P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 3 Strani 168-170
Marko Razpet:
VSOTA GEOMETRIJSKE VRSTE - PO GEOMETRIJSKO
Ključne besede: matematika, geometrijske vrste. Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1335-Razpet.pdf
© 1997 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
168	■	Matematika
VSOTA GEOMETRIJSKE VRSTE -PO GEOMETRIJSKO
Vzemimo pozitivno število g, manjše od 1, kar lahko zapišemo s simboli takole: 0 < q < 1. Njegov kvadrat, torej q2, je tudi tako število, toda ta hip je pomembneje, da je q2 < q. Po množenju obeh strani neenakosti q < 1 s pozitivnim q dobimo namreč neenakost q2 < q < 1. Postopek nadaljujemo in najdemo zaporedje potenc:
D < . . . < qn+l <qn < ... <q2 <q < 1 .
Zaporedje 1, q, q2, g3,... je geometrijsko, saj je v zaporedju količnik poljubnega člena z njegovim predhodnikom enak q. torej stalen. Prvi člen tega zaporedja je 1. Člene zaporedja upodobimo na številski premici, kot prikazujeta sliki. Čim manjši je q, tem hitreje se potence qn približujejo ničli:
^ 'i i i q- - r 9 - r 1 - 9
I	I-1 * - I	I-	i	t q = l
o qB g5 g4 g3 g2	g	i
• • • g2 - g3 g - g2	1 - g
',-'.,	" 9 = 1
0 ... gJ q2	q	1
Očitno členi zaporedja delijo interval [0,1] na vedno krajše podinter-vale, če gledamo z desne proti levi strani tega intervala. Prvi podinterval ima dolžino 1 — g, drugi q — q2 — q{ 1 — q), tretji q2 — g3 — q2( 1 — q) in tako naprej. Njihove dolžine sestavljajo zaporedje
i - ?,g(i - g),g20 -<?),•••
ki je tudi geometrijsko zaporedje s količnikom q. Prvi člen je 1 ~ q. Velja:
()<...< qn( 1 -«)<...< g2(l - g) < g(l - q) < 1 - g .
Prvi podinterval z desne ima dolžino 1 — g, kar je manj od dolžine intervala [0,1], ki je dolg 1, Prva dva podintervala skupaj merita (1 — q) + + 3(1 ~ (l) — ~ g2- Prvi trije imajo skupno dolžino (I — q) + g( 1 — g) + + g2 (1 — g) = 1 — g + g — g2 4- g2 — g'' = 1 — g3, po n korakih ugotovimo, da meri skupna dolžina prvih n podintervalov 1 - qn. Če seštejemo po vrsti
Matematika	169
dolžine dovolj velikega števila zaporednih podintervalov, se številu 1 približamo, kot le želimo, saj potenca qn za dovolj velik n postane poljubno majhna. To zapišemo v obliki vsote, ki ima neskončno mnogo členov:
(l-?) + g(l-</)+g2(l-<Z) + ... = l.
Tri pike (...) pomenijo, da se seštevanje členov nadaljuje v nedogled. Vsota vseh dolžin delnih intervalov, na katere členi zaporedja i/, g2,... delijo interval ¡0,1], je seveda 1. Če v zgornji vsoti izpostavimo vsem členom skupni faktor 1 — q, dobimo
(l-q)(\+<l + q2 + q3 + .. .) = 1 , od koder dobimo vsoto geometrijske vrste:
1 + q + q2 + q3 + ... = -— .	(A)
J — q
Geometrijska, vrsta ji pravimo zato, ker sestavljajo njeni členi geometrijsko zaporedje. Formula (A) je očitno pravilna tudi za q = 0. Primer:
, 111 1
Kaj pa, če je q negativen, toda po absolutni vrednosti manjši od 1? Tedaj pišemo q = — r, kjer je 0 < r < 1. Geometrijsko vrsto preoblikujemo takole:
1 4- q + q2 + <?3 + f/4 + ... = 1 - r + t2 - r3 + r4 + ... =
= (1 - r) + r2(l - r) + r4(l - r) + ... Izpostavimo faktor 1 — r in dobimo:
1 +q + q2 + ?4 + ... = (1 -r)(l + r2 + r4 + ...) .
Vrsta 1 + r2 + r4 + ... je geometrijska s količnikom r2 < 1, njeno vsoto lahko izračunamo s formulo (A):
1 + r2 + r4 + ... =
I	1
1 - r2 (1 - r)(l + r) Tako smo našli vsoto vrste:
1 + q + + ?3 + + - ■ • = (1 - r)
(1 - r)(l	1+7- 1 - q '
170	Matematika - Rešitve nalog
Formula (A) torej velja za vsako realno število q, |g| < 1.
Primer:
1 _ 1 2
2 + 2* " 2* + ' " " ITI ~ 3 "
Za |g| > 1 geometrijska vrsta nima vsote. Res:
Za q = 1 imamo 1 + 1 + 1 +... Ko seštejemo prva dva člena, dobimo vsoto 2, vsota prvih treh členov je 3 in tako naprej. Če nadaljujemo, očitno dobljena vsota sčasoma preseže še tako veliko pozitivno število.
Zanimiv je primer q — —1, ko imamo opravka z vrsto 1—1+1—1+ + ... Tedaj je vsota prvih dveh členov 0, vsota prvih treh 1, prvih štirih spet 0 in tako naprej. Tako zaporedje ničel in enic se seveda ne približuje nobenemu številu, četudi seštejemo še tako veliko število členov.
Kaj pa, če združujemo po dva in dva člena? Tedaj dobimo novo vrsto (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + . .. = 0. Kaj je pravilno? Izkaže se, da smemo člene vrste včasih združevati, včasih pa ne. Slednji primer je tak, ko tega ne smemo.
V	izpeljavi smo združevali člene: 1 — r + r2 — r3 + r4 + *.. = = (1 — r) + r2(l — r) + rA{\ — r) + ... V tem primeru smo to storili upravičeno.
V	primeru > 1 potence qn postanejo z rastočim eksponentom n po absolutni vrednosti vedno večje, torej geometrijska vrsta tudi tedaj nima vsote.
Marko Razpet