GRADBENI VESTNIK G LA S ILO ZVEZE DRUŠTEV G R A D B E N IH IN ŽEN IR JEV IN TEHNIKO V S LO V E N IJE FEBRUfii 2000 Navodila avtorjem za pripravo člankov in drugih prispevkovGlavni in odgovorni urednik: P ro f.d r. Janez DUHOVNIK Lektor: Alenka RAIČ - BLAŽIČ Tehnični urednik: Danijel TUDJINA Uredniški odbor: □ oc.dr. Ivan JECELJ Andre j KOMEL, u.d.i.g . Mag. G ojm ir ČERNE □ oc.d r. Franci STEINMAN P ro f.d r. Miha TOMAŽEVIČ Tisk: Tiskarna TONE TOMŠIČ d d Ljub ljana Količina: 1D 00 Izvodov Revijo izdaja ZVEZA DRUŠTEV GRADBENIH INŽENIRJEV IN TEHNIKOV SLOVENIJE, Ljubljana, Karlovška 3, te lefon/faks: 01 4 2 2 - 4 B -2 2 , ob finančni pomoči M in is trs tv a RS za znanost in tehno log ijo te r Faku lte te za g ra d ben iš tvo in geodezijo U niverze v Ljubljani. Le tno izide 12 štev ilk . Le tna naročn ina za individualne n a ro č ­ nike znaša 3 0 0 0 SIT; za š tu d e n te in upokojence 1 5 0 0 SIT; za gospodarske naročnike (pod je tja , družbe, ustanove, ob rtn ike ] 3 5 0 0 0 SIT za 1 izvod revije; za naročnike v tu jin i 100 USD. V ceni je v š te t DDV. Ž iro račun se nahaja pri A genciji za p lačiln i p rom et, Enota L jub ljana, š tev ilka : 5 0 1 0 1 -6 7 8 - 4 7 6 0 2 . 1. U redn iš tvo spre jem a v objavo znanstvene in s trokovne članke s področja g radben iš tva in druge prispevke, pomembne in zanimive za gradbeno s troko . 2. Znanstvene in strokovne članke pred objavo p reg leda ta dva recenzen ta , ki ju določi glavni in odgovorni urednik. 3. Besedilo prispevkov mora b iti napisano v slovenščin i. 4. Besedilo mora b iti izpisano z dvojnim presledkom med v r s t i ­ cam i. 5. Prispevki m orajo im e ti naslov, imena in priim ke av to rjev te r besedilo prispevka. 6. Besedilo člankov mora obvezno im e ti: naslov članka [velike črke]; imena in priim ke av to rjev ; naslov POVZETEK in povzetek v slovenščin i; naslov SUMMARY, naslov članka v angleščin i (velike črke] in povzetek v angleščin i; naslov UVOD in besedilo uvoda; naslov naslednjega poglavja (velike črke) in besedilo poglavja; naslov razdelka in besedilo razdelka (neobvezno]; naslov SKLEP in besedilo sklepa; naslov ZAHVALA in besedilo zahvale (neobvezno); naslov LITERATURA in seznam lite ra tu re ; naslov DODATEK in besedilo dodatka (neobvezno). Če je dodatkov več, so dodatki označeni še z A, B, G, itn . 7. Poglavja in razdelki so lahko o š te v ilče n i. 8. Slike, preg lednice in fo to g ra fije m orajo b iti oš tev ilčene in oprem ­ ljene s podnapisi, ki pojasnjujejo njihovo vsebino. Slike in fo to ­ gra fije , ki niso v e lek tronsk i obliki, m orajo b iti priložene prispevku v orig ina lu in dveh kopijah. 9. Enačbe m orajo b iti na desnem robu označene z zaporedno štev ilko v okroglem oklepaju. 10. Uporabljena in c itira n a dela m orajo b iti navedena med besedilom prispevka z oznako v obliki [priim ek prvega av to rja , le to objave). V is tem le tu objavljena dela is tega av to rja m orajo b iti označena še z oznakami a, b, c, itn . 11. V poglavju LITERATURA so dela opisana z naslednjim i p o d a t­ ki: priim ek, ime av to rja , p riim ki in imena drug ih avto rjev , naslov dela, način objave, le to objave. 12. Način objave je opisan s podatki: knjige: založba; revije: ime revije, založba, le tn ik , š tev ilka , s tra n i od do; zborniki: naziv ses tanka , o rg a n iza to r, kraj in da tum sestanka , s tra n i od do; raziskovalna poročila : v rs ta po ro ­ čila, naročnik, oznaka pogodbe; za druge v rs te virov: k ra te k opis, npr. v zasebnem pogovoru. 13. Pod č r to na prvi s tra n i, pri prispevkih, kra jš ih od ene s tra n i pa na koncu prispevka, m orajo b iti navedeni obsežnejši podatk i o a v to rjih : znanstven i naziv, ime in priim ek, s trokovn i naziv, pod je tje ali zavod, naslov. 14. Prispevke je tre b a pos la ti glavnemu in odgovornem u u re d ­ niku prof. dr. Janezu Duhovniku na naslov: FGG, Jamova 2, 1 0 0 0 LJUBLJANA. V sprem nem dopisu mora a v to r članka n ap isa ti, kakšna je po njegovem mnenju vsebina članka (p re težno z n a n s t­ vena, p re težno s trokovna ) o z iro ­ ma za ka te ro rubriko je po njegovem mnenju prispevek p r i­ meren. Prispevke je tre b a pos la ti v t re h izvodih in v e lek tronsk i oblik i (WORD, EXCEL, AVTOCAD, DESIGNER], U redniški odbor G R A D B E N I V E S T N I K G L A S I L O Z V E Z E D R U Š T E V G R A D B E N I H I N Ž E N I R J E V I N T E H N I K O V S L O V E N I J E U D K - U D C 0 5 : 6 2 5 ; I S S N 0 0 1 7 - 2 7 7 4 L J U B L J A N A , F E B R U A R 2 0 0 0 L E T N I K X X X X I X S T R . 2 5 - 4 8 VSEBINA - CONTENTS Članki študije, razprave Articles, studies, proceedings Stran 26 Renata Jeci M ODELIRANJE PRENO SNIH POJAVOV V POROZNI SN O VI Z ROBNO OBMOČNO INTEGRALSKO METODO BOUNDARY-DOMAIN INTEGRAL METHOD FOR TRANSPORT PHENOMENA IN POROUS MEDIA Stran 36 Živa Kristl SVETLOBNI JAŠKI KOT DODATEN VIR DNEVNE SVETLOBE V STAVBAH LIGHT WELLS AS COMPLEMENTARY DAYLIGHT SOURCE IN BUILDINGS / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / B Z:z_l:z_z OmIO 20 30 40 50 Stran 45 Svitan Gaborovič, Matej Mencinger IZRAČUN UPOGIBNICE S PROGRAMOM SCIENTIFIC NOTEBOOK CALCULATING DEFLECTION LINE USING SCIENTIFIC NOTEBOOK R . J E C L : M o d e l i r a n j e p r e n o s n i h p o j a v o v v p o r o z n i s n o v i MODELIRANJE PRENOSNIH POJAVOV V POROZNI SNOVI Z ROBNO-OBMOČNO INTEGRALSKO METODO BOUNDARV-DOMAIN INTEGRAL METHOD FOR TRANSPORT PHENOMENA IN POROUS MEDIA ZNANSTVENI ČLANEK U D K : 5 3 2 . 5 4 6 : 5 1 9 . 6 1 / . 6 4 R E N A T A J E C L P O V Z E T E K V članku je prikazana uporaba Robno Območne Integra lske M etode (ROIM) za reševanje prenosnih pojavov v porozni snovi. Uporabljen je s is tem modificiranih Navier-Stokesovih enačb, pri čem er je upoštevana Brinkmanova gibalna enačba. Vodilne parcialne diferencialne enačbe, s katerim i opišemo prenosne pojave v porozni snovi, so zapisane na osnovi H itro s tn o -V rtin čn e form ulacije (HVF], z uporabo ustrezn ih osnovnih re š itev (Greenovih funkcij] prevedene v in tegra lsko obliko, zapisane v d iskre tn i obliki in rešene z uporabo računalniškega modela. Model tem e lji na uporabi računalniškega paketa BEEAS -Boundary E lem ent Engineering Analysis S is te m - razvitega v Labora to riju za prenosne pojave v trdn inah in tekočinah na Fakulteti za s tro jn iš tv o Univerze v M ariboru. Osnovni model je dopolnjen, tako da zajema vse potrebne param etre za definiranje in opis obravnavanega prenosnega pojava v porozni snovi. Numerični model je te s tira n na prim eru naravne konvekcije v porozni kotanji, g re ti od s tran i. S U M M A R Y A Boundary Domain Integral M ethod (BDIM) fo r the solution of t ra n s p o r t phenomena in porous media is presented. The sys tem of modified Navier-S tokes equations is used, where th e Brinkman m om entum equation is taken in to account. Governing pa rtia l d iffe rentia l equations are w r it te n based on th e V e loc ity-V ortic ity Form ulation (VVF), w ith th e use of appropria te fundam ental so lu tions - Green functions fu r th e r tran s fo rm ed in to in tegra l equations, d iscre tized and finally solved w ith numerical model. Model is based upon the com pute r package BEEAS -Boundary E lem ent Engineering Analysis S is te m - which has been developed in th e Labora to ry fo r t ra n s p o rt phenomena in solids and fluids a t th e Faculty of Mechanical engineering, U n iversity of Maribor. The num erical model th a t include all necessary data fo r modeling of the tra n s p o r t phenomena in porous media is incorporated in to th e main code. Numerical model is te s te d on a case of natura l convection in a porous cavity heated from th e side. Avtor: □r. RENATA JECL, univ. dipl. inž. g ra d b ., Faku lte ta za gradben ištvo , Univerza v M ariboru , Sm etanova 17, e-m ail: renata .jec l@ uni-m b.s i R . J E C L : M o d e l i r a n j e p r e n o s n i h p o j a v o v v p o r o z n i s n o v i U V O D P o r o z n a s n o v je p o j e m , ki s e p o j a v l j a v m n o g i h p o d r o č j i h z n a n o s t i in t e h n o l o g i j e o d h i d r o l o g i j e , g r a d b e n i š t v a , p r o c e s n e g a strojništva, g e o t e h n i k e , m i k r o e l e k t r o n i k e d o k e m i j e , V g r a d b e n i š t v u s r e č u j e m o p o r o z n o s n o v pri t o k u p o d t a l n i c e v v o d n j a k i h in g a ­ lerijah, g i b a n j u v l a g e s k o z i in p o d i n ž e n i r s k i m i z g r a d b a m i , t r a n s p o r t u p o l u t a n - t o v v p o d t a l n i c i , pri p o j m u p r e n o s a v o d e s k o z i g r a d b e n i m a t e r i a l ( o p e k a , b e t o n , asfalt) in pri p r e h o d u t o p l o t e s k o z i s l o j e t o p l o t n e izolacije. P o r o z n a s n o v je m a t e r i a l , s e s t a v l j e n iz t r d n e g a d e l a in p o r , z a k a t e r e p r e d p o s t a v i m o , d a s o m e d s e b o j p o v e z a n e , saj je le t a k o m o ž e n t o k s k o z n j e [ B e a r , 1 9 9 1 ] , P r e n o s n i p o j a v i s o t r a n s p o r t n i p r o c e s i , ki o p i s u j e j o r a z š i r j a n j e r a z l i č n i h s p r e m e n l j i ­ v k (n pr . s n o v , g i b a l n a k o l i č i n a , t o p l o t a ) s k o z i p o r o z n o s n o v . V z a d n j i h d e s e t l e t j i h s o s e ti p r o c e s i i n t e n z i v n o p r e u č e v a l i , t a k o e k s p e r i m e n t a l n o k o t t u d i t e o r e t i č n o . Z r a z v o j e m n a t a n č n i h i n s t r u m e n t o v in n o v i h e k s p e r i m e n t a l n i h t e h n i k je m o ž n o d a n e s izmeriti m n o ž i c o fizikalnih la s t n o s t i p o r o z ­ n e s n o v i , r a z v o j r a č u n a l n i š t v a p a je o m o ­ g o č i l t u d i m o d e l i r a n j e in s i m u l i r a n j e r a z ličnih p r e n o s n i h p o j a v o v . R o b n o - o b m o č n a i n t e g r a l s k a m e t o d a ( R O I M ) je i z p e l j a n k a k l a s i č n e m e t o d e r o b ­ n i h e l e m e n t o v ( M R E ) . M e t o d a r o b n i h e l e ­ m e n t o v s e je z a č e l a i n t e n z i v n o u p o r a b l j a t i p o izdaji p r v e k n j i g e a v t o r j a C . A . B r e b b i e s p o d r o č j a p o ­ t e n c i a l n e g a t o k a leta 1 9 7 8 [ B r e b - bia, 1 9 7 8 ] , M e t o d a s e je k m a l u razširila t u d i n a p r o b l e m e t o k a v i s k o z n e , n e - stistljive t e k o č i n e , kjer s o o h r a n i t v e n e e n a č ­ b e v i n t e g r a l s k i ob li k i r o b n o - o b m o č n e g a tipa, saj s e k o t n e z n a n k e v s i s t e m u d i s k r e t ­ n i h e n a č b p o j a v l j a j o t a k o r o b n e k o t o b m o č ­ n e v r e d n o s t i s p r e m e n l j i v k . T a k o je iz k l a s i č n e m e t o d e r o b n i h e l e m e n t o v n a s t a l a i z p e l j a n k a , i m e n o v a n a r o b n o - o b m o č n a i n ­ t e g r a l s k a m e t o d a . B i s t v o R O I M je h i t r o s t n o - v r t i n č n a f o r m u l a c i j a ( H V F ) , ki z v p e l j a v o v r t i n č n o s t i o m o g o č a n u m e r i č n o l o č i t e v ki­ n e m a t i k e (hitrost) in k i n e t i k e t o k a ( v r t i n č ­ nosti, t e m p e r a t u r a ) . M e t o d a je š e p o s e b e j u č i n k o v i t a pri r e š e v a n j u p r o b l e m o v , z a k a ­ t e r e p o z n a m o o s n o v n e r e š i t v e o z i r o m a G r e - e n o v e f u n k c i j e . V o d v i s n o s t i o d o b l i k e i n t e g r a l s k e e n a č b e s e u p o r a b l j a v e č o s n o ­ v n i h rešitev, ki l a h k o z a j e m a j o v p l i v g e o m e ­ trije in s n o v s k i h l a s tnosti ( H e l m h o l t z o v a ) ali p o l e g t e g a š e v p l i v hitrosti ( d i f u z i v n o - k o n - v e k t i v n a o s n o v n a r ešitev) [ Š k e r g e t , 1 9 8 9 ] , O S N O V N E E N A Č B E V s p l o š n e m s o e n a č b e , ki o p i s u j e j o različ­ n e p r e n o s n e p o j a v e v p o r o z n i s n o v i z n a n e in z a p i s a n e n a m i k r o s k o p s k e m n i v o j u , kjer s e o s r e d o t o č a m o n a d o g a j a n j e v ( m a t e m a ­ tični) t o č k i z n o t r a j o b r a v n a v a n e f a z e (trdni- n a ali t e k o č i n a ) p o r o z n e s n o v i . L a h k o s e c e l o z g o d i , d a p o z n a m o r o b n e p o g o j e n a p o v r š i n a h , ki loči j o f a z e m e d s e b o j , t o d a n a t e m n i v o j u e n a č b ni m o g o č e rešiti, saj s e g e o m e t r i j a p o v r š i n e n e d a izmeriti in/ali je p r e v e č k o m p l e k s n a , d a bi j o b ilo m o č o p i ­ sati. P o s l e d i č n o s t a o p i s in r e š i t e v p r e n o ­ s n e g a p o j a v a n a m i k r o s k o p s k e m n i v o j u n e m o g o č a in t u d i n e p r a k t i č n a . Z a t o je p o ­ t r e b n o u s t r e z n e e n a č b e za p i s a t i n a v i š j e m , m a k r o s k o p s k e m n i v o j u , k j e r s e l a h k o d o ­ ločijo m e r l j i v e v e l i č i n e , ki d o l o č a j o n u m e ­ r i č n o rešljiv p r o b l e m r o b n i h v r e d n o s t i [ N i e l d , 1 9 9 2 ] , O b i č a j n a p o t z a i z p e l j a v o v o d i l n i h e n a č b z a o p i s p r e n o s n i h p o j a v o v v p o r o z n i s n o v i v o d i p r e k z a p i s a s t a n d a r d n i h o h r a n i t v e n i h e n a č b , ki v e l j a j o z a č i s t o t e k o č i n o , z a k a t e r e p o g o s t o u p o r a b l j a m o izraz N a v i e r - S t o k e s o v e e n a č b e in n j i h o v e g a p o v p r e č e n j a p o d e f i n i ­ r a n e m r e p r e z e n t a t i v ­ n e m e l e m e n t a r n e m v o l u m n u ( R E V ) , ki m o r a biti d o l o č e n ta ko , d a n e g l e d e n a n j e g o v o m e s t o z n o t r a j p o ­ r o z n e s n o v i , v e d n o v s e b u j e t r d n o f a z o in t e k o č i n o , ki z a p o l n j u j e p r o s t o r e m e d d e l c i t r d n i n e . P o s t o p e k p o v p r e č e n j a je d e t a j l n o i z p e l j a n v [Jecl, 1 9 9 9 a], n a t e m m e s t u p a z a p i š e m o k a r v o d i l n i s i s t e m m a k r o s k o p s k i h e n a č b z a o p i s p r e n o s n i h p o j a v o v v p o r o z n i s n o v i , pri č e m e r s m o u p o š t e v a l i n a s l e d n j e p r e d p o s t a v k e : - t r d n a f a z a p o r o z n e s n o v i je h o m o g e n a , i z o t r o p n a in n e d e f o r m a b i l n a , - t e k o č a f a z a o z i r o m a t e k o č i n a je nestislji- va, v i s k o z n a , e n o f a z n a ( v s e p o r e s o z a p o l ­ n j e n e z e n o s a m o t e k o č i n o ) in n e w t o n s k a , - p o r o z n a s n o v je z a s i č e n a , k a r p o m e n i d a s o v s e p o r e z a p o l n j e n e s t e k o č i n o , - p o v p r e č n i t e m p e r a t u r i t r d n e in t e k o č e f a z e s t a e n a k i - p o r o z n a s n o v je v t e r m o d i n a m i č ­ n e m r a v n o v e s j u , k a r p o m e n i , d a e n e r g i j s k e s p r e m e m b e ali t u d i t o p l o t n o o b n a š a n j e p o r o z n e s n o v i z a p i š e m o z e n o s a m o e n a č b o z a p o v p r e č n o t e m p e r a t u r o T — T = Ttrdno tekoče ‘ D o b l j e n i s i s t e m n e l i n e a r n i h p a r c i a l n i h d i ­ f e r e n c i a l n i h e n a č b i m e n u j e m o m o d i f i c i r a n s i s t e m N a v i e r - S t o k e s o v i h e n a č b . P r e d s t a ­ vlja o s n o v n e z a k o n e o h r a n i t v e m a s e , g i b a l ­ n e k o l i č i n e in e n e r g i j e in je s e s t a v l j e n iz k o n t i n u i t e t n e e n a č b e , g i b a l n e - B r i n k m a n o - v e e n a č b e in e n e r g i j s k e e n a č b e [Jecl, 2 0 0 0 a]. • k o n t i n u i t e t n a e n a č b a • g i b a l n a - B r i n k m a n o v a e n a č b a • e n e r g i j s k a e n a č b a k jer s o v , (p , K k a p i l a r n a ali filtracijska h i ­ trost, p o r o z n o s t in p r o p u s t n o s t p o r o z n e s n o v i . V e k t o r s k i funkciji g. i n * , p r e d s t a v l j a t a t e ž o in i-to k o o r d i n a t o , s k a l a m i f u n k c i j i P in r s t a m o d i f i c i r a n tlak (P = p - p g . r .) in t e m p e r a t u r a , dP/dx. p a je tlačni g r a d i e n t v 1 5 v , 1 S v v 1 d P y y d 2v 1 I S / . . \ - - - L + — — - = - - - - - -I- b g i - — v i + L- - - - - + - - - - ( 2 y s . ) (j) d t (|r o x j p d x j K (]> o x ;. x ;. d x j (2) Darcyjevzakon Brinkmanovclen d r d v t _ d 2 r d g — + ^ r ~ = a - - - — + — d t d x ] d x ] d x j o X j y f , d l A a p — O X j.j (3) R . J E C L : M o d e l i r a n j e p r e n o s n i h p o j a v o v v p o r o z n i s n o v i s m e r i t o k a . F i z i k a l n a l a s t n o s t p je g o s t o t a t e k o č i n e , S., p a p r e d s t a v l j a t e n z o r d e f o r m a ­ ci js k i h hitrosti S..=l/2(dv./ dx. + dv./dx.) V p l i v n a r a v n e k o n v e k c i j e je u p o š t e v a n v g i b a l n i e n a č b i z u p o r a b o B o u s i n e s q o v e a p r o k s i m a c i j e , k jer je v p l i v t e m p e r a t u r e n a g o s t o t o t e k o č i n e u p o š t e v a n le pri č l e n u p r o - s t o r n i n s k i h sil, pri v s e h d r u g i h č l e n i h p a je g o s t o t a k o n s t a n t n a . Z a s p r e m e m b o g o s t o ­ te u p o r a b i m o s p l o š e n izraz p = p 0 ( l + F ) , pri č e m e r je p o v e z a v a m e d g o s t o t o in t e m ­ p e r a t u r o p o d a n a s f u n k c i j o F k o t F = p - p 0 / p = ß T ( T - T0).p 0 p r e d s t a v l j a r e f e r e n č n o g o s t o t o pri t e m p e r a t u r i T0, ß T p a je k o e f i ­ c i e n t t e m p e r a t u r n e g a v o l u m e n s k e g a r a z t e z - ka. N a s l e d n j a f i z i k a l n a l a s t n o s t je ki- n e m a t i č n a v i s k o z n o s t 7 ( 7 = p / p ) , ki je r a z d e l j e n a n a k o n s t a n t n i in s p r e m e n l j i v i d e l k o t y = y + 7 ” . K o e f i c i e n t a p r e d s t a v l j a r a z m e r j e t o p l o t n i h k a p a c i t e t t r d n e in t e k o č e f a z e a = 0 + (psc j p c ) ( 1 - 0 ), k jer s t a p s in cs g o s t o t a in s p e c i f i č n a t o p l o t a t r d n e faze. K o e f i c i e n t a je k o n s t a n t n i d e l t o p l o t ­ n e d i f u z i v n o s t i , a p a s p r e m e n l j i v i d el, pri č e m e r v e l j a a ~a + a " . T o p l o t n a d i f u z i v - n o s t j e v s p l o š n e m i z r a č u n a n a k o t a = X / p c , k j e r je Xp t o p l o t n a p r e v o d n o s t p o r o z n e s n o v i d e f i n i r a n a k o t X = ( l - 0 ) X + , ö x v 3 d x j - d 2( o i d X j d X j ■ + 2 d t ' d v (j)2 y e ijkg k — + r a , — - - - © , . d x . d x . K + 4> _ s _ d x .. d c o +'A oXj) 5_ A d x j (6 ) ki o p i s u j e p r e r a z p o r e d i t e v v e k t o r j a v r t i n č n o ­ sti v t o k o v n e m po lj u . N o v a s p r e m e n l j i v k a r v je m o d i f i c i r a n i vr ti n č n i č a s o v n i k o r a k t v = r / 0 , ki g a v p e l j e m o za to , d a l a h k o u p o r a ­ b i m o i d e j o H V F pri t r a n s f o r m a c i j i g i b a l n e e n a č b e , z a d n j i č l e n e n a č b e (6 ) p a je p r i s p e ­ v e k z a r a d i ( m o r e b i t n i h ) n e l i n e a r n i h fizikal­ n i h lastnosti, d e f i n i r a n k o tf = 0 ( V y x s . ) . V e n e r g i j s k o e n a č b o v p e l j e m o m o d i f i c i r a ­ ni t e m p e r a t u r n i č a s o v n i k o r a k r t k o t r t = t/ o in z a p i š e m o p r e n o s n o e n a č b o t e m p e r a ­ t u r n e k i n e t i k e v obliki d i f u z i v n o - k o n v e k t i v - n e p a r c i a l n e d i f e r e n c i a l n e e n a č b e 5 T d T _ - - - F v . - - = a d x T d x j f “ p V A L 8 x j y 8 2 T - - - - - h d x j d x j (7) ki o p i s u j e p r e r a z p o r e d i t e v t e m p e r a t u r e v t o k o v n e m polju. Z a i z b o l j š a n j e k o n v e r g e n c e v e z a n e h i t r o - s t n o - v r t i n č n e iterativne s h e m e u p o r a b i m o n a m e s t o e n a č b e (5) p a r a b o l i z i r a n o k i n e m a - t i č n o e n a č b o d 2v j 1 3 v i d o k -------1------------ + e ,,k— - d x jd x j a d t dx_ 0 , ( 8 ) k j e r je a r e l a k s a c i j s k i p a r a m e t e r , ki o m o ­ g o č a d a je v o d i l n a h i t r o s t n a e n a č b a ( 5 ) i z p o l n j e n a s a m o v u s t a l j e n e m s t a n j u ( r - » » ) , k o č a s o v n i o d v o d o d p a d e . V s h e ­ m i r e š i t v e m o r a j o biti e n a č b e (6 ), ( 7 ) in (8 ) R . J E C L : M o d e l i r a n j e p r e n o s n i h p o j a v o v v p o r o z n i s n o v i r e š e n e iterativno, pri č e m e r m o r a m o p o d a t i š e u s t r e z n e r o b n e p o g o j e . Z a k i n e m a t i k o s o r o b n i p o g o j i l a h k o Dirichletovi, N e u m a n n o v i ali C a u c h y j e v i , r o b n e p o g o j e z a k i n e t i k o v r t i n č n o s t i p a i z r a č u n a m o d i r e k t n o iz r e z u l ­ t a t o v k i n e m a t i k e s p o m o č j o d e f i n i c i j e v r ­ t i n č n o s t i , ki je p o d a n a z e n a č b o (4) [ Š k e r g e t , 1 9 9 9 ] . I N T E G R A L S K E E N A Č B E S p o m o č j o h i t r o s t n o - v r t i n č n e f o r m u l a c i j e je p o t r e b n o z a p i s a n e p a r c i a l n e d i f e r e n c i a l n e e n a č b e t r a n s f o r m i r a t i v i n t e g r a l s k e z u p o ­ r a b o t e h n i k e u t e ž n i h o s t a n k o v v k o m b i n a ­ ciji s p r i m e r n i m i o s n o v n i m i r e š i t v a m i o z i r o m a G r e e n o v i m i f u n k c i j a m i . S p l o š n a n e l i n e a r n a č a s o v n o o d v i s n a d i f u - z i v n o - k o n v e k t i v n a p a r c i a l n a d i f e r e n c i a l n a e n a č b a , s k a t e r o o p i š e m o t r a n s p o r t p o l j u ­ b n e f u n k c i j e p o l j a u, ki je l a h k o p o l j u b n a s k a l a m a ali v e k t o r s k a f u n k c i j a (hitrost, v r - t i n č n o s t , t e m p e r a t u r a ) , i m a o b l i k o d d x a 8 u J V 8 x i 8 u c v u - - - - - + d t c x j + 1 = 0 (9) kjer je a d i f u z i v n o s t in 7 i z v o r n i č l e n . Č e d i f u z i v n o s t z a p i š e m o v ob li k i v s o t e k o n ­ s t a n t n e g a in s p r e m e n l j i v e g a d e l a k o t a = a+a", l a h k o e n a č b o ( 9 ) r a z d e l i m o n a l ine­ arni in n e l i n e a r n i d e l k o t d u o v u _ 8 2u ---------= a ----------------- d t o X j d x j d x j + - o x a c u + L A c x j J ( 1 0 ) E n a č b a ( 1 0 ) p r e d s t a v l j a p a r a b o l i č e n p r o ­ b l e m z a č e t n i h r o b n i h v r e d n o s t i , z a t o je p o ­ t r e b n o m a t e m a t i č e n o p i s p r o b l e m a z a k l jučiti z z n a n i m i r o b n i m i in z a č e t n i m i p o g o j i , n p r . D i r i c h l e t o v i m i n a d e l u r o b a r , in N e u m a n o v i m i n a r 2 u = u t n a T , z a t > t0 ,(1 1 ) . d u k „ n O X j d u — t n a r 2 z a t > t0 ,(1 2 ) d n u = u0 v Q n CDN ( 1 3 ) P a r a m e t r a a in k i n t e r p r e t i r a m o r a z l i č n o , o d v i s n o o d o b r a v n a v a n e v o d i l n e e n a č b e , z u s t r e z n i m o h r a n i t v e n i m z a k o n o m . K e r s o k o n č n i rezultati o z i r o m a n j i h o v a k o n ­ v e r g e n c a m o č n o o d v i s n i o d i z b r a n e o s n o ­ v n e re ši t v e , ki s e u p o r a b l j a pri t r a n s ­ f o r m a c i j i d i f e r e n c i a l n i h e n a č b v i n t e g r a l s k e , b o m o u p o r a b i l i d v e o s n o v n i rešitvi, in s i ­ cer: - m o d i f i c i r a n o H e l m h o l t z o v o , ki z a j e m a v p l i v g e o m e t r i j e in s n o v s k e lastnosti, z a k i n e m a t i č n i d e l in - d i f u z i v n o - k o n v e k t i v n o , ki z a j e m a v p l i v g e o m e t r i j e , s n o v s k e l a s tnosti p o l e g t e g a p a š e v p l i v hitrosti, z a k i ne t i č n i d e l i z r a č u n a . • d n = A 'M 3 + e ,]k®kn j ' A d n u d r J d ue,jk ® k — d & +d x . + ß J v ; , F - i u dQ., ( 1 8 ) Q k j e r je u m o d i f i c i r a n a H e l m h o l t z o v a o s n o ­ v n a r e š i t e v [ Ž a g a r , 1 9 9 5 ] , / ? p a p a r a m e t e r , d e f i n i r a n M ß = 1 / a A t . 1 . K i n e m a t i k a V e n a č b i ( 1 0 ) l a h k o č a s o v n i o d v o d a p r o k ­ s i m i r a m o z u p o r a b o i z r a z a k o n č n i h razlik d u u F - m f . _ ] d t A t ( 1 4 ) in j o z a p i š e m o v o b l i k i m o d i f i c i r a n e H e l - m h o l t z o v e p a r c i a l n e d i f e r e n c i a l n e e n a č b e a ! " “ + i , = 0 . ( 1 5 ) d x jd x ] a A t U p o š t e v a m o , d a v s a k a k o m p o n e n t a v e k t o r j a hitrosti v. iz e n a č b e (8 ) z a d o š č a e n a č b i ( 1 5 ) in d o b i m o d x j d x j = 0, ( 1 6 ) k jer č l e n n a v i d e z n i h t e l e s n i h sil b i v k l j u č u j e z a č e t n e h i t r o s t n e p o g o j e in vr t i n č n i d e l t o k a b i = P T . f - i + * ijk ° ® k d x j ( 1 7 ) I n t e g r a l s k a e n a č b a , ki o p i s u j e t r a n s p o r t h i ­ t r o s t n e g a p o l j a v t r i d i m e n z i o n a l n e m p o r o z ­ n e m p r o s t o r u je i z p e l j a n a z u p o r a b o t e h n i k e u t e ž n i h o s t a n k o v [J ec l , 1 9 9 9 b ] in d o b i o b l i k o 2 . K i n e t i k a N a j b o l j s t a b i l n o i n t e g r a l s k o p r e d s t a v i t e v l a h k o f o r m u l i r a m o z u p o r a b o o s n o v n e r e ­ š i t v e d i f u z i v n o - k o n v e k t i v n e P D E s k o n s t a n t ­ n i m i k o eficienti. Z a t o je p o t r e b n o hitrostni v e k t o r v ;. razdeliti n a k o n s t a n t n i d e l ( Vj - d o m i n a n t n a h itrost) in s p r e m e n l j i v i d e l ( v j - v a r i a b i l n i o s t a n e k ) , k o t v . = v . + v . P o n o v n o u p o r a b i m o a p r o k s i m a c i j o č a s o v n e g a o d v o d a z i z r a z o m k o n č n i h razlik ( 1 4 ) ter e n a č b o (1 0 ) z a p i š e ­ m o v obliki n e h o m o g e n e d i f u z i v n o - k o n v e k ­ t i v n e d i f e r e n c i a l n e e n a č b e _ d 2u a d x j d x j d v u u . — --------- + h dx,. A t : 0 . ( 1 9 ) U p o š t e v a m o , d a v s a k a k o m p o n e n t a v e k t o r j a v r t i n č n o s t i iz p r e n o s n e e n a č b e k i n e t i k e v r ­ t i n č n o s t i (6 ) u s t r e z a e n a č b i ( 1 9 ) in d o b i m o , _ Ö 2CÖ, — CG), (PY--------------v.. d x j d x j ; d x . A b i = ° > A x „ R . J E C L : M o d e l i r a n j e p r e n o s n i h p o j a v o v v p o r o z n i s n o v i tiko v r t i n č n o s t i z a p i š e m o t u d i i n t e g r a l s k o u p o r a b o i n t e g r a l o v , ki s o f u n k c i j e g e o m e - e n a č b o t e m p e r a t u r n e k i n e t i k e v obliki_ _ _ _ trije, č a s o v n e g a k o r a k a in s n o v s k i h l a s t n o - r < & y m + \ r ^ ~ = T j d o n n J 1 rf d l ' 7, a n - - - 1 v. a / T \ p d n u dr + ( 2 3 ) +F^r-u p a r d T d x . o U * d x . d n + $ j T iF _,U*dn kjer v e k t o r n a v i d e z n i h t e l e s n i h sii ^ . v s e b u j e v p l i v k o n v e k c i j e z a r a d i v a r i a b i l n e g a d e l a hitrosti, d e f o r m a c i j e , v z g o n s k i č l e n , s p r e ­ m e m b o v r t i n č n o s t i z a r a d i la s t n o s t i p o r o z ­ n e s n o v i , z a č e t n e p o g o j e , n e l i n e a r n i o z i r o m a va r i a b i l n i d e l difuzije in č l e n d e f o r ­ m a c i j s k i h hitrosti v obliki P o n o v n o u p o r a b i m o m e t o d o u t e ž n i h o s t a n k o v in e n a č b o (2 0 ) t r a n s f o r m i r a m o v i n t e g r a l s k o ter d o b i m o kjer je IT p o n o v n o m o d i f i c i r a n a d i f u z i v n o - k o n v e k t i v n a o s n o v n a r e š i t e v p o d a n a z U*=a u , ß p o z i t i v n o število, d e f i n i r a n o kot ß - 1 / a A r r in u e l i p t i č n a d i f u z i v n o - k o n - v e k t i v n a o s n o v n a rešitev. E n a č b a ( 2 3 ) o p i ­ s u j e p r e r a z p o r e d i t e v t e m p e r a t u r e v tri­ d i m e n z i o n a l n e m p o r o z n e m p r o s t o r u . DISKRETNA O BLIKA INTEGRALSKIH EN AČ B K e r je n u m e r i č n i m o d e l p r i r e j e n z a o b r a v - sti. V n a s l e d n j e m k o r a k u z a p i š e m o e n a č b e š e z a v s a r o b n a in o b m o č n a v o z l i š č a , k a r n a m d a v e z a n i m a t r i č n i s i s t e m n e l i n e a r n i h e n a č b , z a p i s a n z a p r i m e r r a v n i n s k e f o r m u ­ lacije: • z a k i n e m a t i k o z a i z r a č u n n e z n a n i h k o m p o n e n t v e k t o r j a hitrosti in n o r m a l n i h o d v o d o v h i t r o s t n i h k o m p o n e n t : E n a č b a ( 2 2 ) o p i s u j e p r e r a z p o r e d i t e v v e k ­ torja v r t i n č n o s t i v t r i d i m e n z i o n a l n e m p o r o z ­ n e m p r o s t o r u , pri č e m e r je IT m o d i f i c i r a n a d i f u z i v n o - k o n v e k t i v n a o s n o v n a rešitev, p o ­ d a n a z l f =

+ PSCP, J P CP (!-)’ k j e r s o D , H, A T š i r i n a in v i š i n a k o t a n j e ter t e m p e r a t u r n a razlika m e d l e v o in d e s n o s t e n o . N u m e r i č n i m o d e l s m o testirali n a v e č pri­ m e r i h [ J e c l , 2 0 0 0 bj, pri č e m e r n a t e m m e s t u d e t a j l n o p r i k a z u j e m o r e z u l t a t e z a n a r a v n o k o n v e k c i j o v k v a d r a t n i k o t a n j i ( A = 1), greti o d strani z a r a z l i č n a m o d i f i ­ c i r a n a R a y l e i g h o v a š t e v i l a ( 1 0 0 , 2 0 0 , 5 0 0 in 1 0 0 0 ) . D i r e k t n e p r i m e r j a v e r e z u l t a t o v ni b i l o m o ž n o opraviti, saj v literaturi n e n a j d e ­ m o r e š i t v e k o m p l e t n e g a s i s t e m a m o d i f i c i ­ r a n i h N a v i e r - S t o k e s o v i h e n a č b . [Lauriat, 1 9 8 7 ] j e o b d e l a l t e o r e t i č n o isti p r i m e r u p o ­ r a b e B r i n k m a n o v e e n a č b e , v n u m e r i č n e m d e l u i z r a č u n a ( m e t o d a k o n č n i h razlik) p a je z a n e m a r i l k o n v e k t i v n i in č a s o v n o o d v i s n i č l e n , z a r a d i č e s a r p r i h a j a d o o p a z n i h razlik v v r e d n o s t i N u s s e l t o v e g a števila, m e d t e m k o s e g r a f i č n a p o r a z d e l i t e v o b r a v n a v a n i h f u n k c i j p o l j a p o p o l n o m a u j e m a . R e z u l t a t i z a t o n i s o d i r e k t n o primerljivi, p a v e n d a r v p r e g l e d n i c i 1 . p o d a j a m o v r e d n o s t i p o v p r e č ­ n i h N u s s e l t o v i h števil z a v s e i z r a č u n a n e p r i m e r e , pri č e m e r s o v o k l e p a j u s p o d a j p o d a n e v r e d n o s t i p o r e f e r e n č n e m č l a n k u [Lauriat, 1 9 8 7 ] , Z a v e l i k a D a r c y j e v a števila Da > 1 0 2, k o m e t o d a k o n č n i h razlik, u p o ­ r a b l j e n a v p r i m e r j a l n e m č l a n k u , n e k o n v e r ­ gira, d a j e r o b n o - o b m o č n a i n t e g r a l s k a m e t o d a rezultate, ki s o b l i z u r e z u l t a t o m z a č i s t o t e k o č i n o , k a r s e p o p o l n o m a u j e m a s t e o r e t i č n i m i i z h o d i š č i u p o r a b e B r i n k m a n o ­ v e e n a č b e [ V a s s e u r , 1 9 9 0 ] , V o b m o č j u 1 0 '2 < Da < 1 0 '3 s o v r e d n o s t i N u s s e l t o v e ­ g a števila d o b l j e n e z r o b n o - o b m o č n o i nte­ g r a l s k o m e t o d o p r i č a k o v a n o n e k o l i k o višje (zaradi k o n v e k t i v n e g a č l e n a ) , k o p a s e D a r ­ c y j e v o š t e v i l o z m a n j š u j e , p a s o v r e d n o s t i , d o b l j e n e z m e t o d o k o n č n i h razlik, višje. P o o b e h m e t o d a h d o b l j e n i rezultati s e , z n a ­ d a l j n j i m z m a n j š e v a n j e m D a r c y j e v e g a š t e ­ vila, p r a k t i č n o n e s p r e m i n j a j o v e č , k a r p o t r j u j e h i p o t e z o , d a je v p l i v B r i n k m a n o v e - g a č l e n a n a s k u p n i p r e n o s t o p l o t e ( N u s s e l - t o v o š t e v i l o ) z a n e m a r l j i v , k o je D a r c y j e v o š t e v i l o m a n j š e o d 1 0 ~3 . Z a p o n a z o r i t e v i z r a č u n a n i h p r i m e r o v p r i k a z u j e m o p r i m e r r a z p o r e d i t v e t o k o v n i c in i z o t e r m , k a r p r e d s t a v l j a p r e r a z p o r e d i t e v h i ­ trosti in t e m p e r a t u r e v k v a d r a t n i ko ta n j i , greti o d strani. N a sliki 2. s o p r i k a z a n e t o ­ k o v n i c e z a R a y l e i g h o v o š t e v i l o 7 ? a * = 5 0 0 , p o r o z n o s t 0 = O . 5 , r a z m e r j e t o p l o t n i h k a p a ­ citet a = 1 in r a z l i č n a D a r c y j e v a š t e v i l a D a = 1 0 ' 4 , 1 ( L 3 , 1 0 '2 in 1 0 -1 in n a sliki 3. i zo- t e r m e z a isti p r i m e r . V p l i v p o v e č a n j a D a r ­ c y j e v e g a š t e v i l a je p o d o b e n z a v s a m o d i f i c i r a n a R a y l e i g h o v a števila, p a z a t o p o d a j a m o le e n t i p i č e n p r i m e r , iz k a t e r e g a s o r a z v i d n e b i s t v e n e karakteristike, s k u p n e v s e m i z r a č u n a n i m p r i m e r o m . V t e s t n e m p r i m e r u je b ila u p o r a b l j e n a r a ­ č u n s k a m r e ž a 1 0 x 1 0 p o d o b m o č i j . Č a s o v ­ ni k o r a k i s o s e z m a n j š e v a l i o d D / = 1 0 6 D a / Ra 100 200 500 1000 10'1 1.026 1.061 1.370 1.815 10^ 1.479 (1 .4 6 ) 2.016 (1-70) 2.823 (2-58) 3.691 (3 .30 ) 10'a 1.816 (1 .8 8 ) 2.666 (2 .41) 4.030 (3 .80) 7.410 (5 .42) 10'4 1.895 (2 .1 4 ) 2.718 (2 .84) 4.370 (4 .87) 7.921 J L 3 7 1 _____ 10"s 2.010 (2 .1 5 ) 2.765 (3 .02) 4.474 (5 .37) 8.200 (8 .41) P r e g l e d n i c a 1 . Povprečno Nusseltovo število za različna Rayleighova in Darcyjeva števila [ vrednosti v oklepaju po t Lauriat, 1987 ]) a) £>a = 10“4 b) Da = 10“3 C) Da = W l d) Da = 10“ ' I H ! E ! 3 i l l S l i k a 2 . Tokovnice za različna Darcyjeva števila pri Ra' = 5D0, ,4 = 1 ,0 = 0.5 , cr = 1 G r a d b e n i v e s t n i k • L j u b l j a n a 4 9 R . J E C L : M o d e l i r a n j e p r e n o s n i h p o j a v o v v p o r o z n i s n o v i ( u s t a l j e n o s t a n j e ) z a v s a m o d i f i c i r a n a R a y - l e i g h o v a š t e v i l a in z a D a r c y j e v o š t e v i l o D a = K T 1 , A z = 0 . 0 1 z a / ? a * = 1 0 0 , 2 0 0 , 5 0 0 in A t = 0 . 0 0 1 z a 7 ? a * = 1 0 0 0 pri D a = 1 0 ' 2 , A t = 0 . 0 0 1 z a 7 ? a * = 1 0 0 , 2 0 0 , 5 0 0 in A z = 0 . 0 0 0 1 z a ž ? a * = 1 0 0 0 pri Z ) a = 1 0 ' 3 , A / = 0 . 0 0 0 1 z a / ? a * = 1 0 0 in A r = 0 . 0 0 0 0 1 z a R a = 2 0 0 , 5 0 0 , 1 0 0 0 pri D a = W ter n a z a d n j e A z = 0 . 0 0 0 0 5 z a i ? a * = 1 0 0 , 2 0 0 in A z = 0 . 0 0 0 0 0 5 z a 7 ? a * = 5 0 0 , 1 0 0 0 pri D a = 1 0 ' 5 . P o r a z d e l i t e v t o k o v n i c z a D a = K T 4 in D a = 1 0 ' 3 je p r a k t i č n o i d e n t i č n a - t o k o v n i ­ c e s o r a z p o r e j e n e b l i z u t r d n e s t e n e , ki o m e j u j e p o r o z n o s n o v , k a r n a k a z u j e d a je m a k s i m a l n a hitrost bl iz u r o b a . T a k a s l i k a je p r i č a k o v a n a , s a j je D a r c y j e v o š t e v i l o d o v o l j m a j h n o , d a p o s t a n e v i s k o z n i B r i n k m a n o v č l e n z a n e m a r l j i v ( D a ^ O ) in D a r c y j e v z a k o n bi pri t a k o m a j h n i h v r e d n o s t i h D a r c y j e v e g a števila z a d o v o l j i v o o p i s a l g i b a n j e t e k o č i n e v p o r o z n i k o t a n j i ( D a r c y j e v z a k o n n e u p o ­ š t e v a b r e z - z d r s n e g a r o b n e g a p o g o j a p a je m a k s i m a l n a h i t r o s t n a r o b u , ki o m e j u j e p o r o z n o s n o v [ T o n g , 1 9 8 5 ] ) . Z n a r a š č a n j e m D a r c y j e v e g a št ev i l a (slike 2 b ) , 2 c ) , 2 d ) ) p a s o t o k o v n i c e r e l a t i v n o b olj in b o l j r e d k o r a z p o r e j e n e o b trdni steni, k a r je p o s l e d i c a d e j s t v a , d a p o s t a j a B r i n k m a n o v v i s k o z n i č l e n v e d n o b o l j p o m e m b e n in v p l i v a n a u p o č a s n i t e v t o k a v bližini t r d n i h r o b o v . P o l o ž a j m a k s i m a l n e hitrosti s e p o m i k a v e ­ d n o b o l j proti c e n t r u k o t a n j e ; n a r o b u , ki o m e j u j e p o r o z n o s n o v , p a je hitrost e n a k a nič. R a z p o r e d i t e v t o k o v n i c p o s t a j a v e d n o bolj p o d o b n a r a z m e r a m v čisti t e k o č i n i , k a r s e u j e m a s t e o r e t i č n i m i i z h o d i š č i u p o r a b e B r i n k m a n o v e e n a č b e [ V a s s e u r , 1 9 9 0 ] . O b u p o r a b i B r i n k m a n o v e g i b a l n e e n a č b e (ki je z a s t o p n j o v i š j a o d D a r c y j e v e ) s m o torej zadostili p r e d p o s t a v l j e n e m u b r e z - z d r s n e m u r o b n e m u p o g o j u ( 2 7 ) , ki d o l o č a , d a je h i ­ t r ost n a r o b o v i h p o r o z n e k o t a n j e e n a k a nič. Iz r a z p o r e d i t v e i z o t e r m (slika 3 ) l a h k o v i d i ­ m o , d a je v p r i m e r u m a j h n e g a D a r c y j e v e ­ g a š t e v i l a k o n v e k t i v n o g i b a n j e z n o t r a j k o t a n j e r e l a t i v n o m o č n o , p a s o i z o t e r m e d o k a j zvite. K o D a r c y j e v o š t e v i l o n a r a š č a , p o s t a j a j o v i s k o z n i u č i n k i m o č n e j š i in v p l i ­ v a j o n a u p o č a s n i t e v z v z g o n o m p o v z r o č e ­ n e g a g i b a n j a . R a z p o r e d i t e v i z o t e r m je v e d n o b o l j l i n e a r n a , p r e n o s t o p l o t e p a je v s o t a k o n d u k c i j e in k o n v e k c i j e . T u d i i z o t e r m e k a ž e j o s k o r a j i d e n t i č n o s l i k o z a D a = 1 0 ' 4 in D a = W ter s p r e m e m b o t e m p e r a t u r n e g a p o l j a v p r i m e r u p o v e č a n j a D a r c y j e v e g a š t e ­ vila o z i r o m a p o v e č a n j a p r o p u s t n o s t i K . B i s t v e n k a z a l e c p r a v i l n o s t i n u m e r i č n e s h e ­ m e je t r e n d n a r a š č a n j a N u s s e l t o v e g a š t e ­ vila o b z m a n j š e v a n j u D a r c y j e v e g a števila, p r i k a z a n n a sliki 4, iz k a t e r e je r a z v i d n o , d a N u s s e l t o v o št ev i l o , ki k a r a k t e r i z i r a p r e n o s t o p l o t e , n a r a š č a z m o d i f i c i r a n i m R a y l e i g h o - v i m š t e v i l o m ter d a je v p l i v n a r a š č a n j a D a r ­ c y j e v e g a št ev i l a r a v n o n a s p r o t e n , n a m r e č z n j e g o v i m p o v e č e v a n j e m ( k a r p o m e n i s p o ­ v e č e v a n j e m p r o p u s t n o s t i K) s e N u s s e l t o ­ v o š t e v i l o z m a n j š u j e . V p l i v D a r c y j e v e g a š tevila n a s k u p n i p r e n o s t o p l o t e je z a n e m a r ­ ljiv, k o je D ö < 1 0 ‘3 . SKLEP V p r i s p e v k u je p r i k a z a n a t e o r e t i č n a o s n o v a z a n u m e r i č n o m o d e l i r a n j e p r e n o s n i h p o j a ­ v o v v p o r o z n i s n o v i z u p o r a b o r o b n o - o b - m o č n e i n t e g r a l s k e m e t o d e ( R O I M ) , izpeljani n u m e r i č n i a l g o r i t e m p a t estiran n a p r i m e r u n a r a v n e k o n v e k c i j e v p o r o z n i k o tanji, greti o d strani. R e š i t e v t e m e l j i n a u p o r a b i m o d i ­ ficiranih N a v i e r - S t o k e s o v i h e n a č b z u p o š t e ­ v a n j e m B r i n k m a n o v e g i b a l n e e n a č b e , ki s o s H i t r o s t n o V r t i n č n o F o r m u l a c i j o ( H V F ) z a ­ p i s a n e l o č e n o z a k i n e m a t i č n i in k i n etični d e l i z r a č u n a . P a r c i a l n e d i f e r e n c i a l n e e n a č b e s o 10 100 /Ja-IO'5 K T * K T ’ 10° ir ' 1000 Ra* S l i k a 4 . Povprečno Nusseltovo število za 10 0< Ä a*<1000 in 10 '5yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy23SE3 3. nadstropje 2. nadstropje 1. nadstropje pritličje G r a d b e n i v e s t n i k • L j u b l j a n a 4 9 Ž. K R I S T L : S v e t l o b n i j a š k i k o t d o d a t e n v i r d n e v n e s v e t l o b e C 1 D.F.( ' 2 Z 2 2 m 2 Z E B a B Z Z m 2 Z E 2 2 2 Z 2 Z Z a m 2 m 2 E m & DFn svetloba s fasade DFi svetloba iz sveti, jaška 5DF vsota obeh 3. nadstropje 2. nadstropje 1. nadstropje pritličje S l i k a 7 : Prerez referenčnega prosto ra , ki prikazuje obliko skupnega svetlobnega jaška (C1) in izmerjene vrednosti KDS o s v e t l j e n e z d i r e k t n o s v e t l o b o . N a ta n a č i n je d i s t r i b u c i j a s v e t l o b e v p r o s t o r u e n a k o ­ m e r n e j š a . P r i m e r j a v a v a r i a n t z n a g n j e n o z r c a l n o s t e ­ n o in v a r i a n t e s s k u p n i m s v e t l o b n i m j a š k o m p o k a ž e , d a širši s v e t l o b n i j a š e k ni n u j n o u č i n k o v i t e j š i . V p r i m e r u C 1 s o p r o s t o r i o s v e t l j e n i p r e t e ž n o z d i r e k t n o s v e t l o b o . P a r a p e t i v p r i m e r u C 1 n i s o d o v o l j b l i z u in n j i h o v a p o v r š i n a ni d o v o l j velika, d a bi s e o d njih o d b i l a z a d o s t n a k o l i č i n a s v e t l o b e in v s t o p i l a v p r o s t o r e n a n a s p r o t n i strani j a š k a . V r e d n o s t i K D S s o v i s o k e v c o n a h , ki ležijo blizu s v e t l o b n i h o d p r t i n , g l o b l j e v p r o s t o ­ rih p a hitro p a d e j o . N a z o b č a n a z r c a l n a s t e ­ n a v p r i m e r i h B 1 in B 2 je n a g n j e n a in n a m e š č e n a bliže s v e t l o b n i m o d p r t i n a m . K e r je j a š e k pri v r h u širok, s t a 2. in 3. n a d s t r o p j e o s v e t l j e n i p r e t e ž n o z d i r e k t n o s v e t l o b o . V s p o d n j e m d e l u j a š k a je d i r e k t n a s v e t l o b a u p o r a b l j e n a z g o l j z a c o n e blizu n a d s v e t l o b . C o n e v g l o b i n i p r o s t o r a s o o s v e t l j e n e s p o m o č j o s v e t l o b e , ki s e je o d b i l a o d z r c a l ­ n i h p o v r š i n v j a š k u . N a ta n a č i n s o v r e d n o ­ sti K D S v p r i m e r i h B 1 in B 2 v i š j e k o t v p r i m e r u C 1 . T u d i d i s t r i b u c i j a s v e t l o b e je e n a k o m e r n e j š a v p r i m e r i h B 1 in B 2 . P r i m e r j a v a j a š k a z v e r t i k a l n o z r c a l n o s t e n o in s k u p n e g a s v e t l o b n e g a j a š k a v o b e h pri­ m e r i h p o k a ž e p o d o b n e v r e d n o s t i K D S . V o b e h p r i m e r i h je s k u p n a š i r i n a j a š k a 3 m e t r e , ki j o v v arianti B 3 n a p o l o v i c o deli v e r t i k a l n a z r c a l n a s t e n a . V p l i v v e r t i k a l n e s t e n e v p r i m e r u B 3 i z b o l j š a o s v e t l j e n o s t p r o s t o r o v v 2 . n a d s t r o p j u , m e d t e m k o s o v r e d n o s t i K D S v 1. n a d s t r o p j u v p r i m e r i h B 3 in C 1 p o d o b n e . Pritličje je b o l j e o s v e t l j e n o v p r i m e r u C 1 . V e r t i k a l n a z r c a l n a s t e n a v p r i m e r u B 3 o p t i č n o n a d o m e š č a p o l o v i c o j a š k a , r a z e n v pritličju, k j e r r e f l e k s i r a n a s v e t l o b a n e m o r e n a d o m e s t i t i d i r e k t n e g a “ p o g l e d a ” n a n e b o v p r i m e r u C 1 . D i s t r i b u ­ c ija s v e t l o b e je e n a k o m e r n e j š a v p r i m e r u B 3 . R e z u l t a t i m e r i t e v s o p o k a z a l i , d a je n a j u č i n k o v i t e j š a v a r i a n t a s v e t l o b n e g a j a š k a z n a z o b č a n o z r c a l n o s t e n o (Sl. 5). Z v e l i k i m d e l e ž e m d i r e k t n e s v e t l o b e v z g o r n j e m d e l u j a š k a in m o č n i m v p l i v o m o d b i t e s v e t l o b e v s p o d n j e m d e l u s o d o s e ž e n e n a j v i š j e v r e d ­ n o s t i K D S in n a j e n a k o m e r n e j š a d i s t r i b u c i j a s v e t l o b e . O p t i m i z a c i j a g e o m e t r i j e j a š k o v l a h k o š e i z b o l j š a rezultate. V a r i a n t a z v e r t i k a l n o z r c a l n o s t e n o (Sl. 6 ) je p r a v t a k o z a d o v o l j i v a , č e p r a v n e d o s e g a u s p e š n o s t i v a r i a n t e z n a z o b č a n o z r c a l n o s t e n o . P o u s p e š n o s t i ji s l e d i v a r i a n t a s s k u p n i m s v e t l o b n i m j a š k o m (Sl. 7). N a j n i ž j e v r e d n o s t i K D S d o s e g a v a r i a n t a z i n d i v i d u a l n i m i s v e t l o b n i m i jaški (Sl. 4). 5. SKLEP *V D o d a t n o d n e v n o o s v e t l j e v a n j e v j e d r u s t a ­ v b e l a h k o p r i s p e v a k i z b o l j š a n j u d n e v n e o s v e t l j e n o s t i c e l o t n e g a p r o s t o r a . T o s m o d o k a z a l i s t r e m i i n o v a t i v n i m i p a s i v n i m i s v e t l o b n i m i jaški: i n d i v i d u a l n i m s v e t l o b n i m j a š k o m , j a š k o m z v m e s n o s t e n o in s k u p n i m j a š k o m , n a k a t e r i h s m o izvedli m e r i t v e n a m o d e l i h p o d u m e t n i m n e b o m . M o d e l e s t a s e s t a v l j a l a d v a f u n k c i o n a l n a d e l a : m o d e l r e f e r e n č n e g a p r o s t o r a , ki je bil v v s e h pri­ m e r i h e n a k , in m o d e l j a š k a , ki s m o g a s p r e ­ m i n j a l i . N a t a n a č i n s m o l a h k o iz m e r i l i v p l i v e c e l e v r s t e r a z l i č n i h o b l i k j a š k o v n a r e f e r e n č n i p r o s t o r . V v s e h p r i m e r i h s o b ile i z m e r j e n e v r e d n o ­ sti K D S v i š j e k o t r e f e r e n č n a v r e d n o s t . M e ­ ritve s o p o k a z a l e , d a je bila n a j b o l j š a i z r a b a d n e v n e s v e t l o b e d o s e ž e n a z u p o r a b o s v e t l o b n e g a j a š k a z n a z o b č a n o r e f l e k s i v n o v m e s n o s t e n o , ki je i m e l š i r o k z g o r n j i in o z e k s p o d n j i d e l (Sl. 5). N a ta n a č i n s o bila Ž . K R I S T L : S v e t l o b n i j a š k i k o t d o d a t e n vi r d n e v n e s v e t l o b e z g o r n j a n a d s t r o p j a o s v e t l j e n a p r e t e ž n o z d i r e k t n o s v e t l o b o , pritličje in p r v o n a d ­ s t r o p j e p a z d i r e k t n o s v e t l o b o in s v e t l o b o , ki s e je o d b i l a o d n a g n j e n e z r c a l n e s t e n e . P o v e č a n j e n a k l o n a z r c a l n e s t e n e je p o ­ v z r o č i l o i z b o l j š a n j e o s v e t l j e n o s t i v c o n a h , o d m a k n j e n i h o d s t e n e j a š k a . N a ta n a č i n s e j e d v i g n i l a v r e d n o s t p o v p r e č n e g a K D S , i z b o l j š a l a p a s e je t u d i e n a k o m e r n o s t distri­ b u c i j e s v e t l o b e . R e f l e k s i v n o s t z r c a l n e s t e ­ n e je bila b o l j e i z k o r i š č e n a v p r i m e r u o ž j e g a j a š k a ( 0 , 5 m ) . Š i r i n a j a š k o v v z g o r n j e m d e l u ni s m e l a p a s t i p o d 1 , 5 m e t r a , d a je bil o m o g o č e n d o s t o p z a d o s t n e k o l i č i n e s v e t l o ­ b e v j a š e k . S k u p n i (Sl. 7 ) in i n d i v i d u a l n i (Sl. 4 ) s v e t l o b n i jaški s o z a g o t o v i l i z a d o s t n o d n e ­ v n o o s v e t l j e n o s t v p r i m e r i h , k o s o bili d o ­ volj široki ( 3 m in 0 , 6 m ) , v n o b e n e m pri­ m e r u p a n i s o p r e s e g l i v r e d n o s t i K D S , ki s m o jih d o s e g l i s s v e t l o b n i m i jaški z v m e ­ s n o z r c a l n o s t e n o (Sl. 6 ). M e r i t v e s o p o t r d i l e u č i n k o v i t o s t p r e d l a g a ­ n i h s v e t l o b n i h j a š k o v k o t d o d a t n e g a v i r a d n e v n e s v e t l o b e v g l o b i n s k o z a s n o v a n i h s t a v b a h . L ITE R A TU R A B o u c h e t , B „ F o n t o y n o t , M . , D a y - l i g h t i n g o f U n d e r g r o u n d S p a c e s : D e s i g n R u l e s , E n e r g y a n d B u i l d i n g 2 3 , 2 9 3 - 2 9 8 , 1 9 9 6 . British S t a n d a r d s Institution, C o d e o f P r a c t i c e f o r D a y l i g h t i n g , British S t a n d a r d B S 8 2 0 6 : P a r t 2 , B S I , L o n d o n , 1 9 9 2 . C I E ( 1 9 7 0 1 sl E d it i o n ), D a y l i g h t , T e c h n i c a l R e p o r t P u b . N o 1 6 , C I E , D u n a j . D e n O u d e n , C „ S t e e m e r s , T . C „ (E ds . ) , B u i l d i n g 2 0 0 0 , K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s , 1 9 9 2 . E l i c a b e Urriol, J.J., Lara, M . A . , P i a c e n t i n i , R . D . , P a s s i v e S o l a r L i g h t D u c t s , A p p l i e d E n e r g y 2 8 , 9 5 - 1 0 5 , 1 9 8 7 . F o n t o y n o t , M . R . , F l u e r y , B.A., D a y l i g h t i n g for L a r g e E n c l o s u r e s , P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l D a y l i g h t i n g C o n f e r e n c e , B a l e s , E.J., M c C l u n e y , R . (E ds . ) , L o n g B e a c h , C a l i f o r n i a , Z D A , 3 3 3 - 3 4 4 , 1 9 8 6 . Kristl, Ž., A P r o p o s a l o f M u l t i - s t o r e y R e s i d e n t i a l B u i l d i n g , P r o c e e d i n g s o f I S E S S o l a r W o r l d C o n g r e s s , B u d i m p e š t a , M a d ž a r s k a , 2 4 3 - 2 4 7 , 1 9 9 3 . Kristl, Ž., L i g h t D u c t s a n d E n e r g y S a v i n g in R e s i d e n t i a l B u i l d i n g s , P r o c e e d i n g s o f I S E S S o l a r W o r l d C o n g r e s s , L y o n , F r a n c i j a , 1 3 2 1 - 1 3 2 6 , 1 9 9 4 . L a m , W . M . C . , P e r c e p t i o n & L i g h t i n g a s F o r m g i v e r f o r A r c h i t e c t u r e , V a n N o s t r a n d R e i n h o l d , N e w Y o r k , 1 9 9 2 . Leslie, R . P., K r o n e r , W . M . , G i v o n i , B., L i g h t / V e n t i l a t i o n w e l l s for L a r g e O f f i c e B u i l d i n g s , P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l D a y l i g h t i n g C o n f e r e n c e , L o n g B e a c h , C a l i f o r n i a , Z D A , 3 0 4 - 3 1 3 , 1 9 8 6 . M a j o r o s , A., D a y l i g h t i n g , P L E A & D e p a r t m e n t o f A r c h i t e c t u r e , T h e U n i v e r s i t y o f Q u e e n s l a n d , B r i s b a n e , 1 9 9 8 . S o l s o n a , X., B a d i n i e r , C „ C o c h , H „ N e w D a y l i g h t i n g C o m p o n e n t s : a S u n - D u c t in B u i l d i n g Retrofitting, P r o c e e d i n g s o f t h e 2 n d E u r o ­ p e a n C o n f e r e n c e o n A r c h i t e c t u r e P a r i s 1 9 8 9 , K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s , 1 9 9 0 . V i s c h e r , J . C., T h e E f f e c t s o f D a y l i g h t i n g o n O c c u p a n t s , P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l D a y l i g h t i n g C o n f e r e n c e , B a l e s , E.J., M c C l u ­ n e y , R . ( E d s . ) , L o n g B e a c h , Ca l i f o r n i a ; Z D A , 4 1 9 - 4 2 9 , 1 9 8 6 . V i s c h e r , J . C . , E n v i r o n m e n t a l Q u a l i t y o f O f f i c e s , V a n N o s t r a n d R e i n h o l d , N e w Y o r k , 1 9 8 9 . S . G A B O R O V I Č , M . M E N C I N G E R : I z r a č u n u p o g i b n i c e s p r o g r a m o m S c i e n t i f i c n o t e b o o k IZRAČUN UPOGIBNICE S PROGRAMOM SCIENTIFIC NOTEBOOK CALCULATING DEFLECTION LINE USING SCIENTIFIC NOTEBOOK STROKOVNI ČLANEK U D K : 6 8 1 . 3 , 0 6 : 5 1 7 S V I T A N G A B O R O V I Č , M A T E J M E N C I N G E R P O V Z E T E K V raziskovalni dejavnosti, tehniki in v pedagoškem procesu se že nekaj časa uporab lja jo p rog ram i za s im bolično računan je . V članku so prikazane neka te re m ožnosti uporabe program a Scien tific Notebook, ki je sin teza na La texu te m e lje če g a p rog ram a za obdelavo te k s ta in program a za sim bolično in num erično računanje Maple. P rednost program a v prim erjavi s podobnimi program i je njegova prijaznost do uporabnika. Ključne besede: Scientific Notebook, simbolično računanje, upogibnica, Maple, M athem atica S U M M A R Y S o ftw a re fo r sym bolic com puta tion is used in science, engineering, and teaching sime tim es ago. In our paper som e poss ib le a p p lic a tio n of S c ie n t if ic N o tebook is presented. S c ien tific Notebook is a syn thes is of a te x t p rocesso r based on Latex and Maple - a program fo r sym bolic and num eric com pu ta tion . The advantage of S c ien tific Notebook com paring it w ith some o th e r sim ilar so ftw a re p roducts is its user friendliness. Keywords: S c ien tific Notebook, sym bolic com puta tion , deflection line, Maple, M athem atica A v t o r j a : Mag. Svitan Gaborovič, dipl. univ. in ž ., Faku lte ta za g radben ištvo M aribor, Sm etanova 17, 2 0 0 0 M aribo r Mag. M a te j Mencinger, profesor, Faku lte ta za g radben ištvo M aribor, Sm etanova 17, 2 0 0 0 M aribo r UVOD P r o g r a m S c i e n t i f i c N o t e b o o k ( S N B ) je s i n ­ t e z a d v e h p r o g r a m o v : p r o g r a m a S c i e n t i f i c W o r d , ki j e n a L a T e X u t e m e l j e č v i z u a l n i p r o g r a m z a o b d e l a v o m a t e m a t i č n e g a teksta, in p r o g r a m a M a p l e , ki je e d e n o d u v e l j a ­ v l j e n i h p r o g r a m o v z a s i m b o l i č n o in n u m e ­ ric n o r a č u n a n j e . D o d a n je š e p r o g r a m z a g e n e r i r a n j e v p r a š a l n i k o v ( k v i z o v ) . P r o g r a m M a p l e “ p o z n a ” v s o v i š j o m a t e m a t i k o ter s e v e d a r e š u j e tudi d i f e r e n c i a l n e e n a č b e in s i s t e m e a l g e b r s k i h in d i f e r e n c i a l n i h e n a č b , k a r b o v t e m č l a n k u d e l n o p r i k a z a n o . S N B u p o r a b l j a m o pri p o u k u in p r e v e r j a n j u z n a n j a G r a d b e n i v e s t n i k • L j u b l j a n a 4 9 S . G A B O R O V I Č , M . M E N C I N G E R : I z r a č u n u p o g i b n i c e s p r o g r a m o m S c i e n t i f i c n o t e b o o k iz m a t e m a t i k e , pri s t r o k o v n i h p r e d m e t i h , ki z a h t e v a j o m n o g o r a č u n s k e g a d e l a , in pri r a z i s k o v a l n e m d e l u . P r o g r a m S c i e n t i f i c N o t e b o o k u p o r a b l j a m o z a t o , k e r s e g a je e n o s t a v n o n a u č i t i in je z a t o p r i m e r e n k o t z a č e t n i k o r a k k a l g e b r s k i m r a č u n a l n i š k i m s i s t e m o m . P r o g r a m S N B je s i c e r (vsaj, k a r s e s i m b o l i č n e g a r a č u n a n j a t i če) n e k o l i k o m a n j z m o g l j i v o d k l a s i č n i h a l g e b r s k i h r a č u ­ n a l n i š k i h s i s t e m o v , je p a z a t o u p o r a b n i k u p r i j a z e n p r o g r a m , P o l e g t e g a v s e v e č (tujih) s t r o k o v n i h revij s p r e j e m a b e s e d i l a s a m o v L a T e X u , k a r je d o d a t e n r a z l o g z a u p o r a b o p r o g r a m a S N B ali p a p r o g r a m a S c i e n t i f i c W o r k p l a c e . P r o g r a m j e u p o r a b e n p r e d v s e m v p e d a g o ­ š k e m p r o c e s u z a š t u d e n t e in učitelje. Z n j i m si l a h k o p o m a g a m o pri r e š e v a n j u n a l o g in n j i h o v e m s e s t a v l j a n j u . Z n j i m l a h k o p i š e ­ m o t e k s t e , ki v s e b u j e j o f o r m u l e , s e s t a v l j a ­ m o p r o s o j n i c e z a p r e d a v a n j a , ali p a n a p i s a n t e k s t p r o j i c i r a m o d i r e k t n o iz r a č u n a l n i k a . V t e m p r i m e r u l a h k o s l i k o n a e k r a n u u s t v a r j a ­ m o p r e d a v d i t o r i j e m , t a k o k o t pri k l a s i č n e m p r e d a v a n j u n a tabli. P r o g r a m o m o g o č a v k l j u č i t e v slik, n a r i s a n i h z d r u g i m i p r o g r a ­ m i , a n i m a c i j in z v o k a . P r o g r a m s i c e r ni p r i m e r e n z a p r o j e k t i r a n j e . Z n j i m n e b o m o r e š e v a l i s i s t e m a 1 0 0 0 li­ n e a r n i h e n a č b ( p r o b l e m , ki s e p o j a v l j a pri g r a d b e n i h k o s t r u k c i j a h ) , k e r je n e m o g o č e v s e te e n a č b e v n e s t i v m a t r i k o 1 0 0 0 x 1 , k o t bi t o b i l o p o t r e b n o , č e bi h o t e l i u p o r a b i t i S N B ( p a t u d i p r o g r a m v r e s n i c i n e o m o g o č a z a p i s a t a k š n e m a t r i k e ) , v e n d a r s e je p o k a ­ z a l a n j e g o v a u p o r a b n a v r e d n o s t t u d i n a p o d r o č j i h , kjer je p o t r e b n o r a č u n a n j e t a k ­ š n e vrste, k o t g a p r o g r a m o m o g o č a ; n a pri­ m e r pri r a z i s k o v a l n e m d e l u . V t e m č l a n k u b o p r i k a z a n a u p o r a b a p r o g r a ­ m a S N B n a p r e p r o s t e m p r i m e r u i z r a č u n a u p o g i b n i c e . Z a r a d i p r i m e r j a v e je o m e n j e n t u d i e n a k i z r a č u n s k l a s i č n i m a l g e b r s k i m r a č u n a l n i š k i m s i s t e m o m . O SN O VN I PRIJEMI k o t bi z a p i s a l s s v i n č n i k o m n a list pa pi r j a , n a t o p a : i z r a č u n a j , reši, izvrši p o s t o p e k , ... Pri s l e d n j e m n a m p o m a g a r oletni m e n u ‘M a p l e ’. Č e ž e l i m o , n a p r i m e r , i z r a č u n a t i n e d o l o č e ­ ni in te g r a l f u n k c i j e f ( x )= s in x, z a p i š e m o / s in % d:c, s e s k u r z o r j e m p o s t a v i m o n a k o n e c i n t e g r a l a , in k l i k n e m o Maple + Evaluate. Č e ž e l i m o rešiti e n a č b o f (x )= 0 \ jo n a t i p k a m o , s e p o s t a v i m o n a k o n e c e n a č b e in k l i k n e m o Maple + Sol­ ve + Exact (ali Maple + Solve + Numeric, č e i š č e m o n u m e r i č n o rešitev). S i s t e m e a l g e b r s k i h (in d i f e r e n c i a l n i ) e n a č b ter d i f e r e n c i a l n e e n a č b e z r o b n i m i p o g o j i s m o v a j e n i pisati v s t o l p c e . V p r o g r a m u SNB n a m t a k š e n z a p i s o m o g o č a n x 1 d i ­ m e n z i o n a l n a m a t r i k a (vektor), ki j o p r i k l i č e ­ m o z u k a z o m Insert + Matrix. V a n j o p o vrsti z a p i š e m o e n a č b e (in / ali r o b n e p o ­ g o j e ) , r a č u n a n j e p a i z v r š i m o z u k a z o m Maple + Solve ( z a s i s t e m e a l g e b r s k i h e n a č b ) o z i r o m a z Maple+Solve ODE z a r e š e v a n j e ( s i s t e m o v ) n a v a d n i h d i f e r e n ­ c i a l n i h e n a č b (z r o b n i m i p o g o j i ) . Z e l o p r i k l a d n a m o ž n o s t , ki j o SNB ( m e d d r u g i m ) p o n u j a u p o r a b n i k u , je d e f i n i n i r a n j e f u n k c i j e , s k a t e r o l a h k o v n a d a l j e v a n j u s i m ­ b o l i č n o r a č u n a m o . F u n k c i j o d e f i n i r a m o z u k a z o m Maple+Define+New Defini­ tion. F u n k c i j o je s m i s e l n o definirati, č e jo v e č k r a t u p o r a b l j a m o , ali p a iz d r u g i h r a z l o ­ g o v ( e d e n je p o d a n v n a d a l j e v a n j u ) . N a s l e d n j i ‘o s n o v n i ’ p r i j e m , ki g a b o m o v n a d a l j e v a n j u u p o r a b i l i , je z a p i s f u n k c i j e , p o d a n e (z r a z l i č n i m i f u n k c i j s k i m i p r e d p i s i ) p o intervalih. T u s e S N B s p e t i z k a ž e k o t u p o r a b n i k u p r i j a z e n p r o g r a m , s a j t a k š n o f u n k c i j o z a p i š e m o k a r ‘p o d o m a č e ' (tj. z z a v i t i m o k l e p a j e m ) , le d a je t o k r a t p o t r e b ­ n e g a m a l o v e č ‘p r e d z n a n j a ’. Č e ž e l i m o , n a p r i m e r , z a p i s a t i o d s e k o v n o p o d a n o f u n k c i j o v f o r m u l i (1 ) m o r a m o v m a t r i k o (ki j o p r i k l i č e m o z u k a ­ z o m lnsert+Matrix) d i m e n z i j e n x 3 vstaviti ( p o vrsti): v prvi s t o l p e c f u n k c i j s k e p r e d p i s e iz f o r m u l e (2 ) h , h , , fn I« v d r u g i s t o l p e c ‘i f , v tretji s t o l p e c p a n e e - n a č b e iz f o r m u l e (3). x k < x < x k + 1 . (3) PRIMER: UPOG IBNICA *4 S e d a j l a h k o r e š i m o p r e p r o s t p r i m e r , ki g a o b l j u b l j a n a s l o v č l a n k a . Primer. P o i š č i e n a č b o u p o g i b n i c e n o s i ­ l c a ( p a l i c e d o l ž i n e /), ki je v t o č k i x=0 t o g o v p e t , t o č k i x = l p a p o d p r t s č l e n k o m . N o s i ­ l e c je o b r e m e n j e n s silo, k a t e r e p r a z d e l i t e v p o palici je p o d a n a s f o r m u l o ( 4 ) (glej s l iko D - , s f x, č e j e 0 < X < I r { x ) = { l - x č e j e i " < P < i ■ (4) Opomba. V t e m p r i s p e v k u je p r i k a z a n a n a j k r a j š a rešitev, ki j o o m o g o č a S N B . P r o ­ g r a m o m o g o č a t u d i r e š e v a n j e d i f e r e n c i a l ­ n i h e n a č b z L a p l a c e o v o t r a n s f o r m a c i j o in r e š e v a n j e p a r c i a l n i h d i f e r e n c i a l n i h e n a č b ! Rešitev. R e š i t i m o r a m o d i f e r e n c i a l n o e n a č b o v f o r m u l i (5) E J v " " ( x ) = p ( x ) ( 5 ) f ( x ) = / l , če je X e / 2; če je X E f r » če je X E d ) Pri s i m b o l i č n e m r a č u n a n j u je o s n o v n o p r a ­ v ilo p r o g r a m a S N B n a s l e d n j e : z a p i š i t a ko, S . G A B O R O V I Č , M . M E N C I N G E R : I z r a č u n u p o g i b n i c e s p r o g r a m o m S c i e n t i f i c n o t e b o o k z r o b n i p o g o j i , v ( 0 ) = 0 , v ’(0 )= 0 , v ( l )= 0 in v ’ ’(l)=0 (glej n.pr. [ U m e k , 1 9 8 2 ] ) . V z g o r ­ nji e n a č b i je p o b t e ž b a ( z a p r i m e r n e z v e z n e o b t e ž b e glej [ K o v a č i č , 2 0 0 0 ] ) , F in J p a s t a Y o u n g o v m o d u l in v z t r a j n o s t n i m o m e n t p a l i c e . N a j p r e j (z Define+ New Definition) d e ­ f i n i r a m o f u n k c i j o v f o r m u l i (6 ). p(x ) X i f 0 < X < I l- x i f I < X < l N a t o e n a č b o (5), s k u p a j z r o b n i p o g o j i , v ( 0 ) = 0 , v ’(0 )= 0 , v ( l )= 0 in v ” (l)=0, v s t a ­ v i m o v 5 X 1 m a t r i k o v f o r m u l i (7) EIv"" = p(x) v(0) = O t /(0 ) = 0 . (7) v ( l ) = O v"(l) = O R e š i t e v d o b i m o z u k a z o m Maple+Solve ODE+Exact ( f o r m u l a (8 )). G r a f r e š i t v e (glej s l i k o 2 ) z a i z b r a n e p a r a m e t r e 1=2, E = 15 in 1= 10 d o b i m o z u k a z o m M a p l e + P l o t 2 D + R e c t a n - g u l a r ( s l i k o l a h k o p o p r a v l j a m o z u k a z o m E d i t + P r o p e r t i e s ) . NEKAJ BESED O DRUGIH PROG RAM IH ZA S IM B O LIČ N O R A Č U N A N JE Pri n a s n a j b o l j razširjeni p r o g r a m i 1 z a s i m ­ b o l i č n o r a č u n a n j e s o D e r i v e f o r W i n d o w s 1 O m e n j e n e s o n a j n o v e j š e verzije p r o g r a m o v v ( x ) - l 1 6 0 o 34 l - Z 2 lB+76x'2l3 - 1 0 5 a r 3 i 2 5 7 6 0 0 / if X < 0 3 2 a r E + 7 5 a ; 2 Z 3 — 1 0 5 a ; a Z 2 if x < { 5 7 6 0 0 / • 3 2 a r E + 2 Z 6 - | - 1 6 0 a 3 4 Z — 2 6 5 a j 3 1 2 + 1 5 5 a ; 2 J 3 — 2 0 a ; Z 4 if i < x5 7 6 0 0 / '1 ( 8 ) S l i k a 2 . Graf upogibnice G r a d b e n i v e s t n i k • L j u b l j a n a 4 9 S . G A B O R O V I Č , M . M E N C I N G E R : I z r a č u n u p o g i b n i c e s p r o g r a m o m S c i e n t i f i c n o t e b o o k 4 . 0 , M a t h l a b 5 . 3 . 1 , M a t h e m a t i c a 4 . 0 in M a p l e 6 . V p a k e t u S N B j e v k l j u č e n M a p l e 5 R e l e a s e 4. Z a p r o g r a m D e r i v e s o s e ( z a ­ radi c e n e in p r i m e r n o s t i ) ž e o d v s e g a z a č e t k a b o l j o g r e l e n a š e s r e d n j e š o l e . N a f a k u l t e t a h j e pri n a s p r a v g o t o v o n a j b o l j r a z š i r j e n a M a t h e m a t i c a , z a t o si p o g l e j m o , k a k o s e v z g o r n j e m p r i m e r u u p o g i b n i c e o b n e s e M a t h e m a t i c a 3 . 0 . F u n k c i j o o b l i k e (4), p o d a n o p o intervalih, d e f i n i r a m o v M a t h e m a t i c i ( g lej [ W o l f r a m , 1 9 9 6 ] , [ W o l f r a m , 1 9 9 8 ] ) z u k a z o m p = I f [ x < l / 2 , x , l — x ] . D i f e r e n c i a l n o e n a č b o r e š i m o z u k a z o m D S o l v e , v e n d a r M a t h e m a t i c a o b t e ž b e p = I f [ x < l / 2 , x , l - x ] v d i f e r e n c i a l n i e n a č b i ( 5 ) n e o b r a v n a v a t a k o k o t M a p l e , z a t o v t e m p r i m e r u n e d o b i m o r e š i t v e n a t a k o e n o s t a v e n n a č i n . K o n t i n u i t e t n e p o g o j e , ki jih je M a p l e rešil k a r s a m , m o r a m o tu r e š e v a t i ‘s a m i ’ ( s i s t e m e l i n e a r n i h a l g e b r - s k i h e n a č b v M a t h e m a t i c i r e š i m o z u k a z o m S o l v e ) . Z a r i s a n j e g r a f o v i m a m o t u s p e t e n o s t a v n o r e š i t e v z u k a z o m Plot. SKLEP P r o g r a m S N B i m a v m e s n i k m e d p r o g r a ­ m o m z a o b d e l a v o t e k s t a S c i e n t i f i c W o r d in r a č u n a l n i š k i m a l g e b r s k i m s i s t e m o m M a p l e . T o o m o g o č a u p o r a b o p r o g r a m a z a p i s a n j e t e k s t a [ H u n t e r , 1 9 9 6 ] in r a č u n a n j e [ H a r d y , 1 9 9 5 ] hkrati, m e d t e m k o s p e c i a l i z i r a n i p r o ­ g r a m i o m o g o č a j o le e n o o d t e h m o ž n o s t i . K o t p r o g r a m z a o b d e l a v o t e k s t a je S N B pri­ m e r e n z a p i s a n j e o b l i k o v n o m a n j z a h t e v n i h t e k s t o v ( s e m i n a r s k e n a l o g e , p o r o č i l a , članki), m e d t e m k o je z a p i s a n j e k n j i g p o ­ t r e b n a p r o f e s i o n a l n a v e r z i j a p r o g r a m a - S c i e n t i f i c W o r k p l a c e . K e r S c i e n t i f i c W o r d t e m e l j i n a L a t e x u , je u p o r a b e n p r e d v s e m z a p i s a n j e p r i s p e v k o v z a revije, ki s p r e j e m a j o r o k o p i s e v tej obliki ( Z A M M , W a v e M o t i o n , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l for N u m e r i c a l M e t h o ­ d s in E n g e n e e r i n g ) , m e d t e m k o d i r e k t n e k o m p a t i b i l n o s t i z W o r d o m ni. Čisti t e k s t je m o ž n o p r e n e s t i v W o r d p r e k o d l o ž i š č a (cli- p b o a r d a ) z n e k a j p o p r a v k i (č, š, ž-ji, n a s l o v i r a z d e l k o v , ...), f o r m u l e in s l i k e p a l a h k o p r e n e s e m o k o t s l ike ( z a f o r m u l e n a r e d i m o p o s n e t e k e k r a n a in p r i m e r e n izrez). T u d i ta č l a n e k je bil n a p i s a n v S N B in n a t a k n a č i n p r e n e s e n v W o r d . G r a f i č n i v m e s n i k n a r e d i r a č u n a n j e s S N B v s a j z a z a č e t n i k a e n o s t a v n e j š e , k o t je r a č u ­ n a n j e s k l a s i č n i m a l g e b r s k i m r a č u n a l n i š k i m s i s t e m o m . S e v e d a p a s e je p o t r e b n o t u d i t u k a j n e k a t e r i h p r i j e m o v naučiti, č e ž e l i m o p r o g r a m u p o r a b l j a t i u č i n k o v i t o (glej [ G a b o ­ rovič, 2 0 0 0 ] z a p r i m e r e ) . R a z l i k a je v ko li č i ­ ni p o t r e b n e g a u č e n j a , ki je v p r i m e r u S N B m n o g o m a n j š a . S a m a u č i n k o v i t o s t r a č u ­ n a n j a je o d v i s n a o d u č i n k o v i t o s t i a l g e b r s k e - g a r a č u n a l n i š k e g a s i s t e m a , ki je v g r a j e n v p r o g r a m . P o d r o b n a p r i m e r j a v a a l g e b r s k i h r a č u n a l n i š k i h s i s t e m o v p r e s e g a n a m e n t e g a č l a n k a . V p r i m e r u , ki s m o g a o b d e l a l i , p a s e je S N B ( v g r a j e n M a p l e V R e l e a s e 4 ) i z k a ­ zal z a b o l j š e g a v p r i m e r j a v i z M a t h e m a t i c o 3.0. L IT E R A T U R A G a b o r o v i č , S., U p o r a b a p r o g r a m a S c i e n t i f i c N o t e b o o k v m a t e m a t i k i , F a k u l t e t a z a g r a d b e n i š t v o M a r i b o r , 2 0 0 0 . H a r d y , D . W . , W a l k e r C . L., D o i n g M a t h e m a t i c s w i t h S c i e n t i f i c W o r k p l a c e , B r o o k s / C o l e P u b l i s h i n g C o m p a n y , 1 9 9 5 . H u n t e r R., B a g b y S., C r e a t i n g D o c u m e n t s w i t h S c i e n t i f i c W o r k p l a c e a n d S c i e n t i f i c W o r d , P a c i f i c G r o v e , C a l i f o r n i a , B r o o k s / C o l e P u b l i s h i n g C o m p a n y , 1 9 9 6 . K o v a č i č B., A n a l i z a u p o r a b e in n a t a n č n o s t i r a z l i č n i h m e t o d pri s t a t i č n i h p r e i z k u s i h k o n s t r u k c i j , 2. M e d n a r o d n o s t r o k o v n o p o s v e ­ t o v a n j e G e o d e z i j a v č e r a j - d a n e s - jutri, F a k u l t e t a z a g r a d b e n i š t v o M a r i b o r , M a r i b o r , 2 0 0 0 , ( e l e k t r o n s k i vir - o p t i č n i disk). U m e k A., T r d n o s t , M a r i b o r , V T Š , 1 9 8 2 . W o l f r a m S., T h e M a t h e m a t i c a B o o k , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 6 . W o l f r a m S., M a t h e m a t i c a . A S v t e m for D o i n g M a t h e m a t i c s b v C o m p u t e r . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 8 . S p o š t o v a n i ! S l o v e n s k i g r a d b e n i k i s e p o n a š a m o s s v o j o s t r o k o v n o - z n a n s t v e n o revijo » G r a d b e n i v e s t n i k « , ki i z h a j a ž e 4 9 let. K l j u b v m e s n i m k r i z n i m o b d o b j e m v s l o v e n s k e m g r a d b e n i š t v u , je re vi j a o h r a n i l a s v o j o k v a l i t e t o in n a ­ r o č n i k e tudi p o z a s l u g i s o d e l o v a n j a g r a d b e n i h po dj e t i j in p o s a m e z n i h s t r o k o v n i h inštitucij, ki s o o m o g o č i l a i z d a j a n j e revi j e s s v o j i m i v s e b i n s k i m i in r e k l a m n i m i p r i s p e v k i . » G r a d b e n i v e s t n i k « je revija, s k a t e r o p r e d s t a v l j a m o s l o v e n s k i in tuji s t r o k o v n i j a v n o s t i n a š e z n a n s t v e n e in s t r o k o v n e d o s e ž k e z v s e h p o d r o č i j g r a d b e n i š t v a , o b e ­ n e m z n j o i z o b r a ž u j e m o in s t a n o v s k o p o v e z u j e m o k o ­ le ge , saj je revija t u d i č l a n s k o g l a s i l o Z v e z e g r a d b e n i h i n ž e n i r j e v in t e h n i k o v S l o v e n i j e ( o d m a j a 1 9 9 8 s t a l n e č l a n i c e E v r o p s k e z v e z e g r a d b e n i h i n ž e n i r j e v - E C C E ) . V p r i z a d e v a n j u , d a bi e n a k o p o n o s n i p r i h o d n j e leto p r a z n o v a l i 5 0 l e t n i c o i z h a j a n j a » G r a d b e n e g a v e s t n i k a « , V a b i m o k s o d e l o v a n j u v s a z a i n t e r e s i r a n a g r a d b e n a p o d j e t j a , d a revijo p o d p r e j o , o b o g a t i j o in p o č a s t i j o s s v o j i m i p r e d s t a v i t v a m i in r e k l a m n i m i o g l a s i . T e m e l j n a m o č V a š e g a p o d j e t j a s o s t r o k o v n j a k i , n j i h o v a m o č p a je z n a n j e in d o b r a i n f o r m a c i j a ! Z a r e k l a m n e o g l a s e s e p r i p o r o č a m o p o n a s l e d n j e m c e ­ n i ku: 1 / 1 b a r v n i o g l a s n a n a s l o v n i c i 2 0 0 . 0 0 0 , 0 0 S I T 1 / 1 č r n o - b e l i 1 0 0 . 0 0 0 , 0 0 S I T 1 / 2 b a r v n i 1 0 0 . 0 0 0 , 0 0 S I T 1 / 2 č r n o - b e l i 5 0 . 0 0 0 , 0 0 S I T 1 / 4 č r n o - b e l i 2 5 . 0 0 0 , 0 0 S I T V c e n o je vštet D D V . R a b a t p o n a v l j a n j a o g l a s a z n a š a 1 0 % . Z D G I T S S p o š to v a n i! S p o ro č a m o V a m sp rem e m b o te le fo n s k e š te v ilk e Z D G IT S , ki se glasi: • ta jn iš tv o te l. /fax : (O D 4 S S • 4 6 - 2 2 - raču n o vo d stvo : (O D 4 2 2 - 4 6 - 2 0 E-m ail: g radb .zveza@ sio l.net A d m i n i s t r a c i j a Z D G I T S PRIPRAVLJALNI SEMINARJI TER IZPITNI ROKI ZA STROKOVNE IZPITE V GRADBENIŠTVU, ARHITEKTURI IN KRAJINSKI ARHITEKTURI V LETU 2 0 0 0 MESEC SEMINAR IZPITI GRADBENIKI ARHITEKTI KRAJINARJI Maj 22. - 26. pisni: 20.5. ustni: 8. -11.5. ustni: 8. -11.5. Junij ustni:5. - 8.6. September 18.-22. Oktober 23. - 27. pisni: 21.10. pisni: 21.10. pisni: 21.10. November 20. - 24. ustni: 6. - 9.11. pisni: 18.11. ustni: 6. - 9.11. ustni: 6. - 9.11. December 18.-22. ustni: 4. - 7.12. A. PRIPRAVLJALNE SEMINARJE organizira Zveza društev gradbenih inženirjev in tehnikov Slovenije (ZDGITS), Karlovška3,1000 Ljubljana (telefon/fax: 01 /422-46-22). Arhitekti in krajinarji so vabljeni na predavanja iz splošnega dela izpitnega programa (prvi trije dnevi) in plačajo 33.000,00 SIT. Cena 5-dnevnega seminarja za gradbenike znaša 65.000,00 SIT. V ceno je vštet DDV. Seminar ni obvezen! Izvedba seminarja je odvisna od števila prijav (najmanj 20 kandidatov). Udeležca prijavi k seminarju plačnik. Prijavo v obliki dopisa je potrebno poslati organizatorju najkasneje 20 dni pred pričetkom določenega seminarja. Prijava mora vsebovati: priimek, ime, poklic (zadnja pridobljena izobrazba), in naslov prijavljenega kandidata ter naslov in davčno številko plačnika. Samoplačnik mora k prijavi priložiti kopijo dokazila o plačilu. Žiro račun ZDGITS je 50101-678-47602; davčna številka 79748767. B. STROKOVNI IZPITI potekajo pri Inženirski zbornici Slovenije (IZS), Dunajska 104, 1000 Ljubljana. Informacije je mogoče dobiti pri ge. Terezi Rebernik od 10.00 do 12.00 ure, po telefonu 01 / 568-46-711