Geometrija za učiteljišča. Sestavil L/. L a v t a r, c. kr. profesor v Mariboru. _u£ inss W ju —/ 'V rugi pienarejeni natis. Cenil trdo vezani ltnjifti 2 Iv 4-0 h, mehko vezani 2 Iv. V Ljubljani. Tiskala in založila Ig. pl. Kleinmavr & Fe d. Bamberg. 1894 . 02>0005S35<: Uvod. Telo, ploskev, črta in točka. § 1. Vsak na vse strani omejen del prostora imenujemo telo. Meje telesa imenujemo ploskve, vse ploskve skupaj pa njegovo po¬ vršje. Meje ploskve imenujemo črte, vse črte skupaj pa njen obseg. Ploskve so ravne ali sloke; prve imenujemo kratko ravnine. Telo, katero je od samih ravnin omejeno, imenujemo ravno- plosko, vsako drugo pa slokoplosko. Ravnine si mislimo navadno brezkončne, če ne omenjamo izrekoma nasprotnega. Vsako na vse strani od črt omejeno ploskev imenujemo lik (figuro). Črte lika imenujemo njegove stranice. Po številu stranic so liki tri-, četvero-, peterostranični i. t. d. Črte so preme ali sloke; prve imenujemo kratko preme. Lik je premočrten ali slokočrten; prvemu so meje preme črte, drugemu sloke. Meji črte imenujemo točki. Telesa, ploskve, črte in točke imenujemo osnovne tvore prostora. Katera telesa vidiš tu*? — Katera telesa vidiš v sobi? — Ali je oblika prostora, v katerem se nahajajo, različna od oblike teh teles? — Ali je ta prostor iz kake snovi, ali ima barvo, ali je luknjičav i. t. d.? Preštej ploskve kocke, prizme, piramide i. t. d. in pokaži površje teh teles. — Ali moreš ločiti ploskev od telesa? Preštej črte vsake ploskve pri kocki, prizmi i. t. d. in pokaži obseg ploskve. — Ali moreš črte ločiti od ploskev? Primerjaj ploskve kocke, prizme, piramide s ploskvami cilindra, stožca in krogle. Koliko likov nahajaš na kocki, prizmi in piramidi? — Kakšne like nahajaš na vsakem teh teles z ozirom na število stranic? Primerjaj robove kocke, prizme in piramide z robovi cilindra in stožca. Kje in kako postajejo robovi teh teles? — Kakšen osnoven tvor je rob? Kakšne like nahajaš pri prizmi in piramidi, pri cilindru in stožci? Kje in kako postajejo ogli pri kocki, prizmi in piramidi? * Učitelj ima n. pr. na mizi pred seboj kocko, pokončen četverostran para- lelepiped, pokončno šesterostrano piramido, pokončen cilinder, pokončen stožec in kroglo. — Ta telesa poznajo že učenci, če ne, naj jim pa učitelj pove njihova imena. Geometrija. 2 § 2. Vsako telo ima troj obmer, ono je dolgo, široko in visoko (globoko, debelo); ploskev ima dvoj obmer, ona je dolga in široka; črta ima samo jeden obmer, ona je dolga. Telesa, ploskve in črte imenujemo prostorne količine, ker se razprostirajo. Točka se ne razprostira, torej tudi ni prostorna količina. Znanstvo, katero se peča s prostornimi tvori oziraje se na nji¬ hove prostorne lastnosti, imenujemo geometrijo. Delimo jo v dva glavna dela: planimetrijo in stereometrijo. Geometrijo tvorov v jedni in isti ravnini ležečih imenujemo planimetrijo; geometrijo pa, ki se peča s prostornimi tvori, kateri ne leže samo v jedni jedini ravnini, nego se še zunaj nje v prostoru raztezajo, stereometrijo. § 3. Osnovne tvore prostora moremo si tudi po premikanji stvorjene misliti. Pot, katero premikajoča se točka za seboj pušča, je črta. Pre¬ mikajoča se črta, pa ne v sebi sami, napisuje ploskev. S premikanjem ploskve, pa ne v sebi sami, postaje telo. Kedar se premika točka zmerom v isti, neizpremenjeni meri proti drugi točki, postaje prema. Mer premikanja imenujemo mer postale preme. Sloka črta pa postaje, ako premikajoča se točka vsak trenotek svojo mer izpreminja. Kakšno črto napiše krogla, ako jo a) izpustimo na tla, b) ako jo vržemo napošev kvišku? Slika 1. § 4. Kedar se točka A (slika 1.) tako premika v ravnini naprej, da ostane ves čas jednako oddaljena od nepremične točke 0, dokler se ne povrne v svojo prvo lego, na¬ pisuje sloko črto, katero imenujemo črto krožnico. Ploskev omejeno od krožnice ime¬ nujemo krožnino. Za krožnico in krožnino rabimo mnogokrat besedo krog. Nepremično točko 0 imenujemo središče ali centrum in vsako premo od središča do katerekoli točke krožnice, kakor n. pr. OA, OB, polumer (radij) kroga. Premo, katera veže dve točki krožnice, imenujemo tetivo, n. pr. AB. Tetivo, katera gre skoz središče, kakor AC, imenujemo premer kroga. Vsak del krožnice, kakor AB, imenujemo lok, in dolžino cele krožnice obod ali periferijo kroga. Polovico oboda imenujemo polu- krog, četrti del pa kvadrant. Iz povedanega sledi: a) Vsi polumeri kroga so jed na ki; b) vsak premer kroga je dvakrat daljši od polumera; c) vsi premeri kroga so jednaki. Opomnja. Ako vse točke kakega tvora istemu pogoju zadostujejo, imenujemo ga geometrijsko mesto teh toček. Krožnica je torej geometrijsko mesto vseh toček iste ravnine, katere so od nepremične točke jednako oddaljene. Kaj napiše končna točka kazala na uri. ko pride od dvanajstih a) do dvanajstih, b) do dveh, c) do šestih in d) do treh? Kaj napiše točka leče pri nihalu ure? — Napiši krožnico s polumerom a) 3 cm, b) 4 cm, c) 5 cm 5 mm\ § 5. Toček in črt v resnici risati ne moremo; to, kar je na papirji narisano, so le znaki toček ali črt. Prvi del. F* 1 11 i m e t r i j a Prvi oddelek. DP r e m. e in koti. 1. Preme. § 6. Skoz jedno točko moremo načrtati brezkončno mnogo prem na vse strani, skoz dve točki jedno samo. Dve točki določujeta po¬ polnoma mer preme. Premi, kateri imata dve točki skupni, padeta skupaj in tvorita jedno samo. Premi, različni po meri, moreta imeti le jedno samo točko skupno. Pravimo: sečeta se v tej točki, in to skupno točko imenujemo presečišče. Načrtaj točko in skoz to toliko prem, kolikor jih le hočeš. — Načrtaj _ dve točki in skozi nji toliko prem, kolikor jih moreš. § 7. Neomejeno premo imenujemo ti’ak. Vsaka točka traka deli ga v dva polutraka; polutrak je torej na jedni strani omejena prema. Na obeh straneh omejeno premo imenujemo daljico, mejišči daljice pa njijini krajišči. Daljica med dvema točkama določuje razdaljo teh toček. Vse trakove skupaj, katere načrtamo skoz isto točko, ime¬ nujemo trakovje (kito), skupno presečišče pa tračišče. Točko zaznamenujemo s črko. Trak zaznačujemo z dvema v njem ležečima točkama, polutrak z mejiščem in s točko v njem ležečo, daljico s krajiščema. § 8. Trakove in polutrakove moremo le primerjati z ozirom na njihovo mer, daljice pa z ozirom na njihovo mer in dolžino. Premo, katera leži v meri prosto padajočega telesa, imenujemo navpično (vertikalno); premo ležečo v meri površja mirne vode ime¬ nujemo vodoravno (koricontalno). Premi, kateri ležita v isti ravnini 5 in se ne sečeta v nobeni točki, ako ji še toliko podaljšamo, ime¬ nujemo vzporedni. Vzporedni premi imata obe isto mer; nevzporednici imata različno mer, ter se zadosti podaljšani sečeta. Ravnino med vzporednicama imenujemo progo. Da je prema AB vzporedna s premo CD, zapišemo kratko AB II CD. Dve daljici sta jednako dolgi, ako ji moremo tako drugo na drugo položeni misliti, da se popolnoma krijeta; drugače sta ne- jednaki, in sicer je ona daljša, katera na jedni strani sega čez krajišče druge, ako se stikata krajišči na drugi strani. Naertaj po meri na oko: a) navpično, b) vodoravno premo, c ) dve vzporedni, d) dve nevzporedni premi. Naertaj a ) dve jednaki, b) dve ne- jednaki daljici. § 9. Za primerjanje črt jemljemo jedno, n. pr. meter, s katero merimo druge; imenujemo jo mero ali mersko jednoto, dolgostim jednoto. Število, katero pove, koliko merskih jednot ima črta, ime¬ nujemo njeno mersko število. Katere dolgostne jednote poznaš? — Načrtaj daljice: a) 2 cm, b) 5 cm, c) 1 dm, d) 1 dm 5 cm dolge po meri na oko in z merilom. Osnovni računi z daljicami. § 10. a) Seštevanje. Daljici AB in BC seštevati se pravi, iskati črto, katera je Slika 2. tako dolga, kakor obe daljici skupaj. I-1-1 To črto dobimo, ako podaljšamo daljico ^ B C AB za daljico BC. Tedaj je AB -f- BC= AC. b) Odštevanje. Daljico BC od daljice AC odštevati se pravi, iskati daljico, katera dh k BC prišteta daljico AC. To daljico dobimo, ako AC za BC skrajšamo, t. j. točko C za daljico BC proti A nazaj premaknemo. To je AC— BC= AB. c) Množenje. Črto BC s številom množiti se pravi, to črto tolikokrat za sumand postaviti, kolikorkrat kaže to število. Tako je n. pr. v sliki 3. 4. BC = AC. d) Merjenje. Ako preiskujemo, kolikokrat je BC v AC (slika 3.), rimo AC z BC. Tako je n. pr. AC: BC= 4. Slika 3. H- B -I C me- I- A 6 e) Deljenje. Daljico A C s številom deliti se pravi, iskati daljico, katera da množena s tem številom daljico A C. Tako je n. pr. po prejšnjem BC četrti del od AC, t. j. AC: 4 = BC. Načrtaj a) dve daljici, b) tri daljice in poišči njihovo vsoto; a) po meri na oko, b) s pomočjo šestila. Načrtaj dve daljici in poišči njihovo diferenco a) po meri na oko, b) s pomočjo šestila. Poišči daljico, katera je 2-, 3-, 4 krat tolika, kakor dana daljica. Dani sta daljša in krajša daljica, poišči a) na oko, b) s šestilom kolikokrat je druga v prvi. Razdeli dano daljico na 2, 3, 4 jcdnake dele aj na oko, b) poskusoma s šestilom. 2 . Koti. § 11. Premi AB in AC, kateri se stikata v točki A, tvorita bot. A imenujemo vrh, BA in CA kraka kota in ploskev med krakoma kotno ploskev ali kotnino. Kot zaznamenujemo ali z jedno samo črko, katero zapišemo v kotnino k vrhu, ali s črko pri vrhu, ali pa s tremi črkami tako, da denemo črko pri vrhu v sredo med črki pri krakih. Kot v sliki 4. imenujemo kot n, ali kot pri A ali kot CAH ali BAC. Jeden krak, tukaj n. pr. krak AB, si hočemo misliti nepremakljiv, drugi krak AC pa vrtljiv okoli nepremakljivega vrha. Ako potem zavrtimo krak AC iz lege AB v lego AC, postane kot n. Cim večja je ta vrtnja, tem večji je kot. Kolikost te vrtnje ne pa dolžina krakov določuje kolikost kota. Primerjanje kotov. § 12. Dva kota primerjamo z ozirom na njijino kolikost, ako ja polagamo tako drug na drugega, da se krijeta nepremakljiva kraka in vrha. Ako se krijeta tudi premakljiva kraka, sta kota jednaka, ako pa ne, sta nejednaka, in sicer je oni kot manjši, čegar premakljivi krak med krakoma drugega kota leži. Obratno: Ako sta dva kota jednaka, moremo ja tako položiti drug na drugega, da se kotnini krijeta popolnoma. § 13. Z vrtenjem premakljivega kraka okrog vrha dobivamo zmerom večje kote; ako zavrtimo krak toliko, da ležita oba kraka Slika 4. 7 Slika 5. v jed ni premi, pa vsak na nasprotni strani od drugega, t. j., ako je kolikost vrtnje s polukrogom zaznamenovana, tvorita iztegnen kot, n. pr. <£ AOC (slika 5.). In ako vrtimo še dalje, da napiše točka A premakljivega kraka cel krog, padeta oba kraka skupaj v jedno premo na isto stran in tvorita poln kot. Polutraka istega traka tvorita torej iz¬ tegnen kot, in poln kot je dvojen iz¬ tegnen kot. Kot, ki je manjši od iztegnenega, imenujemo otel n. pr. <£ AOB (slika 5.), večji kot od iztegnenega pa izbočen kot n. pr. AOD (slika 5.). Polovico iz¬ tegnenega kota imenujemo prav kot,* manjši kot od pravega je oster, večji od pravega in manjši od iztegnenega pa top kot. V sliki 6. je X AGII 6'A r leži torej med GH in IID ali MN in CD sta na desno primični. Opormija. Vsako premo, katero potegnemo, da nam pomaga izvrševati dokaz ali načrtovati zahtevan tvor, imenujemo pomočilo črto. Pomočne črte rišemo navadno črtieaste ali pikičaste. § 28. Izreki. 1.) Dve premi, kateri stojita na tretji pravo¬ kotno, sta vzporedni. Pogoj. AB ± MN in CD X MN. Trditev. AB II CD. MN, je a = R, Slika 15. C M AB Dokaz. Ker je AB in ker je CD X MN, je tudi b = R; torej je a = b in AB II CD. (§ 26.) 2.) Ako stoji jedna izmed dveli vzpo¬ rednic pravokotno na premi, stoji tudi druga . na nji pravokotno. Pogoj. AB\\CD, in AB X MN. Trditev. CD X MN. Dokaz. Ker je AB\\CD, j e, a — b (§ 26, 2); in ker je I MN, je a = R, torej tudi b = R, t. j. CD X MN. 3.) Iz točke zunaj preme moremo na to le jedno pravo- kotnico izpustiti. B D Indirekten dokaz. Ako bi bilo mogoče, da z dane točke spustimo več pravokotnic na dano premo, bi morale te pravokotnice biti vzporednice (1.), kar pa je nemogoče, ker bi imele skupno točko. Opomnja. Dokaze, s katerimi dokazujemo, da je nasprotje trditve ne¬ mogoče in torej trditev resnična, imenujemo indirektne. 4.) V točki preme moremo na to le jedno pravokotnico postaviti. Dokaz indirekten. § 29. Ako merita vzporednici obe na isto stran ali pa jedna na jedno, druga na drugo stran, pravimo, da sta v istem smislu ali v nasprotnem smislu vzporedni. Izreka. 1.) Kota, katerih kraki so paroma v istem ali na¬ sprotnem smislu vzporedni, sta jednaka; kota pa, v katerih sta dva kraka v istem, druga dva kraka pa v nasprotnem smislu vzporedna, sta suplementarna. 15 II. Dokaz. Recimo, da je (slika 16.) sllka 16 - GE I! AB in DF II AC ; potem so kraki kotov a in m paroma v istem smislu in kotov a in p v nasprotnem smislu vzporedni. Kraki kotov a in n so tudi paroma vzporedni, vendar sta dva kraka v istem, druga dva pa v nasprotnem smislu vzporedna. Ker je a= o in m = o, je tudi a — m. Ker je vsled dokaza a = m, in p = m, je tudi a — p. Nadalje je n -j- m = 2 R, torej tudi n -)- a = 2 R. 2.) Ako stoje kraki dveh kotov paroma pravokotno drug na drugem, sta kota jednaka ali suplementarna. Dokaz. Vzemimo, da je DE _L AB in Slika 17 ' DF±AC (slika 17.). Zavrtimo kot EDF za 90° okoli nepremične točke D , da prideta DE in DF v lego DE' in DF'. VI. so potem kraki kotov BAC in EDF' paroma v istem smislu vzporedni, torej je <£ E’DF’ = BAC ter tudi AB. Trditev. ABC>. ACB. Dokaz. Naredi AD = AB in zveži B in D z daljico BD. Potem je v jednakokrakem trikotniku ABD DBA = NCA (§ 33. izv.), torej tembolj '6’ o ACB. 3. ) V vsakem trikotniku so jednakim kotom jednake stranice nasprotne. Pogoj. A = <£ B. Trditev. BC= AC. Indirekten dokaz. Ako bi ne bila BC — AC, morala bi biti BC % AC in <£ A -j? B (2), kar pa pogoju nasprotuje. Torej mora biti BC = AC. 4. ) V vsakem trikotniku je večjemu kotu večja stranica na¬ sprotna. Dokaz indirekten kakor pri 3. Izvodi. a) V pravokotnem trikotniku je hipotenuza večja od vsake katete. b) V topokotnem trikotniku je topemu kotu nasprotna stranica največja. c) Izmed vseh daljic, katere potegnemo od dane točke zunaj dane preme do te, je pravokotnica najkrajša. Kajti vsaka druga daljica je hipotenuza pravokotnega trikotnika, pravokotnica pa kateta. Pravokotnico, katero spustimo iz točke zunaj preme na to, imenujemo razdaljo ali razstoj točke od preme. V jednakokrakem trikotniku je kot pri vrhu C = 62° 3' 54”; kolik je vsak kot na osnovnici? Kot na osnovnici jednakokrakega trikotnika je a = 34 0 15 ' 6 " ; kolik je a) kot pri vrhu, b) vnanji kot pri vrhu? Kolik je vsak kot jednakokrakega pravokotnega trikotnika? Kolik je vsak kot jednakokrakega trikotnika, ako je kot pri vrhu a ) ravnotolik, b) dvakrat tolik, c) polovica od kota na osnovnici? 2 * 20 § 36. Ako spustimo v trikotniku ABC (slika 27.) od vrha C na osnovnico AB pravokotnico CD, imenujemo to premo višino trikotnika. Lega višine zavisi od kakovosti kotov na osnovnici. Kedaj pade višina trikotnika a) med stranici, b) v stranico, c) zunaj trikotnika ? Kot v polukrogu. § 37. Ako zvežemo kako točko polukrožnice, n. pr. C (slika 26.), s krajiščema A in B njijinega premera, dobimo kot ACB, katerega imenujemo kot v polukrogu. Izrek. Kot v polukrogu je prav kot. Pogoj. Vzemimo, da je ACB (slika 26.) kot v polukrogu. Trditev. ACB = R. Dokaz. Načrtaj OC; potem je O A = = OB — OC, ker so polumeri, in v jed- nakokrakih trikotnikih A OC in BOC je <£ m = A in •$; n — B, torej <£ w -[-<£ «=<£ A -[-<£ N ali ACB = A -f ^ B. Iz tega sledi: 2 . 3 ; ACB = <£ A -f B -f ACB = 2R in ACB = R. Medsebojna zavisnost stranic trikotnika. § 38. Izreka. 1.) V vsakem trikotniku je vsota dveh stranic večja od tretje. Dokaz. Vzemimo, da je v trikotniku ABC (slika 27.) AB največja stranica in CD _L AB, potem je (§ 35., 4, izv. a) AC > AD, in BC )> BD, torej AC -f~ BC > AD -|- BD (aritm. str. 20 , 6 ) ali AC + BC > AB. Tem bolj pa je AB -f- BC )> AC in AI3 -|- AC 1 )> BC. 2.) V vsakem trikotniku je diferenca dveli stranic manjša od tretje. Ker je AB BC , tedaj tudi B'C' > A'C', in ^b = $:b'. Trditev. A ABC ^5 A A'B'C'. Dokaz. Položimo v mislih trikotnik A'B’C' tako na A ABC , da krije kot B' kot B, kar je mogoče, ker sta jednaka; potem krije stranica B'C’ stranico BC in točka C' točko C, ker je BC = B'C', in stranica B 'A' pade v mer stranice BA. Točka A' pa mora tudi pasti na točko A ; kajti drugače bi morala ali v stranici AB, n. pr. na točki A", ali v podaljšku te stranice, n. pr. na točki A'", ležati. Ako, bi točka A' ležala na točki A", bi bil A A"CB ^ A A'B'C', torej A"C = AC' = AC ali trikotnik AA"C bi bil jednakokrak in kota AA"C in GAA" ostra; potem bi pa bil kot BA"C top kot in BC )> A"C (§ 35., 4), torej tudi BC > AC, kar pa pogoju na¬ sprotuje. Takisto dokažemo, da točka A' ne more pasti na točko A"', da torej na vsak način točko A kriti mora. Potem se pa krijeta trikotnika popolnoma ali A ABC = A A'B'C'. Izvod. Dva pravokotna trikotnika sta skladna, ako imata hipotenuzo in jedno kateto paroma jednaki. Dostavek. Umovanje prejšnjega dokaza opira se na pogoj, da je jednak kot večji od paroma jednakih stranic nasproten. Brez tega pogoja ne velja ono umovanje. Ako imata tedaj dva trikotnika dve stranici in manjši teh stranic nasproten kot paroma jednake, ne smemo sklepati, da sta trikotnika skladna. Res je v trikotnikih ABC in ABC (slika 33.) AC = A'C, BC = BC, kjer je AC = A'C < BC in B = kjer je ns mersko število mnogokotnikovega obsega. § 75. Ploščino nepravilnega mnogokotnika dobimo, ako ga raz¬ delimo z diagonalami v trikotnike; vsota ploščin vseh trikotnikov, katere izračunamo po znanem pravilu, je ploščina mnogokotnika. Mnogokotnik pa moremo razdeliti tudi na trikotnike in trapeče, ako potegnemo diagonalo, na katero potem spuščamo pravokotnice iz ostalih oglišč. Ploščino vsakega teh likov izračunamo po znanem pravilu in vsota teh ploščin je ploščina mnogokotnika. § 76. Pitagorov izrek. V vsakem pravokotnem trikotniku je kvadrat nad hipotenuzo jednak vsoti kvadratov nad obema katetama. Načrtajmo nad hipotenuzo BC (slika 67.) pravokotnega trikotnika ABC kvadrat BCDE in potegnimo DF J_ AB, EG J_ AB, EJ _ \_ BF, C H ; BF, potem so AFCFt in FGEJ pravo¬ kotni paralelogrami, trikotniki a, b, c, d pa skladni (§ 52.), in c -j- d = a -(- b. Nadalje je BCHJE = BCHJE, torej BCHJE -f d-\-c = BCHJE + a + b ali BCDE = ACHJEGA = AFTIC -f FJEG. Iz skladnosti trikotnikov a, b, c, d sledi C H — AC in E J = = EG — AB ali ACHF je kvadrat nad kateto AC in FJEG kvadrat nad kateto AB. Ako torej zaznačimo kratko BCBE = [jj BC, AFCH — □ AC in FGEJ = □ AB, je po gornjem □ BC= □ AC+ □ AB. Izvod. Kvadrat nad jedno kateto je jednak kvadratu nad hipotenuzo menj kvadratu nad drugo kateto. Kajti iz [ j BC = □ J C- j ; j AB, sledi □ AB = □ BC - □ AC, in □ AC = □ BC — □ AB. Slika 67. 44 §77. Pitagorov izrek izražuje v obliki, kakeršno ima v prejš¬ njem paragrafu, geometrično lastnost pravokotnega trikotnika. Damo pa mu laliko tako obliko, da postane aritmetični izraz medsebojne zavisnosti merskih števil stranic v pravokotnem trikotniku. Kajti, ako so a, b, c merska števila stranic AB, AC, BC (slika 67.) z ozirom na isto dolgostno jednoto, so a 2 , b 2 , c 2 merska števila ploščin kvadratov, katere smo nad onimi stranicami načrtali (§ 70.). Iz jednačeb prejšnjega izvoda slede potem te-le: c 2 = a 2 + b 2 ali c = VaA+J 2 , a 2 = c 2 — b 2 » a — ~\/c 2 — b 2 , b 2 = c 2 — a 2 » b — Yc' ! — ci 2 . Izrazi te jednačbe z besedami! Računske naloge. 1. ) Stranica kvadrata je a) 42 m, b) 0'855 m, c) 1 m 4 dni 7 cm dolga: kolik je njegov obseg in kolika njegova ploščina? 2. ) Kvadratov obseg znaša a) 23 m 2 dm, b) 9~ m; kolika je ploščina? 3. ) V pravokotniku znašate dve stikajoči se stranici a in b, o je mersko število za obseg, p pa ono za ploščino; izračuni iz dveh teh količin drugi dve. 1.) a = 3 m 4 dm (44 m), b — 2 m 5 dm (1§ m); 3.) a — 5 m 2 dm 8 cm, p = 21 m 2 56 dm 2 ; 2 .) b = 5-7 (5f) m, p = 74-52 (11 f) m 2 ; 4.) a = 12-84 (6f) m, o = 40 (22) m. 4. ) Nekdo zameni njivo, katera ima 746 m 2 20 dni 2 , z drugo isto toliko pa 18 m 2 dm široko; koliko je druga njiva dolga? 5. ) Pravokotnik, 2 m 1 dm 8 cm dolg, je s kvadratom ploskveno- jednak, čegar stranica 5 m 8 cm znaša; kolika je širina pravokotnika? 6. ) Vrvica, 10'4 m dolga, obseže ravno 3-24 m dolg pravo¬ kotnik; za koliko se razloči ploščina tega pravokotnika od ploščine kvadrata, katerega ona vrvica tudi ravno obseže? 7. ) V paralelogramu (trikotniku) je a osnovnica, v višina in p ploščina; izračuni iz dveh teh količin tretjo. 8. ) Izračuni obseg paralelograma, v katerem je dano mersko število jedne stranice (a = 37 m), in merski števili razstojev po dveh nasprotnih stranic (v t — 21 m, i\ = 27-8 m). 45 9.) V pravokotnem trikotniku sta kateti 29 m 3 dm in 18 m 4 dni dolgi; kolika je ploščina? 10.) V rombu sta d t in d % merski števili diagonal; kolika je ploščina p? 11. ) Miza, 12 dm dolga in 9 dm široka, je na sredi olepotičena z rombom, čegar diagonali sta 4 dm, oziroma 3 dm dolgi; za koliko je miza večja od romba? 12. ) V trapecu sta merski števili vzporednic a in b, oni višine in ploščine pa v in p; izračuni iz treh teh količin četrto. 13. ) V trapecu znašata vzporednici 2'37 m in 0 954 to, višina pa 0'753 to; kolika je osnovnica ploskvenojednakega trikotnika, čegar višina znaša 0'685 m (3 dec.)? 14. ) Stranica pravilnega osmerokotnika znaša 1'4 to in nje raz¬ dalja od središča l - 69 to; kolika je ploščina? 15. ) Obseg pravilnega šesterokotnika meri 15 m; kolika je ploščina? 16. ) V mnogokotniku „ ABCDEFG (slika 68.) je BG = 39 to, Cc = 19-7 m, BE = 42-5 to, Ee — 12-1 to, CD — 31-5 to, Bb = 35-4 to, EG — 39-5 to, Ff — 16-4 to; Aa = 11'6 to, kolika je ploščina mnogokotnika? 17.) V mnogokotniku ABCDEFGHJ (slika 69.) je Ai — 9'1 to, Ji — 63‘4 to, ih — 29 - 2 to, Hh = 17*1 to, hb = 22‘1 to, Bb = 60’5 to, bg == 6'1 to, Gg — 12'1 to, gc =. 19‘2 to, Cc — 57'2 to, 16'4 to, Ef — 52'3 to, fd = 21'8 to, Dd = 46 to; dE = 41-6 to, Slika 69. kolika je mnogokotnikova ploščina? J 46 18. )* V kvadratu so merska števila stranice, obsega in ploščine, s, o in p; izračuni iz jedne teh količin obe drugi. 1. ) s = 2'4 m, 6 m 4 dm 2 cm, 8f dm. 2. ) o = 8'64 m, 24 m 2 dm 8 cm, 12-J m. 3. ) p — 16 m 2 , 3025 dm 2 , 5 dm 2 24 cm 2 41 mm 2 . 19. ) Kolika je stranica kvadratne njive, katera meri 9 ha? 20. ) Na travniku hočejo zakliniti kvadraten prostor imajoč 9'61 arov; kolik je obseg tega prostora? 21. ) V pravokotnem trikotniku sta a in h kateti, c hipotenuza, o obseg in p ploščina. Izračuni iz dveh teh količin vse druge. 1.) a = 36 m, 2.) a - 13'2 m, 3.) h = 3-84 dm, j b = 27 m; c= 14’3 m; c = 7'3 dm; ) 2 dec ‘ 4.) a — 7 m 2 dm, p — 7 m 2 5 6 dm 2 . 22. ) Kolik je obseg pravokotnega trikotnika, v katerem sta merski števili katete in hipotenuze k = 6 - 2 dm, h = 9-4 dm? 23. ) Kolika je diagonala kvadrata se stranico 3’2 m? 24. ) V kvadratu meri diagonala 2-12 m; kolika je ploščina? 25. ) V jednakokrakem trikotniku je a osnovnica, b krak, v višina in p ploščina. Izračuni iz dveh teh količin drugi dve. 1.) a — 124 cm, 2.) a = 3’5 dm, 3.) a = 2-34 m, b = 165 cm; v = 5-4 dm; p = 3 - 76 m 2 ; 4.) v — 7 - 8 m, p = 32 m 2 . 26. ) V jednakostraničnem trikotniku je a stranica, v višina in p ploščina; izračuni iz jedne teh količin drugi dve. 1-)= -§- 1' 3. 2.) a = V3, 3.) a = 2^ /' J :i , p = — V‘d ; p — ~ V3 ; v — V pY 3 . Dana je v posebnem 1.) a — 2 - 59 m, 2.) v = 1 ‘35 m, 3.) p = 36f m 2 . 27. ) Jednakostraničen trikotnik ima 7'2 m v obsegu; kolika mu je ploščina? 28. ) V pravokotniku znaša osnovnica 6 - 8 m in diagonala 8’5 m; kolika je stranica kvadrata, ki je pravokotniku ploskvenojednak? * Te naloge namenjene so za ponavljanje, in sicer, če učenci že znajo drugi koren iz števil poiskati. 47 29. ) Obseg - jednakokrakega trikotnika meri 16 m, krak 5 m; kolik je obseg ploskvenojednakega kvadrata? 30. ) Stranica jednakostraničnega trikotnika je 16 m dolga; kolik je obseg ploskvenojednakega pravokotnika, čegar dolžina znaša 12-99 m? 31. ) V rombu znaša ploščina 120 m 2 in jedna diagonala 24 m; kolika je a) druga diagonala, b) stranica, c) višina dolga? 32. ) V jednakokrakem trapecu znaša ploščina 3'72 m 2 , višina 1-2 m in daljša vzporednica 3‘6 m; kolik je njegov obseg? 33. ) V pravilnem šesterokotniku je a stranica, o obseg, v razstoj stranice od središča in p ploščina; izračuni iz vsake teh količin vse druge. 1 .) « = 4 dni; 2.) v = 5 dni 4 cm; 3.) o — 7-2 dni; 4.) p — 3 - 62 dm 2 . 34. ) V trikotniku so dane vse tri stranice; izračunaj k jedni stranici pripadajočo višino in ploščino trikotnika. Vzemimo, da je v trikotniku ABC (slika 70.) stranica BC — a. AC = b, AB = c, višina CD = h in daljica A D = x, tedaj BD — c — x. x določimo po § 77 iz A ADC . . . h 2 = b 3 -— x 2 , iz A BDC. . . h 2 — a 2 — (c — x) 2 , tedaj b 2 — x 2 — n 2 — (c — x) 2 , in iz tega dobimo Slika 70. X b - ■ r ' — a 2 2c Ker je pa h 2 = b 2 —• x 2 — (b x) (b — x), dobimo, ako nadomestimo x z ravno izračunano vrednostjo, / b 2 c 2 — a 2 \ ( u b 2 ~\-c 2 — a 2 \ h 2 2 c 2 c 2bc b 2 -\~ c 2 — a 2 2 bc — b 2 — c 2 -\- a 2 2 c (b -\- c 2 ) — a 2 a 2 2 c (b 2 — c 2 ) 2 C (b -\- c -j- a) (b -\- c 2 c - a) (a b — c) (a — b - f- c), in 4c s h 1 2c V(b -\- c -\- a) (b -\- c — a) (a j- b —c) (a — b -j- c). 48 Ako zaznamenujemo polovico trikotnikovega obsega s črko s, tedaj a -j- b -j- c = 2 s, dobimo, ako odštejemo od te jednačbe za¬ poredoma 2 a, 2 b, 2 c, b -j- c — a = 2 (s — a), a — b c — 2 (s — b), a -j- b — c = 2 (s — c); torej h — — Vs (s — a) (s — b) (s — c). Ako je p ploščina trikotnika ABC, je Ch ! -—---'----~ p = — = v s (s — a) (s — b) (s — c). Izrazi to formulo z besedami! 35. ) V trikotniku je 1.) a = 5 m, 2.) a — 2 - 8 m, 3.) a — 2 m 5 dni 7 cm, b = 6 m, b = 3‘7 m, b = 3 m 1 dm 1 cm, c — 9 m; c = 4 - 5 m j c — 1 m 8 dm 4 cm; kolika je ploščina? 36. ) V romboidu merita dve stikajoči se stranici 25 m in 7 m in jedna diagonala 24 m; kolika je ploščina in kolik razstoj dveh nasprotnih stranic? 37. ) Pravokoten vrt ima 200 m v obsegu; kolika je njegova ploščina, ako je lfkrat tako dolg kakor širok? 38. ) Trikotnik, čegar ploščina znaša 1734 m 2 , ima trikrat daljšo višino kakor osnovnico; kolika je vsaka? 39. ) V rombu meri stranica 25 m in jedna diagonala 48 m; kolik je obseg pravokotnega jednakokrakega trikotnika, kateri je rombu ploskvenojednak? 40. ) Trapeč ima 100 m v obsegu; vzporednici merita 42 m in 24 m in jedna nevzporednica 15 m; kolika je ploščina? 41. ) Obseg trikotnika meri 12 m, in stranice so si kakor 4:5:6; kolik je obseg ploščinskojednakega pravilnega šesterokotnika ? 42. ) Kolika je ploščina romba se stranico 3 dm 8 cm, ako ima jeden njegovih kotov 45°? 43. ) Kolika je ploščina paralelograma, čegar dve stikajoči se stranici merita 7'5 m in 6 m in kot, katerega oklepata, 60 °? 49 Naloge za načrtovanje. (Pretvor in razdelba premočrtnih likov.) Dan lik pretvorimo v druzega, ako načrtamo lik, ki je ploskvenojednak, pa ne skladen. 1. ) Pretvori raznostraničen trikotnik ABC (slika jednakokrakega, kateri ima s prvim jednako osnovnico. Postavi v sredi osnovnice v točki D pravokotnico DE in potegni skoz vrh B premo BE II AC; ako zvežeš presečišče E z A in C je ACE zahte¬ vani jednakokraki trikotnik. Da je rešitev prava, sledi iz § 72., izv. c) in § 59., 4. 2. ) Pretvori trikotnik ACB (slika 72. ) v druzega, kateri ima dan kot m. Načrtaj kot CAD — m in BD II AC; presečišče D prem BD in A1) je vrh iskanega trikotnika ACD (§ 72., izv. c). 3. ) Pretvori poševnokoten trikot¬ nik v pravokotnega. Rešitev kakor pri nalogi 2.), samo da je m — 90°. 4. ) Pretvori trikotnik ABC (slika 73. ) v druzega, kateri ima a za osnovnico. Naredi AD = a, potegni CD in vzporedno s to BE, katera seče podalj¬ šano AC v E; ADE je potem zahtevani trikotnik. Kajti A ACD = A ACD, A CDE = A CDB, tedaj danemu 71.) v Slika 73. A ACD -f A CDE= A ACD -}- A CDB, ali A ADE = A ABC. 5.) Pretvori trikotnik ABC (slika 74.) v druzega, kateri ima dano višino v. Postavi AD — v pravokotno na AB, potegni DE\\AB, zveži E z B in načrtaj CF II EB. Ako potegneš še EF, je A AEF — A ABC. Geometrija. Slika 74. C 50 Dokaz kakor pri nalogi 4. Dostavek. Po tej nalogi moreš zmerom trikotnike z različnimi višinami pretvarjati v take, ki imajo jednako višino; potem pa tudi lahko načrtaš trikotnik, ki je jednak vsoti (diferenci) dveh danih trikotnikov. 6. ) Pretvori trikotnik ABC (slika 75.) v pravokotnik, kateri ima isto osnovnico kakor trikotnik. Razpolovi stranici AC in BC v D m E, Slika 75. potegni skoz te dve točki premo in postavi v A in B pravokotnici AF in BG ; ABGF je iskani pravokotnik, kajti, ako potegneš, CII _L DE, je A AFD = A CHD, A BGE = A CHE, trap. A BED = ABED, tedaj A AFD -(- A BGE -j- trap. A BDE — A CHD -j- A CEH -[- trap. ABDE, ali pravokotnik ABGF = A ABC. 7. ) Pretvori trikotnik v isto tako visok paralelogram. Rešitev se opira na § 72. 8. ) Pretvori paralelogram v isto tako visok pravokotnik. Rešitev sledi iz § 71., izv. 1. 9. ) Pretvori trapeč ABCD (slika 66.) v paralelogram. Rešitev v § 73. 10. ) Pretvori pravokotnik ABCD (slika 76) v kvadrat. Podaljšaj manjšo stranico AB do E, tako da je AE = AD in napiši nad AE iz njene srede O lok, kateri seče podaljšano CB v točki F. Ako potegneš AF in načrtaš nad njo kvadrat AFGH , je ta danemu pravokotniku ploskvenojednak. Dokaz. Ker je AFE = R (§ 37.) je EFG prema črta. Ako potegneš HE in I)F, je po § 72. A AHE = \ kvadrata AFGH, A FAD — i pravokotnika ABCD. Ker pa je A AHE rs? A FAD, je tudi kvadrat AFGH — pravokotniku ABCD. Slika 76. t 51 11. ) Pretvori mnogokotnik ABCDE (slika 77.) v druzega, kateri ima jedno stranico menj. Potegni diagonalo CE in DF [I CE, zveži točki F in C; potem je ABCDE — — ABCF. Kajti oba mnogokotnika sta se¬ stavljena iz jednakih delov. Dostavek. Vsak mnogokotnik moreš pretvoriti v kvadrat. Kajti po nalogi 11. pretvoriš ga lahko v trikotnik, tega po na¬ logi 6. v pravokotnik in zadnjega po na¬ logi 10. v kvadrat. 12. ) Načrtaj kvadrat, kateri je jednak vsoti dveh danih kvadratov. Načrtaj pravokoten trikotnik, čegar kateti sta stranici danih kvadratov; hipotenuza tega trikotnika je stranica zahtevanega kvadrata (§ 76.). Ako ponavljaš postopanje te naloge, načrtaš lahko kvadrat, kateri je a) jednak vsoti več danih kvadratov, b) 3-, 4-, 5 krat tolik kakor dan kvadrat. 13. ) Načrtaj kvadrat, kateri je jednak diferenci dveh danih kvadratov. Načrtaj pravokoten trikotnik, kateri ima stranico večjega kva¬ drata za hipotenuzo in stranico manjšega za jedno kateto; draga kateta je stranica iskanega kvadrata. 14. ) Razdeli trikotnik s premami, katere potegneš iz jednega oglišča, na več jednakih delov. Razdeli onemu oglišču nasprotno stranico na toliko jednakih delov, kolikor je zahtevanih in zveži razdelišča in oglišče z daljicami (§72., izv. c). 15. ) Razdeli trikotnik ABC (slika 78.) od točke D, ležeče v stranici AB, na dva jednaka dela. Razpolovi AB v E, potegni CE in CD in EF II DC; potem je A BDF = ADFC = •§ A ABC. Kajti A EFD = A EFC (§ 72., izv. c), A BEF = A BEF A BDF = A BCE == \ A ABC, tedaj tudi ADFC — -§■ A ABC. Slika 78. Slika 77. 52 Takisto moreš rešiti nalogo, ako ti je razdeliti trikotnik ABC od točke D na več jednakih delov. 16. ) Razdeli trikotnik ABC (slika 79.) tako na tri jednake dele, da se sečejo iz oglišč potegnene razdelnice v jedni znotraj Razdeli stranico AB v točkah D m E na tri jednake dele, potegni DF II A C in EG II BC; ako zvežeš presečišče H prem DF in EG z oglišči, je A AEC = A AHB = A BHC. Kajti ako potegneš pomočni črti CD in CE, je A AHC = A A CD in A BHC = A BCE, tedaj tudi A AHB = A B)CE. Ker so pa trikotniki ACD, DCE, BCE jednaki, morajo biti jednaki tudi trikotniki ACH, AHB, BHC. 17. ) Razdeli trikotnik na štiri skladne trikotnike. Zveži razpolovišča, vseh treh stranic z daljicami. 18. ) Razdeli paralelogram s premami, katere so z jedno stra¬ nico vzporedne, na poljubno mnogo jednakih delov. Razdeli stranici, kateri se s to stikata, na zahtevano število jednakih delov in zveži po dve nasprotni razdelišči z daljicami (§ 71 .). 19.) Razdeli paralelogram ABCD (slika 80.) od točke E, ležeče v stra¬ nici AD, na določeno število, n. pr. na tri jednake dele. Zveži razpolovišči F in G stranic AB in CD z daljico FG, razdeli to na tri jednake dele in potegni skoz E in razdelišči J m H daljici EHK in EJL, potem je trap. ABKE — A EKL — trap. ELCD — J paralelogr. ABCD. Dokaz sledi iz § 72. in § 73. 20.) Razdeli četverokotnik ABCD (slika 81.) iz oglišča D na dva jednaka dela. Slika 80. trikotnika ležeči točki. Slika 79. 53 Potegni obe diagonali A C in BD in skoz sredo E prve EF II DB; ako zvežeš D in F z daljico DF, raz¬ polavlja ona četverokotnik ABCD. Dokaz. Ako potegneš DE in BE, je A DBF = A DBE (§ 72., izv. c). A ABD = A ABD, tedaj Slika 81. četverokot. ABFD = četverokot. ABED. Ker je pa četverokot. ABED = \ ABCD, je tudi četverokot. ABFD — ,( ABCD. 21. ) Razdeli trapeč ABCD (slika 82.) iz oglišča D na dva jed- naka dela. Načrtaj AE — DC in EF = FB; daljica D F razpolavlja trapeč (§72. in § 73.). 22. ) Razdeli trapeč ABCD (slika 83.) iz točke E, ležeče v vzpo¬ rednici AB, na dva jednaka dela. Razpolovi obe vzporednici v točkah F in G, naredi HG = EF; daljica EH razpolavlja trapeč ABCD (§ 73.). Slika 82. Peti oddelek. O podobnosti prerdočrtrLlln lilso-v. 1. Geometrijska razmerja in sorazmerja. § 78. Prostorno količino, katero lahko od druge istovrstne prostorne količine večkrat odvzamemo, in sicer brez ostanka, ime¬ nujemo nje mero. Ako je prostorna količina M ob jednem mera prostorne količine A in prostorne količine B , imenujemo jo skupno mero od A in B. 54 Da dobimo skupno mero dveh daljic, vnesimo manjšo daljico tolikokrat na večjo, kolikorkrat je mogoče. a) Ako je manjša daljica (slika 84., I) v večji AB večkrat, n. pr. 3 krat brez ostanka, je CD sama skupna mera od AB in CD. I A\ -1-1-1 B C\ -1 D b) Vzemimo, da se manjša daljica ne da na večji natanko vnesti, da je n. pr. daljica CD (slika 84., II) v AB 3krat in EB ostanek; vnesimo zdaj EB na CD tolikokrat, kolikorkrat je mogoče; recimo, da je EB v D G 3 krat in ostaje še daljica ED. Ta ostanek vnesimo zopet na prejšnjega EB, v katerem je natanko 6 krat. Potem je EB = 6 FD, CD = 3 EB + FD = 19 FD, AB — 3 CD -f- EB = 63 FD. Daljici AB in CD imata tedaj skupno mero FD, in sicer je ta v AB 63 krat, v CD pa 19 krat. Na isti način dobimo skupno mero dveh istovrstnih krogov, dveh kotov, dveh ploskev ali teles. § 79. Ako iščemo na v § 78. navedeni način skupno mero dveh prostornih količin, dobivamo manjše in manjše ostanke; vender ni treba, da bi dobili kedaj ostanek, ki bi bil mera prejšnjemu. V tem slučaji nimata dani količini skupne mere. Dve količini, kateri imata skupno mero, imenujemo somerni; dve količini pa, kateri nimata skupne mere, imenujemo nesomerni. § 80. Primerjanje dveh istovrstnih prostornih količin A in B v to svrho, da zvemo, kolikokrat je druga v prvi, imenujemo razmerje. Razmerje zaznamenujemo z A : B ali ^. A je prednji, B zadnji člen razmerja; število pa, katero pove, kolikokrat je količina B v A, eksponent razmerja. Razmerje dveh prostornih količin določujemo z razmerjem njijinih merskih števil, ozirajočih se na isto mero. Tako je v sliki 84., II AB : CD =63 FD : 19 FD = 63 : 19. Slika 84. II E fHii? U \ -1-h 1D 55 Splošno. Ako je prostorna količina C skupna mera dveh istovrstnih prostornih količin A in B , in je A — m C, B = n C , je A : B = m C : n C = m : n. Dostavek. Vrednost razmerja dveh somernih prostornih količin je popolnem natanko določena, in sicer je a) eksponent celo število, ako je jedna danih dveh količin mera druge, b) vsaki drugikrat pa ulomek. Vrednost razmeija dveh nesomernih prostornih količin se ne da popolnem natanko določiti, približno pa poljubno natanko. Kajti, ako sta A m B dve nesomerni prostorni količini, mo¬ remo razdeliti manjšo količino B v n jednakih, neskončno majhnih delov C (kar je mogoče, ako vzamemo n dosti velik), tako, da je B = n C. Ako je potem A — mC o, smemo ostanek o zanemariti, ker je v primeri z m C neskončno majhen. Na ta način dobimo A : B = m C : n C = m : n, t. j. dve nesomerni prostorni količini smemo približno kot somerni smatrati, ako jima vzamemo za skupno mero neskončno majhno istovrstno količino. Vsled tega bodemo se pečali v sledečem le se somernimi pro¬ stornimi količinami. Nafirtaj dve daljici, kateri se imata kakor a) 1 : 2, b) 2 : 3, c) 3:5. § 81 . Dve razmerji, kateri imata jednaka eksponenta, sta jed- naki. Ako je A : B = e in C : D — e, je A: B — C : D. Jednačenje dveh jednakih razmerij imenujemo sorazmerje (pro- porcijo). V sorazmerji A : B = C : D imenujemo A 'm D vnanja, B in C notranja člena. Sorazmerje, v katerem sta notranja člena jednaka, je stalno sorazmerje; notranji člen imenujemo srednjo geometrijsko soraz- mernico (proporcijonalo), četrti člen pa tretjo stalno sorazmernico. O daljici AC, katero deli točka B tako v dva odseka, da velja sorazmerje AC : AB = AB : BO, pravimo, da je v točki B po stal¬ nem sorazmerji, ali v srednjem in vnanjem razmerji razdeljena. Načrtaj dva para daljic, katera sta sorazmerna. 56 2. Podobnost trikotnikov. § 82. Izreki o sorazmerni razdeliti trikotnikovih stranic. 1. ) Ako potegnemo v trikotniku z jedno stranico vzporednico, razdeli ta drugi dve stranici sorazmerno (slika 85.). Pogoj. DE\\AB. Trditev. CD : DA = CE : EB. CA : DA =CB: EB. CA : CD — CB : CE. Dokaz. Vzemimo, da je CM skupna mera daljic CD in DA, in sicer CD = m . CM, DA — n . CM; potem je CD : DA — m : n. Ako razdelimo CD na m in DA na n jednakih delov in potegnemo skoz razdelišča vzporednice z AB, razdelimo na ta način (§ 65., 2.) CE v m, celo CB pa v m -j- n, tedaj EB v n med seboj jednakih delov; torej CE : EB = m : n. Iz tega in prejšnjega sorazmerja pa sledi: CD : DA — CE : EB. Iz sorazmerja CD : DA = CE : EB pa sledi tudi resničnost drugih dveh v pogoji navedenih razmerij. Kajti (CD + DA) : DA = (CE + EB) : EB ali CA : DA = CB : EB ali (CD -j- DA) : CD — (CE -j- EB) : CE ali CA : CD = CB : CE. Izvoda, a) Ako sečemo dva trakova z dvema vzporednicama, so odseki trakov sorazmerni. b) Ako potegnemo od skupne točke 3, 4, 5 . . . trakov in se¬ čemo prva dva z dvema vzporednicama, takisto druzega in tretjega od presečišč v drugem, tretjega in četrtega od presečišč v tretjem i. t. d., so odseki vseh teh trakov paroma sorazmerni in prednice tvorijo dva mnogokotnika (slika 92.). 2. ) Prema, katera seče v trikotniku dve stranici sorazmerno, je vzporedna s tretjo trikotnikovo stranico (slika 86., obrat izr. 1.). Slika 85. C Pogoj. CA : CD = CB : CE. Trditev. DE II AB. Dokaz. Ako hi DE ne bila vzporedna z AB, bi bila pa druga iz točke D potegnena prema n. pr. DF\\AB. Potem pa velja (po 1.) CA : CD = CB : CF. 57 Z ozirom na pogoj mora biti C F = GE, t. j. točka F s točko E identična. Tedaj je DE II AB. 3.) Ako razpolovimo v trikotniku jeden kot, deli polovnica nasprotno stranico v dva odseka, katera sta sorazmerna z njima priležnima stranicama (slika 87.). Pogoj. m — n. Trditev. AD : DB = AC : BC. Dokaz. Naredimo podaljšek CE = = AC in zvežimo točki E in A, potem je A ACE jednakokrak in <£ V — ?• Ker jepa^Cw-)--$;w=:^Cp-|- q (§ 33.), je tudi = torej CD li AE (§ 26., 1.) in AD : DB = EC : BC Slika 87. (§ 82., 1.) ali AD : DB = = -4(7 : BC. Slika 88. § 83. Dva trikotnika imenujemo podobna , ako imata paroma jednake in jednakim kotom nasprotne, t. j. istoležne paroma sorazmerne. Znak podobnosti je oj. Vzemimo, da je v trikotnikih ABC in A'B'C' (slika 88.) A = & A ', & B = & B', c= & C' in AB: A’B' = = AC : A'C' = BC : B'C', potem je A ABC oj A A'B'C'. Da imamo sploh podobne trikotnike, spoznamo iz sledečega izreka: vse kote stranice Ako potegnemo v trikotniku vzporednico z jedno stranico, dobimo manjši trikotnik, kateri je večjemu podoben. Pogoj. DE\\ AB (slika 89.). Trditev. A ABC oj A DEC. Dokaz. ^CC=<^;C, in^C4 = = <£ CDE, <£ B = <£ CED (§ 26., 2.); dalje je AC : DC = BC : EC\ potegnimo še EF II CA; potem je (§ 82., 1.) AB : AF = = BC : EC\ ker je pa AF = DE, je tudi AB : DE = BC: EC, tedaj A ABC oj DEC. Izvoda. 1.) Ako sečeta dve vzporedni prečnici dva traka, sta odseka prečnic sorazmerna z odseki trakov. Slika 89. 58 2.) Ako sedemo več trakov s prednicami tako, da je (slika 92.) AB II ob, BC II bc i. t. d., so odseki prednic paroma sorazmerni. Kajti vsi so sorazmerni z odsekoma istega traka. § 84. Da sta dva trikotnika podobna, morata šestim pogojem zadostovati. Ti pogoji pa so zavisni drug od druzega in zato je mnogokrat mogoče, da sklepamo na podobnost trikotnikov, ako sta le dva teh pogojev izpolnjena. Kedaj smemo sklepati, da sta dva trikotnika podobna, povedo nam ti-le štirje izreki o podobnosti trikotnikov. Dva trikotnika sta podobna, ako imata 1. ) dva kota paroma jednaka, 2. ) dve stranici paroma sorazmerni in od njih oklepana kota jednaka, 3. ) dve stranici paroma sorazmerni in vetji teh stranic na¬ sprotna kota jednaka, 4. ) vse tri stranice paroma sorazmerne. Te izreke dokažemo, ako naredimo DC — A'C' (slika 90.), DE II AB, torej A ABC oj A DEC (§ 83.) in dokažemo, da je A A'B'C' ^ A DEC. 1. Pogoj. ^ A = # A', # C= C. Trditev. A ABC o j A A'B'C'. Dokaz. Ker je žfcA' — ifcA —-Ž^D in C' = C, je A A'B'C' & DEC (§ 50.), torej A ABC oj A A'B'C'. 2. Pogoj. AC : A'C’ = BC : B'C', C = <£ C". Trditev. A ABC oj a A’B'C. Dokaz. Ker je DE II AB, imamo AC : CD = BC : CE ali AC : A'C" — BC : CE, torej oziraje se na pogoj CE = B'C' in A'B'C' CS^ A DEC (§ 51.) ter tudi A ABC oj A A'B'C'. 3. Pogoj. AC : A'C' — BC : B'C', BC AC, torej tudi B’C' > A'C' in <£ A = A'. Trditev. A ABC oo A A'B'C'. Dokaz takisto kakor pri 2. 4. Pogoj. AC : A'C' = BC : B'C', AC : A'C' = AB : A'B'. Trditev. A ABC oo A A'B'C'. Dokaz. Ker je DE II AB, imamo AC : CD — BC : CE in AC : CD — AB : DE, ali AC : A'C' = BC : CE in AC : A’C' = — AB : DE; torej oziraje se na pogoj CE = B'C' in DE = A'B' in A A'B'C' ^ A DEC ter tudi A ABC oo A A'B'C'. Slika 90. A [ - B 59 3. Podobnost iiinogokotuikov. § 85. Dva mnogokotnika sta podobna, ako imata istoležne stranice paroma sorazmerne in vse kote paroma jednake. Izvod. Dva pravilna mnogokotnika z istim številom stranic sta podobna. §86. Izreki. 1.) Istoležne diagonale razdeljujejo dva po¬ dobna mnogokotnika na isto toliko podobnih trikotnikov. Pogoj. Vzemimo, daje mnogokotnik ABCDEF oo A'B'C’D'E'F' (slika 91.). Trditev. A ABC oo A A'B’C', A A CD oo A A'C'D', i. t. d. Dokaz. Da je A ABC cv> A A'B'C', sledi neposredno iz pogoja po § 84, 2. Iz podobnosti teh dveh trikotnikov pa sledi ACB — A'C'B' in AB : A'B’ — AC : A'C' = CD : C'D'. Ker pa je po pogoji 3c BCD = B'C'D', je tudi BCD — ACB = -2C B'C’D' — A'C'B' ali ACD = A'C'D'; to v zvezi s prejšnjim so¬ razmerjem pa kaže, da je A ACD cv) A A'C'D' (§ 84., 2.). Takisto sledi podobnost vsakega sledečega para trikotnikov iz podobnosti prejšnjega para in podobnosti mnogokotnikov. 2. ) Dva mnogokotnika sta podobna, ako ja moremo z isto- ležnimi diagonalami na isto toliko podobnih trikotnikov razdeliti. Dokaz. Iz pogoja lahko dokažemo, da so v obeh mnogo- kotnikih istoležni koti jednaki in istoležne stranice sorazmerne. Izvod. V dveh podobnih mnogokotnikih je razmerje po dveh istoležnih diagonal jednako razmerju dveh istoležnih stranic. 3. ) V podobnih mnogokotnikih sta obsega sorazmerna z dvema istoležnima stranicama. Kajti ako je (slika 91.) AB : A'B' == BC : B'C’ = CD : C’D' = . . . je tudi (AB -)- BC CD (A'B' -f B'C’ + C'D' -f . . .) = = AB : A'B'. 60 § 87. Izrek. Ako potegnemo od točke S (slika 92.) več v isti ravnini ležečih trakov, katere sečejo preČnice v točkah A in a, B in b, C in c, . . . sorazmerno, sta mnogokotnika ABC D . . . in abcd . . . podobna. Mnogokotnika ABCD ... in abcd . . . imata namreč istoležne stranice sorazmerne (§ 83., izv. 2.). Ker je dalje AB II ab, BC II bc, CD II cd, . . . je A = a, ~$:B = $:b, ^ C = c ... Mnogokotnika sta tedaj po¬ dobna. Dva podobna mnogokotnika moremo zmerom v tako lego spra¬ viti, da sečejo njijina oglišča trakove, katere potegnemo od točke S, sorazmerno. Tako lego dveh podobnih mnogokotnikov imenujemo perspektivno, točko S pa podobnišče. Načrtaj k daljici AB perspektivno ležečo ab, ako je dano podobnišče S in eksponent (e = AB : ab). a) AB = 60 mm, AS = 65 mm, BS = 40 mm, e = |; b) AB ■=. 40 mm, AS = 50 mm, BS — 30 mm, e = f. Načrtaj k trikotniku ABC perspektivno ležeč trikotnik abc, ako je dano podobnišče S in e = AB : ab. AB =60 mm, A C = 45 mm, BC = 30 mm, AS = 60 mm, BS = 50 mm, e = i. Načrtaj k četverokotniku ABCD perspektivno ležeč četverokotnik abcd, ako je dano podobnišče S in e = AB : ab AB = 60 mm, AC = 50 mm, BC = 30 mm, AD = 32 nun, BD = 48 mm, AS = 60 mm, BS =75 mm, e = jj. 4. Uporaba izrekov o podobnosti trikotnikov. § 88. Izrek. V podobnih trikotnikih je razmerje istoležnih višin jednako razmerju istoležnih osnovnic. Pogoj. A A'B'C' cnj A ABC, C'D' J_ A'B', CD J_ AB (slika 93.). Trditev. C'D' : CD = A'B' : AB. Dokaz. Iz pogoja sledi a) A'B' : AB = A'C' : AC, in ker je A’C’D' cv) ACD (§ 84., 1.), je b) C'D' : CD = A'C' : AC, torej tudi zarad a) in b) C'D' : CD — A'B' : AB. Slika 93. C C' A B B Slika 92. 61 Slika 94. §89. Izrek. Ako spustimo v pravokotnem trikotniku z vrha pravega kota pravokotnico na hipotenuzo, je a) vsaka kateta srednja geometrijska proporcijonala med celo hipotenuzo in tej kateti pri- ležnim odsekom liipotenuze, b) pravokotnica srednja geometrijska proporcijonala med obema odsekoma liipotenuze. Pogoj. 3C ACB = R, CD J_ AB (slika 94.). • Trditev. a) AB :AC=AC: AD, AB:BC—BC:BD; b) AD : CD = CD : BD. Dokaz. A ABC oj A ACD oj A BCD (§ 84., 1.), in <£ m — B in <£ n = A; zarad ABC oo ACD imamo AB : AC = AC : AD, » ABC cv> BCD » AB : BC = BC : BD, » ACD <03 BCD » AD : CD — CD : BD. § 90. Ako pomenijo c, a, b, r, s, oziroma merska števila hipote- nuze AB, katet BC in AC, hipotenuznih odsekov AD in BD, potem je c : b — b : r in c : a — a : s, tedaj cr = b* in cs = a 2 , in zato tudi cr -j- cs — a 2 -j- b 2 ali c (r -)- s) — a 2 -f- b 2 ali c 2 = a 2 -j- J 2 . Kvadrat merskega števila liipotenuze je jednak vsoti kva¬ dratov merskih števil obeh katet. (Glej § 77.) Slika 96. Praktična uporaba izrekov o podobnosti. a) Določi dolžino daljice, ako je ne moreš neposredno meriti zarad ovir med njenima krajiščema. To nalogo smo že rešili s pomočjo iz¬ rekov o skladnosti. Ako pa AC in BC ne moremo podaljšati, ker svet ni za to, rešimo nalogo s pomočjo izrekov o podobnosti. V tem slučaji meri tudi daljici AC in BC naredi A'C = — AC, B'C = 1 ^C(n.pr. n n n = 4), in izmeri A'B' . Ker je A ABCco A A’B’C, je A’B’ = \ AB. b) Določi dolžino daljice AB (slika 96.), ako moreš le do jednega njenega krajišča A priti. 62 Izberi si stališče C tako, da moreš A C odmeriti, naredi A' C — — A C (n pr. n — 4). n V točki A' zaklini CA'B' = CAB in določi točko B', katera leži v kraku A'B' in v BC. Ker je ^ ABC cnj A'B’C, je AB = n . A'B'. c) Določi dolžino daljice AB (slika 97 ), katera ni na nobednem kra- jišči pristopna. Izberi si stališči C in D tako, da moreš med njima meriti in videti od njih do toček A in B. Izmeri potem stalnico CD in naredi CD' = — CD (n. pr. n = 4). V n točki D' zaklini t- j- 4. ) Ploščini dveh paralelogramov (trikotnikov) z jednakima osnovnicama se imata kakor višini. § 92. Izrek. Ploščini dveh trikotnikov, katera imata jeden kot jednak, se imata kakor produkta (merskih števil) ta kot okle¬ pajočih stranic. Pogoj. A ABC in A CDE (slika 98.), ima C jednak in AC — a t , BC — b t , CD = a,, CE = b 2 . Trditev. A ABC : A CDE — a t b, : a 2 b a . Dokaz. Ako potegnemo DB, dobimo trikotnik DBC, kateri ima isti vrh B kakor A ABC , potem je A ABC : A DBC = AC : DC (§ 91., 3.), A DBC : A DEC — BC : EC iz istega vzroka, torej Slika 98. A ABC . DBC : A DBC . DEC = AC . BC : DC . EC ali A ABC : A DEC = b , : b , 2 . § 93. Izrek. Ploščini dveh podobnih trikotnikov se imata kakor drugi potenci (merskih števil) istoležnih stranic. Pogoj. A ABC csj A A'B'C' (slika 88.), AB = A'B' = a 2 . Trditev. A ABC : A A'B'C' = a, * : a 2 2 . Dokaz, a) A ABC : A A'B'C’ = AB . AC : A'B' . A'C' (§ 92.), in vsled pogoja imamo AB : A'B' = AC : A'C', in ker je AB : A'B' = AB : A'B', je b) AB 2 : AB" 1 = AB . A C : A'B' . A'C'. Iz sorazmerij a) in b) potem sledi: A ABC : A A'B'C' = ZB 2 : AB" 1 ali A ABC : A A'B'C' = a, 2 : a 2 2 . § 94. I z r e k. Ploščini dveh podobnih mnogokotnikov se imata kakor kvadrata (merskih števil) istoležnih stranic. Pogoj. ABCD . . . cv> AB'C'D' . . . (slika 91.), AB — a i , A'B' = a 2 . Trditev. ABCD . . . : AB'C'D' ...=«/: a 2 2 . 64 Dokaz. Po § 93. je A ABC : A A'B'C' = a, A ACD : A A’CD' = a t A A DE: A = a, i. t. d., tedaj tudi (ABC + ACD 4- ADE . . .) : (ABC -f A'C'D' + A'D'E' . . .) = Ako je tedaj vsaka stranica mnogokotnika A'B'C'D' . . . m krat manjša od vsake stranice mnogokotnika ABCD . . ., ki je podoben prvemu, je ploščina prvega m' 1 manjša od ploščine druzega mnogo¬ kotnika. Merilo, na katerem so prave mere po danem razmerji umanjene, imenujemo omaljeno. 1. ) Izračuni stranici A'C', B'C' trikotnika A'B'C', kateri je podoben trikotniku ABC, ako je AB = 35 m, AC — 40 m, BC — 30 m, A’B' — 12 m. 2. ) Merska števila stranic trikotnika ABC so dana; kolike so stranice podobnega trikotnika A'B'C', ako je razmerje dveh istoležnih stranic m : n? AB — 58 m, AC — 45 m, BC =36 m, m : n = 3:4. 3. ) Za trikotnik ABC sta dani razmerji stranic AB : AC in AB : BC, izračunaj tretje razmerje stranic AC : BC. 4. ) Na katasterskem črteži znaša daljica 5• 75 dni; kolika je njena resnična dolžina, a) ako je z 1 cm na črteži načrtanih 30 m, b) ako je razmerje med mero na črteži in natorno dolgostno mero 1 : 2500? 5. ) Koliko dolgo moraš 648 m dolgo daljico po omaljenem merilu načrtati, ako narisuješ resnične dolgostne mere omaljene v razmerji 1 : 7500? 6. ) Senca stolpa je 62 m dolga in senca 1 m visoke vertikalne palice 1'6 m; kolika je višina stolpa? 7. ) Obseg trikotnika ABC je o; kolik je obseg o' podobnega trikotnika, ako je razmerje dveh istoležnih stranic m : n? a) o = 54 m, m : n = 3 : 4; b) o = 6 - 4 cm, m : n — 5:8. = a, 2 : a^, ali ABCD . . . : A'D’C'D ... = «/: a „. 2 . Računske naloge. AB : AC =7:9, AB : BC =12:5. 65 8. ) Dan je obseg o trikotnika ABC, stranica AB in istoležna stranica A'B’ podobnega trikotnika A’B'C'; izračunaj obseg druzega trikotnika. o — 54 mm, AB — 15 mm, A'B' — 27 m. 9. ) Obsega o in o' podobnih trikotnikov ABC in A'B'C' sta dana in stranica AB; izračunaj istoležno stranico A'B'. o — 48 mm, o' = 126 mm, AB = 17 mm. 10. ) V pravokotnem trikotniku so a, b, c, v, m in n, oziroma merska števila obeh katet, hipotenuze, pravokotnice od vrha pravega kota na bipotenuzo in odsekov hipotenuze; izračunaj iz dveh teh količin vse druge. a) a — 2’8 m, b) b = 7 dm, c) m = 16 m, b — 2'1 m; v = 6 - 72 dm; n — 9 m. 11. ) Dve istoležni stranici dveh podobnih trikotnikov sta si kakor 2:3 in ploskev prvega trikotnika znaša l - 4 ?« 2 ; kolika je ploskev druzega? 12. ) Obsega dveh podobnih trikotnikov sta o — 54 cm, o l = 42 cm in ploščina prvega trikotnika p = 176 m 2 ; kolika je ploskev druzega? 13. ) Ploščini dveh podobnih trikotnikov sta p — 5’67 »i 2 , p, = 4 - 27 m 2 in obseg prvega o = 6 - 2 m; kolik je obseg druzega? 14. ) V stavbenem črteži, v katerem so 4 cm izbranega merila za 3 m vzeti, znaša ploščina očrta 5 dm 2 20 m 2 ; kolik je resnični prostor za stavbo? 15. ) Jedna in ista dežela je na jednem zemljevidu v razmerji 1 : 750000, na drugem v razmerji 1 : 5000 narisana; ako je na prvem zemljevidu dolžina reke 8 cm in ploščina jezera 2'75 cm 2 , kolika je dolžina reke in ploščina jezera na drugem zemljevidu? 16. ) Posestvo meri v resnici 200 ha in na črteži 8 dm' 1 \ po kakšnem merilu je posestvo narisano? Naloge za načrtovanje. 1.) Dane so tri daljice a = 16 mm, b = 10 mm, c = 8 mm; poišči četrto proporcijonalo. Načrtaj katerikoli kot BAC, stvori AI) — - - ~ a, DE = b, AF = _6 = c, zveži D in F z ( daljico DF in načrtaj a F G Geometrija. Slika 99. 5 66 EG II DF. FG je iskana četrta proporcijonala, Recimo, da je FG = — x, potem je , . b.c a : b = c : x, torej x =-. Načrtaj po tej nalogi te-le izraze: . 3.4 a > AT’ 7 > 5.7 h) ^~> . 2.3.5 77 iT’ 4 __ 4.1 a 5 5 ’ 5.8 11.3 3 7 .2.3 5 'I^T + P Rešitev za e): 2.3.5 7.11 Za in f ): Načrtaj najprej vsak del vsote (diference) in potem vsoto (diferenco). 2.) Načrtaj tretjo stalno proporcijonalo k danima daljicama a in b. Rešitev, a) Po prejšnji nalogi, ako v nji postavimo c = b. b) Analiza. Ako spustimo v pravo¬ kotnem trikotniku ABC (slika 100.) z vrha C pravega kota pravokotnico na liipotenuzo, je DB tretja proporcijonala k AD in DC ali tudi DB (oziroma AD) k AB in BC (oziroma AC). Potem dobimo še dvojno rešitev te naloge. Rešitev, a) Stvori CD J_ AB, AD = a, CD — b; zveži točki C in A z daljico AC in stvori CB J_ AC, katera seče po¬ daljšano AD v točki B. DB je iskana tretja proporcijonala x. Dokaz sledi iz analize. b) Velja za a > b. Stvori AB =■ a, napiši nad AB polukrog in iz A s polumerom b lok, kateri seče oni polukrog v točki C. Ako načrtaš CD AB, je AD iskana tretja proporcijonala x. Po tej nalogi je: a : b — b : x, torej x = —. Načrtaj oziraje se na to nalogo še sledeče izraze: , 2 2 16 . 25 4 a) 5 ’ h) T’ C) 4 + ~3’ d ~ 4 ^' Slika 100. 67 3. ) Načrtaj srednjo geometrijsko proporcijonalo k danima daljicama a in b. a) Stvori (slika 100.) AD = a, BD — b, napiši nad AB polu- krog in postavi D C J _ AB, katera seče polukrog v točki C. DC je srednja geometrijska proporcijonala med A D in DB. b) Stvori BA = a, katera je večja od b, in Al) — b, napiši nad AB polukrog in potegni DC _[_ AB; tetiva AC je iskana srednja geometrijska proporcijonala k a in b. 4. ) Razdeli dano daljico na več delov, kateri so med seboj v danem razmerji. Recimo, da imamo daljico AB razdeliti na tri dele, kateri so si kakor m : n : p (2:3:6). Potegni skoz A katerokoli premo AE, vnesi na njo od A do C m, od C do Z) n, od D do E p med seboj jednakih, drugače pa po¬ ljubno dolgih delov in potegni EB. Ako stvoriš CF II DG II EB, so AF, FG, GB iskani deli daljice AB. 5. ) Uinanji in povečaj več danih daljic po danem razmerji. Ako hočeš dane daljice OA, OB, OC (slika 102.) umanjiti n. pr. v razmerji 4:3, potegni premo PQ, vnesi od P do B tri in od P do S štiri jednake dele, stori SV J_ PQ in RT±PQ, in SA' : - OA, SB' = OB, SC' = = OC, potegni skoz P in točke A', B', C' preme, katere sečejo bližnjo pravokotnico RT v točkah A", B", C"; RA", RB", RC" so iskane daljice, katere so umanjene v razmerji 4:3. Ako pa hočeš dane daljice povečati v razmerji 3 : 4, moraš jih vnesti na bližnjo pravokotnico RT; in na pravokotnici SV imaš potem povečane daljice. 6. ) Razdeli daljico AB s prečnicami na n — p . r (20 = 4.5) jednakih delov. Slika 102. Slika 101. 68 Slika 103. delov, da je CII = IIJ = JI delišča pravokotnic z daljicami Razdeli AB (slika 103.) naj? (4) jednakih delov in postavi v A in B pravokotnici nanjo. Na vsako teh dveh pravokotnic vnesi r (5) med seboj jednakih, drugače pa poljubnih delov do C, oziroma do D. Točki C in D zveži z daljico CD in razdeli to tudi na p (4) jednakih = KD. Ako zvežeš istoležna raz- in točki A m H, E in J, F in /f, G 1 2 in D, s prečnicami AH, EJ, FK, GD je ab = — AB, cd — — AB, n n ef= — AB i. t. d. n Ker sta A Aab in ACH podobna, je namreč ab : (JE — Aa : A C — 1 : r, torej ab = t CH. Nadalje je CH = = — AB, torej ab — -t AB ali ab = — AB. p pr n 2 3 Takisto dokažeš, da je cd = - — AB, ef= — AB i. t. d. 7.) Navrtaj tisočninsko poprečno merilo. Slika 104. K 'Ml >0 70 CII 50 40 30 M It) 0 _ ,00 200 F B r D z Vnesi na premo AX (slika 104.) 10 jednakih delov AB = BC i. t. d., da dobiš daljico AM. Postavi v teh razdeliščih pravokotnice, vnesi tudi na vsako teh 10 med seboj jednakih, vender poljubnih delov in zveži razdelišča takisto, kakor v prejšnji nalogi. Potegni prečnico (7200, potem je ab = ■— CD. To daljico vnesi na AB desetkrat, isto tako na Eo in potegni med razdelišči takisto prečnice kakor v prejšnji nalogi. Potem je pl = ab = T oo = toVo A M; ?2 = to 2 oo AM t- d. 69 Ako je n. pr. AB namesto jednega decimetra, je BF namesto jednega centimetra, pl namesto jednega milimetra na omaljenem merilu. Kako moreš s poprečnim merilom a) meriti daljico na papirji, b) naSrtati daljico dane dolžine na papir, c) razdeliti dano daljico na več jednakih delov, d) poiskati razmerje dveh daljic? 8.) Načrtaj nad dano daljico A'II’ mnogokotnik, kateri je podoben danemu. a) Razdeli dani mnogokotnik ABCD . . . (slika 105.) z diagonalami na trikotnike, napiši nad A'B' A A'B'C' cv> A ABC, nad A'C' A A’C'D' cv> A ACD, nad A'D' A A'D'E’ co A ADE i. t. d.; A'B'C'1)' ... je zahtevani mnogokotnik. b) Potegni od A (slika 106.) do vseh oglišč diagonale, stvori AM — = A'B', in potegni MN\\BC, PN\\ CD i. t. d. Mnogokotnik ABCD . . . cv> AMNP. . . Ako tedaj načrtaš nad A'B' mnogo¬ kotnik A'B'C'D' . . . ^ AMNP. . ., jo on zahtevani mnogokotnik. Zmeri sobo in jo načrtaj v omaljenem merilu. Slika 105. F h Sesti oddelek. Krog. 1. Krog In točka. § 95. Krožnica (§ 4.) je kriva črta, v kateri so vse točke od nepremične notranje točke jednako oddaljene. Ono notranjo točko imenujemo središče, vsako daljico pa, katera veže katerokoli točko krožnice se središčem, polimer (radij) kroga. 70 Točka leži zunaj (znotraj) kroga, ako je njen razstoj od središča kroga večji (manjši) od polumera. Načrtaj krog s polumerom r = 2 cm in poišči točko, katera je od središča a) 3 cm, b) 2 cm, c) 1 cm oddaljena. — Koliko takih toček moreš načrtati? § 96. Tri točke A, B, C (slika 107.), katere ne leže v jedili premi, določujejo krog popolnoma. Ako potegnemo daljici AB in BC in po¬ stavimo v njijinih razpoloviščih D in E pravo- kotnici D F in EG na nji, morata se te dve v jedni točki 0 sekati. Ako potegnemo dalje OA, OB in OC, je (§ 59., 5.) O A = OB in OB = — O C, tedaj tudi OA = OB — OC. Točke A, B, C imajo torej od O jednak razstoj, in ako napišemo iz O s polumerom O A krog, mora ta iti skoz točke A, B, C. Ker se moreta pa pravokotnici BF in EG le v jedni točki sekati, načrtati moremo tudi le jeden krog, kateri gre skoz točke A, B, C. Koliko krogov moreš načrtati skoz dve dani točki? (Geometrijsko mesto središč?) Slika 107. 3. Krog in prema. § 97. Prema kroga a) ne zadene, ali b) se ga dotika v jedni točki, ali c) ga seče v dveh točkah, ako je njen razstoj od središča kroga večji ali jednak ali manjši od polumera. Slika 108. Dokaz, a) Ako je (slika 108., I) pravokotnica OC od središča na premo AB večja od polumera, leži že podnožišče C pravokotniee zunaj kroga, torej tem bolj vsaka druga točka D preme AB, ker je hipotenuza OD večja od katete OC. 71 b) Ako je (slika 108., II) pravokotnica OC od O na AB jednaka polumeru, leži njeno podnožišče C v obodu kroga; vsaka druga točka D preme AB pa mora, ker je OD )> OC, zunaj kroga ležati. c) Ako je (slika 108., III) pravokotnica OC od O na AB manjša od polumera, je njeno podnožišče znotraj kroga; razstoji vseh drugih toček preme AB na obeh straneh točke G pa rastejo od tod neprestano in postanejo na obeh straneh jedenkrat polumeru jednaki, t. j. dotični točki D in E preme AB ležita v obodu kroga. Razstoji vseh drugih toček so pa ali večji ali manjši od polumera; razun toček D in E ne leži torej nobedna v krožnici. § 98. Premo, katera se dotika kroga le v jedni točki tako, da leže vse druge njene točke zunaj te krive črte, imenujemo dotikal- nico (tangento); točko, katero imata tangenta in krožnica skupno, pa dotikališče. Premo, katera seče krog v dveh točkah, imenujemo sečnico (sekanto), daljico med presečiščema pa tetivo in na tetivo pravokotno daljico od srede tetive do loka višino loka. Ploskev, katera je omejena od tetive in loka, imenujemo krogov odsek (segment), in oni del krožnine, katerega omejevata dva polumera in lok med njima, krogov izsek (sektor). — Vsaka tetiva razdeli krog v dva odseka, imenujemo ja nasprotna. Izreki o tetivah kroga. § 99. Iz izrekov 1 ., 2. in 4. v § 59. in iz § 15. slede neposredno ti-le trije izreki: 1. ) Daljica iz središča kroga do srede tetive stoji pravokotno na tetivi in razpolavlja pripadajoči lok. 2. ) Pravokotnica od središča kroga na tetivo razpolavlja to in pripadajoči lok. 3. ) Pravokotnica, postavljena na tetivo v njeni sredi, gre skoz središče kroga. § 100. 1.) V istem krogu imata dve jednaki tetivi jednak raz- stoj od središča. Pogoj. AB= CD, OE _L AB, OF _L CD (slika 109.). Trditev. OE — OF. Dokaz. Ako potegnemo O A in OC je A AEO ^ A CFO (§ 52.), tedaj OE = OF. 2.) Dve tetivi kroga sta jednaki, ako imata jednak razstoj od središča. Slika 109. 72 Recimo, da je (slika 109.) O E = OF. Potem pa je A AEO A CFO, tedaj AE = CF in AB = CD. 3.) Izmed dveh nejednakih tetiv ima večja manjši razstoj od središča. Po 1. smemo vzeti dve tetivi, kateri imata jedno krajišče skupno. Vzemimo, da je (slika 110.) A B > AC, OD AB in O E ± AC. Ako potegnemo DE, je v A A DE b -$C a (§ 35., 2.), tedaj <£ d OE, kar pa je proti pogoju. Izvod. Premer je največja tetiva kroga. On deli periferijo kroga v dva jednaka dela. Izreki o tangentah kroga. § 101. 1.) Pravokotnica na polumer v njegovem krajišči je tangenta kroga (§ 97., 2.). 2. ) Polumer do dotikališča stoji pravokotno na tangenti. 3. ) Pravokotnica na tangento v dotikališči gre skoz središče kroga. 4. ) Pravokotnica od središča na tangento gre skoz dotikališče. Dokazi za obrate 2., 3. in 4. so indirektni. Izvod. Skoz jedno točko krožnice moremo na to le jedno tangento potegniti. § 102. Tangenti, kateri potegnemo od zunaj kroga ležeče točke nanj, sta jednaki. Pogoj. AC J_ O A, BC± OB. Trditev. AC = BC. Dokaz. Ako zvežemo točko C se središčem po daljici CO, potem je A AOC £2 A BOC, tedaj AC = BC. Tetiva AB, katera veže dotikališči kroga in tangent AC in BC, imenujemo dotikalno tetivo z ozirom na točko C. Slika 111. Slika 110. 73 Izvod. Prema, katera veže presečišče dveh tangent s sre¬ diščem kroga, razpolavlja a) kot med tangentama, pa tudi kot, ka¬ terega polumera oklepata, b) lok in dotikalno tetivo, in stoji c) na tej tetivi pravokotno. 3. Krog in kot. § 103. Vrli kota leži oziraje se na krog ali v njegovem središči ali zunaj središča; v prvem slučaji imenujemo ga središčen, v drugem pa izsrediščen kot. Ako leži vrh izsrediščnega kota v periferiji, imenujemo ga kot v obodu ali oboden kot. Pravimo, da stoji obodni kot ABC na loku ADB (tetivi AB), kateri je med krajiščema njegovih krakov, in da je obodni kot ACB v odseku AECFB, v katerem so njegov vrh in njegova kraka. Oboden kot, čegar kraka gresta skoz krajišči premera, imenujemo kot v polukrogu, kakor ABC. § 104. Oboden kot je jednak polovici središčnega kota na istem loku. Slika 113. Pogoj. Kota ACB in A OB stojita na istem loku AB. Trditev. ^ ACB = £ AOB. Dokaz. Tu je treba razločevati tri slučaje: 1. ) Jeden krak obodnega kota je premer (slika 113., I). Potem sledi iz jednakokrakega A BOC (§ 35., I, izv. b) AOB = 2 . ACB ali ACB = f AOB. 2. ) Središče leži med krakoma obodnega kota (slika 113., II). Ako potegnemo premer CD, je 5 * 74 ACD = | A05, <£ £6’/) = | <£ BO D, tedaj A6'5 -f BCD = A (<£ AOD H- 50Z); ali acd = | .405. 3.) Središče leži zunaj krakov obodnega kota (slika 113., III). Ako potegnemo premer CD, je 3C BCD = i^C BOD, <£ .4 C J) = i AOD, torej BCD — AOD = I B: 505 — ->C AOD), ali AOD = I A05. Izvodi, a j Obodni koti na istem loku in v istem krogu so jednaki. Kajti vsak je jednak polovici središčnega kota na istem loku. h) Jednaki obodni koti stoje v istem krogu na jednakih lokih (obrat od a). c) Kot v polukrogu je prav. Kajti središčni kot na istem loku je iztegnem (Sledi tudi iz § 37.). d) Obodni koti na lokih, kateri so manjši (več,ji) od polu- kroga so ostri (topi). e) Dva obodna kota na isti tetivi pa v nasprotnih odsekih kroga znašata 2 R. Kajti vsota pripadajočih središčnih kotov znaša 4 R. Slika 114. E § 105. Kot med tangento in tetivo, potegneno skozi dotikališče, je jednak obodnemu kotu na tej tetivi v nasprotnem odseku kroga. Pogoj. BC I AOE (slika 114.). Trditev, a) BAD = -$C AED. b) C AED = R, torej EAD + BAD — <£ E A D -f- <£ AED ter tudi BAD — AED. b) CAD -f- BAD = 2 R in AFD + AED = 2 R (§ 104., e), torej je ^ CAD -f ^ BAD = AFD -f ^ AED ter tudi -ŽC CAD = -§C AFD. 75 4. Dva kroga. § 106. Dva kroga, katera imata skupno središče, imenujemo sosredna (koncentrična) kakor kroga v sliki 115. Ploskev med dvema koncentričnima krožnicama imenujemo kolo¬ bar in njegov del med polumeroma in lokoma kolo- Slika 115. bar,jev izsek kakor AaBb. Razloček polumerov kakor Aa imenujemo širino kolobarja ali kolobar- jevega izseka. Dva loka ali izseka kroga za jednaka sre¬ diščna kota imenujemo istoležna; n. pr. loka AB in ab, ali izseka AOB in aOb. § 107. Dva kroga, katera imata različni središči, imenujemo izsredna (ekscentrična) in daljico med središčema dveh ekscentričnih krogov središnico (centralo). Dva ekscentrična kroga ležita ali popolnoma jeden zunaj dru- zega, ali popolnoma jeden znotraj druzega, ali vsak deloma znotraj, deloma zunaj druzega. Ako jeden krogov, kateri leži popolnoma zunaj (znotraj) dru¬ zega, zadene druzega, se ga na tem mestu dotika zunaj (znotraj). Ako vsak izmed obeh krogov le deloma zunaj in znotraj dru¬ zega leži, se krožnici sečeta. Skupno ploskev krogov imenujemo lečo, in ostala dela meseca. § 108. Dve krožnici se sečeta v dveh, in sicer le v dveh točkah. Kajti, ako seče jedna krožnica drugo v jedni točki, preide prva v znotranje od druge; in ker sta obe skleneni črti, mora prva zopet na drugem mestu iz druge preiti v vnanje, t. j. drugo sekati v drugi točki. Krožnici se pa ne moreta sekati v treh točkah, ker potem bi se popolnoma krili (§ 96.). § 109. 1.) Dve krožnici se sečeta v dveli točkah, ako je centrala manjša od vsote in večja od diference polumerov. Vzemimo, da sta OB in O'B (slika 116.) polumera krožnic, kateri se sečeta. Ker je OB + O'B > 00' in OB — 0'B < 00' , moremo nad 00' načrtati dva trikotnika s polumeroma krožnic tako, da je OB = OB' in 0'B = O'B', torej sta B in B' skupni točki krožnic, t. j. krožnici se sečeta v teh dveh točkah Slika 116. 76 Slika 117. 2. ) Dve krožnici se dotikata v jedili točki a) od zunaj, b) od znotraj, ako je centrala jednaka a) vsoti, b) diferenci polu- merov. a) Ker je 00' = r -)- r' (slika 117.), se mora polumer drage krožnice, kateri leži v meri cen¬ trale, tam začeti, kjer se konča polumer prve krožnice; A je torej skupna točka krožnic. Vsaka draga točka D krožnice O', leži pa zunaj krožnice O ; kajti OD )> 00' — O'D ali OD O O A. b) Po pogoji je 00'— r — r' (slika 118.). Ako je potem OA — r, je 00' — O A — r', tedaj O A — 00' — O'A = r '; točka A leži torej v obeh krožnicah. Ta je pa tudi jedina skupna točka; kajti OD O 00' -j- O'D ali OD O O A, t. j. vsaka draga točka krožnice 0' leži znotraj kroga O. 3. ) Dve krožnici nimata nobedne točke skupne in ležita a) jedna popolnoma zunaj druge, b) jedna popolnoma znotraj druge, ako je centrala a) vetja od vsote, b) manjša od diference polumerov. a) Polumera obeh krogov O in O' (slika 119.), ležeča v meri centrale, se začenjata jeden pri jednem, drugi pri drugem krajišči centrale; in ker je centrala večja od vsote polumerov, se polumera ne dosežeta in točki A in A' sta za daljico AA' narazen. Točka A' leži torej zunaj krožnice O. Leži pa tudi vsaka druga točka D krož¬ nice O’ zunaj kroga O, kajti OD O 00’ — 0'D ali OD > OA'. Slika 119, b) Dokaži takisto. Izvodi, a) Centrala dveh dotikajočih se krogov gre skozi dotikališče; b) Tangenta jednega kroga v skupnem dotikališči je tudi tan¬ genta druzega kroga. 77 c) Centrala dveli sekajočih se krogov stoji na skupni tetivi pravokotno, razpolavlja to tetivo in pripadajoča središčna kota. Vzemimo, da sta r in r' dolžini polumerov in C dolžina centrale dveh krogov; določi medsebojno lego teh dveh krogov za sledeče vrednosti teh količin. § 110. Trakovi, katere potegnemo v dveh krogih skoz kra- jišči po dveh vzporednih polumerov, se sečejo vsi v jedni sami točki centrale, in sicer a) v njenem podaljšku, b) med središčema, ako sta polumera n) v istem smislu, b) v nasprotnem smislu vzporedna. Recimo, da je (slika 1 20.) O M II O 'N in O M II O'N', potem je A OMA cv> A O'NA, torej OA: 0'A = OM: 0'N, (OA - O'A) : OA = (OM — O'N): O M ali 00' : 0A = (OM — O'N): OM. Ako so c, r, ?•' merska števila centrale in polumerov, se iz- premeni zgornja proporcija v sledečo: cr c : OA — (r — r') : r, iz česar sledi OA = —— - T . Ker so c, r, r’ nepremenljive, torej od lege polumerov ne za- visne količine, je tudi OA nepremenljiva, t. j. vsi trakovi, katere po¬ tegnemo skoz kraj išči raznih parov v istem smislu vzporednih polumerov, sečejo podaljšek centrale v isti točki A. Dokaži takisto iz podobnosti trikotnikov OJM in 0'JN', da cv je OJ = —-j- —j nepremenljiva količina. Točko A imenujemo vnanje in točko J notranje podobnišče obeh krogov. Vsak trak, katerega potegnemo skoz podobnišče, ime¬ nujemo podoknico, in sicer z ozirom na podobnišče, skoz katero gre, vnanjo ali notranjo podobnico. Kroga sta pa podobno ležeča z ozirom na podobnišče. Slika 120. 78 Izvod. Ako sta polumera obeh krogov jednaka, je vnanje podobnišče brezkončno oddaljeno. cv Kajti za r — r’ je O A — ^, t. j. brezkončno velika. Načrtaj krog O', kateri ima z danim krogom O dano podobnišče A. Koliko takih krogov moreš načrtati ? § 111. Ako ima podobnica dveh krožnie z jedno skupno točko, jo ima tudi z drugo. Recimo, da je AM (slika 120.) podobnica, katera se kroga 0 dotika v M. Ako potegnemo polumer OM in polumer 0'ATII OM, potem mora podaljšana daljica MN iti skoz podobnišče A, t. j. MN A in podobnica AM sta ista prema ali AM ima s krogom O' točko N skupno. — Takisto izvršiš dokaz za notranjo podobnico J M. Izvod. Ako ima podobnica dveh krogov z jednim dve točki skupni, ali jedno samo, ali nobedne, velja isto za drugi krog. Podobnica kakor sekanta ali tangenta jednega kroga je torej tudi sekanta ali tangenta druzega kroga. Ako gre skupna tangenta skoz vnanje ali notranje podobnišče, jo imenujemo vnanjo ali notranjo. 5. Krog in innogokotiiiSt. § 112. Mnogokotnik, kateri ima tetive (tangente) za stranice, imenujemo krogu vpisan (opisan) mnogokotnik, ali tetiven (tangenten) mnogokotnik; krog pa je mnogokotniku opisan (vpisan). § 113. Vsakemu trikotniku moremo a) krog opisati, b) krog vpisati. Sledi iz § 61., 1. in 2., ker je prva znamenita točka jednako oddaljena od vseh oglišč, druga znamenita točka pa jednako oddaljena od vseh stranic trikotnika. Dostavek. Trikotniku vpisan krog imenujemo notranji do¬ tikajoči krog. Ako razpolovimo v trikotniku dva vnanja kota in skupni nasprotni kot, sečejo se polovnice v jedni točki, katera je tudi od vseh treh stranic jednako oddaljena. Na ta način dobimo tri druge dotikajoče kroge, katere imenujemo vnanje dotikajoče kroge. § 114. 1.) V vsakem tetivnem četverokotniku sta vsoti na¬ sprotnih kotov jednaki, in sicer je vsaka vsota jednaka dvema pravima. Sledi iz § 104., e). 2.) Obratno. Četverokotnik, v katerem znaša vsota na¬ sprotnih dveh kotov dva prava, je tetiven četverokotnik. 79 Indirekten dokaz. Skoz tri točke A, B, C (slika 121.) mo¬ remo zmerom napisati krog (§ 96.). Ako bi ta ne šel skoz četrto D, bi sekal tetivo AD ali pa njen podaljšek v točki D', in potem bi bila, ako potegnemo daljico D'C, ^5 + ^ AD'C = 2 R (po 1.); po pogoji je pa tudi B -j- ADC =2 R, torej bi bil <£ AD'C == ADC, kar je pa nemogoče (§ 33., izv.). Izvod. Vsakemu kvadratu in pravo¬ kotniku moremo opisati krog. § 115. 1.) V vsakem tangentnem četverokotniku sta vsoti iz nasprotnih dveh stranic jeduaki (slika 122.). Ker je po § 102. Slika 121. AE — AH, BE = BF, CG = CF, I)G — DH, je tudi Slika 122. AE + BE + CG + DG = AH -f- BF -f CF -f D H ali AB -j- CD — AD -j- BC. 2.) Obratno. Četverokotnik, v ka¬ terem sta vsoti nasprotnih dveh stranic jednaki, je tangenten mnogokotnik. Recimo, da je (slika 122.) AB 4- CD = BC + AD. Indirekten dokaz. Ako bi se krog, kateri se dotika stranic AB, BC in AD v točkah E, F, H, ne dotikal tudi stranice DC, potem bi se dotikal druge preme, katera gre skoz točko D, n. pr. DC'. Potem pa je po 1. AB + DC' — AD -j- EC’, in po pogoji AB - j- DC = AD -j- BC, tedaj DC — DC’ — BC — BC' — CC', kar je pa nemogoče (§ 38., 2.). Izvod. Vsakemu kvadratu in rombu moremo vpisati krog. 80 § 116. 1.) Vsakemu pravilnemu mnogokotniku moremo krog vpisati in opisati. Sledi iz § 66. Dostavek. Središče pravilnega mnogokotnika je tudi središče opisanega in vpisanega kroga. 2.) Ako razdelimo periferijo kroga na več jednakih delov, tvorijo a) tetive med po dvema sosednima razdeliščema pravilen vpisan in b) tangente v razdeliščili pravilen opisan mnogo kotnik. Slika 123. K Pogoj. AB = BC = CD (slika 123.). Trditev. ABC D . sta pravilna mnogokotnika. Dokaz, a) AB — BC (§ 15.) in FAB = ->C ABC = (§. 104., izv. a), torej je ABCD mnogokotnik. b) A AGB, A BBC, A CJD i. t. d. so jednakokraki (§ 102.). Ker pa imajo osnov¬ nice AB, BC, CD i. t. d. jednake in tudi kote na teh ležeče (§ 105.), so tudi skladni. Potem je pa G = <£ H = = J = K = . . . in GB = BH = HC — CJ . . . ali GH = — HJ = JK = . . ., torej mnogokotnik GHJK . . . pravilen. in GHJK = CD . . . 3C BCD . . . . . . pravilen § 117. Stranica krogu vpisanega pravilnega šesterokotnika je jednaka polumeru kroga. Dokaz. Z daljicami od središča do oglišč šesterokotnika raz¬ delimo tega v skladne jednakokrake trikotnike (§ 66., izv.), kateri so pa tudi jednakostranični, ker kot pri vrhu 60° znaša. Polumer in stranica mnogokotnika sta torej jednaka. § 118. Stranica krogu vpisanega pravilnega deseterokotnika je jednaka daljšemu odseku polumera, razdeljenega v notranjem in vnanjem razmerji. Dokaz. Ako je AC (slika 124.) stranica pravilnega desetero¬ kotnika, je AOC = 36 °, A = <)C ACO — 72 °, in ako stvorimo m = ^ « = ^ p, potem sta A ABC in A BCO jednakokraka i n AC — BC = — BO. Nadalje je A ABC A ACO (§81., 1.), torej tudi AO : AC — AC : AB ali AO : BO — BO : AB, 0 81 iz česar sledi, daje A C jednaka daljšemu odseku polumera, kateri je razdeljen v vnanjem in notranjem razmerji. § 119. V pravilnih mnogokotnikih z istim številom stranic sta si a) obsega kakor polumera tema mnogokotnikoma vpisanih ali opisanih krogov in h) ploščini kakor kvadrata onih polumerov. Recimo, da sta ABC DE, A'B'C'D'E' (slika 125.) pravilna mnogokotnika, s in s', o in o', p in p' oziroma merski števili stranic, obsegov, ploščin. Recimo nadalje, daje AO — R, A'O' = = R', OF=r, O'F' = r'. a) Ker imata oba pravilna mnogokotnika isto število stranic, sta podobna (§ 88., izv.); tedaj po § 90. o : o' = s : s'. Iz podobnosti trikotnikov ABO in A'B'0' pa sledi AB : A'B' = OF : O'F' (§ 92.) ali s : s' = r : r' Slika 125. D n' = OA : O’A' — R : R; tedaj tudi o : o' — r : r' = R : R'. b) Po § 99. je p : p' = s 2 : s ' 2 , toda s 9 : s" 2 = r 2 : r' 2 = RA : R" 1 ; tedaj tudi p : p’ — r' 1 : r' 2 = R 2 : R’\ Slika 126. 0 § 120. Izračunaj iz polumera kroga in iz stranic njemu vpi¬ sanega pravilnega mnogokotnika stranico istemu krogu opisanega pravilnega mnogokotnika z istim številom stranic. Vzemimo, da je (slika 126.) O A — r polumer kroga in AB = s„ stranica vpisanega w terokotnika. Ako potegnemo O F ! AB in CD O F je CD = S n stranica opisanega pravilnega mnogokotnika. Iz A CDO oo A ABO sledi CD : AB = OF : O E, ali S„: s» =y; —, tedaj S„ = 4 V r *“T Geometrija. 82 8. = ■ Vi Slika 127. O N. pr. v pravilnem vpisanem šesterokotniku je za r — 1 tudi 1. Za pravilen opisan šesterokotnik je potem 1 = = -L = 2 1/3 = 1 1547005. i V 3 3 § 121. Izračunaj iz polumera kroga in iz stranice njemu vpisanega pravilnega mnogokotnika stranico istemu krogu vpi¬ sanega pravilnega mnogokotnika z dvakrat tolikim številom stranic. Vzemimo, da je (slika 127.) O A = r in AB = s n . Ako potegnemo OE J_ A JI, je tetiva AE = s„„ stranica vpisanega pra¬ vilnega 2 raterokotnika. Iz pravokotnega trikotnika AEF sledi AE* — AF* -)- EF*; toda AF* = in EF* = (OE — OF*) =(r — ^r » — ^V = = r 2 — 2 r^/« — 2r 2 — 2r\ r V* , tedaj Al? 2 = -=- 4- 2r 2 4 2 r l/ r s = 2r« V' V 4 ’ m 2 \/ ali «*„ = 1/2 r 2 2 r \ r 2 N. pr. za r — 1 je s 6 = 1; tedaj s ls = \/2 — 2 Vi — | = \/ 2 — V3 = 0-51763818. 83 <». Sorazmerja pri krogu. § 122. 1.) V istem krogu so loki sorazmerni s pripadajočimi središčnimi koti. Vzemimo, da je (slika 128.) AM skupna Slika 128. mera lokov AB in CD, in sicer AB — m . AM, CD — n . AM, tedaj AB : CD — m : n . . . 1 .). Potegnimo dalje k vsakemu razdelišču teh dveh lokov polumer; na ta način raz¬ delimo središčni kot AOB na m in COD na n kotu AOM jednakih delov (§ 15.) 5 tedaj AOB = m . AOM, COD = n . AOM, in ■$C AOB : <£ COD = . m : n . . . 2 .). Iz razmerij 1 .) in 2 .) pa sledi: AB : CD = -§C AOB : COD. 2.) V istem krogu so izseki sorazmerni s pripadajočimi središčnimi koti. Dokaz je prejšnjemu podoben. Izvoda, a) Razmerje loka in celega oboda je jednako raz¬ merju loku pripadajočega središčnega kota in 360°. b) Razmerje izseka in cele krožnine je jednako razmerju pri¬ padajočega središčnega kota in 360°. § 123. Istoležni loki so sorazmerni z obodi in istoležni iz¬ seki sorazmerni s krožninami pripadajočih krogov (slika 115.). Ako sta O in o oboda, P in ploščini, R in r polumera dveh krogov, dalje L 'm l dva loka, pripadajoča istemu središčnemu kotu «, potem je po § 122 ., izv. a) L : 0 — a° : 360° in l : o = «° : 360°, tedaj L : 0 — l : o, ali L : l — O : o. Takisto dobimo po § 122., izv. b) sorazmerje izsek AOB : izsek a Ob — P : p. 84 § 124. Ako zvežemo točko polukrožnice in Uro. j išči premera s tetivama in postavimo z one točke pravokotnico na tega, je a) vsaka tetiva srednja geometrijska sorazmernica med celim premerom in oni kateti priležnim odsekom premera, b) pravokotnica je srednja geometrijska sorazmernica med obema odsekoma premera. Sledi iz § 109., izv. c) v zvezi s 93. § 125. Ako potegnemo iz katerekoli točke M premo, katera seče krožnico v točkah R in S, je produkt MR . MS nepremenl jiva količina za vsako poljubno premo, katero potegnemo skoz točko M. Slika 129. Dokaz. Ker je (slika 129.) A MSR' cv> A MS'R (§ 88., 1.), se ima MS : MR' = = MS' : MR, torej je MS . MR = = MS' . MR' = ne- premenljiva količina. Ta nepremenljiv pro- M za dani krog. dukt imenujemo potenco točke Ako gre prema MS'R' skoz središče O, je izraz (MO -j- r) . (MO — r) = MO 2 — r potenca točke M, kjer je r polumer kroga in MO razdalja točke M Izvoda. 1.) Ako leži točka M zunaj kroga, je njena potenca jednaka kvadratu tangente MT (slika 130.), potegnene iz točke na krog. — Kajti za tangento je MR' = MS' — MT in MS . MR = = MT 2 . 2.) Tangenta, potegnena od točke M, je srednja geometrijska proporcijonala med celo se- kanto MR in njenim vnanjim odsekom MS. Dokaži izv. 2. iz podobnosti trikotnikov MRT in M ST oziraje se na § 105. Kolika je potenca točke M, ako je a) MO = 8 cm, r = 5 cm; b) MO — 5 cm, r — b cm; c) MO 3 cm, r — 5 cm-, d) MO = o, r = 5 cm P 85 Slika 131. C B 7. Krogomerstvo. § 126. 1.) Vsaka tetiva kroga je manjša od loka med nje¬ nima krajišcema. Vzemimo, da je (slika 131.) AC — CB, AD — DC, GE = = EB, i. t. d. Potem je po § 38., 1. AB < AC -)- BC < AD -|- DO -f CE -j- EB < i. t. d., t. j. ulomljena črta, katero do¬ bimo, akorazpolavljanje lokov ponavljamo, veča se tem bolj, čim več toček ima z lokom skupnih; najdaljša izmed teh ulomljenili črt mora torej biti ona, ka¬ tera ima največ, in sicer brezkončno mnogo toček skupnih z lokom, t. j. lok sam Tedaj je tem bolj AB GFl tudi AF -f BF > AG + GH -\- I~IB. Ako sta dalje J K in LM skoz sredi D 'm E lokov AC in BC potegnem tangenti, je ulomljena črta AGHB < od ulomljene črte AJKLMB in tem bolj A F -[- IIF > AJKLMB, t. j. ulom¬ ljena črta manjša se tem bolj, čim več toček ima z lokom skupnih. Najkrajša izmed teh ulomljenili črt mora torej biti ona, katera ima največ, in sicer brezkončno mnogo toček skupnih z lokom, t. j. lok sam. Tedaj je tem bolj AF -(- BF )> ACB. Izvoda, a) Obseg vsakega krogu vpisanega (opisanega) pra¬ vilnega mnogokotnika je manjši (večji) nego obod kroga. Slika 132. F 86 b) Obsegi vpisanih in opisanih pravilnih mnogokotnikov dado se obodu kroga poljubno približati, ako podvojujemo število njih stranic, t. j. krog moremo smatrati za mejo, kateri se bliža obseg vpisanega (opisanega) pravilnega mnogokotnika, ako neprenehoma podvojujemo število njegovih stranic. V tem smislu moremo reči: Krog je pravilen mnogokotnik z brezkončno mnogo brezkončno majhnih stranic. Vsi izreki o pravilnih mnogokotnikib, katere smo dokazali brez ozira na število njihovih stranic, veljajo tudi za krog. § 127. Oboda dveh krogov sta sorazmerna z njijinima polu- meroma ali premeroma. Sledi iz § 126., izv. b) in § 119., a). Izvodi, a) Ako so 0 in o, R in r, P in p oziroma merska števila obodov, polumerov in premerov v dveh krogih, je O : o = R : r = P : p. Iz tega sledi O: P—o-.p, t. j. razmerje oboda in premera je za vse kroge nepremeuljiva količina. Vrednost tega nepremenljivega razmerja zaznamenujemo s šte¬ vilom 7t, , , . o o tako da ie — = — = n. p 2 r b) Iz prejšnjega izraza sledi: o = pn — 2rn, t. j. obod kroga je jednak produktu iz premera in števila n. c) Za p = 1, je o = tv. Število n moremo tedaj smatrati za obod kroga, čegar premer je 1. d) Ako je l dolžina loka, pripadajočega k središčnemu kotu «, potem je po § 122., izv. a) l : 2 r n = a : 360; ran 180 ' § 128. Določba števila 7t. Da izračunamo število n, t. j. obod kroga, čegar premer je 1, treba da začnemo s pravilnim temu krogu vpisanim šesterokotnikom, čegar stranica je s 6 = r — ; iz te izračunamo po § 121. stranico vpisanega pravilnega dvanajsterokotnika s 12 , iz te zopet na isti način stranico 24terokotnika s 24 i. t. d. Ako množimo posamezne stranice z dotičnimi števili, dobimo obsege o 6 , o 12 , o„ 4 , . . . mnogokotnikov, torej vrsto števil, od katerih je vsako manjše nego iskani obod, pa vsako sledeče bliže od prejšnjega. Potem izračunamo iz stranic s 6> 87 s ri , s 24 . . . po § 120. stranice S,., S t2 , $ 24 . . . opisanih pravilnih mnogokotnikov, oziroma z istim številom stranic, in iz teh obsege 0 6; O lt , 0 a4 . . .; na ta način dobimo drugo vrsto števil, od katerih je vsako večje nego iskani obod, toda vsako sledeče bliže kakor prejšnje. Na ta način moremo število tv zaporedoma med dve števili o ( . in O f) , o, 2 , in 0 t2 . . . spraviti ter poljubno natanko izračunati. Resultate tega računa do 3072terokotnika navaja sledeča tablica: Obsega vpisanega in opisanega pravilnega 3072 terokotnika razlikujeta se tedaj še le v šestem desetinskem mestu; ker je pa obod tv med tema dvema obsegoma, mora skupni del zgoraj na¬ vedenih števil obod tv biti; torej n = 3-14159. Števila tv ne moremo popolnoma natančno izračunati, vender pa toliko natančno, kolikor le hočemo; ono je iracijonalno število. Na deset decimalk je tv = 3-14159 26536. Arhimed je izračunal za tv vrednost 3 A, Metij 1 jf, Ludolf na 35 decimalk; po zadnjem imenujemo n Ludolfovo število. § 129. Ploščina kroga je jednaka produktu iz oboda in polovice polumera. Sledi iz § 126., izv. b) in § 74. Izvod, a) Ako so r, o , p oziroma merska števila polumera, oboda in ploščine kroga, je r 88 Ker je pa o = 2r-n, je tudi p = r 2 n, t. j. ploščina kroga je jednata produktu iz kvadrata polumera in števila n. b) Ako sta P in p ploščini, R in r pa polumera dveh krogov, ie P — R 2 n in p — r 2 n, tedai P:p = Rr 2 , t. j. ploščini dveh krogov sta sorazmerni s kvadratoma njijinih polumerov. § 130. Ploščina izseka kroga je jednaka dolžini loka, množeni s polovico polumera. Ako je ploščina izseka, r polumer in « središčni kot, je v^tccc rna r p, : rV = a : 360 (§ 122., izv. b), tedaj p, = . —, ali ker J e rna 180 (§ 127., izv. d) = l dolžina loka, pripadajočega k središčnemu kotu a Pi = l Dostavek. Ploščina krogovega odseka je jednaka, ako je odsek manjši (večji) od polukroga, diferenci (vsoti) iz pripadajočega izseka in trikotnika, omejenega od tetive in polumerov. § 131. 1.) Ploščina kolobarja je jednaka polovici vsote obeh obodov, množeni s širino kolobarja. Ako zaznamenuje p k ploščino kolobarja, R in O polumer in obod večjega, r in o pa polumer in obod manjšega obeh koncen¬ tričnih krogov, je p k = R^iv — r^n — (R 2 — r 2 ) .. ;i — (R - { r) (R — r) tc — 2 Rn -(- 2 m . (R — r) 0+ o . (R — r). 2.) Ploščina kolobarjevega izseka je jednaka polovici vsote obeh lokov, množeni s širino kolobarjevega izseka. Dokaz je prejšnjemu podoben. Računske naloge. 1.) V krogu je r polumer, b tetiva in d njena razdalja od središča; izračunaj iz dveh teh količin tretjo. a) b — 3 - 4 m, b) r = 1'56 m, c) r — 7 dm 2 cm, d = 2'5 m; d = 084 m; b = 4 dm 8 cm. 89 2. ) V krogu (r — 5 m 2 din) je premer razdeljen v razmerji 4:9; kolika je skoz razdeljišče pravokotno na premer potegnena tetiva? 3. ) V krogu je 2r premer, b tetiva in v višina loka; izračunaj iz dveh teh količin tretjo. a) 2 r — 36 dtn, b) b — 8 m, v = 4 dm; v — 2 m. 4. ) Dva jednaka kroga (r = 6 cm) se dotikata; kolika je a) tangenta iz središča jednega na obod druzega, b) dotikalna tetiva? 5. ) V krogu je r polumer, o obod, p ploščina; izračunaj iz jedne teh količin drugi dve. a) r = 5'2 m; b) o — 1-256 dm; c) p — 349 dm 2 . 6. ) Premer zemeljskega ravnika je 12755 km; kolik je njegov obod, kolika jedna njegova stopnja? (n — 3-14159). 7. ) Kolika je pot, katero preleti točka ravnikova vsled vrtenja zemlje okoli njene osi v jedni minuti? 8. ) Sprednje kolo pri vozu ima polumer r = 40 cm in zadnje It — 50 cm; kolikokrat se zavrti sprednje kolo, ako se zavrti zadnje 1065 krat? 9. ) Polumera dveh krogov sta 2 dm 4 cm in 3 dm 2 cm; kolik je premer kroga, kateri je jednak vsoti onih dveh krogov? 10. ) Oboda dveh krogov sta 50 - 24 cm in 18 - 84 cm; kolik je obod kroga, čegar ploščina je jednaka diferenci onih dveh krogov? 11. ) Obod kroga je jednak obsegu kvadrata, čegar stranica je 4 cm; izračunaj razmerje njijinih ploščin. 12. ) Polumer kroga je 5 dm; kolika je stranica ploskveno- jednakega jednakostraničnega trikotnika? 13. ) V krogu je r polumer, a središčen kot in l dolžina pri¬ padajočega loka; izračunaj iz dveh teh količin tretjo. a) r = 8 dm, b) r — 2 dm 7 cm, c) a = 48°, n==135°; 1—2 dm 28 mm; l — 6 dm 28 mm. 14. ) Ako je polumer kroga 1 dm, kolika je dolžina loka za a) 1°, b) P, c) 1”? 15. ) Dolžina loka je jednaka premeru; kolik je pripadajoči središčni kot? 16. ) Greografična širina Ljubljane je 46° 3'; koliko kilometrov je od ravnika oddaljena, ako ima polumer meridijana 6371-56 lem? 6 * 90 17. ) V krogu je r polmner, a središčen kot, l dolžina pripada¬ jočega loka in p, ploščina pripadajočega izseka; izračunaj iz dveh količin drugi dve. a) r = 2 m, b) a = 35°, c) a = 75°, d) l — 0'698 m, a — 38°; l — 2 - 61 m; p-, — 10 dm 2 - p, = 0 - 349 m 2 ; e) r — 4 m, p t = 21'98 m 2 . 18. ) Kolika je ploščina odseka v krogu s polumerom r == 8 dm, ako ima središčen kot a) 60°, b) 120°, c) 90 °? 19. ) Polumera dveh koncentričnih krogov sta Ji in r, oboda O in o, širina kolobarja c in njegova ploščina p k ; izračunaj iz dveh teh količin vse druge. Slika 133. (! a) R = 6 dm 5 cm, b) R — 3'5 m, c) r = 3'5 dm, r = 4 dm 5 cm; o = 12 - 56 m; p k — 25‘12 dm 2 ; d) O — 34‘54 m, e) o — 53 - 38 dm, f) c — 2 dm, c = 2 - 5 m; p k = 56 - 52 dm 2 ; p k = 69 dm 2 8 cm 2 . 20. ) Razdeli krog, čegar polumer je 6 dm dolg, s koncentričnim krogom na dva jednaka dela; kolika je širina kolobarja? 21. ) Kolika je ploščina kolobarjevega izseka, ako sta polumera lokov 5 dm in 4 dm in središčen kot 48 °? 22.) Izračunaj iz polumera kroga stranico vpisanega in opisanega jednakostraničnega tri¬ kotnika. Ako je (slika 133.) AB — s 3 stranica jednakostraničnega trikotnika, OC — r polumer kroga in premer CD [ AB, je AD stranica vpisanega pravilnega šesterokotnika in tedaj jednaka r. V pravokotnem trikotniku CAD je potem — A D 2 ali s 2 3 = 4r 2 — r 2 , iz česar sledi s 3 = r\j3. Za opisani jednakostraničen trikotnik dobimo po § 120. r . s 3 r 2 -/iT Šr 2 4 AC 2 S , f'- ir y.3 = 2 s 3 . 91 23. ) Izračunaj iz polumera kroga stranici s 4 in vpisanega in opisanega kvadrata. s 4 = V 2 i = 2 r. 24. ) V krogu je polumer 35 cm; za koliko sta obod in ploščina tega kroga večja (manjša) od obsega in ploščine a) vpisanega (opi¬ sanega) kvadrata, b) vpisanega (opisanega) pravilnega šesterokotnika ? 25. ) V krogu je polumer 1; izračunaj stranico in ploščino vpisanega pravilnega a) osmerokotnika, b) šestnajsterokotnika (§ 121.). «8 - V 2 - V' 2 ; « 18 = V 2 ~ V 2 + /2. Ph = 2 V 2 ; p i6 = 4 V 2 — V 2 - 26. ) Vsota ploščin krogu vpisanega jednakostraničnega trikot¬ nika in kvadrata je 100 dm' 2 \ kolik je polumer? 27. ) Diferenca ploščin krogu opisanega in vpisanega kvadrata je 24 dm' l \ kolik je polumer? 28. ) Ako podaljšaš vrvico z drugo 1 m dolgo, moreš obseči za 2 m 2 večji krog; kolika je nepodaljšana vrvica? Naloge za načrtovanje. 1. ) Poišči središče kroga ali loka. Potegni dve nevzporedni tetivi in reši nalogo po § 96. 2. ) Potegni skoz točko znotraj kroga najkrajšo tetivo. Potegni skoz dano točko polumer in na tega pravokotno tetivo; ta je zahtevana tetiva. Kajti vsaka druga tetiva, katero potegneš skoz dano točko, ima manjšo razdaljo od središča ter je daljša (§ 100., 4.). 3. ) Dana je daljica; napiši nad njo kakor tetivo tak odsek kroga, da so vsi njegovi obodni koti jednaki danemu. Vzemimo, da je (slika 134.) BAC dani kot AB dana daljica Stvori AD = DB, DO AB in AO A C, in napiši iz presečišča O pravo- kotnic s polumerom O A krog. Potem je AEB iskani odsek kroga, v katerem je obodni kot AEB jednak danemu. (Zakaj?) 4. ) Potegni skoz dano točko na obodu kroga tangento nanj. Potegni polumer do dane točke in v kraj išči postavi pravo- kotnico na njega. Slika 134. 92 5. ) Potegni skoz dano točko zunaj kroga dve tangenti nanj. Analiza. Mislimo si nalogo rešeno ter CB in CA (slika 111.) kakor iskani tangenti. Potem j i EB — CD ali AN -j- BN > AM + BM = CD, t. j. vsota razdalj točke N od gorišč je večja od velike osi, N leži torej zunaj elipse. Ker pa to za vsako točko preme TN, razun točke M, dokazati moremo, je TN tangenta elipse. Izvod. Vsaka tangenta elipse tvori s prevodnicama do- tikališča jednaka kota. Kajti <£ AMF = <£ EMF, pa FMF — BMN; torej je tudi <£ AMF = BMN. Ta izvod ima posebno važnost v fiziki. Valovni traki, izhajajoči iz jednega gorišča, združijo se zopet v drugem. Hiperbola. § 134 Razpolovi dano daljico CD v O, podaljšaj jo na obe strani in napravi OA = OB (slika 140.), vzemi na premi 0X točko V poljubno in napiši s polumerom C V iz toček A in B nad in pod premo 0X loke, potem takisto s polumerom D V. Napisani loki se sečejo v točkah M, JV, Q, R. Potem menjaj lego točke V in ponavljaj takisto načrtovanje večkrat. Vse točke, v katerih se sečejo loki, zveži zaporedoma in nepretrgljivo s krivo črto. Točke M, N, Q, R i. t. d. so od toček A in B za daljico C V oziroma D V oddaljene; diferenca teh razdalj je jednaka AB. Krivo črto, v kateri je diferenca razdalj vsake točke od dveh nepremičnih toček jednaka dani daljici, imenujemo hiperbolo. — Hiperbola ima dve rami. V hiperboli je torej za vsako točko M: A M— BM = CD. Geometrija. 7 98 Slika 140. Nepremični točki A in B imenujemo gorišči hiperbole, daljici A M in BM pa prevodnici točke M. Iz načrtovanja hiperbole sledi: 1. ) CA — DB, torej tudi CB — AC = DA — DB — CD, t. j. krajišči C in D dane daljice sta tudi točki hiperbole. Daljico med njima imenujemo glavno os, njeni krajišči C in D temeni, točko 0 središče hiperbole. Iz povedanega sledi: Diferenca prevodnic katerekoli točke hiperbole je jednaka glavni osi. Ako je diferenca razdalj katere točke večja ali manjša od glavne osi, leži ta oziroma znotraj ali zunaj hiperbole. 2. ) Ker je O A — OB, velja: Središče hiperbole je od obeh gorišč jednako oddaljeno. Razdaljo gorišč od središča imenujemo ekscentričnost hiperbole. Ako napišemo iz toček C in Z) s polumerom AO loke, kateri se sečejo v E in F in potegnemo premo EF, stoji ta pravokotno na glavni osi in jo seče v točki O. Trikotnika CDE in CDF sta namreč jednakokraka. Premo EF imenujemo postransko os hiperbole. 3. ) Ker je A COE A COF, je OE = OF; t. j. Središče hiperbole razpolavlja tudi njeno postransko os. 99 Ako so a, b, e merska števila polovice glavne osi, polovice postranske osi in ekscentričnosti hiperbole, je v trikotniku COE po Pitagorovem izreku: e = V a' 1 + b\ a = Ve 2 — b\ b = Ve 2 — a*. Ako napišemo iz središča O s polumerom O A krožnico in na- črtamo tetivi GG' in JIH' pravokotno na AB, je CG = CG' = D H = DH' = V7*^ NE ali CN > NE. Točka N leži zunaj parabole. Taisto moremo za vsako drugo točko preme MT, razun točke M, dokazati, torej je MT tangenta parabole. Izvod. Vsaka tangenta parabole tvori jednaka kota s pre- vodnico dotikališča in s pravokotnico iz tega na vodnico. 2.) Presečišče tangente z osjo parabole in dotikališče sta od gorišča jednako oddaljeni. Kajti A CTM = A SMN; A SMN = A QMT = TMC; torej -§C CTM = TMC. Trikotnik TMC je jednakokrak in CT — = MG. Načrtaj parabolo, ako je razdalja gorišča od vodnice a. a = 5 mm, 1 cm, 2 cm, 3 cm. Primerjaj dobljene parabole z ozirom na to, koliko so odprte. Naloge za načrtovanje. 1. ) Mehanično načrtovanje elipse, ako je dana velika os in gorišči. V goriščih zatakni trdno dve igli, na te priveži konca niti, katera je z veliko osjo jednako dolga. Ako napneš nit se svinčnikom in ga okrog gorišč vrtiš, napiše ti svinčnik pri tej vrtnji elipso. 2. ) Dani sta osi elipse, poišči gorišči. Napiši iz točke Tj (slika 138.) s polumerom GO lok, kateri seče veliko os v točkah A in B. Presečišči A in B sta iskani gorišči. Dokaz napravi sam. 3. ) Načrtaj skoz točko M (slika 139.) elipse tangento na to. Analizo napravi sam. Načrtovanje. Potegni obe prevodnici k točki M in podaljšaj EM; ako razpoloviš kot AME, je razpolovnica TM iskana tangenta. 4. ) Načrtaj iz dane točke N (slika 139.) zunaj elipse tan¬ gento na to. Analiza. Recimo, da je MN iskana tangenta. Potem je NE = NA. (§ 133.) in BE = CD, torej lega točke E in tudi daljice E A znana; razpolovišče F te daljice je druga točka iskane tangente. Načrtovanje. Zveži točko N z goriščem A in napiši iz točke N krog s polumerom NA; napiši pa tudi krog iz druzega gorišča B s polumerom CD; presečišče obeh krogov je točka E. Ako potegneš potem daljico E A in jo v točki F razpoloviš, je prema FN iskana tangenta. 102 Slika 144. 5. ) Mehanično načrtovanje hiperbole, ako je dana glavna os in obe gorišči. Vzemi ravnilo (lineal) in napravi, da je v gorišči A (slika 144.) vrtljivo; na drugem konci ravnila L pripni konec niti v, katera je za veliko os CD krajša od ravnila, drugi konec niti zatakni v gorišči B. Ako tedaj vrtiš ravnilo okrog točke A in ako pritiskaš niti k ravnilu se svinčnikom, da ostane nit na obeh straneh na¬ peta, napišeš se svinč¬ nikom j eden del hiper¬ bole. Kajti za vsako lego točke M je AM — BM = (AM + ML) — (JIM -j- ML) = AL — v = CD. Kako moreš načrtati še druge dele hiperbole? 6. ) Naertaj skoz točko M (slika 141.) hiperbole tangento na to. Potegni prevodnici AM in BM in razpolovi kot AMI); polov- nica MT je zahtevana tangenta. 7. ) Mehanično načrtovanje parabole, ako je dana vodnica in gorišče. Vzemi lesen pravokoten trikotnik EDF (slika 145.) in nit, katera je jednaka DE; pripni jeden konec niti v gorišči C in drugi v E. Ako trikotnik s kateto DE ob vodnici premikaš in nit se svinčnikom k trikotniku pritiskaš, da ostane vedno napeta, napišeš zgornji del parabole. Kajti za vsako lego točke M je CM — MD. Kako moreš načrtati spodnji del parabole? 8. ) Načrtaj skoz dano točko M (slika 143.) parabole tangento na to. Potegni MC in MQ J_ AB, razpolovi kot QMC; polovnica TM je iskana tangenta. Slika 145. 103 Osmi oddelek Slincietrična lega, projekcija. Simetrija. § 138. Načrtaj na dano premo SS' pravokotnico AB, katera seče prvo v točki C in napravi AC — BC. Takisto načrtaj drugo pravokotnico A'B' na SS' in napravi A' G' = B'C' ; potem pa zveži točki A in A', B in B' z daljicama AA' in BB'. Točki /1 in B imenujemo simetrično (istomerno) ležeči z ozirom na premo SS', ako stoji njijina zveznica AB SS' in ako SS' raz¬ polavlja daljico AB. Premo SS' imenujemo os simetrije ali simetralo. Daljici AA' in BB' ležita simetrično z ozirom na premo SS ', ako nahajamo za vsako točko jedne daljice simetrično ležečo točko na drugi daljici z ozirom na SS'. Taisto velja splošno o simetrično ležečih tvorih. Načrtaj simetralo dveh danih trakov, ako sta a) nevzporedna, b) vzporedna. Rešitev, a) Simetrala je polovnica kota, katerega tvorita traka. b) Simetrala je vzporednica s trakoma, ležeča v sredi med njima. Iz tega sledi: Dva traka imata zmerom simetralo ali ležita zmerom simetrično. Taisto moremo reči o dveh jednakih krogih in nekaterih drugih jednakih tvorih. Načrtaj simetralo dveh jednakih krogov s centralo C. R = 2 cm, 25 cm, 3 cm; c — 5 cm, 5 cm, 4 cm. Dana je simetrala; narisaj na jedno stran te a) trikotnik, b) četvero¬ kotnik, c) peterokotnik in potem k vsakemu teh likov simetrično ležečega. Kaj bi se zgodilo se simetričnima likoma, ako zavrtiš jednega okoli nepremične simetrale za 180° proti drugemu? § 139. Nekatere tvore moremo s premo razdeliti v dve sime¬ trični polovici; take tvore imenujemo sploh simetrične. Simetrični tvori so n. pr.: 1. ) Trak; vsaka pravokotnica na njega je njegova simetrala. 2. ) Daljica; pravokotnica v njeni sredi je simetrala. 3. ) Kot; prema, katera ga razpolavlja, je njegova simetrala. 104 4. ) Jednakokrak trikotnik; daljica, ki veže vrh z razpoloviščem osnovnice je njegova simetrala. 5. ) Krog; vsak premer je simetrala. 6. ) Elipsa; velika in mala os sta simetrali. Simetrični so sploh vsi oni tvori, katere moremo s premo raz¬ deliti v dve skladni polovici. Projekcija. § 140. Ako spustimo z dane točke A zunaj preme XX' pravo- kotnico AB na to, pravimo, da projiciramo (vzmetnemo) točko A na premo XX'. Podnožišče B pravokotnice imenujemo projekcijo (vzmet) točke na premo, in to premo pa os projekcije ali na kratko os. Projekcijo daljice na dano premo imenujemo daljico med pro¬ jekcijama njenih krajišč. Projekcija z osjo vzporedne daljice je tej jednaka, postaje manjša, ako se kot, katerega tvorita dana daljica in os, bliža pra¬ vemu; za prav kot je projekcija daljice točka. § 141. Ako je dana točka ali daljica, je njena projekcija na dano os popolno določena. Obratno pa točka ali daljica ni določena, ako je dana njena projekcija. Kajti pravokotnica na os je projekcija vsake točke v pravo¬ kotnim; in vse daljice, katere potegnemo med pravokotnicama na os, imajo isto projekcijo. Ako sta izmed količin: daljica, projekcija in kot, katerega tvori daljica z osjo, dani dve, moremo tretjo določiti z načrtovanjem. Za daljico, katero na ta način določimo, vemo vender le njeno dolžino, ne pa natančno njene lege; kajti jednako dolge vzporednice med pravokotnicama na os, imajo jednako projekcijo in tvorijo z osjo jednak kot. Projiciraj daljico AB = 4 cm zunaj preme XX na to, ako tvori (podaljšana) AB s XX' kot a) 0°, b) 15°, c) 30°, d) 45°, e) 60°, f) 90°. Dana je daljica AB in kot a, katerega tvori z osjo; odmeri dolžino projekcije z merilom. AB =• 6 cm, a = 60°; AB = 7 cm, a — 45°; AB = 5 cm, a = 75°. Dan je kot a za daljico AB in njena projekcija A'B'; kolika je AB? A'B' = 40 cm, a = 60°; A'B' — 5 c?n, a = 30°; A'B' = 6 cm, a = 54°. 105 Dana daljica AB in njena projekcija A'B'; načrtaj kot med njima in odmeri ga s transporterjem. AB = 7 cm, A'B' = 5 cm; AB = 8 cm, A'B' — 5 cm; AB = 9 cm, A'B' = 3 cm. § 142. Lego točke M (slika 146.) v ravnini določimo s pro¬ jekcijo popolnoma, ako jo projiciramo na dve pravokotni osi, na lioricontalno XX' in vertikalno YY'; kajti točka M leži v M P XX' in v MQ j_ YY', kateri postavimo v pro¬ jekcijah P in Q, torej v presečišči teh pravokotnic. Daljico OP med horicon- talno projekcijo in presečiščem osi 0 imenujemo absciso (x) in daljico OQ med vertikalno projekcijo in presečiščem 0 ordinato (y) točke M. Absciso in ordinato imenujemo skupno koordinati, in so XX' in YY' osi koordinat, in sicer v posebnem XX' os abscis YY' os ordinat; presečišče O teh osi pa izhodišče koordinat, Da moremo lego točke v ravnini popolno natanko določiti, vzamemo os abscis na desno izhodišča pozitivno, na levo negativno. Koordinate so potem tudi pozitivne ali negativne. Ako je (slika 146.) absolutna vrednost daljic OP = OP' = a in 0Q = 0Q' — b, je za točko M . x — -J- a, y = -(- b; » » M' . x — — a, y — -\- b; » » M" . x — — a, y — — b; » » M"' . x — -\- a, y = — b. S koordinatami krajišč daljice, t. j. s projekcijama daljic na dve pravokotni osi, pa določimo tudi popolnoma lego daljice. Dani sta osi koordinat; načrtaj točko M, za katero je: x = 3 cm, — 4 cm, — 2 cm, -j- 5 cm; y — -j- 2 cm, -|- 3 cm, ■—• 5 cm, — 4 cm. Dani sta osi koordinat; načrtaj daljico AB, ako pomenjata x in y koordinati točke A, x' in y' koordinati točke B: = -j— 1 cm, -j- 2 cm, — 5 cm, — 1 cm; y = -|- 1 cm, — 3 cm, -(- 3 cm, — 1 cm; x' = 3 cm, -|- 4 cm, — 5 cm, — 3 cm; y' = -|- 2 cm, — 3 cm, — 2 cm, — 4 cm. i* 106 § 143. 1.) Namesti v jednačbi y — ax števili a in x z drugimi danimi števili in izračunaj y. a) a — 05, x = -f- 1 cm, -\- 2 cm, ■-[- 3 cm, -)- 4 cm, .... a — 05, x = — 1 cm, — 2 cm, — 3 cm, — 4 cm, .... b) a = 1, x — + 1 cm, + 2 m, + 3 cm, + 4 cm, .... c) a = 2, x == + 1 cm, + 2 cm, + 3 m, + 4 c«, .... Načrtaj osi koordinat, poišči lego toček za vsak izračunan par x in tj in zveži dobljene točke; kakšen tvor dobiš? (Premo.) 2.) Namesti v jednačbi x 2 -j- y 2 = a' z ■y in a z drugimi števili ter izračunaj x. a) a — 1 cm, y — o; b) a = 2 ara, y = o; c) a = 5 cm, «/ = + 3 cm. Načrtaj osi koordinat, poišči lego toček za vsak znan x in y in načrtaj iz izhodišča krožnico skoz dobljene tri točke. — Načrtaj koordinate x in y katerekoli točke krožnice in zveži krajišče ordinate z izhodiščem; kakšno jednačbo dobiš iz dobljenega trikotnika po Pitagorovem izreku? (x 2 -(- y“ = a 2 ). Iz povedanega sledi: Jednačbi y = ax in x 2 -j- y 2 = a 2 izražujeta oziroma premo in krog ali prema in krog sta geometrijski mesti vseh toček, katerih koordinate x in y zadostujejo tema jednačbama. Takisto moremo tudi druge črte, n. pr. elipso, hiperbolo in parabolo, izraževati z jednačbami; o tem na tem mestu vender ne mislimo natančneje govoriti. Dragi del. S t e r e o m e t r ij ;i Prvi oddelek. Preme in ravnine vv prostoru. 1. Meje teles. § 144. Snov* kocke, pravokotnega paralelepipeda, tetraedra, šesterostrane pravilne piramide, pokončnega cilindra in stožca, table, knjige i. t. d. zajemlje prostor, ki je na vse strani omejen. Prostor, omejen na vse strani, imenujemo (geometrijsko) telo. Iz tega sledi: 1. ) Meje teles, t. j. njegove ploskve, so okoli in okoli omejene, ali so liki. Lik leži ali v ravnini (n. pr. kvadrat ob kocki, trikotnik ob piramidi, krog ob cilindru in stožcu), ali pa nima ravnine (n. pr. plašč ob cilindru in stožcu). Prve imenujemo ravne, druge vzvite like. Ravnoploska telesa so omejena samo od ravnoploskih, sloko- ploska pa od ravno- in slokoploskih likov. Kroglja, pa tudi druga telesa, nimajo nobedne ravnine za mejo. Ploskev, na katero si mislimo telo postavljeno, imenujemo osnovno, one ob strani pa obstranske. Kocka, cilinder imata še ploskev, katera telo pokriva; tudi to imenujejo osnovno ploskev. — Osnovne ploskve so omejene od osnovnih robov; vse druge robe imenujejo obstranske. 2. ) Meje ploskve, t. j. njeni robi ali črte, so tudi na obe strani omejene. Meji roba (črte) sta ogla (točki). Na piramidi se vsi obstranski robi v istem oglu, v vrhu, stikajo. Tudi stožec ima vrh. — Krožnica nima oglišč, njeni krajišči padeta v jedni točki skupaj. Ker si jo pa Oglej si ta telesa. 108 moreš misliti kot pravilen mnogokotnik z brezkončno mnogo, seveda brezkončno majhnih stranic (§ 127.), smeš si tudi cilinder (stožec) kot prizmo (piramido) misliti. Po plašču cilindra (stožca) pa moremo torej brezkončno mnogo prem, stranic, potegniti. Določi like po njihovem številu, po podobi na kocki, tetraedru i. t. d. natančneje. Primerjaj like vsakega onih teles po podobi in kolikosti. N. pr. na kocki so vsi liki skladni kvadrati. Površje teles. § 145. Ploščino vseh likov skupaj, s katerimi je telo omejeno, imenujemo njega površje, vsoto vseh obstranskih ploskev pa njega obstransko površje ali ohstranje. O merskih jednotah glej § 68. Naloge. 1. ) Merski števili stranice in površja kocke sta oziroma s in p; izračunaj iz jedne teh količin drago. a) s = 1 m 4 dm 5 cm, b) p = 36'0150 m 2 , s — 3 - 68 dm; p — 8‘72 dm 2 . 2. ) Merski števili kockinega površja in diagonale njenega kvadrata sta oziroma p in d; izračunaj iz jedne teh količin drago. a) d = 4'56 dm, b) p — 2352 dm' 1 , d = 7‘28 cm; p — 8’407«* 2 . 3. ) Koliko je a) ohstranje, (?) površje pravokotnega paralelepipeda, ako so merska števila treh stikajočih se robov r', r", r’"? a) r’ = 4’7 dm, b) r' — 8'2 m, r" = 2’8 dm, r" = 6'8 m, r"' — 0'6 dm; r'” = 12 m. 4. ) Izračunaj dolgost tretjega roba pravokotnega paralelepipeda, ako so merska števila prvih dveh robov r', r" in obstranja o. a) r' = 28 dm, b) r' = 46 dm, r" = 15 dm, r" — 3’8 m, o — 46'44 m' 1 ; o — 50 m 2 . 5. ) Kolik je tretji rob pravokotnega paralelepipeda, ako so merska števila prvih dveh robov r 1 , r" in površja p? a) r’ =12 cm, b) r' = 4‘6 dm, r” = 0'9 dm, r" = 3‘5 dm, p — 01056 m 2 ; p — 136 dm' 1 . 109 6. ) Izračunaj površje tetraedra, ako je mersko število njegove stranice s. a) s — 4 - 66 dm; b) s = 724 cm. 7. ) Merska števila stranice, višine trikotnikove in površja tetraedra so s, v, p; izračunaj iz jedne teli količin obe drugi. 8. ) Izračunaj a) obstranje, {}) površje šesterostrane pravilne piramide, ako sta merski števili osnovnega roba r in višine obstranske ploskve (obstranske višine) v. a) r = 46'2 m, b) r = 8 - 5 dm, v — 156 m; v — 46 cm. 9. ) Koliko je obstranje pravilne šesterostrane piramide, ako sta merski števili obstranskega roba r' in osnovnega roba r"? a) r' — 15, b) r' — 25'8, r" — 18; r" — 12'6. 10. ) Koliko je površje šesterostrane pravilne piramide, ako sta merski števili obstranskega roba r in razdalje središča v osnovni ploskvi od osnovnega roba r'? 11. ) Recimo, da so r, s, p', p” merska števila polumera, stra¬ nice, plašča* in površja pokončnega cilindra; izračunaj iz dveli teh količin obe drugi. a) r = 4 cm, b) r = 28 cm, c) s = 4 - 28 m, s = 8 - 5 cm; p' — 6428 cw 2 ; p' = 50'46 m 2 ; d) r — 73’6 cm, e) p' = 72'8, p" — 250 cm 2 ; p” = 118 - 5. 12. ) Recimo, da so r', s, p' in p" merska števila polumera, stranice, plašča** in površja pokončnega stožca; izračunaj iz dveh teh količin obe drugi. a) r — 1'6 m, b) r — 43 cm, c) s — 8 dm 4 cm, s = 4'8 m; p' — 72-8 cm 2 ; p' — 52 dm 2 ; d) r = 2‘68, e) p = 150'86, p" = 60-48; p" = 225-43. 2 . lega ravnin in prem. § 146. Z opazovanih teles posnamemo: 1.) Vsak raven lik ima svojo ravnino. * Glej § 178. ** Glej § 175. 110 To ravnino si misli do brezkončnosti razširjeno, ako ne najdeš nič druzega omenjenega. Ona deli brezkončni prostor na dva brez¬ končna poluprostora. 2. ) Vsaka prema (rob) leži vidno v dveh ravninah. Tudi premo si misli brezkončno podaljšano, ako ne najdeš nič druzega omenjenega. Ona ostane skoz in skoz v svojih ravninah. V mislih si pa moremo skoz jedno premo brezkončno mnogo ravnin položiti. Vse ravnine skupaj, katere gredo skoz isto premo, imenujemo ravninje, premo pa os ravninja. Os ravninja razpolavlja vsako ravnino na dve poluravnini. V ravninji moremo vsako ravnino z vrtenjem okolo osi v lego vsake druge ravnine spraviti. Ako si tedaj mislimo tri točke, dve v osi in jedno zunaj nje, ležita prvi dve ves čas vrtenja v ravnini, tretja pa samo v jedni njeni legi. Torej velja: Tri točke, katere ne leže vse v jedni premi, določujejo rav¬ nino popolnoma. Ravnino tudi določujeta: a) prema in točka zunaj nje, b) dve premi, kateri se sečeta, c) dve vzporedni premi. Dve ravnini se moreta sekati le v premi. Kajti, ako bi se sekali v sloki črti, imeli bi vsaj tri točke skupne, katere ne leže v isti premi, potem pa bi bile obe jedna in ista ravnina, kar je proti pogoju. Pokaži ravnine na prizmah, piramidah, v sobi in na vsaki tri točke, katere vsako teh ravnin popolnoma določujejo. — Pokaži premo, v kateri se dve ravnini teh teles sečeta. 3. ) Ravnini dveh ravnih likov so ali sečeta, ali sta vzporedni, t. j. ne sečeta se nikjer. Poluravnini, kateri se sečeta, tvorita ploskven kot ali klin. Skupno premo imenujemo rob in poluravnini kračji ali obstranski ploskvi (krakini ali obstranini) klina. Brezkončni prostor med dvema vzporednima ravninama (vzpo- redninama) imenujemo plast. O vzporedninah moremo (takisto kakor o vzporednicah) reči: Presečnica dveh vzporednin leži v brezkončnosti. Ali je plast na vse strani neomejena? 4. ) Premi (roba) ležita ali v istej ravnini ter sta vzporedni ali se sečeta, ali pa si jih v jedni ravnini še misliti ne moreš, ter gresta jedna mimo druge. 111 Skoz jedno točko si moreš v prostoru brezkončno mnogo trakov potegnenih misliti; vsi skupaj tvorijo trakovje v prostoru. Mer preme v prostoru določujeta dve točki popolnoma. 5. ) Prema leži z ozirom na ravnino ali v nji ali zunaj nje. Prema, katera ima dve točki z ravnino skupni, leži popolnoma v tej. Prema pa, katera ne leži v ravnini, ima s to samo jedno točko skupno ali pa nobedne, ona je naklonjena proti ravnini ali pa je vzporedna z njo. — Prema, vzporedna z ravnino, ne more te nikjer zadeti. Presečišče preme z ravnino imenujemo podnožišče preme v ravnini. Naklonjena prema stoji na ravnini ali pravokotno ali poševno, ako stoji na vsaki skoz njeno podnožišče v ravnini potegnem premi pravokotno ali pa ne. Katero mer (lego) ima prema (ravnina) v prostoru, ako stoji pravo¬ kotno na a) vertikalni, b) lioricontalni, c) poševni ravnini (premi)? 6. ) Vsaka točka (ogel) leži najmanj v treh ravninah, ali v presečišči presečnic teh ravnin. Tri ali več ravnin, katere se sečejo zaporedoma tako, da gredo vse presečnice skoz jedno in isto točko, stvarjajo tvor v prostoru, katerega imenujemo telesen ogel ali kratko ogel. Ogel je na jedno stran neomejen del brezkončnega prostora. Skupno točko vseh ravnin imenujemo vrli, presečnice vsakih dveh ravnin robe, kote dveh sosednih robov robovne kote, ravnine teh kotov obstranske ploskve in kote sosednih dveh obstranskih ploskev ploskvene kote ogla. Klin in kot. § 147. V sliki 147. (prim. sliko 148.) vidiš klin E(BA)C, ali klin pri A B, ali klin FC, kakoršnega si lahko posnameš s kocke in z družili ravnoploskih teles. Ako načrtamo kjerkoli na rob klina dve v obstranskih ploskvah ležeči pravokotnici, je njijin kot povsod iste kolikosti. Pogoj. BD I AB, BF \_AB;AG±AB, AE J_ AB. Dokaz. Stvorimo AO = OB in MO J AB, NO I AB. Ako potem premikamo tvor MONFBD tako navzdolj, da ostane lik OMDB in ONFB ves čas oziroma v ravnini BC in BE, pride Slika 147. 112 jedenkrat B na O in O na A, ker je BO — AO, in BI) na OM, OM na A C, IJF na ON, in ON na AE, t. j. tvor OMDBFN krije tvor ACM ONE popolnoma, torej je DBF = <£ MO N = C A E. Kot MON jemljemo za mero klina in ga imenujemo naklonski kot obeh obstranskih ploskev. Kakor postaje z vrtenjem premičnega kraka NO <£ MON oster, prav, top, iztegnen, izbočen in poln, velja to tudi za klin. Ako je naklonski kot dveh ravnin prav ali poševen, stojita ravnini jedna na drugi pravokotno ali poševno. Iz gornjega dokaza sledi naravnost: Dva kota v prostoru sta jednaka, ako sta oba para krakov v istem smislu vzporedna. Dokaži sledeče dopolnilo k temu izreku z ozirom na §§ 19., 22. (glej sliko 147.). Kota v prostoru sta a) jednaka, ako sta oba para krakov v nasprotnem, b) suplementarna, ako sta dva kraka v istem, druga dva pa v nasprotnem smislu vzporedna. Imenuj na telesih prave, ostre, tope kline z a) vertikalnim, b) hori- contalnim, c) poševnim robom. — Na katerih telesih nahajaš prav ostro kline. Kakšen ploskven kot stvarja veternica, ako se obrne a) od severja do juga, b) od severja do vzhoda, c) od severja čez zahod in jug do vzhoda, d) od severja do jugovzhoda? Primerjaj kline s koti in povej, katere kline bi potem imenovali a) šokline, b) sovršne kline? In kaj bi imenovali soklinje? — Na koliko delov razdeli soklinje brezkončni prostor? Vzporedne ravnine. § 148. 1.) Vsaka ravnina seče dve vzporedni ravnini v dveli vzporednicah. Slika 148. Kajti, ako bi presečnici (DB in EG) ne bili vzporedni, sekali bi se, kar je pa ne mogoče, ker ostaneta ves čas v vzporednih ravninah (AO in FIi). Pokaži na raznih telesih dve ravnini, kateri seče tretja, in presečnici. Koliko klinov dobiš, ako sečeš dve vzporedni ravnini s tretjo? — Ka¬ tere kline bi potem imenovali proti- kline, izmenične kline in prikline ? Izvod. Vzporednice med dvema vzporednima ravninama so jednake. 113 2. ) Skoz jedno točko (E) zunaj ravnine (GC) moremo polo¬ žiti le jedno s prvo vzporedno ravnino (AE). (Prim. sliko 148.) Kajti, ako bi bila tudi druga ravnina (n. pr. EB) vzporedna z GC, sekala bi ravnina presečnina (n. pr. F H) vse tri ravnine v treh vzporednih premah (EF, G in GH), izmed katerih bi šle dve skoz isto točko (E), kar je pa nemogoče. 3. ) Ako sta dve ravnini vzporedni s tretjo, sta tudi med seboj vzporedni. Kajti drugače bi se sekali in imeli bi dve ravnini, kateri bi šle skoz isto točko in bi bili s tretjo vzporedni. Ravnina in vzporedna prema. § 149. 1.) Ako je prema z ravnino vzporedna, je tudi vzpo¬ redna s presečnico te ravnine in ravnine, katero položimo skoz premo. Kajti, ako bi prema ( EG slika 148.) ne bila vzporedna s pre¬ sečnico (EB) prve ravnine (AC) z drugo ravnino (EB), sekali bi se premi (EG in EB), ter tudi prema EG in ravnina AC, kar pa je po pogoju nemogoče. 2. ) Prema je vzporedna z ravnino, ako je vzporedna s pijemo, katera leži v tej ravnini. Dokaz kakor za 1. 3. ) Skoz točko zunaj ravnine moremo potegniti brezkončno mnogo vzporednih prem, katere leže vse v jedni ravnini, vzpo¬ redni s prvo. Dokaz sledi iz § 148., 1., in iz 2. tega paragrafa. Katero mer (lego) v prostoru more ali mora imeti prema (ravnina), ako stoji poševno na a) vertikalni, b) horicontalni, c) poševni ravnini (premi)? Ravnina in pravokotna prema. § 150. V ravnini (FB slika 148.) moreš na premo (AB) v točki (A) samo jedno pravokotnico (A F) postaviti (§ 31., izv. a). Ako vrtiš v mislih pravi kot F A B okoli nepremičnega kraka A F, pre¬ haja AB v razne lege in načrta ravnino lika ABCD, na kateri je A F pravokotna (§ 146., 5.). Iz tega sledi. 1. ) Nobedna pravokotnica na AF v točki A ne leži zunaj ravnine, na kateri stoji AF pravokotno. 2. ) Skoz točko preme moremo le jedno pravokotno ravnino položiti. Geometrija. 8 114 3. ) V točki ravnine moremo na to le jedno pravokotnico po¬ staviti. 4. ) S točke zunaj ravnim' moremo na to le jedno pravo¬ kotnico spustiti. Kajti drugače bi imeli trikotnik z dvema pravima kotoma. 5. ) Prema stoji pravokotno na ravnini, ako stoji le na dveh v tej ravnini skoz njeno poduožišče potegnenih premah pravokotno. Kajti pravokotnici (AD in AB) ležita v isti, na premo (AF) pravokotni ravnini, katero določujeta popolnoma. 6. ) Pravokotnica je najkrajša izmed vseh daljic, katere po¬ tegnemo s točke zunaj ravnine na to; podnožišča jednako dolgih daljic so jednako oddaljena od podnožišča pravokotnice, in pod- nožišče daljše daljice je tudi od podnožišča pravokotnice bolj oddaljeno. § 151. Ako stoji prema pravokotno na ravnini, stoji na tej tudi vsaka skoz premo položena ravnina pravokotno. ED (slika 148.) stoji na AG pravokotno, torej ravnina FD, ki je položena skoz premo ED, tudi pravokotno, ker je naklonski kot EDC prav. § 152. 1.) Ako stoji jedna izmed dveh vzporednic pravokotno na ravnini, stoji na tej tudi druga pravokotno. Recimo, da je AF II ED in AF J__ AG (slika 148.). Ako po¬ ložimo skoz vzporednici ravnino FD, stoji AF pravokotno na pre- sečnici AD ter ED _L AD (§ 28., 2.). In ako stvorimo v ravnini AG DG II AB, je EDC = FAB (§ 147.), in ED ±_ DC. Torej je ED AC. 2. ) Dve pravokotnici na isto ravnino sta vzporedni. Kajti, ako bi pravokotnici ne bili vzporedni, bi mogli skoz podnožišče jedne pravokotnice potegniti premo, ki bi bila vzporedna z drugo; potem bi pa stali v tem podnožišči dve pravokotnici (1.) na istej ravnini, kar je nemogoče. Izvoda, a) Vse pravokotnice od raznih toček preme na rav¬ nino ležč v jedni sami ravnini, torej vsa njih podnožišča v jedni sami premi. b) Pravokotnice med dvema vzporednima ravninama so jednake. Pravokotnico med vzporednima ravninama imenujemo razdaljo teh ravnin. 3. ) Dve premi, vzporedni s tretjo, sta tudi med seboj vzporedni. 115 Kajti, obe te dve premi (AF in ED, slika 148.) stojita pravo¬ kotno na ravnini (AC), na kateri stoji tudi tretja (BG) pravokotno. § 153. 1.) Dve ravnini sta vzporedni, ako stoji prema na obeli pravokotno. ED (slika 148.) stoji na ravninah AC in FH pravokotno. Ko bi te dve ravnini ne bili vzporedni, sekali bi se ne samo oni, ampak tudi presečnici teh ravnin ( EG in DB) z ravnino EB ; ali preme ED, EG in DB stvarjali bi trikotnik z dvema pravima kotoma, kar je pa nemogoče. 2.) Prema, katera stoji na jedni dveh vzporednih ravnin pravokotno, je tudi pravokotna na drugi. Ako položimo skoz premo dve ravnini, sta presečnici na jedni vzporedni ravnini paroma vzporedni s presečnicama na drugi. Ker pa stoji prema na prvih dveh presečnicah pravokotno, stoji tudi takisto na drugih dveh, ali prema je pravokotna na drugi ravnini (§ 150., 5.). Vaje o osnih presekih. § 154. Premo, potegneno skoz središči osnovnih krogov cilindra, ali skoz vrh stožca in središče njegovega osnovnega kroga, ime¬ nujemo os teh teles. Pri pokončnih teh telesih stoji os na osnovni ploskvi pravokotno. (Prim. § 173., § 176.) 1. ) Kakšne like dobiš, ako sečeš a) pokočen cilinder, b) po¬ končen stožec skoz os? Take preseke imenujemo osne. 2. ) Merska števila cilindrovega polumera, stranice in osnega preseka so r, s, p; izračunaj iz dveh teh števil tretje. a) r — 27 cm, b) r — 2’2 m, c) s = 3 - 56 cim, s — 45 cm; p — 6T6 m 2 ; p = 8 - 43 d m ' 2 . 3. ) Kolik je diagonalen presek pokončnega cilindra, ako sta merski števili polumera in presekove diagonale r in d? 4. ) Merska števila polumera, osi in osnega preseka pokončnega stožca so r, o in p; izračunaj iz dveh teh števil tretje. a) r = l - 24 m, b) r — 4'8 dm, c) o — 32'6 cm, o = 5 - 16 m; p = 28'56 dm 2 ; p == 68T5 cm' 1 . 5. ) Kolika je os pokončnega stožca, ako sta merski števili plašča in premera p in d? 6. ) Kolik je plašč pokončnega cilindra, ako je mersko število osnovne ploskve p in stranice s? 116 7. ) Os pokončnega stožca ima mersko število o in osnovna ploskev mersko število p; kolik je plašč? 8. ) Pokončen stožec in pokončen cilinder imata skupno osnovno ploskev in skupno os (stožec je cilindru včrtan), kako sta si merski števili plaščev, ako je os jednaka premeru? Vaje o diagonalnih presekih. § 155. 1.) Kakšne like dobiš, ako sečeš a) kocko ali pravo¬ kotni paralelepiped skoz vzporedni diagonali osnovnih ploskev, b) pravilno šesterostrano piramido skoz vrh in diagonalo osnovne ploskve? Take preseke imenujemo diagonalne. 2. ) Merski števili kockine stranice in diagonalnega preseka sta s in p; izračunaj iz jednega števila drugo. a) s = 6 - 24 dni; b) p = 20 m 9 .; s = 842; p — 45‘8. 3. ) Merska števila stranice, diagonale mejne ploskve in diago¬ nale diagonalnega preseka (kockine diagonale) so s, d in D; izračunaj iz jednega teh števil oba druga. a) s = 6 dm 5 cm 3 mm; b) d — 312 cm; c) D = 24'56. 4. ) Koliko je površje kocke, ako je mersko število a) diagonale osnovne ploskve d, b) kockine diagonale D? 5. ) Kolika je a) ploskvena diagonala, b) kockina diagonala, ako je mersko število kockinega površja p? 6. ) Na pravokotnem paralelogramu so merska števila stičnih robov r', r" in r" in ploščine diagonalnega preseka p; izračunaj iz treh teh števil četrto. a) r' — 57 cm, b) r' = 2'7 m, c) r' — 63‘2, r" — 76 cm, r" = 3 - 6 m, r" = 56'8, r"' — 92 cm; p = 22 - 95 m 2 ; p = 24. 7. ) Izračunaj površje p pravokotnega paralelepipeda, ako so merska števila diagonalnega preseka p' in kvadratne osnovne ploskve b. 8. ) Kolik je diagonalen presek p, ako so merska števila pa- ralelepipedovik robov r' in r" in presekove diagonale d? 9. ) Kolik je diagonalen presek šesterostrane pravilne piramide, ako sta merski števili osnovnega in obstranskega roba r' in r", kedar gre diagonala presečnica a) skoz središče, b) mimo središča. 117 Simetrija z ozirom na ravnino. § 156. Dve točki ležita simetrično z ozirom na ravnino, ako ležita na nasprotnih straneh ravnine, jednako od nje oddaljeni, a v isti pravokotnici na ravnino. Ako nahajamo na vsaki strani ravnine po jedno črto, kateri imata lastnost, da ima vsaka točka jedne črte simetrično ležečo točko v drugi črti, sta črti simetrično ležeči. Isto velja za vsakovrstne druge tvore prostora. Človeško telo n. pr. obstoji iz dveh simetrično ležečih delov, na katere ga deli vertikalna ravnina; ali v zrcalu je predmetova podoba simetrično ležeča s predmetom. 3. Telesni ogli. § 157. Ako j,e (slika 149.) S vrh ogla, SA, SB, SC njegovi robi, zaznačimo ogel s S(ABC). Kakor stvarjata dva kraka dva kota (otlega in izbočnega), tako stvarjajo stranske ploskve ogla otel in izbočen ogel. Jeden ogel imenujemo vnanji ogel druzega. Tu se hočemo pečati le z ogli, v katerih je vsak roboven kot in vsak ploskven kot manjši od 180°, t. j. z otlimi ogli. Ogel ima toliko robovnih kotov in toliko stranskih ploskev kolikor robov. Po številu stranskih ploskev razločujemo tri-, četvero-, petero-, . . . . nterostrane ogle, po številu robov jih tudi imenujemo tri-, četvero-, petero-, .... n terorobovnike. Ako podaljšamo vse robe ogla čez njegov vrh, imenujemo ogel, v katerem so ti podaljški robi, sovršni ogel prvega. Pokaži to na prizmah in v sobi. Pokaži na telesih ogle in ravnine, katere ga napravljajo. — Napravi take ogle iz lepenke. Položi skoz ploskven kot tretjo ravnino, katera seče rob samo v jedni točki. — Na koliko delov razdele te ravnine brezkončni prostor? Položi skoz skupno točko četrto ravnino, katera le sosedni dve ravnini seče; takisto peto, šesto ravnino i. t. d. § 158. Dva ogla imenujemo skladna, ako ja moremo v mislih tako jednega v druzega položiti, da se krijeta popolnoma; to je pa le mogoče, ako so vsi robovni in ploskveni koti paroma jednaki, in Slika 149. 118 sicer v istem redu. V sovršnih oglih so vsi robovni in vsi ploskveni koti paroma jednaki, vender v nasprotnem redu. V obče ja ne mo¬ remo tako skupaj položiti, da bi se krila. To lahko spoznaš iz slike 150. Slika 150. Napravi iz lepenke ogla a) in b), v katerih nahajaš sledeče ro- bovne kote: a) ASB — 80°, BSC — 100°, CSA = 60», b) ASB — 60 », BSC — 100», CSA — 80», in spravi ja v tako lego, da je jeden sovršni ogel druzega. — Prepričaj se s poskusom, da jeden nikoli ne more druzega popolnoma kriti, akoravno imata robovne in ploskvene kote paroma jednake. Ogle, kateri imajo vse robovne in ploskvene kote paroma jednake, vender v nasprotnem redu, imenujemo simetričnojednake. Izvod. Vsak ogel je svojemu so vršnemu oglu simetričnojednak. § 159. V vsakem tristranem oglu (trirobovnikn) je vsota dveh robovnih kotov večja od tretjega. Recimo, da je (slika 151.) ASC največji robovni kot in Slika 151. stvorimo v njegovi ravnini <£ ASD = AC — AD, torej BC > DC in BSC <£ CSD (§ 57.). Potem je pa tudi ASB -f <£ BSC > £ ASD -f CSD ali 3C ASB + BSC > ASC. 119 Ako je pa uže vsota manjših dveh robovnih kotov večja od tretjega, velja to tem bolj za vsoto drugih dveh robovnih kotov. Napravi iz lepenke tristrane ogle, v katerih nahajaš sledeče ro¬ bo vne kote: a) ASB = 60°, BSC — 60°, CSA = 60°; b) 45°, 120°, 90°; c) 48°, 135°, 40°. Zakaj ne moreš po pogojih c) trirobovnika napraviti? § 160 . V vsakem oglu je vsota vseli robovnih kotov manjša od štirih pravih. Ako položimo skoz Mterorobovnik ravnino, katera seče vsak rob, stvorimo ob strani w trikotnikov, pri presečiščih ravnine z robi Mtrirobovnikov, in presečnice tvorijo nterokotnik. Koti vseh trikotnikov znašajo 2 nR in koti uterokotnika 2 nR — 4 R. Ako tedaj zaznačimo vsoto vseh robovnih kotov pri vrhu ogla z v in vsoto kotov na osnovnicah trikotnikov z v', je v -j- v' = 2 nR, v' j> 2 nr — 4iž (§ 159.), torej po odštevanji nejednačbe od jednačbe v <( 4 R. Narisaj na lepenko razgrnen plašč peterorobovnika S(ABCDE) ASB — 40°, 60°, 90°, 75», BSC = 60», 60», 30», 80°, CSD — 100», 60», 150», 120», D SE— 60», 60», 30», 60», ESA — 40»; 60»; 60°; 45»; in napravi potem ogel. — V katerem slučaji ne moreš napraviti ogla? Projekcija na ravnine. § 161. Ako potegnemo pravokotnico od točke A (slika 152.) na ravnino MN, imenujemo podnožišče A' projekcijo točke A na ravnino M, ravnino pa projek¬ cijsko ali vzmetno ravnino (vzmetnino). Projekcije daljic (premo¬ črtnih likov) na ravnino načr¬ tujemo, ako zvezujemo projek¬ cije njih krajišč (oglišč) z dalji¬ cami. Glej sliko 152. in sliko 153., kjer je daljica (kvadrat) v raznih legah proti ravnini MN. Projekcijo drugih tvorov dobivamo takisto, ako zvezujemo zaporedoma projekcije vsake točke s črtami. Slika 152. 120 Slika 154. Slika 153. § 162. Kot, katerega tvori prema se svojo pro¬ jekcijo, imenujemo na¬ klonski kot preme. Naklonski kot preme je najmanjši izmed vseh kotov, katere tvori ona s premami, potegnenimi skoz njeno podnožišče v ravnini. Recimo, da je (slika 154.) BC J_ jR/S) torej A C projekcija preme AB na ravnino RS. Ako potegnemo skoz A v ravnini RS daljico A D — A C in še CD in BD, je BC j> BD, ker je BCD = = 90°. In v trikotnikih BAC in BAD je <£ BAC < BAD (§ 57.). Ako je naklonski kot jednak o°, t. j. ako je daljica vzporedna z ravnino, je pro¬ jekcija jednaka daljici; z večjim naklonskim kotom postaje projekcija manjša, in ako je naklonski kot 90°, t. j. ako stoji daljica pravo kotno na ravnini, je njena projekcija le točka. A A' je pravokotna na ravnino MN; kaj je skupna projekcija vseh toček te pravokotnice na ravnino MN.P — Ali določuje projekcija točke tudi njeno lego? —- Postavi AA' _j_ MN in BB' J MN in potegni več daljic, katere imajo svoja krajišča v teh pravokotnicah; določi skupno pro¬ jekcijo teh daljic na ravnino MN. Ali določi projekcija daljice nje kolikost in lego? — Določi projekcijo četvero-, petero-, šesterokotnika na rav¬ nino MN. Kakšen tvor je projekcija kroga, ako je krožna ploskev a) vzporedna z vzmetno ravnino, b) poševna proti vzmetni ravnini, c) pravokotna na vzmetni ravnini? — Ali moreta mnogokotnik in krog imeti isto projekcijo? — Kedaj je projekcija krive črte zopet kriva črta, kedaj prema? § 163. Točka, daljica, premočrten lik i. t. d. imajo za dano ravnino popolnoma določene projekcije. Obratno pa projekcija še ne določuje popolnoma oziroma točke, daljice i. t. d. Kajti vse točke pravokotnice, postavljene v projekciji na ravnino, imajo isto projek¬ cijo. Ako pa projiciramo točko na dve nevzporedni ravnini, dobimo dve projekciji, in pravokotnici, postavljeni v projekcijah na teh ravninah, se sečeta v točki ter jo določujeta popolnoma. 121 Za geometrijsko načrtovanje tvorov jemljemo zategadelj dve vzmetni ravnini, jedno horicontalno H (slika 155.) in jedno verti¬ kalno V. Projekcijo na horicontalno ravnino imenujemo horicontalno Slika 155. projekcijo ali očrt, in projekcijo na vertikalno ravnino vertikalno projekcijo ali načrt; presečnico AX obeh vzmetnih ravnin pa nj ij in o os. V sliki 155. sta a’ in a" taki projekciji točke a, in sicer je prva očrt, druga pa načrt točke a, ker je aa' \ H in aa" V. Ravnina, katero položimo skoz pravokotnici aa' in aa ", seče vzmetni ravnini v premah a'm in a"m, in projekciji sta nasprotni oglišči pravokotnika aa"ma'. Tisto velja za vsako drugo točko, tako, da je v sliki 155. a'b' očrt in a"b" načrt daljice ab. Očrt in načrt določujeta lego in dolžino daljice popolnoma. Kakšni projekciji ima daljica v prostoru, ako je aj z vertikalno, b) s horicontalno, c) z obema vzmetnima ravninama vzporedna; ako stoji d) na vertikalni, e) horicontalni vzmetni ravnini pravokotno; ako leži f) v vertikalni, g) v horicontalni vzmetni ravnini? — Kolika je daljica, ležeča v vertikalni vzmetni ravnini, ako sta njeni krajišči od horicontalne vzmetne ravnine za 30 mm in 48 mm oddaljeni, in ako je nje horicontalna pro¬ jekcija 20 mm? — Kolika je projekcija 60 dm dolge daljice, ležeče v horicontalni vzmetni ravnini, ako sta nje krajišči 20 dm in 45 dm od verti¬ kalne vzmetne ravnine oddaljeni? Ker ležita pri risanji obe projekciji na papirji, t. j. v isti rav¬ nini, si mislimo horicontalno vzmetno ravnino zavrteno okolo osi AX za 90° v ravnino vertikalne vzmetne ravnine. Po tem leži očrt pod in načrt nad osjo (slika 155., II); obe projekciji točke pa ležita v jedni in isti pravokotnici na os. 122 a) Narisaj projekcije daljic prejšnje vaje. b) Narisaj očrt in načrt, točke, katera leži v V in je od H za h oddaljena. h = 0 031 m, 0 051 m. c) Narisaj očrt in načrt točke, katera leži v H in je od V zn v oddaljena. v — 0'025 m, 0'044 m. d) Narisaj očrt in načrt točke, katera je od V in H, oziroma za V in za h oddaljena. v == 0 025 m, 0'055 m; h = 0'058 m, 0'031 m. e) Daljica AB stoji pravokotno na H; nje razdalja od V je v in spodnje krajišče A je od H za h oddaljeno; narisaj očrt. in načrt te daljice. AB — 0'04 m, v = 0'025 m, h = 0'018 m. f) Narisaj očrt in načrt 45 mm dolge daljice, katera je vzporedna z vsako vzmetno ravnino in je od horicontalne 25 mm in vertikalne 33 mm oddaljena. g) Daljica AB je vzporedna s H in poševna proti V; nje razdalja od H je h, razdalji A in B od V sta oziroma a in b; narisaj očrt in načrt te daljice. AB — 0'035 m, h = 0022 m, a = 0'016 m, b = 0 025 m. h) Daljica AB je vzporedna z V in poševna proti H; njena razdalja od V je v, razdalji krajišč A in B od H sta oziroma a in b; narisaj nje očrt in načrt. AB = 0'035 m, v = 0'021 m, a = 0'021 m, b — 0‘032 m. i) Daljica AB je poševna proti H in proti V; razdalji krajišč A in B od H sta oziroma a in b, od V a in b in dolžina nje horicontalne projekcije je A'B'; narisaj nje očrt in načrt. A'B' = 0-022 m, a = 0'008 m, b = 0'033 m, a' = 0-030 m, b’ = 0'040 m. Kakor pa narisujemo očrt in načrt daljic, takisto tudi posa¬ mezne stranice premočrtnega lika ter lik sam. Kakšni projekciji ima krog v prostoru, ako je a) vzporeden s horicontalno vzmetno ravnino; b) vzporeden z vertikalno vzmetno ravnino; c) pravokoten na obeh vzmetnih ravninah; d) pravokoten na lioricontalni vzmetni ravnini in poševen proti vertikalni; e) pravokoten na vertikalni vzmetni ravnini in poševen proti horicontalni; f) jioševen proti vertikalni in horicontalni vzmetni ravnini ? a) Kvadrat se stranico v = 0’023 m je vzporeden z V (H) in od te oddaljen za a — 0'03 m, stranica pa vzporedna s H (V) je od te za /^ — 001 m oddaljena. Narisaj njegov očrt in načrt. 123 b) Narisaj očrt in načrt taistega kvadrata, ako ni stranica, ampak diagonala s H (VJ vzporedna in od te za a oddaljena. c) Narisaj očrt in načrt jednakostraničnega trikotnika se stranico .r = 0 3 cm. Recimo, da je vzporeden s Ii(V) in od te za m = 0 025 m oddaljen, in da je stranica vzporedna s V (H) in od te za n = 0'1 cm oddaljena. d) Narisaj očrt in načrt pravilnega šesterokotnika se stranico 5 = = 0 2 cm. Šesterokotnik je vzporeden s H in od te za h = 0 03 m od¬ daljen, njega stranica je vzporedna z Vin od te za v = 0’1 cm oddaljena. e) Narisaj očrt in načrt romba z diagonalama d = 3'5 cm in d { = = 0'3 cm. Romb je vzporeden z V in od te za v = 2'1 etn oddaljen, večja diagonala je vzporedna s H in od te za h 2'5 cm. Drugi oddelek. O prostorih, in telesi hi. 1. O prostorih. § 164. Ravnina meji prostor na jedno, klin na dve strani; stranske ploskve telesnega ogla pa prostora samo na jedno stran ne omejujejo; tak prostor imenujemo piramidast. Piramidast prostor postaja, ako premikamo v mislih trak ob stranicah mnogokotnika tako, da gre ves čas skoz nepremično točko zunaj ravnine mnogokotnika. Premikan trak, tako imenovana tvorna prema, napisnje stranske ploskve piramidastega prostora. Obseg mnogokotnika imenujemo (črto) vodnico, nepremično točko vrli in vse stranske ploskve skupaj obstransko površje piramidastega prostora. Vodnica more biti tudi pravilen mnogokotnik z brezkončno mnogo in brezkončno majhnimi stranicami, t. j. krog; potem je ob¬ stransko površje kriva ploskev. To krivo ploskev imenujemo plašč in od nje omejen prostor stožkovit (koničen). Kolikokrat izpremeni tvorna prema med premikanjem svojo mer, ako je vodnica pravilen tri-, četvero-, šestero-, dvanajstero-, štiriindvajsetero-, petdesotero-, tisočerokotnik, krog? Ako pa premikamo tvorno premo ob obsegu mnogokotnika (kroga) na okolo ves čas vzporedno s prvo lego, omejuje obstransko površje (plašč) prizmatičen (valjast) prostor. 124 Piramidast (koničen) prostor prehaja v prizmatičen (valjast), ako oddaljujemo vrh od ravnine vodnice zmerom bolj; vrh, od- maknen v brezkončno razdaljo od ravnine vodnice, izpremeni prva dva prostora v druga dva, katera nista na dveh straneh omejena. Trak, kateri gre skoz vrh koničnega prostora in skoz središče vodnice, je os tega prostora. Tudi valjast prostor ima os; ta je trak, kateri gre skoz središče vodnice, vzporedno s tvorno premo. Na plašči koničnega ali valjastega prostora moremo le v meri tvorne preme narisati preme; te imenujemo stranice onih prostorov. Na piramidastem in prizmatičnem prostora nahajamo toliko robov, kolikor ima vodnica stranic. Izvod. Robi prizmatičnega ali stranice valjastega prostora so vzporedni. § 165. 1.) Ako sečenio piramidast prostor z dvema vzpo¬ rednima ravninama tako, da sečeta te ravnini vse njegove robe, tvorijo a) presečnice dva podobna lika in b) ploščini teli likov sta si kakor kvadrata njijinili razdalj od vrha. Slika 156. a) Recimo, da je (slika 156.) ravnina ACD II z ravnino acd in SP ACD ter Sp acd, potem je tudi ab II AB, bc II BC, cd II CD i. t. d. (§ 147., 1.) in bae = BAE, cba = <£; CBA, dcb = DCB i. t. d. (§ 150.). Nadalje je A abS co A ABS, A bcS oo = BCS, A cdS cv> A CDS i. t. d., torej ab : AB = Sa : SA — bc : BC = = Sc : SC — cd : CD i. t. d. in abcd .... cx3 ABCD .... b) Ker je ap II AP (§ 147., 1.), je tudi Sp : SP = Sa : SA = ab : AB ali Šp* : SP* = — ab* : AB 2 ; in ker sta si po § 94. : ABCD abcd . . . : ABCD . — ab* : AB*. sta si tudi . = Sp* : SP*. 2.) Ako sečemo plašč koničnega prostora z dvema vzpored¬ nima ravninama na okolo, tvorita presečnici dva podobna lika in njijini ploščini sta si kakor kvadrata njijinili razdalj od vrha. Sledi iz 1., ker si moremo koničen prostor misliti piramidast. Izvod. Ako gre jedna vzporednih ravnin skoz ravnino vod¬ nice, sta podobna lika kroga. 125 Ofiomnja. Okrog in okrog sklenjena presečnica, katera ni vzporedna z ravnino vodnice, je elipsa. Ako pa sečemo koničen prostor z ravnino, katera je se stranico vzporedna, ne seče ona plašča okrog in okrog in presečnica je parabola; takisto seče ravnina plašč koničnega prostora v hiperboli, ako ga ne seče okrog in okrog in tudi ni vzporedna z nobedno stranico. Elipso, parabolo in hiperbolo imenujemo zategadelj stožkosečnice. 3. ) Ako sedemo prizmatičen prostor z dvema vzporednima ravninama tako, da sečeta ravnini vse njegove robe, tvorijo pre- sečnice dva skladna lika. Kajti ona imata vse kote (§ 150.) in vse stranice (§ 61.) paroma jednake. 4. ) Ako sečemo plašč valjastega prostora na okolo z dvema vzporednima ravninama, tvorita presečnici dva skladna lika. Sledi iz 3., ker si moremo valjast prostor misliti prizmatičen. Izvod. Ako gre jedna vzporednih ravnin skoz ravnino vod¬ nice, sta skladna lika kroga. 2. O lelesili. § 166. Ravnina, katera seče piramidast prostor tako, da seče vse njegove robe, zapira tega na vse strani. Ta na vse strani omejen prostor imenujemo piramido. Telo SABCD (slika 157.) je piramida. Piramido omejujejo trikotniki se skupnim vrhom v vrhu piramide in mnogokotnik, kateri ima osnovnice onih trikotnikov za stranice. Trikotnike imenujemo obstranske ploskve, mnogokotnik osnovno ploskev (osnovnino) in raz¬ daljo vrha od osnovne ploskve višino piramide. Stranice osnovne ploskve imenujemo osnovne robe, vse druge pa obstranske robe. Število obstranskih robov je jednako številu obstranskih ploskev in tudi jednako številu osnovnih robov. Ravnino, katero položimo skoz vrh in skoz diagonalo osnovne ploskve, imenujemo diagonalen presek (diagonalno presečnino) piramide. Diagonalni preseki piramide so trikotniki. Presečne ploskve, vzporedne z osnovno ploskvijo, so tej po¬ dobne (§ 165., 1.) in one so v perspektivni legi (§ 87.). Slika 157. 126 § 167. Po številu obstranskih ploskev razdeljujemo piramide na tri-, četvero-, petero-, . . . Mterostrane. Tristrano piramido ime¬ nujemo tudi četverec (tetraeder); v ožjem smislu je pa tetraeder le ona tristrana piramida, katera je omejena le od jednakostraničnih trikotnikov. Piramido imenujemo pokončno, ako so obstranski robi jednaki. V pokončni piramidi leže ogli osnovne ploskve v obodu kroga, kateri ima podnožišče višine za središče (primerjaj § 150., 6.). Ako je osnovna ploskev pokončne piramide pravilen mnogokotnik, imenu¬ jemo jo pravilno piramido. Piramido, katera ni pokončna, imenujemo poševno. Obstranske ploskve pokončne piramide so jednakokraki trikotniki; na pravilni piramidi so ti trikotniki tudi skladni. Razdaljo vrha od osnovnice takega trikotnika imenujemo obstransko višino pravilne piramide. Diagonalni preseki pravilne piramide so tudi jednakokraki trikotniki; presečne ploskve, vzporedne z osnovno ploskvijo, so nji podobni pravilni mnogokotniki. Vsako piramido moremo z diagonal¬ nimi preseki razdeliti na isto toliko visoke tristrane piramide. Dve piramidi sta skladni, t. j. moremo ji v mislih tako jedno v drugo položiti, da se krijejo ploskve, katere ji meje, ako imata vse robe, robovne in plosk vene kote v istem redu paroma jednake. Simetrični pa sta, ako imata sicer vse sestavine paroma jednake, vender v nasprotnem redu. a) Koliko je v 3-, 4-, 5-, . . . »strani piramidi število 1. mejnih ploskev, 2. robov, 3. oglišč, 4. robovnih kotov? b) Kolika je vsota vseh robovnih kotov v 3-, 5-, 8-, 20-, 25 strani piramidi? c) Število mejnih ploskev piramide je M; koliko je število 1. robov, 2. oglov, 3. robovnih kotov? M— 4, 6, 10, 13, 19, m. d) Število robov piramide je R; koliko je število 1. obstranskih ploskev, 2. oglov, 3. robovnih kotov? e) Število oglov piramide je O; koliko je število 1. mejnih ploskev, 2. klinov, 3. robovnih kotov? f) Ako pomenijo O, M, R oziroma število oglov, mejnih ploskev in robov, velja Eulerjev zakon O -j— R = M -j- 2. Izrazi ta zakon z besedami. § 168. Dve vzporedni presečni ploskvi piramidastega prostora zapirata z obstranskim površjem ta prostor na vse strani; ta prostor 127 imenujemo okrajšano piramido. To telo je namreč piramida, okraj¬ šana za manjšo, tako zvano dopolnilno piramido. Okrajšano piramido omejujejo trapeči in dva vzporedna mnogo- kotnika; prve imenujemo nje obstranske ploskve, druga dva nje osnovni ploskvi. Izvod. Osnovni ploskvi sta podobni (§ 165., 1.). Takisto kakor pri piramidi razločujemo tudi pri okrajšani piramidi osnovne in obstranske robe, in takisto razdeljujemo okraj¬ šane piramide na tri-, četvero-, petero-, . . . reterostrane, na po¬ končne in poševne. Razdaljo obeh osnovnin imenujemo višino okrajšane piramide. Diagonalni preseki okrajšane piramide so trapeči, presečne ploskve, vzporedne z osnovnima ploskvama, so tema podobne. Obstranske ploskve pokončne okrajšane piramide so jednako- kraki trapeči; ti so na okrajšani pravilni piramidi tudi skladni. Višina trapeča je obstranska višina pravilne okrajšane piramide. O skladnosti in simetriji okrajšane piramide primerjaj § 167. Dopolnilna piramida je celi piramidi podobna, ker sta obe v istem redu omejeni od podobnih ploskev in ker imata v istem redu jednake robovne in ploskvene kote. Ako nahajamo na dveh pira¬ midah podobne ploskve in jednake kote pa v nasprotnem redu, sta simetrično podobni. a) Recimo, da ima piramida višino V = 0'20 m, in obstranski rob S = 0'25 m; kolika je višina dopolnilne piramide, ako je nje istoležni rob j- = OTO mP b) Okrajšana piramida je V= 0'36 m visoka in ima obstranski rob s — 0'45 m; kolika je višina cele piramide, ako je istoležni obstranski rob ^ = OTO m? c) Višina dopolnilne piramide je ~ višine cele piramide; kako sta si njijini osnovni ploskvi? (§ 165., 1.). d) Osnovni ploskvi dveh piramid sta si kakor 9 : 16; kako sta si njijini višini? e) Višini dveh podobnih piramid sta V = 0 25 m, v = 0'12 m; kolika je osnovna ploskev druge piramide, ako je ona prve o = 2T6 cm' lc i Geometrijski naris piramide. § 169. Ako razgrnemo vse mejne ploskve (mejnine) telesa zdržema po jedni ravnini, dobimo njega mrežo. Projekcijo telesa na ravnino dobivamo, ako vzmetamo vse njegove črte in ploskve na to ravnino. 128 Z očrtom in načrtom telesa so določene črte in ploskve, od katerih zavisi prostornina teles. Očrt in načrt torej opisujeta geome¬ trijsko njegovo prostornino. V sliki 158. vidimo v I očrt, v II načrt in v III mrežo četverostrane piramide. Slika 158. V očrtu je osnovna ploskev, v načrtu pa višina piramide tolika, kolikoršna je v resnici. V mreži so obstranske ploskve se skupnim vrhom jedna zraven druge in osnovna ploskev se drži spodej jednega trikotnika. Projekciji okrajšane piramide dobimo, ako določimo projekciji nje osnovnih ploskev in njijinih oglišč, s katerimi so tudi uže do¬ ločene projekcije obstranskih robov. Ker so osnovni robi paroma vzporedni, so tudi njih projekcije. 1. ) a) Načrtaj mrežo pravilne tri-, četvero-, petero-, šesterostrane piramide tako, da se vse obstranske ploskve drže osnovne ploskve. b) Stvori iz lepenke take piramide. — Napravi takisto okrajšane piramide iz lepenke. 2. ) a) Narisaj projekciji pravilne tri-, četvero-, šesterostrane piramide, ako je osnovni rob J = 0 02 m in višina v = 0'053 m in osnovna ploskev vzporedna s H v razdalji a = 0'01 m. b) Pokončna piramida ima pravokotnik se stranicama a) = 0'048 m, b) — 0'021 m za osnovno ploskev in je visoka 0'06 m; narisaj nje očrt in načrt, ako leži osnovna ploskev v H. c) Narisaj projekciji piramide, kakor zahteva prejšnja naloga, in določi projekciji presečne ploskve, katera je vzporedna z osnovno ploskvijo in od vrha 0 025 m oddaljena. d) Narisaj projekciji poševne piramide, katera ima katerikoli petero- kotnik za osnovno ploskev v H. e) Narisaj projekciji pokončne okrajšane piramide, katera ima pra¬ vilen s H vzporeden peterokotnih za osnovno ploskev, ako je višina v = = 0'042 m in rob zgornje osnovne ploskve polovica vsakega spodnje. 129 Prizma. § 170. Dve vzporedni presečni ploskvi prizmatičnega prostora omejujeta s obstranskim površjem vred prostor na vse strani, in ta prostor imenujemo prizmo. Prizma je omejena od obstranskih ploskev in dveh osnovnih ploskev. Presečnice po dveh obstranskih ploskev imenujemo obstranske robe in presečnice osnovne ploskve se obstranskimi osnovne robe; razdaljo osnovnih ploskev pa višino prizme. Izvodi. 1.) Osnovni ploskvi sta skladna mnogokotnika. Sledi iz § 164., 3. 2. ) Vse obstranske ploskve so paralelogrami (§ 164., izv., § 145., 1.). 3. ) Vsi obstranski robi so jednaki. Ravnino, katero položimo skoz dve istoležni diagonali osnovnih ploskev, imenujemo diagonalen presek prizme. Izvodi. 1.) Vsak diagonalen presek prizme je paralelogram (§ 145 ., 1 .). 2. ) Vsaka presečna ploskev, vzporedna z osnovno, je s to skladna ■(§ 165., 1.). 3. ) Vsako mnogostrano prizmo moremo z diagonalnimi preseki razdeliti na isto toliko visoke tristrane prizme. § 171. Število obstranskih robov prizme je jednako številu osnovnih robov. Po številu obstranskih ploskev razdeljujemo prizme na tri-, četvero-, petero-, . . . wterostrane prizme. Ako stoje obstranski robi pravokotno na osnovni ploskvi, je prizma pokončna, drugače pa poševna; pokončna prizma je pra¬ vilna, ako je osnovna ploskev pravilen mnogokotnik. Prizmo, na kateri sta osnovni ploskvi paralelograma, imenu¬ jemo paralelepiped ; pokončen paralelepiped pa, na katerem je osnovna ploskev pravokoten paralelogram, pravokoten paralelepiped. Pravokoten paralelepiped z jednakimi robi imenujemo kocko (kubus) in vsak nje rob stranico kocke. Vsak paralelepiped omejeva šest paralelogramov, vsak pravokoten paralelepiped šest pravokotnikov in vsako kocko šest kvadratov. O skladnosti, simetriji in podobnosti prizem velja isto, kar smo o tem povedali pri piramidah (v § 167. in § 168.). Geometrija. , 9 130 a) Koliko je v 3-, 4-, o , . . . n strani prizmi število 1. mejnili ploskev, 2. osnovnih robov (klinov), 3. obstranskih robov (klinov), 4. vseh robov (klinov), 5. oglišš (telesnih oglov), 6. robovnih kotov? b) Število mejnih ploskev prizme je M; koliko je število 1. osnovnih robov, 2. obstranskih robov, 3. robov, 4. oglov, 5. robovnih kotov? M =z 11, 17, 23, 27, m. c) Število osnovnih robov na prizmi je 7? 0 ; koliko je število 1. vseh robov, 2. obstranskih klinov, 3. oglov, 4. mejnih ploskev, 5. robovnih kotov? R 0 — 8, 12, 28, 42, r. d) Število obstranskih robov na prizmi je Rp; koliko je število 1. osnovnih klinov, 2. vseh klinov, 3. oglov, 4. robovnih kotov, 5. mejnih ploskev? Rp = 5, 8, 13, 27, r. e) Število vseh robov na prizmi je R; koliko je število 1. osnovnih robov, 2. obstranskih klinov, 3. telesnih oglov, 4. mejnih ploskev? R — 9, 15, 21, 27, r. f) Število oglov prizme je O; koliko je število 1. vseh klinov, 2. mejnih ploskev, 3. osnovnih robov? <9= 8, 24, 46, 52, o. g) Število robovnih kotov prizme je K; koliko je število 1. obstran¬ skih ploskev, 2. osnovnih klinov, 3. telesnih oglov? K — 18, 30, 48, 72, k. h) Ako pomenijo O, M, R oziroma število oglov, mejnih ploskev in robov velja Eulerjev zakon O -(- M = R -)- 2. Izrazi ta zakon z besedami. Geometrijski naris prizme. § 172. V sliki 159. I in II vidimo očrt in načrt, v III pa mrežo pokončne peterostrane prizme, katera stoji se svojo osnovno Slika 159. 131 ploskvijo na horicontalni ravnini in jedna njena obstranska ploskev je vzporedna z vertikalno ravnino. Očrt obeh osnovnih ploskev je z njima skladen, njijin načrt je pa daljica. Ako zvežemo načrte pripadajočih oglišč, dobimo načrte ob¬ stranskih robov. V očrtu vidimo osnovno ploskev, v načrtu pa višino prizme, kakeršna je v resnici. Mrežo prizme dobimo, ako načrtamo obstranske ploskve (pa¬ ralelograme, pravokotnike), tako jedno zraven druge, da se drže skupaj, in osnovni ploskvi nad in pod jednim paralelogramom. 1. ) a) Narisaj mrežo pokončne tri-, četvero-, petero-, šesterostrane prizme, na kateri sta osnovni ploskvi pravilna mnogokotnika. b) Stvori iz lepenke take prizme. 2. ) a) Načrtaj očrt in načrt pokončne prizme s kvadratno osnovno ploskvijo, ako je osnovni rob s — 0’054 m in obstranski rob v = 0’065 m, in ako je diagonala osnovne ploskve naklonjena proti V za 60 °. b) Narisaj očrt in načrt pravokotnega paralelepipeda, ako je jeden osnovni rob a = 0'055 m, drugi b = 0'065 m in višina v = 0'073 m, in ako je osnovni rob naklonjen proti V za 45 °. c) Osnovna ploskev pokončne 0'070 m visoke prizme je romb. Jedna diagonala osnovne ploskve je d = 0’061 m, druga d' = 0'045 m, in prva je naklonjena proti V za 30 °. Narisaj očrt in načrt te prizme. d) Narisaj očrt in načrt pravilne 1. peterostrane, 2. šesterostrane prizme z osnovnim robom s — 0'030 m in z višino V — 0'057 m. Stožec. § 173. Ravnina, katera seče koničen prostor na okolo, zapira tega s plaščem vred na vse strani. Ta na vse strani omejen prostor imenujemo stožec. Stožec, kakeršnega hočemo tu v mislih imeti, omejujeta kriva ploskev in krog; prvo imenujemo njega plašč, drugo pa njega osnovno ploskev. Razdaljo od vrha do osnovne ploskve imenujemo višino, daljico od vrha do središča osnovne ploskve os stožca. Stožec ima samo jeden rob in ta je meja osnovni ploskvi. Preme, katere moremo potegniti od vrha stožca do točke v obodu osnovne ploskve, imenujemo njega stranice. Ako vrtimo pravokoten trikotnik okolo jedne katete, napisuje njegova ploskev stožec; os tega stožca stoji na osnovni ploskvi pravokotno; ako stoji os stožca pravokotno na osnovni ploskvi, je stožec pokončen, drugače pa poševen. 132 V pokončnem stožci sta os in višina ista daljica, in vse stra¬ nice so jednake. Pokončen stožec, na katerem je stranica jednaka premeru osnovne ploskve, imenujemo jednakostran. § 174. 1.) Presečne ploskve, vzporedne z osnovno ploskvijo stožca, so krogi (§ 165., izv. 2.), in vrh je vnanje podobnišče teh krogov. Kajti vsaka prema, katei'a gre skoz kraj išči dveh vzporednih polumerov, gre tudi skoz vrh stožca. 2.) Presečna ploskev skoz os je trikotnik. Kajti vsaka prema, položena skoz os, seče osnovno ploskev v premeru in plašč v dveh stranicah stožca. Presečno ploskev skoz os in višino imenujemo znamenljiv trikotnik; njega ravnina stoji na osnovni ploskvi pokončnega stožca pravokotno (§ 153.) in razdeljuje stožec na dva simetrična dela. Dve presečni ploskvi koničnega prostora, vzporedni z ravnino vodnice, zapirata s plaščem vred na vse strani omejen prostor, ka¬ terega imenujemo okrajšan stožec. To telo je namreč stožec, okrajšan za manjši tako zvani dopolnilni stožec. Okrajšan stožec omejujeta dva vzporedna nejednaka kroga, njega osnovni ploskvi, in kriva ploskev, njega plašč. Razdaljo osnovnih ploskev imenujemo višino okrajšanega stožca. Okrajšan stožec je pokončen ali poševen, kakor stožec sam. Diagonalni preseki okrajšanega stožca so trapeči; presečne ploskve, vzporedne z osnovnima ploskvama, so krogi. O skladnosti in simetriji stožcev primerjaj § 16 7., o podobnosti § 1 68 . § 175. V sliki 160. I vidimo očrt, v II načrt pokončnega stožca; z očrtom jo narisana osnovna ploskev (polumer), z načrtom višina in stranica stožca, kakeršni sta v resnici. Geometrijski naris stožca. Slika 160. o >a 133 Plašč pokončnega stožca, po ravnini razgrnen, je izsek kroga (slika III), v katerem je polumer oa stranica stožca in lok jednak obodu, t. j. 3ykrat tolik kakor premer osnovne ploskve. Ako na¬ rišemo še krog, ki je jednak osnovni ploskvi in z lokom v dotiki, napravili smo mrežo stožca (slika III). 1. ) Narisaj mrežo a) pokončnega stožca, b) pokončnega okrajšanega stožca in napravi ji iz lepenke. 2. ) a) Narisaj projekciji pokončnega stožca, na katerem je polumer osnovne ploskve r =: 0'02 m in višina v = 0‘058 m, ako je: 1. Os stožca pravokotna na H; 2. os pravokotna na V; 3. os vzporedna s Via proti H naklonjena za 30°; 4. os vzporedna s H in proti V naklonjena za 45°. b) Načrtaj projekciji pokončnega stožca, na katerem je polumer osnovne ploskve r = 0 028 m in višina v = 0’06 m, ako leži osnovna ploskev v H; potem narisaj projekciji 1. dveh presečnih ploskev, vzporednih z osnovno ploskvijo, 2. presečne ploskve, katera gre skoz sredo osi in stoji pravokotno na V in je proti H za 30 0 naklonjena, 3. presečne ploskve, katera gre vzporedno se stranico skoz sredo osi in stoji pravokotno na V. Cilinder. § 176. Dve presečni ploskvi valjastega prostora, vzporedni z ravnino vodnice, zapirata s plaščem vred na vse strani omejen prostor, katerega imenujemo valj (cilinder). Cilinder omejujejo kriva ploskev in dva kroga; prvo imenujemo njega plašč, drugi dve pa njega osnovni ploskvi. Meji osnovnih ploskev sta jedina roba cilindra. Razdaljo osnovnih ploskev imenu¬ jemo višino in daljico med središčema osnovnih ploskev os cilindra. Preme, katere moremo potegniti na plašči od točke v obodu jedne osnovne ploskve do točke v obodu druge osnovne ploskve, ime¬ nujemo stranice; te so vzporedne in jednake. Ako stoji os cilindra pravokotno na osnovnih ploskvah, je cilinder pokončen, drugače pa poševen. Pokončen cilinder, na ka¬ terem je stranica jednaka premeru osnovne ploskve, imenujemo jednakostran. Pravokotnik, katerega vrtiš okolo jedne njegove nepremične stranice, napisuje tudi pokončen cilinder. § 177. 1.) Presečne ploskve, vzporedne z osnovnima ploskvama cilindra, so krogi, skladni z osnovnima ploskvama (§ 165., izv. 4.). 2.) Presečna ploskev, položena skoz os cilindra ali vzporedno z njo, je paralelogram. 134 Kajti vsaka ravnina, katera gre skoz os ali vzporedno z njo, seče plašč v dveh vzporednih in jednakih stranicah. Presečna ploskev, položena skoz os pokončnega cilindra, je pravokotnik in skoz os jednakostranega cilindra kvadrat. Znamenljiv paralelogram, t. j. presečna ploskev skoz os in višino pokončnega cilindra, razdeljuje tega na dva simetrična dela. Ako sečemo cilinder z ravnino, katera ni vzporedna ne z osjo in ne z osnovnima ploskvama, je presečna ploskev elipsa. a) Cilinder leži s plaščem na horicontalni ravnini; kakšno lego ima njega os proti isti ravnini in kakšno ploskev napiše ona, ako se cilinder potaka? — Kakšen lik napiše črta, v kateri se cilinder dotika ravnine? b) Na koliko strani moreš 1. kocko, 2. pravilno «terostrano prizmo, 3. cilinder jednako lahko prevreči, ako stoji vsako teh teles na osnovni ploskvi? c) Koliko presečnih ploskev razdeljuje 1. pokončen, 2. poševen cilinder na dva simetrična dela? O skladnosti in simetriji cilindrov primerjaj § 167. Geometrijski naris cilindra. § 178. Plašč pokončnega cilindra, razgrnen po ravnini, je pravokotnik, v katerem je osnovnica jednaka obodu, t. j. 3\krat tolika kakor premer osnovne ploskve, in višina jednaka višini cilindra. V mreži pokončnega cilindra (slika 161., III) vidiš zraven razgr- nenega plašča še dva kroga (osnovni ploskvi), katera se dotikata osnovnice in tej nasprotne stranice pravokotnika. Slika 161. Z očrtom (slika I) je narisana osnovna ploskev (polumer), z načrtom (slika II) višina pokončnega cilindra, kakeršni sta v resnici. Narisaj mrežo pokončnega cilindra in napravi ga iz lepenke. a) Pokončen cilinder, na katerem je premer osnovne ploskve 2 r = = 0'03 m in višina v — 0085 m, stoji na horicontalni vzmetni ravnini H; 135 narisaj očrt in načrt cilindra. Kaj je očrt in načrt 1. presečnih ploskev, vzporednih z osnovno ploskvijo, 2. presečne ploskve, katera gre skoz sredo osi in je naklonjena proti H za 45 0 (60 °)? b) Narisaj projekciji jednakostranega cilindra z višino v = 0'032 m, ako je njega os vzporedna z F a proti H za 45 0 naklonjena. c) Narisaj projekciji kocke se stranico a = 0'05 m in njej vpisanega jednakostranega cilindra, ako je os cilindra z V vzporedna in proti H za 45 0 naklonjena. § 179. Telesa, katera so samo od ravnin omejena, imenujemo ravnoploska ali poliedre, vsa druga pa krivoploska. Poliedri so pravilni (v ožjem pomenu), ako so omejeni samo od pravilnih skladnih mnogokotnikov, kateri stvarjajo skladne ogle. Pravilnih poliedrov je mogočih le pet. Dokaz. Ker ima vsak ogel pravilnega telesa najmenj tri robovne kote, in ker je vsota teh kotov zmerom manjša od 4 R, moremo v jednem oglu nahajati le: 1. ) 3 kote po 60° — to telo je (pravilni) tetraeder (slika 162., I); 2. ) 4 kote po 60° to telo je (pravilni) oktaeder (slika 162., II); 3. ) 5 kotov po 60° — to telo je (pravilni) ikozaeder (slika 162., III); Slika 162. I II III 4. ) 3 kote po 90° — to telo je (pravilni) heksaeder (slika 163.); 5. ) 3 kote po 108° — to telo je (pravilni dodekaeder (slika 164.). Slika 163. Slika 164. Šest kotov po 60°, 4 po 90°, 4 po 108° i. t. d. znašajo že 4 11 ali pa še več. 136 Tctraeder je omejen od 4 jednakostraničnih trikotnikov, ima 6 robov in 4 ogle. Oktaeder je omejen od 8 jednakostraničnih trikotnikov, ima 12 robov in 6 oglov. Ikozaeder je omejen od 20 jednakostraničnih trikotnikov, ima 30 robov in 12 oglov. Heksaeder je omejen od 6 kvadratov, ima 12 robov in 8 oglov. Dodekaeder je omejen od 12 pravilnih peterokotnikov, ima 30 robov in 20 oglov. V vsakem pravilnem telesa je točka, katera je a) od vsake mejne ploskve, b) od vsakega ogla in c) od vsakega roba jednako oddaljena. To točko imenujemo središče telesa. Geometrijski naris pravilnih teles. § 180. a) Tetraeder (četverec). Mrežo tetraedra narediš, ako zvežeš polovišča stranic jednako- straničnega trikotnika (slika 165., III). Slika 165. Sliki 165., 1 in II, predstavljate očrt in načrt tetraedra. b) Heksaeder (šesterec, kocka, kubus). Mrežo kocke napraviš, ako narišeš zdržema 4 kvadrate (obstranske ploskve) in na nasprotnih straneh jednega kvadrata še dva kvadrata (slika 166., III). V sliki 166., I in II, vidiš očrt in načrt kocke. c) Oktaeder (osmerec). Slika 166. 137 Za to in za sledeča pravilna telesa hočemo nari¬ sati le mrežo. Mreža oktaedra obstoji iz dveh skladnih mrež tetra- edra, kateri se držita z jedno stranjo skupaj (slika 167.). d) Ikozaeder (dvajse- teree). Mrežo tega telesa vidiš v sliki 168. e) Dodekaeder (dva¬ najstere«;). Mrežo vidiš v pri- dejani sliki 169. 1. ) Ali velja tudi za pra¬ vilna telesa Eulerjev zakon O -j- M = J? -j- 2? 2. ) aj Povej ravnine, ka¬ tere dele pravilna telesa simetrično. b) Poišči na pravilnih telesih 1. vzporedne robe, 2. vzpo¬ redne ploskve. c) Primerjaj dodekaeder z ikozaedrom, heksaeder z okta- edrom oziraje se na število oglov in ploskev. 3. ) a) Narisaj na lepenko mrežo 1 . tetraedra z robom a — 1 cim; 2. oktaedra z robom a = 5 cm; 3. dodekaedra z i-obom 2 cm; 4 ikozaedra z robom a = 3 cm; 5. heksaedra z robom a = 1 cim. b) Napravi ta telesa iz njih mrež. Krogla. § 181. Točke kroga, katerega vrtimo okolo nepremičnega premera, napisujejo vzporedne kroge, krog sam pa na vse strani zaprto ploskev, tako imenovano, površino krogle ali obla (oblino). Prostor, katerega omejuje površina krogle, imenujemo kroglo (oblo), nepremičen premer z ozirom na one vzporedne kroge os, nje krajišči tečaja in vrten krog v vsaki njegovi legi meridijan. Vzporedni krogi so različni, največji je oni, kateri gre skoz središče vrtenega kroga. Ta največji krog imenujemo ravnik (ekvator). 9 * Slika 167. 138 Izvod. Ravnine vzporednih krogov stoje pravokotno na osi in na ravninah meridijanov. Središče kroga, kateri napisuje površino krogle, je od vseh njenih toček jednako oddaljeno, in imenujemo ga središče krogle. Daljice, potegnene od središča do površine krogle, imenujemo polu- mere (radije), daljice med dvema poljubnima točkama površine tetive, in vsako tetivo, katera gre skoz središče, premer krogle. Izvod. Polumeri krogle so jednaki; in vsak polumer je jednak polovici premera. Središče določuje lego krogle, polumer pa njeno kolikost. Izvod. Dve krogli z jednakima polumeroma sta skladni, z nejednakima polumeroma pa podobni. Točka, prema in ravnina z ozirom na kroglo. § 182 . Točka leži v površini krogle, ali znotraj ali zunaj nje, ako je nje razdalja od središča jednaka polurnem ali manjša ali večja. Prema, katera stoji pravokotno na polurnem v njega krajišči, je tangenta krogle. Kajti razdalja vsake točke te preme razun dotikališča je večja od polumera. Prema nima z kroglo ali nobedne točke skupne, ali jo seče v dveh točkah, ako je nje razdalja od središča večja ali manjša od polumera. Kajti v prvem slučaji je razdalja najbližje nje točke od sre¬ dišča večja od polumera; v drugem slučaji je razdalja najbližje njene točke manjša od polumera, ona torej leži znotraj površine, in na premi sta le dve točki, kateri sta od središča za polumer od¬ daljeni. Ako si napravimo v mislih tri preme pravokotno na os, jedno zunaj kroga, drugo kakor tangento in tretjo kakor sekanto tega kroga, napisuje pri vrtenji krog kroglo, preme pa vzporedne rav¬ nine. Prva ravnina leži popolnoma zunaj krogle, druga se je dotika le v jedni točki, tretja jo seče v krogu. Ravnino, katera se krogle dotika le v jedni točki, imenujemo dotikalno ravnino; in ono, katera seče kroglo v krogu, presečno ploskev. Ako si mislimo v vsaki točki krogle dotikalno ravnino, ga te obvijajo popolnoma. Površino krogle si torej smemo misliti obstoječo iz brezkončno mnogo, brezkončno majhnih ravnin. 139 Razdalja dotikališča, torej tudi dotikalne ravnine od središča je jednaka polurnem; vsaka druga točka te ravnine ima večjo raz¬ daljo od središča. a) Koliko tangent moreš potegniti na površino krogle v jedni njeni točki? — V kakšni ploskvi leže vse te tangente? b) Koliko tangent moreš potegniti na površino od točke zunaj nje? —— V kakšni ploskvi leže vse te tangente? — Kako poiščeš daljico med dano točko in dotikališčem take tangente? — V kakšni črti leže vsa ta do¬ tikališča? c) Koliko tangent moreš potegniti na površino krogle, ako so vse z danim premerom vzporedne? — Kakšno ploskev stvarjajo te tangente? — V kakšni črti leže vsa njih dotikališča? d) Potegni v mislih polutrak iz središča krogle; v kakšnih ploskvah leže tangente, katere potegneš zaporedoma od vsake njegove točke, začenši pri presečišči, do njegove točke v brezkončni razdalji? — V kakšnih črtah leže dotikališča tangent od vsake točke, in kako se razločujejo te črte med seboj z ozirom na lego in kolikost? e) Kolika je razdalja krogline tetive od središča krogle (r — 0'246 m), ako je jednaka polurnem krogle? f) Kolika je tetiva, katera je od središča krogle (r — 0'246 m) za polumera oddaljena? g) Kolik je polumer krogle, ako je tetiva t = 0'133 m od središča za dvojno njeno dolžino oddaljena? h) Koliko kroglinih površin more iti skoz dve točki v prostoru? —- V kakšni ploskvi leže središča vseh teh krogel? — Koliko krogel more iti skoz tri točke v prostoru? — V kakšni črti leže središča vseh teh krogel? — Koliko krogel more iti skoz štiri točke, katere ne leže vse v isti ravnini? — Koliko toček torej določuje kroglo popolnoma? i) Koliko toček imata krogla in ravnina skupnih, ako leži prva na drugi? Koliko dotikalnih ravnin moreš položiti skoz jedno točko krogline površine ? k) Koliko dotikalnih ravnin moreš položiti na kroglo od točke zunaj nje? — V kakšni črti leže dotikališča vseh teh dotikalnih ravnin? l) Kako ležita dve ravnini, kateri se dotikata krogle v krajiščih premera, jedna proti drugi? m) Recimo, da leži prema zunaj krogle; koliko dotikalnih ravnin moreš skoz njo položiti na kroglo? n) Koliko dotikalnih ravnin, vzporednih z dano ravnino, moreš po¬ ložiti na kroglo? o) Krogla se potaka po poševni ravnini tako, da napiše dotikališče premo; določi natančneje pot središča. § 183. Vsak presek krogle z ravnino je krog. Recimo, da je AMB (slika 170.) presek krogle z ravnino, OP J_ na ravnino AMB, potegnimo dve poljubni daljici PA in PM 140 Slika 170. k obodu presečne ploskve in še polumera O A in O M , potem je A AOP CS? MOV, torej A P — M P, t. j. vsaka točka presečnice je od točke P jednako oddaljena ali presečnica je krog. Krog AMII zovemo kroglin krog. Ako pomeni R kroglin polumer, r polu- mer presečne ploskve, d razdaljo presečne ploskve od središča krogle, je r 2 = R 4 — d*. Kedar je d = o ali d — R ali o < d , R, r oziroma merska števila površij in polumerov dveh krogel, je P : p — R* : r 2 . Površji dveh krogel sta si kakor kvadrata njijinih polumerov. Iz prejšnjega sledi kakor za kroglo tudi za kapico in pas krogle: Ploščina kapice ali kroglinega pasa je jednaka produktu iz oboda največjega kroglinega kroga in iz nje (njega) višine. § 201. Z vzporednimi krogi in z meridijani razdelimo površje krogle na štirioglate (pri tečajih trioglate) like, kateri so krivi; in s polumeri (R), katere potegnemo do onih oglov, narišemo piramide za polumer visoke s krivimi osnovnimi ploskvami, v katere moremo kroglo razsekati. Ako si mislimo število vzporednih krogov in meri- dijanov brezkončno, misliti si smemo one like (osnovne ploskve pira¬ mid) ravne. Prostornina jedne piramide je pa jednaka tretjini z višino (polumerom) množene osnovne ploskve in prostornina (P) vseh piramid, t. j. prostornina krogle tretjini s polumerom množenih vseh osnovnih ploskev, t. j. tretjini s polumerom množenega površja O krogle. P = i OR. Prostornina krogle je jednaka tretjini s polumerom mno¬ ženega površja. Ker je O = 4 je tudi P = j/čV. Dostavki. Ako pomenijo P, p, R, r oziroma merska števila prostornin in polumerov dveh krogel, je P : p — R 3 : r 3 . 1. ) Prostornini dveh krogel sta si kakor tretji potenci nji¬ jinih polumerov. 2. ) Prostornina kroglinega izseka je jednaka tretjini s polu¬ merom množene njega kapice. 3. ) Kroglin odsek, kateri je manjši ali večji od polukrogle, si moremo misliti kakor diferenco ali vsoto kroglinega izseka in pokončnega stožca, kateri ima z odsekom skupno osnovno ploskev in vrh v središči krogle, in takisto izračunjavamo tudi njega prostornino. 4. ) Kroglino plast si mislimo kakor diferenco dveh kroglinih odsekov in takisto izračunjavamo njega prostornino. 151 Računske naloge. 1. ) Merska števila stranice, površja in prostornine kocke so oziroma s, p in t; izračunaj iz jedne teh količin drugi dve. a) s = 1 m 4 dm, b) p — 50 dm 2 8086 cm 2 , t = 12-326391 m 3 , s = 1-375 m; p = 50 dtn 2 ; t — 29791 cm 3 . 2. ) Kockasta, zgorej odprta posoda iz ploščevine zajema 8 dm 3 -, koliko ploščevine je bilo za njo potreba? 3. ) Kolika je prostornina (stranica a) kocke, ako je nje stra¬ nica (prostornina) za m večja ali za n manjša od stranice (prostor¬ nine) druge kocke s telesnino t' (se stranico a')? a) t’ = 125 m 3 , b) a' = 12 m, m — 3 cm, m — 1016 m 3 , n = 4 dm; n = 728 m 3 . 4. ) Stranici dveh kocek sta a in a'; kolika je stranica a" tretje kocke, katera je jednaka vsoti (diferenci) prvih dveh kocek? a) a — 5 m, b) a = 4 m, a’ = 15 dm; a’ — 20 dm. 5. ) Ako pretopiš tri svinčene kocke se stranicama a = 2 m, a’ — 25 dm, a" — 15 dm v jedno kocko; kolika je stranica te kocke? 6. ) Recimo, da je prostornina kocke t; kolikrat večja ali manjša je stranica druge kocke, ako je njena prostornina »ikrat. večja ali n krat manjša? m = 27, 3f, 0-729, 0-000512, a; n = 8, 64, 2ff, 1728, b. 7. ) Stranica kocke je a; kolika je stranica druge kocke, ako je njena prostornina /»krat večja ali m krat manjša? a = 4 dm, 3 cm, 6 dm, p; m = 27, 125, 27, r; n = 8, 17, 642, s. 8. ) Kako sta si prostornini t in t’ dveh kocek, ako sta si njijini stranici kakor m : n? m — 2, ~, 0‘5, a; n = 3, |, 1-5, b. 152 9.) Kako sta si stranici a in a' dveh kocek, ako sta si pro¬ stornini kakor m : n? m = 27, 3f, a; n = 8, if|, 2 |f, 6. 10. ) Kako sta si površji p in p' dveh kocek, ako sta si nji- jini prostornini kakor m : n? m = 27, 64, 0512, a; n = 8, 125, 0-125, b. 11. ) Kako sta si prostornini t in t' dveh kocek, ako sta si njijini površji kakor m : n? m = 4, 64, 1 a; n — 19, 625, 7|, b. 12. ) Koliko kocek se stranico s je v kocki se stranico s'? s = 2 m, 1^ m, 2‘5 m, a; s' = 4 m, 3 m, 50 dm, b. 13. ) Kolika je prostornina prizme z osnovno ploskvijo o in višino v? o — 0 - 128 m 2 , 110-3 m 2 , a; v = 0 - 5 m, 0-75 m, b. 14. ) Izračunaj iz prostornine t in višine v prizme nje osnovno ploskev. t = 462 cm 3 , 4-375 m 3 , a; v = 0’04 m, 0‘125 m, b. 15. ) Izračunaj iz prostornine t in osnovne ploskve o prizme nje višino. t = 462 cm 3 , 4-375 m 3 , a; o ~ 77 cm 2 , 1-25 m 2 , b. 16. ) Kako sta si prostornini dveh prizem z osnovnima plos¬ kvama o in o' in višinama v in v'? o — 2-33 m 2 , 7 - 12 dm 2 , 115‘2 m 2 , a, a, a; v = 0-67 m, 3-5 dm, 10 - 5 m, b, b, b; o' = 4 - 66 m 2 , 7-12 dm 3 , 7 - 2 m 2 , c, a, c; v' = 0 - 67 m, 7 dm, 5-184 m, b, c, d. 17. ) Dana je pokončna prizma; kako izračunaš a) obseg osnovne ploskve, ako sta plašč in njega višina, b) višino, ako sta plašč in obseg osnovne ploskve znana? 153 18. ) Kako sta si obstranski površji dveh pokončnih prizem, ako sta obsega njiju osnovnih ploskev o in o' in njiju višini v in v'? o = 0'875 m, 135 m, 10-71 m, a, a, a; v — 0"42 m, 091 m, 0 25 m, b, b, b; o' = O’125 m, 1-35 m, 42-50 m, c, a, c; v' = 0 - 42 m, l - 82 m, 0 - 90 m, b, c, d. 19. ) Kako sta si obstranski površji dveh pokončnih prizem, ako sta a) obsega osnovnih ploskev jednaka, b) višini jednaki, c) obsega in višini različni? 20. ) Izračunaj površje in prostornino O - 16 m visoke pokončne prizme, na kateri je osnovna ploskev pravokoten trikotnik s kate- tama a = 0-14 m in b — 0'26 m. 21. ) Pokončna prizma, 3 - 2 dni visoka, ima prostornino t = = 3 - 6 dm 3 \ koliki so osnovni robi, ako je osnovna ploskev jednako- krak pravokoten trikotnik? 22. ) Koliki sta površje in prostornina pokončne 16 dm visoko prizme, ako je nje osnovna ploskev jednakostraničen trikotnik se stranico s = 5 dm? 23. ) Koliki sta površje in prostornina pravilne tristrane prizme, ako so vsi robi jednaki r = 0164 m? 24. ) Trostrana pravilna prizma ima prostornino t = 0072 m 3 \ ako rase nje višina za 0 - 04 m, rase prostornina za 0’00288 m 3 ; koliki so nje robi od začetka? 25. ) Robi trostrane pravilne prizme so vsi jednaki; koliki so ti robi, ako je prostornina t = 0'0735 m 3 ? 26. ) Osnovna ploskev pokončne, 0 - 2 m visoke prizme je romb z diagonalama d = 0’18 m in d' = 0‘24 m; izračunaj nje površje in prostornino. 27. ) Osnovna ploskev 0 - 28 m visoke prizme je jednakokrak trapeč z vzporednicama a = O'25 m, b = 015 m in nevzporednico c = 0 - 13 m; koliko je nje površje in kolika prostornina? 28. ) Koliko je površje in prostornina pravilne šesterostrane, 0'32 m visoke prizme, ako je a) osnoven rob s — 0 - 07 m, b) raz¬ dalja središča osnovne ploskve od nje stranice r — 0 - l m, c) raz¬ dalja središča od oglišča osnovne ploskve R — 0 - 2 m. 29. ) Pravilna šesterostrana prizma, katera ima vse robe jed- nake, ima prostornino t = 0-3285 m :i ; koliki so nje robi? 10 * 154 30. ) V pokončnem pravokotnem paralelepipedu je razmerje v jednem oglu stikajočih se robov 3:4: 18, njih vsota 50 m. a) Koliki sta njega površje in prostornina, b) kolik je rob prostornojednake kocke ? 31. ) Pokončna prizma ima 5"42 m 2 površine, za osnovno ploskev pa pravokotnik s stranicama a = 7 dm, 6 = 3 dni ■ koliko je površje prostornojednake kocke? 32. ) Pokončna prizma ima 3'42 m 2 površine, za osnovno ploskev pa jednakostraničen trikotnik, čegar stranica meri 6 dm; kolika je nje prostornina? 33. ) Osnovna ploskev pokončne 6 dm visoke prizme je kvadrat. Kolik je osnoven rob in koliko površje, ako znaša prostornina 37-5 dm 3 ? 34. ) Recimo, da so r, v, p,, p, t oziroma merska števila polu- mera, višine, plašča, površja, prostornine pokončnega cilindra- iz¬ računaj iz dveh teh količin obe drugi. a) r = 2'5 dm, a; b) v = 1-5 m, a; c) r — 1-85 m, a; v — 3'5 m, b. p, = 1'1386 dm 2 , b. t — 37'268 m 3 , b. d) p x = 20 dm 2 , a; e) p = 131'88 dni 1 , a; f) p = 414-48 mm 2 , a; t = 20 dm 3 , b. p, = 75'36 dm 2 , b. r == 6 mm, b. 35. ) Ako je pokončen cilinder prejšnje naloge jednakostran, ali moraš tudi dve onih količin vedeti, da moreš izračunati druge? —- Dana je jedna izmed količin r, v, p u p, t; izračunaj vsako drugo. a) r 7-5 dm; b) v = 1-3 m; c) p = 38-1510 m 2 ; d) p, — 4 dm 2 ; e) t = 194-087 dm\ 36. ) Ako je prostornina pokončnega cilindra p — 310 cm 3 in višina v — 009 m; koliko je njega površje? 37. ) Dan je plašč o — P35 m 2 in polumer r = 0 - 15 m po¬ končnega cilindra; kolik je polumer r' prostornojednakega jednako- straničnega cilindra? 38. ) Kako sta si dva cilindra, ako sta njiju polumera r in r' in njiju višini v in v'? r = 0'05 m, 0'055 m, 0 - 06, a, a, a; v = 0-06 m, 0'06 m, 0'05 m, b, b, b; r' = 0-15 m, 0-055 m, 0'15 m, c, a, c; v’ = 0 - 06 m, 0 - 24 m, 0 - 12 m, b, c, d. 155 39. ) Kako sta si a) plašča, b) površje dveh pokončnih cilindrov, ako sta njiju poluraera r in r' in njiju višini v in v’? r = 0'06 m, 0 12 m, 0 - 04 m, a, a, a; v — 0 - 09 m, 0'16 m, 0'03 m, b, b, b; r' = 0'18 m, 0'12 m, 0'18 m, a, c, c; v' = 009 m, 0'24 m, 0 - 20 m, c, b, d. 40. ) Koliki sta površje in prostornina valjaste cevi, ako je R = 0'19 m, r = 0 - 17 m in v — 4 m? — Reši to nalogo tudi z občnimi števili. 41. ) Valjasta posoda meri 36 litrov; koliko meri posoda, na kateri so razsežnosti dvakrat tolike? 42. ) Ciment za liter ima valjasto obliko in njega višina je dvakrat tolika kakor premer; kolike so razsežnosti tega cimenta na milimetre? 43. ) Valjasto deblo s premerom d = 0 - 5 m in z dolžino a = — 15 m si misli obtesano na kvadratno bruno; koliko lesa gre v treske ? 44. ) Železen cilinder, 1-5 m dolg, tehta 589 - 05 kolik je njega premer (spec. težkota =7-78 kg)? 45. ) Kolik je tlak 750 mm visokega živosrebrenega stolpa na krožnato osnovno ploskev s polumerom r = 1 cm (spec. težk. 13'6 g)? 46. ) Za vodovod potrebujejo 840 m dolgih svinčenih cevi, ka¬ tere so 5 cm debele in imajo 2 cim svetlobe; koliko velja svinec, ako stane 1 kg 40 kr. (spec. težkota = 11'35 g). 47. ) Koliko tehta 2 m dolg votel železen cilinder, ako znaša njega vnanji obseg o = 2’094 m in debelost stene 0’04 m? 48. ) Prostornina 4 dm dolzega cilindra znaša 20 drri 6 ; izdolbi ga koncentrično tako, da je ostala prostornina le ~ začetne; kolika je stena votlega cilindra debela? 49. ) Površje jednakostranega cilindra je p - - 396 m' 2 ; računaj površje in prostornino najmanjše kocke, iz katere ga moreš izrezati. 50. ) Premer in višina cilindra sta si kakor 3:5; izračunaj a) iz njega površja p = 1'3 m 2 njega prostornino, b) iz njega pro¬ stornine t — .35'325 dm 3 . 51. ) Plašč cilindra je p x = 1000 cw 2 ; kolik je njega premer in njega višina, ako je obod osnovne ploskve l~krat tolik kakor njega višina. 156 52. ) a) Koliko je površje in kolika prostornina pravilne «) če- tverostrane, (3) trostrane, y) šesterostrane piramide, ako je osnoven rob s — 04 m in obstranska višina v t — 06 m? b) Koliko je površje in kolika telesnina teles prejšnje naloge, ako je dan namesto v t obstranski rob s, = 08 m? 53. ) Koliko je površje in prostornina pravilne a) trostrane, b) četverostrane piramide z osnovnim robom s = 02 m, ako so vsi robi jednaki? 54. ) Koliko je površje in kolika prostornina okrajšane pravilne a) trostrane, b) četverostrane, c) šesterostrane piramide, ako je spodnji osnovni rob s = 5 dm, zgornji osnovni rob s, = 3 dm in obstranska višina v l = 2 6 m? 55. ) Kolika je prostornina piramide z osnovno ploskvijo b in višino v? b = 12 m' 1 , 005 m' 1 , c; v = 081 m, 027 m, d. 56. ) Izračunaj višino piramide, ako sta nje prostornina t in osnovna ploskev b dani. t = 0'36 m 3 , l - 728 m 3 , c; b = 1-2 m' 1 , 7‘2 »m 2 , d. 57. ) Kako sta si prostornini dveh piramid z osnovnima plos¬ kvama b in b' in višinama v in v 1 ? b — 017 m' 1 , 1*27 m 1 , 100 cm 8 , c, c, c; v = 1'2 m, 1‘75 m, 8 cm, d, d, d; b’ = 0'17 m' 1 , 6 - 35 m 8 , 24 cm' 1 , c, f, f; v’ — 0'6 m, 1'75 rn, 10 cm, f, d, g. 58. ) Kako sta si prostornini dveh podobnih piramid a) z viši¬ nama V = 0'25 m in v = 0 - 075 m, b) z istoležnima osnovnima roboma S ~ 1‘2 m in s = 0 - 84 m? 59. ) Kako sta si višini ali dva istoležna roba podobnih piramid s prostorninama T — 3 - 375 in p — 1*331? 60. ) Višina pravilne četverostrane piramide je dvakrat tolika kakor osnoven rob; koliki so robi, ako je prostornina t = 0‘3456 m 3 ? 61. ) Robi pokončne trostrane piramide so vsi jednaki, kolika je prostornina, ako je površje m = 0'224 m 8 ? 62. ) Kolika je prostornina in koliko površje okrajšane piramide s kvadratnima osnovnima ploskvama, ako je spodnji rob S = 3’5 dm, zgornji rob s ~ 1*5 dm in višina v — 2 - 4 dm? 157 63. ) Pravilna četverostrana piramida in pravilna trostrana pira¬ mida imata isto prostornino V — 0125 m 3 in isto višino v = 06 m; primerjaj njiju površji. 64. ) Piramida z osnovno ploskvijo b — 022 m 2 in z višino v = 036 m je prostornojednaka s kocko; kolik je rob kocke? 65. ) Napravi si iz pravilne. četverostrane piramide z osnovnim robom s — 0 - 145 m in z višino v = 021 m okrajšano piramido s prostornino t == 500 cm 3 -, kolika je razdalja preseka od vrha? 66. ) Streha cerkvenega stolpa, katero hočejo pokriti s ploščevino, ima podobo pravilne šesterostrane piramide; recimo, da je obseg osnovne ploskve o = 12 - 5 m in obstranska višina v 1 — 7 - 2 m; koliko a = 0’56 m dolgih in b = 0’33 m širokih ploščevin je potreba, ako se jih zarad stikanja ploščevin 5 °/ 0 več porabi? 67. ) Pokončna četverostrana piramida ima 3'6 duri 1 površine, nje osnoven rob pa meri 1 dm; kolika je nje prostornina? 68. ) Koliko je površje okrajšane pravilne a) trostrane, b) če¬ tverostrane, c) šesterostrane piramide, ako je spodenj osnoven rob a = 5 dm, zgorenj osnoven rob a L — 3 dm in obstranska višina v, = 2 - 6 m? 69. ) Pravilna četverostrana okrajšana piramida ima 2'8 dm 3 prostornine, robova njenih osnovnih ploskev pa merita 2 dm in 1 dm; koliko je nje površje? 70. ) Recimo, da so r, v, s, p, p ly t oziroma merska števila polu- mera, višine, stranice, površja, plašča, prostornine pokončnega stožca; izračunaj iz dveh teh količin vse druge. a) r = 3 - 5 dm, v — 8'4 dm; b) r = 0 - 8 m, s = 1 m; c) r = 0'5 m, p x = 2'041 w 9 / d) r ~ 1 • 76 m, p, = 13 - 56 e) r = 4‘21 dm, t = 1137'85 dm 3 ; f) v — 0‘5 m, s = 0'8 m; g) v — 3‘5 dm, t — 55'195 dm 3 ; h) p = 703’36 m 2 , p x — 549'5 m 2 . 71. ) Izračunaj površje in prostornino jednakostranega stožca, ako je a) višina v — 0'1 m, b) polumer osnovne ploskve r = 0‘25 m, c) stranica s = 0 - 465 m. 72. ) Izračunaj iz površja p — 4310 cm 2 jednakostranega stožca njega prostornino. 73. ) Prostornina jednakostranega stožca t — 0'156 m 3 ; koliko je njega površje? 158 74. ) Kako sta si prostornini dveh stožcev, ako sta polumera osnovnih ploskev r in r' in višini v in v '? r = 0• 75 m, 0'6 m, 12 cm, a, a, a; v = l - 2 m, 05 m, 20 cm, b, b, b; r' — 075 m, 0 - 9 m, 8 cm, a, c, c; v’ — 18 m, 05 m, 16 cm, c, b, d. 75. ) Kako sta si prostornini dveh podobnih stožcev z višinama v in v '? v = Ol m, 0 - 25 m, a; v' — O - 12 m, 0'75 m, b. 76. ) Kako sta si višini dveh podobnih stožcev s prostorninama t in £'? t = 0-125 m :> , 0-334 m 3 , a; t' = 0-216 m 3 , 1 m 3 , b. 77. ) Ako vrtiš pravokoten trikotnik s katetama a = 3 dm in b — 4 dm okolo njega hipotenuze, napišeš dvojen stožec; koliko je njega površje in prostornina? 78. ) Plašč stožca, razgrnen po ravnini, je krogov izsek se sre- dišnim kotom a — 120° in s polumerom r — 0 - 144 m; kolika je prostornina stožca? 79. ) Jednakostran železen stožec mora 10% tehtati; kolika je njega višina? 80. ) Koliki sta površje in prostornina okrajšanega stožca s polu- merama R in r in z višino v? R = 0’5 m, 0"65 m; r = 0-2 m, 0-45 m; v = 0-3 m, 0-03 m. 81. ) Z vodo do vrha napolnjena čaša ima podobo okrajšanega stožca in je 12 cm visoka; gornji premer je I) — 6 cm, spodnji d, ~ 4 cm. Ako izpiješ vode do polovice višine, koliko tekočine ostane še v čaši? 82. ) Ciment za 1 deciliter (posode za suhe stvari) ima obliko okrajšanega stožca, na katerem je gornji premer jednak premeru proštom oj ednakega jednakostranega cilindra, in spodnji premor f gor¬ njega; kolike so njega razsežnosti na milimetre? (n — 3-14159.) 83 ) Izračunaj a) površje, b) prostornino tetraedra z robom a — 0 - 34 m. i 169 84. ) Koliko je površje in kolika prostornina oktaedra z robom a = 0'06 m? 85. ) Kolika je prostornina oktaedra s površjem m — 1 m ? 86. ) Koliko je površje ikozaedra z robom a = 0'08 87. ) Kako so si površja tetraedra, oktaedra in ikozaedra, ako so njih robi jednaki? 88. ) Merska števila polumera, površja, prostornine krogle so r, p, t; poišči iz vsake teh količin obe drugi. a) r — 1'5 m, 1 m 2 dni 4 cm, a; b) p = 572-556 cm 1 , 22-1671 dm l , b; c) t = 100 din 3 , 5-712 m 3 , c. 89. ) Koliko je a) površje, b) prostornina naše zemlje, ako je nje polumer 6370 km? {n = 3-141593.) 90. ) Obod največjega kroglinega kroga je o; koliko je površje in prostornina krogle? o = 0-35 m, 1 m, a. 91. ) Kako sta si a) površji, b) prostornini dveh krogel s polu- meroma r in r'? r = 0'5 m, 0'36 m, 1 m, a; r' — 0’25 m, 0-48 m, 0-2 m, b. 92. ) Kako sta si polumera dveh krogel s površjema p in p'? p = 0-64 ni 1 , 1 m"-, a; p’ = 1-44 m 1 , 1'96 m’ 1 , b. 93. ) Kako sta si polumera dveh krogel s prostorninama t in t'? t — 0’8 m 3 , 0-039 m 3 , a; t' — 2-7 m 3 , 4-875 m 3 , b. 94. ) Kako sta si površji dveh krogel, ako sta si njiju površji kakor m : n? m = 4, 36, 48, 275, a; n — 9, 25, 75, 936, b. 95. ) Kako sta si površji dveh krogel, ako sta si njiju prostor¬ nini kakor m : n? m — 1, 27, 125, 243, a; n = 8, 64, 343, 1125, b. 96. ) Kolik premer bi moral imeti globus, na katerem bi bil 1 mm 4 jednak omaljenemu kvadratnemu mirijametru? 160 97. ) Kolika je prostornina največje krogle, katero moreš na¬ praviti iz kocke z robom a — 0 - 15 m? Kolik je odletek? 98. ) Kolika je krogla, katera se natančno prilega mejnim ploskvam jednakostranega cilindra z višino v = 2-25 m? Kolik je prostor med cilindrom in kroglo? 99. ) Iz polukrogle s polumerom r = 0 - l m napravi stožec z jednako osnovno ploskvijo in jednako višino; kolik je odletek? Kako sta si prostornina stožca in prostornina polukrogle? 100. ) Površje krogle j e. p — 0'28 m 2 (a); koliko je površje krogle z 2-1-krat (b krat) tolikim polumerom? 101. ) Valjast paren kotel s polukroglastima koncema je 1 m obširen in 4 m dolg, tako, da znaša dolžina cilindra 3 m; koliko je a) površje, b) prostornina kotla? 102. ) Polumer osnovne ploskve pokončnega 0 - 8 m visokega stožca je r — 0"6 m; kolik je premer krogle, katere površje je toliko kakor plašč onega stožca? 103. ) Vnanji polumer otle krogle je r = 0'35 m in debelina stene a = 0'05 m; kolika je njena prostornina? 104. ) Pokončen paralelepiped s kvadratno osnovno ploskvijo ima prostornino v, njega višina pa je 2 krat tolika kakor osnovni rob; koliko je njega površje? v = 3'2 m 3 . 105. ) Pravilna šesterostrana prizma, katere osnovni rob je 2krat tolik kakor višina, ima površino p; koliko je površje prostorno- jednake kocke? ■p = 18 - 441 dm 2 . 106. ) Polumer osnovne ploskve pokončnega cilindra meri r dolgostnih, njega površje oa p ploskvenili jednot; za koliko je njega prostornina od prostornine včrtane šesterostrane pravilne prizme večja? r = 4 dm, p — 188 - 4 dm 2 . 107. ) Prostornina pravilne šesterostrane piramide meri v kubičnih jednot, obstranski rob pa je 2krat tolik kakor osnoven rob; koliko je nje površje? v — 96 dm 3 . 108. ) Tetraedrova (oktaedrova) prostornina meri v kubičnih jednot; koliko je njegovo površje? v = 203-616 dm 3 (12-726 dm 3 ). 161 109. ) Stožcu podobno jelkino deblo ima na spodnjem koncu 7 dm v premeru, visoka pa je 18 m; koliko kvadratnih metrov drv se iz nje nakolje, ako so polena po 75 cm dolga, ter je treba zaradi praznega prostora med poleni 25 °/ 0 drv več računati? 110. ) Plašč pokončnega okrajšanega stožca meri p ploskvenih, polumera osnovnih ploskev pa R in r dolgostnih jednot; kolik je polumer prostornojednakega jednakostraničnega stožca? p — 16'328 dm 2 , R = l - 5 dm, r = 0‘5 dm. 111. ) Prostornina krogle meri p kubičnih jednot; kolika, je prostornina jednakostraničnega cilindra z istim površjem? p = 113 dm s 40 cm 3 . 112. ) Kako so si prostornine jednakostranemu cilindru včrta- nega pokončnega stožca, včrtane krogle in onega cilindra? 113. ) Recimo, da je krogli očrtan jednakostran cilinder in jednakostran stožec; kako so si a) površja, b) prostornine teh treh teles ? 114. ) Koliko debela mora biti stena otle krogle z vnanjim polu- merom R — 0-335 m, da je notranje površje polovica vnanjega? 115. ) Površje kocke je p = 0'24 m 3 , koliko je površje krogle z jednako prostornino? 116. ) Steklena krogla z notranjim površjem p = 0 - 325 m 2 tehta 2-8 kg; koliko tehta, ako je napolnjena z vodo? 117. ) Sveteča točka je od središča krogle s polumerom r = == 0 - 45 m oddaljena 4 - 05 m • kolik je polumer kroglinega kroga, kateri loči razsvetljen del krogle od nerazsvetljenega? 118. ) Svinčena otla krogla 3 kg težka naj plava na vodi tako, da je gleda polovica iz vode; kolik mora biti vnanji polumer in koliko debela stena? Geometrija. 11 Dodatek. Zemljišča niso vsa ravna in tudi ne horicontalno ležeča, ampak njih meje stvarjajo like, izmed katerih ne leži vsak popolnoma v jedni sami ravnini. Ako vežemo podnožišča navpičnic, katere spu¬ ščamo od vsake mejne točke zemljišča na katerokoli horicontalno ravnino s črtami, dobivamo njega horicontalno projekcijo ali očrt. Kolikost in obliko horicontalno projekcije zemljišča določevati se pravi njega mapovati; popolnoma izdelana osnova mapovanih zemljišč je njih tlavid (mapa, situacija). Zemljišča, katera mapujemo, vzmetavamo na horicontalne ravnine, ker horicontalno lego laglje določujemo in ker rastline vse kviško, t. j. v vertikalni meri rastejo, torej nima na strmih tleh A C več rastlin prostora nego na horicontalnih AB (na horicontalni projekciji prvih). Primerjaj pridjano sliko. Pri mapovanji je treba meriti daljice in kote in izmerjeno unašati na papir. I. Merjenje daljic na polji. Pri merjenji daljic na polji je treba opravljati dvoje: določe¬ vati njih merodajne točke in jih v resnici tudi meriti. A. Merodajne točke daljice so: nje mejišči, in ako je teh raz¬ dalja prevelika, več vmesnih toček, nadalje nje presečišča s potreb¬ nimi pomočnimi črtami. Za določevanje toček na polji se poslužujemo kolčkov, merskih drogov (iztaknjul) in merskih praporcev. Merski drogi so 2 m do 3 m dolgi in 3 cm močni, zdolaj so okovani z železom na šilo (čevelj), in razdeljeni so na jednake dele, kateri so menjoma rudeči in beli. Takisto so ustrojeni merski pra- Slika 177. 163 porci, samo da so še daljši in da imajo na gornjem koncu rudeče- belo zastavo; te rabijo namesto merskih drogov za večje razdalje. Naloga 1 . Izkolčevanje daljice na polji. Dve točki A in B, kateri sta na polji zaznamenovani z dvema navpičnima drogoma, določujeta popolnoma mer daljice. Ako je treba več toček te daljice ustanoviti, postavlja se merjevec za jeden drog J> in gleda na drug drog A v meri obeh; med tem skuša pomočnik ravnaje se po mahljajih merjevčeve roke na ono mesto svoj med dvema prstoma prosto viseč drog postaviti, kjer namerava merjevec vmesno točko ustanoviti. Ko merjevec vidi, da se pokri¬ vajo vsi trije krogi v meri daljice, t. j. ko ugleda pomočnikov drog v meri drogov A in B, izpusti drugi na dano znamenje prvega drog iz roke in ga utakne v tej legi v zemljo. Tako postopanje imenujemo ugledovanje. Kedar izkolčujemo dolge črte, ustanovljajo najpred bolj od¬ daljene vmesne točke. Naloga 2. Podaljšanje na polji izkolčene daljice. Daljico AB podaljšaš do točke C, ako se vstopiš po meri na oko blizu tja, kjer bi imela točka G biti, in ako ugledavaš drog, katerega držiš prosto med dvema prstoma, v mer drogov B in A toliko časa, dokler se ne pokrivajo vsi trije drogi; tu utakni drog v zemljo. B. Za merjenje v resnici se poslužujejo ali merske letve po 2im ali 5 m dolge, ali merskega lanca z dvema lančevinia dro¬ goma in z desetimi lančevimi utikljaji (zaznamenjevalkami). Merski lanec je dvajset metrov dolg in sestoji iz železnih šibic, katere so zvezane z okroglimi sklepi iz medi; na konceh sta dva večja me¬ dena sklepa, skoz katera utikujejo lančeva droga. Ta dva sta okolo 1 m dolga in spodej z železom okovana na šilo. Utikljaji so 3 do 4 dm dolgi, narejeni iz železne žice blizo tako debele, kakor gosje pero, zgoraj imajo obročkast obešaj in spodaj so šiljaste. Razen tega mora imeti merjevec meter razdeljen na nižje dolgostne jednote ali mersko vrvico. Za določevanje vertikalne meri se poslužujejo svinčnice ali tudi pogreznjule, t. j. okrogle 1 \m dolge palice iz lahkega lesa, katera je spodaj okovana s težkim železom na šilo, da jo to spravlja v vertikalno mer, ako jo držiš prav rahlo med dvema prstoma. Za določevanje horicontalnih meri se poslužujejo grebi,jice (razulje). Ona je lesen jednakokrak trikotnik (glej sliko 178.); na li* 164 Slika 178. njega vrhu je pritrjena svinčnica, katera udarja se svojo nitjo v žleb, izrezan od vrha do srede osnovnice, kedar je ta horicontalna. Uporaba tega orodja se uže spozna iz njega naprave. Ako razuljo postaviš na daljico, da pozveš te lego, udarja svinčnica v žleb ali na stran, kedar je ta daljica horicontalna ali poševna. Naloga 1 . Merjenje daljice na horicontalnih tleli. a) Z merskima letvama. Vzemi dve jednaki (n. pr. 5 m) dolgi merski letvi, položi jedno na daljico, začenši v te krajišči in drugo v isti meri tako k prvi, da se s koncema dotikata; potem poberi prvo letvo in jo položi h koncu druge in ponavljaj tako pokladanje do druzega krajišča daljice. Merske letve štej glasno, ko jih pobiraš. b) Z merskim lancem. Ako se ima črta AB, katera je zazna- čena z merskima praporcema v d in 71, počenši od A meriti, vza¬ meta dva pomočnika merski lanec, katerega natakneta s končnima sklepoma na lančeva droga. Zadnji pomočnik postavi s svojim lančevim drogom v točko A ; sprednji pa, kateri /ima vse utikljaje, vleče lanec dalje v meri daljice proti B. Ko zadnji pomočnik lančev drog sprednjega v meri daljice AB ugleda, napne ta lanec, valovaje ž njim po zraku, dobro in točno s svojim drogom, ter utakne prvi utikljaj na koncu lanca v zemljo. Zdaj vleče sprednji pomočnik lanec toliko časa naprej, da pride zadnji do točke C. Tukaj pobere utikljaj, utakne na njega mesto svoj drog, ter ugledava spet drog sprednjega pomočnika, sploh ponavljata prejšnje postopanje toliko časa, da dospeta do druzega krajišča daljice AB. Od zadnjega utikljaja do krajišča B izmeriš dolgost z lancem, kateri je čez B razpet; dolžine krajše od decimetra meriš z merilom. Na zadnje prešteje zadnji pomočnik nabrane utikljaje, množi njih število z 20 in prišteje k produktu še dolžino med zadnjim utikljajem in drugim kraj iščem daljice in izračuni s tem dolžino merjene daljice. Ako je daljica AB zelo dolga, zabijajo od 10 do 10 lančevih dolžin kolčke v zemljo, kateri so zaznačeni s tekočimi števili. Tako merjenje moramo dvakrat ali večkrat ponavljati, ako hočemo dobiti zanesljive resultate; srednja vrednost je dolžina daljice. 165 Pri najpazljivejšem postopanji je na ravnih tleh pomota O - 001 cele razdalje, t. j. razdalja, katera je izmerjena na 1000 m, more biti ali 1001 m ali 999 m dolga. Naloga 2. Merjenje daljice na visečih tleh. Za merjenje daljic na tleh, katere več ali menj vise, se po¬ služujejo krajših ali daljših merskih letev in v obeh slučajih po- greznjule in grebljice. Delo izvršujejo od spodej navzgor. Ko je črta AD (glej sliko 179.) izkolčena, posta¬ vijo pogreznjulo v A verti¬ kalno in položijo mersko letev s pomočjo merske grebljice lioricontalno tako, da je z jednim koncem B na tleh z drugim pa pri pogreznjuli v točki a. Potem položijo prvo letvo na tla, vender tako, da njen konec B ostane na istem mestu in merijo od B dalje takisto z drugo mersko letvo. Tako postopanje ponav¬ ljajo od krajišča D daljice. Ako je zadnji razstoj krajši od merske letve, kakor n. pr. razstoj med C in D v pridjanem liku, pustijo, da sega letva čez točko c in preštejejo na njej dolžino CD. Ako daljica ni na vseh krajih pristopna, moraš tako meriti, kakor smo učili v planimetriji pri uporabi izrekov o podobnosti. I II. Merjenje kotov na polji. Pri merjenji kotov imamo dve glavni nalogi: Določevanje pravih kotov, t. j. postavljanje in spuščanje pravo¬ kotni«, in mapo vanje kotov sploh. A. Za določevanje pravokotni« na polji se poslužujejo pravo¬ kotnega križa. Ta naprava je zbita iz dveh dobro presušenih orehovih diljic, kateri narejata prav kot in imata na konceh pravo¬ kotno postavljene osi iz rumene medi; pritrjen je lioricontalno na stojalu. Naloga 1 . Postavljanje pravokotnice v točki izkolčene daljice. Ako imamo v točki C daljice AB postaviti pravokotnico, za¬ taknemo v točki C stojalo križa navpično tako, da pride jeden krak križa, t. j. glednica njega osti v mer daljico AB. Potem ugledavamo č(‘/ osti druzega kraka in zataknemo v njijini meri drog; na tem mestu je točka, skoz katero gre iskana pravokotnica. Slika 179. 1G6 Naloga 2. AB Spuščanje pravokotnice od dane točke C zunaj izkolčene damice AB na to. V to svrho postavimo križ v daljici AB tam, kjer presojamo, da bi moglo biti podnožišče pravokotnice. Recimo, da je ta po pre- sojevanji izbrana točka D. Zdaj uravnamo jeden krak križa v mer daljice AB, z drugim pa ugledavamo čez njega osti. Ako ni točka C v meri te glednice, premeščujemo križ, ne da bi izpreminjali mer prvega kraka, proti levi ali proti desni toliko časa v daljici AB, da gre ona glednica na ravnost skoz točko C; točka E, kjer je zdaj zataknen križ, je podnožišče iskane pravo¬ kotnice. B. Priprave, s katerimi določujemo kolikost poljubnih kotov na polji, imenujemo kotomere; te so prav različno urejene. Najpri- prostejši kotomer je astrolab. Na njem nahajamo tako zvano ziralo. Ono sestoji iz dobro in točno izdelanega ravnila iz medi in iz dveh navpičnih nastavkov na njega konceh Jeden teh nastavkov je zgorej prebit, da je prozoren in ima v sredi tega prozira napet las (žimo), od spodej pod prozirom je pa prav ozko izrezan; drug nastavek je takisto izdelan, samo da je prozir spodej in izreza zgorej. Prožil' z napetim lasom imenujemo predmetnico , izrezo pa očnico, ker pri zadnji ugledavamo skoz prvo na predmet. Tako ziralo je pritrjeno na premeru medenega polukroga, ka¬ teri je razdeljen na stopnje in njih dele. Na astrolabu je pa še drugo tako ziralo, katero je vrtljivo okolo središča onega polukroga. Cela naprava stoji na trinogatem stojalu. Naloga. 3. Mapovanje kota na polji. ugledamo točko C. Potem preberemo kolikost kota na razdelitvi astrolaba. b) Brez kotomera. Stvori AM = AN (slika 180.) in recimo vsako jednako 20 m in izmeri daljico MN. Narisaj potem na papirji ravnico cib, vnesi nanjo daljico am = AM po omaljenem merilu; Slika 180. a) S kotomerom. Ko je kot izkolčen, t. j. ko so postavljeni drogi v vrhu A (slika 180.) in v točkah B in C, postavimo astrolab z njega središčem v vrh kota, uravnamo ziralo v meri kraka AB torej proti točki B, in zavr¬ timo vrtljivo ziralo toliko, da napiši potem iz a lok s polumerom am in presekaj ga z drugim lokom, napisanim iz točke m s polumerom mn = MN po istem omaljenem merilu. man = . Daljica*, Strecke. Determinacija *, Determination. Diagonala, Diagonale. Dodekaeder, dvanajstere«. Določen, bestimmt. Dolžina, Lange. Dopolnilna piramida, Erganzungs- pjramide. Dopolnilen stožec, Erganzungskegel. Dostavek, Zusatz. Dotikališče *, Beriihrungspunkt. Dotikalna ravnina*, Beriihrungs-Ebene. Dotikalna tetiva, Beruhrungs-Sehne. Dotikalnica*, Beriihrungslinie. Dreieck, trikotnik*. Durchmesser, premer. Durchschnittspunkt, presečišče. E. Ebene, ravnina. Ebene Flache, ravna ploskev. Eckpunkt, oglišče. Einheit, jednota*. Endpunkt, krajišče. F. Fest, nepremičen*. Figur, lik, figura. Flache, ploskev. Flachengleich, ploskveno-jednak *. Flacheneinheit, plosk vena jednota. Flacheninhalt, ploščina. Fusspunkt, podnožišče. G. Gebilde, tvor. Gegeniiberliegend, nasproten. Gegenwinkel, protikot*. * Izrazov, zaznačenih z zvezdicami, ne nahajamo v Cigaletovi terminologiji. 172 Geometrijsko mesto, geometrischer Ort. Gerade, prema; pokončen*. Geradlinig, premočrten. Gestrichelt, črticast. Gestrichelt-punktirt, črticast-pikičast. Glavna funkcija, Hauptfunction. Glednica, Visierlinie. Gleichschenklig, jednakokrak. Gleichseitig, jednakostraničen*, jednako- stran. Gleichwinklig, jednakokoten. Gorišče,* Brennpunkt. Grad, stopnja. Greblica, Schrotwage. Grenzpunkt, mej išče*. Grundgebilde, osnoven tvor. Grundlinie, osnovnica. H. Halbieren, razpoloviti, razpolavljati*. Halbierungslinie, polovnica. Halbierungspunkt, polovišče. Halbkreis, polukrog. Halbmesser, polumer. Halbstrahl, polutrak*. Hipotenuza, Hypotenuse. I. Ikozaeder, dvajsterec. Indirekten, indirect. Istoležen*, gleichliegend. Istovrsten *, gleicbartig. Izhodišče, Anfangspunkt. Izmeničen kot, Wechselwinkel. Izrek*, Lehrsatz. Izsek, Ausschnitt. J. Jednak, gleich. Jednakokoten, gleichvvinklig. Jednakokrak, gleichschenklig. Jednakostran, -straničen, gleichseitig. Jednota, Einheit. K. Kateta, Kathete. Klin, Keil. Kocka, Wiirfel. Korper, telo. Količina, Grosse. Kolček*, Pflock. Kolobar, Ring. Kot, Winkel. Kot izbočen, erhabener Winkel. Kot iztegnen, gestreckter Winkel. Kot središčen, excentrischer Winkel. Kot komplementaren, Complement-Winkel. Kot naklonski, Neigungswinkel. Kot nasproten, gegeniiberliegender Winkel. Kot notranji, innerer Winkel. Kot oboden, Peripherie-Winkel. Kot oster, spitzer Winkel. Kot otel, hohler Winkel. Kot ploskven, Flachenwinkel. Kot poln, voller Winkel. Kot prav, rechter Winkel. Kot priležen, anliegender Winkel. Kot roboven*, Kantenvvinkel. Kot središčen*, Centriwinkel Kot suplementaren, Supplementvvinkel. Kot top, stumpfer Winkel. Kot vnanj, ausserer Winkel. Kot v polukrogu, Winkel im Halbkreise. Koti nad premo, Winkel an einer Geraden. Koti krog točke, Winkel um einen Punkt herum. Kotna ploskev, kotnina*, Winkelflache. Kotomer, Winkelmesser. Krajišče, Endpunkt. Kračja ploskev*, krakina, Schenkelflache. Krak, Schenkel. Krog, Kreis. Krogla, Kugel. Kroglin* izsek, Kugel-Ausschnitt. Kroglin odsek, Kugel-Abschnitt. Kroglin pas, Kugel-Zone. Kroglina kapica, Kugel-Miitze. Kroglina plast, Kugel-Schichte. Krožnica*, Kreislinie. Krožnina*, Kreisflache. Krumm, slok. Kubičen, kubisch. Kvadrat, Quadrat. Kvadratni meter, Quadratmeter. Kvadrant, Quadrant. 173 Lančev drog, Kettenstab. Lime, črta. Lik, Figur. Lok, Bogen. M. Mapa, Mappe. Mapovati, aufnehmen. Masseinheit, merska jednota. Masszabl, mersko število. Meja, Grenze. Mej išče, Grenzpunkt. Mejna ploskev, mejnina, Grenzflaclie. Mer, Richtung. Mera, Mass. Merska letva, Messlatte. Merska vrvica, Messband. Merski drog, Messtange. Merski lanec, Messkette. Merski praporec, Messfahne. Minuta, Minute. Mittelpunkt, središče. Mittellinie, srednica*. Mnogokotnik, Vieleck. Mnogokotnik vpisan, eingeschrieben. Mnogokotnik opisan, umgeschrieben. Mreža, Netz. N. Načelo, Grundsatz, Axiom. Načrt, Aufriss. Naloga, Aufgabe. Naloga za načrtovanje, Constructions- Aufgabe. Nasproten, gegeniiberliegend. Naris*, Darstellung. Navpičen, lothrecbt. Nebenwinkel, sokot. Nedoločen, unbestimmt. Nejednak, ungleich. Nepravilen, unregelmassig. Nepremičen, fest. Nesomeren, incommensurabel. Nevzporednica, eine nicbt parallele Ge- rade. Normalno, normal. O. Oberflache, površje. Oblo, Kugel. Oblina*, Kugelflache. Obmer, Ausdehnung. Obod, Kreisumfang. Obrat, Umkehrung. Obseg, Umfang. Obstransko površje (obstranje*), Seiten- oberflache. Obstranska višina, Seitenhohe. Očnica, Ocular. Očrt, Grundriss. Odmičen, divergent. Odsek, Abschnitt. Ogel, Ecke. Ogel so vršen, Scheitelecke. Oglišče, Eckpunkt. Okrajšna* piramida, Pyramidalstumpf. Okrajšan stožec, Kegelstumpf. Octaeder, osmerec. Omaljeno* merilo, verkleinerter Masstab. Ordinata, Ordinate. Os, Axe. Os postranska, Nebenaxe. Os glavna, Hauptaxe. Os simetrije, Axe der Symmetrie. Osnovna resnica, Grundvvahrheit. Osnovna ploskev (osnovina*), Grundflache. Osnovnica, Grundlinie. Osnovni tvor, Grundgebilde. Ostrokoten, spitzwinklig. P. Parallel, vzporeden. Parallele, vzporednica. Paralelepiped, Parallelepiped. Paralelogram, Parallelogramm. Periferija, Peripherie. Perspektiven, perspectivisch. Peterokotnik, Fiinfeck. Peterostran, -straničen, fiinfseitig. Pikičast, punktiert. Piramida, Pyramide. Piramidast, pyramidal. Plast, Schichte. 174 Plašč, Mantel. Ploskev, Flache. Ploskveno-jednak *, flachengleich. Ploskvena vsebina*, ploščina*, Flachen- inhalt. Ploskvena jednota, Flaclieneinheit. Podaljšek *, Verlangerung. Podnožišče, Fusspunkt. Podobnišče *, Ahnlichkeitspunkt. Pogoj, Bedingung, Voraussetzung. Pogreznjula*, Senkelstok. Pokončen*, gerade. Polieder, Polyeder. Poln, voli. Polovišče, Halbierungspunkt. Polovnica, Halbierungslinie. Polukrog, Halbkreis. Polokrogla*, Halbkugel. Polumer, Halbmesser. Poluravnina*, Halbebene. Polutrak*, Halbstrahl. Pomočna črta, Hilfslinie. Poševen, schief. Poševnokoten, schiefwinklig. Povečati, vergrossern. Površje, Oberflache. Pravilen, regelmassig. Pravokoten, rechtwinklig. Pravokotnica, senkrechte Linie. Pravokotnik, Rechteck. Pravokotni križ, Winkelkreuz. Prečnica, Transversale. Predmetnica, Objectiv. Prekotnica, Diagonale. Prema, Gerade. Premer, Durchmesser. Premo-črten, geradlinig. Presečišče, Durchschnittspunkt. Presečna ploskev (presečnina*), Schnitt- flache. Presek, Schnitt. Pretvor, Verwandlung. Pretvoriti, verwandeln. Prevodnica, Leitstrahl. Prikot*, Anwinkel. Priležen, anliegend. Primičen, convergent. Prizma, Prisma. Proga, Streifen. Proizvodnica *, Resultatslinie. Projicirati, projicieren. Proportion, razmerje. Proportioniert, sorazmeren. Prostor, Raum. Prostornina, Rauminhalt. Protikot*, Gegenwinkel. Protivorečje, Widerspruch. Punkt, točka. K. Radij, Halbmesser. Raumgrosse, prostorna količina. Raven, eben. Ravninje*, Ebenenbiischel. Ravnoplosk*, ebenflachig. Razdalja, razstoj, Abstand. Razmerje, Verhaltnis. Raznokoten, ungleichwinklig. Raznostran, -straničen, ungleicliseitig. Razpoloviti, razpolavljati, halbieren. Razrešiti, razreševati, auflosen. Razulja, Schrotwage. Rechtwinklig, pravokoten. Regelmassig, pravilni. Resultatslinie, proizvodnica. Richtung, mer. Rob, Kante. Romb, Rhombus. Romboid, Rhomboid. S. Scheitel, vrh, teme. Scheitelwinkel, sovršen kot. Schenkel, krak. Schief, poševen. Schiefvvinklig, poševnokoten. Sečnica, Sekante. Seite, stran, stranica, stranina. Sekunda, Secunde. Senkrecht, navpičen. Simetrala, Symmetrale. Simetričen, symmetrisch. Sim etrično-j ednak, sy m metri scli-gl eicli. Skladen, congruent. t 175 Skladnost, Congruenz. Skupna mera, gemeinschaftliches Mass. Slok, krumm. Sokot, Nebenwinkel. Sokotje*, Nebenwinkelgebilde. Someren*, commensurabel. Sorazmeren, proportioniert. Sorazmerje, Proportion. Sorazmerica, Proportionale. Sosreden, concentrisch. Spitzwinklig, ostrokoten. Središče, Mittelpunkt. Središčen* kot, Centriwinkel. Središnica, Centrale. Srednica*, Mittellinie. Standpunkt, stališče. Standlinie, stalnica. Stopnja, Grad. Stopnja ločna*, Bogengrad. Stopnja kotna, Winkelgrad. Stožec, Kegel. Stožkovit, konisch. Strahi, trak. Štrahlenbiischel, trakovje*. Strablenpunkt, tračišče. Stran, stranica, stranina, Seite. Stranska ploskev (stranina), Seitenflache. Strecke, daljica. Stumpfwinklig, topokoten. Supplementwinkel, suplementaren* kot. Svinčnica, Senklot. Š. Šesterokotnik, Secbseck. Šesterostran, -straničen, sechsseitig. Šestilo, Cirkel. T. Tečaj, Pol. Telo, Korper. Teme, Scheitel. Tetiva, Sehne. Tetraeder, četverec. Tisočdelno poprečno merilo, tausend- theiliger Transversal-Masstab. Tlavid*, Mappe, Situation. Točka, Punkt. Topokoten, stumpfwinklig. Tračišče, Strablenpunkt. Trak, Strahi. Trakovje*, Štrahlenbiischel. Transversale, prečnica. Trapeč, Trapez. Trapecoid, Trapezoid. Trditev, Behauptung. Trikotnik, Dreieck. Trirobovnik, Dreikant. Tristran, -straničen, dreiseitig. Tvor, Gebilde. Tvorna prema, erzeugende Gerade. U. Ugledavati*, einvisieren. Umanjiti, verkleinern. Umfang, obseg, Umfang desKreises, obod. Unašati, auftragen. Unbestimmt, nedoločen. Ungleichseitig, raznostran. Ungleichwinklig, raznokoten. Unregelmassig, nepravilen. Utrkljaj, Kettennagel. V. Valj, Cylinder. Verbindungslinie, (črta) zveznica. Verhaltnis, razmerje. Verlangerung, podaljšek. Vieleck, mnogokotnik. Vierflachig, četveroplosk. Vierseitig, čveterostran, -straničen. Višina, Hohe. Vodnica, Leitlinie. Vodoraven, wagrecht. Voli, poln. Vrh, Scheitel. Vrtenje, vrtnja, Drehung. Vzmetna ravnina (vzmetnina), Projections- ebene. Vzmetniti, projicieren. Vzporeden, parallel. Vzporednica, Parallele. Vzporednik, Parallelogramm. W. Wagrecht, vodoraven. Wechselwinkel, izmeničen kot. 176 Winkel, kot. Winkelflache, kotna ploskev (kotnina). Z. Zavit, gekriimmt. Zavisen, abhangig. Zavisnost, Abhansrigkeit. Zaznamenjevalka, Zeichenstab. Znamenljiv, charakteristisch. Zusatz, dostavek. Zveznica, Verbindungslinie. Ž. Žarišče, Brennpunkt. K a z a 1 o Telo, ploskev, črta in točka Uvod. Stran 1 Prvi del. F® 1 sl n i i l i etrij a. Prvi oddelek. Osnovni računi z istovrstnimi loki in koti. 9 Drugi oddelek. O premočrtrLili lilsiib. -v obče. 1. Trikotnik.16 2. Četverokotnik.21 Kot v polukrogu. 20 3. Mnogokotnik. 22 Tretji oddelek. S3rla.d-n.ost premočrtnih, li3ro-v- Četrti oddelek. P=3.oščina premočrtnih Ilirov-. Ploščina premočrtnih likov ... 40 Naloge za načrtovanje ... 49 Računske naloge.44 IV Peti oddelek. O pod-olonosti premočrtnih. lils©T7\ Šesti oddelek. Sedmi oddelek. IBlipsa,, liiperhjola, in parabola. 1. Elipsa. 95 3. Parabola.100 2. Hiperbola. 97 Naloge za načrtovanje . . . 101 Osmi oddelek. Simetrična legra., projekcija. Simetrija.103 j Projekcija.104 Drugi del. Stereometrij a. Prvi oddelek. Preme in ravnine proštom. 1. Meje teles.107 Površje teles.108 Naloge.108 2. Lega ravnin in prem .... 109 Klin in kot.111 Vzporedne ravnine.112 Ravnina in vzporedna prema . 113 Ravnina in pravokotna prema . 113 Vaje o osnih presekih . . . 115 Vaje o diagonalnih presekih . 116 Simetrija z ozirom na ravnino 117 3. Telesni ogli.117 Projekcija na ravnine .... 119 v Drugi oddelek. O prostorils. in telesili. Tretji oddelek. 3Nz£erjen.je teles. Terminologija . . 171 NARODNA IN UNIUERZITETNR KNJIŽNICA 00000242807