OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
DECEMBER 2021 STR 121-160 ŠT. 4 LETNIK 68 LJUBLJANA OBZORNIK MAT. FIZ.
C  K M Y 
2021
Letnik 68
4
i
i
“kolofon” — 2021/12/13 — 9:16 — page 1 — #1
i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, ﬁzikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, DECEMBER 2021, letnik 68, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
raˇ cun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ cina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohoriˇ c (urednik za ﬁziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´ c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ cni urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Raˇ cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
ˇ
Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇ cno. Celoletna ˇ clanarina znaša 24 EUR, za druge
družinske ˇ clane in študente pa 12 EUR. Naroˇ cnina za ustanove je 30 EUR, za tujino 35 EUR.
Posamezna številka za ˇ clane stane 6,00 EUR, stare številke 3,00 EUR.
DMFA je vˇ clanjeno v Evropsko matematiˇ cno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇ cno
unijo (IMU), v Evropsko ﬁzikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇ cisto in
uporabno ﬁziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇ cnosti z Ameriškim matematiˇ c-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak tretji mesec. Soﬁnancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova razpisa za soﬁ-
nanciranje domaˇ cih znanstvenih periodiˇ cnih publikacij.
© 2021 DMFA Slovenije – 2148 Poštnina plaˇ cana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in ﬁziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇ clanke iz mate-
matike, ﬁzike in astronomije, vˇ casih tudi kak prevod. Poleg ˇ clankov objavlja prikaze novih knjig
s teh podroˇ cij, poroˇ cila o dejavnosti Društva matematikov, ﬁzikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
ˇ
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ˇ cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇ cek v angleškem jeziku, klasiﬁkacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilˇ cene, morajo imeti dovolj izˇ crpen opis, da jih
lahko veˇ cinoma razumemo tudi loˇ ceno od besedila. Avtorji ˇ clankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ cunalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ crk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma ﬁziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak ˇ clanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natanˇ cno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematiˇ cnih ˇ clankih splošnost) rezultatov.
ˇ
Ce je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇ cunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih razliˇ cic urejevalnikov T
E
X oziroma L
A
T
E
X, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo ˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
\Razpet" | 2021/12/13 | 8:59 | page 121 | #1
i
i
i
i
i
i
EVDOKSOVA KAMPILA
MARKO RAZPET
Pedago  ska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15
Evdoksova kampila je ena od ravninskih krivulj, ki nam pomaga re  siti anti  cni problem
podvojitve kocke. Pokazali bomo, kako se z neozna  cenim ravnilom in   sestilom konstru-
ira posamezne to  cke kampile, dokazali bomo nekaj njenih lastnosti in utemeljili precej
natan  cno pribli  zno metodo za podvojitev kocke.
KAMPYLE OF EUDOXUS
The kampyle of Eudoxus is one of the plane curves that helps us solve the ancient
problem of doubling the cube. We will show how to construct the individual points of
the kampyle using an unlabelled ruler and a pair of compasses, we will prove some of its
properties, and we will justify a fairly accurate approximate method for doubling a cube.
Uvod
Evdoks iz Knida (408{355 pr. n.   st.) je bil starogr  ski matematik in astro-
nom. Bil je Arhitov u  cenec v Tarentu in Platonov na Akademiji v Atenah.
Obiskal je tudi Sicilijo in Egipt. Kasneje je ustanovil svojo   solo v Kiziku
ob Marmarskem morju. Pomemben je njegov prispevek v teoriji razmerij in
nesoizmerljivih koli  cin, kar je uporabil Evklid v svojih Elementih.
V astronomiji je Evdoks zagovarjal geocentri  cni svetovni sistem in za
pojasnitev gibanja planetov in Lune uvedel sistem koncentri  cnih sfer, ki se
vrtijo druga v drugi. S tem v zvezi je uvedel   se eno krivuljo, ki jo poznamo
pod imenom »Evdoksova hipopeda«.
Problem podvojitve kocke je na svojevrsten na  cin, s torusom, valjem
in sto  zcem, re  sil pitagorejec in voja  ski poveljnik Arhitas iz Tarenta v ju  zni
Italiji, rojen med letoma 435 in 410, umrl pa med letoma 360 in 350 pr.
n.   st. (o njegovi re  sitvi ve  c v [3, 5]).
  Ce slede  c Arhitu uporabimo dana  snje
metode in oznake, potem v prostorskem kartezi  cnem koordinatnem sistemu
Oxyz i  s  cemo prese  ci  s  ca torusa (x
2
+y
2
+z
2
)
2
= 4a
2
(x
2
+y
2
), ki ima polmer
zunanjega ekvatorja 2a > 0, polmer notranjega pa 0, valja x
2
+y
2
= 2ax in
sto  zca x
2
=y
2
+z
2
.
  Ce ena  cbo sto  zca zapi  semo v obliki 2 x
2
=x
2
+y
2
+z
2
in to upo  stevamo v ena  cbi torusa, pridemo do ena  cbe a
2
(x
2
+y
2
) = x
4
.
Upo  stevamo   se ena  cbo valja in dobimo ena  cbo z eno neznanko: x
4
= 2a
3
x.
Njeni realni re  sitvi sta x
1
= 0 in x
2
=a
3
√
2. Pozitivna re  sitev je rob kocke,
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 121
i
i
\Razpet" | 2021/12/13 | 8:59 | page 122 | #2
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
ki ima dvakrat ve  cjo prostornino kot kocka z robom a. S tem je problem
podvojitve kocke re  sen.
Platon s tako re  sitvijo seveda ni bil zadovoljen: ni bila narejena po ev-
klidsko, to je z neozna  cenim ravnilom in   sestilom, ni bila narejena v ravnini.
Morda je Evdoks Arhitovo prostorsko re  sitev problema podvojitve kocke
poenostavil na re  sevanje v ravnini, tako da je,   ce uporabimo spet na  se
oznake, poiskal prese  ci  s  ce krivulje a
2
(x
2
+y
2
)=x
4
in kro  znice x
2
+y
2
= 2ax
v ravninskem kartezi  cnem koordinatnem sistemu Oxy. Krivulji se sekata v
koordinatnem izhodi  s  cu O in   se v dveh, glede na os x simetri  cno le  ze  cih to  c-
kah, ki imata absciso enakoa
3
√
2. Do re  sitve tokrat pridemo vsaj v ravnini,
Platon pa seveda tudi s tem ni bil zadovoljen.
Krivuljo, ki ima implicitno ena  cbo a
2
(x
2
+y
2
) =x
4
, so poimenovali po
Evdoksu »Evdoksova kampila«. Koordinatno izhodi  s  ce O(0; 0) je njena
izolirana to  cka, ki je navadno ne upo  stevamo. Krivulja je simetri  cna glede
na obe koordinatni osi.
Pravzaprav ni nikjer dokazano, da jo je Evdoks dejansko uporabljal. Ve
se le, da mu je podvojitev kocke uspelo najti z neko krivuljo. Beseda »kam-
pila« izhaja iz gr  ske »kamp  yle «, kar pomeni »kriva, zavita, upognjena«,
namre  c »  crta « ali »poteza«.
Problem podvojitve kocke ali delo  ski problem, poimenovan po gr  skem
otoku Delosu v Egejskem morju, je re  sevalo ve  c gr  skih geometrov, ki so celo
sku  sali izdelati v ta namen posebno orodje. Platon je pograjal Evdoksove,
Arhitove in Menajhmove u  cence,   ce  s da njihovi napori kvarijo, kar je do-
brega v geometriji. Nastal je celo epigram (pu  s  cica, zbadljivka) v zvezi s
podvojitvijo kocke, ki je zapisan v Evtokijevih komentarjih k Arhimedovi
razpravi »O krogli in valju«.
Navedimo omenjeni epigram v prevodu Sonje Weiss (vzeto iz obse  znega
knji  znega dela v treh delih [1]):
Te  zkih Arhitovih del s cilindri nikar ne posnemaj;
sto  znic Menajhmovih treh nikdar izsekal ne bo  s
niti ne bo  s spoznal,   ce bo  zanskega   crte Evdoksa
res zari  sejo lik, tak iz zavitih kampil.
Matematik in neoplatonist Evtokij iz A  skalona v Palestini je bil pozno-
anti  cni u  cenjak, rojen okoli leta 480, umrl pa je okoli leta 520. O njem se
ve bore malo. Nekaj   casa je deloval v Atenah, nazadnje pa v Aleksandriji.
Ve  c o tem na primer v [2].
Napisal je tudi komentarje k Apolonijevi razpravi »Sto  znice «. Na sto-
  znice se je v srednjem veku kar nekoliko pozabilo, zanimanje zanje je spet
o  zivelo   sele v   casu Keplerja in Newtona, ko je bil potreben opis gibanja
planetov v heliocentri  cnem svetovnem sistemu.
122 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Razpet" | 2021/12/13 | 8:59 | page 123 | #3
i
i
i
i
i
i
Evdoksova kampila
Konstrukcija to  ck Evdoksove kampile
Oglejmo si naslednjo konstrukcijo to  ck krivulje. V to  cki D(a; 0), pri   cemer
je a> 0, postavimo pravokotnico p na abscisno os. Na p izberemo to  cko A,
ki jo bomo kasneje premikali po tej premici. SkoziO inA na  crtamo premico
q in skozi A kro  znico s sredi  s  cem v koordinatnem izhodi  s  cu O. Kro  znica
preseka abscisno os v to  ckah B inB
′
, ki sta simetri  cni glede na to  cko O. V
B in B
′
konstruiramo pravokotnici r in r
′
na os x, ki presekata q v to  ckah
T inT
′
, ki sta tudi simetri  cni glede na to  cko O. Ko te  ce to  cka A po premici
p, opi  seta T in T
′
dvodelno krivuljo, za katero se izka  ze, da je Evdoksova
kampila. To  cka T opi  se njeno desno vejo, T
′
pa levo. Krivulja je o  citno
simetri  cna glede na obe koordinatni osi (slika 1).
V programih za dinami  cno geometrijo je Evdoksova kampila sled to  cke
T , ko v opisani evklidski konstrukciji premikamo to  cko A po premici p.
Slika 1. Konstrukcija to  ck Evdoksove kampile.
Ena  cbo desne veje dobljene krivulje je najla  ze najprej izraziti v po-
larnih koordinatah, nato pa   se v implicitni obliki v pravokotnih kartezi  c-
nih koordinatah. Za polarni kot ’ vzamemo naklonski kot premice q, za
polarni radij % pa razdaljo SOTS (slika 1). Najprej o  citno veljata zvezi
SOAS = SODS~ cos’ = a~ cos’ in % = SOTS = SOBS~ cos’ = SOAS~ cos’, iz
katerih dobimo % = a~ cos
2
’. Pri pogoju −  ~2 < ’ <   ~2 je torej polarna
121–127 123
i
i
\Razpet" | 2021/12/13 | 8:59 | page 124 | #4
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
ena  cba desne veje krivulje
%(’)=
a
cos
2
’
: (1)
Obe veji krivulje imata implicitno obliko
a
2
(x
2
+y
2
)=x
4
; (2)
ki jo dobimo iz polarne oblike z upo  stevanjem zvez %
2
=x
2
+y
2
in cos’=x~%.
Krivulja v obliki (2) ima izolirano to  cko O(0; 0), ki je posledica deljenja z
%, ki je lahko tudi enak 0. Evdoksova kampila je algebrska krivulja   cetrte
stopnje.
Slika 2. Podvojitev kocke z Evdoksovo kampilo.
Podvojitev kocke z Evdoksovo kampilo
Z Evdoksovo kampilo se da, kot smo   ze spoznali, podvojiti kocko. Na  crtamo
kro  znico s sredi  s  cem v to  cki D in polmeroma. Njena ena  cba je x
2
+y
2
= 2ax.
Sistem ena  cb
x
2
+y
2
= 2ax; a
2
(x
2
+y
2
)=x
4
ima trivialno re  sitev (x;y)=(0; 0) in netrivialni re  sitvi
(x;y)=(a
3
√
2;±a
»
2
3
√
2−
3
√
4):
V prvem kvadrantu se kro  znica in Evdoksova kampila sekata v to  cki T , ki
ima absciso ST
0
TS = b = a
3
√
2 (slika 2). Kocka z robom b ima prostornino
b
3
= 2a
3
, torej dvakratnik prostornine kocke z robom a.
124 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Razpet" | 2021/12/13 | 8:59 | page 125 | #5
i
i
i
i
i
i
Evdoksova kampila
S tem je problem podvojitve kocke re  sen,   ce priznamo Evdoksovo kam-
pilo za konstrukcijski element. Rob podvojene kocke je dolo  cen z absciso
prese  ci  s  ca kro  znice, ki po Platonu je konstrukcijski element, in kampile kot
sled to  cke v opisani konstrukciji. Kot je znano, pa z neozna  cenim ravnilom
in   sestilom problem podvojitve kocke ni re  sljiv. Zato pa tako kot v primeru
konstrukcije pravilnega sedemkotnika ali obsega kroga posku  samo najti do-
volj natan  cne pribli  zne metode, ki so izvedljive z neozna  cenim ravnilom in
  sestilom.
Mo  znost pribli  zne konstrukcije daljice, ki ima dol  zino zelo blizu a
3
√
2,
nudi majhna ukrivljenost Evdoksove kampile v okolici to  cke T , ki je prese-
  ci  s  ce kampile (2) in kro  znice x
2
+y
2
= 2ax.
  Ce izberemo na kampili to  cko
T
∗
, ki je zelo blizu T , se tangenta na kampilo v T
∗
z njo zelo dobro ujema.
Zato je prese  ci  s  ce P kro  znice x
2
+y
2
= 2ax s tangento tudi zelo blizu to  cke
T in abscisi to  ck T in P se malo razlikujeta. Za pribli  zno konstrukcijo pa
je treba T
∗
izbrati tako, da se jo da dolo  citi z neozna  cenim ravnilom in
  sestilom.
Slika 3. Desna veja Evdoksove kampile, prevoja in pritisnjena kro  znica.
Evdoksovo kampilo parametriziramo kar s polarnim kotom:
x(’)=
a
cos’
; y(’)=
a sin’
cos
2
’
:
Za prva dva odvoda v to  cki, ki ustreza kotu ’, dobimo izraza
dy
dx
=
1+ sin
2
’
sin’ cos’
;
d
2
y
dx
2
=
3 sin
2
’− 1
a sin
3
’
:
121–127 125
i
i
\Razpet" | 2021/12/13 | 8:59 | page 126 | #6
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Drugi odvod spremeni predznak pri kotih ’, za katere je 3 sin
2
’− 1= 0.
V ustreznih to  ckah ima krivulja prevoje. To so to  cke (±a
√
6~2;±a
√
3~2).
Tangente v teh to  ckah imajo strmini ±2
√
2, kar dobimo iz zgoraj dobljenega
izraza za odvod, in presekajo osx v to  ckah G
±
(±3a
√
6~8;0). Izka  ze se, da je
polmer pritisnjenih kro  znic, ki se v to  ckah D inD
′
kampili najbolj prilegajo,
enaka. Sredi  s  ce take kro  znice v to  cki D jeS(2a; 0), v to  cki D
′
paS
′
(−2a; 0).
Pribli  zno ujemanje krivulje, tangent v prevojih P
±
in pritisnjene kro  znice v
temenu D ka  ze slika 3.
Sedaj pa poka  zimo, da je za to  cko T
∗
zelo primerno izbrati prevoj P
+
kampile, v kateri se tangenta z njo dobro ujema.
  Ce namesto Evdoksove
kampile vzamemo kar njeno tangento
y = 2
√
2(x−a
√
6~2)+a
√
3~2
v prevoju P
+
in poi  s  cemo absciso   prese  ci  s  ca s kro  znico x
2
+y
2
= 2ax,
dobimo
  a
=
1
18
»
24
√
6− 23+
√
6
3
+
1
9
  1;259956951;
kar je nekoliko ve  c od to  cnej  se vrednosti
3
√
2  1;259921049:
Zgoraj opisani pribli  zek lahko izkoristimo za precej natan  cno evklidsko
konstrukcijo roba b podvojene kocke z robom a. Ozna  cimo z   polarni kot
prevoja P
+
v prvem kvadrantu (slika 4). Veljajo relacije:
sin  =
√
3
3
; cos  =
√
6
3
; tg  =
√
2
2
:
Polarni radij tega prevoja je
%
P
=
a
cos
2
  =
3a
2
:
Za konstrukcijo je zanimiv naslednji rezultat:
tg 2  =
2 tg  1− tg
2
  = 2
√
2:
To pomeni, da premica skozi O in P
+
razpolavlja naklonski kot premice
y = 2x
√
2, ki je vzporedna tangenti kampile skozi P
+
.
Ker kro  znica s sredi  s  cem v O in polmerom 3a~2 preseka premicox=a~2
v to  cki C(a~2;a
√
2), pomeni, da skozi O in C poteka premica y = 2x
√
2, ki
oklepa z osjo x kot 2  . Na premici s, simetrali kota DOC, ki ima ena  cbo
126 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Razpet" | 2021/12/13 | 8:59 | page 127 | #7
i
i
i
i
i
i
Evdoksova kampila
y = x
√
2~2 in ki oklepa z osjo x kot   , pa je na razdalji %
P
= 3a~2 prevoj
kampile. Skozenj je treba na  crtati le   se vzporednico s premico skozi O in
C, jo presekati s kro  znico s sredi  s  cem v D(a; 0) in polmerom a, pa dobimo
to  cko P , ki ima za absciso b =SP
0
PS, kar je pribli  zek za a
3
√
2. Podrobnosti
so razvidne na sliki 4.
Slika 4. Pribli  zna podvojitev kocke.
Konstrukcija je pribli  zno tako natan  cna kot Plemljeva konstrukcija pra-
vilnega sedemkotnika (glej [4]). Pri kocki z robom a= 100 m je napaka pri
robu tako pribli  zno podvojene kocke okoli 3,6 mm, kar pa se precej pozna
pri prostornini, za katero lahko napako hitro ocenimo z diferencialnim ra-
  cunom. Kocka z robom x ima prostornino V =x
3
, zato je dV = 3x
2
dx. Za
x = 126 m in dx = 3;6 mm dobimo dV = 171 m
3
. Relativna napaka pa je
majhna: samo okoli 8;5⋅ 10
−5
. Dvomimo, da bi kdo v praksi podvajal tako
veliko kocko.
LITERATURA
[1] G. Kocijan  ci  c (ured.), Fragmenti predsokratikov,
  Studentska zalo  zba, Ljubljana, 2012.
[2] B. von Pape, Von Eudoxus zu Uhlhorn, Books on Demand, Norderstedt, 2019.
[3] M. Jerman, Re  sevanje treh velikih starogr  skih problemov , Obzornik. mat.  z. 59
(2012), 182{192.
[4] J. Plemelj, Pravilni sedmerokotnik, Obzornik. mat.  z. 3 (1953), 134{135.
[5] M. Razpet, Arhitova krivulja, Obzornik. mat.  z. 62 (2015), 1{11.
121–127 127
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 128 | #1
i
i
i
i
i
i
IZZGODOVINE
EULER PRED FOURIEROM
ANDREJ LIKAR
Fakulteta za matematiko in  ziko
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A50
V prispevku obravnavamo del vsebine pisma, ki ga je Leonhard Euler poslal Christianu
Goldbachu 4. julija 1744. V njem je navedel svojo pot do za tisti   cas nenavadne vrste, ki
jo je odkril med pisanjem neke razprave o diferencialnem ra  cunu.
EULER AHEAD OF FOURIER
We discuss an interesting part of a letter which was written by Leonhard Euler to
Christian Goldbach on 4th of July 1744. He reported on for that time a curious series
discovered during his work on a treatise on di erential calculus.
Leonhard Euler (1707{1783) si je dopisoval s   stevilnimi takratnimi znan-
stveniki. Dopisovanje je skrbno vodil, zato je ve  cina pisem do danes ohra-
njena in na voljo vsakomur. Kot je impozanten njegov opus, je tudi   stevilo
pisem v obe smeri zelo veliko (okrog 3200), dopisovalcev pa je bilo okoli 300.
Skoraj 200 pisem si je izmenjal s Christianom Goldbachom (1690{1764),
profesorjem matematike v Moskvi. Eno teh, ki ga je napisal Euler 4. julija
1744, vsebuje za tisti   cas presenetljivo ugotovitev, in sicer Fourierovo vrsto:
    t
2
= sint +
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+    ; 0<t< 2 :
Joseph Fourier (1768{1830), ki mu danes pripisujemo zasluge za odkritje
trigonometri  cnih vrst in jih poimenujemo po njem, je bil rojen   sele leta 1768,
torej 24 let po tem pismu. Kako se je Fourier lotil vrst, je lepo opisano v
kateremkoli visoko  solskem u  cbeniku matematike, pri nas glej na primer [1].
Kako pa se je tega lotil Euler? Zelo preprosto sicer, vsak   student drugega
semestra naravoslovja ali tehnike bi sledil razlagi, a pri tem odkimaval z
glavo.
Za  cel je z naslednjo vrsto:
S(t) =e
it
+e
2it
+e
3it
+e
4it
+e
5it
+e
6it
+    128 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 129 | #2
i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
Pri tem je t realno   stevilo. Zapisano bolj strnjeno:
S(t) =
1
X
k=1
e
ikt
:
Tu se odkimavanje pojavi prvi  c. Vsekakor   cudna vrsta, saj   cleni z nara  s  ca-
jo  cim k nikakor ne padajo, njihova absolutna vrednost je ves   cas enaka 1.
To se   se bolj jasno vidi,   ce uporabimo znamenito Eulerjevo ena  cbo
e
it
= cost +i sint;
torej
S(t) = cost + cos 2t + cos 3t +    +i(sint + sin 2t + sin 3t +    ):
Ne realni ne imaginarni del vrste nimata smisla, vrsti sta divergentni,   se
tako pozni   cleni opletajo na intervalu med   1 in 1. Divergentne vrste so
bile jabolko spora tudi v Eulerjevem   casu. Goldbach je njihovo uporabo
zagovarjal   ze ve  c kot dvajset let pred tem, kar se vidi iz njegovega dopiso-
vanja z Bernoullijema. Tudi Euler je bil prepri  can, da lahko divergentnim
vrstam pripi  semo neko vsoto. S to metodo je pri  sel do osupljivih rezultatov,
posebej v teoriji   stevil. Vendar, le kako?
Pa si oglejmo primer. Imamo vrsto:
T = 1  2 + 3  4 + 5  6 + 7  8 +    Gotovo je vrsta divergentna, saj njeni   cleni po absolutni vrednosti nara  s  cajo.
Na prvi pogled bi mislili, da je povsem nesmiselna. A razmi  sljamo lahko po
drugi poti. Oglejmo si identiteto:
1 +x +x
2
+x
3
+x
4
+    =
1
1  x
:
Velja prijxj< 1 in je geometrijska vrsta s kvocientomx. Sedaj jo odvajajmo
po x na obeh straneh:
1 + 2x + 3x
2
+ 4x
3
+    =
1
(1  x)
2
:
  Ce zamenjamo x z  x, dobimo
1  2x + 3x
2
  4x
3
+    =
1
(1 +x)
2
:
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 129
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 130 | #3
i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
  Ce sedaj hrabro postavimo x = 1, imamo
1  2 + 3  4 +    =
1
4
:
Torej smo nesmiselni vrsti pripisali vsoto. Matematiki tej vsoti re  cejo Abe-
lova ali Abel-Poissonova vsota divergentne vrste.
Francoski matematik in matemati  cni  zik Simeon Denis Poisson (1781{
1840) je postavil tudi tole de nicijo:
De nicija 1.
  Ce za dano vrsto
1
X
n=0
a
n
(1)
poten  cna vrsta
f(x) =
1
X
n=0
a
n
x
n
konvergira za  1 < x < 1 ter obstaja limita S funkcije f(x), ko se re-
alno   stevilo x z leve bli  za 1, imenujemo to limito Abel-Poissonova vsota ali
Abelova vsota vrste (1).
Slavni norve  ski matematik Niels Henrik Abel (1802{1829) je dokazal
naslednji izrek [2, 3]:
Izrek 2.
  Ce pri pogojih zgornje de nicije vrsta (1) konvergira, je njena vsota
enaka Abelovi vsoti.
Izrek velja tudi za kompleksne a
n
.
Tudi od drugih metod sumacije divergentnih vrst zahtevamo, da v pri-
meru konvergentne vrste dajo obi  cajno vsoto. Seveda pa je Abel vedel, da
obstajajo tudi take mo  znosti sumiranja divergentnih vrst, ki pripeljejo pri
isti vrsti do razli  cnih vsot. Zato je zapisal: »Divergentne vrste so hudi  ceva
iznajdba . . .«
  Ceprav je ena  cba
1  2 + 3  4 +    =
1
4
milo re  ceno nenavadna, se moramo zavedati, kaj smo pravzaprav naredili.
Ko smo hrabro postavili x = 1, smo v resnici le limitirali   pri x = 1    130 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 131 | #4
i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
proti ni  c, pri   cemer   ni nikoli res natanko ni  c. S   se tako majhnim   pa
polagoma odre  zemo vpliv zelo oddaljenih   clenov na vsoto. Ker vrsto zapi-
sujemo le s prvimi nekaj   cleni, ta odrez nekako spregledamo. V teoreti  cni
 ziki zasledimo prav pretresljivo ena  cbo
1 + 2 + 3 + 4 +    =  1
12
;
kjer smo na levi strani spet napisali le limite nekaj prvih   clenov. Gre pa za
tole limito:
lim
 !0
1
X
n=1
ne
   n
cos n =  1
12
;
kar pojasni negativno vsoto.
V  ziki moramo pogosto ne  zno odrezati vpliv divergentnih   clenov na
vsoto kake vrste. To se rado dogaja pri perturbativnih ra  cunih kake  zi-
kalne koli  cine v kvantni mehaniki. Pravimo, da vrsto regulariziramo. Naj-
pogosteje dobro deluje,   ce vsak   clen pomno  zimo z neko primerno izbrano
regulacijsko funkcijof(k;  ). Za prikazan primer, ko smo vrsti pripisali Abe-
lovo vsoto, bi namre  c pri
S
1
(  ) =
1
X
k=0
(  1)
k
(k + 1)f(k;  )
izbrali funkcijo f(k;  ) = e
   k
= x
k
. V limiti   ! 0 gre x! 1 z leve, kot
to terja Abelova vsota. Brez kake posebne utemeljitve pogosto izberejo tole
funkcijo:
f(k;  ) =e
   k
2
:
Tudi pri tej funkciji limitiramo  proti ni  c. Pri zelo majhnem   tako vplivamo
le na zelo oddaljen vrstin rep, drugih   clenov ne spremenimo kaj dosti. Z
ra  cunalnikom se prepri  camo, da dobimo tudi s to funkcijo lim
 !0
S
1
(  ) =
1
4
.
  Ce smo na dva na  cina na  sli vsoto zgornje vrste, jo je Euler gotovo na  sel
tudi zaS(t), saj tu   cleni po absolutni vrednosti ne nara  s  cajo. Brez zadr  zkov
se je lotil ra  cunanja. Vrsto S(t) je zapisal, kot se spodobi za geometrijsko
vrsto:
S(t) =
e
it
1  e
it
=  1
2
+i
sint
2(1  cost)
= cost + cos 2t + cos 3t +    +i(sint + sin 2t + sin 3t +    ):
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 131
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 132 | #5
i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Torej mora veljati:
cost + cos 2t + cos 3t +    =  1
2
:
Euler je torej na zelo preprost na  cin na  sel vsoto tej divergentni vrsti. Seveda
je na  sel tisto, kar so pozneje imenovali Abel-Poissonovo vsoto. Geometrijska
vrsta
1
X
k=1
e
ikt
x
k
namre  c konvergira za jxj< 1. Njena vsota je
S(t;x) =
e
it
x
1  e
it
x
:
Ko se x od spodaj bli  za 1, vsota konvergira k
S(t) =
e
it
1  e
it
:
Z ra  cunalnikom in z regulacijsko funkcijo f(k;  ) =e
   k
2
pridemo do enake
vsote.
Sedaj levi in desni strani ena  cbe cos t + cos 2t + cos 3t +    =   1
2
poi  s  cemo nedolo  ceni integral in dobimo:
sint +
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+    =  t
2
+C:
Konstanto C dolo  cimo tako, da postavimo
t =
  2
;
torej
1  1
3
+
1
5
  1
7
+    =    4
+C =
  4
:
Vrsto na levi pa je Euler poznal, saj je bila takrat   ze znana. Poznal jo je   ze
Indijec Madhava Sangamagrama (c. 1350{c. 1425), v Evropi pa
  Skot James
Gregory (1638{1675) leta 1671, in je:
1  1
3
+
1
5
  1
7
+    =
  4
:
132 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Likar" | 2021/12/13 | 9:02 | page 133 | #6
i
i
i
i
i
i
Euler pred Fourierom
To danes utemeljimo takole: Zajxj< 1 velja
1  x
2
+x
4
  x
6
+    =
1
1 +x
2
:
Integrirajmo:
x  1
3
x
3
+
1
5
x
5
  1
7
x
7
+    = arctanx +D: (2)
  Ce postavimo x = 0, vidimo, da je D = 0. Vemo, da vrsta
1  1
3
+
1
5
  1
7
+    (3)
konvergira. Zato je Abelova vsota vrste (3), ki je limita desne strani v
ena  cbi (2), ko gre x z leve proti 1, enaka arctan 1 =
  4
. Po Abelovem izreku
je Abelova vsota enaka vsoti vrste (3).
Tako je C dolo  cen in torej na intervalu 0 <t< 2  res velja:
    t
2
= sint +
sin 2t
2
+
sin 3t
3
+    Prit = 0 je na desni strani zgornje ena  cbe 0, na levi strani pa
  2
, prav tako
enakost ne velja prit = 2  . To ni presenetljivo. Vrsta na desni strani zgornje
ena  cbe je periodi  cna s periodo 2   .
  Ce levo stran periodi  cno nadaljujemo s
periodo 2  , ima pri t = 0 desno limito enako
  2
, levo limito pa enako levi
limiti pri 2  , torej    2
. Fourierova vrsta pri t = 0 konvergira k aritmeti  cni
sredini leve in desne limite na  se funkcije, torej k 0. Enako velja pri t = 2  .
LITERATURA
[1] R. Jamnik, Trigonometrijske vrste, v I. Vidav, Vi  sja matematika II , DZS, Ljubljana,
1979, 189.
[2] G. M. Fihtengol’c, Kurs di erencial’nogo i integral’nogo is  cislenia , II del, Nauka,
Moskva, 1969, 397{398.
[3] Abel’s theorem, Wikipedia, dostopno nahttps://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_
theorem, ogled 11. 10. 2021.
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 133
i
i
\Prezelj" | 2021/12/13 | 9:03 | page 134 | #1
i
i
i
i
i
i
NOVEKNJIGE
F. Forstneri  c, Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy
principle in complex analysis, 2nd ed., Springer, Cham, 2017, 562 strani.
Pred nami je druga izdaja knjige Stein
Manifolds and Holomorphic Mappings,
avtorja akad. prof. dr. Franca Forstne-
ri  ca. Delo je posve  ceno homotopskemu
principu v kompleksni analizi, ki se po
pionirju moderne kompleksne analize Ki-
yoshiju Oka imenuje princip Oka. V gro-
bem povedano princip Oka trdi, da imajo
kohomolo  sko formulirani analiti  cni pro-
blemi na Steinovih mnogoterostih zgolj
topolo  ske ovire. Moderni princip Oka
nadomesti kohomolo  sko formulacijo pro-
blemov s homotopsko formulacijo, v po-
vezavi z ustreznimi  eksibilnostnimi po-
goji na kodomene holomorfnih preslikav.
Namen dela je bil predstaviti razvoj principa Oka od klasi  cnega principa
Oka-Grauert iz let 1939{1958, preko homotopskega principa in elipti  cnih
mnogoterosti, pojmov, ki ju je uvedel Mikhail Gromov leta 1989, teorije
Anders  en-Lempert (1992) o holomorfnih avtomo zmih kompleksnih evklid-
skih prostorov in njim sorodnih kompleksnih mnogoterosti, do novej  sih re-
zultatov avtorja in njegovih   stevilnih sodelavcev od l. 2000 dalje.
Glavna pojma knjige sta Steinova mnogoterost in mnogoterost Oka, ki
sta v dolo  cenem smislu dualna. Steinove mnogoterosti so zaprte kompleksne
podmnogoterosti kompleksnih evklidskih prostorov. Posledi  cno imajo take
mnogoterosti veliko holomorfnih funkcij in s tem tudi obilico holomorfnih
preslikav v kompleksne evklidske prostore; torej so naravne domene holo-
morfnih preslikav. Po drugi strani pa mnogoterosti Oka vsebujejo obilico
holomorfnih slik kompleksnih evklidskih prostorov in so zato naravne ko-
domene holomorfnih preslikav. Zato je naravno pri  cakovati obstoj velike
134 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Prezelj" | 2021/12/13 | 9:03 | page 135 | #2
i
i
i
i
i
i
Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy principle in complex analysis
dru  zine holomorfnih preslikav Steinovih mnogoterosti v mnogoterosti Oka.
Potrditev in preciziranje tega dejstva so med glavnimi rezultati, predstav-
ljenimi v pri  cujo  ci knjigi.
Knjiga je razdeljena v tri ve  cje sklope. V prvem sklopu z naslovom Stein
Manifolds (str. 2{203) se nahajajo poglavja Preliminaries, Stein manifolds,
Stein Neighborhoods and Approximation ter Automorphisms of Complex
Euclidean Spaces, kjer so predstavljene nekatere temeljne teme analize na
Steinovih mnogoterostih.
Osrednji del knjige predstavlja drugi sklop Oka Theory (str. 207{349).
Poglavje Oka Manifolds se za  cne z zgodovinskim pregledom klasi  cne teo-
rije Oka-Grauert. Glavnina poglavja je posve  cena moderni teoriji Oka, ki
je nastala po letu 2000. Avtor uvodoma predstavi de nicijo mnogoterosti
Oka, ki jo je uvedel v enem od svojih   clankov l. 2009: kompleksno mno-
goterost Y imenujemo mnogoterost Oka,   ce lahko vsako holomorfno pre-
slikavo f : K ! Y z okolice neke kompaktne konveksne podmno  zice K
kompleksnega evklidskega prostoraC
n
(za poljuben n) aproksimiramo ena-
komerno na K s holomorfnimi preslikavami C
n
! Y . Preostanek poglavja
je posve  cen dokazu glavnega izreka (izrek 5.4.4), ki pove, da holomorfne
preslikave Steinovih mnogoterosti v Oka mnogoterosti zado  s  cajo vsem po-
membnim rezultatom klasi  cne funkcijske teorije v odsotnosti topolo  skih ovir.
Poglavje se zaklju  ci z vrsto med seboj netrivialno ekvivalentnih karakteri-
zacij mnogoterosti Oka. V naslednjem poglavju Elliptic Complex Geometry
and Oka Theory je predstavljen koncept elipti  cnosti, ki ga je uvedel v teorijo
M. Gromov v pomembnem delu leta 1989. Podrobno je predstavljen dokaz
izreka Gromova o homotopskem principu za prereze elipti  cnih holomorfnih
submerzij nad Steinovimi prostori in nekatere posplo  sitve. Vsaka elipti  cna
kompleksna mnogoterost je tudi mnogoterost Oka, obratno pa ne velja. V
naslednjem poglavju Flexibility Properties of Complex Manifolds and Holo-
morphic Maps avtor razlo  zi, kako se pojma mnogoterosti Oka in elipti  cnosti
vklapljata v druge znane holomorfne  eksibilnostne lastnosti kompleksnih
mnogoterosti kot so C-povezanost, Liouvilleova lastnost, veljavnosti trans-
verzalnostnih izrekov za holomorfne preslikave in druge. Poglavje vsebuje
tudi pregled novej  sih rezultatov po 1. izdaji knjige l. 2011.
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 135
i
i
\Prezelj" | 2021/12/13 | 9:03 | page 136 | #3
i
i
i
i
i
i
Nove knjige
V tretjem, zadnjem delu knjige, z naslovom Applications (353{531), so
v poglavju Applications of Oka Theory and Its Methods predstavljeni pri-
meri uporabe teorije Oka za iskanje prerezov holomorfnih vlaknenj, upo-
raba v teoriji transverzalnosti za holomorfne preslikave, odstranjevanje sa-
moprese  ci  s  c, uporaba principa Oka v re  sitvi holomorfnega Vassersteinovega
problema in vrsta drugih. V poglavju Embeddings, Immersions and Sub-
mersions so predstavljene konstrukcije holomorfnih vlo  zitev in imerzij Stei-
novih mnogoterosti v evklidske prostore ter sorodne kompleksne mnogote-
rosti, princip Oka za prave holomorfne preslikave, konstrukcija holomorf-
nih funkcij brez kriti  cnih to  ck na Steinovih mnogoterostih, ter konstrukcije
pravih holomorfnih vlo  zitev odprtih Riemannovih ploskev v evklidsko rav-
nino C
2
. V zadnjem poglavju, Topological Methods in Stein Geometry,
je predstavljena Eliashberg-Gompfova konstrukcija integrabilnih Steinovih
struktur na skoraj kompleksnih mnogoterostih, s posebnim poudarkom na
4-dimenzionalnih mnogoterostih in s tem povezanim ›mehkim‹ principom
Oka, ki poleg obi  cajne homotopske deformacije preslikav dodatno dopu  s  ca
homotopno spremembo kompleksne strukture na izvorni Steinovi mnogote-
rosti.
Pri  cujo  ca knjiga je { tako kot njena predhodnica iz l. 2011 { postala
pomembna referenca za vsakogar, ki se raziskovalno ukvarja s kompleksno
analizo, posebej za tiste, ki se ukvarjajo s principom Oka v katerikoli nje-
govi razli  cici. Gre za edino knjigo, kjer je (poleg klasi  cne Steinove teorije)
predstavljena tako teorija Oka kot tudi teorija kompleksnih mnogoterosti z
veliko grupo holomorfnih avtomor zmov (taki so npr. kompleksni evklidski
prostori in velika ve  cina kompleksnih Liejevih grup in homogenih prosto-
rov). V delu je prikazano, kako sta ti dve podro  cji kompleksne analize med
seboj intimno povezani.
Na osnovi razvoja teorije Oka v zadnjih desetletjih in   se posebej uvedbe
pojma Oka mnogoterosti v literaturo je bilo leta 2020 v matemati  cno kla-
si kacijo MSC-2020 uvedeno novo podro  cje »32Q56 Oka principle and Oka
manifolds«.
Jasna Prezelj
136 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Semrl" | 2021/12/13 | 9:04 | page 137 | #1
i
i
i
i
i
i
Zero product determined algebras
M. Bre  sar, Zero product determined algebras, Frontiers in Mathematics,
Birkh auser/Springer, Basel, 2021, 185 strani.
Profesor Matej Bre  sar, avtor znanstvene
monogra je, ki je nedavno iz  sla pri za-
lo  zbi Birkh  auser/Springer, je   studij ma-
tematike na Univerzi v Ljubljani vpisal
leta 1983. Po kon  canem dodiplomskem
  studiju je sledil bliskovit vzpon med vo-
dilne slovenske matematike. Zelo mlad
je leta 1990 doktoriral in samo pet let ka-
sneje   ze prejel nagrado Republike Slove-
nije za znanstveno-raziskovalno delo (da-
na  snjo Zoisovo nagrado). Leta 2015 je
bil kot izredni   clan sprejet v Slovensko
akademijo znanosti in umetnosti, od leta
2021 pa je njen redni   clan. Je redni pro-
fesor na Fakulteti za matematiko in  -
ziko Univerze v Ljubljani in na Fakul-
teti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru. V letih 2014 do
2016 je bil predsednik Dru  stva matematikov,  zikov in astronomov Slove-
nije. Vklju  cen je tudi v raziskovalno delo na In  stitutu za matematiko,  ziko
in mehaniko v Ljubljani.
Rezultati njegovega znanstvenega dela so bili objavljeni v ve  c kot 160
znanstvenih   clankih. Sodi med najbolj citirane slovenske matematike. V
zadnjem   casu se odlikuje kot plodovit pisec u  cbenikov in znanstvenih mono-
gra j. Je avtor u  cbenika Uvod v algebro, ki je iz  sel pri DMFA Zalo  zni  stvo.
V zadnjih petnajstih letih so iz  sle   stiri njegove knjige pri zalo  zbi Sprin-
ger. Leta 2007 je s soavtorjema M. Chebotarjem in W. S. Martindaleom
izdal znanstveno monogra jo »Functional identities«. Sledila sta u  cbenika
»Introduction to noncommutative algebra« in »Undergraduate Algebra. A
uni ed approach «, ki sta bila natisnjena v letih 2014 in 2019. V septem-
bru 2021 pa smo pri  cakali   se njegovo zadnjo znanstveno monogra jo »Zero
product determined algebras«.
Spomnimo se, da je algebra mno  zica s tremi operacijami. Tu sta najprej
dve notranji operaciji, to sta se  stevanje in mno  zenje. Za se  stevanje zah-
tevamo vse obi  cajne lastnosti, pri mno  zenju pa se po navadi omejimo na
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 137
i
i
\Semrl" | 2021/12/13 | 9:04 | page 138 | #2
i
i
i
i
i
i
Nove knjige
zahtevo, da je asociativno. Zelo pogosto pa se obravnavajo tudi neasocia-
tivne algebre, kot so npr. Liejeve in jordanske algebre. Tretja operacija je
zunanja. To je mno  zenje s skalarji in tu zahtevamo podobne lastnosti, kot
jih ima mno  zenje obi  cajnih vektorjev s skalarji.
Izka  ze se, da o nekaterih algebrah lahko povemo zelo veliko,   ce poznamo
zgolj tiste urejene pare elementov, katerih produkt je enak ni  c. Kadar nam
ta informacija zadostuje za dobro razumevanje strukture algebre, govorimo
o algebri, dolo  ceni z ni  celnim produktom. Ta »de nicija « je bila namenoma
predstavljena nenatan  cno, saj   zelimo v tem kratkem zapisu zgolj intuitivno
predstaviti glavne matemati  cne ideje, o katerih te  ce beseda v monogra ji.
Vsi, ki bi   zeleli izvedeti ve  c, ste toplo vabljeni k prebiranju te monogra je.
Koncept algebre, dolo  cene z ni  celnim produktom, je naravno zrasel iz
  studija dveh na prvi pogled povsem nepovezanih problemov. Prvi je pro-
blem karakterizacije linearnih ohranjevalcev komutativnosti na centralnih
enostavnih algebrah, drugi pa je   studij lokalnih odvajanj na operatorskih
algebrah. Sti  cna to  cka pri obravnavi teh dveh problemov je bil   studij bi-
linearnih preslikav, ki imajo ni  celno vrednost na vseh parih elementov z
ni  celnim produktom. V obeh primerih je bil to odlo  cilni korak k re  sitvi za-
stavljenega problema. To je potem naravno vodilo do koncepta, ki je tema
pri  cujo  ce monogra je. Lahko bi rekli, da je ta koncept v za  cetku slu  zil zgolj
kot glavno orodje pri re  sitvi dveh konkretnih matemati  cnih problemov. A
se je kmalu izkazalo, da se zadaj skriva mnogo ve  c { razvoj teorije je ves   cas
stregel s   stevilnimi uporabami v algebri in v analizi.
  Ze sam za  cetek teorije ima dualni zna  caj, algebrski na eni strani in ana-
liti  cni na drugi. Avtor monogra je je bil vodilni pri razvoju algebrske smeri,
pri analiti  cnem delu zgodbe pa je glavno vlogo odigral   spanski matematik
Armando Villena iz Univerze v Granadi. V monogra ji se do sedaj prete  zno
lo  ceni zgodbi zdru  zita in poenotita, kar vodi do mnogoterih poenostavitev
  ze objavljenih rezultatov in dokazov.
Prvi del monogra je je posve  cen algebrai  cni veji teorije, drugi analiti  cni,
tretji pa je namenjen uporabi teorije na razli  cnih podro  cjih algebre in funk-
cionalne analize. Prav uporabnost teorije je bila ves   cas glavna motivacija
za njen razvoj.
Peter
  Semrl
138 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Cencelj" | 2021/12/13 | 9:12 | page 139 | #1
i
i
i
i
i
i
Nonlinear analysis – theory and methods
N. S. Papageorgiou, V. D. R  adulescu in D. D. Repov  s, Nonlinear analysis
{ theory and methods, Springer Monographs in Mathematics, Springer,
Cham, 2019, 577 strani.
V minulih petdesetih letih se je neline-
arna analiza razvila v zelo   siroko interdi-
sciplinarno raziskovalno podro  cje in no-
bena knjiga ne more v celoti predstaviti
niti najnovej  sega razvoja na vseh njenih
podpodro  cjih. Avtorji knjige, ki je iz-
  sla pri eni izmed vodilnih znanstvenih
zalo  zb na svetu, so se odlo  cili pouda-
riti tiste aspekte nelinearne analize, ki se
uporabljajo pri   studiju nelinearnih rob-
nih problemov. Glede na to so jo razde-
lili na naslednjih   sest poglavij: 1. Pro-
stori Soboljeva, 2. Kompaktni operatorji
in operatorji monotonega tipa, 3. Teo-
rije stopenj, 4. Delna urejenost, teorija
negibnih to  ck, variacijski principi, 5. Te-
orija kriti  cnih to  ck in 6. Morseova teorija
in kriti  cne grupe. Na koncu vsakega po-
glavja so dodali opombe in reference na ustrezno literaturo. Monogra ja je
prvi zvezek dvodelne publikacije in je v celoti posve  cena razvoju omenjenih
tem v abstraktnem okviru. Naslednji zvezek, ki je v tisku pri isti zalo  zbi,
pa je posve  cen najpomembnej  sim aplikacijam in modelom, ki jih narekuje
realni svet.
Prvih pet poglavij uporablja analiti  cne metode, ki jih tisti, ki so sezna-
njeni s funkcionalno analizo,   ze poznajo. S   sibkimi odvodi funkcij v Lebes-
gueovih prostorih na evklidskem prostoru so vpeljani prostori Soboljeva.
Tak uvod je precej uveljavljen, prvi rezultati so dokazani z regularizacijo z
gladkimi konvolucijskimi jedri. Topolo  ski vektorski prostori niso omenjeni,
teorija distribucij pa le mimogrede. To je razumljivo glede na namen, da se
gre v delu preko sicer   siroke palete metod za linearne parcialne diferencialne
ena  cbe. Standardni rezultati o vlo  zitvah prostorov Soboljeva pa so podani
in tudi njihovi dualni prostori so predstavljeni   ze na za  cetku. Za tem sledi
poglavje o kompaktnih operatorjih na Banachovih in Hilbertovih prostorih.
Za neskon  cno-dimenzionalne separabilne Hilbertove prostore je predstavljen
in dokazan Spektralni izrek. Dodani so tudi monotoni operatorji, ki se iz-
ka  zejo za zelo koristne za predstavitev teorije.
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 139
i
i
\Cencelj" | 2021/12/13 | 9:12 | page 140 | #2
i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Naslednja poglavja izkazujejo pomen homotopije (in nato tudi homolo-
gije) parov prostorov, ki pri obravnavi nivojskih mno  zic operatorjev dajeta
pomembne informacije. Poleg kompaktnih operatorjev so na   siroko obdelane
ve  cli  cne funkcije (ki preslikujejo to  cke Banachovega prostora v podmno  zice
istega prostora). Leray-Schauderjevi teoriji stopenj je dodana diskusija Bro-
uwerjeve teorije stopenj za retrakte in raz  sirjena na primer ve  cli  cnih funkcij
(kjer je s sto  zci vpeljana struktura delne urejenosti). Vseskozi se pred-
stavitev za  cne na metri  cnih prostorih in nadaljuje na splo  snih topolo  skih
prostorih. Teorija kriti  cnih to  ck je uporabljena za iskanje minimumov ener-
gijskih funkcionalov, ob tem pa so predstavljeni tudi variacijski koncepti.
Zadnji poglavji, o Morseovi teoriji in homolo  skih grupah kriti  cnih mno  zic,
od bralca zahtevata nekaj znanja algebrske topologije.
Gre za zelo dobro napisan uvod v obravnavano podro  cje. Vsi omenjeni
izreki so pomembni in predstavljeni na kompetenten in strogo znanstven
na  cin. Uvod je jedrnato zastavljen, vendar ne predpostavlja poglobljenega
poznavanja algebrske topologije in se podaja v to podro  cje z vidika mate-
mati  cne analize. Vsa orodja za   studij nelinearnih parcialnih diferencialnih
ena  cb so vklju  cena in razlo  zena na dovolj jasen na  cin za uporabo v razisko-
valnem delu. To je eden najbolj  sih uvodov za vse, ki   zelijo raziskovati na
podro  cjih teoreti  cne in uporabne nelinearne analize. Pravzaprav je ciljna
publika te knjige precej   sir  sa, saj gre za odli  cen prikaz podro  cja in detajlno
in zelo navdihujo  co monogra jo. V celoti gledano je knjiga odli  cen tekst
za nadaljevalni te  caj iz nelinearne analize na podiplomskem nivoju kakor
tudi odli  cen referen  cni priro  cnik za raziskovalce in u  citelje teorije in upo-
rabe parcialnih diferencialnih ena  cb. To dokazuje tudi izjemna citiranost te
knjige: po podatkih osrednje referen  cne revije Mathematical Reviews je ta
knjiga dale  c najve  ckrat citirana med vsemi matemati  cnimi knjigami, ki so
iz  sle istega leta.
Du  san Repov  s je redni profesor na Univerzi v Ljubljani, na In  stitutu za
matematiko,  ziko in mehaniko pa vodi Skupino za topologijo, geometrijo
in nelinearno analizo. Objavil je   ze ve  c kot 450 raziskovalnih   clankov in 4
monogra je, ob tem je imel ve  c kot 400 vabljenih predavanj na konferencah
in tujih ustanovah   sirom po svetu. Je ustanovni   clan In  zenirske akademije
Slovenije,   clan Evropske akademije znanosti in umetnosti in drugih tujih
akademij. Prejel je nagrado Republike Slovenije za znanstveno-raziskovalno
delo, priznanje ambasador Republike Slovenije v znanosti, medaljo Bogolju-
bova in druga tuja priznanja. Je urednik v ve  c tujih revijah in   clan   stevilnih
tujih matemati  cnih zdru  zenj.
Matija Cencelj
140 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Irsic" | 2021/12/13 | 9:14 | page 141 | #1
i
i
i
i
i
i
Domination Games Played on Graphs
B. Bre  sar, M. A. Henning, S. Klav  zar in D. F. Rall, Domination Games
Played on Graphs, SpringerBriefs in Mathematics, Springer, Cham, 2021,
121 strani.
Aprila je pri zalo  zbi Springer iz  sla nova
knjiga z naslovom Domination Games
Played on Graphs (Dominacijske igre na
gra h). Avtorji monogra je so Bo  stjan
Bre  sar (Univerza v Mariboru), Michael
A. Henning (Univerza v Johannesburgu),
Sandi Klav  zar (Univerza v Ljubljani) in
Douglas F. Rall (Univerza Furman), ki
vsi sodijo med vodilne raziskovalce na
podro  cju dominacijskih iger. Knjiga
predstavlja strnjen pregled razli  cic do-
minacijske igre ter rezultatov in odprtih
problemov povezanih z njimi. V glav-
nem je namenjena raziskovalcem, tako
mladim kot izku  senim. Avtorji v knjigi
najve  c pozornosti posvetijo osnovni raz-
li  cici dominacijske igre, ki je bila v zadnjem desetletju dele  zna izjemne po-
zornosti.
Knjiga je razdeljena na pet poglavij. V prvem, uvodnem poglavju naj-
demo potrebne oznake in de nicije. Spomnimo se, da vozli  s  ce dominira
sebe in svoje sosede. Podmno  zica vozli  s  c grafa je dominacijska mno  zica,
  ce dominira vsa vozli  s  ca grafa. Velikost najmanj  se dominacijske mno  zice je
grafovska invarianta imenovana dominantno   stevilo grafa G in ozna  cena z
  (G). Dolo  canje dominantnega   stevila splo  snih grafov je zahteven problem,
zato je zanimivo nanj pogledati tudi z vidika teorije iger. Dominacijska igra
je tekmovalna optimizacijska igra, ki so jo leta 2010 vpeljali prav Bre  sar,
Klav  zar in Rall. Igro na danem grafu G igrata dva igralca (Dominator in Za-
vla  cevalka), ki izmeni  cno izbirata vozli  s  ca in jih dodajata v izbrano mno  zico.
Vsako izbrano vozli  s  ce mora dominirati vsaj eno vozli  s  ce, ki ga prej izbrana
vozli  s  ca ne dominirajo. Igra se kon  ca, ko izbrana mno  zica tvori dominacij-
sko mno  zico grafa G (in torej nadaljnje poteze niso mogo  ce). Igralca imata
nasprotujo  ca si cilja: Dominator   zeli dose  ci   cim manj  so kon  cno velikost iz-
brane mno  zice, Zavla  cevalka pa te  zi k   cim ve  cji kon  cni mno  zici izbranih
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 141
i
i
\Irsic" | 2021/12/13 | 9:14 | page 142 | #2
i
i
i
i
i
i
Nove knjige
vozli  s  c. Igra nima zmagovalca ali pora  zenca. Oba igralca preprosto sledita
strategiji, ki najbolj ustreza njunemu cilju.
  Ce oba igrata optimalno, kon  cna
velikost mno  zice izbranih vozli  s  c postane grafovska invarianta. Imenujemo
jo igralno dominantno   stevilo grafa G in ozna  cimo z   g
(G),   ce prvo potezo
naredi Dominator, in z   0
g
(G),   ce je Zavla  cevalka prva na potezi.
Izmed razli  cic dominacijske igre v prvem poglavju natan  cneje spoznamo
  se celotno dominacijsko igro. Spomnimo se, da vozli  s  ce celotno dominira
svoje sosede, ne pa tudi samega sebe. Celotna dominacijska igra je de ni-
rana podobno kot dominacijska igra, le da mora izbrano vozli  s  ce na vsaki
potezi celotno dominirati vsaj eno vozli  s  ce, ki ga prej izbrana vozli  s  ca   se
ne dominirajo celotno.
  Ce oba igralca igrata optimalno in igro na grafu G
za  cne Dominator, dobljeno invarianto ozna  cimo z   tg
(G).
Drugo poglavje je posve  ceno dominacijski igri. Predstavljena sta nada-
ljevalni princip in strategija nami  sljene igre, ki se izka  ze za zelo uporabno
tehniko dokazovanja. Nadaljevalni princip je formalizacija intuitivno jasne
lastnosti, da se igra na grafu kon  ca hitreje,   ce so nekatera vozli  s  ca   ze vna-
prej dominirana, ki pa zahteva netrivialen dokaz. NajGjS ozna  cuje graf G,
na katerem so vozli  s  ca S  V (G)   ze dominirana, in naj   g
(GjS) ozna  cuje
  stevilo potez v dominacijski igri na GjS, kjer prvo potezo naredi Dominator
in vozli  s  c iz S ni ve  c treba dominirati. Nadaljevalni princip pravi, da   ce
je G graf in B  A  V (G), potem velja   g
(GjA)    g
(GjB). Podobna
lastnost velja tudi za igro, kjer za  cne Zavla  cevalka. Predstavljene so znane
zgornje meje za igralno dominantno   stevilo grafa. Leta 2013 so Kinnersley,
West in Zamani postavili domnevo, da za vsak grafG brez izoliranih vozli  s  c
in zn vozli  s  ci velja   g
(G)  3
5
n. Podobna domneva je   se vedno odprta tudi
za drevesa brez izoliranih vozli  s  c. Pri dokazovanju tovrstnih zgornjih mej
je izredno uporabna metoda praznjenja Bujt  aseve. Najbolj  sa znana zgornja
meja v splo  snem je
5
8
n,   ce se omejimo na grafe z najmanj  so stopnjo 2, pa je
dokazana zgornja meja
3
5
n. Posebej je   studirana tudi podobna domneva, ki
obravnava le grafe, ki premorejo Hamiltonovo pot (tj. pot v grafu, ki vsako
vozli  s  ce obi  s  ce natanko enkrat). Za tak graf na n vozli  s  cih je domnevna
zgornja meja enaka
  1
2
n
  .
Dolo  canje igralnega dominantnega   stevila ni enostavno niti na posame-
znih dru  zinah grafov. Avtorji predstavijo natan  cne vrednosti za poti, cikle
in njihove potence ter glavnike. Karakterizirani so gra , ki imajo igralno
dominantno   stevilo enako 2 ali 3. Posebna pozornost je namenjena vplivu
142 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Irsic" | 2021/12/13 | 9:14 | page 143 | #3
i
i
i
i
i
i
Domination Games Played on Graphs
odstranitve vozli  s  ca ali povezave na igralno dominantno   stevilo grafa. Ker
  studirana invarianta za ti operaciji ni monotona, so tudi (povezavno) kri-
ti  cni gra  de nirani nekoliko druga  ce kot obi  cajno. Predstavljena je tudi
  casovna zahtevnost problema.
V tretjem poglavju avtorji predstavijo znane rezultate o celotni domi-
nacijski igri. Analogno z zgornjo mejo za igralno dominantno   stevilo je
postavljena domneva, da za vsak grafG nan vozli  s  cih, katerega vsaka kom-
ponenta vsebuje vsaj tri vozli  s  ca, velja   tg
(G)  3
4
n. Natan  cna vrednost
celotnega igralnega dominantnega   stevila je znana za poti, cikle in cikli  cne
dvodelne grafe. Predstavljeni so kriti  cni in popolni gra , rezultati o vplivu
odstranitve vozli  s  ca ter ra  cunska zahtevnost problema.
  Ce si predstavljamo, da dominacijsko igro igra samo Dominator, je
kon  cna mno  zica izbranih vozli  s  c ravno najmanj  sa dominacijska mno  zica
grafa. Bolj zanimivo je torej   studirati igro, ki jo igra samo Zavla  cevalka
in porodi t. i. Grundyjevo dominantno   stevilo. Pri tej igri vozli  s  ca izbira
le Zavla  cevalka, njen cilj je   se vedno kon  cati igro s   cim ve  c izbranimi voz-
li  s  ci, razli  cna pravila za veljavnost poteze pa porodijo ve  c razli  cic igre. Tej
igri (in njenim razli  cicam) je posve  ceno   cetrto poglavje knjige. Posebej je
izpostavljena povezava ene izmed razli  cic z ni  celno prisilo in najmanj  sim
rangom.
Zadnje poglavje predstavi   se preostale razli  cice dominacijske igre. Med
drugim spoznamo disjunktno dominacijsko igro, povezano dominacijsko igro,
Z-, L- in LL-dominacijske igre ter nekatere igre na hipergra h. Pri disjunk-
tni dominacijski igri eden izmed igralcev posku  sa zgraditi dve disjunktni
dominacijski mno  zici, pri   cemer mu drugi igralec posku  sa to prepre  citi. Po-
vezana, Z-, L- in LL-dominacijska igra sledijo podobnim pravilom kot do-
minacijska igra, le da so pogoji za veljavnost poteze nekoliko druga  cni. Na
koncu poglavja najdemo tudi strnjen pregled preostalih razli  cic dominacij-
ske igre { nekatere so se v literaturi pojavile   ze pred letom 2010, vendar
niso bile nikoli dele  zne tolik  sne pozornosti kot osnovna verzija dominacijske
igre, ki jo obravnava opisana knjiga.
Z jedrnatim pregledom de nicij, rezultatov, metod dokazovanja in od-
prtih problemov knjiga predstavlja odli  cno referenco tako za bolj zagrete
  studente kot za trenutne in bodo  ce raziskovalce na tem podro  cju.
Vesna Ir  si  c
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 143
i
i
\CastniClan" | 2021/12/13 | 9:14 | page 144 | #1
i
i
i
i
i
i
VESTI
Dr. Nada Razpet { nova   castna   clanica Dru  stva matematikov,  zikov in
astronomov
Dr. Nada Razpet je v zadnjih tridesetih
letih res veliko prispevala k uspe  snemu
delovanju Dru  stva matematikov,  zikov
in astronomov Slovenije, saj je bila od
leta 1991 pa do 2020, skoraj polnih 30
let, njegova podpredsednica.
Po kon  canem petletnem u  citelji  s  cu v
Ljubljani se je vpisala na   studij mate-
matike in  zike na takratni Fakulteti za
naravoslovje in tehnologijo Univerze v
Ljubljani in diplomirala leta 1974. Leta
2008 je magistrirala iz  zikalnega izo-
bra  zevanja, leta 2014 pa je na Fakulteti
za matematiko in  ziko Univerze v Lju-
bljani zagovarjala doktorsko disertacijo z naslovom Obravnava valovanja s
hamiltonsko metodo.
Po diplomi je bila zaposlena kot profesorica matematike in  zike na
Gimnaziji Be  zigrad, nato pa najprej na Zavodu RS za   solstvo kot vi  sja sve-
tovalka za opismenjevanje v ra  cunalni  stvu, potem pa na Pedago  ski fakulteti
Univerze v Ljubljani in kasneje tudi na Pedago  ski fakulteti Univerze na Pri-
morskem. Vseskozi je aktivno sodelovala na razli  cnih seminarjih za u  citelje
v osnovnih in srednjih   solah s strokovnimi prispevki o zgodnjem uvajanju
naravoslovja v   sole, uporabi matemati  cnih in  zikalnih igra  c pri pouku na
ni  zjih stopnjah ter uporabi ra  cunalnika pri pouku geometrije.
Njena bibliogra ja obsega na Cobissu 544 enot in sega od  zikalnih znan-
stvenih   clankov, napisanih v sodelovanju z mentorjem in drugimi razisko-
valci, do del, kjer se ukvarja zlasti z vpra  sanji pouka  zike. Skoraj 100 njenih
strokovnih in poljudnih   clankov je objavljenih v Preseku, Obzorniku za ma-
tematiko in  ziko ter v drugih slovenskih revijah, namenjenih popularizaciji
matematike in  zike v   solah. Od leta 2004 dalje je   clanica uredni  skega
odbora revije Obzornik za matematiko in  ziko .
Nada Razpet je bila skoraj   stirideset let zelo aktivna pri Dru  stvu mate-
matikov,  zikov in astronomov Slovenije. Vsako leto je kot podpredsednica
dru  stva skrbela za priprave na redne letne ob  cne zbore in urejala Bilten
144 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\CastniClan" | 2021/12/13 | 9:14 | page 145 | #2
i
i
i
i
i
i
Akad. Prof. dr. Josip Globevnik, novi ˇ castni ˇ clan DMFA Slovenije
DMFA Slovenije, ki ob tej prilo  znosti izide. Bedela je nad realizacijo skle-
pov upravnega odbora, opravljala vrsto drobnih teko  cih nalog in zastopala
DMFA Slovenije na razli  cnih dogodkih. Sodelovala je pri dokumentiranju
spominskih obele  zij zaslu  znih matematikov in  zikov, pri organizaciji pro-
slav pomembnih obletnic in pri urejanju ustreznih zbornikov in publikacij.
Na leto  snjem 8. kongresu evropskih matematikov, ki je bil julija v Portoro  zu,
je skupaj z Izidorjem Hafnerjem in Markom Razpetom pripravila predsta-
vitev petih pomembnih slovenskih matematikov (Vege, Mo  cnika, Plemlja,
Laha in Vidava).
Leta 2002 je bila pri dru  stvu ustanovljena zgodovinska sekcija, ki se je
sprva ukvarjala predvsem s pripravo Vegovih proslav, pozneje pa je iz nje
nastal in za  zivel seminar za zgodovino matemati  cnih znanosti, na katerem
Nada Razpet vseskozi aktivno sodeluje, od lani pa ga tudi vodi.
Dr. Milan Hladnik, dr. Izidor Hafner in dr. Andrej Likar
Akad. prof. dr. Josip Globevnik, novi   castni   clan DMFA Slovenije
Akademik, redni profesor dr. Josip Glo-
bevnik v pokoju in zaslu  zni profesor Uni-
verze v Ljubljani, je utemeljitelj komple-
ksne analize ve  c spremenljivk v Slove-
niji in mednarodna avtoriteta na svojem
znanstvenem podro  cju.
Rojen je bil leta 1945 v Ljubljani. Iz
matematike je diplomiral leta 1968 na
Univerzi v Ljubljani, magistriral na Uni-
verzi v Zagrebu leta 1971 in doktoriral
na Univerzi v Ljubljani leta 1972. Po
diplomi se je leta 1969 zaposlil na Fakul-
teti za arhitekturo, gradbeni  stvo in geo-
dezijo Univerze v Ljubljani. Leta 1973 je
postal docent, leta 1978 izredni profesor
in leta 1983 redni profesor za matematiko. Leta 1988 se je zaposlil na Od-
delku za matematiko in mehaniko Fakultete za naravoslovje in tehnologijo,
izpod okrilja katere je leta 1995 nastala Fakulteta za matematiko in  ziko.
Pri njenem formiranju je sam odigral pomembno vlogo kot tedanji prestoj-
nik Oddelka za matematiko. Na fakulteti je ostal do upokojitve v letu 2012.
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 145
i
i
\CastniClan" | 2021/12/13 | 9:14 | page 146 | #3
i
i
i
i
i
i
Vesti
Predaval je   stevilne predmete iz matemati  cne analize in bil mentor vrsti
diplomantov, magistrantov in doktorandov. Izjemna je bila njegova vloga
pri mentorstvu in vsestranski pomo  ci mlaj  sim kolegom na za  cetku karierne
poti.
Globevnik je prvi v Sloveniji za  cel raziskovanja na podro  cju komple-
ksne analize in je leta 1975 osnoval seminar za kompleksno analizo, ki ga je
samostojno vodil do leta 2001. Vseskozi je bil intenzivno prisoten v medna-
rodnem prostoru in je gostoval na   stevilnih univerzah in in  stitutih v Evropi,
ZDA in Izraelu, pogosto za dalj  sa obdobja. Njegov znanstveni opus obsega
117 originalnih del z razli  cnih podro  cij matemati  cne analize.
  Stevilna med
njegovimi deli so objavljena v elitnih matemati  cnih revijah. Tako ima dve
objavi v najuglednej  si reviji Annals of Mathematics (druga objava l. 2015 pri
starosti 70 let) ter objave v Inventiones Math., American J. Math., Math.
Ann., Anal. PDE, Trans. AMS in vrsti drugih. Znanstveno je sodeloval z
uglednimi svetovnimi matematiki, med drugimi z legendarnim Walterjem
Rudinom. Ves   cas svoje kariere je bil nosilec raziskovalnih nalog, projektov
in programov pri Raziskovalni skupnosti Slovenije, Ministrstvu za znanost
in tehnologijo in nato pri ARRS. Za svoje raziskovalno delo je leta 1976
prejel Kidri  cevo nagrado. Leta 1985 je bil izvoljen za izrednega   clana Slo-
venske akademije znanosti in umetnosti, leta 1989 pa za njenega rednega
  clana. Leta 2019 je prejel Zoisovo nagrado za   zivljenjsko delo.
Josip Globevnik je opravljal   stevilne pomembne funkcije. Bil je predstoj-
nik Oddelka za matematiko na IMFM,   clan univerzitetnega sveta Univerze
v Ljubljani, predsednik programskega sveta za matematiko in mehaniko
pri Raziskovalni skupnosti Slovenije, predstojnik Oddelka za matematiko in
mehaniko FNT UL,   clan habilitacijske komisije Univerze v Ljubljani,   clan
znanstvenega sveta NAMA in koordinator za polje matematika pri Mini-
strstvu za znanost in tehnologijo,   clan komisije za nagrade in priznanja
Republike Slovenije, na  celnik Oddelka za matemati  cne,  zikalne, kemijske
in tehni  ske vede tretjega razreda SAZU in tajnik tretjega razreda SAZU.
Poleg imen, kot so Jurij Vega, Josip Plemelj in Ivan Vidav, je akad.
Josip Globevnik v mednarodnih matemati  cnih krogih eden najvidnej  sih in
najbolj cenjenih ter spo  stovanih slovenskih matematikov.
Akad. prof. dr. Franc Forstneri  c
146 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\ObcniZbor" | 2021/12/13 | 9:22 | page 147 | #1
i
i
i
i
i
i
74. Obˇ cni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
74. Ob  cni zbor DMFA Slovenije uspe  sno izveden na daljavo
Leto  snji,   ze 74. Ob  cni zbor DMFA Slovenije, je potekal 19. novembra 2021
na daljavo preko spleta. Znanstveno popoldne pred samim ob  cnim zborom
sta ob 17. uri s tradicionalnima vabljenima znanstvenima predavanjema za
  sir  se   clanstvo za  cela ugledna gosta. Prvi predavatelj,  zik prof. dr. Samo
Kralj, UM FNM, prejemnik Zoisovega priznanja 2020 in dr  zavne nagrade za
  solstvo 2021, je v predavanju Teko  ci kristali: poligon osnovne  zike predsta-
vil pristop k matemati  cni obravnavi zanimivih lastnosti teko  cih kristalov s
pomo  cjo  zike topolo  skih defektov. Drugi predavatelj, matematik prof. dr.
Bojan Mohar, IMFM in Simon Fraser University, Kanada, je bil v zadnjem
obdobju izvoljen med   castne   clane American Mathematical Society (2020),
  castne   clane Society for Industrial and Applied Mathematics (2018) in v
akademijo znanosti pri Royal Society of Canada (2020). V predavanju Pre-
kri  zna   stevila in Hillova domneva je predstavil klasi  cni problem dolo  canja
prekri  znega   stevila polnega grafa in njegovo povezavo s sorodnimi problemi
kombinatorike, geometrije in verjetnosti.
Ob za  cetku Ob  cnega zbora ob 18.30 je navzo  ce najprej pozdravila pred-
sednica Ne  zka Mramor Kosta in se zahvalila vsem   clanom, ki so prispevali
k uspe  snemu delu Dru  stva v zadnjem letu. Med   cakanjem na sklep  cnost je
Barbara Japelj Pave  si  c , Pedago  ski in  stitut, v kraj  sem predavanju predsta-
Slika 1. Vabljeno predavanje prof. dr. Bojana Moharja.
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 147
i
i
\ObcniZbor" | 2021/12/13 | 9:22 | page 148 | #2
i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 2. Vabljeno predavanje Barbare Japelj Pave  si  c.
vila nekaj zadnjih spoznanj o slovenskem matemati  cnem in  zikalnem izo-
bra  zevanju v lu  ci mednarodnih raziskav. Predavanje je izpostavilo   stevilne
kriti  cne to  cke v   solskem sistemu in je pritegnilo veliko zanimanja poslu  sal-
cev.
Po ugotovitvi sklep  cnosti (prisotnih 57   clanov, od tega 14   clanov Uprav-
nega odbora) se je Ob  cni zbor nadaljeval s potrditvijo dnevnega reda in
delovnega predsedstva, ki sem ga vodil podpisani Bo  stjan Kuzman .
  Ze v
naslednji to  cki je Ciril Dominko, predsednik statutarne komisije, predstavil
predlog novega Statuta DMFA Slovenije, ki je bil v nadaljevanju soglasno
potrjen z glasovanjem preko ankete v sistemu Zoom. Glavna razloga za
spremembe sta bila uskladitev z Zakonom o nevladnih organizacijah ter
sklep UO o mo  znosti pla  cevanja zni  zanih skupinskih   clanarin. Ob tem so
prisotni predlagali, da bi bilo primerno ponuditi popust pri   clanarini tudi
za upokojene   clane. Obenem so bile v statutu urejene   se nekatere druge
spremembe (natan  cnej  sa opredelitev pristojnosti organov dru  stva,   crtanje
  clenov, ki omenjajo podru  znice, natan  cnej  sa opredelitev javnega delovanja
in obve  s  canja, ureditev mo  znosti izvajanja sej (sestankov upravnega odbora,
ob  cnega zbora in drugih) na daljavo, in uvrstitev intelektualne lastnine Dru-
  stva med premo  zenje).
V nadaljevanju so prisotni izvolili dva nova   castna   clana DMFA Slove-
nije, akad. prof. Josipa Globevnika, in dr. Nado Razpet, podeljenih je bilo
148 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\ObcniZbor" | 2021/12/13 | 9:22 | page 149 | #3
i
i
i
i
i
i
74. Obˇ cni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
Slika 3. Imenovanje   castnih   clanov.
tudi pet dru  stvenih priznanj, ki so jih prejeli Metka Jemec, Katja Kmetec,
dr. Renato Luka  c , Miran Ravnjak in Franc Savnik. Ve  c o prejemnikih je
zapisano v posebnih prispevkih.
Sledil je pregled dru  stvenih poro  cil za minulo leto. Podpredsednica Mar-
jeta Kramar Fijav  z je ob predstavitvi poro  cil poudarila, da je bila kljub pan-
demiji ve  cina dejavnosti uspe  sno izvedenih in na kratko izpostavila nekaj
dejavnosti (8. evropski matemati  cni kongres junija v Portoro  zu, uskladitev
tekmovalnih pravilnikov s krovnim pravilnikom MIZ
  S, prijava 11 selekcij-
skih in 6 interesnih tekmovanj iz znanja na razpis za so nanciranje, vpe-
ljava novih tekmovanj Razvoj novih analitskih metod v medicini (skupaj s
FMF, MF, IJS) in Ekonomija (skupaj z EF), uspe  sna prijava na Javni raz-
pis za digitalno preobrazbo nevladnih in prostovoljskih organizacij (MJU)
v konzorciju z ZOTKS, pridobitev namenskih sredstev MIZ
  S in priprave
na organizacijo Evropske  zikalne olimpijade v letu 2022 ter priprave na
organizacijo Evropske dekli  ske matemati  cne olimpijade v letu 2023.
Na kratko smo preleteli tudi druga poro  cila, ki so v celoti dostopna v
Biltenu na spletni strani DMFA Slovenije. Med njimi so poro  cilo predsednice
in podpredsednice in poro  cila strokovnih odborov (za matematiko, za  ziko,
za astronomijo, za   zenske,   studentske sekcije), 14 poro  cil komisij o dr  zavnih
tekmovanjih, 12 poro  cil o sodelovanjih na mednarodnih tekmovanjih in nekaj
poro  cil o drugih strokovnih aktivnostih (MARS, Presekov seminar, Seminar
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 149
i
i
\ObcniZbor" | 2021/12/13 | 9:22 | page 150 | #4
i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 4. Virtualna vo  s  cila ob podelitvi priznanj.
za zgodovino matemati  cnih znanosti, nate  caj Matematika za bolj  si svet,
Zalo  zni  ska dejavnost). Jurij Bajc je poro  cal o statusu Plemljeve vile, ki je
na razpolago za dru  stvene (izobra  zevalne) dejavnosti,   cakamo pa na ureditev
statusa s strani ob  cine Bled, ki bi omogo  cal ponovno uporabo vile tudi za
turisti  cne namene.
Pregled poro  cil smo zaklju  cili s poro  cilom o   clanstvu, ki ga je pripravil
tajnik Janez Kru  si  c . Dru  stvo ima trenutno 882 aktivnih   clanov (820 rednih,
17 dru  zinskih, 27   studentov, 18   castnih   clanov), od tega 752 individualnih
in 130 kolektivnih (IJS 116, UL FGG 6 in UL FRI 8). Od zadnjega ob  cnega
zbora se je v  clanilo 25 novih   clanov, 33 pa je   clanstvo prenehalo. Med njimi
so tudi trije, ki so se za vedno poslovili, in smo jim namenili minuto molka:
Marjan Kodelja, upokojeni profesor matematike in  zike na Gimnaziji
  Sent-
vid, Martina Koman, upokojena profesorica matematike in  zike, dolgoletna
sodelavka in predsednica (1982{1983) ter   castna   clanica DMFA Slovenije,
ter dr. Edvard Kramar, upokojeni profesor matematike na UL FMF, dolgo-
letni sodelavec Komisije za tisk DMFA in ve  c let odgovorni urednik revije
Presek.
Prisotni so soglasno potrdili Ra  cunovodsko poro  cilo za leto 2020, ki ga
je pripravila ra  cunovodkinja Simona Puncer Klemen  ci  c in sta ga pred tem
  ze potrdila Upravni in Nadzorni odbor ter je v celoti objavljeno v javno
dostopni bazi AJPES. Po ve  cjem primanjkljaju v letu 2019 je bil izid leta
150 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\ObcniZbor" | 2021/12/13 | 9:22 | page 151 | #5
i
i
i
i
i
i
74. Obˇ cni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
Slika 5. Zaklju  cni klepet udele  zencev Ob  cnega zbora.
2020 pozitiven kljub manj  semu prihodku od kotizacij iz tekmovanj. Tre-
nutno stanje v letu 2021 je po podatkih ra  cunovodkinje prav tako ugodno.
Pred zaklju  ckom Ob  cnega zbora sem v imenu Upravnega odbora povedal, da
i  s  cemo sodelavce/ustanove za (so)organizacijo naslednjega Ob  cnega zbora
ter kandidate za organe dru  stva za obdobje 2022{2023, in da bi   zeleli da-
tum naslednjega Ob  cnega zbora z volitvami napovedati   se pred poletjem
2022. Drugih pobud s strani prisotnih ni bilo,   clanice in   clani pa jih lahko
po  sljete tudi naknadno na naslov tajnik@dmfa.si, ali posameznim   clanom
Upravnega odbora.
Ob koncu se je predsednica Ne  zka Mramor Kosta zahvalila vsem sode-
lavcem in ustanovam, posebej DMFA { zalo  zni  stvu, FMF, ZOTKS, spon-
zorjem in donatorjem,   clanom Upravnega odbora in razli  cnih komisij ter
udele  zencem zbora. Posebno zahvalo za sodelovanje pri pripravah in vo-
denju ob  cnega zbora je namenila tudi meni, sam pa sem se ji zahvalil za
uspe  sno in izjemno prizadevno vodenje DMFA Slovenije v zadnjem letu.
Omenil sem   se druge sodelavce, ki so sodelovali pri pripravi in organizaciji
ob  cnega zbora. To so bili predvsem Marjeta Kramar Fijav  z, Matja  z
  Zeljko,
Martin Klanj  s  cek, Ale  s Mohori  c in Janez Kru  si  c.
Bo  stjan Kuzman
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 151
i
i
\Priznanja" | 2021/12/10 | 13:10 | page 152 | #1
i
i
i
i
i
i
Vesti
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Luka  c, Miran Ravnjak in Franc
Savnik prejemniki priznanj DMFA za leto 2021
DMFA Slovenije   ze od leta 1968 podeljuje dru  stvena priznanja z name-
nom promocije uspe  snega strokovnega in pedago  skega dela posameznikov
ali ustanov na podro  cjih matematike,  zike in astronomije. Na 74. Ob  cnem
zboru DMFA Slovenije 19. novembra 2021 je komisija za priznanja podelila
pet priznanj za uspe  sno pedago  sko in strokovno delo. Prejeli so jih Metka
Jemec, u  citeljica matematike na O
  S Josipa Plemlja Bled, za ustvarjalen pouk
in uspe  sno delo z u  cenci na podro  cjih matematike, logike in razvedrilne ma-
tematike, Katja Kmetec, u  citeljica matematike na O
  S Prule, za ustvarjalno
strokovno delo in navdu  sevanje osnovno  solcev za matematiko s skupinskimi
projekti, dr. Renato Luka  c , profesor  zike na Gimnaziji Murska Sobota, za
uspe  sno delo z dijaki, mladimi raziskovalci in ljubitelji na podro  cjih  zike in
astronomije, Miran Ravnjak, profesor matematike na Gimnaziji Velenje, za
dolgoletni prispevek h kvalitetnemu pou  cevanju matematike , in Franc Sav-
nik, upokojeni profesor matematike in nekdanji ravnatelj Gimnazije Bre  zice,
za trajen prispevek k pou  cevanju matematike in ra  cunalni  stva v slovenskih
  solah .
Iskrene   cestitke vsem prejemnikom! Komisija se zahvaljuje vsem predla-
gateljem za poslane predloge in tudi v prihodnje vabi vse   clane in   clanice
dru  stva, da predlagajo kandidate in kandidatke, ki v svojem okolju izstopajo
s kvalitetnim strokovnim ali pedago  skim delom.
V nadaljevanju objavljamo kratke utemeljitve, ki jih je pripravila komi-
sija na osnovi prejetih predlogov.
152 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Priznanja" | 2021/12/10 | 13:10 | page 153 | #2
i
i
i
i
i
i
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Lukaˇ c, Miran Ravnjak in Franc Savnik prejemniki
priznanj DMFA za leto 2021
Metka Jemec, u  citeljica matematike na O
  S
Josipa Plemlja, Bled, prejme priznanje
DMFA Slovenije za ustvarjalen pouk in
uspe  sno delo z u  cenci na podro  cjih mate-
matike, logike in razvedrilne matematike.
Metka Jemec je diplomirala na smeri
Matematika-tehnika na Pedago  ski fakulteti
v Ljubljani, od leta 2001 pa pou  cuje ma-
tematiko na O
  S Josipa Plemlja, Bled. Pri
pou  cevanju matematike je zelo inovativna.
U  cenke in u  cence z didakti  cno dobro zastav-
ljenimi aktivnostmi spodbuja k raziskova-
nju in samostojnemu projektnemu delu, kar je ve  ckrat odmevno predstavila
s prispevki na nacionalnih konferencah o pou  cevanju matematike KUPM.
Ob kvalitetnem delu pri rednem pouku pa je tudi izjemno uspe  sna men-
torica tistim, ki se pripravljajo na tekmovanja. S sistemati  cnim delom na
kro  zkih jih odli  cno motivira in opremi z znanjem, ki je potrebno za uspeh na
tekmovanju. Na dr  zavnem nivoju so njeni u  cenci in u  cenke posebej uspe  sni
na tekmovanjih iz matematike za Vegova priznanja, logike in razvedrilne
matematike, na katerih so v zadnjih letih prejeli skupaj ve  c kot 60 zlatih
priznanj in ve  c kot 10 nagrad za najvi  sja mesta. Njeni u  cenci se od osnovne
  sole poslovijo odli  cno opremljeni za nadaljevanje   solanja na srednji stopnji
in se radi   se kasneje vra  cajo k njej po nasvete. To zelo cenijo tudi njeni
sokrajani, ki so ji na predlog ve  cje skupine u  cencev in star  sev leta 2020 za
po  zrtvovalno in sr  cno vzgojno delo podelili tudi Zlato priznanje ob  cine Bled.
Katja Kmetec, u  citeljica matematike na O
  S
Prule, Ljubljana, prejme priznanje DMFA
Slovenije za ustvarjalno strokovno delo in
navdu  sevanje osnovno  solcev za matematiko
s skupinskimi projekti.
Katja Kmetec je diplomirala na smeri
Matematika- zika na Pedago  ski fakulteti v
Ljubljani leta 1999. Najprej je pou  cevala
matematiko na O
  S Brinje, Grosuplje, od
leta 2018 pa pou  cuje na O
  S Prule v Lju-
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 153
i
i
\Priznanja" | 2021/12/10 | 13:10 | page 154 | #3
i
i
i
i
i
i
Vesti
bljani. Njeno pedago  sko delo je navdihujo  ce in prepoznavno tudi v   sir  sem
slovenskem prostoru. Na konferencah in strokovnih seminarjih v organizaciji
DMFA, ZRS
  S in PeF je pripravila vrsto odmevnih predstavitev (Raziskova-
nje vzorcev v igri Hanojski stolpi, S   carovnijo do motivacije pri dodatnem
pouku matematike, Matemati  cni kazino, Matemati  cni triki in igre) in ob-
javila ve  c strokovnih prispevkov na temo posodobitve pouka matematike
v osnovni   soli.
  Ze vrsto let kvalitetno sodeluje s Pedago  sko fakulteto pri
izvajanju   studentske prakse in v razli  cnih tekmovalnih komisijah DMFA
Slovenije. Morda najbolj dragoceno pa je njeno neposredno delo z u  cenci,
ki jih za matematiko navdu  suje z vklju  cevalno zastavljenimi projekti. V
zadnjih letih so bile tako izrazito opazne njene aktivnosti ob dnevu   stevila
Pi oziroma Mednarodnem dnevu matematike, ob katerih je k sodelovanju
pritegnila ve  c   sol in izkoristila talente u  cencev za matemati  cno navdihnjeno
ustvarjanje glasbe, likovnih in kuharskih umetnin, recitiranje, snemanje  l-
mov in druge aktivnosti. Katja Kmetec je zgled delavnosti,   siroke razgle-
danosti, kreativnosti in skromnosti { lastnosti, ki jih redko najdemo pri eni
sami osebi, a jih pri dobrem u  citelju matematike vselej cenijo tako sodelavci
kot tudi u  cenci in star  si.
Dr. Renato Luka  c , prof.  zike na Gimna-
ziji Murska Sobota, prejme priznanje
DMFA Slovenije za uspe  sno delo z dijaki,
mladimi raziskovalci in ljubitelji na podro-
  cjih  zike in astronomije.
Dr. Renato Luka  c je leta 1992 zaklju  cil
  studij  zike na takratni Fakulteti za nara-
voslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani.
  Ze leto prej se je zaposlil kot
u  citelj  zike in ra  cunalni  stva na Gimnaziji Murska Sobota,   studij pa je na-
daljeval in leta 1999 na Univerzi na Dunaju doktoriral na podro  cju uporabe
numeri  cnih metod pri raziskavah teko  cih kristalov.
  Ze tri desetletja dr.
Luka  c z veliko predanostjo do pedago  skega in raziskovalnega dela uspe  sno
vzpodbuja   stevilne dijake k poglobljenemu delu na podro  cju naravoslovja
in ra  cunalni  stva. Dijaki so pod njegovim mentorstvom pripravili ve  c kot 20
raziskovalnih nalog, med katerimi so bile nekatere nagrajene tudi z zlatim
priznanjem na dr  zavnem sre  canju mladih raziskovalcev, osvojili pa so tudi
vidne uspehe na tekmovanjih v znanju  zike in astronomije. Kot tajnik
154 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Priznanja" | 2021/12/10 | 13:10 | page 155 | #4
i
i
i
i
i
i
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Lukaˇ c, Miran Ravnjak in Franc Savnik prejemniki
priznanj DMFA za leto 2021
Astronomskega dru  stva Kmica Renato Luka  c   ze vrsto let organizira poletne
astronomske tabore in prilo  znostna javna astronomska opazovanja, ob  casno
pa sodeluje tudi v lokalnih medijih in na znanstveni konferenci PAZU. Za-
radi njegovega aktivnega sodelovanja je Gimnazija Murska Sobota ena od
treh lokacij, kjer poteka dr  zavno tekmovanje v znanju astronomije. Dr. Lu-
ka  c je svoje navdu  senje za astronomijo uspe  sno prenesel na   stevilne dijake in
dijakinje; nekateri med njimi so zdaj   ze uveljavljeni raziskovalci, zaposleni
na doma  cih in tujih ustanovah.
Miran Ravnjak, prof. matematike na Gi-
mnaziji Velenje, prejme priznanje DMFA
Slovenije za dolgoletni prispevek h kvalite-
tnemu pou  cevanju matematike.
Miran Ravnjak je leta 1982 diplomiral
na smeri Pedago  ska matematika na takra-
tni Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo
v Ljubljani. Od leta 1983 pou  cuje na
  Sol-
skem centru Velenje, kjer je sprva u  cil na
Srednji strojni   soli, zdaj pa   ze ve  c kot 30
let kvalitetno pou  cuje na Gimnaziji Velenje,
kar vsako leto znova poka  zejo tudi rezultati
mature. Na matemati  cnih kro  zkih uspe  sno
pripravlja dijake na tekmovanja, ob  casno izvaja te  caje GeoGebre za dijake
ter sodeluje v razli  cnih strokovnih projektih. Ve  c kot deset let je vodil ak-
tiv matematikov na   soli. Ima odli  cno znanje matematike in nanj se lahko
mlaj  si sodelavci vedno obrnejo po nasvet v zvezi z obravnavo posameznih
vsebin. Njegovo pedago  sko delo vklju  cuje tudi mentorstva pripravnikom in
  studentom na praksi. Je skrben razrednik in v zbornici cenjen sodelavec, ki
ve  ckrat poskrbi za smeh tudi kot   clan u  citeljske gledali  ske skupine TREMA.
Med dijaki in dijakinjami je priljubljen,   ceprav veliko zahteva, saj tudi ve-
liko nau  ci. Je dosleden in prav ni  c raztresen { odli  cno ra  cuna na pamet.
Odlikuje ga smisel za humor, kar so dijaki v   casu dela na daljavo   se posebej
izpostavili. Generacije dijakov s ponosom povedo, da jih je prav on u  cil
matematiko in poudarjajo dobro podlago za   studij. Vsaj   stirje njegovi biv  si
dijaki in dijakinje so iz matematike doktorirali,   se ve  c pa jih je zaklju  cilo
  studij pedago  ske smeri. Ena od njih je o njem zapisala: »Je po  sten, iskren,
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 155
i
i
\Priznanja" | 2021/12/10 | 13:10 | page 156 | #5
i
i
i
i
i
i
Vesti
preprost in sr  cen   clovek in bolj  sega u  citelja si ne bi mogli   zeleti. Nau  cil
nas je uporabljati, ceniti in spo  stovati matematiko in nas pripravil tudi na
  zivljenje { za to mu bomo vedno hvale  zni. «
Franc Savnik, upokojeni profesor matema-
tike in nekdanji ravnatelj Gimnazije Bre-
  zice, prejme priznanje DMFA Slovenije za
trajen prispevek k pou  cevanju matematike
in ra  cunalni  stva v slovenskih   solah.
Franc Savnik je diplomiral leta 1963 na
Prirodoslovno-matemati  cni fakulteti Uni-
verze v Zagrebu. Njegova poklicna pot je
tesno povezana s pou  cevanjem matematike
na Gimnaziji Bre  zice, kjer je bil vrsto let
tudi ravnatelj. Leta 1971 je bil izbran v
Komisijo za uvajanje ra  cunalni  stva v S
  S, ki
je poskusno uvedla pouk ra  cunalni  stva v 7
slovenskih   sol. Kot eden prvih u  citeljev ra  cunalni  stva v Sloveniji je tako
25 let na Gimnaziji Bre  zice pou  ceval tudi ra  cunalni  stvo (1971{1996), tudi
v obdobju zaposlitve na Zavodu za   solstvo SRS (1972{1979). Franc Sav-
nik je soavtor didakti  cnih gradiv in u  cbenikov za matematiko od petega do
osmega razreda O
  S, ki jih je Zavod za   solstvo prvi  c izdal med leti 1976 in
1980, njihove posodobitve in ponatisi pa so pri Dr  zavni zalo  zbi Slovenije
izhajali   se vse do leta 2006. Za srednje  solce je objavil zbirko nalog iz ele-
mentarne matematike in zbirko nalog za intenzivni pouk. Za monogra jo
Z ra  cunalnikom v matematiko (DZS, 1987) je napisal poglavje o ra  cunanju
z velikimi celimi   stevili, ve  c strokovnih prispevkov je objavil tudi v revijah
Presek in Obzornik. Leta 1996 je prejel nagrado RS na podro  cju   solstva.
  Se vedno zelo aktiven se zadnjih dvajset let poglobljeno posve  ca izdelovanju
umetni  skih lesenih skulptur, ki pogosto ponazarjajo posebej zanimive plo-
skve, telesa in druge matemati  cne objekte. Matemati  cne in tehni  cne izzive
njihove izdelave je ve  ckrat predstavil strokovni javnosti, nedavno tudi v pri-
spevku za 8. Evropski kongres matematike leta 2021, na katerem so njegove
skulpture v dar prejeli tudi prejemniki nagrad Evropskega matemati  cnega
zdru  zenja.
V imenu komisije pripravil Bo  stjan Kuzman
156 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Rosina" | 2021/12/10 | 13:10 | page 157 | #1
i
i
i
i
i
i
Francu Cvelbarju v spomin (1932–2021)
Francu Cvelbarju v spomin (1932{2021)
V devetdesetem letu   zivljenja se je
26. novembra 2021 od nas poslovil ce-
njeni kolega prof. dr. Franc Cvelbar, upo-
kojeni redni profesor na Fakulteti za ma-
tematiko in  ziko, vi  sji znanstveni so-
delavec Instituta Jo  zef Stefan ter   castni
  clan Dru  stva matematikov,  zikov in
astronomov Slovenije.
Franc Cvelbar se je rodil v Gorenji
vasi pri
  Smarjeti 18. januarja 1932. Po
kon  canih   stirih razredih osnovne   sole v
  Smarjeti je   solanje nadaljeval na gimna-
ziji v Novem mestu, kjer je leta 1951 tudi maturiral z odli  cnim uspehom.
Leta 1958 je diplomiral iz tehni  cne  zike na Odseku za  ziko tedanje Fakul-
tete za farmacijo, rudarstvo, metalurgijo in kemijsko tehnologijo. Nato je
bil eno leto na plodnem izpopolnjevanju v Milanu. Doktoriral je leta 1966
na tedanji Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo (»Konstrukcija teleskop-
skega scintilacijskega parskega spektrometra in meritev spektra   zarkov gama
iz zajetja nevtronov energije 14 MeV v Al27«). Od leta 1968 je bil docent
na isti fakulteti in od 1978 redni profesor  zike. Ve  cino svojega pedago  skega
dela je posvetil posodabljanju in vodenju  zikalnega praktikuma v 3. letniku
in zanj razvil niz vaj, ki so   se danes aktualne, na primer vaje iz merjenja
sevanja radioaktivnih izotopov, mikrovalovne tehnike in optike in hologra-
 je. Ob  casno je tudi predaval jedrske meritve,  zikalna merjenja II,  ziko
I, najve  ckrat za matematike,  ziko jedra in razvijal podiplomski praktikum
za didaktiko  zike in za nuklearno medicino. Posve  cal se je tudi delu na po-
dro  cju uporabne  zike ter napisal ve  c u  cbenikov, zlasti o jedrskih meritvah
(merjenju ionizirajo  cega sevanja). Najve  cji prispevek slovenski  ziki pa je
dal prof. Cvelbar s svojim obse  znim in zavzetim mentorstvom. Diploman-
tom je pomagal pri razvoju   stevilnih merilnih metod, ki so pomembne v in-
dustriji, kot je merjenje vlage v lesu,   studij Reedovih kontaktnikov, merjenje
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 157
i
i
\Rosina" | 2021/12/10 | 13:10 | page 158 | #2
i
i
i
i
i
i
Vesti
na podlagi holografske interferometrije, razvoj termoluminiscentne dozime-
trije,   studij plazme, tankih plasti Cr-Ta-N, razvoj vakuumskega merilnika na
podlagi miniaturne Penningove   crpalke in   stevilnih drugih. Cele generacije
 zikov nosijo pe  cat njegovega vestnega in vztrajnega vodenja pri raziskavah
in pri pisanju del. Sprejel je mentorstvo s   stevilnih podro  cij uporabne  zike
s somentorstvom kolegov iz industrije. Tako je omogo  cil plodno sodelovanje
Oddelka za  ziko z industrijo in pomagal vzgajati zainteresirane   studente
na poti v uporabno  ziko. Pri tem je pokazal izredno   sirino problematike.
Bil je mentor 5 doktorantom, 7 magistrantom in kar 55 diplomantom. Zelo
se je posvetil diplomantom iz drugih in  stitutov in industrije in s tem povezal
fakulteto s prakso.
Z Zavodom za   solstvo je sodeloval pri pripravi programa za predmet  -
zikalna merjenja v srednji   soli in sodeloval pri pisanju gradiv. Napisal je
univerzitetni u  cbenik Merjenja ionizirajo  cega sevanja in skripta podiplom-
skih predavanj o ionizirajo  cem sevanju. Sodeloval je pri dveh zbirkah vaj.
Profesor Cvelbar je bil hkrati tudi sodelavec Instituta Jo  zef Stefan.
Ukvarjal se je z raziskavami v atomski in jedrski  ziki, predvsem z zaje-
tjem nevtrona. Sodeloval je v skupini, ki je prva sistemati  cno merila sevanje
gama iz zajetja nevtronov in ugotovila, da so nekatere veljavne vrednosti
presekov za tako reakcijo previsoke. Njihove izmerjene vrednosti so bile v
nekaterih primerih tudi do desetkrat ni  zje kot meritve, dobljene v ZDA z
neko drugo metodo. Vendar pa so se rezultati te meritve ujemali s teore-
ti  cnimi rezultati in kasneje z na novo izmerjenimi rezultati. Za to delo je s
sodelavci leta 1971 prejel Kidri  cevo nagrado. Na podro  cju uporabne  zike je
razvijal nevtronsko dozimetrijo z uporabo polprevodni  skih diod v   casu, ko
je bilo to podro  cje povsem novo. Temeljit pristop k temu problemu je vodil
do povsem uporabnega sistema za nadzor nevtronskega obsevanja osebja.
Profesor Cvelbar je bil tudi odli  cen poznavalec problemov, ki so povezani
z dozimetrijo ionizirajo  cega sevanja. Sodeloval je z mednarodno atomsko
agencijo IAEA na Dunaju kot izvedenec za meritve, izra  cune in vrednotenje
presekov pri reakcijah, kjer nastajajo fotoni. Tovrstni podatki so pomembni
pri na  crtovanjih modernih energijskih izvorov.
158 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\Rosina" | 2021/12/10 | 13:10 | page 159 | #3
i
i
i
i
i
i
Francu Cvelbarju v spomin (1932–2021)
Franc Cvelbar je bil tudi dru  zbeno anga  ziran, sodeloval je v dru  stvu
Slovenski katoli  ski izobra  zenci in nekaj   casa vodil Domoznansko dru  stvo
  Smarjeta. Leta 2007 je bil skupaj z zgodovinarjem Stanetom Grando so-
urednik zbornika »
  Smarjeta in Bela Cerkev skozi stoletja«, in je napisal
ve  c prispevkov. Leta 2008 pa je postal prvi   castni ob  can ob  cine
  Smarje  ske
Toplice.
V letih 1992{1994 je bil predsednik Dru  stva matematikov,  zikov in
astronomov Slovenije, ki ga je vodil modro in zavzeto. Leta 2000 ga je
Dru  stvo zaradi zaslug za razvoj  zike izvolilo za svojega   castnega   clana.
Dose  zki prvega leta njegovega predsednikovanja so bili, da se je DMFA
v  clanilo v Evropsko matemati  cno dru  stvo, Mednarodno matemati  cno unijo
in Evropsko  zikalno dru  stvo; organiziran je bil seminar za srednje  solske
u  citelje Ionizirajo  ce sevanje v okolju in sodelovanje na razstavi u  cil { Dnevi
slovenskega izobra  zevanja. Drugo leto pa je bilo posve  ceno predvsem Pr-
vemu kongresu matematikov,  zikov in astronomov Slovenije. Tudi njegova
zasluga je, da je vse teklo tako gladko. V drugem letu je tudi pomagal
utreti pot obnovi Plemljeve hi  se na Bledu, ki je sedaj na voljo za strokovna
sre  canja in izobra  zevanje. Kot predsednik DMFA je s svojim navdu  senjem
in   clove  sko toplino mnogo pripomogel k prijetnemu delovnemu ozra  cju in
zagnanosti sodelavcev v raznih sekcijah dru  stva.
Profesor Cvelbar je bil odli  cen kolega, vedno je rad pomagal z nasveti
in dejanji, prevzel je   stevilne, tudi naporne obveznosti ( »Ni znal re  ci: ne «).
Pogre  sali bomo njegovo eksperimentalno razgledanost, modre pripombe in
optimisti  cni prijateljski nasmeh. Tudi profesorjem  zike je s svojo izku  se-
nostjo in znanjem rad prisko  cil na pomo  c z nasveti pri pripravi in izvedbi
poskusov ne le z besedo, ampak tudi s pripomo  cki. S   studenti in pravza-
prav vsemi je gojil odnos, ki je odra  zal njegovo du  so, srce: topel, prijazen in
po  sten. Med kolegi je s tem pustil neizbrisen pe  cat, ki sega tudi   cez okvire
stroke.
Mitja Rosina in Ale  s Mohori  c
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 159
i
i
\kazalo" | 2021/12/14 | 8:53 | page 160 | #1
i
i
i
i
i
i
Vesti
LETNO KAZALO
Obzornik za matematiko in  ziko 68 (2021)
  stevilke 1{4, strani 1{160
  Clanki | Articles
Pomno  zitev hiperkocke (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1{9
U  cinkovitost mobilne aplikacije #OstaniZdrav (Primo  z Luk  si  c) . . . . . . . . 41{51
Brownovo gibanje z elasti  cnimi trki (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52{59
Geometrija trikotnika, Oroslan in Ravello (Bojan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . 81{99
Nobelova nagrada za razvoj  zikalne kozmologije (Dunja Fabjan) . . . . . . 100{111
Evdoksova kampila (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121{127
Nove knjige | New books
I. Swanson, Introduction to Analysis with Complex Numbers
(Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24{26
A. B  atkai, M. Kramar Fijav  z, A. Rhandi, Positive operator semigroups:
from  nite to in nite dimensions (Marko Kandi  c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27{28
P. Doreian (ur.), V. Batagelj (ur.), A. Ferligoj (ur.), Advances in Network
Clustering and Blockmodeling (Anja
  Znidar  si  c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28{29
J. E. Leech, Noncommutative Lattices, Skew Lattices, Skew Boolean
Algebras and Beyond (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29{31
J. W. Helton, I. Klep, S. McCullough, M. Schweighofer, Dilations,
linear matrix inequalities, the matrix cube problem and beta
distributions (Alja  z Zalar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32{34
K. Yates, The Maths of Life and Death, Why Maths Is (Almost)
Everything (Peter Legi  sa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35{III
A. M. Hinz, S. Klav  zar in C. Petr, The Tower of Hanoi { Myths
and Maths (Tilen Marc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118{XI
Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy principle
in complex analysis (Jasna Prezelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134{136
Zero product determined algebras, Frontiers in Mathematics
(Peter
  Semrl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137{138
Nonlinear analysis { theory and methods (Matija Cencelj) . . . . . . . . . . . . . 139{140
Domination Games Played on Graphs (Vesna Ir  si  c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141{143
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
160 Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4
i
i
\kazalo" | 2021/12/14 | 8:53 | page 161 | #2
i
i
i
i
i
i
Letno kazalo
Iz zgodovine | Miscellanea
Stefanova naloga (Stanislav Ju  zni  c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10{17
Euler pred Fourierom (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128{133
Zanimivosti | Miscellanea
Nesebi  cnost kot socialni optimum (Uro  s Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60{67
Vesti | News
Pred Evropskim kongresom matematike v Sloveniji (Bo  stjan Kuzman) . 18{19
Mednarodne matemati  cne novice (Bo  stjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20{21
Manipulacije v znanstvenih objavah (Peter Legi  sa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22{23
8. evropski kongres matematike v Portoro  zu izjemno uspe  sen
(Bo  stjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68{73
Vabilo k vlo  zitvi predlogov priznanj DMFA Slovenije 2021
(Bo  stjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Akademik dr. Franc Forstneri  c je prejel Bergmanovo nagrado
za leto 2019 (Josip Globevnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74{VII
Dr  zavno tekmovanje v razvoju novih analitskih metod v medicini { RIS
(Programska skupina Medicinska  zika) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112{114
Vabilo na Ob  cni zbor DMFA Slovenije (Ne  zka Mramor Kosta) . . . . . . . . . 115
Martini Koman v spomin (1931{2021) (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . 116{117
Dr. Nada Razpet { nova   castna   clanica Dru  stva matematikov,  zikov in
astronomov (Dr. Milan Hladnik, dr. Izidor Hafner in
dr. Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144{145
Akad. prof. dr. Josip Globevnik, novi   castni   clan DMFA Slovenije
(Akad. prof. dr. Franc Forstneri  c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145{146
74. Ob  cni zbor DMFA Slovenije uspe  sno izveden na daljavo
(Bo  stjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147{151
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Luka  c, Miran Ravnjak in
Franc Savnik prejemniki priznanj DMFA za leto 2021
(V imenu komisije pripravil Bo  stjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152{156
Francu Cvelbarju v spomin (1932{2021)
(Mitja Rosina in Ale  s Mohori  c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157{159
Letno kazalo (uredni  stvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160{XVI
http://www.obzornik.si/
Obzornik mat. ﬁz.68 (2021) 4 XVI
i
i
“kolofon” — 2021/12/13 — 9:37 — page 2 — #2
i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, DECEMBER 2021
Letnik 68, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
ˇ
Clanki Strani
Evdoksova kampila (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–127
Iz zgodovine Strani
Euler pred Fourierom (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128–133
Nove knjige Strani
Stein manifolds and holomorphic mappings: the homotopy principle
in complex analysis (Jasna Prezelj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–136
Zero product determined algebras, Frontiers in Mathematics
(Peter Šemrl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137–138
Nonlinear analysis – theory and methods (Matija Cencelj) . . . . . . . . . . . . 139–140
Domination Games Played on Graphs (Vesna Iršiˇ c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141–143
Vesti Strani
Dr. Nada Razpet – nova ˇ castna ˇ clanica Društva matematikov, ﬁzikov in
astronomov (Dr. Milan Hladnik, dr. Izidor Hafner in
dr. Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144–145
Akad. prof. dr. Josip Globevnik, novi ˇ castni ˇ clan DMFA Slovenije
(Akad. prof. dr. Franc Forstneriˇ c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145–146
74. Obˇ cni zbor DMFA Slovenije uspešno izveden na daljavo
(Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147–151
Metka Jemec, Katja Kmetec, dr. Renato Lukaˇ c, Miran Ravnjak in
Franc Savnik prejemniki priznanj DMFA za leto 2021
(V imenu komisije pripravil Boštjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152–156
Francu Cvelbarju v spomin (1932–2021)
(Mitja Rosina in Aleš Mohoriˇ c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–159
Letno kazalo (uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–XVI
CONTENTS
Articles Pages
Kampyle of Eudoxus (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–127
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128–133
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134–145
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146–XVI
Na naslovnici: Evdoks iz Kníde, starogrški astronom in matematik, je morda
najbolj znan po svojem geocentriˇ cnem planetarnem sistemu koncentriˇ cnih sfer, s
katerim je opisal tudi retrogradno gibanje planetov (leva slika). V teoriji števil je
izjemna njegova deﬁnicija razmerij, s katero je odpravil težave z neprimerljivimi
veliˇ cinami in je navdihnila Dedekinda pri njegovi deﬁniciji realnih števil. Problem
podvojitve kocke je rešil z vpeljavo krivulje kampile (slika desno) – glej ˇ clanek na
straneh 121–127.