i i “kolofon” — 2017/11/27 — 9:20 — page 1 — #1 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, JULIJ 2017, letnik 64, številka 5, strani 121–160 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Jezikovno pregledala Janez Juvan in Grega Rihtar. Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič- nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi- nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij. c© 2017 DMFA Slovenije – 2053 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate- matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle- ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni- ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na- pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 121 — #1 i i i i i i O TANGENSU, VSOTAH POTENC, EULERJEVIH IN BERNOULLIJEVIH ŠTEVILIH MATJAŽ KONVALINKA Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 05A05, 05A15 Eulerjeva števila so definirana preko alternirajočih permutacij, Bernoullijeva števila pa se enostavno izražajo z Eulerjevimi števili z lihim indeksom. V članku si ogledamo nekatere uporabe teh števil. Pojavljajo se namreč v razvoju tangensa in sekansa v potenčno vrsto, v formuli za vsoto potenc prvih nekaj naravnih števil in v vrednostih funkcije zeta. ON TANGENT FUNCTION, SUMS OF POWERS, EULER AND BERNOULLI NUMBERS We define Euler numbers via alternating permutations, and Bernoulli numbers as rational multiples of Euler numbers with an odd index. In this paper, we study some applications of these numbers. They appear as coefficients in the power series expansion of the tangent and secant functions, in the formula for the sum of powers of the first few integers, and in values of the zeta function. Uvod: trigonometrične funkcije kot potenčne vrste Predstavljajmo si, da ne vemo nič o trigonometriji, vemo pa dovolj o po- tenčnih vrstah oblike ∑∞ n=0 anx n, da jih znamo med seboj seštevati, množiti in členoma odvajati: ∞∑ n=0 anx n + ∞∑ n=0 bnx n = ∞∑ n=0 (an + bn)x n [seštevanje istoležnih koeficientov] (1)( ∞∑ n=0 anx n ) · ( ∞∑ n=0 bnx n ) = ∞∑ n=0 ( n∑ k=0 akbn−k ) xn [konvolucijsko množenje] (2)( ∞∑ n=0 anx n )′ = ∞∑ n=1 nanx n−1 = ∞∑ n=0 (n+ 1)an+1x n [odvajanje po členih] (3) Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 121 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 122 — #2 i i i i i i Matjaž Konvalinka Tu so an koeficienti iz nekega obsega s karakteristiko 0, običajno R ali C. Pri tem lahko na potenčne vrste gledamo kot na dejanske funkcije (se pravi: x, ki je po absolutni vrednosti manǰsi od konvergenčnega polmera, se pre- slika v limito delnih vsot; v tem primeru so (1)–(3) številske enakosti, ki veljajo na nekem območju) bodisi kot na formalne potenčne vrste (se pravi:∑∞ n=0 anx n je samo drug zapis za zaporedje (an) ∞ n=0; v tem primeru so zgornje enakosti definicije operacij). Prvi način je običajen v analizi, drugi pa v kombinatoriki, obe gledǐsči pa imata svoje prednosti in slabosti. Za večino snovi, ki sledi, lahko račune formalno utemeljimo bodisi na en bo- disi na drug način. V nadaljevanju se v podrobnosti ne bomo spuščali in bomo mirno seštevali, množili in odvajali vse potenčne vrste. Omenimo še, da konvolucijsko množenje uporabljamo tudi za množenje polinomov: na primer, koeficient pri x3 produkta polinomov a0 + a1x + · · · + anxn in b0 + b1x+ · · ·+ bmxm je vsota a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0. Najpomembneǰsa potenčna vrsta je eksponentna funkcija: ex = ∞∑ n=0 xn n! = 1 + x+ x2 2 + x3 6 + x4 24 + · · · ; tu je n! = 1 · 2 · · ·n (preberemo: n fakulteta) in 0! = 1. Eksponentna funkcija ima lepo lastnost, da je njen odvod enak funkciji sami: res, če je an = 1/n!, je (n+ 1)an+1 = (n+ 1)/(n+ 1)! = 1/n! = an. S pomočjo eksponentne funkcije zlahka definiramo sinus, kosinus, tan- gens in sekans: sinx = eix − e−ix 2i cosx = eix + e−ix 2 tg x = sinx cosx secx = 1 cosx . Seveda je tu i2 = −1. Pripomnimo, da kotangens in kosekans nista defi- nirana v točki 0 in ju zato ne moremo razviti v potenčno vrsto okoli 0 (v jeziku formalnih potenčnih vrst bi rekli, da sinx nima inverza za množenje). Za sode n velja (ix)n = (−ix)n = (−1)n/2xn, za lihe n pa (ix)n = −(−ix)n = (−1)(n−1)/2ixn, zato hitro izpeljemo sinx = ∞∑ n=0 (−1)n x 2n+1 (2n+ 1)! = x− x 3 6 + x5 120 − · · · cosx = ∞∑ n=0 (−1)n x 2n (2n)! = 1− x 2 2 + x4 24 − · · · Marsikatero dejstvo o trigonometričnih funkcijah sledi neposredno iz de- finicije (na primer sin′ x = cosx, cos′ x = − sinx, cos2 x + sin2 x = 1). V 122 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 123 — #3 i i i i i i O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih razdelku Eulerjeva oz. Bernoullijeva števila in funkcija zeta bomo uporabili tudi nekaj lastnosti trigonometričnih funkcij, ki ne sledijo na očiten način iz zgornjih razvojev. Pripomnimo, da če na sinus in kosinus gledamo kot na funkciji, sta njuna konvergenčna polmera ∞, torej vrsti konvergirata za vsa realna oziroma kompleksna števila x. Tri naloge Videli smo, da imata sinus in kosinus enostaven razvoj v vrsto. Kaj pa tangens in sekans? Zapǐsimo tg x = ∞∑ n=0 anx n. Ker je po definiciji cosx · tg x = ( ∞∑ n=0 (−1)n x 2n (2n)! )( ∞∑ n=0 anx n ) = ( 1− x 2 2 + x4 24 − · · · )( a0 + a1x+ a2x 2 + · · · ) = a0 + a1x+ (a2 − a02 )x 2 + (a3 − a12 )x 3 + (a4 − a22 + a0 24 )x 4 + · · · = sinx = x− x 3 6 + x5 120 − · · · , lahko izračunamo nekaj začetnih členov: a0 = 0, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 1/2− 1/6 = 1/3, a4 = 0 itd. Tako dobimo tg x = x+ x3 3 + 2x5 15 + 17x7 315 + 62x9 2835 + 1382x11 155925 + 21844x13 6081075 + 929569x15 638512875 + · · · in podobno secx = 1 cosx = 1+ x2 2 + 5x4 24 + 61x6 720 + 277x8 8064 + 50521x10 3628800 + 540553x12 95800320 + 199360981x14 87178291200 +· · · Takoj vidimo, da ima razvoj tangensa same lihe potence, sekansa pa same sode (to ni presenetljivo, saj je tangens liha funkcija, sekans pa soda). Ni pa očitno, kako bi izrazili posamezne člene v razvoju obeh funkcij. Lahko morda najdemo formulo za n-ti člen? Izkaže se, da preproste formule ni, obstaja pa lepa kombinatorična interpretacija koeficientov: to se pravi, ko- eficiente lahko izrazimo preko moči določenih množic. 121–135 123 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 124 — #4 i i i i i i Matjaž Konvalinka Naloga 1. Poǐsči formulo za koeficiente v razvoju tangensa in sekansa v vrsto. Nalogo bomo rešili v razdelku Alternirajoče permutacije in Eulerjeva števila. Druga naloga je na videz povsem nepovezana s prvo. Verjetno vsi po- znamo zgodbo o Carlu Friedrichu Gaussu (1777–1855), ki je kot otrok prese- netil svojega učitelja, ko je izredno hitro seštel števila od 1 do 100 in ga tako prikraǰsal za okrepčilen dremež med poukom. Gauss naj bi opazil, da lahko najprej seštejemo 1 in 100, potem 2 in 99, potem 3 in 98 itd. V vsakem primeru dobimo 101, vsot je 50, zato je skupna vsota 50 · 101 = 5050. Za splošen n se podobno ali pa z indukcijo lahko dokaže dobro znana formula n∑ j=1 j = n(n+ 1) 2 = n2 2 + n 2 . Prav tako se z indukcijo lahko dokažejo podobne vsote n∑ j=1 j2 = n(n+ 1)(2n+ 1) 6 = n3 3 + n2 2 + n 6 n∑ j=1 j3 = n2(n+ 1)2 4 = n4 4 + n3 2 + n2 4 n∑ j=1 j4 = n(n+ 1)(2n+ 1)(3n2 + 3n− 1) 30 = n5 5 + n4 2 + n3 3 − n 30 . Videti je, da je vsota ∑n j=1 j k polinom v spremenljivki n, ki se vedno začne s členoma nk+1/(k+1)+nk/2, ni pa očitno, kaj bi bili naslednji členi. Naloga 2. Poǐsči formulo za vsoto k-tih potenc naravnih števil od 1 do n. Nalogo bomo rešili v razdelku Eulerjeva oz. Bernoullijeva števila in vsote potenc. Tretja naloga je nekoliko podobna drugi: tokrat nas zanimajo vsote negativnih potenc vseh naravnih števil od 1 naprej. Iz osnovne analize vemo, da harmonična vrsta ∞∑ j=1 1 j divergira, medtem ko vrste ∞∑ j=1 1 jn 124 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 125 — #5 i i i i i i O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih konvergirajo za vse n > 1. Zelo znana je prelepa formula ∞∑ j=1 1 j2 = π2 6 , velja pa tudi ∞∑ j=1 1 j4 = π4 90 ∞∑ j=1 1 j6 = π6 945 ∞∑ j=1 1 j8 = π8 9450 . Domnevamo lahko, da za ∑∞ j=1 j −2n vselej dobimo zmnožek števila π2n in nekega racionalnega števila. Naloga 3. Poǐsči vsoto sodih negativnih potenc naravnih števil. Nalogo bomo rešili v razdelku Eulerjeva oz. Bernoullijeva števila in funkcija zeta. Izkaže se, da lahko rešitve vseh treh nalog izrazimo preko Eulerjevih števil ali z njimi tesno povezanih Bernoullijevih števil, ki jih bomo definirali v naslednjem razdelku. Alternirajoče permutacije in Eulerjeva števila Permutacija velikosti n je zapis števil 1, . . . , n v nekem vrstnem redu. Pri- meri permutacij so tako [1, 2, 3], [4, 1, 3, 2], [9, 8, 1, 2, 5, 7, 10, 6, 3, 4]. Obi- čajno to zapǐsemo brez oklepajev in vejic (števila nad 10 v tem primeru damo v oklepaj), torej 123, 4132 in 981257(10)634. Vseh permutacij veliko- sti n je n!; za n = 3 so to 123, 132, 213, 231, 312 in 321. Permutacija π = π1 . . . πn je alternirajoča, če velja π1 > π2 < π3 > π4 < . . . Število vseh alternirajočih permutacij velikosti n označimo z En in imenujemo Eulerjevo število (tudi Eulerjevo cikcak število). Velja E0 = 1 (prazna permutacija je na prazno alternirajoča), E1 = 1 (edina permutacija velikosti 1 je prav tako na prazno alternirajoča), E2 = 1 (edina alternirajoča permutacija velikosti 2 je 21), E3 = 2 (alternirajoči permutaciji velikosti 3 sta 213 in 312), z računalnikom lahko hitro preverimo še E4 = 5, E5 = 16, E6 = 61, E7 = 272 itd. 121–135 125 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 126 — #6 i i i i i i Matjaž Konvalinka Eulerjeva števila se imenujejo po švicarskem matematiku Leonhardu Eu- lerju (1707–1783). Pripomnimo še, da obstajajo tudi eulerska števila, ki tudi štejejo permutacije z neko lastnostjo. Za Eulerjeva števila ni znana nobena enostavna formula; brez dokaza povejmo, da se lahko izračunajo preko dvojne vsote En = i n+1 n+1∑ k=1 k∑ j=0 ( k j ) (−1)j(k − 2j)n+1(2i)−kk−1, kjer je i2 = −1. Eulerjeva števila se lahko izračunajo tudi preko precej lepše rekurzivne formule (lema 1), s pomočjo katere lahko dokažemo naš glavni izrek (izrek 2). Ta izrek reši nalogo 1, hkrati pa bo osnova za reševanje nalog 2 in 3. Lema 1. Za n ≥ 1 velja 2En+1 = n∑ k=0 ( n k ) EkEn−k. Dokaz. Če velja π1 < π2 > π3 < π4 > . . ., rečemo, da je permutacija π = π1 . . . πn obratno alternirajoča. Obratno alternirajoči permutaciji velikosti 3 sta tako 231 in 132. Enostavno je videti, da je alternirajočih in obratno alter- nirajočih permutacij velikosti n enako mnogo: permutacija π = π1 . . . πn je alternirajoča natanko tedaj, ko je njen obrat π′ = (n+1−π1, . . . , n+1−πn) obratno alternirajoča permutacija. Z drugimi besedami, 2En+1 šteje število vseh permutacij velikosti n + 1, ki so bodisi alternirajoče bodisi obratno alternirajoče. Po drugi strani pa desna stran šteje vse trojice (S, σ, τ), kjer S označuje podmnožico množice {1, . . . , n} velikosti k, σ obratno alternirajočo permu- tacijo velikosti k, τ pa obratno alternirajočo permutacijo velikosti n − k. Iz take trojice lahko skonstruiramo alternirajočo ali obratno alternirajočo permutacijo π velikosti n + 1 takole. Na mesto k + 1 postavimo n + 1; na mesta k, k−1, . . . , 1 postavimo števila iz S, urejena, kot določa σ, na mesta k + 2, k + 3, . . . , n+ 1 pa števila iz {1, . . . , n} \ S, urejena, kot določa τ . Z drugimi besedami, če je S = {i1, . . . , ik} in {1, . . . , n} \ S = {j1, . . . , jn−k}, kjer je i1 < i2 < . . . < ik in j1 < j2 < . . . < jn−k, potem je π = (iσk , . . . , iσ2 , iσ1 , n+ 1, jτ1 , jτ2 , . . . , jτn−k). Za n = 8 in trojico ({1, 5, 8}, 132, 25341) dobimo denimo 581937462. Lahko je preveriti, da je π alternirajoča (če je k sodo število) oziroma obratno alternirajoča (če je k liho število) in da je naša preslikava med permutacijami in trojicami zgornje oblike bijektivna. Recimo, alternirajoča permutacija 826174935 je slika trojice ({1, 2, 4, 6, 7, 8}, 351426, 12). 126 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 127 — #7 i i i i i i O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih Izrek 2. Velja tg x+ secx = ∞∑ n=0 En n! xn. Dokaz. Pǐsimo F (x) = tg x+ secx = 1+sinxcosx . Potem je F (0) = 1 in 2F ′(x) = 2 cos2 x+ (1 + sinx) sinx cos2 x = 2 + 2 sinx cos2 x = 1 + 2 sinx+ sin2 x+ cos2 x cos2 x = F 2(x) + 1. Trdimo, da isti diferencialni enačbi zadošča tudi desna stran G(x) =∑∞ n=0 En n! x n. Ker je E0 = 1, je res G(0) = 1. Za vsak n ≥ 1 pa je ko- eficient pri xn v 2G′(x) enak 2(n + 1) En+1(n+1)! = 2En+1 n! , koeficient pri x n v G2(x) + 1 pa po konvolucijskem pravilu n∑ k=0 Ek k! En−k (n− k)! = 1 n! n∑ k=0 ( n k ) EkEn−k. Po lemi 1 sta ta dva izraza enaka. Koeficient pri x0 v 2G′(x) je 2E1 = 2, v G2(x) + 1 pa E20 + 1 = 2. Ni težko videti, da če dve potenčni vrsti obe ustrezata isti diferencialni enačbi in se ujemata v točki 0, sledi, da morata biti enaki. Razvoj tangensa je potem lihi del, sekansa pa sodi del razvoja iz izreka 2. Zato dobimo tg x = ∞∑ n=0 E2n+1 x2n+1 (2n+ 1)! in secx = ∞∑ n=0 E2n x2n (2n)! . Eulerjeva oz. Bernoullijeva števila in vsote potenc Bernoullijeva števila Bn, ki se imenujejo po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju (1654–1705), so tesno povezana z Eulerjevimi števili z lihimi indeksi. Definirana so takole: Bn =  1 : n = 0 1 2 : n = 1 0 : n > 1 liho (−1) n 2 +1nEn−1 2n(2n − 1) : n > 1 sodo 121–135 127 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 128 — #8 i i i i i i Matjaž Konvalinka Tako je denimo B2 = (−1)2 · 2 · 1 22(22 − 1) = 1 6 . Zaporedje Bernoullijevih števil se začne 1, 1 2 , 1 6 , 0,− 1 30 , 0, 1 42 , 0,− 1 30 , 0, 5 66 , 0,− 691 2730 , 0, 7 6 , 0,−3617 510 , 0, 43867 798 , 0,−174611 330 , . . . Bernoullijeva števila se prav tako pojavijo v razvoju neke pomembne funkcije v potenčno vrsto (lema 3). Za motivacijo poskusimo s pomočjo rodovnih funkcij rešiti nalogo 2, torej izračunati ∑n j=1 j k. Označimo z Gn(x) (eksponentno) rodovno funkcijo vsot ∑n j=1 j k po vseh k, torej Gn(x) = ∞∑ k=0  n∑ j=1 jk  xk k! . Z zamenjavo vrstnega reda seštevanja dobimo Gn(x) = n∑ j=1 ( ∞∑ k=0 jkxk k! ) = n∑ j=1 ejx. To je končna geometrijska vrsta, ki jo seveda znamo sešteti: Gn(x) = e x · e nx − 1 ex − 1 = xex ex − 1 · e nx − 1 x . Funkcijo e nx−1 x znamo razviti v vrsto; če razvijemo v vrsto še xex ex−1 , s konvolucijsko formulo dobimo formulo za iskano vsoto. Lema 3. Velja xex ex − 1 = ∞∑ n=0 Bn n! xn. Dokaz. Lahko je videti, da ima funkcija xe x ex−1 razvoj v potenčno vrsto, torej xex ex − 1 = ∞∑ n=0 an xn n! za neko zaporedje (an) ∞ n=0. Naš cilj je dokazati, da je an = Bn. 128 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 129 — #9 i i i i i i O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih Ker se 2n(2n − 1)Bn izraža na preprosteǰsi način preko Eulerjevih števil kot Bn, izračunajmo rodovno funkcijo za 2 n(2n − 1)an. Če zamenjamo x z 2x, dobimo 2xe2x e2x − 1 = ∞∑ n=0 2nan xn n! , zato je 2xe2x e2x − 1 − xe x ex − 1 = ∞∑ n=0 (2n − 1)an xn n! . Če ponovno zamenjamo x z 2x, dobimo 4xe4x e4x − 1 − 2xe 2x e2x − 1 = ∞∑ n=0 2n(2n − 1)an xn n! . V definiciji Bernoullijevih števil s sodimi indeksi nastopajo Eulerjeva števila z za 1 manǰsim indeksom. Zato obe strani zadnje enakosti odvajajmo; nato še odštejmo 1. Na levi z nekaj računanja dobimo( 4xe4x e4x − 1 − 2xe 2x e2x − 1 )′ − 1 = 4e 2xx+ e4x − 1 (e2x + 1)2 , na desni pa −1 + ∞∑ n=1 2n(2n − 1)an xn−1 (n− 1)! . Naredimo še nekaj računov s funkcijo tg x = ∞∑ n=0 E2n+1 x2n+1 (2n+ 1)! . Najprej obe strani odvajajmo in pomnožimo z x: x cos2 x = ∞∑ n=0 E2n+1 x2n+1 (2n)! . Sedaj zadnji enakosti seštejmo in zamenjajmo trigonometrične funkcije z njihovimi definicijami: 4x (eix + e−ix)2 + eix − e−ix i(eix + e−ix) = ∞∑ n=0 (2n+ 2)E2n+1 x2n+1 (2n+ 1)! . 121–135 129 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 130 — #10 i i i i i i Matjaž Konvalinka Zamenjamo x z ix in pomnožimo z −i: 4x (ex + e−x)2 + ex − e−x ex + e−x = ∞∑ n=0 (−1)n(2n+ 2)E2n+1 x2n+1 (2n+ 1)! ; tu smo na desni upoštevali −i·i2n+1 = −i2n+2 = −(−1)n+1 = (−1)n. Lahko je videti, da se leva stran spet poenostavi v 4e2xx+ e4x − 1 (e2x + 1)2 . Iz tega sledi, da je −1 + ∞∑ n=1 2n(2n − 1)an xn−1 (n− 1)! = ∞∑ n=0 (−1)n(2n+ 2)E2n+1 x2n+1 (2n+ 1)! . Koeficienta na levi in desni strani pri x0 sta −1 + 2a1 in 0, torej je a1 = 1/2 = B1. Koeficienta pri x 2n, n ≥ 1, sta 22n+1(22n+1 − 1)a2n+1/(2n)! in 0, torej je a2n+1 = 0 = B2n+1 za n ≥ 1. Koeficienta pri x2n−1, n ≥ 1, sta 22n(22n − 1)a2n/(2n − 1)! in (−1)n−12nE2n−1/(2n − 1)!, torej je a2n = (−1)n+12nE2n−1/(22n(22n − 1)) = B2n. Ker je tudi a0 = limx→0 xex/(ex − 1) = 1 = B0, smo dokazali, da je an = Bn za vse n ≥ 0. Pripomnimo, da se v literaturi včasih vzame B1 = −1/2 namesto B1 = 1/2. V tem primeru je ∑∞ n=0Bnx n/n! = xe x ex−1 − x = x ex−1 . Sedaj lahko rešimo tudi nalogo 2. Izrek 4 (Faulhaberjeva formula). Za naravni števili n in k velja n∑ j=1 jk = 1 k + 1 k∑ l=0 ( k + 1 l ) Bln k+1−l = nk+1 k + 1 + nk 2 + bk/2c∑ l=1 (−1)l+1 ( k 2l−1 ) E2l−1 22l(22l − 1) nk+1−2l. Dokaz. Dokazali smo že, da je Gn(x) = ∞∑ k=0  n∑ j=1 jk  xk k! = xex ex − 1 · e nx − 1 x , 130 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 131 — #11 i i i i i i O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih torej moramo poiskati koeficient pri xk na desni strani. Po izreku 3 znamo razviti v vrsto funkcijo xe x ex−1 , očitno je enx−1 x = ∑∞ k=1 nkxk−1 k! , konvolucijsko množenje zato da Gn(x) = ∞∑ k=0 Bk k! xk · ∞∑ k=0 nk+1 (k + 1)! xk = ∞∑ k=0 ( k∑ l=0 Bl l! · n k+1−l (k + 1− l)! ) xk. Koeficient pri xk na obeh straneh je tako 1 k! n∑ j=1 jk = 1 (k + 1)! k∑ l=0 ( k + 1 l ) Bln k+1−l, iz česar sledi izrek. Prvih nekaj členov Faulhaberjeve formule je n∑ j=1 jk = nk+1 k + 1 + nk 2 + ( k 1 ) · 1 4 · 3 nk−1− ( k 3 ) · 2 16 · 15 nk−3+ ( k 5 ) · 16 64 · 63 nk−5− ( k 7 ) · 272 256 · 255 nk−7+ · · · Za vsak fiksen k so binomski koeficienti v števcu prej ali slej enaki 0, tako da za vsoto res dobimo polinom v n stopnje k + 1. Eulerjeva oz. Bernoullijeva števila in funkcija zeta Ena od uporab rodovnih funkcij je, da lahko z njimi izračunamo asimptotiko členov zaporedja. Naj bo f(z) funkcija, holomorfna (analitična) v okolici točke 0, s Taylorjevim razvojem f(z) = ∑∞ n=0 anz n. Denimo, da ima f(z) pol v točki z0 in da je to edina singularnost v krogu s sredǐsčem v 0 in s polmerom |z0|+  za neki  > 0. Z drugimi besedami, obstaja tak najmanǰsi r (ki mu rečemo stopnja pola), da ima funkcija f(z)(z − z0)r odpravljivo singularnost v z0, konvergenčni radij Taylorjeve vrste te funkcije v točki 0 pa je strogo večji od |z0|. Potem ni težko videti, da je dober približek za koeficient an izraz bn = (−1)rc−rnr−1 (r − 1)! zn+r0 , (4) kjer je c−r = lim z→z0 f(z)(z − z0)r. 121–135 131 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 132 — #12 i i i i i i Matjaž Konvalinka Dokaz bomo izpustili, glej na primer [3, Theorem 5.2.1]. Še več, velja lim n→∞ |an − bn| · |z0|n = 0, (5) torej da razlika med an in bn raste počasneje kot (1/|z0|)n, ko gre n proti neskončno. Oglejmo si, kaj nam formula (4) da za funkcijo f(z) = tg z + sec z = 1+sin z cos z . Singularnosti funkcije z so ničle cos z, v katerih je sin z 6= −1. Edina kompleksna števila, ki ustrezajo tema pogojema, so z = π/2+2kπ za k ∈ Z. Singularnost, najbližja izhodǐsču, je tako π/2, v tej točki ima f(z) pol stopnje r = 1, c−1 = lim z→π/2 (1 + sin z)(z − π/2) cos z = lim z→π/2 (z − π/2) cos z + (1 + sin z) − sin z = −2, kjer smo uporabili l’Hôpitalovo pravilo. Dobimo približek za koeficiente f(z), ki jih poznamo iz izreka 2: En n! ∼ (−1) 1(−2)n0 0!(π/2)n+1 = 2n+2 πn+1 oziroma En ∼ 2n+2n! πn+1 . Primerjajmo obe strani za n = 0, . . . , 10: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 En 1 1 1 2 5 16 61 272 1385 7936 50521 2n+2n! πn+1 1,27 0,81 1,03 1,97 5,019 15,98 61,03 271,96 1385,07 7935,86 50521,28. Vidimo, da je približek zelo dober, čeprav ni res, kot bi morda kdo sklepal iz teh primerov, da je En kar 2n+2n! πn+1 , zaokroženo na najbližje celo število: razlike med pravo in približno vrednostjo rastejo, količniki pa konvergirajo proti 1. Dobimo lahko tudi bolǰsi približek: razlika f(z)− c−1z−π/2 = f(z)− −2 z−π/2 ima odpravljivo singularnost v točki π/2, tako da je zanjo −3π/2 singular- nost, najbližja izhodǐsču. Spet velja c−1 = lim z→−3π/2 ( f(z) + 2 z − π/2 ) (z+3π/2) = lim z→−3π/2 f(z)(z+3π/2) = −2. Tako lahko odštejemo še funkcije −2(z + 3π/2)−1, −2(z − 5π/2)−1, −2(z + 7π/2)−1 itd. in dobivamo bolǰse in bolǰse približke za koeficiente f(z). S 132 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 133 — #13 i i i i i i O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih pomočjo (5) je lahko dokazati, da konvergirajo proti koeficientom f(z). Z drugimi besedami, dobili smo En n! = 2 (π/2)n+1 + 2 (−3π/2)n+1 + 2 (5π/2)n+1 + 2 (−7π/2)n+1 + 2 (9π/2)n+1 +· · · To je posebno zanimivo, če je n lih. Vstavimo 2n− 1, n ≥ 1, namesto n: E2n−1 (2n− 1)! = 22n+1 π2n · ( 1 + 1 32n + 1 52n + 1 72n + 1 92n + · · · ) . (6) Po drugi strani lahko člene v vsoti ζ(2n) = 1 + 1 22n + 1 32n + 1 42n + 1 52n + · · · (ζ je grška črka zeta) razdelimo na lihe in sode, potem pa pri imenovalcih sodih členov izpostavimo 22n. Dobimo ζ(2n) = 1 + 1 32n + 1 52n + 1 72n + 1 92n + · · ·+ 1 22n ζ(2n), iz česar sledi 1 + 1 32n + 1 52n + 1 72n + 1 92n + · · · = ( 1− 1 22n ) ζ(2n). Pri tem smo upoštevali, da lahko vrstni red sumandov v konvergentni vrsti s pozitivnimi členi poljubno spreminjamo. Torej nam (6) da ζ(2n) = E2n−1π 2n 2(22n − 1)(2n− 1)! = (−1)n+122n−1B2nπ2n (2n)! za n ≥ 1. S tem smo rešili tudi nalogo 3. To pojasni denimo ζ(4) = ∞∑ j=1 1 j4 = E3π 4 2 · (24 − 1) · (4− 1)! = 2π4 2 · 15 · 6 = π4 90 . Končajmo še z nekaj dejstvi o funkciji zeta, ki je definirana kot ζ(z) = ∞∑ j=1 1 jz (7) za kompleksna števila z = x+ iy z x > 1; pri tem je jz definiran kot ez·log j . Ni težko videti, da je vrsta pri tem pogoju konvergentna, pravkar pa smo izračunali ζ(z) za soda naravna števila z. 121–135 133 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 134 — #14 i i i i i i Matjaž Konvalinka Za liha naravna števila z > 1 ni znana nobena formula za ζ(z). Domneva se, da so π, ζ(3), ζ(5) itd. algebraično neodvisna števila, torej da ne obstaja netrivialen polinom v dveh spremenljivkah z racionalnimi koeficienti, ki bi uničil dve izmed njih. Pač pa velja naslednje: funkcijo ζ, ki smo jo definirali na delu kompleksne ravnine {x + iy : x > 1}, lahko analitično razširimo na C \ {1}. Razširjena funkcija, ki jo spet označimo z ζ, ima v 1 pol stopnje 1, poleg tega pa velja ζ(−n) = −Bn+1 n+ 1 za nenegativna cela števila n. Velja torej ζ(0) = −B1 = −12 , ζ(−2n) = 0 in ζ(1− 2n) = (−1) nE2n−1 22n(22n−1) za n = 1, 2, . . . Eulerjeva števila z lihim indeksom se torej pojavljajo ne le v razvoju tangensa v vrsto in v formuli za vsoto prvih n k-tih potenc, temveč tudi pri vrednostih funkcije ζ, in sicer tako pri pozitivnih sodih kot pri negativnih lihih številih. Formula ζ(−(2n− 1)) = (−1) nE2n−1 22n(22n − 1) ima zanimivo interpretacijo. Na primer, za n = 1 dobimo ζ(−1) = − 112 . Če vstavimo z = −1 v (7) (česar seveda ne smemo storiti, ker vrsta na desni divergira), torej dobimo 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = − 1 12 . To je seveda nadvse nenavadno: delne vsote 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . naj bi kon- vergirale proti −1/12. Ta »trditev« (ki jo matematično torej pravilno ra- zumemo v smislu funkcije ζ, glej pa tudi [2] za alternativno razumevanje teh rezultatov) je tako presenetljiva, da si je utrla pot tudi v nematema- tični svet: v zadnjih letih lahko decembra v centru Ljubljane med drugimi novoletnimi okraski vidimo tudi napis ∑∞ n=1 n = − 1 12 . Na internetu (npr. [4]) pa je mogoče najti tudi utemeljitve, kot je nasle- dnja. Označimo S0 = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · S1 = 1− 1 + 1− 1 + · · · S2 = 1− 2 + 3− 4 + · · · 134 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Konvalinka” — 2017/11/27 — 7:21 — page 135 — #15 i i i i i i O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih Potem je 2S1 = 1− 1 + 1− 1 + · · · + 1− 1 + 1− · · · = 1, se pravi S1 = 1/2. Podobno je 2S2 = 1− 2 + 3− 4 + · · · + 1− 2 + 3− · · · = 1− 1 + 1− 1 + · · · = S1 = 1/2, torej S2 = 1/4. Torej je S0 − S2 = 1 + 2 + 3 + 4 + · · · −1 + 2− 3 + 4− · · · = 4 + 8 + 12 + 16 + · · · = 4S0. Iz tega dobimo 3S0 = −S2 in S0 = −S2/3 = −1/12. Taka izpeljava seveda ni matematično korektna, ker računamo z diver- gentnimi vsotami, nam pa vseeno daje neko intuitivno predstavo, zakaj je vrednost ζ(−1) ravno − 112 . Na koncu omenimo še najpomembneǰso domnevo v zvezi s funkcijo ζ (mnogi jo imajo celo za najpomembneǰsi nerešeni matematični problem). Povedali smo že, da so soda negativna števila ničle funkcije ζ, rečemo jim trivialne ničle. Slavna Riemannova hipoteza pravi, da imajo vse netrivialne ničle funkcije ζ realni del enak 1/2. Domnevo je postavil nemški matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866), njena pomembnost pa je (med drugim) v tem, da je njena rešitev tesno povezana s porazdelitvijo praštevil. Omenimo, da so Eulerjeva in Bernoullijeva števila standardna tema v preštevalni kombinatoriki in pomemben zgled uporabe rodovnih funkcij; odlična referenca je [1]. Za asimptotiko koeficientov rodovnih funkcij je dober osnovni vir [3]. LITERATURA [1] R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 1, 2nd ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics 49, Cambridge University Press, Cambridge, 2012. [2] T. Tao, The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real- variable analytic continuation, dostopno na tinyurl.com/j869xct, ogled 25. 8. 2017. [3] H. S. Wilf, Generatingfunctionology, 3rd ed., A K Peters, Ltd., Wellesley, 2006. [4] Numberphile, Astounding: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = −1/12, dostopno na tinyurl. com/pekgb6o, ogled 25. 8. 2017. 121–135 135 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 136 — #1 i i i i i i ŠOLA KAJ NAM O MATEMATIČNEM ZNANJU MATURANTOV SPOROČA RAZISKAVA TIMSS ADVANCED? BARBARA JAPELJ PAVEŠIĆ1 IN GAŠPER CANKAR2 1Pedagoški inštitut 2Državni izpitni center Math. Subj. Class. (2010): 97D10, 97D60, 97C40; 62-07: Data analysis Mednarodna objava rezultatov primerjalne raziskave znanja preduniverzitetne ma- tematike je prinesla nekatere pomembne nove informacije o poučevanju matematike pri nas. Najpomembneǰse je, da je znanje maturantov, ki se odločajo za maturo iz mate- matike na vǐsji ravni, zraslo in je relativno visoko. V prispevku prikazujemo rezultate prvih nacionalnih analiz. Rezultate raziskave smo povezali z rezultati iz preteklih merjenj znanja matematike med srednješolci: iz sploh prvega sodelovanja Slovenije v mednarodni primerjavi leta 1989 in iz treh merjenj trendov v letih 1995, 2008 in 2015. Neodvisno izmerjene dosežke TIMSS Advanced smo primerjali z rezultati nacionalne mature. Iskali smo razlago, zakaj so razlike v dosežkih med spoloma v obeh merjenjih različne, čeprav sta preizkusa po vsebini in kognitivni strukturi zelo podobna. Ugotovili smo, da varianco v dosežkih dijakov v veliki meri pojasnijo spol, izbira ravni mature, izbira fizike za matu- ritetni predmet in naklonjenost do učenja matematike. Rezultate primerjamo z rezultati podobne analize pred osmimi leti. WHAT DOES TIMSS ADVANCED SAY ABOUT MATHEMATICS KNOWLEDGE OF SLOVENE SECONDARY SCHOOL STUDENTS The international report of the results of large scale assessments of pre-university mathematics has brought some important new information on mathematics teaching in Slovenia. Most importantly, the knowledge of students who choose the higher level of the national mathematics examination has grown and is relatively high. The paper presents results of the first national analysis. We compare the results of the study with the results from previous assessments: from the first participation of Slovenia in the international comparative study in 1989 and from three studies of trends in the years 1995, 2008 and 2015. The independently measured achievements of TIMSS Advanced were linked with the results of the national matura examination. We tried to find the explanation for di- fferences in achievements by gender that are different in both measurements, even though the content and cognitive structure of the tests are very similar. The important factors which explain achievement variance were found to be students’ gender, the choice of the national exam difficulty level, the choice of physics for the optional subject at the national examination, and how much students like to learn mathematics. Uvod Slovenija je med leti 1988 in 2016 sodelovala v mednarodnih raziskavah združenja IEA (International Association for the Evaluation of Educational 136 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 137 — #2 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? Achievement) iz znanja matematike in naravoslovja med učenci osnovne šole in dijaki v programih srednjih šol, ki dopuščajo vstop v univerzitetni študij. Države članice, ki so se ob vstopu zavezale k razvoju raziskovanja izobra- ževanja, v IEA zastopajo skupine raziskovalcev iz raziskovalnih inštitutov, univerz ali ministrstev. Združenje IEA so pred skoraj šestdesetimi leti usta- novili raziskovalci izobraževanja na sestanku Unesca, ko so ugotovili, da bi lahko države veliko lažje izbolǰsevale izobraževalne sisteme, če bi se lahko učile o učinkovitih rešitvah druga od druge. Ker so za to potrebovale pri- merljive podatke o sistemih, so zasnovale mednarodne primerjalne študije znanja in okolǐsčin učenja. V začetku so bila izvedena posamična merjenja znanja, od leta 1995 pa IEA izvaja največjo mednarodno raziskavo trendov šolskega matematičnega in naravoslovnega znanja, TIMSS (Trends in Inter- national Mathematics and Science Study), na štiri leta med osnovnošolci in na okoli osem let med srednješolci. V letih 1995, 2008 in 2015 je tudi Slovenija sodelovala v raziskavi znanja matematike in fizike med dijaki zah- tevneǰsih programov matematike in fizike v zadnjem letu pred vstopom na univerzo, TIMSS Advanced, ves čas pa tudi v raziskavah osnovnošolskega znanja. V prispevku bomo predstavili pomembneǰsa sporočila raziskave med srednješolci za slovensko matematično izobraževanje, ki smo jih iz podat- kov izluščili po mednarodni objavi rezultatov zadnjega merjenja v letu 2016 [5, 6]. Kaj je raziskava merila in kako? Mednarodna raziskava TIMSS Advanced tradicionalno meri skupno zna- nje matematike, znanje posameznih velikih vsebinskih poglavij matematike, algebre, analize in geometrije, ter ločeno tri kognitivne ravni znanja, pozna- vanje dejstev in postopkov, uporabo znanja ter matematično sklepanje. V merjenje vključi vnaprej natančno določene populacije dijakov zahtevneǰsih programov matematike v zaključnih letnikih srednje šole. Raziskava se vsa- kič začne s skupnim oblikovanjem načrta o merjenju znanja in dejavnikov ter zapisom načrtov, vsebine in namena primerjav v publikaciji Izhodǐsča raziskave TIMSS Advanced [5]. Sodelujoče države se skupaj dogovorijo o vsebinah preizkusa. Ker je namen IEA raziskav merjenje šolskega znanja, vsebine za preizkuse določijo iz primerljivih analiz učnih načrtov. V preiz- kuse znanja so vključene le vsebine, ki so pomemben del preduniverzitetnega matematičnega izobraževanja v vseh sodelujočih državah. Nekatera klasična poglavja matematike, kot so kombinatorika, verjetnost in statistika ter upo- raba polarnega koordinatnega sistema, v letu 2015 niso bila zajeta, ker jih v več državah ne učijo na preduniverzitetni ravni. V seznamu ni bilo nobenega poglavja, ki se ga slovenski dijaki programa splošne gimnazije ne bi imeli priložnosti naučiti v šoli. Naloge preizkusa znanja nato sledijo seznamu vsebin ter hkrati trem kognitivnim kategorijam znanja. 136–157 137 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 138 — #3 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar Vsebinska izhodǐsča preizkusa TIMSS Advanced 2015 Algebra Izrazi in operacije: računanje z eksponentnimi, logaritemskimi, polinomskimi, racionalnimi izrazi in koreni ter s kompleksnimi števili; izračunavanje vrednosti algebrskih izrazov (npr. eksponentnih, logaritemskih, polinomskih, racionalnih in korenskih); določiti n-ti člen aritmetičnega in geometrijskega zaporedja ter vsoto končne in neskončne vrste. Enačbe in neenačbe: rešiti linearne in kvadratne enačbe in neenačbe, kakor tudi sistem linearnih enačb in neenačb; rešiti eksponentne, logaritemske, polinomske, ra- cionalne in enačbe s koreni; uporabiti enačbe in neenačbe za reševanje problemskih nalog. Funkcije: interpretirati, primerjati in zapisati ekvivalentne predstavitve funkcij, tudi sestavljenih, v obliki urejenih parov, preglednic, grafov, formul ali besedila; prepoznati in ločiti temeljne lastnosti eksponentnih, logaritemskih, polinomskih, racionalnih in korenskih funkcij. Analiza Limite: določiti limite funkcij, tudi racionalnih; prepoznati in opisati pogoje za zveznost in odvedljivost funkcij. Odvodi: odvajati polinomske, eksponentne, logaritemske, trigonometrične, racio- nalne, korenske in sestavljene funkcije ter odvajati produkte in kvociente funkcij; uporabiti odvode za reševanje problemskih nalog iz optimizacije in hitrosti spre- memb; uporabiti prve in druge odvode za določanje naklona tangente ter iskanje ekstremov in prevojev polinomskih in racionalnih funkcij; uporabiti prvi in drugi odvod za skiciranje in opisovanje grafa funkcije. Integrali: integrirati polinomske, eksponentne, trigonometrične in enostavne raci- onalne funkcije; izračunati vrednosti določenih integralov in uporabiti integriranje pri računanju ploščin in prostornin. Geometrija Nekoordinatna in koordinatna geometrija: uporabiti nekoordinatno geome- trijo za reševanje problemskih nalog v dveh in treh dimenzijah; uporabiti koor- dinatno geometrijo za reševanje problemskih nalog v dveh dimenzijah; uporabiti lastnosti vektorjev, njihovih vsot in razlik pri reševanju problemov. Trigonometrija: uporabiti trigonometrijo pri reševanju nalog s trikotniki; pre- poznati, interpretirati in narisati grafe sinusnih in kosinusnih funkcij in funkcije tangens; rešiti problemske naloge, ki vključujejo trigonometrične funkcije. 138 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 139 — #4 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? Preverjanje je potekalo ob koncu aprila in v začetku maja 2015, da je kar najmanj motilo izvajanje mature. Šole so bile vnaprej seznanjene z vse- binskimi izhodǐsči raziskave in so dijakom večinoma prilagodile obravnavo snovi. Pri interpretaciji rezultatov pa je primerno upoštevati, da nekatere vsebine še niso bile utrjene. Učitelji so za vsako snov sporočili, ali so jo nji- hovi dijaki obravnavali že pred zadnjim letnikom, v 4. letniku ali pa so jo pri pouku pravkar uvedli in še ne utrdili.1 Učitelji 23 odstotkov slovenskih dija- kov so zapisali, da še niso dokončali obravnave uporabe odvoda za določanje prevojnih točk. 26 odstotkov dijakov pri pouku še ni dokončalo obravnave integriranja funkcij in 17 odstotkov se jih še ni naučilo uporabiti odvodov za reševanje problemov (ekstremalne naloge). Dokončano obravnavo drugih vsebin so potrdili učitelji več kot 95 odstotkov dijakov. V drugih državah, še posebej v Franciji, so sodelujoči dijaki pred testiranjem celovito obdelali manj snovi kot v Sloveniji. TIMSS Advanced meri dosežke dijakov s šestimi različnimi pisnimi pre- izkusi, v katere je bilo leta 2015 porazdeljenih 115 nalog. Vsak dijak reši le po en preizkus. Naloge TIMSS Advanced 2015 so enakomerno, v tretjinskih deležih, pokrivale omenjene tri vsebine (algebro, analizo in geometrijo) in tri kognitivna področja (poznavanje dejstev in postopkov, uporaba znanja in matematično sklepanje). Naloge sestavljajo učitelji matematike iz vseh sodelujočih držav na sku- pnem delovnem sestanku. Že ob sestavljanju vsako nalogo enolično umestijo v vsebinsko in kognitivno kategorijo. Mednarodna komisija za naloge izvede recenzijo. Vse države jih nato prevedejo, prilagodijo v svoj jezik in preizku- sijo med dijaki. Za vsako izvedbo raziskave je treba na novo napisati okoli polovico nalog, druga polovica pa se prevzame iz preǰsnje izvedbe raziskave. Po vsakem zaključku merjenja znanja polovica nalog ostane prikritih, da se lahko v enaki obliki prihodnjič ponovijo. V letu 2015 so bile naloge raz- deljene v devet skupin ali poglavij in štiri od teh so po izvedbi raziskave postale javno dostopne [4]. Velika večina nalog v raziskavah TIMSS preveri le znanje enega določe- nega koncepta. Rešitve dijakov so ocenjene z nič ali eno točko. Največ je nalog izbirnega tipa, kjer dijak dobi eno točko za pravilno izbran odgovor med štirimi ali petimi možnostmi. Del nalog je odprtega tipa, pri katerih dijaki sami zapǐsejo svojo rešitev in odgovor. Med temi je nekaj večsto- penjskih (leta 2015 jih je bilo 18), da zaporedoma preverijo dva povezana koncepta in dijakovo sposobnost reševanja obsežneǰsih problemov. Te na- loge dijakom prinesejo 0 točk za napačno rešitev, 1 točko za pravilno rešitev 1Podatki vseh držav o obravnavi snovi so objavljeni v dokumentu: TA15 MAT TeacherAlmanac, dostopnem na timssandpirls.bc.edu/timss2015/ advanced-international-database/downloads/TA15\_Almanacs.zip 136–157 139 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 140 — #5 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar enega dela ali izkazano znanje enega koncepta ali 2 točki za popolno rešitev. Točk ni bilo mogoče deliti. V mednarodni podatkovni bazi se za vsakega dijaka in vsako nalogo2 ohrani tudi podatek o vrsti dijakove rešitve, tudi če je napačna (npr. računska pot, tipična napaka) in se uporabi za primerjalne analize napačnih rešitev ali nerazumevanja konceptov. Poleg deležev pravilnih rešitev je iz rezultatov raziskave mogoče dobiti tudi druge informacije. Ob nalogah, ki so bile uporabljene v več zaporednih raziskavah, lahko spremljamo spreminjanje uspešnosti dijakov pri istih kon- ceptih. Ob nekaterih nalogah, ki so bile uporabljene v letih 1995, 2008 in 2015, bomo prikazali spreminjanje uspešnosti slovenskih dijakov v primer- javi z nekaterimi drugimi državami. Kaj kažejo rešitve nalog? Ruska federacija je sodelovala v vseh treh merjenjih z zelo specializirano populacijo dijakov programa intenzivne matematike (šest ur ali več pouka matematike na teden), v letu 2015 pa s splošno maturitetno populacijo, ki je po obsegu pouka matematike primerljiva s slovenskimi maturanti. Francija je sodelovala leta 1995, ko je dosegla med vsemi državami najvǐsji rezultat, in leta 2015, ko je znanje dijakov tako padlo, da se je uvrstila med države s podpovprečnim rezultatom. Italija je sodelovala v vseh treh raziskavah in nikoli ni dosegla zelo visokih dosežkov, čeprav njihova gimnazija traja pet let. ZDA so sodelovale v letih 1995 in 2015. V zadnjem merjenju so amerǐski dijaki reševali naloge in odgovarjali na vprašanja zelo podobno kot slovenski. Švedska je sodelovala v vseh treh merjenjih. Med vsemi državami je doživela najmočneǰsi padec znanja med 1995 in 2008, potem pa ji je do leta 2015 uspelo svoje rezultate izrazito popraviti. Trendi dosežkov za vse države so prikazani v preglednici 2. V nadaljevanju prikazujemo podrobneǰse podatke o reševanju petih pri- merov klasičnih matematičnih nalog, ki so se na preizkusih v letih 1995, 2008 in 2015 ponovile in katerih rezultati opozarjajo na potrebo po posebni pozornosti slovenskih učiteljev pri pouku. V Sloveniji smo primerjali reševanje med dijaki, odločenimi za vǐsjo in osnovno raven maturitetnega izpita iz matematike. Med vsemi maturanti splošne mature je bila leta 2008 in 2015 na vǐsjo raven izpita iz matematike prijavljena približno četrtina dijakov. Učni načrt matematike za obe skupini je enak, razlikujejo se samo zahtevani standardi znanja za maturo. Temu je prilagojena tudi priprava dijakov na maturo. 2Datoteke z rezultati nalog so ločene po državah in od datotek z odgovori dijakov, uči- teljev ali ravnateljev na vprašalnike. Dosegljivo na timssandpirls.bc.edu/timss2015/ advanced-international-database/downloads/TA15_SPSSData.zip 140 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 141 — #6 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? Primer 1: Naloga iz algebre, racionalizacija izraza, uvrščena med poznavanje dejstev Deleži odgovorov v Sloveniji, 2015 A* B C D E Osnovna raven mature 47,4 14,3 7,7 24,8 3,9 Vǐsja raven mature 77,8 9,0 1,8 6,5 3,2 Deleži pravilnih odgovorov med dijaki v sodelujočih državah Leto raziskave Francija Italija Ruska federacija Ruska federacija 6 ur+ Švedska ZDA Slovenija Osnovna raven mature Vǐsja raven mature 1995 79,4 55,0 78,9 52,4 44,6 62,7 2008 61,6 82,2 22,6 59,6 55,9 78,7 2015 43,8 57,7 57,6 77,1 20,4 42,2 55,1 47,4 77,8 Dijaki vǐsje ravni matematike v Sloveniji so glede na druge vrstnike to nalogo leta 2015 dobro reševali. V povprečju so dosegli enak rezultat kot dijaki intenzivne matematike iz Ruske federacije in bolǰsega kot dijaki drugih držav. Slovenski dijaki osnovne ravni so nalogo rešili veliko slabše, samo malo bolje kot Francozi in slabše kot leta 2008. Ob razmeroma slabih splošnih rezultatih pri tako elementarni nalogi bi se v Sloveniji (in tudi drugod) najbrž morali zamisliti in več pozornosti posvetiti razumevanju in vadbi osnovnega računanja z ulomki. Natančneǰsa vsebinska analiza rezultatov pri tej nalogi pokaže ne samo, da tako osnovno nalogo zna rešiti le slaba polovica teh dijakov, temveč tudi to, da jih je kar četrtina izbrala ZELO napačno rešitev D. Primer 2: Naloga iz kompleksnih števil, uvrščena med poznavanje dejstev Pri tej nalogi je treba opozoriti na izrazito slab uspeh naših dijakov in na veliko poslabšanje v zadnjih letih v večini držav, tudi pri nas. Leta 2015 so slovenski dijaki vǐsje ravni (8 % populacije) nalogo rešili enako dobro kot veliko večja skupina slovenskih dijakov v letu 1995 (74 % populacije). Slo- venski dijaki osnovne ravni so najpogosteje ločeno izračunali tretji potenci realnega in imaginarnega dela števila. Dosežek je slabši, kot bi pričako- vali glede na učni načrt, ki med cilji poglavja o učenju kompleksnih številih navaja »množenje kompleksnih števil« in med priporočili pravi, da je »pou- 136–157 141 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 142 — #7 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar Deleži odgovorov v Sloveniji, 2015 A B C* D E Osnovna raven mature 4,2 9,9 14,9 38,2 25,7 Vǐsja raven mature 1,8 3,2 40,7 18,5 28,5 Deleži pravilnih odgovorov med dijaki v sodelujočih državah Leto raziskave Francija Italija Ruska federacija Ruska federacija 6 ur+ Švedska ZDA Slovenija Osnovna raven mature Vǐsja raven mature 1995 59,1 18,6 55,9 46,2 24,1 40,3 2008 24,0 65,2 40,2 23,4 19,3 42,1 2015 36,7 23,8 35,1 47,6 30,7 25,1 21,5 14,9 40,7 darek na računskih operacijah s kompleksnimi števili«. Obenem je potenci- ranje in množenje kompleksnih števil običajno vključeno v maturitetni izpit na osnovni ravni. Primer 3: Naloga izračuna odvoda sestavljene eksponentne funk- cije, uvrščena med poznavanje dejstev Deleži odgovorov v Sloveniji, 2015 A B C* D E Osnovna raven mature 20,7 14,7 36,0 22,7 4,5 Vǐsja raven mature 8,7 7,4 68,6 11,1 2,5 Deleži pravilnih odgovorov med dijaki v sodelujočih državah Leto raziskave Francija Italija Ruska federacija Ruska federacija 6 ur+ Švedska ZDA Slovenija Osnovna raven mature Vǐsja raven mature 1995 92,5 62,5 73,7 57,7 32,6 55,6 2008 68,1 73,3 52,0 48,1 43,4 70,8 2015 79,8 61,7 61,8 68,9 48,3 70,7 44,2 36,0 68,6 Odvod sestavljene eksponentne funkcije so znali najbolje izračunati v Franciji, najslabše pa naši dijaki, ki kažejo tudi največje padanje znanja od leta 1995 dalje. Razlika v uspehu med slovenskimi dijaki osnovne in vǐsje maturitetne ravni je zelo velika. Rezultati so v nasprotju s smernicami učnega načrta, kjer je med učnimi cilji za obe ravni navedeno, da dijaki »odvajajo elementarne funkcije in kompozitum funkcij«. Slabi rezultati opozarjajo, da tudi te vsebine potrebujejo več pozornosti pri pouku. 142 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 143 — #8 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? Primer 4: Prepoznavanje enačbe pravokotnice na premico, uvr- ščena med uporabo znanja Deleži odgovorov v Sloveniji, 2015 A B C D E* Osnovna raven mature 20,1 7,9 14,6 10,1 39,7 Vǐsja raven mature 9,0 2,1 4,8 12,0 69,1 Deleži pravilnih odgovorov med dijaki v sodelujočih državah Leto raziskave Francija Italija Ruska federacija Ruska federacija 6 ur+ Švedska ZDA Slovenija Osnovna raven mature Vǐsja raven mature 1995 51,6 43,2 42,5 39,8 36,7 51,4 2008 44,6 48,6 23,3 46,6 39,3 78,5 2015 25,7 40,1 36,5 45,2 18,7 49,7 46,5 39,7 69,1 V primerjavi z drugimi kažejo naši dijaki relativno dobro razumevanje tega koncepta, še posebej dijaki vǐsje ravni, ki so močno prehiteli vse druge, tudi precej bolj specializirane ruske dijake. Zanimivo pa je, da so se rezultati naših dijakov osnovne maturitetne ravni od testiranja v letu 2008 ohranili oziroma celo rahlo izbolǰsali, med dijaki vǐsje ravni pa je znanje nekoliko upadlo. Primer 5: Naloga z vektorji v trikotniku, iz geometrije, uvrščena v uporabo znanja Pri nalogah z vektorji se naši dijaki tradicionalno dobro obnesejo. Zanimivo je, da se je pri tej nalogi rezultat v Sloveniji od preizkusa leta 2008 celo izbolǰsal. Naši dijaki so se najpogosteje zmotili, ker so vektor od A do B prepoznali kot vsoto in ne kot razliko med ~a in ~b. Od leta 2008 je pri reševanju preizkusov TIMSS (skladno z globalnimi trendi) dovoljena uporaba simbolnih in grafičnih kalkulatorjev. Vendar so naloge še naprej sestavljene tako, da kalkulator ne olaǰsa reševanja. Dijaki so opozorjeni, da morajo pri rešitvah s pomočjo kalkulatorjev primerno na- vesti razmisleke (algoritem reševanja oz. ukaze) in vmesne rezultate, rešitve pa so posebej označene, da so sledljive. Pri raziskavi 2015 so kalkulatorje uporabljali predvsem skandinavski dijaki in analiza rešitev je pokazala, da uporaba kalkulatorjev ni zagotavljala bolǰsega uspeha. 136–157 143 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 144 — #9 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar Deleži odgovorov v Sloveniji, 2015 A B C* D E Osnovna raven mature 18,1 14,8 37,7 9,1 9,9 Vǐsja raven mature 10,4 10,1 56,7 3,2 9,2 Deleži pravilnih odgovorov med dijaki v sodelujočih državah Leto raziskave Francija Italija Ruska federacija Ruska federacija 6 ur+ Švedska ZDA Slovenija Osnovna raven mature Vǐsja raven mature 1995 38,9 24,1 53,1 17,2 27,6 47,0 2008 23,2 62,2 18,9 36,8 32,9 54,2 2015 48,2 17,9 45,4 55,8 18,8 30,1 42,1 37,7 56,7 O metodah izračunavanja predstavljenih TIMSS dosežkov Raziskava TIMSS je izjemno kompleksna in vanjo so vključeni različni mo- deli ter statistične metode. Na ta način raziskava TIMSS zagotavlja široko bazo zanimivih statističnih podatkov, ki jih je ob primerni poglobitvi mogoče dobiti in analizirati na različne načine. Najodmevneǰsi so rezultati dosežkov na lestvicah, ki ponujajo tako primerjavo med državami kot tudi časovne trende glede na zaporedne raziskave (1995, 2008, 2015). Za izračun dosežkov iz osnovnih dijaških rešitev nalog se uporabljajo zahtevni statistični modeli, ki omogočajo sledljivost in primerjavo znanja dijakov kljub različnim oko- lǐsčinam v vsaki izvedbi raziskave: naloge v zaporednih TIMSS raziskavah so le deloma enake, sodelujoče populacije dijakov se razlikujejo med drža- vami, razlike so v nacionalnih učnih načrtih, organizaciji šolskih sistemov in nacionalnih prevodih preizkusov znanja. Vse skupaj v vsebinskem in teh- ničnem pogledu ustvarja navidezno različne pogoje za reševanje. Končno izračunavanje primerljivosti in dosežkov je računsko zelo zahteven proces, ki upošteva in preseže razlike, da so končni dosežki vsakega dijaka primer- ljivi med državami in med časovno zaporednimi izvedbami merjenja znanja. Izračun dosežkov izvedejo psihometriki pod vodstvom Mednarodnega cen- tra raziskave TIMSS (TIMSS and PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College). 144 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 145 — #10 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? Postopek je v osnovi sestavljen iz izračuna dosežka za vsakega sodelujo- čega dijaka in nato določanja lestvice (z linearnimi transformacijami) tako, da je primerljiva z lestvicami iz preteklih raziskav. Čeprav v zaporednih izvedbah sodelujejo različne države, postopek zagotovi primerljivost med- narodne lestvice za nazaj. Določanje lestvice dosežkov je predstavljeno v tehničnem poročilu [8], shematsko pa prikazano na sliki 1. Lestvice dosež- kov so vedno umerjene tako, da je mednarodno povprečje med dijaki enako 500 točk, standardni odklon pa 100 točk. Slika 1. Prikaz določanja lestvice dosežkov za izračune trendov. Za uporabnika podatkov je pomembno, da so lestvice iste vrste rezul- tatov primerljive med državami in med leti (npr. matematični dosežki ali dosežki iz algebre). Med seboj pa niso primerljivi dosežki z različnih lestvic (npr. dosežki iz algebre z dosežki iz sklepanja v isti državi). Raziskava od vseh nacionalnih merjenj znanja odstopa po tem, da dosežki vsakega dijaka niso eno število, pač pa pet verjetnostnih vrednosti (angl. plausible values). V statističnih računih je treba upoštevati teh pet vrednosti in še dejstvo, da dijaki niso popolnoma naključne osebe, pač pa izbrani iz naključnih, ven- dar različno velikih šol in razredov. Za delo s podatki so zato na spletni strani objavljenih rezultatov (Timss2015.org,internationaldatabases) na voljo obširna navodila in dostop do statističnih orodij (IDB Analyzer, ki požene ustrezne kombinacije ukazov v SPSS). Za uporabnike brez SPSS so na voljo tudi specialne knjižnice v R, trenutno Bifie in Intsvy. Kaj kažejo trendi v znanju matematike v Sloveniji? Slovenija je prvič izpeljala mednarodno primerljivo merjenje znanja leta 1989. To je bila raziskava znanja matematike SIMS (Second International 136–157 145 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 146 — #11 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar Mathematics Study3). Med dijaki naravoslovno-matematičnih (Slovenija NM) in drugih srednjih šol sistema usmerjenega izobraževanja (Slovenija Ne-NM) je bilo znanje matematike izmerjeno na popolnoma enak način kot v petnajstih drugih državah med letoma 1980–1982. Pod vodstvom med- narodnega centra raziskave TIMSS smo dopolnili mednarodno bazo podat- kov s slovenskimi meritvami. Mednarodnim povprečnim deležem pravilnih odgovorov za skupine nalog iz posameznih poglavij matematike smo do- dali podatke za naše dijake, ločeno za dijake naravoslovno-matematičnega usmerjenega izobraževanja in dijake drugih smeri (preglednica 1, [3]). 10 Preglednica 1: Rezultati Druge mednarodne raziskave matematike, SIMS, v zadnjem letniku srednje šole, 1989 Država/sistem Množice in relacije Številski sistemi Alge- bra Geome- trija Ana- liza Verjet- nost in statistika Skupno Prikaz skupnega deleža pravilnih odgovorov Hong Kong 79,5 77,7 78,3 65,1 71,2 72,6 72,7 Japonska 78,6 68,3 77,8 60,0 66,1 70,0 68,2 Anglija 61,4 59,4 66,0 51,4 57,5 63,7 58,6 Finska 77,1 56,7 68,8 47,9 54,6 57,6 57,5 Švedska 58,8 62,1 59,9 48,5 51,1 63,9 54,9 Slovenija NM 69,1 51,0 60,3 40,9 53,0 50,2 53,0 Nova Zelandija 71,8 50,6 56,6 42,9 48,2 57,9 50,8 Belgija Fl. 71,5 47,8 61,3 42,4 45,7 43,1 49,5 Ontario 69,1 46,6 56,7 41,5 45,5 46,1 48,2 lzrael 51,2 46,1 60,4 34,6 45,0 35,6 45,7 Belgija Fr. 66,0 44,0 55,3 37,7 42,9 42,1 45,5 Škotska 50,4 39,0 47,9 41,8 31,6 45,6 39,7 ZDA 53,0 40,3 42,6 32,6 28,3 40,9 35,6 Brit. Kolumbija 47,8 43,1 46,9 30,1 21,0 38,4 33,4 Tajska 52,1 33,0 38,3 29,8 26,4 34,1 32,1 Madžarska 35,2 27,9 44,9 30,2 25,8 28,7 31,3 Slovenija Ne-NM 44,2 31,0 40,2 23,8 29,0 33,3 30,9 Na prvih dveh mestih sta izstopala Hong Kong in Japonska. Sledile so jim Anglija, Finska in Švedska. Azijske države so še vedno v vrhu vseh mednarodnih primerjav iz znanja matematike, Anglija pa je od takrat doživela padanje znanja matematike med svojimi dijaki in učenci do leta 2011. Od objave rezultatov TIMSS 2011 za osnovno šolo Anglija sedaj intenzivno izboljšuje svoje matematično izobraževanje, tudi z različnimi vzpodbudami za dvig motivacije za učenje matematike v družbi nasploh (znani so npr. novi matematični muzeji). Finska pri nas še vedno velja za uspešno, ker je med drugim med državami OECD pri petnajstletnikih dosegla najboljši rezultat v raziskavi Pisa iz matematičnih kompetenc med petnajstletniki leta 2003 in iz naravoslovnih kompetenc leta 2006. Po prvem uspehu v raziskavi Pisa nekaj časa v TIMSS ni sodelovala in ko se je leta 2011 vrnila v TIMSS, med osnovnošolci ni dosegla najvišjih mest. V matematiki so jih v Pisi 2012 prehiteli Azijci, padli pa so tudi finski naravoslovni dosežki v Pisi 2015. Švedska v letih 1995 - 2011 kaže močno padanje matematičnega znanja, ki je bilo še večje v osnovni šoli. Po objavi TIMSS 2011 so se lotili temeljite prenove matematičnega izobraževanja (predvsem z dodatnim sistematičnim izobraževanjem učiteljev) in že v letu 2015 zaznali občutno izboljšanje na vseh ravneh. Njihova izkušnja je skladna s splošno ugotovitvijo TIMSS 2015, da je dobra izobraženost učiteljev in stalno dopolnjevanje njihovega znanja ključno za doseganje odličnosti v poučevanju matematike. Na žalost se v Sloveniji dodatno izobraževanje za učitelje izrazito zmanjšuje, še posebej na osnovnošolski ravni vse od leta 2012, ko je bila naša država še zgled drugim po obsegu ponudbe in številu vključenih učiteljev. Slovenija je vključno z raziskavo 2015 sodelovala v 6 raziskavah matematike in naravoslovja v osnovni šoli in 3 raziskavah matematike in fizike v srednji šoli. V Preglednici 2 so prikazani dosežki maturantov izbranih držav za vse izvedbe raziskave TIMSS v srednji šoli. Preglednica 1. Rezultati Druge mednarodne raziskave matematike, SIMS, v zadnjem letniku srednje šole, 1989. Slovenski dijaki naravoslovno-matematične usmeritve so s povprečnim matematičnim rezultatom dosegli 6. mesto med petnajstimi drugimi drža- vami. Dosegli so 5. mesto v analizi, 6. mesto v nalogah iz množic in številskih siste ov, 7. mesto iz algebr in v rjetnosti ter 10. mest v geometriji. Pov- prečni rezultat slovenskih dija ov, ki iso bili v naravosl vn -m tematičnih usmeritvah, je bil pričakovano nižji in najnižji med povprečji dijakov iz dru- gih držav. Ker je raziskava od dijakov zbrala še množico podatkov o učenju in odnosu do znanja, je bila nacionalna primerjava pomembna za kritično analizo usmerjenega izobraževanja. 3Podatki o osnovni izvedbi raziskave SIMS 1980–1982 so dostopni na: ips.gu.se/ english/research/research_databases/compeat/Before_1995/SIMS 146 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 147 — #12 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? Na prvih dveh mestih sta izstopala Hong Kong in Japonska. Sledile so jim Anglija, Finska in Švedska. Azijske države so še vedno v vrhu vseh mednarodnih primerjav iz znanja matematike, Anglija pa je od takrat doži- vela padanje znanja matematike med svojimi dijaki in učenci do leta 2011. Od objave rezultatov TIMSS 2011 za osnovno šolo Anglija sedaj intenzivno izbolǰsuje svoje matematično izobraževanje, tudi z različnimi vzpodbudami za dvig motivacije za učenje matematike v družbi na splošno (znani so npr. novi matematični muzeji). Finska pri nas še vedno velja za uspešno, ker je med drugim med državami OECD pri petnajstletnikih dosegla najbolǰsi rezultat v raziskavi Pisa iz matematičnih kompetenc med petnajstletniki leta 2003 in iz naravoslovnih kompetenc leta 2006. Po prvem uspehu v raz- iskavi Pisa nekaj časa v TIMSS ni sodelovala in ko se je leta 2011 vrnila v TIMSS, med osnovnošolci ni dosegla najvǐsjih mest. V matematiki so jih v Pisi 2012 prehiteli Azijci, padli pa so tudi finski naravoslovni dosežki v Pisi 2015. Švedska v letih 1995–2011 kaže močno padanje matematičnega znanja, ki je bilo še večje v osnovni šoli. Po objavi TIMSS 2011 so se lo- tili temeljite prenove matematičnega izobraževanja (predvsem z dodatnim sistematičnim izobraževanjem učiteljev) in že v letu 2015 zaznali občutno izbolǰsanje na vseh ravneh. Njihova izkušnja je skladna s splošno ugotovi- tvijo TIMSS 2015, da je dobra izobraženost učiteljev in stalno dopolnjevanje njihovega znanja ključno za doseganje odličnosti v poučevanju matematike. Na žalost se v Sloveniji dodatno izobraževanje za učitelje izrazito zmanǰsuje, še posebej na osnovnošolski ravni vse od leta 2012, ko je bila naša država še zgled drugim po obsegu ponudbe in številu vključenih učiteljev. Slovenija je vključno z raziskavo 2015 sodelovala v šestih raziskavah ma- tematike in naravoslovja v osnovni šoli in štirih raziskavah matematike in fizike v srednji šoli. V preglednici 2 so prikazani dosežki maturantov izbranih držav za vse izvedbe raziskave TIMSS v srednji šoli. Pri osnovnošolcih gre za obvezno šolanje celotne populacije, zato rezul- tati osnovnošolcev kažejo nacionalna povprečja. Pri populacijah srednje- šolcev pa govorimo o indeksu (odstotku) pokritja populacije vseh ustrezno starih mladostnikov v državi. Slednje je še posebej zanimivo v luči primerjav zahtevnih matematičnih programov (natančen opis programov in populacij je na spletni strani Timss2015.org). Skupna ugotovitev raziskave TIMSS Advanced med srednješolci v letu 2015 je, da je znanje matematike v zadnjih dvajsetih letih padlo v večini držav. Edina država, ki je dosegla vǐsje dosežke vsaj v zadnjem obdobju, je Švedska. Vendar tudi njihovi sedanji dosežki še vedno zaostajajo za re- zultatom iz leta 1995. V letih 2008 in 2015 so bili najuspešneǰsi dijaki intenzivnega programa matematike iz Ruske federacije, ki pa jih je v popu- laciji manj kot 2 odstotka in so torej zelo specializirana skupina. Sledijo jim slovenski dijaki vǐsje ravni mature, ki so po povprečnem dosežku v letu 2015 136–157 147 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 148 — #13 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar 11 Preglednica 2: Trendi 1995-2015 v dosežk h maturantov v izb anih državah Države Indeks* pokritja populacije Povprečni dosežek Razlika med leti Porazdelitev matematičnega dosežka 2008 1995 Francija 2015 21,5% 463 (3,1) -107 ↓ 1995 19,9% 569 (3,9) Italija 2015 24,5% 422 (5,3) -27 ↓ -61 ↓ 2008 19,7% 449 (7,2) -34 ↓ 1995 14,1% 483 (9,8) Ruska federacija 6 ur+ 2015 1,9% 540 (7,8) -21 ↓ -9 2008 1,4% 561 (7,0) 12 1995 2,0% 549 (8,2) Slovenija, višja raven mature 2015 8,2% 549 (3,4) 26 ↑ 2008 10,1% 523 (5,1) Slovenija, osnovna raven mature 2015 26,2% 433 (3,3) -6 2008 30,3% 439 (3,8) Slovenija, povprečje 2015 34,4% 460 (3,4) 2 -18 2008 40,5% 457 (4,3) -20 ↓ 1995 75,4% 478 (9,3) Švedska 2015 14,1% 431 (4,0) 19 ↑ -71 ↓ 2008 12,8% 412 (5,6) -89 ↓ 1995 16,2% 502 (5,2) ZDA 2015 11,4% 485 (5,2) -12 1995 6,4% 497 (7,4) ↓ Rezultati so se poslabšali. ↑ Rezultati so se izboljšali. Skupna ugotovitev raziskave TIMSS Advanced med srednješolci v letu 2015 je, da je znanje matematike v zadnjih 20 letih padlo v večini držav. Edina država, ki je dosegla višje dosežke vsaj v zadnjem obdobju, je Švedska. Vendar tudi njihovi sedanji dosežki še vedno zaostajajo za rezultatom iz leta 1995. V letih 2008 in 2015 so bili najuspešnejši dijaki intenzivnega programa matematike iz Ruske federacije, ki pa jih je v populaciji manj kot 2 % in so torej zelo specializirana skupina. Sledijo jim slovenski dijaki višje ravni mature, ki so po povprečnem dosežku v letu 2015 enaki ruskim vrstnikom. V resnici je znanje slovenskih dijakov višje ravni mature boljše, saj imajo relativno visok indeks pokritja populacije, ki je mnogo večji od ruskega. Najvišje znanje matematike med vsemi primerjavami so izkazali francoski dijaki v letu 1995. Na žalost se je do leta 2015 njihov dosežek izrazito poslabšal. Francoski raziskovalci verjamejo, da je razlog za slabo znanje matematike tudi to, da sodelujoči dijaki v svoj program matematike niso izbrani kot posebej uspešni v matematiki, pač pa po svojih študijskih željah. Pokazalo se je, da so ti francoski dijaki po nameravanem vpisu na naravoslovne, tehnične in matematične programe precej podobni slovenskim dijakom višje ravni. 100 200 300 400 500 600 700 800 Percentili dosežka 5. 25. 75. 95. I 95-% interval zaupanja za povprečje (+/-2SE) Preglednica 2. Trendi 1995–2015 v dosežkih maturantov v izbranih državah. enaki ruskim rstnik m. V resnici j nanj slovenskih dijakov vǐsje ravni mature bolǰse, saj imajo relativno visok indeks pokritja populacije, ki je ve- liko večji od ruskega. Najvǐsje znanje matematike med vsemi primerjavami so izkazali francoski dijaki v letu 1995. Na žalost se je do leta 2015 njihov dosežek izrazito poslabšal. Francoski raziskovalci verjamejo, da je razlog za slabo znanje matematike tudi to, da sod lujoči dijaki v svoj pr gram ma- temati e niso izbrani kot posebej uspeš i v te atiki, pač pa po svojih študijskih željah. Pokazalo se je, da so ti francoski dijaki po nameravanem vpisu na naravoslovne, tehnǐske in matematične programe precej podobni slovenskim dijakom vǐsje ravni. Leta 1995 je Slovenija sodelovala v raziskavi z dijaki, ki so predstavljali kar 75 odstotkov populacije vseh enako starih mladostnikov v naši državi. V 148 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 149 — #14 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? tej luči je splošni padec znanja bolj zaskrbljujoč. Po uvedbi poklicne mature leta 2003 je pri nas v zahtevneǰsem programu gimnazijske matematike še ve- dno več kot 30 odstotkov populacije, kar je precej več kot v večini drugih primerljivih držav. Vendar srednješolski program zahtevneǰse matematike pri nas ni pogoj za vpis v naravoslovne, matematične in tehnǐske univerzi- tetne študije, kakor je v večini drugih držav. Iz podatkov raziskave TIMSS je viden tudi upad vpisa na gimnazije pri nas, od več kot 40 odstotkov vpi- sanih v splošni gimnazijski program v letu 2008 na 33 odstotkov splošnih gimnazijcev v letu 2015. Razveseljivo je, da v primerjavah z drugimi državami zelo dobri slovenski dijaki vǐsje ravni mature posebej izstopajo v znanju algebre, ki vsaj v ZDA velja za najelitneǰse področje (preglednica 3). 14 Preglednica 3: Dosežki iz posameznih poglavij m tematike, TIMSS Advanced 2015 Države/sistemi Algebra Analiza Geometrija Francija 469 (2,9) 466 (3,2) 441 (3,7) Italija 414 (5,1) 433 (5,2) 413 (5,7) Ruska federacija 6ur+ 556 (9,0) 513 (8,0) 560 (8,4) Ruska federacija 495 (6,3) 459 (5,9) 500 (5,8) Slovenija, višja raven m. 558 (3,0) 532 (3,7) 532 (3,7) Slovenija, nižja raven m. 448 (3,5) 408 (4,5) 425 (3,9) Slovenija 474 (3,5) 437 (4,4) 456 (4,0) Švedska 422 (4,1) 438 (3,9) 430 (3,7) ZDA 478 (5,0) 504 (6,0) 455 (5,7) 5. Razlike v znanju matematike v Sloveniji Eno glavnih sporočil rezultatov mednarodnega merjenja znanja matematike so velike razlike med spoloma. V nobeni državi dekleta ne prekašajo fantov, v precej državah pa so bili fantje bolj uspešni od deklet. Razlike med srednješolci so še posebej zaskrbljujoče vpričo dejstva, da je na ravni osnovne šole precej drugače. V nekaterih državah (tudi v Sloveniji) razlik v dosežkih med spoloma sploh ni, ponekod so celo uspešnejša dekleta. V Sloveniji so razlike v dosežkih med spoloma v srednji šoli precejšnje. Analiza razlik med spoloma v Sloveniji skupaj s primerjavo dosežkov na maturi pa nam postavlja nekatera težka vprašanja o poučevanju matematike. V raziskavi TIMSS so fantje v povprečju dosegli kar za 27 točk višji rezultat od deklet (Preglednica 4). To je v nasprotju s šolskimi ocenami, ki se nagibajo v korist dekletom pri pouku in na maturi. Preglednica 4: Razlike v matematičnih dosežkih TIMSS Advanced 2015 med spoloma Država % fantov Povprečni matematični dosežek Dekleta (s.n.) Fantje (s.n.) Razlika (s.n.) Slovenija, višja raven mature 45 538 (3.4) 562 (5.5) 24* (3.3) Portugalska 49 481 (3.0) 483 (3.1) 2 (3.6) ZDA 51 470 (5.3) 500 (6.4) 30* (5.8) Slovenija 40 449 (3.5) 476 (4.9) 27* (4.7) Slovenija, osnovna raven mature 39 424 (4.0) 447 (4.7) 23* (5,2) *Razlika je statistično značilna. Rezultati mature v točkovnih ocenah so bili v letu 2015 za približno 0,5 točke (od 8 točk) višji pri dekletih. Natančen pogled pove, da so bila dekleta uspešnejša od fantov le v skupini osnovne ravni mature (Preglednica 5). V povprečju so dekleta v primerjavi s fanti pridobila več točk in s tem višjo oceno pri ustnem delu izpita. Preglednica 3. Dosežki iz posameznih poglavij matematike, TIMSS Advanced 2015. Razlike v znanju matematike v Sl veniji Eno glavnih sporočil rezultatov mednarodneg merjenja znanj matematike so velike razlike med spoloma. V nobeni državi dekleta ne prekašajo fantov, v precej državah pa so bili fantje bolj uspešni od deklet. Razlike med sre- dnješolci so še posebej zaskrbljujoče vpričo dejstva, da je na ravni osnovne šole precej drugače. V nekaterih državah (tudi v Sloveniji) razlik v dosežkih med spoloma sploh ni, ponekod so dekleta celo uspešneǰsa. V Sloveniji so razlike v dosežkih med spoloma v srednji šoli preceǰsnje. Analiza razlik ed spoloma v Sloveniji skupaj s primerjavo dosežkov na ma- turi pa nam postavlja nekatera težka vprašanja o poučevanju matematike. V raziskavi TIMSS so fantje v povprečju dosegli kar za 27 točk vǐsji rezultat od deklet (preglednica 4). To je v nasprotju s šolskimi ocenami, ki se nagibajo v korist dekletom pri pouku in na maturi. Rezultati mature v točkovnih oce ah so bili v letu 2015 za približno 0,5 točk (od 8 točk) vǐsji pri dekletih. Natančen pogled pove, da so bila dekleta uspešneǰsa od fantov le v skupini osnovne ravni mature (preglednica 5). V 136–157 149 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 150 — #15 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar 13 ZDA 478 (5.0) 504 (6.0) 455 (5.7) 5. Razlike v znanju matematike v Sloveniji Eno glavnih sporočil rezultatov mednarodnega merjenja znanja matematike so velike razlike med spoloma. V nobeni državi dekleta ne prekašajo fantov, v precej državah pa so bili fantje bolj uspešni od deklet. Razlike med srednješolci so še posebej zaskrbljujoče vpričo dejstva, da je na ravni osnovne šole precej drugače. V nekaterih državah (tudi v Sloveniji) razlik v dosežkih med spoloma sploh ni, ponekod so celo uspešnejša dekleta. V Sloveniji so razlike v dosežkih med spoloma v srednji šoli precejšnje. Analiza razlik med spoloma v Sloveniji skupaj s primerjavo dosežkov na maturi pa nam postavlja nekatera težka vprašanja o poučevanju matematike. V raziskavi TIMSS so fantje v povprečju dosegli kar za 27 točk višji rezultat od deklet (Preglednica 4). To je v nasprotju s šolskimi ocenami, ki se nagibajo v korist dekletom pri pouku in na maturi. Preglednica 4: Razlike v matematičnih dosežkih TIMSS Advanced 2015 med spoloma Država % fantov Povprečni matematični dosežek Dekleta (s.n.) Fantje (s.n.) Razlika (s.n.) Slovenija, višja raven mature 45 538 (3,4) 562 (5,5) 24* (3,3) Portugalska 49 481 (3,0) 483 (3,1) 2 (3,6) ZDA 51 470 (5,3) 500 (6,4) 30* (5,8) Slovenija 40 449 (3,5) 476 (4,9) 27* (4,7) Slovenija, osnovna raven mature 39 424 (4,0) 447 (4,7) 23* (5,2) *Razlika je statistično značilna. Rezultati mature v točkovnih ocenah so bili v letu 2015 za približno 0,5 točke (od 8 točk) višji pri dekletih. Natančen pogled pove, da so bila dekleta uspešnejša od fantov le v skupini osnovne ravni mature (Preglednica 5). V povprečju so dekleta v primerjavi s fanti pridobila več točk in s tem višjo oceno pri ustnem delu izpita. Preglednica 5: Maturitetna ocena iz matematike po spolu in ravni mature *Razlika je statistično značilna. V sodelovanju med nacionalnim centrom raziskave TIMSS in Državnim izpitnim centrom smo na ustrezen način izračunali zanimive korelacije med rezultati obeh merjenj znanja. Na podoben način kot v sodelovanju ob TIMSS 2008 [1], smo izračunali Fantje Dekleta Razlika Povprečna ocena SD Povprečna ocena SD Fantje - dekleta Osnovna raven mature 3.28 0.98 3.84 0.68 - 0.56* Višja raven mature 6.02 1.60 6.11 1.39 - 0.09 Skupaj 4.08 1.72 4.64 1.47 -0.56* Preglednic 4. Razli e matematičnih dosežkih TIMSS Advanced 2015 med spoloma. 15 Preglednica 5: Maturitetna ocena iz matematike po spolu in ravni mature *Razlika je statistično značilna. V sodelovanju med nacionalnim centrom raziskave TIMSS in Državnim izpitnim centrom smo na ustrezen način izračunali zanimive korelacije med rezultati obeh merjenj znanja. Na podoben način kot v sodelovanju ob TIMSS 2008 [1], smo izračunali korelacije med dosežki TIMSS Advanced, rezultati mature in zaključnimi šolskimi ocenami. Če primerjamo vsebine obeh preizkusov znanja (Izhodišča TIMSS Advanced [5] in Katalog za maturo), ugotovimo, da bi med rezultati mature in preizkusa TIMSS upravičeno pričakovali zelo korelirane rezultate. Oba sta merila znanje s področja istih vsebin in enako določenih kognitivnih ravni znanja. V povprečju rezultati tudi so primerno korelirani, korelacija med dosežki TIMSS Advanced in pisnim delom mature je visoka, med TIMSS Advanced in ustnim delom mature pa nizka. Pri primerjavi rezultatov med spoloma pa opazimo zanimivo anomalijo (Preglednica 6). Preglednica 6: Korelacije med dosežki TIMSS Advanced, maturitetnimi in šolskimi ocenami iz matematike po spolu Korelirani dosežki Dekleta Razlika* Fantje Matura, osnovna raven, pisni del + TIMSS 0,56 = 0,57 Matura, višja raven, pisni del + TIMSS 0,59 > 0,56 Matura, osnovna raven, ustni del + TIMSS 0,27 > 0,24 Matura, višja raven, ustni del + TIMSS 0,23 < 0,26 Končne ocene na maturi, osnovna raven (1-5) + TIMSS 0,56 = 0,56 Končna ocena na maturi, višja ravenl (1-8) + TIMSS 0,58 > 0,55 Šolske ocene (1-5) + TIMSS 0,61 < 0,65 Šolske ocene (1-5) + končne ocene na maturi 0,66 < 0,76 *Vse korelacije so statistično značilne. Pričakovano je najvišja korelacija med ocenami na maturi in šolskimi ocenami. Nepričakovano so dosežki TIMSS Advanced najbolj povezani s šolskimi ocenami, edinim merjenjem, ki ni zunanje. Zelo nizka je korelacija med dosežki TIMSS Advanced in ocenami ustnega dela maturitetnega izpita, najverjetneje tudi zato, ker se ustnih dosežk dijakov med seboj zelo malo razlikujejo. Ker korelacije ne pokažejo sistematičnih razlik med obema rezultatoma na lestvici možnih točk, opazujemo še absolutne dosežke v obeh preizkusih. Grafi ordinalne dominantnosti na sliki 2 primerjajo skupini fantov in deklet glede na njihov dosežek in nazorno pokažejo večji uspeh fantov v pisnem TIMSS Advanced preizkusu in pisni maturi ter večji uspeh deklet v ustnem delu mature. Če bi bili skupini izenačeni, bi črta Fantje Dekleta Razlika Povprečna ocena SD Povprečna ocena SD Fantje - dekleta Osnovna raven mature 3,28 0,98 3,84 0,68 - 0,56* Višja raven mature 6,02 1,60 6,11 1,39 - 0,09 Skupaj 4,08 1,72 4,64 1,47 -0,56* Preglednica 5. Maturitetna ocena iz matematike po spolu in ravni mature. povprečju so dekleta v primerjavi s fanti pridobila več točk in s tem vǐsjo oceno pri ustnem delu izpita. V sodelovanju med acio alnim c ntrom raziskave TIMSS in Državnim izpitnim centrom smo na ustrezen način izračunali zanimive korelacije med rezultati obeh merjenj znanja. Na podoben način kot v sodelovanju ob TIMSS 2008 [2] smo izračunali korelacije med dosežki TIMSS Advanced, rezultati mature in zaključnimi šolskimi ocenami. Če primerjamo vsebine obeh preizkusov znanja (Izhodǐsča TIMSS Ad- vanced [6] in Katalog za maturo), ugotovimo, da bi med rezultati mature in preizkusa TIMSS upravičeno pričakovali zelo korelirane rezultate. Oba sta merila znanje s področja istih vsebin in enako določenih kognitivnih ravni znanja. V povprečju rezultati tudi so primerno korelirani, korelacija med dosežki TIMSS Advanced in pisnim delom mature je visoka, med TIMSS Advanced in ustnim delom mature pa nizka. Pri primerjavi rezultatov med spoloma pa opazimo zanimivo anomalijo (preglednica 6). Pričakovano je najvǐsja korelacija med ocenami na maturi in šolskimi ocenami. Nepričakovano so dosežki TIMSS Advanced najbolj povezani s šolskimi ocenami, edinim merjenjem, ki ni zunanje. Zelo nizka je korela- cija med dosežki TIMSS Advanced in ocenami ustnega dela maturitetnega izpita, najverjetneje tudi zato, ker se ustni dosežki dijakov med seboj zelo malo razlikujejo. 150 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 151 — #16 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? 15 Preglednica 5: Maturitetna ocena iz matematike po spolu in ravni mature *Razlika je statistično značilna. V sodelovanju med nacionalnim centrom raziskave TIMSS in Državnim izpitnim centrom smo na ustrezen način izračunali zanimive korelacije med rezultati obeh merjenj znanja. Na podoben način kot v sodelovanju ob TIMSS 2008 [1], smo izračunali korelacije med dosežki TIMSS Advanced, rezultati mature in zaključnimi šolskimi ocenami. Če primerjamo vsebine obeh preizkusov znanja (Izhodišča TIMSS Advanced [5] in Katalog za maturo), ugotovimo, da bi med rezultati mature in preizkusa TIMSS upravičeno pričakovali zelo korelirane rezultate. Oba sta merila znanje s področja istih vsebin in enako določenih kognitivnih ravni znanja. V povprečju rezultati tudi so primerno korelirani, korelacija med dosežki TIMSS Advanced in pisnim delom mature je visoka, med TIMSS Advanced in ustnim delom mature pa nizka. Pri primerjavi rezultatov med spoloma pa opazimo zanimivo anomalijo (Preglednica 6). Preglednica 6: Korelacije med dosežki TIMSS Advanced, maturitetnimi in šolskimi ocenami iz matematike po spolu Korelirani dosežki Dekleta Razlika* Fantje Matura, osnovna raven, pisni del + TIMSS 0,56 = 0,57 Matura, višja raven, pisni del + TIMSS 0,59 > 0,56 Matura, osnovna raven, ustni del + TIMSS 0,27 > 0,24 Matura, višja raven, ustni del + TIMSS 0,23 < 0,26 Končne ocene na maturi, osnovna raven (1-5) + TIMSS 0,56 = 0,56 Končna ocena na maturi, višja ravenl (1-8) + TIMSS 0,58 > 0,55 Šolske ocene (1-5) + TIMSS 0,61 < 0,65 Šolske ocene (1-5) + končne ocene na maturi 0,66 < 0,76 *Vse korelacije so statistično značilne. Pričakovano je najvišja korelacija med ocenami na maturi in šolskimi ocenami. Nepričakovano so dosežki TIMSS Advanced najbolj povezani s šolskimi ocenami, edinim merjenjem, ki ni zunanje. Zelo nizka je korelacija med dosežki TIMSS Advanced in ocenami ustnega dela maturitetnega izpita, najverjetneje tudi zato, ker se ustnih dosežki dijakov med seboj zelo malo razlikujejo. Ker korelacije ne pokažejo sistematičnih razlik med obema rezultatoma na lestvici možnih točk, opazujemo še absolutne dosežke v obeh preizkusih. Grafi ordinalne dominantnosti na sliki 2 primerjajo skupini fantov in deklet glede na njihov dosežek in nazorno pokažejo večji uspeh fantov v pisnem TIMSS Advanced preizkusu in pisni maturi ter večji uspeh deklet v ustnem delu mature. Če bi bili skupini izenačeni, bi črta Fantje Dekleta Razlika Povprečna ocena SD Povprečna ocena SD Fantje - dekleta Osnovna raven mature 3,28 0,98 3,84 0,68 - 0,56* Višja raven mature 6,02 1,60 6,11 1,39 - 0,09 Skupaj 4,08 1,72 4,64 1,47 -0,56* Preglednica 6. Korelacije med dosežki TIMSS Advanced, maturitetnimi in šolskimi ocenami iz matematike p spolu. Ker korelacije ne pokažejo sistematičnih razlik med obema rezultatoma na lestvici možnih točk, opazujemo še absolutne dosežke v obeh preizkusih. Grafi ordinaln dominantnosti na sliki 2 primerjajo skupini fantov in deklet glede na njihov dosežek in nazorno pokažejo večji uspeh fantov v pisnem TIMSS Advanced preizkusu in pisni maturi ter večji uspeh deklet v ustnem delu mature. Če b bili skupini iz načeni, bi črta potekala po diagonali, tako pa kaže dominantnost ene oziroma druge skupine [1]. Prikazana pro- blematičnost ocenjevanja na ustnem izpitu na maturi je sicer že prepoznan problem tudi pri drugih maturitetnih predmetih [9]. 0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 % sp Dekleta OME(x)=0.5 Fa nt je O M E( y) =0 .5 Matura iz matematike, ustni del, osnovna raven 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90 % 100% 0% 10% 20% 30 % 40% 50% 60% 70 % 80 % 90% 100% TIMSS Advanced, matematični dosežki Dekleta OME(x) = 0.4 Fa nt je O M E( y) =0 .6 0% 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80% 90% 100 % 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Dekleta OME(X)= 0.4 Fa nt je O M E( y) =0 .5 Matura iz matematike, pisni del, višja raven 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90 % 100% Slika 2. Delež deklet v odvisnosti od deleža fantov, ki so dosegli posamezno število točk na preizkusu TIMSS, pisnem in ustnem maturitetnem preizkusu. TIMSS Advanced dosežki naraščajo z ocenami fantov in deklet obeh ravni mature (slika 3). Prikazani dosežki na sliki 3 opozarjajo na dvoje: 1. V raziskavi TIMSS so fantje ob enaki oceni na maturi ali v šoli kot dekleta pokazali vǐsje znanje. 2. Dijaki, ki so na raziskavi TIMSS pokazali enako znanje, so bili v šoli in na maturi ocenjeni z vǐsjo oceno, če so bili dijaki osnovne ravni mature, in z nižjo oceno, če so bili dijaki vǐsje ravni mature. 136–157 151 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 152 — #17 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar 17 Slika 2: Delež deklet v odvisnosti od deleža fantov, ki so dosegli posamezno število točk na preizkusu TIMSS, pisnem in ustnem maturitetnem preizkusu. TIMSS Advanced dosežki naraščajo z ocenami fantov in deklet obeh ravni mature. (Slika 3). Slika 3: Dosežki TIMSS Advanced glede na maturitetno in šolsko oceno 356 394 428 460 474 430 496 515 556 397 415 458 484 508 468 517 536 581 350 400 450 500 550 600 650 1 2 3 4 5 Dosežki TIMSS Advanced in šolske ocene iz matematike Dekleta, osnovna raven Dekleta, višja raven Fantje, osnovna raven Fantje, višja raven 0 % 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 100 % sp Dekleta OME(x)=0.5 Fa nt je O M E( y) =0 .5 Matura iz matematike, ustni del, osnovna raven 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90 % 100% 0% 10% 20% 30 % 40% 50% 60% 70 % 80 % 90% 100% TIMSS Advanced, matematični dosežki Dekleta OME(x) = 0.4 Fa nt je O M E( y) =0 .6 0% 10 % 20 % 30 % 40 % 50 % 60 % 70 % 80% 90% 100 % 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Dekleta OME(X)= 0.4 Fa nt je O M E( y) =0 .5 Matura iz matematike, pisni del, višja raven 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90 % 100% 392 425 458 491475 482 503 526 543 561 595 411 443 482 517496 509 543 541 564 577 617 350 400 450 500 550 600 650 1 2 3 4 5 6 7 8 Dosežki TIMSS Advanced in matura iz matematike Slika 3. Dosežki TIMS Ad glede na maturitetno in š lsko ceno. Med enako ocenjenimi dijaki v šoli in na maturi so fantje vedno dosegli vǐsji TIMSS dosežek kot dekleta. Fantje vǐsje ravni mature z maturitetno oceno 5 so v TIMSS pokazali skoraj enako znanje kot dekleta z oceno 6. Skoraj enak dosežek TIMSS imajo fantje z maturitetno oceno 6 kot dekleta z oceno 7. Podobno velja za razlike med osnovno in vǐsjo ravnjo mature. Pri istem dosežku TIMSS so dijaki vǐsje ravni mature iz matematike na maturi in v šoli dobili nižjo oceno kot dijaki osnovne ravni. Enako velja za dijakinje. Da dijaki z enakim povprečnim znanjem matematike na osnovni ravni mature dobijo vǐsjo oceno kot na vǐsji ravni, ali dekleta vǐsjo oceno kot fantje, prav gotovo nista zaželena rezultata mature. Za vǐsje ocene deklet na ustnem delu mature je lahko več razlogov. Vǐsje ocene deklet na ustni maturi bi lažje razumeli, če bi lahko z dodatno nacionalno raziskavo ugo- tovili, kateri izmed treh vrst razlogov prevladujejo: ali so dekleta na ustni maturi relativno bolje ocenjena za enako znanje kot fantje morda tudi zato, ker imajo učitelji o njih vnaprej ustvarjeno bolj pozitivno mnenje; ali so dekleta na ustni maturi relativno bolje ocenjena, ker so se bolj temeljito pripravila za ustni izpit iz mature, čeprav matematiko slabše razumejo; ali so dekleta na ustni maturi relativno bolje ocenjena zato, ker svoje znanje bolje demonstrirajo ustno, pisni preizkusi pa tega ne zaznajo? Dejstvo, da pri enakem znanju dobǐs vǐsjo oceno na osnovni ravni maturitetnega izpita, zelo verjetno vpliva tudi na manǰse zanimanje za maturo na vǐsji ravni, kar je še eden od rezultatov TIMSS raziskave. Od leta 2008 do 2015 se je delež dijakov vǐsje ravni v populaciji zmanǰsal z 10 % na 8 % (preglednica 2), zato je nadaljnje raziskovanje problema ocenjevanja na maturi nujno. 152 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 153 — #18 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? Katerih matematičnih sposobnosti matura ne opazi? Iz primerjav sklepamo, da matura ne prepoznava določenega znanja, ki ga je zaznal TIMSS Advanced med fanti. Primerjava dosežkov med vsebinskimi področji pokaže za več kot 20 točk (pri mednarodnem povprečju 500) vǐsje znanje fantov od deklet v skupini dijakov vǐsje ravni mature, in sicer iz vseh treh vsebin, algebre, analize in geometrije. Med dijaki osnovne ravni imajo fantje vǐsje dosežke pri analizi in geometriji, ne pa pri algebri. Zanimive so razlike med spoloma glede na kognitivne ravni. V preglednici 7 so povprečni dosežki pri nalogah treh kognitivnih ravni glede na spol in maturitetno oceno. Jasno se vidi, da so razlike med spoloma najvǐsje na področju sklepanja. Razlike v dosežkih TIMSS Advanced iz znanja dejstev in uporabe znanja niso statistično značilne med dijaki vǐsje ravni mature (z ocenami 6, 7 in 8). V dosežkih iz sklepanja pa so vsi fantje prehiteli enako ocenjena dekleta. Fantje z nižjimi maturitetnimi ocenami (5 ali manj) so v TIMSS Advanced torej dosegli vǐsji rezultat od deklet na vseh treh kognitivnih ravneh. 19 Preglednica 7: Razlike med dosežki TIMSS Advanced na kognitivnih področjih po maturitetni oceni in spolu *Razlika je statistično značilna. Rezultati nakazujejo, da matura na višji ravni izmeri in še primerljivo nagradi podobno matematično znanje dejstev in uporabo znanja med dekleti in fanti kot TIMSS Advanced. V enakem obsegu kot v preizkusu TIMSS Advanced pa matura najverjetneje ne prepozna znanja najvišje kognitivne ravni, sklepanja. Matura iz matematike na osnovni ravni pa najverjetneje ne prepozna dela matematičnega znanja vseh treh kognitivnih ravni, ki so ga pokazali fantje pri reševanju sicer dokaj zahtevnih nalog TIMSS Advanced. 7. Kakšne so razlike med šolami? V letu 2015 je bil vzorec sodelujočih dijakov v raziskavi TIMSS zasnovan tako, da bi lahko pravilno izmerili razlike med dijaki, ki se odločajo za osnovno in višjo raven matematike na maturi. Glede na načrtovane maturitetne predmete dijakov so bile srednje šole s programom splošne gimnazije razdeljene v 4 skupine: 1. Veliko višje ravni mature iz matematike: šole z maturanti (tudi iz fizike), kjer je bil delež kandidatov za višjo raven mature iz matematike višji od 25 % 2. Malo višje ravni mature iz matematike: šole z maturanti (tudi iz fizike), kjer je bil delež kandidatov za višjo raven mature iz matematike nižji od 25 % 3. Zelo malo ali brez višje ravni mature iz matematike: šole z maturanti (tudi iz fizike), kjer ni nihče ali so le posamezniki izbrali matematiko na višji ravni 4. Brez fizike: šole brez maturantov iz fizike Deleže dijakov in dijakinj glede na celo populacijo splošnih maturantov v posameznih skupinah prikazuje Slika 4. Med vsemi maturanti je petina deklet v šolah z veliko višje ravni matematike, vendar pa je petina fantov v šolah, kjer se za višjo raven mature iz matematike odloča malo vpisanih ali pa le posamezniki. V šolah brez fizike je dvakrat toliko deklet kot fantov. Maturi- tetna ocena Povprečni dosežek - sklepanje Raz- lika Povprečni dosežek – uporaba znanja Raz- lika Povprečni dosežek – znanje dejstev Raz- lika Fantje (s.n.) Dek- leta (s.n.) Fantje (s.n.) Dek- leta (s.n.) Fantje (s.n.) Dek- leta (s.n.) 8 617 (9,2) 585 (8,6) 33* 623 (7,9) 602 (11,0) 21 621 (8,6) 604 (7,2) 17 7 570 (7,6) 544 (7,4) 26* 581 (8,8) 567 (5,5) 14 579 (9,9) 573 (6,5) 6 6 555 (13,1) 521 (6,3) 34* 569 (11,9) 551 (8,9) 19 568 (9,7) 551 (5,5) 17 5 514 (8,0) 481 (5,9) 33* 533 (7,0) 509 (4,9) 23 531 (6,9) 510 (4,8) 21* 4 475 (5,6) 439 (5,0) 37* 493 (5,8) 469 (3,9) 24* 491 (8,2) 468 (3,2) 23* 3 433 (6,2) 407 (6,1) 26* 452 (5,2) 435 (4,3) 16* 450 (7,4) 431 (4,6) 19* 2 402 (8,3) 373 (8,6) 29* 420 (6,9) 402 (6,6) 18* 420 (7,8) 402 (5,1) 18* Preglednica 7. Razlike med dosežki TIMSS Advanced na kognitivnih področjih po maturitetni oceni in spolu. Rezultati nakazuj jo, da matur n vǐsji ravni izmeri in še primerljivo nagradi podobno matematično znanje dejstev in uporabo znanja med dekleti in fanti kot TIMSS Advanced. V enakem obsegu kot v preizkusu TIMSS Advanced pa matura najverjetneje ne prepozna znanja najvǐsje kognitivne ravni, sklepanja. Matura iz matematike na osnovni ravni pa najverjetneje ne prepozna dela matematičnega znanja vseh treh kognitivnih ravni, ki so ga pokazali fantj pri reševanju sice dokaj zaht vnih nalog TIMSS Advanced. Kakšn so razlike ed šolami? V letu 2015 je bil vzorec sodelujočih dijakov v raziskavi TIMSS zasnovan tako, da bi lahko pravilno izmerili razlike med dijaki, ki se odločajo za 136–157 153 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 154 — #19 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar osnovno in vǐsjo raven matematike na maturi. Glede na načrtovane maturi- tetne predmete dijakov so bile srednje šole s programom splošne gimnazije razdeljene v štiri skupine: 1. Veliko vǐsje ravni mature iz matematike: šole z maturanti (tudi iz fizike), kjer je bil delež kandidatov za vǐsjo raven mature iz matematike vǐsji od 25 %. 2. Malo vǐsje ravni mature iz matematike: šole z maturanti (tudi iz fizike), kjer je bil delež kandidatov za vǐsjo raven mature iz matematike nižji od 25 %. 3. Zelo malo ali brez vǐsje ravni mature iz matematike: šole z maturanti (tudi iz fizike), kjer ni nihče ali so le posamezniki izbrali matematiko na vǐsji ravni. 4. Brez fizike: šole brez maturantov iz fizike. Deleže dijakov in dijakinj glede na celo populacijo splošnih maturantov v posameznih skupinah prikazuje slika 4. Med vsemi maturanti je petina deklet v šolah z veliko vǐsje ravni matematike, vendar pa je petina fantov v šolah, kjer se za vǐsjo raven mature iz matematike odloča malo vpisanih ali pa le posamezniki. V šolah brez fizike je dvakrat toliko deklet kot fantov. 20 4. Brez fizike: šole brez maturantov iz fizike Deleže dijakov in dij kinj glede na celo populacijo splošnih maturantov v posameznih skupinah prikazuje Slika 4. Med vsemi maturanti je petina deklet v šolah z veliko višje ravni matematike, vendar pa je petina fantov v šolah, kjer se za višjo raven mature iz matematike odloča malo vpisanih ali pa le posamezniki. V šolah brez fizike je dvakrat toliko deklet kot fantov. Slika 4: Porazdelitev deklet in fantov po skupinah šol (vzorec) Rezultati primerjave v znanju pokažejo velike razlike v dosežkih TIMSS med skupinami (Preglednica 8). Dosežki padajo od šol z več prijavljenimi na višjo raven mature do šol z manj prijavljenimi na višjo raven mature, med dijaki na osnovni ali dijaki na višji ravni mature. Tudi na šolah z zelo malo prijavljenimi na višjo raven mature so dijaki, ki pa so imeli namen maturo opraviti na višji ravni, na preizkusu TIMSS pokazali mnogo višje znanje od dijakov na osnovni ravni. Če upoštevamo, da na teh šolah večinoma prevladuje pouk za osnovne standarde znanja na maturi in ti dijaki nimajo vedno enako intenzivne priprave za višjo raven mature kot na šolah z velikimi razredi kandidatov za višjo raven, je to dober rezultat. 8% 14% 19% 20% 4% 10% 11% 15% brez fizike brez ali zelo malo višje ravni matematike malo višje ravni matematike veliko višje ravni matematike dekleta fantje Slika 4. Porazdelitev deklet in fantov po skupinah šol (vzorec). Rezultati primerjave v znanju pokažejo velike razlike v dosežkih TIMSS med skupinami (preglednica 8). Dosežki padajo od šol z več prijavljenimi na vǐsjo raven mature do šol z ma j prijavljenimi na vǐsjo raven mature, med dijaki na osnovni ali dijaki na vǐsji ravni mature. Tudi na šolah zelo malo prijavljenimi n vǐsjo ra en mature so dijaki, ki pa so imeli namen maturo opraviti na vǐsji ravni, na preizkusu TIMSS pokazali veliko vǐsje znanje od dijakov na osnovni ravni. Če upoštevamo, da na teh šolah večinoma prevladuje pouk za osnovne standarde znanja na maturi in ti dijaki nimajo vedno enako intenzivne priprave za vǐsjo raven mature kot na šolah z velikimi razredi kandidatov za vǐsjo raven, je to dober rezultat. Analize so pokazale, da so v Sloveniji dosežki dijakov pri matematiki močno povezani s štirimi dejavniki: izbiro ravni mature iz matematike, izbiro fizike za maturitetni predmet, spolom in naklonjenostjo do učenja matematike. Z ustreznimi statističnimi modeli je mogoče s temi štirimi 154 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 155 — #20 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? 21 Preglednica 8: Skupni uspeh in uspehi na posameznih kognitivnih področjih med skupinami š l in dij ki, ki so izbrali osnovn ali višjo ven m ture Skupina % dija- kov raven mature % dijakov v skupini Mate- matični dosežek s. n. znanje dejstev s. n. uporaba znanja s. n. Skle- panje s. n. brez fizike 12 osnovna 96 379.60 9.19 384.04 7.89 386.16 9.00 358.07 9.67 višja 4 511.16 24.30 512.82 31.56 522.98 30.44 494.30 34.91 zelo malo višje ravni m. 25 osnovna 89 431.94 10.29 437.67 10.70 435.05 10.87 412.22 11.79 višja 11 518.43 10.83 529.71 15.70 527.65 13.49 501.86 14.53 malo višje ravni m. 29 osnovna 79 440.64 4.00 448.60 3.90 447.18 3.44 422.74 4.23 višja 21 543.34 6.77 550.06 8.07 550.28 7.87 531.14 7.68 veliko višje ravni m. 34 osnovna 58 456.90 3.53 464.47 4.01 460.33 5.53 440.22 4.36 višja 42 557.57 3.71 561.67 4.77 563.11 4.86 543.82 5.48 Analize so pokazale, da so v Sloveniji dosežki dijakov pri matematiki močno povezani s štirimi dejavniki: izbiro ravni mature iz matematike, izbiro fizike za maturitetni predmet, spolom in naklonjenostjo k učenju matematike. Z ustreznimi statističnimi modeli je mogoče s temi štirimi dejavniki pojasniti velik del variabilnosti dosežkov posameznikov in skupin. Podobno je bilo že z raziskavo TIMSS leta 2008, le da se je vpliv posameznih dejavnikov spremenil. Iz leta 2008 do leta 2015 opazimo povečanje vpliva 'spola' in 'ravni mature', vpliv 'naklonjenosti do učenja matematike' pa se je zmanjšal. Večji pomen spola in ravni mature ter manjši pomen naklonjenosti do matematike v letu 2015 kažejo, da je za dijakovo visoko znanje matematike najpomembnejša izbira višje ravni mature, medtem ko večje veselje do učenja matematike ni tako pomembno. Več matematike se naučijo dijaki, ki izberejo višjo raven mature v primerjavi z dijaki na osnovni ravni, ki imajo do matematike sicer iskreno veselje. Slovenija med drugimi državami (tako v raziskavi TIMSS kot PISA) sicer izstopa s skoraj najnižjim veseljem dijakov do naravoslovnih predmetov in matematike. Kakor 300 350 400 450 500 550 600 osnovna višja osnovna višja osnovna višja osnovna višja veliko višje ravni matematike malo višje ravni matematike zelo malo višje ravni matematike brez fizike matematični dosežek znanje dejstev uporaba znanja sklepanje 21 i ij - r ven ature dijakov v skupini Mate- matični dosežek s. n. znanje dejstev s. n. uporaba znanja s. n. Skle- panje s. n. i s vna 96 379,60 9,19 384,04 7,89 386,16 9,00 358,07 9,67 išja 4 51 ,16 24,30 512,82 31,56 52 ,98 30,44 494,30 34,91 l i . s vna 89 431,94 10,29 437,67 10,70 435,05 10,87 412, 2 11,79 išja 11 518,43 10,83 529,71 15,70 527,65 13,49 501,86 14,53 i j . s vna 79 440,64 4,0 4 8,60 3,90 4 7,18 3,44 422,74 4,23 išja 21 543,34 6,7 5 0,06 8,07 5 0,28 7,87 531, 4 7,68 li i j r i . s vna 58 456,90 3,53 464,47 4,01 460,3 5, 3 440,22 4,36 išja 42 557,57 3,71 561,67 4,7 563,1 4,86 543,82 5,48 Analize so pokazale, da so v Sloveniji dosežki dijakov pri matematiki močno povezani s štirimi dejavniki: izbiro ravni mature iz matematike, izbiro fizike za maturitetni predmet, spolom in naklonjenostjo k učenju matematike. Z ustreznimi statističnimi mo eli je mog če s temi štirimi dejavniki pojasniti velik d l variabilnosti dosežkov posameznik v in skupin. Podobno je bilo že z r ziskavo TIMSS leta 2008, le da se je vpliv posameznih dejavnikov spremenil. Iz leta 2008 do leta 2015 opazimo povečanje vpliva 'spola' in 'ravni mature', vpliv 'naklonjenosti do učenja matematike' pa se je zmanjšal. Večji pomen spola in ravni mature ter manjši pomen naklonjenosti do matematike v letu 2015 kažejo, da je za dijakovo visoko znanje matematike najpomembnejša izbira višje ravni mature, medtem ko večje veselje do učenja matematike ni tako pomembno. Več matematike se naučijo dijaki, ki izberejo višjo raven mature v primerjavi z dijaki na osnovni ravni, ki imajo do matematike sicer iskreno veselje. Slovenija med drugimi državami (tako v raziskavi TIMSS kot PISA) sicer izstopa s skoraj najnižjim veseljem dijakov do naravoslovnih predmetov in matematike. Kakor kažejo ezultati primerjav v osnovni šoli, je Slovenija z nasprotjem med nenaklonjenostjo učenju matematik in hkrati z relativno visokimi dosežki slovenskih dijakov podobna azijskim državam, za katere je tradicionalno značilna najnižja stopnja veselja z učenjem in obenem najvišji dosežki. Zaključek 300 350 400 450 500 550 600 osnovna višja osnovna višja osnovna višja osnovna višja veliko višje ravni matematike malo višje ravni matematike zelo malo višje ravni matematike brez fizike matematični dosežek znanje dejstev uporaba znanja sklepanje Pregl dnica 8. Skupni uspeh in uspehi na pos meznih kognitivnih p dročjih med sku- pina i šol in dijaki, ki so izbrali osnovno li vǐsjo raven mature. dejavniki pojasniti velik del variabilnosti dosežkov posameznikov in skupin. Podobno je bilo že z raziskavo TIMSS leta 2008, le da se je vpliv posameznih dejavnikov spremenil. Od leta 2008 do leta 2015 opazimo povečanje vpliva »spola« in »ravni mature«, vpliv »naklonjenosti do učenja matematike« pa s je z a ǰ al. Večji pomen spola in ravni mature ter manǰsi pomen naklonjenosti do matematike v letu 2015 kažejo, da je za dijakovo visoko znanje atematike najpomembneǰsa izbira vǐsje ravni mature, edtem ko večje veselje do uče- nja matematike ni t ko pomembno. V č matematike se aučijo dijaki, ki izberejo vǐsjo raven mature v primerjavi z dijaki na osnovni r vni, ki imajo do matematike sicer iskreno eselje. Slovenija med drugimi državami (tako v raziskavi TIMSS kot PISA) sicer izstop s skoraj najnižjim v seljem di- jakov do naravoslovnih predmetov in matematike. Kakor kažejo rezultati primerjav v osnovni šoli, je Slovenija z nasprotjem med nenaklonjenostjo 136–157 155 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 156 — #21 i i i i i i Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar učenju matematike in hkrati z relativno visokimi dosežki slovenskih dija- kov podobna azijskim državam, za katere je tradicionalno značilna najnižja stopnja veselja z učenjem in obenem najvǐsji dosežki. Zaključek Raziskava TIMSS je obsežna in kompleksna in takšna so tudi njena sporo- čila. Skupaj je bilo izmerjenih in zabeleženih več sto podatkov za vsakega dijaka in s tem posredno tudi za vsakega učitelja in šolo. V analizi razlik znanja med dijaki smo se osredotočili na povezanost uspešnosti s spolom, na značilnosti nalog preizkusa, na ocenjevanje v šoli in na naklonjenost dijakov do matematike. V primerjavah se je pokazalo, da učiteljeve ocene matematičnega znanja pri pouku izkazujejo relativno dobro povezanost z neodvisnimi mednaro- dnimi ocenami znanja, medtem ko so tako ocene pri pouku kot maturitetne ocene (glede na iste dosežke TIMSS) bolǰse pri dekletih kot pri fantih. V okviru mature pa je ocenjevanje ustnega dela z vidika razlik med spoloma najbolj problematično. Pri nas običajno težavnost naloge narašča s kognitivno zahtevnostjo. V raziskavi TIMSS pa so naloge sestavljene tako, da je težavnost neodvisna od kognitivnih ravni. Nekatere naloge preverjajo sklepanje in niso težke, druge preverjajo poznavanje dejstev in so tako težke, da jih reši le majhen del dijakov. S TIMSS Advanced 2015 smo zato izmerili znanje sklepanja tudi med srednje in manj uspešnimi dijaki. Fantje so sposobnost sklepanja izkazali v večjem obsegu kot dekleta. Ker pri maturi ne merimo rezultatov po vsebinah in kognitivnih ravneh, tudi ne vemo, ali so dekleta pri maturi morda pokazala več znanja od fantov iz vsebin, ki jih TIMSS ne meri, na primer iz verjetnosti. Med letoma 2008 in 2015 je stopil v veljavo prenovljeni učni načrt za gimnazije, ki vzpodbuja učitelje k avtonomni določitvi zaporedja obravnave snovi. Obenem so bolj jasno zapisani cilji in vsebine, ki so izbirni in se jih dijaki učijo po presoji učiteljev. Ob zadnji raziskavi TIMSS 2015 so učitelji poročali, da si prizadevajo za poučevanje, ki bi pri dijakih doseglo večje znanje vǐsjih kognitivnih ravni, česar v preǰsnjih študijah nismo zaznali. Kljub relativno dobrim dosežkom ne smemo spregledati vse večje razlike med znanjem dijakov obeh ravni mature. Ob opazovanju trendov je treba upoštevati še, da so maturanti, ki so sodelovali v raziskavi leta 2015, opravili devetletno šolo, medtem ko so bili dijaki, ki so sodelovali v TIMSS 2008, zadnja generacija stare osemletne osnovne šole. Iz povezav med dosežki in odgovori dijakov in učiteljev na spremljevalne vprašalnike je mogoče pridobiti še veliko drugih zanimivih informacij. Na primer to, da se večina slovenskih dijakov z dobrim uspehom iz matematike 156 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Japelj” — 2017/11/27 — 9:21 — page 157 — #22 i i i i i i Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? (običajno na vǐsjem nivoju mature) odloča za študij in zaposlitve s področja matematike, naravoslovja in tehnike. Podatki raziskave so javno dostopni in veseli bomo, če bodo deležni uporabe. Še posebej si želimo uporabe, ki bi preko zanimivih nadaljnjih ugotovitev pripomogla k bolǰsemu pouku in celoviteǰsem znanju matema- tike. Ogromne mednarodne podatkovne baze so dober vir podatkov pri učenju in razvijanju statistične metodologije. Od junija 2017 so vsi podatki zbrani na javnem spletǐsču ILSA Gateway (www.ilsa-gateway.org/). Tre- nuten trend je razvoj knjižnic za paket R, s katerimi bi lahko najmoderneǰse statistične analize opravili tudi za izobraževalne podatke z vsemi njihovimi značilnostmi in omejitvami. Podatki so za nas najbrž zanimivi tudi zato, ker podobnih ne bo več. Slovenija je namreč po letu 2016 prekinila sodelovanje v TIMSS. LITERATURA [1] D. Bamber, The area above the ordinal dominance graph and the area below the receiver operating characteristic graph, Journal of Mathematical Psychology 12(4) (1975), 387–415. [2] G. Cankar in B. Japelj Pavešič, Dosežki TIMSS in ocene matematike na maturi, Sodobna pedagogika 2/2010 (2010), 118–140. [3] B. Japelj in C. Velkovrh (ur.), Testne naloge Druge mednarodne raziskave znanja ma- tematike (SIMS – Second International Mathematics Study), Društvo matematikov, fizikov in astronomov, Ljubljana, 1992. [4] B. Japelj Pavešić in K. Svetlik, Znanje preduniverzitetne matematike in fizike v Sloveniji in po svetu, Izsledki raziskave TIMSS 2015, zvezek I, Pedagoški in- štitut, Ljubljana, 2016; dostopno na timsspei.splet.arnes.si/files/2017/06/ 13-TA15-preduniverzitetna.pdf (geslo timssslo15), ogled 14. 11. 2017. [5] B. Japelj Pavešić, K. Svetlik, A. Kozina in M. Rožman, Znanje matematike in fizike med maturanti v Sloveniji in po svetu, Pedagoški inštitut, Ljubljana, 2009; dostopno na www.pei.si/Sifranti/InternationalProject.aspx?id=14, ogled 14. 11. 2017. [6] I. V. S. Mullis in M. O. Martin (ur.), TIMSS Advanced 2015 Assessment Frameworks, TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College, Boston, 2014; dosto- pno na timssandpirls.bc.edu/timss2015-advanced/frameworks.html, ogled 14. 11. 2017. [7] I. V. S. Mullis, M. O. Martin, P. Foy in M. Hooper, TIMSS Advanced 2015 Interna- tional Results in Advanced Mathematics and Physics, TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College, Boston, 2016; dostopno na timssandpirls.bc.edu/ timss2015/international-results/advanced/, ogled 14. 11. 2017. [8] TIMSS & PIRLS International Study Center, TIMSS Advanced 2015 Achievement Scaling Methodology, v M. O. Martin, I. V. S. Mullis in M. Hooper (ur.), Methods and Procedures in TIMSS Advanced 2015, TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College, Boston, 2016, od 12.1. do 12.12.; dostopno na timssandpirls.bc. edu/publications/timss/2015-a-methods/chapter-12.html, ogled 14. 11. 2017. [9] D. Zupanc, M. Bren in G. Cankar, Interno ocenjevanje pri slovenski maturi, Šol- sko polje 23(3/4) (2012), 113–137; dostopno na www.pei.si/Sifranti/StaticPage. aspx?id=128, ogled 14. 11. 2017. 136–157 157 i i “Kovic” — 2017/11/23 — 7:20 — page 158 — #1 i i i i i i NOVE KNJIGE Benjamin Wardhaugh, A Wealth of Numbers: An Anthology of 500 Years of Popular Mathematical Writing, Princeton University Press, Princeton, New Yersey, 2012, 370 strani. Avtor, ki ga bralci Obzornika poznajo že po knjigi How to read historical mathema- tics, je tokrat zbral reprezentativna mate- matična besedila, ki so jih napisali znani pisci o matematiki v obdobju zadnjih 500 let oziroma po Gutenbergovi iznajdbi tiska. V tem obdobju se je, kot pravi, pojavila in izginila cela vrsta žanrov, tipičnih (v dolo- čenem času in okolju priljubljenih) načinov pisanja o matematiki. Ta besedila so bila namenjena različnim matematičnim občin- stvom, pojavljala so se v različnih družbe- nih kontekstih, osvetljevala so različne vi- dike uporabe matematike in načina razmi- šljanja o njej. Enajst poglavij te knjige z nekaj več kot 100 odlomki iz v svojem času znamenitih ali vsaj znanih matematičnih knjig tako pripo- veduje nekoliko drugačno zgodbo o zgodovini matematike, kot jo sicer po- znamo iz knjig, ki govore o razvoju matematičnih idej. Nekatera poglavja (1, 3, 5 in 7) obravnavajo razvedrilno matematiko: igre in uganke, popula- rizacije in zabavne zgodbe. Druga (2, 4, 6 in 8) prikazujejo matematiko v učilnici in v različnih uporabah. Poglavji 9 in 10 sta bolj refleksivni, govorita o tem, kako naj bi se matematiko učilo in poučevalo, ter zakaj. Zadnje, 11 poglavje, pa obravnava avtorju najljubšo tematiko: matematiko v povezavi z literaturo. Kot pravi Wardhaugh, je bilo zanj najtežje iz obilice besedil o matema- tiki, namenjenih širšemu občinstvu (torej ne prvenstveno matematikom) se- staviti čim bolj raznoliko antologijo, v kateri bodo uravnoteženo zastopana tako dela, ki pripadajo i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresij , nekako z faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrik v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajn nim jo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani a podrobno reprodu ci o.) Pri oceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zele o plundr . JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 glavnemu toku i i “Legi a-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinom nezanimivi d l), se zadovoljil s pr bliž i nekaterih drugih podatk v in origi ala ne remo več natančn rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo nič l, predvsem v desnem spodnj m delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajn l ko stisne za faktor približno 7. Matri i, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne struktur , rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fi o (an- gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsi i elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To p meni nižjo ompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 m bo kv tiz cijska matrik v načinu fine imela elemente recimo od do 15, saj ustr zne o tike običajno nimajo zelo dobre l čljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo i verzno transformacijo k DCT. D bimo pri- bližek prvotn slik našega kv drat . N slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je raču sko n zahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, ko so trava, krzn . Bolǰse kamere tako sliko prep znajo in bistveno manj stisn jo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šu a je udi težava, vendar pa tu nismo zainteresir ni za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni k merah pa lahko kombinacij nekakovostnega z m bjektiva in nepri agodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj š pate tirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorče je n digital zacija Neka eri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij p polnoma rekonstru- rati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni tež o dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 ( 017) 2 , kot tudi bolj ekscentrična dela. Tako se, po avtorjevih b sedah, v knjigi iz enjavajo slavna in obskurna besedila, elegantna in čudna. Za tiste bralce, ki bi si želeli še več podobnega čtiva, priporoča dve antologiji, za kateri pravi, da sta med najbolǰsimi: Ja- cqueline Stedall, Mathematics emerging: a sourcebook 1540–1900 (Oxford, 2008), ter Marcia Ascher, Mathematics elsewhere: an exploration of ideas across cultures (Princeton, 2002). 158 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Kovic” — 2017/11/23 — 7:20 — page 159 — #2 i i i i i i A Wealth of Numbers: An Anthology of 500 Years of Popular Mathematical Writing Fokus te antologije matematičnih besedil je torej za matematično knjigo precej nenavaden: bralec ima namreč priložnost kritično primerjati ne samo matematične vsebine, ki jih obravnavajo posamezni pisci, temveč tudi njihov slog pisanja. Tako v tej antologiji najdemo številna slavna imena, ki jih sicer poznamo iz zgodovine matematike, nismo pa še nikoli dejansko prebrali nobenega odlomka njihovih izvirnih besedil! Vsak v antologijo vključeni pisec je na kratko predstavljen, na kratko je okarakterizirano tudi delo, iz katerega je vzet izbrani odlomek, omenjeno je npr. kolikokrat je bilo izdano, kateri publiki je bilo namenjeno in kakšne vrste pristop k matematiki je avtor uporabljal. Tako je npr. Humfrey Baker v svojem delu The well-spring of sciences iz leta 1564 (zadnja izdaja iz leta 1670 je bila preprosto imenovana Baker’s Arithmetick) bralce osupljal s preprostimi aritmetičnimi triki določanja šte- vil, podvrženih določenim transformacijam. Tako je npr. rezultate meta treh kock x, y, z i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostneg zoom objektiv in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 skril i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (več noma nez nimivi del), se zadovoljili s približk nekaterih drugih podatk v in riginala ne mor o več natančno rek nstruira i. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, pr dvsem desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko st sne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina lementov ničelnih, preostali pa nim jo posebne struktu e, reč mo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (a - gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi ele enti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z d agonalo pod 8 mm bo kvantizacijsk matrika v načinu fine imela elemente r cimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljiv sti. Pri dekodiranju pomnoži o matriko nazaj z istoležnimi ele enti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverz o transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slik naš ga kvadrat . N slik h z mehki i prehodi me svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko ezaht ven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznaj i bistveno manj stisnejo, s pravi uporabij drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nek kovostnega zoom bjektiva in nepri a od jivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plu dro. JPEG tudi ni n jbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risb in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še pat ntirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostok dni f rmat (Ogg) Vorbis. Vzorčenje i digitalizacij Nekateri študen i na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po toč ah«. Večinoma se to ne ob se. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popoln ma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti a diskretni množici točk. V njigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko do azati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) v trimestno število 100x + 10y + z + 250, od koder jih j bilo seveda mog če zl hka rekonstruirati. Pod bno je Jacques Oza am (1640–1717) že leta 1708 v knjigi Profita- ble and delightful problems, poleg raznih geometrijskih konstrukcij ter ma- tematičnih ugank in trikov, predstavil tudi znani problem prelivanja vina iz posode z 8 pi ti s pomočjo praznih posod s po 3 in 5 pinti tako, da na koncu dobǐs v eni posodi 4 pinte. Henry Ernest Dudeney (1857–1930) je v svojem klasičnem delu s podro- čja razvedrilne matematike Amusements in mathematics iz leta 1917 podal samo probleme (z ilustracijami), a brez rešitev. Med njimi najdemo npr. probleme, s koliko najmanj nepretrganimi potezami (brez dviga svinčnika s papirja) lahko narǐsemo določene geometrijske vzorce. Najdemo tudi pri- mere grafov, v katerih je treba poiskati hamiltonski ali pa Eulerjev obhod. Avtor je v knjigo (z dovoljenjem) uvrstil tudi nekaj znanih iger (Spro- uts, Nought and Crosses, Femto, Nim) s spletne strani nrich.maths.org, za katero pravi, da je eden izmed najbolj priljubljenih spletnih virov za matematične aktivnosti najrazličneǰsih vrst. Drugo poglavje, posvečeno prehodu od aritmetike k algebri, avtor začne z ugotovitvijo, da aritmetika nikoli ni premogla svojega Evklida oziroma dela, ki bi po pomembnosti bilo primerljivo z njegovimi Elementi. Med pi- sci, ki so po odkritju tiska dolgo časa dominirali na tem področju, je najprej omenjen Robert Recorde (1512–1558), eden prvih avtorjev matematičnih učbenikov v angleškem jeziku. V nekoliko dolgoveznem dialogu med učite- ljem in učencem je opisano, kako se sešteva in odšteva, npr.: Če imam npr. 160 knjig v latinskem jeziku in 150 v grškem jeziku in bi rad vedel, koliko jih je skupaj, moram napisati ti dve števili eno nad drugo, večje zgoraj, tako da je prva števka enega pod prvo števko drugega, druga pod drugo, in tako dalje . . . Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 159 i i “Kovic” — 2017/11/23 — 7:20 — page 160 — #3 i i i i i i Nove knjige Thomas Masterson je v svoji knjigi First booke of arithmeticke iz leta 1592, namenjeni bolj i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkci »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 n bel i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni s iki (večinoma neza imiv del), se zadovoljili s približki nekat rih drugih podatkov in originala ne more o več nata čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kv ntizirana m trik mnogo ničel, predvs m v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrik Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elem ntov ničel ih, preostali p nimajo posebne struk ure, rečemo razp šena matrik . Kvantizirana matrik je torej p aviloma razp šena. V fotoapar tu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fi o (an- gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elem nti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagon l pod 8 mm bo kvantizacijska matrik v nači u fi e im la elem nte recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zel dobre ločljivosti. Pri deko iranju pomn žim atriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo nverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našeg kv drata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temni i del slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter n obusten. Manǰsi problem s pojavi pri slikah z ogromn podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromn šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom bjektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za m nǰse ri be in grafike profesi nalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zd j še patentira i format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zv ka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in d gitalizac j Nekat ri študenti na zpit h rǐsejo grafe funkc j »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. V ndar p je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz nj hov rednosti na diskretni m ožici toˇk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj i tervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem j f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 občinstvu (angl. i i “Legisa-vesti” — 201 /6/ 0 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vr li smo del informacije a originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približ i nekaterih drugih p datko in originala ne moremo več nata čno rekonstruirati. N tipični sliki i a kvantizirana matrika mnogo nič l, pr dvs m v desnem spod je delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čaj sliko s isne za f ktor p bl žno 7. Ma riki, v kateri je večina elementov nič lnih, preostali pa nimajo o bne stru ture, rečemo razpršena matrika. Kvantiziran matrika je torej praviloma razpršena. V f toaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizac jsko atriko z bistven manǰsimi elementi, velikosti recim d 1 do 6. To p meni nižjo kompres jo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kva tizacijska matrika v načinu fine imela elemente r cimo od 1 do 15, saj ustr zne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju p mn žimo matriko n zaj z istoležnimi elementi kvan- t zacijsk m trike in opr vimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in t mnimi deli slike to deluje s jajno. Algoritem za JPEG stiska- je je ač nsko n zahteven, hiter in r busten. Manǰsi problem se pojavi pri sl kah z gromno podrob stmi, kot so rava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in b stveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijs o mat iko kot sicer. (Slik z ogromno šuma je tudi težava, vendar a tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko ko binacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja trav ik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani form t MP3. Omogoča stiskanje v različnih k kovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na iz iti rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to n obnes . V ndar pa je m g če veli razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskret i množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna i n j b njena Fourierova transformi- rank f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer j L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 aimed at rather m re gen- tlemanly ead rs i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na original i sliki (večinom neza imivi del), se zadovoljili s priblizki nekaterih drugih podatkov i o igin la ne mo emo več natančno rekonstruirati. Na tipični liki ima kvantizirana matrika m ogo ničel, predvsem v desnem spod jem delu. Zgoraj omenjena matri Q obi- čajno sliko stisne za fakt r približ o 7. Matriki, v kat ri je večina element v ničelnih, preostali pa nim jo posebne strukture, reče o r zpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej pravilo a ra p š na. V fotoaparatu z v likim se zorjem (APS-C ipd.) nasta itev na fin (an- gleško fine) da kvantizacijsko matrik z bistveno manǰsimi eleme ti, veli osti recimo od 1 do 6. To pome i nižj kompresijo, nekako za f ktor 2. Pri lih tipalih z diagonalo pod 8 m b kvantizacijsk ma ika v načinu fine imela elemente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike bičajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiran u pomnožimo matriko na j istoležnimi elementi kva - tizacijske matrike in opra imo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike aš ga kva rata. Na slikah z mehki i prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to d luje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je račun ko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno p drobnostmi, kot tr va, krzno. B lǰse kam re tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabij drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tu i t žava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno re r du cij .) Pri poceni merah pa lahko kombinacij neka ovostnega zoom obj ktiv i ne ilagodljiv ga stiskanja travnik spremeni v zele plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za e- produkcijo grafičnih pod o n sti. Za manǰs risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo form t PNG. Za zvok je n stal na podlagi JPEG priljubljeni, za daj še p tentir i format MP3. Omog ča stiskanje v različnih akovos ih. Zelo dobe za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri štud nti a izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večino a se to ne obnese. Vendar pa je mogoče elik razred fun cij p polnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni mnozici toč . V njigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) vezna in n j bo njena Fouri rov transfor i- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ), zagovarj l stalǐsč (Wa dha gh mu pravi kar i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na original i sliki (večinoma nezanimivi del), se z do ljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki i kv ntizirana matrika mnogo ničel, p ed sem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno slik s i ne za f ktor približno 7. Matriki, v k eri je večina elementov ic l ih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. K antizir na matrika je t rej ravilom razpršena. V fotoap ratu z velikim senzor em (APS-C ipd.) na avitev na fino (an- gleško fine) da vantizacijsko matriko z bis veno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z d ago alo po 8 mm bo kva tizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. P i de diranju p m ožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske atrik in opr vi o inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bliž k prvotn slike naˇega vadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temni i deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsk nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi pr blem se pojavi pri likah z ogr mno p drob ostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko pr poznajo in bistve manj stisnejo, se pravi upo abijo drugo kvan- tizacijsk matrik ot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar a tu nis o zai teresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa l hko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiska a travnik sprem ni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- p odukcij grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Z zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digital zacija Nekateri štud nti na izpiti rǐsejo grafe fu cij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. endar pa j ogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 reklamni slogan i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekate ih drugih podatkov in originala e moremo več natančno rekonst uirati. Na tipični sliki ima kvantiziran matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena mat ika Q obi- čajno sliko stis e za faktor približno 7. Matriki, v kateri j večina elementov ničelnih, preostali p ni jo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrik je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z veliki sen orjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistven anǰsi i elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacij ka matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno ni ajo zelo d bre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo m trik nazaj z istoležni i elementi kvan- tizacijske matrike in pravi o inverzno tr nsformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in t mnimi deli slike to deluje sijajno. Algorite za JPEG stiska- nje je računs o nezahteve , hiter in r busten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistven manj stisnejo, se pravi up rabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slik z ogromn šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo z interesirani za podrobn reprodukcij .) Pri poceni kamerah pa lahko kombi acija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljiveg stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. J E tudi ni najb lǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podla i JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zel dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digi alizacija Nekateri študenti na izpitih ǐsejo grafe funkcij »po točk h«. Večinoma s to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in n j bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ), da je aritmetika i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo el informacije na originalni sliki (v činoma neza imivi del), se z dovoljili s približ i nekaterih drugih p datkov in riginala ne moremo več natančn rekonstruirat . Na tipični sliki ima kvantizirana atrika m ogo ničel, redvsem v desn m spodnjem delu. Zgoraj ome jena matrika Q obi- čajno sliko tis za faktor p ibližn 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničel ih, preostali pa nimajo posebne s u ture, reče o razpršena mat ika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razprše . V f toaparatu z veliki senzorjem (APS C ipd.) nastavitev na fino (an- gleš fine) da kvantizacijsko atriko z bistveno manǰsimi elementi, velik sti recimo od 1 d 6. To po eni nižjo kompres jo, kako z faktor 2. Pri malih tipalih z diagon lo p d 8 mm bo kva tiz cijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno ni ajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodi a ju pom ožimo atriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravi o inverzno transfor acijo k DCT. Dobimo p i- bližek prv tne slike našega kvadrata. Na slikah z ehkimi prehodi med sv tlimi in temnimi deli slike to deluje sija no. Algorite za JPEG stiska- nje je računsko nezahte en, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z gromno podrobn stmi, k t so trava, kr o. Bolǰse kamere tako sliko prepozn jo in bistveno nj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tiz cijsko matriko kot sicer. (Slika z ogrom o šuma je tudi težava, ven ar pa tu ismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poc ni amerah pa lahko k binacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v z le o plund o. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje upor bljajo format PNG. Za zvok nastal n podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kako stih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorč nje i digi al za ij Nekateri študenti n izpiti rǐse o gr fe funkcij »po očkah«. Večin ma se to ne obnese. Vendar pa je mog če veli raz ed funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na d skretni množici točk. V njigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni teˇko dokazati: I rek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in n j bo nje a Fourierova ransformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 zelo potrebna vsake u človeku i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Za imivosti vrgli smo del i formac je na riginalni sl i (večinoma nezanimi i del), se zadovo j li s p ibližki ne aterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruir ti. Na tipični sliki i a kva tizirana matrik nogo ničel, pre vs v des e spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisn a f ktor približno 7. Matriki, v ka eri je večina lementov ničelnih, r ostali pa nimajo posebne struktu , rečem razpršena matrika. Kvantiziran matrika je t rej raviloma razpršena. V fotoaparatu z v likim senzorjem (A S-C ipd.) astavite a fino (an- gleško fine) da k antizacijsko atriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti reci o od 1 do 6. To pomeni nižjo kom resijo, nekako z faktor 2. Pri malih i alih z diagon lo pod 8 m bo vantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo d 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnoˇi o matriko nazaj z istoleˇ imi elementi kvan- tizacijske matrike in o avi i verzno tr nsfor cijo k DCT. Dobimo pri- bliž k prvotn slike naˇeg kvadrata. Na li ah z mehkimi prehodi med ve li i i temnimi deli slike t deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nj je raču ko nezah ven, hi er i robusten. M nǰsi problem se pojavi pri slikah z ogro no podr bn stmi, kot so trava, krz o. Bolǰse kamere tak sliko prep z ajo i bist no nj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tiza ijsko matriko k t sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nism zainter sir ni za p drobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lah kombinac j nekakovostnega zoom objektiva in eprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰ i za re- pr ukcij grafičnih podr bnosti. Z nǰse risbe in grafike profesionalci r je uporablj jo format PNG. Za zvok je nas al p dlagi JPEG priljubljeni, za zdaj se patentirani f rmat MP3. Omogoča stis anje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresij zvoka je tudi prostokodn format (Ogg) Vorbis. Vzor en d gitalizacija N teri tud nti a izpitih rǐsejo g fe funkcij »po t čkah«. Večinoma se to ne bnese. Vendar p je mogoče velik razred funkcij popolnoma rek nstru- irati iz njihovih vred sti na diskretni množici t čk. V knjigi [3] najdemo n str. 373 izrek, ki g ni težko dokaz ti: Izrek 1. Naj b f ∈ L2(R) zv zna in naj bo jena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zuna int rvala [−L,L], k r je L > 0. Pote je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Nato podrobn opǐse, kako se množita dve števili, na primer množenja števil 784378 in 987. John Tapp (1575–1631) v s oji knjigi The path to knowl dge iz leta 1621 posnema dialoški slog Roberta Recorda, le da pri njem (namesto učitelja in učenca) nastopata junaka i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti izpitih rǐs jo grafe f kcij »po točkah«. Večinoma se t ne obnese. Vendar p je mogoče velik razred funkcij popolnoma r konstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 The dore i - i : i i ti li l i f ij i i l i li i i i i i l , ljili i li i i i i i i l i i. i i i li i i i i i i l, j l . j j i i- j li i f i li . i i, i j i l i l i , li i j , t i . i i i j j il . f li i j - i . i - l i ij i i j i i l i, li i i . i i j ij , f . i li i li i l i ij i i i l l i , j i i j i j l l lji i. i i j i i j i l i i l i - i ij i i i i f ij . i i- li li . li i i i li i i i i li li l j ij j . l i i - j j , i i . j i l j i i li i, , . lj li j i i j i j , i ij - i ij i i . li j i , i i i i ij . i i l i ij j i i il lji i j i i l l . i i j lj i - ij i i. j i i f i l i j lj j f . j l l i ilj lj i, j i i f . i j li i i . l ij j i i f i . j i i i li ij i i na i i i i ej f f ij . i . a j li f ij l - i i i ji i i i i i i . ji i [ ] j . i , i i i: . j i j j i t f i- j i t l [ , ], j j . t j l r i t. . ( ) in i i “Legisa-vesti” 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informac je na orig alni sliki (več noma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirat . Na tipični sl ki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desn m spodnjem d lu. Zgor j omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor p bližno 7. Matrik , v kateri je večina elementov ničelnih, pre stali pa nimajo posebn struktu e, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) ast vitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistv no manǰsimi elementi, velikosti recimo d 1 do 6. To pom ni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike bičajn nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dek diranju pomnožimo ma riko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzn transformac jo k DCT. Dobimo pri- b ž k prvotne slike našeg kvadrata. Na sl kah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nj je raču sko nezahteven, hiter i robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogr mno p drobnostmi, kot so trava, rzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in b stveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainte esirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko ombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega sti kanja tra nik spreme i v zeleno pl ndro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnost . Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na odlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoč stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za ompres jo zvoka je tudi prostokodni f mat (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija N k teri študenti n izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točk h«. Večinoma se to ne obnese. V dar pa je mogoče vel k razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz nj hovih vrednosti a d skretni množ c točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga n težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njen Fourierova transformi- ranka f̂ enak 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Junius i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli s o del informacije na or ginalni sl ki (večinoma n zanimivi del), se zadovolj li s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirat . Na tipični sl k ma kvan izirana matrika mnogo ničel, predvsem v esn m spodnjem delu. Zgoraj omenj a matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elem ntov ničelnih, preostali pa nimajo p sebn strukt re, čemo razpršena matrika. Kvant zirana matrik je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C pd.) nast vitev na fino (an- gleško fine) da vantizacijsko matriko z bi tveno a ǰsimi elem nti, velikosti recimo d 1 o 6. To p meni n žjo k mpresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo p d 8 mm bo vantizacijska matrika v načinu fine imela elem nt recimo od 1 do 15, saj ustrezn optike običajn imajo zelo d bre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo atr ko nazaj z istol žnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo inve zno transformacij k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike n šega kvadr ta. Na slikah z mehki i prehodi med svetl in temni i deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je r čunsko nezahteven, hi r in robusten. Manǰsi roblem se pojavi pri slikah z ogr mno p dr bn stmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako slik pre oznaj in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijs matriko t sicer. (Slika z ogr mno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za odr bno rep odukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko mbinacij nekak vostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stis anj travnik sprem ni v zeleno plundro. JPEG tud ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podr bnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci r e upor bljajo format PNG. Za zvok je nast l na podlagi JPEG priljubl eni, za daj še paten irani format MP3. Omogoča stiska je v različni kakovostih. Zelo d ber za kompr sijo zvoka je tudi prost kodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenj in digit lizaci a N kateri študent iz i ih r šej grafe fu cij »po t čkah«. Večinoma se to n obnese. V ndar p je mogoče v li raz ed fun cij pop ln ma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskre ni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 3 3 izrek, ki ga ni težko d kazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zve na i naj bo nje Fourie ova transform - r nk f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L] kjer L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 , ki se s skupnimi močmi prebijat skozi osn vna pravila računa ja z ulomki, kot v primeru k aǰsanja ulomkov: 544612 = 272 306 = 136 153 = 8 9 . Decimalne ulomke, ki jih je vpeljal zgodaj v 17. stoletju nizozemski in- ženir Simon Stevin, je v svoji knjigi iz 1695, posvečeni predvsem trgovski matem tiki, opisal Edward Hatton tak le: i i “Legis -vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Z nimiv sti vrgli smo del informacije na origin lni sliki (več noma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala e moremo več natancno rekonstruir ti. Na ip c sliki a kv ntizirana matrika m ogo ničel, pr dvs m v des em spo njem d lu. Zgoraj enjena matrik Q obi- č jno sliko stisne za f tor približno 7. M tr ki, kateri je v čina elementov nič lnih, preostali pa nimajo s bne str kture, rečemo razpršen matrika. Kva tiziran matrika je torej praviloma azprš a. V fo oapara u z velikim se z rjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matrik z bistven manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To po eni nižjo kompr sijo, nekako za faktor 2. Pri malih tip l h z diag nal pod 8 mm bo kvantizacijska atrika v načinu fine mela elemente recim od 1 do 15, saj ustrez opt k običajno nimajo zelo d bre ločljivo ti. Pri dekodira ju pomnožim matriko nazaj z istoležnimi elem nti kvan- tizacijske matrike in op avimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kva r ta. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in t mnim del slike o delu sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je račun k nezahteven, hiter in r busten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa u n m zai t resirani za podrobno repr dukcijo.) Pri poceni ka e ah pa lahk komb nacija n k vo ega zoom objektiva n ne rilagodljiveg sti ka j travnik s rem i v zele o plundro. JPEG udi ni najbolǰsi za re- produkcij grafič ih podrob osti. Za ma ǰse r sbe in g afike pr fesionalci raje uporabljaj format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija N ateri študenti na izpitih rǐsejo gr fe fu kcij »p točkah«. Večino a se to ne obn s . Ve dar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rek nstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množic točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazat : Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Decimalni ulomek se od vulgar- nega1 razlikuje v tem: da j imenovalec decimalnega ul ka bodisi 10, ali neka potenca 10, npr. 100, 1000, 10000 itd. i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Z i iv sti vrgli s del informacije na originalni sliki (v čino ne nimivi del), se d v ljili s prib ižki ekaterih drugih podat ov in originala ne moremo več nata čno rekonstru r ti. N pič i sli i ma kv nt ziran trika mnogo ičel, pre vs m v desn spodnje delu. Zg raj omenjena m tr k Q obi- čajno sli o stis za fa t približno 7. Ma ri i, v kateri je večin el mentov ičelnih, pre ali pa nimajo p sebn strukture, r č mo r zpršena matrik . Kva tizira a t ik je torej pr viloma zpršena. V fot aparatu z velik senz rjem (APS-C ipd.) nast vitev n fino (an- gl ško fine) d kv ntizacijsk matriko z bistven manǰsim elementi, velikosti reci o d 1 d 6. T p eni nižjo omp esijo, nekako a faktor 2. P i alih tipalih z diagonalo pod 8 mm b kv ntizac jsk m trika v n činu fine imela elem nte e m 1 do 15, j ust ezn op k običajno ima o zelo dobre očljivosti. Pri deko iranj pomnožimo triko naz j z istolež imi ele e ti kvan- tiz c jske mat ik in pravi inverzn ransformacij k DCT. Dobimo pri- bliž k prvo e sl ke našega kv dr ta. Na sl h z mehkimi prehodi med svetlim in te nimi deli s ike to deluje ij jno. Algorit m za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, h ter in robusten. Manǰsi problem se p javi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko atriko kot sicer. (Slika z ogromno šum je tudi težava, vendar pa nismo zainter s rani za podrobno reprodukcijo.) Pr poceni kamerah pa lahko ko binacija nekakov stnega zoom objektiv n neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zel no plundro. JPEG tudi ni ajbolǰsi za re- produkcijo grafič ih podrob ost . Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje upor blj jo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorče je in digit lizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki g ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — age 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije a originalni liki (več nom nezanimivi del), se zadovoljili s približk nekate h drug h p datkov n origin la ne moremo več nat nčno eko struira . Na t pič i slik i a nti irana atrik mn go ničel, predvsem v desnem spodnjem de u. Zgoraj omenj n m trika Q obi- čajno sliko stisne za f k or približno 7. Matrik , v teri veči a elementov ničelni , preostali pa nimajo poseb e struk ure, ecem raz s n atrika. Kvantizi ana m trika je orej pravil m zprˇ a. V fotoapar u z velikim se z rjem (APS-C ipd.) nastav tev na fino (an- gleško fi e) da kva tizac jsko matriko z bistveno manǰsimi ele enti, v likosti recimo od 1 do 6. To pomeni žj kompresijo, ekako za fa 2. Pr malih tipalih z diago alo pod 8 mm b kvantizacijska matrika v ˇi u fine imela eleme te reci o od 1 do 15, saj ustrezne op ke ob čajno n majo z lo dobre ločljivosti. Pri dek diranju pomnožimo matriko naz j z istoležnimi eleme ti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno tr nsformacij k DCT. Dobim pri- bližek prvotne slike n šega k drata. Na slik z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajn . Algoritem za JPEG sti ka- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi pr blem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot s tr va, krzno. Bolǰse kamer tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kva - tizacijsko matriko kot sice . (Slika z ogr mno šuma j tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno eprodukcij .) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija ne akovo t eg zoom objektiva in prilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plund o. JPEG tu i i ajbolǰsi za e- produkcijo gr fičnih podrobnosti. Za ma ǰse risbe i grafik p ofesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stis anje v različnih kakovostih. Zelo d ber za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinom s to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezn in j bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Pr vilo treh i i “Legisa-vesti” — 2017 6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informa i e na originalni sl ki (večin ma nezan ivi el), se zad voljili s p bližki nekaterih drugih p da k v n rigi ala ne or o v c n a čno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizi a m trika mn go nič l, pr dvsem v desnem s odnjem delu. Zgoraj omenjena atri Q obi- čajno sliko t sne fak or pr b iž 7. Matr ki, v ka ri je v či a e ementov ičelnih, p ostali pa n majo po ebne strukture, čem a prš a m tri a. Kva tizir na matrika je torej p ilom razpršena. V f to pa atu z veliki s n rjem (APS-C pd.) avitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰs i el menti, velikosti recimo d 1 do 6. To pome nižjo kompresij , e ako z f ktor 2. Pri malih tipal h z di gon l pod 8 m bo kvantiz cijs matrika v načinu fine imela element recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običaj o nimaj zelo dobre ločljivosti. Pri de odiranju pomnož o matriko nazaj z istoležn mi lementi van- tizacijske matrike in opravim i verzno tra sform cij k DCT. Do imo pri- bližek prvotne l ke ašega kvadr ta. N l kah z mehk mi pr odi med svetl mi in temn mi deli slike to del je sijajno. Algoritem za JPEG is a- n je računsko nezaht ven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so tr va, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj tisnejo, se pravi uporabijo drug kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z gromno šum j udi tež va, vendar pa tu nismo zainteresirani z po r b o re rodukcijo.) Pri oceni ka rah p lahko kombi cija ne ak vostnega zoom objektiva i neprilago ljivega tiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi i najbolǰsi za r - produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike prof i n lci raje uporabljaj format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zda še p tentirani format MP3. Om goča tiskanj v različnih ak vostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prost kodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo gra e fu kcij »p točka «. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je m goče velik razred fu kcij polnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 73 izre , ki ga ni težko dok z ti: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo jena Fou ierova transformi- ranka f̂ en ka 0 zunaj intervala [− , L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 za računanj četrte k liči e d = cba iz razmerja a : b = c : d ima po avtorjevih besedah številne praktične uporabe, zavzema pa vmesni položaj med numerič o specifičnostjo ritmetike in abstrakcijo ter generalizacijo algebre. To pravilo najprej spoznamo v odlomku Wardhaugha Thomsona iz 1771, ki v zvezi z njim niza razna opažanja, kot npr. da je produkt skrajnih členov sorazmerja enak produktu notranjih členov: ad = bc, nato pa je opevano še v 40 verzih izpod peresa Nathana Withyja iz leta 1792: i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezani ivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne more o več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej pravilo a razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorje (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo ko presijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kva tizacijska m trik v načinu fi e imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno imajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo atriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobi o pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z gromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamer h pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom bjektiva in neprilagodl vega stiskanja travnik spremeni v z leno plundr . JPEG tudi i bolǰsi z r - produkcijo grafič ih podrob osti. Za manǰs risbe in gr fik profesion lci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. V orčenje in digitaliz cija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 The Golden rule has always been/ composed of numbers three. /these stated right will find a fourth,/shall in proportion be . . . by it ten thousand things are done/ ten thousand different ways,/ and he that learns it perfectly/ will merit fame and praise. i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — p ge 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli s o d l inf r ac je a o ig nalni sliki ( eč no a ne nimivi del), se zadovoljili s p ibližki e aterih rugih p datk v in origi l e or mo več natancn rekonstruirati. N tipični slik ima kvantizi a matrika mnogo ničel, predvs m v desnem spodnj m de u. Zg r omenj mat ika Q obi- čajno sliko stisne za fa tor približno 7. Matriki, v kater je veči a elementov n čelnih, preost l a nim j posebn s ruktu e, rečemo razprše a matrika. Kvantizirana matrika je torej p aviloma razprše a. V fotoaparatu z velikim se zorjem (APS-C ipd.) astavitev na fin (an- gleško fine) da kv ntizacijsk matriko z bistveno manǰsimi elementi, v likosti ecimo d 1 do 6. T po eni ižjo kompresijo, nekako za f k or 2. Pri malih tipalih z diagon lo p d 8 m bo kva tiz cijsk matrika v č u fine imela lement r ci od 1 do 15, saj ustre e opti e b č jn nim zel dobre l čljivosti. Pri dekodi nju m ožimo m triko nazaj z istolež i i elementi kv n- tizacijske matri e in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z ehkimi prehodi med svetlimi in temni i deli slike t del je sijajno. Algoritem za JPEG sti ka- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. B lǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zain eresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lah o kombinacija nekakovostnega zoom objektiva i neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plu dr . JPEG udi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih po robn sti. Za anǰse risbe in grafike profesio lci raje uporabljajo f rma PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitaliz cija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vred osti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 V knji i najdemo tudi odlomke iz s avnih del, kot je npr. Newton for the l dies Fra cesca Algarottija iz leta 1739: i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Z imiv sti vrgli smo del i form cije na rigi al sliki (vec no a nezanimivi del), se za voljil s p ibližki nekate ih drugih pod tk v in origin l ne more več nat nč o rekonstrui ti. Na tipič i sliki ima kvant zirana matrika mnogo iče , edv m v desn m s odnjem delu. Zgoraj ome jena matrik Q bi- čaj o sliko stisn za faktor pr bližno 7. Matr k , v kateri je večina elementov n čel ih, pre stal pa imajo po ebne trukture, reč m razpršena matrika. Kva tizir a ma rika je t rej praviloma razpršena. V fotoaparatu z veli se z rjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da vantizacijsko atriko z bistveno manǰsi i lementi, velikosti recim od 1 do 6. T p meni ižj kompresijo, nek ko za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 bo k antiz cijska matrika v nacinu fine imela ele ente rec mo od 1 do 15, saj ust z e optike obi ajno nimajo zelo dobre ločljivosti. P d kodir n u pomn žimo atriko nazaj z istoležnimi lem nti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno tr nsformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našeg kvadrat . Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi i te nimi deli slik to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsk ezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsk matriko k t sic r. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podr bno repr dukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko ombinacija ne akov stnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travni spremeni el no plundro. JPEG tudi ni aj olǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafik profesio lci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri štude ti na izpitih rǐse o grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Ven ar pa je ogoče velik r zred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], jer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Sir Isaac Newton, sem nada- ljeval, j osnov l svo o shemo v geometriji, ki jo lahko imenujemo jegova domovina. Najprej je pokazal, da če telo v gibanju privlači točka, bodisi premična bodisi negibna, bo opis lo okrog te točke enake ploščine v enakih časih, in v splošnem, da bodo ploščine sorazmerne časom; in nasprotno, če telo opǐse okrog premične ali negibne točke ploščine sorazmerne čas m, ga bo privlačila ta točka. i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — p e 70 — #3 i i i i i Zanimivosti vrgli smo del i formacije na riginal i sliki (več nom ez nimivi del), se zadovoljili s približki nekate ih drugih podatk v in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem sp dnje delu. Zgora menjena matri a Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kate je večina ele entov ničelnih, preostali pa imajo posebne strukture, reče o razpršena matrika. Kvantizirana atrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsk matri z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pome i nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. P i malih tip lih z diagonal p d 8 mm bo vantizacijska matrika v načinu fine i ela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne o tike običajno nimajo z lo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pom ožimo matriko nazaj z istoležnimi eleme ti kva - tizacijske matrike in o ravimo inverz o transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in tem imi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robuste . Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot s tr va, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podro no reprodukcij .) Pri poceni kam a pa l hko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in eprilag dljiv ga stiska ja travnik sprem ni v zel no plund o. JPEG tudi ni n jbolǰsi za e- produkcijo grafičnih p drobnosti. Za ma ǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo form t PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 O zgodovin diferencialnega računa in Newtonovih odkritjih je izredno zani ivo in filozofsko poglobljeno pisal tudi njegov navdušeni zagovornik 1To presenetljivo slabšalno poimenovanje ulomkov z drugačnimi, nedesetǐskimi ime- novalci naj bi bralce odvrnilo od njihove uporabe? Samo ugibamo lahko, kaj bi na to i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — pa e 70 — #3 i i i i Zanimivosti vrgli smo del i formacij na orig nalni sliki (v činoma nezanimivi del), se zadovoljili pribliˇki ekaterih rugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonst uirati. Na tipični slik ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvs m v d sne spodnjem delu. Zgoraj menjena matrika Q obi- čajno sliko tisne za fakt r približno 7. Matri i, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimaj p sebn strukture, reče o razpršen matrika. Kvantizirana atr ka je t rej pravilom razp š a. V fotoa ratu z velikim senzorj m (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da vantizacijs o matriko bistveno m nǰsimi eleme ti, vel kost recimo od 1 d 6. To pomeni nižjo kompre ijo, nekako z faktor 2. P i m lih tipalih z diagonalo p d 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, aj ustrezne ptike obič j nimajo z lo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožim matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in pr vimo inverz tr sformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne sli e našega kvadrata. Na slikah z ehkimi pr hodi med svetlimi in temnimi deli slik to deluje sijajn . Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko n zahtev , hiter in robusten. Manǰsi pr l m se pojavi pri slikah z ogromno podrobno tmi, kot so tra a, rzno. Bolǰse kamere ko sliko prepoznajo in bist eno ma j stisnejo, se pravi uporabijo drug kvan- tizacijsko m triko kot sic r. (Slika z ogr mno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno lundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 cenzuriranje imenovalcev i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i Z nimivosti vrg i smo del i formacije na rigi alni sliki (večino a n zanimivi el), se zadovolj li s pribl ž i nekat rih drugih p datkov i ginala n moremo več natančn re nstruirati. Na pični sliki ima kvan zi ana atrika mnogo n cel, pr dvsem v esnem spodnjem delu. Zg r j omenjena ma rika Q obi- čaj o slik s isne za faktor približn 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, pre stali a nimajo p sebne strukture, rečemo r zpršena matrik . Kvan izi ana ma rika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) astavite na fino (an- gleško fine) a kvantizacijsko matri o z bistveno manǰs mi leme ti, velikosti recimo od 1 do 6. To meni iž komp esijo, nek k za f ktor 2. Pr ma ih tipalih z diagonal pod 8 mm bo v ntiz cijs matrika v načinu fine i la elemente reci o od 1 do 15, s j ustrezne optike ob čajno nimajo zelo dobre ločljivosti. P i dek diran u pom ži o ma riko n z j z ist ležnimi elementi kvan- t zacijske matr ke in op avimo i verzno transformacij k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne sli e naš ga kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetli i in tem imi deli slike t deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je acunsko nezahteven, hi r in rob sten. Manǰsi roblem se poj i pri sli h z og mno podrobn stmi, ko so trava, k zno. Bolǰse k mere ako sliko prepoznajo in bistve o manj stisnejo, se pravi uporabijo drug kvan- tizacijs m trik kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresi ani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa l hko kombinacija nekak vostnega oom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spr meni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- p odukcijo grafič ih podrobnosti. Za ma ǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Z zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, z zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiska je v različn kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tu i pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija N kateri študenti na izpitih rǐsejo grafe f n ci »po t čkah«. Večinoma se to n obnese. Vendar pa je mogoč velik razred fu kcij pop lnoma rekonstru- irati iz njihov h vrednos i na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, i ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njen Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. P tem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 r kli stari Egipčani, ki so vse ulomke, razen 2 3 , izražali kot vsote ulomkov 1 n , torej so v bistvu i “Legi a-v sti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimi osti vrgli smo del inform ci e na originalni sliki (večinoma n zanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo v č natančno rekonstruirati N tipični liki ima kvantizirana matrika nogo ničel, predvse v desne spo njem delu. Zgoraj o enjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena m trika. Kvantizirana matrika je torej praviloma raz šena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavit n fi o (an- glesko fi e) da kvantiz sko matrik z bistveno manǰsi i le enti, v ikosti recimo od 1 do 6. To p meni nižj kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 b k antiz cijska matrik v nači u fine imela elemente ecimo od 1 d 15, saj ustrezne optike obi ajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravi o in e zno transformacijo k DCT. D imo pri- bliž k prvotne slike našega vadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰs kamere t ko sliko prepoznajo in bis veno anj s is ejo, se prav uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromn šuma je tud težava, vendar pa tu nismo za teresirani za podrobno reprodu cijo.) Pri poce i k erah pa lahko kombinacija n kakov stnega z om objektiv in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsej graf funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na disk etni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 cenzurirali števc i i “L g -vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — age 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije n orig naln sliki (večinom n zanimivi d l), se zadovoljil s približ i ekate ih d ugih podatkov in origi ala ne remo več nata čn r kon truirati. Na t pičn sliki im kvantizirana m trika mnogo nič l, predvs m v desnem spodnj m delu. Zg raj omenjena m trika Q obi- ajn liko stisne za faktor p ibližno 7. atri i, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo p sebne struktur , rečemo razpršena m trika. Kva tizirana m trika j torej praviloma razpršen . V fot paratu z vel kim s nzorjem (APS-C ipd.) nastavitev n fi o (an- gl ško fi e) d kv ntizacijsko atrik z bistveno manǰsi i elementi, velikosti reci o o 1 do 6. To p meni niˇjo komp sijo, nek ko za faktor 2. Pr malih tipalih z di gonalo pod 8 mm bo kv ntizacijs a trik v načinu fine i ela elemente recimo od do 15, aj ustrezne optike običaj o nimajo zelo dobre l čljivosti. Pri ekodir nju po n žimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske atrike in opravi o i verzno transf rmacijo k DCT. D bimo pri- bližek prvotne slike našega kv dr . Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je raču sko n zahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogr mno podrobnostmi, ko so trava, krzn . Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo n bistveno manj stisn , se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z gro no šuma je udi težava, vendar pa tu nismo zainteresir ni za podr bno reprodukcijo.) Pri poc ni k merah pa l hko ombi acija ekakov stnega z om objektiva i neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse r sbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj š pate tirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi pr stokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorče je in digitalizacija Nek eri štud nti na izp tih ǐsej grafe f nkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- rati iz njihovih vrednosti na diskret i množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 ( 017) 2 , različ e od 1. Zgodovina se ponavlja. 160 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 i i “Kovic” — 2017/11/23 — 7:20 — page 161 — #4 i i i i i i A Wealth of Numbers: An Anthology of 500 Years of Popular Mathematical Writing Voltaire (1694–1778) v treh izmed svojih 24 Letters concerning the English nation iz leta 1733, ki ga včasih imenujejo tudi prvo delo razsvetljenstva: i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 Labirint in brezno neskončnosti je prav tako nova smer, ki jo je ubral sir Isaac Newton, in dolgujemo mu ključ, s pomočjo katerega lahko sledimo njenim različnim vijuganjem. i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnje delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko atriko z bistveno manǰsimi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z diagonalo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnožimo matriko nazaj z istoležnimi elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje i digital zacija Nekateri študenti na izpitih rǐs jo grafe fu kcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 V knjigi, katere naslov bi lahko prevedli kot Bogastvo števil, najdemo tudi moderneǰsa besedila, npr. Carl Boyer v knjigi A history of Mathematics iz leta 1968, ki je postavila visoke standarde za vse nadaljnje zgodovinarje matematike, pripoveduje o Eulerju kot o utelešenju analize. Med odlomki bolj znanih avtorjev je treba omeniti vsaj še W. W. Ro- use Balla (1850–1925), ki je v znamenitem delu Mathematical recreations and problems of past and present times iz leta 1892, nekakšni zgodovini razvedrilne matematike, poleg sofisticiranih poročil o znamenitih antičnih problemih podvojitve kocke, tretjinjenja kota in kvadrature kroga med dru- gim pogosto predstavil različne možne rešitve istega problema. Omenja tudi argument (ne pa dokaz!), ki naj bi po njegovem mnenju govoril v prid (kazal na pravilnost) slavnega Izreka štirih barv (ki pa je ostal nedokazan še skoraj sto let!). Obilica in pestrost prispevkov v knjigi je resnično fascinantna: v njej najdemo npr. še poročila o različnih matematičnih in astronomskih instru- mentih, sončnih urah, pa eseje o pomembnosti matematike ter modernega znanstvenega raziskovanja izpod peresa Josepha Glanvilla iz leta 1664: Ge- ometrija, ki je tako temeljno koristna znanost, da brez nje ne moremo v nobeni dobri meri razumeti zgradbe vsevednega arhitekta v kompoziciji ve- likega sveta, in nas samih. i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informacije na originalni sliki (večinoma nezanimivi del), se zadovoljili s približki nekaterih drugih podatkov in originala ne moremo več natančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kvantizirana matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kateri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana matrika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matriko z bistve o manǰsimi el menti, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipalih z dia onalo pod 8 mm bo kvantizacijska atrika v načinu fine imela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne optike običajno nimajo zelo d br ločljivosti. Pri dekodiranj pomnožimo atri o nazaj z istoležnimi ele enti kvan- tizacijske matrike in opravimo inverzno transformacijo k DCT. Dobimo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike to deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahteven, hiter in robusten. Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno manj stisnejo, se pravi uporabijo drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo zainteresirani za podrobno repr dukcijo.) P i poceni kamerah pa lahko kombinacija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zeleno plundro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je nastal na podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še patentirani format MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje in digitalizacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo gr fe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo njena Fourierova transformi- ranka f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 The s geometrei i i “L gis -vesti” — 2017/6/30 — 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli s o del inform cije na originalni sliki (veči oma nezanimivi del), se zadovolj li s približki nekaterih drugih podatkov originala ne moremo več atančno rekonstruir ti. Na tipičn sliki ima kv tizir na matrika mnogo ničel, predvsem v desnem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za faktor približno 7. Matriki, v kat ri je večina elementov ničelnih, preostali pa nimajo po ebne strukture, rečemo razpršena matrika. Kv tizir na matrika e torej pr viloma razpršena. V fotoaparatu z velikim senzorjem (APS-C ipd.) nastavitev na fino (an- gleško fine) da kvantizacijsko matr ko z bistveno anǰsimi elementi, velikos i recimo od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za faktor 2. Pri malih tipal h z d ag n lo pod 8 mm bo kvantizacijska matrika v načinu fin imela elemente recimo d 1 do 15, saj ustrezn ptike običajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju o nožimo matriko nazaj z istoležni i elementi kvan- tizacijske matrike in opravimo i verzno transformacijo k CT. Dob mo pri- bližek prvotne slike našega kvadrata. Na slikah z ehkimi prehodi med svetlimi in temnimi d li slike to deluje sijajn . Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko nezahtev n, hiter in robuste . Manǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromn podrobnostmi, kot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako slik prepoznajo in bistve o ma j sti nejo, se pravi uporabij drugo kvan- tizacijsko matriko kot sicer. (Slika z ogromno šuma je tudi težava, vendar pa tu nismo za nteresirani za pod obn reprodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lahko kombi acija nekakovostnega zoom objektiva in neprilagodljivega stisk nja travnik sprem ni v zele o plundro. JPEG tudi ni n jbolǰsi za re- produkcijo grafičnih podrobnosti. Za manǰse risbe in grafike profesionalci raje uporabljajo format PNG. Za zvok je stal n podlagi JPEG priljubljeni, za zdaj še p tentirani format MP3. Omogoč stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kompresijo zvoka je tudi prostokodni format (Ogg) Vorbis. Vzorčenje n digital zacija Nekateri študenti na izpitih rǐsejo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to ne obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij popolnoma rekonstru- irati iz njihovih vrednosti na diskretni mn zici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, ki ga ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvez in naj bo njena Fourierova transformi- rank f̂ enaka 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ( i i “Legisa-vesti” — 2017/6/30 — 9: 1 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli smo del informac je na originalni sl ki (večinoma nezanimivi del), se zadovolj li s p bližki ne aterih drugih podatkov in riginala ne moremo več a ančno rekonstruirati. Na tipični sliki ima kva tizira a matrika mnogo ničel, pre vs v d snem spodnjem delu. Zgoraj omenjena matrika Q obi- čajno sli o stisne za f ktor približno 7. Matriki, v kat ri je večina elementov ničelnih, reostali pa nimajo posebne strukture, reče o azpršena matrika. Kvantiziran mat ika je to ej aviloma razpršena. V fotoaparatu z v likim senzorjem (APS-C ipd.) astavitev na fino (an- gleško fine) da kv ntizacijsko matriko z bistv n m nǰsimi elementi, velikosti reci od 1 do 6. To pomeni nižjo kompresijo, nekako za f ktor 2. Pri malih tipalih z diagonal pod 8 m bo kv nt z cijska matrika v ačinu fi e mela elemente recimo od 1 do 15, saj ustrezne pt ke običajn nimajo z lo dobre ločljivosti. Pri dekodiranju pomnoˇimo matriko azaj z istoležnimi elementi kvan- t zacijske matrike in opravi o inverzno transfor acijo k DCT. Dobimo pri- bliz k pr otne slike n ˇeg kvadrata. Na slikah z mehkimi prehodi med svetlimi in temnimi deli slike t deluje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nj je računsko n zah ven, hiter in robusten. M nǰsi problem se pojavi pri slikah z ogromno podrobnostmi ot so trava, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoz ajo i bistven manj stisnej , se pravi uporabijo drugo kvan- t za ijsko matrik ot sicer. (Slika z ogromno šuma je tu i težava, vendar pa u is interesirani za p drobno re rodukcijo.) Pri poceni kamerah pa lah kombinacija nekakovost ga zoom objektiv in neprilagodljivega stiskanja travnik spremeni v zele o plu ro. JPEG tudi ni najbolǰsi za re- pr ukcij grafičnih podrob osti. Z manǰse risbe in grafike profesionalci r je uporabljajo format PNG. Z zvok je nastal na podlagi JPEG priljublj ni, za zd j še patentirani f r at MP3. Omogoča st s anje v različnih kakov stih. Zelo dober za kompresij zv ka je tudi pros ok dn format (Ogg) Vorbis. Vz rˇenje in digitalizacija Nekat ri tudenti n izpitih rǐs o grafe funkcij »po t čk h«. Večinoma se to e obnese. Vendar pa je mogoče velik razred funkcij p polnoma rekonstru- rati iz njihovih vred sti na diskretni množici točk. V knjigi [3] najdemo n str. 373 izre , ki g ni težko dokazati: Izrek 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezna in naj bo jena Fourierova transformi- ranka f̂ e aka 0 zuna int rvala [−L,L], k r je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 B g geom trizira i i “L gisa-vesti” — 2017/6/3 9:01 — page 70 — #3 i i i i i i Zanimivosti vrgli sm del inform cije na riginalni slik (večinoma nezanimivi del), se zadovolj li s približki e ater drugih podatkov in originala ne moremo več a an o e onstru r ti. N tipični sli i ima kvantizirana matrika mnogo ičel, re vse v desne sp njem delu. Zgoraj menjena matrika Q obi- čajno sliko stisne za fa tor približno 7. Matriki, v kateri je v čina elementov ničelnih, preostali pa nimajo posebne st ukture, rečemo razpršena matrika. Kvantizirana mat ika je torej praviloma razpršena. V fotoaparatu z velikim enzorjem (APS-C ipd.) nastavitev n fino (an- gl ško fin ) da kvantiz ci ko matrik z bistveno anǰs mi elementi, velikosti recimo od 1 do 6. To pomeni nižj komp sijo, neka o za faktor 2. Pri malih tipalih z diag nalo pod 8 mm bo kva tizacijska matrika v načinu fine imela elemen e rec mo od 1 do 15, saj ustre n ptik bičajno nimajo zelo dobre ločljivosti. Pri dekodir nju pomno m matriko naz j istol žnimi eleme ti kvan- tizacijske mat ike in opra i o nverzno transf rmacijo k DCT. Dobimo pri- bliz k pr otne slike našeg kvadr ta. Na slika z mehkimi prehodi med svetlimi in temn mi deli slike t d luje sijajno. Algoritem za JPEG stiska- nje je računsko ezahteven, hiter in robust n. Manǰsi problem se ojavi pri slikah z ogromn p drobnostmi, kot so t va, krzno. Bolǰse kamere tako sliko prepoznajo in bistveno man stisnejo, se ra i uporabijo drugo kvan- izacijsko matrik k t sicer. (Slika z ogro no šuma je tudi težav , vendar pa tu nism zai teresi ani za p drobno repr dukcijo.) Pr poceni kamerah pa lah kombi acija nek kovostnega zoom bj ktiv n neprilagodljivega stisk ja travnik spre eni v zele o plu dro. JPEG tudi i najbolǰsi za re- r dukcijo graficnih p drobnosti. Za manǰse r sbe in grafike profesionalci r je uporabljajo format PNG. Za zvok je stal a podlagi JPEG priljubljeni, za zd j še patentirani f rma MP3. Omogoča stiskanje v različnih kakovostih. Zelo dober za kom e ij zvoka je tudi prostok dni format (Ogg) Vorbis. V orčenje in digitali acija Nekate ˇtudent na izp tih ǐs jo grafe funkcij »po točkah«. Večinoma se to n obn se. Venda pa je m g če velik razred funkcij popolnoma ekonstru- irat iz njihovih vrednosti na diskret i množici točk. V knjigi [3] najdemo na str. 373 izrek, k ga ni težko dokazati: I r k 1. Naj bo f ∈ L2(R) zvezn n aj bo jena Fourierova transformi- r ka f̂ enak 0 zunaj intervala [−L,L], kjer je L > 0. Potem je f določena 70 Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 2 ) je bil izvrst n Plat nov zrek; in vesolje je treba spoznati z umet ostj , s katero je bilo ustvarjeno.2 Wardhaughu je vsekakor uspelo sestaviti izvrsten izbor be- sedil o matematiki, namenjenih širšemu občinstvu. Podobno, zagotovo nič manj zanimivo in matematično tehtno, antologijo matematičnih besedil in matematičnih piscev bi ilo dobro arediti tudi v naše prost r iz besedil slovenskih matematikov (preteklih stoletij in vse do danes). Skrajni čas je namreč, da se naučimo promovirati najbolǰse v naši matematiki tako, kot to počnejo t. i. veliki narodi, med drugim tudi s pisanjem privlačnih knjig za širše občinstvo (in njihovim kasneǰsim prevajanjem v druge jezike). Sve- tovljanstvo namreč ni hlapčevsko klanjanje vsemu tujemu, ampak pomeni tudi kleno spoštovanje lastne znanosti, kulture in jezika, na kar pripadnike t. i. malih narodov nikoli ni odveč znova in znova spominjati. Jurij Kovič 2Vsi samostalniki v tem stavku so, podobno kot zgoraj pri Algarottiju in Voltairu, v izvirniku pisani z veliko začetnico. To se nam danes zdi nenavadno, starinsko, poleg tega pa je skregano s pravopisom. Obzornik mat. fiz. 64 (2017) 4 XV i i “kolofon” — 2017/11/27 — 9:22 — page 2 — #2 i i i i i i OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, JULIJ 2017 Letnik 64, številka 4 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA Članki Strani O tangensu, vsotah potenc, Eulerjevih in Bernoullijevih številih (Matjaž Konvalinka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–135 Šola Kaj nam o matematičnem znanju maturantov sporoča raziskava TIMSS Advanced? (Barbara Japelj Pavešić in Gašper Cankar) . . . . 136–157 Nove knjige Benjamin Wardhaugh, A Wealth of Numbers: An Anthology of 500 Years of Popular Mathematical Writing (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . 158–XV CONTENTS Articles Pages On tangent function, sums of powers, Euler and Bernoulli numbers (Matjaž Konvalinka) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–135 School What does TIMSS Advanced say about mathematics knowledge of Slovene secondary school students (Barbara Japelj Pavešić and Gašper Cankar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136–157 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158–XV Na naslovnici: Logotipi raziskave TIMSS in nekaterih organizacij, povezanih s to raziskavo: IEA, Boston College, Pedagoški inštitut in Državni izpitni center. Glej članek na straneh 136–157.