     
P 47 (2019/2020) 5 9
Preprosti številski trikotniki
M R
Razvrstimo po vrsti vsa liha števila v trikotnik
tako, da bo v prvi vrstici eno število, v drugi dve
števili, v tretji tri števila in tako dalje (številski tri-
kotnik (1)). Zapišemo lahko seveda le nekaj vrstic,
sicer pa je številski trikotnik neomejen.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
31 33 35 37 39 41
...
...
...
...
...
...
. . .
(1)
Seštejmo v vsaki vrstici vsa števila. Takoj opazimo,
da dobimo po vrsti kube naravnih števil: 1 = 13,3+
5 = 8 = 23,7 + 9 + 11 = 27 = 33, . . .. Ali to pravilo
drži za vsako vrstico?
Za odgovor na zgornje vprašanje nam bo v veliko
pomoč trikotna razdelitev vseh naravnih števil (šte-
vilski trikotnik (2)).
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
...
...
...
...
...
...
. . .
(2)
V prvo vrstico postavimo eno število, v drugo dve
števili, v tretjo tri števila in tako dalje. Zadnje, skraj-
no desno število v n-ti vrstici je ravno vsota prvih n
zaporednih naravnih števil. Rezultat nam je znan:
Tn = 1+ 2+ 3+ . . .+n =
n(n+ 1)
2
.
Vidimo, da je Tn ravno n-to trikotniško število. Tri-
kotniška sestavljajo zaporedje 1,3,6,10,15,21, . . ..
Liha števila prav tako sestavljajo zaporedje:
1,3,5,7,9,11, . . .. Označimo k-to liho število z ℓ(k).
Očitno je ℓ(k) = 2k− 1. Podobno soda števila sesta-
vljajo zaporedje 2,4,6,8,10,12, . . .. Z s(k) označimo
k-to sodo število. Očitno je s(k) = 2k. Pri tem je k
poljubno naravno število. Zaporedji lihih in sodih
števil sta aritmetični z razliko 2. Zaporedje trikotni-
ških števil pa ni aritmetično, ker razlika Tn+1 − Tn =
n+1 ni stalna, pač pa je zaporedje teh razlik aritme-
tično.
Podobno kot liha števila razvrstimo v trikotnik tu-
di vsa soda števila (številski trikotnik (3)).
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
22 24 26 28 30
32 34 36 38 40 42
...
...
...
...
...
...
. . .
(3)
Trikotnik naravnih števil (2) je v preprosti zvezi s
trikotnikoma lihih in sodih števil. Funkcija k 7→ ℓ(k)
ga povratno enolično preslika na trikotnik lihih števil
(1), funkcija k 7→ s(k) pa na trikotnik sodih števil (3).
Pri tem se ohranja urejenost številskih trikotnikov.
     
P 47 (2019/2020) 510
V n-ti vrstici trikotnika (1) je n lihih števil. Zadnje
je Tn-to liho število, to se pravi ℓ(Tn) = 2Tn − 1 =
n(n + 1) − 1 = n2 + n − 1. V (n − 1)-ti vrstici je
za n > 1 zadnje število Tn−1-to liho število. Zato
se n-ta vrstica v trikotniku (1) prične z ℓ(Tn−1) +
2 = 2Tn−1 − 1 + 2 = n(n − 1) + 1 = n2 − n + 1.
Vsota Ln vseh števil v n-ti vrstici je enaka vsoti n
členov aritmetičnega zaporedja, kar lahko izrazimo
kot produkt aritmetične sredine prvega in zadnjega
člena s številom členov:
Ln =
(n2 −n+ 1)+ (n2 +n− 1)
2
·n
= 2n
2
2
·n = n3.
Torej je v n-ti vrstici številskega trikotnika, ki ga se-
stavljajo liha števila, vsota Ln enaka n3.
Prav tako je v n-ti vrstici trikotnika (3) n sodih šte-
vil. Zadnje je Tn-to sodo število, to se pravi s(Tn) =
2Tn = n(n + 1) = n2 + n. V (n − 1)-ti vrstici je
za n > 1 zadnje število Tn−1-to sodo število. Zato
se n-ta vrstica trikotnika (3) prične s s(Tn−1) + 2 =
2Tn−1+2 = (n−1)n+2 = n2−n+2. Vsota Sn vseh
števil v n-ti vrstici je enaka vsoti n členov aritmetič-
nega zaporedja, kar spet lahko izrazimo kot produkt
aritmetične sredine prvega in zadnjega člena s števi-
lom členov:
Sn =
(n2 −n+ 2)+ (n2 +n)
2
·n
= 2n
2 + 2
2
·n = n3 +n.
Torej je v n-ti vrstici številskega trikotnika, ki ga se-
stavljajo soda števila, vsota Sn enaka n3 +n.
Posledično je v n-ti vrstici številskega trikotnika
(2), ki ga sestavljajo vsa naravna števila, vsota enaka
(n3 +n)/2.
Kako bi ugotovili, kje v številskih trikotnikih (1)
oziroma (3) je izbrano liho oziroma sodo naravno
število m? Najprej je treba poiskati tako naravno
število k, za katero je m = ℓ(k) (m = s(k)). Nato do-
ločimo, kje v trikotniku naravnih števil je ta k. Vemo,
da je treba poiskati tako naravno število n, za katero
je Tn−1+1 ≤ k ≤ Tn oziroma n2−n+2 ≤ 2k ≤ n2+n.
Izkaže se, da je n celi del pozitivne rešitve kvadratne
enačbe x2 − x + 2− 2k = 0:
n =
⌊
1+
√
8k− 7
2
⌋
.
Celi del realnega števila ξ je največje celo število, ki
ne presega ξ. To število označimo z ⌊ξ⌋. Razlika
d = k−Tn−1 pa pove, kateri po vrsti je k v n-ti vrstici
trikotnika naravnih števil in s tem tudi, kje je m v n-
ti vrstici trikotnika lihih oz. sodih števil.
Primer. Kje ima v trikotniku lihih števil svoje mesto
število m = 25? Hitro ugotovimo, da je tedaj k = 13,
n = 5 in Tn−1 = T4 = 10. S tem imamo še d =
13 − 10 = 3. Število 25 je zato tretje v peti vrsti
trikotnika lihih števil.
Naloga. Poišči vsote po vrsticah v številskem triko-
tniku (4) za 2 zmanjšanih trikratnikov naravnih šte-
vil in poišči formulo za vsote števil po vrsticah. Na
katerem mestu v trikotniku je število 2020?
1
4 7
10 13 16
19 22 25 28
31 34 37 40 43
46 49 52 55 58 61
...
...
...
...
...
...
. . .
(4)
×××
SLIKA K MATEMATIČNEMU TRENUTKU.
×××