljen iz magnetnega monopola N
(sever) in prav tako velikega monopola S (jug). Pri
tem monopole N in S postavimo navpično enega nad
     
P 48 (2020/2021) 2 13
SLIKA 2.
Lebdeča vrtavka nad obročastim magnetom – zasnova igrače
Levitron
SLIKA 3.
Posnetek lebdeče vrtavke pri Levitronu
drugim. S to zamislijo pridemo do pravega magne-
tnega polja stran od monopolov, čeprav dobro vemo,
da magnetnih monopolov v naravi ne najdemo. Ven-
dar tako zamišljeni magnetni dipoli verno odražajo
magnetno polje drobnih tokovnih zank, ki pa jih je
znotraj magneta vse polno.
Gostoto magnetnega polja ~B prav preprosto izra-
čunamo tako, da množico magnetnih dipolov poraz-
delimo v obroč in seštejemo njihove prispevke k po-
lju v prostoru. Tako dobljeno polje je predstavljeno
z vektorji na sliki 4 in silnicami na sliki 5. Polje smo
izračunali numerično z ustreznim računalniškim
programom v dovolj gosto posejanih točkah v pro-
storu nad magnetom.
SLIKA 4.
Magnetno polje obročastega magneta v ravnini, ki jo določa si-
metrijska os. Vektorji magnetne poljske gostote ~B so prikazani
v izbranih točkah ravnine. Vektorji, prikazani z rdečo barvo, so
zaradi preglednosti po velikosti zmanjšani.
Ko v magnetno polje spodnjega magneta posta-
vimo obročasti magnet vrtavke, nas zanimajo pred-
vsem sile nanjo. Polje sil pa ne sovpada z magnetnim
poljem. To hitro uvidimo, če si spet zamislimo ma-
gnetni dipol, sestavljen iz magnetnih monopolov. Na
posamezna monopola deluje sila
~Fm = em~B ,
     
P 48 (2020/2021) 214
SLIKA 5.
Magnetno polje obročastega magneta, predstavljeno s
silnicami.
kjer je em magnetni naboj monopola. Na celotni di-
pol deluje vsota sil na posamezna monopola. Če sta
monopola v magnetnem polju z enako gostoto ~B, sile
na dipol ni, ker sta magnetna naboja emN in emS na-
sprotna. Če pa je monopol N v drugačnem polju kot
S, je sila na dipol od nič različna. Magnetna sila na
dipol bo torej
~FmD = em(~BN − ~BS) ,
kjer sta ~BN in ~BS magnetni polji na mestih mono-
polov N in S. Za silo je odločilna sprememba ma-
gnetnega polja ~B vzdolž veznice med poloma N in
S v dipolu vrtavkinega magneta. Ker poznamo go-
stoto magnetnega polja ~B v poljubni točki nad osnov-
nim magnetom, hitro pridemo do polja sil na vrtavko
(glej sliko 6). Z znano lego vrtavke pa pridemo do
sile nanjo z vektorskim seštevanjem sil posameznih
dipolov v njenem magnetu.
Navpično silo na vrtavko smo predstavili na sliki
7. Ko je vrtavka dovolj visoko nad spodnjim magne-
tom, jo le-ta odbija navzgor. Sila z višino narašča,
potem pa začne padati. Če je teža vrtavke primerna
in jo postavimo v del, kjer magnetna sila nanjo pada,
bi vrtavka našla točko, kjer bi bila vsota njene teže
in magnetne sile enaka nič. Vrtavka bi tam lebdela,
če bi bilo njeno težišče natančno na geomterijski osi.
Pri rahlem dvigu bi prevladala teža navzdol, pri spu-
SLIKA 6.
Polje sil na magnetni dipol, ki ga postavimo v navpǐcni smeri.
stu pa magnetna sila navzgor. Zaradi teže in sile ma-
gneta bi bila vrtavka v navpični smeri v stabilnem
ravnovesju.
Za lebdenje pa mora biti vrtavka v stabilnem rav-
novesju tudi v vodoravni ravnini. Ne moremo na-
mreč pričakovati, da bo vrtavkina os vedno natančno
sovpadala s simetrijsko osjo spodnjega magneta. Tu
pa je glede stabilnega ravnovesja ravno obratno kot
v navpični smeri. Vrtavka je v vodoravni ravnini sta-
bilna le na višinah pod maksimumom magnetne od-
bojne sile. Tam pa vrtavka ni stabilna v navpični
smeri. Torej lebdenje ni možno. To so odkritelju
zatrjevali mnogi fiziki ter tudi uradniki patentnega
zavoda in imeli so skoraj prav. Skoraj zato, ker so
privzeli, da je os vrtenja povsem navpična tudi, ko
je vrtavka izmaknjena od simetrijske osi spodnjega
magneta. Pri zmernem vrtenju pa se os vrtenja za-
radi navora na vrtavko v magnetnem polju in posle-
dično njene precesije nagne ter sledi smeri gostote
magnetnega polja ~B. Zaradi tega majhnega nagiba se
vodoravna magnetna sila kvalitativno spremeni. Na
sliki 8 so prikazane sile na vrtavko, ko je njena os
povsem navpična, na sliki 9 pa, ko je rahlo nagnjena
v smeri magnetnega polja v njeni, po osi x, izma-
knjeni legi. Vidimo, da se vodoravna sila spremeni,
in sicer tako, da potisne vrtavko nazaj k simetrijski
osi spodnjega magneta.
     
P 48 (2020/2021) 2 15
SLIKA 7.
Navpǐcne sila na vrtavko, ki jo postavimo v magnetno polje
obročastega magneta. Os vrtavke je postavljena navpǐcno.
SLIKA 8.
Sile na dele vrtavke, ko semetrijska os obročastega magneta in
vrtilna os vrtavke sovpadata.
SLIKA 9.
Ko se vrtavka oddalji od simetrijske osi in hkrati nagne, ker
njena os sledi magnetnemu polju obročastega magneta, se sile
nanjo spremenijo tako, da jo potiskajo nazaj v izhodiščno lego.
Slika navpične in vodoravne magnetne sile je se-
daj nekoliko drugačna (glej sliko 10). V zelo ozkem,
le kakih 5 mm širokem pasu višin blizu vrha nav-
pične sile, je vrtavka v stabilnem ravnovesju, tako
v navpični smeri kot v vodoravni ravnini (sivi pas
na sliki 10). Vrtavka torej lahko lebdi, le zelo na-
tančno moramo ujeti njeno težo, da smo tik nad vr-
hom navpične magnetne sile. To storimo z okroglimi
ploščicami različnih polmerov, debelin in iz različ-
nih snovi, ki jih nameščamo na vrtavko. Prilagoditev
mase moramo opraviti sami, ker sta moči magnetov
nekoliko odvisni od njune temperature in železnih
predmetov v okolici.
Z nekaj vaje obvladamo zagon na dvižni plošči in
previdno dviganje do lebdenja. Čeprav je opisana
igrača zahtevna, smo z lebdečo vrtavko obilno na-
grajeni, saj jo lahko opazujemo kar nekaj minut. Iz-
popolnjene igrače te vrste imajo vgrajeno vezje, ki
poganja vrtavko, da le-ta lebdi poljubno dolgo časa.
A to že po malem posega v aktivno nadzorovano leb-
denje, kjer lebdeči magnet obdržimo v ravnovesju s
krmilnimi tuljavicami. O tem pa kdaj prihodnjič.
SLIKA 10.
Vodoravna Fv in navpǐcna Fn magnetna sila na vrtavko, ki je
malo izmaknjena iz ravnovesne lege in nagnjena tako, da je
njena os v smeri magnetnega polja spodnjega magneta. V si-
vem pasu je vrtavka v stabilnem ravnovesju. Na vodoravno os
grafa nanašamo višino, merjeno od srednje vodoravne ravnine
obročastega magneta. Merilo je relativno glede na srednji pol-
mer magneta.
×××
         
P 48 (2020/2021) 216
Nagradna križanka
×××
    
Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z
osebnimi podatki v obrazec na spletni strani
www.presek.si/krizanka
ter ga oddajte do 1. decembra 2020, ko
bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo pre-
jeli knjižno nagrado.
         
P 48 (2020/2021) 2 17
     
P 48 (2020/2021) 218
Lebdeči magnet
A L
V prejšnjem prispevku smo opisali lebdečo vr-
tavko. Takrat smo navedli, da ni mogoče razposta-
viti magnetov tako, da bi eden od njih mirno lebdel
nad drugimi. Pri vrtavki se lebdenje sicer posreči,
a le zato, ker se lebdeči magnet ves čas premika in
spreminja svojo vrtilno os.
Če v sestav magnetov vključimo še elektromagne-
te, ki se jim namagnetenost hitro spreminja, pa je
mogoče prisiliti izbrani magnet v lebdenje, ne da bi
se le-ta vidno premikal.
Začnimo z igračo, kjer majhen magnet, nataknjen
na paličico, lebdi na sredi nad večjim obročastim ma-
gnetom (glej sliko 1). Pri obeh magnetih je severni
pol obrnjen navzgor. Paličica obdrži magnet na ge-
ometrijski osi, lahko se premika le v navpični smeri.
Ko magnet potisnemo navzdol in ga spustimo, ga
magnetna odbojna sila izstreli navzgor. Kdor je pri
tem dovolj spreten, se mu magnet dvigne kar visoko.
Na paličico nataknjen listič papirja označi višino, do
katere se je povzpel magnet, kar odberemo na me-
rilu. Če tekmujemo, zmaga seveda tisti, ki uspe po-
tisniti listič najvišje.
Pa si podrobneje oglejmo fiziko pri tej igrači. Na
sliki 2 smo prikazali magnetno polje obročastega
magneta s severnim polom obrnjenim navgor. Vek-
torji magnetne poljske gostote ~B ležijo v navpični
ravnini, ki vsebuje geometrijsko os. To polje je pov-
sem drugačno kot polje paličastega magneta, ki ga
dobro poznamo. Tam se severni in južni pol dveh
magnetov povsod privlačita. Na sliki 3 je prikazano
polje gostote sil, ki deluje na vodoravno postavljen
ploščati magnet, z južnim polom obrnjen k sever-
nemu obročastega magneta. Če to gostoto sil po-
množimo s prostornino majhnega dela magneta, do-
SLIKA 1.
Skoraj lebdeči magnet, nataknjen na palǐcico. Ko ga potisnemo
navzdol in spustimo, ga magnetna odbojna sila krcne navzgor.
bimo silo na ta del. Na različne dele magneta so sile
različne, na celotni magnet deluje rezultanta vseh
teh sil. Do polja sil smo prišli z enačbo, ki smo jo
navedli v spodaj navedenem prispevku [1]. Tam smo
     
P 48 (2020/2021) 2 19
videli, da silo na magnet določa spreminjanje ma-
gnetnega polja v prostoru in orientacija magnetnih
dipolov v magnetu. Vidimo, da se magneta odbijata,
če sta dovolj blizu in njuni geometrijski osi sovpa-
data, zgornji ploščati magnet pa je manjši od luknje
obročastega. Odboj je dovolj močan, da na neki vi-
šini premaga težo ploščatega magneta. Ker odbojna
sila narašča, ko magnet potiskamo navzdol, je ravno-
vesna lega, ki jo zavzame magnet, stabilna v navpični
smeri. Iz slike 3 takoj razberemo, da je vodoravna
lega magneta prav tako stabilna, saj se pri majhnem
zasuku magneta okrog poljubne vodoravne osi le-ta
vrne v vodoravno lego. Magnet skoraj lebdi. Prav
zato tako lahko drsi po paličici. Seveda – skoraj. Pri
premiku v vodoravni smeri ga magnetna sila poga-
nja stran od geometrijska osi, in to vedno bolj, čim
dlje od osi je. Če v mislih premaknemo magnet vo-
doravno iz sredine, slika 3 pokaže, da se ravnovesje
vodoravnih komponent sil poruši in te magnet vle-
čejo stran od sredine. Prepuščen sam sebi bi v hipu
zgrmel na spodnji magnet. Paličica prepreči tak tok
dogodkov.
SLIKA 2.
Magnetno polje obročastega magneta v navpǐcni ravnini, ki vse-
buje simetrijsko os. Vektorji, risani z rdečo barvo, so zaradi
preglednosti slike skrajšani. Tako smo risali tudi preostale
slike polj.
Namesto paličice lahko uporabimo elektromagne-
te, ki povrnejo magnet v izhodiščno lego. Pri majh-
nem vodoravnem premiku zadošča že majhen tok
skozi tuljavice elektromagnetov, pri večjem odmiku
pa mora biti tok večji. Tok skozi tuljavice moramo
z elektronskim vezjem prilagajati, in to glede na od-
mik magneta od geometrijske osi. Polje sil na po-
SLIKA 3.
Polje sil na pokončno postavljen lebdeči magnet. Na sliki smo
magnet nakazali s sivo-modro barvo v njegovi ravnovesni legi.
končno postavljen magnet, ko je vključen eden od
elektromagnetov, je prikazano na sliki 4. Odtod lah-
ko razberemo, da elektromagnet potiska zgornji ma-
gnet v vodoravni smeri. S primerno izbranim tokom
skozi tuljavice lahko vrne magnet v izhodiščno lego.
Da pridemo do primernega toka, moramo odmik me-
riti. To omogočijo senzorji magnetnega polja, ki so
nameščeni pod magnetom. Ker se magnet lahko pre-
makne kamorkoli po vodoravni ravnini, moramo
imeti vsaj dva senzorja in štiri popravljalne elektro-
magnete.
SLIKA 4.
Polje sil na pokončno postavljen lebdeči magnet ob delovanju
elektromagneta na levi strani
Magnetno polje lebdečega magneta je prikazano
na sliki 5. Premik magneta v vodoravni smeri spre-
meni magnetno polje pri senzorju. Tam se pojavi
     
P 48 (2020/2021) 220
komponenta Bx magnetne poljske gostote ~B v vodo-
ravni smeri. Na osnovi te komponente elektronsko
vezje krmili tok skozi tuljavice. Vezje je tako hitro,
da se magnet neopazno izmika iz ravnovesne lege.
Pri eni od kupljivih naprav tok iz vezja prihaja v tu-
ljavice v enako visokih sunkih z različno širino, ki je
sorazmerna z odmikom magneta.
SLIKA 5.
Magnetno polje vodoravno postavljenega lebdečega magneta
Omeniti moramo še eno podrobnost. Magnet se
lahko le nagne in nagib prav tako povzroči spremem-
bo vodoravne komponente magnetne poljske gostote
na mestu senzorja. Elektromagnet posreduje tudi v
tem primeru, čeprav se magnet ni oddaljil od rav-
novesne lege. K sreči se pri nagibu pojavi tudi ma-
gnetna sila (glej sliko 6), in če jo elektromagnet na-
tančno uravnovesi, se magnet ne premakne. Posre-
dovanje elektromagneta, ki je povezano s signalom
iz senzorja, je s tem povsem določeno. Pravimo, da
je povratna zanka s tem pogojem umerjena. Taka
umeritev hkrati zadošča tudi pri premiku v vodo-
ravni smeri.
Skico naprave najdemo na sliki 7. Ker lebdeči ma-
gnet držijo na svojem mestu štirje elektromagneti,
nima središčne izvrtine, kot jo ima magnet pri naši
igrači. Zgraditi opisano napravo pa ni lahko, saj mo-
ramo poznati nekaj elektronike in si priskrbeti ustre-
zne magnete ter elektronske komponente. A v fizi-
kalnem krožku pod mentorstvom zagnanega učitelja
in s pomočjo študenta elektronike tak projekt morda
le ni pretežak. Komur je, lahko na trgu kupi že izde-
lano napravo za približno 50 evrov. Preostane le, da
jo zapre v ustrezno škatlo, da prepreči trde trke zelo
močnih, a krhkih magnetov.
SLIKA 6.
Polje sil na nagnjeni magnet
SLIKA 7.
Skica naprave – lebdečega magneta.Znotraj obročastega ma-
gneta (sivo) so štirje korekcijski elektromagnetki (oranžno). S
H je označeno mesto senzorjev magnetnega polja (Hallovi sen-
zorji). Zgornji magnet lebdi kake 3 cm nad zgornjo ploskvijo
obročastega magneta
Literatura
[1] A. Likar, Lebdeča vrtavka, Presek 48
2020/2021, 2, 12–15.
×××
       
P 48 (2020/2021) 2 21
Solarografija
K̌ S
Solarografija je analogna fotografska tehnika,
pri čemer posnamemo gibanje Sonca po nebu. Naj
bo to pot, ki jo naredi v enem dnevu, tednu, v več
mesecih, ali osmica, ki nastane s celoletnim bele-
ženjem položaja opoldanskega Sonca. A začnimo
na začetku; tukaj gre za analogno fotografijo s ca-
mero obscuro. Camera obscura (iz latinščine te-
mna soba) je optična naprava, ki preslika okolico
preko luknjice na zaslon. Gre za najosnovnejšo
pripravo, ki nima optičnih elementov za ustvarja-
nje slike, a izkorišča dejstvo, da svetloba potuje po
premici.
Slika v cameri obscuri ima dve zanimivi lastnosti.
Zasukana je za 180° in vsi predmeti so v enakem gori-
šču, nasprotno, kot smo vajeni iz fotografije ali vsak-
dana. Oko prilagaja svojo lečo, da vidimo predmet,
na katerega smo osredotočeni, izostren, medtem ko
so predmeti pred in za njim zamegljeni. Podobno
s fotografskim objektivom izbiramo razdaljo, na ka-
teri so predmeti izostreni. Če pa opazujemo sliko,
ki nastane skozi luknjico, vidimo vso okolico ostro.
O tem se lahko enostavno prepričamo sami. S ko-
nicami palca, kazalca in sredinca ene roke naredimo
tako majhno luknjico, da še komaj vidimo skoznjo,
in se zaglejmo v predmet nekaj metrov stran. Z dru-
go roko pridržimo manjši predmet 20 cm pred glavo.
Zdaj ohranimo pogled in odmaknemo prvo roko. Od-
daljeni predmet je še vedno izostren, a bližnji je za-
megljen; bistveno bolj, kot je bil prej. Bolj drobno
luknjico kot nam uspe narediti, bolj oster bo bližnji
predmet, a za ceno temnejše slike. Na ta način si
lahko pomagajo kratkovidni ljudje, ki pozabijo očala
doma.
Zgodovina uporabe camere obscure je dolga. Opi-
sovali in proučevali so jo že kitajski učenjaki v četr-
tem stoletju pred našim štetjem, kasneje grški, arab-
ski in od renesanse dalje še evropski. V 17. stoletju
SLIKA 1.
Slika predmeta pri preslikavi skozi luknjico je obrnjena.
so jo uporabljali astronomi za proučevanje Sončevih
peg in slikarji kot pripomoček pri upodabljanju kra-
jine. Je predhodnica fotografskega aparata, danes pa
je našla mesto med ljubitelji analogne fotografije in
na seznamu želja DIY (do-it-yourself, samograditelj-
skih) projektov. Njena izdelava je relativno prepro-
sta; ne potrebujemo delavnice ali posebnega orodja.
Vse, kar je potrebno narediti, je, da najdemo ali iz-
delamo temen prostor in naredimo primerno majhno
luknjico. Lahko npr. vzamemo kartonsko škatlo od
kosmičev, čevljev, paketa. Na eni strani škatle iz-
režemo nekaj centimetrsko luknjo, ki jo prelepimo
z aluminijasto folijo. Na nasprotni strani podobno
izrežemo luknjo in jo prelepimo s papirjem, ki bo
služil kot zaslon. Aluminijasto folijo z iglo prebo-
demo, da naredimo čim manjšo luknjico. Treba je le
paziti, da iglo le delno zarinemo v folijo. Za takšno
kamero potrebujemo močnejši vir svetlobe, npr. žar-
nico, plamen sveče ali seveda Sonce. Druga možnost
je, da na steno camere obscure nasproti luknjice na-
lepimo papir, ki bo služil kot zaslon. Luknjo izre-
žemo na isti steni, kot je luknjica, da skoznjo vidimo
zaslon. Tako se s hrbtom obrnemo proti Soncu in
opazujemo sliko v zatemnjeni škatli.
       
P 48 (2020/2021) 222
SLIKA 2.
Sončeva svetloba, ki se prebije skozi krošnje dreves, se prav
tako preslika kot pri cameri obscuri. Tako lahko opazujemo
Sončev mrk v naravi.
Namesto neposrednega gledanja na zaslon, lahko
sliko ujamemo na fotografski papir in jo trajno shra-
nimo. S tem ne mislimo fotopapirja, ki ga upora-
bljamo za kvalitetnejši tisk fotografij, ampak liste, ki
so občutljivi na svetlobo. V časih analogne fotogra-
fije so se uporabljali za razvijanje slik s filmov, danes
jih pa še najdemo v fotografskih trgovinah v različ-
nih dimenzijah in kvalitetah. S takim fotopapirjem
lahko najlažje izdelamo kamero iz pločevinke – naj
bo ta od pijače, čipsa ali napolitank, saj je pločevina
dovolj tanka (pribl. 200 mikrometrov), da jo lahko z
nekaj truda prebodemo z iglo. Delo si še olajšamo
tako, da pločevino pobrusimo z brusnim papirjem
na mestu, kjer želimo narediti luknjico. Odrezati
moramo vrh pločevinke tako, da lahko vstavimo fo-
topapir in ga namestimo ob obod. Izdelati moramo
še pokrov, ki bo tesno zapiral pločevinko, da vanjo
ne moreta vstopiti niti voda niti svetloba. Primerno
je že, če uporabimo karton in vodoodporni lepilni
trak. Po tem, ko vstavimo fotopapir v kamero in jo
zapremo, moramo biti pozorni, da je zakrita tudi lu-
knjica, da Sonce pomotoma ne posije v njeno notra-
njost, saj je dovolj močno, da pusti sled v nekaj se-
kundah. Odkrijemo jo šele, ko je kamera nameščena
na svoje mesto. Luknjico pustimo odprto dlje časa,
lahko več dni ali tednov. Če jo na prostem usme-
rimo proti vzhodu, jugu ali zahodu, bomo na jasen
dan posneli sled dnevne poti Sonca po nebu. Lahko
pa jo pustimo na mestu vse leto in bomo na koncu
posneli celoten pas sledi. Ko se odločimo, da bomo
končali z osvetljevanjem, moramo pred premikom
kamere zakriti luknjico. Fotopapir računalniško ske-
niramo in sliko v namenskem programu obdelamo
– obrežemo, povečamo svetlost in kontrast (neline-
arno raztegnemo histogram) izostrimo. Nastale fo-
tografije na fotografskem papirju bi morali fiksirati
in razviti, da fotopapir ni več občutljiv na svetlobo in
da fotografije trajno ostanejo. Če tega ne počnemo,
jih moramo shraniti v popolni temi. S fotopapirjem
moramo biti previdni, saj je občutljiv na svetlobo. Z
njim moramo rokovati v zatemnjeni sobi pod šibko
rdečo svetlobo v vseh korakih postopka, od vstavlja-
nja v kamero do ogledovanja po osvetlitvi.
SLIKA 3.
Solarogram s pločevinko s časom osvetlitve sedem dni. Pot
Sonca po nebu se je zarisala nad hišo.
Camero obscuro lahko uporabimo za snemanje
Sončeve analeme. To je krivulja v obliki osmice, ki
jo med letom na nebu izrišejo lege Sonca, če jih be-
ležimo ob istem času dneva, ki ga kažejo naše ure.
Nastanek analeme lahko najbolje razumemo, če si
zamislimo, kako se med letom spreminjajo položaji
Sonca ob dvanajsti uri (po zimskem času). Če bi
Sonce vedno kulminiralo (najvišja točka na nebu)
točno opoldne, bi se med letom spreminjala le opol-
danska višina Sonca. Na letnem solarogramu, ko bi
       
P 48 (2020/2021) 2 23
SLIKA 4.
Kamera iz pločevinke je imela goriščno razdaljo sedem centi-
metrov. Čas osvetlitve je bil le dva dneva.
SLIKA 5.
Analema, ki sta jo z metodo solarografije posnela Maciej Zapiór
and Łukasz Fajfrowski.
fotografski papir osvetlili le opoldan, bi tako dobili
ravno črto na lokalnem poldnevniku. To bi veljalo,
če bi se Zemlja gibala okoli Sonca po krožnici z ena-
komerno hitrostjo, a temu ni tako. Njena tirnica je
elipsa z ekscentričnostjo 0,0167. Po drugem Kepler-
jevem zakonu je njena hitrost ob prisončju,
okoli 3. januarja, večja (30,29 km/s) kot ob odsončju
SLIKA 6.
Avtorjeva kamera. Na sprednji strani je centimetrska odprtina,
kamor namestimo deľcek pločevine z luknjico; na ta način pre-
izkušamo razlǐcne velikosti luknjic. Na levi strani je motorček
s prenosom, ki premika zaslonko.
(29,29 km/s), ki je okoli 4. julija. Če temu dodamo
še učinek zaradi nagnjenosti ekliptike (Sonce se na
nebu giblje tudi v smeri sever-jug in ne le vzhod-
zahod), dobimo tako imenovano časovno enačbo. Ta
v resnici ni enačba, ampak fizikalna količina, ki pove
časovno razliko med pravim Sončevim časom, ki ga
kaže sončna ura, in srednjim Sončevim časom, ki ga
kaže navadna ura. Časovna enačba je torej posledica
neenakomernega gibanja Zemlje okoli Sonca, zaradi
katerega pravi lokalni poldan med letom včasih pre-
hiteva in včasih zaostaja za poldnevom, ki ga kažejo
navadne ure; te seveda tečejo enakomerno.
Kako lahko posnamemo analemo? Kamero usme-
rimo proti jugu in jo pustimo na mestu eno leto.
Moramo biti pozorni, da naša kamera sploh zajame
dovolj veliko vidno polje (vsaj 46° v navpični smeri).
Najti moramo še način, kako bo svetloba Sonca pri-
šla na fotopapir le ob dvanajsti uri. To lahko nare-
dimo ročno in luknjico kamere odpremo vsak dan
ob dvanajstih. To je precej nerodno, saj moramo
biti vsak dan opoldan pri kameri. Lahko pa pred
luknjico namestimo vrteči disk s špranjo, nekakšno
premično zaslonko, ki se pred luknjico postavi ravno
ob pravi uri. Za to lahko uporabimo navaden motor-
ček na enosmerno napetost, ki se vrti s stalno hi-
trostjo. Sami smo izdelali prav tako kamero z mo-
torčkom, ki s polžnim prenosom premika zaslonko.
         
P 48 (2020/2021) 224
Krmili ga mikrokontroler Arduino, ki prebere čas iz
RTC (real time clock) modula, in ima še baterijo, tako
da se točen čas ohrani tudi ob izpadih električnega
omrežja. Motorček zapelje zaslonko do zgornjega
položaja in pusti luknjico odprto za določen čas
osvetlitve (približno 10 sekund). Po tem času mo-
torček premakne zaslonko in luknjico zapre.
Vrnimo se k luknjici, ki je ključni del kamere.
Če želimo dobre rezultate, moramo pametno izbrati
njeno velikost. Manjši, kot je njen premer, ostrejša
je slika, saj gredo skoznjo bolj vzporedni žarki sve-
tlobe. Če si zamislimo, da na luknjico vpada vzpo-
reden snop svetlobe, je nastala slika na fotopapirju
krog s premerom luknjice. Zaradi tega je bolje imeti
čim manjšo luknjico. Vendar narava svetlobe ni tako
enostavna, ker je v osnovi elektromagnetno valova-
nje. Zato se uklanja na ovirah in odprtinah, kot je
naša luknjica. Če si ponovno zamislimo, da na lu-
knjico vpada vzporedni snop svetlobe, opazimo na
zaslonu uklonsko sliko. To je krog, katerega velikost
je obratno sorazmerna s premerom luknjice. Obstaja
optimalna velikost luknjice, ki daje najostrejšo sliko.
Izračunamo jo z enačbo d = c
√
λf , pri čemer je
d premer luknjice, λ valovna dolžina svetlobe, f go-
riščna razdalja kamere in c konstanta, ki ima vre-
dnosti od 1,542 do 2. Goriščna razdalja kamere je
kar razdalja fotopapirja od luknjice. Ta enačba naj
bo okvirno vodilo. Optimalne velikosti so tipično
pod enim milimetrom, tako da moramo biti pazljivi
pri prebadanju pločevine. Pri izdelavi luknjice težko
nadzorujemo njeno velikost, lahko pa kasneje njen
premer izmerimo. Ena možnost je ta, da jo položimo
na optični bralnik skupaj z ravnilom in jo skeniramo
pri visoki ločljivosti. Na računalniku preštejemo, ko-
liko slikovnih točk je široka, in izračunamo velikost
s pomočjo slike ravnila.
S tem člankom sem želel predstaviti camero
obscuro kot nezahteven samograditeljski projekt in
predstavil Sončevo analemo kot privlačno astronom-
sko »tarčo«, ki bo kakšnega bralca pritegnila, da se
loti izdelave svoje kamere. Seveda je svetovni splet
neizčrpen vir koristnih informacij, načrtov in kal-
kulatorjev raznih parametrov, ki nam olajšajo načr-
tovanje. Upam, da bomo kdaj v prihodnosti brali
članke o novi domači kameri, mogoče o nadgradnji
predstavljene, o novih načinih izdelave, novih ide-
jah.
×××
̌

̌
 48/1
Pravilna rešitev nagra-
dne križanke iz prve
številke Preseka je Re-
trogradno gibanje. Iz-
med pravilnih rešitev so
bili izžrebani Marijana
Marinšek iz Celja, Ka-
rel Rankel iz Kranja
in Luka Žerdin iz Mari-
bora, ki bodo razpisane
nagrade prejeli po pošti.
×××
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 2 25
Eksponentne vragolije
S Č
Uvod
S funkcijami se pri matematiki nevede soočimo, še
preden nam jih uradno predstavijo. Najbolj smo na-
vajeni funkcij ene spremenljivke, ki preslikajo realno
število v novo realno število in jih znamo lepo pona-
zoriti z grafom. Pomislimo na funkcije, sestavljene
iz osnovnih aritmetičnih operacij, kot so: število
množimo z 2 ali število kvadriramo. Polinomom, ki
jih lahko sestavimo zgolj z osnovnimi aritmetičnimi
operacijami, se v višjih razredih osnovne in kasneje
tudi srednje šole, pridružijo še druge funkcije, ki jih
najdemo na žepnem računalu. Te funkcije – trigo-
nometrične funkcije, kot so sinus, kosinus, tangens,
njihove inverzne funkcije ter eksponentna in logari-
temska funkcija imenujemo tudi elementarne funk-
cije.
Ko rišemo grafe funkcij, smo omejeni praktično
le z velikostjo papirja ter s svojo domišljijo, prav
tako pa lahko v nedogled kombiniramo funkcije, ki
jih imamo na voljo. Verjetno je marsikateri bralec
v razvedrilo med urami matematike pritiskal po ra-
čunalu in sestavljal funkcije, kot so log(sin(x2)) ali
xx . Obstajajo še kakšne funkcije, ki jih z njim ne
moremo izraziti?
V tem prispevku vas bom peljal po zaviti poti, pol-
ni nenavadnih funkcij, na katero me je v gimnazij-
skih časih zavedla radovednost o enačbi 2x = x2.
Ogledali si bomo izraze, ki zadevajo potenciranje, in
medtem spoznali tudi, kako lahko s šolskim računa-
lom izračunamo vrednosti funkcij, ki nimajo svojega
gumba in jih tudi ne moremo sestaviti iz elementar-
nih funkcij.
Reševanje enačb
Najenostavnejša uporaba funkcij je kar vstavljanje.
Če imamo funkcijo f(x) = x2, ji lahko kot argu-
ment podamo npr. število x = 2 in dobimo vrednost
f(2) = 4. Argument funkcije pa ni vedno znano
število, običajno moramo za reševanje matematič-
nih problemov rešiti tudi kakšno enačbo. Grafično
to pomeni iskanje presečišč dveh krivulj. Kadar re-
šujemo kvadratno enačbo ax2 + bx + c = 0, iščemo
presečišče parabole (leva stran) in vodoravne osi (de-
sna stran). Za ta primer znamo s pomočjo znanega
obrazca presečišči izračunati analitično:
x =
1
2a
(−b ±
√
b2 − 4ac).
V tem obrazcu nastopa funkcija kvadratnega korena,
ki nam omogoči, da dobimo obe presečišči z vstavlja-
njem števil v računalo. Podobno npr. enačbo 2x = 4,
če rešitve že ne uganemo, rešimo z uporabo dvoji-
škega logaritma x = ln2 4 = 2. Pri tem moramo se-
veda paziti, da presečišča sploh obstajajo.
Lahko vsako enačbo, v kateri nastopajo elemen-
tarne funkcije, rešimo z uporabo elementarnih funk-
cij? Na žalost je odgovor v večini primerov negati-
ven. Oglejmo si igrivo enačbo, ki se vpraša, v kate-
rem primeru nam menjava osnove in eksponenta ne
spremeni rezultata
x2 = 2x .
2x
x2
-2 -1 0 1 2 3 4 5
0
5
10
15
x
y
SLIKA 1.
Leva in desna stran enačbe x2 = 2x . Opazimo tri presečišča:
pozitivni pri x = 2 in x = 4 ter eno negativno, ki ga bomo še
izračunali.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 226
Grafa funkcij na levi in desni strani enačaja (slika
1) nam namigneta, da lahko pričakujemo tri prese-
čišča – eno pri negativnem x in dve pozitivni. Ena
pozitivna rešitev, x = 2, je očitna, saj velja 22 = 22.
Drugo, x = 4, za ta primer lahko uganemo; če se še
tako trudimo, pa spremenljivke x ne moremo izra-
ziti. Največ, kar lahko naredimo, je, da enačbo ko-
renimo in vzamemo pozitivno vrednost. Na desni
strani še vedno nastopa naša neznanka, lahko pa do-
bljeni izraz razumemo kot preslikavo, ki vstavljeno
vrednost na desni preslika v novo vrednost
x 7→
√
2x.
Sosledje operacij potenciranja in korenjenja na sliki
prepoznamo kot sledenje od vrednosti x navpično
do krivulje 2x , pozitivni koren pa odgovori na vpra-
šanje, kje vodoravnica skozi ravnokar dobljeno toč-
ko seka desno polovico krivulje x2. Slika 2 nas hitro
prepriča, da je dobljeno število bližje presečišču kot
prejšnje.
2x
2x
2x
x2
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0
1
2
3
4
5
x
y
SLIKA 2.
Iterativno iskanje presečišča z začetno vrednostjo x = 1. Če
sledimo izračunom, navpǐcne črte izračunajo 2x iz trenutnega
približka, vodoravne pa rezultat korenijo. Po zadostnem številu
ponovitev se poljubno približamo rešitvi x = 2.
Če postopek dovolj časa ponavljamo, dobimo po-
ljubno dober približek rešitve – temu postopku re-
čemo tudi iteracija. S tem postopkom dobimo zapo-
redje izrazov
x 7→
√
2
x
7→
√
2
√
2
x
7→ · · · 7→
√
2
√
2
√
2
. .
.
.
Spomnimo še, da pri stolpu potenc izvajamo opera-
cije od zgoraj navzdol, torej xy
z
= x(y
z).
Z običajnim šolskim računalom, ki dovoljuje vnos
izrazov, lahko rezultat dobimo na zelo preprost na-
čin z gumbom Ans , ki ponazarja rezultat prejšnjega
računa. Vstavimo začetni približek, npr. x = 1, priti-
snemo = , vpišemo zgornjo enačbo z Ans namesto x
ter pritiskamo enačaj, kot kaže slika 3, dokler se šte-
vilke ne spreminjajo samo še na decimalnih mestih,
ki nas ne zanimajo več. Tabela 1 prikazuje, kako se
vrednosti približujejo rešitvi x = 2.
SLIKA 3.
Iteracija z računalom. Prvi korak si zapomni začetno število
x = 1 kot prejšnji rezultat, na katerega se potem sklicuje Ans .
Z nekaj pritiski na enačaj dobimo poljubno natančen rezultat.
Podobno lahko s slike vidimo, da, če vzamemo
negativni kvadratni koren, iščemo presečišče z levo
stranjo parabole, s čimer najdemo skrivnostno nega-
tivno rešitev
x 7→ −
√
2
x
7→ −
√
2
−
√
2
x
7→ · · · 7→ −
√
1/2
√
1/2
√
1/2
. .
.
.
Uporabili smo še dejstvo, da minusi v potenci pome-
nijo obratne vrednosti osnove, kar porabi vse minuse
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 2 27
∞ 2,000000000000 0,766664695962 /
50 1,999999993049 0,766664695962 napaka
10 1,983668399304 0,766665092319 5,911914873331
9 1,976341754410 0,766663204247 4,382546732246
8 1,965664886517 0,766670310130 3,644283987905
7 1,950034773806 0,766643566773 3,189324761899
6 1,926999701847 0,766744218071 2,860441497461
5 1,892712696829 0,766365425098 2,592025704908
4 1,840910869291 0,767791240292 2,349005318612
3 1,760839555880 0,762427988549 2,106203352149
2 1,632526919438 0,782654027356 1,837117307087
1 1,414213562373 0,707106781187 1,500000000000
iteracija x →
√
2
x
x →
√
1/2
x
x → 1,5x
TABELA 1.
Vmesni rezultati iteracije potencira-
nja za tri razlǐcne osnove. Prvi
dve konvergirata k vrednostima funk-
cije T(
√
2) ter T(
√
1/2), tretja pa ne
konvergira.
razen tistega spredaj. V drugem stolpcu tabele 1
najdemo zaporedne vrednosti te iteracije brez spre-
dnjega minusa, začneši s približkom x = 1.
2x
- 2x
2x
x2
-2 -1 0 1 2
0
1
2
3
4
5
x
y
SLIKA 4.
Iteracija z začetne vrednosti x = 1 z negativnim korenom, x →
−
√
2
x
, nas privede do negativnega presečišča.
Stolpi potenc
Opazimo, da smo v obeh primerih računali vrednost
neskončnega stolpa enakih potenc. Namesto
√
2 ali
√
1/2 bi lahko vstavili tudi druga števila, zato si kar
predpišimo funkcijo T , ki dano število postavi v ne-
skončni stolp potenc
T(x) = xx
x.
. .
.
Vsaj ena točka te funkcije je očitna na pamet: T(1) =
1. Iteracijo lahko na računalu poskusimo s poljub-
nim x. Po nekaj poskusih opazimo, da nam pri pre-
velikih začetnih številih, npr. za število x = 1,5 v
3. stolpcu tabele 1, števila pobegnejo v neskončnost.
Slika 5 prikazuje graf funkcije T(x) z označenima
vrednostma, ki smo ju potrebovali za izračun prese-
čišč.
Katero je pa največje število, ki ga še lahko vsta-
vimo v naš stolp potenc, da se iteracija še vedno
ustavi? Za ta odgovor si moramo ogledati še eno so-
rodno funkcijo.
Lambertova funkcija
Pobližje si oglejmo funkcijo
f(x) = xex,
kjer je e ≈ 2,71828 osnova naravnega logaritma. Že-
limo poiskati inverz te funkcije oz. izraziti y iz enač-
be
x = f(y) = yey .
Izkaže se, da tega ne moremo storiti zgolj z ele-
mentarnimi funkcijami. Ker se reševanje te enačbe
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 228
T(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
1 /2 2
SLIKA 5.
Graf funkcije T(x), ki jo izračunamo z neskončno iteracijo
potenciranja.
W(x)
x ex
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y
-e-1
SLIKA 6.
Graf funkcije f(x) = xex ter njenega inverza, Lambertove
funkcije W(x). Črtkani del ne pride v poštev, saj funkcija ne
more imeti dveh vrednosti.
v znanosti pogosto pojavi, so matematiki funkciji,
ki enačbo reši, dali ime in oznako, četudi ni dobila
svojega gumba na računalih. Vpeljemo Lambertovo
funkcijo W , ki po definiciji reši zgornjo enačbo
y = W(x).
Ta funkcija nam pomaga v fiziki pri izpeljavi Wieno-
vega zakona, pri obravnavi vezij, ki vsebujejo diode,
in še kje.
Ker je Lambertova funkcija inverz funkcije f(x),
dobimo njen graf, prikazan na sliki 6, z zrcaljenjem
grafa f(x) preko diagonale. Pri tem izberemo le
zgornjo vejo rešitve, podobno kot to storimo pri kva-
dratnem korenu. Opazimo, da funkcija nima rešitve
pod določeno vrednostjo. Ta najnižja vrednost xmin,
ki jo še smemo vstaviti, je enaka vrednosti funkcije
f(x) v njenem minimumu. Funkcija f(x) ima mi-
nimum pri x = −1, njena vrednost v tej točki pa
je xmin = f(−1) = −e−1. Bralci, ki poznajo od-
vod, lahko to trditev tudi sami preizkusijo, ostale pa
lahko o tem prepriča slika 6.
Lambertovo funkcijo bomo sedaj uporabili za izra-
čun lastnosti stolpov potenc. Kot je veljalo za osno-
vo
√
2, velja za funkcijo T(x) v splošnem zveza
T(x) = xT(x).
Če želimo uporabiti Lambertovo funkcijo, moramo
enačbo preoblikovati v obliko f() = e = . Po-
maga nam zveza x = elnx , kjer je lnx naravni loga-
ritem:
T(x)x−T(x) = 1
T(x)e− lnx T(x) = 1.
Da bo v potenci stal isti izraz kot pred njo, množimo
enačbo z − lnx:
− lnx T(x)e− lnx T(x) = − lnx.
Na levi prepoznamo f() = f(− lnx T(x)), od ko-
der lahko z Lambertovo funkcijo izluščimo
− lnx T(x) = W(− lnx),
oz. v končni obliki
T(x) = −
W(− lnx)
lnx
.
Če imamo na voljo funkcijo W , lahko izračunamo
vrednosti neskončnih stolpov potenc tudi na ta na-
čin. V računalniškem programu Mathematica jo npr.
najdemo pod imenom ProductLog, v programu Ma-
ple pa pod imenom LambertW.
Izvemo pa še nekaj več. Ker je minimalna vre-
dnost, ki jo še dovoljuje funkcija W , enaka −e−1, do-
bimo pogoj za maksimalno vrednost, ki jo smemo
dati v neskončen stolp potenc:
xmax = e1/e ≈ 1,44467.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 2 29
To ni veliko več od
√
2, ki smo ga vstavljali za rešitev
enačbe 2x = x2, ter manj od 1,5, za katerega smo
videli, da iteracija uide v neskončnost.
Posplošitve
Funkciji 2x in x2 sta se na pozitivnih številih sekali
dvakrat: enkrat pri x = 2, ki je bil tudi rezultat naše
iteracije, in enkrat pri x = 4. Za konec si vprašanje
še posplošimo na splošno osnovo a,
xa = ax ,
ki jo na podoben način lahko obrnemo v iteracijski
postopek
x → (a1/a)x
oziroma
xL = T(a1/a).
a1/a
0 1 2 3 4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
a
e
SLIKA 7.
Graf funkcije a1/a. Maksimum ima pri a = e.
Pri tem smo označili rešitev z xL, ker ta iteracija
vedno vodi le do levega izmed obeh pozitivnih pre-
sečišč, tako kot se je to zgodilo na sliki 2. Funkcija
a1/a, ki nastopa v argumentu naše funkcije (slika
7), ima maksimum pri a = e, kjer ravno dosežemo
zgornjo mejo definicijskega območja T , za katerega
smo pokazali, da je pri e1/e. Za manjše vrednosti,
a < e, nam bo ta funkcija dala le trivialno rešitev.
Kot smo videli na sliki 2, je prvo pozitivno presečišče
ex
xe
0 1 2 3 4
0
5
10
15
20
25
30
35
x
y
e
SLIKA 8.
Grafa funkcij ex in xe so ne sekata dvakrat, temveč se le
dotakneta.
xL=T(a
1/a)
xD
0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5
a
x
SLIKA 9.
Levo in desno pozitivno presečišče krivulj ax in xa. Zaradi
simetrije problema desne rešitve pri a < e ustrezajo zrcaljenju
leve rešitve pri a > e. Označeni sta rešitvi pri a = 2, ki znašata
xL = 2 in xD = 4, ter enaki rešitvi pri a = 4.
  ̌      ̌   
P 48 (2020/2021) 230
pri xL = a. Pri a = e se funkciji ax in xa ne sekata
dvakrat, temveč se le dotakneta, kot kaže slika 8.
Za a > e presečišči zamenjata vlogi in nam itera-
cijski postopek da drugo, zanimivejšo rešitev. Hkrati
opazimo, da sta v enačbi ax = xa spremenljivki x in
a zamenljivi. To pomeni, da lahko z zrcaljenjem re-
šitev za a > e dobimo drugo presečišče tudi za a < e,
kjer bi sicer z iteracijo dobili le xL = a. Slika 9 pri-
kazuje rešitev, ki jo dobimo z iteracijo xL = T(a1/a),
ter njeno zrcalno sliko, ki nam pomaga določiti xD.
To nam vsaj grafično pokaže vejo rešitve, ki vsebuje
xD = 4 s slike 1.
Pozorni bralec bo opazil, da nismo ničesar rekli o
spodnji meji definicijskega območja funkcije T(x).
Več o tem si lahko preberete v viru [1]. Prav tako se
nismo posvečali analitičnemu izrazu za desno reši-
tev xD, za katerega bi potrebovali spodnjo, črtkano
vejo inverza funkcije f(x) s slike 6. Te ne dobimo z
neskončno iteracijo potenciranja temveč z neskonč-
no iteracijo logaritmiranja.
Iteracija je le ena izmed mnogih numerič-
nih metod za reševanje enačb in s tem za iz-
račun večjega nabora funkcij. Uporaba gumba
Ans nas reši pred stalnim ročnim vstavljanjem
prejšnjega približka v računalo. Na prvi pogled se
zdi, da je iteracija manj natančna kot računanje z
vgrajenimi funkcijami, saj delamo s približki. Zave-
dati pa se moramo, da se izračun vseh funkcij na
koncu prevede na zaporedje seštevanj in množenj.
Žepna računala in računalniki vedno vrnejo le pri-
bližen rezultat z vnaprej znanim številom decimal-
nih mest. Tudi pri pisnem deljenju števil izvajamo
zaporedje seštevanj, odštevanj in množenj, posto-
pek pa ustavimo, ko smo z natančnostjo zadovoljni.
Ločnica med elementarnimi in »specialnimi« funkci-
jami, kamor bi lahko šteli Lambertovo funkcijo in
neskončni stolp potenc, leži torej le v dogovoru ter
morda v obstoju vnaprej pripravljenih gumbov na
žepnem računalu.
Literatura
[1] Luca Moroni, The strange properties of the in-
finite power tower, 2019. arXiv:1908.05559
[math.HO].
×××
SLIKA 3 K PRISPEVKU NARAVNA
UKLONSKA MREŽICA.
Mikroskopska slika peresa v razlǐcnih
povečavah (zgoraj). Shematski pri-
kaz sestave peresa (spodaj).






















         
P 48 (2020/2021) 2 31
Naravna uklonska mrežica
A̌ M̌
Gotovo ste na svojih sprehodih v naravi že na-
šli ptičje pero. Pa ste kdaj pogledali skozenj proti
drobni svetilki? Če je svetloba iz svetilke bela,
opazimo, kako se razkloni v več mavričnih lis. Sli-
ka 1 kaže fotografijo peresa, za katerim sveti dio-
dna svetilka pametnega telefona. Mavričnih lis na
fotografiji ni videti, svetilko za peresom zaznamo
le po osvetljenih peresnih rebrih in pridihu modri-
kaste ter rdečkaste barve.
Uklonski pojav omenjene mavrične lise lažje za-
znamo z očmi kot pa s kamero, ki ima manjšo glo-
binsko ostrino. Pojav pa pride do izraza tudi na foto-
grafiji, ko kamero izostrimo na neskončnost. Takrat
se točkasta svetilka razpotegne v svetel križ z ma-
vričnimi lisami na koncu krakov. Izid poskusa kaže
slika 2.
Razlog, da pero razkloni svetlobo svetilke na več
mavričnih lis, odkrijemo, če z mikroskopom pogle-
damo podrobno strukturo peresa. Iz rebra peresa
SLIKA 1.
Pero, za katerim je svetilka pametnega telefona. Pero je od
kamere oddaljeno za stežaj roke, svetilka pa je daleč zadaj.
Fotografija je izostrena na pero, slika telefona v ozadju ni ostra.
SLIKA 2.
Fotografija svetilke, narejena skozi pero, kamera je izostrena
na svetilko in ne na pero. Fotografija je narejena s fotoapara-
tom, ki omogoča ročno ostrenje.
na dve nasprotne strani izraščajo veje, iz njih pa še
drobnejše vejice. Vejice tvorijo urejeno strukturo, ki
deluje kot uklonska mrežica. Uklonska mrežica je
element, s katerim v fiziki razklonimo svetlobo na
njene spektralne komponente. Narejena je kot glav-
nik, z množico dolgih, ozkih rež, le velikost rež je
dosti manjša, tako da jih pride nekaj sto na mili-
meter. Uklonska mrežica razkloni ozek curek bele
svetlobe v ravnini pravokotni na reže, tako da na-
stane več svetlejših mavričnih lis razporejenih v črti.
Če prekrižamo dve mrežici, opazimo mavrične lise
razporejene po celi ravnini. Na mikroskopskem po-
snetku v največji povečavi (slika 3 desno) lahko ja-
sno vidimo dva niza vejic, ki ležijo med seboj pribli-
žno pod pravim kotom. Zaradi prehajanja svetlobe
skozi tako urejene reže med vejicami, je uklonska
slika taka, kot da bi prekrižali dve uklonski mrežici.
Vidimo, da tudi v naravi najdemo spektralne pri-
pomočke, ki razkrivajo pisano naravo svetlobe. Tak
primer je še npr. mavrica ali pa obarvana tanka plast
olja. Ko boste naslednjič našli pero, le pokukajte
skozenj, ali opazite kaj novega in nenavadnega. Po-
tem, ko prijemate pero, si pa le umijte roke z milom,
če v okolici razsaja ptičja gripa.
×××
Zgodovina znanosti v stripu
Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Lju-
bljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših
deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je pri-
znanje prejelo za strip Življenja Marie Curie.
Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata
duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega časa. V vsakem
razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je različica imena Marija, v čast veliki znanstvenici Marie
Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne
in obenem poučne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij.
Med najbolj posrečenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema
elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlično prevedel prof. dr. Alojz Kodre.
7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR
Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja
• Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter
• Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes.
Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poučna in
bosta bralcu brez dvoma polepšala dan.
Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred-
stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite:
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Individualni naročniki revije Presek, člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naročilu pri
DMFA–založništvo 20 % popusta na zgornje cene – izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v
uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 633.