Lehrbuch -er für das lllier- Von Di'. Franz Močnik, li. lk Lchukash und Vosksschlir-Inspettor in Arain. Zweite vermehrte Auflage. Wien, 1851. Bering von Carl Gerold. Druck von Karl Gerold und Sohn. Damit die Mathematik zu einem wahrhaft bildenden Elemente unter den Unterrichtszweigen des Obergymnasiums werde, müssen nicht nur die Lehren derselben mit wissen¬ schaftlicher Strenge behandelt, sondern auch die klar erfaßten Sätze an Beispielen durchgeübt und aus zweckmäßig gewählte Ausgaben angewendet werden. Nur eine logische, lichtvolle Anordnung, strenge Beweisführung und unausgesetzte Ein¬ übung und' Anwendung des Bewiesenen sind geeignet, die mathematischen Wahrheiten zu einem lebendigen und bleiben¬ den Eigenthume des Schülers zu machen, und den fugend, lichen Geist zu selbstthätiger Forschung anzuregen und zu befähigen. IV Dieß sind die Grundsätze, von denen ich bei Bear¬ beitung des vorliegenden Lehrbuches der Algebra geleitet wurde, Was erstens die Anordnung des Lehrstoffes anbelangt, so ist dieselbe in dem ersten Theile, welcher von den arith¬ metischen Operazivnen handelt, durch die Natur des Gegen¬ standes selbst gegeben. Insofern«: die zusammensetzenden Rech¬ nungsarten als Addizion, Multiplikazion und Potenzerhe¬ bung, und ihre Gegensätze, die anflösenden Operazionen als Subtrakzion, Division, Wurzelausziehung und Logarithmen¬ bestimmung austreten, so sind hiedurch die Gruppen bezeich¬ net, in welche alle den arithmetischen Kalkül betreffenden Lehren einznreihen sind. Die Lehre von den Brüchen, so wie jene über die Verhältnisse und Proporzionen als selbst¬ ständige Theile aufzuführen, wie dieses in vielen Lehrbüchern der Algebra geschieht, erscheint nicht nothwendig; vielmehr wird den Anforderungen einer logischen Anordnung besser entsprochen, wenn man dieselben als Folgelehren der Division darstellt, da diese in der Anwendung als Theilung oder Ver¬ gleichung auftritt, und in der ersteren Beziehung zur Ent¬ stehung der Brüche, in der letzteren zur Betrachtung der Verhältnisse Anlaß gibt. Daß die Theorie der Gleichungen jener der Reihen vorangehe, ist ebenfalls eine Forderung des wissenschaftlichen Zusammenhanges. Nicht so entschieden ist die Stellung, welche man der Kombinazionslehre unter den v übrigen Theilen der Algebra anzuweisen hat; sie müßte je¬ denfalls der Theorie der Gleichungen vorangelchickt werden, wenn in dieser die allgemeinen Gesetze der hohem Gleichun¬ gen darzustellen wären; insofern man sich aber darin auf die linearen und quadratischen Gleichungen beschränkt, kann die Kombinazionslehre, unbeschadet der systematischen Ordnung, füglich den Schlußstein des algebraischen Unterrichtes bilden. In diesen letzten Abschnitt wurden, um einem von mehreren Professoren der Mathematik geäußerten Wunsche zu entspre¬ chen, auch die Eleinente der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus¬ genommen. Bezüglich der Begründung der Lehrsätze war ich be¬ müht, die Niwe-ise so einfach als möglich darzustellen, ohne dadurch der wissenschaftlichen Strenge zu vergeben. Auch enthält das Werk eine reichhaltige Sammlung von Beispielen und Aufgaben, deren Durchführung theils voll¬ ständig angegeben, theils dem eigenen Fleiße des Schülers überlassen wird. Zum Schlüsse fühle ich mich verpflichtet, noch eine Be¬ merkung beizusetzen. Sollten dieses und meine übrigen Lehr¬ bücher zur Hebung des mathematischen Unterrichtes auf un¬ seren Gymnasien forderlich beitragen, so gebührt das Ver¬ dienst meinem hochverehrten Lehrer in der Mathematik, dem Herrn Professor Or. L. C. Schulz von Straßnitzki, VI unter dessen liebevoller und aufmunternder Leitung ich das Glück hatte, in das mathematische Studium eingesührt zu werden, und dessen Werke es vorzüglich sind, die ich bei der Bearbeitung meiner Lehrbücher benützt habe. Laibach, im Juli 1851. Der Verfasser. I'i! .4' E i u l kitu N g. Al lg e m c i n e Begriffe. K. 1. Äeder Gegenstand, der ans Theilen zusammengesetzt ist, oder ans solchen zusammengesetzt gedacht werden kann, heißt eine Große. Die Menge der in einer Größe vorhandenen gleichartigen Theile bestimmen, heißt diese Größe messen. Um eine solche Be¬ stimmung ausznfnhrcu, nimmt man irgend eine Größe derselben Art als Maß, als Einheit an, nnd untersucht, wie oft diese als (Un- beit angenommene Größe in der gegebenen enthalten ist; der Aus¬ druck, welcher dieses angibt, wird eine Zahl genannt. Eine Zahl ist demnach nichts anderes, als das Verhältnis; einer Größe zu ih¬ rer EinhM. Dieses Verhältnis; ist vollkommen genau bestimmt, wenn man findet, daß die gemessene Große entweder die ganze Einheit oder einen bestimmten Thcil derselben ein oder mehrere Male in sich ent¬ hält; die Zahl selbst heißt im ersten Falle eine ganze, im zweiten eine gebrochene Zahl oder ein Brnch. "Jede ganze nnd gebrochene Zahl drückt also ein genau angeb¬ bares Verhältniß zur Einheit aus, und wird darum eine ratio¬ nale Zahl genannt, zum Unterschiede von einer irraz ion alen, deren Verhältniß zur Einheit sich nur näherungsweise angeben läßt. Sowohl die ra,Zonalen als die irrazionalen Zahlen heißen wirk¬ liche, reelle Größen, weil sich ihr Verhältniß zur Einheit wirklich angeben läßt, nnd zwar entweder ganz genau, oder doch wenigstens aus eine'ahgenäherte Meise. ' ' ' 8- 2. Zahlen, welche eine bestimmte Menge von Einheiten vorstellen, beißen besondere Zahlen. Sie müssen auch durch besondere Zei¬ chen, Ziffern, ansgedckuckt werden, unter denen sich jeder dieselbe bestimfiite Ätenge von Einheiten denkt. Z. B. Vier ist eine beson¬ dere Zahl, und wird durch das Zeichen 4 dargestcllt, unter welchem Jedermann nicht mchrÄivd nicht weniger als vier Einheiten verstehet. Da unendlich vKAe besondere Zahlen"denkbar sind, so ist es nicht möglich, für jede derselben einen eigenen Namen und ein eige¬ nes Zeichen anfzustellen; man ist also genoWget, größer' Zahlen nach einem sestgestellteu Gesetze in kleinere zw^zeklegen, welche man NoLE, Algebra. 2. Aufl. 1 2 besonders benennt und bezeichnet, um durch Zusammenfassung dieser kleinern Zahlen jedes größere Ganze darzustellen. Die Art und Weise, mit einigen wenigen Namen nnd Zeichen durch gehörige Zu¬ sammenstellung jede beliebige Zahl auszudrücken, heißt ein Zahlen¬ system. Bei jedem Zahlensysteme wählt man sich unter den in natür¬ licher Ordnung auf einander folgenden Zahlen eine als die größte, die man noch unmittelbar aufsassen will, und gibt ihr, so wie den vorangehenden kleinern Zahlen, eigenthümliche Namen. Jene größte Zahl wird die Grundzahl des Zahlensystems genannt. Nun macht man es sich zur unbedingten Regel, sobald beim Zählen der Einheiten die Menge derselben so groß wird, als die Grundzahl, diese Menge als eine neue Einheit einer nächsthöher!! Art zu den¬ ken, und durch einen besonder!! Namen auszudrücken. Man hat aus diese Art bei einem Zahlensysteme zuerst einfache oder ursprüng¬ liche Einheiten; sodann Einheiten der ersten Ordnung, deren jede so viele ursprüngliche Einheiten enthält, als die Grundzahl an¬ zeigt; Einheiten de r'zw eiten Ordnung, deren jede die nämliche Menge Einheiten der ersten Ordnung in sich begreift; und so kann man zu Einheiten willkürlich hoher Ordnungen hinaufsteigen. Jede Zahl läßt sich sodann als aus mehreren Theilen bestehend denken, deren jeder eine bestimmte Anzahl Einheiten von einer gewissen Ord¬ nung enthält, welche Anzahl übrigens stets kleiner, als die Grund¬ zahl ist. Das einfachste und allgemein gebräuchliche Zahlensystem ist das dekadische, dessen Grundzahl zehn ist. Bei diesem gibt man den zehn ersten Zahlen besondere Namen : eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn. Zehn ursprüngliche Einheiten betrachtet man als eine Einheit der ersten Ordnung, und nennt sie einen Zehner. Zehn Zehner heißen ein Hundert, und bilden eine Einheit der zweiten Ordnung. Zehn Hunderte nennt man ein Tausend, welches die Einheit der drit¬ ten Ordnung ist. Die folgenden Ordnungen von Einheiten heißen Z ehntause ud e, Hnnd erttause n de, Millionen, u. s. w. Jede Zahl ist nun aus Einheiten, Zehnern, Hunderten, . . . zusammengesetzt; sie wird daher vollkommen bestimmt, wenn man an¬ gibt, wie viele Einheiten, Zehner, Hunderte, ... sie enthält. Die Anzahl von Einheiten irgend einer Ordnung kann nicht größer, als neun sein, da zehn Einheiten einer Ordnung schon eine Einheit der nächst höheren Ordnung geben; um also die Anzahl Einheiten einer jeden Ordnung anzngeben, sind die Namen der ersten nenn Zahlen hinreichend. Verbindet man diese nenn Namen mit den Benennungen der auf einander folgenden Ordnungen, so kann dadurch jede beliebig große Zahl mit Worten ansgedrückt werden. Um die Zahlen schriftlich darzustellen, genügen die Ziffern für die ersten neun Zahlen: ,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zu denen noch die Nulle 0 kommt, um das Nichtvorhandensein von Einheiten einer gewissen Ordnung anzuzeigen. Die Anzahl Einheiten irgend einer 3 Ordnung läßt sich, da sie nicht größer sein kann, als neun, durch die angeführten zehn Zeichen ausdrücken. Man braucht nur noch sichtbar darzustellen, daß eine Ziffer Einheiten, oder Zehner, Hun¬ derte, . . . bedeutet. Dieses geschieht durch die Aufeinanderfolge, in welcher die Ziffern hingeschrieben werden; mau nimmt an, daß jede Ziffer, wenn man von der Rechten gegen die Linke sortlchreitet, an der ersten Stelle Einheiten, au der zweiten Zehner, an der drit¬ ten Hunderte, . . . überhaupt an jeder folgenden Stelle gegen die Linke die nächsthöhere Ordnung von Einheiten, also zehnmal so viel bedeutet, als an der nächstvorhergehenden Stelle. 8. 3. Zahlen, welche keine bestimmte, sondern jede beliebige Menge von Einheiten vorstellen können, nennt man allgemeine Zahlen; sie werden auch nur durch allgemeine Zeichen, gewöhnlich durch die Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabetes bezeichnet. So kann die allgemeine Zahl u jede beliebige Menge von Einheiten vorstellen; dabei ist jedoch zu merken, daß in einer und derselben Aufgabe dersAb^ Buchstabe auch nur eine und dieselbe Zahl sieben¬ ten könne. ÜnM u kann man sich im Allgemeinen 1, oder 2, oder 20, oder jede Widere mögliche Zahl denken; nimmt man aber für a in irgeno^einer^Unsgssbe einen bestimmten Werth, z. B. 20 an, so muß man in dieser Aufgabe dafür durchgängig die Zahl 20 bei- siehalten. Um anzuzeigen, daß gewisse Zahlen "einer Aufgabe noch unsiekannt sind, drückt man dieselben durch die letzten Buchstaben des Alphabetes, als u, v, rv, x, aus. 8. 4. Zahlen, welche dieselbe Menge von Einheiten enthalten, heißen gleich; enthalten sie nicht dieselbe Menge von Einheiten, so wer¬ den sie ungleich genannt, und zwar heißt diejenige, welche mehrere Einheiten enthält, die größere, die andere die kleinere. Das Zeichen der Gleichheit ist —; z. B. 2 —2, a— k wird gelesen: 2 ist gleich 2, u ist gleich d. Das Zeichen der Ungleichheit ist > oder <; die größere der beiden Zahlen wird in die Oeffnung, die kleinere an die Spitze ge¬ setzt. Z. B. 3 >2, 5 <6 wird gelesen: 3 ist größer als 2, 5 ist kleiner als 6. Wenn man mit gleichen Zahlen gleiche Veränderungen vor¬ nimmt, so müssen wieder gleiche Zahlen zum Vorschein kommen. 8. 5. Man unterscheidet stetige und unstetige Größen. Stetig nennt man eine Größe, wenn ihre Theile so zusammenhängen, daß das Ende des einen Theiles zugleich der Anfang des nächstfolgenden 1 * 4 Theiles ist; z. B. der Raum. Eine unstetige oder diskrete Große dagegen heißt eine solche Größe, die als eine bloße Samm¬ lung gleichartiger Tbeile. welche auch abgesondert und getrennt noch immer ein Ganzes bilden, betrachtet werden kann; z. B. eine Summe Gulden. Jede Zahl ist eine diskrete Große, da die Einheiten und deren Theile, welche die Zahl in sich enthält, von einander ab¬ gesondert betrachtet werden können, ohne daß sie darum anfhöreu, jene Zahl vorzustellen. 8. 6. Die Wissenschaft von den Größen wird Mathematik ge¬ nannt. Sie zerfallt in die Arithmetik und in die Geometrie; jene handelt von den Zahlen, diese von den Ranmgrößen; die Arith¬ metik beschäftiget sich also mit diskreten, die Geometrie mit stetigen Größen. In sofern in der Arithmetik nnr besondere Zahlen angewendet werden, heißt sie die besondere Arithmetik; wenn darin auch allgemeine Zahlen mit einander in Verbindung gebracht werden, heißt sie die allgemeine Arithmetik, auch Algebra. Den Gegenstand des vorliegenden Lehrbuches-bildet die allge¬ meine Arithmetik. - Arithmetische Operazivnen. 8- 7. Die Arithmetik hat erstlich die Aufgabe, ans gegebenen Zah¬ len mittelst bestimmter Veränderungen andere unbekannte Zahlen zu finden. Dieses Geschäft heißt das Rechnen oder der arithme¬ tische Kalkül, und die Zahl, welche nach verrichteter Rechnung zum Vorschein kommt, das Resultat der Rechnung. Nach Verschiedenheit der Veränderungen, die mit den gegebe¬ nen Zahlen vorgenommen werden, um die gesuchte Zahl zu finden, gibt es eben so verschiedene Rechnungsarten. 8. 1. Man kann zu einer Zahl eine oder mehrere beliebig große Zahlen dazu setzen, und nach der Zahl fragen, welche dadurch ent¬ steht; diese Rechnungsart nennt man die Addizion. Addiren heißt demnach eine Zahl suchen, welche zwei oder mehre¬ ren gegebenen Zahlen zusammengenommen gleich ist. Die gegebenen Zahlen heißen Addenden, und die Zahl, welche durch das Addiren gefunden wird, die Summe. Das Zeichen der Addizion ist Z- (mehr, jstuch; der Ausdruck n Z- b> bedeutet also, daß die Zahl d zu der Zahl n zu addiren ist. 5 §. 9. 2. Wenn man umgekehrt von einer gegebenen Zahl eine an¬ dere beliebige Zahl hinwegnehmen, und das Nebriggebliebene ange¬ ben soll, so geschieht dieses mittelst einer eigenen Rechnungsart, welche die Su'btrakzion genannt wird. Man denkt sich dabei die eine gegebene Zahl als die Summe zweier Zahlen, von denen die eine auch bekannt ist, und die andere gesucht wird. Subtrahiren heißt daher, aus der Summe zweier Zahlen und aus einer derselben die andere finden. Die Zahl, von welcher eine andere weggenommen, welche also als die Summe zweier Zahlen betrachtet wird, heißt der Minuend; die Zahl, welche man hinwegnimmt, welche also der bekannte Ad- dend ist, der Subtrahend; und die Zahl, welche durch das Sub¬ trahiren gesunden wird, und den unbekannten Addend vorstellt, der Rest, der Unterschied oder die Differenz. Das Zeichen der Subtrakziou ist — (weniger, minus); der Ausdruck n — k bedeutet also, daß die Zahl st von der Zahl n hin¬ wegzunehmen ist, u ist der Minuend, b der Subtrahend. Das Subtrahiren ist dem Addiren entgegengesetzt; die Zahlen, welche man durch die Addizivu verbindet, werden durch die Snb- trakzion wieder getrennt. 10. 3. Die Operazion, welche man anwendet, wenn eine und die¬ selbe Zahl öfters gesetzt werden soll, nennt man die Multipli- kazion. Multipliziren heißt demnach eine Zahl so oft- mal nehmen, als eine andere Einheiten in sich enthält. Die Zahl, welche man mchrmal nimmt, heißt der Multipli¬ kand; die Zahl, welche angibt, wie oft der Multiplikand genom¬ men werden soll, der Multiplikator ; und die Zahl, welche durch das Multipliziren gefunden wird, das Produkt. Der Multiplikand und der Multiplikator werden auch Faktoren genannt. Das Zeichen der Mnltiplikazion ist ein schiefes Kreuz X oder bloß ein Punkt . zwischen den Faktoren. Das Produkt der Buch¬ staben wird auch dadurch angezeigt, daß man dieselben ohne Zeichen neben einander setzt; es bedeutet also aX0 oder n.h oder nb so viel als: n mnltiplizirt mit b. Da die Mnltiplikazion nach der obigen Erklärung nichts an¬ deres, als eine wiederholte Addizion ist, so pflegt man das Multi¬ pliziren die nächst höhere Operazion vom Addiren zu nennen. Für das Multipliziren kann auch folgende allgemeine Erklärung ausgestellt werden: n mit d multipliziren heißt, aus n auf dieselbe Art einNesultas bilden, wie d aus der Einheit entstanden ist. Z. B. 8 mit 3 multipliziren heißt, aus 8 auf dieselbe Art eine neue Zahl entstehen lassen, wie 3 aus der Einheit entstanden ist; 3 ist aus der Einheit entstanden, indem man die 6 Einheit 3mal als Addend setzte, nämlich 3 — 1 -si 1 -s- 1; man wird daher auch 8 3mal als Addend setzen, also 8 X 3 — 8 -s- 8 -s- 8 — 24. 11. 4. Die Rechnungsart, welche dem Multipliziren entgegengesetzt ist, heißt die Division. Dabei wird untersucht, wie ost eine ge¬ gebene Zahl in einer andern Zahl enthalten ist; man denkt sich zu diesem Ende diese letztere als das Produkt zweier Zahlen, von de¬ nen die eine bekannt ist, und die andere gesucht wird. Dividiren heißt also aus dem Produkte zweier Faktoren und aus einem dieser Faktoren den andern suchen. Das gegebene Produkt, oder die Zahl, welche dividirt wird, heißt der Dividend; der gegebene Faktor, oder die Zahl, durch welche dividirt wird, der Divisor; und der unbekannte Faktor, welcher durch das Dividiren gefunden wird, der Quozient. Das Zeichen der Division sind zwei über einander stehende Punkte:; der Ausdruck u:b bedeutet also, daß a durch k dividirt werden soll, oder daß u das Produkt zweier Faktoren ist, von denen man den einen d kennt, und den andern zu suchen hat. Ein Aus¬ druck von der Form -r:b heißt ein angezeigter Quozient. Die Division wird oft auch dadurch angezeigt, daß man den Divisor unter den Dividend, und zwischen beide einen Strich setzt, als welches gelesen wird: a. dividirt oder gebrochen durch b. Diese Art der Bezeichnung nennt man die Bruch form. Wie oft eine Zahl in einer andern enthalten ist, könnte man auch dadurch erfahren, daß man die erstere Zahl von der zweiten so oft subtrahirt, als cs möglich ist; die Zahl, welche anzeigt, wie oft diese Snbtrakzion verrichtet werden kann, ist der Quozient. Die Division kann daher als eine wiederholte Subtrakzion betrachtet werden, darum pflegt man sie auch die nächst höhere Operazion vom Subtrahircn zu nennen. 12. 5. Das Bedürfniß der Rechnung erfordert es häufig, daß eine und dieselbe Zahl öfters als Faktor gesetzt werde. Die Operazion, durch welche dieses geschieht, heißt das Potenziren oder das Er¬ heben zu einer "Potenz. Es heißt also, eine Zahl zur 2'", 3'", . . . w"" Potenz erheben, diese Zahl 2, 3, . . . in mal als Faktor setzen. Die Zahl, welche öfters als Faktor gesetzt wird, heißt eine Wurzel des erhaltenen Produktes, und zwar die sovielte Wur¬ zel, als wie oft sie als Faktor erscheint. Die Zahl, welche anzeigt, wie ost die Wurzel als Faktor gesetzt werden muß, damit eine dritte Zahl als Produkt heranskommt, heißt der Exponent. Das Pro¬ dukt endlich, welches man erhält, wenn eine Wurzel öfters als Fak¬ tor gesetzt wird, nennt man eine Potenz, und zwar die sovielte 7 Potenz, als wie ost die Wurzel als Faktor darin erscheint. Eine Potenz rst demnach ein Produkt von mehreren gleichen Faktoren, und jeder von diesen gleichen Faktoren ist eine Wurzel des Produktes. So gibt z. B. 2, 5mal als Faktor gesetzt, 32 zum Produkte; 2 ist also die Wurzel, und zwar die 5" Wurzel von 32; 5 ist der Exponent; und 32 ist die Potenz, und zwar die 5'" Potenz von 2. Die Potenz einer Zahl wird dadurch angezeigt, daß man der Wurzel rechts oben den Exponenten beisetzt; statt 2X2X2X2X2 schreibt man also 2°, und liest dieses: 2 zur 5^" Potenz, oder bloß 2 zur 5'". Eben so ist 8,4 — N . N . N . N g,'" — llimal. Ein Ausdruck von der Form o," wird eine Potenzgröße, auch bloß Potenz, genannt; insbesondere nennt man die zweite Potenz Quadrat, die dritte Kubus. 13. 6. Dem Potenziren ist erstlich das Wurzelausziehen ent¬ gegengesetzt. Es sind dabei die Potenz und der Exponent gegeben, und die Wurzel wird gesucht. Aus einer Zahl die 2'°, 3",. - - Wurzel ausziehen heißt demnach, eine Zahl suchen, welche 2, 3, . . . mm al als Faktor gesetzt, jene gege¬ bene Zahl gibt. Z. B. ans 32 die 5^ Wurzel ansziehen beißt eine Zahl suchen, welche, 5mal als Faktor gesetzt, 32 gibt; diese Zahl ist 2. Die Wurzel einer Zahl wird dadurch angezeigt, daß man vor diese Zahl das Wurzelzeichen j/" setzt, in dessen Öeffuung der Ex¬ ponent geschrieben wird. So bezeichnet man die 5" Wurzel aus 32 5^ durch j/32. Ein Ausdruck von der Form j/a heißt eine Wurzelgröße. Die zweite Wurzel nennt man auch die Quadratwurzel, die dritte die Kubikwurzel. 14. 7. Dem Potenziren ist überdieß auch die Exponenziazion entgegengesetzt; dabei sind die Potenz und die Wurzel bekannt, und der Exponent soll bestimmt werden. Z. B. zur wie vielten Potenz muß 2 erhoben werden, um 32 zu erhalten? Diese Forderung wird so angeschrieben: D—32. Eine Potenzgrößc von der Form a,', worin nämlich der Po¬ tenzexponent unbekannt ist, heißt eine Exponenzialgröße; den unbekannten Exponenten nennt man den Logarithmus der Po¬ tenz, und die gegebene Wurzel die Grundzahl oder Basis; in der frühem Aufgabe ist 5 der Logarithmus von 32 für die Grund¬ zahl 2. 8 Der Logarithmus einer Zahl wird durch die vorgesetzte Gilde low, der man rechts unten die Basis benetzt, ansgedrückt; z. B. ke-^2 32 — 5. Allgemein wird der Ausdruck to^rr — m gelesen: der Logarithmus von «, für die Grundzahl l> ist gleich in, d. i. I> muß zur m''" Potenz erhoben werden, damit n herauskomme. Gleichungen. 15. Eine andere sehr wichtige Ausgabe der allgemeinen Arithmetik bestehet darin, daß aus gegebenen Beziehungen zwischen bekannten und unbekannten Zahlen diese letztern bestimmt werden. So stellt z. B. der Ausdruck x" — — 3 eine Nelazion zwischen der un¬ bekannten Zabl x und den , bekannten Zahlen 5, 3 vor, ans welcher der Werth von x bestimmt werden kann. Eine solche Gleichstellung zweier Ausdrücke wird eine Gleichung genannt. P r v g r e s s i v n e n. 16. Die Arithmetik betrachtet ferner die Gesetze, nach denen meh¬ rere Grüßet! von einander ahhängen. So bestehet zwischen den Zahlen t. 3, 5, 7, 9, 11, . . . das Gesetz, daß jede folgende Zahl um 2 größer ist, als die vorhergehende. Eine Folge von solchen Zahlen, die nach einem gemeinschaftlichen Gesetze fortschreiten, nennt man eine Reihe oder Progression. K o m b i n a z i o n e n. 17. Die allgemeine Arithmetik hat endlich die Aufgabe, gegebene Größen auf eine bestimmte Art unter einander zu versetzen oder mit einander zu verbinden. Es wird z. B. verlangt, alle möglichen Stellungen anzugeben, in welche die vier Buchstaben n, l>, e, <1 ge¬ bracht werden können. Solche Versetzungen nnd Verbindungen von Größen werden Kom bin azionen genannt. 18. Die allgemeine Arithmetik umfaßt dem Vorhergehenden zu Folge vier Haupttheile: 1) die Lehre von den a rithm e t tsch c n O p era zi ouen, 2) die Lehre von den Gleichungen, 3) die Lehre von den Progressionen, die Kombiuazionslehre. Elster Abschnitt. Die Kehr« von de« arithmetische« Dperaztonen. I. Von den algebraischen Ausdrücken im Allgemeinen. Größe, welche in der Rechnung als hinznzngebend, als Addend erscheint, heißt eine additive oder positive Größe, und wird durch das Zeichen -s- ausgedrnckt; eine Größe dagegen, welche in der Rechnung als hinwegznnehmend, als Subtrahend erscheint, heißt snbtraktiv oder negativ, und bekommt das Zeichen —. Sv bedeutet Z- n eine Positive, also eine hinzugebende, — » dage¬ gen eine negative, also eine hiuwegznuehmende Größe. Das Zeichen -j- wird im Anfänge eines Ausdruckes und nach dem Gleichheitszeichen nicht angeschrieben; wenn daher vor einer Große kein Zeichen steht, so ist sie als positiv anzuschen. Das Zei¬ chen — darf nie weggelaffen werden. Positive und negative Größen nennt man wegen der entgegen¬ gesetzten Beziehungen, in denen sic zn einander stehen, entgegen¬ gesetzte Größen. Ans dem Begriffe der positiven und negativen Größen folgt: 1. Zwei gleiche entgegengesetzte Größen heben sich ganz auf. Wenn man z. B. 10 hinzugibt und dann 10 hinwegnimmt, so ist dieß eben so viel, als wenn man nichts hinzu- gebcn und nichts hinwegnehmen würde; also 4-10 — 10 — 0. Allgemein ist -s-n— n — 0. 2. Zwei ungleiche entgegengesetzte Größen heben sich nur zum Theil ans; die kleinere wird nämlich ganz aufgehoben, von der größer» aber nur so viel, als die kleinere beträgt. Wenn z. B. 10 hinzngegeben und 6 hinweg- genommcn werden soll, so denke man sich die hinzuzugebenden 10 in 6 und 4 zerlegt; da nun 6 wieder hinweggcnvmmen werden sollen, so bleiben nur noch 4 als wirklich hinznzngebend; 10 hinzugeben und 6 hinwegnehmen ist also eben so viel, als 4 hinzngeben; folg¬ lich -s- 10 — 6 — -s- 4. Soll man 6 hinzugeben und 10 wegnehmen, w so müssen zuerst die hinzugegebenen 6 hinweggenommen werden, wo¬ durch das Hinzugegebene aufgehoben wird, und dann bleiben noch 4 als hinwegzunehmend; es ist also ff-6 — 10 —— 4. 20. Wenn dieselbe Größe öfters als Addcud oder als Subtrahend erscheint, so schreibt man die allgemeine Größe nur einmal an und setzt ihr die Zahl vor, wie ost'ste als Addend oder Subtrahend steht, mit dem Zeichen der Addizion oder Subtrakzion. Statt 3, ff- n ff- n ff- 3, schreibt man ff- 4 u oder 4 -r „ ÜX? ff- NX? ff-NX? „ „ Z-Zg,x^ „ 3nx? „ — dock — dock „ „ — 2 dock „ — „ —3x^2. Diese vor dem Buchstabenausdrucke stehende Zahl wird der Koeffizient genannt. Der Koeffizient zeigt also an, wie oft die darauf folgende allgemeine Größe als Addend oder als Subtrahend gesetzt werden soll, je nachdem derselbe das Zeichen ff- oder — vor sich hat. Wenn bei einem Buchstaben kein Koeffizient steht, so ist dar¬ unter der Koeffizient 1, welcher nie angeschrieben wird, zu verstehen; es ist demnach n so viel als 1 3, und — n so viel als — In. Der Koeffizient kann selbst auch eine allgemeine Zahl sein, z. B. in m x kann in als der Koeffizient von x angesehen werden. Die Begriffe Koeffizient und Exponent müssen von einander wohl unterschieden werden; es ist 4 u n ff- n ff- u ff- n, 3,4 — 3 . 3, . 3 . 3., welche Ausdrücke wesentlich verschieden sind, setzt man z. B. 3 — 3, so ist 4 n -- 3 ff- 3 ff-3 ff-3--12, 3,4 —3 . 3 . 3 .3 — 81, 8. 21. Eine Größe, die durch ein Zeichen, einen Koeffizienten, und einen Buchstaben, oder auch mehrere ohne Zeichen verbundene Buch¬ staben dargestellt ist, heißt ein einfacher algebraischer Aus¬ druck oder ein Monom. So sind die Ausdrücke n, 4 ad, 12n^dx^ einfache algebraische Ausdrücke. Bei einem einfachen algebraischen Ausdrucke sind drei Sachen zu berücksichtigen: die Buchstaben¬ größe, welche eigentlich die Art der Einheiten angibt; der Koef¬ fizient, welcher die Menge solcher Einheiten anzeigt; und das Zeichen, wodurch ausgedrückt wird, ob diese Einheiten als hinzu¬ gebend oder als hinwegzunehmend anzusehen sind. Eine Größe, welche mehrere einfache, durch das Zeichen ff- n oder — verbundene Ausdrücke enthält, wird ein zusammengesetz¬ ter algebraischer Ausdruck genannt. Die einzelnen Bestand- theile eines zusammengesetzten Ausdruckes nennt man Glieder desselben. Hat ein zusammengesetzter Ausdruck zwei Glieder, so heißt er insbesondere ein Binom; eine dreigliedrige Größe wird ein Trinom, eine mehrgliedrige ein Polynom genannt. Es sind N-s-l) Ä-s-K-s-V 3 x — 2 Binome, 3 — 5 n-- -si 7 p? nx^ — 5^ ax -j- b zr — 62 Trinome, und alle diese Größen zusammengesetzte Ausdrücke. Zusammengesetzte Ausdrücke werden, wenn damit arithmetische Operazionen vorzunehmen sind, in Klammern eingeschlossen. Um z. B. anzuzeigen, daß o. -s- 2l> ss- 3o mit 4in ff- 5n-j-6p zu mul- tipliziren ist, schreibt man ch -s- 2d -si 3o) (4m ff- 5 n ff- 6p); würde man die Klammern weglassen, so bedeutet der Ausdruck nff-2dff- 3 e X 4 m ff- 5 n -si 6 p, daß nur 3 o mit 4 m zu multipliziren ist, und zu diesem Produkte die vorhergehenden und die nachfolgenden Glieder zu addiren sind. Wenn in einem zusammengesetzten algebraischen Ausdrucke meh¬ rere Potenzen derselben Wurzel Vorkommen, so pflegt man wegen der leichtern Uebersicht die einzelnen Glieder nach den Potenzexpo¬ nenten zu ordnen, indem man entweder mit der höchsten Potenz ausängt und dann immer niedrigere Potenzen folgen läßt, oder in¬ dem man zuerst jenes Glied setzt, welches keine oder die niedrigste Potenz der gemeinschaftlichen Wurzel enthält, und dann zu immer höhern Potenzen übergeht. Im ersten Falle heißt das Polynom fallend, im zweiten steigend geordnet. So erhält z. B. der Ausdruck 3 x? ff- 4 ff- 5 x — 6 x^ ff- x« fallend geordnet die Form x« — flx^ ff- 3 x- ff- 5 x ff- 4, und steigend geordnet: 4 ff- 5x ff- 3xff — 6x^ ff- x«. Jede dekadische Zahl kann als ein nach den Potenzen der Grundzahl 10 geordnetes Polynom angesehen werden; z. B. 7835 — 7000 ff- 800 -j- 30 -j- 5 -^7.103 X 8.10- X 3.10 X 5; 52074 — 50000 X 2000 X 70 -j- 4 — 5 . 10« -P 2.10° si- 7 . 10 -s- 4. Ist allgemein idi eine mziffrige dekadische Zahl, in welcher n, v, o, . . . i-, g, t nach der Ordnung die Ziffern von der Rechten gegen dw Linke vorstellen, so hat mau N t . 10"-' ff- s . 10-N-2 ff_ lom-s g. io- -si b . 10 -j- u. Größen, in denen derselbe Buchstabenausdruck vvrkommt, heißen gleichartig; die Zeichen und Koeffizienten können darin auch 12 verschieden sein. Größen, in denen verschiedene Buchstabenausdrückc vorkommen, werden, selbst wenn sie gleiche Zeichen nnd Koeffizienten haben, ungleichartige Größen genannt. So sind 3 u, 3 n 3», — 4u gleichartige Größen. 2 0, 7 n? l> a, 0 2a, — 3u0 - ungleichartige Größen. — 4x^°°, — s 23. Gleichartige Größen lassen sich immer in einen einfachen Aus¬ druck zusammenziehen, was man das Reduziren nennt. Aus dem Begriffe der Koeffizienten und der entgegengesetzten Größen ergeben sich für das Reduziren folgende Sätze: 1. Zwei gleichartige Größen von gleicher Bezeich¬ nung werden reduzirt, wenn man das gemeinschaftliche Zeichen mit der Summe der Koeffizienten dem gemeinschaftlichen Buchstaben- ausdrncke voran setzt. Hat man z. B. die Größe 2n-s-5u, so ist die allgemeine Größe n zuerst 2mal, dann 5mal, also zusammen 7mal als Addend zu setzen; mithin 2rrss-5a — 7s. Um den Ausdruck — 70 x— 3 0 x zu reduziren, so bedenke man, daß hier die allgemeine Größe Ox erstlich 7mal, dann 3mal, folglich im Ganzen lOmal als hinwegzunehmend zu setzen ist; man hat daher — 7 0 x — 3 0 x — — 10 0 x. Ebenso findet man 5x^ -s- 7x? — 12x?, — o?!) — 3s?O — — 4s^O,^ 8 allo -ss allo — 9s0o, — 10 sy? — 80.^^ — — 18 in x -s- n x — (m -j- n)x, s . 10? ss- 0 . 10°° — (s -ss 0) . 10°°. 2. Zwei gleichartige Größen von ungleicher Be¬ zeichnung werden rednzirt, wenn man das Zeichen des grö¬ ßer» Koeffizienten mit dem Unterschiede der Koeffizienten dem ge¬ meinschaftlichen Buchstabenausdrucke voran setzt. Ist z. B. der Ausdruck 8 s — 5 s zu reduziren, so hat man s zuerst 8mal als hinzuzusetzend und dann 5mal als hinwegzunehmend zu betrachten, was so viel ist, als wenn s nur 3mal hinzuzusetzen wäre; daher ist 8s — 5s —3s. Auf gleiche Weise folgt 10 ad —7s0 — 3s0, 30 — 5 0 —— 20, 8 X^ )-°° 7 X°° ^°°, 4 NI^ -ss 3 — ^2^ p — gX — lp — g) , m. 10^ — ii. 10^ — n) io-°. 3. Zwei gleiche entgegengesetzte Größen heben sich auf. Hat man z. B. 5s0 — 5sO, so soll sO 5mal hinzugesetzt und 5mal hiuweggenommen werden, was so viel ist, als wenn 13 gar nichts hinzugefetzt und nichts Hinweggenomnien würde; also 5 ob — 5 at> - 0. 4. Mehrere gleichartige Größen, welche theils po¬ sitiv, theils negativ sind, werden rednzirt, wenn man zuerst die positiven, dann die negativen, und endlich die daraus her¬ vorgehenden Ausdrücke reduzirt. Z. B.: 7 a b -ft3ab-ftab — Hab, — 3x2— 8x2--10x2^ —21 x-, 5a — 4a-ft8a—13a— 4a — 9a, rrr -ft 5 m v — 3nr;-—-8nr^ —6in^ — 11 m — — 5 mv, 3 n- — n- -s- 4 ir- — 3 -s- 7n2 14 n- — 4i)2 10 n-. §. 24. Damit Anfänger stets vor Augen haben, daß die im Rechnen vorkommendcu Buchstaben nichts als Zahlen bedeuten, ist ihnen als Uebnng anzuempfehlen, daß sie in den algebraischen Ausdrücken für die Buchstaben bestimmte Zahlenwerthe einsetzen und dann die auge- zeigten Operationen wirklich verrichten. Dieses Geschäft nennt man das Substituiren. Beispiele. 1. Es soll der Zahlenwerth des Ausdruckes a -ft 2 t> 3 o be¬ rechnet werden, wenn man darin a —3, b —2, o — 1 snbstitnirt. Man hat a-ft2b — 3o^3-ft2.2-3.1-^3-ft4 — 3^4, 2. Man setze in dem Ausdrucke ax^ — b x2-ft gx — cl die Werthe a — 1, b —2, o —3, st —4, x —2. Es wird ' ax° —5x2-ftox—ä^1.22 —2.22Z-3.2-4 ^1.8-2.4Z-3.2 —4 -^8-8-ft6 —4^2. 3. Der Ausdruck 4x2 — 4x/-ft^2 ^jht ftft- x —3, ^ — 5 den Zahlenwerth 1. 4. Aus 3 ab — 5ao-ft3bo erhält man durch die Snbsti- tnzion a^5, b—4, o —3 den Zahlenwerth 21. ll. Vom Addiren algebraischer Größen. 25. Durch das Addiren wird eine Größe gesucht, welche mehreren gegebenen Größen zusammengenommen gleich ist. Algebraische Größen werden daher addirt, wenn man sbe mit ihren Zeichen neben einander setzt. 14 Kommen unter den Addenden gleichartige Ausdrücke vor, so werden sie in der Summe reduzirt. Am zweckmäßigsten ist es, die gleichartigen Größen der leichten Uebersicht wegen sogleich beim An¬ schreiben unter einander zu stellen. Beispiele. 3a — 46 Z- v — 2ä 4a -s- 6 7) 2x' — 4x^ -f- 3^' 8) x» — 2x' Z- 3x x» si- 3x^ — 5 7' — x' — 3x-s-4 3x' — X7 9)5x — 37 Z- 2 2x -s- 47 — 52 — x — 4^ si- 42 — 2^ x»— 3x'-s-4 10) 2a» -f- 3a» — 4a' — 2a» -s- 3a' — 4a -s- 2 a' — 3 asi-4 6x — 3^ 2 a» si- a» Z- a' — 7a si- 4 11) 13a6 — 5oci -s- (12o6 — 4a6) — 9a6 -s- 7oä 12) 18x si- (5x — 8a) si- (8a — 3x) --- 20x 13) 5 m — . 3n si- p -s- (3n — 2p — <1) — 5 in si- p — Man verrichte noch folgende Addizionen: 14) 20x — 27^ -s- 122 -s- (39^ — 122 — 15x); 15) 8 inx si- 5nv -s- (3mx — 7nv) -j- (3nv — 6mx); 16) 7 a Z- (8 a — 2) (9 — 5 a) — 10 ; 17) 3o -Z- 7 -s- s46 — 2o Z- (2i> 8)1; 18) s(2x - 87) -s- (27 - x)^ Z- s5x -h- (67 - 1)^. Sind U und Ist zwei dekadische Zahlen, und zwar N -- ä . 10' si- e . 10' -s- 6 . 10 -s- a, X -- r . 10' si- <1 . 10 -s- p; so ist LI si- Ist <1 . 10» -s- (o ff- r) . 10' ff- (6 Z- ist aus der Einheit hervorge- gangeu, indem man die Einheit stmal als Addend setzte; man muß daher auch u stmal als Addend setzen, somit ist u . s) ----- u -st u -st n -st . , . stmal. Eben so folgt st . u ---- l) -st st -st st -st . . . umal. Da jedes st die Einheit stmal in sich enthält, so kann man auch schreiben: st , u (I -st I st- 1 st- - . - stmal) st- (1 -st 1 st- 1 st- .. . stmal) st- (1 -st 1 1 st- . . . stmal) st- . . . umal. Nimmt man nun aus jeder st vorstelleuden Reihe die erste Einheit, so erhält man dadurch, da es u solche Reihen gibt, u Ein¬ heiten oder u; nimmt man aus jeder Reihe die zweite'Einheit, so erhält man dadurch wieder u; man wird auf diese Art n so vftmal erhalten, als in st Einheiten vorkommen, also stmal; mithin ist d.u — ust-u-stu-st... stmal. Da dieser Werth für st . u mit dem oben für u . st entwickeltn übereinstimmt, so folgt u . st — st . ri. Noönilc, Algebra. 2. Aufl. 2 18 Um dieses durch ein besonderes Beispiel zu beleuchten, seieu 3 und 5 die beiden Faktoren. Man hat 3X5— 3ss-3^3st-3ss-3 5X3— 5 -s- 5 ss- 5 - (t ss- 1 ss- 1 ss- 1 1) ss- (l ss- 1 -ss 1 ss- 1 -ss 1) (1 1 -ss 1 -ss 1 ss- 1) — 3-ss3^3^3^3 also 3 X 5 - 5 X 3. 4. Der Koeffizient kann als Faktor der Buchstabeu- größe betrachtet werden, vor welcher er steht, Z. B. 3n — n-s-n-s-n — ^X3 — 3 Xu. 28. Unter dem Produkte vou drei oder mehreren Großen versteht man die Größe, welche erhalten wird, wenn man das Produkt zweier Größen mit der dritten, das neue Produkt mit der vierten, U. s. w. mnltiplizirt. Wenn mehrere Faktoren mit einander zu mnltipli- ziren siud, so ist es für bas Produkt gleichgiltig, in wel¬ cher Ordnung die Multiplikaziou verrichtet wird. Man betrachte zuerst das Produkt dreier Faktoren, a, d und o. Weil la . o — o . b>, so ist auch n . b . 6 - rr. o . d. Weil ferner n . o — o . », so ist . d - 6^» . la. Eben so folgt v . — 6. l, . u, o . la . n - la. e . ri, la . o . a - la . L . o. Man hat daher L.U.o-n.o.la-o-n.la-o.la.n-b.o.a — U.n.o. Dieselben Folgerungen lassen sich auch für mehr als drei Fak¬ toren durchführen. §. 29. In Hinsicht der Ausführung der Multiplikaziou alge¬ braischer Ausdrücke sind drei Falle zu unterscheide»: entweder siud beide Faktoren einfache Ausdrücke, oder ist ein Faktor zusammenge¬ setzt und der andere einfach, oder es sind beide Faktoren zusammen¬ gesetzte Ausdrücke. 1. Wenn beide Faktoren einfache Ausdrücke sind. Da in jedem der Faktoren Buchstabeuausdruck, Koeffizient und Zeichen zu berücksichtigen siud, so hat man auch im Produkte ans diese drei Stücke Rücksicht zu nehmen. 19 k) Was erstlich die Buchstabeu anbelangt, so kann man solche nicht so, wie besondere Zahlen, wirklich mnltipliziren; ihr Pro¬ dukt wird bloß angezeigt, indem mau sie, wie schon in der Einlei¬ tung gesagt wurde, ohne Zeichen, und zwar wegen der leichtern Uebersicht in alphabetischer Ordnung, neben einander stellt. So wird das Produkt aus u x und b> z- durch nbx/ angezeigt. Kommen in den Faktoren gleiche Buchstaben, oder was dasselbe ist, Potenzen derselben Wurzel vor, so geschieht ihre Multiplikazivn nach dem Satze: Potenzgrößen derselben Wurzel werden multi- plizirt, wenn mau die gemeinschaftliche Wurzel beibe¬ hält, und ihr zum Exponenten die Summe der Exponen¬ ten in den Faktoren gibt. Um die Nichtigkeit dieses Satzes einzusehen, sei mit a" zu multiplizireu. n"'enthält n mmal, n" »mal als Faktor; mithin kommt in u"'. n" der Faktor u zuerst mmal, dann mnal, also im Ganzen (msi-n)mal vor; das Produkt ist also folglich M" . g? — So ist z. B. m^ . — irX b>) Der Koeffizient des Produktes wird erhalten, wenn man die Koeffizienten der beiden Faktoren multiplizirt. Ist z. B. 3 rr mit 5 b> zu multiplizireu, so hat man 3nX5b^3XuX5Xb^-3X5X-rXd^15Lb. ch In Beziehung des Zeichens im Produkte gilt der Satz: Zwei gleichbezeichnete Faktoren geben ein positi¬ ves, zwei ungleich bezeichnete Faktoren ein negatives Produkt. Ist nämlich n mit b> zu mnltipliziren, so ist das Produkt hin¬ sichtlich seiner Größe ob; in Bezug aus die Zeichen können vier Fälle vorkommen. Es sei erstlich si-n mit -s-b> zu multiplizireu. Dabei hat man aus si-n ein Resultat so zu bilden, wie -sik ans der Einheit entstanden ist; -sib> ist ans der Einheit entstanden, indem man die Einheit banal als Addend setzte; man wird daher auch -s-n banal als Addend setzen, wodurch man gewiß eine positive Größe erhält; also , -si n . Z- b> n- si- n -s- n -s- n -s- . . . b>mal — -s- ub>. Ist Z- u mit —- b> zn mnltipliziren, so muß man aus si- n ein Resultat nach dem Muster von — b> bilden; —b> ist aus der Ein¬ heit entstanden, indem man die Einheit banal als Subtrahend setzte; man muß also auch -s- n banal als Subtrahend setzen; si- n als Sub¬ trahend gesetzt gibt — n, und dieses banal genommen, gewiß ein Negatives Resultat; man hat daher Z-u. — b> ---- — u — n — g, — - . . . banal — — nb>. Bei dem Produkte — n.Z-b schließt mau: si- b> ist aus der Einheit entstanden, indeni mau die Einheit banal als Addend gesetzt 2' 2« hat; man muß daher auch — a dmal als Addenda also mit unver¬ ändertem Zeichen nehmen, wodurch sicher eine negative Größe zum Vorschein kommt; folglich — a. -ff b — — a — a — a —> . . .. ffmal — —al). Ist endlich — Ä mit — d zu multipliziren, so muß man aus — a nach dem Vorbilde von —b eine neue Zahl entstehen lassen; — b ist aus der Einheit entstanden, indem man die Einheit bmal als Subtrahend setzte; man wird daher auch — a kmal als Sub¬ trahend, also mit geändertem Zeichen setzen, wodurch man bmal -ff a, und mithin ohne Zweifel eine positive Größe erhält; also — a > — b -ff a -ff a -ff a -ff , > , bmal -ff ab. Es ist also -ff a . -ff b —ff ab, -ff a . — b — — ab, — a . -s- l) — — al>, — a . — b — -ff ab; wodurch der oben aufgestellte Satz erwiesen ist. Zum bessern Verständnisse sollen dieselben Schlüffe an beson¬ der» Zahlen durchgesührt werden; z. B. -ff 4 . -ff 3 -ff 4 -ff 4 -ff 4 -ff 12, -ff4. — 3- — 4 — 4 — 4--- — 12, __4,-ff3---- — 4 — 4 — 4-- — 12, — 4. — 3^-ff4-ff4-ff4---ff12. Sind mehr als zwei Faktoren mit einander zn multipli¬ ziren, so gilt in Bezug auf das Zeichen des Produktes Folgendes: Wenn alle Faktoren positiv sind, so ist auch das Pro¬ dukt positiv. Sind alle Faktoren negativ, so geben je zwei ein positives Produkt; daher wird auch das ganze Produkt positiv sein, wenn eine gerade Anzahl negativer Faktoren vorhanden ist, und negativ, wenn jene Anzahl eine ungerade ist. Hat man theils positive, theils negative Faktoren, so richtet sich das Zei¬ chen des Produktes bloß nach der Anzahl der negativen Faktoren; das Produkt fällt nämlich positiv oder negativ aus, je nachdem jene Anzahl eine gerade oder ungerade ist. Beispiele. 1) 2 ab . 7 L cl — 14 ab 06. 2) —5m — — 15a mx. 3) a^ . — 3a — — 3a?. 4) — 6a4 . 3a?x — — 18a°x. 5) — m^b , — 2m — 2m^s. 6) 5n?x3 . — 3abx^ — — 15a^bx^. 7) a? . a? . a4 --- a» . a» — a». 8) a" . a" . a? . al — am-t-n^i>4r. 21 9) 2g,K2(,g . — 3u^1>^v^ , — — 24 1,^6^. 10) — 2a-.3ai?.5a2x. —bx;,-^30^b°x^-. §. 30. 2. Wenn der eine Faktor ein zusammengesetzter, und der andere ein einfacher Ausdruck ist. Wenn ein zusammengesetzter Ausdruck n-s-b-s-o mit einem einfachen in zu multipliziren, so muß man aus dem ganzen Multi¬ plikand, mithin aus jedem Theile desselben, ein Resultat so bilden, wie in aus der Einheit entstanden ist; man muß daher zuerst ans n ein Resultat so bilden, wie in aus der Einheit entstanden ist, d. h. -r mit in multipliziren; dann muß man aus b> nach dem Vorbilds von in eine neue Zahl entstehen lassen, d. i. I> mit in multipliziren; und endlich auch aus o ein Resultat so bilden, wie in aus der Ein¬ heit entstanden ist, also auch o mit in multipliziren, und alle diese Resultate in eines zusammensetzen. Es ist also sn -s- l) -s- o). in — n. in -s- l>. in -s- o. in, d. h. ein zusammengesetzter Ausdruck wird mit einem einfachen multiplizirt, wenn man jeden Theil des zu¬ sammengesetzten Ausdruckes mit dem einfachen multi¬ plizirt. Beispiele. 1) (3n— 4i>).2o —6no — Klio. 2) (3 n — 5 b -j- 7). — 2 in — — 6 nin -s- 10 bin — 14 ni. 3) (2inx — 5ll)i -j- 3p?) . 3al)H — babin^x — IZalin^ -s- 9ul>xgx. 4) (n -s- 2 s? — 3 u?). 5 n* — 5 -s- 10 a« 15 5) (4 n x^ — 3 dx^ -s- 2 ox — 6). 5 x^ — — 20 n x° — 15 b x^ -s- 10 6 x^ — 56x3. 6) s4 a.3 — 3 rr^ 1>-j-2 n 1>^— — — — 4 u? d? -s- 3 gi l>3 — 2 -j- §. 31. 3. Wenn beide Faktoren zusammengesetzte Ausdrucke sind. Es sei n -j- b -j- o mit m -s- n -ss p zu multipliziren. Hier hat man aus n -j- k -j- o ein Resultat so zu bilden, wie in -j- n -s- p aus der Einheit entstanden ist; in -s- n -s- p ist aus der Einheit hervor¬ gegangen, indem man zuerst in, dann n, endlich p bildete, und diese Größen addirte; man wird daher auch ans n-s-d-s-o zuerst ein Resultat nach dem Vorbilde von in, dann eines nach dem Vorbilde von n, endlich eines nach dem Vorbilde von p entstehen lassen, oder, was eben so viel heißt, man wird n-s-k-j-o zuerst mit in, dann mit n. endlich mit p multipliziren, und diese Resultate addiren. Es ist also 22 (a -j- b -j- o) (nr -j- Q -s- p) — (a -j- Id si-- o). IN si- (a, -j- b si- o) . n -j-(a-j-b-j-o).x, d. h. ein zusammengesetzter Ausdruck wird mit einem zusammengesetzten mnltiplizirt, wenn man den ganzen einen Faktor mit jedem Theile des andern multipli- zirt, und diese Theilprod ukte addirt. Beim Multipliziren geordneter Ausdrücke ist es am zweckmäßig¬ sten, die einzelnen Theilprodukte so unter einander zu stellen, daß jedes folgende um ein Glied weiter gegen die Rechte gerückt wird, weil sich in vielen Fällen die so unter einander stehenden Größen reduziren lassen. Beispiele. 1) (3a si- 4b) — 36) (3a -s- 4b). 4o ss- (3a si- 4b) . — 36 — 12 a 6 -j- 16 b 6 — 9 a 6 — 12 b 6. 2) (a -ss b) (a - b) a2 — I,- a2 -j- a b — ab — b? H si- Dieses Beispiel führt auf folgenden merkwürdigen Satz: Die Summe zweier Größen mnltiplizirt mit ihrer Diffe¬ renz gibt die Differenz ihrer Quadrate. 3) (2x si- 3^) (2x - 37) - 4x2 - 972. 4) x? — 2x -si 1 6x — 3 öx^ —12 x? -ss 6 x — 3x2 ss- gx — 3 6x2 — 15x2 ss- 12x — 3. 5) 4x2 — 4x7 72 4x2 -p. 4x7 -s- 72 16x^ — 16x27 -j- 4x272 -s- 16x27 — 16x272 ss- 4x72 -s- 4x272 — 4x72 -s. 7t 16 x^ — 8x272 6) (g,4 — -si a2 — a -s- _p. 1) -si 1. 7) (a» -j- a- -f- ^2 1, 8) (x — 27 — 3^) (3x -j- 27 — 2) — — 3x2 - 4x7 - 10x2 — 472 - 472 si- 3 22. 9) (4at — IZa-b^ -s- 9b°) (2a2 — 3b«) -- 8a« — 36a»b2 54a2b« — 27b«. 10) (1 — Zx si- 3x2 - 4^) (1 _ 3x -s- 5x2 7x-) --- 4 — 5x -j- 14^2 — ZI x« si- 4l x^ — 4j x» -j- 2dx^, 23 11) (3x--—2x> 1) (x— 1) (3x^ 5) (3x-—5x2-s-3x — 1) (3x-s-5) — 9 X» — 16x2-)- i2x — 5. 12) (i? — 2rr — 3) (-i2 - 2-r Z- 3) (»2 -s- 2 a — 3) a° — 2 -r- — 7 a» -s- 20-r- - 21 »2 — 18a. -j- 27. 13) (x-s-1)(x-s-2)(xZ-3)^x-Z-6x2-^Hx-s-6. 14) (a -s- b -s- o) (a -s- b — o) (a — b -s- o) (— a -s- b -s- o) — -s- 2 »2 b- -j- 2 -r- o- — b» -^- 2 t>2 «2 — ob Man verrichte nachfolgende Multiplikazionen: 15) (x—1)(xff-2)(x—3)(xZ-4); 16) (a.2 i)L_^(.2-f- 2 ab —2ao -s- 2 bo) (a?-)-!)? — «2— 2 ab) ; 17) (3-r —b)(a--2ab ff-3b2)(2a- —3b-); 18) 2x (s,2 — 3 a-f-4) -)- 5 a (x2 — 2x— 3) (x— 5); 19) (7 a — 5 b) (a -s- 2 b — 3) — (3 rr — b) (2 a — b -s- 5); 20) (4 x2 - 3 x 2) (3 x2 -j- 2 x — 1) (x2 — 2 x — 3). Sind die dekadischen Zahlen -- cl . 10- -s- o . E -s- b . 10 -s- a, N --- r . E Z- g . 10 -s- x mit einander zn mnltipliziren, so erhält man folgende Theilprodukte: 6 i-. 10- -b o r -10» -s- br . 10' -s- a i-. 10- -s- 6 ^1, so muß n;n —1 und a;1 —a sein. 24 4. Der Quozient O : O ---- fi kann jede beliebige Zahl vorstellen, nnd ist somit das Symbol der Unbestimmt¬ heit. Da man nämlich sowohl 0^-1 X 0, als auch 0^2X0, oder 0 — 5X0, oder allgemein 0 —u><0 setzen kann, so folgt auch umgekchrt 0:0 — l, oder 0:0 — 2, oder 0:0 — 5, oder allgemein O:Ö — g, wo rr jede beliebige Zahl bedeuten kann. §. 33. Beim Dividircn algebraischer Ausdrücke köuneu vier Fälle Vorkommen: entweder sind Dividend und Divisor einfache Ausdrücke, oder ist der Dividend zusammengesetzt nnd der Divisor einfach, oder ist der Dividend einfach und der Divisor zusammengesetzt, oder es sind Dividend und Divisor zusammengesetzte Ausdrücke. 1. Wenn Dividend und Divisor einfache algebraische Ausdrücke sind. In diesem Falle wird auch der Quozient ein einfacher Aus¬ druck sein, nnd man hat bei dessen Bestimmung auf die Buchstaben¬ größe, den Koeffizienten und das Zeichen Rücksicht zn nehmen. -r) Um die Buchstab en grvße des Quozieuten zu finden, überlege man, daß dcrBuchstabenanSdrnck des Quozieuten mit jenem des Divisors multiplizirt die allgemeine Große des DividendS geben muß; dieses ist nur möglich, wenn der Quozient alle jene Buch¬ staben des DividendS enthält, die nicht im Divisor vorkommen. Man findet also die allgemeine Größe des Quozienten, wenn man diejenigen Buchstaben des DividendS, welche im Divisor Vorkommen, wegläßt; die übrig bleibenden bilden den Bnchstabenansdrnck des Quozienten. So ist nfiock:g,o — fick. Ost geschieht es, daß der Divisor Buchstaben enthält, die im Dividende nicht vorkommen, die man also in demselben auch uicht weglassen kann; in diesem Falle kann die Division durch jeue Buch¬ staben nicht wirklich verrichtet werden, man zeigt die Division durch dieselben mir an, indem man sich dabei der Bruchform bedient. Z- B. nfio: fiock — a Wenn im Dividend und Divisor Potenzen derselben Wurzel Vorkommen, so ist in Bezug auf den Quozienten die Un¬ terscheidung zu machen, ob der Exponent im Dividend größer, gleich oder kleiner ist, als der Exponent im Divisor. Man soll durch g? dividireu, und es sei erstlich nri>ii. Hier kommt n im Dividend mmal, im Divisor umal als Faktor vor; läßt mau nun die gleichen Faktoren beiderseits in gleicher Anzahl weg, so bleibt n im Dividend noch (m. — u)mal als Faktor übrig; der Quozient ist also 25 Für m > n ist also : u? — a," ", d. h. wenn eine höhere Potenz durch eine niedrigere Potenz derselben Wnrzel dividirt wird, so ist'der Quozient gleich der gemeinschaftlichen Wurzel erhoben zu einer Potenz, deren Exponent gleich ist dem Expo¬ nenten des Dividends, weniger dem Exponenten des Divisors. Ist in—n, so hat man: n-» : n» — : a»' — 1. Wenn endlich rn multiplizirt den Dividend Z- u geben; nun kann nur eine positive Größe nut einer positiven multiplizirt ein positives Produkt geben; der Quozient muß also positiv sein, mithin -s- g, : -s- b — -s- q. Durch dieselbe Schlußweise ergibt sich auch -s- u: — b — — H, — u: Z- d — — — -s- H. In Bezug aus die Zeichen gilt also der Satz: Wenn Dividend und Divisor gleichbezeichnet sind, so ist der Quozient positiv; haben Dividend und Divi¬ sor verschiedene Zeichen, so ist der Quozient negativ. 26 Beispiele. 34. 2. Wenn der Dividend ein zusammengesetzter, und der Divisor ein einfacher Ausdruck ist. Nach dem beim Multipliziren begründeten Verfahren ist: (a st- st st- o) . IN — a IN st- st IN st- o IN. Wenn nnn das Produkt ain st-st in st-ein als Dividend und der eine Faktor in als Divisor gegeben find, während der andere Faktor a, st-st st-o als Quozient gesunden werden soll, so ist leicht zu sehen, daß jeder Theil des Produktes deu gegebenen Faktor mnl- tiplizirt mit einem Theile des zu suchenden Faktors enthält; man findet also die einzelnen Theile des gesuchten Faktors (Quozienten), wenn man jeden Theil des Produktes (Dividends) durch den be¬ kannten Faktor (Divisor) dividirt. Daraus folgt: Ein zusammengesetzter Ausdruck wird durch einen einfachen dividirt, wenn man jeden Theil des Divi¬ dends durch den einfachen Divisor dividirt. Beispiele. 1) (15 a in — 20 st in st- 35 o in) : 5 in — 3 a — 4 st st- 7 e. 2) (18ain^ — 27stn^ st- 36oxx) : — 3/ — — — 6a, in st- 9 stn - - 12 op. 3) (20 a? st IN3 16a^oin^ — 9acln>) : 4a in — — 5a^stin^ st- 4aoin — 4) (5 a3 x — 4 x^ — 3 x^) : a^ x — 5 — 4 ax — 3 xst Z) (16 a? — 12a2 st- 8 a — 4) : 2a° --- 8 a - 6 st- 27 §. 35. 4. Wenn Dividend nnd Divisor zusammengesetzte algebraische Ausdrücke sind. Das in diesem Falle zu beobachtende Divistousverfahrcn läßt sich am besten aus der Art und Weise ableiten, wie der Dividend durch die Mnltiplikazion aus dem Divisor und Quozienten entstehet, wie die Theile des Divisors und Quozienten in ihrem Produkte, dem Dividende, zu einander gestellt erscheinen. Ist der Divisor rr-stb-j-o, der Quozient irr -s-ir st- p, so erhält mau durch die Mnltiplikazion, wenn die Theilprodukte unter einander geschrieben werden, Divstor u st— lr st— 6 Quozient m st- n st- p t krirr-s-Irirrst-orrr Dividend < st- rrir st- l>ir st- o n f st- Up st- kp st- op. Der erste Theil um des Dividends ist das Produkt aus dem ersten Theile u des Divisors und dem ersten Theile in des Quozien¬ ten; mau erhält daher deu ersten Theil des Quozienten, wenn man den ersten Theil des Dividends durch den "krsten Theil des Divisors dividirt. — Bildet man nun die Bestandtheile, welche m im Pro¬ dukte hervorgebracht hat, indem man den ganzen Divisor mit m multiplizirt, nnd zieht dieses Produkt vom Dividende ab; so ist der erste Theil an des Restes das Produkt aus dem ersten Theile a des Divisors und dem zweiten Theile n des Quozienten. Wird da¬ her dieser erste Theil des Nestes durch den ersten Theil des Divisors dividirt, so erhält man deu zweiten Theil des Quozienten. — Wenn mau das Theilprvdukt, welches n im Dividende hervorbrachte, näm¬ lich das Produkt ans dem ganzen Divisor und aus n, von dem frühem Reste abzieht, so ist der erste Theil des Restes a p, welches das Produkt ans dem ersten Theile a des Divisors und dem dritten Theile p des Quozienten vorstellt. Man findet daher den dritten Theil des Quozienten, wenn man den ersten Theil des letzten Restes durch den ersten Theil deö Divisors dividirt u. s w. Beim Dividiren eines zusammengesetzten Ausdruckes durch einen zusammengesetzten ist daher folgendes Verfahren zu beobachten: Man dividire den ersten Theil des Dividends durch den ersten Theil des Divisors; dadurch erhält man den ersten Theil des Quo¬ zienten- sodann wird der ganze Divisor mit dem gefundenen ersten Theile des Quozienten multiplizirt und das Produkt vom Dividende abgezogen. Der erste Theil des Restes wird wieder durch den er¬ sten Theil des Divisors dividirt, wodurch der zweite Theil des Quo- zienten zum Vorschein kommt; mit diesem multiplizirt mau den gan¬ test Divisor Md zieht das Produkt von dem frühem Reste ab, Deo 28 erste Theil des neuen Restes durch den ersten Theil Divisors dividirt, gibt den dritten Theil des Quozrenten. wird die Division fortgesetzt, bis alle Theile des Dwrdends in Anspruch genommen wurden; bleibt Metzt kein Rest, so ist der erhaltene Quo- zient vollkommen genau; bleibt ein Rest übrig, so ist dieser noch durch den Divisor zu dividiren, der Quozient davon wird jedoch nur angezeigt und in Bruchsorm dem früher erhaltenen Quozienten an¬ gehängt. Beim Anschreiben des Restes muß immer darauf gesehen wer¬ den, daß derselbe so geordnet erscheint, wie es Dividend und Divi¬ sor sind. Beispiele. 1) (6tznx — 126tzm-si 5nbnp — lOnbclm): (nx — 26m)— 6tz-s- 5nb — 126tzm — -s- _ -s- 5abnx — 10ab6m -si 5nbn^ — 10nb6m - 0 2) (3u^x^ — abx^ — 2b^^) : fax — b^) — 3ax si- 2b^ 3n^x^ — 3nbx^ — si-_ -s- 2nbx^ — -2b si- 2nbx;-—2b - 0 3) (kl? — b^): (n-s- b) — n— b n? -s- ab — nb — b? — ab — b^ Ö Dieses Beispiel gibt mit Worten ausgedrückt den Satz: D ie Differenz zweier Quadrate, dividirt durch die Summe ihrer Wurzeln, gibt die Differenz der Wurzeln. Eben so erhält man 4) (o? — b?): (a — b) — rr -s- o, d. h. die Differenz zweier Quadrate, dividirt durch die Differenz ihrer Wurzeln, gibt die Summe der Wurzeln. 29 5) (6^-5^4-4^4-11 «."D: (Zg?-3L4-4)^3a-4-2a —1 6a*—9a»4-12^2 -i- -4 4a»— 8924-II9 -j- 4a»— 6924-89 — 4- —_ —2^4-3a —4 — 2^4-3a —4 O 6) (2x^—x4—3x)^—4v4: )x2—2x).—)-2)m 2x43v4-^^/^, 2x»- 4x2).— 2x).2 —4 4- 4-3x^ — — 4^^ 4-3x2). — 6x).2— 3)s» -4-4- 4-5x/2 „ 7) (x* —1) : (x-1)^x'4-x'4-x4-1. 8) (»o 8*4 : (9 -s- 6) — 9- 9.4 b -j- t)2 92 6» -s- ^^4 —. ^3 9) (15x4 4 8x»). — 41x^^ 4- 1Ox).» 4- 8^4: (5x2 4- 6x^ — 8^4 ^-3x^—2x). — 10) (44-5a -16a- - 4a»4-4^ — 5a- 4- 4a«): (1-42a-3a2-4a4 4 — 3-i 4- 29-- - 9». 11) (81x« -16^4 : (3x2 - 2^-) — 27x° 4- 18x^2 4- 12x^' 4 8/°' 12) (32-iwx°-243;.-) : (2a2x —3).) — 16-1.8x4 4- 24-1-X»)' 4- 36-i4x2).2 -4 54a^x).b -4 81 ).4. 13) (6x4 — Hx»— 9x2 -^- I9x —. 5): (3x — 1)—2x»—3x^— 4x4-5. 14) (2 — 7x4-16x2 — 25x» 4- 24x4— 16x-) : (2 - 3x4-4x2) — 1 — 2x4-3 x2—- 4x». 15) (lll4- 2m2ll2 4- 1-4): (lll2 4- 2lllll 4-1-2) ^1^2- 2 MII 4- »2. 16) (309- — 21a.4 —2^4-26-^ — 809-415) : (29.2 — 9-43) —15-1» —3-12 — 25-1-4 5. Man entwickle noch folgende Quozienten: 17) (4x4—12x» 4-13x2 — 6x4-1) : (2x2-3x-4Y; 18) (243-1- — 405--4 -4 270-1» — 90^-4 15-i — 1): (9^ - 6a -4 1); 19) (32 — 80x4-80x2—40x» 4- 10x4 __ x-): (8 — 12x-(6x2—x--); 20) (a» 4- 2a'b — 2a-1)2 — 6a-6» -f- 6 a-6- -f- 2a26° —2ad' — b») :(a»4-3a26 4-3ab2 4-6»). Nimmt man die dekadische Zahl ckr. 10-4-(or4-6 Op Z- als Dividend, und die Zahl ä . 10» Z- o . 10» -s- k . 10 -si a als Divisor an, so wird sich durch das allgemeine Divisionsver- sahren r . 10» D 9 . 10 -si x als Qnozient ergeben, und man wird daraus ohne Schwierigkeit die Regeln für das Dividireu dekadischer Zahlen ableiten können. 36. 4. Wenn der Dividend ein einfacher und der Divi¬ sor ein zusammengesetzter Ausdruck ist. In diesem Falle kann die Division nicht wirklich verrichtet werden; sie wird bloß angezeigt, indem man den Qawzienten in Brnchform ausdrückt. Z. B.: : (1 - a) Es ist oft zweckdienlich, den Quozienten in diesem Falle als eine ohne Ende fortlaufende Reihe von Gliedern, in denen sich eine gewisse Gesetzmäßigkeit knndgibt, darzustellen; man wendet zu diesem Ende das für die Division zweier zusammengesetzter Ausdrücke aus¬ gestellte Verfahren an. So findet man a : (1 — a) — a -si a» -si a» -si a^ -si . . . a — a» - si -si a» -si a» — a» - si- -s- a» -si a» — asi — -si a^ N. s. W. Eben so ist X : (1 -si X») — X —- X» -si x^ — x^ -si . . . Eigenschaften des Produktes und des Quozienten, 8. 37. Das Produkt enthält den einen Faktor so oft, als in dem andern Faktor Einheiten vorkommen; der eine Faktor stellt also einen 31 Theil des Produktes vor, und der andere Faktor ist die Zahl, welche anzeigt, wie oft ein solcher Theil im Produkte als Ganzes vorkommt. 1. Wenn ein Theil des Produktes 2,3, ... mmal so groß wird, als er früher war, die Anzahl dieser Theile aber unverändert bleibt, so wird auch das Ganze, das neue Produkt, 2, 3, . . . mmal so groß, als es vorhin war. Das Produkt wird also 2, 3, . . . mmal so groß, wenn der eine Faktor 2, 3 , . . . mmal so groß wird und der andere Faktor ungeändert bleibt; oder: Ein Produkt wird mit einer Zahl multiplizirt, wenn man den einen Faktor damit multiplizirt, und den andern Faktor ungeändert läßt. Allgemein ist (n X k) X m nm X k — n X km. Es wäre daher ganz unrichtig, wenn man, um ein Produkt mit einer Zahl zu multipliziren, jeden Faktor damit multipliziren, und (n X k) X m — um X km setzen würde. 2. Wenn ein Theil des Produktes 2, 3, ... mmal kleiner wird, und man eben so viele solche Theile beibehält, so wird auch das Ganze, das neue Produkt, 2, 3, . . . mmal kleiner als früher aussallen. Daraus folgt: Eiu Produkt wird durch eine Zahl dividirt, wenn man einen Faktor dadurch dividirt und den andern Fak¬ tor nn geändert läßt. Allgemein (u X K) : m — (u : m) X K — a X (k: m). 3. Wenn man einen Theil des Produktes 2, 3, . . . inmal so groß, dagegen aber von solchen größern Theilen 2, 3, . . . inmal weniger annimmt, so bleibt das Ganze ungeändert. ' Ein Produkt wird daher nicht geändert, wenn man den einen Faktor mit einer Zahl multiplizirt, und den andern Faktor durch dieselbe Zahl dividirt. Allgemein a, X — urn X : m) — (n : in) X Kin¬ tz. 38. Der Quvzient zeigt an, wie oft der Divisor als Theil in dem Dividende als Ganzen enthalten ist. 1. Wird das Ganze 2, 3, . . . inmal so groß angenommen, so wird derselbe Theil darin 2, 3, ... mmal so ost enthalten sein; wenn also der Dividend bei nngeändertem Divisor 2, 3, . . . inmal so groß wird, so muß auch der Quvzient 2, 3, . . . nun al so groß werden, als er früher war; oder: Ein Quozient wird mit einer Zahl multiplizirt, wenn man den Dividend damit multiplizirt, den Di¬ visor aber ungeändcrt läßt. Allgemein (u : I>) X m " um : b. 2. Wenn das Ganze ungeändert bleibt, und mau nimmt einen seiner gleichen Theile 2, 3, . . . inmal kleiner an, so wird cin sol- 32 cher Theil in dem Ganzen 2,3,.,. mmal so ost enthalten sein, als einer der frühem Theile. Ein Quozient wird daher mit einer Zahl multipli- zirt, wenn man den Divisor dadurch dividirt und deu Dividend ungeändert läßt. Allgemein (a : st) X r» - »st- Aus diesen beiden Sätzen solgt, daß man einen angezeigteu Qnozienten auf zweifache Art mit einer Zahl multipliziren könne, entweder indem man den Dividend damit multiplizirt, oder indem man den Divisor dadurch dividirt. 3. Wenn man das Ganze 2, 3, . . . mmal kleiner annimmt, so wird derselbe Theil darin auch nicht mehr so ost als früher ent¬ halten sein, sondern die Zahl, welche dieses anzeigt, 2, 3, ... mmal kleiner werden, als sie es vorher war. Ein Quozient wird daher durch eine Zahl dividirt, wenn man den Dividend dadurch dividirt, und den Di¬ visor unverändert läßt. Allgemein (a, : st) : m — (st : in) : st. 4. Wenn das Ganze ungeändert bleibt, und mau einen seiner gleichen Theile 2, 3, . . . mmal größer annimmt, so wird die Zahl, welche anzeigt, wie oft einer dieser großem Theile in dem ungeän¬ derten Ganzen »orkommt, offenbar 2, 3, . . . mmal kleiner, als früher ausfallen. Daraus folgt: Ein Quozient wird durch eine Zahl dividirt, wenn man den Divisor damit multiplizirt, und den Divi¬ dend ungeändert läßt. Allgemein (st : st) : m — a : stm. Ein angezeigter Quozient kann demnach auf zweifache Art durch eine Zahl dividirt werden, entweder indem man den Dividend dadurch dividirt, oder indem man den Divisor damit multiplizirt. 5. Wenn man das Ganze 2, 3, .. . mmal so groß annimmt, und wenn zugleich jeder seiner gleichen Theile 2, 3, . . .mmal so groß angenommen wird, so wird ein solcher größerer Theil in dem größern Ganzen eben so ost enthalten sein, als der ungeänderte Theil in dem ungeänderten Ganzen. Wird eben so das Ganze 2, 3, . . . mmal kleiner, und auch ein Theil 2, 3, . . . mmal kleiner angenommen, so wird ein solcher kleinerer Theil in dem kleineren Ganzen gerade so oft enthalten sein, als der ungeändcrte Theil in dem nngeänderten Ganzen. Ein Quozient bleibt daher beständig, wenn man Di" vidend und Divisor mit derselben Zahl multiplizirt, oder beide durch dieselbe Zahl dividirt. Allgemein n : st — g,m : stm — (st : m) : (st : m). 33 VI. Folgelehren der Division. I. Non der Theilbarkeit der Zahlen. §. 39. Eine Zahl beißt durch eine andere tbeilbar, wenn sie durch dieselbe dividirt eine ganze Zahl zum Quozienten gibt. Der Dividend heißt in diesem Falle ein Vielfaches des Divisors, und der Divisor ein Theiler oder ein Maß des Dividends. So ist z. B. 18 durch 6, ab durch a, theilbar, ast ist ein Vielfaches von a, und a ist ein Maß von ab. Durch eins und durch sich selbst ist jede Zahl theil¬ bar. Eine Zahl, welche nur durch eins und durch sich selbst theil¬ bar ist, wird eine Primzahl genannt; z. B. 3, 11, 29. Jede durch einen Buchstaben dargestellte Zahl ist, wenn nicht ausdrücklich das Gegentheil angenommen wird, als eine Primzahl anznschen. Eine Zahl, welche nicht bloß durch eins und durch sich selbst, son¬ dern auch noch durch andere Zahlen theilbar ist, heißt eine zusam¬ mengesetzte Zahl, z. B. 8, 15, asto. Eine Zahl, durch welche zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar sind, wird ein gemeinschaftliches Maß von diesen letz¬ tem Zahlen genannt; z. B. 3 ist ein gemeinschaftliches Maß von 12 und 21; in ein gemeinschaftliches Maß von amx, st m v und ein 2. Die größte Zahl, durch welche zwei oder mehrere Zahlen theilbar sind, heißt ihr größtes gemeinschaftliches Maß; z. B. 12, 36, 60 haben die Zahlen 2, 3, 4, 6, 12 zn gemeinschaft¬ lichen Maßen, 12 aber ist unter diesen das größte; ast ist das größte gemeinschaftliche Maß zwischen 3 ustm und 5astn. Zahlen, welche außer der Einheit kein anderes gemeinschaft¬ liches Maß haben, heißen Primzahlen unter einander, oder relative Primzahlen; z. B. 2, 9, 12; eben so ast, sto, eck, astest. Eine Zahl, welche durch zwei oder mehrere andere Zahlen theilbar ist, heißt ein gemeinschaftliches Vielfaches von die¬ sen Zahlen, z. B. 20 ist ein gemeinschaftliches Vielfaches von 2, 4, 5, 10; Lastest von 2a, sto, 4st, 8aost. Die kleinste Zahl, welche durch mehrere andere Zahlen theilbar ist, heißt ihr kleinstes ge¬ meinschaftliches Vielfaches; so haben 3, 5, 8 die Zahlen 120, 240, 480, . .. zu gemeinschaftlichen Vielfachen, 120 aber ist ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches; eben so ist läastm das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 5ast und 15iu. NoLrük, Algebra. 2, Ausl. Z 34 s. Allgemeine Sätze. §- 40. 1. Haben zwei oder mehrere Zahlen ein gemein¬ schaftliches Maß, so ist auch ihre Summe dadurch theilbar. Es seien n, l> und e durch m theilbar, so läßt sich zeigen, daß auch a-s-d si- o durch in theilbar sein müsse. Man setze n:in — : IN — g, o:in —r, wo x, g, I-, ganze Zahlen vorstellen; so folgt a —mp, b —rng, o —inr. Da gleiche Größen zu gleichen addirt auch gleiche Summen geben, so hat man n si- k -s-n^nip-s-ing-h-mr; und wenn man die beiden gleichen Ausdrücke durch in dividirt, (n-f-b-s-o):in — die Summe n Z- b st-o gibt also durch in dividirt eine ganze Zahl x -s- c> ss- i- zum Quozicnten, oder was gleichviel ist, n -si b -f- o ist wirklich durch in theilbar. 2. Haben zwei Zahlen ein gemeinschaftliches Maß, so ist auch ihr Unterschied dadurch theilbar. Es sei in ein gemeinschaftliches Maß von n und b; und zwar n:in —p, d:in —so hat man n — INP, k — ing, und durch Subtrakzion n — b — inp — ing, oder wenn man zu bei¬ den Seiten des Gleichheitszeichens durch in dividirt, (n — b) : in — p — g, woraus folgt, daß der Unterschied n — l> durch in theil¬ bar ist. 3. Wenn eine Zahl durch eine andere Zahl theil¬ bar ist, so ist anch jedes Vielfache derselben dadurch theilbar. Es sei n durch in theilbar, und zwar n : in — x; man hat L^INP, und nr —rnpi-, woraus nrrrn —pr folgt; das Viel¬ fache ni- von n ist also durch rn theilbar. 4. Wenn der Dividend und der Divisor ein ge¬ meinschaftliches Maß haben, so mnß auch der Divi¬ sionsrest dadurch theilbar sein. Es seien n und b durch in theilbar, und es gebe n durch K dividirt den Quozienten g mit dem Reste r; so ist r —n— dg. Da n durch in theilbar ist, ferner I>, somit auch das Vielfache durch in theilbar ist, so muß auch der Unterschied n —bh, welcher gleich i- ist, durch in theilbar sein. Aus diesem Satze folgt: Jedes gemeinschaftliche Maß zwischen Dividend und Divisor ist auch ein gemeinschaftliches Maß zwi¬ schen Divisor und Nest. 5. Wenn der Divisor und der Divisionsrest ein gemeinschaftliches Maß haben, so muß auch d er Di¬ vidend dadurch theilbar sein. Es gebe n durch b dividirt den Quozienten mit dem Reste 35 r, und es sei m ein gemeinschaftliches Maß von k und r. AuS dem Begriffe der Division folgt a —Ocs-ffr. Wenn nun b, somit auch das Vielsache kh, und ferner r durch in theilbar sind, so muß auch die Summe dcz-ffr, welche gleich a ist, durch in theilbar sein. Dieser Satz läßt sich auch so ansdrücken: Jedes gemeinschaftliche Maß zwischen Divisor und Divisionsrest ist auch ein gemeinschaftliches Maß zwischen Dividend und Divisor. 6. Da nach den letzten zwei Sätzen Dividend und Divisor dieselben gemeinschaftlichen Maße unter einander haben, wie der Divisor und der Rest, so folgt: Das größte gemeinschaftliche Maß zwischen Di¬ visor und Nest ist auch das größte gemeinschaftliche Maß zwischen Dividend und Divisor. 7. Das größte gemeinschaftliche Maß zweier Zah¬ len wird nicht geändert, wenn man eine derselben durch einen Nichtsaktor der andern mnltiplizirt oder dividirt. Die Richtigkeit dieses Satzes ergibt sich unmittelbar aus dem Begriffe des größten gemeinschaftlichen Maßes zweier Zahlen. t>. Keiuizeichcn der Theilbarkeit bei besonder» Zahlen. 41. Ist 17 eine besondere Zahl, in welcher a, ich a, 6, s, . . . folgeweise die Ziffern an der Stelle der Einheiten, Zehner, Hun¬ derte, Tausende, Zehntausende, . . bedeuten, so kann man 17 -- -r si- 10 d -ff 100 o -ff 1000 ä -ff 10000 s -ff . . . setzen. 1. Man hat nun, wenn 17 durch 2 dividirt wird, 17 : 2 Z- 5d -ff 50o -ff 500ä -ff . . . Ist a gleich Null oder durch 2 theilbar, so ist auch 17 durch 2 theilbar. Eine Zahl ist also durch 2 theilbar, wenn sie an der Stelle der Einheiten eine der Ziffern 0, 2, 4, 6 oder 8 hat. Die Zahlen, welche an der Stelle der Einheiten 0, 2, 4, 6 oder 8 haben, werden gerade Zahlen genannt. Eine gerade Zahl wird, da sie durch 2 theilbar, also ein Vielfaches von 2 ist, allge¬ mein durch 2 m ausgedrückt, wo Ql jede beliebige ganze Zahl vor¬ stellen kann. Jene Zahlen, welche an der Stelle der Einheiten 1, 3, 5, 7 oder 9 haben, heißen ungerade Zahlen. Da eine ungerade Zahl um 1 größer oder kleiner'ist, als eine gerade, so ist 2m-ff1 oder 2m — 1 die allgemeine Form für die ungeraden Zahlen. 3* 36 2. Um das Kennzeichen für die Theilbarkeit durch 3 abznleiten, bedanke man, daß sich dl durch Zerlegung seiner Bestaudtheile auch unter folgende Form bringen laßt: dl --- n st- 9b -st b -st 99o -st o st- 999ä -st st -st ... L -st b -st s st- st -st ... -st 9b st- 9 9o st- 999 st st- ... Es ist daher dl : 3 — ä -l- . -st 333st st- ... Eine Zahl ist also durch 3 theilbar, wenn ihre Ziffcru- summe durch 3 theilbar ist. Eben so folgt: dl: 9 st- 1, st- Ho -st 11! st st- .. . d. h. Eine Zahl ist durch 9 theilbar, wenn ihre Zisfecu- snmme durch 9 theilbar ist. 3. Man hat ferner dl : 4 -- -st 25 e -st 250 4 st- 2500 c- -st . . . Da n-st 10b die niedrigsten zwei Ziffern als Zahl betrachtet vorstellt, so folgt: Eine Zahl ist durch 4 theilbar, weun die niedrigsten zwei Stellen durch 4 theilbar sind. 4. Wird X durch 5 dividirt, so hat man dl : 5 - -st 2b -st 20o st- 200 st ^ . . . 5 Ist a gleich Null oder durch 5 theilbar, so ist auch dl durch 5 theilbar. Eine Zahl ist also durch 5 theilbar, weun sie au der Stelle der Einheiten 0 oder 5 hat. 5. Ferner erhalt man dl : 10 st- b -st 10° st- lOOst st- ... io Damit dl durch 10 theilbar sei, muß a. — 0 sein. Eine Zahl ist also durch 10 theilbar, wenn sie rechts eine Null hat. 6. Um das Kennzeichen für die Theilbarkeit durch 11 zu ent¬ wickeln, muß man wieder eine zweckmäßige Zerlegung in den Be- standtheilen von dl vornehmen; es ist dl st- 11 b — b st- 99 6 st- o -st 1001 st — <1 st- 9999 6 -st 6 st- 10001 k — 1 -st ... oder dl ln -st 6 st- 6 -st ...) —- (b st- st -st 1 -st ...) st- 11b st- 99e -st lOOlst st- 9999a st- 100011 st- . . . Daher dl - 11 g, st- 91 st -st 909« -st 90911 -st ... 37 Der Ausdruck u -st « -st s -st . . . stellt die Ziffernsumme an der ersten, dritten, fünften, ... überhaupt an den ungeraden Stel¬ len, 6 -st ä -st 1' -st ... dagegen die Ziffernsumme an der zwest ten, vierten, sechsten, . .. also an den geraden Stellen vor. Eine Zahl ist demnach durch 1l theilbar, wenn d^r Unterschied zwischen den Ziffern summ en an den un¬ geraden und geraden Stellen Null oder eine durch 11 theilbarc Zahl ist. Es gibt auch Kennzeichen für die Theilbarkeit durch andere als die bisher betrachteten Zahlen, aber sie sind verwickelter und in der Ausübung von keinem wesentlichen Vortheile. 2 210 105 35 7 660---2 IlVab- 55 ab- Hab- ab- b- b 110ab- —2 . 5 . 11 . a . b . b 21 a- in x 7a-inx a- ra x a ir> x m x in x x 21a-lnx —3 . 7 . a . a .in . x. Schwieriger ist es, zusammengesetzte algebraische Ausdrücke in Faktoren zu zerlegen. Hier soll nur der Fall be¬ trachtet werden, wenn alle Glieder des zusammengesetzten Ausdruckes ein gemeinschaftliches Maß haben. Wenn sä m m tliche Glieder eines zusammengesetz¬ ten algebraischen Ausdruckes eiu gemeinschaftliches Maß haben, so kann derselbe in zwei Faktoren zerlegt werden, in¬ dem man das gemeinschaftliche Maß als den einen Faktor heraus- hebt; der andere Faktor wird gefunden, wenn man den gegebenen Ausdruck durch den herauSgehobenen Faktor dividirt. Beispiele. 1) 3ax — 4bx — x(3n — 4b). 2) 20x4 — 16x^ st- i2x- — 4x — 4x(5x3 — 4x- st- 3x — 1). 3) 10x-^2 l5x-^3 — 25x^ — 5x)-- (2x2 st- 3x^ — 5^-). 4) Oa^b-x — 3rrb-x- st- Oa-b^x^ — 3a,b-x (2a,- — x st- 3abx-). 39 äx, 16aoäx^. 44. 2. Das größte gemeinschaftliche Maß zwischen zwei oder mehre¬ ren Zahlen kann auch unabhängig von ihrer Zerlegung in Faktoren bestimmt werden. ES seien erstlich zwei Zahlen a und 6, zwischen denen das g. g. Maß gesucht wird, und es sei u>b. Man dividire u durch b. Erhält man eine ganze Zahl zum Quozienten, so ist b ein gemein- 4V schaftliches Maß van a und st, weil beide Zahlen durch st theilbar sind, und zwar das größte, weil kein gemeinschaftliches Maß größer sein kann als die kleinere der beiden Zahlen. Ist aber u durch st nicht theilbar, so daß nach der Division noch ein Rest übrig bleibt, so weiß man, daß der Dividend o und der Divisor st dasselbe g. g. Maß haben, wie der Divisor st und der Nest r„' anstatt zwischen u und st, wird man daher zwischen st und r, das g. g. Maß suchen, was offen¬ bar leichter ist, da st und kleinere Zahlen vorstellen als u nnd st. Zn diesem Ende dividirt man st durch geht die Division ohne Rest auf, so ist r, das g. g. Maß zwischen k) und r^, folglich auch zwischen u und st. Bleibt aber ein Nest r,, so wird man wieder, anstatt zwischen dem Dividende st und dem Divisor das g. g. Maß zwischen dem Divisor und dem Neste suchen, indem man r, durch r-2 dividirt. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis end¬ lich eine Division ohne Nest ausgeht; der letzte Divisor ist aus den eben entwickelten Gründen das gesuchte g. g. Maß zwischen » und I>. Daß 'aber zuletzt die Division ohne Rest ansgehen müsse, ist leicht cinzuschen; der jedesmalige Rest ist eine ganze Zahl und we¬ nigstens um 1 kleiner als der Divisor, dieser Nest wird in der fol¬ genden Division zum Divisor, folglich muß der neue Rest noch klei¬ ner ausfallen, so daß im ungünstigsten Falle nach so viel Divisionen, als der Divisor Einheiten enthält, ein Nest —0 herauskommen, d. i. die Division ohne Rest aufgehen muß. Der vorhergehende Rechnungsgang läßt sich durch folgende Darstellung versinnlichen: Dividend a, Divisor st, Nest r, „ „ r-z, „ r^, " ^15 » ^3' ,, ^3' ,, 0, H ist das g. g. Maß von rr und st. Für die Auffindung des g. g. Maßes zweier Zahlen dient da¬ her folgendes Verfahren: Man dividire die größere der beiden Zahlen durch die klei¬ nere, sodann den Divisor'durch den Rest, den neuen Divisor durch den neuen Nest u. s. f., bis endlich eine Division ohne Nest auf¬ geht; der letzte Divisor ist das g. g. Maß der zwei gegebenen Zah¬ len. Ist der letzte Divisor 1, so sind die beiden Zahlen relative Primzahlen. Dieses Verfahren läßt sich vorzüglich bei besondern Zahlen und bei zusammengesetzten algebraischen Ausdrücken mit Vorthcil an¬ wenden. Bei den letzter» muß oft, um die nachfolgende Division bequem zu verrichten, der Divisor mit einem Nichtfaktvr des Restes multiplizirt, oder der Nest durch einen Mchtfaktor des Divisors di¬ vidirt werden, was, wie gesagt wurde, das g. g. Maß nicht ändert. Beispiele. 1) Man suche das g. g. Maß zwischen 1l34 und 3654. 41 g. g. Maß - 126. 2) Man suche das g. g. Maß zwischen 637 und 4277. 3) Es soll das 377 1 g. g. Maß zwischen 377 und 848 gesunden werden. 848 2 g. g. Maß —1; 94 377 und 848 sind also rela- 0 tive Primzahlen. 4) Zwischen 7774 nnd 3718 findet man das g. g. Maß 338. 5) Zwischen 27671 und 21708 ist 67 das g. g. Maß. 6) Zwischen 61778 und 35234 ist 158 das g. g. Maß. 7) Es soll das g. g. Maß zwischen 3^ — 25?—'3ul?Z-a,Z- 21)2 st-l> und a?— 1? gesucht werden. (3-r- — 2a? — 3rrb^ st- a -st 2 st- 6) : Ei? — b») 3 a, — 2 3 — 3n6^ _ — 2n2^ n st-21)2 st-6 -2n2 Z-2K2 -st _ -st a,-st 6 Nest (a.2 — 1)2) : (u -st st) — a. — 1>. Das gesuchte g. g. Maß ist also der letzte Divisor a, st- b. 8) Man suche das g. g. Maß zwischen 10x2-s-14x — 12 7x2 st-22x st-16. Damit die Division der beiden Ausdrücke in ganzen Zahlen verrichtet werden könne, mnltiplizirc man den ersten mit 7, welche Zahl kein Maß des zweiten Ausdruckes ist; man hat daun: (70x2 gtzx — . (7^2 -st 22x st- 16) --- 10 70x2 st- 220x -s- 160 - 122 x — 244 Rest, durch — 122 dividirt, x st- 2. (7x2 -st 22x st- 16) : (x Z- 2) -- 7x st- 8 7x- st- 14x -st 8 x -st 16 Das g. g. Maß ist also x -st 2. -st 8x st- 16 0 42 9) Das g. g. Maß zwischen 4x- — 16x-st-23x — 20 und 6x--7x-20 ist 2x - 5. 10) Das g. g. Maß zwischen 6> >1672 — 227 >40 und 97^ — 277-st-357 — 25 ist 37-° — 47 st- 5. Es soll das g. g. Maß gefunden werden: , 11) zwischen 50149 und 51119; 12) „ 3552 und 5143; 13) x^ — 49x — 120 und x-st-IOx st-25; 14) !„ 0? — st- 3 nl)2 — 31>2 und u? — 5nd st- 4 Ist- 15) „ 15x° st-10x^7 st-4x^7^ st-6x^7^ — 3x7^ - mud 12x^7^ st- 38x^7^ st- 16x7^ — 107^. §- 45. Das hier angewendete Verfahren, um das g. g. Maß zwischen zwei Zahlen zu finden, dient auch zur Auffindung des g. g. Maßes zwischen mehreren Zahlen. Ist das g. g. Maß zwischen den Zahlen n, b, 0 und <1 zu finden, so suche man zuerst das g. g. Maß zwischen n und b, dieses sei in; dann suche man das g. g. Maß zwischen in und 0, dieses sei n; endlich suche man das g. g. Maß zwischen n und ä, wel¬ ches x> heißen mag; x ist dann das g. g. Maß zwischen n, b, 0, ä. Man kann dieses durch folgende Zusammenstellung anschaulich machen: n 6 0 ä in n Nach der Voraussetzung enthält in alle gemeinschaftlichen Fak¬ toren von u und b; n enthält alle gemeinschaftlichen Faktoren von in und 0, also auch von n, b und o; p endlich enthält alle gemein¬ schaftlichen Faktoren von n und 6, folglich auch von n, d, 0 und ä; es ist also x wirklich das g. g. Maß zwischen u, b, 0 und cl. Beispiele. 1) Man 1554 222 suche das g. g. Maß zwischen 1554, 3552 und 5143. 3552 2 Zwischen 1554 und 3552 ist also 222 das 444 3 g. g. Maß. 02 222 5143 23 0 703 37 6 37 ist also das g. g. Maß zwischen 222 und 5143, folglich auch zwischen 1554, 3552 und 5143. " 2) Es soll das g. g. Maß zwischen 43 3x2 — 2x7 — 5/2, 2x2 7^2 und 2x2 2/- gefunden werden. L Als das g. g. Maß zwischen 3x^—2x/—5/^ mrd 2x--j-9x/Z-7/2, erhält man xZ-/> Zwischen x-fi/ nud 2x^—2/? ist ferner x-j-/ das g. g. Maß, welches daher zugleich das g. g. Maß zwischen den gegebenen drei Ausdrücken ist. s. Auffindung des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen mehrerer Zahlen. 46. 1. Um das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zwischen zwei o d e r m e h r e r e n Z a h l e n zu finden, zer¬ lege man sie in ihre Primfaktoren, und nehme aus diesen alle ver¬ schiedenen Faktoren, und zwar jeden so oft, als er in irgend einer Zahl am öftesten vorkommt. Das Produkt aus diesen Faktoren ist gewiß ein gemeinschaftliches Vielfaches der gegebenen Zahlen, weil es alle Faktoren einer jeden Zahl in sich enthält; es ist aber auch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, weil man keinen jener Fak¬ toren weglassen darf, ohne daß dieses Produkt aufhören würde, durch alle gegebenen Zahlen theilbar zu sein. Beispiele. 1) Man snche das k. g. Vielfache zwischen 320 und 480. 320 2.2.2.2.2.2.5, 480 --- 2.2.2 . 2.2.3 . 5, k. g. 'Vielfaches -----2.2.2. 2.2.2. 3.5^ 960. 2) Es soll das k. g. Vielfache zwischen 60, 108 und 1050 ge¬ sunden werden. 60 2.2.3 . 5, 108 2 . 2 . 3 . 3 . 3, 1050 — 2 . 3 . 5 . 5 . 7 k. g. Vielfaches ^-2.2. 3. 3. 3.5. 5. 7^- 18900. 3) Es ist das k. g. Vielfache zwischen 6ninn, lOnin^n und 5u?r? zu bestimmen. 6 g, m n —2.3.U.W.N, 10 n m? n — 2.5 . u. in . m . n, —5.a.u.n.n.n, k. g. Vielfaches — 2.3.5. u.n.inm.n.n.n — 30 a? m? v s. Es ist das k. g. Vielfache zu finden: 4) zwischen 300, 620; > <' 5) „ 120, 168, 192; 6) „ 48n^x/, 60ux?/, 72 ax 44 §. 47. 2. Auch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von zwei oder mehreren Zahlen kann ohne Zerlegung derselben in Fakto¬ ren ansgemittelt werden. Es seien erstlich zwei Zahlen n und b. Haben diese kein ge¬ meinschaftliches Maß, so ist ihr Produkt nlr selbst zugleich ihr k.'g. Vielfaches. Sind aber u und d nicht relative Primzahlen, so sei irr ihr g. g. Maß, und zwar n:m —p, b:rrr —g, wo ;r und ch kei¬ nen gemeinschaftlichen Faktor mehr enthalten können; man hat sofort u —INP, b —irrg. Jedes Vielfache von Ä muß also die Faktoren rn und p, jedes Vielfache von d muß die Faktoren irr und <1, und daher jedes gemeinschaftliche Vielfache von n und b die Faktoren >n, p und g enthalten; jenes Produkt nun, welches nur diese drei Faktoren enthält, wird gewiß das k. g. Vielfache zwischen n und lr sein. Diese k. g. Vielfache rrrpci läßt sich auch so darstellen: irr s> g — irr . g — :r sl): irr) — irr g; . p — 6 (a : m). Das k. g. Vielfache zweier Zahlen wird also ge¬ sunden, wenn man zuerst ihr g. g. Maß sucht, durch dieses dann eine von den beiden Zahlen dividirt, und mit dem Qnozienten die andere mnltiplizirt. Beispiele. 1) Man suche das k. g. Vielfache zwischen 648 und 972. 648,972 1 324 ist das g. g. Maß. 0!324 2 648 : 324 -- 2; 972 . 2 -- 1944 oder 972 : 324 --- 3; 648 . 3 1944, k. g. Vielfaches — 1944. 2) Man suche das k. g. Vielfache zwischen 880 und 901. Das g. g. Maß ist 8, daher 880:8 ^110; 904 . 110 ---99440 das k. g. Vielfache. 3) Es soll das k. g. Vielfache zwischen 9u?x? -— 4l)2^ 9s?x2 12ki?kx/3 Z- 4 6^^ gefunden werden. Das g. g. Maß zwischen diesen beiden Ausdrücken ist 3n?x—26^?. Man hat dann (9n?x2 — 12n2dx)-2 Z- 4 : s3n^x — 26^^) — 3n^x — 21>^ und s9^x^ —46^^) (3n^x — 26^2)^27n«x^ -k2n26-x^ — 18 bx^^^-j-das k. g. Vielfache. Man suche das k. g. Vielfache 4) zwischen 240 und 486; 5) „ 561 und 1530; 6) „ — 3x^-j-3x^ —und x-- 45 48. Ans der Betrachtung des oben gefundenen Ausdruckes mph folgt, daß das k. g. Vielfache der zwei Zahlen n und d deren g. g. Maß nur einmal, und zugleich die Quozienten enthält, welche aus der Division der beiden Zahlen durch ihr g. g. Maß hervorgehen. Ans demselben Grundsätze beruhet auch das Verfahren, um das k. g. Vielfache zwischen mehr als zwei Zahlen zu finden. Haben zwei oder mehrere unter den gegebenen Zahlen ein gemein¬ schaftliches Maß, so kann man, ohne das k. g. Vielfache zu ändern, anstatt dieser Zahlen ,ihr gemeinschaftliches Blaß nur einmal, und zugleich die Quozienteu setzen, welche aus der Division jener Zah¬ len durch 'das gemeinschaftliche Maß hervorgehen. Ist ferner eine der gegebenen Zahlen ein Maß von einer andern großer», so kann die kleinere Zahl, ohne das k. g. Vielfache zu ändern, ganz unbe- rücksichtiget gelassen werden. Für die Auffindung des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen mehrerer Zahlen kann demnach folgendes praktische Verfahren angewendet werden: 1. Man schreibe die gegebenen Zahlen in eine Reihe neben ein¬ ander, und lasse die kleinern Zahlen, welche in den größer» ohne Rest enthalten sind, weg. 2. Man untersuche, ob nicht zwei oder mehrere der übriggcblie- bcnen Zahlen ein gemeinschaftliches Maß haben. Ist dieses der Fall, so hebt man dieses Maß links heraus, und dividirt dadurch alle Zahlen, deren Maß es ist; die Quozieuten so wie die nicht theilbaren Zahlen setzt man in eine darunter befindliche Reihe neben einander. 3. Mit dieser neuen Reihe verfährt man eben so wie mit der ur¬ sprünglich ausgestellten, und wiederholt dieses Verfahren so lange, bis mau zuletzt eine Reihe erhält, in welcher lauter re¬ lative Primzahlen Vorkommen. 4. Mnltiplizirt man dann die in der letzten Reihe befindlichen relativen Primzahlen und die links herausgehobenen Maße mit einander, so ist das Produkt das gesuchte k. g. Vielfache der gegebenen Zahlen. Beispiele. 1) Es soll da-5 k. g. Vielfache der Zahlen 2, 3, 4, 18, 24, 32, 45, 80 gesucht werde». L, Z, 4, 18, 24, 32, 45, 80, 2 2 2 2 S, 12, 16, 45, 40, 6, 8, 45, 20, S, 4, 45, 10, 2, 45, S, k. g. Vielfaches ---2.45.2.2.2.2--1440. 46 2) Man suche das k. g. Vielfache von a, 2 a?, 3al)2, 12adm. 3) Es soll das k. g. Vielfache zwischen den Zahlen m, 2m?, 3n, 8mv, 12m(m —n) gesunden werden. — 24m^n (m — v). 2. Von den Brüchen. ?. 49. Ein Bruch ist eine Zahl, welche einen oder mehrere gleiche Theile der Einheit enthält. Ein Bruch entsteht also, wenn man die Einheit in mehrere gleiche Theile theilt, und von solchen Theilen einen oder mehrere nimmt. Zur Angabe eines Bruches sind zwei Zahlen erforderlich: die eine, welche anzeigt, in wie viele gleiche Theile die Einheit getheilt wurde, sie heißt der Nenner; und die andere, welche angibt, wie viele solcher Theile genommen werden, man nennt sie den Zähler. Beim Anschreiben setzt man den Nenner unter den Zähler, und zwischen beiden einen Strich. In dem Bruche (a dTheile) ist a der Zähler, l> der Nen¬ ner; der Bruch drückt also aus, daß die Einheit in l> gleiche Theile getheilt wurde, und daß man einen solchen Theil am al zu nehmen hat; bedeutet somit den l?'" Theil der Einheit amal ge¬ nommen. Man unterscheidet gemeine und Dezimalbrüche. De¬ zimalbrüche heißen diejenigen Brüche, deren Neuner eine Potenz von 10 ist, z. B. alle übrigen sind gemeine Brüche. 47 Gemeine Brüche. §. 50. Die gemeinen Brüche werden in echte nnd unechte Brüche eingetheilt. Ein echter Bruch ist derjenige, dessen Zähler kleiner ist als der Nenner; jeder andere Bruch, dessen Zähler entweder gleich dem Nenner oder größer als der Nenner ist, heißt ein un¬ echter Bruch. Ein echter Bruch ist kleiner als die Einheit, ein unechter dagegen ist der Einheit gleich oder größer als die Einheit. Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und einem Brnche zusammengesetzt ist, heißt eine gemischte Zahl; z. B. o-, ! I" I X Ein Bruch, dessen Nenner aus einer ganzen Zahl und einem Bruche bestehet, dessen Nenner wieder so beschaffen sein kann, heißt ein Kettenbruch. Von solchen Brüchen wird weiter unten be¬ sonders die Rede sein. k) Allgemeine Sätze. §. 51. 1. Jeder Bruch kann als ein «»gezeigter Quo- zient betrachtet werden, worin der Zähler als Divi¬ dend und der Nenner als Divisor vor kommt. Der Bruch bedeutet den Theil der Einheit »mal ge¬ nommen, oder mit n multiplizirt. Man erhält aber den d"" Theil der Einheit, wenn man die Einheit durch b dividirt; also ist — (1 : K) . L. Ein angezeigter Quozient 1: b wird nun mit a multiplizirt, wenn man den Dividend damit mnltiplizirt; folglich Durch deu hier erwiesenen Satz ist nun auch das Verfahren gerechtfertiget, nach welchem bei der Division, wenn zuletzt ein Rest übrig bleibt, welcher sich durch den Divisor nicht mehr dividiren läßt, dieser Rest als Zähler eines Bruches angenommen wird, des¬ sen Nenner der Divisor ist. Der Quozient ist in diesem Falle eine gemischte Zahl. 2. Ein Bruch mit seinem Neuner multiplizirt gibt den Zähler. Es ist . ü — (g,: l>) . K — a; 1 g. 48 §. 52. 3. Um aus einem unechten Bruche die Ganzen her¬ auszuziehen, darf man nur den Zähler durch den Nenner divi- diren. Z. B. 8 . 17 3M' Nin4-d b - I , -o §, -- o /---— ll, - - —. 8 5 m m 'ui 4. Jede ganze Zahl kann in einen Bruch, dessen Nenner gegeben ist, verwandelt werden, wenn man die ganze Zahl mit dem gegebenen Nenner multiplizirt, und dieses Pro¬ dukt als den Zähler des Bruches aunimmt. . am Es rst rr. " rr,: 1 — rr in : in —.—. m 5. Jede gemischte Zahl kann in einen B ru ch v er- waudelt werden, wenn man die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruches multiplizirt, und den Zähler dazu addirt oder davon snbtrahirt, je nachdem der Bruch positiv oder negativ ist; diese Zahl ist der Zähler, der Nenner wird uugeändert beibehalten. ES ist -r -st -st : 1. Wird hier Dividend und Di¬ visor mit n multiplizirt, so erhält man (nn-stm):n oder — n , m an -j- m folglich ist Eben so folgt: m sts ->u X sn —m n — — — in->:1 Ian — in): n —-. n v N/ I, Beispiele. n—1) n-j-b-i-n—b 2n 1 n 4-1> iststD iststD' 1 -st x^ X- -st I 4- X? 2 x^ 4- I 2) X -- -— - - 3) n —1 -st n'-t- I 4) na Z- n IN^ -j- n IN 4- n 5) x^ — 2x -st 2 - n' — I -st n' -b I 2 n 4— 1 n 4— t ' NI'-j- 2mn 4- N' —»I — n? 2», II mst-n in 4-n x'— Kx^-st» x' — 4x?4-6x'—.4 — x^4-6x^—5 x — 2 x — 2 2x^4- Kx — 9 Man 6) 7) X — 2 verwandle noch folgende gemischte Zahlen in Brüche- x -st -st . X — , a*- 21/ ri) l-st A,- -1)2-(.'2 Sbe 49 9) 2x-^1 4 x^ >— 3 x^ -s- S 4x?-s-4x-s- I. 10) a»-s-3^-P3-r4-1 — -h 4n^ -s- k le^ -s- 4u §. 53. 6. Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multi- plizirt, wenn man entweder den Zähler damit mul- tiplizirt und den Nenner nngeändert läßt, oder wenn man den Nenner dadurch dividirt und den Zähler nn¬ geändert läßt. Es ist -- X >n — sa : 0) X M — n m : 1) — odcr - X ur (n : i)) X "r — n : (b : m) — — d d : in Die zweite Art, einen Bruch init einer ganzen Zahl zu mul- tiplizireu, kann nur dann angewcndet werden, wenn der Nenner des Bruches durch die ganze Zahl theildar ist. Beispiele. ..3nd.^, I2n.de 1) - X 4o - IN IN 5) Z- X -r Xa Mau entwickle noch die Produkte: -P-'- Noinilc, Algebra. Ausl. 4 50 Wenn der Zähler eines Bruches ungeändert bleibt, der Nen¬ ner aber ohne Ende fort abnimmt, so muß der Werth des Bruches ins Unendliche fort wachsen. Wird also der Nenner unendlich klein, d. i. kleiner als jede noch so kleine angebbare Größe, folglich — 0, so muß der Bruch unendlich groß, d. i. größer als jede noch so große angebbare Größe sein; eine solche unendlich große Zahl bezeichnet man durch os. Es ist demnach K, — (X), 0 und umgekehrt ^o. 54. 7. Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl divi- dirt, wenn mau entweder den Zähler dadurch divi- dirt und den Nenner ungeändert läßt, oder wenn man bei nugeäudertem Zähler den Nenner mit jener Zahl multiplizirt. Es ist : IN — (n: b): IN — (n : in): l> — oder —: in — (o,: b): in — n: bin — d din Die erste Art, einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividiren, kann nur dann angcweudet werden, wenn der Zähler des Bruches durch die ganze Zahl theilbar ist. Beispiele. 1) I2üMX , 3m -: — 4ax ---— Lbe 5oe 2a 2a - t 6 INV —-—. 3mx 9m^ 5) il Z-^):2in^^:2in--!-. V m-s-n, m-t-n Man verrichte noch folgende Divisionen: 51 6) 7) /^-ml:(2x--a2). — x^ - 8) Z^^). §. 55. 8. Ein Bruch bleibt seinem Werthe nach unver¬ ändert, wenn man Zähler nnd^Nenner mit derselben Zahl mnltiplizirt, vdcr beide durch dieselbe Zahl di¬ vi d i r t. Es ist .1 , . ir m — — n,: b — am : bin — und — a : b — (a : in) - lb : in) — o I>: m Mit Hilse des ersten TbcileS dieses Satzes kann man jeden Bruch ohne Aeudernng seines Werthes auf einen neuen Nenner brin¬ gen, sobald dieser neue Nenner ein Vielfaches des frühem Neuners ist; man darf nur den neuen Nenner durch den alten dividiren, und mit dem Quozieuten den alten Zähler multipliziren; das Produkt 4 ist der neue Zähler. Eö soll z. B. der Bruch — auf den Neuner 40 gebracht werden; man hat 40:5 — 8; 4X8 — 32, also- — -. ' ' 5 40 Um auf den Nenner diu zu bringen, hat man k ri X "i um t> t> X m Um' Auf dieselbe Art können auch mehrere Brüche auf einen neuen gemeinschaftlichen Nenner gebracht werden, nur muß dieser ein gemeinschaftliches Vielfaches aller gegebenen Nenner sein. Gewöhnlich bringt man die Brüche auf den kleinsten gemein¬ schaftlichen Nenner; zu diesem Zwecke sucht man zuerst das k. g. Vielfache aller gegebenen Nenner, welches der neue k. g. Nenner ist; nm sodann den neuen Zähler eines jeden Bruches zu finden, dividirt man den neuen Nenner durch den alten, und mnltiplizirt mit dem Quozienten den alten Zähler. Beispiele. 1) Es sollen die Brüche —, —, —auf den k. g. Neu- ner gebracht werden. 4 52 auf den k. g. Nenner bringen. Das k. g. Vielfache der Nenner ist (-r -s- 1) (a st- 2) (a -I- 3) -- a? -st 6a2 st- 11 a st- 6. Man hat dann (a-st1)(-r^2)(ast-3) folglich L, — I 4 Ä6 a -j- I a- — -2 a^-j-2lb^>—-5a, — 6 ri-^-2 a? -s- 6a? -j- 1 1 a, -j- 6 a, — 3 a,o — 7 a — 6 a-j-3 Oa.^-,-'IIa-^6' Man bringe noch folgende Brüche ans den k, g, Nenner: 53 -.k II 1 4- <1^ I —r/ 1 — I 4- 2 II 4^ n2 ,, xg-I x"4-2x 3x x^— I ) x- l' 'x^^' x^I' xH^' Wird Zähler und Nenner eines Bruches nut — 1 multipli- zirt, so werden dadurch die Zeichen im Zähler und Nenner in die entgegengesetzten verwandelt. Ein Bruch wird demnach nicht geän¬ dert, wenn man im Zähler und Nenner die Zeichen in die entgegengesetzten verwandelt. Z. B.: X — x x — )- IN—-II N — IN n —b ' Die Formveränderung eines Brnches durch die Multiplikation von Zähler und Nenner dient auch dazu, um einem Bruche, dessen Zähler und Nenner selbst wieder gebrochene Zahlen sind, die Form eines gewöhnlichen Bruches zu geben; uran darf nur die zwei Bestand- theile des Bruches mit dem k. g. Vielfachen der beiden Neuner mul- ttpliziren. Z. B.: -—- -—- . (m -s- n) für — n) IN II IN—'N n (in-n) (ri '— d) (m n) ^77 x° —2x4- 1 X Mit Hilfe deö zweiten Thcils des obigen Satzes kann man einen Bruch, dessen Zähler und Neuner durch dieselbe Zahl theil- lmr sind, ab kürzen; man darf nur Zähler und Nenner durch ihr gemeinschaftliches Maß dividireu. Z. B.: 4nni 2nin I2ii,^kx^ 4nd 6bn 3dn' I5aexb 5 ex l>) R c ch n u n g s o p c r a z i o n e n mit gemeinen Brüchen. §. 56. Damit Brüche addirt werden können, müssen sic einen gemein¬ schaftlichen Nenner haben. Hat man — und - zu addiren, so hat NI IN man den rnten Theil der Einheit zuerst amal, dann dmal, also zu¬ sammen (n-s-b)mal zu nehmen; folglich !I . t> n-f-t> m III m h, l), Brnel/ e hpn gleichen Nennern werden addirt, wenn 54 man die Zähler addirt, und die Summe der Zähler zum Zähler annimmt, als Nenner aber den gemeinschaft¬ lichen Nenner b e ib e hält. Beispiele. g, 4-b » — b n 4-b 4-n—2n n n n n ' L-j-b-s-e n— b n— e n 3ni 3ni 3in ni' n b e Lllp binp^omn s II p-s-b m p -j- e lli n in n x innp ninx ninx innx in-s-n in — n 3in-i-3n 2in — 2n Sm-j-n kl,— I) (u,1>) (kl,1r)(kl, — 1)) (a— I)) 2kl,2-LI)? 0>> (kd-i-d) (a — d) a'- d- ' I I-s-n" 24-N4-N- 6) I-N-"' x> Man entwickle noch folgende Summen: 11) 34-4x- ^2-s-3x-' , Ln-j-Sb 3n — b n — 4b n—3b n-j-b n — b n 4- b n—>b ' 3x° —5nx x--^-ix 2x — 3n Sx-f-ü' 14) 4x — -s- Gx — -s- Gx — 47). 57. Beim Snbtrahiren der Brüche wird vorausgesetzt, daß diesel¬ ben, wenn sie nicht einen gemeinschaftlichen Nenner haben, aus einen solchen gebracht wurden. Ist nun von zu snbtrahiren, so 55 hat man rimal den Thcil der Einheit, weniger stmal den irr'" Theil der Einheit, also (n — lchmal den m"" Theil; folglich a b L — d mi» m ' d. h. Brüche von gleichen Nennern werden sul'trahirt, wenn man die Zähler subtrahirt, und unter den Rest als Zähler den gemeinschaftlichen Nenner schreibt. Beispiele. n st- b n — k <1 st- b — » st- b 2b 1) . -.-— —-— —, IN NI IN IN LI 6 de — de V (s bä äbä' bä ' L 2bx II 2bx — L 6) x -—> —--- — - , 2b 2b 2b 2b — I Ä?-h-2a — I — k? st- 2» —I 4»— 2 — 2list- 1 — 2 L st- I — 2»st-l' » st- b a — b 4üb ü — b a st- b — b^' 2x 3xst-I 4x —3 v) -st - X —1 X —2 X —3 Man verrichte noch folgende Subtraktionen: Ä^st-Süb — b^ a. — b !i^ st-4 üb st-4b^ a.st-2b' io ^-sxxst-x' 8x^ — 8x^st-2x^^ 4x-— 56 tz. 58. 1. Wie cin Bruch mit einer ganzen Zahl multipli- zirt wird, ist bereits angeführt worden'. 2. ES sei irgend eine Zahl mit einem Bruche — zu mul- tipliziren. 2 mit multipliziren heißt, aus 2 auf dieselbe Art ein Resultat bilden, wie aus der Einheit entstanden ist; -- ist aus der Einheit entstanden, indem man dieselbe in n gleiche Theile theilte, und einen solchen mmal setzte, oder was gleichviel ist, in¬ dem man die Einheit durch n dividirte und den Quozieuten mit in multiplizirte, nämlich (1: n) X m; man wird daher auch 2 durch n dividiren, und den Quozieuten mit in multipliziren; folglich 2 X n) X m. kl,) Bedeutet nun lS eine ganze Zahl u, so hat mau ..IN / . . . n nm s, X — — (n : n) X IN — — X m — — n NN d. h. Eine ganze Zahl wird mit einem Bruche multi- plizirt, wenn man sie mit dem Zähler multiplizirt und das Produkt durch den Nenner dividirt. ii>) Stellt X einen Bruch vor, so ist n . . m /N r n nm -7-X — — : nj X m 7—X -n — d n / on o" d. h. Ein Bruch wird einem Bruche multiplizirt, wenn man Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multipli¬ zirt, und das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner dividirt. Da n X — — — und — Xn — — , so rst auch nun II IN IN eben so rst wegen , X^-^ und - X^z^ auch Der für ganze Zahlen bewiesene Satz, daß zwei Faktoren in jeder Ordnung multiplizirt dasselbe Produkt geben, gilt also auch in dem Falle, chenn einer yder beide Faktoren Brüche sind, 57 3ll rrx nx 3a^x — 3 kdx e 3) 3- - 2nd 3nx 4) eil ein 5) — d' 6) 2d Li 7) 2a— 8I> 8) 9) 7 b 3cl 15 8 e 4 3 S 120 2 2px' Man 14) 15) 16) X — I 4 2ab 2 b' e / 8a — 3b 3 ax — Zs-^x — 3u6x -s- o 2 / a2 a-^-b b — a 3 a' 3 a^ 2 b 2 b' Ä- 3 e> IN - n NI -j- n NI 2 - n' / , , d 3, — d n -I- d Beispiele. 1) (u-2b-P3chX^^^^^ '4 5 / I7nd 4ne d^ I09de 2e^ v3 Ä 2d / 63, 2d I4e 2) (u-x)X 8^'^ 2hb' 3g^» 32gSx" ^«7' entwickle noch folgende Produkte: I2x' —3x .—--— . (5 x -t- 1): 25x -j- Ivx -j- 1 2a'— ax a'x'— ax' 3a 2b 6a'bx o'äii» ' a' — b' 2 3px^ 15xx' 3x' Zx^x^ Sgx^x 144 15 I' 4i>-x° ' l.34-^ s 2p^x° x^->-2x-i-4 x°-^8 x^ — 2x?-j-4 ' x° — 9 / 3x 2x a a* 3 a' ' 4b- 4b» IKI?' /2a , 3b 4c4 13) 20 a' — SOab — 35 b' 12a'-f-2Sab-^- I4b'' 5 N 4c sl^ö^' n, d 58 §. 59. 1. Das Verfahren für die Division eines BrncheS durch eine ganze Zahl ist bereits oben abgeleitet worden. 2. Es sei nun irgend eine Zahl 2 durch einen Bruch — zu dividiren, und der Qnozient werde einstweilen durch x ausgedrückt, also —x. Der Quozient muß mit dem Divisor multiplizirt wieder den Dividend geben, also ist x. — — Wenn man diese zwei gleichen Ausdrücke mit n multiplizirt, so müssen auch die Pro¬ dukte "gleich sein, folglich x . m — 2 . i>; und wenn man diese letz¬ ten Größen wieder durch m dividirt, so müssen eben so auch die Quozienten gleich sein, nämlich x —(^.ir):nr. Es ist also 2 : — — 2 X n : m. n g) Stellt A eine ganze Zahl rr vor, so ist u: — — ta X n) : m — u X —> II IN b) Bedeutet 2 einen Bruch so ist eben so Da nun — durch die Umkehrung des Divisors entsteht, so folgt: Eine Zabl (eine ganze Zabl oder ein Bruch) wird durch einen Bruch dividirt, wenn man dieselbe mit dem u m- gekehrten Bruche multiplizirt. Für die Division eines Bruches durch einen Bruck kann anch noch ein anderes Verfahren ausgestellt werden; es ist nämlich d. h. Ein Bruch wird durch einen Bruch dividirt, wenn man Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner, und dann den Quozienten der Zähler d nr ch den Q no¬ ži eilten der Stenn er dividirt. Die ses letztere Verfahren des Dividireus kann übrigens nur dann angewcudet werden, wenn Zähler und Nenner des DividcndS beziehungsweise durch Zähler und Nenner des Divisors theilbar sind, 59 Beispiele. 1) (a- — K-) » —d ia ^^-1, — sn, — i>) — i>) — n? — 2 al) -s- 2> Z^ll-^-3^^r-3^X — v X/ X X—/ X — / 2nd Sinn 2»b 7pq I4ndpc> 3cä 7 p <; 3eä Smn ISeäinn' 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) / 8 x° 27 , / 2 x^ 3 n 4 4 x' ! > 9 n^ 127/2 8 1)"/ 1,3/ 2b^/ 9/2 . 1)2 / ^ 4 b'' Man führe noch folgende Divisionen aus: l i _i_ i . sn — b n-s-v) ' »2,— 7 n« -j- k n" /-s- 12 n^ 8 n/2 , n" -p- 4 »2 4 n"/ — 27/' ' n —3/ ' s »2 2 s b 3n1> 1)2 1.1 bn2 Sn ,^I. l-4 n- d — b" Dn° — 4 L-VIsiH? j ' ^ 8^2 —i? 'l" 12Ü' — 3 ü' .j ' 1Ikn°.4n^v-.^gI)« 25e>">.l4^ 3 d' , L e° > s2Sw-^ Sinx i;- > 36x2/-s5m n «P )' 60 8. Dezimalbrüche. 60. Die Dezimalbrüche werden ans eine eigenthümliche Art ange- schrieben; man schreibt nämlich nnr den Zähler an, und schneidet in demselben von der Rechten gegen die Linke so viele Ziffern durch einen Punkt, den Dezimalpnnkt, ab, als der Pvtenzexponcnt 10 im Nenner Einheiten enthält, oder was gleichviel ist, als im Nenner Nullen vorkommen; sollten nicht genug Ziffern sein, um sie abschneidcn zu können, so werden die fehlenden links durch Nullen ersetzt. Z. B. 78317 — 78317 —, „x, IO- 1000 io 617, 5,483 ic>i 37 DD 5483 10000 ^0 5483, ibLiö-0-00037. Die Ziffern rechts nach dem Dezimalpnukte werden Dezi¬ malen genannt. Heißt überhaupt die Ziffernreihe des Zählers, so bedeutet einen Dezimalbrnch mit 2 Dezimalen io- " allgemein ^7- „ „ 3 O „ O M Um die Bedeutung der Ziffern eines Dezimalbruches zu er¬ mitteln, betrachten wir den Dezimalbruch welcher 4 Dezimale« enthält; die Zahl vor dem Dezimalpnukte heiße m, und die Dezi¬ malziffern in der Ordnung gegen die Rechte seien u, l>, 0, ä; so ist ' m . 10^ -ff ii . 10-> -ff l> . 10" -ff 0 . 10 -ff 6, daher . 10« -ff » . 10- -ff i> . 10- -ff e . 10 -ff a lö» 10 t — 111 u_ _ff -ff ° _ff Z!- Es bedeutet also die Zahl, welche links vor dem Dczimal- punkte steht, eine ganze Zahl; die erste Dezimale bedeutet Zehntel, die zweite Hundertel, die dritte Tansendtel, die vierte Zehntanscnd- tel u. s- w. - „ . 34781 34000 -ff 700 -ff 80 -ff 1 Z. B. 34'781 - —DM— — Z4 -ff -I- -ff -5- _ff _1_. 61 Daraus ergibt sich nun auch die Art und Weise, einen Dezi¬ malbruch zu lesen; man spricht nämlich zuerst die Ganzen vor dem Dezimalpunkte aus, und dann jede Dezimalstelle einzeln mit Hinzu¬ fügung ihres Nenners. Man kann den Nenner der einzelnen Dezi¬ malen beim Anssprcchcn auch wcglasscn, und nur alle Dezimalziffern 0 nicht ausgenommen, in der Ordnung nennen. Der "Werth eines Dezimalbruches wird nicht ge¬ ändert, wenn man ihm rechts beliebig viele Nullen anhängt. Es ist z. B. 23 230 2300 23000 100 1000 10000 100000 - ' - oder 0 23 -- 0-230 0 2300 0'23000 . -0 Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Dezimal¬ bruch. und umgekehrt. 61. Man kann jeden gemeinen Bruch in einen Dezimal¬ bruch verwandeln. Es ist nämlich s. u . IO" u . 10" : b g AD d . IO" ' 4Ö" 10'" ' wenn der Quozient rr . 10"' : 0 — h gesetzt wird. Jeder gemeine Bruch kann daher in einen Dezimalbruch verwandelt werden, wenn man den Zähler n mit irgend einer Potenz von 10 multipli- zirt, welches geschieht, wenn man zu n so viele Nullen hinznsetzt, als der Exponent dieser Potenz Einheiten enthält, und dann dieses Produkt durch den Nenner d dividirt; dieser Quozient ist dann der Zähler des gesuchten Dezimalbruches -^ll—, in welchem so viele Dezimalstellen Vorkommen, als dem Zähler u Nullen angehängt wur¬ den. Es ist übrigens nicht nothwendig, daß man zum Zähler u gleich die ganze Anzahl von Nullen hinznsetze; man kann dieselben auch nach und nach zu den einzelnen Divisionsresten hinznsügen. Beispiele. 1) 3p : 4 -- 0'75. 4 20 k, 2) 329 : 125 2-632, 790 400 250 62 Z) 12347 : 80 -- 154-3375. 434 347 270 300 600 400 Damit sich ein gemeiner Bruch in einen Dezimalbruch ganz genau verwandeln lasse, muß n, . 10" durch K theilbar sein. Sind nun -r und 6 relative Primzahlen, so ist dieses nur dann möglich, wenn 10" durch 6 theilbar ist, d. h. wenn d keinen von 2 und 5 verschiedenen Faktor enthält. In allen Fällen, wo der Nenner l> außer 2 und 5 noch an¬ dere Faktoren enthält, kann der gemeine Bruch durch keinen De¬ zimalbruch vollkommen genau dargcstellt werden. Es laßt sich je¬ doch immer ein Dezimalbruch angeben, weicher von dem gegebenen gemeinen um weniger verschieden ist, als jede noch so kleine gege¬ bene Größe. Denn, ist n . 10"dnrch 6 nicht theilbar, so muß der Quozient ist; wir erhalten daraus Z- - g- , und daher Da nun r < d, also < 1 ist, so muß auch < ^7- sein. Der Unterschied zwischen dem gemeinen Bruche und dem Dezimalbruche ist also kleiner, als ist in —3, so ist der Unterschied kleiner als -^—0001, für ni —6 ist der Unterschied kleiner als 0-000001, für in — 10 kleiner als 0 0000000001- Man steht also, daß, je größer in ge¬ nommen wird, der Dezimalbruch um so weniger von dem gemeinen verschieden sei, so wie, daß wenn in hinlänglich groß angenom¬ men wird, der Unterschied kleiner gemacht werden kann, als jede noch so kleine Größe. Bei praktischen Rechnungen, wo cs sich nur uni die Ausmitte- lnng einiger Dezimalen Handelt , entwickelt man den Dezimalbruch nur so weit, als es das Bedürfniß der Rechnung erfordert; ver¬ größert jedoch die letzte beibehaltene Dezimale um 1, wenn die 63 nächste darauf folgende Dezimale, die man schon vernachlässiget, 5 oder großer als 5 sein sollte. Z. B. 23 0 : 78 -- 0 29487 . . - 740 380 680 560 14 Da der Nenner 78 keine Zahl ist, in der bloß 2 und 5 als Faktoren verkämen, so wird die Division nie ohne Rest anfgehen und es läßt sich daher durch einen Dczimalbruch nie vollkommen genau, sondern nur näherungsweise bestimmen, und zwar ist der Fehler, den man begehet, wenn man bei der 3ten, 4tcn, 5ten Dezi¬ male stehen bleibt, beziehungsweise kleiner als 'rooooo ' Braucht man für irgend einen praktischen Zweck nur 4 Dezimalstel¬ len, so würde man — 0 2949 setzen, wo die letzte Dezimale um 1 vergrößert erscheint, weil die nächste vernachlässigte Dezimale 7 größer als 5 ist. §. 62. Wenn ein Bruch, der sich nicht genau durch einen Dezimal¬ bruch darstcllcn läßt, uäherungSweise in einen Dczimalbruch verwan¬ delt wird, so müssen bei der Entwicklung einige Dezimalzsffern in derselben Ordnung immer wiederkehren. Dieses folgt unmittelbar aus der Natur des Verfahrens. Der Rest muß nämlich bei der Di¬ vision immer kleiner sein, als der Divisor; man kann daher nur so viele verschiedene Reste erhalten, als es ganze Zahlen gibt, welche kleiner sind, als der Divisor. Es muß daher im allerungünstigsten Falle wenigstens unter so vielen Resten, als der Divisor Einheiten enthält, einer der vorigen Neste zum Vorschein kommen, woraus sich daun weiter die nämlichen Ziffern im Quozienten und dieselben Neste, wie vorher, ergeben müssen. Z. B. -^-^7 0:15 ^0-46666... b^-30:7 ^0-428571 428... ^15 7 100 20 100 60 100 40 1 50 10 30 20 60 4 64 Solche Dezimalbrüche, in denen sich eine bestimmte Anzahl von Ziffern in derselben Ordnung wiederholt, heißen periodische; die immer wiederkehrende Ziffernreihe nennt man die Periode, welche Ziffern enthalten, als in dem Nenner des verwandelten Bruches Einheiten Vorkommen. Man pflegt die Periode nur einmal anzuschrei- bcn, jedoch die erste und letzte Ziffer derselben mit darüber gesetzten Punkten zu bezeichnen; es ist also ^^ 046; ^ — 0'428571. 15 7 §. 63. Bei der Verwandlung von Dezimalbrüchen in ge¬ meine sind mehrere Fälle zu unterscheiden. 1. Wenn der Dezimalbrnch ein endlicher ist. Da braucht man den Dezimalbruch nur in Form eines gemei¬ nen Bruches auzuschreibeu, nud diese», weun es augchet, abzu¬ kürzen. B 0'75 75 3t'325 — ^3^ L265 — I2r>3 Z. rmo — 10g — 4 , — logg — L00 — 40 ' 2. Wenn der Dezimalbruch ein periodischer ist, worin der Periode keine andere Dezimale vorangehet. Drückt man die Ziffern der Periode durch 6 und ihre Anzahl durch n aus, so läßt sich der periodische Dezimalbruch durch die Formel d , I> , b > 1> > x ig» "n jo2» I0->" 10'» ' ' ' darstellen. Multiplizirt man diesen Ausdruck mit 10", so erhält man L Os- 10„ I" 10-,l -s 10»» ! ' ' ' Subtrahirt man den frühern Ausdruck von dem letztem, so folgt x . 10" — x — b, oder (10" — 1) . x — 6, und daraus b io» — r ' d. h. ein periodischer Dezimalbrnch, worin d erPcrio d e keine Dezimale vorangehet, ist gleich einem gemei¬ nen Bruche, dessen Zähler die Periode 6, und der Nen¬ ner 10"—1 eine Zahl ist, welche mit so vielen Nennern geschrieben wird, als die Periode Ziffern enthält. Z. B. 0'6 -- z -- 0-45 -- zZ - 2'301 -- 2 M; 15-351 - I5zzz I5z^. 65 3. Wenn der zu verwandelnde Dezimalbruch ein periodischer ist, worin der Periode noch andere Dezimalen v o r a n g e h e n. Es seien wieder l> die Ziffern der Periode, n ihre Anzahl, ferner n die der Periode vorangehenden Dezimalen, und m ihre Anzahl; so hat man für den Dezimalbruch den Ausdruck § b d_ b Io°> 10'°^° ' lO>°-<-^» ' Iv°'4-^° ' ' ' '' welcher zuerst mit 10"-^°, dann mit 10" multiplizirt, die Ausdrücke —n.10"-s- d -s----s--s-,., ' ' io° io^° i x.10" --rr -s- — 10° io"° IO^° gibt. Durch die Subtrakzion des zweiten von dem ersten erhält man sofort x. 10" — x . 10" a. 10" -s- h> — rr oder x. 10" (10° —1) ---(a.. 10"-s-b) —», und daraus - (u. 10° -s-b)—» (I0° — I) . IO»> ' Der Ausdruck n.10°-s-b bedeutet nun offenbar eine Zihl, welche aus den der Periode vorangehenden Dezimalziffcrn und auS der Periode zusammengesetzt ist; und der Nenner (10'— 1). 10" eine Zabl, welche mit so vielen Neunern, als die Periode Ziffern enthält, und mit so vielen rechts folgenden Nullen, als Dezimalen der Periode vorangehen, geschrieben wird. Man hat daher den Satz: Ein periodischer Dezimalbruch, worin der Pe» riode noch andere Dezimalen voran geh en, wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, wenn man die der P e r i o d e v o r a u g e h e n d e n D e z i m a l e n s a m m t d e r Pe- riode als ganze Zabl z n s a m m e n st e l l t, davon die der Periode vorangehenden Dezimalen, ebenfalls als ganze Zahl betrachtet, abzieht, nnd diese Difserenz zum Zähler, zum Nenner aber eine Zahl aunimmt, die mit so vielen Neunern, als die Periode Ziffern enthält, mit so vielen rechts folgenden Nullen, als Dezimalen der Periode vorangehen, geschrieben ist. Z. B. 0-37 37 — 3 34 17 00 — SO 45' 0215 215 — L 213 71 S30 990 330' 3-31708-- 3^^. --- 3MZz -- 3MZz. lbloömk, Algebra. 2. Ausl. 5 66 l>) Rschnungsoperazionen mit Dezimalbrüchen. 64. Um Dczimalbrüche zu addireu oder zu subtrahiren schreibt man sie so unter einander, daß die gleichnamigen Stellen, mithin auch die Dezimalpnnkte, genau unter einander zu stehen kom¬ men, und addirt oder subtrahirt sie sodann von der Rechten gegen die Linke, wie ganze Zahlen. Die fehlenden Dezimalstellen kann man sich durch Nullen ersetzt denken. Z. B. 35 312 215 3456 0-5678 91-45923 39-2 Rest 12388637 009456 Summe 75-17436. §. 65. Sind die beiden Dezimalbrüche und von denen der erste m, der zweite n Dezimalen enthält, und wo a und 4» die Zah¬ lenausdrücke der beiden.Dezimalbrüche nach Hinweglassung des De¬ zimalpunktes sind, mit einander zu multipliziren, so hat man » b ab Itö" ' IÖ» ' Da ob das Produkt der beiden Dezimaldrüche, als ganze Zahlen betrachtet, vorstellt, und der Nenner 10"4« anzeigt, daß man von jenem Produkte m -s- v, d. i. so viele Dezimalen, als ihrer in beiden Faktoren Vorkommen, abzuschneiden habe, so ergibt sich für das Multipliziren der Dezimalbrüche folgende Regel: Man multiplizire die gegebenen Faktoren, ohne Rücksicht auf die Dezimalpnnkte, wie ganze Zahlen, und schneide dann vom Produkte rechts so viele Dezi¬ malstellen ab, als ihrer in beiden Faktoren zusammen enthalten sind. Wenn das Produkt nicht so viele Ziffern hat, als abgeschnit¬ ten werden sollen, so ersetze mau die fehlenden Stellen links durch Nullen. Z. B. 4 305 X 2-74 1 3145 X 0 02071 —274 2071 16 220 '13145 3 0l 35 92 015 8 61 0 2629 0 11-78 570. 002722 3295. Da -10" -- '° folgt: 67 Ein Dezimalbruch wird mit einer Potenz von 10 multiplizirt, wenn man den Dezimalpunkt um so viele Stellen gegen die Rechte rückt, als der Multiplikator Nullen hat. Z. B' 3 141X10 ^31-41 3 141X100 ^314-1 3-141 X 1000 ^3141 3-141 X 10000^31410. Will man in dem Produkte nur eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen beibehalten, so kann man die daraus fol¬ gende» Ziffern schon während der Multiplikaziou weglassen. Man erreicht dieses am zweckmäßigsten durch folgendes Verfahren, dessen Nichtigkeit leicht zu ersehen ist: '1. Man schreibe die Einheiten des einen Faktors unter die sovielte Dezimalstelle des andern, als mau im Produkte Dezimalen haben will, und setze die übrigen Ziffern in umgekehrter Ordnung darneben, so daß dieser ganze Faktor umgekehrt erscheint. 2. Man fange die Entwicklung eines jeden abgekürzten Thcil- produktes mit je zwei über einander stehenden Ziffern an, nehme aber ans der ersten weggelasseueu Ziffer des Multiplikands die ent¬ sprechende Korrektur vor. Die einzelnen Theilprodukte sind dann in ihrer niedersten Stelle gleichnamig mit jener Stelle des Produktes, mit welcher abgebrochen werden soll, und werden daher als Addi- ziousposten unter einander geschrieben, 3. Man addirt die abgekürzten Theilprodukte, uud schneidet in der Summe die verlangte Anzahl Dezimalen ab. Um z. B. das Produkt 35'2156 X0'506 iu 3, und jenes 8 071245 X 21 0815 in 4 Dezimalen zu erhalten, würde man die abgekürzten Mnltiplikazionen so vornehmen: 35-2156 X 3'506 8 07 1245 X 210815 6 053 518 012 105 647 1614 249 17 608 80 712 211 6 457 123-466. 81 40 . 170 1539. 66. Beim D ivid ir en der Dezimalbrüche darf mau nur Dividend und Divisor mittelst augehängter Nullen mit gleich vielen Dezima¬ len darstellen, und dann mit Weglassung der Dezimalpnnkte die Division wie bei ganzen Zahlen verrichten. Denn es ist ad a : b , - — 9, : 0. 5* 68 Z. B. 16 25 : 1-25 -- 1625 : 125 13 3-1452 : 1-234 31452 : 12310 --- 2-54878... 0 284716 : 0 053 284716 : 53000 -- 5 372 0'37 : 5'8413 3700 : 58413 — 0 06334. . . Da - 10" ist, so folgt: Ein Dezimalbruch wird durch eine Potenz von 10 dividirt, wenn man den Dezimalpunkt um so viele Stellen weiter gegen die Linke rückt, als der Divisor Nullen enthält. Z. B. 712 63 : 10 -- 71 263, 712 63 : 100 -- 7 1263, 712 63 : 1000 0-71263, 712-63 : 10000 — 0 071263. Will man im Quozienten nur eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen beibehalten, so bedient man sich der abge¬ kürzten Division, welche darin bestehet, daß man, anstatt dem Reste eine Nulle anzuhängen, die letzte Ziffer rechts im Divisor wcgläßt, Z. B. 312-8156 : 8.5-.2.1.4.7 --- 3 67091 571715 6 0427 777 10 1 6. K e t t e n b r ü ch e. §. 67. Ein Bruch, dessen Nenner nebst der ganzen Zahl noch einen Bruch enthält, dessen Nenner, wenn er nicht der letzte ist, wieder dieselbe Beschaffenheit hac, wird ein zusammenhängender, kon- tinuirlicher, oder ein Kettenbruch genannt. Die allgemeine Form eines solchen Bruches ist wo n, d, v, 6, . . . was immer für ganze Zahlen vorstellen können. Die einzelnen Brüche . ., ans denen derKetten- bruck) bestehet, beißen Elie der desselben. Je nachdem der Ketten- brnch eine bestimmte Anzahl von " Ordern bat, oder inö Unendliche fortschreitet, heißt er ein endlicher oder ein unendlicher. 69 Besonders wichtig sind solche Kettenbrüche, deren Glieder sämmtlich 1 znm Zähler, und eine positive Zahl zum Nenner haben; ihre allgemeine Form ist i -i—— i d ^--IT- Nur von solchen Kettenbrüchen soll hier die Rede sein. s.) Verwandlung eines g e m e i n e n B r n ch c S i n e i n e n K e t t e n - bruch, und umgekehrt. §. 68. ES sei zunächst der echte Bruch in einen Ketten- bruch zu verwandeln. Damit man zum Zähler 1 erhalte, di- vidire inan Zahler und Nenner durch n ; inan bekommt kr _ a : u I d d : n t> : n' Da nach derVoranssetzung b> n ist, so setze man h>: L—c^i -s- , wo <1, den Qnozienten, und r, den Rest der Division bedeutet, so¬ mit ist. Man hat dann L i d — Verfährt man mit dem echten Bruche —auf dieselbe Art, wie früher mit , so erhält man r, I-, : r, I a tt : r, : r. , r» -7 wenn n : r, — c^2 -l—gesetzt wird. Es wird dann n. j -V- — - . I K 6- 'N Wird mit dem echten Bruche — wieder wie mit dem vorigen ' 1 verfahren, und so auch mst jedem sich noch weiter etwa ergebenden, so erhält man, wenn die folgenden Qmvzienten durch cz,, r^, . . . bezeichnet werden: b a. Z- Z- I 7« wodurch der gemeine Bruch durch einen Kettenbruch dargestellt erscheint. Zur Bestimmung der Nenner führte folgende Rechnung: b : n gibt H, zum Quozienten, o, zum Neste, n : u ,, H2 ,, ,, M ! Nz „ Hg ,, „ Ng „ ,, H' i's ^4 -/ ^4 ,> ,, U. s. W. Ans diesem Schema wird man sogleich ersehen, daß zur Be¬ stimmung der Nenner des für gesuchten Kettenbruches der näm¬ liche Rechnnngsgang eingehalten wird, wie bei der Auffindung des größten gemeinschaftlichen Maßes zwischen 8, und b. Um daher einen echten Bruch in einen Kettenbruch zu verwandeln, suche man zwischen Zähler und Nenner das größte gemeinschaftliche Maß, nnd nehme die hier¬ bei erhaltenen Quozienten als Nenner der auf einan¬ der folgenden Glieder des Kettenbrnches, deren Zähler immer i ist. Daß man bei dieser Operazion stets einen endlichen Ketten¬ brnch erhalten muß, geht ganz einfach aus dem Umstande hervor, daß n. nnd 1), wenn ans die kleinste Benennung gebracht ist, 1 zum größten gemeinschaftlichen Maße haben, daß man somit noth- wendig einmal ans einen Nest ------ 1 kommen muffe, mit welchem die Kette abbricht. Wäre in der obigen allgemeinen Entwicklung z. B. n« — 1, so hätte man den endlichen Kettenbrnch: a _ I i Soll ein unechter Bruch wo also n > b ist, durch einen Kettenbrnch dargestellt werden, so verwandle man ihn zuerst in eine gemischte Zahl, suche für den angehängten echten Bruch die entsprechenoe Kette, und setze dieser noch die erhaltene ganze Zahl voraus. Der Kettenbrnch hat in diesem Falle die Form Beispiele. 1) Es soll in einen Kettenbrnch verwandelt werden. Man hat folgende Rechnung: 71 151 : 69 ----- 2 mit dem Reste 13 oder 69 151 69 : 13 -- 5 „ „ „4 4 13 13: 4--3 „ „ „1 1 4 : 1 -- 4 r. 69 I d«her n 2 ----- 5 -- 3 — <13 4 — 14 2) Man verwandle in einen Kettenbruch. in einen Kettenbruch zu verwandeln, hat man 655 67 16 108 16 2 887 23 7 1 84 17 1 7 1 3 1 16 „ 108 I , also «87 8 -s- -7- 84 6S5 daher ^--4-s--^_I__i 8 - 4 1 2 3 2 »X „ 2704 3) Um i 2704 6S5 ..92 I 881 4 -j- " IS' §. 69. Wenn man umgekehrt aus dem Kettenbruche den zu¬ gehörigen gemeinen Bruch finden will, so darf man den¬ selben nur von den letzten Gliedern angefangen durch das Einrich¬ ten der gemischten Zahlen nach und nach auf eine immer kleinere Zahl von Gliedern reduziren, bis man auf den gesuchten Erzeu- gnngsbruch zurückkommt. So ist allgemein I I _ I _1 _ 1 de -I- 1 ai 1 u, i 1 a I_ o ako-!-L-j-o ^d^H ^be-s-I 72 Beispiele. _ I _ 128 - 1^8 - °b3' 2) 1 -i- . I ,---1-U- . I — 1 U- I 4 — 1 -I- . ,13 _43 30 30 ' Wir werden weiter nuten ein zweites Verfahren kennen ler¬ nen, um zu einem Ketteubruche den entsprechenden gemeinen Bruch zu finden. d) Näherungrbrüche und ihre Eigenschaften, §. 70. Ein gemeiner Bruch, welchen man erhält, wenn man bei ir¬ gend einem Gliebe der Kette stehen bleibt, und die daraus folgen¬ den Glieder vernachläßiget, wird ein Näherungsbruch genannt, und zwar der erste, zweite, dritte, ..., je nachdem man nur das erste, oder die ersten zwei, drei, ... Glieder in Anspruch nimmt. Bezeichner man für den Kettenbruch st— > --1, ^2 I 1 ____ ^2 4, "st^ 4,4--st 1 4,4--stlb' ^2 - daher 2? —<^, ^2 — lli ßst-st 2-^1 , 1 — — c,. i^^stl I — 4- 4- -st I 4-4- -st I 4,4-4» -st 4,-st 4- 4,424--st 4t-st 4- (4,4--st 4--st 4l 4- 4- -st I 2- n- -st 2 , " 4- -st ' daber 2g — 2ggg -st 2,, Xg — -st . Durch das Ncdukzivnsverfahren würde man eben so sinken: 2, __ 4-4-4>-st 4--st4» _ 4,4-4-4.-st 4,4--st 4,4<-st 4-4.-st l _(4 -4- -st :) 4, -st 4- 4, - st 2, (4,4-4--st4,-st4-)4,-st(4,4--st') rl°4<-std!,' daher 2^ — 2g -st 2g , ll» -st ^2- Ansiatt die Näherungsbrüche durch wirkliche Reduksionen. die sich immer verwickelter gestalten werden, ;u suchen, können wir ihre Bestimmung auf einem andern einfacher» Wege voruebmen, welcher uns zugleich die Ueberzeugung verschaffen wird, daß sich die in den 74 bisher entwickelten Näherungsbrüchen vorwaltende Gesetzmäßigkeit nach der Natur der Entwicklung auch in den später folgenden nicht verlieren könne. Betrachtet man, um z. B. zu bestimmen, die Theile des Kettenbruches, welche zu und gehören, so sieht man, daß sich der zu gehörige Theil von dem zu gehörigen nur dadurch un¬ terscheidet, daß dort st- - anstatt gz vorkommt; man wird da- ^4 her, um den Werth von zu erhalten, nur in dem Werthe von statt gz überall gg st-- zu setzen brauchen; man erhält dadurch wie oben. Um den Werth von zu erhalten, setzt man in dem Werthe von gi -s- - anstatt ; man bekommt dadurch 2, ^4 st- (q.cl, I) -ss 2,1, ____ (2- —!—, daher 4rst-x,' d Ferner ist — >—7—, daher 4- a- st- x- — , i < — , i , oder A --^—, daher > somit 4, 4- -i- x» 42-1- 42 -t- „ -Mst_ I i , oder ^->-7-. Ans dieselbe Art überzeugt man sich, daß ist. Es ist daher wirklich der erste, dritte, fünfte. ... Näberungs- bruch größer, der zweite, vierte, sechste, . . . dagegen kleiner als der gegebene Brnch. Der wahre Bruch liegt demnach immer zwi¬ schen zwei unmittelbar auf einander folgenden NäherungSbrüchcn. dem sie eine ungerade oder eine gerade Anzahl von Gliedern enthalten. Drückt man die nach dem ersten, zweiten, dritten, ... Gliede weggelaffenen Glieder durch x^, x^, x,, ... aus, so ist » . i — i , —s, i b 4i st" x, — 4, st- - , ' 4. st- I- -l-1 4- 4- -i- x, 4^ 7" -s- §. 73. 3. Wenn man von dem Produkte aus dem Zähler ei¬ nes Naberungsbruches und dem Nenner des fol¬ genden das Produkt aus dem Zähler dieses letz- tern und dem Nenner des entern abzieht, so ist der Unterschied st-1 oder — k, je nachdem der er¬ stere Nähernn gs b rn ch eine ungerade oder eine ge¬ rade Anzahl von Gliedern enthält. Es ist 77 Eben so findet man u. s. w. 4. Der Unterschied zwischen zwei unmittelbar aus einander folgenden Näberungsbrücken ist immer gleich rst: 4 dividirt durch das Produkt der Nenner. Man hat 2, 2, 2,Nz—2,n, -^-i ns ns ' nsns " n,ns' 2^ 2, 2,Nz — 2zN, —I ns ns nsns nsns' 2, 2,^2,N, —2,N, st-l Nz n, — N.N. "" n.n. ' u. ss f. 5. Der Unterschied zwischen dem Näherungsbruche und dem wahren ist stets kleiner als 1 dividirt durch das Quadrat des Nenners des Näherungs- bruches. Da der wahre Bruch immer zwischen zwei unmittelbar auf ein¬ ander folgenden Näherungsbrüchen liegt, so wird der Unterschied —gewiß kleiner sein als der Unterschied —somit 2, al ns — d" n.n," Aber wegen Nz>N, ist »nd^-<^ daher um so mehr 2, al ns ns' Eben so findet man 8 __— n s w b Nz n - ' n, v nz' b n. ^>n;' ' Da Ns < dij < dlFr-i-i, und daher <^s>Ur4-l sein. Damit also der Bruch zwischen den angeführten zwei Näherungsbrüchen liegen könne, muß der Nenner größer sein, als die Neuner der Näherungsbrüche. Auf ähnliche Art wird der Beweis geführt, wenn r eine ge¬ rade Zahl ist. Ans dem hier erwiesenen Satze folgt, daß jeder Näherungs¬ bruch so beschaffen ist, daß er unter allen gemeinen Brüchen, deren Nenner nicht größer sind, als der sei- uige, dem Werthe des Kettcnbruch eLZ am nächsten k 0 m m t. Diese Eigenschaft der Näherungsbrüche ist von großer prakti¬ scher Wichtigkeit. Will man nämlich das Verhältniß zweier großer Zahlen durch kleinere möglichst angenähert darstellen, so verwandelt man den Quozienten jener Zahlen in einen Ketteubrnch, und sucht die Näherungsbrüche; jeder derselben drückt das gesuchte Verhältniß genauer aus, als alle möglichen gemeinen Brüche, deren Nenner nicht größer sind, als der seinige; man ist überdieß auch im Stande, bei jedem Näherungsbruche den Grad der Näherung zu beurtheilen, tz. 76. 1) En Wiener Fuß ist — 0 316111 Meter; inan soll die Nähe- rungswerthe bestimmen. 80 ES ist 0'316111-^-5-^-^ Näherungsbrüche: 3, 6, 8, 2, 5, 1 6 43 104 563 1' ID' Us' 829' 1800' 2, 1, 1 ... 1242 1811 3053 3929' 5723 ' 9658' ' ' ' Man hat also folgende Näherungsverhältnisse: u. s. w. 2) 1 Wiener Metzen --- 1-9471 Wiener Kubikfnß. Um die Näherungswerthe zu finden, hat man 1-9471 --- ^1. — i _i_ 1 . i -°°°° '^>4--,^.- , 1, 17, 1, 9, 2, 1, 2, 6; 2 35 37 368 773 1141 3055 IS471. 1 ' 18' 13' I8S' 337' 586 ' 1563' lOOov> 3) Ein Wiener Pfund bat 0'56 UN 199 Kilogramm. Welches sind die fünf ersten Nahernngswertbe dieses Verhältnisses, und wie genau ist der fünfte Nähernugswerth? 4) Der Wiener Eimer bat 1 792 Kubikfnß. Welches ist das Ver- hältniß dieser Körpermasse auf o-noi genau? 5) Nach dem österreichischen Münzsysteme' verbälk sich der Werth des Silbers zu jenem des Goldes wie 1 : I528i3. Welche Näherungswerthe hat dieses Verhältniß? 81 3. Von den Verhältnissen. 77. In dem Vorhergehenden sind die angezeigten Qnozienten als Brüche betrachtet worden. Man kann aber einen angezeigten Quo- zienten auch noch von einer andern Seite auffassen, nämlrch als die Vergleichung zweier gleichartiger Zahlen, um zu ersehe«, wie oft die eine in der andern enthalten ist. Eine solche Vergleichung zweier Zahlen wird ein Verhält«iß genannt; der Dividend heißt das Vorderglied, der Divisor das Hinterglied, der wirkliche Quo- zieut zwischen beiden der Exponent des Verhältnisses. Der an¬ gezeigte Quozient 8 : 2 als Verhältnis; betrachtet, wird gelesen: 8 verhält sich zu 2, oder kürzer: 8 zu 2; 8 ist das Vorderglied, 2 das Hinterglied, der Exponent ist 4, weil 8 : 2 — 4 ist. " Die Große eines Verhältnisses hängt von dem Exponenten ab; so lange dieser unverändert bleibt, ändert sich auch das Ver- hältniß nicht. Zwei Verhältnisse, welche denselben Exponenten ha¬ ben, sind daher einander gleich. So sind 8 : 4 und 10 : 5 gleiche Verhältnisse, weil sie denselben Exponenten 2 haben; eben so die Verhältnisse n m : n und d in : h, welchen beiden der Exponent in znkommt. §- 78. Weil jedes Verhältnis als eine angezeigte Division anzusehen ist, so gelten alle Sätze, welche in Bezug auf den Dividend, Divi¬ sor und Qnozienten bewiesen wurden, auch in Beziehung auf das Vorderglied, Hinterglied und den Exponenten des Verhältnisses. Daraus ergeben sich für die Verhältnisse insbesondere folgende Sätze: 1. In jedem Verhältnisse ist das Vorderglied gleich dem Hintergliede multiplizirt mit dem Expo¬ nent e n. Wenn g, : b — <4, so ist n — h — o : ki — CAM : <1Irn, deren Richtigkeit eben zu beweisen war. 7. Wenn man die glcichvielten Glieder zweier Pro¬ portionen durch einander dividirt, so bilden die Quozienten wieder eine Proporzion. Es sei rr: l) — o : 6, daher 3,(1 —1)6, und e:k — x:ll, „ olr — Durch die Division erhält man Zerlegt man diese gleichen Größen in Faktoren, so hat man , woraus die Proporzion ad e ä e ' k 8 ' k folgt. 85. 8. In jeder Proporzion verhält sich die Summe der Vorder g lieber zur Summe der Hinterglie¬ der, so wie sich jedes Vorderglied zu seinem Hin¬ ter g liebe verhält. ES sei die Proportion a:b —a:ck. Ist nun n:b —q, so muß auch o:6 —ci sei»; daraus folgt a —lxj, o —uud durch die Addiziou «.-j-« — bc^-s-ckcj, oder weuu man rz als Faktor heraushebt, ri, -s- o------(b ss-ä). ^. Dividirt mau jede dieser zwei gleichen Größen durch b -j- uud o: 6 denselben Exponenten q haben, so sind alle diese Verhältnisse gleich; folglich (n -s- o): (b -si (i) ----- 3: i) — o: ck. Ans dieselbe Art kann man auch beweisen: Wenn mehr als zwei Verhältnisse einander gleich sind, z. B. <-r:b—e:ci — e:k—— ... so muß auch (a, -j- o -j- —c:cl, und —H, so muß auch o:ä —cj sein. Daraus folgt a — l> g, b — äg, Durch Subtrakzion u — v — bcj —Uq, oder u — o — sb— 6). daher auch (g,— o) : (l> — äj — — Z) — g,: 6 o : U. §. 86. 10. In jeder Proporzion verhält sich die Summe der Glieder des ersten Verhältnisses zur Summe der Glieder des zweiten Verhältnisses, wie sich die Vorderglieder zu eiuander, oder wie sich die Hin ter g lieber zu einander verhalten. Es sei n : d — o: - (l. 11. In jeder Proporzion verhält sich der Unter¬ schied der Glieder des ersten Verhältnisses zum Unterschiede der Glieder des zweiten Verhält¬ nisses, wie s i ch d i e V v r d e r g l i e d e r zu einander, oder wie sich die Hinterglieder zu einander ver¬ halten. Es sei u:d —o:ä. Durch Verwechslung der inner» Glieder erhält man -r:o —d:<1, und daraus nach dem vorletzten Satze (u — 6)! so — 6) — « — 1): : (o — 6), und nach Verwechslung der inuern Glieder sn ff- b) : su, — b) — (e ff- 6) : (o — ä). 5. Die einfache Regeldetri. 87. Wenn zwei Arten von Zahlen in geradem oder verkehrtem Verhältnisse stehen, und wenn zwei Zahlen der einen Art gegeben sind, von den beiden zugehörigen Zahlen der andern Art aber nur die eine bekannt ist, so kann die andere unbekannte Zahl dieser zweiten Art durch Aufstellung und Auflösung einer Proporzivn ge¬ funden werden. Das Nechnungsverfahren, welches dabei angewen¬ det wird, heißt die einfache Regeldetri. Die einfache Regeldetri beruhet ans folgenden zwei Sätzen: 1. Wenn zwei Arten von Zahlen gerade propor- zi o nirt sind, so ist d a s V e rh ältn iß zw i s ch e n j e zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhält¬ nisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art, in derselben Ordnung genommen. Es seien und u zwei Zahlen einer Art, L und b die zuge¬ hörigen Zahlen einer zweiten Art, und zwar seien diese beiden Ar¬ ten von Zahlen gerade proporzionirt. Ist nun L. —mu, so muß nach dem Begriffe der geraden Proporzionalität auch II —mb sein. Man hat daher ^:n^m, und L:b —m, und somit : n L : b. 2. Wenn zwei Arten von Zahlen verkehrt propor¬ zionirt sind, so ist d a s'V e r h ä l t n i ß zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhält¬ nisse zwischen d e n zw e i zugehörigen Zahlen der andern Art, in umgekehrter Ordnung genommen. Es seien und n zwei Zahlen der einen Art, ff) und b die beiden zugehörigen Zahlen der andern Art, und diese zwei Arten von Zahlen verkehrt proporzionirt. Ist nun —mu, so muß L —— oder b —mL sein. Man hat daher —m, und b:k —m; folglich n b - L. Bei der einfachen Regeldetri ist daher Folgendes zu beobachten: 90 Man beurtheile, ob die beiden Arten von Zahlen gerade oder verkehrt proporzionirt sind; und setze das Verhältniß von zwei Zah¬ len der einen Art gleich dem Verhältnisse der beiden Zahlen der andern Art, in der nämlichen Ordnung genommen, wenn beide Ar¬ ten gerade, und in umgekehrter, weun sie verkehrt proporzionirt sind. Diese Proporzion wird aufgelösct. Es ist an sich gleichgiltig, in welches Glied der Proporzion die unbekannte Zahl x zu stehen kommt; am zweckmäßigsten erscheint es, dieselbe in das erste Glied zu setzen. Beispiele. so 1) 7 Ellen Tuch kosten 40 fl., was kosten 42 Ellen von dem¬ selben Tuche? Da 2, 3, 4mal so viel Ellen auch 2, 3, 4mal so viel Gulden kosten, so sind hier die beiden Arten von Zahlen gerade proporzio¬ nirt; daher hat man folgende Rechnung: 7 Ellen 30 fl. x i 30 42 : 7 42 „ x „ also x — 180 fl. 2) 100 Kapital geben jährlich 6 fl. Interesse; wie viel Interesse gcbxn 3050 fl. Kapital? 100 fl. Kap. 6 fl. Int. x : 6 ----- 3050 : 100 3050 „ „ x „ „ x — 183 fl. Int. 3) 16 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; wie viele Ar¬ beiter wird man aufnehmen müssen, damit sie dieselbe Arbeit in 4 Tagen zu Stande bringen? 2, 3, 4mal so viel Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit nur den 2ten, 3ten, 4ten Theil der Zeit; die beiden Arten von Zahlen sind also hier verkehrt proporzionirt, und man hat 16 Arb. 6 Tage x : 16 ----- 6:4 x „ 4 „ x — 24 Arbeiter. 4) Wenn der Meßen Roggen u Groschen kostet, wiegt ein Gro- schenlaib 6 Loth, wie viel muß ein Groschenlaib wiegen, wenn der Metzen Roggen den Preis von « Groschen hat? rr Grosch. 6 Loth x : l> — n : , o, wo die mit gleichlautenden Buchstaben bezeichneten Zahlen zu dersel¬ ben Art gehören, und es seien die Zahlen der ersten Art mit den Zahlen der zweiten Art gerade, mit den Zahlen der dritten Art aber verkehrt proporzionirt. Heißt nun « eine Zahl der ersten Art, welche zu den Zahlen b, 0 gehört, so hat mau folgende Reihen zusammen¬ gehöriger Zahlen: L, 0; «, l>, 0; n, 1), o. Betrachtet man die zwei ersten Reihen, so sieht mau, daß die Zahl « aus entstanden ist, indem man Z in l> geändert hat; da unn die Zahlen der ersten und zweiten Art gerade proporzionirt sind, so hat man L : b. Betrachtet man eben so die zweite und dritte Reihe, so be¬ merkt man, daß n aus « hcrvorgehet, wenn sich 0 in o ändert; da nun die Zahlen der ersten Art mit denen der dritten Art in ver¬ kehrtem Verhältnisse stehen, so hat man « : n — o: 0. Durch Multiplikazion dieser beiden Prvporzionen ergibt sich : n « — L 6 : l> 0, oder :n — Lo : l>0, in welcher Proporzion der oben ausgestellte Satz enthalten ist. Man pflegt diese letztere Proporzion wegen der leichtern Ueber- sicht auch so zu schreiben: : n — L : 1) o : 0. wo inan sich denken muß, daß die unter einander stehenden Zahlen zu multipliziren sind. 90. Bei der zusammengesetzten Negeldetri verfährt man daher ans folgend e Art: Man setze die unbekannte und die damit gleichnamige Zahl jn das erste Verhältniß. Das zweite Verhältniß der Proporzion ist 93 ein zusammengesetztes, dessen einfache Verhältnisse gefunden werden, wenn man die Art, zn welcher x gehört, mit jeder andern Art ver¬ gleicht, nm zn sehen, ob die beiden Arten gerade oder verkehrt pro- porzionirt sind, und bann die beiden zn x und der damit gleichna¬ migen Zahl dazu gehörigen Zahlen einer jeden Art in derselben oder in umgekehrter Ordnung zu einem Verhältnisse aufstcllt, je nachdem diese Art mit der Art von x gerade oder verkehrt proporzionirt ist. Die Proporzion wird sodann ansgelöset. Beispiele. 1) Wenn 20 Arbeiter, welche täglich 12 Stunden arbeiten, in 5 Wochen einen Damm von 375 Fuß Länge zu Stande bringen; in wie viel Wochen werden 12 Arbeiter, welche täglich 10 Stunden arbeiten, einen eben solchen Damm von 600 Fuß Länge vollenden? 20 Arb. 12 Stund, täglich 5 Woch. 375 Fuß Länge 12 „ 10 „ „ x „ 600 „ „ x : 5 — 20 : 12 12 : 10 600 : 375 x : 1 16 : 1 x — 16 Wochen. 2) 100 fl. Kapital geben in 1 Jahre 5h fl. Interessen; wie lange muß ein Kapital von 3860 fl. anliegen, damit es 743^ fl. Interessen abwirft? 100 fl. Kap. 1 Jahr 51- fl. Int. 3860 „ „ x „ 743^- „ „ X : 1 100 : 3860 743^ : 5 z x : 1 7:2 x — 3H Jahr. 3) Wie viel Stunden des Tages müssen 14 Arbeiter arbeiten, wenn sie in 8 Wochen, zu 5 Tagen wöchentlich, dieselbe Arbeit lie¬ fern wollen, wie sie von 16 Arbeitern in 7 Wochen, die Woche zn 6 Tagen und den Tag zn 11 Stunden, geliefert wird? x Stund, tägl. 14 Arb. 8 Woch. 5 Tag wöch. 11 „ „ 16 „ 7 „ 6 „ x : 11 — 16 : 14 7 : 8 6 : 5 x : 11 — 6 : 5 — 13h Stunden täglich. 91 4) Von zwei Rädern, welche in einander greifen, hat das eine n, das andere k Zähne; wenn nun das erste Rad in s Mi¬ nuten irr Umläufe macht, wie viclmal dreht sich das zweite Rad in t Minuten um? 5) 12 Zentner werden 10 Meilen weit um 6z fl. geführt; n) wie weit werden 24ff Zentner um 30 z fl. geführt; d) wie viel Zentner wird der Fuhrmann um 13z fl. 18s Meilen weit führen; o) wie viel Fracht wird man zahlen müssen, damit 37 Ztr. 25^ Meilen weit geführt werden? 91. Heißt X das Kapital, welches zu k Prozent in 2 Jahren .1 Interessen bringt, so hat man zur Bestimmung einer dieser Gro¬ ßen, z. B. .1, ans den übrigen folgende znsammengesetzteRegeldetri: 100 fl. Kap. in 1 Jahre k fl. Int „ in 2 „ ss L : 100 2 :1 also ss:k^L2:100 und lOOss^Lkö. Werden diese letzten zwei gleichen Ausdrücke zuerst durch 100, dann durch k2, ferner durch L2, endlich durch Hk dividirt, so erhält mau beziehungsweise ivoa _ivoa ivoa — 1'2' " strk"' welche Formeln, in die gewöhnliche Wortsprache übertragen, die Sätze für die Lösung der Aufgaben über die einfache Zinsrechnung enthalten. Beispiele. 1) Wie viel Interessen geben 3701 fl. zu 4 Pf, in 3 Jahren? 2) Wie viel ZinS geben n) 1287 fl., b) 3745z fl., o) 8391 fl. 34 kr. zu 5z Pf, in «) 2 Jahren, D) 3z Jahren, )-) 2 Jah¬ ren 4 Monaten 18 Tagen? 3) Wie viel Zins tragen I< fl. Kapital in k Tagen zu 6 °/f,? 4) In welcher Zeit geben 5844 fl. Kapital, zn 4z Pf, angelegt, 886z fl. Interesse? 5) Wie groß muß das Kapital sein, welches zu 5tz Pf in 2si^ Jahren 950H- fl. Zins trägt? 6) Zn wie viel Pf, müssen 1424 fl. angelegt werden, damit sie in 3z Jahren 237z fl. Interessen geben'? 95 7. Die Theilregel. ?. 92. Wenn eine gegebene Zahl in mehrere Theile so getheilt wer¬ den soll, daß diese Theile ein bestimmtes Verhältniß zu einander haben, so geschieht dieses durch die Theilregel oder Gesell¬ schaftsrechnung. Die Zahlen, durch welche jenes Verhältniß ausgedrückt wird, heißen Verhältnißzahlen. Ist nur eine Reihe von Verhältnißzahlen gegeben, so wird die einfache, find mehrere Reihen von Verhältnißzahlen gegeben, so wird die zusammengesetzte Theilregel angewendet. Es seien bei der einfachen Theilregel s die zu verthei- lendc Zahl, o, b, o nud ä die Verhältnißzahlen. Nennt man die noch unbekannten Theile u, x, nnd 2, so muß u:x —n:d, X : y ----- : c:, : 7. — 0 : ck sein, was man oft kürzer so anzeigt u:x:^:2 — n:l>:o:6. Verwechselt man in den vorangehenden Proportionen die innern Glieder, so hat man u:n —x:l>, also woraus ju Z- X Z- -j- 2) : (n Z- b Z- 0 -j- Z) ----- n : n x:d i: o 2 : st. Da nun u-f-x-I-^-f-L^s sein muß, so erhält man aus dem letzten Ausdrucks ö 8 -j- d -j- v ä ' k-j-v-t-e-tz-a'Or a -si v -j- e -j- N * Daraus ergibt sich für die einfache Theilregel folgen¬ des Verfahren: Man dividire die zu vertheilende Zahl durch die Summe aller Verhältnißzahlen und mnltiplizire den Quozienten mit jeder Verhält- nißzahl; die Produkte sind die gesuchten Theile. Wenn die Verhältnißzahlen Brüche enthalten, so werden sie zuerst in ganzen Zahlen dargestellt, indem man sie mit dem klein¬ sten gemeinschaftlichen Vielfachen aller Nenner multiplizirt. Haben alle Verhältnißzahlen ein gemeinschaftliches Maß, so werden sie da¬ durch abgekürzt. 96 Beispiele. X 1. ES sollen 2155 fl. unter drei Personen nach dem Verhält¬ nisse der Zahlen 5, 3, 2 vertheilt werden. 5 215z X 5 ----- 1077z 3 215 z X 3 ----- 646z 2 215 z X 2 ----- 431 2155 : 10 ----- 215z '2155' 2) Packfong besteht aus 53z Theilen Kupfer, 29 Theilen Zink und 17z Theilen Nickel. Wie viel von jedem dieser drei Bestand- tbeile braucht mau, um 28 Pfund Packfong zu erhalten. 53z 107 0'14 X 107 ----- 14-98 L/. Kupfer, 29 58 0-14 X 58 --- 8'12 „ Zink, 17z 35 0'14 X 35 ----- 4-9 „ Nickel. 28 : 200 ----- 0'14 28' 3) Vier Gemeinden, von denen L. 738 fl. 25 kr., 6 815 fl., 0 513 fl. 39 kr., O 618 fl. 50 kr Stenern zahlt, sollen nach Ver- hältniß der Steuer zu einer Schulbanlichkeit, deren Kosten sich auf 924 fl. 18 kr. belaufen, beitragen. Welcher Beitrag entfällt auf jede Gemeinde? 738 fl. 25 kr. ---- 738'417 fl. L 815 „ — „ --^ 815 0 513 „ 39 „ ---- 513 65 „ O 618 „ 50 „ ----- 618'833 „ 924'3 : 2685'9 ---- 0'344127. zahlt 0'344127 X 738'417 ----- 254'109 — 254 fl. 7 kr. L „ 0'344127 X 815 ---- 280'464 ----- 280 „ 28 „ 0 „ 0 344127 X 513'65 --- 176'761^--- 176 „ 46 „ v „ 0-344127 X 618 833 ----- 212'956 -- 212 „ 57 „ 924 fl. 18 kr. >, 4) Zu einem Unternehmen gibt 3100 fl., 13 3500 fl., 0 4200 fl. her. Wenn nun dabei 324 fl. gewonnen werden, wie viel kommt ans jeden? 5) Es soll die Zahl 3710 in 4 Theile getheilt werden, welche sich zu einander verhalten, wie die Brüche z, -Z, 4. §. 93. Die zusammengesetzte Theilregel läßt sich auf die einfache zurnckführen. Es sei eine Zahl s mit Bezugnahme auf mehrere Umstände in drei Theile zu theilen, die sich in einer Beziehung wie u : 1>: o, in einer zweiten Beziehung wie 1 — 1; man muß daher b einmal als Faktor und 3mal als Divisor setzen, also u : a) : nj : n -- sl : : u 1 : n' Allgemein sei n,-"' . u zur Potenz —in erheben, heißt aus 3 — 2s3 — 3»^, 3) 2 8» -P 7n» — 9u» --- 0, 4) 8 x'" — l) x'" -j- o x'" — (-8 — b -j- o) x°". 2. Multipliziren der Potenzgrößen. tz. 98. Beim Multipliziren von Potenzgrößen gilt im Allgemeinen dasselbe, wie für das Multipliziren algebraischer Größen überhaupt; sie werden nämlich ohne Zeichen neben einander gesetzt, z. B. 3u"x» . 2 b»— 68^b»x»^^ 5 u 1)2 m» . — 4o»r>4 — — 20 8 b? o» m» nb Eine Abkürzung im Verfahren kann nur dann Statt haben, wenn entweder gleiche Wurzeln oder gleiche Exponenten Vorkommen. Wenn die Wurzeln gleich sind, so verfährt mau nach dem bereits bei der Multiplikazion erwiesenen Satze: Potenzgrößen derselben Wurzel werden mnltipli- zirt, wenn man die gemeinschaftliche Wurzel beibe¬ hält, und ihr die Summe der Exponenten in den Fak¬ toren zum Exponenten gibt. Beispiele über diesen Satz findet man bei der Lehre vom Multipliziren algebraischer Größen. L) Wenn die Exponenten gleich sind. Es sei 8'" mit kN" zu multipliziren. Weil kv» — g, .8 .8 .n .... m mal kn» — b . k> . b . k> .... in mal so ist 8?". kN" — 8 k>. 8 k). 8 k>. 8k> . . . . III mal oder g,"'.kN" — i>k>)>", d. h. Potenzgrößen desselben Exponenten werden mul- tiplizirt, wenn man das Produkt der Wurzeln zu der gemeinschaftlichen Potenz erhebt. Kehrt man den letzten Ausdruck um, so hat man (8 k))"' — 8"' . k>"', d. h. Ein Produkt wird zu einer Potenz erhoben, wenn man jeden Faktor zu dieser Potenz erhebt, und diese Potenzen mit einander multiplizirt. 103 Beispiele. 1) a- . k- --- (ab)-, 2) 10» . 5- 50», 3) 8» . b» . «» — (ad o)^, 4) (8-s-b)» (8 —d)» — (8» — 1)2)», 5) (x^)r — x^^^, 6) (—3a)t 81 8^, 7) (ub o 0)" 8" d" o" 0", 8) (2ux)» — 32 8» x^, 9) (—4 ab)» . (3»)» — 16^1)2 . 27a» --- 432 8» d». 3. Dividiren der Pvtenzgröß en. §. 99. Auch beim Dividiren der Potcnzgrößcn wird im Allgemeinen dasselbe Verfahren angewendet, welches für das Dividiren algebrai¬ scher Größen überhaupt ausgestellt wurde. Z. B. 24 n» Iv» x : — 3a»x — — 8 5^ 35 8» b : 7 n- o . e Eine 2lbkürznng im Verfahren kann nur dann vvrgenommen werden, wenn entweder die Wurzeln oder die Exponenten gleich sind. n) Wenn die Wurzeln gleich sind. algebraischer Größen bewiesen kl," — 8"'-", 8° -- d. h. Potenzgrößcn derselben Wurzel werden dividirt, wenn man die gemeinschaftliche Wurzel zu einer Potenz erhebt, deren Exponent gleich ist dem Exponenten des Dividends weniger dem Exponenten des Divisors. Es ist bereits bei der Division 104 Diese Regel güt auch, wenn m — u ist; denn für diesen Fall hat man n" : n" — 1, aber es ist auch — n°—1, also ist auch unter dieser Voraussetzung u-: a" — u."-". Beispiele über diesen Satz sind bei der Lehre vom Dividiren algebraischer Großen angeführt worden. b) Wenn die Exponenten gleich sind. Man dividire n"' durch l>"*. Es ist n" — n.n.n.n .... inmal f)"' — b . , ti .... ilnnal . . L k a k daher -7— — 7-.-.-.- .... inmal, b b d d ' . /Um oder — — I-t , b"- XU/' d. h. Potenz grüßen desselben Exponenten werden d i v idirt, wenn man den Qu o z i e n t e n der Wurzel zur. gemeinschaftlichen Potenz erhebt. Durch Umkehrung des letzten Ausdruckes erhält man - — 1 1> / b-»' d. h. Ein Bruch (Quozieut) wird zu einer Potenz er¬ hoben, w c n n man Zähler und Nenner zu derselbe n Potenz erhebt, und die Potenz des Zählers durch die Potenz des Nenners dividirt. Beispiele. 1) (Ho)?: (ab)? — e?, 2) (36a?l)2)° : (9^1))», 3) — l)^)4 : (a — — 8l I 4 _ 64 (a -p- d)° I.5(o—6)_I 125 (0 — 6)'* Aus dem letzten Satze folgt auch: Wenn alle Glieder einer Proporzion zu dersel¬ ben Potenz erhoben werden, so erhält man wieder eine Proporzion. l«5 Ist a: b — o : 6, so muß auch (a: b)" — (a äs'", oder n" : b"' — o" : ä'" seiu. 100. Die für das Mnltipliziren uud Dividiren vou Potenzgrößen mit positiven Exponenten abgeleiteten Sätze gelten auch für negative Exponenten. Es ist a" 4. Potenziren der P o tenz grö ß en. § 101. Es ist (a-")" . L" . n" . n"' ... nmal oder (lt"')" — g,"", d. h. eine Potenzgröße wird zu einer Potenz erhoben, wenn man die Wurzel zum Produkte der Exponenten erhebt. Der Satz gilt auch für negative Exponenten; denn / — inXn - /1 I — — 1 — MN (rr")-" —.— — - — (»>»)» r^m» ' (n'"")-" — A°>". 106 Beispiele. 1) 2) (x-2)4^x-°^. 3) 81^bso>2. 4) s-2x^->2)» — 32x-°v'»2». 5) s(-— (g,S)3 A24, 6) --- rr-""p -_. a""p 7) s^sb — 7n-t>"r-'^ »°b° V ea'/ e-cl'-' / 2a"x44 i8^--x^ X 3 t?)-V 81 b 'x »' Da (kl"')" — o,"" und (»")" — so folgt (u">)° — (u")"'. Man kann daher die Ordnung im Potenziren beliebig wählen. -s-ir^. 3) <>2--2l))2^u» —4^1»-s-4l)2. 5) 1V7 6) 7) 8) '2x 3^2 4x2 x^ 9^ .3 L 4 d/ 9 k' D v I6b'' 3a' K2X2^ 4x 2x/ 103. Um ein Trinom n-st d-st o zum Quadrate zu erheben, be¬ trachte man dasselbe als ein Binom, indem man u-std als den ersten, und o als den zweiten Theil ansieht; es ist also (u ss-1) -s- c)? — f(a st- d) st- o)2 — (a -st d)2 st- 2 (a, -st d) . o -st c? 3,2 -st 2 nd -s- d2 -st 2 (n -st d) . ost- c)2. Eben so findet man (n st- d -st o -st <1)2 — . ---- f(rr -s- d -st o) -st l1)2 su -st d st- v)2 -st 2 sn -st d st- o). et -st lt" — 0,2 -st 2ud -std2 -st 2 (n -st d) . o -st <)2 -st 2 (n -std -sto). ä -st <12, (n -st d -stost- ctst- e)2 — »2 _st 2 -rd -st ss2 -st 2 (n st- d) o st- «2 st- 2 (n -s- d -st o) <1 st- ss2 -st 2 (n st- d -st o -s- ct) 6 -s- 6- u. s. w. Aus den hier abgeleiteten Ausdrücken ergibt sich für das Qua- driren eines Polynoms folgendes Bildungsgesctz: Der erste Theil der Wurzel gibt sein eigenes Quadrat; jeder folgende Wurzel theil gibt im Qua¬ drate zwei B e st a n d t h e ile, nämlich das Produkt aus der doppelten Summe aller vorhergehenden Wur¬ zel theil e und aus sich selbst, und sein eigenes Qua¬ drat. Beispiele. 1) (a -st 2d - 3o)2 --- 3,2 -st 4nd -st 41)2 — (2a -st 4d) . 3o -st 92 ——-st—» — 4 —2asi--. V 2 3 / ^12 3 9 /2a , 3« 4e^2 0^ 4»' , ao Se' I6as kce I6e' dH' dä"^ Ikä- ISdt Sät' 25 5'' 108 7) (5x- -3x^-1)- — ... 8) (4 — 8m5ra2. . /3v^ . 2 v 1^2 104. Da sich jede dekadische Zahl als ein nach den Potenzen von 10 geordnetes Polynom darstellen läßt, so kann man das fürs Qua drircn zusammengesetzter algebraischer Ausdrücke abgeleitete Verfah¬ ren auch aus dekadische Zahlen anwenden. Um z. B. 3417 zum Quadrate zu erheben, hat man 34172 — (3000 -ff 400 -ff 10 -ff 7)2 30002 -ff 2.3000.400 -ff 4002 -ff 2.3400.10 -j- 102 -ff 2.3410.7-ff 7-; oder wenn man die Bestaudtheile unter einander setzt und entwickelt: 34172-^ 30002 . . 9000000 -ff 2.3000.400 . . . 2400000 ^4002 . . . 160010 11675889; oder mit Hinweglassung der Nullen: 34172 32 . . . 9. 2. 3.4 . 24. 42 . . . 16. 2. 34.1 . . . 68. 12 . . . 1. 2.341.7 . . . 4774. 72 . . . 49 11675889 Man verfährt daher, um eine dekadische Zahl zum Quadrat zu erheben, auf folgende Art: 1. Man erhebt die erste oder höchste Ziffer zum Quadrat. 2. AuS jeder folgenden Ziffer, bildet man zwei Bestaudtheile: das Produkt aus der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Zif¬ fer, und ihr eigenes Quadrat. 3. Diese Bestaudtheile werden so nnter einander gesetzt, daß jeder folgende um eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addirt; die Summe ist das gesuchte Quadrat, 1«9 Beispiele. Da die erste Wurzelziffer im Quadrate eine vder zwei Stellcu gibt, wegen jeder felgenden Ziffer aber im Quadrate immer zwei Stellen zuwachsen, so enthält das Quadrat einer Zahl entweder doppelt so viel Ziffern, als deren die Wurzel hat, vder um eine weniger. Theilt man daher das Quadrat von der Rechten gegen die Linke in Klassen zu zwei Ziffern, wo dann die erste Klasse links auch nur eine Ziffer enthalten kann, so hat man so viele Klaffen, als die Quadratwurzel Ziffern enthält. 2. Erheben eines zusammengesetzten Ausdruckes aus die dritte Potenz. §. 105. Multiplizirt man das Quadrat einer Größe mit dieser Größe selbst, so erhält man ihren Kubus. Es ist also (a -ff — (u? -ff 2ai> ff- --- a-ff-3--r-b ff- 3ak>-ff-d^ d. h. der Kubus eines Binoms ist gleich dem Kubus des ersten Theiles, dem dreifachen Quadrate des er¬ sten Th ei les multiplizirt mit dem zweiten Th eile, dem dreifachen ersten Theile mnltiplrzirt mit delu Quadrate des zweiten Theiles, und dem KubuS des zweiten Theiles. Beispiele. 1) (-r—3n2bff-3nff2 —d«. 2) (2x ff- — 8x- -ff 36x-^ -ff 54x^- -ff 27^-. 3) (in- — 2n-)^ — in" — 6rn°ir- -ff ILin-n* — 8n°. 11« /x x' 3x'x . 3xx' . 7' 5) (5a2-j-4dx»)» — . . . /Lm 4x-X» 6> 1^-^- §. 106. Um nach dem eben entwickelten Satze den Kubus eines Tri¬ noms u -s- 6 0 zn erhalten, betrachtet man u -f- K als den einen Th eil, und findet (nfi-b>-s-v)b — s(n -s- d) -s- -s- 6)^ -s- 3 (u 's- 6)". 0 -s- 3 su -s- 6) 0" -s- o» ^s.»-s-3a"bP- 3Lb"-s-6»-s-3 (a-s-b)"6-f-3(u-s-b)o"-s-o» Eben so folgt -- (a -s- b -P o)-> -s- 3 (u -s- 6 -s- 0)" <1 -s- 3 (u -s- b -s- 0) ä" P- cl- --- -f- 3 a"6 -fi 3 ud" -f- d» -s- 3 (u -s- 6)" 0 -s- 3 (u -f- 6) 0" -s- 0» -s- 3 (n -s- d -f- 0)" cl -s- 3 (u -s- b -s- 0) ck" -f- cl^, n. s. f. Wenn man diese dritten Potenzen aufmerksam betrachtet, so fieht mau: Der erste Wurzeltheil gibt seinen eigenen Knbns; jeder folgende Wurzeltheil gibt drei Bestandtheile, das dreifache Quadrat der Summe aller vorhergehen¬ den Wurzeltheile multiplizirt mit sich selbst, die drei¬ fache Summe aller vorhergehenden Theile mnltipli- zirt mit seinem Quadrate, und seinen eigenen Knbns. Beispiele. 1) O--I-2)--3? -- )-°-s-6^-f-I2^4-8)-'-9 (^^-2)-)" -s-27 0-^-2;-)—27n^-s-6^-^12^-s-8^—9 Zg,,? — 36)-" -s- 27)-" -s-54v — 27^v«-^6vS-P3v» — 28v^ — 9)-"-s-54)- —27. 2) (x"—3x)-P-2)-")^x«—9x^-s-33xt)-"—63x^"-s-66x"7« — 36 x)-^ -s- 8 )-o. 3) (1 —2x—3x2-f-4x°)^1-s-6x-i-3x" —16x°-f-39xt-!-30x"- — 132x°-s-204x' — 144 xS-f-64x». 4) (2x"-f-x2)-—3x)-" — 4)--)^ — 8 xo -s- 12 x^)- — 30 x?)-" — 83 xo)-» — 3 x^ -f- 159 x^)-^ -s- 141 x^)-° — 60 x" )-^ —144 x)-s — 64)'O. 111 6) (a. — 2 -ff -ff 4 — 8-ff)° . 7) tz. 107. Sucht man nach dem hier entwickelten Bildungsgesetze für den Kubus eines algebraischen Polynoms den Kubus einer dekadischen Zahl, Z.B. 4213; so erhalt mau, wenn dieBestandtheile unter ein¬ ander gestellt werden: 74778091597 Zur Entwicklung des Kubus einer dekadischen Zahl ergibt sich demnach folgendes Verfahren: 1. Man erhebe die erste oder höchste Wurzelziffer zum Kubus. 2. Aus jeder folgenden Ziffer bilde man drei Bestandtheile: das Produkt aus dem dreifachen Quadrate der ihr vorangehenden Zahl mit dieser Ziffer, das Produkt aus der dreifachen voran¬ gehenden Zahl und dem Quadrate dieser Ziffer, und ihren Kubus. 3. Diese Bestandtheile werden so unter einander geschrieben, daß jeder folgende nm eine Stelle weiter rechts erscheint, und dann, so wie sie stehen, addirt. 112 Beispiele. 1'23 2 30542 Da die erste Wurzelziffer im Kubus eine, zwei oder drei Stel¬ len gibt, und wegen jeder folgenden Wurzelzisfer im Kubus immer drei Stellen zuwachseu, so enthält der Kulms einer Zahl immer ent¬ weder dreimal so viel Ziffern, als deren die Kubikwurzel hat, oder um eine oder zwei weniger. .Theilt man daher den Kubus von der Rechten angcfangen in blassen zu drei Ziffern, wo die erste Klasse zur Linken auch nur eine oder zwei Ziffern enthalten kann, so hat man so viele Klassen, als die Kubikwurzel Ziffern enthält. VIII. Von den Wurzelgrößen. . a) Allgemeine Sätze. 108. 1. Die erste Wurzel aus einer Große ist die Größe selbst; daher wird sür die erste Wurzel weder der.Exponent, noch das Wurzelzeichen angeschrieben; statt s/n schreibt man also nur Bei der zweiten Wurzel wird wohl das Wurzelzeichen, aber nicht der Exponent 2 ungeschrieben; wenn daher das Wurzelzeichen ohne Exponenten da steht, so versteht man immer die zweite Wurzel; j Vr 2 bedeutet also s/n. 2. Die Wurzel muß so beschaffen sein, daß sie ans die Potenz des Wurzelexponenten erhoben, die Große un¬ ter dem Wurzelzeichen gibt. Die Nichtigkeit dieses Satzes ergibt sich unmittelbar aus dem Begriffe einer Wurzelgröße; ist sVa—b, so muß n sein. 3. Jede Wurzel ans 1 ist wieder 1. Weil 1" —1, so ist auch j/ 1 — 1, 4. Wenn mau eine Größe zu einer bestimmten Potenz 113 erhebt, und dann aus dem Resultate wieder die eben sovielte Wurzel auszieht; oder wenn man umgekehrt aus einer Große eine bestimmte Wurzel auszieht, und diese daun zur eben sovielten Potenz erhebt: so er¬ hält man wieder die ursprüngliche Größe. Es ist also Pir- —rr und Diesem zu Folge kann jede Große in Form einer Wurzelgröße dar¬ gestellt werden, mau darf ihr nur als Wurzel- und Potenzexponen¬ ten dieselbe Zahl geben. Z. B. d — 8. 109. 5. Wenn eine Größe zn einer Potenz zu erheben, und daraus eine Wurzel anszuzieheu ist, so ist es gleich- giltig, in welcher Ordnung diese beiden Operationen vorgenommen werden. Es sei die Große rr zur mten Potenz zu erheben, und daraus die irte Wurzel auszuziehen. Setzt man Pn —d, so muß d"—rr sein, daher (d")- — rr"'; es ist aber sll")"' — (b>"')", folglich (d'")" — rr'", und wenn man beiderseits die nte Wurzel auszieht, P'(d-)" j/ir"', oder b" also, weil d — j o ist, auch 6. Jede Wurzelgroße kann in eine Potenzgröße mit gebrochenem Exponenten verwandelt werden, wenn man den Pote nzexponenten zum Zähler, uud den Wurzel¬ exponenten zum Nenner des Bruches annimmt. Nach dem allgemeinen Begriffe des Potenzirens ist -O (Pie)"'. Nach dem vorhergehenden Satze ist aber auch Pir- - Z/n) ch mithin P-O — rr". Mau kaun dieses auch so ausdrücken: Aus einer Potenzgröße wird eine Wurzel ausge¬ zogen, wenn man den Potenzexponenten durch den Wur¬ zelexponenten dividirt. LloLniK, Algebra. 2. Auch 8 114 §. 110. 7. Der Werth einer Wurzelgröße wird nicht geän¬ dert, wenn man den Wurzel- und Potenzexponenten mit derselben Zahl multiplizirt oder dividirt. Es ist n ' * n:r und Der erste Theil dieses Satzes gibt ein Mittel an die Hand, mehrere Wurzelgrößen auf einen gemeinschaftlichen Wurzelexponenten zu bringen. Man suche nämlich zwischen den gegebenen Wurzelexponenten ein gemeinschaftliches Vielfaches, am besten das kleinste; dieses ist der neue Wurzelexponent. Nun dividire man den neuen Wurzelexponenten durch jeden alten, und mnltiplizire mit dem Quozienten sowohl den Wurzel- als den Potenz¬ exponenten. Es seien z. B. die Wurzelgrößen j/ b?, P «1? mit einem gemeinschaftlichen Wurzelexponenten darzustellen. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der gegebenen Wurzelexponenten 2, 3, 5, 10 ist 30, man hat also 30 30 : 2 — 15, daher 1/a — f/n", 3 30^ 30 : 3 — 10, „ j/V 5 30 30 : 5 6, „ 1/e» — I/O'«, 10 30 30 : 3 -- 3, „ j/ä' 1/ä->. Mit Hilfe des zweiten Theiles des obigen Satzes kann man eine Wurzelgröße, worin Wurzel- und Potenzexponent ein gemein¬ schaftliches Maß haben, ab kürzen. Z. B. d) Zeichen der Wurzeln. §. 111. Lv_ Es sei zuerst -f- n. Ans -j- n die 2nte Wurzel ausziehen heißt eine Größe suchen, welche 2nmal als Faktor gesetzt -s- rr gibt; nun kann sowohl eine positive, als eine negative Größe in gerader 2n Anzahl als Faktor gesetzt ein positives Resultat geben; f/Z-rr kann also positiv oder negativ sein. Eine gerade Wurzel ans einer positiven Größe kann also sowohl positiv als negativ sein. 115 2n 2. Man untersuche ferner — a. Hier ist eine Große zu suchen, welche 2mnal, also in gerader Anzahl, als Faktor gesetzt, — n, d. i. ein negatives Produkt gibt; nun existirt weder eine po¬ sitive, noch eine negative reelle Größe, die in gerader Anzahl als Faktor gesetzt, ein negatives Resultat geben würde. Der Ausdruck 1/— -stenthält also eine Forderung, welcher durch keine reelle Größe Genüge geleistet werden kann; er bildet eine Größe ganz eigener Art, die man imaginär nennt. Man sagt: Eine gerade Wurzel aus einer negativen Größe ist i m a g in ä r. 2n Wenn man auch bisher für die imaginäre Größe 1/ — n in der Arithmetik keinen andern Sinn ausgemittclt hat, als den einer Größe, die 2nmal als Faktor gesetzt — n gibt, so ist sie darum aus dem Gebiete der Mathematik doch nicht zu verbannen, da sie schon beim algebraischen Kalkül ost wichtige Vortheile darbictet, in der Geometrie aber ihre ganz bestimmte Bedeutung hat. Wenn in einer rein arithmetischen Aufgabe, in welcher nur nach einer reellen Große gefragt werden kann, eine imaginäre Größe als Resultat erscheint, so gi'bt sic zu erkennen, daß die Bedingungen der Aufgabe einen Widerspruch in sich enthalten. 3. Unter s/st- n versteht man eine Größe, welche (2n -st 1)mal als Faktor gesetzt -st n gibt; nun kann nur eine positive Große in ungerader Anzahl als Faktor gesetzt ein positives Resultat geben, somit ist s/-st a positiv. Eine ungerade Wurzel ans einer positiven Größe kann daher nur positiv sein. 4. Ans dieselbe Art überzeugt man sich, daß 1/— n nur ne¬ gativ sein kann. Eine ungerade Wurzel aus einer negativen Größe ist also negativ. cl R e ch n u n g s o p e r az i o n e n mit W u r z e l g r ö ß e». 1. Addireu undSubtrahiren derWnrzelgrößen, §. 112. Bei Wurzelgrößen wird die Summe oder Differenz in den meisten Fällen bloß angezeigt; nur wenn die Wurzelgroßen gleich¬ artig sind, d. i. wenn sie sowohl gleiche Wurzelexponenten, als gleiche Größen unter dem Wurzelzeichen haben, kann eine Zusam¬ menziehung vorgenommen werden. L* 116 Beispiele, 1) iZr -s- 4 P- 5 1/a ---- 10 fj/a. 2) 7s/x° — 3s/x" ----- 4Px». 3) 51/a» -s- 2 s/a — 5s/a — 3 s/a-> 2^ — 3 s/». 4) a -f- b^nr -f- o — eH/rQ — a-f-e-f-sb — ä)s/in. 2. Multipliziren der Wurzelgrößen. §. 113. Wurzelgrößen können nur wirklich multiplizirt werden, wenn sie gleiche Wurzelexponenten haben; ist dieses nicht der Fall, so müssen sie zuerst ans einen gemeinschaftlichen Wurzelexponenten gebracht werden. Es sei nun s/ r mit s/b zu multipliziren. Setzt man 1/ss—x und j/b —x, so muß x" — o, — b sein, daher x'" — ab, oder (x v)'" — ab, und wenn man bei¬ derseits die mte Wurzel auszieht, x— ,/a b, oder wenn statt x und x ihre Werthe gesetzt werden. s/a . ^/b — si/o-b, d. h. Wurzelgrößen desselben Exponenten werden mul¬ tiplizirt, wenu man die gemeinschaftliche Wurzel aus dem Produkte der Größen unter dem Wurzelzeichen auszi eht. Beispiele. 1) l/a- . s/a ---- j/ssb 2) . 's" a-»-p — ^/^Lm ^2 3 3 3 3) 1/5 . s/200 -- 1/1000 — 10. 4) 1/a , 1/a — ^/a!> . l/g.^ — s/^r/ _ s 4 s co 5) 1/x . s/x . 1/7 . 1/)- ---- l/x-o^^b 3 4 12 42 6) 3 s/b- . 5s/b- . 1/b — 151/b-s 151/b». 3 3 3 3 3 3 3 7) (s/a-2 s/b-ss3 s/o) . /x s//x - 2 s/bx ss- 3 s/ox. 117 8) (u -j- 1>1/o) (u — I) l/o) — g? — l/o. 9) (8 — 3 1/5) (7-1-2 j/5) — 26 — 51/5. 10) (31/7-s-41^3) (21/7 — 31/3)^42-121/3—1/147. 11) (1/^b^- l/-r -s-1/6) (l/^b Z- l/u — j/b) — 2 1/nb. 12) (1/ud -j- 3^/x^) (2j/ab — 1''x^) (51/nll -j- 4j/x)0 — , s — 10-rb — 12x^ — 17l/ubx^ -j- 30 l/a? 6? x)>- — 3, 6 6^ — 4l/ullx^/^ — 5l/a^b^x^ -j- 241/u6x^^^ -A I/O . 14) (31/5a -(- 4l/2a) . 1/4-r — . . . 15) (2j/3a — 3j/2a) (3j/3n -j- 21/2-0— . . . 16) 1/u -j- X -j- 1/-L - X . j/u X - j/n — X — . . . Mit Hilfe des vorhergehenden Satzes kann man jeden Faktor einer Wurzelgröße unter das Wurzelzeichen bringen, man braucht ihu nur zu jener Potenz zu erheben, welche der Wurzelexponent anzeigt. So ist 1) al/b" — 1/u" . 1/b" — 1/u"'6". 3 3 3_3 2) 21/5 — 1/2^ . 1/5 1/40. „V Li z _ i t> _ i l v 1/ k ' L d ' Durch Umkehrung des oben gefundenen allgemeinen Ausdruckes erhält-inan j u 6 — P/r . l/b, d. h. aus einem Produkte wird eine Wurzel ausgezogen, wenn man fie aus jedem Faktor auszjieht, und diese Wurzeln mit einander multiplizirt. Dieser Satz ist daun anzuwenden, wenn die Größe unter dem Wurzelzeichen Faktoren enthält, ans denen sich die verlangte Murzel ausziehen läßt. Da wird die Wurzel wirklich ausgezogen, und es werden nur noch die übrigen Faktoren, aus denen die Wurzel nicht ausgezogen werden kann, unter dem Wurzelzeichen zurückbleiben. Dieses Verfahren kann oft sehr vortheilhaste Zusammenziehungen herbeisührcn. 118 Beispiele. 1) . I^bb. 2) 1/20 — 1/4 . 5 - 1/4 . 1/5 — 2 1^5. Z) ,/81 — ^27^/3 — s/27 .1/3 — 3 1/3. K 3^_3 4) 1/x°^° — 1/x« . ^ . — x2^ 7^2. 5) 1/^^- 1/^2 . 1/11^— a 1/^17 6) 72 ss- 1/"8 -!- 31/50 — 1/2 4-21/2 4-151/2--18 j/2. 3^. 3 3 3-3 »3^ 3^ 7) 41/3-21/24 4-1/192^41/3-41/3^41/3 — 41/3. 3. Dividiren der Wurzelgrößen. §- 114. Beim Dividiren der Wurzelgrößen müssen diese, wenn sie nicht schon gleiche Wurzelexponenten haben, auf solche gebracht werden. Es sei nun s/rr durch s/b zu dividiren. m m Setzt man 1/u — x, 1/b — so ist x" — a, — b, daher P -d.r D---« f«.,. -- oder wenn man statt x und / ihre Werthe substituirt, — 1 /7. ß/ v' -/d d. h. Wurzelgrößen desselben Exponenten werden di¬ vi d i r t, wenn man die gemeinschaftliche Wurzel aus dem Quozienten der Größen unter dem Wurzelzeichen a u s z i e h t. Da umgekehrt ist, so hat mau auch den folgenden Satz: Aus einem Bruche (Quozienten) wird eine Wurzel ausgezogen, wenn man sie ans Zähler und Nenner auszieht, und die Wnrzel des Zählers durch die Wurzel des Nenners dividirt. 119 Läßt sich aus dem Zähler, oder aus dem Neuner, oder aus einige» Faktoren derselben die verlangte Wurzel ausziehen, so kann der Ausdruck dadurch aus eine einfachere Form gebracht werden. Beispiele. 1) ^/nx : -j/g, — j/x. 5, 5 5 2) f/a» : f/a^ /n. 4, 3 12^ 12^, 12 _ 3) : /n : 1/^ — /n-. i "/a , I "/i> i , i"/w- x"-v 4 4 4 5) 'j/a-j-x: j/rr?— x? — ^(a-j-x) (a-^-x) : j/(ax) (a— x) 4 3 3 '3^ 3 3 8) (^k — l/aI-2) : ;/ab ^/a — 3 3 3, 3 9) (3 — 4/9): f/3 -- /9 — 4/3. 10) (a — /a / - /r/) : (/n - 1) --- 11) (8u/n —12^n»b-'-6n/b-s-9b/k4-i-4/abb^—6b/b) : (2/a — 3 /»>) 4 /n'" — 3 /ab -s- 2 /b". 12) (13 — b): 0/13 — // ^ . .. 13) 0/n — -s--- . . . 14) (/ax— /ox-s-^/irr:—/ox) : (f/n— /v) — ... , 4a"<—Sb" 1 /25»^— Io) " » W - -—— / 125a" — s/ 4a- — I2ad-^9t? 4a"-I- I2ab4-Sd" 1 /4a" — 9K' ' 25a" > I0av -p b" ' 25a" —b" Aus dem leßten Säße folgt auch: Wenn man aus allen Gliedern einer Proporzion 120 dieselbe Wurzel auSzieht, so erhält man wieder eine Proporzion. Ist rr:d —o:ll, so muß auch 1/(a: 5) — i/(o: 6), oder j/g,: : ssti sein. 4. Potcnziren der Wnrzelgrößen. 115. Es ist schon bei den allgemeinen Saßen bewiesen worden, daß (/)/" — ist, d. h. Eine Wurzelgröße wird zu einer Potenz erhoben, wenn mau die Große unter dem Wurzelzeichen zu je¬ ner Potenz erhebt, und daraus die entsprechende Wur¬ zel auszieht. B. e i s p i e l e. 1) (1/L2)t 1/0,5 — 1X2. 2) — 1/1,2 — ix/ Iß/ e' / ß/ e" ' " 4) (2n st-3 j/b)2^4u2st-l2^l/5st-95. 5) (31/2 — 2 j/3)2 ^-30 — 12 j/6. S) jl//^M - 1/—/^s - - - Wb. 7) (1/2x st- n — s/'2x — n)- ^ . . . 8) st-b st- /a — b — » -j- d — /lb — — ... 9) (» - 31/u st- 4 1/.2)- ^ . . . 10) § j/ a' -p- — l/i» — b°^ — ... 5. Wurzelausziehen aus W urz el gr v ß e u. 8- 116. Es soll aus 1/a. die mte Wurzel ausqezoqen werden. Man setze 1/u —x und s/l/a —i/x —so ist x" —n, 121 daher —x" und —'j/x", vder wenn man statt V und x" ihre Werthe setzt, d. h. aus einer Wnrzelgröße wird eine Wurzel ausge- zogeu, wenn man die Wurzelexponenten multipli- zirt, und das Produkt zum neuen Wurzelexponenten a n n i m m t. Beispiele. 3 6 1) 4 8 2) s/ P s/5 3) j/ j/s/x 1,/x. Aus s/u —s'/s/u folgt umgekehrt, das; man, wenn der Wur¬ zelexponent eine zusammengesetzte Zahl ist, die verlangte Wurzel er¬ hält, wenn man jenen Wurzelexponenten in seine Faktoren zerlegt, und dann nach und nach die Wurzeln anszieht, deren Exponenten die einzelnen Faktoren sind. Beispiele. 1) ,/"64-^1/1/64^1/8^2, 2) I/1004^l/s/1004-^1/Z2^-2, 6mu 8 in n 3) --1/l/>^/u->. 6. Jrrazionale Wurzelgrößen und Razioualmachen des Nenners. 117. Die Wurzel aus einer ganzen Zahl kann nie ein Brnch sein, weil kein Bruch zu einer Potenz erhoben eine ganze Zahl geben kann. Ist daher j/^., wo eine ganze Zahl verstellt, zwischen zwei auf einander folgenden ganzen Zahlen enthalten; so läßt sich diese Wurzel weder durch eine ganze noch durch eine gebrochene Zahl vollkommen genau darstellen. Gleichwohl läßt sich stets ein Bruch, und zwar ein Dezimalbrnch finden, der von dem wahren Werthe der Wurzel nm weniger verschieden ist, als jede noch sy kleine angebbare Größe. Es ist 122 m m IO»z/L VL. I0">» 1/^. —-- 10" 10» Da durch keine ganze oder gebrochene Zahl darstellbar ist, so gilt dasselbe auch von 10"f/^ oder j/^. 10"'". Es sei nun n die größte ganze Zahl, welche in j/ . 10">" enthalten ist, und man setze j/^l.. 10"'" — a -j- rv, wo rv < 1 sein muß; so ist L -I- v L , v 1/ — -s- —, 10" 10" ' 10" daher a w 10" 10"^ und, weil >v < 1 ist, 1^--<—, 10° 10"' Nimmt man daher für den Werth so begeht man einen Fehler, welcher kleiner als ist; aber n kann beliebig groß genommen, daher beliebig klein gemacht werden; der Fehler, den man begehet, kann also kleiner werden, als jede noch so kleine angebbare Zahl. f/^. ist demnach eine Zahl, deren Verhältniß zur Einheit sich weder durch eine ganze noch durch eine gebrochene Zahl vollkommen genau, wohl aber näherungsweise mit jeder verlangten Schärfe be¬ stimmen läßt, oder f/Ä. ist eine irrazionale Zahl. So sind j/5, ff/10 irrazional. IN — Eine algebraische Wurzelgröße s/a» — a"' heißt irrazional, wenn der Potenzexponent n durch den Wurzelexponenten m nicht theilbar ist; sonst ist sie razional. Z. B. Die Wurzelgrößen 3 p _ 3 j/g? — x^ sind razional, die Wurzelgrößen j/n, 1/n" dagegen irrazional. Jeder Bruch, dessen Nenner irrazional ist, kann ohne Aende- rnng seines Werthcs mit einem razionalen Nenner dargestellt wer¬ den. Wie dieses Geschäft, welches das Razional mach en des Nenners heißt, in den einfachem und häufiger vorkommenden Fällen ausgeführt werden kann, wird ans dem Folgenden ersichtlich. 123 1. Um einen Brnch von der Form -//- razional zu machen, mul- 1/K» tiplizire man Zähler und Nennner mit s/b"-°'; es ist >/d"> 'l/ d»>. 1/b»--» 1/d" b in welcher leßtern Form der Bruch mit einem razionalen Nenner erscheint. Beispiele. s g L al/d^ 's s s ü ' 1/b 1/d.l/b- 5 10 31/L 3l/a.1/V 31/»» 's "s "s ' I ' . 1/L- Man 5)-^-; 3^3x 7) t^2x — 3x mache noch folgende Brüche razional: 1- ' 5/2» 6) — —; 2bl/5 2. Hat der Bruch die Form, oder —, so wird er d^1/<- I/d^1/c razional gemacht, wenn man Zähler nud Nenner im ersten Falle mit b^/s/o, im zweiten mit f/b-s-f/o multiplizirt; denn es ist a s(d^^e) ^s(^b^^e) d^s/e " (k /c) (d ^/o) d- — e ' l/d l/<- (/d l^e) (/b /o) " ' dH ' Beispiele. 3 — 3 (5-1-->/2) — 15-1-3^2 — 15-t-3^/2 S — /2 (5 — 1/ 2) (5-1-^2) 25 — 2 23 2 — / 3 (2 —1/3) (2-1/3) 4 —41/3 Z-3 - 2-1-1/3 (2-1-1/3) (2 - /3) 4 — 3 15 15(>/5 —-/2) 15(1/5-1/2)- 1/5-i-1/2 ()/5-I- l/2)(^S- l/2) 5^2 --5(I/5-1/2), 124 2 /5 -I- ^3 — (2g/5 st-1/3) (31/5 st- 21/3) 31/5 — 21/3 (31/5 —21/3) (31/5-^-21/3) 61/52-j-41/15-1-31/15-j-21/3" 36-j- 71/15 36st-71/l5 (3/5)" —(2/3)" 45 — 12 33 ' Es sollen noch folgende Brüche mit einem razionalen Nenner dargestellt werden: °'717^' 3rt —2/b' l/z-^.^' 9) ". ; 10) ^st-k^-x« . ^13-2/3 1/^-^/^II^ 7. Das Rechnen mit imaginären Größen. ?. 118. Wenn eine imaginäre Größe zu einer geraden Potenz zu er¬ heben ist, so werden zuerst der Wurzel- und der Potenzexponent ab¬ gekürzt. Z. B. 0/^1)2^-1, o/II7i)4^ (_ 1)2 ^^1, s/^, (f^5)° -- Ist dagegen eine imaginäre Wurzel zu einer ungeraden Potenz zu erheben, so wird dieselbe nach der Formel 2m, 2m 2m- (/—— s/ — . s/ — a zerlegt. Z. B. -- (s/^1)- . s/^- - s/^1 ' (s/^)" -- (s/^ch^ . (s/^ (s/- 3/ . s/" — 0-/ — . 4/ — 3. s/ — kt — rt^ .^/— it . s/ — it. Bei der Multiplikation imaginärer Faktoren wird die imagi¬ näre Größe I/— a zuerst aus die Form s/n. 4^— 1 gebracht. Z.^, _ , s/ — n . s/ — b — s-^it . s/ — 1 . s/b . 4^— 1 — 's/g, b . (s/— 1)2 — — ^ktl). Im klebrigen werden die Rechnungen mit imaginären Größen, so wie mit andern Wurzelgrößen vorgenommen. 125 Beispiele. 1) 4n-s-ds/^I-- (2.-r-3bs/^1) --2n-/^46 s/^^ 2) )/__4-p.'s/-.9—-s/-i6^2s/^1-s-3s/-1-41/-1- — ,_ 3) u 1/—— 61/—61/.— ^0— fax — 6)^^ -s- o 2^) 1/—1, 4) 1/^3 . s/— 5 --1/3.1/— 1.1/5-1/-1 —1/15. (1/^1)2 8 _ 4 _^1/15.1/—1, 5) im -s-1/—n) (m —1/— v) — n / — (1/—u)^ — m- /- n, 6) (2^1/-1 - 3l> 1/^1) (3^1/—1-^1/s/Hl)^ — — 6a^ -s- u6 -s- 3l>^ 7) 1 /—x . 1/—x» — s/x^ . 1/x^ . 1/— 1 — xl/x . 1/Hl, 8) (l/-1)^-s-1, 9) s1^I)'^^^^1/-1, 10) Q/-1/"^-^ —1, 11) (1/—1)'"^— 1/-1. 12) — x:s/—X —1/s — x)2:1/Hx —1/—x, 13) (s/— 20 — 1/^15) : j/^5 1^4 —1/3 -- 2 - 1/3. 14) (a b 1/— 1XL — i/j/Z/1) ^ ... 15) (1/^1 1/-i>)(1/--1 — 1^-ö) . 16) (x - 1) (x st-Mr - s/- 1) (x^/- 1) - ... 17) (x^1-s-l/-3)(x^-1-l/-3)^... Man mache razional: 18) 19) a —-/-d 20) 21) t— s -j- r/— u 6 — 5 — 5 — 6 6) Wurzelausziehen aus zusammengesetzten Ausdrücken. 1. Ausziehen der zweiten Wurzel aus einem zusammen¬ gesetzten Ausdrucke. §. 119. Das Verfahren, nach welchem aus einem geordneten zusam¬ mengesetzten algebraischen Ausdrucke die Quadratwurzel ausgezogen wird, läßt sich ans dem Gesetze ableiten, nach welchem die Theile einer zusammengesetzten Wurzel im Quadrate zusammengestellt er¬ scheinen. 126 1. Der erste Theil im Quadrate ist die zweite Potenz des ersten Wurzeltheiles. Man findet daher den ersten Wurzeltheil, wenn man ails dem ersten Theile des Quadrates die Quadratwurzel auszieht. 2. Wird das Quadrat des ersten Wurzeltheiles abgezogen, so find die nächsten zwei Glieder die Bestaudtheile, welche aus dem zweiten Wurzeltheile hervorgegangen sind, und zwar ist das erste übrigge¬ bliebene Glied das Produkt aus dem doppelten ersten Wurzeltheile und aus dem zweiten Theile der Wurzel. Dividirt mau daher die¬ ses erste Glied des Restes durch den doppelten bereits bekannten ersten Wurzeltheil, so erhält man den zweiten Theil der Wurzel. — Nun bildet man die Bestaudtheile, welche dieser zweite Wurzeltheil gibt, nämlich das Produkt aus dem doppelten ersten und ans dem zweiten Wurzeltheile, und das Quadrat des zweiten Wurzeltheiles, welches geschieht, wenn man zu dem doppelten ersten Wurzeltheile den zweiten Theil addirt, und die Summe mit diesem zweiten Wnr- zeltheile mnltiplizirt; es ist nämlich 2ud-s-b>" — (2» -fi- l>) b. 3. Wird das so gebildete Produkt von dem gegebenen Ausdrucke abgezogen, so kommen im Reste die Bestandtheilc vor, die der dritte Wurzeltheil gibt, und zwar zuerst das Produkt aus der doppelten Summe der ersten zwei Wurzeltheile und aus dem dritten Theile der Wurzel. Wird daher der Rest durch die doppelte Summe der bereits gefundenen Wurzeltheile dividirt, so erhält man den dritten Wurzeltheil. Die Bestaudtheile, welche dieser dritte Wurzeltheil im Quadrate hervorbringt, nämlich das Produkt ans der doppelten Summe der vorhergehenden und aus diesem neuen Wurzeltheile, und dessen Quadrat, findet man, wenn man zu der doppelten Summe -er frühem Theile den dritten Wurzeltheil addirt, und die Summe mit diesem neuen Wurzeltheile multiplizirt; denn es ist 2 sa -s- b) a -s- — s2 (u ss- b) ss- es, . a. 4. Wenn man, nachdem dieses Produkt snbtrahirt wurde, wieder -en neuen Nest durch die doppelte Summe der bereits gefundenen Wurzeltheile dividirt, so erhält man den vierten Wurzeltheil. Bei Fortsetzung dieses Verfahrens wird zuletzt entweder kein Rest übrig bleiben, in welchem Falle die Quadratwurzel vollkommen genau ist; oder es bleibt, wenn der vorgelegte Ausdruck kein voll¬ ständiges Quadrat ist, ein Rest, und die Wurzel ist irrazional. Beispiele. 1) s/4-r- — 12ab -s- 91)2 Za — 3b — 4s? — — 12ud -s- 91)2 . — Zs)) X - Zs, — 12as> -s- 9l>2 fi- 0. 127 2) 1/9lll*—12m — ^2^2 2^2 ^_^)2 9nr4 —: (6m2—2n^)X—2^2 —12m^n^-^4n^ _ — 4- 6^2x2 __ 4n-x>2-j_pr . 16^2—4n2-j-p2)Xp- -i-6lli2j,2— - 3) j/x^ X6xb —x^ — 30x^25 --x^3x-5 — x^ -s- 6x2— ^2 : (2x^-^-3x) X3x -j-6x^X-9x2 2 M — 10x2 — 30x-^-25 :(2x^6x- 5)X—5 — 10x2 — 30x-1-25 -: 2-X-- 4 V xX x° x' -X2^_- 0. v 2 4) ^1-x-^1-^-^ 8 K4 U. s. W. 5) 4/(25 — 70a 139a" — 236a" 235^ — 198r^ -1- 121ll«) ^5 —7^->9a--11-^ 6) l/(9^ -12/' 10/» - 28/" -1-17/2 - 8/ X ig) _ -3^-2/-^/-^ 7) Xl—1-2x — 2x2 — 4x"— . , , . I I' Sx° _ x° 2kx« S3x' Lx" 20x — 1.16^ — 3x° x- 2x " ' S)'' ? 5' 128 §. 120. So wie wir hier die Methode für das Ausziehen der Qua¬ dratwurzel aus algebraischen Polynomen begründet haben, eben so läßt sich aus dem Gesetze, nach welchem die einzelnen Wurzclziffern im Quadrate zusammengestellt erscheinen, auch für das Ausziehen der Quadratwurzel aus besonderen Zahlen folgendes Verfahren ableiteu: 1. Man theilc die Zahl, von den Einheiten angesangen, in Klas¬ sen zu zwei Ziffern, wobei die erste Klasse links auch nur eine Zif¬ fer enthalten kann. Bei einem Dezimalbruche geschieht die Einthei- luug der Ganzen vom Dezimalpnukte gegen die Linke, und die Eiu- theilnng der Dezimalen vom Dezimalpunkte gegen die Rechte; wenn in den Dezimalen die letzte Klasse rechts nur'eine Ziffer enthalten sollte, so wird, damit die Anzahl der Dezimalen eine gerade werde, eine Nulle angehängt. 2. Man suche die größte Ziffer, deren Quadrat in der höchsten Klasse vorkommt, setze sie als erste Ziffer in die Quadratwurzel, und ziehe deren Quadrat von jener Klasse ab. 3. Zu diesem und jedem folgenden Reste setze man die nächst nie¬ drigere Klasse herab, und betrachte die dadurch entstehende Zahl, nach Hinweglassung der letzten Ziffer, als einen neuen Theildividend, welcher durch das Doppelte der bereits gefundenen Wurzel dividirt, die nächstfolgende Wurzelziffer gibt, die zugleich als Ergänzung zu dem Divisor geschrieben wird. Der auf diese Art ergänzte Divisor wird mit der neuen Wurzelziffer multiplizirt, und das Produkt von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen Ziffer so¬ gleich während des Multiplizirens abgezogen. 4. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis man alle Klassen der gegebenen Zahl in Rechnung gezogen hat. Enthält das Quadrat Dezimalklasscn, so setzt man in der Wurzel den Dezimalpunkt, bevor die erste Klasse von Dezimalen in Rechnung gezogen wird. 5. Bleibt zuletzt kein Rest, so ist die Quadratwurzel vollkommen genau, im entgegengesetzten Falle ist sie nur angenähert, kann aber auch da mit jeder beliebigen Genauigkeit in Dezimalen bestimmt werden, wenn man jedem Neste eine'Klasse von zwei Nullen an¬ hängt, und übrigens so wie früher verfährt. 10) -j/slku« — 24a» -ff 25u« — 20n- ff- 10a» — 4nff-1) . 11) f^s16 — 32)- -ff 32)-» — 32)-» ff- 20)-« — 8/» -ff 4)-°) — . 12) ff^4x" — 12x? ff- 25x° — 44x° -ff 70x« — 76x» -ff 73x- — 60x -ff 36) — 1 /)25r^ I0-? 31^ , 38^ 38a° 8a , 129 Beispiele. 1) s/13,54,24^368 4 5,4 : 66.6 5 8 2.4 : 728.8 //,, k, 3) 1/1,52-27,56 12'34 52 : 22.2 8 27 : 243.3 98 56 : 2464.4 2) 1/5,94,38,44 243 1 94 : 44.4 18 38 : 483.3 3 8944 : 4868.8 4) 1/3'5g — 1-87082 . . . 2 50 : 2 8.8 2600 : 367.7 310000 : 37408.8 1073600 : 374162.2 325276 Wenn die Quadratwurzel sehr viele Dezimalstellen enthalten soll, so kann man die Rechnung bedeutend abkürzen, wenn man, nachdem bereits die Hälfte der Dezimalen durch das gewöhnliche Verfahren bestimmt wurden, anstatt zu dem Reste eine neue Klasse anzuhängen, in dem neuen Divisor die letzte Ziffer wegläßt, und die folgenden Wurzelziffern nach der abgekürzten Division entwickelt. Z. B. Um die Quadratwurzel aus 7 in 8 Dezimalen zu ent¬ wickeln, hat man s/7 2-64575131 300 : 46.6 2400 : 524.4 30400 : 5285.5 397500 : 52 907.7 27151 : 5.29.1.4 694 165 6. 2. Ausziehen der dritten Wurzel ans einem zusam¬ men g e s e tz t e n Ausdrucke. §. 121. Das, Verfahren für das Ausziehen der Kubikwurzel aus einer geordneten zusammengesetzten Größe beruhet ans dem Verfahren, nach welchem ein zusammengesetzter Ausdruck aus die dritte Potenz erhoben wird. 1. Der erste Theil im Kubus ist die dritte Potenz des ersten Wurzeltheilcs. Zieht man daher aus dem ersten Theile des Kubus die Kubikwurzel aus, so erhält man den ersten Wurzeltheil. 2. Wird von dem gegebenen Ausdrucke der Kubus des ersten Wurzeltheiles abgezogen, so enthalten die ersten drei Glieder des Restes die Bestandtheile, welche ans dem zweiten Wurzeltheile her- LloönL, Algebra. 2. Aufl. 9 130 vorgingen, und zwar ist das erste Glied das Produkt aus dem drei¬ fachen Quadrate des ersten Wurzeltheiles und aus dem zweiten Theile der Wurzel. Mau findet daher diesen zweiten Theil der Wurzel, wenn mau das erste Glied des Restes durch das dreifache Quadrat des bereits bekannten ersten Wurzeltheiles dividirt. 3. Entwickelt mau die Bestaudtbeile, welche dieser neue Theil der Wurzel im Kubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat des ersten Theiles multiplizirt mit dem zweiten, den dreifachen ersten Wnrzcltheil multiplizirt mit dem Quadrate des zweiten Theiles, und den Kubus deö zweiten Wnrzeltheiles, und snbtrahirk diese drei Be- standtheilc von dem früher» Reste, so muß der neue Rest die Glie¬ der enthalten, welche der dritte Wnrzcltheil im Kubus hervorbringt, und zwar zuerst das dreifache Quadrat der ersten zwei Wurzeltheile multiplizirt mit dem dritten Theile. Wird daher der Nest durch das dreifache Quadrat der ersten zwei Wurzeltheile dividirt, so er¬ hält mau den dritten Theil der Kubikwurzel. - 4. Bildet man sofort die drei Bestandthcile, welche ans diesem neuen Wurzeltheile hervorgeheu, subtrahirt dieselben von dem letzten Reste, und dividirt wieder den neuen Rest durch das dreifache Qua¬ drat der bereits gefundenen Wurzeltheile, so erhält man den vierten Theil der Kubikwurzel. 5. Dieses Verfahren wird fortgesetzt. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist die Kubikwurzel razional; bleibt ein Rest, so ist sie ir- razional. Beispiele. s 1) l/g? — 3n?hx4^2 3al)2 x2 — HX^ — 1)^2 o? x" - 3n? l>x4 ^2 -s- 3nh2 x?)^ - ^2^,8 . 3^2 ^4 — 3n^i>x^)^ — l)2^v ijl_II_ fi- 0 g 1.8b» b-u 3l>ct" 27il» 1 2t> sa 8l>^ t>^t 27cl- ' 4N- 3dä^ 276* -i- - -i- 0 131 3) 1^3 -s- — A -s- X» : 3u^ vS L» x° x' . -r 2 ! 2x° x« " 3a' 27a° ' a ' Sa» U. s. W. 4) - 44^'4-63/-- 54)--s- 27^-^--2^4-3 X° — 6^4-21)^—44^, . -65-4-12^- 8.^ 4- — si- 4- 9^—36v--463v2—54^ -s- 27: 3v»—12)^4-12x' 4^ 9^—36^4-63/2—54^27 — 4- — 4- 0 5) f?s27—27x -4- 90x2—55x-> 4- 90x» — 27x° 4- 27x°^3—x-si3x^ ^,s^,I2Ü^L25a-t- 285a' —5O7a'4- 474a» — 384a4 , 6) ^1 4-3S2a<> — IS2a'4- S6a' — — Z — 3a 4-2a — 4a' 1 ' X^27a' , 27a- 2a ,, 4i_ --- „ 8b-> I.K4bf^ ISb- 8b a 3a- 27a'^ 3a , 2d — — -4-1 — — 4d ' 3a 3 8) 1^8x° —36x--4-78x» — 99x»-4 78x^ — 36x4-8j--- . . . 9) ! n»—6u^ 6^4-9a.o 6» 4-12a» 6^-— 36a 6^'4- 19a^ 6°4-36L^6^ -54-46» 4-2760!---:... s 1 /s4 kx , ISx- Ivx? 4Sx^ , 27x» 27x°1 10) a sä? ä° 4a^ H' 8a° j ' ' ' §. 122. Durch ähnliche Schlüsse, durch welche das Verfahren beim Ausziehen der Knbikwurzel ans zusammengesetzten algebraischen Aus¬ drücken begründet wurde, läßt sich ans dem Bildüngsgesetze des Kubus einer dekadischen Zahl für das Ausziehen der Kubik¬ wurzel aus besonder» Zahlen folgende Methode ableiten: 1. Man theile die Zahl von den Einheiten angesaugen gegen die Linke in Klassen zu drei Ziffern ab, wobei die höchste Klaffe 9* 132 auch nur eine oder zwei Ziffern haben kann. Kommen in der ge¬ gebenen Zahl auch Dezimalen vor, so werden diese vom Dezimal¬ punkte angesangen gegen die Rechte ebenfalls an Klassen zu drei Ziffern eingetheilt, und der letzten Klasse rechts, wenn sie weniger als drei Ziffern enthalten sollte, statt der fehlenden Stellen Nullen angehängt. 2. Man suche die größte Ziffer, deren Kubus in der höchsten Klasse vorkommt, schreibe sie als erste Ziffer in die Kubikwurzel, und ziehe ihren Kubus von der höchsten Klasse ab. 3. Zu diesem, so wie zu jedem folgenden Reste setze man die nächst niedrigere Klasse hinzu, und betrachte die dadurch entstehende Zahl, nach Hinweglassung der letzten zwei Ziffern, als Theildivi- dend, der durch das dreifache Quadrat der bereits gefundenen Wur- zeltheile dividirt, die nächste Ziffer der Kubikwurzel gibt. Nun bil¬ det man die Bestandtheile, welche diese neue Wurzelziffer im Kubus hervorbringt, nämlich das dreifache Quadrat der ihr vorangehenden Zahl mnltiplizirt mit der neuen Ziffer, die dreifache vorangehende Zahl multiplizirt mit dem Quadrate dieser neuen Ziffer und ihren Kubus; schreibt den ersten Bestandtheil unter den Dividend, jeden folgenden aber um eine Stelle weiter gegen die Rechte, und subtra- hirt die Summe der so angesetzten Bestandtheile von dem Dividende mit Zuziehung der früher weggelassenen zwei Ziffern. 4. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis man alle Klassen heruntergesetzt hat. Kommen in der vorgelegten Zahl De¬ zimalklassen vor, so setzt man in die Wurzel den Dezimalpunkt, be¬ vor die erste Dezimalklasse in Rechnung gezogen wird. 5. Bleibt am Ende der Rechnung kein Rest, so hat man die Kubikwurzel vollständig gefunden; sonst ist dieselbe nicht vollkommen genau, kann aber in Dezimalen mit jeder heliebigen Genauigkeit bestimmt werden, wenn man jedem Reste eine Klasse von drei Nul¬ len anhängt, und übrigens wie vorhin verfährt. 1) f^7Ä953!589 — 429 64 149.53 : 48 3.4^ 3 . 4- . 2 ...96. 3.4 . 22 . . . 48 . 22 . . . 8 4 8 655 89 : 5292 ... 3 . 42- 3 . 422. g .4 7 628'. 3 . 42 . 92 . . . 1 020 6 . 92... 729 " kk kl ,f 133 3 3 2) s/60>006-085^875 -- 39-15 3) j/5 --- 1'7099 . . . 27 1 33 006 : 27 24 3 7 29 729 687 085 : 4563 456 3 1 17 1 229 614875 : 458643 229 3215 29325 125 4000 : 3 21 147 343 8700 0000 : 86700 7803 00 41 310 729 855 6171000 : 8762043 788 58387 415287 729 66 6178701 XI. Von den Logarithmen. s,. Allgemeine Sätze. §. 123. 1. Der Logarithmus der Basis in Bezug aus diese Basis selbst ist immer gleich 1. Ist b die Basis, so ist Io§ d — 1, weil d* — b. 2. Der Logarithmus von 1 ist sür jede Basis gleich 0. Es ist — 1, daher loA 1 — 0, 3. Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe'aus den Logarithmen der Faktoren. Es sei für die Basis 6 1oA N na, 1oZ N — n, 1oZ k — so ist N --- b" , N ---- , x b". Multiplizirt man nun diese drei gleichen Ausdrücke, so hat man UM Die Basis 6 muß also zur Potenz in -s- n -s- x erhoben werden, um die Zahl NM zu geben, also ist in -s- n -s- x der Logarithmus von NM, folglich loZ Ndii? — in -s- n -s- x, oder wenn man für in, n, ihre Werthe setzt, 1o§ NM — 1o§ N -j- 1oZ X -s- loZ k. 134 Beispiele. 1) log 6 — log 2 -j- log 3 2) log 15 — log 3 -s- log 5 3) log 30 — log 2 -j- log 3 -st log 5. Man sieht: wenn für eine Basis die Logarithmen aller Prim¬ zahlen bekannt sind, so lassen sich daraus durch eine bloße Addizion auch die Logarithmen aller zusammengesetzten Zahlen ableiten. 4) log 3al>0 — log 3 -st log g -st log l) -st log 0 5) logsnst— o') —log sm -st n) srn— o ) — log sin-stn) -st Iog(in—n). Der Logarithmus eines Bruches (Quozienten) ist gleich -5 dem Logarithmus des Nenuers. Es sei sür die Basis d log LI — m , log Li n; so ist LI l>°" , Li b", daher durch die Division _r>">—" folglich log — — IN — n — log LI — log Ll. 1) log log 29 - log i31 2) log 35 29 log log 3529 — log 100 3) log log (-r-stb) — log (n —l>) 4) log Iog2ab—log 3x—log 2-st log g-st logst—log3—logx 5) los — log (re? — ^2) — log 2x)i — log (x Z- 7) -i- log (x — )i) — log 2 — log x — log 5. Der Logarithmus einer Potenzgröße ist gleich dem Potenzexponenten multiplizirt mit dem Loga¬ rithmus der Wurzel. Es sei l> die Basis und log LI — in, so ist LI st"'; er¬ hebt man jede dieser gleichen Größen ans die pte Potenz, so erhält man LI" — st"" , woraus log LI" — nip — x> log LI folgt. 135 Beispiele. 1) log 8^ — 3 log- 8 2) log (2a) s — 3 log 2a — 3 (log 2 st- log u) 3) log 2-r^ — log 2 -st- log rr^ — log 2 st- 3 log a 4) log ----- 2 log x -s- log x — 4 (log m -s- log ir) 5) log — log n st- irr log x st- n log / — log d — x log 2 6) log 2 (log n — logd) st- 3 (log irr — logn) 6. Der Logarithmus einer Wnrzelgröße ist gleich dem Logarithmus der Größe unter dem Wurzel¬ zeichen dividirt durch den Wurzelexponenten. Es sei l> die Basis und log LI — m, so ist LI — d"; zieht man aus jeder dieser gleichen Größen die pte Wurzel aus, so hat man j/ LI ----- st/b"' — b"; folglich ist log s/LI--- — Beispiele. Ml- 75 1) log f/75 » log . ->-> 1 i/-a k l> loga — >08 b 2) log - 5-- 3) log log n st- K log X — log )- 4) log m f ---- log irr st- st (log rr st- st logl> — 3 log o) 5) Io<- I — lv"1 tog (a" —x-) ^, (a st-x) -l-lox (a —x) 8. 124. 7. Gleiche Zahlen haben in Beziehung auf verschie¬ dene Grundzahlen auch verschiedene Logarithmen. Heißt p der Logarithmus von LI in Bezug aus die Basis 6, und i der Logarithmus von LI in Bezug auf die Basis d, wo L und b als verschiedene Zahlen vorausgesetzt werden; so ist LI — und LI —daher L" —b'. Wäre nun x —4, so müßte auch 136 L — d sein, was der Voraussetzung widerspricht; die Logarithmen p und müssen daher von einander verschieden sein. 8. Das Verhältniß der Logarithmen einer Zahl sür zwei verschiedene Grundzahlen ist gleich dem Ver- hältuisse der Logarithmen jeder andern Zahl in Bezug aus dieselben zwei Grundzahlen. Bezeichnet mau die Logarithmen für die Grundzahl L mit DoZ, und jene für die Basis l> mit lo§, so ist, wenn mau setzt, LI L" , LL --- b". Daitaüs folgt II" — l>^, oder wenn man beiderseits den Lo¬ garithmus iu Bezug auf l> nimmt, x Io§ L — Io§ b. Aber loZ l> — 1 , daher p lo^ L — woraus s— oder^!2^^_^_ 4 log L ' Ic>8 bl IvA L folgt. Auf dieselbe Art erhält mau auch, wenn N irgend eine von L-I verschiedene Zahl bezeichnet, daher lUxLl Dog bl log Dl IvA b!' d) Bestimmung der Logarithmen. 125. Wenn man eine nud dieselbe Wurzel als Basis annimmt, und sich durch deren Poteuzirung alle Zahlen in ihrer natürlichen Folge entstanden denkt, so bilden die Poteuzexponenten als die Logarith¬ men jener Zahlen ein logarithmisches System. Eine negative Zahl kann nicht die Grundzahl eines Logarith- mensvstems sein, weil sich durch ihre auf einander folgenden Poten¬ zen nicht alle möglichen Zahlen darstellen lassen. Wollte man z. B. —10 als Basis annehmen, so hätte man (—10)°^1, (—10)'^ — 10, (— 10)^ -- 1/^10, (— 10)- -- 100, (— 10)2 --- I-Zo- , (— 10)- — 1000, (— 10/ --- — lf>10^, (— 10)^ —' 10000 , u. s. w. Man sieht, daß, während man die Exponenten allmälig wach¬ sen läßt, die entsprechenden Potenzen keinem bestimmten Bildungs¬ gesetze unterliegen, sondern bald positiv, bald negativ, bald rcel, 137 bald imaginär ausfallen; auch ist ersichtlich, daß sich z. B. die Zah¬ len 10, 1000 . . . durch keine Potenz von —10 darstellen lassen. Auch die Einheit eignet sich nicht als Grundzahl eines Systems, weil jede Potenz von 1 wieder 1 ist. Nur eine positive, von der Einheit verschiedene Zahl kann also als Basis eines Logarithmensystems angenommen werden. Da jede ganze oder gebrochene, positive oder negative Potenz einer positiven Grundzahl stets ein positives Resultat gibt, so folgt, daß die Logarithmen negativer Zahlen nicht reell ausfallen können, somit imaginär seien. Das in der Anwendung gewöhnlich vorkommende Logarithmen¬ system ist das Briggische, dessen Basis 10 ist. Im Briggischen Systeme bedeutet daher der Logarithmus einer Zahl den Potenz¬ exponenten, zu welchem 10 erhoben werden muß, um jene Zahl zu geben. Außer den Briggischen Logarithmen werden in gewissen Rech¬ nungen manchmal auch die natürlichen Logarithmen, deren Basis 2 718281829 ist, angewendet. Wenn die Logarithmen eines Systems bekannt sind, so kann man daraus auch die Logarithmen eines jeden andern Systems berechnen. Werden nämlich die Lo¬ garithmen in Bezug auf die Basis L durch und jene für die Basis 0 durch IoZ bezeichnet, so ist, wie schon früher bewiesen wurde, ' woraus I-o- N --- Io§ N. folgt. Sind also die Logarithmen aller Zahlen kür die Basis d bekannt, so nimmt man aus diesem Systeme den Logarithmus der andern Basis L, und dividirt die Einheit durch denselten; wenn man dann mit diesem beständigen Faktor den Logarithmus irgend einer Zahl in dem bekannten Systeme mnltiplizirt, so erhält man den Loga¬ rithmus derselben Zahl in dem neuen Systeme, dessen Basis 6 ist. Es wird daher hinreichen, die Logarithmen eines bestimmten Systems zu entwickeln, und zwar soll hier das Briggische System, als das allgemein gebräuchliche, in's Auge gefaßt werben. §. 126. u. s. w. Daraus folgt, daß im Briggischen Systeme bloß jene Zahlen, welche mit 1 und rechts folgenden Nullen geschrieben werden, ganze Zahlen zu Logarithmen haben; die Logarithmen aller übrigen Zah- 138 len sind Brüche. Man hat in den Logarithmen statt der gemeinen durchgängig die Dezimalbrüche eingeführt, so daß ein Logarithmus im Allgemeinen aus einer ganzen Zahl und einem angehangten De¬ zimalbruche besteht. Die ganze Zahl in dem Logarithmus wird dessen Kennziffer oder Karakteristik, und der Dezimalbruch dessen Mantisse genannt. Um das Verfahren abzuleiten, nach welchem man zu einer ge¬ gebenen Zahl den Briggischen Logarithmus berechnen kann, bedenke man, daß wenn man g. — s/iriir annimmt, Io§ n, — wird; d. h. wenn eine Zahl gleich ist der Quadratwurzel aus dem Produkte zweier ändern Zahlen, so ist der Lo¬ garithmus der erstern Zahl gleich der halben Summe aus den Logarithmen der beiden andern Zahlen. Mit Hilfe dieses Satzes läßt sich zu jeder gegebenen Zahl der ent¬ sprechende Logarithmus ans folgende Art berechnen. Man nimmt die zwei auf einander folgenden Potenzen von 10, zwischen denen die gegebene Zahl liegt, deren Logarithmen ganze Zahlen und be¬ kannt sind; multiplizirt jene Potenzen und zieht ans dem Produkte die Quadratwurzel; der Logarithmus von der so gefundenen Quadrat¬ wurzel ist gleich der halben Summe aus den Logarithmen der mit einander multiplizirten Potenzen von 10. Nun liegt die gegebene Zahl zwischen der gefundenen Quadratwurzel und einer der beiden Potenzen von 10, und ist durch diese beiden Zahlen in engere Gren¬ zen eingeschlossen, als durch die beiden Potenzen von 10. Man sucht wieder eine Zahl, welche zur noch nähern Begrenzung der ge¬ gebenen Zahl dienen wird, indem man aus dem Produkte der bei¬ den frühem Grenzzahlen die Quadratwurzel auszieht; den Logarithmus der gefundenen Quadratwurzel setzt man der halben Summe ans den bekannten Logarithmen der zwei mit einander multiplizirten Zah¬ len gleich. Auf diese Weise verfährt man weiter, bis man zwei Grenzzahlen bekommt, deren Logarithmen in so viel Dezimalen über¬ einstimmen, als man ihrer haben will, wo sodann der in beiden Lo¬ garithmen übereinstimmende Theil der Logarithmus der gegebenen Zahl ist. Aus einem Beispiele wird dieses Verfahren deutlicher. Man suche den Logarithmus von 13 in 5 Dezimalen. 13 liegt zwischen den Potenzen 10 und 100, deren Logarithmen 1 und 2 sind. Man bestimmt also n — s/10.100 ---- s/1000 -- 31-6227766, und es ist N-IOA 31-62277660 1-5. Nun kennt man die Logarithmen von 10 und n — 316227766' von welchen Zahlen 13 näher eingeschlossen ist, als von 10 und 100- 13S Man sucht weiter eine Zahl 6, welche an 13 noch näher liegt, als 31'6227766, indem man setzt 6 --- -s/10 X a 1/316'227766 ---- 17'7827942, wo sodann IoZ b — Io§ 17'7827942 ----- 1-25 ist. Die Zahl 13 liegtnun zwischen den nähern Grenzen 10 und 6—17'7827942; man sucht daher wieder o ----- 1/10 . I> ----- sX 177 827942 ------ 13'3352144, und setzt Io» o ----- Io» 13 3352144^ XXX// 1125. Nun hat man für die Zahl 13 die noch engern Grenzen 10 und e — 13 3352144. Durch fortgesetztes Verfahren findet man 0 ---- iXlOo---- 1/133'352144 ----- 11'5478201; IoZ (1 --- 1'0625 e ----- jX-ä ----- 1X153'9926562 — 12'4093780; IoZ o ----- 1 09375 I ----- s/os ----- 1/165'4817162 ----- 12'8639696; Io§ 1 --- 1'109375 » ^--- jXX — 1X171'5437920 --- 13 0974727; IoZ » ----- 1'117188 Il --- pXtz' — 1X168'4854899 ----- 12'9801960; Io» 6 --- 1'113281 j 1X^6 1X170 0077625 ---- 13 0387024; Io§ i ---- 1'115234 fi ---- 1/chi 1/169 2449128 — 13'0094163; IoZ Ir ----- 1'114258 I iXllll ---- 1X168'8647734 — 12'9947978; Io» 1 — 1'113769 m-^f/lll -----jXl69'0547342 ---- 13'0021049; loZ nr----1'114014 n -----1/jio ---- 1X168'9897241 ----- 12'9984507; lo^ n --- 1'113892 o ----- s/rin 1X169'0072194 --- 13 0002776; IoZ- o --- 1'113953 x --- iXro ----- 1X168-9834675 ----- 12'9993640; Io» x ----- 1'113922 g ------- j/op ----- 1X168'9953406 ----- 12'9998207; Io» g — 1'113037 r ------1/oei ---- 1X169-0012778 ----- 13'0000491; Io» r ------ 1'113945 8 ---- 1/'^r ----- 1/168'9983073 ------ 12'9999348; IoA- 8 ----- 1'113941. Da nun die Logarithmen von r ----- 13-0000491 und s ----- 12'9999348 in den fünf ersten Dezimalen übereinstimmen, und die Zahl 13 zwi¬ schen i- und s liegt, so muß auch der Logarithmus von 13 bis auf die sechste Dezimalstelle mit jenen beiden Logarithmen übereinstim- men; daher IoK- 13 ----- 1 11394. Aus diesem mühsamen Wege sind von Brigg und Vlacq die Logarithmen der Primzahlen, und daraus jene der übrigen Zah¬ len ausgerechnet, und in besonder,! Tafeln, welche man Logarith¬ mentafeln nennt, zusammengestellt worden. Die Anwendung sol¬ cher Tafeln soll aus den hier folgenden Lehren ersichtlich werden. 14« §. 127. Eine einfache Betrachtung lehrt, daß die Kennziffer des Logarithmus einer ganzen Zahl immer um 1 kleiner sein muß, als die Anzahl ihrer Ziffern. Jede einziffrige Zahl liegt zwischen 1 und 10; der Logarith¬ mus von 1 ist 0, der Logarithmus von 10 ist 1; der Logarithmus einer einziffrigen Zahl liegt also zwischen 0 und 1, ist also 0 Ganze mit nachfolgenden Dezimalen; somit ist die Karakteristik 0. Jede zweiziffrigeZahl liegt zwischen 10 und 100; los 10 —1, los 100 — 2; folglich liegt der Logarithmus einer zweiziffrigen Zahl zwischen 1 und 2, und hat also 1 zur Karakteristik. Eben so überzeugt man sich, daß der Logarithmus einer drei- zisfrigen Zahl zwischen 2 und 3 liegt, somit 2 zu seiner Kennziffer- Habe, u. ff ff 8. 128. Man nehme irgend eine Zahl, z.B. 71245, so ist, da sie fünf- ziffrig, 4 die Kennziffer ihres Logarithmus; als Mantisse davon fin¬ det man in den Tafeln 8527544; also ist Io§ 71245 --- 4-8527544. Aendcrt man nun den Werth dieser Zahl, ohne die Ziffcru- reihe zu ändern, indem man dieselbe mit 10, 100, 1000, . . . mul- lipiizirt oder dividirt, so erhält man: u. s. w. 141 Man sieht, daß hier die Mantisse stets dieselbe bleibt, und nnr die Kennziffer geändert wird, und zwar ist diese jedesmal gleich dem Exponenten derjenigen Potenz von 10, welche den Werth der höch¬ sten Stelle ausdrückt. Da mass dieselben Zerlegungen und Schlüsse auch bei jeder andern Ziffernreihe durchführen kann, so gilt im Allgemeinen Fol¬ gendes: Die Mantisse des Logarithmus häugt lediglich von der Zisfernreihe ohne Rücksicht aus deren Rang ab; die Kennzif¬ fer des Logarithmus dagegen wird bloß durch den Rang der Ziffern bestimmt; sic ist nämlich gleich dem Exponenten derjenigen Potenz von 10, welche den Rang der höchsten Ziffer ausdrückt. Wenn daher zn einer gegehcncn Zahl der Loga¬ rithmus gefunden werden soll, so suche man zuerst ans den Tafeln zn der Ziffernreihe die Mantisse; als Ka¬ rakteristik setze man den Exponenten jener Potenz von 10, welche den Werth der höchsten Stelle angibt. Ist die höchste bedeutende Ziffer eine Dezimale, so ist die Ka¬ rakteristik negativ; in diesem Falle setzt man der Mantisse die Nulle mit dem Dezimalpunkte voraus, dieser positiven Mantisse wird dann die negative Karakteristik nachgesetzt; z. B. loA 0 0071245 --- 0-8527544 — 3. §. 129. In den Logarithmentafeln sind nach Verschiedenheit ihres Um¬ fanges nur die Mantissen von vier- oder fünfziffrigen Zahlen ent¬ halten. Hat nun die gegebene Zahl weniger Ziffern, so denkt man sich so viele Nullen hinzugesetzt, daß man eine vier- oder fünfziffrige Zahl erhält. Wenn z. B. die Tafeln die Mantissen der fünfziffri¬ gen Zahlen erhalten, und es wäre der Logarithmus von 382 zu su¬ chen, so nimmt man die Mantisse von 38200. Besteht aber die Zahl, deren Logarithmus gesucht wird, ans mehr als vier oder sünfZiffern, so schlägt man in den Tafeln zuerst die Mantisse für die vier oder fünf höchsten Ziffern nach, sucht die Korrektur für die folgenden Ziffern, und addirt diese zu der früher gefundenen Mantisse. Wie die Korrektur für die niedrigsten Ziffern gefunden wird, hängt von der verschiedenen Einrichtung der Tafeln ab. In großem Tafeln, welche fünfziffrige Zahlen enthalten, finden sich die den einzelnen Ziffern entsprechenden Proporzionaltheile vor; in diesem Falle nimmt man zuerst für die sechste Ziffer die dazu gehörigen Proporzionaltheile, dann für die siebente Ziffer den zehn¬ ten Theil der entsprechenden Proporzionaltheile, für die achte Ziffer den hundertsten Theil ihrer Proporzionaltheile, u. s. w.; die da¬ durch erhaltenen Zahlen bilden die Korrektur, welche zn der Man¬ tisse der höchsten fünf Ziffern addirt wird. Ist z. B. die Mantisse zu der Zahl 891 45675 zu bestimmen, so hat man 142 Mantisse zu 89145 0'9500970 Korrektur für die Ziffer 6 . . . 29 7 34 „ 5. . . _ 0^25 also Mantisse zu 891'45675 . 0'9501002'65 Da in der höchsten Stelle die zweite Potenz von 10 vorkommt, so ist 2 die Karakteristik; daher loZ 891'45675 — 2'9501003. Enthalten aber die Tafeln keine Proporzionaltheile, so findet man die Korrektur für die spätem Ziffern ans der Differenz zwischen der Mantisse, welche den höchsten Ziffern entspricht, und zwischen der nächstfolgenden Mantisse; man betrachtet nämlich jene spätem Zif¬ fern als Dezimalen, indem man ihnen eine Nulle mit dem Dezimal¬ punkte voraussetzt, und multiplizirt diesen Dezimalbmch mit der Mantissendifferenz; die im Produkte erhaltenen Ganzen sind die Kor¬ rektur, welche zur Mantisse der höchsten Ziffern addirt werden muß. Die Mautiffendifferenz ist meistens in den Tafeln selbst schon ange¬ geben, sonst muß sic erst bestimmt werden. Es sei z. B. der Loga¬ rithmus von 23456'78 zu suchen; man findet zu der Zahl 2345 die Mantisse 0'370143, und die Differenz 184; nun ist 0'678X184 — 124'752; also hat man Mantisse zu 2345 0'370143 Korrektur wegen den Ziffern 678 . . 125 somit Mantisse zn 23456'78 .... 0 370268. Die Karakteristik ist 4, weil die höchste Stelle Zehntausende bedeu¬ tet, und diese die vierte Potenz von 10 sind; also ist loZ 23456-78 --- 4'370268. Man bestimme den Logarithmus von folgenden Zahlen: 378467, 315 8034, 0'9783157, 12'31085, 777'888, 0'00571262, 3'807056. 130. Ist umgekehrt zu einem Logarithmus die entspre¬ chende Zahl zu finden, so sucht man zuerst die zu der Mantisse gehörige Zisfernreihe; aus der Karakte¬ ristik bestimmt man den Stellenwerth dieser Ziffern, es hat nämlich die höchste Ziffer denjenigen Rang, welchen die Potenz von 10 mit der Karakteristik als Ex¬ ponenten ansdrückt. Ist z. B. zn dem Logarithmus 0'7134317 — 2 die zugehörige Zahl zu suchen, so findet man in den Tafeln, daß dem Mantisse 0'7134317 die Ziffernreihe 51693 entspricht; die Karakteristik —2 zeigt an, daß die höchste Stelle 5 den Rang von 10"^ hat, daß sie also Hundertel bedeutet; somit ist 0'7134317 — 2 — Io§. 0051693. 143 In den meisten Fällen kommt jedoch die gegebene Mantisse in den Tafeln nicht genau vor; man nimmt dann die nächst kleinere Mantisse, schreibt die zu ihr gehörige Ziffcrnreihe als die höchsten Ziffern der gesuchten Zahl heraus, iind zieht die kleinere Mantisse von der gegebenen ab; ans dem Reste werden dann die folgenden Ziffern der gesuchten Zahl bestimmt, und zwar auf eine von der Einrichtung der Tafeln abhängige Art, Bei Tafeln mit Proporzio- naltheilen sucht man jenen Rest unter den Proporzionaltheilen auf, und schreibt, wenn er darunter genau zu finden ist, die links dar¬ neben stehende Ziffer als die nächstfolgende Zister der gesuchten Zahl hin; ist aber jener Rest unter den Proporzionaltheilen nicht enthal¬ ten, so nimmt man die nächst kleinern Proporzionaltheile, und schreibt ebenfalls die nebenbei stehende Ziffer als die nächste Ziffer der ge¬ suchten Zahl heraus; die kleinern Proporzionaltheile zieht man von jenem Reste ab, und hängt dem neuen Reste eine Nulle an; man sucht dann wieder unter den Proporzionaltheilen diese oder die nächst kleinere Zahl ans, und nimmt die nebenbei stehende Ziffer als die nächstfolgende Ziffer in der gesuchten Zahl an, n. s. w. Soll z. B. zu dem Logarithmus 2'3571987 die zugehörige Zahl gesucht werden, so hat man gegebener Log. 2'357 1987 nächst kleinere Mant. 357 1913 .... Ziffernreihe 22761 —74 57 ... . Ziffer ... 3 170 153 .. . Ziffer ... 8 170 .. . „ ... _9- ganze Ziffernreihe 22761389. Da die Karakteristik 2 ist, und 10? in der Stelle der Hunderte vorkommt, so muß die höchste Ziffer 2 an die Stelle der Hunderte gesetzt werden; daher 2'357 1987— 1o§. 227'61389. Enthalten die Tafeln keine Proporzionaltheile, so wird der Unterschied zwischen der gegebenen und der nächst kleinern Mantisse durch die Differenz der Tafelmantissen dividirt; die im Quozienten erhaltenen Dezimalen find die letztem Ziffern der gesuchten Zahl. Z. B. gegebener Logarithmus 0'578124 nächst kleinere Mantisse .. .066 . . Ziffernreihe 3785 58 0:1.1.5 (Tafeldiff.) ^0-504 .. 5 Die ganze Ziffernreihe ist also 3785504, und zwar bedeutet die höchste Ziffer 3 Einheiten, weil die Karakteristik 0, und 10°—1 ist; somit 0 578124 — IoZ 3'785504. Man suche noch zu folgenden Logarithmen die entsprechenden Zahlen: 2'518 3427, 1 085 0063, 0'190 8425, 0153 6428 — 1, 0 270 4455 — 2, 0008 5667 — 3. 144 e) Nechnungsoperazionen mit Logarithmen. §. 131. In Beziehung auf die Nechnuugsoperazionen mit Logarithmen sind im Allgemeinen dieselben Regeln zu beobachten, wie für deka¬ dische Zahlen überhaupt; nur hat man dabei noch Folgendes zu be¬ rücksichtigen : 1. Negative Mantissen sind in der Rechnung zu beseitigen; man führt statt derselben positive Mantissen mit einer negativen Ka¬ rakteristik ein, indem man den negativen Logarithmus von einer Zahl abzieht, die um 1 größer ist als die Karakteristik, wodurch eine positive Mantisse zum Vorschein kommt, und indem man dann diese um 1 größere Zahl als negative Karakteristik hinter die Man¬ tisse hinsetzt. Z. B. — 2 3456789 — 3 — 2'3456789 — 3 — 0 6543211 — 3. 2. Wenn man beim Addiren der Logarithmen zwei Kennziffern, eine positive und eine negative, erhält, so werden diese in eine ein¬ zige zusammengezogen. Z. B. 3'1058923 2'5681247 0 2134073 — 2 00810570 — 4 5'9684814 — 6 — 0-9684814 — 1. 3. Wenn beim Subtrahiren der Minuend kleiner ist als der Subtrahend, so addire man, um im Reste eine negative Mantisse zu vermeiden, zu dem Minuend so viele positive Einheiten, daß er größer wird als der Subtrahend, und setze dann auch als Karakte¬ ristik des Nestes eben so viele negative Einheiten. Z. B. 1-450 2568 eigentlich 4-450 2568 — 3 3-578 9207 3'578 9207 0 871 3331 — 3 0 871 3331 - 3 4. Wenn ein Logarithmus mit negativer Karakteristik mit einer Zahl multiplizirt wird, so muß im Produkte die neue negative Karakteristik mit der etwa erhaltenen positiven zusammengezogen werden. Z. B. (0-5311487 — 2) X 5 --- 2'6557435 — 10 — 0-6557435- 8. 5. Ist ein Logarithmus mit negativer Karakteristik durch eine Zahl zu dividiren, so muß die negative Karakteristik, wenn sie durch diese Zahl nicht theilbar ist, um so viele Einheiten vergrößert wer¬ den, daß sie dadurch theilbar wird; eben so viele Einheiten müssen 145 aber dann auch als Ganze zu der positiven Mantisse gesetzt wer¬ den. Z. B. (0 4150915 - 7) : 5 --- (3'4150915 — 10) : 5 --- 0-6830183 — 2. 6) Anwendung der Briggischen Logarithmen. §. 132. Durch die allgemeinen Sätze, die oben hinsichtlich des Loga¬ rithmus eines Produktes, Qmozienten, einer Potenz- nnd Wurzel- große entwickelt wurden, ist man im Stande, die Mnltiplikazion in eine Addizion, die Division in eine Subtrakzion, das Potenziren in eine Mnltiplikazion, nnd das Wurzelausziehen in eine Division zu verwandeln. 1. Hat man zwei oder mehrere Zahlen zu multi- pliziren, so nimmt man ihre Logarithmen und addirt sie, die Summe ist der Logarithmus des Produktes; sucht man daher zu jener Summe als Logarithmus die entsprechende Zahl, so ist diese das verlangte Produkt. Dieses Verfahren erweiset sich nur dann vortheilhaft, wenn kleinere Zahlen mit angehängten Dezimalen zu mnltipliziren sind, wo i:n Produkte sechs oder sieben Stellen genügen. Beispiele. 1) Man bestimme das Produkt aus 1 0954, 0-91567, 3'1571 und 1-00782. Es ist loZ 1 0954 ---0'039 5727 log 0 91567----0'961 7390 — 1 1oA 3-1571 --0-499 2883 lox 1-00782---0-003 3830 1oZ des Produktes ---0-503 9830----1oZ 3'191413, also 1-0954 X 0-91567 X 3'1571 X 1'00782 -- 3-191413. 2) 1-2345 X 1'3456 X 2'5678 — 4 265484. 3) 1-025 X 1'0792 X 1'05625 X 1'0751 --- 1'25615. §. 133. 2. Sollen zwei Zahlen mit Hilfe der Logarithmen divi- dirt werden, so zieht man den Logarithmus des Divisors von dem Logarithmus des Dividcndcs ab, der Nest ist der Logarithmus des Qnozienten; sucht man zu diesem Logarithmus die zugehörige Zahl, so hat man den verlangten Qnozienten. LlvLlliK, Algebra. 2. Aufl. 10 146 Beispiele. 1) Es soll der Quozient 528:537 oder bestimmt werden. 3- —1 Io-; 528 ^2 722 6339 ^>0-737 --2 867 4675 0'855 1664— 1 ^IOA0-716 4178, folglich M-^0 716 4178. 2) Man bestimme den Werth des Bruches x — Es ist IoZ- x -- Io»- 3'4! 56 -P ll>8 4-023 — (log 1'2378 -s- Io»- 5'87091) 1o»-3-4I56 ^ 0-533 4670 Io§ 4-023 ^0-604 5500 1-138 0170 Io-; 1 -2378 --- 0 092 6505 Io»-5-87091 ^-0-768 7054 Io» x 0-276 6611 ^- Io»- 1 -890 867. also x— 1'890 867. 3) — — 0-31831. 3-14I5S 7KS X 0-12345 §. 134. 3. Wenn eine Zabl zu einer Potenz erhoben werden soll, so suche man den Logarithmus dieser Zahl, und mnltiplizire ihn mit dem Potenzexponcuten, das Produkt stellt dcu Logarithmus der gesuchten Potenz vor; um diese selbst zu erhalten, suche mau zu jenem Logarithmus die entsprechende Zahl. Dieses Verfahren ist nur dann von Nutzen, wenn in der ge¬ suchten Potenz sechs oder sieben Ziffern hinreichend sind. Beispiele. 1) Es soll die 20ste Potenz von 1'025 gesucht werden. Man hat log-1-025 -- 0-0107239 IoA (1-025) -° 0 2144780 — los 1'638619, also (1'025)2° ^ 1-638619. 147 /329 » '-"O» 2) Mail bestimme j loZ 329--25171 959 Io§ 67^ 1-8260 748 0 6911 21 1 X I 065 5,6.0.1 6911211 414673 34556 /329*4 1.065 — 0-7360440--lax 5-445577, /329*4 1-06 5 somit — 5-445577. 3) (105)"° — 1-795856, u lZ" - ''E, 3LISSb §. 135. 4. Um aus einer Zahl eine bestimmte Wurzel aus¬ zuziehen, suche man den Logarithmus dieser Zahl, und dividire ihn durch den Wurzelexponenten, der Qnozient ist der Logarithmus der verlangten Wurzel; nimmt man die diesem Logarithmus entspre¬ chende Zahl, so hat man die Wurzel selbst. Beispiele. 1) Man verlangt die 5te Wurzel aus 10. loxlO --- 1-0000000 -: 5 1oZ pXO -- 0-200000 -- IoZ 1-584893, also stXO -- 1-584893. 9 2) Es soll der Werth vou bestimmt werden. 18 Setzt man diesen Werth — x, so ist 10" 148 Ic>b x — ^21«!; 1'052 -s- 4 IoZ 23 — (IoZ. 2 -s- 1oZ 18)^ IoK 1 052 —00220157 21<>^ 1 052 — 0 0440114 Io§23 — 13617278 4Ioo-23 -06808639 0 7248953 lo«- 2 — 03010300 Io§18 — 1'2552725 zlv§18 — ---0 41 84212 0-0054411 . p loo- X — 0-0006046 — log- 1-001393 also x— 1'001393. 3) >^3! 4-2789 —2-273837, 4) 1-M8433, 7 --- 5) H/ -^4>6 1.033333, 6) —— 0'4298825. II 1/5 j/124 -—— Zweiter Abschnitt. Lehre von den Gleichungen. Allgemeine Begriffe. 136. Die Gleichstellung non zwei Ausdrücken, welche einerlei Werth haben, wird eine Gleichung genannt. Z. B. (x -s- 2)"- X- -j- 4x -s- 4, x- — 8 2x. Die Großen, welche einander gleichgestellt werden, heißen Theile der Gleichung, und können einzeln wieder anS mehreren Gliedern bestehen. In der Gleichung x- — 8 — 2x ist x? — 8 der erste, 2x der zweite Thcil; der erste Thcil besteht aus zwei Gliedern x? und — 8. ES gibt Gleichungen, welche für jeden Wcrh der darin vor- kommenden noch unbestimmten Größen richtig bleiben; sie heißen identische Gleichungen. So hat die Gleichung (x -j- 2)? — x^ -si 4x 4 ihre Nichtigkeit, man mag für x was immer für einen Werth setzen. Jede Formel für eine arithmetische Opera- zion bildet eine identische Gleichnng. Andere Gleichungen behalten nicht für alle, sondern nnr für- bestimmte Wertste der darin verkommenden Unbekannten ihre Richtigkeit. So leisten der Gleichung x? —8—2x nnr die zwei Werthe 4 nnd — 2 Genüge. Dieß sind B est immnngs g l ei¬ ch u n ge n. Eine Bestimmungsgleichung ist also eine Gleichstellung zwischen bekannten und unbekannten Größen, welcher nur durch be¬ stimmte Werthe dieser letztem Genüge geleistet wird. Die Werthe für die Unbekannten, welche einer Gleickmng ent¬ sprechen, nennt man Wurzeln dieser Gleichnng. Die Gleichung x? — 8 — 2x hat zwei Wurzeln, 4 nnd — 2. Die Wurzeln einer Gleichnng bestimmen, heißt die Gleichung auslösen. 150 137. Nach der Anzahl der in einer Gleichung vorkvmmendcnUn- bckannten unterscheidet mau Gleichungen mit einer, zwei oder mehrern Unbekannten. So ist x? — x — 12 eine Gleichung mit einer Unbekannten, 3x -st 2^ — 13 ,, ,, ,, zwei „ x^ -st ^^-st 2^ — 14 „ „ „ drei „ u. s. w. Gleichungen, ans denen sich die Unbekannten unzweideutig be¬ stimmen lassen,'heißen bestimmt; Gleichungen, wo dieses der Fall nicht ist, unbestimmt. Jede Gleichung mit einer einzigen Unbe¬ kannten ist eine bestimmte. Die Gleichungen werden ferner in Gleichungen des ersten, zweiten, dritten, . . . Grades cingethcilt. Der Grad einer Gleichung richtet sich nach dem höchsten Potenzexponenten der unbe¬ kannten Zahl, und, wenn mehrere Unbekannte Vorkommen, nach der höchsten Summe der Potenzexponenten der Unbekannten, welche in einem Gliede Vorkommen. So sind Gleichungen des ersten Grades. i § Gleichungen des zweiten Grades. 2x^ -st 5x — 1 I Gleichungen des dritten Grades. 2x^x — 4x)^ — — 3x Die Gleichungen des zweiten Grades werden auch quadra¬ tische, jene des dritten Grades kubische genannt. In dieser Anleitung soll nur von den Gleichungen des ersten und zweiten Grades die Rede sein. Damit man den Grad einer Gleichung bestimmen könne, muß dieselbe auf die einfachste Form gebracht, d. i. geordnet werden. 5x -st 4 -- 0 f x -st 2/ — 3x — 8 j 2x- _ io f I. Ordnen der Gleichungen. 138. Eine Gleichung ist als geordnet zu betrachten, wenn darin alle unbekannten Zahlen und zwar nach den fallenden Potenzen ge¬ ordnet vor dem Gleichheitszeichen stehen, die bekannte Zahl aber hinter demselben vorkommt; wenn ferner die höchste Potenz der Un- 15l bekannten positiv ist nnd den Koeffizienten 1 hat. Das Ordnen der Gleichungen beruhet auf dem Grundsätze: Wenn man mit gleichen Ausdrücken gleiche Ver¬ änderungen vornimmt, so müssen wieder gleiche Aus¬ drücke zum Vorschein kommen. Dieser Grundsatz läßt sich durch folgende Sätze näher aus drücken. 1. Gleiches zu Gleichem addirt, gibt gleiche Summen. Ist u — b nnd o — cl, so muß auch n Z- o — k> -j- 6 sein. 2. Gleiches von Gleichem snbtrahirt, gibt gleiche N este. Ist u —k> und o — 6, so hat man auch u —o — k> — 6. Zu Folge dieser Sätze kann jedes Glied auf einer Seile der Gleichung weggelassen, nnd auf die andere Seite mit dem entgegen¬ gesetzten Zeichen übertragen werden. Hat man z. B. x -j- u — d, so ist x — l> — .i; durch diese Versetzung ist nichts anderes gesche¬ hen, als daß von beiden Theilen der Gleichung -j- n snbtrahirt wurde. Aus x? —h —px folgt x-Z-px--^^; hier wurde auf beiden Seiten xx dazu addirt, oder, was gleichviel ist, —xx sub- trahirt. 3. Gleiches mit Gleichem multiplizirt, gibt gleiche Produkte. Ist kl, — d und e — 6, so muß auch uo — k)6 sein. Mit Hilfe dieses Satzes lassen sich die Brüche in einer Glei¬ chung wegschaffen; mau darf nur beide Theile der Gleichung mit einem gemeinschaftlichen Vielfachen der Nenner mnltiplizircn. Z. B. Ans — d— o folgt, wenn man mit n multiplizirt, x — uk> — no. Eben so gibt —k> — wenn beide Theile mit nx multiplizirt werden, die Gleichung x? — ndx — ae. Auch folgt aus diesem Satze, daß man in einer Gleichung alle Zeichen in die entgegengesetzten verwandeln darf; denn dadurch geschieht nichts anderes, als daß beide Theile der Gleichung mit — 1 multiplizirt werden. Es sei z. B. — x^-j-Zx —— 5, so ist auch x? — 3x — 5. D Gleiches durch Gleiches dividirt, gibt gleiche Quo- zienten. Ist n — b> und 0 — 6, so ist auch Wenn daher die beiden Theile einer Gleichung ein gemein¬ schaftliches Maß haben, so kann man die Gleichung auf eine ein¬ fachere Gestalt bringen, wenn man beide Theile durch jenes gemem- 152 schaftliche Maß dividirt. So gibt 2x-' —8x — 4 die einfachere Gieichung x2 — 4x — 2. 5. Gleiche Großen auf dieselbe Potenz erhoben, ge¬ ben gleiche Resultate. Wenn -r^-st, so ist auch n'-^st". Durch das Erheben beider Theile einer Gleichung auf dieselbe Potenz kann die Gleichung von Wurzelgrößen befreit" werden. Es sei z. B. f/x—-l? —u; erhebt man beide Theile zur zweiten Po¬ tenz, so fällt ans der ersten Seite das Wurzelzeichen weg, und man hat x — t? — a?. Bei dieser Umwandlung muß die Wurzelgröße, welche man wegschaffen will, allein ans einer Seite des Gleichheits¬ zeichens stehen. 6. Wenn man aus gleichen Großen dieselbe Wurzel auszieht, so erhält man gleiche Resultate. Ist kl, — st, so muß auch f/n — h/st sein. Dieser Satz dient dazu, um die Gleichung auf niedrigere Po¬ tenzen der Unbekannten znrückznfnhren. Z. B. Aus x? — 10 folgt x — 1/10 , " 2- — 4 " X 2 — j./ -st st. 7. Wenu man von gleichen Großen die Logarithmen für dieselbe Basis nimmt, so erhält man gleiche Re- sul ta t e. Ist n — st, so muß auch loa-n—lo^st fein. Mit Hilfe dieses Satzes kann man die Gleichung von Expo- nenzialgrößen befreien. Ist z. B. 5' — 625, so folgt, wenu inan von beiden Theilen die Logarithmen nimmt, x log-5 — Inx; 625, wo¬ durch die Unbekannte vom Exponenten als Faktor herabkommt. 139. Um durch Anwendung der vorhergehenden Sätze eine gege¬ bene Gleichung zu ordnen, verfährt man auf folgende Art: 1. Wenn die Gleichung Brüche enthält, so werden diese wegge¬ schafft, indem man beide Theile der Gleichung mit dem kleinsten gemeinschaftlichen Nenner mnltiplizirt. 2. Kommt die Unbekannte unter dem Wurzelzeichen vor, so wird die Gleichung durch entsprechende Potenzirnng beider Theile von jener Wurzelgröße befreit. 3. Es werden alle unbekannten Glieder aus die erste Seite ge¬ bracht, zusammengezogen, und nach fallenden Potenzen geodnet: die 153 bekannten Glieder dagegen werden auf die zweite Seite übertragen nnd ebenfalls zusammengezogcn. 4. Man dividirt beide Theile der Gleichung durch den Koeffizien¬ ten der höchsten Potenz von der Unbekannten. Beispiele. 1) g (x — 2) — 2 (3xst-1) --- 1 - 4 (2x-f-3) 6x — 12 — 6x — 2 --- 1 — 8x — 12 6x — 6x st- 8x — 1 — 12 st- 12 st- 2 8x — 3 X .X-I-1.X — 1 2x , 30xst- 20x -I- 20 st- 15x - 15 24x st- 360 30x st- 20x st- 15x — 24x 360 — 20 st- 15 41x — 355 , ad _ 3) a —b-— 0 X (a—6) x — — 0 (a—b) x — ab X g, X — L X -s- a X (x — a) — X (x st- a) — 6 (x — g) x? — .gx — x^ — gx — 1)x — g6 -— 2ax —6x — -—all — (2 a st- ll) x —— all ad X — - , 2 a —d 12-3x 5) x -— 8 x^ — 12 st- 3x — 8x x^ st- 3x — 8x — 12 X- — 5x--12, —I X— I xst-I 4x — 3x2 (x st- 1) st- (x — 1) 0 4x — 3x-- — 3x-st- —1 ^-0 - 3x2 — 3X2 st- x-st-x" —— — 3 s ' 154 7) 3 1/x - 1 ^2 4 9(x —1) -^16 9x —9 ^16 9 x 25 8) 2x — , '2x -^1 — l/2l 1 — 2x 2x r^-1 —4x-f-4x" 2x -f- 4x — 4x^ — 1 — 4x^ -f- 6x — 1 101 -0— d°-«ä ^x-j-k x-j-ä A — e , 11) -^ - ---6 „ x---, 3x-f-4 Sx —3 ' 18 12) -- — om, gibt X — — , LX u, L 13) -f- — 3 „ x" ux — ^2, x—1 X—2 X—3 X —4 —- ,- „ 1102 x 36 15) 51/x — 12 j/x-^-1 — 6 „ X M>in ordne noch folgende Gleichungen: ,7) r-»-'-'^"'-.^ri>. 18) (2 — x) (32 — x) — <4 -f- x) (3 -f- x), Ä X Ä -s" X L' — X 901 — 2k-x 3^°4^2x 2 3 Ä x 911 ^3-27 x'4-22^ x—3 x-f-10 ' 22) f/ 4x2^8 x-f^3 ^4x4-1, 23) j/33 4-x^l/x — 13, 24) j/(x e)2 ^2 /(x-e)-^-^^2u. 155 II. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades. 1. Gleichungen mit einer Unbekannten. §. 140. Beispiele. 1) 2) 3) Eine geordnete Gleichung des ersten Grades mit einer Unbe¬ kannten ist auch schon aufgelöset; das Auflösen einer Gleichung des ersten Grades mit einer Unbekannten besteht demnach im Ordnen derselben. bist— eup bp— cn 4) — -st « — — L geordnet und aufgelöst kbä (e st v) sb st aä — bä' st- ^-2x—I " — 3 geordnet und aufgelöset X — 7. „ 343 —98 st. 3 248 Probe: - — — — 4 49 st 14—I KL 7 — 3 4. L — bx m.— NX . , . . , Np —vm —-— — —-— geordnet und aufgelöset X— - . < adp —dem Probe: n, — -- , . , , dp — -en adp— rren — udp-j-dem dm--rln e d ep — ) Man sucht den Werth einer Unbekannten z. B. von x ans der einen Gleichung, und substituirt denselben in die andere Gleichung,. Dadurch erhält inan eine neue Gleichung, worin bloß / verkömmt, dessen Werth daraus gefunden werden "kann. Durch Substitution dieses Wertstes in dem früher für x erhaltenen Ausdrucke ergibt sich auch der Werth für diese Unbekannte. Dieses Verfahren nennt man die S n b sti tuz i on s me t h o d e. e) Eine dritte Art der Auflösung besteht darin, daß man durch gehörige Verbindung beider Gleichungen eine Unbekannte aus den¬ selben hinwegschafft, cliuünirt. Die hiuwegzuschaffende Unbekannte muß in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten haben; ist die¬ ses nicht schon der Fall, so multiplizire mau die beiden Theile einer jeden Gleichung mit solchen Zahlen, daß jene Eigenschaft herbeige¬ führt werde. Sodann werden die zwei Gleichungen addirt, wenn die gleichen Koeffizienten der zu eliminirenden Unbekannten verschie¬ denes Zeichen haben, und subtrahirt, wenn sie dasselbe Zeichen ha¬ ben. Dadurch erhält mau eine Gleichung mit nur einer Unbekann¬ ten, deren Auflösung den Werth für diese Unbekannte gibt. Den Werth der andern Unbekannten findet man durch die Snbstituzion des bereits erhaltenen Werthes in einer der gegebenen Gleichungen. Dieses Verfahren wird die E li m i n a z i o u s m e th o d c genannt. Welche von den drei Methoden in jedem einzelnen Falle die vortheilhafteste Anflösnng gewährt, hängt von der Beschaffenheit der gegebenen Gleichungen ab. 157 Beispiele. 1) Es seien allgemein die Gleichungen ux st- — e und a/x st- aufzulösen. u) Nach der Komparazionsmethode hat mau e — dv < e' — d'v X — -- x — —— . . c — b e' — d' v daher-- —-—-, aus welcher Gleichung folgt. Substituirt man diesen Werth in dem ersten der früher für x erhaltenen Ausdrucke, so hat man a d >—- a' d 6 ad' — a'd de' — d' e b) Nach der Substituzionsmcthode bekommt man zuerst Wird dieser Werth für x in die zweite Gleichung u^x st- — 0' substituirt, so hat man ----"-.- st-b st- — 0^, woraus a — a' 6 Ld' — stb'' folgt. Durch die Substituzion dieses Werthes iu dem oben für x erhaltenen Ausdrucke findet mau, wie bei der erste» Methode, d 6 — d' e a d' -—* a'd' 0) Nach der Eliminazionsmethodc muß mau, um z. B. x zu climiniren, die erste Gleichung mit ust die zweite mit u multiplizi- rcn, wodurch man erhält ua/x st- — n'o, au^x st- ulr'x — Subtrahirt man diese beiden Gleichungen, so ist ki/l))? — — uost woraus folgt. Den Werth von x kann man erhalten, wenn man entweder aus den beiden gegebenen Gleichungen eliminirt, und die daraus sich ergebende Gleichung auftöset, oder wenn mau den bereits be- 158 kannten Werth von / in einer der gegebenen Gleichungen substituirt. Auf beide Arten erhält man, wie früher, d 6 X — H- 477. ad' — a' d 5x — 3/ — 11 nach der Komparazionsmethode auszulösen. Die erste Gleichung gibt x — II 4" 3/ „ zweite „ „ x^-—, daher woraus / — 3 folgt. Substituirt man diesen Werth von / in dem Ausdrucke 24 — 4 V 24 — 4.3 , X - -—-—-, so erhalt man X — -- — 4. Daß die Werthe x — 4 und / — 3 den gebebenen Glei¬ chungen Genüge leisten, ergibt sich sogleich, wenn man diese Werthe in den Gleichungen substituirt; man hat 3 . 4 4- 4 . 3 24, 5 . 4 — 3 . 3 --- 11. subtrahirt. nach der Substituziousmethode aufzulösen. 48 si- 13 / , .... 3) 6x — 13/ — 48 2x 4- 3/ — 16 Aus der ersten Gleichung folgt x — ; wird dieser Werth in der zweiten Gleichung substituirt, so hat man 2 . —-4 3/ — i6, woraus / — 0 folgt. Substituirt man diesen Werth von / in dem Ausdrucke 48 -4— 13 V e? < I. 48 13.0 o X — —, so findet man X — -—-— 8. Probe. 6 . 8 — 13 . 0 48, 2 . 8 -s- 3 . 0 -- 16. 4) 6x— ^5^—17/ Eiiminazionsmethvde aufzulösen. Um bei x gleiche Koeffizienten herbeizuführen, multiplizirt man die erste Gleichung nut 3, die zweite mit 2; man bekommt 12x -s- 57/ — 33 f 12x — 10/ — 34 / 67/ - 67, also / — 1. 159 Wird der Werth von in der ersten Gleichung substituirt, so erhält man 4x -st 19 . 1 — 11, woraus x — — 2 folgt. Probe. 4 . — 2 -st 19 . 1 11, 6.-2- 5 . 1 — 17. 5) X -s- X — 8, X — / ä. Durch Addizion und Subtrakzion dieser Gleichungen erhält man 2x — 8 -st ä, 2^ — 8 — 6, daher 8 ä 8 — <1 6) 7) 3x -st 4)- — 4s 12x — 6)- — 5s 16 x — 25^ — 5 5), _ 24x — 12 geben ! geben 8) 5(3x — 2)9-- 10 — 3x 2^ x -2^ aufgelvset: a — 4^' §. 142. Zur Bestimmung von drei oder mehreren Unbekannten muffen eben so viele von einander wesentlich verschiedene Gleichun¬ gen gegeben sein. Ihre Auflösung geschieht nach denselben Metho¬ den, wie die Auflösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, wie dieß aus den folgenden Beispielen erhellet. Beispiele. 1) 8x -st 5^ -st 22 — 24 l 6x —3)--st 2— 3 nach derKomparazionsmethode aufzulös. 4x -st 9/ — 62 — 4s 24 — Lx — 2 L 3 -j- 3/ — 2 4 — 9 V -1- 62 X - -;-- Aus den letzten zwei Gleichungen folgt, wenn man sie nach aufloset, ko — 2 r ) 33 i 24 — 5/ — 2r! 3 -st 3^ — L folglich ^4-^P^ 'o 4 aus welcher letztem Gleichung 2 — 3 folgt. 160 Substituirt man den Werth von 2 in einem der für x gefun¬ denen Ausdrücke, z. B. in man Werden endlich die gefundenen Werthe von und 2 in einem der für x aufgestellten Ausdrücke, z. B. in x — -t- 3^ - - substituirt, so bekommt man 3 -l- 3 x 2 — 3 , x — b Probe. 8.1-^5.2-P2.3^24, 6.1 — 3.2 st- 3--- 3, 4.1st-9.2 — 6.3^ 4. 2) 3x st- st- 2 — 18 l 2x st- 3x st- 22 28 nach der Substituzionsmethode auszul. ° 5x^2/-i-32^38 ) Aus der ersten Gleichung folgt L — — . Substituirt man diesen Werth in der zweiten und dritten Gleichung, so erhalt man 2 . ° st- 3^ -s- 22 28, oder 7^ st- 42 — 48, 5 . ^ 77^- - st- 2^ -s- 32 38, oder -s- 42 — 24. Aus der letzten Gleichung folgt — 24 — 42. Wird die¬ ser Werth in der vorletzten Gleichung substituirt, so hat man 7(24 — 42) -s- 42 --- 48, woraus 2 — 5 folgt. Substituirt man den Werth von 2 in x — 24 — 42, so ist 7 — 24 — 4 . 5 --- 4. Werden endlich die Werthe von )- und 2 in dem Ausdrucke x — - 8 — eingestellt, so erhält mau 3) 3x — 2^-s-52— 8l 2x -s- 5/ — 22 —18 nach der Eliminazionsmethode aufzulösen. 4x— /st-22 —14^ Um aus den ersten zwei Gleichungen x zu eliminiren, multi- plizire man die erste mit 2, die zweite mit 3; es ist 161 v subtrahirt 6x-s-157 — 6x — 541 i — . —-s- — ^19/-^ 162^ — 38. Um aus der zweiten und dritten Gleichung x zu eliminiren, braucht man nur die zweite mit 2 zu multipliziren, und die Sub- trakzion zu verrichten; man bekommt: 4x -s- IO7 — 42 — 36 4x— 7-^22 —14 — — — 117-62---22. Sinn bat man zwei Gleichungen, worin noch die Unbekannten 7 und 2 Vorkommen. Um aus denselben 7 zu eliminiren, wird man die erste Gleichung mit 11, die zweite mit 19 multipliziren, und die neuen Gleichungen addiren; inan erhält — 209)- -s- 176 2 --- — 418 2097 - 1142 --- 4l8 62 x — 0 ; also x — 0. Wird der Werth von 2 in der Gleichung 117 — 62 —22 substitnirt, so hat man II7 — 22, daher 7 — 2. Substituirt man endlich die Werthe von 7 und 2 in einer der gegebenen Gleichungen, z. B. in 3x — 27 -s- 5x — 8, so erhält man 3x — 2.2 — 8, folglich x — 4. 4) 5) 6) 7) 6x-s-5x- 81 x — 2O7 — 52 — 11 aufgelöset: 7 — 37 — 3x--- lj 2--§. — 47-s- 3 2 —281 x —6, 4x — 7 — 3 2 — 7s aufgelöset: 7 — 5, 2x — 37-s-62 — 21 j 2 — 4. --- 18 r> 12 3 10 6 S - ansgelöset: 3u —2x-j- 7—52— 17 i 4u-f- x — 37-^22 — — 7 6u — 5x-j-27— 13 rr — x-s- 7 — 2— 6 x — 10, ^--12, 2 — 15. aufgelöset : u— 1, x —— 1, 2, 2 — 2. 8) Man löse noch folgende Gleichungen aus: -ox 4-6,7-s-c^2 —0, ^2X 4^ 62) 4" 0^2 - 62 !1zX 4- 1^7 4- 0z2 — -, und X — 12 — 9(^ — 12), woraus x — 48, v — 10 folgt. Mit einer Unbekannten würde die Anflösnng so lauten: Ist der Vater x Jahre alt, so ist das Alter des Sohnes Jahre; vor 12 Jahren war der Vater x — 12, der Sohn ^ — 12 Jahre alt. Man hat daher die Gleichung x- 12 ^9^ — 12), woraus man x —48, und ^-—16 erhält. 11) Ein Vater verspricht seinem Sohne für jede fehlerfreie Auf¬ gabe ein Geschenk von 10 Groschen; für jede fehlerhafte Aufgabe dagegen muß der Sohn dem Vater 5 Groschen zurnckzahlen. Bei 20 Aufgaben ergab sich unn, daß dem Sohne von den erhaltenen Geschenken 80 Groschen übrig blieben Wie viele Ausgaben hat er ohne Fehler, und wie viele fehlerhaft ausgearbcitet? Die Zahl der fehlerfreien Aufgaben sei x, jene der fehlerhaf¬ ten der Sohn bekam also für die x fehlerfreien Aufgaben 10x Groschen, und zahlte für die v fehlerhaften 5)- Groschen zurück. Man hat demnach x-j-^ — 20, und lOx — 5v — 80, woraus x — 12, x 8 hervorgehet. Probe. Der Sohn bekam 10X12 — 120 Groschen,. und zahlte 5 X 8 — 40 Groschen zurück, also blieben ihm 80 Groschen. Wie wird diese Aufgabe mit einer Unbekannten anfgelvset? 12) Man suche eine zwcizifferige Zahl, welche rückwärts geschrie¬ ben um 27 kleiner wird; ihre Zisfernsnmme ist 13. Heißt x die Ziffer der Zelmer, und die Ziffer der Einhei¬ ten, so ist 10x-s-X die zu suchende Zahl; rückwärts geschrieben ist dieselbe 10/-j-x.' Man hat daher xZ-,- — 13, und 10x-j-7^10^-Px-j-27, welche Gleichungen x — 8, — 5 geben. Die verlangte Zahl ist also 85., Man löse die Aufgabe auch mit einer einzigen Unbekann¬ ten auf. 13) In einer Reichsversammlung, worin 360 Abgeordnete stimm¬ ten, wurde ein Antrag mit einer Stimmenmehrheit von 104 ange¬ nommen. Wie viele haben dafür, wie viele dagegen gestimmt? Es sei die Zahl der für den Antrag Stimmenden x, und die Zahl der dagegen Stimmenden so hat man xZ-)' — 360, und x — 104; daher x — 232, — 128. 166 14) Ein Wirth hat zweierlei Weine; von dem ersten kostet der Eimer 30 fl., von dem zweiten 16 fl. Er will dnrch Mischung 7 Eimer zu 20 fl. bekommen; wie viel Eimer wird er von jeder Gat¬ tung zu der Mischung nehmen müssen? Hier wird vorausgesetzt, daß der Werth des durch die Mi¬ schung erzeugten Weines dem Werthc der zur Mischung verwendeten Weine gleich ist. Es sei x die Anzahl Eimer des bessern, und / die Anzahl Eimer des schlechten! Weines, so ist der Werth des ersteren Be- standtheiles 30x, jener des zweiten 16/ fl. Der Werth des durch die Mischung erhaltenen Weines ist 20 X ? — 140 fl. Man hat daher x-fl/^-7, und 30x-fl16v-^140, woraus x —2, / — 5 folgt. Probe. 2 Eimer zu 30 fl. — 60 fl. 5 Eimer zu 16 fl. — 80 fl. 7 Eimer zu 20 fl. — 140 fl. 15) Jemand will ulöthiges und fllöthiges Silber legiren, und dadurch in Mark olöthiges Silber erhalten; wie viel Mark von je¬ dem Silber wird er zu der Legirnug verwenden? Es wird vorausgesetzt, daß die Legirnng eben so viel feines Silber enthalte, als die zur Legirnng verwendeten Silbermassen. Es sei die Anzahl Mark alöthiges Silber — x, „ „ „ lilvthiges Silber — /. x Mark nlöthiges Silber enthalten ax Loth fein Silber / „ klöthiges „ ,, 6/ „ „ „ Da nun die Legirnng ui Mark olvthiges Silber, also vm Loth feines Silber enthallen soll, so hat man die Gleichungen x -fl / ---- ui, und NX -fl l>/ — auf, und macht täglich 4 Meile»; 5 Tage später rückt ihm ein anderes Regiment nach, welches täglich 6 Meilen znrücklcgt. Nach wie viel Tagen wird das erste Regiment von dem zweiten eingeholt werden? — Nach 1t) Tagen. 4) Ein Wasserbehälter, welcher 20 Eimer hält, kann dnrch drei Röhren gcspcisct werden; die erste Rohre allein stillt das Gefäß in 4 Stunden, wird die zweite Rohre allein geöffnet, so wird dasselbe in 6 Stunden voll, durch die dritte Röhre allein in 12 Stunden. In wie viel Stunden wird der Wasserbehälter gefüllt, wenn alle drei Röhren zugleich geöffnet werden? — In 2 Stunden. 5) In einer Familie waren mehrere Kinder. Auf die Frage, wie groß die Zahl sei, antwortete ein Sohn: ich habe so viel Schwe¬ stern als Brüder; eine Tochter aber sagte, ich habe zweimal so viel Brüder als Schwestern. Wie viel Söhne und Töchter waren da? — 4 Söhne und 3 Töchter. 6) Jemand dingt einen Gärtner auf einen Monat (30 Tage); er verspricht ihm während dieser Zeit die Kost, und für jeden Tag, an 169 dem er arbeitet, lj-fl.; für jeden Tag, an dem der Gärtner nicht arbeitet, muß er dein Herrn z fl. für die Kost bezahlen. Nach einem Monate erhielt der Gärtner 1t fl. Wie viele Tage hat ,er gear¬ beitet, und wie viele nicht? — Der Gärtner hat 21 Tage gearbei¬ tet, und 9 Tage nicht gearbeitet. 7) Jemand wettet bei jedem Spiele 4 fl. gegen 3 fl. Nach 28 Spielen hat er weder gewonnen noch verloren. Wie viele Spiele hat er gewonnen, wie viele verloren? — Der Spieler hat 16 Spiele gewonnen, 12 verloren. 8) Feines und lOlvthiges Silber sollen zu 12löthigcm Silber ein- geschmolzen werden; wie viel von jedem Bestandtheile kommt auf 24 Mark? — 8 Mark seines, und 16 Mark lOlöthiges Silber. 9) Zwei Fässer enthalten 351 Maß. Läßt mau aus dem ersten den sechsten, und ans dem zweiten den dritten Theil heraus, so bleibt in beiden gleichviel übrig. Wie viel Maß enthält jedes Faß? — Das erste 156, das zweite 195 Maß. 10) In einer Gesellschaft waren doppelt so viel Männer als Frauen; und nachdem 8 Männer mit ihren Frauen wcggingeu, blieben noch 4mal so viel Männer als Frauen. Wie viel Männer und Frauen waren in der Gesellschaft? — 24 Männer und 12 Frauen. 11) Gin Knabe sagt: meine Mutter ist 25 Jahre älter als ich, mein Vater ist 5 Jahre älter als die Mutter, und wir alle zusam¬ men sind 9l Jahre alt. Wie alt ist der Knabe, die Mutter, der Vater? — Der Knabe hat 12, die Mutter 37, der Vater 42 Jahre. 12) Kn Vater und seine zwei Söhne zählen jetzt zusammen 96 Jahre. Vor 4 Jahren war der altere Sohn halb so alt als sein Vater, und doppelt so alt als sein Bruder. Wie alt ist jede dieser drei Personen? — Der Vater hat 52, der ältere Sohn 28, der jüngere 16 Jahre. 13) In einer Fabrik arbeiten 26 Arbeiter, theils Meister, theils Gesellen; jeder Meister erhält täglich 40 Groschen, jeder Geselle nur die Hälfte davon. Wurde man jedem Meister von seinem Lohne 4 Groschen abziehcn, und dafür jedem Gesellen so viel znlegen, so möchte der tägliche Lohn nm 56 Groschen mehr betragen. Wie viele Meister, und wie viele Gesellen arbeiten in der Fabrik? — 6 Mei¬ ster und 20 Gesellen. 14) Drei spielten mit einander. Im ersten Spiele verliert der erste an jeden der andern so viel als jeder von diesen bei sich hatte; jm zweiten Spiele verliert der zweite an den ersten und dritten so viel als jeder derselben hat; im dritten Spiele verliert der dritte an die ersten zwei so viel als jeder hatte; nach geendigtem Spiele hatte jeder 24 fl. Wie viel hatte ein jeder im Anfänge des Spie¬ les? — Der erste hatte 39 fl., der zweite 12 fl., der dritte 21 fl. 170 15) Von drei Metallstücken enthält das erste 26 A. Kupfer, 11 A. Zinn und 9 Al Blei, das zweite 18 „ „ 4 „ „ „ 5 „ „ das dritte 36 „ „ 2 „ „ „ 10 „ „ Aus diesen Stücken will mau ein viertes znsammensetzen, das 22 Al Kupfer, 7 Al Zinn und 7 A. Blei enthält. Wie viel Pfund von jedem der drei ersten Metallstücke wird mau dazu nehmen? — Von dem ersten 23 Al, von dem zweiten 9 A., und von dem drit¬ ten 4 A.. 16) Ein Vater läßt bei seinem Tode die Frau mit 3 Söhnen zurück, und vermacht sein Vermögen auf folgende Art: die Fran soll den dritten Theil des ganzen Vermögens, der erste Sohu den drit¬ ten Theil deS Restes mehr 600 st., der zweite Sohu wieder den dritten Theil des neuen Nestes mehr 2200 fl., und der dritte Sohu den Rest voll 5400 sl. erhalten. Wie groß war das ganze Vermö¬ gen, und wie viel kommt auf die Frau uud jeden der ersten zwei Söhne? — Das ganze Vermögen beträgt 27000 fl., auf die Frau kommen 9000 fl., auf den ersten Sohn 6600 fl., auf den zweiten 6000 fl. 17) In einem Haufen Erz enthält der Zentner 3 Loth, in einem andern 17 Loth Silber. Man will aus beiden Haufen 80 Zentner mengen, jeden Zentner mit 11 Loth Silbergehalt. Wie viel Zentner sind von jedem Haufen zu nehmen? 18) Vom Orte -4. aus geht des Morgens 5 Uhr eine Lokomotive ab, welche in 4^- Stunden 17 Meilen zurücklegt. Um 5^ Uhr wird von L aus, welcher Ort 7 Meilen hinter liegt, der ersten Loko¬ motive eine zweite nachgesendet, die 13 Meilen in 3 Stunden fährt. Wann wird die zweite Lokomotive die erste einholen? 19) Zu einer Arbeit erbieten sich drei Personen, 13 und 0. und 13 würden zusammen die verlangte Arbeit in 18 Tagen lie¬ fern können, uud 6 zusammen könnten dieß in 42 Tagen, uud 13 und 0 zusammen in 9 Tagen. In welcher Zeit kanu 'jede Per¬ son für sich allein die Lieferung bewerkstelligen, und in welcher Zeit kann dieselbe durch alle drei Personen zusammen geleistet werden? III. Unbestimmte Gleichungen des ersten Grades. §. 146. Wenn man zur Bestimmung von mehreren unbekannten Grö¬ ßen weniger Gleichungen hat, als Unbekannte zu bestimmen sind, so kann man doch durch allmaliges Eliminiren der Unbekannten im¬ mer zuletzt eine einzige Gleichung mit zwei oder mehrer» Unbe- 171 kannten erhalten. Wird ans dieser Gleichung die eine Unbekannte durch die übrigen ausgedrückt, so kann mau für diese alle beliebigen ganzen und gebrochenen, positiven und negativen Zahlen setzen, und erhält dann auch für die erste Unbekannte eben so unzählig viele Werthe. Eine solche Gleichung mit zwei oder mehreren Unbekann¬ ten wird daher eine unbestimmte Gleichung genannt. So ist z. B. 3x-ss4/ — 10 eine unbestimmte Gleichung; es folgt aus ihr , und es ergeben sich für x — 2, — z , 0, 2, 10, ß, . . . die Werthe 4, 1, — 5, ^, . . . Es gibt also unendlich viele Werthe von x und welche alle der Gleichung 3x -s- 4/ — 10 Genüge leisten. Zu ihrer Ausmitt¬ lung bedarf es keiner besonder» Anleitung. Meistens wird jedoch bei solchen Gleichungen verlangt, daß die Unbekannten, welche man bestimmen will, gewissen besonder» Bedingungen nnterworsen sind. So verlangt man bei den unbe¬ stimmten Gleichungen des ersten Grades, daß die Unbekannten ganze, oder positive, oder ganze und positive Zahlen zugleich sein sollen. Wie man für die Unbekannten solche Werthe ansmitteln kann, welche diesen Bedingungen entsprechen, soll in dem Nachfolgenden gezeigt werden. 1. Auslösung in ganzen Zahlen. 147. Wenn in einer unbestimmten Gleichung nx Z- d)? -s- o- -s-... — p die Koeffizienten n, U, o, ... ein gemeinschaftliches Maß iu haben, durch welches p nicht theilbar ist, so läßt sich die Gleichung in ganzen Zahlen nicht anflösen. Denn es ist auch « d . e p - . X ss-. / -P — . 2 -j- . . . — -, IN m m IN mm sind -^, ... ganze Zahlen, und es können unmöglich x, )?, 2, ... zugleich ganze Zahlen sein, weil sonst auch L b ist, so erhalten wir zunächst x — ° — Mittelst der Division durch n bekommen wir eine ganze Zahl von der Form in — n/, wo in auch Null sein kann, und einen Nest von der Form wo ebenfalls Null sein kann; es ist somit x — in — n^ Z- —-—. Da nun x und ganze Zahlen sein müssen, so mnß auch der Bruch -— eine ganze Zahl sein; nennen wir ihn u^, so dast -—— — u, eine ganze Zahl, und x — in — n^ -s- i>, ist. Ans der erstem Gleichung erhalten wir — und nach der Division durch wie früher, — n^ — n^r^ Da uun x uud ganze Zahlen sein müssen, so muß auch der Bruch --- - b-u. xjne ganze Zahl sein, und es ist x —— -u^i^ " o n „ Die vorletzte Gleichung gibt wieder u^—und nach verrichteter Division n^ — wz — N2U2Z-", —— - Weil r^ uud Uz ganze Zahlen sind, so muß auch der Bruch — n^ eine ganze Zahl sein, wo daun n^ — n^ — UzUzss-Uz ist. Die bisher geführte Rechnung wird sich so stellen: , , ... 0 — dv , o, — k.v ux-s-l>^ — L gibt X — —-—— IN — n/ Z-- — Ni — N^-s-iij ..... 1) e,— d,)' e,—»u, — b-M -— --- u, „ IN^ — n^ n, -s -- — Ni; — ii, Z- »2 . . . 2) -^--^ii2 „ u, - INz-NzUz-ss-^-- — li>2 U2N2 Z- Nz . . 3) Durch dasselbe Verfahren würde man weiter erhalten: «z —d,,Ur .... 0.2 — dzliz , b.liz — - -— Uz gibt Uz — —--— Mg — lizUzss --- bz vz r>z — INz —7" UgUg -P U^ , 2 4) 173 Aus dem Gange der Rechnung folgt von selbst, daß jedes nachfolgende k> wenigstens nm 1 kleiner sein müsse, als das vorher¬ gehende, welches den Divisor vorstellte; da nun b zugleich immer eine ganze Zahl ist, so muß endlich ein Rest b, kommen, welcher der Nulle gleich ist, und zwar im allerungünstigsten Falle nach so viel Operazionen, als der erste Divisor Einheiten enthalt; wird aber k>,. — 0, so mnß auch o, — 0 sein, weil sonst ri,^ — Mr-i — n,._i Z- — keine ganze Zahl sein könnte, was es vermöge der I)r—1 Natur des Verfahrens doch sein muß. Nehmen wir also an, daß 1^ — 0 wird, wo dann auch o, — 0 sein muß; daun verwandelt sich der Ausdruck 4) in den folgenden: »2 — mg — Hz"». Man mag unn hier für r^ was immer für eine ganze Zahl setzen, so erhält man für u? eine ganze Zahl, folglich vermöge 3) auch für ri,, vermöge 2) auch für und somit ver¬ möge 1) auch für x. Man kann den Werth riz — so¬ gleich in 3) snbstituiren, dann die Werthe von und r>2 in 2) und endlich die gefundenen Werthe von und r^ in l); dadurch erhält man für x'und zwei Ausdrücke, welche von ri^ abhängen, in welchen man nnr für iig was immer für eine ganze positive oder negative Zahl zu snbstituiren braucht, um für x und )- alle mög¬ lichen ganzen Zahlen zu erhalten. Wir sind bei dieser Entwicklung von der Annahme ausgegan¬ gen, daß ist. Wäre umgekehrt d durch a oder b> theilbar ist, so wird'die Rechnung am kürzesten aussallen, wenn inan aus des gegebenen Gleichung zuerst jene Un¬ bekannte bestimmt, deren Koeffizient ein Maß von o ist, Aus Beispielen wird das ganze Verfahren klarer werden. Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 13xZ-19)- — 73 in ganzen Zahlen anfzulösen. Man hat folgende Rechnung: 13xZ-19)-^73 gibt — 1 — 2u, - »2, 2 — M -- "2 Uz — 2 — 6»2- Durch Snbstitnzion erhält mau nun 174 1 - 4 -j- 12uz Z- Uz — - 3 -st 13Uz X 5 st- 3 — 13uz -st 2 - 6uz 10 — 19uz. Setzt man daher Uz — — 2, — 1, O, 1, 2, . . . so wird x 48, 29, 10, — 9, - 28, . . . — 29, — 16, — 3, 10, 23, . . . Jedes zusammengehörige Paar aus diesen Werthen für x und z? leistet, wie man sich leicht überzeugen kann, der gegebenen Glei¬ chung Genüge. 2) Sei die Gleichung 7x-st 11^-18 in ganzen Zahlen aufzu- Durch allmälige Snbstituzion findet man nun u, — 3uz st-Uz — 4u„, y — 1 — 4uz — 3uz — 1 — 7uz, x 2 — 1 st- 7uz st- 4uz 1 -st 11 Uz. Mr Uz^- 2, — 1, 0, 1, 2,.. 3) Um die Gleichung 105x — 43^—17 in ganzen Zahlen auf- gilösen, wird man daraus v bestimmen, weil diese Unbekannte den leinern Koeffizienten hat. 175 »2 — 4u^ — 2-i-Ui —5u^ — 2 u^ — 15u, — 6 — 3 -j- 4u^ — 2 — 19ui — 11, x -38^ — 22 4- 5u^ — 2 — 43u, —24, 7 — 86u^ —48 4- 19u^-11 — 105u, — 59. Mr u, —— 10, — 1, 0, 1, 10, . , , erhält man x — — 454, — 67, —24, 19, 406, . . . V ^r —1109, — 164, —59, 46, 991, . . . 4) Es soll die Gleichung 7x —4^ —21 in ganzen Zahlen aus- gelöset werden. Da 2l durch den Koeffizienten von x theilbar ist, so wird man zuerst den Werth von x suchen. 7x —4.V —21 -m — — 6 Z- u,, 7u, 3u, 4 ll2 I ^2 I — Uz 4-^ — Uz 4-Ug, ,, Uz 3 Uz , daher u, — 4 Uz und — 7uz, X — — 3fi-4uz. Für uz — 0, 1, 2, 3, . . . wird x — — 3, 1, 5, 9, . . . V — 0, 7, 14, 21, . . . §. 148. 6. Auflösung einer unbestimmten Gleichung mit mehr als zwei Unbekannten. Um eine unbestimmte Gleichung mit drei oder mehreren Un¬ bekannten in ganzen Zahlen aufzulösen, wendet man dasselbe Ver¬ fahren an, welches früher für zwei Unbekannte abgeleitet wurde; man kommt auch hier zuletzt immer auf eine Gleichung, welche kei¬ nen Bruch mehr enthält, und bekommt dann durch gehörige Substi- tuzion die allgemeinen Ausdrücke für die Unbekannten, in denen je¬ doch nicht, wie vorhin, eine einzige willkürliche Größe erscheint; die Anzahl solcher willkürlichen Größen ist vielmehr, wie dieß aus der Natur der Sache von selbst erhellet, immer nm 1 kleiner als die Zahl der Unbekannten. 176 Beispiel. Es sei die Gleichung 4x -s- 6/ -s- 11? — 106 in ganzen Zah¬ len aufznlösen. Man erhält IOK — «7 —Nü . 2 — 2y —32 X 26 - - 2^ 's- ; - — 26 — — 2 2 -s- u. Die Gleichung -—" gibt 2 — 82 — 4ii, . ' 2 , „ I - I - 2 ", - — l - 2 - - 2 u, — n. — u, gibt 2 — 2»2- Mau hat daher 2 — 2r>2 — 1 — 2 ir^ — 3 »2 x — 25 -s- 3ri, — «2- Seht man nun für u, und 112 beliebige ganze Zahlen, so er¬ hält man auch für x, 2 ganze Zahlen. Für n, — 1, 2, 3, . . . und r>2 — — 1, O, 1, . . . wird x — 29, 31, 33, . . . — 2, — 3, — 8, . . . 2^—2, 0, 2, . . . 149. e. Auflösung mittel st der Nä h e r u n g S b r ü ch e. Für die Auflösung der unbestimmten Gleichungen mit zwei Unbekannten in ganzen Zahlen gibt es noch eine zweite ganz ein¬ fache Methode, welche auf den Eigenschaften der Nähernngsbrüche beruhet. Es sei die Gleichung nx Z- 6)- — p in ganzen Zahlen aufzulösen. Verwandelt man — in einen Kettenbruch, und sucht dessen n, Nähernngsbrüche, so wird der letzte sein; der vorletzte heißt Es muß nun nach den Eigenschaften der Näherungsbrüche nm — lm — ^1 sein. Ist nm — l)ir — -s-1, so wird mich nmp — Unp — zr sein; somit bilden die Werthe x — mp, —— np eine Auflösung in 177 ganzen Zahlen für die gegebene Gleichung nx-std^-p. MM dieses ist nicht die einzige Auflösung in ganzen Zahlen; man kann in der Gleichung aurp— dup —x im ersten Theile adu als Ad- dend und Subtrahend hinzusetzen, wodurch man bekommt: nwp -st udu — dir;) — udu — p, oder g, (rap -st du) — d (up -st au) — p. Es leisten daher allgemein die Werthe X —iu;>-stbu, —— Up — ÄU, wo man für ei jede beliebige ganze Zahl setzen kann, der vorgelcg- ten Gleichung Genüge, Wäre dagegen nur— du —— 1, so müßte — am-st du — -st 1, also —ampst-dup — p sein, und mau hätte als eine Auf¬ lösung in ganzen Zahlen die Werthe x —— mp, —up. Es ist aber auch — arux — adu-st du;r-st adu —oder — a (mp -st du) st- d (np -st au) — : daher allgemein x— — mp — du, —upst-au, wo u jede ganze Zahl bedeuten kann. Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 25x —11^^20 in ganzen Zahlen auszulösen. Verwandelt man in einen Kettenbruch, so erhält man H und H als die zwei letzten Näherungsbrüche. Es ist nun 4.25 — 11. 9^- -st 1. Setzt man daher x —4.20 —80, ^ — 9.20 — 180, und substi- tuirt diese Werthe in die gegebene Gleichung, so wird ihr dadurch Genüge geleistet. Allein es geschieht der Gleichung auch Genüge, wenn "man x —80 -stilu, —180-st25u setzt, wo u jede ganze Zahl vorstellen kann; man findet für u — —2, — 1, 1, 2, . . . x --- 58, 69, 91, 102, . . . — 130, 155, 205, 230, . . . 2) Es soll 29x-j-9/—15 in ganzen Zahlen aufgelöset werden. Man verwandle stst in einen Kettenbruch, so sind die letzten zwei Näherungsbrüche "davon und -/7,, und zwar ist 4.29 — 9 . 13 — 1; daher bilden x — — 4.15 — — 60, ^ — 13.15 — 195 eine Auf¬ lösung in ganzen Zahlen. Allein man bekommt noch unzählig viele Auflösungen in ganzen Zahlen, wenn man x —-60 —9u, ^--195-st29u setzt. NoönLf Algebra. 2, Aufl. 12 178 Für u-^-10, — 3, 1, 10,... erhält man x — 30, —33, —69, — 150, . . . / -95, 108, 224, 485, . . . 2. Auflösung in positiven Zahlen. 150. Es ist von selbst klar, daß eine Gleichung ox-j-6)--j-c>^-i-... — p, in welcher die Unbekannten lauter positive Koeffizienten b, o, ... haben, während p negativ ist, eine Auflösung in positiven Zahlen nicht zulasse. Um nun eine anders gebaute unbestimmte Gleichung in positi¬ ven Zahlen anszulösen, suche man den Werth von einer Unbekannten auS der Gleichung. Soll dieser Werth positiv sein, so müssen die positiven Glieder, ans welchen er bestehet, zusammen größer sein als die negativen; man darf daher für die übrigen Unbekannten nur solche positive Zahlen annehmen, für welche jener Bedingung Ge¬ nüge geleistet wird. Beispiele. 1) Es sei die Gleichung 3x-si5)-n18 in positiven Zahlen auf- znlösen. Man hat x — . Damit x positiv sei, muß 18 >5)-, also / < stiu; man darf also für y alle positive Zahlen setzen, welche kleiner als sind, um auch für x einen positiven Werth zu erhalten. Für -h, 1, 2, 4, 5,... erhält man x --- 1/, Z, 4, — Z, Man sieht also, daß x positiv wird, so lange bleibt, und negativ, sobald die Große übersteigt. 2) Man löse die Gleichung 7x —5/ — 11 in positiven Zah¬ len auf. Die Gleichung gibt x — , worin > 11 oder sein mnß, damit x positiv sein könne. Setzt man daher für v Werthe, welche übersteigen, so erhält man lauter positive Auf¬ lösungen. 3) Man löse die Gleichung 5x-j-7)--s-11237 in positiven Zahlen ans. Ans der Gleichung folgt x — es muß daher 179 37>7>-s-Hr: sein, und daher anch 7^-<37 und 11r:<37, oder ^<»Z und x35 Z-II2, woraus 2<^ folgt. Für —5 darf man also für 2 nur Werthe zwischen 0 und < annehmen. 3. Auflösung in ganzen und positiven Zahlen. §. 151. Man löse die Gleichung zuerst in ganzen Zahlen auf, und be¬ schränke dann die dadurch erhaltenen noch unbestimmten Werthe für die Unbekannten so, daß sie den Bedingungen entsprechen, an welche die Auflösung in positiven Zahlen gebunden ist. Beispiele. 1) Es soll die Gleichung 13x -s- 19v — 356 in ganzen positiven Zahlen ausgelöset werden. 13x-s-19)" — 356 gibt x — "ss — 27 — — 27 — -s- u,, 2^1 < ri^, - — U^ „ Ui — 5 — (-U2- Die Gleichung in ganzen Zahlen aufgelöst, gibt also — — 10Z-13u2, x —42 —19ei2. Damit nnn positiv sei, muß, wenn 112 positiv angenommen wird, 13ri2>l0, aljv riz > fß sein; damit x positiv sei, muß 42>19r>2, mithin u2< fZ sein; diesen beiden Bedingungen aber entsprechen nur die zwei Werthe r>2 —1 und ^ — 2. Für jeden negativen Werth von riz wird anch negativ. Die Gleichung läßt also nur zwei Auflösungen in ganzen und positiven Zahlen zu; für Uz — 1 wird x —23, — 3; „ Uz — 2 „ x— 4, 16. 2) Man löse die Gleichung 13x-l-17v —77 in ganzen und po¬ sitiven Zahlen auf. Man hat 12 180 77_I7v 12_ aus 13x 17^ — 77 den Werth x — ——— — 5 —. z? -s- ——— — 3 — 3^ "Uz, I>t _ _ - . „ — »2 '/ N ^1 — ^^>2 , daher ^ — 3 — 13uz, x —2-s-17u2, welche Ausdrücke alle Auflösungen in ganzen Zahlen enthalten. Da x für jeden positiven Werth von Uz Positiv ausfällt, so braucht man r>2 nur mit Rücksicht auf / zu beschränken; damit aber positiv sei, muß 3>13»2, also Uz < sein. Für negative Werthe von r>2 wird / stets, x aber nur dann positiv, wenn 2^>17uz oder riž ^230. 7 ° 11 77 ° Diese Gleichung in ganzen Zahlen ausgelöst, gibt X — 5 - 7llz, 25 -si llUz. Damit x und 5- positiv seien, muß für positiveWerthe von Uz 5>7ug oder u,l1uz oder Uz 2s sein; die Werthe von vz müssen also zwischen — ss und s liegen, und können nur sein —2, —1, 0. Man hat daher für Uz — — 2 ... x — 19, / — 3; „ riz — — 1 ... x — 12, x ----- 14; „ Uz — 0 ... x — 5, / — 25; und die gesuchten Brüche sind oder und ss, oder s und fs. 4) Man suche eine Zahl, welche durch 7 Heilbar ist, aber durch 29 dividirt 13 zum Reste gibt. Es sei a die verlangte Zahl. Wegen der Bedingungen der Aufgabe ist —x und —x und zwei ganze po¬ sitive Zahlen bedeuten; daraus folgt a----7x, n —29)- Z- 13, und daher 7x —29/Z-13, welche Gleichung in ganzen positiven Zah¬ len aufzulösen ist. Die Auflösung in ganzen Zahlen liefert x — 29u; — 23 , — 7u^ — 6. 181 Man sieht sogleich, daß x und / nur für positive Werthe von positiv sein können, und zwar für alle Werthe, welche größer als M und größer als § sind, somit für alle positiven ganzen Zah¬ len 1, 2, 3, 4, ...; die Aufgabe läßt also unendlich viele Aus¬ lösungen zu. So erhält man für — 1 . „ ri^ — 2 . „ ri, — 3 . x — 6, / x — 35, / x 64, / u. s. w. 1, u — 42; 8, u — 245; 15, a 448; 5) Man soll 50 in zwei ganze positive Zahlen so zerlegen, daß die eine durch 7, die andere durch 13 theilbar ist. Nach der Bedingung der Aufgabe muß der eine Theil die Form 7x, der andere die Form 13/ haben, und die Gleichung 7x-s- 13/ —50 Statt finden, wo x und / ganze positive Zahlen bedeuten. < Die Auflösung in ganzen Zahlen gibt x — 9 — 13ri2, / — — 1 Z- 7nz. Für positive muß u? und U2^>^- sein, welcher Be¬ dingung keine ganze Zahl entspricht; für negative ri2 müßte / ne¬ gativ sein. Die vorgelegte Ausgabe läßt also gar keine Auflösung zu. 6) Man soll die Gleichung 7x -s- 22/ Z- 30? — 103 in ganzen und positiven Zahlen auflöseu. Die Auflösung in ganzen Zahlen ist: x — — 1-ff 22 ff-22^ , / — 52s — 7uz. Für positive Werthe von u, .muß, damit x positiv sei, 22ff-22r^>1, und damit / positiv sei, 5>22-ff7u, sein, woraus —-—- und 2<—-— folgt. Da 2 positiv sem soll, so muß 5>7r^ oder u, Man darf also für Uz keinen positiven Werth setzen, der ff überschreitet. Für negative Werthe von muß, damit x und / positiv seien, 2rr > 1 ff- 22u, und 5 ff- 7 Uz 22, oder 2 und 2 < - sein. Aus diesen beiden Rclazioncn folgt offenbar, daß —— > — —>, mithin u, < sein müsse. Man darf also für keinen negativen Werth setzen, der numerisch größer als wäre. Die Größe muß. demnach zwischen und ff liegen; und da sie eine ganze Zahl sein muß, so kann man nur Ui—0 wählen. Für diese Annahme gehen die obigen Bedingungen über in 2>ff und 2 folgt x^ —ad, daher x — j/ud; d. h. die mittlere ProPorzionale zwi¬ schen z w c i Z a h l e n ist gleich der Quadratwurzel aus dem Produkte derselben. §. 154. Die allgemeine Form einer geordneten unreinen quadra¬ tischen Gleichung ist x? -s- ux — d. Da der erste Theil der Gleichung zwei Glieder enthält, so ist er sicher nicht das Quadrat eines algebraischen Ausdruckes. Allein er kann auch nicht das Quadrat eines Binoms sein, da das¬ selbe ans drei Gliedern bestehen muß, nämlich ans dem Quadrate des ersten Gliedes, anö dem doppelten Produkte beider Glieder, und ans dem Quadrate des zweiten Gliedes. Uni also ans dem ersten Theile die Quadratwurzel auszichen, und dadurch den Werth 18-l für die Unbekannte bestimmen zn können, handelt es sich znnächft darum, zn beiden Theilen der Gleichung eine solche Größe zu ad- diren, daß der erste Theil das vollständige Quadrat eines Binoms werde. Betrachtet man nun x? als das Quadrat des ersten Glie¬ des, somit x als das erste Glied des Binoms, ferner ux als dop¬ peltes Produkt beider Glieder, also -^-.x als das einfache Produkt beider Glieder, so muß, da x das erste Glied ist, das zweite Glied vorstellen; es fehlt also, damit der erste Theil der Gleichung das vollständige Quadrat des Binoms x -j- werde, nur noch das ^2 Quadrat des zweiten Gliedes, nämlich Addirt man daher zu -^2 beiden Theilen der gegebenen Gleichung — dazu, so hat man X? -s- u,x si-s), 4 4 oder —-s-b; und, wenn man ans beiden Theilen di e Quadr atwurzel auszieht, folglich X st- b. In einer geordneten unreinen quadratischen Gleichung ist demnach die Unbekannte gleich dem hal¬ ben Koeffizienten der ersten Potenz mit entgegen¬ gesetztem Zeichen, mehr oder weniger der Quadrat¬ wurzel aus dem Quadrate dieses halben Koeffizien¬ ten und aus der bekannten Größe. Man sieht, daß auch jeder unreinen quadratischen Gleichung durch zwei Werthe der Unbekannten Genüge geleistet wird. Ist b L>? positiv, so sind, da stets positiv sein muß, die beiden Wurzeln reell. Ist b negativ, so sind die zwei Wurzeln auch reell, wenn — ist; für —b> ist die Größe unter dem Wurzelzeichen gleich Null, und die beiden Wurzeln sind einander gleich; für — <^h> endlich fallen beide Wurzeln imaginär aus. Beispiele. 1) x? — 6x —16. x 3 ^ 9 si- 16 3 P"25 -- 3 5; daher x —3-j-5 —8, oder x —3 —5 —— 2. 185 Probe. 8? — 6.8—16, (— 2)2 — 6 . — 2 — 16. 2) x2-^-7x-j-12 —0; geordnet x2-)-7x ——12. Probe. (—3)2 P-7.— 3 P-12 — 0, (—4)2 P-7.-4-P 12-^0. x — ' X — — j'l — 5) x2 —2x-)-2 —0; geordnet x2 —2x —— 2. X --r 1 j/1 -2 — 1 1/- 1; X — 1 1 , X — 1 — j/ —1. I 6) (n — b)x2 — bx —n; geordnet x2-— — —. a — d a — d 2 (k— b) 4(k—d)^ k— d b » ^/)>^-)-4k(k— d) — 2<>—d) 4(L —d)- _ 1 / 4k'.— 4kb-^^>^ d 2k — b, 2(k —b) — 4 (k — d)' 2 (k — b) 2 (k — b) ' — b4-2k—d k d^2k-)-b — 2(s —d)^ 2(a — b) k —d' 2 0 -- b) 2 (» — b) 186 7) x--4x4-4-- 0 gibt x--2, 8) x2^2x-i-4 —O „ x-^ —1-s-l/-3, . 6x ^-5 . 10) -— 4x— 15 „ X —5, Lx —3 ' x-i-2 Sx —4 ' 7 12) 2x—3j//^1--4 „ x--5, x--2. x--—1 —1/-3. ^5-1/77^ 2 ' x--1. — 3 — UlSK X —-. 7 X-^. Es svilen noch folgende Gleichungen aufgelösct 13) 15x"-16x--15, , 5x^ , x 1Y 18) ^-/1-^ werden: 19) x — 2 j/x^ — 3x-s-5 —10, 20) ^2x Z- 7 — ^3x — 18 --- s/7x -s- 1. §. 155. Es seien in der allgemeinen quadratischen Gleichung x^-s-ux —d die bekannten Zahlen u und b irrazional, z. B. u —1/in und 6 —s/n, so daß die Gleichung die Form X? -s- l/in . X — s/n annimmt, so bekommt mau Z. B. die Gleichung x? — 4x1/2 — 31/3 gibt x -- 2 s/2 l/ZHZ/^ Bei allen derlei Gleichungen kommt man also aus einen Aus¬ druck von der Ferm 1/p^ s/ xll j/(, --rX Z--w 2 s/'X)'. Soll diese Gleichung bestehen können, so müssen darin noth- wendig die razioualen Glieder für sich gleich sein, und eben so die irrazioualen; es muß also x Z- x — p- 2^ - 1^ sein. Erhebt man diese beiden Gleichungen zum Quadrat, so erhält man: x? -s- 2x/ -s- — ^2, 4x^ v — (s/x)2 -s- (s Z')'Z s/^i 2 s/x)-; es muß so mit x als die Summe der Quadrate zweier Zahlen gewiß positiv und zugleich größer als deren doppeltes Produkt l/y sein. Beispiele. 1) 1/Z^7s- 4. 1/^4? 4) 1/5 2s/6 — 1/5 -s- 1/24 — s/3 -s- 1/2. Wenn in dem Binom px/s/i beide Glieder einen gemein¬ schaftlichen irrazionalen Faktor haben, so wird derselbe vor dem Ge¬ brauche der Formel herausgehoben. 5) 1/3 s/2-1/10 -- 1>2.1/3-1/5 - j>2. s/4 - 1/zl --^ss/5-1). /2 Ist? 1/sE so fällt 1/i>—1/ci imaginär aus; allein die Formel V? Z- s/cl ß/ -- 2 - st - 2 - gibt unter dieser Voraussetzung auch sur l/xst-s/ci ein imaginä¬ res Resultat, das doch reell sein mnß; durch eine einfache Trant/ sormazion kann übrigens die Formel auch in diesem Falle anwend¬ bar gemacht werden, man darf nur s/h als Faktor herausheben' es ist nämlich 189 wo /-<1, also 1>^/-- ist, und somit die allgemeine Auf lösungsformel in Anwendung gebracht werden kann. 6) 1/12/81/3 r- 1-192.1/1 / 1//4 -1-192. l/l-s-s/^ -- /"48.1/2-/1/3 --/-11/4/^1//1 Auf dieselbe Art behandelt man auch den Ausd ruck p-s- l/. Wenn das dritte Glied positiv ist, so hat die Gleichung zwei gleichbezeichnete Wurzeln; das Zeichen des zweiten Gliedes gibt zu erkennen, ob sie positiv oder negativ sind, die Wurzeln haben näm¬ lich mit dem zweiten Gliede das entgegengesetzte Zeichen. Ist das dritte Glied "negativ, so haben die Wurzeln verschiedene Zeichen, nnd zwar ist die positive die größere oder die kleinere, je nachdem das zweite Glied negativ oder positiv ist. 2. Gleichungen mit mehreren Unbekannten. 8- 157. Zur Auflösung der Gleichungen des zweiten Grades mit meh¬ reren Unbekannten wendet man dieselben Methoden an, welche beim Auflösen der Gleichungen des ersten Grades mit mehreren Unbekannten ausgestellt wurden. Dabei geschieht eS häufig, daß die Endgleichung, in welcher nur noch eine Unbekannte vorkommt, von einem höhcm als dem zweiten Grade ist; die Auflösung liegt in diesem Falle außer dem Bereiche der vorliegenden Anleitung. Es sollen daher nur einige der einfacheren Beispiele hier durchgesührt werden. 1) . so daher — — 15 — Beispiele. ^ch Komparazionsmcthode. Aus diesen zwei Gleichungen folgt: 50 i x^—- l x^15 — 192 welche letztere Gleichung geordnet und aufgelöset / — 10, oder / — 5 gibt, daher x — 15 - 10 5, oder x 15 - 5 — 10 ist. nach der Substitnzionsmethode. Wird der Ausdruck x —/st-7, welcher aus der ersten Glei¬ chung folgt, in der zweiten substituirt, so hat man 14 v (l-st 7)2-st-2/2 — ng oder geordnet /2Z-— - —23, welcher Gleichung die Wurzeln / — 3 und / -^ — 2^f entsprechen. Werden diese Werthe von / in dem Ausdrucke x —/-st7 substituirt, so erhält man x — 10 oder x — — ß-. 3) man 4) x2 -l- v2 — 80 1 xsstst^2__.Zg/ nach der Elimiuazionsmethode. Durch Addizion und Subtrakzion dieser Gleichungen erhält 2x2 i28f 2/2^- 501 xst- / ^ 4 8 IL -^4 X Z-- daher x2 — 641 /2^251 X — 1, aufgelöset und x-^^8, / — ^5. x — 8; )"^-4. Man löse noch folgende Gleichungen auf: 5) 3x -st 4/ — 4, 4x2 — — ^2; 6) x -st / — 2a, x2 -f- /2 — 2o,^ Z- 2st2 7) x2^-/2^iZ, X/--6; 8) x2 — /2 — 48, X/ — 143. 3. Aufgaben über die quadratischen Gleichungen. a) Aufgaben mit Beifügung des Ansatzes. 8- 158. 1) Das Produkt aus dem dritten und vierten Theile einer Zahl beträgt 108; welches ist diese Zahl? Es sei x die verlangte Zahl, so ist ihr dritter Theil und der vierte Theil man hat daher ^.^108, oder ^-108, woraus x —-st36 folgt. 193 kann, jahr. aus hier 4) Bald dessen jedes der übrigen Kinder um 1200 fl. mehr, als essonst bekommen hätte. Wie viele Kinder hinterließ jener Vater? Es sei x die Anzahl der Kinder bei dem Absterben des Va- 14400 ters, da kämen auf jedes Kind —— fl.; nach dem Tode zweier Kinder blieben ihrer noch x —2, und es war der Anthcil eines je¬ den 14400 ^fl.; man hat demnach die Gleichung 14400 14400 , -- —-fl 1200, welcher sich x —6 und x — — 4 ergibt, von welchen Werthen nur der erstere der Natur der Aufgabe entspricht. Lloiiuk, Algebra, 2. Ausl. jjZ Probe. ^.^ — 12.9 — 108, ^.^---12.-9^ 108. 3 4 2) Jemand kauft eine Waare um 130 fl., und zwar kostet ihn jeder Zentner nm 3 fl. mehr als Zentner waren. Wie viel Zentner hat er gekauft? Es sei die Anzahl der Zentner — x, so ist der Preis eines Zentners x-fl3 Gulden, daher der ganze Waarenbetrag x(x-fl3) Gulden, und es ist x(x-fl3) —130, welche quadratische Gleichung x — 10 und x — — 13 gibt. Daß hier unr der erste Werth angenommen werden darf, er¬ gibt sich aus der Natur der Ausgabe, indem die Zahl der gekauften Zentner positiv sein muß. Probe. 10 Ztr. zu 13 fl. — 130 fl. 3) Im Jahre 1845 feierte Jemand seinen Geburtstag, und als er von seinen Freunden gefragt wurde, wie viele Jahre er an jenem Tage zurückgelegt habe, gab er zur Antwort: wenn man mein Alter vor 15 Jahren mit meinem Alter nach 15 Jahren multiplizirt, so erhält man mein Geburtsjahr. Wie alt war jener Herr? Man setze das Alter — x Jahren; vor 15 Jahren war jener Herr x —15 Jahre alt, nach 15 Jahren wird er x-fl 15 Jahre alt sein; sein Geburtsjahr ist 1845 — x. Man hat also (x — 15) (x -fl 15) — 1845 — x, woraus x —45 und x— — 46 folgt. Da hier nur der positive Werth von x angenommen werden so ist das gesuchte Alter 45 Jahre, und 1800 das GeburtS- Prob e. (45 — 15) (45 -fl 15) — 30.60 — 1800. Ein Vater hinterließ seinen Kindern ein Vermögen von 14400 fl. nach seinem Tode starben zwei Kinder, und es erhielt in Folge 194 5) Jemand kaust nm 400 fl. Tuch; hätte er die Elle nm 1 fl. billiger bekommen, so würde er für jenes Geld 20 Ellen mehr er¬ halten haben. Wie viel Ellen hat er gekauft? Die Anzahl der Ellen sei x, folglich ist der Werth einer Elle E fl.; im zweiten Falle wären xsi-20 Ellen, somit der Werth ei¬ ner Elle - E fl,, «fl^r dieser Werth wäre auch gleich fl - xfl-20 V x / ' daher ist 400 400 _ _I xfl-20 x ' woraus x —80 und x^—100 folgt, von welchen Werthen der Natur der Ausgabe gemäß nur der positive angenommen werden kann. tz. 159. 6) Man suche zwei Zahlen, deren Quadrate 45 zur Summe und 27 zur Differenz geben. Heißt x die erste, / die zweite Zahl, so hat man x^st-/^ —45 —./2 — 27, aus welchen Gleichungen x —^6, / — ^3 folgt. 7) Ein Mittagsessen, bei dem doppelt so viel Herren als Damen speisten, kostete 396 Groschen. Jeder Herr zahlte doppelt so viel Groschen, als Herren waren, und jede Dame dreimal so viel als Damen waren. Wie viel waren Herren, und wie viel Damen? Es seien x Herren und / Damen; jeder Herr zahlte 2x, da¬ her x Herren 2x? Groschen; jede Dame zahlte 3/, daher / Da¬ men 3/2 Groschen. Man hat also nach den Bedingungen der Aufgabe x^2/ und 2x2 Z-3/^ 396, woraus x —^12 und / — ^6 folgt. Es waren also 12 Herren und 6 Damen beim Mittagsmale. 8) Man läßt einen Stein in einen Brunnen fallen, und zählt 4 Sekunden, bis man das Aufschlagen des Steines auf dem Grunde hört. Wie tief ist der Brunnen, wenn man annimmt, daß der Fall¬ raum 15mal so viel Fuß beträgt, als das Quadrat der Zeitseknn- den, durch welche das Fallen andauert, es anzeigt, und daß der Schall in jeder Sekunde 1050 Fuß znrücklegt? Nimmt man an, daß der Stein in x Sekunden ans dem Grunde des Brunnens anlange, und daß der Schall / Sekunden brauche, nm von dem Grunde zu unserem Ohre zu gelangen, so ist der von dem Steine znrückgelegte Raum 15x2 Fuß, und der von dem Schalle znrnckgelegte Raum 1050/ Fuß. Da nun die Zeit des Falles und die Zeit der Schallbewegnng zusammen 4 Sekunden betragen, da ferner der Stein denselben Raum zurückiegt, wie der Schall, so hat man die Gleichungen: 195 x-s-7 — 4 und 15x^ — 10507, aus denen x-- 3'7943 und 7--0 2057, oder x--- 73-7943 und 7--- 77-7943 folgt, von welchen Welchen nur die ersteren der Natur der Aufgabe entsprechen. Der Schall braucht also, um von dem Grunde des Brunnens zu unserem Ohre zu gelangen, 0-2057 Sekunden, der Brunnen ist somit 1050 X0-2057^215'97 Fuß tief. b) Aufgaben zur Selbst iibung im Ansätze. §. 160. 1) Welche Zahl gibt mit ihrer Hälfte multiplizirt 162? — Die Zahl 18, oder —18. 2) Wenn man zu einer Zahl 40 addirt, und die Summe durch die ungeänderte Zahl dividirt, so ist der Quozient um 2 kleiner als die ursprüngliche Zahl; wie heißt diese Zahl? — Die Zahl ist 8, oder — 5. 3) Man suche zwei Zahlen, deren Summe 30, und deren Pro¬ dukt 189 ist. —- Die Zahlen sind 21 und 9. 4) Ein Baumgarten bildet ein Rechteck, in welchem 560 Bäume in gleichen Entfernungen von einander stehen. Eine Reihe nach der Länge enthält 8 Bäume mehr als eine Reihe nach der Breite. Wie viel Bäume stehen in jeder Reihe? — Eine Reihe nach der Länge hat 28, eine Reihe nach der Breite 20 Bäume. 5) Eine Summe von 240 fl. soll unter eine bestimmte Anzahl Personen vcrtheilt werden. Nun wurden 4 Personen ihres Antheils verlustig, und da kamen dann auf jede der übrigen Personen 3 fi. mehr. Für wie viel Personen war die Theilung ursprünglich be¬ stimmt? — Für 20 Personen. 6) X und II verkauften zusammen 100 Ellen, und zwar der eine mehr als der andere, aber beide nahmen dennoch dieselbe Geld¬ summe ein. Hätte X so viele Ellen gehabt als L, so würde er 63 fl. dafür eingenommen haben; hätte L so viele Ellen als ge¬ habt, so würde er nur 28 fl. dafür erhalten haben. Wie viel El¬ len hat jeder verkauft? — 40 Ellen, L 60 Ellen. 7) Die Zahl 18 soll in zwei Faktoren zerlegt werden, deren Qua¬ drate 27 zur Differenz geben. 8) Man suche zwei Zahlen, bei denen die Summe der Quadrate um 84 größer ist als ihr Produkt, und die Differenz der Quadrate um 44 kleiner als ihr Produkt. 13* 196 9) Die Kosten einer Reise, welche mehrere Personen unternom¬ men, betragen 432 Gulden. Weil aber zwei Personen frei gehal¬ ten wurden, mußte jede der übrigen Personen um 3 Gulden mehr bezahlen. Wie viel Personen waren? 10) Man suche zwei Zahlen, deren Summe, Produkt und die Differenz der Quadrate gleich sind. V. Auflösung einiger höhern Gleichungen. 1. Reine höhere Gleichungen. 161. Eine reine höhere Gleichung ist diejenige, in welcher die Unbekannte nur in einer einzigen Potenz, die aber höher als die zweite ist, vorkommt. Die allgemeine Form einer geordneten reinen höhern Gleichung ist x" — n. Um eine solche Gleichung, welche auch eine zweigliedrige genannt wird, anfzulöscn, darf man nur aus beiden Theilen dersel¬ ben die inte Wurzel ausziehen; eS ist nämlich x — s/u. Ist in eine gerade Zahl, so hat die Gleichung, wenn u posi¬ tiv ist, zwei gleiche entgegengesetzte reelle Wurzeln; ist aber u ne¬ gativ, so erhält man keine reelle Wurzel. Wenn dagegen der Exponent eine ungerade Zahl ist, so wird die Gleichung immer eine reelle Wurzel haben, welche mit u das¬ selbe Vorzeichen besitzt. Beispiele. 1) x--^- 27 gibt 2) x^ — 27 3) xt--- 16 4) xt —16 x — j/27 --- 3. x --- jff"- 27 — 3. x^^f/16^^2. 4 , x^^-s/-16. 197 2. Höhere Gleichungen, welche sich auf quadratische zurück führ en lassen. 162. Höhere Gleichungen, welche nur zwei Potenzen der Unbekann¬ ten enthalten, und zwar so, daß der eine Potenzexponent das Dop¬ pelte des andern ist, lassen sich immer auf quadratische zurückführen; man darf nur für die niedrigere Potenz eine neue Unbekannte cin- führen. Die allgemeine Form solcher Gleichungen ist ss- u x"> b. Setzt man hier x"" —folglich x^" — s» h^ck mau ss- u)" — b, und daher Wird nun statt wieder der We rth x" restituirt, so ist x" — — — I -4- b 2 4 ' somit Ist m ungerade, so gibt jeder reelle Werth von x oder x"° auch einen reellen Werth pon x. Ist dagegen m gerade, so geben nur die positiven Werthe von reelle Werthe von x, und zwar jeder derselben zwei gleiche und entgegengesetzte; die negativen Werthe von geben imaginäre Wurzeln. Beispiele. 1) x* — 13x? -j- 36 — 0. Setzt man x^ —so hat man 13^ -j- 36 — 0, welche Gleichung ' . — 36 -l- Z, also ^ — 9 oder v — 4 gibt. Man hat daher ans x^ — 9 die Werthe x —U^f/9—^3, „ x^ — 4 „ „ x —^ j/4 —^2. Die Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind also 3, —3, 2, —2. 2) 3x° — 7x-- 6. Für x^>-erhält man 3)^ —7^—6, und daraus — x^ — 3 und —x? — — daher X — j/3 und X — — 198 §. 163. Auf dieselbe Art verfährt man auch mit Gleichungen von der Form m 2m 1/x -s- afi/x — l). Setzt man nämlich f/x — daher ^/x — so hat mau — 6, und daraus daher, wenn man beide Theile zur 2mten Potenz erhebt, 1 K -»A /b- >.2m v 2 4 / Beispiele. 3 . 6 , 1) 1/x — f/x — 2. v. Setzt man 1/x — so hat man ^ — ^ — 2, daher 6 , 6 , Zl —-f/x —2 und —1/x — — 1, und somit x — 64 und x — 1. 2) 1/x-8^x--9. Setzt man "f/x —so ist ^^ — 8^ — 9, welche Gleichung / — 9 und - — 1 gibt; daher ist x — — 6561 und x — 7* — 1. 199 VI. Ex P o n e n z i a l g l e i ch u n g e n. 8. 164. Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte als Potenz- oder Wurzelexponent verkommt, wird eine Exp on en z ial glei ch n n g genannt. Sie läßt sich nur mit Hilfe der Logarithmen auflvsen. 1. Gleichungen von der Form a' —b. Da gleichen Größen auch gleiche Logarithmen entsprechen, so folgt aus a,' — k auch loA (a*) — IvA b, oder X loZ-o. — IvA 1), daher ist log b X — -. log k Um z. B. die Gleichung 5'— 37 aufzulösen, hat man xlo§5 —IoZ37, und somit x log 37 1'5682017 log 5 0'6989700 2 272203. 2. Gleichungen von der Form —d. Nimmt man hier beiderseits die Logarithmen, so erhält man — 1o§ kt — IvA I), g, — X Io<; d, daher log x — logd So gibt die Gleichung s/2 —10 den Werth X 0'30103. log io 3. Gleichungen von der Form — <^. Setzt man n" —x, «hält man —<11111 1 1 4, -Z-, L, L'r, IT-Z-, . sind geometrische Progressionen; die erste hat 3, die zweite zum Quozienten. Eine Progression heißt steigend oder fallend, je nachdem die nachfolgenden Glieder immer größer oder kleiner werden. 202 I. Arithmetische Progressionen. §. 166. 1. Wenn in einer arithmetischen Progression das erste Glied n und die Differenz 6 gegeben sind, so lassen sich daraus beliebig viele Glieder der Progression bestimmen; man braucht nur zu jedem vorhergehenden Glieds die Differenz 6 zu addiren. Es ist nämlich das 1. Glied — a, ,, 2. „ -r ,-ff 6, „3, „ — n -ff 26, „4. ,, — n -ff 36, „5. „ — a, -ff 46, u. s. w. Man sieht, daß jedes Glied gleich ist dem ersten Glieds a mehr der Differenz 6 multiplizirt mit dem um 1 verkleinerten Zeiger des Gliedes. Heißt daher 2 das nte Glied der Progression, so ist — 1) 6. Diese Formel heißt das allgemeine Glied der Progression, weil daraus, wenn man für n nach und nach 1, 2, 3, '4, . . . setzt, alle Glieder der Progression abgeleitet werden können. 2. Man kann, wenn in einer arithmetischen Progression das erste Glied rr und die Differenz 6 bekannt sind, auch die Summe jeder beliebigen Anzahl von Anfangsgliedern bestimmen, ohne daß man dieselben wirklich zu addiren brauchte. Ist 2 das nte Glied der Reibe, so ist 2 — 6 das nächstvor- hergehende, 2 — 26 das diesem vorangehende Glied n. s. s. Drückt man nun die Summe der ersten n Glieder durch s aus, so ist s — a -ff (g, -ff 6) -ff (a -ff 26) -ff ... -ff (2 — 26) -ff s2 — 6) -ff 2. Schreibt man diese Glieder in umgekehrter Ordnung, so ist auch s — 2 -ff (2 — 6) -ff (2 — 26) -ff... -ff (n -ff 26) -ff (a -ff 6) -ff n. Durch Addizion dieser beiden Ausdrücke erhält man, da je zwei unter einander stehende Glieder n -ff 2 zur Summe geben: 2s — (g. -ff 2) -ff (a -ff 2) -ff (a -ff 2) -ff... -ff (a -ff 2) -ff (a-ff2) -ff (n-ffrg. Hier kommt n-ff 2 so oftmal vor, als Glieder angenommen wurden, also innal; daher 2 s — n (0, st- 2) und s (k st- 2V3 Diese Formel heißt das summa torische Glied der arithmeti- scheu Progression, und gibt mit Worten ansgedrückt den Satz: In einer arithmetischen Progression ist die Summe irgend einer Anzahl von An fa n g s gli e d ern gleich der halben Anzahl dieser Glieder multiplizirt mit der Summe aus dem ersten und letzten Gliede. Beispiele. 1) Man suche das allgemeine und snmmatorische Glied der Reihe der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . . Hier ist n — 1, ä — 1, daher Md Setzt mau z. B. n — 20, so ist ---20 und s --^^---210. 2 2) Es sei die Reihe der ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . Wegen n — 1, ä — 2 hat man 2 — 1 st- (n—1) . 2 — 2n — 1, 8 --^-(1st-2n-1) So ist z. B. das 15te Glied —2.15 —1—29, und die Summe von den ersten 15 Gliedern —15^ — 225. 3) Die Reihe der geraden Zahlen ist 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . dabei ist a —2, 6 — 2; daher 2 2 st- (n- 1) . 2 2n, 8 — (2 st- 2u) ust st- n. 4) Für die Reihe 100, 97, 94, 91, 88, 85, . . . ist a—100, ü —— 3, somit 2 100 st- (n — 1) . — 3 — 103 - 3n, s -- (100 st- 103 - 3n) - — . "O"'. 5) Mit welcher Zahl sängt eine Progression an, deren Differenz 5, und das 27ste Glied 139 ist? Hier ist 0-5, n --- 27, 2 — 139; man hat daher M ---a st-26 . 5, also 204 6) Wie groß ist die Differenz einer Progresston, deren erstes Glied 109, und das 34ste Glied 10 ist? Da g,— 109, Q — 34, 2 —10 ist, so hat man 10 — 109 fl- 33 . 6, woraus cl — — 3 folgt. 7) Eine Progression fängt mit 1 an, und steigt nach der Diffe¬ renz 6; das wievielte Glied ist 115? Man hat hier u — 1, 6 — 6, 2 — 115, daher 115 — 1 fl- (n — 1) . 6, und n — 20. 8) Wie viele Glieder einer Progression muß mau addiren, nm 2808 zur Summe zu erhalten, wenn das erste Glied 2, und die Differenz 10 ist? Es ist a —2, 6 — 10, 8 — 2808; somit 2 — 2 fl- (n— 1) . 10 — 10w — 8, und daher 2808 — (2 fl- 10o — 8), woraus n — 24 folgt. 9) Eine Summe Geldes wird unter mehrere Personen so ver- theilt, daß der erste 80 fl., und jeder folgende um 4 fl. weniger be¬ kommt; der letzte erhält 28 fl. Wie viel Personen sind betheilt worden, und wie groß ist die ganze Geldsumme? Gegeben ist a —80, 6 — — 4, 2 — 28; zu suchen ist die Anzahl der Personen ri, und die Geldsumme s. Man hat 28 — 80 fl- (n — 1) - — 4, daher n — 14; 8 — (80 fl-28) — 756. 10) Ein frei fallender Körper durchlauft in der ersten Sekunde 15 Fuß, und in jeder folgenden Sekunde um 30 Fuß mehr; wie tief fällt der Körper in 25 Sekunden, nnd wie groß ist der Fall¬ raum der letzten Sekunde? Hier ist a—15, 6 — 30, w —25; daher 2 — 15 fl-24.30 — 735^ Fallraum der letzten Sekunde, s — (jz 7Z5) — 9Z75< ganzer Fallraum. 11) Wenn ein nach dem eben angeführten Gesetze von der Spitze eines Thurmes auf dessen Basis herabfallender Körper in der letz¬ ten Sekunde 165 Fuß zurückgelegt hat; wie hoch ist der Thurm? 12) Eiue unverzinsliche Schuld wird in 6 Jahreszahlungen ge¬ tilgt. Im ersten Jahre bezahlt man 600 fl., in jedem folgenden Jahre aber um eine bestimmte Summe mehr; für das sechste Jahr beträgt die Zahlung 850 fl. Wie groß ist die ganze Schuld? Man bestimme im Allgemeinen 13) n und 6, wenn n, 2, s; 14) a und r>, wenn 6, 2, 8; 15) n und 2, wenn 6, n, s; 16) n und s, wenn 6, n, 2; 17) 6 und n, wenn a, 2, 8; 18) 6 und 2, wenn a, n, s; s.9) 6 und s, wenn 0, v, 2; 205 20) r> und 2, wenn n, 6, s; 21) n und s, wenn a, ä, 2; 22) 2 und s, wenn a, 6, n gegeben sind. II. Geometrische Progressionen. 167. 1. Wenn das erste Glied u, und der Quozient einer geo¬ metrischen Progression gegeben sind, so bruncht man nur das erste, und jedes folgende Glied mit y zu multiplizireu, um nach und nach beliebig viele Glieder der Progression zu erhalten. ES ist nämlich das 1. Glied — a, ,, 2. ,, „ 3. „ — „ 4. „ — „ 5. „ — U. s. W. Es fällt sogleich in die Augen, daß jedes Glied der geo¬ metrischen Progression gleich ist dem ersten Glieds a multi- plizirt mit dem Quozienten g erhoben zu einer Potenz, deren Exponent um 1 kleiner ist als der Zeiger des Gliedes. Nennt man daher das nte Glied 2, so ist Aus diesem allgemeinen Glieds läßt sich jedes beliebige Glied der geometrischen Progression ganz unabhängig von den vor¬ hergehenden Gliedern entwickeln. 2. Ans dem ersten Gliede a und dem Quozienten g kann man auch die Summe jeder beliebigen Anzahl von Anfangsgliedern der geometrischen Progression bestimmen, ohne daß man dieselben, wirk¬ lich addiren mußte. Heißt 8 die Summe der n ersten Glieder, so hat man Multiplizirt man beide Theile dieser Gleichung mit y, so er¬ hält man Hs — ah -s- -s- -s-.,. -s- -s- Wird nun von dieser Gleichung die frühere abgezogen, so folgt c>8 — s — na" — n, daher — L 1 — I als Summen form et für die geometrische Progression. 206 Da ah"-' — 2, also ah" —^2 ist, so kann die frühere Foru¬ me! auch so dargestellt werden: 1? — L 8 — - . 1—1 In einer fallenden geometrischen Progression werden die Glieder immer kleiner, und nähern sich immer mehr der Null, ohne jedoch je zu verschwinden; je größer übrigens der Zeiger des Glie¬ des wird, desto kleiner ist der Fehler, den man begehet, wenn jenes Glied —0 gesetzt wird. Die Summe der Glieder einer solchen Progression nähert sich ebenfalls um so mehr einer bestimmten Größe, je mehrere Glieder man nimmt; diese Größe wird die Summe von unendlich vielen Gliedern der Reihe, oder die Summe der Progression selbst genannt. Nimmt man u unendlich groß an, so kann 2 —0 gesetzt werden, und es folgt zur Bestimmung der Summe von unendlich vielen Gliedern aus dem letzten für s entwickelten Ausdrucke die Formel — a . a 8 — - oder 8 —- . 1-1' 1-1 FL, 2 8 Beispiele. 1) Man bestimme das allgemeine und das summatorische Glied der Progression 1, 3, 9, 27, 81, 243, . . . Hier ist a — 1 und h —3, daher 2 — 1 . 3"-' 3—', I . 3° — 1 3" — I 8 3 — I 2 So ist z. B. das zehnte Glied — 3° —19683, und die Summe Zlv _ von den ersten zehn Gliedern — —-— — 29524. 2) Für die Reihe , i, H, s, -h, ist L —1, h —somit 1 I, - —1 2° 2 So ist z. B. das zwanzigste Glied und die Summe von den ersten zwanzig Gliedern I — — _l 1 2"-r' 2 dieser Reihe — — — - - -, / 2" S24288 207 Zur Bestimmung der Summe von unendlich vielen Gliedern hat man s --- 2. i — z 2 — i Die Summe von unendlich vielen Gliedern der vorgelegten Reihe ist also 2, d. h. je mehrere Glieder man addirt, desto mehr nähert sich die Summe der Zahl 2, ohne jedoch je dieselbe zu erreichen. 3) Man verwandle den periodischen Dezimalbruch 0 3 in einen gemeinen Bruch. Es ist 0'3 — 7-^ -s- Z- INVV rrwrm Z- - -.. Wegen a — 7^, und 4 — ^77 ist also die Summe von un¬ endlich vielen Gliedern 1 . also 0'3 — 4) Es soll der periodische Dezimalbruch 0'57102 in einen ge¬ meinen Bruch verwandelt werden. Man hat 57 , 102 , 102 0'57102 —-4^ . 102 1 . daher und somit 102 10° 102 102 8 's 1^ 10° —10^ S9S00' 1^ nnd 0'57102 — Z- nD'Äov — 5) Wie groß ist der Quozient einer Progresston, deren erstes Glied 2, und das 12te Glied 4096 ist. Setzt man in der Formel 2 —n ^§3 0-477I2I3 7) Man bestimme die Summe von der Reihe -j---1--— st- ... st-_- - st--_. Hier ist a —und i — daher V_ I -i- p '.I -l- p-' I -b v I — (I -t- p)" l 4 (I-I-x)° — (I-1-x)n-i-I I 4- k — -l-i')" —, > -(ist-u)" (i st-p)"-i ll — (I-i-v)1 (I-b v)" — k(l-i-I>)" p(I-i-k)" 8) Jemand setzt 6mal in die Lotterie; das erste Mal 4 Kreuzer, und jedes folgende Mal doppelt so viel, als für die frühere Zie¬ hung. Das 6te Mal gewinnt er, und es wird ihm der letzte Ein¬ satz 4800mal zurückbezahlt. Wie viel beträgt dieser Gewinn, und wie viel hat er zusammen eingesetzt? Da u —4, (g —2 und n —6 ist, so folgt 2 —4.2-^ 128. Der letzte Einsatz ist daher 128 kr., und somit der Gewinn 128 X 4800 614400 kr. 10240 fl. Für die Summe aller Einsätze hat man ferner 8 252kr. — 4 fl. 12 kr. 9) Es legt Jemand im Monate Jänner einen Kreuzer zurück, in jedem folgenden Monate 3mal so viel als im vorhergehenden; wie viel hat er im ganzen Jahre zurückgelegt? 10) Eine Schuld von 13000 fl. soll in 4 Raten, deren jede 3mal so groß ist als die vorhergehende, zurückgezahlt werden; wie groß ist jede Terminzahlung? Man bestimme im Allgemeinen 11) u und wenn n, ?, s; 12) n und n, wenn 2, s; 13) u und 2, wenn «, s; 14) u und s, wenn H, n, 2; 15) ) (1 Z-'x) — (1 fl. am Ende des 2. Jahres, (1 -s-x)2 fl. am Anfänge des 3. Jahres — — (1 -s-x)^ (1 Z-x) — (1 fl. am Ende des 3. Jahres, (1 -f-p)3 fl. am Anfänge des 4. Jahres — — (1 -s-x)3 (1 -s-x) — sl -s-p)t fl. am Ende des 4. Jahres, n. s. w. Man sieht, daß die Werthe, zu denen das ursprüngliche Kapi¬ tal nach 1, 2, 3, 4,... Jahren anwächst, eine geometrische Pro¬ gression bilden, deren erstes Glied ^.(1-s-p), und der Quozient 1 -flx ist. Drückt man das nte Glied, d. i. den Werth des Kapi¬ tals nach u Jahren durch II aus, so ist L (1 -s- p)°, woraus umgekehrt auch Noömk, Algebra. 2. Aufl. 14 210 Würde die Kapitalisirnng halbjährig geschehen, so müßte man in dieser Formel Halbjahre statt der Jahre, nnd statt der Prozente die halben Prozente nehmen, also 2n statt n, nnd statt x setzen. Man hätte dann Nimmt man in der Gleichung 8 —^.(1. st-,H" beiderseits die Logarithmen, so erhält man IoZ 8 ----- Io°- -s- n log- (1 st- x), woraus sofort log- rV — lnZ 13 — u (1 st- p), lo^ (1 st- ist --- , loxv —loZL n —-folgt. lOA(l-i-p) Mit Hilfe dieser Formeln ist man im Stande, wenn von den Größen -4., kst n, 13 drei gegeben sind, daraus die vierte zu be¬ stimmen. Beispiele. 1. Wie hoch wird ein Kapital von 2518 fl. in 12 Jahren zu 5 Proz. Zinseszins bei ganzjähriger Kapitalisirung anwachsen? Hier ist — 2518, ^ — -,-^ — 0'05, u —12; daber loZ 8 --- Io§ 2518 st- 12 Ivo-1-05 1oZ 105----0 0211893 12Io§ 1-05-----0'2542716, loZ 2518 --- 3-4010557, 1o§8 3'6553273 --- 1o^ 4521'965, also 8---4521 fl. 58 kr. 2) Wie viel werden 7324 fl. 12 kr. zu 4st Proz. Zinseszins bei ganzjähriger Kapitalisazion nach 20 Jahren werth sein? Es ist ^-----7324'2, 0'045, n---20; somit lo^ 8 ----- IvA 7324'2 st- 20 loZ 1'045 1oZ 1'045---- 0'0191163 201^1 045---0'3823260, 1o^ 7324-2 ----- 3'8647602/ lob 8 4-2470862 — 1oZ 17663-88 13 --- 17663 fl. 53 kr. 3. Jemand legt am 1. Jänner 2000 fl. in die Wiener Sparkasse, welche zu 4 Prozent nnd zwar halbjährig verzinset, ein. Rach 15 Jahren behebt er das Kapital sammt Zins und Zinseszins; wie groß ist diese Snmme? Da ----- 2000, ^---0'02, 2u---30 ist, so hat man 211 IoZ L ----- loZ 2000 -j- 30 In»-1 02 lo^ 1-02---0 0086002 30 InA 1-02---0'2580060, In»- 2000 — 3-3010300/ " lo»-13 - 3-5590360 — In»- 3622 73 13 ----- 3622 sl. 44 kr. 4) Für ein durch 9 Jahre zn 4Z Proz. Zins von Zins angeleg¬ tes Kapital erhielt man 5234 fl.; wie groß war das ursprüngliche Kapital, wenn die Interessen ganzjährig zum Kapitale geschlagen werden? Hier ist 13 — 5234, p ----- 0-045, n — 9; daher Io»- -V — In»- 5234 — 9 InA 1045 io§ 5234 - 3-7188337 ^ 1 045-00191163 9 InA 1-045 —0-1720467 Io§ L — 3'5467870 ----- Io§ 3521'98 ^. — 3521 fl. 59 kr. 5) Ein Herr will bei einer Versorgnngsanstalt seinem Diener nach 11 Jahren einen Bezug von 1000 fl. versichern. Welche Ein¬ lage muß er machen, wenn die Anstalt zu 4 Prozent ganzjährig verzinset? Man hat 13 — 1000, p------0'04, n —11; daher low ^4 — los-1000 — 11 1oA 104 1o°-1000 ----- 3 0000000 lox 1-04-0 01'70333 11 loZ 1-04 — 0-1873663 Ic>A - 2-8126337 — Io§ 649582 ' ^4 — 649 fl. 35 kr. 6) Ein Kapital von 7537 fl. 48 kr. wächst in 20 Jahren mittelst Zinseszinsen ans 20000 fl. an; zu wie viel Prozent Zins von ZinS war dasselbe angelegt? Da hier —75378, ir-20, 13-20000 ist, so hat man los 20000 — los 7537-8 4-3010300 — 3-877244« - 1OA (t fl- P) ----—- ----- - 0 0211893 - loA-1-05; 20 ' also 1 -j- p — 1-05. Es ist daher ii — 0 05, und ? — lOOx — 5 Prozent. 7) In wie viel Jahren wird ein Kapital von I. fl. bei ganzjäh¬ riger Kapitalisazion zu ? Proz. Zinseszins mmal so groß, als es ursprünglich war? Hier muß man L — m.J. setzen; daher ist WZ- UlL. — los log- los (I p) " los (1 4- l>)' 14^ 212 8) In welcher Zeit verdoppelt sich ein Kapital zu 5 Proz. Zin¬ seszins bei ganzjähriger Kapitalisazion? Da irr —2 und 1 st-x> —1'05 ist, so hat man log 2 0 3010300 . , Q — -—-— —-— 14'21. loxl'OS 0 0211893 Das Kapital verdoppelt sich also in 14'2l Jahren. 9) In wie viel Zeit wird ein Kapital zu Zinseszins n) bei ganzjähriger, b) bei halbjähriger Kapikalisirung, ans das Doppelte, in welcher Zeit ans das Dreifache anwachscn? 10) ES sind vor 80 Jahren 3200 fl. angelegt worden, und wäh¬ rend dieser Zeit sammt Zinsen auf 34050 fl. 50 kr. gestiegen. Zu wie viel °/o waren sie angelegt? 11) In wie viel Jahren wird die Bevölkerung einer Stadt dop¬ pelt so groß als sie gegenwärtig ist, wenn die Zunahme im Durch¬ schnitte jährlich 3 Köpfe aus 100 beträgt? 12) Ein Sterbender setzt zum Neubau der Kirche seines Ortes ein Legat von 18000 fl. ans Nach der Veranschlagung des Baues kostet derselbe 24738 fl.; mau will daher, da das Kapital bei einer Bank Zins auf Zins zu 4"g nntergebracht werden kann, den Ban so lange verschieben, bis jenes ans die erforderliche Hohe gestiegen ist. Nach wie viel Jahren wird dieses der Fall sein? 13) An einer Schuld von 10000 fl. werden nach 3 Jahren 2500 fl., nach 6 Jahren 1000 fl. abbezahlt; wie groß ist noch die Schuld nach 10 Jahren, wenn 5°st> Zinseszinsen gerechnet werden? §. 169. 2. Jemand legt durch n Jahre am An sänge eines jeden Jahres o, fl. zu k P r o z. Zinseszins an; wie hoch wird die Summe nach n Jahren anwachsen? Heißt d die Endsumme, und setzt man — — p, so hat man u fl. am Ans. des 1. Jahres — n (1 st-x)" fl. am Ende des nten Jahres u „ ,, „ „ 2. ,, n, (1 st- ist „ ,, „ 0" „ 3. „ — u (1 -st ist" „ ,, „ „ „ oder » // (n 1)ten — u sl st- i>) ,, „ ,, ,, ,, „ > » nten ,, ^^astlst—lp) „ f, ,, ,, " _ »» daher Endsumme b ------ a (1 st-p) st- n sl -stist^ st- - - . st- a (1 st- ist-' st- -r (1 -st ?)""' st- n (t x)", 61 st- x)-st (1 p) - -s- ... (1 -st ist-' st- (1x)°^ st-(1 p)st. Der in den Klammern befindliche Ausdruck ist die Summe von n Gliedern einer geometrischen Progression, deren erstes Glied 1st-p, und der Quozient ebenfalls 1 st-x ist; man hat daher 213 -r 1939-183. I-N4S. 0-6S588I Mit Hilfe der Logarithmen findet man 8.^-119-999, somit das jährliche Kapital — 120 fl. Beispiele. 1) Jemand legt durch 10 Jahre zu Anfänge eines jeden dersel¬ ben 230 fl. zu 5 Proz. Zinseszins an; wie hoch wird das Kapital in jener Zeit anwachsen? Hier ist n —230, n —10, p — 0 05; es ist^aher (1-^)°^ (1-05)'°, und lo§ (1 Z- p)» 10 loZ- 1-05 --- 10 X 0-0211893 -- 0'2118930 ^-loA 1-628895, also (1 -j-p)" 1'628895, somit 6 230 . — 0'628895 3037'563. OOS Das Endkapital ist demnach 3037 fl. 34 kr. 2) Ein Vater will seinem Sohne, wenn dieser das 24ste Jahr erreicht hat, eine Summe versichern. Er zahlt zu diesem Zwecke, von der Geburt des Sohnes angefangen bis zu jener Zeit an eine Versorgnngsanstalt am Anfänge jedes Jahres 100 fl. Welchen Be¬ trag wird die Anstalt an den Sohn anszuzahlen haben, wenn eine ganzjährige Kapitalisazion zu 4 Proz. Zinseszins angenommen wird? Da n —100, n-^-24, p —004 ist, so findet man mittelst der Logarithmen (1 -j-p)" -----(1'04)" — 2'563304, daher 1'04 k) 100. —. 1-563304 — 4064-59. 0'04 Der Sohn wird also 4064-fl. 35 kr. erhalten. 3) Jemand, der durch 12 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres dieselbe Geldsumme zu 4^ Proz. Zinseszins angelegt hat, bezieht nach dieser Zeit 1939 fl. 11 kr. Wie groß war die jährlich ange¬ legte Geldsumme? Man hat 6^1939-183, n^12, p^0'045, daher (1 (1-045)--^ 1-695881, und 0-045 6 ----- a. 0^ ? -0^. s(i _ Ans dieser Gleichung folgt auch umgekehrt _p_ ' (i fi-n) sO-k-rX-il' welche Formel dazu dient, um aus der gegebenen Endsumme die Größe des am Anfänge eines jeden Jahres anzulegenden Kapitals zu bestimmen. 214 4) Jemand will einer Person nach 15 Jahren bei einer Versor- gungsanstalt eine Summe von 3000 fl. versichern. Welche jährliche Einlage muß er bis zu jeuer Zeit an die Anstalt machen, die Ka- pitalisirung ganzjährig zu 4 Proz. gerechnet? Hier ist b — 3000, n-15, x — 0'04, folglich (1 Z- p)" - (1-04)'- — 1'800944, und u — ?000 X- E 144-06. 1'04.0'800944 Die jährliche Einlage beträgt also 144 sl, 4 kr. 5) Es werden dnrch 20 Jahre am Anfänge eines jeden Jahres 200 fl. angelegt; wie groß wird die Summe nach 20 Jahren bei 4°/„ Zinseszins? 6) Ein zu 4Z°/o ausstehendes Kapital von 5000 fl. wird jährlich nm 500 fl. vermehrt; wie hoch wird eS in 8 Jahren anwachsen? 7) Es muß Jemand, sechs Jahre nach einander, jedes Jahr 285 fl. bezahlen, bleibt sie aber bis zu Anfang des sechsten Jahres schuldig; wie viel beträgt nun zu dieser Zeit seine Schuld, wenn 4°/g Zinseszinsen gerechnet werden? §. 170. 3. Durch n Jahre ist am Ende eines jeden Jahres ein Betrag von o fl. z u b e z a h l e u oder z n e m p s a n g e n ; wie groß ist der Werth aller dieser Beträge beim Beginne jener Zeit, wenn man ? Prozent Zinses¬ zinsen anrechnet, und eine ganzjährige Kapitalisa- zion annimmt? Wird — —1>, und der anfängliche Werth aller Beträge — s gesetzt, so hat man somit anfänglicher Werth s - Z- -j- -j- . . . -j-- -Z- — , 215 oder —'' !.m> on? ti-i-?)" p)'-- oH'^ Die in den Klammern befindlichen Größen sind Glieder einer geometrischen Progression, nnd geben zur Summe; da¬ her ist " u(i-sti>)" ' woraus auch umgekehrt folgt, welche leßtere Formel dazu dient, nm aus dem anfänglichen Werthe aller Jahresbeträge die Größe einer Jahreszahkung zu be¬ stimmen. Beispiele. 1) Jemand hat durch 8 Jahre am Schlüsse jedes Jahres 380 fl. zu bezahlen, wie viel muß er, nm sich dieser ganzen Verpflichtung zu entledigen, sogleich zahlen, wenn die Zinseszinsen bei ganzjähri¬ ger Kapitalisazion zu 4l- Proz. gerechnet werden? Es ist r —380, r> —8, st —0045; daher (1 -st p)" — (1 045)« — 1-422101, und somit es 8 --380. —-- 2506-438. 0'045 X 1'422101 Die Gesammtzahluug beträgt demnach 2506 fl. 26 kr. 2) Jemand will durch 22 Jahre eine Jahresrente von 500 fl. be¬ ziehen; welches Autrittsgeld muß er an eine Versorgungsanstalt be¬ zahlen, wenn man eine ganzjährige Kapitalisazion zu 5 Proz. an- uimmt? Hier ist o —500, n —22, st —0'05; daher (1 -st p)-> (1-05)2- --- 2'925261, uud 8 500 . oH x^g'25261 0581'5. Das Antrittsgeld ist also 6581 fl. 30 kr. 3) Jemand will eine Schuld vou 10000 fl., die zu 5 Proz. zu verzinsen ist, in 10 gleichen Jahresraten abtrageu, wie groß wird eine Ratenzahlung sein? Hier ist s — 10000, n —10, p —0'05, somit (1 -st p)" ^(1-05)'°-- 1'628895, und 0-6288S5 Eine Jahreszahlung beträgt also 1295 fl. 3 kr. 4) Eine Person will sich durch eine Einlage vou 8000 fl. in einer Versorguugsanstalt durch 13 Jahre eine "jährliche Rente ver- 216 sichern, wie groß wird diese bei 4 Proz. ganzjähriger Kapitalisazion ausfallen? Man hat s — 8000, n —13, x — 0 04; daher (1(1-04)-°-- 1'665074, und r -- 8000 X gol- 149. Die Jahresrente ist somit 801 fl. 9 kr. 5) Eine Schuld von 2 Millionen fl. soll bei 4^°/g Zinseszins in 20 Jahren abgetragen werden. Wie groß ist die jährliche Tilgungs¬ summe ? 6) Eine Stadt will in einer Bank ein Darlehen ausnehmen, mit der Verpflichtung, dasselbe durch eine am Ende jedes Jahres zahl¬ bare Summe von 800 fl. binnen 25 Jahren zu decken. Welche Summe kann die Bank der Stadt bei 4°/g Zinseszins vorstrecken? 7) Dem Vormunde eines Kindes von 5 Jahren wird eine Summe von 4000 fl. überwiesen, mit der Verpflichtung, das Kind bis zum 24sten Jahre zu erziehen. Welches ist der Betrag des nachschu߬ weise zahlbar angenommenen jährlichen Erziehungsgeldes, wenn 5°/> Zinsen berechnet werden? 8) Jemand erlegt 12000 fl. zu 4°/g, und will dafür auf 24 Jahre eine jährliche Rente beziehen; wie groß wird dieselbe sein? 9) Es verkauft Jemand eine Jahresrente von 620 fl., die er noch durch 10 Jahre zu genießen hat; wie viel wird er dafür erhalten, wenn 40/g gerechnet werden? 10) Jemand hat eine Jahresrente von 800 fl. auf 30 Jahre zu beziehen; er möchte aber statt deren eine größere aus 20 Jahre ha¬ ben; wie groß wird diese bei 4^°/o sein? Vierter Abschnitt. Die Ko mbinazion slehre. Allgemeine Begrifse. 8- 171. Gegebene Größen nach einem bestimmten Gesetze in Grup¬ pen zusammenstellen, heißt dieselben kombiniren. Die einzelnen Größen werden Elemente, und die aus ihnen gebildeten Grup¬ pen Komplexioncn genannt. Zur schriftlichen Darstellung der Kvmbinazioncn ist cs am zweckmäßigsten, die Elemente durch die in natürlicher Ordnung ans einander folgenden Zahlen, welche Zeiger oder Indices heißen, zu bezeichnen. Diese Zeiger bestimmen die -Rangordnung der Ele¬ mente, so daß jenes Element das höhere ist, welches einen grö¬ ßer» Zeiger hat. Von zwei Komplexioncn heißt jene die höhere, worin von der Linken aus zuerst ein höheres Element vorkommt; z. B. die Komplexion 1342 ist höher als jene 1324. Die nie¬ drigste Komplexion ist offenbar diejenige, worin kein höheres Ele¬ ment vor einem niedrigem steht; und jene die höchste, worin das Gegentheil Statt findet. Um überhaupt von einer bestimm¬ ten Komplexion zu der nächst höhcrn überzugehen, muß man in ihr, von der Rechten gegen die Linke fortschreitend, das erste Element anfsnchen, anstatt dessen ans den folgenden Ele¬ menten ein höheres gesetzt werden kann; schreibt dann die voran¬ gehenden Elemente in nngeänderter Ordnung hin, anstatt des be¬ zeichneten Elementes das nächsthöhere aus den nachfolgenden, und läßt die übrigen Elemente nach ihrer Rangordnung folgen. Werden die Elemente, anstatt durch Zeiger, durch Buchstaben bezeichnet, so ist dasjenige Element als ein höheres zu betrachten, welches im Alphabete später vorkommt. Die Kombinazionen scheiden sich ihrer Natur nach in zwei Arten: Versetzungen und Verbindungen. Bei den Versetzungen kommen in jeder Komplexion alle gegebenen Elemente vor, aber immer in einer andern Ordnung. 2l8 Mair nennt sie auch Permntazionen, und unterscheidet wieder Permntazionen ohne und mit Wiederholungen, je nachdem die gegebenen Elemente unter einander alle verschieden sind, oder darunter auch gleiche vorkommen. Bei den Verbindungen faßt man die Verschiedenheit der Elemente ins Auge, welche in eine Komplexion ausgenommen wer¬ den; es wird nämlich verlangt, daß man aus gegebenen Elementen alle Verbindungen zu zwei, zu drei, zu vier,..'. Elementen bilde, wobei übrigens auf die Stellung der Elemente keine Rücksicht ge¬ nommen wird. Solche Verbindungen nennt man Kombinazro- nen im en gern Sinne des Wortes, und zwar die Verbin¬ dungen zu zwei Elementen K o m b i n a z io n e n der zweiten Klasse oder Amben, die Verbindungen zu drei Elementen Kom¬ bi» azio neu der dritten Klasse oder Tern en, jene zu vier Elementen Kombinazivn en der vierten Klasse oder Quä¬ ler neu u. s. w. Auch die Kvinbinazionen scheidet man in die ohne und die mit Wiederholungen, je nachdem in einer Komplexion ein Element nnr einmal, oder auch öfters vorkommen darf. Nimmt man bei den Verbindungen zu zwei, drei, vier, . . . Elementen auch auf die Stellung derselben Rücksicht, so daß z. B. ul> nnd lau als zwei verschiedene Verbindungen zu zwei anzusehen sind, d. h. verbindet man das Kombiniren mit dem Permutiren, so heißt dieses Geschäft das Variiren. Wie die Kombinazionen, werden auch die Variazionen in Variazionen der zweiten, dritten, ... Klasse, ferner in solche ohne und mit Wie¬ derholungen eingetheilt. Bei jeder der drei angeführten Kombinazionsarten kommt einer¬ seits die wirkliche Bildung der Komplexioncn, andererseits die Zahl derselben in Betracht. I. P e r m u t a z i o n e n. 8. 172. 219 lllloull llllollu §. 173, 2. Zahl aller möglichen Per m n la z i v n en ohne Wie¬ derholungen. Ein Element a läßt auch nur eine einzige Stellung zu. Bei zwei Elementen u und ll sind schon zwei verschiedene Stellungen ull und du, möglich. Von drei Elementen u, ll, o kann jedes 2mal am ersten Platze stehen, während die beiden andern permutirt Nachfolgen; 3 Ele¬ mente lassen daher 2X3 — 6 verschiedene Stellungen "zu. Heißt allgemein die Anzahl aller möglichen Permutazionen von n verschiedenen Elementen, und es kommt noch ein Element dazu, so kann dasselbe in jeder der früher» Permutazionen den er¬ sten, oder zweiten, bis zum (n-j-1)ten Platz eiunehmen; man er¬ hält also ans jeder früher» Permutazion u-s-1 neue Permutazionen. Die 'Anzahl aller möglichen Versetzungen von n-s-1 Elementen ist demnach (n-s-l)mal so groß als also 1'n X in -s- 1). Nun ist nach dem Vorbergehcndeu 1'. - 1, I', ^ ! . 2, 1'^ 1 . 2 . 3, daher ---1^ . 4 1 . 2 . 3 . 4 I-, --. 5 1 . 2.3 . 4.5 u. s. w., allgemein 1 . 2 . 3.4 . (n — 1) . n, d. h. die Permutazionszahl von mehreren verschie¬ denen Elementen ist gleich dem Produkte aus der Reihe der n a t ü r l i ch e n Z a h l e n von 1 bis zu der Zahl, welche die Anzahl der Elemente aus drückt. Das Produkt 1.2.3.4... (n — 1). u pflegt man durch das Symbol n! auSzudrückeu; daher D,-- 2!, ^--3!, .... 174. 3. Zahl aller möglichen Permutazionen mit Wie¬ derholungen. 22N Wenn unter den gegebenen n Elementen x gleiche Vorkom¬ men, so behandle man diese einstweilen als verschiedene Elemente, nnd alsdann ist die Anzahl der Permutazionen n!. Denkt man sich nun diese Permutazionen so in Parthien gebracht, daß sich die Permutazionen einer Parthie bloß durch die gegenseitige Stellung der einstweilen als verschieden betrachteten p Elemente "von einan¬ der unterscheiden, während die übrigen Elemente genau dieselbe Stelle in derselben Ordnung einnehmen; so enthält jede dieser Par¬ thien offenbar so viele Permutazionen, als man aus p Elementen bilden kann, also x! Permutazionen. Wenn man nun die einstwei¬ len als verschieden betrachteten Elemente wieder als einander gleich betrachtet, so gelten alle x! Komplexionen einer Parthie nur für eine Permntazion; je x! von den n! Permutazionen gehen in eine einzige über, nnd man hat somit nur — verschiedene Permutazionen. Wenn sich unter den gegebenen n Elementen außer den p gleichen Elementen noch H andere gleiche Elemente befinden, so be¬ trachte man diese i gleichen Elemente einstweilen als verschieden, wo sodann die Anzahl aller Permutazionen ans n Elementen, wo- , n! runter x gleiche vorkommen, — ist. Diese Permutazionen denke man sich nun in Parthien abgetheilt, wovon jede nur solche Komplexio- nen enthält, worin die einstweilen als verschieden betrachteten ci Elemente eine andere gegenseitige Stellung einnehmen; so kommen in jeder dieser Parthien ben die vier Elemente 1, 2, 3, 4 folgende I1, 12, 13, 14; 22, 23, 24; 33, 34; 44; I11, 112, 113, 114; 122, 123, 124; 133, 134; 144; 222, 223, 224; 233, 234; 244; 333, 334; 344; 444. verbmdet. So Amben mit Wiederh. Temen mit Wiederh. §. 176. 2. Zahl der Kombinazionen ohne Wiederholungen. Hat man n Elemente, so wird man sicher alle Amben ohne Wiederholungen erhalten, wenn man jedes Element mit allen übri¬ gen verbindet, nur mit sich selbst nicht; dadurch entstehen aus je¬ dem der ri Elemente n — 1 Amben, also im Ganzen n (n — 1) Amben. Allein unter diesen kommt jede Ambe 2mal vor; daher geben n Elemente nur —- verschiedene Amben. 222 Denkt man sich überhaupt alle Kombinazionen der rten Klasse ohne Wiederholungen von n Elementen wirklich gebildet, und nennt 6 ihre Anzahl; so wird man gewiß alle Kombinazionen der (r-s-l)ten Klasse erhalten, wenn man jede frühere Kombinazion mit allen Ele¬ menten verbindet, nur mit denjenigen r nicht, welche darin schon vorkommen; jede der frühem 0 Kombinazionen wird auf diese Art mit n — r Elementen verbunden, und gibt somit n— r Kvmbina- zionen der (r-j-l)ten Klasse, so daß man ihrer im Ganzen 6 . (n—r) bekommt. Allein jede neue Kombinazion wird (i--j-t)mal Vorkommen, weil man immer je r andere Elemente davon mit dem (r-s-l)ten verbinden kann; es wird somit nur 6 . ^-7-^- verschiedene Kombi- N I' -j- I nazionen der (r-f-l)teu Klasse geben, oder man hat O . I> n r -j- 2 Nun haben wir bewiesen, daß O?_ n(r> —i) n"" 1.2 ist; daher s — 2 ll (ll— I) (ll— 2) n n. 3 1.2.3 n(n — I)(ll —2) (ll —3) ll ll 4 I.2.3.4 u. s. w., allgemein o'' ll (n — I) (n — 2)... (ll — r -s- 2) (ll — r -p I/ n 1.2.3 (r — 1) . r Den letzten Bruch, dessen arithmetischer Bau leicht zu über¬ blicken ist, Pflegen die Mathematiker durch das Symbol wel¬ ches gelesen wird: n über r, auszudrückeu. Es ist daher § 177. 3. Zahl der Kombinazionen mit Wiederholungen. Sind n Elemente gegeben, so wird man gewiß alle Amben mit Wiederholungen erhalten, wenn mau jedes Element mit sich selbst, und noch mit allen n Elementen, auch sich selbst nicht aus¬ genommen, verbindet; jedes der n Elemente gibt aus diese Weise verbunden n-j- 1 Amben, alle n Elemente also n(n-j-l) Amben. 223 Weil nun darunter jede Ambe 2mal vorkommt, so ist die Anzahl aller verschiedenen Amben mit Wiederholungen. Drückt man allgemein die Zahl aller Kombiuazionen der rten Klasse mit Wiederholungen von ir Elementen durch 0 ans, und n denkt sich diese Kombiuazionen wirklich gebildet, so wird man dar¬ aus ganz sicher alle Kombiuazionen der (r -s- Ijten Klasse erhalten, wenn mau jede frühere Kombinazion zuerst mit den r Elementen, welche darin vorkommen, und dann noch mit allen n Elementen verbindet; jede der 0 früher» Kombinaziouen gibt dadurch n-j-r neue Kombinaziouen, und man wird somit zusammen 6 ''.(n-s-r) Kombiuazionen der (r-s-l)ten Klasse erhalten. Aber jede solche Kombinazion kommt (r ss-l)mal vor, weil man immer je r andere Elemente davon mit dem (r-ss Ijten verbinden kann; um daher die Anzahl aller verschiedenen Kombinaziouen der (r--s-l)ten Klasse zu finden, muß man die frühere Zahl L ' . (nfi-r) noch durch r-j-1 dividiren, und es ist 0^- _ o"' r n -br n n r -j- I Nun ist, wie wir früher gezeigt haben, u. s. w., allgemein n (u -t- I) (n -t- 2) . . . 0 r — 2) (ll -s- 1- — I) I . 2 i 3 s7?s (r-I) . r Wenn man in diesem Bruche die Faktoren des Zählers in um¬ gekehrter Ordnung schreibt, wodurch der Bruch die Form (n-j- r—I)(n-s-r — 2) . . . (a ch 2) (n-j- 1) . » I 2 . . . 0 — 2) (r— I) . r annimmt, so kann man denselben nach der oben angeführten Be¬ zeichnungsweise durch ausdrückeu. Es ist daher 224 Beispiele. 1) Wie viele Amben, Ternen, Quaternen, Quinternen geben die 90 Nummern unserer Zahlenlotterie? Anzahl der Amben — 4005, /90^ 90.89.88 „ „ Ternen 117480, /904 90.89.88.87 ,, „ Quaternen i > — -- — 2555190, ' V4/ 1.2. 3. 4 , /Z0^ 90.89.88.87.86 „ „ Quinternen — E i — - — 43949268. 2) Wie viel verschiedene Würfe sind mit zwei Würfeln möglich? V, 2 /7^ 7 6 0 i'j 21. 0 127 1.2 III. Variazionen. 178. 1. Um die Variazionen der zweiten Klasse ohne Wiederholun¬ gen zu erhalten, verbindet man jedes Element mit allen übrigen Elementen, und zwar so, daß jenes Element in jeder Verbindung den ersten Platz eiunimmt. Sind überhaupt die Variazionen irgend einer Klasse ohne Wiederholungen gebildet, so erhält mau die Variazionen der nächst hohern Klaffe, wenn man jede frühere Variazion mit allen Elemen¬ ten verbindet, welche darin nicht vorkommen, und dabei diese Va- riaziou dem neu hinzukommenden Elemente immer voraussetzt. So geben die Elemente 1, 2, 3, 4 folgende Variazionen der 2. Klasse ohne Wiederh. 12, 13. 14; 21, 23, 24; 31, 32, 34; 41, 42, 43; Variazionen der 3. Klasse ohne Wiederh. 123, 124; 132, 134; 142, 143; 213, 214; 231, 234; 241, 243; 312, 314; 321, 324; 341, 342; 412, 413; 421, 423; 431, 432. Um die Variazionen der zweiten Klasse mit Wiederholungen zu erhalten, verbindet man jedes Element mit allen Elementen, 225 auch sich selbst nicht ausgenommen, und schreibt dabei jenes Element stets voran. Hat man bereits die Variazionen irgend einer Klasse mit Wie¬ derholungen dargestellt, so bildet man daraus die Variazionen der nächst höher» Klasse, wenn man jede frühere Variazion mit allen Elementen verbindet, und das neue Element stets an den letzten Platz setzt. Aus den drei Elementen n, ll, s erhält man daher folgende Variazionen der 2. Klasse mit Wiederh. ns, nll, no; lln,, llll, da; en, oll, oo; Variazionen der 3. Klasse mit Wiederh. nun, null, nno; nlln, nllll, ullo; non, noll, noo; llnn, llall, llno; lllln, llllll, llllo; llon, lloll, lloo; ona, oull, ono; olln, ollll, ollo; oon, ooll, ooo; 179. 2. Zahl der Variazionen ohne Wiederholungen. Die Anzahl der Amben ohne Wiederholungen von n Elemen¬ ten ist " ^2"— ) > aus jeder solchen Ambe entstehen durch Versetzung der beiden Elemente zwei Variazionen der zweiten Klasse, mithin ist die Anzahl aller Variazionen der zweiten Klasse ohne Wieder¬ holungen nO —i) —-—.2^n(n—1). Allgemein geben n Elemente Kombinazionen der rten Klasse ohne Wiederholungen; aus jeder solchen Kombiuaziou lassen sich durch Permutazion der r Elenrente r! Variazionen der rten Klasse ohne Wiederholungen bilden. Bezeichnet daher Vs, die Zahl aller dieser Variazionen, so ist Vs - (") - r! - n (n- 1) (n-2) . . . (n -rss- 2) (n-r-ss 1), . §. 180. 3. Zahl der Variazionen mit Wiederholungen. Sind wieder n Elemente gegeben, so gibt jedes derselben n Variazionen der zweiten Klasse mit Wiederholungen, somit ist die Anzahl aller solcher Variazionen. Heißt überhaupt V^ die Anzahl aller Variazionen der rten Klasse mit Wiederholungen von n Elementen, so ist, da jede solche Variazion durch Verbindung mit allen n Elementen n Variazionen der (r-s-1)ten Klasse gibt, Noöluk, Algebra. 2, Nuss, 15 226 V?, r^-1 r Da nun, wie früher gezeigt wurde, V^' — n- ist, so hat man V7 ° - . n n-, VI' ' — VI' V n — n", iu s. w., allgemein V'? ' - ", Beispiele. 1) Es sind 4 Facher mit 7 verschiedenfarbigen Kugeln zu besetzen, so daß in jedes Fach eine Kugel zu stehen kommt; auf wie viel¬ fache Art kann dieses geschehen? Betrachtet mau die 4 Fächer nach der Ordnung als die Vier- Plätze, an denen die 7 Kugeln als Elemente zu varireu sind, so hat man hier die Anzahl der Variazionen der 4. Klasse ohne Wieder¬ holungen von 7 Elementen zu bestimmen. Es ist demnach Vs --- 7.6 . 5.4 840 die Anzahl der verschiedenen Besetzungen. 2) Wie viele Würfe sind mit drei Würfeln möglich, von denen der eine weiß, der zweite gelb, der dritte roth ist, wenn man an- nimmt, daß Würfe von gleich viel Augen aber in verschiedenen Farben als verschieden zu betrachten sind? VI' Z — 6^ — 216 verschiedene Würfe. IV. Anwendung der Kvmbinazionslehre zur Ent¬ wicklung des binomischen Lehrsatzes. 181. Erhebt man das Binom x st- u nach und nach zur zweiten, dritten, vierten, ... Potenz, so bekommt man (X st- k)? — x^ st- 2ux st- »?, sx st- n)-* — x? st- Jux? st- 3u?x st- ust, (x st- u)4 — x^ st- 4n,x2 st- 6u?x3 st- 4o?x st- u-st u. s. w. Daß in diesen nud den hohem Potenzen von x st- n eine ge¬ wisse Gesetzmäßigkeit vorherrscht, ersieht man aus den ersten Blick. 227 Um aber iir dieselbe genauere Einsicht zu erhalten, wird es am zweckmäßigsten sein, daS Produkt mehrerer Binome zu entwickeln, welche ein Glied x gemeinschaftlich haben, und sich nur in dem zweiten Gliede von einander unterscheiden; der gesetzmäßige Bau eines solchen Produktes wird von selbst in die Augen springen, und man darf dann nur in jenen Binomen auch die zweiten verschiede¬ nen Theile gleich setzen, nm aus der Gesetzmäßigkeit des Produk¬ tes auf das Gesetz zu schließen, welches sich in irgend einer Potenz eines Binoms kund gibt. Wir wolle» also das Produkt (x st- a) (x -st b) (x -j- e) (x st- ck) . . . untersuchen, indem wir zuerst die zwei ersten Faktoren mit einander multipliziren, ihr Produkt mit dem dritten Faktor u. s. f. Wir er¬ halten (xst-a) (xst-b) — x? st- x st- ab. a abj (x st- a) (xst-b) (xst-o) — x^ st- b - X? st- a of X st- ab 6, o boj (xst-a) (xst-b) (xst-o) (xst-ck) ---- ab ar ao aber , > b! > ack »bck < , — x^ st- > xb st- , > X st- X st- abock, " ol bat aeäl ' ' 6t bckl bockt ockj (xst-a) (xst-b) (xst-o) (xst-ck) (xst-o) — ao ack ao bo bck bo ock 06 cko. abo abck abo aoä aoo ack o bock boo bcko ocko. abockr aboo st- abcks V x st- abocko, aocks boäol U. s. w. Das in diesen Produkten herrschende Gesetz ist leicht zu er¬ sehen. Zuerst erscheint das allen Binomen gemeinschaftliche Glied x in der sovielten Potenz, als Faktoren da sind; in jedem folgen¬ den Gliede kommt die nächst niedrigere Potenz von x vor. Der Koeffizient des ersten Gliedes ist 1, jener bes zweiten die Summe der zweiten Theile a, b, o, . . . in den Binomen, der Koeffizient des dritten Gliedes ist die Summe aller Amben dieser zweiten 15* 228 Theile, der Koeffizient des vierten Gliedes die Summe aller Ler¬ nen, n. s. w. Das letzte Glied ist das Produkt aller zweiten Theile der Binome. Daß die hier angegebene Gesetzmäßigkeit auch bei einer grö¬ ßer» Anzahl von Faktoren noch immer Statt finden werde, ergibt sich ans dem Verfahren des MultiplizirenS. Es seien nun n solche Biuomialsaktoren, so wird man haben (x -st u) (x st- b) (x st- c) .... (x -st x) (x st- est — X" -st 8; x"-l -st 82 x"-2 -st 82 x"-^ -st ... st- 8,,-l X st- 8,„ wo kst die Summe aller zweiten Theile u, d, 0, ... p, 4 vorstellt, 82 die Summe aller Amben jener Größen. 8g die Summe aller Lernen, ... 8^-1 die Summe aller Kombinaziouen der (11 — 1)ten Klasse, und 8» das Produkt aller jener Großen bedeutet. Nimmt man nun in diesen Binomialfaktoreu auch die zweiten Theile einander gleich an, indem man u — d — e — ... setzt, so wird dann 8^ ----- n st— u st— u st— u st— ... 82 — ÄU -st UN -st NU st- . . . 8z — uua -st nun st- nun st- .. . 8ll-i — nun... (w — 1)mal st- nun... sn — 1)mal -st... 8,l — nun... rimal. Es enthält hier 8^ die Größe u so vielmal, als früher ver¬ schiedene zweite Theile u, b, 0, ... x, da waren, also runal, mithin ist 8^ — n u 0 82 enthält na, oder so oft, als früher Amben von den n Elementen u, b>, 0, ... p, h vorkauren, also ——^mal; svmit In 8g kommt nun oder u» so oft vor, als n Elemente Ter- neu geben, nnthm ----l mal; asto ist 1.2.3 r 3/ " > l' u 8n-i enthält so vielmal, als Kombinaziouen der (n— 1) ten Klasse von w Elementen möglich sind; man hat somit 8^ . — 3 . 2 / N x 1.2 . 3 .. . (n — L) (n — I) V11 — I/ Das letzte Glied 8» stellt u? vor. Bedenkt man nun noch, daß unter der obigen Voraussetzung das aus n gleichen Faktoren bestehende Produkt (x st- u) (x st- u) (x st- u) ... (x st- u) (x st- a) 229 die nie Potenz von x-l-u. verstellt, so erhält man durch Substitu- zion ans dem obigen Ausdrucke die Formel sx -h- n)" -- x" -P ( " ) -rx" -i- O ) ( g ) - -st " j x -st u". ' In — I/ i Mittelst dieser Formel, welche unter dem Namen des bino¬ mischen Lehrsatzes oder der B i n o m i a > so rm e l bekannt ist, kann man jedes Binom unmittelbar zu jeder beliebigen Potenz er¬ heben. Das darin herrschende Gesetz bestehet in Folgendem: 1. Die Potenzen dcö ersten Thciles x erscheinen fallend, jene des zweiten Theilcö o steigend geordnet. Der Exponent von x im ersten Gliede ist gleich dem Potenzexponenten des Binoms, in je¬ dem folgenden Gliede ist er um 1 kleiner, bis er im letzten Gliede 0 wird, La man sich nämlich zn n? den Faktor x° — l hinzudcnkcn kann. Die Exponenten von u nehmen umgekehrt von 0 bis n zu. Die Summe der Exponenten von x und u, ist in jedem Gliede gleich i>. Zugleich folgt aus dem Gesagten, daß die ganze Entwicklung ein Glied mehr habe, als der Potenzexpvnent w Einheiten enthält. Der Koeffizient des ersten Gliedes ist 1; der Koeffizient des zweiten Gliedes ist gleich dem gegebenen Potenzexponenten n, jener des dritten ist die Anzahl aller Amben von n Elementen, des vierten die Anzahl der Lernen, ... überhaupt der Koeffizient des rten Gliedes die Anzahl aller Kombinazionen der (r — 1)ten Klasse von n Elementen. 3. Je zwei Glieder, deren eines vom Anfänge so w e i t"e n ?s e r n t ist, als d a s a n d c r e v o m E n d e, haben gl e ick> e Ko e ffi z ien ten. Heißt nämlich Ix, der Koeffizient des rten Gliedes vom An¬ fänge, so hat man / n 1 II (n — I) (u — 2) . . . (n — I' -st 3) (n — r -st 2) lr - If — 1.2.3 77i (r — 2) (i- — I) ' Nun ist das 1. Glied vom Ende das (w -st 1)te vom Anfänge, 2 II te k/ k? /k k' ,, 3. ,, ,, ,, ,, sn 1)te ,, ,, alch ,, rte ,, ,, „ „ (w o ss-2) ,, ,, Heißt daher le,, daö rte Glied vom Ende, so hat man / n n(u—I)(n —2) ... (i'-stl) . r ' n — r -st I- 1.2.3 . . . (n — i-) (n — i' -st 1) Um nun die beiden Brüche Ix, und st, mit einander verglei¬ chen zn können, bringt man sie auf einen gemeinschaftlichen Nenner, indem man Zähler und Nenner des erstem mit r(r-j-I) ... (u — ist (u — r -st I) multiplizirt; dadurch erhält man 230 u (ll — I) . .. (ll — r-st 2) . (ll— r-stl)(u— r) ... (r 4-1) . r * I 2 s?) (r — I) r (r — I) . .. (n —r) (n — rst- I)' Es ist also wirklich L. l<-- Bei der Auwendung der Binomialsormel braucht man also die Koeffizienten nur bis zum Mittlern Gliede zu entwickeln, da sich dann die nämlichen Koeffizienten in umgekehrter Ordnung wiederho¬ len. Man könnte darum die Binomialsormel auch in folgender Form schreiben: . , n (n — 1) » » . (x st- 8)" — x" -st w 8X"-1 st---kr - st- 8"—2 x^ st- n 8»-^ X st- 8?. 4. Ist 8, negativ, so werden diejenigen Glieder, worin ungerade Potenzen von 8 vorkommen, negativ; im klebrigen wird der Aus¬ druck nicht geändert. Es ist nämlich (x — 8)" — x" — nnx"-1 st- —8^ x"^ n(ll —r)(ll —2) --- 8^ x" 4 st- ... ^ 8", 1.2.3 wo 8" das Zeichen st- oder — hat, je nachdem n eine gerade oder ungerade Zahl ist. Beispiele. 1) (n-stb)«-- -- 8° st- (°) 8-b st- (°) 84b2 st- (°) 8»b- st- (°) 8-b» st- (°) 8b- st- b- — 8° st- 6n-l> st- Ibi^b? st- 20a^b^ st- Iba^b^ -st 68b- st- b-. 2) (n — b)- — 8- — (-)n4b -st (-) 8-b- — (-) n?b- -st (») ab» — b- — 8- — 08^b -st 108?b? — lOn^b^ -st 5nb^ — b-. 3) (3x — 2)st4 — — (3x)^ - (j). (3x)->. 27 -st . (3x)-. (27)2- (4). . ^)^ -st (27)' — 81x^ — 4.27x? . 27 st- 6.9x2.472 — 4.3x . 87^ st- 167^ 81x^ — 216x°7 st- 216x^7- — 96x7- st- 167b 4) (x- st- 27)^ x» st- 8x°7 -st 24x^2 st- 32x-7-> -st 16 7b 5) (3m2 —2n-)- — 243lw>° —810m°n° -st 1080m°n° — 720m»n° -st 240m2n-2 — 32n'-. . / L b'k4 L* L'b' L'b' 2a.b° b' "16 27^^81' /2» 3ck» S-^o . S»(? 27«b V3b Ä/ 27b' b'ä 8bä' K4ä'' 231 LX? ÜL-x' 20bx^ D^LK)'! 32d^x" 4t?x' I6Ud^x , 640b'v' I024U">v' ---:-—. L"-)' o.'x^ a'"x^ Man entwickle noch: 9) (x-,9'°; 10) (3n-ff4b)r; l2) V-N- §. 182. Die Binomialformel ist bisher nur für ganze positive Expo¬ nenten erwiesen worden; es wurde nämlich vorausgesetzt, daß u die Anzahl der gleichen Faktoren bedeutet, unter welcher Annahme n nothwendig eine ganze positive Zahl sein muß. Es läßt sich nun zeigen, daß der binomische Lehrsatz auch für negative nud gebrochene Exponenten giltig ist. Wenn w eine ganze positive Zahl bedeutet, so ist (1 -fix)" 1 -ff 0)^ (2)^^ (3) Z-.... Untersuchen wir nun die Bedeutung dieser Reihe, die wir der Kürze halber durch R„ (Reihe u) ausdrücken wollen, auch für den Fall, wenn w keine ganze positive Zahl ist. Wir setzen also, was auch immer n bedeuten möge, U» — 1 Z- ^0 " (2 ) 3 ) " Denken wir uns eben so eine zweite Reihe, welche auf die¬ selbe Art von p abhängt, wie die frühere von n, wo p was immer für eine Zahl bedeutet; diese Reihe wird der frühem Bezeichnung zu Folge Up heißen, und man hat Multipliziren wir die beiden Reihen und R,, mit einan¬ der, so wird auch das Produkt als ein nach x steigend geordnetes Polynom erscheinen. Dieses Produkt wird nach den Gesetzen der Multiplikazion auf einerlei Art gebildet, was immer für Werthe n und haben mögen; man braucht also nur die Beschaffenheit des Produktes für den Fall zu kennen, wenn n und p ganze positive Zahlen bedeuten, weil dasselbe Bildungsgesetz auch in den übrigen Fällen Statt finden muß. Sind u und p ganze positive Zahlen, so kann man das Produkt der beiden Reihen auch ohne wirkliche Multiplikazion finden; es ist nämlich unter dieser Voraussetzung ' 232 R» — (1 -s- x)" Rp-^(1 ss-x)o daher Rn . R,, — (1 -s- x)"^. Weil aber uss-x eine ganze Zahl vorstellt, so ist (1 -s- x)°-t-p — ps')»l"t') ("tl somit Rn . Rp — Rn^.p. Dieser Ausdruck ist sür ganze positive Werthe von n und p abgeleitet worden; nach dem oben Gesagten muß er aber auch gel¬ ten, wenn n und p was immer sür andere Werthe haben, folglich muß er allgemein giltig sein. ES seien nun R^, R„ IR, . . . ähnliche Reihen wie R„ und Rp, so hat man Rn . Rp . R^ Rn^-s, . Rl^ Rn-^-p^-h, Rn . R^ . R. R, -n- Rn^-p-j-y. lsi --- Rn-^x-j-^r l allgemein Rn . R^ . . R,- . Rg. . . Rn-^-p-j-ci^-r-^s-j-... Setzen wir nun u — x — — n — s —..., so ist l' ii . Rn . i'i> - Rn . Rn . . . m Rn-,-n-^n i n -t ..., oder, wenn die Anzahl solcher Faktoren ll ist, wo ll dann offenbar eine ganze positive Zahl vorstcllt, (Rn)" --- Ri,,,. Da u was immer für eine Zahl bedeuten kann, so setzen wir n—wo Ii irgend eine ganze positive Zahl.vorstcllt; wir er¬ halten Nun wissen wir, daß sür den Fall, wo ll eine ganze positive Zahl bedeutet, Ri, — (1 -ff x)" ist, daher ist auch (R^" oder wenn man beide Theile zur Potenz erhebt, II R, (1 ff-x)". k Nun ist vermöge der eingesührten Bezeichnung 233 also auch (1 x) " - t s . j X 4- i X- 4- j X , wo jeden positiven Bruch bedeuten kann. Daraus folgt, daß die durch K„ ausgedrückte Reihe auch dann, wenn n einen positiven Bruch bedeutet, die Potenz (1-j-x)" verstellt. Um die Giltigkeit der binomischen Reihe für negative Expo¬ nenten zn zeigen, setzen wir in dem Ausdrücke l i n . 14 Iln-Pp — n, so ist R» . - I4-N - Aber Lo -- 1 -j- (0) X 4- (2) X24-...--1, daher und Bedeutet nun n eine positive ganze oder gebrochene Zahl, so ist bereits erwiesen worden, daß 14 1 -j- ( ") x 4- ) x- -1-^ x^-s-... ^ (l ^x/' ist, daher hat man ^0-4 x)-. Aber nach der obigen Bezeichnung ist li-n —1-4^ i°)x-4( 2')^^'"' daher (l -4 x)--> 1 -4 x -4 x' -4 x- Z- .. wo —n jede beliebige negative ganze oder gebrochene Zahl bedeu¬ ten kann. Es ist also für jeden Werth von n (l -4^°^ Da hier x jeden Werth annehmen kann, so wollen wir x — — setzen, wodurch wir erhalten 234 (s -j- . / n r v . / n / n x d" und, wenn man beiderseits mit n? multiplizirt, (n Z- b)" — — .n" -s- ^0 b Z- -j- gu-s^g -s- . . ., welche Gleichung für jeden Werth von n giltig ist. Die Binomialformel gilt also nicht' nur für ganze positive, sondern auch für gebrochene und negative Exponenten. Ist der Exponent u eine ganze positive Zahl, so muß die Ent- wicklnngsreihe mit dem (u-j-l)ten Glieds abbrechen, welches ist, da der Koeffizient des nächstfolgenden Gliedes und die aller folgenden Glieder gleich Null werden. Ist dagegen n eine gebrochene oder negative Zahl, so wird kein Glied kommen, dessen Koeffizient gleich Null wäre; die Bino¬ mialreihe besteht daher ans unendlich vielen Gliedern. Beispiele. l) (n-s-b,)--3 — N"3-j-^-4 k _p_ / ->^2 Z- jzs -f. ^"4^) Z- - - - 3) (n -s- d)-» n--" -s- i b Z- Iz2 -^ . . . I) _p_ 1 l . 2 IN tw -t- 0 (m -st 2) 1.2.3 - 1 m b in(in-j-I) U" inliii-t-I)(m-t-2) d" "füll . 2 ' LM^-2 1 . 2 . 3 I in b w(iL-t-I) V' M(m-t-I)(m^-2) b° 1 . 2 '^"1^2" . 3 235 9) j/50 -- 1/W 1 --- 1/49.1/1 -j- -- 7 /1 .1 10) 1/79 ---- 1/8///2 — 9 . (1 — -s/)" . 12) (x-->) 236 V. Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1. Die absolute uud einfache Wahrscheinlichkeit. 183.- Im gewöhnlichen Leben heißt ein Ereigniß wahrscheinlich, wenn für das Stattfinden desselben mehr Gründe vorhanden sind, als für das Nichtstattfinden. So unbestimmt auch nach dieser Er¬ klärung der Begriff des Wahrscheinlichen ist, so ist er doch nichts¬ destoweniger einer streng wissenschaftlichen Auffassung fähig. Bei jeder Erscheinung müssen wir bestimmte Ursachen voraus- setzen, welche sie hervorbringen, wenn wir auch diese Ursachen und ihren Zusammenhang nicht immer kennen. Häufig sind die Ursachen und unsere Kenntnisse von ihrer Wirkungsweise'von der Art, daß wir nicht nur alle möglichen Fälle, unter denen die hervorgebrachte Erscheinung anstreten kann, anzngeben im Stande find, sondern auch die Üeberzeugnng gewinnen, daß alle diese Fälle gleich mög¬ lich sind, d. i., daß für das Eintreten des einen Falles nicht mehr Grund vorhanden ist, als für das Eintreten jedes anderen Falles. Von diesen gleich möglichen Fällen können einige das Eintreffen eines gewissen Ereignisses begünstigen, andere demselben ungün¬ stig sein. Wenn nun alle gleich möglichen Fälle bekannt sind, welche dem Stattfinden eines Ereignisses günstig, und eben so auch jene, welche demselben ungünstig sind, so kann der Grad der Wahrschein¬ lichkeit für das Eintreffen jenes Ereignisses der Rechnung unterzo¬ gen werden. Man nennt nämlich das Verhältniß der Anzahl jener Fälle, welche dem Eintreffen des Ereignisses günstig sind, zu der Anzahl aller gleich möglichen Fälle, welche auf das Ereigniß ein¬ wirken können, die mathematische Wahrscheinlichkeit. Heißt n die Zahl der einem Ereignisse günstigen, und si die Zahl der ihm ungünstigen Fälle, so ist, wenn die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen jenes Ereignisses dnrch v aus¬ gedrückt wird, . Ä — j— l) Je mehr Fälle dem Eintreffen des Ereignisses günstig sind, oder je größer n ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden des Ereignisses; sind alle Fälle günstig, so ist das Stattsinden gewiß, und man hat, da d —0 ist, als das mathema¬ tische Symbol der Gewißheit 237 Je weniger günstige Falle vorkommen, desto kleiner wird auch die Wahrscheinlichkeit; 'ist gar kein Fall günstig, so ist das Ein¬ treffen des Ereignisses unmöglich, und man hat, da ist, für das mathematische Symbol der Unmöglichkeit rv ------ 0. Der Begriff des Wahrscheinlichen im gewöhnlichen Leben ist, wie aus dieser Darstellung hervorgehet, ein beschränkter, und be¬ zieht sich nur aus den Fall, wo die Wahrscheinlichkeit größer als a- ist; wogegen man ein Ereigniß, dessen Wahrscheinlichkeit kleiner als ist, unwahrscheinlich zu nennen pflegt. Will man die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, d. v die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintref¬ fen desselben, mathematisch ausdrücken, so darf man nur bedenken, daß jene Fälle, welche für das Eintreffen des Ereignisses ungünstig waren, für das Nichteiutrcffen desselben günstig sind; es wird dem¬ nach die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit durch einen Bruch dar¬ gestellt, dessen Zähler die Anzahl aller ungünstigen, und der Nen¬ ner die Anzahl aller gleich möglichen Fälle ist. Heißt diese Wahr¬ scheinlichkeit rvh so ist und man hat d. h. die Summe der Wahrscheinlichkeit für das Ein¬ treffen eines Ereignisses und jener für das Nicht¬ eintreffen gibt die Einheit, somit die Gewißheit; was auch ganz natürlich erscheint, da es gewiß ist, daß jenes Ereigniß entweder eintreffen oder nicht eintreffen muß. Aus 1 folgt v' — 1—ev. Hat man daher die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines Ereignisses gefunden, so wird die Wahrscheinlichkeit für das Gegentheil erhalten, wenn man die erstere Wahrscheinlichkeit von der Einheit abzieht. Beispiele. 1) Wirft man zwei Spiclwürfel I. und U, deren sechs Seiten nach der Reihe mit 1, 2, 3, 4, 5, 6 Punkten oder Augen bezeich¬ net sind, aufs Gerathewohl auf deu Tisch, so siud in Bezug aus die Zahlen, welche auf der obersten Seite der beiden Würfel ste¬ hen, folgende Fälle gleich möglich: 238 Es sind also 36 Falle gleich möglich, und es lassen sich leicht folgende Aufgaben lösen: u. Um die Summe 5 zu werfen, sind 4 Fälle günstig, nämlich 14, 23, 32, 41. Die Wahrscheinlichkeit, mit beiden Würfeln 5 Augen zn werfen, ist also r. Dieser Ansdrnck, welcher an¬ zeigt, daß in 9 Würfen die Summe 5 einmal geworfen werde, ist "jedoch nicht so zu verstehen, als wenn man in den ersten nenn Würfen die Summe 5 gerade einmal werfen müßte; man kann diese Summe vielleicht gär nicht, oder gerade einmal, oder auch mehr als einmal werfen; aber wenn man sehr viele Würfe macht, so wird sich das Verhältnis; der Anzahl Würfe, wo man 5 wirft, zn der gesammten Anzahl der Würfe um so mehr dem Verhältnisse 1:9 nähern, je länger das Spiel fortgesetzt wird. Der wirkliche Erfolg wird der durch Zahlen ausgedrücktcn Wahrscheinlichkeit um so näher kommen, je größer die Anzahl der Versuche ist; und in diesem Sinne ist die mathematische Wahrscheinlichkeit stets aufzu- sassen. Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 5 nicht zn werfen, ist 4 _ 1 . k, 1) . Die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 3 und 5 zu werfen, ist, da nnr zwei Fälle 35 und 53 günstig sind, —Zß- 0. Die Wahrscheinlichkeit einen Pasch, d. i. zwei gleiche Zahlen zn werfen, ist —j,. 2) In einer Urne befinden sich 10 weiße und 6 rothe Kugeln; welches ist die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen? "VV 1 0. - ,!5 Eben so ist die entgegengesetzte Wahrscheinlichkeit, nämlich die, eine rothe Kugel zn ziehen, 1—Z — 3) In einer Urne sind 5 Kugeln, wie groß ist die Wahrschein¬ lichkeit, eine ungerade Zahl von Kugeln hcrausznziehen, und wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Anzahl? Es sind im Ganzen 16 ungerade Zusammenstellungen möglich, nämlich 5 Kugeln, jede einzeln gezogen, 10 Termen und 1 Qnin- terne; und 15 gerade Zusammenstellungen, nämlich 10 Amben und 5 Qnaternen; also zusammen 31 Zusammenstellungen. Die Wahr¬ scheinlichkeit für eine ungerade Anzahl ist also j'j, und die Wahr¬ scheinlichkeit für eine gerade Anzahl 4) Betrachtet man die 32 Blätter der sogenannten deutschen Karte, so ist die Wahrscheinlichkeit, 239 eine rothe Farbe zn ziehen — eine 6oeur zn ziehen . . . . . . . . . — einen König zu ziehen . . — eine Figur zn ziehen ein bestimmtes Blatt, z. B. Eoeur-Aß zu ziehen 5) Die 90 Nummern unserer Zahlenlotterie geben, wie bei der Kombinazionslehre nachgewiesen wurde, 90 Unionen, 4005 Amben, 117480 Terncn, während die 5 gezogenen Nummern nur 5 Unio¬ nen, 10 Amben und 10 Terueu zulassen. Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmt genannte Nummer (No¬ minale) zu treffen, ist, da jede der 90 Nummern gerade die so vielte gerusen werden kann, als vorher bestimmt wurde, Die Wahrscheinlichkeit, daß überhaupt eine bestimmte Nummer unter den gezogenen vorkomme (Extrate), ist — Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei genannten Nummern einen Ambo zu machen, ist —und jene, mit drei genannten . 10 1 Nummern einen Terno zn machen, —— Die bisher betrachtete Wahrscheinlichkeit, wobei nur ein Er- eigniß au und für sich betrachtet wird, heißt die absolute und einfache Wahrlcheinlichkeit. 2. Die relative Wahrscheinlichkeit. 184. Von der absoluten Wahrscheinlichkeit ist die relative, welche sich auf die Vergleichung zweier bestimmter Ereignisse bezieht, wohl zu unterscheiden. Gesetzt, cö spielen zwei Spieler mit zwei Wür¬ feln so, daß gewinnt, wen» er 10 Angen wirft, und L, so oft er 7 Augen wirft, während alle andern Würfe weder Gewinn noch Verlust bringen. Man will nun die Wahrscheinlichkeit wissen, welche vorhanden ist, mit zwei Würfeln- auf einen Wurf eher die Summe 10 als 7, oder umgekehrt, eher 7 als 10 zu werfen. Offenbar braucht man hier nicht so, wie bei der Bestimmung der absoluten Wahrscheinlichkeit, alle möglichen Fälle in Betrachtung zn ziehen, sondern nur diejenigen, welche den beiden Ereignissen günstig sind. Der Summe 10 sind 3, der Summe 7 dagegen 6 Fälle günstig; zählt man daher diejenigen Fälle gar nicht, wo weder 10 noch 7 fällt, so sind nur 9 Fälle möglich; und es ist die relative Wahr¬ scheinlichkeit, eher die Summe 10 als jene 7 zn werfen, H; und die relative Wahrscheinlichkeit, eher 7 als 10 zu werfen, ß. Die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten gibt die Einheit, wie es auch sein muß, da es gewiß ist, daß man entweder eher 10 als 7, oder eher 7 als 10 werfen muß. 24« Sind überhaupt s gleich mögliche Falle, welche verschiedene Ereignisse herbeisichreu können, und vergleicht man nur die Ereig¬ nisse und L, deren einem m, und dem andern n Fälle günstig sind, so ist die relative Wahrscheinlichkeit VV für das Ereigniß .. M -, und die relative Wahrscheinlichkeit IV' für das Ereigniß IN -f- II Man kann die relativen Wahrscheinlichkeiten auch ans den absoluten herleiten. Es ist nämlich, wenn man die absoluten Wahr¬ scheinlichkeiten für die Ereignisse und II beziehungsweise durch vr und vw bezeichnet, NI IN -s- n NT n w iv' n IV' -- —--- NI -j- n kN n IV -j- iv' 8 8 Die relative Wahrscheinlichkeit eines Ereig¬ nisses wird demnach erhalten, wenn man die absolute Wahrscheinlichkeit jenes Ereignisses durch die Summe der absoluten Wahrscheinlichkeiten der beiden Er¬ eignisse dividirt. Beispiele. t) Die absolute Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln die Summe 5 zu werfen, ist und die absolute Wahrscheinlichkeit, 7 zu wer¬ fen, /-x. Es ist daher die relative Wahrscheinlichkeit, eher 5 als 7 zu werfen, und die relative Wahrscheinlichkeit, eher 7 als 5 zu werfen, W — 4^ Zss 4 -j- k 2) In einer Urne sind 4 weiße, 6 blaue und 8 rothe Kugeln. Die absolute Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ist „ rothe „ „ „ „ -r^; daher die relative Wahrscheinlichkeit, eher eine weiße als eine rothe Kugel zu ziehen --- z, 18—^18- eher eine rothe als eine weiße Kugel zu ziehen — 241 3) Die absolute Wahrscheinlichkeit, auS einem Spiel von 32 Karten eine rothe Figur zu ziehen, ist ffff; uud jene, eine schwarze Figur zu ziehen, ebenfalls ff^; es ergibt sich daraus die relative Wahrscheinlichkeit, eher eine rothe als eine schwarze Figur zu zie¬ hen — ——ff, und denselben Ausdruck erhält man auch ff- für die relative Wahrscheinlichkeit, eher eine schwarze als eine rothe Figur zu ziehen, was auch so sein muß, weil beide Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, 3. Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit. §. 185. Wenn die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ans der Berechnung mehrerer einfacher Wahrscheinlichkeiten beruhet, so heißt eine solche Wahrscheinlichkeit eine zusammengesetzte. Sie ist zweifacher Art; entweder schließt sich das Eintreffen der einzelnen Ereignisse gegenseitig aus, und es kann unter mehreren fraglichen Ereignissen nur eines Statt finden; oder es sollen zwei oder mehrere Ereignisse in Verbindung mit einander, gleichzeitig oder nach einander eintreffen. Wir wollen jede dieser zwei Arten durch Beispiele beleuchten, und die Regeln für ihre Berechnung entwickeln. ». Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines von mehreren Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen. 186. Wenn in einer Urne 3 weiße, 4 rothe, 5 gelbe und 6 blaue Kugeln sich befinden, so ist die absolute Wahrscheinlichkeit, daraus eine weiße Kugel zu ziehen, ffff; „ " rothe „ „ „ ffff; " " ", " gelbe ,, ,, ,, pff. Will man nun die Wahrscheinlichkeit wissen, daß entweder eine weiße oder eine rothe oder eine gelbe Kugel gezogen werde, so find dem Eintreffen dieses Ereignisses 3-ff 4-j-5----'12 Fälle günstig ; die Wahrscheinlichkeit, eine weiße, rothe oder gelbe Kugel zu zie¬ hen ist daher ffz — ffff -ff ffv ckff- Ist allgemein s die Anzahl aller gleich möglichen Fälle, von denen Qi dem Ereignisses, n dem Ereignisse L, p dein Ereignisse 0, . . ., also m -ff n -ff -ff... für das Eintreffen irgend eines unter den Ereignissen L, 6, . . . günstig sind, so ist, wenn man die absoluten Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse durch rv', v", >v"h . . ., und die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines dieser Ereignisse durch ffV bezeichnet, Noellik, Algebra, 2, Aufl. 16 242 Md oder 4V — rv^ st- rv" st- vv'" st- . . . d. i. die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen irgend eines von mehreren sich gegenseitig aus sch ließ en den Ereignissen ist gleich der Summe der absoluten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereig¬ nisse. Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln mehr als 8 Augen zu werfen? Die absolute Wahrscheinlichkeit, 9 // // 11 12 daher die Wahrscheinlichkeit, entweder Augen zu werfen, strr st- -s- st- Augen zu werfen, ist 3 „ k/ kf 2 // kf 7^ 1 . ,/ kf // 9 oder 10 oder 11 oder 12 2) Die absolute Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten eine Oosur Figur zu ziehen, ist ... . -A, eine Eoour, die keine Figur ist, zu ziehen, eine (starcmu Figur zu ziehen, .... eine Oarouu, die keine Figur ist, zu ziehen, Daher ist die Wahrscheinlichkeit, eine Eoeur überhaupt zu ziehen, ststst--?^ ——U eine rothe Figur zu ziehen, . . eine blaßrothe Karte zu ziehen, . -st- -/x stS ein rothes Blatt zu ziehen, . . -st st- -st st- U. Wahrscheinlichkeit für daS Zusammentreffen mehrerer Ereignisse. tz. 187. In einer Urne befinden fsch 4 weiße und 6 rothe Kugeln, in einer zweiten L 6 weiße und 8 rothe Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man, wenn man aus beiden Urnen zu¬ gleich zieht, aus jeder eine weiße Kugel herausziehe? Beim Ziehen aus det UrUe sind 10 Fälle, aus der Urne V 14 Fälle möglich; also gibt es, da man bei jedem der 10 mög- 243 lichen Zuge aus jeden der 14 möglichen Züge aus 8 machen kann, beim gleichzeitigen Ziehen ans beiden Urnen 10.14--140 gleich mögliche Fälle. Für das Ziehen einer weißen Kngel aus X sind 4,'ans L 6 Fälle günstig; man hat daher, da jeder der 4 erstem Fälle mit jedem der 6 letztem Zusammentreffen kann, für das gleichzeitige Ziehen einer weißen Kugel ans beiden Urnen 4.6 24 günstige Fälle. Es ist somit die Wahrscheinlichkeit, aus beiden Urnen zugleich eine weiße Kugel zu ziehen, 24 - . I -rar — — mr - ao> Es sei nun allgemein VV die Wahrscheinlichkeit für das Zu¬ sammentreffen zweier Ereignisse und U, deren ersterem m' Fälle günstig und n' Fälle ungünstig, dem letztem m" Fälle günstig und ii" Fälle ungünstig sind. Die absoluten Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Ereignisse sind «U m" rv — —-— ,, rv" — — nV -j- n' NI -ff- N" Da nun jeder der m' dem Ereignisse günstigen Fälle mit jedem der m" dem Ereignisse U günstigen Fälle zusammen eiutref- fen kann, so gibt eS für das Zusammentreffen beider Ereignisse m'in" günstige Mlle. Die Anzahl aller mäglicheu Fälle ist sm' -s- II') sw" -s- n"), weil jeder der w' -st n' bei rst möglichen Fälle mit jedem der m" -st n" bei 13 möglichen Fälle znsammentreffcn kann. Es ist da¬ her die Wahrscheinlichkeit, daß die beiden Ereignisse X und L zu¬ sammen eiutreffen, iMin" in' in" , —-—- . - — rvstv". (m' -j- n') (rn" -j- n") m' -j- N' m" -j- n" Heißen eben so v', ev", m", ... die absoluten Wahrschein¬ lichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse U, 0,...; so erhält man die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen aller dieser Ereignisse 4V — ivstv'Ev"' . . . d. h. die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen mehrerer Ereignisse ist gleich dem Produkte aus den absoluten Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der einzelnen Ereignisse. Beispiele. 1) Es seien die 32 Karten nach den Farben in 4 Pakete ein- gethcilt; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den 6oeue König zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, die Hand auf das Paket der Eosui-8 zu legen, ist die Wahrscheinlichkeit, aus diesem Paket den König 16* 244 zu ziehen daher die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen dieser beiden Ereignisse 2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß von zwei Spielern, deren jeder ein Blatt von 32 Karten in Händen hat, nnd die beide zugleich jeder eine Karte ziehen, ein blaßrothes Blatt nnd 13 eine schwarze Figur ziehe? Die Wahrscheinlichkeit, daß aV ein blaßrothes Blatt ziehe, ist —rff! die Wahrscheinlichkeit, daß 13 eine schwarze Figur ziehe, istdaher die Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen der beiden Ereignisse — — 3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem Spiele von 32 Karten in den ersten zwei Zügen König und Dame derselben Farbe, jedoch in beliebiger Ordnung, zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, auf den ersten Zug einen König oder eine Dame zu ziehen, ist —die Wahrscheinlichkeit, dann anS den noch übrigen 31 Karten die zweite dieser Figuren von dersel¬ ben Farbe zu ziehen, ist daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit _i i — i — - Fr — 4) Die Urne hat 5 weiße und 7 rothe Kugeln, die Urne 13 6 weiße und 8 rothe; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aufs Gerathewohl aus einer dieser Urnen eine rothe Kugel zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, in die Urne zu greifen, ist jene, daraus eine rothe Kugel zu ziehen, folglich die Wahrscheinlich¬ keit, aus eine rothe Kugel zu ziehen, Eben so ist die Wahrscheinlichkeit, ans der Urne 13 eine rothe Kugel zu ziehen, Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit, aus der ersten oder zweiten Urne eine rothe Kugel zu ziehen, ist daher — ^.-yff-ff I 4 - 7 12 - 97 * 4 — HIT" — 4 sstz'» 5) In der Urne ffr befinden sich 4 Treffer und 20 Nieten, in der Urne 13 6 Treffer und 24 Nieten, in der Urne 0 8 Treffer nnd 28 Nieten; wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einen zu¬ fälligen Griff in eine dieser Urnen einen Treffer zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit, in die Urne zu greifen und daraus einen Treffer zu ziehen, ist ^.-z; jene, aus 13 einen Treffer zu ziehen, -z.4; und jene, aus 0'einen Treffer zu ziehen, z.H; daher die gesuchte Wahrscheinlichkeit -ff -ff z > ? -ff? - s aff -ff ff A 188. Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln im ersten Wurfe einen Pasch zu werfen, ist z; jene, im zweiten Wurfe wieder einen Pasch zu werfen, auch ; die Wahrscheinlichkeit für das Zusammen¬ treffen dieser beiden Ereignisse, d. i. die Wahrscheinlichkeit, daß man zweimal nach einander Pasch werfe, ist daher 245 Eben so wird die Wahrscheinlichkeit, dreimal nach einander einen Pasch zu werfen, sei". Ist überhaupt v die absolute Wahrscheinlichkeit, daß irgend ein Ereiguiß cintreffe, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß jenes Ec- eigniß 2, 3, 4, . . . nnal nach einander eintrcsie, rv2 — rv. rv — rv^, rvz — rv . rv . vv — — vv. rv . . rv — rv^, — rv. rv . rv .... nnal — rv'. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Ereiguiß meh¬ rere Male nach einander Statt finde, ist also gleich der Wahrscheinlichkeit für das einmalige Eintref¬ fen, erhoben zur so vielten Potenz, als Wiederho¬ lungen Statt finden sollen, Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln 3mal nach einander die Summe 7 zu werfen? Die Wahrscheinlichkeit, die Summe 7 einmal zn werfen, ist z; also die Wahrscheinlichkeit, diese Summe 3mal nach einander zu werfen, 2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ans 32 Karten 4mal nach einander eine Eoeur zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit für das einmalige Ziehen einer (ioouv ist 4, daher jene für das 4mal nach einander folgende Ziehen der Ooour (-s)r — 4. Wahrscheinlichkeit f u r die verschiedene n K o ni b i n a z i v- n c n ni e h r e r e r E r e i g n i s s e. §.189. Nach den bisher vorgetragenen Saßen sind wir nun im Stande, für jede Kombinazion, welche zwischen dem wechselseitigen Statt¬ finden oder Nichtstattfinden zweier oder mehrerer Ereignisse mög¬ lich ist, den Grad der Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Es seien s gleich mögliche Fälle, von denen irr' dem Ereig¬ nisse nnd m" dem Ereignisse L günstig sind; so ist, wenn die absolute Wahrscheinlichkeit für das Stattfinden von durch >vh und jene für das Stattfinden von L durch rv" bezeichnet wird. Es ist nun die absolute Wahrscheinlichkeit, 246 daß ein trifft, . „ nicht eintrifft, . . . . . „ 13 eintrifft, ....... „ 13 nicht eintrifft, . „ eintrifft, 13 nicht . . . . „ nicht eintrifft, aber 13 . . „ und 13 eintreffen . . . . „ nnd R nicht beide eintreffen „ weder noch 13 eintrisst, . . „ entweder oder 13 eintrifft . rv' 1 — rv^' 1 — >v" rv' sl — (1 — rv^) w' vv" 1 — v' rv" (1 — vss (1 — rv") 1 —sl—rvsssl—rv'ss Ans gleiche Weise läßt sich, wenn die absoluten Wahrschein¬ lichkeiten rv', ev", rv"' für das Stattfinden dreier Ereignisse II, 0 bekannt sind, daraus die Wahrscheinlichkeit für jede Kombinazivn finden, die in Bezug auf das wechselseitige Eintreffen nnd Nicht- eintreffcn jener drei Ereignisse möglich ist. So erhält man z. B- für die Wahrscheinlichkeit, daß unter diesen drei Ereignissen wenig¬ stens eines eintreffe, den Ausdruck 1 - (1 — v") (1 - rv") (1 - iv"'> Beispiele. 1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln, wenn nicht auf den ersten, so doch im zweiten Wurf 9 Augen zn werfen? Hier ist —z und >v" —-l», daher die gesuchte Wahrschein¬ lichkeit 1 __ (1 __ 4v') (1 — rv") — 1 — z . H ---- .rr, 2) Ein Manu ist 28 Jahre alt und seine Frau 21 Jahre. Man soll den Grad der Wahrscheinlichkeit bestimmen, daß nach 20 Jah¬ ren noch der Mann, oder daß die Frau, oder daß beide noch am Leben seien; oder daß der Manu schon todt sei, oder daß die Frau, oder daß schon beide todt seien; oder daß die Frau den Mann überlebe, oder der Mann die Frau; oder daß wenigstens eines von beiden lebe, oder daß wenigstens eines von ihnen schon todt sei. Nach der Süßmilch-Baumannschen Sterblichkeitstabelle leben von 1000 zugleich geborncn Menschen nach 21 Jahren noch 486, . 28 „ „ 451, „ 41 „ „ 367, „ 48 „ „ 316 Da also von 451 Personen, welche 28 Jahre alt sind, nur 316 das 48ste Lebensjahr erreichen, somit für das Erreichen des 48sten Jahres bei 28jährigen Menschen unter 451 Fällen nur 316 günstig sind, so ist die Wahrscheinlichkeit des Mannes, noch 20 Jahre zu leben, 316 0 7007. 451 247 Eben so ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Frau noch 20 Jahre lebe, rv" 0 7551 ; daher die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren beide noch leben, ^"-^ — . — ^0-5291. 451 486 Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren der Mann schon todt sei, ist , , , 316 135 1—^—1 -— — — 0 2993, 451 451 ' jene, daß die Frau schon todt sei, und von und und daß schon beide todt seien 135 — ^0-0733. 486 Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren der Mann schon todt sei, und die Frau noch lebe, ist (1 - rv') v" 0 2260, 461 486 ' jene, daß der Mann die Frau überlebe, —.^--0-1716. 451 486 Die Wahrscheinlichkeit, daß nach 20 Jahren wenigstens eines beiden schon todt sei, ist 1 — 1 — —. — 0'4709, 451 486 jene, daß wenigstens eines von ihnen noch lebe, ^^0-9267. 5. Mathematische Erwartung und rechtmäßiger E i n s a tzbet Wetten und Glücksspielen. 190. Wenn mit dem Eintreffen eines Ereignisses der Besitz eines physischen Gutes oder ein Gewinn erworben werden kann, so hat derselbe vor dem Eintreffen jenes Ereignisses einen Werth, welcher von dem Grade der Wahrscheinlichkeit "abhängt, die für das Statt- findcn des Ereignisses vorhanden ist; man nennt diesen Werth die mathematische Erwartung. Trifft das Ereigniß gewiß ein, 248 so wird auch der Gewinn mit Gewißheit erworben, nnd der zu er¬ wartende Gewinn hat auch vor dem Eintreffen deS Ereignisses sei¬ nen vollen Werth. Sind aber unter den Ursachen, wovon das Stattfinden des Ereignisses abhängt, -r günstige nnd b ungünstige, so wird das Ereigniß nicht mit Gewißheit, sondern unter nff-d Fällen nur in n Fällen eintreffen; und es wird daher auch der zu erwartende Gewinn nicht mit dem vollen Werthe in Aussicht gestellt werden können, sondern nur mit dem so vielten Theile, als die Wahrscheinlichkeit >v, ihn zu erhalten, auzeigt. Heißt daher 6 die mathematische Erwartung, und Z der zu erwartende Gewinn, so ist a Die mathematische Erwartung eines Gewinnes ist also gleich dem Gewinne multiplizirt mit der Wahr¬ scheinlichkeit, ihn zu erhalten. Beispiele. 1) Jemand kann, wenn er mit zwei Würfeln die Summe 5 wirft, 2 fl. gewinnen; wie groß ist seine mathematische Erwartung? Die Wahrscheinlichkeit, 5 Angen zu werfen, ist daher 2) Jemand seht auf zwei Nummern 1 fl., und hat, wenn seine beiden Nummern gezogen werden, 240 fl, zu gewinnen; welches ist seine mathematische Erwartung? Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Nummern einen Ambo zu machen ist ———; daher ° 4005 801' 6--- —.240---—fl. 801 801 2S7 i 3) Jemand besitzt ein Loos einer ans 10000 Losen bestehenden Lotterie, worin ein Treffer von 20000 fl-, einer von 10000 fl., 10 Treffer von 1000 fl., 50 von 100 fl., und 1000 von 5 fl. enthal¬ ten sind; wie groß ist seine mathematische Erwartung? Die mathematische Erwartung des Treffers von 20ÜV0 fl. ist . 20000 — 2 fl. des Treffers von 10000 fl. ist . 10000 — 1 ff, eines Treffers von 1000 fl. ist . 1000 1 ff, 50 eines Tresters von 100 fl. rst . 100 — fl., eines Treffers von 5 fl. ist .5 — zff; 249 daher seine ganze mathematische Erwartung s — ff- 1 ff- ff- — 5 fl. 191. Bei Wetten, Lotterien und anderen Glücksspielen wird eine bestimmte Summe eingesetzt, und dafür im glücklichen Falle eine bestimmte Summe gewönnen. Soll nun der Einsatz dem zu erwar¬ tenden Gewinne gegenüber auf richtiger Grundlage beruhen, so muß die mathematische Erwartung des Einsetzers denselben Werth haben, wie sein Einsatz. Der Grundsatz, auf welchem jede rechtmäßige Wette und jedes rechtmäßige Spiel beruhet, ist also: Der Einsatz muß der mathematischen Erwartung gleich sein. Man hat daher für den Einsatz ) RechnuugSopcrazionen mkt gemeinen Brüchen .... 53 L. D c z i m a l b r ü ch ..60 u) Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Dezimal¬ bruch, und umgekehrt.61 b) Nechnungsoperazionen mit Dezimalbrüchen ..... 66 VI Seite O. Kettenbrüche. . ... . . . 68 n) Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Ketten¬ bruch, und umgekehrt . 69 K) Näheruugsbrüche und ihre Eigenschaften . 72 3. Von Le» Verhältnissen .8t 4. Von den Proporzionen . 82 5. Die einfache Regeldetri . 89 6. Die zusammengesetzte Regeldetri . 91 7. Die Tbeilregel . 95 VII. V o n d e n P o t e n z g r L ß e n . 98 Erweiterter Begriff des Potenzirens .— n) Allgemeine Sätze über die Potenzgrößen ........ 100 t>) Zeichen der Potenzen . . 101 c) Rechnungsoperazionen mit Potenzgrößen .— 1. Addiren und Subtrahiren der Potenzgrößen . — 2. Multipliziren der Potenzgrößen . 102 3. Dividiren der Potenzgrößen .103 4. Potenziren der Potenzgrößen .105 Zeichen der Wurzeln .114 c) Rechnungsoperazionen mit Wurzelgrößen .115 1. Addiren und Subtrahiren der Wurzclgrößen .— 2. Multipliziren der Wurzelgrößen . 116 3. Dividiren der Wurzelgrvßen .. 118 4. Potenziren der Wurzelgrößen . 120 5. Wurzelausziehen aus Wurzelgrößen ........ — 6. Jrrazionale Wurzelgrößen und Nazionalmachen des Nenners 121 7. Das Rechnen mit imaginären Größen ....... 124 ck) Wurzelausziehen aus zusammengesetzten Ausdrücken .125 1. Ausziehen der zweiten Wurzel aus einem zusammengesetzten Ausdrucke . — 2. Ausziehen der dritten Wurzel aus einem zusammengesetzten Ausdrucke .. .129 IX. V o n d e u L o g a r i t h m e n . .. 133 a) Allgemeine Sätze .. — b) Bestimmung der Logarithmen . 136 VII Seite e) Rechnungsoperazionen mit Logarithmen.144 ö) Anwendung der Briggischen Logarithmen ........ 145 Zweiter Abschnitt. Lehre von den Gleichungen. Allgemeine Begriffe.149 I. Ordnen derGleichungen. 150 II. Bestimmte Gleichungen des ersten Grades . . . 155 1. Gleichungen mit einer Unbekannten.— 2. Gleichungen mit mehreren Unbekannten.— 3. Aufgaben über die bestimmten Gleichungen des ersten Grades. . 162 n) Ausgaben mit Beifügung des Ansatzes.— d) Aufgaben zur Selbstübung im Ansätze.168 HI. ll n b e st t m m t e G l e i ch u n g e n d e s e r st e n G r a d e s . . . 170 1. Auflösung in ganzen Zahlen ..171 2. Auflösung in positiven Zahlen.178 3. Auflösung in ganze» und positiven Zahlen.179 IV. Q u a d r a t i s ch e G l c i ch u n g e n.182 1. Gleichungen mit einer Unbekannten.— Beziehungen zwischen den bekannten Größen einer quadratischen Gleichung und ihren Wurzeln.189 2. Gleichungen mit mehreren Unbekannten.19t 3. Aufgaben über die quadratischen Gleichungen . 192 n) Aufgaben mit Beifügung des Ansatzes.— b) Aufgabe» zur Selbstübuug im Ansätze ., . 195 V. Auflösung einiger höher» Gleichungen . 196 1. Ncinc höhere Gleichungen .— 2. Höhere Gleichungen, welche sich auf quadratische zurückfnhren lassen 197 VI. Expo n enzialgleich ungen . 199 Dritter Abschnitt. Lehre von den Progressionen. Allgemeine Begriffe . . 201 I. A r i t h m e t i s ch e P r o g r e s s i o n e n . 202 II. G e o m e t r i s ch e P r o g r e s s i o n e n . 205 III. Anwendung der g e o m e t r i s ch e n P r o g r e s s i v n e n a u f d i e Z i n s c s z i n s r e ch n u n g e n .. 209 Vierter Abschnitt. Die Kombinazionslehre. Allgemeine Begriffe. 217 I. Permutazionen . . . . .. 2l8 Vlil Seite II. Kombinazionen . . . . 221 III. Variazion en .224 IV. Anwendung der K o m b i n a z i o n s l e h r e zur Entwick¬ lung d e s b i n o m i s ch e n L e h r s a tz e s .226 V. E l c m e n t e d e r W a h r s ch e i n l i ch k e i t s r e ch n u n g . . . . 236 1. Die absolute und einfache Wahrscheinlichkeit.— 2. Die relative Wahrscheinlichkeit.23S 3. Die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit.241 a) Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines von mehreren Er¬ eignissen, die sich gegenseitig ausschließen.— l>) Wahrscheinlichkeit für das Zusammentreffen mehrerer Ereig¬ nisse .242 4. Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Kombinazionen mehrerer Ereignisse.245 5. Mathematische Erwartung und rechtmäßiger Einsatz bei Wetten und Glücksspielen.247