     
P 46 (2018/2019) 210
Nalogi
M R
1. naloga. Poišči funkcijo f , ki za vsak realen x za-
došča funkcijski enačbi
x(x + 1)f (x)+ f(1− x) = x(x3 − 1). (1)
Rešitev 1. naloge. V dano enačbo
x(x + 1)f (x)+ f(1− x) = x(x3 − 1) (2)
vstavimo 1− x namesto x in dobimo najprej
(1−x)(2−x)f(1−x)+f(x) = (1−x)((1−x)3−1)
in po preureditvi
f(x)+ (x − 1)(x − 2)f (1− x) =
x(x − 1)(x2 − 3x + 3). (3)
Sedaj enačbi (2) in (3) obravnavamo kot sistem dveh
enačb z neznankama f(x) in f(1 − x). Sistem npr.
rešimo tako, da iz (2) izrazimo
f(1− x) = x(x3 − 1)− x(x + 1)f (x)
in to vstavimo v (3). Po preureditvi dobimo
f(x)(x4 − 2x3 − x2 + 2x − 1) =
x(x − 1)(x4 − 2x3 − x2 + 2x − 1).
Nazadnje je pred nami rezultat: f(x) = x(x − 1).
2. naloga. Na sliki 1 je enakostranični trikotnik s
stranico x, ki je razdeljen na dva skladna raznostra-
nična trikotnika, enakokraki trapez in enakokraki tri-
kotnik z znanimi podatki. Izračunaj stranico x.
Rešitev 2. naloge. Višina enakostraničnega triko-
tnika je v = x
√
3/2, višina enakokrakega trikotnika
pa po Pitagorovem izreku v1 =
√
7− (1/2)2 =√
27/4 = 3
√
3/2. Višino v2 enakokrakega trapeza
prav tako dobimo s Pitagorovim izrekom, če prej od
SLIKA 1.
Enakostranǐcni trikotnik s podatki
desnega zgornjega oglišča do spodnje stranice pote-
gnemo levemu kraku vzporedno daljico. Tako do-
bimo enakokraki trikotnik s krakoma dolžine 2 in
osnovnico dolžine x − 1. Potem je v2 =√
4− (x − 1)2/4. Ker je v = v1 + v2, imamo enačbo
za x:
x
√
3/2 = 3
√
3/2+
√
4− (x − 1)2/4.
Pomnožimo jo z 2 in preuredimo:
(x − 3)
√
3 =
√
16− (x − 1)2.
Kvadriramo in dobljeno enačbo uredimo v kvadratno
enačbo
x2 − 5x + 3 = 0,
ki ima pozitivno rešitev
x = (5+
√
13)/2.
×××