Qualitative studies of some polynomial systems of ordinary differential equations - Dukarić, Maša (visokošolska dela, 2016)
Ta doktorska disertacija je posvečena študijam nekaterih kvalitativnih lastnosti določenih sistemov navadnih diferencialnih enačb. Osrednja obravnavana problema te teze sta problem integrabilnosti in cikličnosti. Prav tako so predstavljeni nekateri rezultati o klasifikaciji globalnih faznih portretov družine kubičnih sistemov. V prvem poglavju bodo predstavljeni osnovni pojmi in rezultati kvalitativne teorije sistemov NDE. Ker je pomembno orodje za študijo teh problemov komutativna računska algebra, bodo v uvodu predstavljeni tudi osnovni pojmi in lastnosti polinomskih idealov ter njihovih raznoterosti, vključno s številnimi algoritmi povezanimi s tem. V drugem poglavju je predstavljena metoda za raziskovanje obnašanja trajektorij v okolici izrojenih singularnosti. Ta je uporabljena v nadaljevanju pri klasifikaciji globalnih faznih portretov družine kubičnih sistemov z nilpotentnim centrom v izhodišču. V tretjem poglavju je študiran osrednji problem te disertacije, problem integrabilnosti. Problem integrabilnosti, ki je tesno povezan s problemom razlikovanja med centrom in fokusom, je bil raziskan za dve različni družini kubičnih sistemov NDE. S pristopom, ki temelji na računski algebri, so bili pridobljeni potrebni pogoji obstoja prvega integrala teh sistemov. Za vse razen za en pogoj je bil, s številnimi pristopi, dokazan obstoj prvega integrala. Problem centra realnih sistemov je lahko posplošen na kompleksne sisteme. Izhodišče sistema pridobljenega po kompleksifikaciji realnega sistema je tako imenovana 1:-1 resonantna singularnost, in iz tega sledi še dodatna posplošitev. To je tako imenovana posplošitev na p:-q resonantne centre. V tretjem poglavju je predstavljena tudi študija 1:-3 resonantne singularnosti kvadratične družine kompleksnega sistema. Četrto poglavje je namenjeno študiji problema integrabilnosti tridimenzionalnih sistemov s kvadratičnimi nelinearnostmi. Raziskan je bil problem obstoja dveh neodvisnih prvih integralov ter obstoja enega prvega integrala te družine. V zadnjem poglavju so raziskane bifurkacije limitnih ciklov družine kubičnih sistemov. Pridobljene so ocene števila limitnih ciklov, ki bifurcirajo iz vsake komponente raznoterosti centra.
Keywords: Bautin ideal; Bautinov ideal; center problem; cikličnost; cyclicity; darboux method; Darbouxjeva metoda; Diferencialne enačbe; Disertacije; dissertations; fazni portreti; focus quantities; fokusne količine; higher dimensional system of ODE's; integrability problem; limit cycle; limit cylces; limitni cikel; limitni cikli; linearizability; linearizabilnost; nilpotent center; nilpotentni center; phase portrait; planar systems of ODE's; Poincaré compactification; Poincaréjeva kompaktifikacija; Polinomski sistemi; problem centra; problem inegrabilnosti; ravninski sitem NDE; time-reversibility; višje dimenzionalni sistemi NDE