i i “368-Bezek” — 2010/5/19 — 8:24 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 6 (1978/1979) Številka 3 Strani 132–133 Danijel Bezek: HERONOVI TRIKOTNIKI Ključne besede: matematika. Elektronska verzija: http://www.presek.si/6/368-Bezek.pdf c© 1979 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. MATEMATIKA HERONOVI TRIKOTNIKI V oe~oštevi~8kih trikotnikih so dolž i ne stran ic naravna števi- la. ~e za celoštevilske trikotnike zahtevamo še kak dodaten pogoj, govorimo o "odlikovanih" celoštevilskih trikotnikih. Matemati ki vseh časov so se z njimi r ad i ukvarjali, ke r sk riva jo pod geometrijskim plaščem često zanimivo aritmetično in al- gebrsko vsebino. Presek je že objavil č l a nk e o celoštevilskih trikotn ikih, ki imajo naslednje dodatne lastnosti : a) "eden od notranjih kotov v trikotniku je 1200 , 900 ali 600 b) obseg je po števils ki vred nosti enak ploščini To pot si oglejmo celoštevils ke trikotnike, katerih ploščina je celo ( naravno) število. Takim trikotnikom pravimo He ronovi t rikot niki . Imamo naravni števili m in n , ki nista hkrati 1. Z njima tvorimo izraze za stranice a , b in o : a = m(1 + n2 ) ; b = n (1 + m2 ) in o = (m + n ) (mn - 1) Dokažimo, da so a , b in o stranice trikotnika , ki ima za plo- ščino celo število. a) Najprej do kažemo, da j e vsota poljubnih dveh stranic večja od tretje: a + b (m + mn 2) + (n + nm2 ) o = m2n + mn 2 - m - n + m + n Očitno je vsota (a + b ) za 2( m + n ) večja od o 1. Podobno pokaži, da velja: (a + o) > b in ( b + o ) > a b) Do kažimo še, da je ploščina celo število. Izraze za strani- 132 - c e or b, o v r t a v i n o v Heronov obrazec za ploJEino t r i k o t n i k a : p = & ( a - a ) ( a - b ) ( 8 - a)I .fn upoStevaao, da j e s = ( u + B + 0 ) / 2 fato doblmo: p = am' + nm-){m A - r n ~ p t s s ' - n)(m +; nl = (am2 + nnz) (m - 1 ) Tudf Heronovi tri k o t n i k i n i s o brez zanis f v o s t l . Oglejmo s i $a- rao nekatara: 2. Pokat i , da j e v Heronov3h t r i k o t n i k i h polmer t r i k o t n i k u vrr- tanega kroga vedno naravno B t e v i l o l 3 , l a r a v n i S t a v i l i m i n n imenujeao genera to r ja stranic Herono- vega t s l k o t n f ks. Kako Ju Je t raba i t b r a t i , da bo polmex Herono- vemu t r i k o t n i k u ot r tanega kroga t u d i narsvno g t e v i l o ? 4. A l i obata ja Heronov t r i k o t n f k , v katerem so v i g i n e s tpan ic naravna g te r i 1 a? 5 . BoloEi do1 t f n e s t r a n i c Heronovega t r i k o t n i k a z najmrnjhim obsegami 6. Pokaf i , da j e vsak pravokotnt t r l k o t n f k s c e l o l t e r i l s k i u t f s t r an f eani t u d i Heronov trl ko tn f kl HERONOVf TRIKOTNIKI - ref f tev- s s t r . 132 1 . Stran ica b j e t a Zn(m - 1 ) manjSa od vsote s t r a n i c (a+@) I n s t r a n i c a a j e 9% 2 m ( m - 1 ) manjsa od vsote s t r a n i c (&+el 3 . p = &a/4r * r = aba/4p = ( 1 + t t Z ) ( ~ + m2)/4 2 2 Produkt (1 + m ) ( I + n ) j e d e l j i v s 4, Ee s t a a i h n 1 i - h i t t a v i l i . 2 4 . = 2p/a = 2n(m + *)/(I + n ) B vb = 2 p / b = 2m(m + n) / ( l + m ) P, = 2p/o = 2 n m / ( m - 1 ) Ysi t r i j e imenovalci morajo b f t i sodi , za to s t a m i n n l i h i S t e v i l i . S t ev i l o (m - 1) j e potem sodo i n j e t v j e p ro t i ma. Ee na j bo v , ce lo S tav i lo , mora b t t f mm - 1 = 2 . Od tod an = 3 . Vstavlmo at 1 3 i n n = 1 v i z r a t za o, In vb i n se prepritamo, da vb n4 naravno Stevi lo. 5. Za m = 2 i n n = 2 dobimo t r i k o t n i k s stranicami o = l o s b - 10 in a = 12 . OkrajSamo r 2 i n dobimo a' = 5 . b * = 5 i n 8 m m 6 1 6. Za prevokatnl t r i ko tn ik r c e l o ~ t e v I l s k l m i stranicamf ve l ja : o = u2 - v e , b 1 2 , In c = w2 + e2 ( g l e j Presek - 4/f971/78). Plo i t i na je: p = ab/2 - ( a 2 - u2)uv .