P K I- S I- K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 27 (1999/2000) Številka 6 Strani 348-351
Nada Razpet:
KOLIKO PIJAČE LAHKO NATOCIMO V KOZAREC?
Ključne besede: matematika, geometrija, prostornine. Elektronska verzija: http://www.presek.si/27/1423-Razpet.pdf
© 2000 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
KOLIKO PIJAČE LAHKO NATOČIMO V KOZAREC?
Na enem izmed poletov z letalom nam je stevardesa prinesla kozarce nenavadne oblike. Dno je bilo kvadratno, zgornji rob pa krožnica, ki bi jo lahko očrtali kvadratu. Del plašča so sestavljali trikotniki (slika 1). Kozarec smo lahko postavili v za to pripravljeno stojalo tako, da se jc vanj pogre-znil do polovice. Ker zaradi slabe vidljivosti opazovanje okolice ni bilo zanimivo, smo se začeli pogovarjati, kako bi izračunali, koliko tekočine bi lahko nalili do roba takega kozarca. Kaj takega si v letalu seveda ne bi mogli privoščiti, saj letalo navadno začne premetavati, brž ko stevardese postrežejo s pijačo.
Vzemimo, da je polmer krožnice ?', in zato osnovnica kvadrata a = — rV2, višina kozarca v ter da je notranjost zapolnjena.
Slika 2. IVije osnovni deli razrezanega kozarca.
Slika l.
Kozarec razrežemo na več delov, in sicer na pravilno štiristrano piramido, ki ima za osnovno ploskev dno kozarca, štiri piramide, katerih dva mimobežna robova sta pravokotna, in štiri četrtinske stožce, ki imajo za osnovno ploskev četrtino kroga (slika 2).
Preden začnemo računati prostornino posameznih delov, poglejmo, kako izračunamo prostornino piramide IJKL (slika 3), katere mimobežna robova IL in J K sta pravokotna. Piramido presekamo z ravnino, ki vsebuje rob J K in je pravokotna na rob IL tako, da osnovna piramida razpade v dve piramidi, ki imata za osnovni ploskvi trikotnik JKE in višini IE = si in EL = S2- Vsota obeh višin je ravno dolžina roba I L.
Piramida IJKL je torej sestavljena iz dveh piramid in njena prostornina je
Slika 3. Piramida, katere mimobežna robova il in jk sta pravokotna.
v = Vi+v2= l^l-»!-"! + I'JK\ ■■S2 - I'JK\ ■ l/L! ■
2-3
2-3
(i
Prostornina piramide, katere mimobežna robova sta pravokotna, je torej enaka šestini produkta dolžin obeh mimobežuih pravokotnih robov in njune medsebojne razdalje.
Vrnimo se k našemu kozarcu in zapišimo prostornine posameznih delov.
Prostornina pravilne štiristrane piramide z osnovnim robom a je
a2v 2r2v
Piramida ABES ima pravokotna mimobežna robova AB — a in ES = r, zato je
rav r2v\/2
V2 =--- = -
2 6 6
Prostornina dela, ki ima za osnovno ploskev četrtino kroga, je
Skupna prostornina je
2r2v 2r2v\/2 nr2v r2v /„ „	\
V = n+4V2 + 4Va = — + -—+ -g- = — (2 + 2V2 + irj .
Poglejmo, kakšne oblike je odprtina podstavka, v katerega postavimo tak kozarec. Narišimo tloris kozarca (slika 4).
D
Slika. 4. Tloris kozarca.
Enakokraki trikotniki, ki imajo za osnovnico stranice kvadrata, vrb pa na robu krožnice, so deli ravnine (na sliki so projekcije krakov označene pikčasto), zato so vodoravni prerezi kozarca sestavljeni iz daljic (na primer QP) in delov krožnice (P/i). Z naraščajočo višino kozarca se daljice krajšajo, polmeri krožnic na vogalih pa večajo, iNa polovici višine kozarca je ravni del enak rt/2, polmer vogalnega dela krožnice pa tj2. Bralec naj sam izračuna, kako se z višino spreminjata, dolžina ravnega dela in polmer vogalne krožnice.
Matematika	351
E
Slika 5. Mreža kozarca.
Za konec izdelaj mo model takega kozarca. Mrežo prikazuje slika 5 (narisana je v pravilnem razmerju, zato jo lahko samo povečate). Pri tem velja
\GJ\ = ~ = y , \MD\ = v , \AB\ = rv^,


Trikotnik GCJ je enakokrak, njegova osnovnica je G J. Stransko višino v\ izračunamo iz pravokotnega trapeza S'F'ES, označenega na sliki kozarca na začetku članka.
V trgovinah je na policah veliko kozarcev nenavadnih oblik. Premislite, če znate izračunati prostornine takih kozarcev. Seveda pa je najlaže določiti prostornino kozarca s prelivanjem tekočine v merilno posodo.