Herrengasse 29. GRAZ, Herrengasse 29. Pani Cieslar’s Buchhandlung & Antiquariat. Grösstes Lager antiquarischer und auch neuer Schulbücher. Lexica in allen Sprachen, sowie Special* Wörterbücher zu den latein. & griechischen Autoren stets in grosser Auswahl und zu billigen Preisen vorräthig. Brauchbare Schul¬ bücher werden stets gekauft oder auch ein- getauscht. Lager-C atal oge stehen jeder¬ zeit gtr gratis *96 zu Diensten. £efjr.; unb UcfiimgSJiudj ber r i f $ at e f für 'Hnterrealfdjttleit* S3on Dr. ttittcr 001t iJlöcntk. Al', @ e $ $ e Ij n t e üerbefferte Auflage. $>a3 9?ecbt ber Ueberfefcung wirb »orbebaltett. -/V^/V- Prag, 1877. Vertag tunt %. ^onuort j«r pöfffen Jluffaae. Da8 Dortiegenbe Sehr* unb UebungSbuch bcr Stritljmetif für Unterrcalfc^ufen, metdjeö bisher Don bem !. f. @d)utbüd)erDcrtage in 2Bien unter bem SE.itel „Anleitung jum ^Rechnen für bie I. unb II. Stoffe ber Unterreatfd)uten" ^erauögegeben mürbe, nun aber in ben ©erlag ber burch ihre ©djulbüdjerliteratur Dortfjeilhaft befannten girrna g. £empöft) in ißrag übergieng, weifet gegen bie früheren Sluögaben in ©ejug auf Snljalt unb Darftctlung mefentliche ©eränberungen nad), bie gröfftenttjeilS burd) bie freunblidjcn Sßittfjeitungen achtbarer gad)= manner angeregt, bem ©udje eine größere praftifdjc ©raud)bar!eit fiebern bürften. SRandjed mürbe lür^er unb ^ünbiger gefaföt, bagegen anbereS bem ©ebürfniffe ber $Realfd)nSf^ttm|\ermeitert unb neu aufgenommen. Die £mnbertt!jeitung Jm^reä -netten ©ulben«, fomie bie beoor» fteljenbe Einführung ber metrifcEjen ©Me unb @emid)te machen e8 münfdjenSmert, bafö fidi bi|"|^d)üler jjgjjatb als möglich bie (Sicherheit im Decimalrechnen aneignjfö» •Sdk'Jjme barum hier bie Decimal* jafiten nid^t als ©rüdie ööm cirtty-Monberen gorm ^ingeftettt unb, rnie e$ in ber früheren SliMgbe gbf<^^ erft nadj ber Se^re Don ben gemeinen ©rücken eingereifjt,-f^nirtrn biefetben als blofje Srmeitermtg unfereS 3®hienfhftem8 be^anbett unb baS «Rechnen in Decimatja^ten fogleid) mit bem ^Rechnen in ganjen 3®hien in entfpredjenbe ©erbim bung gebracht, moburd) neben bem leichteren SSerftänbniS aud) eine bebeutenbe 3eüerfparniS erlieft mirb. Durch bie Slufnaljme ber Elemente ber attgemeinen ülritlfmetif hoffe ich einem Dietfeitig auSgefprodjenen ©5unfd)e begegnet ju hoben. Die bejügtichert Sehren finb hier mögtichft teid)tfafsliih, zugleich aber in genauem Einltange mit bem gegenmärtigen (Stanbpunfte ihrer triffen* fihafttidien ©ehanbtung gegeben. IV Sefonbere Stufmertfatttfeit ift ber jwecfmäfjigen StuSwaljt bet Slufgabett gewibmet worben, fo bafS btefc nicht nur burdf iReichhattigfeit bie grünblidje ßinübmtg ber ttjeoretifchen Sehren ju fiebern geeignet finb, fonbern auch burdf bie 9?ücfftcf)tna^me auf bte mannigfattigften SRedjnungSfätte beS praftifchen SebenS anregenb erfreuten. 2Röge fid^ baS -Sud) aud) in biefer neuen Ausgabe bei gad)- genoffen einer wohtwottenben Aufnahme erfreuen! ©r aj, im £)ecember 1866. |>cr ^erföflet. Worraorf f nt fuußeßnten JUtITage. ®aS 8el)r= unb UebmtgSbucf) ber Stritljmefif für Unterreatfdwfen hat in feiner bortiegenben Stuftage eine gänjtidje Umarbeitung erfahren. Sßar biefe fdfon im §inbtid auf bie; neue öfterreid)ifd)e 3Äa§< unb ©eWidjtSorbnung, tüelc£)e in bem aritljmetifcf)en Unterrichte meljrfeitig nidft unbebeutenbe Ueitberungen im ©efotge f)at, notljwenbig geworben, fo erfdfiten fie burct) bie ©nfü^rung -eines neuen Mjrplane« für ßteaU fdiüten, “'ber bott bem früheren itfr- bieten fünften wefenttid) abtoeidjt, in noef) höherem ©rabe geböten. £)h unb in irtie treit idf ben hieraus erwadjfenen Slnforberungen gerecht würbe, »erben fadjfunbige Vefer aus bem ®ud)e felbft erfeljen. 9Iur einige fdjeinbare 2Ibweid)ungen beSfetben bon bem neuen Setjrplane ertaube id) mir tjier näher ju beteuerten. Stadf bem Mjrptane fott in ber II. ©affe bie einfache Zins¬ rechnung borgenommen werben, währenb bie jufammengefe^ten 23er=. tjättniffe ber III. ©affe tj ^icten finb. 3nfofern nun bie ein fad) e Zinsrechnung auf jufammengefehten SBertjattniffen beruht unb ohne SSerftänbniS biefer nicht ttar aufgefafSt werben fann, hiett icf) eS für nngemeffen, mit ber Sehre bon ben einfachen 23erf)ättniffen fogteich 3tt6affe-19er$ctdwte. (SinlHmitft. Sette ®rfter 5lb|d)tiitt. {Jas ttfdjncn mit unbenannten unb einnamigeit ganzen unb jDrrimaljafyltn. I. 2)a§ belobige galjlenfoftem.3 II. $a§ Slbbieren.6 III. SDaS Subtrahieren.11 IV. 2)a§ SRuttiplicicrcn.15 V. 2)a3 ..25 VI. Slbgefiirjte Rechnung mit Scctmat^lcn.35 SBieberhotungSaufgaben.42 gtoeiter Slbfdjnitt. £/jri(barhfit btr ^aljlen.45 1. ßennjeidhen ber X§eU&ar!ett 2. Verlegung in ^rimfactoren . . 3. ©rö^teS gemeinjd)afttidje3 2ftaB 4. ÄlcinfteS gemeinfdjaftluheS 4Stct ^ 3ßtcbetf)oIung§aufgaben . . . - \ 45 47 48 51 53 2Jrüter5l^dnitt. ^.v paö Her^nTn ntit Qftrmften jßrüdjcn i\i . st $ I. Sßertneränberung ber 23rüd)e * - 1 * 55 56 58 63 66 71 Vierter äbfdjnitk #as flennen mit meljmamig be nan ntm $al)Un. L 2J?atje, ©eroicf)te unb 2ftün3en. ........ 7 II. 2)a§ 2tefofoieren unb 9tebucieren.ii (ft III. S'iedjnungSoperationen mit mefjmamigen 3 a ^ en . 2ßieberf)oIung3auf gaben..] VIII fünfter 5Ibfdjnitt. Derl)ältnt|)e unb Proportionen. ©eite I. SBer^äUniffe. 105 II. Proportionen. . .109 III. Slmnenbung ber Proportionen unb 0d)luf8redjnung. 113 1. £öfung non Stuf gaben mit einfadjen $erl)ältnifjen .115 2. 2)ie Procentredjnung. 125 3. Söfung non Slufgab'en mit aufammengefefcten 33erl)ältniffen .... 137 4. 2)ie Stettenredjnung.^ .142 5. ©infame ginäredptung . %. • ä •. 145 6. 2)iöcontreqjnung . . 8. S)ie ©efellfdjaftgredjnung (ityeilreget) .. 160 9. 2)ie SJttfdmngsredpumgen .... 165 Sßieberfjolungöaufgaben. 177 ©elfter 2lbfd)uitt. ^.nroenbung ber ^ritlpnetik auf Me Peredjnung ber ^ünjen unb tüertpapierc. I. Sie 3)tünärec^nung.172 n. Sie 29ed)fetred)nung.184 in. 23ere$nung ber 0tdat§papiere unb Stctien. 192 SBieberljoIungSaufgaben.196 Siebenter 2lbfd)iutt. ■Das Hedjnen mit algcbraifdjen unb allgemeinen jtablttt. I. SUgebraifdje galten.199 II. Slligemetne 3 a ^ en . . \.206 Sßieber^olungöaufgaben. 222 2ld)ter Slbft^nitt. ISluabrieren unb (Kubieren, ^Utsjieljen ber $luabrat- unb dubikrourjel. « I. ©rieben autoaä Quabrat unb 2tu§$ief)en ber Duabrattnur^el. . II. ©r|eben auf ben ©ubu§ unb StuSgiefjen ber ©ubittnurgel . . . Söieber^oIungSuufijaben.. • * * ®e* attc . . 227 . . 228 . . 236 . . 243 J * 11 l). 3ebe$ einjefae Ding ^eißt eine (Einheit. kommen mehrere gleite Dinge oor, fo ttrirb bie Angabe, »ie niete e$ finb, 3 ö h* genannt. Gine 3af)l, »eld)e bloß bie 2J2 enge ber in ihr enthaltenen (Einheiten auSbriidt, eine unbenannte 3^5 eine 3 a ^^ bagegen, »etdjc nicht nur bie SKenge, fonbern auch bie 51 rt ber (Einheiten angibt, eine benannte 3 a ^* Uönf ift eine unbenannte, fünf ©utben eine benannte £af)l Sine benannte 3 a h*/ »eiche (Einheiten einer einzigen Benennung enthält, heißt einnamig; 3 . 93. 4 ©utben. Gine benannte 3 a h*/ »etdje Ginhciten uerfd)iebener ^Benennungen enthält, bie jebod) 3 U ber- fetben 5trt gehören, heißt mehrnamig; 3 . 93. ^.(Shttben 20 Sreujer. 3ebc Ginheit fann man in gteidje Dheitf^e^j^. ober fi(h hoch in gleiche Dheite geteilt öorftellen. Giite 3 a |t,jnft(d)c btt Ginheit felbft ein- ober mehrmat enthält, heißt eine gang 3aht, „»efdje nur einen Zfjtxi °^ er »ehrere gteidje 2 hci|’Jer^in|p| enthält, eine gebrodjene 3 ö h* ober ein 93rud). Ginl,^^ # firtfctan 3 e 3 a W^ n 5 ein 53iertet, brei 93iertet finb 93rüdje. /£*? 2lu$ ber Ginheit burch fortgefefetcö §inj^ 0 Äi Der Ginheit neue 3af)ten bitben, heißt Jähten. Die babitrd) entftehenben 3 a h^ en ein$, jrnei, brei, oier, fünf, ... nennt man bie natürliche 3 a ^^enrethe* Die 3ahten »erben münbtich burch 3ahl»örter auSgebriicft, fd)rift(id) burch befonbere 3 e ^en, 34 fetn, bargefteflt. SDiccntf, Sftttljinettf für Unterrealjcfyulen. IG. Slufl 1 2 (Sine überftdjtlidje 2Inorbnung aller oerfcfjiebenen &al}Un, melcfie ben Qtotd l)at, mit ment gen tarnen unb 3*ff ern beliebig grofce 3a^l barjuftetten, ^eigt ein 3ö^^nf9ftem. $luS gegebenen 3 a ^ en wtttetft Dorgefdjriebener 33cränberungen anbere neue 3 a ^ en beftimmen, ^eigt rechnen. Die 3al}f, mcldjc burd) bie 9tectynung gefunben nrirb, nennt man ba$ dl ef ul tat bei* SRecfynung. Die Seljre üom s J?ecf)nen ^eißt 2lri tfjmetif. iim iwp ijfr grfler JlßfdSntff SHcdjneit mit nnfcenanntcii unb einnamigett ganzen itnb 2)ccima(jal)tcn. I. pas bekabifdjt- $al)leitfijjlem. 5>eßabifdjc fiattje ^afßett. §. 1. befabifc^e 3 a ^t en f^f^ cnt beruhet auf bem ®rnnb* fafce, baß je gefjn niebrigere ffinljeiten afö eine neue fjöfjere ©nfjeit angenommen mtb a(3 folcfje miinblid) unb fc^riftlid^ bargefteßt m erben. 3Jfan jäf)(t babei, oon ber ©nfjeit auSgefyenb, mit ben befannten 3af)ßt>örtern: eins, jtnei, ... bis $ef)n. &tfjn urfprüngttdje ©n* fjeiten, aud; (Siner genannt, betrachtet man als eine neue fjöfjere ©nfjeit unb nennt fie einen 3 e *) ner ‘ 3 e ^ n 3 e ^ ner bitben eben fo eine ©nfjeit ber nädjft fjöfjcren Orbnung, ein £)unbert; gehn £mnbertc bilben ein STaufenb, u. f. m. 3ebe 3 a ^ ift nun aus ©nern, 3efjnern, £mnberten, . . . jufammengefefct unb tnirb ooßfommen beftimmt, wenn man angibt, roie oiefe ©ner, fttyntt, £mnberte, ... fie enthält. ^ 3ur fdjriftfidjen ©arfteßung ber 3 a ^en genügen bie für bie erften neun 3 a ^ en / Hämfidj 1/ 3, 4, 5, 6, 7, 8, bie 0 (-Kuß), toeldje an^eigt, bafs oon einer beftimmten S^faflg feine ©nljeiten oorfjanben finb. SERan nimmt nämttdj an, *$$$&* 'j* 3iffer, menn man non ber ^Redjten an jäfjft, an ber erftetu ®iner, an ber jmeiten 3 e $ ner ' att ^ er dritten §unberte,;ofti.ttfr Dierten £aufenbe u. f. m. bebeutet, überhaupt an jeher fofgeriben ©tefle nadj linfs jefjnmaf fo t)ief giß, afs an ber nädjftüorfjergefjenben 1* 4 ©teüe ttacf) rechte. 3 . 33. bie Bafjl breifjigtaufenb einfjunbert fünf unb neunzig enthält 3 Befjntaufenbe, 0 Eaufenbe, 1 §unbert, 9 3ef>ner unb 5 ©ner, fie wirb bemnad) gcf(f»rieben: 30195. 8 te§ fotgenbe Booten: 1. 300, 450, 728, 616, 395, 861, 209, 512, 987. 2 . 6000, 3280, 9123, 4054,147311, 90768,151402. 3.1274136, 237084J 943550, 693792,1543021, 880617. 4 . 8642135, 9007925,(87093142, f 13000827,1640922548. ©dfretbe mit 34 f ern fotgenbe Barett: 1 . fiebentntnbert fünf, otertjunbert jmanjtg, jmeitaufenb adft tjunbert jmötf, neuntaufcnb tner unb adjtjig. 2 . B'^ötftaufenb fiebenfjunbert fünf unb fünfjtg, jmeiljunbert adjtseljntctufenb fed) 8 tmnbert ein unb neunzig. 3. 33terjeljn 'DMionen eUftaufenb adft unb brcißig. 3>mmal‘5aöCett. §. 2 . äßenn matt in einer nad) bem befabtfdjen ©efege gefd)rie* benen oon bei* Sinfen gegen bie $Recf)te guröcfffreitet, fo bebeutet jede fotgenbe Btffct ndj'tS nur ben gef) Uten £f)eif Don bem, ma$ fie an ber Dorljergeljenben ©teile nacf) lin H gilt, unb man !ommt fdjliefjfid) auf bie ©ner Ijerab. @3 ift nun nidjt nötfjig, bie ©ner als bie niebrigfte Ordnung oon ©nfjeiten anguneijmen; man fann einen ©ner in gegn gleiche Steile tfjeilen, unb einen foldjen ST^eit^ ein 3 erntet, al 8 eine nod) niebrigere ©nf)eit betrachten, ferner ben geinten Sdjeil Don einem Sefjntef, b. i. ein |)unbertel, af§ bie ©nljett einer nod) niedrigeren Ordnung anfefjen, unb fo burdj fort* gefegte Steilung gu beliebig Weinen B^fattinijetten fyinabfteigen* Uebereinftimmenb bamit fann man, nad) bem befabifdjen ©efege and) bie Biff^nreilje oon ben ©nern nod) toeiter red^tö fortfegen, fo baf$ eine 3 *ff er her erften ©teile nad) ben ©nern Begntef, '-an’ ber gleiten £>unöertef, an ber dritten SEaufeit-bte f, «, . . .bedeutet; nur mu§ babei bie ©teile ber ©ner burd; ein beftimmteS Beidjen femttlid) gemacht Serben. ®iefe§ 3 e *$ etl e * n ^nft, meldet nad) ben ©nern red)t§ oben gefegt toirb unb ber ©ecimalpunft bei|t. Sie B^ff er ^ ttnl$ bor bem SDecimafjmnfte bedeuten ©ange, bie o 3iffcnt red)t$ nacf) bemfetben fjeipen ®ecimaten. ©3 bebeutet fottacf) 7777777777777 fotgenbcö: ©anje ®ecimaten 777777 7- 777777 3aljten, tuefcf;e ®ecimafen entsaften, werben £)ecintatjat)fen ober ® ecimatbrucf) e genannt. ©ine S5ectmafja^I ttrirb anSgefprodjen, menn mau juerft bie ©anjen unb bann entmeber jebe einjetne ®ectmate mit ober ofjne 9lngabe i^reö @teßenmerte$, ober aüe ®ecima(en in i^rer ©efammtfjeit au$fpridjt; j. 33. 59*234 mirb getefen: 59 ®an 3 e, 2 ßtfynkt, 3 beriet, 4 SSTaufenbtet; ober 59' ©anje mit ben ®ectmaten 2, 3, 4; ober 59 ©anje, 234 £aufenbtet. ®ie jmeite Sefeart mirb am Ijäufigften angemenbet. 8ie$ fotgenbe ®ecimafbrücf)e: 3*14159, 13*9085, 37*008,17*0137, 0*8193, 0*70103, 0*00036, 0*0020805. • Seim 2tnfdjreiben ber ©ecimaljaljlen fcfjreibt man juerft bie ©anjen an, fe^t ben ®ecimatpunf't nnb bann bie einzelnen ®ecimaten nad) ber Orbnnng itjreö ©tettenmerteS. SBenn einzelne ®ecimatftetten festen, fo merben biefelben bnrcp duften auögefüfit, 3 . 33. 48 ©anje, 8 SEaufenbtct, 9 3 e ^ ntau f en ^ te ^ f^eibt man an: 48*0089. ©nttjcitt eine 3 afyt bloß ®ecima(en, fo fdjreibt man an bie ©teöe ber ©anjen (inl3 oor bem JDecimatpuntte eine Statt, 3 . 33. 8 3el)ntel mirb ge* fdjrieben: 0 8 . . - • Schreibe fotgenbe ®ecimalbrüd)e an: a) 3 ©anse, 9 3 e W ß t; b) 20 ©anse, 4 3$ntel, 3 |)unbertel, 7 STaufenbtel; c) 35 ©anse, 208 ®aufenbtel; d) 4 ®an 3 e, 17 3eljniaufenbtel; e) 83taufenb 5 @an 3 e, 7 $nnbertcl, 9 Sftißiontet; f) 8 Saufenbtel; g) 71 taufenbtet; h) 2taufenb 13 üDiittiontet. gotgefäge. 1 . ©er 2 Bert eine£ ©ecimalbrudjeS geänbert, menn man ttjm recfjtö eine ober mehrere Statte meit babei bie einsefnen 3 iffertt iljren früheren ©teßenmert ©$ ift atfo: 5*3 = 5*30 — 5*300 = 5*30000. . 6 2. üöcnn man in einem Decimatbrudje ben Decimatpunft 1, 2 3, . ..Stetten meiter gegen bie SRete riieft, fo ertjätt baburd) jebe einzelne Biffer, atfo and) ber ganje ©rud), bejügttd) ben lOfadjen, lOOfadjen, 1000 fachen, . . . SBert. 33ergteid)e bie SBerte ber Decimaljaljten 3*856, 38*56, 385*6, 3856. 3. Söenn man in einem Decimat&rudje ben Decimatpunft 1, 2, 3, . . . Stetten meiter gegen bie ßinfe riieft, fo erhält baburd) jebe Biffer beSfetben, atfo aud) ber ganje ©rud), bejiigtid) nur ben lOten, lOOften, lOOOften, . . . Df)eit beS früheren SBerteö. ©ergteidje bie SBerte ber Decimatjaljten 976*2, 97*62, 9*762, 0*9762, 009762. Sufat*. ©ie I)ter angeführten 3iff ern fjetjjen araBifdje. SRebft biefen werben manchmal auch bie römifdjen Ziffern gebraucht. 2)ie Körner hatten nur fteben Sa^eichen: I = 1, Y = 5, X = 10, L =50, C = 100, D = 500, unb M = 1000, unb brüdten mit benfelöen Durch gehörige 5tebeneinanberftelTung alle fahlen naef; folgenben ©runbfä^en au3: 1. ©teljt nacf; einem gleichen ein gleichet ober ein niebrigereS, fo werben ihre Sßerte gufammengegählt; 3. $8. XX = 20, VI = 6, LXXVI1T = 78. 2. (Steht ein niebrigereä gahlaeidjen oor einem höheren, fo wirb ber Sßert be3 höheren um ben 2öert be3 niebrigeren oerminbert; 3. 23. IV = 4, XL = 40, XCIX = 99. II. £)as ^bbteren. §. 3. Stbbieren fyeigt eine B^* fudjen, rnetdje jmei ober mel)= reren gegebenen Büßten jufammen genommen gteid) ift. Die gege* benen B a ^ en feigen Snmmanben, aud) Soften; bie B a ^ metdje man burd) bie Slbbition finbet, ttrirb Summe genannt. Um ju einer B&f)t 5 eine jrneite 3 ju abbieren, fd)reitet man in ber natürlichen Bahlenrei^e oon 5 aus um 3 ©ntjeiten oortoärtS; bie Baf)l 8, ju ber man baburd) getaugt, ift bie gefudjte Summe. Daö Beidjen ber Slbbition ift + (met)r); $; ©. 5 + 3 = 8 bebeutet: 5 rneljr 3 ift gteicl; 8, ober: 5 unb 3 ift 8. * * Abbitten mit ganjeu fahren. 1 • * . "1. . 4. Da nur gleichartige ©nfjeiteu jufammengejätjlt merben /?• lönnen, fo irirb bie Slbbition mehrerer Snmmanben oerridjtet, inbem * man bie (Siner ju ben Sinern, bie B e ^ uer & en B e § nern u * f* # 7 obbiert unb bie Summe, menn fie einjiffrig ift, unter biefelbt Stelle fefct: trenn fie aber gtnetjiffrtg ift, nur bie ©ncr baöon unter jene Steöe ftfjreibt, bie ^efjner bagegen ju ben @int)eiten ber ncidjft Ijöfyeren Drbnung t)insu 3 äf)ft. 3 . 2 + 1 ©. + 5 ©. = 8 @iner. 8 £• + 9 3 . + 1 3 - = 18 3 . = 1 ©. + 8 3 . 1 + 5 §. + 6 + 3 ©. = 15 öunbert. Summan ben ( 1 315 691 582 1588 •0et münblidfoem 2lbbieren jtüeier gahlen jätjtt man ge» wöf)n(icf) ju ber unterlegten erften 3aljl juerft bie Pieren, bann bie niebrigeren Sinpiten ber jweiten 3af)I baju. 3- •' ©ie riet ift 65 unb 27? 65 unb 20 ift 85, unb 7 ift 92. Aufgabe n.*) 1.* 3äPe in ber natürlichen Zahlenreihe öon 4 aus um 3 @Jt= Seiten, unb bann öon 3 aus um 4 ©npiten eorwärts; ju welcher 3ahl getangft bu in jebem Saite? 2BaS folgt Daraus? 2 «37 + 9 + 1 + 2 + 24-6 + 6 + 3 + 5= ? 3.* Stbbiere bie folgrnben Zahlen a ) in Wagrechter, b) in fenf» rechter Dichtung 1 + 3 3 5 7 9 + + 4.* 5-* 6 .* + 4 + 9 + + 4 + + 8 + a) 30 + 20 = ? a) 53 + 24 = ? 5 5 3 1 7 + 7 + 9 + 8 + 6 + 4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 7 + + 8 + + 6 + 1 5 5 + + 5 + 9 + 3 + 2 + 9 + 6 4 + 3+2 b) 48 + 30 = ? c) 87 + 50 = ? b) 64 + 25 = ? c) 148 + 52 = ? a) 500 + 300 = ? b) 230 + 500 = ? e) 759 + 200 = ? a) 346 + 230 = ? b) 268 + 517 =s ? e) 618 + 272 = ? a) 37 + 42 + 59 = ? b) 68 + 45 + 73 = ? a) 135 + 316 + 508 = ? b) 410 + 728 + 105 = ? 10. * 345 + 73 + 27 = 345 + 100 = ? Stnftait ju einet 3+ nadE) unb naef) meifjrere 3+ett ju abbieren, Jctnn man ju ifjr auf einmal bie Summe biefet galten abbieten. 11. * a) 455 + 208 + 92 = ? b) 123 + 116 + 84 = ? 7.* 8 ." 9.* * . M-M ) SDie fjier unb tt>eiierfjin mit einem ©ternd&en (*) Begegneten SIufgaBeuQwV * :j im $opfe auSgufüfjren. i sfr ^ /& 1 ’Ä/'V/otf 8 12 . a) 1715 5283 2174 b) 2818 3207 4539 c) 12345 3672 5070 d) 53609 2196 13248 992 gs ift öortfjeüfjafi, beim 2 (bbieren größerer fjaljlen roeber bas ©örteren unb, noef) bie etnjelnen ju abbierenben 3 iffmt ausjufpreefjen, fonbern fogleid) nur bie jebeömaltge ©umme ju nennen, ©o roäre Bei ber Testen SIufgaBe 311 fpredjen: 2, 10, 16, 25; 2, 11, 15, 24; 2, 11, 13, 14, 20; u. i. ra. = ? — 9 13 . [420985 + 373612 + 90708 + 123071 14 . 110924 + 5108 + 37124C + 915 + 30924 15 . 35784 + 9876 + 8765 + 7654 + 1234 + 35197 =? 16-/378459 + 2091358 + 1708205 -f-197850 -f 9387193 - ? 17 . Slbbiere bie Barett 7954261, 3Q87, 19343780, 24793, 5400738, 3507901, 8979800, 57934207. 18 . a) 2944928 b) 3157842 c) 2772676 1308215 93084 17521938 743150 9807 4620616 6468431 2621567 5236308 9358930 7514398 15813477 460045 1293714 82389659 d) 63593065 468208 1234567 9876543 980 749309 19. 2(bMere fotgenbe 3 a ^ en a ) in magrcd)ter, b) in fenfredjter Dichtung: 793458 + 1237924 + 9321 + 9851367 + 705231 85371 + 805186 + 572913 + 82190 + 860409 134513 + 9083 4 74528 + 62804 4- 19375 618727 + 129158 4- 193409 + 708356 + 937248 9369 4- 72578 4- 385396 + 2503124 4 56409 «Jtb&Uton mit pecitnafjafiren. §. 5. $D?an fdjreibt bie gleichnamigen Stetten unter einanber, nämlich ©anje unter ©anje, 3 e h n * e i nnter 3eljntel, £mnbertet unter ^nnbertet, u. f. m., unb verrichtet bie Slbbition mie bei gan 3 en 3ahfrn von ber ntebrtgfien ©teile angefangen; ber ®ecimatpunft erf^eint in ber Summe gerabe unter ben ®ectmafpunften ber ©ummanben. 3 . ■©. 1. 45*36 4 4 9 + 6 = 19 ®unb. = l 3ei)nt. 9 $?unb. 13 59 1 4- 7 + 5 + 3 - 16 3el)nt = 1 ©an*. 6 3e§nt. 28*74 1 4 8 + 3 + 5 = 17 ©iner = 1 3c$ner 7 ©tner. t 87*69 1 4 2 4 14 4 = 8 Seiner. 9 0-5 025 0-125 0 0625 §ier benft man ficf) bie leeren Stellen in ben ©ummanben mit Stullen beieijt. 0-9375 Slufgabcn. 1. a) 5-6 3-7 12-9 b) 653 29-9 77-7 c) 0-83 0-59 066 d) 18-25 17-9 , 0086 - 9 l 2. 749-574 + 76 856 + 9 237 = ? 3 . 224-57 + 395-086 + 17-8 + 9-76 4. 4-3125 + 2--‘3567 + 7-0084 + 51-383 + 12-1567 = ? 5. 35-148 + 13-856 -f 25 377 + 33 209 + 28-185 = ? 6. 0-3784 + 04785 + 16 + 0‘2345 + 24 + 1-475 = ? 7- Setcffe 3“f)t tft um 127-75 größer atö 293125? 8. Ibbtere bret gatjtcn, 0011 betten bie erfte 17-834, bie jttteite um 483 größer alö bie erfte, uttb bie britte ttnt 5-712 größer atö bie jweite tft. 9. ®ic Summe 3-123 + 4 234 + 5‘345 + 6456 fott um 7-567 öertttc ßrt werben. 10. 5-347 + 12-84156 + 37-19584 + 0 937856 = ? 11. 29 3456 + 35-98765 + 213-8485 + 38'456 = ? 12. 33erridjte bie 2(bbiiion folgenber faßten 1« fenlrecßter unb roagredjter fRicßtung: + 8-74612 + 0.513678 + 277 63 - + 10-57809 + 5-21936 + 91578 + 9 269 + 7-843976 + 844 5 + 14-79345 + 2-653339 + 83-427 + 7-83156 + 0-97 + 12139 35-246 8-37947 40-897654 390784 0246937 + + + + + 13-73593 35-1236 87-930857 9 764318 5-665524 jVbbttiou elnttnintg 6cnattnter ^nßfen. §. 6. £>te Summanben ntüffen gleichen tarnen tjaben, welken bann and) bie Summe erßätt. 21 tt f g a 6 e n 1.* Setnaub fjat jwei fjäffer Sein; baö eine enthalt 785 8iter v -. baö jweite 130 Citer meßr; wie Biet Sein ift in bettt jwciten Aff 10 2. Bernanb l)at folgenbe Seträge eingenommen: im Jänner 1345 fl., tm gebruar 810 ff., tm ättärj 98 fl., tm 9lpri( 635 fl., im 9)?at 1082 fl., tut 3uni 217 fl.; tote nie! im ©attjen? 3. Sin Sefifcer erzeugte in 10 auf einanber folgenben Sauren 714, 635, 837, 512, 538, 693, 810, 855, 719, 688 £>eftoliter 2Betn; tote oiel toährenb be§ ganzen ©ecemtiumö? 4. Oer tote Dielte Oag eincö gemeinen 3al)re$ ift ber 5. 9Jiärj, ber 17. 2J?ai, ber 29. 3nli, ber 10. Siuguft, ber 15. October, ber 30. -Kooember? 5. Saifer granj I. tourbe geboren jtt glorettj im 3af)re 1768, beflieg in einem Silier oon 24 3al)ren ben Jfjron unb ftarb nad) einer 43jährigen Regierung. SBann trat er bie Regierung an, mann flarb er unb toeld)e$ Silier erreichte er? 6. Semanb fchulbet an A 3268 fl., an B 4550 fl., an C 1880 fl., an D 2736 fl.; toie oiel an alle jufammen? 7. (Sin Kaufmann erhält 6 gaffer mit Del; in bem erflen finb 240, in bem jtoeiten 215, in bem brüten 210, in bem oierlen 220, in bem fünften 224, in bem fecfjften 225 Silogr.; toie oiel Silogr. jufammen? ^ 8- Säumen $at 372 Stabte, 226 Sttärfte unb 12551 Dörfer; toie oiel SBoljnorte jufammen? 9. Sier (Kapitalien tragen einzeln 112-35 fl., 87-5 fl., 53*125 fl., 18875 fl. jährlichen 3ttt$; toie oiel jufammen? 10 . Oie Seiten eines günfedeS finb 25*124“, 32-315”, 20*25“, 17-136“, 15*248“; toie grofj ift ber Umfang? 11 . @in Silberarbeiter Ijat 2 3125, 1 872, 4*1785, 2*794 Silo* gramm Silber oerarbeitet; toie oiel beträgt biefeS jufammen? 12 . Oer Sau einer Sifenb&ljn oerurfachte folgenbe Soften: für bie ©rmtbeinlöfung 1808457 fl. „ ben Unterbau 19344605 „ ben Oberbau 8074726 „ ©ebäube 2317990 ff „ 33erfd)icbeneS 456082 .. If ff toie hodj belaufen fid) bie fämmtlid)en Sfrtlagefoften? III. $as Subtrahieren. ** > §.7. Subtrahieren heißt, aus ber Summe jtoeier 3ahlen . '• tmb einem ber betben Summanben ben anbern fnepen. ‘Oie gegebene \ 11 Summe als bie 3 a W/ öon tDeldher fubtrahtert toerben fott, fjetgt SRtnuettb, ber gegebene ©ummanb ats bie 3 a^I, toetd)e fubtrafjiert toerben fott, ^eigt ©ubtrahcnb; bte 3 a ^/ Me man atS 9iefuttat erhält, f)eigt SMfferettj ober 9?eft. SD’ie Aufgaben ber ©ubtraction ftnb jtoeierlet; eö ift 1 . p be* ftimmen, toie oiet oon ber größeren £af)( nod) bleibt, menn bte Heinere toeggenommen toirb (9teft); ober 2 . toie nie! 31 t ber Heineren h^u* gejäljU merben muf, um bie größere 31 t erhalten ((Ergänzung). ®ie ©ubtraction !ann bafjer auf 3 toeifad)e 2 lrt au$gefüf)rt toerben. Um 3 . -93. oon ber $al)( 7 bie 3 u h* 4 ju fubtrahteren, !ann man in ber natürlichen 3 a htenreit)e oon 7 au$ um 4 (Einheiten gurüdfcfjreiten; bte 3at)( 3, 3 U ber man baburdj getaugt, ift bie gefügte ®ifferen 3 ; man fpridjt: 4 oon 7 bleibt 3. 3)?an fann aber auch oon 4 au3 um fo oicte (Einheiten oortoärtä fdjreiten, bi3 man 3 U 7 getaugt; bie 3 a ^ 3 ber 3 urü(fgetegten Einheiten ftettt bie ®ifferen 3 oor; man fpridjt hier: 4 unb 3 ift 7. ®lan erhält atfo in beiben gatten baöfetbe Stefuftat ©etoö^ntid) wirb ba$ 3 toeite ©erfahren angetoenbet. 3 e i^ en Mr ©ubtraction ift — (toettiger); 3 . 33. 7 — 4-3 toirb getefen: 7 toeniger 4 ift gleich 3, ober: 4 oon 7 bteibt 3. gu&txaction mit gatten Jtaßfett. §. 8 . ©a nur gleichartige (Einheiten fubtratjiert toerben fönnen, fo fubtrahiert man bie (Einer oon ben (Einern, bie 3 e h ner öon Mn 3 ehnern u. f. to., inbern man 31 t ber jebcSmatigen 3 *ff er MS <&nbtva* henbS fo oiet abbiert, baf$ man bie barüber ftefjenbe 3 iffer beS Sftinuenbs, ober mettn biefe Heiner ift, bie nächfte ^ö^ere 3aht erhält, toetdje an ber ©tette ber (Einer jene 3*ff er h a *; Me ba 3 U abbterte 3 a *)t toirb an ber betreffenben ©teile ats 9ieft angefdjrieben. 3 - ©* 1. 785 2. 4045 613 338 172 3707 •Jftan fprid)t hier im erften SÖeifpiete: 3 unb 2 ift 5, 1 unb 7 ift 8, 6 unb 1 ift 7, unb fcfjreibt bie jebesmat abbierte 3iffer unter bte fubirafjierten ©teilen. — 3m ^weiten Söeifptele fprttfjt ober benft man: 8 unb 7 ift 15, bleibt 1; -1 unb 3 ift 4, unb 0 ift 4; 3 unb 7 ift 10, bleibt 1; 1 unb 3 ift 4. 12 3. ©. 3Bie üiel ift 284 — 65? 284 weniger 60 ift 224 banon nodj 5 weg, bleibt 219. Aufgaben. 1. * 3cif)fe oon 12 weg 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 2. * SEßte tiiet muß man ju 6, 7, 8, 9 jusäfjten, um 15 ju erhalten ? 3. * SScftimme folgenbe ^Differenzen: a) 13 — 4, 21 — 3, 32 - 5, 43 — 6, 51 - 2; b) 18 — 5, 35 — 7, 64 — 6, 71 - 3, 93 — 4; c) 47 - 8, 39 - 4, 65 — 9, 82 - 7, 33 — 6. 4. * a) 50 — 20 = ? b) 43 — 10 = ? c) 67 - 40 = ? 5. * a) 46 — 15 = ? b) 73 — 38 = ? c) 123 — 95 =? 6. * a) 600 — 200 = ? b) 910 — 500=? c) 758-400=? 7. * a) 835 — 320 = ? b) 673 - 428 =? c) 928—541 =? 8. a) 5738 b) 3156 e) 7910 d) 6093 1325 917 2578 5465 9. a) 53162 — 4875 = ? b) 90084 — 71085 = ? 10. a) 932413 — 18975 = ? b) 123456 — 34567 = ? 11. 234578 -+- 309875 + 198756 — 381409 = ? 12. Um wie nicl ift 8345097 + 1920784 + 764883 größer a(6 976342 + 2398745 + 139038 ? 13. ©eftimme ben Untcrftfjieb jtoifdjen 78903456 - 62987491 unb 33557799 — 11446688. 14. «Subtrahiere non ben bei ben Ülbbitionöaufgaben 12. bis 18. in §. 4 erhaltenen Summen nad) unb nad) bie eingefiten Summanben. 15. * 375 — 68 — 32 = 375 — 100 = ? Stnftatt oort einer 3 a bl nach unb tiac§ 3 t»ei ober mehrere 3«bten ju fußtra» gieren, tann man auf einmal ihre Summe fußtrahieren. 16. * a> 234 — 57 - 43 = ? b) 781 - 225 — 75 = ? 17. S3on ber 3af)f 731542 geßenen SKinuenb »erBinben. Stan abbiert nämlich juerft bie einer alter ju fuß» • tratjierenben 3aljten, unb fud)t, wie »iet man ju ihrer Summe U noch abbieren mühe, um bie nädjfte höhere 3aht ju Belommen, metche an ber Steife ber einer 2 hat, b. i. um 32 ju erhalten; bann »erfährt man eßenfo mit ben 3ehnern, fmnberten u. f. n>. finb ju traueren Bahfet j 82591 I 72859 127986 (231578 fußtrahierenben 3aljten ju abbieren unb fobann ihre Summe »on bem gegebenen ÜJtinuenb ju fußtrahieren, taim man mit ber ätbbition ber ju fußtrahierenben 3«hten unmittetßar aud) bie Sußtraction »on bem ge» 9teft 216528 S«6ei ]'prid)t man: 8, 14, 23, 24 unb 8 ift 32, Bteifit 3; 3, 10, 18, 23, 32 unb 2 ift 34, bleifit 3; u. f. f. 18. 94789384 — (12356938 + 39279 + 64082641) = ? 19. 13902080 — (4809376 -f 23219 + 907456 + 193) =? 20 . 8341709 — (763583 + 937846 + 293588) = ? 21. 98765432 — (1234567 + 8901234 + 5678901 + 2345678 + 3084415) = ? £u6fractton mit pectmarjaljfeu. §. 9. Seim Subtrahieren ber $DecintaIbrücf)e fdjreibt man ben Subtrafjenb fo unter ben SUiuumtb, bafb ®anje unter ®anje, Beßntel unter Beljntel, punbertel unter punbertel, u. f. tu. ju ftetjen fornmen, unb «errichtet bann bie Subtraction mie bei ganjen Bahlen 0on ben niebrigften ©teilen angefangen; ber fDecimalpuntt erfcfjeint in beut fftefte genau unter ben übrigen SDecimatpuntten. 3- ©• 1) 27-442 2) 218-746 3> 5‘85 18-568 0 85 5-2356 8-874 217-896 ~ 0-6144 91 u f g a b e n. 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . a) 0735 a) 72-4 - 0 274=? b) 25 78-19-9 = ? c) 7-346 - 4 = ? 9-88=? b) 10 — 6-75 = ? c) 1-0-384=? b) 67-857 - 28-3 = ? b) 12-9472 - 8-315 = ? b) 7-3 - 0-3589 = ? b) 36 - 0-00795 = ? a) 37-784 - 15 384 = ? a) 55-3124 — 13-8751 = ? a) 333-78 — 108-333 = ? a) 0-673042-0-374998 = ? 7. 823-25463 — 788-9357 = ? 8. 3-9527 - 2-8973176 = ? 9. Um mie üiet ift 7-8939 größer alb 6-935 ? 10. Um mie oiel ift 37-485 Heiner alb 40? 11. Sföelcße BaI)I ift um 3-3333 Heiner alb 12-8333? 12. Um mie nie! ift bie «Summe "3-149 -f 8-71938 + 10 - 08 größer alb 9-79345 -j- 1-859559? 13 . 371-756 — (58-3475 + 108-99 + 73-8055) = ? 14. (5*34562 •+ 9-07834) — (4-30855 + 2-19931 + 0-86603-^ * 3-14159) = ? w. ? Ä. i * 14 guBtxaction etnnamtg Genannter galten. §. 10. -äfttnuenb unb @ubtral)enb miiffen gleichen kanten fjaben, melden bann aud) ber 9?eft befommt. 21 u f g o b en. 1. * Semanb nimmt in einem Safyre 1800 fl. ein, nnb gibt 1348 fl. aus; mie nie! erfpart er? 2. * Sin ©ater ift 60 Sabre alt, fein ©obn 32 Sabre jünger: mie alt ift ber @ot)n? 3. 2öetd)eS ©atunt fcf^reibt man am 35ften, 87ften, 104ten, 233fteu, 281ften, 307ten, 360ften ©age eineö ©cfjaltjaljreS ? 4. * 2In einem ©ebäube finbet man bie 2luffd)rift 1639; mie alt ift biefeS ©ebäube? 5. * Soffer Kaffee miegen 630 $ilogr.; bie f?äffer für fid) miegen 22 ®ifogr.; mie diel Silogr. Kaffee enthalten bie beiben Raffer? 6. Sin |)au$, auf meiern 3580 ff., 2300 ft., 1860 ff. unb 1525 fl. @d)ulben faften, mirb um 10000 ff. derlauft; mie diel bleibt bem Sigentljümer nad) ber ©ilgung aller ©djulben übrig? 7. Söien ^äfjlte im Safjre 1840 357815 ©nmofjner, im Satjre 1870 622087; um mie diel ßat bie £3eoöfferung 2Bien3 mäfjrenb ber Smifdjettgeit ^genommen ? 8. Semaub lauft eine ffiaare um 68516 ff. nac^ 3 Monaten ^aßlbar; mie diel Ijat er bafür fogleid) %vl bejahen, menn ifym megen ber früheren ©ega^lmtg 1712 ff. nadjgelaffen merben ? 9. Semanb fdjulbet 1382*47 fl., barauf galjlt er 78564 ff.; mie diel bleibt er nod) fdmlbig? 10. Sine 2ßaare mürbe um 138*35 ff. eingefauft, unb um 177*38 fl. derfauft; mie diel fjat matt-babet gemonnen? 11 . 23on einem 2lder, meldjer 328 §eltar mif$t, merben 85*25 £eftar derlauft; mie diel bleibt nod) übrig? 12. ®er längfte ©ag in 2ßien ift 15967 ©tunben, ber fürgefte 8*583 ©tunben; mie groß ift ber Unterfdjieb beiber? 13 . Sin Saf$ enthält 37*75 §e!toliter SBein; menn nun barauf % ^ brei Heinere Säffer, don benen ba§ erfte 4*5 ^eltoliter, baS ^meite * ’*r\" 5*25 |)eltoliter, baS britte 5*85 ^eftoliter fafst, gefüllt merben, mte s - diel bleibt nod) im großen Saffe übrig? 14 . Semanb nimmt in einem üJttonate folgenbe ©ummen ein: 1 388 ft., 295 fl., 57 fl., 167 fl., 315 fl.; bagegen gibt er auS: 237 fl. 410 fl., 117 fl.; n>te groß ift ber Ucberfc^uf^ ber (Einnahme über bic SluSgabe? 15. ©in Sonboner $funb ßat 0*4o36, ein beutfdjeS $funb 0*5, ein ruffifcfje^ ^f. 0*7313 Silogr.; Wie groß ift ber Unterfdjieb gwifd)en je jweien bicfer ©eruierte ? 16. ltnfere Srbe ljat eine Oberflädje non 9261203 geogr. □SOieiten; baoon entfallen auf jebe falte 3ottc 384062 □ SDIeilen, auf jebe gemäßigte 3°ne 2400040 GüDleiten; toie öiel □ 2)feilen umfaßt bie fjeiße 3°ne? IV. Öas Multiplicieren. §. 11. SJiuItipikieren ßeißt eine 3 a ¥ 1° °f* ©untmanb fegen, als eine gweite 3 a *)t anjeigt. £)ie 3 a M/ tnelc^e öftere als ©urnmanb gefegt werben fotl, geißt SRultipticanb; bie toelcße angibt, mie oft ber Sfflultiplicanb ju fegen ift, geißt üjftultipticator; baS SRefuttat ber SRultiplication wirb ^ßrobuct genannt. äßultiplicanb unb 2J2ultiplicator toerben beibe audj mit bem genteinfd)aftlid)en tarnen fjactoren begegnet. 2)aS 3etc§en ber 2Jiuttiplication ift X ober . (multipliciert mit, mal): g. S. 5 X 3 = 15 ober 5.3 = 15 toirb gelefen: 5 mnltk pliciert mit 3 ift gleid) 15, ober: 3mal 5 ift 15. Sine 3a^t fann aud) mit mehreren anberen 3 a ^ en multipliciert werben, inbem man biefelbe junäcgft mit einer biefer 3&t)ten, baS erhaltene ^ßrobuct mit einer jweiten, u. f. w. multipliciert. SS ift für baS 'probuct gleidjgiltig, in weldjer Drbnung man bie gactoren mit einanber multipliciert. 5X3 = 3X5 = 15; 2 . 3.4 = 2 . 4.3 = 3 . 2.4 = 3 . 4 . 2 = 4 . 2 . 3 = 4 . 3.2 = 24 . ** % % •- v % gftttfün lication mit gangen £al)fen. §. 12. I. SBenn ber 2Jiuttiplicator einjiffrig ift, fo wirb bie üJJhtltiplication öerridjtet, inbem man jeben 93eftanbtgeil beS üJJlultipticanbS fo oft nimmt, als ber SÖiultiplicator Sinljeiten entfjält. 16 b. i. »nenn matt juerft bie ©ner, bann bie 3 c ^ ncr / • • • bc§ fDhifti* plicanbs mit bem einjiffrigett SÖhtftipIicator muftipticiert. 3 . 33. ,07 v k 5mat 7 ©. finb 35 6 . = 3 3- 4- 5 ©. - _ X 0 5mat 3 3. finb 15 3., unb 3 3. finb 18 3. = 1 Ö. + 8 3. 2185 5 nta[ 4 £>. finb 20 6 . unb 1 £>. finb 21 ö. Seim Sopfrecfincn beginnt man bei ben fjöijcrcn ©nfjeiten ju muttiplicieren an. 3- ©• 2Sic tuet ift 3mal 84? 3mat 80 ift 240, 3mal 4 ift 12, 240 unb 12 ift 252 21 u f g a b e n. 1.* Stimm jebe ber 3al)Ien 1 / 2, 3, ... 8, 9 fotgeweife lmaf, 2mat, 3mat, . . . 8maf, 9maf, unb präge biefe fßrobucte bem @ebäcf)tniffe ein (baS ©nmateing). 2* a) 8 X 2 -f- 9 X 5 = ? b)9x8 — 6.X 7 = ? 3. * 5 x 6 + 8 X 1 - 7 x 3 = ? 4. * 7 X 7 — 8 X 3 + 4 X 6 — ? 5. * S5?ie nie! ift lmat 10, 2mal 10, 3mal 10, . . . 9mat 10? 6. * S33ie eiet ift 2mat 100, 3mat 100, .. . 9mal 100? 7. * SBie öiet ift 2maf 40, 3mal 20, 5 mal 60? 8. *. «Bie Diel ift 3mat 200, 2mat 500, 6mat 300? 9. * a) 72 X 4 = ? b) 56 X 3 = ? e) 68 X 7 = ? 10. * Stimm jebe begafften: 16,25,37,48,51,69,88 a) 2mat, b) 3mat, c) 8mat, d) ömal, e) 7mat, f) 4maf, g) 6mal. 11. * a) 603 X 8 — ? b) 281 X 9 = ? c) 765 X 6 = ? 12. a) 1823 X 3 = ? b) 8035 X 6 = ? 13. a) 8085 X 8 = ? b) 91072 X 5 = ? 14. a) 134793 X 2 = ? b) 35709 X 7 = ? 15. a) 218354 X 6 = ? b) 836214 X 4 = ? 16. situttipficiere 93876432 nadj ber SReifje mit ben 3 a ¥ et1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 17. 'Sie 3at)t 70859164 foll mit 2, baö ^robuct tnieber mit 2, ba8 neue ißrobuct nocl) mit 2, unb baö erhaltene fßrobuct wieber mit 2 muftipticiert werben. 18. SDtultipticiere ebenfo 1936787 8mat nad) einanber mit 3, eben fo oft mit 4, 5, 6, 7, 8, 9. . 19. SMtipticiere jebe ber 3af)len a) 9170854, b) 5891303, c) 77026539, d) 4789155 mit jeber ber .galten p) 5, q) 6, r) 8, s) 9. II. Sßcnn ber SDtnItiplicator 10, 100, 1000 . . . ift, fo -Wirb bie SMtiplication öcrridjtet, inbem man jeber Ziffer be$ SDtultU pticanbS einen lOmai, lOOmat, lOOOmal,.. . fo großen SKkrt ertljcitt, 17 roelcf)e§ gefcfjiefjt, inbern man ber 3aljl rechts 1, 2, 3, . . . 9luüen anf)ängt. 3 - 1) 346 X 10 2) 584 X 100 3) 870 X 1000 3460 58400 870000 21 u f g a b c n. 1. a) 3165 X 10 = ? b) 8279 X 10 = ? 2. a) 7843 X 100 = ? b) 38100 X 100 = ? 3. a) 319 X 10000 = ?- b) 5700 X 1000 = ? 4. UJMtipticiere 39572 mit 10, 100, 1000, 10000, 100000. 5. 93572 X 1000 + 7845 X 100 + 134790 X 10 = ? 6 . 27483 X 10000 + 93586 X 10 — 96583 X 100 = ? % III. Senn ber 9JJultipticator irgenb eine meljr^ jtffrtge 3 Q f)f ift, fo mu§ man ben 2 )?ultiplicanb fo oftmal nehmen, als alle eingetnen Seftanbt^eife beS SRuttiplicatorS Einheiten entsaften; man muß alfo ben SRultiplicanb mit ben einzelnen 3 iff ern Wlutti* plicatorS multiplicieren, unb ber niebrigften $tffer jebeS erhaltenen ZtjdU probucteS benfenigen Stellenwert geben, melden bie 3ß’f ßr SD^uttt^ plicatorS hat, mit melier muttipliciert mürbe. ©iefeS legtere mirb burd) gehöriges 9Infcf)retben ber £l)eilprobuctc erreicht, menn man nämlich jebeS fofgenbe $robuct um eine Stelle meiter gegen bie SRedjte ober gegen bie Sinfe 3 U fdjreiben beginnt, je nacf)bem man mit ber höchften ober mit ber nieberften Biffer beS 9JiultiplicatorS ju muttipti- eieren anfängt. @3 ift gleichartig, in melier Drbnung man mit ben eingetnen Ziffern be£ 3KuttipIicator£ muttipliciert, menn nur bie £f;eilprobucte in ber gehörigen Stellung unter einanber getrieben raerben. 3 . ©. 538 X 247 ober 538 X 247 107600 . . . 200mal . . .1076 21520 . . . 40mat . . . 2152 3766 . . . 7mat . . . 3766 132886 ‘ 132886 3m Sopfe. Sie Diel ift 12mat 34? lOmal 34 ift 340, 2mal 34 ift 68; 340 unb 68 ift 408. 91 u f g a b e n. / X * 1. * 2Bte mef ift 13mat 20, 14mat 51, 23mal 32, 22mal^40^ ju, 2. a) 73 X 23 = ? b) 87 X 36 = ? e) 185 X^9 =£? aftoentf, Strit^metiC für Unterreatfcfjulcn. 16 . 2lufü. 2 < ^ V“ o X t* 18 3. a) 7013 X 84 = ? 4. a) 35482 X 98 = ? 5. a) 5290 X 617 - ? 6. a) 78431 X 924 = ? 7. a) 109207 X 3014 = ? 8. a) 398594 X 57396 = ? 347 X 800 b) 4560 X 277600 4104 912 9. a) b) 12345 X 69 = ? b) 345 X 123 = ? b) 9204 X 729 =? b) 12345 X 678 = ? b) 75074 X 2395 = ? b) 381475 X 873589 = ? 29 c) 80500 X 650 4025 " 4830 52325000 132240 10. a) 91234 X 7800 = ? b) 70800 X 371 = ? 11. a) 35800 X 978000 = ? b) 83109000 X 93857 = ? 12. SDiuttipliciere 617385 a) mit 67, b) mit 386, c) mit 7083. 13. äßie oiet ift 31416mat a) 29905, b) 83442, c) 179355? 14. SKuttipticiere jebe ber 3 a ^ en oo r? i_ \ 4 r~rnr>r\r\ i J \ er rm cio - • j. • c_^__ , 768904. p) 987, q) 6130, r) 34048, s) 786231. 15. 91347845 X 1235709 X 3248193 = ? 16. 56789 x 12345 X 67890 X 45678 = ? 17. 780523 X 935386 -f 238719 X 3709300 = ? 18. 468029 X 783507 — 389785 X 690528 = ? gSurtipCicotioit mit pertmarjaljfett. §. 13. I. Sin ©ecimal brud) wirb mit 10, 100, 1000,.. multipticicrt, inbem man jeher 3iff er beSfelben einen 10, 100, 1000 . . . mal fo großen Söert gibt, b. i. inbem man ben ®ecimaO puntt 1, 2, 3, . . . ©teilen weiter nad) recßtS rüdt (§. 2, go!ge= fa| 2). 3. SS. 4-567 X 10 1-23 X 100 0-08 X 1000 4567 123 80 II. Sin Secimalbrucf) wirb mit einer gangen 3 a f)t multipliciert, inbem man ißn wie eine gange 3*# bamit multi* pticiert unb im ißrobucte bon ber iRediten gegen bie Sinfe fo oiele ©ecimalftellen abfdjncibet, afö beren ber SDluItiplicanb fjat. 3- ©• 7mal 6 ipunbertel finb 42 öunbertel = 4 gefjntet unb 2 öun= 4*56 X 7 beriet. . 31‘92 7mal 5 finb 35 genutet, unb 4 gekniet finb 39 gekniet = 3 einer unb 9 gekniet. 7mat 4 einer finb 28 einer, unb 3 einer finb 31 einer. 19 III. Sin ®eci mat brncf) mirb mit einem ©ecimat* 6rnd)c muttipliciert, inbem man bie 9Kulttylicatiott o^ne 9?ü(ffid)t auf bie Decimalpunfte roie bei ganzen 3n§Ien bwicfjtet nnb bann im ^5robncte fo niete ©ecimatfteflen abfcfjneibet, als beren in beiben gactorcn jufammen enthalten finb. 3- 9JtuitipIiciert man 9*234 mit ber ganzen gafjt 567, fo * 6* erhält man (nach II.) 5235*678. 9tun ift aber 9*234 nur mit 5*67 b. i. mit bem lOOften Sfjeüc non 567 gu muttiplicieren; e3 wirb bafjer auct) ba§ ^Srobuct nur ber lOOfte ^eil von 5235*678, b. i. 52*35678 (§. 2, gotgefa^ 3) fein. ,gn bem gUf^nprobucte 5235678 werben alfo mit $ftücffic§t auf ben Hftultipticanb 3, unb 3)?uItipticator nodj 2, gufammen 5 2)ecimatftetten ab- 9*234 X 46170 55404 64638 52 35678 ben 2 . 3. 4. X X X X 10 = ? 1000 = ? 3 = ? 9 = ? 5. mit auf gefdjnitten. 31 u f g a 6 e tt. 1. a) 17-085 a) 7-4105 a) 8-9456 a) 17-345 Sie 3af)t 15-893 muttipticiert werben. 6. a) 0-1284 X 87 7. a) 33-841 X 37 8. a) 0-128 X 625 9. a) 5-19635 X 225 = ? 10. a) 783 X 0 09 = ? a) 7-8413 X 1*7 = ? a) 3-5 X 172 - ? a) 783 X 2-83 =? a) 7 314 X 3-25 = ? a) 0-315 X 0 017 = ? a) 23-915 X 9 93 = ? 17. a) 6-451 X 80 01 = ? 18. a) 2-3456 X -6789 = ? 19- a) 15-3287 X 57’89 = ? b) 3-14159 X 100 = ? b) 0-956 X 100000 = ? b) 0-9876 X 90 = ? b) 7-157 X' 800 = fott mit 10, 100, 1000, 10000, 9 ♦ 100000 — 9 - ♦ — 9 ■ 1 ■■ ♦ — 9 b) b) b) b) b) 11 . 12 . 13. 14. 15 16. 129-23 X 58 = ? 13-937 X 531 = t 3-1567 X 950 = ’ 13-9078 X 609 = ? 35 27 X 0-4 = ? b) 5-462 X 2-36 = ? b) 7125 X 0-03 = ? b) 17-835 X 0-71 = ? b) 41-23 X 0 52 =j> b) 6 521 X 0-082 = ? b) 345-123 X 0-617 = ? b) 0-4992 X 0-327 = ? b) 0-3561 X 0-1375 = ? 20 . 21 . 22 - 23. 24. b) 6-21046 X 0-01753 = ? 2Bie Biet betrögt 3-125 X 1-09 +_ 7-378 X 0037? Um wie tiiel ift 37 x 3 957 größer atb 12-935 X 7-108 ? a) 840244 X 009573 = ? b) 3-444593 X 78572 a) 781642 X 0-81593 = ? b) 399-1345 X 14*88®jj$? a) 9-51643 X 29857 = ? b) 0-28719 X 0*536« •= f; 2 * W* £ ; W 1 20 25- ©aS ißrobuct jtreiei' gleicher betören wirb Qua brat genannt. Söeftimme baS Ouabrat non a) 2-14, b) 42-58, c) 0 17345, d) 5-8078. 26. ©a§ ißrobuct breter gleicher gactorett wirb Snbuß ge» nattnt. Seftimme ben ßubuS non a) 015, b) 6 34, c) 15-38, d) 0-7925. 27. a) 0-0000956 X 27851=? b) 95-281 X 00119 = ? 28- a) 8-236755 X 19357 =? b) 23’8945 X 97513 = ? 29. a) 24-94407 X 285 263=? b) 137938 X 248571 = ? gU$nttnös»orf(jetfe ßcl ber gattfttptication. §. 14. 1. SBenn ber Söfnltiplicator bie 3UT er 1 enthält. Slnftatt: 3421 X 41 56073 X 1-08 43-12 X 123 3421 56073 4312 13684 4485 84 8 62 4 140261 60558-84 1 29 36 ‘53 03-76 fann man mit 33ermeibung alles nnnü^en SBieberbofenS auch fdjreiben 3421 X 41 56073 X 108 43-12 X 123 13684 4485 84 8 62 4 140261 60558 : 84 1 29 36 53 0376 SBenn baljer im SJJultiplicator bie 3>ff er 1 borfommt, fo läfst man ben iKultipticanb ungeanbert als bas erfte ©f) e >fP ro buct ftetjen, multipliciert ihn bann nur mit ben anbern gettenben 3iffern beS SJlultipIicatorS, unb fdjreibt bie baburd) erhaltenen ST^eilprobuctc gehörig barunter. 2. SBenn ber üDfultipticator 11 ift. . 9tach bem eben angeführten 33ortljeile hat man 381307-924 X 11 3813079 24 4194387164 ' ' woraus he r Po r 9 ef)t, bafS man bei ber SWultiplication mit 11 baS ^robuct unmittelbar au« bem SRultiplicanb ableiten fann, inbem man 21 bie erfte 3^ff er *cdjt$ ungeänbert anfdjreibt, bann jur erften 3^ffcr bie jineite, jur jrcciten bie britte, unb überhaupt 311 jeher ©tefte bie nädjft Ijöfyere abbiert. 3- * 1) 178423X11 2) 3840*72X11 3) 907865x110 1962653 4224792 99865150 2ftan ipric^t im erften Setfpiele: 3 ift 3, 3 unb 2 ift 5; 2 unb 4 ift 6, 4 unb 8 ift 12, hkibt 1; 1 unb 8 ift 9, unb 7 ift 16, Bleibt 1; 1 unb 7 ift 8, unb 1 ift 9; 1 ift 1. 3. Sßenn fid) ber 2JJuftipticator in 3 toei gactoren 3 er feg en Iäf$t, mit benen man leidjt muftipficieren fann, fo muftipficiert man ben SDluftipficcnb jnerft mit bem einen Factor, unb bann baS (Srgebniö nod) mit bem anbern gactor. 3- 33* 1) 9206 X 49 2) 219 56 X 33 3) 12345 X 270 64442 7.7 658 68 3.11 111105 9.3Ö 451094 7245 48 3333150 4. SBenn ber SJiuItiplicator lauter 9 entfjäft, mit 2fu3nal)me ber Sin er, mefcfje and) eine anbere 3*ffc r feto fönnen. < ' §at man eine 3 a W i- ■©• toit 992 3U muftiplicieren, fo mnüu pficiert man mit 1000; baburdj befommt man um ba$ 8fad;e 3U oiel, man mup bafjer bie gatjt noc ^ ötit 8 muttipticieren, unb bie 8facf)e 3aI;I non ber lOOOfadjen fubtraljieren. SBenn alfo ber SJIuItipIicator bi8 auf bie (Siner lauter 9 enthält, fo abbiert man 3U ben ©nern fo trief, bafö man 100, 1000, . . . befommt; hierauf multipliciert man ben äftuftipficanb 3uerft mit 100, 1000, . . . bann mit ber 3U ben ©nern f)in3uabbierten unb fubtraljiert ba8 3tneite ^robuct oon bem erften. 3* ®* 1) 7-53467 000 X 994 2) 150234 0000 X 9997 45 20802 1ÖÖÖ—6 450702 10000-3 7 489-46198 ' ' 1501889298 5. Söenn ber SWuttipIicator lauter 9 enthält, mit 2fuSnaf)me ber Ijö elften 3^ff er / tt>efd)e nidjt notljmenbig 9 fein mu£. 33ermeljrt man einen folgen SKuftipficator um 1, fo erhält man eine 3al)I, ^eld^c aus einer einjigen gettenben 3^ff er mit rec^t^ fot* genben Kulten befielt. SBenn man nun ben Sftuttipficanb mit biefej 3al)f multipliciert, fo ift ba$ ^ßrobuct um ba3 lfacEje beS äßuftipficantj?, * >• *" \ \ ’i / Sb* ■ i-fc * 22 b. i. um ben SDMtipltcanb felbft ju groß; matt muf$ baljer Don jenem ^ßrobucte nocf) ben SDMtipIicanb fubtrafperen. 3- ©• 1) * 5682 X 399 2) 7-296 X 5999 2272800 400— i 4377 6 OOP, 6000-1 2267X18 43768-704 • :' ' eftar 31 t 15 §eftofiter angenommen trirb? ^ 6 . 3n Öefterreidj * Ungarn trerben jäljrfid) im Smrdjfdjnitte 40963 Kilogramm ©über getronnen; trefdjen ©efbtnertfj fjat biefeS, trenn man ein Kilogramm ju 90 ff. rechnet? /7. SBte riefe SDIeter geben 15 Silogramm Seinengarn, trenn auf 1 Siiogr. 30 ©träne gefjen, unb trenn ein ©trän 2250 Steter entsaft ? 3. äßäljren umfaßt 222-3 □SDtyriameter unb f)at burdjfdjnittfid) 9075 ©ntrofjner auf jebem trie groß ift bie 23eröfferung ron üDtäßren ? ' ' X 9- ©n ^enbef brauet ju einer ©djtringung 087 ©ecunben, tn trie rief $eit trirb eS 20, 60, 87, 1000 ©djtringungen rnadjen? 10. (Sin Kilogramm foftet 2-35 ff.; trie fjod) fornmen 9, 27, 58, 106, 238, 1118 Sifogramm ? 11. ©n Sfteter £udj foftet 422 ff.; trie rief foften 5, 9, 4*5, 12*25 SDieter ? 12. ©n Sampf tragen fegt ftünbfid) 30’2 Sifometer gurud:; trie rief in ?, 10, 3*7, 13*75 ©tnnben? /13. 2$on einem (Kapitale begießt man jäljrfid) 65*78 ff. 3ütS; trie rief m Ö-2&? in 2-125 Sauren? 14. ©n ©arten, trefdjer bie §orm eines 9ted)tedeS Ijat, ift 20 m fang unb 12 m breit; trie groß ift feine gfädje? 2ßie riete n m taffen fiep nadj ber Sänge auftragen? Sßie riete fotcfje Streifen fornmen nadj ber Breite neben einanber gu tiegen ? 2öie riete Q“ enthält atfo bie gange gtäc^e? 15. 2Bte groß ift bie gfäd)e eines QuabrateS, beffen ©eite 18 dm ift? üßan multipücim bie Sänge einer ©eite mit ftcf) fetbft. 16. ®te ©eite eines QuabrateS ift 3 42 m , bie ©eite eines Streiten QuabrateS T75 m ; nm trie rief □“ ift ber gfädjeninljaft erften QuabrateS größer afS ber beS streiten? 24 17- ©in £>of öon 15*35“ Sänge unb 10*83“ ©reite fofl mit glatten belegt merben, motton baS Quabratmeter ju 6*48 ft. geregnet mirb; mie f)od) belaufen ficf) bie Soften? 18. ©ne SJJauer hat 272 dm Sänge, 91 dm £öf)e unb 7 d “ ©)icfe; mie üiel ßub. d “ enthält fie? 2Bie riete C dm enthält bie ©runbflädje ber Raiter? 2ßie Diele (£ub. dm taffen fid) atjo auf ber ©runbftäcfje auftragen? 2öie Diele folcfje Schichten tarnt man nach ber gansen ©ö^e über einanber legen? 2öie Diele (Sub. dm enthält bemnad) bie ÜDtauer ? 19. ©n Zimmer jp 15 ™ j att g, gm un ^ 4 ™ . ^; e g ro g ift ber 9?aum biefeS ^immerS? 20- 2Bie groß ift ber ßubifinljalt eiltet SBurfelS, beffen Seite 26 cm beträgt? 3Kan fe^e bie Sänge einer Seite 3mal als gactor. 21. SBie üiel Siter fafst ein mürfelförmigeS ®efäß, beffen Seite 2 - 2 dm ift? / 22 . SBie Diel miegt eine üierlantige ©fenftange, meld)e 195 cm lang, ll cm breit unb 2 cm bid ift, memt baS Sub. cm ©fen 0*0078 Silo* gramm miegt? 23. ©er ©urchmeffer eines Sr eifeg beträgt 5 dm , tüte grofc ift ber Umfang ? 2)er Umfang eines Greifes mirb beregnet, inbem man ben 2>urd)meffer mit 3*14, genauer mit 3*14159 multipliciert. 24. 2Bie groft ift ber Umfang eines SreifeS, beffen §albmeffet a) 4*2“, b) 2*815“, c) 11W beträgt? 25. ©in 9tab hat 0 735“ im $albmeffer; mie grotf ift ber Umfang beSfelbett, unb mie niete Umläufe mirb eS machen mitten, um 1 Silometer gurüdjulegen? 26- ©er £>albmeffer eines SreifeS ift 4*5“; mie grof; ift ber glädjeninhalt? Um bie fjtäd;e eines SreifeS §u erhalten, multipliciert man baS Quabrat beS öalbmefferS mit 3*14, genauer mit 3*14159. 27. 2Bie groß ift bie ©obenfläche eines freiSrunben SaleS, beffen ©urchmeffer 1125“ ift? 28. 9Bte groß ift bie Oberfläche einer Suget, bereit ^albmeffer 4-3 d “ ift? "V. S)ie Sugeloberfläd)e mirb beregnet, inbem man baS 4facf)e Quabrat beS §albmefferS mit 3*14159 multipliciert. 29. ©ine Sugel l)at a) 1*24“, b) 5*15 d “ im ©urchmeffer; mie groß ift ihre Oberfläche? 30. ©in ftigelrunber Surmfttopf, loeldjer l l m im Surdjmeffer Ijat, fott ocrgotbet merben; toie l)od) belaufen fiel) bie Soften, toenn für baS □“ 17 fl. gejagt ttrirb? 31. 9Bte groß ift bei* Subiünljatt einer Sugel, beren |)albmeffer 7*5 dm ift? 2)er ©ubiftnfjalt einer $ugel roirb gefitnben, inbem man entroeber a) bie Dberfläc^e mit bem britten Sfjeile beS öaibmcfferS, ober b) inbem man 4 / 3 beS (SubuS beö ^atbmefferä mit 3*14159 multipliciert. 32. SBte oiel toiegt eine eifernc Sugel oon 2*4 dm Surcfymeffer, toenn ein ©ub. dra Gifen 7*8 Silogramm toiegt? V. Sas $uriMeren. §. 16. Siöibieren f)ei^t f aus bem ^robucte jtreier 3aWen unb aus einem ber beiben gactoren ben anbern finden. SaS gegebene ^ßrobuct als bie $af)l, toelcfye bioibiert toerben foll, f)eigt Sioibenb, ber gegebene Factor als bie 3 a % burdj toeldje bioibiert toirb, fjeigt Sioifor; bie 3al)l, toefdje man burd) bie Sioifion erhält, Ijeifjt ö u o t i e n t Sie Sioifion lägt eine gtoeiracfye 9luffaffung gu, je nad)bem ber befannte gactor (Sioifor) als SJtultiplicanb ober als SDiultiplicator gegeben ift. Sa nämlidf) baS ^robuct ein aus mehreren gleichen Steilen beftefjenbeS ©angeS ift, fo geigt ber SJtulttylicanb bie ©röfje eines Steiles, ber 3J?ultipIicator bie 21 ngaf)l ber Steile an. SBenn nun baS $robuct unb ber JDMtiplicator, alfo baS ©ange unb bie Slngaljl ber Steile gegeben ift, fo läfst fid) mittelft ber Sioifion ber Sftultiplicanb, alfo bie ©röge eines Steiles beregnen. 3ft g. 23. 20 als baS aus gleichen Steilen befteljenbe ©ange unb 5 als bie 2lngaf)t biefer Steile gegeben, fo lautet bie grage: toie gro§ ift 1 £f)eil, toenn 20 aus 5 gleichen Sfjeilen befielt? ober; toie grofj ift ber 5te Sfjeil oon 20? Sie 3al)l 20 burdj 5 bioibieren ^eigt in biefem gatte, 20 in 5 gleite Steile teilen. Sie Sioifion ift £)ter als SnjeitunjjT* gu betrachten, toooon fie aud) ben tarnen füfjrt. 3ft aber baS ^robuct (baS ©ange) unb mit iljm ber -BMttyflWftb <’} (bie ©röfje eines SljeileS) gegeben, fo fud)t man mittelft ber Staigon^' ben SKuIttolicator (bie Stngafyl ber Steile). ®S entfielt, toenn g.f$j£ , 26 als baS @an$e unb 5 als bte ®röge eines SljeiteS gegeben ift, bie fjrage: tote biete gleite Streite gibt 20, foenn ein fotdfjer £f)eit 5 ift? ober: mie oft ift 5 in 20 entsaften? 20 burcf) 5 bioibieren fjeifjt in biefent gälte, unterfud)en, mie oft 5 in 20 entsaften ift. Sie Sibifion bebentet t)ier ein Sntfjattenfein, eine SJZeffung. SaS Beiden ber Sioifion ift : (bibibiert burd)); g. SB. 20 : 5=4 mirb getefen: 20 bibibiert burd) 5 ift gteid) 4, ober: 5 ift in 20 4mat entsaften. Sin Quotient mirb manchmal aucf) baburd; angejeigt, bafS man ben Sibifor unter ben Sioibenb, unb jmifcfjen beibe einen ©trief) 3 fefct, j. 33. -g- mirb getefen: 3 bibibiert (gebroden) burd) 5, ober 3 5tet. Siefe gornt beS Quotienten mirb bie Srudjform genannt. JpmJton mit gansen J&aljCeu. §. 17. SaS ©ibibieren rnirb bet ber t)öd)ften ©tette beS SioibenbS begonnen. Sftan nimmt im Sioibenb fo biete Ijödjfte Biffern, ats itjrer ber Sibifor f)at, jber um eine metjr, tuenn bte mit jenen Biffern gebitbete B a ^ Heiner ats ber Sibifor ift, ats erften Ztyib bioibenb an, unb bibibiert biefert burd) ben Sibtfor, moburd) man bie erfte unb Ijödjfte B*ff er Quotienten ermatt. SRuttipticievt man bann mit biefer B^ff er b^ Quotienten ben Sibifor, fubtraf)iert baS ‘’ßrobuct bon bem erften Sfjeitbibibenbe unb fefct ju bem SRefte bie näcfjfte niebrigere ßiffcv beS SioibenbS baju, fo bitbet biefe B a ^ ben feiten STIjeitbiöibenb, metdjer burd) ben Sibifor bibibiert, bie jmeite B^ff er beS Quotienten gibt. SiefeS 23erfal)ren mirb fortgefe^t, bis man alle Biffern beS Sioibenbs in 9te^nung gezogen ijat. B- ■©• 1) 936 : 3 9 £. : 3 = 3 £>.; 3 3. : 3 = 1 B* 312 6 S. : 3 = 2 S. 2) 4579 : 8 2Jtott {priemt ober bentt : 8 ttt 45 5mal, bleibt 5; 8 in 5724 57 7mal, bleibt 1; 8 in 19 2mal, bleibt 3. Man erfjält s alfo 572 als Quotienten unb 3 als 3teft, meldjer noch burd) 8 %n bioibieren ift: 1 in 8 gleiche Steile geteilt, gibt 1 2tdjtet, 3 in 8 gleiche 3 Xljeile geteilt, gibt alfo 3 Sittel = -g~; man ntufj bal;er im Quotienten gu ber 3 * - ganzen 3 a *)t 572 nodj ben SBrucf) -g- §in$ufügen. • v*. . / ^. ✓ 4 4 27 3) 4731 415 581 581 4) 98648 1504 2508 83 = 57 Sa 83 in 47 nidjt erttfjatten ift, fo nimmt man 473 aI3 erften S^eitbioibenb. 83 in 473 (t>crjucf)3roci)e 8 in 47) ift 5mat enthalten; 5mat 83 ift 415, oon 473 fuBtrafjiert, Bteibt 58; 58 3 . = 580 ©. unb 1 ©. baju, finb 581 @.; 83 in 581 (8 in 58) ift 7mat ent» Balten; 7mal 83 ift genau 581. 418 = 236 Sie $fKrtP ro *> uc te au§ ^> cm Si»ifor unb ber jebeinialigeit giffer beS üuo= tienten roerben geroö^nlicf) fogteid) mäljrenb beä SDtuttipticierenä non beit Betreffenben 5 s * SE^eilbitiibenben fu6tra[)iert unb Blof; bie 9tefte angefdjriefien. 3Jtan fpricfit: 418 in 986 (4 in 9) ift 2ntal enthalten; 2ntal 8 ift 16, unb 0 ift 16, Bleibt 1; 2mat 1 ift 2, unb 1 ift 3, unb 5 ift 8; 2mal 4 ift 8, unb 1 ift 9. 3 unt 9iefte 150 Jommt 4 §eraB; 418 in 1504 (4 in 15) ift 3mat enthalten: 3mat 8 ift 24, unb 0 ift 24, BleiBt 2; 3mal 1 ift 3, unb 2 ift 5 unb 5 ift 10, Bleibt 1; 3mat 4 ift 12, unb 1 ift 13, unb 2 ift 15; u. f. f. Sffienn ber SD 101 f 0 r 10, 100, 1000,. . . ift, fo wirb bie SDibiftort berrirfjtet, inbem man 00 m SDioibenb redjtS 1, 2, 3, . . . 3iffern abfdjneibet; bie lintö bteibenben 3iff ern büben ben Quotienten, bie rechts abgefd)nittenen ben 9left, welcher nod) burcfi ben ©ioifor gu binibieren ift. 3- 33* 00 3. SDiüibtere burd) 8 jebe ber 3520, 9185. 4- a) 57933 : 9 = ? 5. a) 915278 : 3 = ? 6. a) 1957351 : 6 = ? 7. a) 3420 : 10 = ? 8. a) 13579 : 1000 = ? 3ai)len 750, 1284, 1707, b) 170924 : 4 = ? b) 378238 : 7 = ? b) 577306 : 8 = ? b) 1235 : 100 = ? b) 708459 : 10000 — 9 9. -Seftimme folgenbe Quotienten: a) 684 : 12, d) 15766 : 49, g) 34463 : 370, b) 4399 : 83, e) 7840 : 20, h) 451094 : 4900, c) 7577 f) 25238 i) 32768 28 10. ©udje bic Quotienten: a) 5639712 : 624, c) 1861704 : 3510, e) 68703705 : 105, g) 98765432 : 12345, 11. Seftintme: a) 70370088 : 25986, c) 34639215 : 39783, e) 264808461 : 264803, b) 2823150 : 1298, d) 21345738 : 72100, f) 20857384 : 3004, h) 8642013570 : 56789. b) 1292671490 : 42086, d) 12345678 : 57095, f) 70251807402 : 79863. 12. ©iöibiere jebe ber 3 a ^ en a ) 78422960, b) 41065515, c) 151466112 burd) jebe ber 3 a ^ etI P) 616, q) 2979, r) 43827. mit g>ecimafäni)ren. §. 18. I. Grtn ©ecimalbrud) wirb burd) 10, 100, 1000, . . .bioibiert, inbern manben ©ccimafyiuntt 1, 2, 3, . . . ©teilen weiter nad) [ i n f ö rücft, weil baburd) jebe 3'ff er & en lOten, lOOften, lOOOften, . . . ©E)eil beS früheren SSerteS erhält. (§. 2, Solgefafc 3). 3 . Sö. 124-85 : 10 5-74 : 1000 83574 : 100 ‘ 12 475 0-00574 835-74 II. @in©ecimalbrud) wirb burd) eine ganse3 a ^f bioi= biert, inbent man iljn wie eine ganje 3 a f)I bioibiert, unb in ben Quo= tienten ben ©ecimalpunlt fe|t, beoor man bie 3^ntel beS ©ioibenbs in iRedjnung jiefjt. -23Ieibt bei ber ©ioifion ein 9ieft übrig, fo fann man, ba ber SBert eines ©ecimatbrudjeS burd) ^injufügen oon Nullen nid)t geänbert wirb, biefern fo wie jebern folgenben 97efte eine SHuß anfjängen, unb bic ©ioifion fortfe^en. 3- ®. 29 Oanje bioibiert burd) 16 geben 1 ©cmjeS, unb e§ Bleiben nod) 18 ©anje = 130 3el)ntet; 130 -t- 2 = 132 Sebntel. ®ie|e burd) 16 bioi= biert geben 8 ge^ntel, roorauf nod) 4 gebntel = 40 Igunbertel bleiben; 40 + 4 = 44 Jpunbertel. ®iefe burd) 16 bioibiert geben 2 §unberiel, unb = 120 Saufenbtel; biefe burd) 16 bioibiert geben u. ). to. ©aSfelbe SSerfatjren läfst fiä) aud) bei ber ©ioifion jweier ganjer 3 a I)fot, wenn am fnbe ein IReft bleibt, in Slnmenbung bringen. 3* 29 24 : 16 = 1-8275 13 2 44 120 80 eä Bleiben nod) 12 §unbertet 7 Saujenbtel mit bem Mefte 8; 29 2783 695-75 0 0 1238 : 29 = 42*689 . . . 78 200 260 280 19 ©etjt bie ©iöifion gute^t ot)ne SReft auf, fo ift ber Quotient öottfommen genau, ©ef)t bie ©ioifion ntrfjt otjne SReft auf, fo ift ber Quotient nur angenätjert unb jwar um fo genauer, je mehrere ©ecö malen man entwidett. SBie niete ©ecimatcn man ju fudjen fjat, tjängt öon ber 53eftf>affenf)eit ber Stufgabe ab. SBebeutet ber $ectma(btucfj 3 . 33. ©utben, unb ift er ba§ ©nbergebniS ber ganzen Segnung, fo reicht e3 bin, brei Secimalen ju entmictetn; wenn aber ber Quotient nicht ba§ ©nbrefuitat ber Ste^nung ift, fonbern e3 toare bamit nod) eine SRultiplication norjunebmen, fo müfite er in mehreren ®ecimalen beftimmt werben. SBenn bie ©iöifion nidft otjne SReft aufgefjt, fo muf? bei fort* gefegter IRedjnung einer ber fdjon einmal übriggebliebenen 9Refte notlj* wcnbig wieber erfdjeinen, unb e§ werben baffer aud) im Quotienten Äffern, bie fdfon einmal ba gewefen finb, in betfetben Qrbnung wieber* letjren. 3- 307 : 3 = 102-33 . . . 07 10 10 1 3 : 22 = 013636 . . . 30 80 140 80 140 8 ©in ©ecintalbrud), in wetdfem eine 3>ff jr ober eine ^Reihenfolge non 3iffern immer wieberJeljrt, Ijeijit ein periobifdfer, unb bie fReitfe ber ficf) rcieberfjotenben 3iff errt bie 'ßeriobe. 3n bem erften ber obigen $wei Seifpiete beftefft bie fßeriobe au$ einer 3iff er (3), iw sweiten au8 2 Biffertt (36). SDfan pflegt bie ißeriobe nur einmal anjufdjreiben, jeboc^ bie erfte unb bie lefcte 3iffeo berfetben mit barüber gefegten fünften ju bejeicffnen. ©8 ift benmadj 307 : 3 = 102-3, 3 : 22 = 0136. III. ©ie ©iuifion burd) einen ©ecintalbrudf) la in eine ©ioifion burcf) eine ganje 3 a ^ oertoanbelt werben, inbeftt t 30 man ©ioibenb itnb ©ioifor mit 10, 100, 1000, . . . muttipltcicrt, je Halbem ber ©ioifor 1, 2, 3, . . . ©ecimalcn ^at. 3- 126 : 0*9 = 1260 : 9 = 140 5*696 : 3*2 = 56*96 : 32 = 1*78 . 2*5415 : 0*037 =z 2541*5 : 37 = 68*689. IV. ©in anbereS allgemeines Verfahren für bie ©ioifion ber ©ecimalbrüche beruhet auf folgenbett •Betrachtungen: ®ie 3iff ern * ret^e beS Quotienten hüogt blofj oon ber 3^ff ernre ^ e beS 3)toibenbS nnb jener beS ©ioiforS ab; man befommt baljer bie auf einanber folgenben 3*ff ern beS Quotienten, menn man im ©ioibenb nnb im ©ioifor bie ©ecimalpunlte ganj unberürfftcfjtigt (äfSt, unb bie ©ioifion mie bei ganjen oerrichtet ©er ©tetlenmert ber 3iff ertt ift fobann ootltommen beftimmt, menn man ben SBert ber erften ober hofften 3iffer fennt, ba ber ©tellenmert jeber folgenben 3^ff er bß? lOte Zfjtii jenes ber oorhergeljenben ift Bei ber ©ioifion ganjer Qafym hat belanntlicf) bie erfte 3*ff er tut Quotienten benfelben ©tellenmert, miß bie niebrigfte 3*ff er tut erften ©fjcilbioibenb, ober maS einerlei ift, mie biejenige 3VT er r bon melier baS ^robuct aus ber erften 3^ffer beS Quotienten unb ben ©inern beS ©ibiforS fubtrahiert mirb. Somrnen nun im ©ioifor nebft ben ©angen auch ©ecimalen oor, fo cinbert biefeS an bem ©tellenmerte ber erften 3*ff er tut Quotienten nichts; es mirb alfo auch ba bie erfte 3^ff er beS Quotienten gleichen ©tellenmert mit berjenigen 3tffet beS ©ioibenbs hüben, oon meiner baS Brobuct aus ber erften 3*ffer beS Quotienten unb ben ©inern beS ©ioiforS fubtrahiert »erben mu§. ©S ergibt fidj baher für baS ©ioibieren ber ©ecirnal^ brüdh e folgenbeS allgemeine Berfahren: 93tan beftimme bie erfte 3iff er bßS Quotienten, ohne auf bie ©ecimalpunlte 9tü(ffid)t $u nehmen» ©obann multipliciere man mit biefer Siffer ben ©ioifor, Subtrahiere baS ^ßrobuct oon bem erften Sheilbioibenbe, nnb fe^e, oon meldjer ©teile beS ©ioibenbs baS ^ßrobuct aus jener 3^ff er b e $ Quotienten unb ben ©inern beS ©tbtforS fub¬ trahiert mirb, ober, menn ber ©ioifor Seine ©iner h^t, oon melcher . ©teile jenes $robuct fubtrahiert »erben müßte, menn bie ©iner oor- hanben mären. ®ie erfte 3^ff er bß8 Quotienten bebeutet nun ©inheiten ^berfelben Orbnung, mie bie 3^ff er bß$ ©bibenbS, non melier baS • genannte ^robuct ju fubtrafjieren ift. ®ie meitere ©ioiffon mirb mie .7 bei ganjen £al)hn oerricf)tet. 3* ©• f #•*’ • A k % 31 1) 15687707 32-9 = 476-83 ®a bter baä iprobuct auä ber erften giffer 4 beä Quotienten mit ben ©inern 2 beä ©ioiforä von ber Ziffer 6 beä ©ioibenbä, roelcbe ben 3Bert Sbunberte §at, fuBtrabiert wirb, jo Bebeutet bie 4 im Quotienten föunberie, unb eä ntüjjen noch jroei ganje ©teilen, gebner unb ©iner, folgen, beren ©teilen man oor ber roirflicben Seftimmung ber babin lommenben 3'ff ern punftiert; bie 3tecbnung ftebt baber im 2lnfange: 15687-707 : 32'9 = 4 . . • 252 hierauf roirb, ot)ne roeiter auf bie ©ecimalpunlte Stütfficbt ju nehmen, bie ©ioifion wie Bei ganzen fortgefejst. 2527 224 7 27 30 987 0 2 ) 3 4156 : 1076 2490 9 82-7 3) 2-5882 : 125 520 280 34 0123 = 0-0413 . . . ®aä ißrobuct auä ber erften 3iffer 4 beä Quo= tienten unb beit ©inern 2 beä ©ioiforä roirb tjier oon ber 3'ff er 1 beä ffiioibenbä, alfooon ben §un= betteln, jubtrabiert; 4 tommt baber an bie ©teile ber löunbertel. ^' = 21*042 . . . §ier tüirb baä $robuct auä ber erften giffer 2 beä Quotienten mit ben Qzfynteln 1 beä 2)iüiforä non ben Einern 2 beä 3)h>ibenbä fubtrafjiert; wenn bafjer ber 2)iüifor aud; ©iner enthielte, fo rnüfjte baä ^Probuct berfetben mit 2 uon ben Seinem beä 25it)ibenbä fubtrafjiert werben; barunt bebeutet bie erfte giffer 2 beä Quotienten S^ner. Aufgaben. 14. a) 0-8756 : 4-322 = ? 15. a) 15-3678 : 0 9125 = ? 16. a) 39562-478 : 4279 = ? 17. a) 0-2368 : 72369 = ? 18- a) 348 : 2 9156 = ? 19- a) 0-0494 : 2-5786 = ? b) 137*84 : 7*91 = ? b) 0-81074 : 0009157 = ? b) 5701-7926 : 3935 = ? b) 3781 287 453 = ? b) 1000 : 3-45016 = ? b) 781-4 : 27 9847 = ? gtedjnungst>ott(i«re ßd ber ph>t|tott unb gSunipfkaiton. §. 19. 1. ®urdj 25 wirb beg £)iüibenbg burd; 100 bioibiert. 1) 346 25 : 25 13850Ö btoibiert, inbem man baS 4fad;e 3- ©• 2) 153723 : 25 • 6148-92" 2. ®urd) 125 toirb bioibiert, inbem man baö 8fad^c bcö ©ioibenbö burdj 1000 bioibiert. 3- ©• 1) _ 579 625 : 125 2) 21 579 : 125 O 4637-000' 172 632 3. Sßenn fid; ber ®iöifor in jmei gactoren jerlegen täf8t, burd) weIdf)e man bequem bioibieren lann, fo bioibiert man ben SDioibenb 3 uerft burcf; ben einen gactor, unb ba§ Ergebnis nod) burd) ben anbern gactor. 3- ©• 1) 466320 : 48 2) - 6 ) 330579 45 5) 77720 9715 8 ) 66115-8 7346-2 9) 4. ÜD?it |jitfe ber Sioifioit läfSt fid^ aud) bie SJhdtiplication mit 25 ober 125 feljr öortljeitljaft berrid)ten. ©tatt mit 25 ju mul* tipticieren, multipliciert man mit 100, unb bioibiert ba6 ißrobuct burdj 4; ftatt mit 125 ju nt u 11 i p I i c i c r e n, wirb mit 1000 multi* pliciert, unb baS ißrobuct burdj 8 bioibiert. 3- ©• 1) 5986 00 X 25 149650 2) 3795 0O0 X 125 474375 Aufgaben. S3ercdjne mit $itfe ber SSortfjeile: 1. a) 930450 : 25,- b) 2369575 : 25, d) 7823-76 : 25, e) 92-7518 : 25, c) 379420 : 25, f) 7-8835 : 0-25. 33 2. a) 524625 : 125, b) 317890 : 125, c) 379 8125 : 125, d) 80*74425 : 12 5, 3. a) 49320 : 72, b) 784345 : 35, c) 100800 : 28, d) 8872472:56, e) 62222 202:6*3, f) 29861-286 :0*42. 4. a) 123456 X 25, b) 7903 124 X 1 25, c) 494232 X 125, d) 137*057 X 0*125. 5. 47273394 : 54 + 811475 : 25. 6 . 2373750 : 12*5 — 217580 976 :-0*72. 7. 783400 : 25 + 6*377 X 125. 8. 43782*695 X 25 — 73458213*375 : 125. piuißon einttamfg Genannter ^aßfen. §. 20. 33ei ber ©trifion, memt fie at£ Stellung ange* menbet mirb, fann Bloß ber £>iribenb benannt, ber SDirifor aber rnup nnbenannt fein, nnb ber Quotient erhält ben tarnen be§ uDioibenb^. SBirb bie £)irifion ä($ 33ergtetdjitng angeroenbet, fo finb 'Diribenb nnb ®imfor benannt, nnb jmar müpcn fie gleichnamig fein; atS Quotienten erfyätt man eine unbenannte 3 a *)f* 21 u f g a b e n. 1* 9 §eftoliter (offen 216 ff.; mie riet foftet 1 §>eftot.? 1 §eftot. ift ber 9te non 9 §ef'tot.; baljer foftet 1 §eftol. nur ben 9ien Xfyeil von 216 ft.; man f)at alfo: 216 ft. : 9 = 24 ft. 2 * 8 #cltotiter Sßein loftcn a) 112 ft., b) 136 fl., c) 176 ft., d) 232 ft.; mie f)oc£) fommt 1 §cttotiter ju fteljen? 3. * Sin Beamter f)at einen 3al)re$get)att ron 1890 ft.; mie riet bejiet)t er monattief) ? 4. Sine (Summe non 4560 ft. ift unter 19 ^erfonen ju gleichen Reifen ju rertt)eiten; ttrie riet befommt jebe ^ßerfon? 5. $ür ein Unternehmen finb 1204 ft. erforbertid); trie riet ^erfonen mitten baran tfjettneljmen, bamit auf eine ^erfott bie 2lu$tage rott 14 ft. fornme? ©o otele ^ßerfonen, als roie oft 14 ft. in 1204 ft., ober 14 in 1204 ent* batten ift, alfo 1204 : 14 = 86 ^erfonen. 6. * £)er Umfang eine8 £ocomotirrabeS ift L 2 m ; mie riete umr breljungen ntu§ baSfetbe machen, um ein titometer juriidjutegen?/ » 5 / v - 7. Sine ^anbtungögefettfdjaft gemtnnt 5184 ft.; mem/“mftr" ; ^ baron auf jeben 2Th e ^ ne ^ mer 324 ft. entfalten, mie riete ^ mären in ber ©efettfdjaft? \v-\ k , / 3 gjiointf, 2Crttf)mettf jiit Unterrealidjulfn. 16. JHufl. 8. Sin ßapital trägt jäfyrlid) 65835 p. wie üiet 3in$ trägt cS monatlich, wie t>ict täglicf) ? 9. 45 öfterr. ©ulbett enthalten 500 ©ramm feinen Silbers ; wie Diel ift 1 ©ramm feinen Silbers wert ? 10 . 25 2Ir foften 301-37 p., wie l)od) tommt ein 2lr? 11. 67 §eftoliter 3Bein foften 2278 fl.; wie Diel foftet 1 §e!to^ fiter, wie Diel 1 Siter ? 12. 5800 Silogr. einer JBaare toften 728*2 p.; wieviel foftet 1 Silogr.? 13. 5*135 ©r. einer Söaare toften in 23erliit 215*26 SRarf; wie t)od) tommt 1 ©r.? 14 . ®ie Slntagefoften einer ©fettbaljn, welche 56 84 Kilometer lang ift, betragen 4256000 p. ; wie groß ift baS Slnlagecapital für ein Kilometer ? - 15 . ©ne 8ocomotioe legte in 3*28 Stunben 100*275 Silometer jurüdt; wie Diel Silometer legte fie bei gleichförmiger ^Bewegung ftiinblid) jurücf? 16 * 12 üfteter Sud) foften 48 p., wie Diel toften 19 Steter? 12 Sfteter toft. 48 fl. 1 „ „ 48 fl. : 12 = 4 ft. 19 „ „ 4 |X X 19 = 76 fl. 17. 32 Arbeiter Dollenben eine Slrbeit in 6 Sagen; in wie Diel Sagen werben 24 Arbeiter mit ber Slrbeit fertig? 32 Arbeiter 6 Sage, 1 „ 6 Sage X 32 = 192 Sage. 24 „ 192 Sage : 24 = S Sage. 18. 75 Silogr. 9ieiS werben mit 21 p. bejafpt; wie Diel $RetS betommt man für 9 p.? 19. 15 ^ßferbe fommen mit einem gemiffen 93orratI)e an gutter 28 ffio^en lang auS; wie lang fommen 21 sßfcrbe mit bemfelben SSorrat^e aus? 20. 933ie Diel foften 27 §eftoliter Sßein, wenn 28 £>eftoliter mit 655*2 p. bejaht werben? 21. 3emanb tauft 8 $eftoliter SSein k 15 p., 10 §>eftoliter a 18 p., unb 15 §e!totiter ä 24 p.; wie l)od) tommt im ®nrcf)fd)nitte -1 £>eftoliter ju fielen? 22. ©ne £>aße, welche 805 om lang unb 624 cm breit ift, fott mit ^igtten ooxt 23 cm 2änge unb 20 cm Breite belegt werben; wie Diele foldter glatten finb erforbertidj ? 35 23 . 2Bie groß ift ber Curdjmeffer eines 5?retfeS, beffen Umfang 15 4m beträgt? (§. 15, 2tufg. 23.) 24. 'Cer Umfang eines Greife« ift a) l , 2 m , b) 5-18 m , c) 58 935 om ; »ie groß ift ber fftalbmeffer ? 25 . @iu runber £ifd) f)at für 8 ‘ißerfonen ^3taf); n>ie groß ift fein Curdjmeffer, trenn anf eine ^erfon 8 d ” beS Umfanges ge= redjnet »irb? 26 . bliacf) ber testen 93oifSjäf)tung ßat bie öfterreid)ifd)nmgarifcf)e 3)ionarcf)ie 35943592 (Sintroßner, üon benen im Curcßfcßnitte 5774 auf 1 fommen; wie riet beträgt ber Odäcßeninßatt ber ganzen 3)ionard)ie ? V. ^ibgcKürjtc Hedjnung mit QecimaljaljUn. §. 21. (Sin Cecimalbrud), meid)er einen beftimmten Sßert nidjt oöttig genau, fonbern bloß näßerungSweife barftelit, ßeißt ein unrottftänbiger Cecimatbrucß, im ©egenfa^e ju einem rott= ftänbigen, beffen Sruißfteden einen beftimmten S55ert rodfommen genau auSbrüden. Sotroßt bei roßftänbigen als unrodftänbigen Cecimatbrücßen begnügt man fid), bie diecßnungSrefuttate bis auf eine beftimmte Cecimatftede genau anjugeben. ®en geßter, ben man babei burd) bie Sßegtaffmtg ber überflüffigen ©ccimaten begeht, pflegt man baburcf) fo Hein als mögtieß ju maeßen, bafS man bie teßte beibeljaitene Cecimaijiffer um 1 er^öfjt, corrigiert, wenn bie erfte »egjutaffenbe 3iffer 5 ober größer atS 5 ift, bagegen bie teßte SDecimaljiffer unoeränbert iäfst, trenn bie erfte »egjutaffenbe 3iff« r Keiner als 5 ift. So feßt man, trenn auf 3 ®ecimatfteden abgeiiirjt trirb, 9 873 ftat 9 87294 . . . , unb 4016 ftatt 4 01641 . . . Set tßecßnungen mit periobtfeßen ®e«matbrücßen »erben fo riete 3iff ern ber ißeriobe in 2tnfprucß genommen, als bie ©enauigteit ber ifteeßnung rertangt. /. - * ^6flefi«räte JtböUion unb §tt6tradto«. v'.... / \- §. 22. Um bie Summe ober bie Cifferenj gegebener ®ecim■ es ßin, eine Stede meßr ju bereeßnen, ais rertangt »erben, unb »ßjtttn-- 3* s; 36 bie te^te $iffer tDeg^utaffen, nacfjbem barnadfj bie oorfjergeljenbe 3 ^ff er richtig gefteftt murbe. nad) ber gemöpntidjen SJiuttipticationSmettjobe 5-97031 X 24*68 ©ott nun baS ^Srobuct bloß in bret Secimaten, alfo bi$ auf bte Saufenbtel Ijerab, cntmtcfeft merben, fo ift bte pier redjts be§ ©trictjeS bargeftettte Dledinung , unb ntan mirb, um V * biefetbe ju erfparen, mit Jeber 3^ff er be 8 SJMtipticatorS nur Jene pokeren Ziffern beS 3JJutfipItcanbö multipticieren, beren ^robucte auf bte ©teilen SinftufS Ijaben, bte im ^robucte verlangt merben. — 2 Benn man mit 2 gefynern muttipliciert, fo mirb man, um ©aufenbtet gn erhalten, offenbar bei ber Ziffer 3 be$ SJMtipticanbS, meldje , 3 ef)ntau]enbtet bebeutet, gu multipticieren anfangen; feenn 00003 X 20 = 0006. Sie Ziffer 2 M 3J?ultipticator$, mit meldjer ber SDluttipticanb bon ber $iffer 3 aufmart$ multipticiert mirb, motten mir bafjer unter jene Ziffer 3 feiern — 2Birb mit 4 ©nern muttipticiert, fo muß man, um Saufenbtet 31 t ermatten, bei ber Ziffer 0 be 8 2 Jcuttipticanb§, metdje beit SBert STaufenbtef Ijat, gu multiple eieren anfangen; man fefct ba^er 4 unter bie $iffer 0 beS 2 JhtItiplicanb$* Sie ^rpbucte au$ 4 mit ben gmei niebrigften Ziffern 1 unb 3 be3 __ __ üDluttiplicaubS enthalten f)unbertaufenbtef unb 147*347 3 e ^) ntau fenbtet r metdje man nid)t brauet; ba jeboep in bem (entern $robucte 12 nur bie @iner 2 getjntaufenbtet, bie 3 etjner 1 aber Saufenbtet borftetten, fo barf man oon biefem ?ßrobucte audfj nur 2 bernadjtäffigen, 1 aber mn§ 31 t bem ^robucte au 8 0 unb- 4, metdjeS Saufenbtet gibt, at$ Sorrectnr abbiert merben. — 5*97031 8642 119406 23881 3582 478 37 •UJtt 6 3ef)ntetn muß inan bei ber Ziffer 7 be« SJhtftipltcanb« ju multiplicieren beginnen, um STaufenbtef ju erhalten; beim 007x0-6 = 0-042; 6 mirb bafjer unter bie 3*ffer 7 be« 2Kultipltcanb« gcfdjrieben.— $at man enblid) mit 8 §unbertet ju multiplicieren, fo mirb man, um £aufenbtel ju befommen, bei ber 3 iffer 9 bc« SRultiplicanb« 31 t mutti* plicieren anfangen; e« ift nämlidj 0-9 X 0*080 = 0-072; bie 8 fcfjreibt man baljer unter bie 3 'ff er 9 be« SDlultipIicanb«. £)ie niebrigereu 3iffern 7, 0, 3 unb 1 be« äftultipltcanb« ^aben auf bie im ^robucte oerfangten £>ecimaten feinen Stnfluf«, nur ba« ^ßrobuct au« 7 unb 8 mu§ riufficbtlicf) ber fid) ergebenben 3 e ^ ner berücffirfjtiget merben; ba nämltdj in 56 bie 3 e ^) ner 5 STaufenbtel bebeuten, fo muß man biefe 5 3ef)ner, ober weil 56 näher an 60 al« 50 liegt, richtiger 6 3^) ner al« £aufenbtel %u bem ^Jrobucte au« 9 unb 8 al« ßorrectur abbieren. ©etrad)tet man bie Stellung ber 3*ff ern be« SJlultiplicator« bei ber obigen jmeiten Slnfdjreibmeife, fo fief)t man, baf« bie 3 iffer ber Sitter be« SKultipltcator«, nämlich 4, unter ber britten ÜDecimale 0 , alfo unter berjenigen Decimatfteße be« 9D7ulttplicanb« fteljt, mit melier ba« ^robuct abbredjen fotl, unb baf« bie übrigen 3 ßf ern be« 9)?ulti= plicator« baneben in umgefefyrter Orbnung erfcfjeinen. ©ei ber abgefürjten $D?ultiptication ber ©ecimal* brüdje oerfahre man bafjer nad; folgenben Regeln: 1. 2)?an fe^e bie Suter be« üDMtiplicator« unter bie niebrigftc ©ecimalfteße be« 3)?ultiplicanb«, meldje nod) im ^robucte oorfommen foß, unb fdjrcibe baneben bie übrigen 3 iff ern be« üDiuttipticator« in umgefeljrter Orbnung. 2 . 9 JJan multipliciere mit ber erften recht« oorfommenben 3 *ff er be« Sttuttipticator« guerft bie um eine Steße meiter recht« ftetjenbe 3iffer be« üßultiplicanb«, fcfjreibe febod) biefe« ^Srobuct nicht an, fonbern merfe fiep baoon nur bie nädjften 3 e ^ ier r tocldje bie ßorrectur bilben; bann multipliciere man bie gerabe barüberfteljenbe 3 *ff er be« Sßuttipticanb«, abbiere ju bem ^robucte bie ßorrectur, unb fange f)ier ba« abgefürjte S^eilprobuct ju feßreibett an; nun merben nach ber 9?etl)e auch bie meiter aufmärt« folgenben be« SDMtiplicanb« multipliciert. Sben fo multipliciert man bann mit ber gmeiteg, britten, . . . 3 tffa be« umgefehrten Sßultiplicator«, unb f^reft^^ ^ bie einjelnen baburd) erhaltenen abgefürjten ST^eitprobucte at« manben unter einanber. J V«. f 3. Sftan abbiere bie abgefürjten SC^etfprobucte, unb fdjrfeiSe m* |/v ber Summe bie verlangte Slnjahl ©ecimalen ab. \ * S \ * ■> 38 ©oll t>tc Ie^te Secimate im ißrobucte »ollfommen richtig fein, fo entroictete man um eine Secimate meffr, aß i^trer genau fein fotten. SB e i f p i e t e. 1. (Sntmicfie ba« fßrobuct au« 5-21567 unb 23-785 in 3 ©ecimafen. 5'21567 X 23 785 3J?an fefjt bie ©iner 3 be§ SJtuttiplicatotS unter bie britte Secimate 5 bcs 2)tultiplicanbs>, fc§reibt bie übrigen giffern be« SJJuIiipIicatorö in umgefeffrter Drbnung unb muttipticiert:' 2mat 7 ift 14, bieibt 1 jur ©orrectur; 2mat 6 ift 12, unb 1 ift 13, 3 angefdjrieben, BteiBt 1; 2mat 5 ift 10, unb 1 ift 11 u. f. n>. 3mal 6 ift 18, Bleibt 2 jur ©orrectur; 3mat 5 ift 15, unb 2 ift 17, 7 angefcfirieben, Bleibt 1; u. f. n>. 7mat 5 ift 35, Bleibt 4 jur ©orrectur; 7ma[ 1 ift 7, unb 4 ift 11, 1 cinge* fcfjrieBen, BteiBt 1; u. f. io. 2. üDfuftipficiere 245-31 mit 0-00956 fo, bafs im fßrobucte 4 ÜDecimafen erfdjeinen. 245 31 nn X 0-00956 §ier tommen bie ©iner 0 be§ 2)Mt4>Ii* catorb unter bie oierte Secimalftette be§ SJtutti» pticanbS; bie fefjtenbm Secimaten ;recf|ß im SRuItipticanb benft man fid) mit Stullen erfe^t. ■Seflimme abgelürat folgenbe fßrobucte: 1. 0-08245 X 13-708 in 3 £>ecimaten; 2. 69-432 X 3-004 „ 4 39 208 X 5-647 „ 2 34-56 X 0 00207 „ 2 Jx 23-8047 X 3-2 „ 3 & 0 59884 X 0-753 „ 3 7. 6-70145 X 0-87 „ 4 & 975-12378 X 39-13908 „ 4 Q. 7-5319 X 0 4052 X 6-8312 „ 4 IQ, 1-05 X 1*05 X 1-05 X 105 „ 5 11. @8 fort 1-04 6ma( af« gactor gefegt unb ba« fßrobuct in 6 ©ecimafen eutwidclt werben. 65 9000 2207 8 122 7 14 7 2-345 2 Aufgaben. 5 8732 10 4313 1 5647 3651 417 26 124054 39 J2. ©e^e 1*02 lOmat als fjactor unb beftimme baS ^robxtct in 6 ©ecimalen. 13. ®ie 3 a h* 1*045 fotl 2maf, 3mat, 4, 5, . . . 9, lOmat ats gactor gefegt, unb baS jebeSmalige ^ßrobuct in 5 ©ecimalen en U micfett inerben. 14 . SBetcge ^ßrobucte in 6 ©ecimatcn erhält man, wenn 1*06 8mal, 1*055 12mat, 1-0275 15mal als gactor gefegt mirb? 15 . ©udje bie ®anjen beS ^ßrobucteS 124-256 X 308492 >< 98 073. 16 . S33ie Diel foften 37-3456 §>eltar, menn ein §>eftar 94134 fl, foffet ? (3 ©ecimaten.) 17 . @in ßapitat gibt jäl)vlid; 43*578 fl. 3ntereffen; mie Dxet in 2*862 Sauren ? (3 ©ec.) 18 . 2Bie groß ift bie gtädje eines 91ed)tecfeS, metdjeS 13*175 m taug unb 8*192 m breit ift? (3 ©ec.) 19. 25?te grog ift a) ber Umfang, b) ber gtächeninhatt eines SretfeS, beffen ©urchmeffer 2*1345 m ift? (3 ©ec.) 20. @S fott a) bie Oberfläche, b) ber Subiftnfjaft einer Suget gefunben inerben, beren £>atbmeffer 4*123 d “ ift. (3 ©ec.) 21 . Sine engtijdje ©itberfrone ttriegt 28*276 ©ramm (©djrot) unb enthält 0 925 feines ©itberS; mie grog ift baS ®emid)t beS barin enthaltenen feinen ©itberS ($oru) ? (3 ©ec.) 22 . eine ©oife = 1*949036 ©leter, bie Sänge einer geogra^ Phifdjen ©?ei(e beträgt nad) ©effet 3807*235 ©oifen; mie niet ©?eter gat eine geograpt)ifd)e ©teite? (2 ©ec.) 23 . ©er gtädjeninhatt ber öfterreichifd)* ungarifchen Monarchie beträgt 10816-94 öfterr. 0©?eiten; mie Diel finb bieg □©tpriameter, ba 1 öfterreichifdje DÜReite .= 0 5754642 CD Mm ift? (2 ©ec.) itögcüürjte pioiflon. §. 24. ©ei ber ab gefügten ©inifion ber ©ecimatbriiche mirb fotgenbeS ©erfahren angemenbet: 1. ©tan fliege bie erfte 3*ff er beS Quotienten unb beftimme ihren ©tettenmert. ©a ber Quotient eine beftimmte Stnjaffl ©ecimaten ent*X f. hatten fott, fo ift aus bem ©tettenmerte ber erften 3*ff cr und) befannl^s ^ mie niete 3^ff ern &er nertangte Quotient im ®anjen hüben fott. Q 2. ©tan fegnetbe im ©ioifor non ber Sinfen angefangen fo Ufer ..'i j Ziffern ab, ats ihrer ber gefügte Quotient enthalten fott; biefe blifon / ben abgelürjten ©inifor. fmt ber ©ioifor nicht fo niete Mfern, ■ als r'» 40 ifyrer abgefdmitten merben fotten, jo tritt bie abgefürjtc ©ioifion erft fpäter im 23ertaufe ber 9ted)nung ein. 3, 2)ian begatte aucf) im ©ioibenb nur fo biete 3^ff ern öon ber f)öd;ften angefangen, afö tf)rer ber Quotient fjaben fott, ober um eine mefyr, menn ber abgefür^te ©ioifor in eben fo bieten fyöcfyften 3 l ff ern beS ©ioibenbS nidjt entsaften ift; jene beibefjattenen 3 ifT ern finb ber abgefürjte ©ioibenb. 4. ÜJttan biotbiere nad) ber gemöl)ntid)en ©iDifionSmeifc fo fange fort, bis bie (e£te 3 Uf er be$ abgefür$ten ©ioibenbs fjerabgefe&t mürbe; hierauf fdpteibe man bei jeber fotgenben ©ioifion bie nieberfte nod) oorljanbene 3 iff cr beS ©ioiforS ab; bie jebeSmaf gefunbene 3 Uf er beS Quotienten muttipticiere man bann juerft mit ber tjödjften im ©ioifor meggetaffenen 3 Uf er un b äätjte bie aus biefem ^robucte erlittenen 3 c§ner afö Sorrectur $u bem erften cigenttidjen ^robucte baju. 3. ©iefeS 23erfal)ren mirb fortgefe^t, bis fid) im ©ioifor feine 3 tffer mefjr oorfinbet. 33 e i f p i e t e. 1) ©er Quotient 83*423 : 31*586 fott in 4 ©ecimaten beftimmt merben. 83*423 :3,1\5,8,6 = 2'6411 Sie erfte 3iffer 2 beS Quotienten Gebeutet ©iner; baljer rotrb ber Quotient im gangen 5 3iftern enthalten; e§ merben baijer ber 2)ioibenb unb ber Siüifor, fomte fie gegeben finb, auch fefjon als abgefürat $u betrauten jein. ;ttad)bem ba§ ^ßrobuct au§ 2 unb bem Siuifor uon bem 2)ioibenbe fubtrafjiert mürbe, fd^netbet man, anftatt bem Sftefte 20251 eine 9MI an$uf)ängen, im &ioifor bie nieberfte 6 roeg, unb binibiert 20251 burd) 1538; fobann multipliciert man: 6ntal 6 ift 36, bleibt 4 jur ©orrectur; 6mal 8 ift 48, unb 4 (©orrectur) ift 52 unb 9 ift 61, u. f. f. 2) £* fott ber Quotient 3*79357 : 13 8594 in 3 ©ecimaten gefügt merben. 3 79,357 : 1,3*,8,594 = 0*274 - 102 Sa fjier bie erfte $iffer 2 beS Quotienten Stynttl 5 bebeutet, fo mujj man im Quotienten 3 3'ff ern entroiefefn; man begatt ba^er im 2)it)ibenb unb im Siuifor nur bie brei tjödjften ©teilen bei unb bioibiert bann abgefüqt. 3) ©er Quotient 12345*6352 : 0*789 fott in 3 ©ccimaten ent* '-miefett merben. 20 251 1 299 36 4 \ 41 12345-635,2 : 0*7.8 9 = 1564-719 2)ie erfte Qiffer 1 im Quotienten Gebeutet $au= fenbe; ber Quotient wirb bafjer 4 ©anje unb 3 2)eci« malftelten, jufammen 7 3iffern enthalten; e3 fort atfo ber abgefiir$te 2)ioifor 7, unb ber a&gefttrjte 2)ioibenb 8 3^ff cru Reiben; bn aber ber Sioijor 3jiffrig ift, fo tritt bie abgefürjte £)iuifion erft bann ein, nadjbem bie nieberfte beibefjaltene Ziffer 5 beö abgekürzten Siuibenbs in 3tec$nung gezogen mürbe. Seftimme abgcütrjt nadjfteljenbe Quotienten : 1* 12 37 : 3-0945 itt 3 ©ecimaten 2 . 089J2 : 2-59 „ 2 3 * 372 934 : 187 „ 4 4. 441937 : 0 8536 „ 3 5. 748 : 9 13457 „ 5 „ * 6* 0-9275 : 0-31 „ 4 7 . 39-644 : 417 „ 4 8. 1 : 314159 „ 5 9. 309-27 : 0 0987 „ 2 10. ©er Jjöc^fte Serg in Sffien, ber ©oereft, erftredt fid) 27212 Söiener {fufü über ben 3J?eere$fpiegef; mie grojj ift feine £)öt)e a) im üD?eterma§e, b) im engtifdjen SDtafje? (2 ©ecirn.) 11. Oetnanb ift einen Setrag oon 2000 ft. uad) 15 Sauren ju bejahen fdjittbig; menn er nun mit jebern ©utben, ben er je^t jalflt, 2*078928 ft. jener ©djutb berichtiget, mie nie! muß er fogleid) sagten, um bie obige ©epufb ju tilgen? (3 ©ec.) 12. 2lu$ einem falben Sifogramm feinen ®otbe$ merben 86*1111 21rf)tgulbenftücfe ober auch 68*2831 englifdje ©ooereignS geprägt; mie tuet 2Id)tgutbenftücfe ift ein ©ooereign mert? (3 ©ec.). 13. ©er Umfang beS ©rbäquatorS beträgt 5400 geogr. Seiten; mie gro§ ift ber ©urdjmeffer beS StequatorS? (2 ^tebetfjofuitgsauföaßett. -1* 88 + 20; 124 + 70; 359 + 50; 2.* 76 — 40; 371 — 50; 939 - 70; )ec.) / 785 + ] 644 - 4455 510 6 37 23 5 675 152 73 Aufgaben. \ 42 3-* 68 + 57; 144 + 56 ; 477 + 38; 759 + 63. 4* 124 — 45; 362 — 85; 531 - 83; 746 — 99. 5 * 3mal 95, 124, 213, 226, 312, 434, 518. 6- * 7mot 43, 75, 137, 214, 338, 509, 723. 7- * 12moI 18, 23, 37, 45, 57, 73, 84, 92. 8. a) 12138 : 51 = ? b) 284385 : 83 = ? 9. a) 218560 : 53 = ? b) 259695 : 87 = ? 10. Sßultipliciere mit 2, 3, 4, . . 8, 9 jebc ber 3af)(en : a) 2407, 39281, 57964, 448756, 628039, 1084658; b) 3948, 28056, 65547, 125347, 741852, 1826051. 11. Gin Gab." Sauljoli foftet 3784 fl.; wie oiel loften 7-53, 17-24, 33-135, 0-247 Gub"? , 12. Gin ctjlinberförmiger Seffel ift 18 d ” tief, feine ©runbflädje beträgt 50Zi am ; wie groß ift ber Bnljalt beS Reffet?? 13. Oemattb, ber bereits 27-345 §eftar üldergrunb befifct, tauft tiocf) jtnei Slecfer non 2-378 £>eftar unb 3134 Jpettar; tnie bicl Sieter* grunb befifct er nun? 14- ®ie Grfinbung beS ißapierS fällt in baS 3al)r 1240, jene beS ©ctjiefjputberS in baS 3al;r 1356, jene beS fjcrnrotjreö in baS 3al)r 1608, unb bie Grfinbung ber ©ampfmafcf)inen in baS Baljr 1699; wie lange ift es feit jeber biefer Grfinbungen? 15. ©öfjmen bat an SIcterlanb 2496997-476 £eftar, an Sein* gärten 1069'205 fnftar, an Siefen unb ©ärten 627840 096 fjeftar, an Seiben 400406-792 fceftar, an Salbungen 1508785-914 $ettar, unb an nicfjt probuctiber ©obenflädje 160479-515 §eftar ; mie grojj ift ber 01äcl)eninl)alt biefeS ÄronlanbeS? 16. ÜDtultipliciere mit Slntnenbung bon 33ortljei(en : a) 1237, 5229, 13-894, 98785, 792487 mit 11; b) 82256, 54225, 17348, 9 32537 mit 25. 17- ©eftimme ebenfo folgenbe ißrobucte: a) 57108 X 19, 4 7834 X 301, 239673 K 193; b) 67279 X 35, 554437 X 54, 12 7546 X 64; c) 48182 X 198, 376-45 X 397, 0-92705 X 9992. 18- ©eftimme mit Slmuenbung bon 93ort^eilen folgenbe £}uo* ■ dienten: a) 17725 : 25, 378 75 : 2-5, 598125 : 125; • •; b) 85608 : 24, 125 86 : 35, 4727-3394 : 54. 19- A liegt 7-825 m ^öfier als B, B 12-15" ^öf)er als C, C 9 - 023 m l)öf|er als D; um lbie biel liegt A Ijöljer als D? 43 20. SSenn 1 ©eftar 2lcf'ergrunb bitrcf)fcf)nittticf) 13 ©eftotiter ©etreibe liefert, wie groß ift baS SrträgniS eon a) 9 ©eftar ? b) 15 ©eftar? c) 20 ©eftar? d) 78 ©eftar ? 21. Sine ©aSftainmc üerbraucfjt in 210 ©tunben 35 (Enb." ®aS; 1 Sub." ®aS toftet 18 Sr. a) SSic eiet @a$ brauet eine ©aSftamme in einer ©tunbe, b) wie oiel foftet fie? 22. 2Bie groß ift ber Umfang einer freiSrimben ©ifcßplattc, »nenn ber jDurcf)meffer berfetben l*76 m ift? 23- Sin redjtecfiger Saften t)at 2-36“ ?änge, 1-25“ iörcitc unb 0985” ©öße unb ift mit ©teinfoßten gefüllt ; Wenn nun 1 Subifmetcr ©teinfotjten 12-8 metr. Str. unb ber Saften allein 0'59 Str. wiegt, wie groß ift baS ganje ©ewidft? 24 * 214 + 325 ; 407 + 279; 652 + 264; 576 + 168. 25. * 269 — 127; 385 — 241; 727 — 452; 901 — 783. 26. * 2öie groß ift ber 5te, 7te, 9te 2J;eit eon 126, 315, 405, 245, 343, 576, 315, 945? 27. * Dtimm 15, 24, 32mat 51, 52, 53, . . big 60. 28. üöie eiet ift 78945621 X 8 4- 3109207 X 9? 29- Um wie eiet ift 35701924 X 7 größer als 40189370 X 6 ? 30. 355-35924 X 31-579 - 4 - 85-2056 X 24-806 = ? 31. 93 62853 X 6450 — 82-517425 X 5349 = ? 32. ®teibiere bie 3at;( 4865-88 a) burd; 66 , b) bitrd) 4-62, c) büret) 0 516. 33- ©ioibiere burd) 4'18 bie 3at)ten a) 340753, b) 9864'8, c) 58 1248. 34. Sine Sanonenluget legt in 1 ©ecunbe 0-174 DJfeiten, bie ©rbe in iljrer jäljrticfieu Bewegung um bie ©onne in 1 ©ecunbe 4-113 ÜDfeiten juriief; wie oietmat ift bie teuere ©efdjminbigfeit fo groß atö bie erftere? 35- Sin cierfantigeS, burcßauS gteieß weites ©efäß enttjätt 2-25 ©ub”; wenn nun bie ©äffe 0-5” beträgt, wie groß ift bie SobenfIäd)e? 36. Stbbiere fotgenbe 3at)ten juerft in fenfredjter, bann in rechter Dfidjtung: 12345 + 23456 4- 34567 + 45678 + 56789 32408 + 18297 4- 73582 4 - 15965 4- 81425 43962 4- 73582 4- 15964 + 37891 4 - 42167 86431 4- 29505 -f 23568 4- 53156 4- 83118 64536 + 78327 -f- 76874 4- 87654 4 - 25936 38697 4- 68979 4- 28949 + 89638 4- 96587 44 37. a) 34785 - 38. a) 8315639 23957 = ? b) 104670 - -2434856 =? b) 20635121 39- 3n einem gaffe befinben fiep 228 5 Siter 30574 = ? - 845915 = ? Del; wie riet beträgt beffen ©ewidpt, wenn bab Del 0'913mal fo ferner ift als bab SBaffer unb trenn 1 9iter SBaffer 1 Silogramm wiegt? 40. ©in freifaüenber Sörper legt in ber 1. ©ecunbe 4-9 m , in jeber folgenben ©ecunbe 9 - 8 m mepr alb in ber oorpergcpenben prüd; treidle ©trecfe legt er a) in ber 2., 3., 4. @ecunbe, b) in aßen bter ©ecunben juriicE ? 41. @ucpe nacp ber abgeJürgten SRuttipIication: a) 9057 X 2-876, 27-39 X M416 (3 £>ecim.); b) 134794 X 5-93, 304279 X 0053 (2 ©erim.); c) 6 9754 X 02844, 7-961 X 8 5432 (4 Decim.). 42- ©ucpe nad) ber abgelürjten ©ioifion: a) 83-423 : 31586, 5490021 : 48'5 (3 ©cdm.) b) 0 9275 : 0-3702, 3 79357 : 23 8594 (4 ©edm.); c) 100 : 3-1416, 0-84637 : 0-00163 <2 ©edm.). 43. Die im Sßiener 9?eicpbratp rertretenen Sauber paben 3001 91 bie Sänber ber ungarifdjen Sronc 3222-85CIi Mm gtädpem inpalt; um Wie riet finb bie lepteren Sänber größer alb bie erfteren? 44. 3 U dnem gemeinfcpaftlidpen ©efcpäffe gab A 2956-6 fl., B um 532 2 fl. mepr alb A, unb C um 463 2 mepr alb B. ©er ©ewintt aub biefem ©efcpäfte würbe fo rertpeitt, baß A 739-15 fl. B um 133*05 fl. mepr alb A, unb C um 116-05 fl. mepr alb B befam. 2Bie riet paben alle jufammen eingelegt, unb wie groß ift ber ganje ©ewinn gewefen? ^weiter Jtßfdwtff. X^eilbarfcit bcr galjlen. §. 25. 2öenn eine 3 a ¥ &urd) eine anbere biütbtert, eine ganje 3a^t jum Quotienten gibt, fo f)eigt bie erfte ßafjt, burd) bie jtneite tfjeilbar. 3* 18 ift burd) 3 tfjeilbar, incil 18 burd) 3 bioibiert bie ganje 3afyt 6 3 um Quotienten gibt, unb fein 9?eft übrigbfeibt; 18 ift nidjt t^eübar bnrd) 5, meit 5 in 18 nidjt ofjne 9teft ent* galten ift. 3ft eine 3 a ^i burd) eine anbere tfjeiftmr, fo ^cißt bie erftere 3 a ^ ein 33ielfad)e$ non ber jtneiten, unb biefe ein 93? aß non jener. @o ift 18 ein 23ieIfad)eS non 3, unb 3 ein 93?a§ non 18. SS gibt 3af)(en, mldjc burd) feine anbere 3&f)i tljeitbar finb, af$ burd) fidj felbft unb bnrd) bie Sinljeit; j. 33. 1, 3, 13, 37. ©otdje 3af)fen feinen einfad)e ober ^ritnjafylen, jum Unter) d)iebe non ben juf am nt eng ef e^ten 3 a ^ten, mefcfjc außer bnrd) 1 unb burd) fid) felbft aud) nod) burd) anbere 3 a ^ en t^eilbar finb. @o ift 18 eine jufammengefe^te Qcfyl, tneil fie außer burd} 1 unb 18 aud) burd) 2, 3, 6, 9 tfjettbar ift. i. ^ennjetdjeti ber ^eUßarßeif. §. 26. 1., 3ebe Qafy, tneldje am Snbe 1, 2, 3 . . . Stuften l)at, ift ein 23ie(fadjeS non 10, 100, 1000, ... unb bal)er burd) 10, 100, 1000, . i, . tfjeilbar. /c >• 2. 3ebe 3al)t töf$t fid) in jtnei 33eftanbtf)eife jerteg^/b^eiu einer ein 33ieffad)e§ non 10, ber anbere bie ßiffer ber Sine/ , j. 33. 57876 - 57870 + 6; 21335 = 21330 + 5, § Zj 1 ®a {ebeS 33ie(fad)e non 10 bnrd) 10, fomit aud) btiäf 2£upC./, bnrd) 5 tl)eit6ar ift, fo Ijängt eS nur non ber ßiffer *> er bie ganje 3afyt bitrd^ 2 ober 5 teilbar ift. : fT \ i 46 3ft bie 3iff er ber Einer burdj 2 tljeilbar, b. i. eine ber Ziffern 0, 2, 4, 6, 8, fo ift bie 3et an ber niebrigften ©teile 0 ober 5, fo ift bie 3ßljl felbft burd) 5 11) eil bar. 3. Oebe 3<# lägt fidj in jroei iSeftanbtljeile ^erlegen, bon benen ber eine ein S3ielfadje§ oon 100, ber anbere bie jwei nieberften 3^ff erit enthält; ä- tö. 2548 = 2500 + 48 ; 375375 =• 375300 + 75. ®aS 23ietfad)e oon 100 ift burd) 4 nnb burdj 25 tfjeitbar; es fommt baljer nur auf bie jwei nieberften ©teilen an, ob audj bie ganje 3aben jtrei B a ^ en außer ber (Sinßeit lein anbereS gemeinfdfjaffc* tid)e$ Sttaß, fo nennt man fie retatioe ^ßrimja^ten; j. 33. 8 unb 15. 1. § ab en jmet Balten 24 unb 18 ein gemeinfcßafttidjeS 9!iaß 6 , fo ift aud) iljre Summe 24 + 18 = 42 baburd) t^eifbar. ®enn 6 ift in 24 4mat, in 18 3mat, in 24 + 18 atfo 4mat unb 3maf, b. i. 7mat enthalten. 2. $aben jmei Balten 24 unb 15 ein gemeinfcßaft* tidjeS 9JJaß, fo ift and) il)r Unterfdjieb 24 — 15 =: 9 baburd) ttjeitbar. ®enn 3 ift in 24 8 maf, in 15 ornat, baf)er in 24—15 8 mat meniger 5mat b. i. 3mat enthalten. 3. 3 ft eine B a ^ 24 burd) eine anbere 6 tJjeübar, fo ift and) jebeS 23ietfad)e berfetben, 3 . 33. 24 X 5 = 120 burd) biefetbe B a ^f tl) eit bar. ift nämlicf) 6 in 24 4mat, batjer in 5mat 24 5mat fo oft, atfo 20mat entsaften. 4. ®et)t bie SMoifiott jmeier Baffen ofjne 9?eft auf, fo ift ber SMdifor fetbft ba§ größte gemeinfdjdfttidje 9ttaß ber beiben Balten. 3- 33. 48 : 12 = 4; f)ier ift 12 ein gemeinfdjaftticfjeg 3)?aß oon 48 unb 12, mett es in beiben Balten oljne 91eft enthalten ift; eö ift aber and) ba 8 größte gemeinfdjaftttdje 9Jiaß, ba 12 offenbar burd) leine größere 3 &f)t at$ burd) fxd) fetbft ttjeitbar 'fein lann* # 5. 33teibt bei ber ©toifion jtneier 3 a ^ en .JHeft. übrig, f 0 ift baS größte gemeinfd)afttid)e SJtaß •.jmi'fdjen bem SDioifor unb bem 9?efte jugleid) baS größte gemeinfcbafttidje Sftaß jmifdjen bem 2 )ioibenb unb bem SMoifor. 49 3ft j. 33. 84 burcf) 24 31 t biotbieren, fo l)at man 84 : 24 = 3 mit bem SRefte 12, «ifo 84 = 24 X 3 -{- 12, unb 12 = 84 — 24 X 3. ®cr ©idifor 24 unb ber $Rcft 12 fjaben offenbar 12 311 m gr. g. 9Raß; baSfefbe gr. g. $D2aß ntüffen aud) ber ®ioibenb 84 unb ber ÜDiotfor 24 fjaben. ift närntid) 12 gemifS ein gemeinfd)aftttd)e$ 2J?aß don 84 unb 24, ba baburdj 24, baljer and) 24 X 3 + 12 = 84 teilbar ift; 12 ift aber aud) baS größte gemetnfd)aft(id)e 2Raß don 84 unb 24, benn fyätten biefe jtuci 3aljfen nod) ein größeres gemein* fdjaftfidjeS 2Raß a(S 12, fo müßte burd) baSfelbe and) 84 — 24 X. 3 — 12 tfjeitbar fein, maS jebod) nic^t fein !ann, ba 12 burd) feine 3 af)t teilbar fein fann, bie größer atS 12 ift. £)a$ gr. g. Sttaß 12 gmif(f)en bem ®idifor 24 unb bem SRefte 12 muß alfo aud) baS gr. g. 2Raß 3 U)ifd>en bem £)idibcnbc 84 unb bem £)idifor 24 fein. §. 29. 1. Um baS größte gemein fdjafttid) e 2R aß 3 m ei er ober mehrerer 3 a f)t en jufinben, ^erlege man biefelben in ^3rim* factoren, unb fud)e unter biefenbiejenigen ^erauS, mefdje in aßen gegebenen 3 af)ten gemeinfd)aft(id) oorfomnten. £)aS ^robuct biefer gactoren ift gemifS ein gemeinfdjaftfidjeS 2 ) 2 aß ber gegebenen 3 af)fen; eS ift aber aud) baS größte, meit, fobatb man nod) einen anberen IJactor ^injufügen mürbe, biefeS ^robuct nid)t nteljr in aßen gegebenen 3 a ^ en ent# Ratten märe. 3ft 3 . -0. baS gr. g. 2Raß don 180 unb 270 3 U fucfyen, fo tjat man 180 2 270 2 gr. g. 2)2. = 2X3X3X5 = 90. 90 2 135 3 45 3 45 3 15 3 15 3 5 5 5 5 Aufgaben. 1. * a) 8 unb 12; b) 15 unb 36; c) 2. * a) 420 unb 630; b) 400 unb 680; c) 3. a) 540 unb 756; b) 448 unb 576; c) 4. a) 300, 360 unb 840; b) 740, 925 5. a) 104, 525 unb 712; b) 312, 468 3Jiocntf, 5tritfnnetff für llnterreatfc^nlen. 16. Slufl. 50 2. ©a8 größte gemeinfchaftlidje 3J?aß jweier 3af)len feutn auch unabhängig Don ihrer Verlegung in gactoren gefunben werben. fei j. SS. baö gr. g. 3Raß Don 252 unb 63 ju fuchen. 252 : 63 = 4. ©a hier bie ©ioifion ohne 9ieft aufgeht, fo ift 63 felbft ba8 gefugte gr. g. Sttaß. 2Ran fuche ferner baö gr. g. SD?aß jwifcfien 4277 unb 637. 4277 : 637 = 6 mit betn 9tefte 455. ®a .bei biefer ©ioifion ein 9ieft übrig bleibt, fo weiß man, bafö ber ©hüben b 4277 unb ber SDioifor 637 ba$felbe gr. g. SRaß hoben, wie ber ©ioifor 637 unb ber 9?eft 455; anftatt jwifcfjen ben erfteren jwet Bahlen, wirb man ätDtfd;en ben feineren Bahlen 637 unb 455 baö gr. g. äftaß fucf>en. 637 : 455 = 1 mit bem SRefte 182. 9ftan wirb nun wieber, anftatt ^wifdjen 637 unb 455, ba8 gr. g. 2Raß swifchen 455 unb 182 fudjen. 455 : 182 = 2 mit bem SRefte 91. ©a ba8 gr. g. 2Raß jwifcfjen 182 unb 91 auch ba8 ß r - 9- 2Raj? SWifc^en 455 unb 182 fein muß, fo hat man ferner 182 : 91 = 2. @8 ift atfo 91 ba8 gr. g. 3Raß ^wifeßen 182 unb 91, folglich auch jwifdjen 455 unb 182, baher auch jwifcfjen 637 unb 455, unb fomit auch jwifdjen 4277 unb 637. äftan fann bie Rechnung fo fteüen: 637 182 0 7477 455 91 6 1 2 2 91 ba8 gr. g. üüttaß. Bur Sluffinbung beS gr. g. SRaßeS jweier 3uhl e n führt baher folgenbeS ©erfahren: ?Ran biDibiert bie größere 3 a hf burdf W* Heinere; bleibt ein SReft, fo bioibiert man fobann ben ©ioifor burd) ben iReft, ben neuen ©ioifor burch ben neuen 9?eft u. f. w., bis enblid) eine ©ioifion ohne iReft aufgeht; ber le^te ©ioifor ift bad gr. g. 9Raß ber jwei gegebenen Bahlen. Oft ber lefcte ©ioifor 1, fo finb bie beiben Sagten relatioe ißrirnjahlen. SJiuß man bei biefem iRedjnungögange enblich auf eine ©ioifion fommen, weldje ohne iReft aufgeht? Söarurn? 51 Um ba$ gr. g. üftap gmifd^ert brei ober mehreren 3 a ^ cn 3 U finben, fud)t man juerft ba8 gr. g. £0?ag jmeier 3 a ^ en r bann ba$ gr. g. -Blaß 3toifd)en bem gefunbenen DJJaße unb ber britten 3ofyf u. f. f. £)aS jutc^t gefunbene S JRaß ift jugleicfj baS gr. g. 2Äafj affer gegebenen 3 a ^ en - ©oll j. 33. ba$ gr. g. 9Jiap oon 32, 48 nnb 116 gefunben toerben, jo I)at man junäc^ft 32 48 1 a£fo ift 16 ba$ gr. g. 3J?ag 0 16 2 oon 32 unb 48. £)a 16 afe gr. g. 2Ra§ 3toifd)en 32 unb 48 alle gemeinfdjaft* licken 9J?aße biefer jtoei 3 a ^ en enthält, fo fönnen bie 3 a ^ en 32, 48 unb 116 fein gemeinfdjaftlidjeS 2JJaß fjaben, ba8 nidjt jugletd) in 16 enthalten märe; man braudjt baljer nur nod) 3roifd)en 16 unb 116 ba$ gr. g. 9Jia§ ju fudjen, mefdjeS bann and; ba8 gr. g. ?Dlaft jmifcfyen 32, 48 unb 116 fein muß. 16 116 i 7 4 ift alfo ba§ gr. g. 9JJa§ oon 16 nnb 116, baf?er 0 4 4 audj oon 32, 48 unb 116. Aufgaben. ©itdje baS gr. g. 9Jiaß oon: 1. a) 143 unb 171; b) 396 unb 660; c) 323 unb 289; 2. a) 153 unb 389; b) 713 unb 837; c) 437 unb 1035; 3. a) 1292 unb 2812; b) 1519 unb 2793; e) 3718 unb 7774; 4. a) 112, 372 unb 516; b) 1554, 3552 unb 5143. 4* ilCehtffcs ümeinf$afttid)t$ ^ietfatfes. §. 30. 3ft eine 3# burd) ätoet ober mehrere 3 af )fw tfjeifbar, fo t)ei^t fie ein gemeinf djafttic^eö 23ieffacf)e$ berfetben; 3. 33. 24 ift ein gemeinfd)afttid)e$ 23ielfad)c8 oon 2, 3, 4, 6, 8, 12. ®a ba$ ^3robuct ftetS bnrd) feine gactoren teilbar fein muß, fo ift jebeS ^robuct ein gemeuifdjaftfidjeö 33ieffacfye$ feiner gactoren. Um bie 91ed)nungcn mögfidjft einfad) burdjjufütjren, ift e§ oft'^v^ ; oon SBidjtigfeit, 3U gegebenen 3 a ^ en I fein ft e gemeinf d) lid)e äSteffadje b. i. bie Iteinfte ßcfyl ju finben, toe(d)e burdj jene 3 a ^) Ieit teilbar ift. ££* i + ’ Sommt unter ben %af)Un, beren 93ielfac^eö gefugt * fein ^aar oor, mefdjeg ein gemeinfdjaftticfyeö 332a§ I)üt, /■ ' fo ift iljr ^robuct fefbft sugfeid) if)r ffetnfteS gemeinfd)aftlid)e$ 9SteI- V f 4* 52 fadjeg; benn tüie man eine 3 a ^ ober <*üdj nur einen gactor ber* felbcn tDeglaffen mürbe, märe bag ‘ißrobuct ber ubriggebliebenen 3 a ^ en unb bereu fjactorcn nidjt ntcfjr burdj alle gegebenen Barett ttjeilbar. 2öenn eine ober mehrere unter ben gegebenen 3 a ^ en in einer anbern oljne SReft entsaften finb, fo !aun man biefclben meglaffen, unb bag 33ielfadje ber übrigen mirb and) burdj bie meggelaffenen tfjeilbar fein. £>abeu jmei ober mehrere 3 a ^en ein gemetnfd^afttid^eö 9Ra§, fo !ann man bet ber 2luffudjung beg gemeinfdjafttidjcn 33ietfacfjen ftatt jener 3 a ^ en gemeinfdjaftlidje SRafj nur einmal unb bie Quotienten nehmen, metcpe jene 3 a ^ en knrdj btcfeö SDJap biöibiert geben. 3- bte 3af)fen 14 unb 18 paben bag gemeinfdjafttidje 2, unb geben baburd) bioibiert 7 unb 9; bte 3 ö ^t nun, meldje burdj 2, 7 unb 9 teilbar ift, mirb gemifg and) burtfj 2 X 7 z: 14 unb burdj 2x9 z= 18 heilbar fein. 2Tuf biefen ©runbfä^en beruhet bag nadjfteljenbe 33 er fahren jur Slufftnbung beg tleinften gemeinfdjafttidjen 33telf ad) en: 1. 2JJan fdjreibe bie gegebenen 3^len in eine SReitje, unb taffe biejenigen meg, meldje in anbern größeren opne 9xeft enthalten finb. 2. Sommert unter ben übriggebtiebenen 3 a ^ ett jmei ober mehrere oor, bie eine ^rirnjatjl jum gemeinfd)afttitf)cn üftafje Ijaben, fo Ijcbe man biefeg Sftaß Ijeraug, bioibiere baburd) unb fe^e in eine neue 9feilje bie meldje baburd) ntd)t ttjeilbar finb, ungeänbert tjerab, Don ben übrigen fdjreibe man nur bte Quotienten Ijin. 3. 3Jiit ber auf biefe 2trt erhaltenen SReitje »erfahre man mieber auf biefetbe 333eife, unb fe£e biefeg fo lange fort, big fein $aar ber testen JReifje mehr ein gemeinfdjaftlidjeg 3Ra§ lj at - 4. ©ie 3af)fen ber testen JReifje unb bie alg SRage f)eraug* gehobenen £>crt)hn »erben mit eütanber muttipliciert; bag ^robuct ift bag fteinfte gemeinfdjaftlidje 33ielfadje ber gegebenen 3 a ^ en - 3- 1) @ud)e bag fteinfte gemeinfdjaftliche 33ietfadje ju ben £aljten 5., 8, 9, 11. ‘ ; ©a Don biefen Qatyltn fein $aar ein gemeinfcpafttid)eg 2Jiafj Ijat, fo ift ipr ft. g. 33ielfadjeg 5.8 . 9 . 11 = 3960. o2) @udje bag fl. g. 33ieffadje jmifdjcn 2, 3, 5, 8, 15, 60, 120. $ter finb alle 3ctljfen in 120 oljne 9?eft cntljalten, baljer ift 120 •felbft bag fl. g. 33ielfad)e. - ^ 1 £'• • 53 3) fotl baö ff. g. Söielfac^e 51t ben Qafjten 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 15, 28, 36 gefunben roorben. SDfan Ijat fotgenbc Ofedjuung: 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 15, 28, 36 £aS fl. g. 23ielfarf)e ber gegebenen 3 a ^ en iß alfo 2.5.7.3.2.2.3 = 2520. 21 uf g a b en. @ud)e baS fl. g. 23telfad)e öon 1* a) 3 unb 5; b) 2 uttb 10; c) 6 nnb 20; 2* a) 8 unb 12; b) 2, 5 unb 7; c) 3, 9 unb 18; 3* a) 3, 5 unb 10; b) 6, 8 unb 12; c) 10, 12 unb 15; 4. a) 3, 5, 8 unb 11; b) 2, 3, 5 unb 20; 5. 3, 5, 9, 14, 18, 21 unb 30; 6. 3, 5, 6, 18, 20, 21 unb 25; 7- 2, 3, 5, 8, 11, 15, 21 unb 36; 8. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18, 33, 35, 60; 9. 12, 15, 27, 60, 72, 90, 128, 396. 1* ©ib alle ‘’ßrimjaßfen grotfc^en 1 unb 100 an. 2. * £)urd) reelle 3«blen finb fofgenbe 3of)f«n tfjeifbar: 10, 18, 24, 30, 45, 56, 72, 80, 100, 136? 3. * 663 + 125; 346 + 459 ; 788 + 165; 563 + 297? 4 * 960 — 324 ; 724 - 548 ; 938 — 678; 805 — 598? 5. * Söeldje öon fofgenben 3af)reöjaf)fen bejeicfjnen @d)aftj;aljre: 1876, 1840, 1870, 1784, 1832, 1866, 1756, 1868? X - @udje baö größte gemetni'djaftfidje Sftaß öon: 6. * a) 24 nnb 32; b) 48 unb 72; c) 72 unb 42$; ^ a) 168 unb 216; b) 135 unb 450; c) 900 unf $25.; ’ ~ a) 351 unb 767; b) 731 unb 918; c) 581 vOfc&QiK. a) 1988 unb 2345; b) 7006 unb 3565.’ f " ~ 7- 8 . 9. -V/+' 54 10. ©ne Sdfüffet, Wetdje 2-387 Sitogr. wiegt, enthält 1-902 Sitcgr. feines Sitber; wie öiet ift babei 3ufa£? 11. Qn ber Satjn, wcfcfjc bie ©be jäffrtid) um bie «Sonne befcfjreibt, burcfytäuft biefefbe in 3 Stunben na^e 43866 geogr. Sfteiten; wie Diel ÜDfeiten legt fie in 1 SDJinute gurücf ? 12. SBie oiel beträgt ber Snljntt eines SSefäfjeS oon 3 - 245 d,n Sänge, l-78 dm Srcite unb 1-208 Stiefc? (3 ©ec.) 13. ©n @utben Sapitat wäcfjft bei einem gewiffen 3' nS f u § e io 20 Saften auf 2-653298 ft. an; wie tjoct) wäcpft bei ber nämtictjen 35er= jinfungSWeife unb in berfetben 3«ite ein Kapital oon 2315 ft. an ? (3 ©ec.) 14. ä) 1728: 36 =? b) 54201 : 89 =? c) 233410 : 85 =? 15. a) 8323 : 29 = ? b) 59500 : 68 =? c) 721872 : 48 =? J 6. a) 8004 : 87 =? b) 80012 : 39 =? c) 145426 : 19 =? 17. (17-45 + 48-3549 + 0 098 - 57-2759) X 3 '25 = ? 18. 3 er ( e 9 c in )3rimfactoren: 270, 680, 924, 990, 1728, 5400, 2310, 2928, 13860. Sudfc baS fteinfte gemeinfdiafttictje SSietfactje oon: 19* a) 6 unb 8; b) 16 unb 20; c) 30 unb 48; 20* a) 2, 6, 30; b) 2, 4, 10; c) 3, 5, 12; 21 • a) 5, 12, 8, 10, 21, 28, 30; b) 5, 12, 7, 9, 21/45, 57 ; 22. a) 16, 12, 9, 8, 25, 15, 24; b) 12, 27, 36, 28, 35, 54; 23. a) 77, 35, 42, 91, 126, 26; b) 105, 126, 168, 210, 231. 24- SBte oiete 3ie9Ufteine oon 2-8 dm Sänge, 1 '6‘ ,m Srcite unb 0-4 dm ©icfe brauet man ju einer SDtauer, wetdfe 2832 dm fang, 105 dm breit (tjoct)) unb 0'8 dm bicf ift? 25- Unter alten öfterreidfifcpcn Säubern t;at baS £)erjogtt)um Sdjtefien, in weftfjem 513352 Sinwofjncr auf 51‘47D M ” [eben, bie bidjtefte Scoötferung ; am bünnften bebötfert ift Sat 3 burg, wetdjeS 71-66H“ m mit 153159 Sinwoljnern umfafSt. 2ßie oiete Sinwofyner fommen auf ein Q“ m in bem erftern, wie oiete in betn te^tern Sanbe? 26. 3mr eine Sifenbalfnftrede toftct eine gaffrfarte ber 1. (Stoffe 3-48 ft., ber 2. ©affe 2-61 ft,, ber 3. Stoffe 1-74 ft.; wenn nun für eine gatjrt auf biefer Strecfe 36 gafjrtarten ber 1. ©affe, 98 3afjr= farten ber 2. (Stoffe unb 217 ffatjrtarten ber 3. Stoffe ausgegeben würben, wie groß War bie ©nnaljme? Ziffer jUMnitt. SRcdjtten mit gemeinen SBtüdjcn. §. 31. ©ne 3 fl |t/ wetdje einen STfjett ber ©ngeit ein- ober megrmat enthält, wirb eine gebrochene 3 a l* ober ein ®rud) genannt. 3 ur ©arfteltung eincö tBrudjcö finb gwei 3a|ten erforbertief): ber kennet, toeldjer angibt, in toie biete gleiche Steife bie ©nfjeit getf)eitt würbe, unb ber ßäfjter, wetc|er angeigt, wie biete fotdjer ©leite man genommen |at. 3- ©. 3n bem 23rucfje *- (brei Sichtet) ift 8 ber Lettner, unb geigt an, bafö bie ©n|eit in 8 gteü|e ©|eite get^eitt würbe; 3. ift ber 3äf)fer, unb gibt an, bafö man einen fotetjen ©|eit, namlidt) |, 3mat genommen |at. 3eber Sruc| fann at§ ein angegeigter Quotient betrachtet werben, worin ber 3äf)ter atö ©ioibeitb, ber 9tenner atö ©ibifor erfc|eint. ©er 8te ©|eit bon 1 ©angen ift }, 3 fotche S©heite geben ben Sritcg ber 8te ©|eit bon 3 ©angen, b. i. ber Quotient 3 : 8, ift offenbar 3mat fo biet atö ber 8te ©heit bon 1 ©angen, atfo 3mat } b. i. f. Sö ift fomit 3 8 3 : 8. Unter bem Srucge § tann man ftch bemnadj entweber 3mat ben 8ten ©heil bon 1 ©angen, ober audf ben 8ten ©heit bon 3 ©angen.. borftetten. ff „ - ©n förueg, beffen 3ä|ter Iteiner atö ber fttenner ift, geigt e.cfct; . g. S8. J-, §, {, if. ©n echter ®ruc| ift fteiner atö 1. j ©n 53ruch ber Kenner _ , , „ , 33ruc| ift entweber gleich 1/ ober 9 röf?er ats 1. / TA / }, -i-jf. ©n echter Sritcg ift fteiner atö 1. |‘£ v ~ 3ruch, beffen 3ä|ter gleich bem Kenner ober grögef'Jatö^ ' ift, |eigt unecht ; g. ©. f, |, |, V 9 / Vö 7 - ®« unedite^ y ; 56 I 4 3 8 4 = 6f. @in f e 3 ^ 1 , me(cf)e aus einer gansen 3 a ^ einem angeljängten 33rud;e befielt, mirb eine gemtfc^te 3<*f)E genannt; 3 . 5). lf, 5;., 915fi. @0 oft bei ber ©ioifton ganser 3 a ^ en ein 9ieft übrig bleibt, ift ber Quotient immer eine gemifcfjte 3 a *)f* §. 32. a) 3ebe gemifdjte 3 a ^ Eann in einen'unechten $ruc£) oermanbeft merben; man barf nur bie ganse 3 a V mit bem Kenner multipticieren unb sum ^ßrobucte ben 3 ^ter abbiercn; biefe Summe ift ber Q&fjkv, ber Kenner mirb ungeänbert beibe^ galten. 3 - S. 03 - 5 X 8 + 3 _ Og - 8 - 2>enn 1 ©an^e§ = 8 SUfitet, 5 ©an$e finb alfo 5mat 8 = 40 2ld)te(, unb bie 3 baju, finb 4 3 ‘ • 8 • 3 . -Seber unechte SJrucf) faun in eine ganse ober gemifdjt e nenoanbelt merben; man brauet nur ben 3 äf)(er burd) ben Kenner 3 U biotbieren. 3 . 33. V = 27 2)enn: 4 Giertet ftnb 1 ©an^eS, 27 Viertel ftnb alfo fo oiel ©an$e, afö tme oft 4 in 27 enthalten ift; man mu# fomit 27 burcf) 4 bioibieren. Aufgaben: 1. 5Ric£)te fofgenbe gemifdjte 3 a ^^ n J« unedjten 33riid)en ein: lf, 2f, 5f, 3 t 8 5 , 12 |, 27f,J128^, 102^, 207jf, )l234*j, 5728i,^17i|, 69Ji, 300H, 2981?-,J39»«, 2. 3^ aub folgenbett unechten IBrücßen bie ©anjen ßeraub: i&Ä*- 3 4 5 1 11 2 3 7 1 3*1 1 0 0 0 8 '2 1 5 6 7 |l »JL | S 7 ' 1 0' I 1 6 ' 3 i 4 6 4 ' 1 2 5 ' | 4 0 I. Itlcrtoeränöerung ber Prüeßf. §. 33. a) 3e größer ber 3ö^ter ift, beffo größer ift bie Sinjafft ber gleichen STßeile, befto größer alfo aud) ber SBert beb ©rucßeb. SBenn baßer jwei ober meßrere Sritcße gleite Sßenner ßaben, fo ift jener unter ißnen ber größere, melier ben größeren ßäßler ßat. 3 - iff größer alb »ab man fo fdßreibt: -fl > T :i 0 -. SßSelcfier unter ben IBrücßen {, fleinfte, unb warum? Söenn ber Kenner ungeänbert bleibt, ber gäßler aber 2 mal, 3mal, 4mal . . . fo groß wirb, fo erhält man 2mal, 3mal, 4mal . . . fo oiefe eben fo große £ßeile, baßer wirb aud) ber SBert beb neuen Srudjeb 2, 3, 4 . . . mal fo groß, alb bewäBert beb fritßeren Srucßeb; ober: wenn man ben gaßler eines IBrucßeb mit einer ■ li^r 5_ 9 42 9 2' 3f 6 t 5' 3 3 0 1 0 3 , |, f ift ber größte, welcßer ber I 57 3af)£ muttipticiert, fo rotrb aucf) ber SBert be$ ©ructjeS mit ber* felben Qat\l muttiptieiert. Sagt man bett Kenner ungeänbert unb nimmt bagegen ben 3df)ier 2, 3, 4 . . . mat Heiner an, fo ert)ätt man 2, 3, 4mat meniger eben fo große Sljeitc, atfo mirb and) ber neue 33rud) nur ber 2te, 3te, 4te • £ljeit oon bem früheren fflrudje fein. SBenn man baljer ben3d^Ier eines SrucfjeS burdj eine 3 a ^ biüibiert, fo mirb *E>er JBert beS 23rud)eS burd) biefetbe ßaljt biöibiert. b) 3n je mehrere £l)eitc bie ©ntjeit geteilt mirb, befto Heiner finb bie einjetnen Steife; je größer baljer ber Kenner ift, befto Heiner ift ber Süßert beS iSrudjeS. SEBenn atfo jmei ober mehrere Sriidje gfeidje 3ö^cr fjaben, fo ift berjenige unter ifjneu ber Heinfte, meiner ben größten SRenner f)at. @o ift |- Heiner ats -®, ober 5 5 < 5 * SBetdjer unter ben 33rüd)en T 5 t ., {, ^ ^ er tteinfte, metdjer ber größte, unb mar um? Steibt ber 3dI)Hr eines SrudjeS ungeänbert unb mirb habet ber Kenner 2, 3, 4 . . . mal größer, fo merben, rueit baS ganje in mehrere Stjeite gettjeitt mirb, bie einzelnen £f)eite Heiner anSfatlen; man ertjätt ebenfo niete, aber 2, 3, 4 . . . mal Heinere ST^eite; fomit mirb and) ber neue 23rud) nur ber 2te, 3te f 4te . . . £ljeit beS früheren fein. 333enn man atfo ben üftenner eines SrudjeS mit einer 3a$I muttipticiert, fo mirb ber 3Bert beS 33rud)eS burd) biefetbe $al)f binibiert. SafSt man ben $äf)ter eines fflrudjeS ungeänbert, unb nimmt ben Kenner 2mat, 3mat, 4mat . . . Heiner an, fo merben, meit baS ganje in meniger £t)eite gettjeitt mirb, bie einjetnen £I)eite größer aus* faßen, unb man ertjätt fomit eben fo niete, aber 2, 3, 4 . . . mat größere 2djeite, fotgtidj mirb aucf) ber SBert beS neuen -SrudjeS 2, 3, 4 . . . mat fo groß, ats ber 2öert beS früheren 23rud)eS. ffiemt man atfo ben Kenner eines SrudjeS burd) eine 3^t bioibiert, fo mirb ber Sßert beS SrudjeS mit berfetben 3af)t mu ttipticiert. ®ie ooranftefjenben ßrgebniffe taffen, fid) in fotgenbe jmei @ä§e jufammenf affen: 1. SRuttiptication ober ©inifion beS 3 öer ^ if* biefej^> 9tcd)nung an bem ©rudje. 2. SRuttiptication ober ®inifion beS Kenners ift biö^f^j \\ gegengefe^tx SRedjnung an bem Srudje. - ^ 1- ■S/M IJ&F 4 r »’ • 58 II. ^onimnmberung irer ?3rüd)e. Erweiterung bet 33rüeS Kenners bie Erweiterung beb 23rud)eS. @o erhält man burd) Erweiterung: 1 __ 2 — 4 — _5 — 1 5 — _5 2 — 2 4 8 10 3 0 106 — ’ 2 — 4 — 6_ — _8_ — X° - 24 _ _6 0 — 3“ 6 9 1 2 15 3 6 9 0 ~ * 3 — 6 — 9 — 12 — 15 — 30 _ 3 7 5 _ 8 1 6 — 24 32 — 40 — 80 — 1 0 0 0 * ®urcp bie Srfoeiterung lanrt man jeben 33rucp opne Stenberung fetneö SBerteS in einen anbern üermanbeln, beffen Kenner ein 2$itU fad)e$ non bem früheren Kenner ift. Um 5 . 33. | in einen 23rucp, beffen -Kenner 40 ift, ju oermanbeln, barf man | nur mit 40 : 8 b. i. mit 5 erweitern, moburep mau | = f| erhält. Um baper einen 23rucf) in einen anbern 33rucp non gegebenem Kenner ju erweitern, barf man nur ben neuen Kenner burd) ben früheren binibieren, unb mit bem Quotienten ben früheren 3äp(er muttipticieren* baS ^robuct ift ber neue gäpter. 3 . 33. | foß in einen 33rucp nom Kenner 108 erweitert tnerben; man pat 1 ~ 1 0 8 x — 1 OS* i — I 3 1 9 10 8 ' 9 84 108 * Ober: 108 : 9 = 12 7 _ 7 X 12 _ ^ 9 “ 9 X 12 ~ l08 ‘ ®ie erfte £)arfteßung$meife feptiefjt fiep an ben ©ebanfengang beS münbiiepen KecpnenS an. Qurcp biefeS 33erfapren fann man auep meprere 33rücpe auf einen gemeinfepafttiepen Kenner bringen, (obalb biefer burep 59 2 3' alle Kenner ber gegebenen lörücpe tpeilbar ift. ©inb 3 . •©. bie IBrücpe |, | fl auf ben Kenner 120 ju bringen, fo E)at man 120 : 3 = 40, 2 X 40 = 80, fomit f = 4 = 30, 3 X 30 = 90, „ 20 = 6 , 7 X 6 = 42, „ 120 120 1 — 90 • 4 ~ 1207 7 _ — _42 ~ 1 20 * 20 Um bie 31ecpnungen fo einfach als möglicp ju fiteren, pflegt man bie 33rücpe aüejeit auf bett lleinften gemein fepaft fiepen Kenner ju bringen; biefer ift offenbar bie fleinfte _njelt^e burep alle gegebenen Kenner tpeilbar ift, fomit ipr fleinfteS gemeinfcpaftlicpeS 33ielfacpeS. Q. Sß. @S follen bie Sriicpe f, * auf ben lleinften gemeinfcpaftlicpen 9?enner gebratpt »erben. £)aS fleinfte gemeinfcpaftlicfje SSielfadje oon 4, 5, 9, fomit ber fleinfte gcmeinfepaftlicpe 9tenncr ift 180 unb man pat fMttelft ber (ürmeiternng ber iörücpe ift man im ©tanbe, amp Srücpe oon ungleicpen Kennern pinfüptlicp iprer ®röjje ju oergleicpen; man barf fie nur mit einem gemeinfcpaftlicpen Kenner bavfteüen, unb bann auf bie neuen $äplcr ^üdfiept nepmen. Um 3 . 33. 3 U fepen, »eliper oon ben 3 »et förüepen * unb ber größere ift, pat man = f|; baper f, größer als f. 3 8 - 7 2 ' 18 31 u f g a ben: 33ringe 9 * ir 3 * • tr 4* ff O* ft tr tt ff ff 1 4' 1 6 . 7. 8 . 33ringe Kenner: ff f/ ff ff ff ff 720 5 4 2 J.2 Xi- JL 6' 5' 3' 3 5' 17' 14 9 13 6 46 JX3 ff ff ff tt tt ff 10' 7 ' 4' 12 5' 5 0' 6 25 r fofgenbe Srucfje auf ben fteinften genuinfd)affticf)en/-- 9 .* a) | unb f; b) -* unb y r ; c) | unb ||; HA* tA 1 5 4 . ]-v\ 1 5 3 , 0 \ 2 3 JLU« &) - 3 ; 6 ' 5 7 U J 2 ' 8 ' 10 7 W 3' 4' 5 . 6 7 i ■ ; • ii 3 4 3 9_ 1 3 ♦ W\ _1_3 3 5 7 1 0 * 1 * “7 3> 5' 3 3' 4 0' 60? ) 3l' 3 9' 13' 53? •j O n \ 1 3 3 7 1 1 5 13 . UI J_ 5 8 3 3 7 . 1^» <*) j/ 4 / ' 5 f io> 15' 3' 1 8 J u ) 4' 13' 7' 31' 8 ' 3' 15? ••JO 3 7 5 9 4 11 1 J_ X * IO» 4 r g'' 16' 35' 5' 15' 9' 30» A \ q\ 1 2 3 4 6 ^1 9 . U\ 3 7 8 5 5 11 13* l-±« d>) "2' ”3' 4' 5' 7' S' 9' 10? u / ~3' 15' 35' 8' 9' 13' 18? \ X 1_7 5_ 13 J_! 3 8 3 9 _3 . 3 0' 33' 35' 34' 75' 3 6 ' 35? 1 A 17 11 16 7_ 3_1_ 3 9 3 3 5 4' 48' 64' 18' 50' 33' 45' 17- 2öelc£)er non ben SSrücßen f, ~f, |-f, 1* ift ber größte, unb welcher ber ffeinfte ? 18. Orbne fofgenbe -33rüd)e nad) i^rer ©rö§e, unb ätuar non bem ffeinften angefangen: f, f, fi?, ff-, -ff. bet 33tücf)c. §. 35. 2Benn man ben &ä$Uv Kenner eines 93rud)eS burc^ biefetbe bioibiert, fo bleibt ber Söert beS SrudjeS ungeänbert; 5 . 33. 35 — 36 : 5 _ _ 7 _ 80 T 8 0 : 5 “ 16 ©ioibiert man närnfid) ben 3 äfyfer burd) 5, fo erhält man ben 5 ten Ztjtil beS fritieren SBerteS; biotbiert man ben Kenner burdj 5, fo erf)ätt man ben 5fad)en 3Bert; baS 5fad)e beS 5ten Zfyti teS gibt aber raieber ben urfprüngtidjen 9Bert. £)ie gormoeränbermtg burd) bic ©ioifion be$ 3 ät)terS un ^ ^ Kenners mirb baS Stbtiirjen be$ -SrudjeS genannt; fie !ann natürtict) nur bann ftatttjaben, menn 3 äf)(er unb Kenner beS gegebenen SrudjeS ein gemeinfdjaftlidjeS 2 Ra§ fjaben; ift biefeS nidjt ber gaß, fo f)at ber örud) bereits bie ein* fad)fte gornt, unb !ann nidjt ol)ne Slenberung beS SöerteS burd) ftetnere 3 af)ten auSgebrüdt merben. @0 finbet man J 10 4 36 __ 12 200 20 _ 5^ 1} 57 ~ 19 } 240 " 24 ~ 6 9 Aufgabe. Äürje fotgenbe 23rüd)e fo weit atö mögticß ab: , 3 3 - 3 5 34 31 103 1513 19 3 43 0_ 6_7 6 63 5 2 7 3 1 8 34 .5,0' 40' 48' 3 0' ITT' 1 64‘4' 34 0' 35 30' 1 093' 1 000' 1 3 3 9' 3040* 61 25erwanbfung eines gemeinen Grußes iu einen 3>ecttnöf6rudj. §. 36. Um einen gemeinen Srudj in einen Qecimal* brud) ju oermanbetn, barf man nur ben 3äl)ter burcf) ben Kenner biöibieren. 3* ®* 1) y = 25 : 4 = 6*25 2) y = 37 : 8 = 4625 3) ^ = 1:2 = 05 4) | = 7:3 = 2*3333 .. . 5) #: = 17 : 25 = 0*68 6) T 3 T = 3: 11 = 0'2727... 3S3enn bei ber SSertoanblung eines gemeinen SrudjeS bie ®iöifion gufe^t oljne 9?eft aufge^t, fo ift ber erhaltene SDecimalbrud) bem gegebenen gemeinen ooftfommen gleich, unb {jeißt ein Dollftänbiger ober enb* lieber ©ecimatbrudj. ©eljt bie £)ioifion uidjt oijne SReft auf, fo ift ber erhaltene ®ecimatbrud) nur angenätjert, unb brüdt ben SSert beS gemeinen SrudjeS um fo genauer aus, je mehrere ©ecimaten man. entmüfeit; er {jeißt ein unootlftänbiger ober unenblidjer SDectmatbrudj. Sei folgen £)ccima{brüdjen reichen für bie Seredjmmg ber meiften 2Iuf* gaben 3 ober 4 £)ecimatfteüen tjin. Seber unenblidje ©ectmatbrudj, tvcld)tv aus einem gemeinen Srudje fyeroorgeljt, ift (nadj §. 18, II) ein periobifdjer ©ecimatbrud). 21 u f g a b e n. Sermanbfe fotgenbe gemeine Srüdje in 'Decimatbrüdje: 1 14 l L 91 - L ‘ 4' 5 ' 2 0' “ 2 2 2 4 _ ‘ 3 ' 9' 6 25 5 8 ' 37 1 6 ' 5 _7_ 913 _9 I 1 ' ^22' 1 41. 12 5 3 12 5' 8 8 3 2 3 4QJLX fiQ6_l * 12' w 8 0' w 6 4» (22 3 3 7 u 66' 230* Söiener $uß; biefen SSert 1_7 4 5 5 367 541 5236 5777 6' 11' ~2 2' 14' ~1 3' 4 1' 3. Sin SWeter ift greief» 316375 brüefen amtcHjermtgSroeife bie ©rüd£)e \\ 55 , ri6 , 171 , lc 5 5 , 1 8 2 6 aus; mte groß ift ber Unterfdjieb jtoifdjen bem toaljren unb jebem biefer 9lä{jerungSmerte in 5 ©ecimalen? jSerwanbCung eines pecitnafßnußes in einen gemeinen ’l ", ' V §. 37. Um einen enbtidjen ©ectmalbrudj in /t^v.tvr x \ gemeinen $u oermanbetn, barf man ißn nur mit Stnga&eifetrwS '• Kenners anfdjretben. 3 . ©• "J A-7 _ 7 0*25 — 2_5_ — 1 O.ftA — 9 64_ — »?'■'% 4, — To' u — Too — 4-, o D4t — °!oo — *•> , gufammengefe^ter erfdjeint {jäufig bie Sertoanblung eines '43'etH efe " bifdjen ©ecimalbrudjeS in einen gemeinen Srudj. 3 ft 3.\ 62 periobifdje ©ecimalbrud) 05 burcfj einen gemeinen 33rud) barjuftellcn, fo f)at man: lOfadier ®ntd) = 55555 . . IfacEjer „ = 05555 . . . fubtralfiert 5 9 " 9fadjcr Srucf) = 5 ba^er ber einfache Srud) = fjür ben pertobifdjen £)ectma{6ntd) 0*108 f)at man: lOOOfadjer Srud) = 108*108108 ifad&er „ = 0*108108 fubtra^iert 999fad;er Srutf) ~ 108 bafyer ber einfache Srud) = = (Sbenfo mürbe man fittben: 1 2 — 1 1 1 4 3 7 * fubtraljtert 0-7 = h 03i = fl, 0 * 1 2 * 4 359 = fff. (Sin periobifdjer ® ecimalbrucl), Worin bie ißeriobe gIetmit ber erften ®ecimalftclte beginnt, wirb balfer in einen gemeinen iörud) oerwanbett, inbem man bie ißeriobe jum 3äf)ler, nnb fo Diele 9, alb bie ißeriobe 3>fT ern jitm 9tenner annimmt. beginnt bie ißeriobe nidft glcid) mit ber erften SDect* male, wie in 073517 = 0 73517517 . . . , fo $at man lOOOOOfadjer Srud) = 73517-517517 . . . lOOfadjer „ = 73516517 . . . 99900fad)er ®rud) = 73517 — 73 bafjer ber einfache örud) — : WgVir 7 3 • fpier nimmt man alfo bie ißeriobe fammt ben ilfr oorangctjenben (Decimalen, fubtraffiert baoon biefe (enteren, ber iReft ift ber 3“^ er beb gefügten Srudjeb; alb Kenner nimmt man fo Diele 9 an, alb bie ißeriobe 3*ff ern fyat/ mit fo Dielen Nullen redjtb, alb iljr ®ecimalen »orangenen. Aufgaben. 23ermanble folgenbe $Decimalbriid)e in gemeine Sriidfe: 1. 04, 2 12, 0-025, 36-16, 3875, 0 245, 60675; 2. 3 15, 35-005, 0-48, 0-175, 12 064 33 1225; • 3- 0-5, 0-36, 2-42, 0Ö3, 0504, 2-2418; 4. 083,0426, 17-1052, 4-196, 05723, 4-15296. 63 III. $as ^bbieren unb jSubtratjiercn ber Prfidje. JtbbUiott ber 58rüdjf. §. 38. 2 Neuntel unb 5 kenntet finb 7 Neuntel, ober o 9 5 9 9* Sriicfye oon gIetcf)en Lettnern werben alfo ob hiert, inbent man ifjre ßäfyfer abbicrt unb ate Kenner ben gemeinfrfjaftltcfjen Kenner beibefyäft. §aben bie 23ritd)e ungleiche Kenner, fo werben fie jucrft auf einen gemetnfcfjaftlirfjen Kenner gebracht, unb bann abbiert. ii 1 2 _ 6 i. 30 12 I 5 2- 2 - * 1 5 4) 31 + 2-5 = 31 + 2i = 6|. Seim miinbüdjen Slbbieren jtveier gemixten $a§len jäl)lt man ju ber erften 3af)f juerft bic ®anjen, bann ben Srud) ber jrceiten 3afjl baju. Q. SS. 8* + 51 = ? 81 unb 5 ift 13*, unb i ift 13f, b. i. 141 Aufgaben. 1* ») tV + A = ? b) }.+ i = ? c) > + f +1 =? 2.* a) 7* + 8 = ? b) 18* + f =? c) 32ii+15ii=? 3-* a) if + fl + + = ? b) 48 if + 7+ + 61-| = ? 4 * a) * + * = ? b) f + i = ? c) i + + = ? 5* a) 7? + + = ? b) 8» + 2+=? c) 1711+5+ = ? 33erricf)te folgenbe Slbbitionen: 6 . 7. 8 . 9. 10 . 11 . n . 32 * * VV «0 t 7 5 + fl; b) 11 + 11; c) + + a) 29+ + 45 + 16+ ; b) 451 + 127* + + ; a)f + f + f + 4; b) 8 + 3= + 7* + ofo H + ö| + 13+ + 8? + 19*; fc. ^ 128* + 245* + 2081 + 199 . + 206+;, <£,' ± /H 21 + 20 + 3f + + + 17f + 311 + 51 +'f 0-7 + 2-31 + 81*35 + 15 36; >s 12 . 13. 35708+ + 10985+ + 7865911 + 340795 7 2 4* 64 ff ft n ft „ 6210 ^ „ 17^Q 4JL ff ±c/-j - 00 , f 14. 759 t Vö + 18135-i- + 38791?-'- + ^ + 538*1 =? 15. ©n Sanbmann crjcugt 58?- §eftoliter SBetjen ^ 38? £>efto* titer Sorn, 43?- §eftoliter ©erfte unb 70? £eftolitcr §afer; mie üiel §e!toliter ©etraibc macfyt biefeö? 16. ©n ?einmanbl)änblcr tauft 4 @tüd Seimoanb, int erften ftnb 49^- -Bieter, int gmeiten 42 -},, int britten 54f, im vierten 40? •äfteter; mte nie! 30ieter entsaften aße 4 @tücf? 17. Sernanb l)at 8^ fl., 37-?- ff., 28? fl., 9- 2 ^ fl„ 19£ fl. gu galjlen; mie öiet gufamnten? 18. ©n |)anbeßmamt finbet beim 3al)re$abfcfyluffe fotgenben 2$orratI) an Kaffee: 2156?- Silogr. DJfocca im inerte oon 3019-p? fl. 5175?- „ SHarttntque 1512? „ Spaoamta tt>ie groß ift ber gange 23orratl), unb rote groß beffett ©efammtmert? 19. ©ic ©eiten eines ©reiedeS betragen 72| m , 46? m , 40^“; tnie groß ift ber Umfang? 20- ©ie SBinfel eines 93ierecfcS betragen eingetn 78^°, 108 t 5 ö-°, 57?° unb 115'-§°; ttrie groß ift iljre ©umme? 21. Sin SBafferbefjälter toirb burd) 3 SRöljren gefüllt, unb grnar burd) bie erfte 9Jöl)re aßein in 4 ©tnnben, burd) bie gtueite in 5, burdj bie britte in 6 ©tunben. ©er mie Dielte ©fjeil beS 23eI)ätterS mirb in einer ©tunbe gefiißt, menn man baS SBaffer a) bloß aus ber erften, b) aus ber gmeiten, c) aus ber britten, d) aus aßen brei 9?öl)ren gugleid) fließen lüföt? 22- ©aS SluSgraben eines SrumtenS foftet für baS erfte SDleter 2-? fl. unb für jebeS folgenbe -Bieter lf fl. mel)r aß für baS öorljer* geljenbe; mie oiet mirb baS 2luSgraben beS SrumtenS foften, tnenn berfelbe 8 Sßieter tief ift? gußtractiou ber SSrüdJe«. . 39. 7 Neuntel weniger 4 Neuntel ftnb 3 Neuntel, ober 4 9 3 9 * S3rüd)et>ott gleiten‘JJennern toerben alfo f ub traute rt, tnbem man bie gä^ler fubtraljicrt unb unter ben 9teft ben gemein* fdjafttidjen Kenner fdjreibt. 65 $abeu bie $u fubtrafjierenben Srücfje ungfeidje Kenner, fo werben fie juerft auf einen gcmeinfd)aftttd;en 9ienner gebracht, unb bann fnb= tradiert. 3 . 33. 1) | - f = f 2) 8 5 1 115 1 12|2 3) 4| 2 = 2f. 4) 49 15 !■ = 83*. 3m testen 23eifpiele abbiert man gu bem 23rucf)e be3 ©u6tral)enb3 fo oiet baju, bafä man ein ©anjeö erfyätt; waä man baju abbiert, roirb fogteid) in ben $eft getrieben, bann oermeljrt man ben ©ubtrafjenb um ein ©anjeä unb fu&tra* Ijiert bie ©anjen. o) 4| 1-16 = 4? 1 1 6 ~ ^ 59 x 1 0 0 ^10 0* Seim münblicben (Subtrahieren jweter gemtfcf^cr $ablen fub= tradiert man oorn SCRinuenb juerft bie ®anjen, bann ben Srucf) beS Subtraf)enbS. 5) tV ~ tV = ? <0 U 21 u f g a b e n. 1* a) i - 2 * a) 5K- - 3* a) | - 4* a) 4| - 3f = ? b) 9 } - 8^ = ? c) 10| Verrichte fofgenbe Subtractionen: 5. a) 85|* — 17; b) 108 T V — 59; c) 4154? 6. a) 57 - 33*4; b) 123 — 48|; c) 83| - 7. a) l — 03; b) 37-75 — 18»; c) 146 - - 29086*$; 3 — ? S • ~) 16 16 ” ‘ 2 - il = ? b) 3,V - 1-A = ? c) 10 tV = ? b) f - | = ? c) - 5 ■ 3f = ? b) 9f 1 1 — 20 = ? _3 — 9 4 * - 9 l 2 ■ 5 - 7 _ ° 1 2 - 199; 15|; 9 tt; 8. a) 37945||4 9. a) 23985 H- 10. a) 8765| |4 11. a) 12345=4 10845|4; 5678 b) 7358M4 b) 30912 5 5 |4 b) 3746i|f ■ 997|4; - 309054-; 950L 3 i* JtJU l 62 7 37921|4|. 6082=| r b) 57830 t ° t | 12. Bemanb nimmt 125f fl. ein, unb gibt 83| fl. au$; wie btel bleibt ihm noth übrig? 13- Um wie Diel finb || fl- me ^ r 5 fl-? 14- A ift 25| Bahre alt, B 17 Bahre; um wie biel£$t', ^ älter als B? 15- Bemanb befi^t 27 Speftar Sltfergrunb; Wie Diel behäl * •! iLtt MT. - Wenn er 7£>eftar oerlauft? 16. Um wie Diel üeränbert fich ber Sörüd) 44 , wenn ntan\iy|^fn. Qähler unb Kenner 3 abbiert, b) bom Wähler unb tftennerä ■ trafjiert ? Sßocntf, Slrtt^metif für Unterrfalfdjukn. 16. 2(ufl. 5 U 66 17- 93on einer Scfjutb non 200 ft. werben nad) unb nad) 30 ft., 35| fl., 4l 3 fl., 18& fl. abgejaljtt; wie groß ift nod) ber Sdjulbreft? 18- @ed)S Giften wiegen mit betn barin enthaltenen Sanbib* juder 561, 49, 43f, 52*, 42f, 40ff ffifogr.; bie teeren Giften wiegen 5f, 5f, 4f, 5f, dff, 4f £itogr.; wie oiet Äanbid ift in atten 6 Siften? •^19. 9Jian ^at nter 3af)ten: &ie erftc ift 8 r \, bie jweite um 2| größer als bte erfte, bie brüte um 3“- ffeiner atd bie jweite, bie eierte fo groß atd ber Unterfdjieb jWifdjen ber erften unb britten; wie groß ift bie Summe alter oier galten? IV. $as plultijjlicicren unb ^ioibicren ber jürüdjr. ^tunipftcafion eines großes mit einer ganjen 3«§f. §. 40. @in 23rucf) wirb mit einer ganjen $at)t muttü pticiert, inbem man entweber ben 3äf)ter mit ber ganjen gatjt muttipticiert ober ben ÜJienner burd) biefetbe bieibiert (§. 33). 3- ®. 7X3 12 2_i — 7 12 “ 4 / X 3 _ 7 12 : 3 ®aö jweite ©erfahren ift nur bann anwenbbar, wenn ber Stienner beb gegebenen törucfied burd^ bie ganje 3al)t tfjeitbar ift. 2) 9ff X 5 = ff X 5 = V 3 = 46i. 3m fiobfe: 5mat 9 ift 45; 5mat yf ift = f = 1£; 45 unb 11 ift 46i. 3) f X 7 = 4. 4) ji X 12 = U. 2tud ben testen jwei töeifpieten fofgt: (SinSrud) mit feinem 5ttenner muttipti.ciert gibt ben 3^f)ter jum ^robucte. 5) X V X 9. - ff rr V = 51 ober SBenn ber Kenner beb Srudjeb unb bie ganje 3at)t ein ge* meinfc^afttic^eb 3flaß fjaben, fo wirb bie üMtiptication vereinfacht, 67 roenn man biefetbcn nod) oor bem SD'Zuttipticieren burd) jenes SUJajj bioibiert. 5t u f g a 6 e n. 1.* a) } X 7 = ? 2* a) X 15 = 25errid)te folgenbe 2Jfuttif>ticationen: X 11; b) Jg X 31; b) -ft X. 2 = ? c) } X 12 = ? b) 4f X 8 = ? c) 25« X 10 : 3- a) c)U X 35; 4. a) 108| X 24; 5. a) 7ff X 99; 6. a) 157ft X 63; 7. a) 1593411;j X 3092; b) 73f X 42; b) 33'f X 125; b) 3752#} X 8314; b) 9540}}} x 19350; b) 256934|| X 13845; b) 8325311} X 57264. 8. a) 86421#} X 7865; 9. a) 20783}}#} X 36453; 10- Stuf ein fpemb braucht man 3# ÜJleter Seimoanb; mie oiet auf ein £)u|enb pemben? 11. Söenn ein Kilogramm }}ft. foftet, mie tjotf) fomrnen 2, 3, 7, 12, 85, 235, 3014 «itogramm? 12. 3n einem gteidjfeitigen S3ierecfe beträgt jebe ©eite 8 m 3 T } dm ; wie gtoji ift ber ganje Umfang? 13. SBenn ein |)eftotiter SBcijen 6ft ft. foftet, mie oiet foffen 4, 8, 13, 38, 87, 108 #eftotiter? 14. (Sin #3ferb brauet tägtid) ft §eftotiter §afer; mie oiet braudien 15 Ißferbe in 52 £agen? 15. (Sin freifattenber Körper legt in ber 1. ©ecunbe 4}} m jurüd, in ber 2. ©ecunbe 3mat, in ber 3. ©ecunbe 5mat, in ben 4. ©ecunbe 7mat fo oiet; a) mie grojj finb bie gotträume für bie 2., 3., 4. ©ecunbe, b) mie groß ber gattraum für ade oier ©ecunben ? 16. (Sin §otjl)änbter. fauft 80 (Sub. m potj ä 4# ft, 47 @ub. m a 5ft ft., 66 Gub. m ä 5} ft., unb oerfauft 1 ßub. m burcfifcfjnitttidj um 6| ft.; mie oiet geminnt er, wenn er 14ft ft. SfebenauStagen Ijat? 3>i»i|ton eines gärndjes bnrdi eine nanje gaßr,, * N §. 41. Sin ißrud) wirb burcf) eini#ganj-e galjt btoi= biert, inbem man entmeber ben ^aljter burc| ^ie bibt= biert ober ben Sfenner mit berfetben muttipficieß iö?3). 3-©• 1) I : 4 = _ 8 9 4 1 m-- — = |rebets ; 68 8 . A 9 * ^ 8 -- _ 2 l 9x4 _ 3 G “ 9- £)a$ erffe aSerfaf)rert ift nur bann antnenbbar, tnenn ber 3^^fer burd) bie ganje 3 a *)t tljeitbar ift . 2) 131 : 9 = V : 9 = | = .li. 3) 81 : 10 = 8 10 7 1 8 0 * 3 4) i? : 8 = f-Jf = A obcr lür^er ^ : 8 Aufgaben. — JL ~~ 5 0* 8» a) 17908JI*- : 137 = ? b) 24170*51 : 865 = ? 9. S3Bie nie! ift ber 12. £pei£ non £, oon li, 31, 15i?, 1224^? 10. Ubbiere ben 4ten, ölen nnb 6ten Xfy il non 23f. 11. 3Bie grojs ift ber Unterf^ieb jtnifdjen bem lOten unb 12ten Stpeite non 108^,-? 12. 100 Sitogr. loften 58 f- fl.; tnie f)ocf) fommt ein Äifogr. ? 13. Semanb lauft ba$ ©utjenb ©eibentücfjer um 17| ft; tnie tjoä) fommt ein ©tüd? 14. 48 Bieter foften 1581 ft.; tnie niet foftet 1 Sfteter? tnie podj fommen 2, 7, 13, 4L SJZeter? 15. Sin ©ampftnagen legt in 5 ©tunben 159^ Nitometer jurüd; mie niet in einer ©tunbe? 16. SBenn 1 «fjeftoliter SBein 24 ft. foftet, tnie niet §eftotiter befommt man für 63.i ft., tnie niet für 90:? ft, für 290^ ft-? g^ufftprication mit einem S&rudie* §. 42. ® fei 4 mit | ju muttipticieren. 9iad) ber attgemeinen ©rftürung ber SKuttiptication fottte man 4 j?maf afö ©nmmanb fe^en, tna^jebod) feinen ©inn pat. 9)?an ift baljer genötigt, bie Srftärung beS äßuttipticierenö fo ju ertneitern, ba§ fie aucfj für bie 33rüdje antnenbbar tnifb. W > 69 Um 4 mit 3 ju muttipticieren, muß man 4 3mat at$ ©ummanb fefcen; um 4 mit bem 5ten Speite Don 3 3 U muttipticieren, mirb man nic^t 4 fetbft, fonbent nur ben 5ten Speit Don 4 3mat afö ©ummanb ncpmen; fomit 4 X I = + -t + t- = 1 X 3 = V 2 - Sine 3 apt mit einem -Sritcpe muttipticiere'n peißt atfo, fie burdp ben Lettner bc 8 SrucpeS biDibieren unb ben Quotienten mit bem ßcipter muttiptieieren. £>ie SRuttiptication mit einem S3rucpe feptießt bemnaep jmei SRecpnungen in fief), eine Sioifion unb eine ÜDtuttiptication. SMcfe Sebeutung ber 3)iuttip(ication mit einem 23rucpe läßt fiep am beften an Stufgaben mit benannten 3apten auffaffen. 3- ©• 1 SD^eter foftet 4 ft., mie Diel foften ? SReter? — | SWeter foften 4 fl* x 2 Sa 8 biefeö ^ßrobuct bebeutet, erfiept mau, menn man bie Aufgabe auf bie geroöpnticpc SJBeife auftöft, nämtiep: 1 ÜJfeter foftet 4 ft.; } SEReter foftet ben 5ten Speit Don 4 ft., atfo ; | SCReter foften 3mat fo Diet at$ } 2)?eter, atfo x 3; mm 'ft 4 ff. X | = - 4 t - X 3. 3ft ber Bäfjfer be$ 3JtuftipficatorS 1, fo rebuciert fidf) bie 9tecf)= nung auf eine ®ioifion; j. 38. 7xi = 7:2;8x| = 8:3; 11 X | = 11 : 4. Sine 3af)f mit . . . muftipticieren, fieifjt ba^er fo üief, als: bie 3°f)t burcf) 2, 3, 4 . . . biöibieren. £>at man einen fflrucf), j. 38. mit einem 3Brud)e | ju mufti^ pikieren, fo ift b. f). in bem Sin man ber 9te £f)eil öon -g- unb baS 7fatfje oon 5x9 4X7 5X9 alfo t X i = 5x9‘ 4 X 7 _ 28 5 x 9 45 ’ IBrucfj mirb mit einem 33rucf)c mufttfrfi/nrY, Böller mit Bäfjfer, unb Kenner mit Rentier mnftipficiert unb baS erfte ißrobuct afs Böfffer, baS jmeite afs Kenner annimmt. 70 Aufgaben. 9 ♦ ♦ 5_ 1 2 öoit 68^? ' ** l D O i w 17. 9807|^| X B796iff T - 18. 8138JIH X 4925IIH 19. 2Bte oiet ift f, »wie Diel f, 20. 2öie wie! ift } be® UnterfcfjiebeS 194g- — 8f ? 21. SBie bief beträgt i f unb f boit 13* jufammengenontmen? 30 2 13* = 6 9 5 6 9 5 6 9 5 69 5 X I X f X 3 4 — u> ~ 1 0 — 4 6 5 — %0 ’ — 20 4 1 138 184 207 6 9 5 X 23 1 2 5 2 9 20 — 529 — 20 | öort 55, 5 ? 4 u = 26^ = 26 A. «tojer: i + I + f = ft; . 22. Um »wie Diel ift {- bon 65® größer als 23- <5in gieltofiter SBeijett »wiegt 76 Sifogr.; »wie bief »wiegen 6|- $e!tofiter, »wie bief 7f, 101, 17-& £ c ftofiter? '24. ©er gläcfjeuraum bon Ifieberöftcrrcitfi ift 198|0 Mm , ‘i baoon betragen bie SBafbungen; »wie bief $fäcf)enraum nehmen biefc ein? 25. 2Bie bief Sieter betragen 115®- §)arbs ä ff Sieter? 71 26. Senn ein Bieter 5^ f(. foftet, ir>ie oiel foftcn 2±, 3f, 6| HJieter? 27. ©ter ^erfoiten tfjeifen eine Summe oon 745j? fl. fo unter einanber, baf$ A B f, C -J-, unb D ben 9ieft befommt; mie oiel fommt auf jeben? 28. GS roerben 136£ £>eftoliter Sein ä 23* fl. getauft, A erhält banon {, B C J, D mie nie! ntug jeber bejahen? 29. 3Bte Diel liegen 23 Dierfantige Gifenftangen öon 25|- dm Sänge, 2^ dm ©reite, 1 % dm ©iefe, tpetm 1 Gub. dtn Gifen 7^ Silogr. roiegt ? 30. Gin 9ted)tecf ift 36f m lang unb 28! m breit; mie groß ift feine glücke? ’ •< 31. Sie fjoefj mirb ein ©arten, meldjer 62’J- m lang unb 23fö m breit ift, ju ftefjcn fornmen, wenn ba$ □“ mit 2| fl. bejatjtt ttrirb ? 32. Gin red)tuünfligeö ©efäß h at l^ m Sänge, 1J” ©reite unb r 9 G m £iefe; mie groß ift ber Qnl)alt? 3>itnfion burd) einen SSrudn §. 43. $m Sinne bcS 3)7effenSie oft ift * in 12 ent¬ halten? — Gntmeber: 12 =r 6 5 °; * ift in c 5 ° fo oft enthalten, als 4 in 60, man fyat alfo: 12 : : * — 60 : 4 — 15. Ober: -J- ift ber 5te Xfy eil oon 4; baher mirb * in 12 5mat fo oft enthalten fein als 4. Um baher gu erfahren, ttrie oft -J- in 12 ent* halten ift, unterfu^t man juerft, mie oft 4 barin enthalten ift, b. i. man bioibiert 12 burd) ben 3äf)fer 4, unb nimmt ben erhaltenen Quotienten 5mat, b. i. multipliciert ihn mit bem -Renner 5. GS ift baher auch 12 : * = V 2 X 5 = 15. Qm Sinne beS STheitenS. 3Me Aufgabe, 12 in J- gleiche SCheife äu theilen, h at leinen Sinn; man ift baljer genötf)igrtv ?ben urfprünglicheir ©egriff beS ^h e ^ en ^ fo ju erweitern, baj* et efttö}\ für ©räche anmenbbar mirb. Sirb 12 in 4 gleiche fo muß ein fold;er SChetl 4mat genommen 12 geben; 12rftV £igCei#*> j Steile theilen, heißt baher auch fo Diel als: eine £at}l r^n:^h&$jk! 4mal genommen 12 gibt. Oft nun 12 burd) gu biDibtefttr,. fo, .fiftffr man gmar nicht fagen, 12 foK in ± gleiche Steile gereift merfr&C; 72 wof)t aber: e$ fott eine gefudf)t werben, tttefdfje fmat genommen, b. i. oon melier ber 5te SCf)eit 4mat genommen, 12 gibt. 5Die 3 a t)l> welche 4mat genommen 12 gibt, ift l*; bie 3al)( aber, oon wetdjer fdjon ber 5te Cfjcit 4mat genommen 12 gibt, ift 5mat fo grop, atfo X 5. SKan Ijat baf)er 12 : 4 = V* X 5 = 15. üftag baljer bie ©ioifion atd SWeffung ober atd STgeitung aufgefapt werben, fo gilt bie Grrftärung: ßine 3 a t)t burif) einen Srud) bioibieren tjeijjt, bie 3 af)t burd) ben 3«I)fer beö iSrudjed bioibieren unb ben Quotienten mit bem Kenner muttipticieren. 2 Jtan tfat 5 . ©. 8 : 5 — |X 5 = 8X5 3 <5$ ift aber auef) (5$ gibt atfo 8 : | biefetbe 3# wie 8 X Ittlh . 3 4 ss 5 uuv 7*5 ff ft ft - f y\ 3* 3)2an !ann baffer audf fagen: gine 3af)t wirb bureinen iörud) bioibiert, inbent man fie mit bem umgefef)rten ©ioifor muttiptkiert. Sndbefonbere ift 7 : | = 7 X 2, 8 : j = 8 X 3, f : f = f X 4. @ine 3»^t burcf) J-, },\ . . . bioibieren, ffeifjt atfo fo oiet, at$: bie 3 Q f)t mit 2, 3, 4 . . . muttiptideren. §äufig treten bie SMtiptication unb bie Cioifion ber tSriidfe mit einanber in 23erbinbung auf. fei j. 23. -fr X | burd) -f} ju bioibieren. 3J?an f)at 3 7 X 3 X IZ _ ^3 40 X 8 X 11 ~ I76 ' 73 2)er Quotient wirb nidjt geänbert, wenn man ben 2>ibibenb unb beit JDioifor mit berjefben 3 a (Ö multipliciert ober burcf) biefefbe $af)f bimbiert. SWufti* pficiert man f)ier 2)ioibettb unb 2)ioifor mit 10, fo fällt 10 als Kenner im 2)iotbenb weg, fommt bagegen aI3 gactor in ben £>ioifor. (Sben fo wirb burcf) bie SMultU plication mit 8 ber Kenner 8 be§ 2)iüibettb3 afö gactor in ben Söoifor, unb burcf) bie 3Jtultiplication mit 11 ber Kenner 11 be3 2)iuifor§ afö gactor in ben 2)ioibenb gebracht. 2)er baburd) entftanbene 23rud) wirb fobann burdj 5 (rooburcf) 10 unb 15 teilbar ftnb) abgefür$t. Söenn gcmtfcfjte &cü)Un Dorfommcn, fo merben fie ju unedlen Srücfjen eingerichtet; 5 . S. 21 X 3 3 5 ~ if ~ Slufgcben. 1 a) y 2 . _ix ) 8 5 g X 1 8 X 2 X g X — 3 6 = 5f 1 5 7 . 3 10*5 3. a) i| 4. 3 : 2i . 1_ • o — 9 ' ♦ = X JLX — 9 s O b) 10 : | = ? c) 15 5 8 — 9 5 3 5) t 3 X V x JL — 9 IO“* 2 = = i-l. 9 . _3_ — 6*20 I = 11 V = 151- c ) 52*11—9 64 * 32 — * Jrn 17 11 • JLL — w ' 2 1 * 12 — — 9 b) 7| 32/L = ? b) 37= : 0 235 - ? b) 32587*1 : }| 0 b) 1728 325 JJZ — 9 6 28 5713 7 250 5. 7| : 6. a) 138 T ’ 7- a) 18| : 2i = ? 8. a) 052 : 3* = ? 9. a) 251 : 15^ = ? 10. a) 29607:1202^V = ? 11. a) 20 X | : i = ? 12. a) 25= X 214| : f = ? 13. a) 18141 x 100' _ ? 51 X 573711 - • 14. 33on melcfier 3af)[ betragen = genau 100? 15. SßelcfjeS ift bie 3af)l, oon »elc^er 3 gerabe fo ötel ift als b) 7 t =3 X 21 : 6 3 = bj 319 3 X | : 7i = b) 43| X 32 X 121 28f x 28 9 V = ? 1 oon 231? 16. 23on tüefcf>er 3af)t betragen |i um 72= mefjr als -i 3 oon 5881’ ? _3 25 weniger 17. SBetcheö ift bie 3al)l, öoit melcfjer um 15 betrogen als ££ non 2358f£? 18. -Semanb oerbient täglich f fl.; toie (äuge roirb er jwflbeitm mögen, um 19£ fl. ju uerbienen ? 19- SBcnn -} 9JJeter 4! fl. foften, mie Ijodj fommt 1 Bieter foft. V ' fl* 3 Ipj s 1 ■ — " — 8 1 // tt fr rt o 3 5 V fl- = 4! fl. i £ • /. 74 20. (Sin Slder, melcfyer 5} §cftar enthält, mirb um 1820 fl. verlauft; mie Diel Eoftet 1 £>eltar? 21. SBenn ein £)ampfmagen in 5 T r 5 ©tunben 228} Silometer guriicflegt, mie oief Silometer legt er in einer ©tunbe jurüd? 22. 4} Stlogr. Segiermtg enthalten 3£|-} Sil. feinet ©otb; mie tuet tanfenbttjeilig ift bie Segiermtg? 23. (Sin £eltoliter nimmt (Sub. ra 3taum ein; mie öietfjefto* titer faföt ein gaf$ öon 2}} Sub m 3nf)alt? 24- (Sin 9led)ted l)at 222|-C m gdäd)e; mie breit ift baSfelbe, menn bie Sänge 16}“ beträgt? 25. 2Sie niet loften 8|- £>eltoliter, menn 2| £>eltoliter 47} fl. loften? 26- Söewt 6} SReter 28} fl. foften, mie Ijodj fommen 9} SDZeter? 27. (Sine ®öfe, meldje 4} ®e!agramm ferner ift nnb 750 SEaufenbt^cile feinet ©über enthält, Eoftet 15}. ff.: mie treuer mirb ein ©efagramm feinet ©ilber gerechnet ? 28. 3emanb lauft 45} äfteter Sud), baS SDteter ju 5|- fl.; mie treuer mufj er ein ©feter oerlaufen, um im ©anjen 29-^ f(. ^ genrinnen? 29. 3£ie l)od) fommt eine SJiaüer non 78f- m Sänge, -^ m £)ide nnb ll} m £>ölje, menn 20 Snb.“ mit 163} fl. bejaht merben? ^tcber^ofung$attföaßctt. §. 44. 1.* ©ringe fofgenbe ©rüdje auf ben lleinften 2lu$brucf: _8 J_2 18 2 0 1_ 5 1'^ 24 1 4 3 5 5 0 7_5 12' 16' 2 0' 24' 2 5' 27' 3 0/ 3 5' 50' 6 0' 10 0* 9*2 4_ 1. 4 I JL . 2 _l _9_. 3. _I 2 . I _1_ 11 3 * 6 ’ ^5 I 27 5 ‘ 101 4. T 5?3l 12* 3* 2’ + I-; 18.1 + 5«; 7{ + 9 r V; 42| + 19/,. 4 * {- Bon 240, 360, 128, 76, 192, 276, 104, 332. 5. * i Bon 420, 246, 348, 150, 204 357, 5114. 6. * | Bon 150, 205, 350, 78, 112, 47-!,, 108*.' 7- SDiBibtere 179820 burd) jebe ber galten: a) 12, b) 18, c) 23, d) 37, e) 45, f) 89. ■8. ©tötbiere burd) 68 jebe ber Rafften : - a) 30590, b) 122604, c) 378935, d) 790264. 9-.®er SBafferfpiegel eines Uluffes liegt bet A 2478”, bet B 1938"" über ber SOJeereSfläcEje; wte grojj ift fein ©efälle Bon A bis B? 75 10. Sin Saufmann erl)ült 6 Raffer Saffee; baS Faf$ A enthält 1241- Sitogr., B 126^ Äit., C 120^ Stil, D 118f Stil, E 117-2- &tl., F 119J Sit.; nne nie! Sitogr. fxnb es im ©aitjen? 11. Stuf einer Sifenbaljn mürben im Fahre 1875 1250855 ^erfonen beförbert; mie uiet famen bnrcf)fct;nittticf) auf einen Jag ? 12. 9J2ad)c fofgenbe 33rücf)e gleichnamig: a) 3 J _9_ 2 3 . 5 ' 2' 2 0' 9 ' 4 y 11 3 3 7 . W 70' 25' 1 1 1 1 16' 24' 2' 12 5 7 1113 6 0' 80' 56' 13. 102 r \ - 14. 755| 9 - 15. 23entmnbfe in Jecimalbriiche: 27j i. 17t « Ä * 2 0 ' A l 3 283|f; 2015i- b) - 5 -- i 3' fl ) 3. _ ___ _ u ' 4' 9' 1 2' 3 0' 80' 100* 374; 251^. 19 . 3 6 ' 1 739f»; 1234|| 94H; 807’f. a) b) 3 9 7 J_7 2 1 IQ 9 31 7X_3 1 Ql 3 5 7.. 5' *8' 20' 25' 1 6' 40' ‘ ^ 1 2 5 ' ^3*fcf 64' 5_ Q 18 4 0 76 1fU 1 *=>1 2 9 3J fi2 1 1 11' U 3 7' 4 1' *7' AV/ |3' ^6' 3 3' 7 4*' u 440* 16. Sin ©olbarbeiter legiert feines ©otb, ©otb non 800 unb 540 Jaufenbtt)eilcn ©etjatt ju gleichen Jheilen; melden Feingehalt enthält bie Regierung? 17. üWan legiert 3 Sifogr. ©otb, baS 125 Jaufenbtheile Supfer enthält, mit 5 Sit. ©Uber, baS 164 STaufenbt^eilc S’upfer enthält; mie nie! Snpfer ift in jebem Sitogr. ber Regierung? 18. 2Ba$ ift northeifljafter, 8 6 9 T Sitogr. einer Söaare für 16| fl., ober lOf Sit. berfclben SBaare für 22^ fl. einjufaufen? 19. A nimmt täglich 4^ ft., B 3|| ft. ein; rote nicl nimmt jeber non ihnen in 25 Jagen ein, um tote niel A mct)r als B, unb roie niel nehmen beibe jufautmen ein? 20. A gibt ben 4ten Jhetl non 1135| ft. aus, B ben 5ten Jhetl non 1731| fl*; roie niel legen beibe jufammen auS? fL 21. 1 SiterSBein roiegt f* Silogramm; rote niel roiegt ein Fafs, ISafe» 204 Citer JBetn enthält, roenn baS leere FßfS 331 Silogramm roiegt? 22.* 2Jiacf)e folgenbe Srüche gleichnamig; 23. * | 24. * 3i a) l unb |; b) f unb ; c) f| unb ^; 5 » f \ 9_ 7 11 6 ' 1 * 0 ' 1 2 ' 2 0 * 4 - A\ a 3 i* p\ x 1 U ' 3' 4*' 8' W 2' 4' 1 5 2 . 4 3 ' 5 H; 4 3 1.7. 2 ' 10 — 27 9 x* 4 ’ — * 64 1 1 0 ' U ^6 t; io - 551; 873 a/ £ ■ 25- a) 30627 X 30695 = ? b) 84091 X 35ft>£ > 26. a) 71904 X 47081 = ? b) 37925 X 8502#] =?? !* 27. a) 31062 X 90704 = ? b) 24831 X 39,sT? i k/'- ?V 76 28. Seredfjne abgefitrjt in 3 ©ecimafen: a) 8-073 X 0-6504; b) 0-578 X 97 65; e) 5-0793 X 00849; d) 0 6087 X 0 6087; e) 25 3418 X 12-0972; f) 1-045 X 1045 X 1’045. 29. öeftimme mit 2lnit)crtbung oon SSortfjciten: a) 13725 : 25; b) 2971625 : 125; c) 78286 : 33^; d) 595486 : 12^. 30. * Sin Sirt!) jopft ein gä§d)en Sein non 75 8iter in glafcfien ab, beren jebe £ Sitcr faßt; wie nie! fflafdjen Sein erhält er? 31. ©ab 8icl>t legt ben^Seg oon ber ©onne 3 iir Srbe, b. i. eine Sntfernung non 20657700 geogr. Steilen, in 493-22 ©ecunben jurittf; Wie oiele JDMlcn itt 1 ©ecunbe? 32. 23on jwei ©arten ift ber eine 47-34“ lang unb 1032“ breit, ber anbere 30'56 m lang unb 9 65" breit; a) wie groß finb beibe ©arten äufammen? b) um wie Diel ift ber erfte größer alb ber jweite? 33- ©udje bab größte gemeinfdjaftlidje 9Jtaß oon a) 372 unb 1032; b) 3276 unb 9867; c) 11968 unb 23744; d) 80219 unb 172843; e) 435, 522, 667; f) 3828, 5858, 8845. 34. a) 50i? X 25; 125- 3 \ X 48; 348£ X 824; b) 39 X 8f; 209 X 17 T »-; 368-32 X 19££. 35. 38^ X 45lf; 49l| X 57#; 87ff X 91 36. 93erroanble fotgenbe ©ecimcttbrüdje in gemeine Srütfje: a) -0*8, 0*15, 3*45, 0 05, 7*35, 1616, 0*125; b) 4*725, 0*075, 31*696, 0*256, 0*0325, 8*1375. J; l 37. 2Bie gro£ ift bic Summe non fünf 3ctt)fen, non benen bie erftjf 731f±- nnb jebe fofgenbe um größer ctt$ bie norfjergefjenbe ift? 38. ©ie mittlere Entfernung ber Erbe non ber Sonne ift 20657700 geogr. Ketten, ber 23enu$ non ber. Sonne 14942334, unb be$ Kerfur non ber Sonne 7996596 -Ketten; um mie niel Ketten finb bie Planeten 23enu$ unb Kerfur ber Sonne näljcr, ctt$ nufere Erbe? 39. J3emanb I)at 18*%% §eftar Sldergrünbe, 19^| §eftar Sßiefen, 13^ £)'eftar SBalbungen unb lf££ §e!tar ©artenfanb; mie grof ift fein ganzer 3Sefi£ftanb? 40. Ein SItfer ift 185“ fang unb 137“ breit; um mie nief ner= größer! ftdj fein gfäcbenraum, menn bie &änge um 18“ unb bie 23reite um 24“ nermeljrt mirb? ; 41. Ein Söafferbefjälter ift 2*52“ taug, 0*75“ breit unb 0 39“ tief;* tote nie! ^eltoliter faf$t er, ba 1 §eftoIiter 0*1 Sub.“ enthalt? 77 42.* 2SeIcf)c$ gcmeinfcfiaftUdje t;aben fofgenbe 3af)fen: a) 24 unb 32; b) 28 unb 35; c) 60 unb 90? d) 26 unb 39; e) 60 unb 84; f) 120 unb 144? 50. ®er §albmeffcr eines SretfeS ift 4*157 dm ; lute grofc ift a) fein Umfang, b) fein glädjeninljalt? (3 £>ec.). 51. Gzin Saugrunb irirb um 728Jg- fl. berfauft; luie Diel Q m ' enthält er, menn baö □“ mit 15| fl. bejaht luirb? 52. 3 1 025' 44 8 2' 4 625' 34 5 0' 7 8 00' 945 0* 64. Um wie tuet ift ber Unterblieb 37 T 5 6 - — 11® größer at$ ber Unterfdjieb 28-^- — 19 r ^? 65. ©iüibtere a) 89990166, b) .2149*09526 burd) jebe ber 3a{jlen m) 599, n) 25*039, o).364*13. 66. ©ne Safferpumpe lann baS in einer ®rube enthaltene Saffer in 15 £agen, eine anbere in 12 £agen [)erauSfd)affen; ruefcfjer Zijdl be3 SafferS mirb üon beiben ©lafdjinett jufammen in einem ©age herau$gepumpt? 67. ©n 35tanger itnb 17| m breiter ©arten mirb üerlauft; mte tuet nimmt man bafür ein, trenn baS 2tr mit 16* ft. bejaht mirb? 68. Sitte Summe non 2952 ft. fott unter üier ^ßerfonen fo getfjeitt tnerben, bag A B C nnb D ben 5Reft ertjätt; mie riet fomrnt auf jebe ^perfon ? 69. 33on fotgenbert SKetatten micgt 1 ©tb. dm in Sttogrammen: Sßtatina 22^, @otb 19JL, ©lei 11$, ©Uber 10i, Tupfer 8f; um raie riet ift 1 Sub. dm jebeS ber üorangehenben 9)?etaffe fernerer, a($ eine ©tb. dm jebe$ ber fotgenben? 70. -Öetnanb mifdjt 2£ £>eftotiter Sein, motton ba$ Siter ^ 9 5 - ft. foftet, mit 4-^ §eltotiter, moüon ba§ Siter ^ ft. lüftet; mie riet ift a) bie gange SDWfc^img, b) jebeS Siter ber aftifdjung trert? Vierter ilßfdhttff $as iMjnett mit metjrttamtq licnannten Baljlett. I. Itlafff, (gnuidjtc unb Utiinjcn. §. 45. Sie 3af)f, wetd)e angibt, toie biete Sintjeiten einer niebri* geren SSenemtung eine Sinljeit ber Ijöljeren Benennung Silben, tjeigt bie SSertoanblungSäaljt. 3ioifcf)en ©utben unb Sreujern ift 100 bie 3?ermanbIungS$af)f. Sie toidjtigften iDia&e, ©etnidjte mtb 2)?ünsen fammt itjren 33er* manbtung^o^en entsaft bie fotgenbe 3 u f a t«nrenftellung. 1. Jett- nnb SStnfieftnaße. §. 46. Sie ©n^eiten jur 3 eit 6 e ft immun g finb 3af)re, Monate, 3Bocf)en, Sage u. f. f. ©n 3al)r ijat 12 SÜJonate, 1 SJtonat toirb in ber 3' n8ä redjnmtg gerrö^nlicl) ju 30 Sagen, fomit baS 3al)r ju 360 Sagen an* genommen. 3tact) bem Satenber fjat ber gebruar 28 ober 29 Sage, SIpril, Suni, (September, 9?ooember Ijaben je 30 itnb bie übrigen äJtonate Ijaben je 31 Sage, jo bajj auf ein gemeines 3af)r 36 ein Scfiattjaljr 366 Sage fommen. Sine 393 o dj e fjat 7 Sage, 24 Stunben, 1 Stunbe 60 SJJinüten, 1 Minute 60 Seo^/eti Ser Umfang eines jeben SreifeS toirb in 360 ©rat&fwfgs* ^ t^eitt. Sebent 33ogengrabe entfpricfjt am SJiittelpunfte besl^iergfs ein 3öinfef, roeldjer gteicEjfaüS ein ©rab genannt toirb. Sin jßÄ'aö J\£ f)at 60 üOZinuten, 1 Minute (0 60 ©ecunben (")■ %\ , 80 2. JSafjfmaße. §. 47. Sin @ d o d fjat 60, ein <3 cf) i1 l i rt g 30, ein 501 a n b e l 15, ein £)u£enb 12 @tüc£. (Sin ©unb Gebern finb 25 3tü& (Sin ©allen Rapier hat 10 9fie§, 1 Wieg 20 Sud, 1 ©ud 24 @d)reibbogen ober 25 ®rudbogen. SKufjerbem beftef)t aud folgenbe bectmale (Sintheilung: 1 9iie§ Jjat 10 Sud), 1 ©nd) 10 £>efte, 1 §>eft 10 Sogen. 3* pas fratt metxifd)C g&aßfpßem. §. 48. Sie ©runb ein heit btß metrtfden ©üftemS tft baß Sfteter, meldet man al§ ben jetjmntttionften STtjeit ber Sänge eines (SrbmeribiamQuabranten angenommen hat. £>aS Steter tft bie (gtnfjeit btß SängenmaßeS; bte (Sinheit für baß allgemeine ftlädenntafj ift baß Quabratmetet, für baS ©obenfIäd)enma§ baS 21 r = 100 Quabratmeter; bte (Sin* heit für baS allgemeine Körpermaß ift baS (Subifmeter, unb für baß ©etreibe- nnb glüffigfeitSmafi baß 8iter = y^Vö Snbü- rneter. Sie (Sinheit beS®emidtSmaf;e$ ift baß ©ramm, b. i. baß ©ernidjt beS in giter enthaltenen beftißierten äöafferS bei 4° btß lOOtheiligen 2dermometerS. £)ie Sietfadjen unb Unterteilungen ber Sängern, gläden*, Körper* unb ©emidtSmafje merben nad bent ©ecimatfbftem gebilbet, inbem man uor ben tarnen ber (Sinheit bei ben ©ielfaden gried)ifde, bei ben Unterteilungen lateinifc^e 3ahltoör.ter fe^t. (SS mirb nämlich baS lOfadje ber (Einheit burd baß oorgefe^te äBo.rt £)efa, baS lOOfade burth §efto, baS lOOOfadje burd) $ito unb baß lOOOOfade bnrcf) •Bihria, bagegen ber -lOte Stheil ber (Sinheit ber baß oorgefe^te äßort ©.eci, ber lOOfte STheil burd Sen tt r burd lOCOfte Steil tyrd SKilt.i auSgebrücft. §iernad baut fid baß metrifde Äffern auf folgenbe-SEBeife auf: . ©ielfade ‘Mtyxia Silu §efto 2)e!a 10000 1000 100 10 (Sinheit Bieter, 9tr, Stter, ©ramm Untertheifungen Seci (Senti mm 1 _L__ JL_ T'ö i o o looo 81 Önöbefonbere Ijat man für baö 1 SDiljriamcter ( Mm ) 1 Sitometer ( K,n ) 1 $eftometer ( u,n ) 1 ®efameter ( D ”) 1 ÜDieter (Zinljeit) ( m ) 1 SDecimetcr ( dm ) 1 Zentimeter ( am ) 1 Sltillimeter ( mm ) 8 ä n g e n m o §: gür baö allgemeine f$fläcfj enntafj ift 1 = lOOOOOOOO 1 iI) Km = lOOOOOO 1 D^j= 10000 ra om = ioo ii r f gitr baö Sobenflädjenmafi £)at man 1 Sfttjriar (Ma) = 1000000 □ 1 ftcltar (Ha) - 10000 -1 Sir (Zinfyeit) (a) = 100 1 Zcntiar (ca) = 1 gür baö allgemeine Sörpermafj ift m ff 11 11 i i i i i i i i Mm Km Hm Dm K ra (Zinljeit) = dm cm mm 1000000000000 Kl 1000000000 1000000 1000 1 0001 0000001 o-ooooooooi m ff ff 11 11 ff ff ff ff 1 1 1 2Uö gioljlmag Ijat man 1 filoliter (Kl) = 1000K dm 1 £>cttoliter (Hl) = 100 1 ©efaliter (Dl) = 10 gür baö ©emidjtömafj ift ■ 1 ÜUttyriagramm (Mg) 1 Kilogramm (Kg) 1 fpeftogramm (Hg) 1 ©elagramm (Dg) = 1 ©ramm (Zinljeit) (g) = Sftocntf, gfritljmettf für llntmpalfdjuün. 10. Sufi. Siter (Zinljeit) (I) =/ Ä üDedliter (dl) = „iH 'C Zentiliter (cl) d&HQi — 10000 ©ramm = 1000 = 100 „ V- • 11 L-J r V ‘ t 10 1 11 fl 6 82 1 ©ecigramm (dg) 1 Zentigramm (cg) 1 SWittigramm (mg) = 01 ©ramm 4. S&afce, $ettnd)ie uitb l&ünjett ber o/lemidjtfdi-ungatifdjen JSTottardjie. §. 49. £)ie neuen öfterretdjifcfjen 2D?ajje nnb ©erntete ftnb bie metrifcfjen, nur mit bem Unterfchiebe, bag jene SJiajjgtieber be$ franjöfifdjen ©hfamS, rnetdje für ba$ praftifdje 8eben nnb für bie 2Biffenfcf)aft entbehrlich erfreuten, in bie öfterreidjtfd^e SKafc nnb ©emichtSorbnnng nicht aufgenommen mürben, nnb bafc in biefer bei ben ©ernteten ba$ für bie *ßra$i$ michtigfte ©Heb, ba$ Kilogramm, bie Einheit bilbet. ^ättgemnaße. a. 9leue Sängenmafce. £)ie Einheit beS 8ängenma§e$ ift ba$ Stfteter. Untertheitungen : ba$ ®ectmeter = Steter, ba$ Zentimeter = 30?eter unb baS 9Ät Hirne t er = äKeter. SJietfadje: ba$ Nito¬ meter = 1000 äßeter nnb baS 2}?hriameter = 10000 Sfteter. b. grühere £ängenmabe. 2)ie ©inheit roar ber gub ober ©d)uf). 2)er gub (0 wirb in 12 3olt (") nnb ber 3°ü in 12 Sinien ('") eingetheitt; 6 gub nennt man eine Klafter (°). 4000 Wiener Klafter machen eine öfterreic^ifc^e $3 o ft m e it e’; 1 öfterr. 3KeÜe = 1*022302 geographibh e teilen; 1 geogr. SDteile = 0-978184 öfterr. teilen. 2113 ©ehnittraaarenmab biente bie ©Ile, metefje in ®at6e, Wertet, Sichtet, ober in drittel eingetheitt mirb. 3)ie Söiener ©Ile ift = 2*46 SBiener gub. c. 23erhältni3 jroifchen ben früheren nnb ben nenen £ängen= nt a b e n. 1 3Jteter = 3-16375 gub j 1 gnb = 0-31608 SJteter 1 Steter = 1*28608 ©tten 1 ©He = 0*77756 SWeter \ 1 Äilomet. = 0-13182 oft. SReil. 1 ö.2Reile.= 7*58594 Nitom. gtfacfienmafce. 4 ^ < a) OJeue gläcfjenmafjc. 5Dte allgemeinen g'iädjenmafje finb bie Quabrate ber Sängen» mäße. 1 Jjat 100 □*" ä 1000000 1 D m $at 100 Q>- ä 100 ä 100 □ ram . 83 Die (Sinkett be$ ©obenflää)enma§e6 ift baS 2lr = 100D“. 93ielfac$e$: baS §e!tar = 100 2tr. b. grünere Sängenrnaße. 1 Duabratflafter (Q°) fjat 36 iQuabratfuß (□'), 1 Quabratfuß • 144 Guabratgott (Q"), unb 1 Cluabratgotl 144 Ctuabr attini en (□"'); 1 Quabratmeile enthält 16000000 Q°; 1 öfterr. Qäftetfe = 1045102 geogr. □ teilen; 1 geogr. D^eite = 0*956844 öfterr. Qteilen. 2)a§'3od) gu 3 3ttefcen Stusfaat f;at 1600G 0 . c. SerfjältniS groifdjen ben alten unb ben neuen gtäcf)en= ma|e n. i □» = io*oo93i □ guß i CDguß = 0 09991 □** 1 □ Mm = 1*73773 ö. □ Seiten 1 ö. D^eile = 0*57546 (D 5Im 1 §eftar = 1*73773 3od) 1 $$od) = 0 57546 ©e!tar. <$törperma&e. a) 91eue Körpermäße. Die allgemeinen Körpermaße finb bie SBürfet ber Sängenmaße. l[x] Mra = 1000^ Km ä 1000000000^] m ; l^ m = 1000[X] dm ä 1000^ cm ä 1000[Xj mni . Die ©nfjeit beS §of)fmaße3 ift baS Sit er = l^ dm Untere ttjetfwtgen: Das Deciliter = 8iter unb ba8 Sentititer 10 0 Sitcr. 23teffac^eS: $eftoliter = 100 Siter. b. grünere Körpermaße. 1 ©ubüftafter = 216 ©ubiffuß, 1 ©ub.' = 1728 ©ubifgoll, 4 ©ub." = 1728 ©ubiftinien. Seim ©etreibemaße batte man folgenbe ©intfj eitun g: 1 üftut bat 30 2}teßen, 1 23teßen 2 £atbe, 4 Siertet ober 8 Siebtel j 1 Stotel m 2 3JÜillermaßet ober 8 guttermaßet gu 2 Sedjer; 1 SRefeett ßat 1*9471 ©ubitfuß. ^)a§ glüffigteitömaß ßatte nadjftebenbe Sermanblung^gaßlen: 1 guber Sßein = 32 ©imer; 1 gafs> 2Bein fjat 10, unb 1 gafg Sj/fc. x'' 4 ©imer; 1 ©imer = 40 3ftaß gu 4 ©eibet; 1 ©imer fjat 1*792 ©ubiffuß. \ r ^ «** c. Serßältni§ groif^en ben atten unb ben neuen Körpermc$£ij. » •* 1 r 1 ©ub. m = 31*66695 ©ub. guß. 1 ©eftolit. = 1*62637 SReßen 1 $efiotit. = 1*76713-©imer 1 Siter = 0*70685 3Raß - Vi*- 1 ©uB. gufc = 0-03158 6uB.' n 1 3fte|en 1 ©imer 1 23laß = 0*61487 ©eftot. f 1 = 0-56589 §eftof. V.' = 1-41472 Stier. ^ 6* 3 . a) 9?eue ©emicfjte. Sie Einheit beg ®ett)i$teg btfbet bag Ätfogramm, gleich bem ©erntete eine^ ©ubifbecimeterg (8iterg) beftiflierten SBafferg im luft* leeren SRaume bei ber Temperatur Don 4 ©rab beg lOOt^eiligeit Thermometer^. Unterteilungen: Sag Sefagramm = ^ Kg, bag ©ramm — jöVö Kg, bag Secigramm = ©ramm, bag ßentigramnt = ©ramm unb bag SRütigramm = ©ramm. 35ietfad)e^: bie Tonne =r 1000 Kg. Singer btefen ©emidjten !jftt ctlg ©eroid^töein^eit für ben allge¬ meinen 33erfct)r ber metrifd)e ©entner = 100 Kilogramm 5 U gelten. b. grünere ©eiüid;te. ' Sag § anbet § geratest, ©in (Zentner fjat 100 SBtener^funb (80, 1 $fnnb 32 Sott), 1 Soth 4 Quentchen. Sag SJlarf gemidji, beffen man fid) beim Stbmägen beg ©itberg unb ber baraug oerfertigten ©adjen bebiente. Sie ©infjeit begfetben ift bie Wiener äftart; fie l;at 16 Soth, 1 Sott) 4 Quentchen, 1 Quentchen 4 Pfennige ober Seitar, 1 Pfennig 2 fetter, 1 fetter 128 Sticptpfennige, fo bafg auf eine ätfarf 65536 Stid)tpfennige tommen. ©in Sott) beg SD2arfgemichteg ift etroas fernerer atg 1 Sott) §anbelggeroidjt. Seim 9Mn$mefen bebiente man fiel) früher in Seutfchtanb meifteng ber fölnifdjen 2ftart, meldje etraag teicfjter ift atg bie Söiener 3)tarf; eg gehen nämlid) 6 fötn. 3Äarf auf 5 SBiener 2ftarf. Später mürbe bei ber Slugmün^ung bag gottpfunb, metd)eg 500 ©ramm ober nahe 28} Soth beg SBiener §anbetg= gemi^teg beträgt, gu ©runbe getegt. Siejeg Sßfunb mürbe atg SD2ünggeroicht in 1000 Saufenbtheüe unb jeber fotd)e Sheit mieber in 10 gleicheXheite, metche 31 fg h^ifeen, eingekeilt. - Sag gottpfunb ä 30 golttoil) mürbe aud) bei Sßoftjenbungen angemenbet. ' • Sag Snmelengemicht. 1 $arat = 4 Quroetengran = 48j, SB. Sticht* Pfennige. Sag 3tpothetergemid)t. 1 Sßfunb = 12 linken, 1 Un^e = 8 Drachmen, 1 Drachme = 3 ©frupet, 1 ©frupet = 20 3tpotf)efergran. ©in Slpottjeferpfunb enthält 24, bat)er eine Unje 2 Soth beg £>anbetggemid)teg. • ' % v *> s Sag fpmbotifche ©emid)t gur Prüfung beg ©otbeg unb beg ©itberg. Sie ©inheit mar bie oerjüngte 9flarf, metd)e einen Pfennig beg 3Jtarf* unb 85 ©iI6ergen)icf)te3 entfjätt. Seim <25o(b roirb bie SJfar! in 24 Äarat gu 12 ©räit eingekeilt, unb eS Reifet 3.S3. 23faratig fotd)e§ ©otb, rüeTdje^ 23 ©eroicf)t3tt)eUe feinet ©otb unb 1 ©en)icf)t3tf)eU 3ufafc enthält. Seim ©über tfjeiltman bie Sflarf in 16 £ottj 3U 18 ©ran, unb nennt 3. 23. 13lötf)ig fotcfyeS ©über, in raelcfjem 13 ©enncf)tS= keile feines ©il6er unb 3 Xljeile 3 u f a fc oorfommen. 2)er f^eingcJ^att ber ©otb= unb ©übermüden bei* neuen SBcifjruitg roirb in Saufenbtf) eilen auSgebrücft. ©0 3. 23. enthält ber neue öfterr. ©ulben 900 SaufenbtljeÜe feines ©über unb 100 Saufenbüjeüe Tupfer; fein geingefjalt ift alfo AW ober T V 1 ßilogr. 1 SDefagr. = 0-57137 SB. St§. 1 Äifogr. = 3 56293 SB. SKat:l 1 ©ramm = 4 85510 SB. $arat 1 2)efagr. ^ 0*6 Sßoftlotfj 1 $ilogr. = 2*38070 Stpotl). $fb. 1 SB. Sßfunb = 0-56006 £itogr. 1 SB. Sott) = 1 75019 Sefagr. 1 SB. Wart = 0-28067 ftilogr. 1 SB. Äarat = 0-20597 ©ramm 1 $ofttoty = 1-66667 S)e!agr. 1 Stpotl;. $fb. - 0*42005 5titogr. c. SSerfjältniS jnnfdjen ben alten unb ben neuen ©emieten. = 1*78552 SB. Sfb. $efb unb Sütünjen. 3n Defterreid) regnete man früher nacff ©ulben, ßreugern unb Pfennigen ©onoention3 = 9 Jiün 3e, raornad) auS einer fölntfdjen Sftart feinen ©überS 20 ©ulbett ausgeprägt mürben. 1 ©ulben (ft.) Ijatte 6Q Jtre^er, 1 $reu3er 4 Pfennige. ©eit 1. 9toüember 1858 ift bie öfterretcpif dje SB Sprung, in weldjer aus einem falben Kilogramm feinen Silbers 45 ©ulben geprägt werben, baS alleinige gefe^lidje ©elb ber ganzen Sftonardjie. @in neuer ©ulben wirb in 100 9?eufreujer (fr.) eingekeilt. 100 fl. S. $fl. = 105 fl. ö. SB. SDie gegenwärtig geprägten SKuitjen finb tfjeilS 8 a n b e $*, tljeils Sdjeibe*, tljeilS ^anbeUmünjen. Sanbeömünjen werben in Silber ausgeprägt unb finb: ßwei* gulbenftüde ju 22±, (Singulbenftüde ju 45, unb 93iertelgulbenftü in ©feinen obec SBiener SBäljrung. 100 ft. SB. SB. = 40 ft. 6. 3». = 42 ft. ß. SB. SiefeS (Mb ift jebod; feit 1. 3uti 1858 aufser Um* (auf gefegt. 5. 5>tc wt^tifllten ausfänbifdjen $en>i(fjfe unb ISünjett. §. 50. Ueberficfjtfidje gufammenfteßung berfetben: a. ^ängenmnfie. SDeutfßjfanb. 1 ©tab (Bieter) — ,100 ifteujofl (Sentimeter) a 100 ©trief) iSJMimeter), 10 ©tab = 1 Sette (Defameter). (Sngfanb. 1 2)arb ä 3 $ufj = 09144 2Ret. g"r an frei d), ®aS SR et er, wie oben unter 3. X alte Sttoife f)at 6 ißarifer guj) ä 12 goß & 12 Sinien. i ißarifer guf = 0-32484 3ßet. Stali-en. SD er üftetro, wie in granlreidj. .9tuf«*anb. 1 ©aföen = 3 Sfrfcfßn = 7 gu§. 1 raff. = 0 3048 3Ret. 1 3frf cf) in = 0-7112 aßet. ©tffWeij. 1 Sfafter fjat 6 $np a 10 goß a lOCinicn; 1 fßutfje = '* ' 10 gttf. 1 fc£;weij M = 0-3 3ßet. 1 fcf)Weij. (äße = 0-6 aßet. # 87 b. $efteibcmaße. Siegt) pten. 1 Sr beb oon Zairo = 2*71 £)eftot. £)eutfd)tanb. 1 Zubitftab t)at 1000, 1 ©Reffet 50 Sannen (Siter). Zit glaub. 1 Quarter I)at 8 33ufl)et$ ä 8 @alton$. 1 Quarter = 2*9078 §ettot. ✓ m gr attf'r eidj. £)a$ §eltotiter, tüte oben unter 3. Statten, tote granfreid). 9tufSlanb. 1 Sfdjettoert I)at 8 £fd)ettoerif k 4 SEfdjettoerfa. 1 £fd)et* toert = 2*099 § eitot. ©d)toeij. 1 SKalter tjat 10 Giertet a 10 Storni ober 16 SOJäßtein. 1 -Jftatter = 1*5 §eftot. c. ^rfufjtgfteitema&e. ®eutfd)tanb. 1 gafS (£e!to(iter) tjat 100 Sannen (Siter) a2 ©djoppen. Zngtanb. £)ie £onne für SSSetn ^at 252, für Site 192 ©attonS. 1 ©atton = 4*5435 Sit. gr auf r eidj. ®a$ Siter, toie unter 3. Statten, toie granfreid). 9? uf Staub. 1 gafs f)at 40 SBebro a 10 Srufdjfe. 1 Srufdjfa = 1*2299 Sit. ©djtoeij. 1 Qfpn f)at 100 SDtafc. 1 fdjtoeij. 93iaft = 1*5 Sit. d. <£etuid)te. $)eutfdjtanb. 1 Zentner Ijat 100 $funb (^ottpfunb) a 50 9leu= totf> a 10 ©ramm a 10 £)ecigramm a 10 Zentigramm a 10 •ättittigramm. 2 ^ßfunb finb 1 Sitogramm, 1000 Sitogr. — 20 Zentner = 1 £onne. Zngtanb. ®aS §>anbetS* ober Avoir-du-poids*®etoict)t (ajjp«). : x bie £onne fjat 20 Zentner ju 4 Quarters ober 8 ©tej*f«o8Er 112 ^ßfunb a 16 Un$en k 16 ©radjmen. 1 $fb. adp. £4836T* \ Sitogr. — ®aS Strop^funb oon 12 Unjen a 20 $en|p#ef($tSv \ a 24 ©rainS = 0-3733 Sitogr. | X> |p.| grau fr ei d). QaS Sitogramm, toie oben unter 3. Statten, toie granfreid). rZ'l 9? u ß I a rt b. 1 ^ub tjat 40 ^funb a 96 ©ototnif a 96 2)ottV4 -ruff^ ^ßfunb = 0*4095 Sitogr. ^ " 88 ©djmeij. 1 (Zentner tjat 100 Sßfmtb (gottpfunb) a Quentdjen. k 16 ©djittinge ©eutfdjtanb redjnct in ber @otb»äfjruttg ttacfj fReidjSmart ä 100 Pfennige. 1 gefjnmarfftüdi = 5 ft ö. SB., üafet^TJJarf = i ft. unb 1 Pfennig = | Jtr. ö. SB. ©ngtanb regnet nad) fßftmb ober SioreS (Sterling ä 20 Schilling ä 12 ^ßence ober SenierS. 1 ißfunb Sterling = 101051 ft. ö. SB. in ©Über. grantreid) rechnet nad) grancS k 100 (SentimeS. 1 granc = 0-405 ft. ö. SB. ©riedjentanb regnet rtac^ £)radjmen ä-100 Sepia. 1 neue ©racfjme = 0-405 fl ö. SB. gjottanb regnet nadj ®utben ä 100 ®ents. 1 ft. fjott. — 0- 8505 ft. ö. SB. Italien redinet nad) Sire mtoüe ä 100 Sentefimi. 1 Sire nuoöa = 1 granc = 0405 fl. ö. SB. 9torbanteritantfdje greiftaaten redjnen nad) ©oßarS ä 100 ®ent$. 1 ®ottar — 2-0155 ft. ö. SB. in ©itber. Portugal regnet nad) SXlillereiS ä 1000 SteiS. 1 SÖtittereiS = 2 2435 ft. ö. SB. in ©itber. StufStanb redjnet nad) 9tubetn ä 100 Sopefen. 1 ©itberrubet ~ 1- 6192 ft. ö. SB. @i$ in eben redjnet nacf) SReidjStljatern 9teid)Smiitt3e ä 100 0ere 1 9?eief)Stt)aler = 0-5739 fl. ö. SB. ©c^meij redjnet nad) granfen a 100 Wappen. 1 granf — 0-405 ft. ö. SB. ©pa nt eit redjnet nad) ©uroS (ißiafter) ä 20 SReateS. 1 £)uro = 24298 ft. ö. SB. dürfet redjnet nad) paftern ä 40 ißara. ©er SBert eines SßiafferS ift fd)»an!enb unb tarnt nalje = 0-09 ft. ö. SB. angenommen »erben. 89 II.. llcfolmmn unb llebuciercm Pas Slefofuierett. V* §. 51. £)ie Sintjeiten einer tjöljer SeneMiungin ©infyeiten JenerrfTHfieren ober . aufföfen. amtge 3 a f) * wirb in eine ntebrigere Benennung refototert, ittbent man fie mit ber entfprecfjenben ©ermanblungSjafyt muttiptieiert. 3- 33. 9ßie oiet SDiinuien finb 15©tunben? — 1 ©titnbe f)at 60 9Jti* nuten; 15 ©tunben l)aben atfo 15mat 60 9)tinuten; fotgttd) 15 Stunben = 15 X 60 = 900 SDlinuten. 2. Sine mefyrnautige 3 a ^ wirb in bie uiebrigfte Svenennung refotoiert, inbem man bie ßinljeiten ber Ijöctjften Benennung mit ber ©enoanbtung$$at)( für bie näcfjft niebrigere rnut* tipliciert, ju bem ^robucte bie gegebenen Einheiten biefer niebrigeren fflettennung aöbiert, unb biefe# ©erfahren fortfefct, bis man bie uiebrigfte ©enennung erfjätt. 3- 33. 2ßie tuet STage finb 35 3atjre 7 SJflonate 15 tage? 427 x 30 12810 tage +1^ fr 12825 tage. ©anj einfach geftattet fief) ba§ 9?efotoieren, menn bie ©ertoanb* tungSjaljt 10, 100 ober 1000 ift; man barf nur bie ßinfjeiten ber auf einanber fotgenben ©enennungen einfad) neben einanber ftrffen, unb StA ofvnr» fpfifonSptt Qttfpvti Sitrrfi pvfpfjptt Q / *' 1 35 X 12 fürjer 35 3afyre 70 420 9fton. 70 427 jülon. 12825 „ 90 matt fie guerft mit ber BermanbtupgSjaht für bte näcfjft niebrigere Benennung muttipticiert, uttb mit bett im ißrobucte erhaltenen 5Dect= malen auf gleiche SBeife toeiter Oerfährt. 3- ®- 7-625 ©rab = 7° 37' 30". >— - X 60 37-500 —.- X 60 300" ©ehörett bte Benennungen bent $Decimatfhftem an, b. t. finb bte BenoanbtungSjahten 10, 100 ober 1000, fo bitben begöglid) immer eine, jmei ober brei ©ecimaljlffern nach rechts bte nächft ttiebrtgere Benennung. 3- 37-58 ft. = 37 ft. 58 Ir.; 6'05 ft. = 6 ft. 5 fr. 25-236 m = 25" 2 d “ 3 om 6 mm 3-6708 ipeftar = 3 bpeftar 67 Ir 8 □" Stuf biefetbe Strt wirb audf ein benannter gemeiner Bruch in ©anje ber niebrigeren Benennungen oertoanbett. 3- 23- i! y 10 — lji — 0 3 «Y>rm j.3. o; a fi re — 9 Bton 18 2Iaae 60 A — s - *5 ~ uuul - 60 ^agre - a jjc on. io -^age. x 3Q _ 18 £ age> St nf g ab en. 1. SBie oiet ßentimeter finb a) 45 d ", b) 13 m , c) 28“" 7 C ”, d)'4" 8 dm 5'“? 2. SBie oiet Bieter, ©ecimeter, ßentirn. unb Btittim. finb a) 5-047", b) 0 568", c) 7f"? 3. Bertoanbte in D im unb O cm 4. D. a) 15-6614D", b) 0'8904Ll m , c) 7 T V 5 D ra . SEBie oiet □“ finb a) 28 Sir, b) 7 £>eftar, e) 3 £eftar 8 Str 36rp? SBie oiet K° m finb a) 35[x] dm , b) 6 Kl" 317 K dm 6t 6. Bertoanbfe itt §eftotiter, Siter unb ®ecititer a) 23 456, b) 5-086, c) 12 T \ 4 5 §eftotiter. 7. SBie oiet Bfißigramm finb a) 64 Sentigr., b) 31 ©ramm, c) 3 ©ramm 85 BMigr.? 8. SSie oiet ©ramm finb a) 18 ®efagr., b) 7 Uitogr., c) 2 Jfitogr. 73 ©efagr. 5 ©r. ? 9- Sßie oiet Sitogr., SDefagr. nnb ©ramm finb a) 390-358, b) 12-076, c) 0-125 titogramm? 91 10 . 2ßie t>ict $reujer finb a) 8 fl., b) 53 ft., c) 12 fl. 75 Ir., d) 5 ft. 5 fr. ? 11. 3Bte Diel Äreujer beträgt t l, ^ ft.? 12. 2Bie Dtcl ffreujer finb f, }, ft.? 13. 9Bte ütet ®ulben unb Sreujer finb a) 735*98 fl., b) 19-03, c) 0-688 fl., d) 57- 1 fl.? 14. 33ermanble in Secuttbcn a) 57 Minuten, b) 18 Stunben, c) 48 Jage, (\) 4 Jage 18 Stunben 35 üDZinuten 24 Secunben. 15. Sßic riet SDJonate finb f, f, |, ¥ 8 5 Saljre? 16. 353ie mel 3al)re, SCTfonate unb Jage finb a) 5-378, b) 3*888, c) 1 245, d) 2-157 3af)i*e? 17. Sin 3aljr 365*24222 Jag*; wie otel Jage, Stunben, ÜUinuten unb ©ecunbu finb e# ? 18. 33erwanbte in 23ogeufecunbett a) 36', b) 8' 45", c) 37° 54' 28". 19. 3Bte Diel bfcutfdje Sleulotf) finb a; 23 <ßfb., b) 8 Str. 77 $fb. 42 DJettlo ttj? •bringe auf bte niebrigfte ^Benennung: 20. 648 fl. 47 fr 3 <ßf. Souöention^ünje; 21- 319 SJlarf 76 Pfennige beutfdj; 22. 65 $funb Sterling 16 Shilling 9 ^ßence. gtebudereu. §. 52. ®ie Einheiten einer niebrigeren iöenettttung in Sinfjeiten einer Ijöfjereit Benennung rermanbeln, ^eipt jene rebucieren. 1. Sine einnamtge 3 a f wirb auf eine l)öl)ere Se^ nennung rebnciert, inbern man fie burd) bie entfpredjenbe 33er^ wanblungg$al)l bioibiert. 3 * 3Bte riet Jage finb 816 Stunben? Stuf einen Jag geljen 24 Stunben; es werben alfo in 816 Stunben footel Jage enthalten fein, als wie oft 24 Stunben bartu oorfotnmen; mau Ijat bal)er kr 816 Stunben = (816 : 24) Jage = 34 Jage. 2. Sine einnatnigc 3°f)0 welche ©anje oon fjö^eren ~ nennungett enthält, wirb auf ®anje tiefer Ijöljeren 23cnennungc|^ 7 rebnciert, wenn man fie burd) bte 2 $er©anb(ung$$al){ für bie nft<$ffjA fyöl)ere Benennung bhnbiert; ber Quotient bebeutet Sittf)eiten biefer^y l)öl)eren, ber etwa gebliebene 3teft Sinl)eiten ber niebrigeren Benennung. • '* 92 Ser Quotient wirb, wenn eb angeljt, auf biefefbe 2lrt auf bie nädjft ^ö£>ere Benennung rebuciert. 3 - SEBie oiet Sage, ©tunben unb Minuten firtb 5853 Minuten? 5853 : 60 = 97 ©t. 97 : 24 = 4 S, 33 mn. 1 @t affo 5853 2Kin. = 4 STage 1 ©t. 33 SD7in. @anj einfad) geftaitet fic§ biefe iRebuction für bab Secitnafftjftem, inbem mau babei nur immer 1, 2 ober 3 giffern na cf) finfb für fid) afb ©an^e ber näcfjft Ijöfjeren ^Benennung annimmt, je nadjbem bie entfprecfjenbe 23erwanbfungbjaf)f 10, 100 ober 1000 ift. 3- ®- 9347 fr. = 93 ff. 47 fr. 1808 fr. = 18 ff. 8 fr. 4235°" = 42’" 3 ie ©eiten eineg 23ierecf'eg finb: 2" 4 dm 2 cm , 5 m 3 dm 8 cm , 2" 5 am 1-, 4“ l d " 9° m ; wie grof ift ber Umfang? - 6. Sin §)aug Ifat big jur erften ©affentage 3" 5 dm 4 cm , non Iper big jur jweiten 3" 4 dm 2 cm , öon ba big §ur britten 3 m 2 dm 5°", unb enbficf) boit fjier big jum ®ipfef 3 m 5 dm 8 cm §öf)e; wie bief beträgt bie ganje Spölje? 7. Sin ©ecfjged entsaft öier ©reietfe; bag erfte ffat 480" 25Q dm , bagjweite 910 120, bag britte 92C~J m 150, bag oierte 650 180; wie grofj ift bie ganje fffäcfje beS @edf)SecfeS ? 95 8. eine ®tocfe entsaft an Sfteffing 647 Sitogr. 78 ©elagr., an Tupfer 953 Sit. 67 ®ef., an ßi^n 97 Sitog. 29 S)ef.; mie ferner ift bie ©locfc? 9. 3emanb »erlauft nad) unb nad) an 3ßeitt: 12 £>eftotiter 28 Siter, 15 ipeftoliter 14 Sitcty 8 ^eltotiter 37 Sitcr, 26 £)e!totiter 4 Citer; mie »iet madjt biefeö jufammen? 10. 3n 3Bien tritt ber 9J?ittag 56 2)iinuten 11 Secunbett früher ein, at$ in $ari$; menn nun bie Utjr in ^ariä 3 St. 28 ÜDtin. 40 Sec. jcigt, mie »iet Ufjr ift jit gleicher 3 e ^ i» 2öicn? 11. 3emanb mürbe am 19. ^oüember 1789 geboren nnb lebte 78 3afjre 8 üDfonate unb 9 Sage; manu ftarb er? ©etmrt^eit: 1788 3. 10 3Hon. 18 Sage nad; (Sfjr. ®. SebenSbauer^ _78_„ _ 8 „ _ 9_ „ _ (Sterbebett: 1867 3- 6 3Ron. 27 Sage nad) (Sf)r. ©. @r ftarb aljo am 28. 3utt 1868. 12. Saifer granj 3ofef I. mürbe am 18. Stuguft 1830 geboren nnb übernahm 18 Satire 3 üfton. 14 Sage alt bie Regierung; mann mar biefeS? 13. Sßenn am 13. September um 7 Utjr 24 3)?inuten 12 Sec. morgend SSoßmottb ift, unb bie geit »on einem Soßmonbe bis jnm anbern 29 Sage 12 Stubben 44 2)?in. 3 Sec. beträgt, mann mirb ber nächfte 93otfmonb eintreten? SuBtraction tneßrnamtger 3al)ren. §. 54. ©a$ Subtrahieren meljntamiger 8 a ^ en beginnt bei ber niebrigften SSenennung. SBenn bei einer Benennung bie 3 a ^ SubtrahenbS größer ift, al$ jene beS 9)?inuenb$, fo mirb bie festere um fo »iet (Einheiten »erme^rt, afö ttjrer eine nädjft ^ö^ere (Sin^eit entf)ätt, unb bann bie Subtraction »errichtet; fobann mirb aber, bamit ber 9teft ungeänbert bleibe, aud) ber Subtraljenb in ber nädjft höheren Benennung um 1 »ermehrt. 3* 33on 135° 48' 37" fotl fubtratjiert merben 62° 25' 52"; mic »iet bleibt übrig? 73° 22' 45". % ^ % ~\ Ti ®ef)ören bie 3 a ^ en bem Secimalftfteme an, fo fubtra|i«t __ biefelben entroeber in gtei(f)er SSeife, wie mefjrjiffrige unbenann]e3a!)fen}~ j ober oerwanbett 9Ö7inuenb unb Subtraljenb in einnomige 3<*$& felben Benennung unb »errichtet bann bie «Subtraction. 3' •©• V 96 1. -Semcutb ift fl. 2148,,8 fcbutbig, babon er fl 952„75; trte biel bleibt er nod) fd)utbig? fl. 2148 „ 8 ober 214808 fr. ober 2148 08 ft. ff 952 „ 75 95275 ff fl. 1195 „ 33 119533 fr. = 1195 ft. 33 fr. 2. 8 ^cftof. 27 Siter ober 8 - 27 tpeftof. 2 „ 83-6 .. 2-836 .. 952-75 „ U95-33 ff. 5 §eftof. 43'4 öfter 5-434 $eftof. 21 u f g a b e tt. «Subtrahiere: 1. a) 131" 36 ora 4 ra ' n 72 48 6 b) 39G m 791 □ om 14 4317 2. a) 105 fteftar 37 2ir 15 Q* b) 218 §eftot 26 Siter 37 64 52 156 75 3- a) 1^ m 435 dm 87 ^ cm b) 57 @r. 207 SMHigr. 24 665 4- ©in £mu$ mirb um 8000 fl. gefauft; ber ©igentbümer mufj e$ fpäter um 6388 fl. 35 fr. berfaufen; mie biel- 23erluft bat er babei? 5. $ou einem Stcfer, melier 2 §eftar 54*7 Sir groß ift, ttrirb eine $läcbe bon 1 §eftar 21*5 Sir mit Söeijen, ber SReft mit Sorn befäet; mie Diel beträgt bie Sornflädje? 6- Sn einem £)reiede betragen bie ©eiten 15 ra 3 dm 8 2m , l m ll dm 9 cm uub 6 ra 5 dm 6 dra ; mie groft ift ber Umfang beleihen unb um mie biel ift bie ©umme je jmeier ©eiten größer r al§ bie britte. ©eite? • 7:-£)ie Dberffädje einer Suget beträgt 12(D dm 8lD cm 80D mm ; mie biellgebt iljr bis ju 1CP ab? 8. Stiif einer ©efi^ung taftet eine @d)itlb bon 6200 fl., babon •tüerben 88p fl. 40 fr., 2740 fl., 766 fl. 90 fr. ab getragen; mie biel Wträxjt nod) bie rücfftänbige ©djulb? Vv, 9- ©in Kaufmann batte 248 Silogr. SReiS Dorräl^tg; mie biel bleibt txoä) übrig, menu er 59 Sil. 20 ®efagt\, 67 Sil. 50 ©efagr., 88 Sil'. 75 ©efagr. bcvfauft bat? 9 CTO cm 97 10. ©S fotl ber §öf)cnuntcrfcf)ieb jWtfdjen jmei fünften A imb D baburcf) gefunbett merben, baf« man bie £öl)c jmeicr 3mifcfjenpunfte B uitb C gegen A nnb D untcrfudjt. SBenn nun A um 8 m 5 dm 9 ^ö^er Hegt at8 B, B um 4 ra 3 d * 8°“ Ijöfjer als C, unb C um 2 m 2 lm 3 tiefer aCö D; um wie Diel Hegt A fjölfer als D? 11. Semanb mürbe am 5. SRobember 1809 geboren; mie alt mar er am 27. ÜRai 1876? 1875 3a§re 4 Monate 26 Sage 1808 „ 10 „ 4 „ 66 Sa^re 6 3J?onate 22 Xage 12. ®er berühmte STonfünftfer 9)2ogart mürbe in ©atgburg am 27. Sänner 1756 geboren nnb ftarb in SJien ben 5. £)ecember 1791 ; mie alt ift er gemorben ? 2auffij>ricatton tueljrnamiflet ^la^rcn. §. 55. SSBcntt eine mefjrnamige 3°fK mit einer unbenannten multipliciert merben foll, multipliciert man entmeber bie (Sinljeiten einer jeben ^Benennung oon ber niebrigften angefangen, unb rebuciert bie niebrigeren 5)3robucte; ober man oermanbett bie meljrnamige 3<# in bie niebrigftc ober in bie fjöcfifte ^Benennung unb Derrid)tet bann bie ÜRultiplication. 3- ®- 155E.19St.459R .X23 3635E.22St.159R. ober 453R.X23 = 1035®!. = 17SU5SH. 19@t.X23+17St. = 454©t. = 18£.22St. 155C.X23+18S:. = 3632:. 151E.19St.453R. =227853«., 22785 3R. X 23 ■ .' • . 45570 68355 5240559R. = 3635E.22St.l59R./TN- ober auef) r ' ' 155E.19St.453R. =15-822925E. 15-822925E. X23 3164584 4746876 ■jr -I v* ».3 m ? 5^1 * i w 363-927165E.=3635E.22St.i5SR.V x \ . y * 3ft ber 9Rultiplicanb eine benannte 3*#, tretcEje bem•.5)ichnaB fpfteme angefjört, fo mirb er gleichfalls entmeber auf bie niebrigfte 2« DC tti f, für Unterrfalföufrn. IG. Slufl 7 98 SenenM^ber auf einen UDecimälbrud) ber f)öd)ften Benennung gebraut unb bam^multipftciert. ,3- SftuTtifftriere 248 ff. 64 fr. mit 6. ^4864 fr. X 6 ober 248-64 fl. X 6 149184 fr. 1491-84 fl. = 1491 ft. 84 fr. = 1491 fL 84 fr. ^Preisberechnungen, treffe auf eine Sftuftiplication führen, fönneu häufig, befonberS beim Sopfredjnen, burd) eine paffenbe 3^gung ber 3ßef)rf)eit, bereu $reiS gefud)t mirb, ober beS ^ßreifeö ber ©nijeit oor= tljeitljaft au^gefut)rt merbeu. 3* 1) 5 fteftoL 60 Siter k 26 ff. pr. £eft. 5 |)eftof.. 130 ff. 50 Sit. - i §eft. . 13 „ 10 „ = T V „ • 2 „ 60 fr - 145 ff. 60 fr. 2) 12 Stifter k 2 ft. 85 fr. 12 Met. a 2 fl. .... 24 ft.' 12 „ a 3 3^n.=36 3- 3 „ 60 fr. 12 „ k 5 fr.— „ 60 fr. 28 ft. 20 fr. . \ 31 u f g a b e it. Seftimme folgenbc ißrobucte: 1. a) 25 m 3 dm 38 aim X 25; b) 37 Km 287 m X 9; 2. a) 7 £eftar 5-2 3tr X 146; b) 15 $eftot. 56 «it. X 39; 3- a) 8 Sitogr.47 £)ef. X 64; b) 317 ft. 84 fr. X 542. 4. Sßernt 1 kr 27 ft. 72 fr. foftet, wie t)oef) fommen 10 2tr? 5- ©n gteftoliter äßeijen foftet 9 ft. 58 fr.; tote fjocfj fommett 7, 28, 55, 99, 125 fpeftotiter? 6. ©n ^Beamter bejieljt monattidf 128 ft. 75 fr. ©efjalt; tote eiet jätjrticf)? 7- Sßenn jtotf^crt bem 53tt^e einer Kanone unb bem betrauf gehörten H'natte 12 ©ecttnben oerfttefen unb ber ©cfjatt in jeber ©ccunbe 332 m 2 dm 5 cm prüeftegt, tttie weit ift bie Sanone com S3eo6^ achter entfernt? . 8- SBenn ein ©ucaten 5 ft. 45 fr. gitt, roab betragen 33, 57, 98, 183 ©ucaten? 9. SBie lang ift eine ©ctmur, bie fiel; um eine SBette, beren »Umfang 3 4m 5 cm 8 mm ift, 158mat tjerunÄinben täfbt? 99 10. (Sin Zimmer ift 7 ra 5 dm 6 cnl lang unb 5 m 3 dm 4 cra breit; tnie groß ift bie Sobenffädje beSfefben? 11 . (Sin ©ang, tnelcfjer 20 m 5 dm fang unb 2 m 2 dm breit ift, fott mit glatten belegt Serben; n?a$ foftet biefe Arbeit, menn für baS □ m 2 ft. 35 fr. gejagt mirb? 12 - 2 Bie groß ift bie ©berffädje unb mie groß ber Sörperinfjalt cineö SBürfefS, beffen ©eite l dm 3 cm 9 mm beträgt? 13. Sßefdjen Qnfjaft I)at ein SBagenfaften, beffen inneres l ni 8 dm lang, 6 , l d,a breit unb 4'7 dtn fjod) ift? 14. (Sin red)ttt>inf(igeS, oben offenes ©efäß ift l ra 8 dm fang, 7 dm 5 cm ß re f£ lln ^ 4 dm 9 cm ♦ mefdje £)bcrfläd)e ßaben bie oier ©eitemuänbe unb ber Soben? 15. 2Bie f)od) fommt bie Sfuffüßrung einer Siftauer, ioefdje 13 m 4 dm fang, 9 m 3 dra tjod) unb 6 dra bicf ift, menn für baS (Sub. m 8 ff. 58 fr. bejafjtt toirb? 16. 2öie üief §eftofiter fafst ein ©efäß oon 7 dm 2 cm £änge, gdm 5 cm sg re ite unb 4 dm 5 cm £iefe? 17. 23ie groß ift a) ber Umfang, b) ber $fädjeninf)aft eines SreifeS, beffen Surd)meffer 3 m 4 dra 9 cra ift? 18. 3Bie groß ift a) bie Dberffädje, b) ber (Subifinljaft einer $ugef, beren ©urdjmeffer l m 5*26 dm ift? Seredjne: 19 * 12 Sitev h 28 fr., k 32 fr., k 48 fr., a 64 fr. 20. * 9 Sifogr. a 40 fr., a 53 fr., a 62 fr., k 75 fr. 21. * 16 Steter k 26 fr., k 49 fr., a 52 fr., k 80 fr. 22* 25 Siter a 38 ff. f>r. £>eftofiter. 23. * 65 Stfogr. a 140 ff. pr, (Sentner. 24. 127 SJfrter a 3 ff. 55 fr., a 2 ff. 90 fr. 25. 7 £eftof. 35 Siter a 42 ff. px. £efto(. 26. 51 Sifogr. 32 ®efagr. a lf ff, px. Sifogr. ' " f v •• me^rnatuiger />*' -i v \ f +* §. 56. SBenn eine me^rnamige burd) eine unbenannteT.jU'.^ biüibieren ift (Sfufgabe beS Reifens), fo bioibiert man entfipeber bie i 100 1) 2Bie groß ift ber 18fe SÜ^eit eines UBinfelS bon 68° 14'24"? 68° 14' 24" : 18 — S u 47' 28"; 14° 840' 480" 840' 854' 504"* 134 144 8 ' 0 480" ober 68° 14' 24" = 245664" 245664" : 18 - : 2 122832 -: 9 13648" = 3° 47' 28" ober auch 68° 14' 14" = 68-24° 68-24° : 18 -: 2 34-12 : 9 3-7911° = 3° 47' 28". 2) ©uche bett 6. $heil oon fl. 385„14 Ir. 38514 fr. : 6 ober 38514 fl. : 6 6419 64-19 fl. = 64 fl. 19 fr. 3ft eine mefjrnamige ,gahl bootfl eine anbere benannte $ahl ju bioibieren (Stufgabe beö SJleffenS), fo mäßen beibe früher auf biefelbe ^Benennung gebracht toerben. 3- 2j3ie oft finb 5 SDefagr. 2 ©ramnt in 3 $ilogr. 38 ©efagr. enthalten? 5 5Def. 2 ®r. = 52 ®r. 3380 : 52 = 65 3 ß'ifogr. 38 ®ef. = 3380 @r. 2t n f g a b e n. ©eftimme 1. a) 530 fl. 84 fr. : 23; b) 4501 fl. 84 fr. : 56; 2. a) 12□“ HD dm : 28; b) 289 ßilogr. 674 ®r.: 57. 3. SBenn 1 metr. Sentner Quecffilber 254 fl. foftet, toie treuer ift 1 Kilogramm? 4. Sine Diöhre gibt in 15 ©tunben 48 ©tinuten 43 §eftoliter SBaffer; in toie oiet $eit 1 £>eftoliter? 5- 31 fl. 50 fr. : 2 fl. 25 fr. = ? 6- 9D m 57D dm 84Q cm : 24 dm 56D cm = ? 7. 10709^ dm 615Kl om : 4[X] dm 567^ om = ? 8. Sine ©tiege ift 3 m 8 dm hoch; toie oiele ©tufen hat fie, wenn jebe ©tufe l dm 3 6m hoch ift? 101 9. 2ßie Diel Stücf ®ucaten brauet man, um 491 fl. 92 fr. ju 3aljlen, mcnn fate ‘Ducatcn im (Surfe ju 5 ff. 72 fr. fielen ? 10. ©in 9ied)ted f)at 64C m 73G dm 55G cra Snfjaft unb 5 m l dm 5 cm ©reite, ttrie grojj ift bie Sänge? 11. ©n ct)linbrifdf)eö ©efäfj enthält l[X] dm 683[^ cra ; menn nun bie $öf)e 9 cm beträgt, ttrie grojj ift bie ©obenffädje? 12. ein Spiegel non 7 dm 2 cm §)öl)e unb 6 dm 5 cm ©reite foftet 53 fl. 82 fr.; ttrie pod) mirb ein D dm gerechnet? 13- eine Sinie ift niermaf gemeffen morben, nnb man fanb fie 57m 5dm 4 cra / 57 rn 2 dm 3 cm , 58 m l dn 8 cm , 57 m 3 dm 5 cm fang; ttrie grog ift bie ®u’rd;fd)ttitt$fättge jener Sinie? 14. eine Straße pat in einer Strecfe non 854*6 m eine Steigung non 13 m 4 dm 8 cm ; rnie groß ift bie Steigung auf ein SJieter Sänge? 15- £>ie SSriebräber einer Socomotinc paben l m 2 dm im ®urd)= nteffer; ttrie nief Umläufe mitten fie machen, um bie etfenbapnftrede 3toifd)en 2Bien unb Sins, mefcpe 188 Km 890 m beträgt, gurücCjulegen ? 16. eine ©ofbftange ift 1 $ifogr. 273*6 ©ramm fdjmer unb enthält 1 Äifogr. 18-88 ©ramm feines ©ofb; ttrie grog ift ber Sein* geaalt biefer ©ofbmaffe? 17- 10 ©Jeter £ud) foffen 52 fl. 20 fr.; ttrie fjod) fommen 7 ©Jcter non bemfefben 2udje? 18. 2öenn 5 £>eftofiter ©Sein 108 ff. 20 fr. foften, ttrie f)od) fommen 9 ^eftofiter non bemfefben SBeine? 19- Stuf einem ©etreibemarfte nerfaufte man 48 §eftof. SOBet^en 3U 9 ff. 20 fr., 35 £eftof. 31t 9 ff. 32 fr. nnb 17 £eftof. 3U 9 ff. 60 fr.; ttrie tfjeuer mürbe im ©urdjfdjnitte ein £>eftof. nerfauft? ^tcbcr^ofungörtufgaßert. 1 m 1. * aSerinaubfe a) | ©tunben, f, 3, 2^, 16, 12f ©tmtben itt Stage; -• b) * Minuten, 2, 5i, 13 5 \ 36, 8* 9Jiin. in ©tunben./- * > 2. * a) 18 Stier & 32 Sr. b) 65 Sifogr. ä 20 Sr. , 3. * a) 12 SJJieter ä 54 Sr. b) 9 $eftof. ä 8 fl. 30,‘fr. . 4. * a) 10 £eftof. a 4 ft. 35 Sr. b) 16 SDIeter ä 5 ff. 9(|fgf. 'H j 5. * | üDfeter foften 2,^ ff.; mag foftet 1 Stteter? ^ j 6. * 2Tuf tnefcfie Sänge erreicht ba8 SInfteigen einer Stfen&ato ^‘y . £>ölje, »nenn biefetbe auf je 50 m Sänge um \ m anfteigt? • w\/ ; ~ 102 7. Stbbiere fotgenbe galten perft in fenfredjter, bann in mag* rechter 9xicf)tung: 10. 23ermanbfe in 2Reter=£)ecimatbrücfie: a) 45 m 4 dm 8 cm ; b) 13 m 5' m 7” m ; . c) 3 dm 9' m 2 mm ; d) 8 Mra 39 m 28 cm . 11. Unter örei jSerfonen fotten 115 fl. 86 fr. fo Bertfjeift merben, bafS A bie £ätfte, B ben brüten Slfjeit nnb C ben 9?eft befommt; mie groß ift ber SCnttieit einer jebett btefer brei ißerfonen? 12. Sin Sauftnanu fjatte 1348 Sit. 5ReiS oorrätfjig; mie oiet bteibt nocf) übrig, inenn er 315 Sit. 8 ©efagr., 276 Sit. 5 Qefagr., 490 Sit. 7 SDefagr. oerfauft Ijat? 13. Unt einen tpunct Ijerum Kegen fünf Sßinfet; Bon biefen ift a = 85° 33' 46", b = 47° 18' 48", c = 63° 29' 17", d = 58° == 104° 54' 19"; toie grojj ift bie ©utnme atter biefer 43' 50", e SBinfet ? 14 . Saifer granj I. ftarb am 2. ajictrj 1835 in einem Sitter Bon 67 Batjren 18 Sagen; toann mar er geboren? 15 . ®er berühmte öfterreidjifdje Sriegdlfetb ffetbrnarftfiatt 5Rabe|ft; mürbe geboren am 2. SloBember 1766 nnb ftarb am 1. Banner 1858; metdjeö Sitter tjat er erreicht ? 16. 3n S33ien tritt ber ÜRittag 56 Stiin. 11 @ec. fritfjer ein atd in ißarib; mie Biet Ufjr ift e6 in SSSien, menn bie U£)r in ipariS 4 @t. 37 3Rin. 45 @ec. geigt? 17. Sitte ©onnenfinfternid natjrn ilfren Stnfang um 4 UI)r 25 äJtin. 49 @ec. nnb bauerte 1 @tunbe 18 2Rin. 37 @ec.; mann tjatte fie geenbet? 18. SDißibiere 707281 burd) 29, ben Quotienten rnieber burd) 29, unb fo meiter, bid bu auf ben Quotienten 29 fommft. 19 . ©ioibiere ebenfo 24137569 miebert)otf burd) 17. 90 ü ^ x9x 7i -^ M ü_x_ZLxix_^ _ ^ aj 4|- X { — “ • J 2f x 4]: x 31 - * 103 V 23ered)ue nad) bem a6gefür$ten 9Serfat)ren: 21- a) 3-9765 X 4*378, b) 000576 X 37*85 (3®ecim.); 22. a) 7*6534 X 2 5637, b) 58*3468 x 0 07583 (4®ecun.); 23- a) 19*6162 : 7*6534, b) 0*2736 : 0*7653 (3®edm.); 24. a) 3*2158 : 0*03584, b) 4*2839 : 8*5679 (4 ©ectm.). 25. 9Titö einem fyaffe r mefdjeS 32} ^eftoliter SBein enthält, merben brei Heinere gäffer, non benen baß erfte 7-}, baß jmeite 6£, baß brüte 6-^v £>efto(. fafst, gefußt; mie oief 3Bein bleibt nod) im großen f^affe übrig? 26- ®nn einer Summe erfjätt A f, B f nnb C ben 9?eft. ©er ?fntfjeif beS B beträgt 31-} ff.; mie Diel erfjäft A, mie Diel C? 27. BnnSbrucf fjat 9° 3' 41", SBienl4° 2' 36", Ofen 16° 42' 47", Semberg 21° 42' 40" öffentlicher Sänge non ‘’PariS; mie öief Sängengrabe liegt Semberg öfttidjer als jtbe ber brei anberen Stabte? 28. 33on brei ÜÜJaurern macfyt ber erfte in 3 Stunben 158[x3 dm , ber jmeite in 4 Stunben 205[X] dm , ber britte in 6 Stunben 281[Xj dm ; a) mie t>iet Exj dm fertigen aße jufammen in einer Stunbe, b) in mie tuet ©agen merben fie eine üßiauer oon 1708^ ra Ijerfteßen, menn fie täglich 12 Stunben arbeiten? 29. * a) 26 Äifogr. k 40 Sr. b) 112 SJceter a 43 Sr. 30. * a) 16 Siter ä 26 Sr. b) 13 ©ufaten ä 5 fl. 42 Sr. 31. * a) 14^i m ä 2 fT. 38 Sr. b) 24 3J?eter ä 5 fl. 90 Sr. 32* a) 9» 3J?eter ä 4 fT. 40 Sr. b) 8£ft.80St. ä30 ft.pv. $ft. 33. * 703 + 156; 384 472; 536 + 345; 695 + 347. 34. * 684 - 355; 743 - 349; 480 — 157; 903 — 297. 35* | unb j einer gatyf geben jufammen 44; metcfjeS ift bie 3 ß f)t? 36 * Um mie rief ift baß ^robuct ber 23rüd)e £ nnb f Heiner a(ß jeber ber beiben gactonn? 37 * Um mie oiel ift baß ^ßrobuct ber Srüdje }, f, f- unb | . Heiner aiß ihre Summe? /J. 38* @ucf)e baö größte gemeinfdjaftlidje SJJaß üon a) 901 unb 371; b) 637 unb 4277; c) 3552 unb 5143; d) 27671 unb 21708. c. 39- SBie oiet $eftoliter SBeijen Tarnt man für 255 fl. 36 Sr. laufen, trenn 1 £>effotiter 9 fl. 12 Sr. foftet? . 104 40. ©er Umfang eines StagenrabcS beträgt 2 ra 7 dm 5 cin ; mie niete Umtänfe muf$ baS 9tab machen, um einen Steg non 6 Nitometer juriidjufegen? 41. “Die Saiferin SRaria Jljerefia ftarb am 29. Okmember 1780 in einem Sitter non 63 Satjren 6 ÜJtonaten 16 Jagen; mann mar fie geboren ? 42- ?apft $iu$ IX. ift ben 13. 9Kai 1792 geboren; mte att mar er bei feinem 25jäf)rigen $apft*3ubitäum am 16. Suni 1871? 43- ©ne tetegrapfyifdje ©epefdje geljt non Stten um 1 Uf)r 24 ÜJJin. 18 ©cc. nad) ^Berlin ab unb fomrnt bort in 58 SJZin. 30 ©ec. an; mie niet Ut)r ift eS bei ber Slnfunft ber ©epefd)e in ©ertin, menn bie Stiener üfjr um 11 üKin. 57 ©ec. ber ©erliner Uf)r nergef)t? 44- 8642f T ' 5 x fjf + 19371ff. X 255^? = ? 45. 4751*1° X 571iJi — 364014^ X 460^° r = 46. a) 729^- : 13 = ? b) 3165 r V : 23 = ? 47. a) 104% : 47 = ? b) 19576^ : 214 = ? 48. ©rei ^erfonen (egen in ein @efd)äft 9600 fl. unb geminnen bamit 1 ber ©intage; fie jiefyen fobann tfjr ©etb jurücf; mie niet ert)ätt A, ber 2400 ft., 13, ber 3600 ft., unb C, ber ben 9teft einge* legt £)at ? 49. ©n Steingarten non 275 ra Sänge unb 164 ra ©reite gibt 94 §e!totiter 71 Siter Stein; mie niet Stein fomrnt burcfjfdjnitttid) auf 1 Sir? 50- ©in Sanbmann nerfauft 28 §efto(. Söeijen unb 15 §eftof. loggen für 350| ft. gür baS £>eftot. Steijen erhält er 9-,*^ ft.; mie niet befommt er für baS ^eftot. loggen? 51. SBenn man baS ©onnenjatjr, metdicS 365 Jage 5 ©tunben 48 2J?tnufen 48 ©ecunben beträgt, ju 365 Jagen rechnet unb megen beS babei ©ernadjtäffigten jebeS nierte Satyr ats ©djattjatyr mit 366 Jagen annimmt; mie groß mirb ber g-etyter, ben mau bei biefer 9?ectynungS* meife in 400 Satiren begeht ? fünfter Jtßfdmiff. 3ScrI)ältui|'fc unb ^royortioiteu. I. Uertjältniffc. • •. 9 • §. 57. 33ei ben meiften Stedjnungen tüirb eine 93er.qtetcf)ung oon gleichartigen ©roßen öorauSgefefet, tnoburcf) man unterfingt, toie oft bie eine in ber anbern enthalten ift. ©ine fofdje 33ergfeidjung oon jtoei gleichartigen ©roßen l)d 6 t ein 93erhättni$; oon ben beiben ©roßen mirb bie erfte baS 93orbergfteb, bie streite baS ^intergtieb genannt. 3- Unter bem 33erhäftniffe oon 12 311 4 oerftefyt man bie Slngabe, mie oft 4 in 12 enthaften ift, burd) biefe gaffen fefbft an^gebrüeft, fomit ben angejeigten Quotienten 12 : 4; ber £)ioibenb 12 ift ba$ 23orbergfieb, ber ®ioifor 4 baS ^intergfieb. / ienn man ba 8 33orberg(ieb burd) baS £)intergfieb toirflid; bioi- biert, fo Ijeißt ber Quotient ber ©fponent beö 3$erf)äftniffe$; in bem 9Ser^attniffe 12 : 4 ift 3 ber ©£ponent r unb jeigt an, bafö 4 in 12 3maf enthalten ift ober bafS 12 3maf fo groß ift a(S 4. 2 Iu 6 biefen ©rffärungen folgt: 3n jebem 33er^äftniffe ift ba$ SSorberglieb gfeidj bem hinter- gliebe multiplidert mit bem ©jponenten, unb ba$ ^intergtieb gfeid; bem 33orbergltebe bioibiert burd) ben ©yponenten. §. 58. ®ie ©röße eines 93erljäftniffe$ ^ängt oon bem ©fpo* nenten ab; jtoei 93erf)ättniffe finb bemnadj gfeich, tuenn fie benfefben ©fponenten h a & en > unb bleibt ein 33erf)äftniS fo fange ungeänbert, af$ e$ benfefben Opponenten beibehäft. £)arauS fofgt: a) ©in 23erf)ättniö bfeibt unoeränbert, irenn man beibe ©Heber mit berfefben 3 al)t muftipficiert. @0 gibt baS 23er^äftnt^ 10 : 2 , menn man beibe ©fieber mit 2 , 106 l 1 / I galten fidj bie Sängen btefer Stuten 31 t einanber? 5. SGBte uerfjäft fidj ein ©ecimeter 31 t einem Stteter? ' toie Debatten fidj bie 3Berte biefer @otbmün 3 en 3 U einanber? \ 7- 100 Äilogr. Kaffee foften 144 fl., 100 $it. Bucfer 60 fl. • • mie üerljätt fid) ber ^Srei^ oorn Saffee junr greife beS $udtx$? ober mit 3, ober mit 5 muttipticiert, bie 23ert)ättniffe 20 : 4, 30 : 6 , 50 > 10, mefcfje aße beut erfteit 33ert)ättniffe gteidj finb, meit fie benfetben Syponenten 5 Ijaben. bj (Sin SBerljättniS bteibt unoeränbert, toenn man beibe ©lieber bnrtf) biefetbe 3 af)t bioibiert. 3 - ©. ®a$ 33erl)ättni$ 20 : 4 toirb nid)t geänbert, trenn man beibe ©lieber burd) 4 bioibiert; man erhält baburd; 5:1, toetdjeS SSer^ättni^ mit bem gegebenen benfelben ßfponenten 5 ljat. 9)tit §itfe be3 erfteit Sa£eS fann ein 23erljättni$, toorin iörüdje ober gemifdjtc 3 ^^(en oorfommen, burd) gan 3 c 3 a I e n bärge ft e 111 merben; man braudjt nur beibe ©lieber mit bem megjnf^affenben Flenner, ober trenn iljrer 3 mei oorfomnten, mit bem gemeinfdjafttidjen 33ietfad)en ber Kenner 3 U muttipticieren. 3* 3 Q 1 2 4 : 0 0 : 2 5 3 : 20 X 4 6:1 X 2 8 : 65 X 20 ' 3D?it |jitfe be$ streiten @a£e$ fann jebeS 33erljältm$, beffe t t* b » ib e ©lieber ein gemeinfd)aftlidje 8 Sftaf; Ijabett, abgelitr^t trerben, inbem man beibe ©lieber burrf) jenes SDlaß bioibiert. 3 » 15 : 6 0 28 : 8 , 10 : 5 K -5T2- :3 ~T71T : 4 ~1T7T : 5 1 u f g a b e n. 3} \ 1. ©teile fotgenbe 93erf)ättniffe in galten 3 a ^ en bar: 82- 7 • A ^1 ♦ K 9 . ♦ 3 7 . R3 1.1 7. 8 . * 4"' — *j * 37 ~1~Ö * 5 9 S t je 1 2' 3 jli • 5_a_ 932 . I 8 ' 2 5 * Y30' Äc, 7 * 1 2* | 2. ©rüde fotgenbe 23erf)ättniffe burd) bie Heinften 3&f)fat aus: 1 6 : 2, 10 : 18, 12 : 16, 32 : 24, 56 : 72, 120 : 48. 3. fotgenbe S3erl)ättniffe faßen auf bie einfödjfte ©eftatt gebraut, b. i. in gansen 3 bie ettglifcpc Seemeile jur geograpptfcpen 2J?ei£e, mentt auf einen ®rab beS Slequatorö 60 englifcpe Seemeilen, unb 15 geograppifcpe 9Reilen gepen? — 2Bie 15 : 60, ober 1 : 4. 11. Sin $!reis, beffett ©urcpmeffer 1 ' ift, pat 3}' Umfang; toeldjeS ©erpältnis finbet gmifcpen bem ©urcpmeffer unb bem Umfange ftatt? —42. ©on jtoei Socomotioen legt bie eine in jeber Sftinute 520 9)?eter, bie anbere 560 Sfteter juritef; toie oerpalten fiep ipre ®e* feptoinbigfeiten? L 44. ©in gimmer ift 15^ m lang unb 9f ra breit; rnie oerpält fiep bie'Sänge 3 U ber ©reite? ^14. ©in genfter ift l m 8 dm poep unb l m 2 dm breit; toie oerpält fiep bie §öpe ju ber ©reite? §. 59. ©te bisper betrachteten ©erpältniffe peilen etnfadje, im ©egenfa^e ju einem 3 ufammengefegten, beffett ©orbei^lieb baS ^ßrobuct aus ben ©orbergliebern meprerer einfad)er ©erpältniffe unb beffen ^interglieb baS ^ßrobuct aus ben ^intergliebern berfelben ©erpältniffe ift. 3 . ©. ©infaepe ©erpältniffe 4 : 3 Opponent f 5:6 9:7 „ f 4 . 5.9 n 3ufantmengefe^te$ 95er^. 4.5 . 9 : 3 . 6 . 7 „ ober 10 : 7 ff 3 . 6.7 i o 7 ©er Opponent eines 3 ufammengefepten ©erpättniffeS ift alfo gleid) bem ^ßrobucte aus ben Opponenten ber einfachen ©erpältniffe. 3 ufantmengefepte ©erpältniffe lontmen in ber Slntoenbung oor, trenn matt ©röfjcn mit einanber oergleidjen miß, bie etn^efn oon jtt>ei ober tnepreren anbern ©röfjen abpättgen. 3 * A gept burep 10 ||Kge unb legt täglid) 56 Kilometer gurücE, B getjt burd) 12 Jage, rnadjt r&3 x? . i: 108 ober tägticp nur 48 Sitometer;. rote Debatten fiep bie bon beiben gurüdgefegten ©treden? £)tefe Rängen offenbar fotro^I bon ber Qzit als bon ber ©efepminbigfeit ber Semegung ab; ba A im ©anjen 10 X 56 Kilometer, unb B 12 X 48 Silometer macpt, fo ift baS 23erpältni§ ber üon beiben jurüdgefegten ©treden 10 X 56; 12 x 48. 2J?an pat fomit Serpältni§ beizeiten " 10 : 12 23erpciftntg ber ©efcpminbigfeiten 56 : 48 S3erpättni$ ber ©treden. 10 X 56 : 12 x 48 ober 35 : 36 unb fagt: bte jurüdgefegten ©treden flehen in gufammengefe^tem 23er* pältniffe ber $eiten unb ©efepnrinbigfeiten. Sin pfammengefekteS 23erpä[tniS mirb niept geänbert, menn man irgenb ein 23orbergtieb unb jugtcicp irgenb ein ^intergfieb in ben einfacpen 23erpättniffeu mit berfetben 3at)t muttipticiert ober burcp biefetbe 3ap( bioibiert. Saburcp tonnen bie eingelnen ©lieber ber einfachen 23erpältniffe nod) oor iprer SOZuItiptication bon Srücpen befreit unb abgelürjt merben.' Aufgaben. Silbe baS gufammengefe£te 23erpättni$ 1. au$ 8 : 5, 10 : 7, 21 : 16; 2- aus 31 : 2> 51 : 61> 3 : 21; 3. aus 2| : i 7 : 3*/l : 4f, * : }; 4. ans 3f : 24, 35 : 48, 271 : 25, 12 : 14f; 5. &nS 1 : 2, 2 : 3, 3 : 4, 4 : 5, 5 : 6; 6. aus 13* : 12 , 15 i : 8 f, 7 : 10|r 30 : 35, 35 : 251 7. 23on gftei 9ieepteden ift baS eine 15 Bieter taug unb 12 Stteter breit, baS anbere 18 Steter lang unb 16 Stteter breit; feie berpalten fiep bie gtäcpen ber beiben 9fecptede? 23erpättni8 ber Sängen 15 : 18 „ „ Sreiten 12 : 16 „ „ gläepen 5 : 8. 8* 23on jmei ©efäfjen pat baö eine l ra 2 dm Sänge, 7 dm Sreite unb 5 dm Siefe, baS anbere ift l*l m fang, 0-6 m breit unb 0*4 ra tief; mie berpält fiep ber 3npalt ber erften ©efäjjeS gu jenem btS gmeiten? 23erpättni§ ber Sängen 12 : 11 ff „ Sreiten 7 : 6 „ Siefen 5 : 4 V 1 1 fr rr „ BnpaÜe 35 : 22. 1 *n 109 9. £>ie Sängen sineier ®ärten ftnb 42 11 5 dm unb 38 m 5 dm , bie «reiten 25 m 4 dm unb 26 m ; in roelc^em «erljäftniffe ftetjen bie gfödjen? 4M », 10. Bon gtoei ®ampfmafcf)tnen ift bie eine im ©tanbe 12 Sonnen 9ö m hod), bie anbere in berfelben £ät 15 Tonnen 105 ra hod) gu Raffen; in metdjem 35erf)ältniffe fielen bie Strafte biefer beiöen 2Kafd)tnen? Ul i : . j v v : V . Ir* ' II. Proportionen. §. 60. 2Bcnn man gtoei SSer^ältniffe, toelche benfefbcn ©ypo' nenten ^aben, unb fomit gleich fiitb, burdj baS ©leidjheitSgeichen oerbinbet, fo ^eigt ein foldjer 2luSbrucf eine Proportion. 3®- 10 : 5 = 12 : 6 ift eine Proportion, unb toirb gelefen : 10 öerfjätt fidg gu 5, fo mie fid) 12 gu 6 öerhält, ober fürger: 10 gu 5 mie 12 gu 6; 10 ift baS erfte, 5 baS gmeite, 12 baS britte unb 6 baS oierte ©lieb ber Proportion; baS erfte unb oierte ©lieb nennt man bie äußeren, baS gmeite unb britte bie inneren ©lieber. ©ine Proportion, in meldjer baS gmeite unb britte ©lieb gleich finö, toirb eine ftetige Proportion, unb jebeS ber inneren ©lieber bie mittlere ftetige Proportionale Jtoifdjen ben beiben äußern genannt. 3- 24 ; 12 = 12 : 6 ift eine ftetige Proportion, 12 bie mittlere ftetige Proportionale gmifdjen 24 unb 6. 3n einer Proportion fönnen aud) benannte 3af)ten porlommcn, nur muffen bie beiben ©lieber eines jeben 33crf)ä(tniffeS gleichnamig fein; g. S. 12 üfteter : 4 Sfteter = 30 fl. : 10 fl. ®a übrigens bie Benennungen, ohne bie Proportion gu änbern, meggelaffen toerben fönnen, unb ber Rechnung ohnehin nur bie reinen 3 a ^ en untergogen merben, fo toerben mir in bem 9tad)folgenben immer nur foldje Proportionen oorauSfefcen, bereu ©lieber unbenannte 3 a hf en finb. §. 61. ©ejrt man in einer beliebigen Proportion 16 : 2 = 48 : 6 ftatt eines jeben BorbergtiebeS baS Probuct aus bem §intergliebe unb bem ©jponenten, fo erhält man 2 x 8 : 2 = 6 X 8 : 6. 2)arauS ift erfidjtlid), baß fomohl bie äußeren als bie inneren ! ©lieber mit einanber multipliciert, biefetben brei gactoren 2, 8 unb 6 enthalten, baher auch baSfelbe Probuct geben müßen. TT 110 3 n jeher Proportion ift cilfo ba^Probuct her äußeren ©lieber gleidj beut probnctc her inneren ©lieber. Untgefeljrt muffen 3 roei SSer^ältniffe 16 : 2 unb 48 : 6 , in benen ba$ Probuct her äußeren ©lieber gletcf) ift bem Probncte her tnuern, notljtüenbig einanber gleidj fein, unb fomit eine Proportion bilben. SBcnu nämlidj 16 X 6 = 2 X 48 ift, fo muß aud) ^ ^ ober y = **, ober 16:2 = 48 : 6 fein. ©ne Proportion bleibt bemnail) fo lange richtig, als ba« Probuct ber äußeren ©lieber bem Probncte ber inneren gleidj bleibt. Daraus folgt: 1. SPcrben in einer Proportion bie inneren ©lieber mit einanber oertaufd)t, fo erhält man toieber eine Pro» Portion. 3- ©• Slu« 8 : 4 = 10 : 5 folgt aud) 8 : 10 = 4 : 5. 2. SPerben in einer Proportion bie dufferen ©lieber mit einanber oertanfdjt, fo erljält man toieber eine Pro» portion. SPenn j. P. 8 : 4 = 10 : 5 ift, fo Ijat man and) 5 : 4 = 10 : 8 . 8 . SPerben in einer Proportion bie inneren ©lieber mit ben dufferen oertaufept, fo l)at man toieber eine Pro» portion. SBenn 8:4 — 10 : 5, fo ift aud) 4 : 8 = 5 : 10. 4. ©ine Proportion Ijört nicf)t auf ridjtig ju fein, wenn man ein innere« unb ein äußere« ©lieb mit ber» felben Bob* muttiplici ert. * 2lu« 8:4= 10 : 5 folgt aud) 8X2:4X2 = 10:5 ober 16 : 8 = 10 : 5, 8 X 2 : 4 = 10 X 2 : 5 „ 16 : 4 = 20 : 5, 8 : 4 X 2 = 10 : 5 X 2 „ 8 : 8 = 10 : 10, 8 : 4 = 10 X 2 : 5 X 2 „ 8 : 4 = 20 : 10. Plit §ülfe biefeö @a(je« lattn man jebe Proportion, in welcher 33rüd)e ttorlommen, mit ganzen 3 aIjlen bar ft eilen; man brauet nur ben Penner eine« äußeren ©liebe« al« gactor in eitt innere«, unb • ben Penner eine« inneren ©liebe« in ein äußere« af« gactor ju über» tragen. 3 - S. 111 31 u$ ber Proportion y ♦ 3 —— 4 ♦ O X • 5 g ' tvo x ein nodj unbefannteS ©Heb üorftettt, folgt x:3~4:2x5x 9 ober x : 3 = 4 : 90. 5. Sine Proportion f)ört nidjt auf ridjtig 31 t fein, tt>enn man ein äußeret unb ein inneres ©lieb bnrd) bie* fclbe 3 af)l bioibiert. 2luS 8 : 12 = 16 : 24 folgt and; : (8:4): (12 : 4) = 16 : 24 ober 2 : 3 = 16 : 24, (8 : 4) : 12 = (16 : 4) : 24 „ 2 : 12 = ’4 : 24, 8 : (12 : 4) = 16 : (24 : 4) fr 8 : 3 = 16 : 6 , 8 : 12 = (16 : 4) : (24 : 4 ) „ 8 : 12 = 4 : 6 , 9)?it £)ülfe biefeS Sa£eS !ann man jebc Proportion, in meldjer ein äußeres unb ein inneres ©Heb ein gemeinfdjaftlicfyeS 2ftaß I)aben, in Heineren 3 a * e n au Sb rüden. 3- ®- 3luS x : 4 = 3 : 20 folgt x : 1 = 3 : 5 „ 10 : x = 60 : 12 „ 1 : x = 1 : 2 ,, 6 : 15 = 8 : x „ 1 : 5 = 4 : x. 6 . SSenn man in jmei ober mehreren Proportionen bie erften, bie jfoeiten, britten unb oierten ©lieber mit einanber multipliciert, fo bilben bie Probucte toieber eine Proportion. 2TuS ben Proportionen 2 : 3 = 4:6 5:3 — 15 : 9 7 : 2 = 28 : 8 folgt aud) 2X5X7:3X3X2 = 4X15X28:6X9X8 ober 70 : 18 = 1680 : 432. Sine Proportion, metd)e bnrd) bie 9Mtiplication ber gleidjmelten ^ ©lieber mehrerer gegebener Proportionen entfielt, fjeißt eine 3 m ' fammengefe^te Proportion. 7. 3n je ber Proportion 0 erhältfid) bie Summe ober bie 3D i f f er eng ber 23orberglieber jnr Summe ober£)iffe* ren 3 ber§interglieber, nne jebeS SSorbcrglieb 31 t feinem /c $ int erg liebe. /^ v 21uS 24 : 8 = 18 : 6 folgt aud) ' fi * / (24 + 18) ; (8 + 6 ) = 24 : 8 unb = 18 : 6 , (24 - 18) : (8 — 6 ) = 24 : 8 „ = 18 : 6 . ?*• 112 8 . 3n jeher Proportion oerpätt fiep hie ©untnte her ©lieber beg er ft ett 35 erpältntf feg ju iprer SDifferenj, ioie bic Summe her ©lieber beg 510 eiten 33erpältniffeg ju iprer Differenz Slug 24 : 8 = 18 : 6 folgt aud) (24 + 8) : (24 — 8) = (18 + 6 ) : (18 — 6 ). ober 32 : 16 = 24 : 12. §. 62. Slug einer Proportion, in toelcper brei ©lieber befannt finb, bag unbefannte ©lieb finben, peißt bie Proportion auflöfen. Dag unbefannte ©lieb loirb getoöpnlicp mit einem her Sucpftaben [x, y, z be 3 eid)net. 'Die Sluflöfung ber Proportionen gefepiept naep fol= genben jmei ©ä^en:' 1. Qebeg äußere ©lieb einer Proportion ift gfeid) bemProbucte ber beibcu inneren ©lieber bioibiert burep bag anbere äußere ©lieb. 2tn$ X : 12 = 3 : 4 folgt x = 12 * — = 9, „ 4 : 5 = 12 : x „ x = 6 - = 15. 2. 3ebeg innere ©lieb einer Proportion ift gleitp bem Probucte ber äußeren ©lieber, bioibiert burep bag anbere innere ©lieb. lug 7 : X = 14 : 8 folgt x = 7 * ■ — = 4. „ 2 : o = x : 10 „ x = —~ - = o. Aufgaben. VHUt ii- a ) 1 2. a) | 3. a) -i 4. a) x 4 — 5 5 > ü 4zx X — 5 - A — 1 4 Baplen bar^^ x 2 3 3 4 5 Jb) 15i : 2 = 17 W 6 * : Ul TX 5f : x = b) x : 24 = 18 x 2 5 21 — / ' 4 - * * ~ ' 3 ®riicfe folgenbe Proportionen burd) bie fteinften ganzen Balten auS: 5. a) 9 6. a) 27 7. a) 9i 8. a) x 9. a) x 27 = 5 : x x z 6 : 8 3^- ~ 2 : x = 5 * • 7 10. a) 8114 13f| = 27-, S 9_ 4 3 5 4 8 b) 21 : 24 = 14 : x b) x : 8 = 56 : 64 bj/24 : 3i = x : 94 b) 4t : x = 5| b) 42| : x 5| = 25 & ; 47 3 HO?? = X 5014. r\ < 8öfe fotgeitbc 'Proportionen auf: 7 * 113 x III. ber Proportionen mit bcfontrcrcr lüdtfidjtnaljme auf bie Scfylufsredjnun;}. ' 'V . i. ■ •_ . i't ' ' * §. 63. 2Benn jtoei 2Irten oon 3af)fen fo oon einanber abfjängen, baß gu einer 2*, 3*,.4maf fo großen 3al)f ber einen Slrt and) eine % 3*, 4mat fo große 3al}( ber anberen Slrt gehört, fo fagt man.: bie beiben Slrten oon £af)ttn ftnb gerabe proportioniert, ober fie ftefyeit in einem geraben 35erljaftniffe. @o finb SBaarc unb ^ßreiö gerabe proportioniert; benn 2mat fo t)iel oon berfelben SBaare foftet audj 2maf fo oief ©elb, 3maf fo öiet SBaare foftet and) 3ma( fo oief ®elb, 4maf fo oief Söaare foftet 4maf fo oief ©elb. Softet j. 0. ^ 1 Bieter 5 ©ulben, ‘ ' c '’° ; fo foften 2 SDZeter 2maf 5, alfo 10 ®nfben, 3 4 5 if tr rt ff ft 15 20 25 tr rt tt 3mal 5, 4maf 5, 5maf 5, u. f. m. Ueberfjaupt fiefjt man, baß gtoifcfjen je gtoet gafjfen ber Bieter/ baSfefbe 0erl)ältni8 ftattfinbet, toie gmifcfyen ben baju gehörigen 3af)(en£* ber ®ufben; g. -0.: 2 Steter : 5 SKeter = 10 ©ufben : 25 ®nfben, ober 2 : 5 = 10 : 2*5 \ 7 - 9JI o eni f, &ritl)inetif für Hnterrealfcfjulen. 16. 2lufl. ~ 8 k 114 Senn alfo 3 » ei Sfrten bon Balten gerate proportio* niert finb, fo ift baS ©erffäftnib gtrifdjen je jmei Bähten ber einen Skt gleich bem ©erhältniffe snnfdjen ben 3 tDei jugehörigen B“^en ber anbern Sfrt in ber nämlichen Orbnung genommen. Sn einem gerabett SSer^äftniffe fielen auch: bie Beit ber Arbeit nnb ber Sohn; bie Seite beö SegeS unb ber ffrachtlohn, ba 8 ©etuicfft ber Saft unb ber grachtlohn; bie Beit unb ber gurücigetegte 3iaum; Kapital unb Bin«, Beit unb BinS; Einlage bei einer Unternehmung unb ©etoinn; u. bgl. m. §. 64. Senn jrcei Slrten oon Bafflen oon einanber fo abfjimgen, baff su einer %, 3*, 4mat fo großen B a ht ber einen Sfrt nur ber 2te, 3te, 4te STtjeit joon ber Baifl ber anbern Sfrt gehört, fo fagt man: bie beiben Slrten oon Bahlen finb oerfefjrt Proportioniert, ober fie flehen in einem umgelehrten SS erhattniffe. @0 finb bie Stnsat)! ber Slrbeiter unb bie Sauer ber Slrbeit^eit oerlehrt proportioniert; benn 2mat fo üief Slrbeiter braunen für biefelbe 2trJ6eit nur bie §älfte ber Beit, 3mal fo oief Slrbeiter braunen ben britten Sljetl ber Beit/ 4maf fo oief Slrbeiter nur ben oierten Sheif ber Beit, ©raucht 3 . ©. 1 Slrbeiter für eine beftimmte Slrbeit 60 Sage, fo brauchen 2 „ nur ben 2ten Sheil oon 60, affo 30 Sage, ÜDian fieht, baff h' er ba 8 ©erhältniö 3 tr>ifc^en je 3 mei Bahlen ber Slrbeiter babfefbe ift, tttie 3 toifoei Bahlen ber einen Sfrt gleich bem ©erhattniffe 3 mifdhen ben 3 n?ei zugehörigen Bähten ber anberen Sfrt, ab er in umgelehrter Orbnung genommen. Sn einem umgelehrten ©erljältniffe fteljen auch: bie B a ^ ber 3 U .Stäffrenben unb bie Beit, toährenb loefcher bie Sebenömittet augreicffen foüen; baö ©emicht ber Saft unb bie Seite beö Segeb bei gleichem 115 % gxadjtfofjne; bie Sänge unb bie 23reite eine# Stoffel bet gleichem 3nf>afte; (Kapital unb $eit; 3 a ^)f ber Grrben unb ©rö§e be# ©rb* t^eifö; u. bgt. m. 1 . ?ofung non Aufgaben mit einfachen Derl)ältmffen. (#ic einfache licgelbctrr.) t §. 65. SBenn gtnet 2Irten non ©rögen gerabe ober oerfehrt pro* portioniert finb, unb e# finb jn?ei 3 a hf en btx einen 8 frt gegeben, nott ben beiöen zugehörigen $af)Un ber anbern 2 Trt aber bie eine unbefannt, jo tjeißt baß 9iechnung#oerfahren, burcf) toelche# biefe unbefannte 3 a hf gefunben toirb, gemöhnlicf) bie einfache SRegclbetri. 3- 23. 2 üDleter einer SBaare foften 8 ©ulben; mie oiet ©ulbett foften 5 9D?eter ? 20 ©ulben. — £)tc beiben 2Irten oon 3 a hf en > welche hier oorfomnten, nämlich bic Slnjaht -Bieter unb bie 2lnzal)l ©ulben, finb gerabe proportioniert; oon ber erften 2 trt finb jmet &a1)hn, 2 SJIeter unb 5 Bieter, gegeben, oon ber zweiten Slrt ift nur eine 3 a ^f/ 8 ©ulben befannt, bie anbere, 20 ©ulben, aber ju'fuchen. £)iejz ift alfo eine lieget* betri=3Iufgabe. f « « 4* M I kl f ' 4 i* & LI j (lil ViU I iS i .v r jlttflöfunß mittetfl ber Proportion. §. 66. Sebe 9iegelbetri*2lufgabe !ann mit £)ülfe einer P ro ^Wj|$ portion aufgeföft toerben. SJfan barf nur ba# 23erhältni# jtoifchen m Ztoet 3ahten ber einen 3Irt bem 33erhäfotiffe ber zugehörigen 3 a ^ en t ber anbern 2 lrt, in berfetben ober in umgefehrter Orbnung genommen, * gleich fe^en, je nacf)bem bie beiben Slrten gerabe ober oerfehrt proportio* niert finb, unb bie fo angefefcte Proportion auflöfen. ©# ift habet gleichgilttg, in meines ©lieb bie unbefannte 3 a W/ toetdje getoöhnlid) burch x auSgebrütft mirb, z u ftefjen fommt; am zroedmäpigften erfcheint e$, btefelbe fogleich in baß erfte ©lieb zu fefcen. 3 . $. 1) 4 SDteter foften 22 fl.; toie oiel fl. foften 7 SDleter? — £>a hier bie beiben 2 lrten oon 3 a h* en g^abe proportioniert finb, fo man baß 33erf)ältni# ber ©ulben x : 22 gleich bem 33erf)ältniffe bazu gehörigen 3 a ^ en bcx SJföe* in berfelben Drbnung, alfo 7:4, unb fjat bie Proportion x : 22 = 7 : 4, burch bereu töfung man x = 384 ff- befommt. 'a . • 8 * / 116 öter erhält man eigentlich bie Proportion x fl.: 22 fl. = 7 2fteter: 4 üDteter; allein Bei ber Sluflöfung mufj roenigftenä ba§ groeite 2Serhältni§ al§ unBenannt angefefjen ro erben, benn man hätte fonft (nach §. G2, 1) guerft 22 fl. mit 7 SÖteter ju multiplicieren, toa§ feinen 0inn hat; e§ ift aBer erlauBt, für ba§ Berhältniö 7 ÜÖteter: 4 Sfteter ba§ Behältnis 7 : 4 gu fe£en, roeil Beibe 33erhältniffe bem felBen ©Eponenten l 3 / 4 haBen. 2)a3 erfte Berhältnifj in ber Proportion fann Benannt BleiBen; benn au3 22 fr v 7 x fl. : 22 fl. = 7:4 folgt x fl. = —= 38 \ ff. ma§ feine Ungereimtheit in fidf) enthält. 2lm groecfmäjjigften ift e3, im Slnfa^e bie Benennungen ber ©lieber gang meggulaffen, unb bann bent x jenen tarnen Beigulegen, ben ba§ bamit gleichartige groeite ©lieb hat. 2) 12 Arbeiter bollenben eine Arbeit in 30 Sagen: tt»ie btel Arbeiter muß man aufneljmen, bamit biefelbe Strbeit in 20 Sagen oollenbet merbc? — §ier muß man, ba bie beiben Slrten don ©roßen dcrfefjrt proportioniert finb, ba$ 33erl)ältni$ ber 3al)len ^ er 2l^6eiter x : 12 bem 23erl)ältni|fe ber gugeljörtgen £abei mirb im 2lßge* meinen aus ber gegebenen Seftimmung für eine 3Jfe^r^eit auf bie- jenige für bie Einheit .gefdjloffen, unb fobann aus ber gefunbenen 33eftimmung für bie Einheit loieber bie für eine anbere 2Kel)rt)eit gefugt. 3- SS. 1) 9 §eftoliter ©erfte foften 54 fl.; mie miel foften 7 §eftoliter? — Sßemt 9 £>eftol. 54 fl. foften, fo foftet 1 §eftol. ben 9ten Sfjeil oon 54 fl., alfo 6 fl.; menn 1 §eftol. 6 fl. foftet, fo foften 7 §efto(. 7mat 6 fl. b. i. 42 fl. 2) 6 Arbeiter bringen eine Arbeit in 16 Sagen ju ©taube; in mie diel Sagen bringen biefelbe Slrbeit 8 Arbeiter gu ©taube? — SBemt gu einer 2trbeit 6 Slrbciter 16 Sage nöt^ig haben, fo braucht bagu 1 Arbeiter 6mat 16 Sage, alfo 96 Sage; 8 Arbeiter aber merben nur ben 8ten Sfjetl don 96 Sagen b. i. 12 Sage braunen. t i • • r * f Seichter trtrb bie SKedjnung im ®opfe, memt bie üüleijrljeit, beren S&rti) matt fuefjt, ein 33ietfadje8, ober ein Zf)eil, ober ba§ 93ief= f a (i) e-eines Steiles ber iDMjrijeit ift, beren SQSertfj man lennt. 3* 117 I I) 6 Dieter foften 22 ff. 32 fr., tote oief Soften 30 Steter? — 30 Dieter finb 5mat 6 Dieter, fie foften atfo 5mat 22 ff. 32 fr., fontit 111 ff. 60 Sr. ' $... ^ 2) 100 ff. Sapitaf geben fährfich 6 ff. 3in8, tote oief geben 25 ff. Kapital? — 25 ff. ßap. finb ber 4te STfjetf oon 100 ff. 6ap., fie geben bafjer nur ben 4ten SEI) eil oon 6 ff., affo 1 fl. 50 fr. 3in$. 3) 60 Citer foften 19 ff. 20 fr.; tote oief foften 24 8üer? — 24 ?iter finb 2ntaf 12 Öiter, 12 Siter finb ber 5te Sfjeif oon 60 ßiter; 12 Öiter foften bemnach ben 5ten Ztjt if oon 19 ff. 20 fr. b. i. 3 ff. 84 fr.; 24 Dieter foften baf)er 2maf 3 ff. 84 fr.,- affo 7 ff. 68 fr. ' 2J?attcf)ntaf foffen ftd^ bie 2Iufgaben ber 9icgefbetrt auch burch eine fdjicfficbe 3erfäffung ber Diehrf)eit, beren Söertf) gefugt toirb, aufföfen. 3- 1) 12 Dieter foften 14 ff. 88 fr.; toie oief foften 26 Dieter? — 26 Dieter finb 2ntaf 12 -Dieter unb nod) 2 Dieter; 2maf 12 Dieter foften 2mal 14 ff. 88 fr., b. i. 29 ff. 76 fr.; 2 Dieter finb ber 6te £Ijei( oon 12 Dieter unb foften bal)er ben 6ten £f)eif oon 14 ff. 88 fr., b. i. 2 ff. 48 fr.; 29 ff. 76 fr. unb 2 ff. 48 fr. finb 32 ff. 24 fr. 2) 2Bte oief foften 23 §eftofiter SBeijen, toenn 8 £eftoüter mit 58 ff. bejafjft toerben? — 23 ^eftofiter finb 3mat 8 §>eftof. toeniger 1 §eftof.; 3maf 8 §eftof. foften 3ntaf 58 ff., b. i. 174 ff.; 1 £>eftof. foftet ben 8ten £l)eif oon 58 ff. b. i. 7 ff. 25 fr.; oon 174 ff. juerft 7 ff. toeg, bfeiben 167 ff., unb baoon nod) 25 fr. toeg, bfeiben 166 ff. 75 fr. §. 68. Kommen in einer 9iegefbetri*2lufgabe größere ganje Balten, fflrüche ober ntef)rnamige 3 a ^ en öor / f° fönnen aud) ba biefefben @d)Iöffe, toie beim Kopfrechnen gemocht toerben; bfoß bie 2luö= rechnung toirb fdjriftlid) burchgeführt, unb heißt bann bie 3toeifa£* redjnung. 3- S. 1) 35 Dieter foften 65 ff.; toie oief foften 49 Diete/^y ? 35 Dieter foft. 65 ff. f 65 {*'> tt \ 35 49 tt — fl. =: 91 ff. 118 2) 2öte trief foften 25£ ©eftotiter 2ßetn, trenn 2* ©eftotiter mit 37 /ö ff* Bejaht merben? V ©eftotiter foft. _i 5 1 2 5_1 o rr rr rr rr rr 2 1 5 5°. n Sürjer fönnte man audj fo fcfjtiepen: ©eit. foft. 37A- ff. fr 430M fl. 20 rr rr 37 9 ~ 5 0 O 1 254 37 5 % X 251 1859 X 51 X 5 2 1 "5 = 430|i fl- ~ 50 X 2 X 11 f)äuftg läföt ft cf) bei ber Stuftöfung Don 9iegefbetri=3fufgaben aucf) eine paffenbe 3erfäffung mit 33ortE>eif anroenbcn. 3- •©. 30 Silogr. foften 23 ff. 20 fr.; hrie fjocfj fommen 23 $ifogr. 20 ®efogr.? 30 Slifogt. 15 Sifogr. = i non 30 $iL . 6 „ — | ».30 2 „ — -J n 6 50 Sefngr. = i „ 2 10 „ = i „ 50 ©efagr. rr rr rr ff. 23-2 ff. 11-6 4-64 1-547 0 387 0-077 rr rr tr 23 Äffogr. 60 Sefagr.fl. 18*251 = ft. 18„25 2t u f g a b e n. Sie nacf)fotgenben Aufgaben ftttb tf)eif§ mit §itfe ber Proportion, ttjeit§ burci) bie ©dfftujjrectfnung, unb, wenn fie mit einem ©ternctjen (*) begegnet ftnb, aud) im ßopfe gu löfen. 1* 6 iSZeter £ucf) foften 18 ft.; rote riet foften 12 SSeter? 3)tit §itf e ber Proportion: 6 SWet. 18 fl. x : 18 = 12 : & 12 x „ _2_ • . x = 36 ft. Surd) bie ©djtnjsredjnung. a) 3m $opfe: Söenn 6 steter 18 ft. foften, fo foftet 1 -öteter ben 6ten S§eil non 18 ft., alfo 3 ft.; 12 50teter werben bctfjer 12mat 3 ft. b. i. 36 ft. foften. — 119 Ober fürjer: 12 ÜDleter ftnb 2mal 6 2fleter, fte foftert formt hoppelt fo oiel al§ 6 9Jteter, alfo 2mal 18 fl. b. i. 36 fl. b) ©cfyriftlidj: 6 -Uieter loften 18 fl. . 1 „ „ 18 / 6 „ = 3 fl. 12 „ „ 3 „ X 12 = 36 fl. 2. * giir 75 Citer ^aljlt man 36 ff.; tüte Diel für 50 Siter? 3. * 300 Silogr. Saffee lauft man für 320 fl.; mie üiet Kaffee befommt man für 32 fl.? Sin Snetf)t l)at jäfyrlid) 75 fl. ®ienftfoI)n; mie oiel fommt auf 5 9JJonate? 5. * 3n einer 9J2ül)te merben ftünblid) 8 £eftoliter SBeijen gemäßen; mie lange bauert e$, bis 60 £>eftoliter gemahlen finb? Um 8 £eftoltter $u mafjlen, braucht man 1 ©tunbe; um 60 Jpeltoliter ju mahlen, brauet man fo otele ©tunben 3eit, rote oft 8 in 60 enthalten ift, alfo 7 1 /, ©tunben. 6. * 16 SKaurer tonnen eine Sdtauer in 20 Stagen auffüfyren; tn mie oiel Jagen mürbe biefclbe Sliauer non 10 SIrbeitern aufgefüfjrt merben? Sßenn 16 Maurer $u einer Arbeit 20 Sage braunen, fo brauet ein Sftaurer bagu 16mal fo oiel Seit, alfo 320 Sage; 10 Maurer braunen nur ben lOten Sf)eil bou ber Seit, bie 1 3flaurer brauet, alfo nur ben 10. Sljeil oon 320 Sagen b. i. 32 Sage. d 1 7 * Um eine SBiefe abjumäfjen, braudjt man 18 Sftäljer burdj 4 Jage; in mie oiel Jagen merben 12 SKäljer bamit fertig merben? 8.* 45 Arbeiter braunen für eine SIrbeit 24 Jage; mie oiel Arbeiter muß man aufneljmen, bamit bie 2lrbeit in 15 Jagen oollenbet merbe? 9* Söenn 16 üDiaurer täglich 12 ©tunben arbeiten, fo mirb eine SWauer in 15 Jagen fertig; in meldjer $eit mirb bie Stauer fertig, menn jene SJZaurer täglid) nur 10 ©tunben arbeiten? 10.* Um eine -äftauer, melcße 20 Sfteter lang ift, aufjufüfyren, finb 35 Arbeiter erforberlidj; mie oiel Arbeiter braudjt man, bamit eine eben fo Jjolje unb bide Stauer, metcfye 28 Süieter lang ift, in ber nämlidjen 3eit oollenbet merbe? 11 * Sin §au$ trägt 540 fl. jäl)rlid)en oiel lommt auf 8_9Jionate? {l2* Sür 600 Silogr. oerlangt ber gu^rnfonti 1£5Vj£* gradjt; mie oiel Silogr. mirb er für 20 fl. auflaben? % t *\ p \Z~. 13.* Um eine SBaare 60 Kilometer meit ju |ül)ren7 v -Verfangt ber gutjrmann 20 fl.; mie oiel mirb er forbern, metm>kiefelbe 2öaare 150 Silometer meit oerfü^rt merben fo££? ,■14.* 2 Bte fange fönnen 18 ^ßferbe mit einem gutter auSfomuten, mefdjcS für 12 ^ferbe auf 9 SBodjen beftimmt ift? 15- 5ür einen gemiffen 23etrag fann ein Jrottoir, ba$ 2 ra breit ift, 72 m fang gelegt merben; mie breit fann eS für benfefben Sßreiö bei 63 m £änge gefegt merben? Sei 72 m £änge beträgt bie Srette 2 m // tt 2m X 9 2m X 9 7 ^jtß. 47 Siter ©fibenöf miegen eben fo oief af$ 43 öiter SSaffer; mie tnef miegt ein Siter ©lioenöf, menn ein Siter SSaffer 1 Sifogr. miegt? 17. ©n 2D?anufcript gibt 126 ©eiten 3 U 45 Reifen; mie bief^ ©eiten mirb e$ geben, menn auf bie ©eite nur 35 3 e if en fommen? 18. * A l)at einen SSeg, inbem er tägfief) 7 beutfdje 2)?eifen gieng, in 6 Jagen jurüdgefegt; jur 9lüdreife braudjt er 8 Jage;-mie tuet SJZeifen l)at er täglicf) gemacht? 19. ©n fiel) gfeicfjförmig bemegenber Körper fegt in 14 Minuten 244 SJJetcr gurücf; mie Diel in einer ©tunbe? (f 20. 3 ur Sefjeijung eineö 3immer$ brauet man 15D m Srenn= l)ofj, menn beffen ©djeitfänge 80 cra beträgt; mie Diel, menn ba§ §ofj nur 64 cm fang ift? 21. 3u einem ©acfye brauet man 6936 ©fücf ü)enn \J jeher ©adjjiegef 120D cm beeft; mie Diel ©tücf finb erforberfid), menn ^ jeber 3* e 9 e f nur 90j cm bccf't? 22- SBenn ein 9?ab in 48 Minuten 264 Untbrefjungen mad)t, a) mie Diefe Umbrd)ungen madjt e 8 in 36 Minuten? b) in mie Diel Minuten brefjt es ftcfj 840mafum? 23. ©ie ßrbaye ift 1714 geogr. üDZeifen fang, ber ©urdjmeffer am Sfequator beträgt 1720 Reifen; mie lang müßte bei einem ©fobuS, ber biefe 2 lbmeid)ung genau barftellen foüte, bie ©baje genommen merben, menn man afs ©urdjmeffer beS 2lequator$ 429 rara nimmt? 24. 5 5D7eter Seinmanb merben mit 2 £ ff. bejaht; mie fjod) fommen 12 SÜZeter? 25. 9®ie bief foften 320 £ifogr., menn 4 Sifogr. für 9^ ff, gefanft merben? 4 $tfogr. foften .9V 2 ff. 320 „ „ „ 80maf fo oief = 760 ff. . 121 26. SBenn 11 *- Sieter STaffet 32 ff. 40 fr. foften, raie l)od) fommen 3f Sieter? 27. 56*- $eftofiter 2öein foften 834 p.; rate oiet §eftofiter befommt ntan für 1112 fl*? 28. 24 2(rbeiter graben 2.}*- 2lr um; rate uief 2lr Befteßen in berfelben $eit 27 Arbeiter? 29. * 6 Jagföfjncr graben ein Selb in 4± Jagen um; raie rief SCagföfjner mügcn gebungen raerben, bamit jene Slrbeit in 3 Jagen ju ©tanbe fomnte? 30. SBentt 30 ^erfonen ein 3Serf in 4 T 3 ff Sionaten ooßenben, raie nie! Seit brauchen _bagu 9 ^ßerfonen? 31. t einem beftimmten Sorratlje fönnen 20 Sienfdjen 15|- Sionate auSreidjen; raie fange raerben bamit 35 Sienfdjen au8reid)en? 32. Semanb braudjt für feinen Unterhalt im Jurdjfdjnitte aüc 10 Jage 34 3 p.; raie fange ratrb er mit 792 fl. 30 fr. auSfommen? cJ^J^/Semanb jafpt je^/Sfrbeitern gufammett tägfid) 4 p. 75 fr., itnb ^atim ©äugen 122 Arbeiter; raie oief beträgt ber tägliche 2lrbeit$* fofjn aßer? 34> 5 Kilogramm Satter geben 3 3 Kifogr. ©djmafj; raie öief ©djmafj geben 46 Äifogr. Satter ? 35- ©ne gleichmäßig anftcigenbe ©trage peigt auf 20*75 Kilo* meter um 49*8 Sieter; raie grog ift bie ©teiguug auf 2} Kilometer? 36. ©n ©efäg, raefd)e$ 8^ dra fjod) ift, fyalt 65 Siter; raie f)od) mug ein ©efäg non gleicher SBeite fein, raenn es 40 Siter galten foß? 37# ©n fenfredjter ©tab, raefdjer l'5 m fang ift, rairft einen 2*l m fangen ©Ratten; raie fjod) ift ein Jfjurrn, raefdjer gu berfelben Seit einen 43 m fangen ©djatten rairft? 38. 21uö einer beftimmten Sienge ©am fann bec 2Seber 84 Sieter Setnraanb, raefdje 75 cra breit ift, raeben; raie oief Sieter 80 cm breiter Setnraanb fann er barau8 erzeugen? ; Sei 75 c m Sreite erhält man 84 9M. • jjß i \ „ 5 cm L , „ „ 15mat fo oiet £änge == 84.ll> 3Jtet. 84.15 // 80 cm n n „ _ nur ben 0 ,1(6. S^eil = - lß SJlet. fl ' = 78 3 / 4 Stet. 39. Sernanb brauet ju einem ®feibe 3| SO^eter SCudj, wenn biefeö 2 m breit ift; int $£ucf)taben finbet fiel) aber nur £ud; non l m 75 cm Sreite; wie biel SUJeter finb baöon ju bent Äleibe erforberlidj ? 122 40. ©in ©arten ift 40 ra lang nnb 28 m breit; e6 folf nun ein 1/ gtoeiter ©arten nm 16 m länger werben, aber biefetbe fläche einfchließen;*' wie groß nrirb feine ^Breite fein mäßen? 20 ©cfjnitter mähen eine SBiefe in 4 Jagen ab; e$ lommen f mm noch 4 Schnitter bajn; in wie diel Jagen roirb bann bie 2öiefe abgeijjä^et fein? 2. Slit bern San einer ©ifenba^n fömten 3000 Arbeiter in 9 Sttonaten fertig werben; wie dief Arbeiter wirb man noch aufnehmen mäßen, bamit ber San in 6 üDlonaten fertig werbe? / 43- ®ie atmofp^ärifeße 8uft übt auf eine fläche non einen Jrucf non 1*03 Kilogramm au$; welken Snftbrucf würbe ein Sfenfch, ^ beffen Oberfläche l*4CD m beträgt, an^uhalten fyabtn, wenn in feinem Körper leine Suft wäre? |44jSut 3Sater ßinterläföt bei feinem Stbfterben 7 Sinber, unb (nermacht jebem 4500^ ft.; nun fterben 3 Smbcr; wie nie! w^b auf Jebeö ber übriggebueUenen lommen? 45. ©in Slder non 6| £>eltar gibt einen Ertrag non 68^ §>eltolit. SBeijen; a) wie niel SBei^en trägt eine 2l(ferfläd)e non 3} §eltar? b) auf Wie niel §>eftar erhält man 37|- £eltoliter 3ßei$en? 46. 477 fl. ©apital geben in einer beftimmten $tit 45 ft. 3itt$; Wie niel ©apital muß man anfegen, bamit eS in berfelben $eit 80 fl. 3itt$ gebe? 3u 45 fl. 3in§ gehören 477 fl. §ap. \ n n 954 „ „ 106 n n r 90 „ n 10 n alfo au 80 ff. QinZ gehören 848 ff. £ap. 47. 2Bie niel (Kapital muß man auf 5j- Oaßre augleifjen, bamit man eben fo niel £>in$ banon erhalte, als non 370 fl. in 9 fahren? 648. 2Bie niel 3ta$ gibt ein Kapital in 2\ fahren, wenn e$ in 4 SZonaten 28 fl. trägt? 1^49. ©in ©apital bringt in.2 fahren 123 fl. 40 Ir. wie -niel in 1 3af)re 7 Sionaten ? 50. A hat an B 900 fl. auf 5 Stonate geliehen, nnb gwar ohne Sntereffen; wie lange muß B an A ein ©apital non 1250 fl. borgen, um jene ©efälligleit auSjngleichen? 51. SSBic lange muß ein ©apital angelegt bleiben, um 414 fl. 70 fr. 3toS einjutragen, wenn e§ in 1 SJonate 15 fl. 95 Ir. 3in$ gibt? 123 52. 2Benn ftcf) baS fcftc (Srbreicf) junt foderen bem 3nl)afte nad) wie 10 : 17 Derf)äft, a) »ie Dief fodere (Erbe geben 248£3 m fefte (Erbe, b) mie t)iet fefteö (Erbrcicf) geben 300[x] ,n tocfere (Erbe? 53. ®er ^rei^ be$ 3 U( f erö öerfyäft fid) SU bent be£ Saffee mit Äifogr. 3uden 10 : 23; nrie Dief foften 35 $ifogr. Äaffee, »enn 1 60 fr. loftet? 54. 100^* Vucfjenfjofj enttt>icfeln beim Verbrennen eben fo öte( SBärme af$ 37 Tonnen ©teinfofyfe; »enn man nun in einer §au$Ijaftung jäf)rli(f> 42[x] m Vudjenfyofj derbraud^t unb btefe^ burd) ©teinfofyfen erfe^en miß, mie diel STonnen ber teueren finb erforberlidj? 55. SBenn ein SWaurer bei gleichem gfeifje bei ©runbmauern täglich 500, bei ©emöfbemauern bagegen nur 325 3i e 0Ufteine 1*0*/ unb für l[><3 m ©rnnbmauer 1 ft. 25 Ir. an Slrbeitötotjn gejault »erben, »ie diet beträgt ber 2lrbeit8foI)n für l[x] m ©emölbemauer ? - - ( 56. Um bie (Entfernung Don ber ©onne bis gur (Erbe, b. ]. 21 SJiiffionen SCfteifen jurüd^ulegen, braucht ba$ Sid^t 8 Minuten 7*5 ©ecunben; in voeldEjer 3eit mürbe ba$ i*id)t Don bem näd^ften gifftente-^L bis $u uns gelangen, »enn man biefe (Entfernung auf ben ffeinften unb f/ möglichen Vetrag Don 426100 307itlionen teilen anfefct? i 57.} Um an einen Ort tn 15 Stagen ju gefangen, muß man tägfief) 39f Äifom. jnrüdfegen; in »ie Diel £agen »irb man baljin lommen, »enn man täglich nur 30^ Siforn. madjt? f 58. ©n (Eifenba^njug gc^t Don 2öien auf ber Sßeftba^n ab fegt ftünbficf) 3äT Sifometer jurüd; naef)i 1| ©tunben ttirb ifjm eine SocomotiDe nadjgefenbet, mefd)e ftünbfid)J$Sifometer jurüdgetegt; in »efdjer £üt »irb fie ben 3 U 0 erreid^en ? SBorfprung beS 3uge£ = 33 X 1V 2 = 99 / 2 $ifogr. 58efcf)£eumgung ber Socomottoe in 1 ©t. 48—33 = 15 $i£om. _ Qu 15 Äifont. brauet bie Socorn. 1 ©t. /r 1 1 / /• 7* • x n n n tt lis tt 1 / i • *; 1 2 // /f ff " 1 80 /' < f>. * // /> "/ 3 O // — £59. Von jmei SRäbern, »efdje in einanber greifen,| r f$t 'baS' töte 1 48, baS anbere 32 3äf)tte; tote °f* toirb fiel) baS jrneite umbreljenr'T ttenn ftd) baS erfte 38maf umgebrefjt ^at? V : 60. Vei einem äßagen ^at ba§ Vorberrab 6| dm , ba^ §interrab 9| dm im ©ur^meffer; »enn fid) nun ba^ ^interrab in einer gemiffen 3eit 32maf umbrej^f, mie Diele Umbre^ungen ma^t in berfefben %f\v* - ba§ Vorberrab? / _ t . - j l 0 ft 1 2 // 99 / // » / 2 / 124 61. 93ott jfoei 9?äbertt fott ba$ eine 200 Umbretjungen madjett, mäljrenb fid) ba8 anbere 80mat umgebreljt t)at; mie Diet 3äf)ne ' man bem jmeiten 31abe geben, menn ba3 erfte 26 3 ä *) ne f) Q t? ( 62. 23on jmei SRötjreu füllt bie eine einen Sßaffcrbeljälter in 3£, bie anbere in 2| ©tunben; bie erfte 9?ötjre liefert ftünblicfj 4 §e!to* liter 20 Siter; mie nie! liefert bie gtocite 9?öf)re in jeber ©trntbe? 63. ©ne 9töt)re gibt tn 1 ©tunbe | §eftotiter SBaffer, eine gtreite* Otöfjre in berfetben $txt £ ^eftoüter; in mte Diel ©tunben erhält man 51 £>cftotiter 23 aff er, menn bcibe 9töljren jugteid) ge* öffnet finb? - Selbe ERö^rett geben in 1 ©tunbe 2 S + s / 4 = 17 / 12 §efioliter Söaffer 17 /i 2 in 1 ©tunbe a /i 2 n tn bem 17. Steile ber Seit = 1 / 17 ©t. 1 in 12mat io uiet Seit = 12 / 17 ©t. 51 „ in ölmal fo riel 3eit=—©t. = 36 ©t. 64. 23ie Diel Sitogr. ©otb Don 900 Sau]enbtl)eilen ©efjatt geben Silogr. ©otb ä 720 Saufcnbtfyeilen? 65- 3luS 1 SUogramm feinen ©tlberS merben 90 öfterr. ©utben* ftüde geprägt; mie Diet ©utbenftüde get)en auf 1 Äitogramm üDlünj* fitber b. i. feinet ©itber? Set 10 / 10 geingeljalt.. 90 ©utben tt tt V 10 */,o tt tt 9 81 // rr 66. 2luö 1 Silogramm Stünjgotb feines ©otb) »erben 155 2ld)tgulbcnftüde geprägt; »ie oiet foldje ©tüde gehen auf 1 Sito= gramm feinen ©olbeS ? 67- 3 roe i ^ßerfonen treten JU einem ©efdfäfte gufammen unb fegen 1200 fl. ein. SBenn nun A 700 ff. eingelegt f)at, unb baS efcf)äft einen ©ewinn üon 480 -ft. abwirft, »ie üiet gewinnt A, wie oiet B? 68. Sei einer Unternehmung haben A 2400 fl., B 8000 ft. unb C 3600 ft. ftefien. SDurcf) einen Unfatf erteiben fie einen ©djaben üon 300 ff.; »ie groß ift ber ©djaben, ber jeben einjetnen trifft? 69. 'Sei einem @efd)äfte gewinnt A 900 ft., B 700 ft.; wenn nun A ;§« biefem ©efdiäfte 4500 fl. hergegeben tjat, »ie grofj war bie ©nfagefbeS B? 125 2 . £He procentred)tmng. §. 69. Sei oerfdjiebeuen Serechnungen be 8 bürgerlichen Sebent pflegt man ba3 Procent, b. i. ben (Srtrag oon 100, jur ©runb* tage anjuneljmen. 3- ©n Kapital ift 3 U 5 °/ 0 (5 Procent) angefegt, heißt: je 100 fl. (Kapital geben jährlich 5 fl. £xn8. Sei jeber Procentrechnung lommen außer ber ©runbjahl 100 brei ©roßen t>or: 1) baS Procent, b. i. ber Setrag, ber fid) auf 100 bezieht; 2) bie ©umme, oon mcfcher bie Procente berechnet merbeu; 3) ber (Srtrag biefer ©nmine nach ben gegebenen Procenten. ©inb non biefen brei ©roßen jmei gegeben, fo fann au$ benfctben bie britte beftimmt merben. £)a$ Procent bejief)t fid) 3 tt>ar immer auf bie 3 a h^ 100' ^ ®\xb jebod) nidjt immer oon 100 fetbft, fonbern mandjmal oon ber ©nmme au$ 100 unb bem Procent, manchmal auch oon ber ©ifferenj aus 100 unb bem Procent gerechnet. 3e nadjbent baS procent oon ber ©runb* jaf)t 100 felbft, ober oon ber um baS Procent oermehrten ober oer= minberten ©runbjahf 100 geregnet mirb, heißt bie Stedjnung be 3 ügfid) oon £mnbert, auf §unbert ober in §unbert. 2fu$ fofgenben Sei* fpielett mirb biefe Unterfdjeibung Har: 4* 1. Sei einer SBaare, meldje für 600 ff. eingelauft mirb, ^at man 3% ©pefen; mie oief ff. betragen bie ©pefen? Ober: Sou je 100 ff. 333aarenprei8 merben 3 ff. ©pefen geregnet; mie oief ff. ©pefen entfallen oon 600 ff. SBaarenpreiS ? — äßan hat 3 ur Stuflöfnng bie Proportion x : 3 = 600 : 100, morauS x = 18 fl. folgt §ier merben oon je 100 ff., bie in 600 ff. entölten fxnb, 3 ff. ©pefen gerechnet. (9Jed)nung oon £>unbert.) fcs\ i 2. (Sine SBaare foftet mit Umrechnung oon 3*%-©pefeiv600 ff.; mie oief betragen bie ©pefen? V t ~ . ®a fjier bie (Summe 600 fl. ben reinen äöac§ > enprex& um bie ©pefen öermefjrt enthält unb baljer entftanbenfxftj. mbem^Eon je 100 fl. SEBaarenpreib um bie ©pefen öon 3 fl. Vernecl)« .-statt je 100 fl. alfo 103 fl. angenommen fjat, fo läfbt fid) bte' 4ir%ace audj fo aubbrüden: 3n 103 fl. Saarenpreib mit ©pefen fxnb 3 fl. ©pefen 126 enthalten; toie t)iel fl. ©pefen finb in 600 p. SBaarenpreiS mit ©pefen entsaften ? — 3ur Sluftöfung Ijat man bafyer bie Proportion x : 3 — 600 : 103, toorauS x = 17’48 p. folgt. $ier toerben nicf)t oon je 100 p., fonbern oon je 103 p., bie in 600 p. enthalten finb, 3 ft. ©pefen gerechnet. (Siedjnung auf §unbert.) 3. £)er 23erfauf$preiS einer SBaare naefy Slbjug oon 3% ©pefen ift 600 p.; toie oiet betragen bie ©pefen ? £>ie ©umme 600 f(., in tocfc^er oon bem reinen SBaarenpreife bie ©pefen bereite abgewogen finb, ift entftanben, inbent man oon je 100 p. SBaarenpreiS 3 p.-©pefen in 2lb3ug gebracht, atfo ftatt je 100 fl. nur 97 p. angenommen fjat. 3Me Aufgabe ift bafyer gfeid^= bebeutenb mit ber fotgenben: 3 U 97 P* SßaarenpreiS nad) Slbjug ber ©pefen gehören 3 fl. ©pefen; toie oiet ©pefen gehören ju 600 p. SBaarenpreiS nad) Stbjug ber ©pefen? Sfflan Ijat bie Proportion x : 3 = 600 : 97, toorauS x = 18’56 ft. folgt. §>ier toerben aud) nidp oon je 100 ft., fonbern oon je 97 p., bie in 600 p. entsaften finb, 3 p. ©pefen gerechnet. (9tecpnung in £>unbert.) ®ie gegebene ©umme, oon toetdjer bie Procente beregnet toerben, ift alfo für 3°/ 0 bei ber 9ted)nung oon §>unbert gleichartig mit ber 3alp 100, - „ auf |)unbert ff „ „ „ 103, „ in £>unbert „ „ „ „ 97. tt gtetbnung »ott ^uttbert. §. 70. 23on einer 3af)i V/ 0 , 2%, 3°/ 0 • • • öon Jpunbert regnen, Ijeigt oon je -100 ©nfjeiten berfelben 1, 2, 3, . . . ©nljeiten nehmen. SDiefer nrfprüngtidje -Segriff beS procente« lägt noef) eine anbere Stuffaffung ju, bie für ba$ 9iecf)nen felbft feljr oorttjeitfjaft ift. £>at man -0. oon 800 fl. l°/ 0 ju nehmen, fo £>eigt bieg fo oiet atS: oon je 100 ft., bie.in 800 ft. entsaften finb, 1 ft. nehmen, fomit oon 1 ft. immer nur ben lOOften ST^eit oon 1 ft., oon 800 ft. alfo ben lOOften-£fjeit oon 800 ft. neunten. 1% oon 800 ft. bebeutet bemnaef) oon'800 ft. Grbenfo folgt, bag 2% einer 3 a *K röö berfelben, 3°j 0 einer 3«Ijt T |o berfelben, u. f. t». bebeutet. 127 ®ie ^rocentredfnungen öon Rimbert werben mittclft ber ^J3ro= portion ober naß) ber SßßufSreßjnung aufgetöft. einfachere Säße fömten im Kopfe bercßjnet werben. Aufgaben. 1* SEie oiel ift 1 °/ 0 öon 300, 800, 1500, 5000? 2* 2öie öict betragen a) 2°/ 0 öon 200, 4°/ 0 öon 500, 3% Don 700? b) 6°/ 0 Don 900, 8% Don 450, 15 ( '/ 0 Don 600? 3. * 2Bie oiel beträgt a) i°/ 0 twn 700, f% öon 800, f°/ 0 Don 1000? b) 14% öon 600, 3}°/ 0 öon 1200, 5f°/ 0 öon 1600? 4. 333ie groß ift ber Ertrag öon 1543 f(. ju 5°/ 0 öon §unbert? a) Jtacfj ber Proportion: x ft. ertrag 1543 ft. x : 5 = 1543 : 100 1543 X 5 n tr 100 tt X = 100 fl. = 77-15 fl. b) Sftadj ber ©cf)lußred)mmg: 100 fl. geben 5 fl. ©rirag 1 ft. gibt — „ „ 1543 ft. geben 5 ^ 543 ft. = 77-15 ft. JLUU ober aud): 1543 fl. geben t $u 1% ben lOOften $f)eil oon 1543 fl. = 15*43 fl. „ 5° o . . 5mal fo oiel = 15*43 fl. X 5 = 77-15 fl. ©er 6rtrag einer (Summe nad) ‘procenten Pott §un= bert wirb affo beregnet, inbem man ben lOOften SS^eif ber Summe mit bem ißrocent multipliciert. 5. SBie ötel betragen a) 4% öon 755? c) 4|°/o Don 64? 6. 2Bie Diel betragen a) 5% öon 788 fl. c) 6i°/ 0 öon 2080 SDfarf? clß)e 3af)l ift a) um 2% größer als 200, als 450, TbQf.l b) um 3°/ 0 Heiner als 400, als 500, ajfandjmal wirb ber ©trag naß) Promille b. i. 1000 bereßmet. 3n biefem Säße muß man ben lOOOften 7. m b) 5i°/ a öon 840? d) 6i VJH» J?Ö2? itsi t ^ b) 4|i"yptv im b) 2i»4 82^ ;.? S * 128 £ljeil ber ©immte, bereu Srtrag gefugt mirb, mit bem Promille multipticieren 8. 3emanb ljat 2°/ 00 Don 12560 fl. ju forbern b. i. 2 fl. Don je 1000 fl.; mie biel beträgt biefeS? 12-560 X 2 25*120 = fl. 25 „ 12. 9. 3Bie Diel beträgt a) l°/ 00 Don 8350? b) lvV°/ 00 Don 5400? c) li -%0 Don 1800? dj 5'7o Don 2564? 10. 35on melier ©imune geben 6% ben Ertrag 75 fl.? 100 fl. geben 6 ft. “ x : 100 = 75 : 6 x „ „ 75 „ x ~ 1250 ft. ober 6°/ 0 b. i. 6 100 oon ber Summe = 75 ft. l°/o b. i. Vico ,, » „ = 12-5 fl., batjer bte Summe fel&ft = 12*5 ft. X 100 = 1250 ft. 11. * SBeldje ©umine gibt $u 5°/ 0 einen Ertrag Don a) 20, b) 36, c) 82, d) 59, e) 60f? 12. SBeldje ©unttne gibt a) ju 4% 447, b) ju A±% 1211, c) ju 6{ % 3371 al§ Ertrag? 13. S3on tüeldjer Summe gibt f 0/ 0# ben Ertrag 12 T 3 „ fl.? 14. Sie biel u / 0 mujj man bon 7975 fl. nehmen, um 638 fl. ju erhalten? x ft. ge&en 100 ft. x : 638 = 100 : 7975 638 „ „ 7975 „ x = 8 ft. ober: 1% »on 7975 ft. ftnb 7975 ft.; 638 ft. ftnb bat;er fo oiet % »on 7975 ft., «tS tote oft 79-75 ft. in 638 ft. entfetten finb, atfo 638 : 79'75 = 8%. 15. * Sie biel u /o non 100 finb folgenbe galten: 25, 50, 20, 10, 5, 15, 60, 45, 70, 121, 16|, 33-1 ? 16- Sie biel °/„ finb a) 30 bon 600, 100 bon 1200, 54 bon 900? ' *tf) 20 bon 500, 21 bon 700, 48 bon 800? 17. Sie biel % finb: a) 23 fl. bon 460 fl.? b) 72 fr. bon 16 fl.? c) 606 Wart b on 8060 2ttarf ? d) 126^ fit. oon 6345 fil. ? 129 18. 560 fl. ßapital finb ju 4% angelegt, b. ß. jebe 100 f(. Capital gebe« fäßrlid) 4 ff. 3inS; tote nie! Bin« beließt man bon bent ganzen (Kapitale? 19- SBie utel beträgt ber jäßrlicße 3tnS a) bon 825 fl. ju 5% ? b) bon 3000 ft. ju 5J-%? 20. SBie Diel Capital muß man ju 41% anlegett, bamit bie fäßrticßen Sntereffen 127£ fl. betragen? V 21. ©n £auS tragt an SBoßnsinS jäßrlicß 548 fl.; wie großift ber SBert bicfeS fiaufeS, wenn cS fid; ju 5% öerjinfet ? 22. Semanb ßat ein jäßrlitßeS Gsinfommen Don 1645 ff.; wie Diel beträgt baoott bie ©nlommenfteuer k 7%? 23- ©n bpauS, beffen SBert auf 18350 fl. gefdjäßt würbe, wirb bei einer geuer = 23erficf;erungS = ©efellfcfjaft ju 1% 0 affecuriert; wie eiet beträgt bie SerfidjerungSprämie? ^2^. ©ne SSBaare wog beim Empfange 4800 Silogr., naeß einiger 3eit wog fie nur 4704 Silogr.; wie Diel % finb eingetrodnet? 25- 3 U einem Saue ßat man 64800 3i e 9# c 'ne nötßig; wie Diel Stücf mäßen geliefert werben, wenn man für Srudf unb Serluft 8^% regnet? 26. SRinbfleifcß berliert beim Sieben 15% feineö ©ewicf)teö; a) wie Diel wiegt ein Stücf bon 31 Kilogramm roß (oßne Änocßen) naeß bem Sieben? b) wie bie! roßeS gleifcß muß täglicß für 12 ißerfonen angefeßafft werben, wenn jebe i Silogr. gefotßteS gleifd) betommen fott? 027. 33on 409 35jäßrigen SDlenfcßeu fterben 40% bis jum 60ften 3aßre; wie biel erreießen bemnaeß baS 60fte 3aßr? 28. 3Bie groß ift bie Seoölferung eines £)rteS, wenn 15% ber* fetben 10881 betragen? *29. Sößmen jäßlte im 3aßre 1780 2561794, im 3aßre 1870 5140156 Cinwoßner; um wie biel % ßat bie Sebölferung SößmenS in biefer 3«ü ä u 9 enonimett ? G30. ^rag ßat 157713, Subapeft 270476 ©mtwfyW'; a) um wie biel % ßat ißrag weniger als Subapeft? b) um, '^id piet' % ßat barunter Subapeft meßr als iprag? >s .. '1r\ 31. Steiermarf ßat 2066820 §eftar probuptoe .Sobinfläcßen ter li% Steingärten; W ( ie biel §e!tar betragejTBtef*? % I ^ 32. 9emanb lauft um fl. SBaaren unb 1 geWinftt/jßev beren Verläufe 9°/p; wie biel beträgt ber\anje ©ewinn?' % /4 . t. V SKoinxf, 2ö«tljmetif für llnterrealjd)ulen. 16. 21 ufl. 130 33. 2Betm bad Steter Sudj im (Sinlaufe 3 fi. 20 fr. foffet, »ie l;od; mup ed im Serfaufdpreife gefegt »erben, »enn man 12% gemimten miß? 34. SBie siet % »erben gewonnen, wenn mit einem ©ewinne oon a) {-, b) c) | bed (Sinfauföpreifed berfauft »irb? 35. (Sine SBaare »irb mit einem ©ewinne oon 21 fi. berfauft, unb jwar beträgt biefcr ®e»inn 20%; »ie treuer »urbe bie SBaare eingetauft? * 36. 3emanb oerfauft eine golbene SInferuijr, bie er für 75 fl. taufte, für 51 fl.; »ie oiel % öerliert er? £)ad ©ewidjt einer Sßaare mit Inbegriff ber Uml)itßung ober bed Seljältniffed, »orin fie berpadt ift, nennt man bad brutto» ©ewidjt, bad ©etoicfjt bet ffiaare allein ol;ne ©efjältnid bad 'Jtetto»®e»id)t. £)ad ©etoidjt bed Seljältniffed, ober bielmefjr ber Slbjug, ber »egett biefed ©ewidjted oom iSruttoge»icf)te gemadjt »irb, Ijeifjt Sara. Sie Sara »irb ent»eber ftücfweife, pr. ©ad, Saßen, $ap, Kifte, u. f. ». ober nad; ißrocenten bom Sruttogewidjte beftimmt. £>er Ülbjug am ©ewic^te, welker bem Käufer bei gettiffen Söaaren »egen bed ©ntrodnend ober 23er»ägend beim Kleinoerfaufe gewährt »irb, Jjeigt ©ittg ewidjt unb »irb, »ie bie Sara, ent» »eher pr. gradjtftüd ober nad) ißrocenten angegeben; im jweiten 0aße »irb ed immer bon bem nad) 9Ibjug ber Sara übrigbteibenben 'Hetto »©ewidjte, nur itt Hamburg bom Srutto»©ewidjte berechnet, ©owoljl Sara atd ©utgewidjte werben auper bei fefjr treueren iBaaren in ganjen Kilogrammen ober ißfunben berechnet, üöenn man bom Srutto »®ettid)te bie Sara unb bad ®utge»id)t in 3lbjug bringt, fo bleibt ald 9teft jened ©e»id)t übrig, bad ju bejahen tommt, unb bad im »eiteren ©inne aud) 9tetto * ©ewidjt ge» nannt »irb. 37. S)ad Srutto»@e»idjt einer Sßaare beträgt 2350 Kilogr., feie Sara 8%; »ie grofj ift a) bie Sara, b) bad Sßetto»@e»id)t? a) 23-50 X 8 188 $tfogr. %axitfe ber Proportion auSgefü£)rt. Aufgaben. 1. Sie grofj ift ber (Srtrag bon 2226 ft. ä 6°/ 0 auf §unbert, b. i. mie biet toirb bott 2226 ft. Berechnet, menn man bon 106 ft. 6 ft. beregnet? 3. 23on metdjer Summe finb 90492 ft. bei 4% auf Spunbert errett morben, b. tj. toeld^e Summe gibt 90492 ft. Ertrag, toenn man bon 104 ft 4 fl. Ertrag rechnet? x : 104 = 90402 : 4; x = 2345 ft. 4. $on meldfen «Summen finb fotgenbe betrage gerechnet morben: auf fmnbert? 5. ©urd) Stbjug bon 4i°/ 0 au f §unbert fiat fid; eine Summe auf 2164 ft. berminbert; mie grof mar biefetbe? 6. Sie biet % auf ©ujtbert finb 27 ft. bon 702 ft.? 7. Senn man ftatt 1978 ÜDZart nur 1840 ÜOlarf jalftt, mie biet % auf £iunbert beträgt ber Stbpg? ' 8. Sie biet °/o auf §unbert beträgt e$, menn ftatt 632 ft. x : 6 = 2226 : 106; x = 126 ft. 2- Seredjne ben Ertrag auf §unbert bon a) 3148 ft. ä 5°/ 0 , "b) 958 ft. 25 Ir. ä 8%, c) 1507 Francs ä 4 l°/ 0 , d) 5033^ Ptarf a 2 9 / 0 . ä) 62 ft. ä 3°/ 0 , b) 163-24 ft. ä 5.f°/ 0 , c) 108 SD7art ä 2® /o , d) 206-75 grancb'ä 6|% SBermeljrter betrag 702 fl. c centertrag 27 „ urfyrünglidje ©umme'675 fl. x : 27 = 100 : 675 x = 4% auf gunbert. äSermeljrter betrag 1978 ürfprünglidjer „ 1840 „ fßrocentertrag 138 3)1. x : 138 = 100 : 1810 x = 7i% au f ^>unbert. mir 5094- fl- ocrerfmd: toerbeit? 135 CX^L unbert regnen, heißt bon je 99, 98, 97, . . ©inßeiten bejügtieß 1, 2, 3, . . ©inßeiten neßmen. ®ie iRecßnungeu in Rimbert werben mittefft ber ißropofttpn audgefüßrt. / % { K ^ ; t Aufgaben. ' ' « ) - 1. SBie groß ift ber ©rtrag bon 1224 ft. ju 4% in’punbert/» b. ß. wie bief werfen 1224 ff. ab, Wenn 96 ft. 4 ft. abwerfenS ■ % x : 4 = 1224 : 96; x = 51 ft. ‘ . /' 2. SEBie groß finb bie töeträge in £unbert bon : % a) 982 ff. ä 4i% ? b) 692-64 ft. ä 5% ? c) 2805 grau cd ä 2%? d) 5177 SDfarf ä 3j%? je; OV 'tt 136 3. SEBie oicf finb 6% a ) »on, b) auf, c) in §unbert oort 3074 ft? 4. 33ou wetdjer (Summe finb 12% in Rimbert gleich 3974 fl.? x : 88 = 397i : 12; x = 2915 ft. 5. 33on wetcßen Summen finb fotgenbe iöeträge ju ben beige* fügten ißrocenten in $unbert gerechnet worben? a) 200 ft. ä 5°/ 0 ? b) 93| ft. ä 8|% ? c) 512 Sire ä 24 % ? d) 128-ß Ottarf ä 6f% ? 6. SSon wetdjer Summe finb 45 ft. 4% a) non, b) auf, c) in $unbert? 7- Sßie niet % in £>unbert beträgt es, menn man ftatt 3750 ft. 4000 ft. berechnet? SSerminbevter Setrag 3750 ft. urfprttngttäjer „ _4000_,, tßrocentertrag 250 ft. x : 250 = 100 : 4000 x = 6|% in §ünbert. 8. S55ie Biet % a) Bon, b) auf, c) in ^unbert finb 88 ft. Bon 817 ft.? 9. Sßie Biet % Bon £>unbert finb a) 154% au f £>unbert, b) 5f% in §unbert? ^ 10. 2Bie Biet % auf |)unbert finb a) 134 % 00n §unbert, b) 4f% in gmnbert? 11. SS3ie Biet % in £mnbert finb a) 8% ö 0 n fmnbert, b) 15% auf §unbert? 12. Semanb jaßtte für eine Steuer bei 4°/ 0 2tad)taf§ 208 ft. 58 fr.; wie groß war bie Steuer? 13. ©er SSerJaufSfareiS einer SEßaare nad) Stbgug Bon 18% Spefen beträgt 2308 ft; wie groß finb bie Spefen? 14. Sür eine mit 3% 33ertuft Berfaufte SKaare Werben 1040 ft. getöft; Wie groß ift a) ber SSertuft, b) ber ©nfaufSpreiS ? 15. SBenn man eine SEßaare für 150 ft. Berfauft, fo oertiert man 10%; wte tßener muß man fie aerfaufen, um 8% ju gewinnen? 16. -Semanb jaßtte für einen SEßaarenbetrag, oon wetdjem ißrn ein Sconto Bon 1|% bewilligt würbe, 1551 ft.; wie groß war a) ber Sconto, b) ber Söaarenbetrag ? 17. ©er 33erfaufSbetrag einer äEßaare ftettt fidj nad) Stbgug Ben Bon . 4 % (Senfarie auf 2095 ft.; wie tßeuer würbe bie SEßaare Berfauft? 18. Sür eine Berfaufte Sffiaare erßötf man nad) Stbjug Bon 2% ißroüifion 2158 ft. 88 fr.; Wie oiet beträgt bie ißrooifion? 137 3. fEofung oon Aufgaben mit jufammengefe^tf« bcrljältuiffnt. (J0ic jnfammcngcfcljte Itcgclöctri.) §. 73. gmngt eine 21rt oon 3t>0rfion. §. 74. 3ebe jufammengefepte fRegelbetri fattn in mehrere einfache jcrlegt merben. 3- 3 Ptaurer führen in 14 Sagen 50^] m Ptauermerf auf; in mie oiel Sagen merben 7 Plaurer 125^j m SKauermer! auppren? Plan pat fotgenbe jrnet 21nfäpe ber einfachen iRegelbetri: 1) ßur £>erftellung oon 50f>3 m Pfanermerl branden 3 Plaurer 14 Sage y : 14 = 3 : 7 7 „ y „ y = 6 Sage. 2) 7 Ptaurer braunen jnr fperftellnng oon 50^ m 6 Sage x : 6 = 125 : 50 ,, 125|Xi m x „ x = 15 Sage. ßüirjer fann bie Aufgabe mit ipitlfe einer einzigen jufammen» gefegten Proportion gelöft merben. ©teilt man nämlicp bie früher erhaltenen jmei Proportionen jufammen, bepält jeboep ftatt ber gefunbenen 3af)l 6 ben SBucpftaben y bei, fo pat man y : 14 = 3:7 x : y — 125 : 50, b aper burep y . x : 14 . y = 3 . 125 : 7 . 50 unb menn man bab erfte PerpältniS bitrcp y ablürjt, x : 14 = 3 . 125 : 7 . 50, ober x : 14 = 3:7 125 ; 50, menn man bie ju multiplicierenben 3apten unter «nanber fept/ w ’ / 9P. ’ * ' - *. -v* ’i * '» * * __ *> - # ^ 138 £>aS 23ert)ättniS x : 14 ift bemnad] gteid) bem pfammengefefeten 35erE)ältniffe aud 3 : 7 unb 125 : 50. Pergteidjt man bie Orbnung ber 3aljten in biefen 23ert)ättniffeu mit ber «Stellung ber 3at)ten in ber Aufgabe, nämtidj 3 Ptaurcr in 14 Jagen 50^j m 7 „ „ x „ 125^1 m fo fiel)t man, bafs bie p x Jagen unb 14 Jagen gehörigen galten ber SDiaurer, welche mit ber 3cfl)l ber £«9^ oerfefjrt proportioniert finb, in umgelefjrter, bie pgefjörigen 3at)ten ber aber, toeldEje mit ber 3«f)( ber Jage gerabe proportioniert finb, in ber nämtidjen SDrbnung p einem 3Serl»ältniffe oerbunben erfdjeinen. JarauS ergibt fid) für bie Söfung ber pfammengefe^ten 9tegeO betri=2lufgaben folgenbeS 23erfat)ren: 1. Plan fe^e x nnb bie barait gleicf)natnige 3al)t in bad erfte 33ert>nltniö. 2. J)ab äiocite Pertfättnid ber Proportion ift ein pfammem gefegte«, beffeit eirtfadje 33ert)ättniffe man finbet, wenn man bie beiben p x nnb p ber bamit gteidinamigen 3ntjt gehörigen 3<# e n einer jeben Strt in berfelben ober in umgeMjrter Drbnung nimmt, je nadjbem biefe Strt mit ber 21rt boit x gerabe ober berfefyrt proportioniert ift. SDiefe Perfjättniffe werben unter eittanber gcfdjrieben. 3. J)ie Proportion wirb aufgetöft, inbem man bad Probuct alter in ben inneren ©liebem norfommenben 3at)ten burdi ba§ Probuct aller in ben äußeren ©fiebern befinbtidjen galten bibibiert. AufTäftt«8 äufawwenge/'e^ter^eßerbefri-^nfgaßen b«ug bie «dinuttg. §. 75. ©nfadjere Stufgaben fönnen and) tjier burd) teilte Schlüffe im Sopfe getöft werben. 3- 23. 4 Arbeiter, welche täglich 12 ©tunben arbeiten, bringen eine Arbeit in 7i Jagen p Staube; wie oiet Jage braudien bap 6 Arbeiter, wenn fie tägtidi 10 ©tunben arbeiten? SPenn 4 Strbeiter 7| Jage braunen, fo fiat 1 Strbeiter 4mat fo biet 3ett, atfo 4mat 7| = 30 Jage nötffig; 6 Strbeiter aber braunen nur ben 6ten J^eit bon 30 Jagen b. i. 5 Jage bei tägtidt) 12ftünbiger Slrbeit; würben fie aber nur 1 ©tunbe tägtid) arbeiten, fo tiätten fie 12mat 5 Jage = 60 Jage baran p ttjuu ; ba fie nun lO ©tunben täglich arbeiten, fo braudien fie nur ben lOten Jffeit bon 60 Jagen, atfo 6 Jage. 139 §. 76. ®iefelben ©djliiffe, wie beim Sopfredjnen, liegen aud) ber fcfyriftlicijen 3 lue ifa^rcd>nxing ju ©ruttbe. giir bie in §. 74 be^onbelte Aufgabe mürbe fid; bie fdjriftlidjc ©dilujjredjnung fo fteßen: 3 231anrer braunen ja 1 „ brauet „ 7 „ brauchen „ 7' „ braudien „ ~ r 14.3 . 125 . - (- 7 . 7 n n rf 12o ft y — 15 23et ber Schlußrechnung bringt man, um bie Schlüffe leichter bilben gu tonnen, biejenige Art oon galten, 5 U welcher bie unbetannte gaßt gehört, auf bie teßte ©teile. Anfänglich werben wegen beS tafferen lleberbtideS ber Schlußfolgerungen alle gwifchenrefultate ooEftänbig angefchrieben; bei oorgerücfter Hebung fefct man unmittelbar gu ber mit x gleichnamigen gabt nach unb nach biejenigen gahlett, mit benen multipliciert werben foE, in ben gäfjter, biejenigen aber, burch welche bibibiert werben foE, in ben Kenner als gactoren bagu, fo bafS am Schluffe nur baS ©nbrefultat ba fteht, an welchem bann bie Ausrechnung ooEgogen wirb. hiernach würbe [ich bie £öfung ber früheren Aufgaben fo barfteEen: 3 SEaurer brauchen gu 50 1 „ braudjt „ 50 „ 7 „ braunen „ 50 7 „ „ „ 1 7 „ „ „ 125 m X = 14 . 3 . 125 1 . 50 = 15 %. Aufgaben, 1. 5ßet<$e$ (Sapitat gibt in 6 Sauren gu 5°/ 0 ^en fo oi d 3ütö 4260 fl. ßafrital in 10 galjren gu 5^%? £)urch bie Schlussrechnung: gur ©rgietung eines beftimmten ginfeS wirb erforbert > in 10 fahren k 5^°/ 0 1 Sahre ä 54% n u 6 gahren k 5|°/ c // 6 // n n a i»/ 0 % KOI a o / 0 4260 ft, ßap. 4260 . 10 „ „ 4260 . 10 6 " " i r; / tu. 4260 . 10.5* 4260 . 10.54 n ft \ t • * «r ♦ ‘ 1 ^ ‘ ( > / 4 ) I ‘ fl ff = 7810 ft. £ap. A J * s yf-V i / 3Jtit §Ufe ber vßroportion: 4260 f(» Gap. in 10 & ä 54% x : 4260 = 10 :6 tt tt ft 6 „ ä 5 // i : o X = 7810 fl. Gap. 2. 750 ff. ßapitaf ju 3% angefegt, bringen in einer getoiffett 3eit 78 ff. 75 !r. 3tn$; 31 t tote nie! % ntitßen 500 ff. Sapitaf au$= freien, bamit fie in ber niimfidjen &\t 61 fl 25 Ir. 3in8 geben? 3* @in Sapttaf gibt ju 5f-% 4 3af>ren 7 Monaten 1643 ff. 65 fr. 3taS; tnie nie! 3ta$ gibt bo$feI 6 e Sapitaf 31 t 6 % to 2 Sauren 9 Monaten? . 8 ©ferbe brauchen in 15 Sagen 20 |jeftotiter |jafer; h)ie biet §ettotiter braudjt 1 bßferb in 7 Sagen? J15. 5 ißferbe oerjetjren in 6 Sagen 360 Kilogramm |jeu, unb 10 Kütje in 5 Sagen 280 Kilogramm $eu; wie öiet §eu merben 12 bjßferbe unb 18 Külfe in 13 Sagen berjetyren? t y[ 6 . 15 Arbeiter »errieten eine Arbeit in 10 Sagen, wenn fie tägtid) 12 ©tunben arbeiten; wie oiefe Arbeiter wirb man aufnetpen rnüffen, bamit fie bie nämtidje Arbeit in 6 Sagen bottenben, ittbem fie tägtid) nur 10 ©tunben arbeiten? 7. Sie Stbfdjrift eines SBerfeS fann bon 6 ©Treibern, welche tägtid) 12i- ©tunbeit fdjreiben, in 8 Sagen bottenbet werben; wie biete ©djreiber wirb man nodj baju aufnetjmen müjfen, bamit fie mit ber Stbfdjrift bebfetben ©erleb in 5 Sagen fertig werben, wo fie tägtid; nur 12 ©tunben fcfjreiben ? \ 8 . ©ine 307ü£)Ie mit 4 ©äugen maf)tt in 6 Sagen a 16 ©tunben 240 ^ellotiter ©etreibe; in wie biet Sagen matjten 3 ©änge 1874 •jpeltotiter ©etreibe, wenn tägtid) 20 ©tunken gemalten wirb? Stuf einem Sttfer bon 150 m Sänge unb 30 m ©reite fönneu ' 7 14 ^ettoliter ©eijen gefäet werben; wie tang muff ein 36 m breiter Sfder fein, um barauf 2 ® £>eftotiter ©eijen fäen ju fönnen? ©otr jwei 9täbern, Wel(f)e in einanber greifen, tjat bab eine 56ooab anbere. 21 gäfjne; wenn nun bab erfte in 2-^ ©finuten 58'Umläufe madjt, wie bietmat bretjt fid) bab zweite fttab in 3f fDfinnten um? S^p^fub 6 Kilogramm ©arn webt ber ©eher 60 ©feter Sein* wanbT^ welche 1 | Sfteter breit ift; wie biet Sdleter Seinwanb wirb man bon 8 Kitogr. ©arn befommen,"weun bie. Seinwanb nur 1 | SÖfeter breit fein fett?’ m r > 141 /jA'/- 2. Sin ©uefi, bereit jebe ©eite 32 feilen ju 45 ©ucfiftaben enthält, fiat 240 ©eiten; wie Diele ©udfitaben muff man im £)urdfi fdjnitte in einer geile anbringen, um ben Snfialt jenes ©ucfieS auj 200 ©eiten, beren jebe 36 geilen entfiätt, ju bringen? 13. gu einer ©taucr, wetefie 35 m lang, 12 m fiocfi itttb 8 dl R / ö't(f ift, brauefit man 88000 giegelfteine; wie Diel folcfie giegelfteine brauefit man ju einer ©lauer, welcfie 28 m lang, 15 m fiocfi unb l m bid: ift? /////"* 14. 21uS 500 ©ramm feinen ©ilberS werben 45 ©ulbenftücfe ö. SB. geprägt; ein ©taria*ifierefiem©fiater wiegt 28-063 ©ramm unb fiat einen fjeingefialt Don 833|- ©aufenbtfieilen. SBeldfiert SBert in öfterr. ©ulbenftücfen fiat 1 ÜJiaria=£fierefien*!Efialer? 560 ©ramm ©itßer 1000 fbbtfi. fein gelten 45 45 ft- tt tt tt n - 2-105 ft. 15. Sin öfterr. Slcfitgulbenftücf wiegt 6-45161 ©ramm unb ift 900 ©aufenbtfieile fein, ein ruffifefier £)a(b-'Smperial wiegt 6-541 ©ramm unb entfiätt 916| Stbtfi. feines ©olb; wie Diel in Slcfitgutbenftüden ift 1 §alb»3mperial wert? 16. 3n einem ©ergwerfe befinben fiefi jwei £)ampfmafd)inen; r ZK ß 1 m bie eine fdjafft alle 2 ©limtten 7 fpeftoliter SBaffer aus einer £iefe r . r ) Don 84 m , bie anbere alle 3 Minuten 10 fpeftoliter aus einer ©iefe Don 108 m . Sn welcfier geit würben beibe ©lafcfiinen bereinigt 2550 §eftoliter 933 aff er auf eine §öfie Don 120 m ju bringen im ©tanbe fein? J, t\ 17. 9IuS 77i Silogr. ©arn werben 7 ©tücf Seinwanb gewebt, ■; . beren jebeS 48 911 et er lang unb £ ©leter breit ift; a) wie Diel ©iüif- r Don 52 Säßeter Sänge unb f- ©leter ©reite wirb man aus 118| $$lo^ J ßtartt Vnrfittf ♦ h\ Vnt<> htpf IWfnrtr ßWtt ftnS itm IÄ fl gramm ©arn weben; b) wie Diel Äilogr. ©arn finb erforberliefil: upr' ! * , 11 ©tücf Don 45 ©leter Sänge unb 1 9Jleter ©reite weben pfaffen^ c) wie breit wirb bie Seinwanb fein, wenn man aus 80} Silogfiunm- Iß, ©arn 8 ©tücf p 42 ©leter weben will; d) wie Diel “Dieter wirbbaS /f- ! ©tüd enthalten, wenn aus 65 Äilogr. 6 ©tücf f SOleter breite Seftt*£ wanb gewebt wirb? -*/ ■ ^ .'1 3 y -■ 0 Jam. 142 4. ?iettenrfd)imng. §. 77. ®ie Settenredjnung wirb angetoenbet, wenn aus einer befannten 3 a ^ einer 2frt bie jugefjorige unbefanute einer anbern 2frt burd) £>iffe einer ober mehrerer SJtittefbeftimmungen gefunben werben foff. 3- S3. SBie biet Sreujer öfterr. SBäljrung foften 20 £)efagramm einer SBaare, üon wefdjer 7\ Kilogramm auf 30 Francs fommen? Um Ijier ben ju 20 SDefagr. gehörigen fßreiS in Ir. öfterr. SBäljr. ju finben, muf? man nebft ber Sfngabe, ba§ 7| Sifogr. 30 grancS foften, nocf) folgenbe SJtittefbefiimmungen ju §iffe nehmen: 1 Sifogr. ijat 100 ®etagr., 1 granc gilt 40 Sreujer öfterr. SBäljr .; unb bie ooffftänbige Aufgabe fäjjt fidj bann in folgenbe Settenturbinbung bringen: fr. ö. SB. x foften 20 £)efagramm, wenn ©efagramm 100 ... 1 Sifogr. madjen, wenn Stfogratnm 7\ . .30 Francs foften, unb Wenn ffranc 1 . . . 40 fr. ö. SB. gilt? 3n biefem ülnfafse Ijat jebe 3 ö fjf auf ber regten ©eite mit ber linfs fteljenben gleichen SBert; jebe 3 a ^ auf ber tinfen ©eite ift mit ber nächftüorljergeljenben auf ber rechten ©eite gfeicfjeS StamenS unb glei^er Statur, unb bie fefcte 3 a f)t redjtS ift mit ber erften 3 a hf Hufs b. i. mit x gle'i^namig. Stuf biefe Strt Rängen affe 3 wieberljofte Sfnwen* bung ber einfachen Sfegefbetri auSgefü^rt werben, gör bas frühere S3eiff)ief hätte man fofgenben 9tecf)nungSgang: 1) SBie üief Sifogr. finb 20 ©efagr., wenn 100 SDefagr. 1 Sif. auSmadjen? . y Sifogr. 20 ©efagr. y : 1 = 20 : 100 y = = 1 Sifogr. „ 100 „ 100 . A « . * 2) SBenn 7\ Sifogr. 30 Francs foften, wie ^od) fommen l Sifogr. ? 20 X 1 100 143 7|- Sitogr. 30 grancS 20 X 1 z : 30 = - 20 * 1 100 * 71 * 1 2 100 ff ff z rz 20 X 1 X 30 4 ^ „ ~m~x7f- = T francS. 3) SBie Diel Ir. ö. SB. betragen~ i( * - l - *, 3 ? = Francs, roertn 1 granc 40 fr. gilt? x fr. ö. SB. - i( g 2 X * Francs 40 „ 1 x * 40 - ^0^4 X 30 100 x 7^ • 1 „ _ 20 X 1 X 30 X 40 on f .. m ~ 100 X 7i x 1 ~ 32 fr. o. SB. @8 ift jebocf) nicf)t nötf)ig, bet folgen Aufgaben alte biefe Weitläufigen ^Rechnungen burchjufüfjren. 23ergteicht man nämlich ben gefunbenert 21u$= baffer brud 20 X 1 X 30 x -40 mit ber oben in bie Settenöerbinbung ge» 100 X 7i X 1 brachten Slufgabe, fo fiefjt man, bap x gleich ift bem ißrobucte alter rechts fteffenben 3afjfen bibibiert bttrcf) baS tprobuct alter tinfS erfcfjei* nenben befannfett 3bt)fen, uttb baffer fogfeicif auS bem obigen Setten» anfafce beregnet werben fann. §ür bie Setteurechnung Ijat man baffer OrofgenbeS ju beobachten : 2ftan bilbe juerft ben Settenfa^. 3 U biefem @nbe fdfreibt man x mit feiner Benennung auf bie tinfe ©eite eine« aufrechten ©tridfeS, unb recht« bie befannte gatjt, bereu S3etrag gefucht wirb; barunter fefct man alle SDiittelbeftimmungen, unb jwar fängt man {ebeSmat finf8^tif:einer 3ahl an, welche mit nächftoorfjergehenben 3 a hl auf ber r/ehtelr“Se.ite oötlig gleicher Slrt ift, unb rechts neben jebe 3alfl forntnt bttfenige: 3W ju ftehen, welche mit ihr gleichen SBert hat; bie Sette nhi| : 'tttffc einet$ 3ahl fdiliefien, bie mit x gteidfjnamig ift. ®ie Slufföfung gngefe|ft4 Sette gefdfietft, inbem man baS fßrobuct alter redft8 fle^nben ßatjfcif burch baS Brobuct alter tinfs ftehenben befannten 3af)fen .bibibiorf/ wobei, Wenn eS angeht, bie in §. 43 angeführten Slbfürjungftt änhO wenben finb. ' ’ ^ r-\ 144 Aufgaben. 1. Sßie Diel Sonnen betragen 317 Sonbner Zentner, toenn 97 Sonbn. Pfunb ~ 44 fttlogramm ftnb, trenn 1 8onbtt. Zentner 112 8onbn. $fmtb nnb 1 Sonne 1000 Sttogr. enthält? Sonnen x Sonbn* 6tr. 1 8onbn. E 97 Sifogr. 1000 317 Sonbn. Str* 3ftan beginnt bie $ette mit ber grage; 112 gonbn. E x Tonnen betragen 317 £onbn. (Str., unb 44 S'tfogr. 1 Sonne fegt jene gagt linB, biefe recgtS beä ©tricgeö. 2)a man mit £onbn. (Str. aufgöVt, fo mug bie fotgenbe 3ftittetbeftimmung mit £onbn. x ~ 161*049 Sonnen* (Str. anfangen; bieg gesiegt, inbem man anfegt: wenn 1 £onbn. (Sir. 112 £onbn. Pfb. gibt. §ier gört man recgtä mit £onbn. Pfb. auf, bager mug man wieber linfö mit £onbn. Pfunb anfangen; man fagt: wenn 97 £onbn. Pfb. 44 $itogr. rnacgen. 3ftan gört gier mit $itogr. auf: ba aber x Sonnen bebeutet, fo mug man nocg bie SlUttetbeftimmung^u §ilfe negmen: wenn 1000 $itogr. 1 Sonne geben. ■* . / 4y- Söeit in ber Proportion nu^ ba§ $ergäftni3, in wetcgem x oortommt, wägrenb ber 9tecgnung al§ benannt betracgtet werben fann, unb ber ^ettenfag^eigentticg nicgtg anbereS ift als bie gufantmenfaffung megrerer proportion§^nfäg^, 4Äifotgt, bag man aucg beim ft'ettenfage wägrenb ber 9tecgnung nur x unb bie bamit gteicg* namige gagt at§ benannt beiracgten bürfe, wenn aucg in bem Stnfage wegen ber teicgtern 2lnorbnung aucg ben übrigen jagten igre Benennung beigefegt wirb. > . * . - J : | /J fl f % \ * V . 3cntanb tfat Bott feinem greunbe 20 fpeftotiter SBeijen geborgt, unb iuitt tljm ftatt be§ SOBeijen^ Söein jurücfftetten. SSJenn nun 1 £>efto= Itter SBeijen 9 fl. 20 Ir,, ba§ §>eftotiter SBein aber 23 fl. foftet; jpjp Biet £>eftot. SBein mü^en für 20 £>eftot. SBeisen gegeben werben? . 28ie Biet £>eftoli(er enthält ein englifö)er Quarter, wenn 1 £>eftoliter 5041} unb 1 Quarter 14654} alte ^ßarifer (Subifjott fjat? 4. 3n (ürngtanb wiegen bie iSifenbafjnfdfienen 57 ißfunb 2tbp. pr. §)arb; wie Biet Sitogramm gibt biefeb auf ein füteter? (100 S Stbp. = 45 & Sitogr, 10 2)arb = 9f üßet.) •. \ S 4 • * y * k \ 1 m /, : * y . '■ 5. 3h ätegijpteu loften 1 Strbeb SBeijen 92 ißiafter; wie Biet fl. ö. SB. foftet * 1 Ijiernad^ 1 $cftotiter, ba 100 Strbeb = 27 bpeftoliter unb 100 tpiafter = 8.1 ft. ftnb? 4^- 6. ©n ftnb @itber foftet in fftujjtanb 825 ©itberrubet; wie Biet Francs foftet nad) biefern SBertfättniS ein Kilogramm in § ran ^ re ^’ | (1 $ub = 16-38 Sitogramm, 162 graues = 40} ©itberrubet.) * V ( 145 7. 913 Stfogr. Sacao foften im Sinfaufe 736 fl.; menn nun baS Kilogramm a 88 fr. nerfauft mirb, mie nie! % Beträgt ber ©eminn? x fl. ©innaljme 100 fl. Sluögabe 736 : 913 Ätt. 1 88 fr. ©innafjme 100 1 fl. ©innafjme 0 x = 110 2 / 8 fl ©inna^me; fomtt 10-/ 8 % ©etoinn. j 8. Sin SBetnljättbfer nerfauft ba$ Siter SBeiit ju 40 fr. unb geminnt babei 10%; inte ifjeuer fyat er beim Sinfaufe baS §eftoliter begaf)ft| (9. Semanb fauft 3 Stüd £ud^r ä 32 äWeter für 315 ff. ein; tpie treuer muß er baS SOceter nerfaufen, um 12% ju gemimten? 2/7 •10. Sine ©ofbftange miegt 3 Sifogr. 240 ©ramm unb f)at 720 £aufenbtl)eife geingefyaft; mie nie! i[t ber S3etrag baoon in ö. SB. ju 1395 ff. pr. Sifogr. fein? j/ 1. Sin öfterr. ©ulbenftüd entfjäft 900 STaufenbtijeife feinet Silber; mie nielx®ramtn miegt e$, menn 45 ©ufbenftücfe 500 ©ramm \ feinen Silber$ r ‘entfyaften ? \ 4 2Bie niete faif. SDucaten finb gfeicf) einem Sfcfjtgufbenftiide, A ba 1 SIcfjtgufbenftüd 5*80645 ©ramm feinet ©ofb enthält, unb au$ einer cöfn. 3)la rf (233*87 ©ramm) 23§ Sarat feinet ©ofb 67 ©ucaten/^ 7 ^geprägt merben? 13. 9Bie niete Sldjtgufbenftüde fönnen au§ 23 Sifogr. 226 ©ramm ©ofb, mefd)e$ t 8 ö fern ift, geprägt merben? 14. SBefcfyer SBert in ff. ö. SB. ergibt fief) für 1 Sfdjtgufbenftüd, ba 155 Stüd auf 1 Ätfogramm ©ofb non 900 £aufertbtf)6ffen 0ein^ gefjaft gelten, menn ba$ SBertner!)äftni$ be8 ©ofbeS gum Sifber'mte 15|: 1 angenommen mirb? . t AvV •* \ 15- SSBie nie! ff. ö. SB. gilt, menn man bie obrigerSBettijfeidjung 1 $ifogr. ©ofb ~ 15^ Sifogr. Silber annimmt, 1 beutfelje^ igcfjnmarf* ftüd, monott 1391 Stücf ein ^Jfunb = 500 ©ramm-feinen ®ofbe$ * Xc entsaften? ,, 16. *teÖÖ Kilogramm SBeigen foften in 33erfin 199 9?eicf)gmarfj- mie fjod) in ö. SB. ftefft fid) fjiernad) ber $reiS non 1 £>eftofiter SBeigen im ©emidjte non 75 Äifogramm, menn 100 9Jeicp$marf =.Mff. ö. SB geregnet merben? o c n t f, Slrttfjmeitf für Unterrealfc^ulen. 16 . Stufl. m j 146 17. Semcmb lauft in Hamburg 3751 H Kaffee für 3125 9?eicf)g* marl; tute öiel in ö. SB. loftet ein Kilogramm, trenn 2 §amb. ® — 1 Sitogr., unb trenn 100 SJJcarl = 54 fl* ö. SB. finb? , 18. ©in Saufmann in öbeffa fenbet natf) ®enua 5218 Sfdjettrert aBeijen, treldjeS bort ju 19| Sire pr. £)eltotiter rerlauft trirb, unb erhält für ben betrag Saumöl, trorrn 1 Sarife ron 60 Sitogr. ©etridjt 84 Sire loftet; trie öiel ruff. ^ßfunb Saumöf trerben e§ fein? (10 Sfcpeürert = 21 ^eltofiter, 97 ruff. 'ißfunb = 44 Sitogr.) 19. 3n ©mprna loftet ber ßantaro geigen 272 sßiafter, ®n* lauf^fpefen bafelbft finb 5°/ 0 , ^ßrorifion 2%/ gntcfß bis 2Bten, 3°ö unb anbere ©pefen 24%; trie l )ocp in ö. SB. fteßt ficf) baS Sitogr. geigen in SBien? (1 ßantaro = 56/ 5 Sitogr., 100 ^iafter = 8*5 fl. ö. SB.) 20. Ein Sriefter t>ejiet)t au§ üDlarfeiße Srutto 3052 Sitogr. Saumtroße, Sara 4^%, a 215 granc£ pr..lOO Sitogr. SWetto mit 1% ©conto; trie pocf) in ö. SB. mtt| er 100 Sitogr. in Srieft rerlaufen, um 15% ju getrinnen, trenn bie ©pefen bis Srieft 20% betragen unb 100 grancS = 43 ft. ö. SB. finb? 5. (Sinfadjc linöredjnung. SSeredjttmtQ ber JUttfett. §. 78. Sin Sapitat Don 5380 ft. ift ju 5°/ 0 angelegt; tote groß ift ber 3inb in 3 3afjren? iftact) ber Proportion: 100 ft. Sap. in 1 3- 5 ft. Bin« 5380 „ m •* * ft n 3 rt x rt X 5 ~ •*\ ■% .3 : 100 : 1 T 7 T ' 53BQlX’5X3 x joö— P * ®urdf bie ©djtnfSrec^nung: 100 ft. Sap. in 1 3f. •89? ft. Bin«. 5 5 ft. Bin« o rr ir tr 5380 „ ff • if 5380 „ „ „ 3 „ " 100 .5 X 5380 " 100 5X5380X3 rt ff 100 ff t> tr rt 147 Ober: 5380 fl. GEap. geben gu l°/ 0 in 1 Q. 53S „ 5 % „ 1 „ 53-8 X 5 „ 5°/ 0 „ 3 „ 53 8 X 5 X 3 fl. 3>nö 99 ft ff ft ©arau$ folgt: © t e 3 1 n f e n f t n b g I e i d) b e nt lOOft c n Steile b e 6 ^3 r o* bucteS aus bem ßapitat, bem ‘ißrocent unb ber 3eit in Sauren. 21 u f g a b e n. 1. * ©en imemetten £tjeit beS SapitatS betragen bie jäljrfidjen 3infen a) gu 5%, b) gu 4%? 2. * 2ßie tuet 3tnf en erhält man jätjrticf) a) oon 300 ff., 500 fL, 800 ft., 1200 fl. gu 5% ? b) non 200 fl, 700 ft., 1000 ft., 2500 fl. gu 4% ? 3. * 2Bte met 3infen fliöt iö^rtid) 1 ft. Sapitaf a) gu 4 °/ 0 , b) 5J%, c) gu 6%? 4* SBie oiet $infen geben jäfjrridfj • a) 25 ff., 50 fl., 250 fl., 875 fL, 1220 fl. ä 4°/ 0 ? b) 20 fT., 70 fL, 160 fl., 530 fl., 2080 ft. ä 5%? c) 30 ff., 85 fT., 240 ft., 725 fL, 1350 ft. ä 6% ? 5.* S5?ie oiet gmfen geben a) 200 fT. ä 6% in 3 3af)rcn? b) 750 fT. ä 4% in 21 Sohren? 6* 2Bie oiel ginfen gu 5% geben a) 300 fT. in 5 Stoljren? b) 6504>>m-2.Saf)ren? ■ c) 480 fl. in 4 3afjren? d) l^dO^fl. in. 3af)ren? 7. 2Bie oiet 3tn§ geben 2860 fl. ßaf)it/bjir 4% frf 4 Sauren ? 8. 3Sie oiel ginS geben gu 6°/ 0 in 2§j Änfjren . .X j a) 3080 ft., b) 75 85 fL, c) 815 ffrancS (giptytl ? 9- Seredfne bie ginfen oon 1208 fT. 40‘fr. ä 4£% in a) 2, b) lf, c) 2-1 Sauren? •• ' 10. Sföic oiel 3inS geben 948 3Jiarf in 2-| tjafyteti gu a) ^%, b) 5°/„, c) 61% ? 11. 2Bie oiet 3in8 tragen a) 4105 fT. ä 5|°/ 0 in 3 Sauren? b) 7466-2 ft. ä 61% in 6 Sülonaten? c) 884 9ttarf ä 7% in 2 Saljren 11 SDfonaten? 10 * 148 12- öernanb ljat 5238 fl. ju 5°/ 0 burd) 2 3al)re 9 SDionate, unb 4855 fl. 35 fr. $u 4|% burd) 3 Qafjre 5 SDlonate auSgette^en; welches Safntal brachte ihm mehr 3tofett, unb um wie öiet mehr als baS onbere? 13- Stuf einem @ute laftet eine @d)ulb non 8500 fl.; nadf 2 Safjren jaf)lt ber Sefi^er bie ©djulb unb bie h\°U 3infen; wie Diel muff er jalffen? 14. 3 U welcher ©umnte wadjfen 1560 grancS in 1| fahren an, menn ber jä^rlicfje 3inS p 5°/o geregnet mirb? §. 79. 21m fürjeften unb einfat^ften werben bie 3mfen auf 3 ah re, iKonate unb ©age nadj ber 3erfällungSmeff)obe berechnet, unb p>ar: 1. ©>ie 3mfen für ein 3af)r berechnet man nach ber ißrocentredjnung, inbem man ben lOOften ©heil beS (SafntalS mit beut ißrocent multipliciert. 2. Um bie 3mf en für mehrere 3af)re 51t finben, barf man nur bie einjährigen ginfen mit ber 2lnpfjl ber 3afjre muttiplicieren. 3. ©)ie ÜDionate werben als ©heile beS 3at)reS, unb bie ©age als ©h^ile beS SKonateS betrachtet, bie auf biefe ©heile entfaßenben Zinsbeträge bnreh bie ©Jtöifton beftimmt, unb plefct p ben 3infen auf 3al)re abbiert. 33 e i f f i e l e. 1) 25 84 fl. ä 4°/ 0 in 1 3af)r 2; 2480 ft. a 6% in 3 3at)ren 103-36 fl. = 103 fl. 36 Sr. 148 80 fl. in 1 3af)r 44640 fl. in 3 IMjren 3) 3450 fl. p 4 i °/o tu 2 fahren 8 SKonaten ”13800 1150 149-50 fl. für 1 Sahr 149-50 „ „ 1 „ 49-833 „ „ 4 üDlon. = 1 Hahr 49 "833 „ „ „ „ 398 666 fl! = 398 fl. 67 fr. Stufgab en. 1. Söie Diel 3m3 geben in einem 3aljre: a) 739 fl. k 5% ? b) 1346 fl. 60 fr.‘ a 6% ? c) 995 ÜKarf k 4% ? d) 2375 grancS k 7°/ 0 ? 149 2. Bemanb pat fofgenbe Sapitalien anltegen: bet Ä 2500 fl. ä“ 4i%, bei B 3850 fl. ju 5°/ 0 , bet C 4580 fl. ju 6 n / 0 ; mie oiet 3*nS bringen itjrn jätjrlic^ alle brei Gtapitaiien? 3. 2Bie oiet 3inS geben 2480 fl. ju 6% in a) 2 Qafpren? b) 3 Safjren? c) 5 $afjren? 4. Sßie oiet 3inS geben a) 1426 fi. ä 4°/ 0 in 6 Monaten? b) 905 2Jtarf k 5|°/ 0 in 4 äftonaten? c) 2306 iRubet k 6% in 5 üKonaten? 5. ©n (Sapitat bon 2800 fl. ift ju 4°/ 0 burcf) 3 3al)re 11 SRonate unb 7 Jage angefegt; ioic oiet 3inS mirft eS in biefer 3eit ab? 6. 2Bie oiet 3inS geben a) 4800 ff. ju 6% in 1 3afjr 5 iDton. 20 Jagen? b) 28907 ju 5 >°/ 0 in 2 3af)rcn 9 2tton. 25 Jg^en? c) 7388 ff. 45 Ir. ju 7 % in 3 Sauren 1 SRon. 17 Jagen ? 7. 3emanb nimmt 2560 ff. auf 6 Sttonat ju 5% auf Binfen; mie oiet mirb er nadj Verlauf biefer 3^it ju jafjfen Ijaben? 8. 2518f ff. ftefjen burdj 2 3aljre 5 üD?onate ju 5^% aus, mie oiet muß an Sapital unb 3inS jurücfgejafjft merben? §. 80. häufig ftnb bie Binfen eines Kapitals bfof für eine be* ftimmte 2fnjaf)f bon Jagen ju beregnen. 3n biefem gaffe fucfyt man juerft bie Binfen ju 6%, nnb feitet barauS mittefft Berfäüung bie 3infen für baS gegebene ißrocent ab. @inb j. S. bie 6% B* n fen bon 1357 ff. für 239 Jage ju be= redjnen, fo Ijat man fofgenbe jufammengefe^te iRegelbetri: 100 fl. Sap. in 360 Jagen ff 1357 1357 1357 ff ff rr ff tt ;/ ff ff 360 360 ff ff ff // ff ff tt tt 239 ff 6 6 100 6 X 1357 100 , 6 X lg&7 ioo x^öo >. .> _6 X 1#'X 239 j" 100" X 360 _ 1357- X 239 «ES/ “ - / ff fl. 3 itt* ff ff ff ff ff ff ff b. i). bie Binfen für eine beftimmte Jta 3 h«.tft Jage ju 6% merben berechnet, menn man ba 1 ^.(£a^-taI mit ber 2tn= 150 Jage multipliciert unb ba« ißrobuct guerft burcf> 1000 unb bann burd) 6 bioibiert. Sßcnn Bet Ben ©ulben beS Sapitatä aud) Sreujet oortommen, }o läfdt man fte genjä^nltcf» roafirenb bet 3tecf)rtung roeg, oergröjiert jebod), roenit 50 ober mefjt ald 50 Äteujer rorljanben finb, bie älttjaf)! bet ©utben um 1; fonft roetben bie ffiteujer ald ffiecimateit »on ©utben angejegt. Aufgaben. 1. SBie oiel 3in« geben 3516 fl. 3 u 6°/ 0 in 38 Jagen? 3516 X 38 28128 105 48 133-608 : 6 22-268 = fi. 22 „ 27. 2- 2Bte oiel 3in« geben 3u 6°/ 0 a) 5400 fl. in 250 Jagen? b) 6340 fl. in 72 Jagen? c) 1339 „ „ 287 „ d) 8846 „ „ 23 „ 3. S33ie Diel betragen bie 3infen bon 4560 fl. ju 8°/ 0 in 57 Jagen? 45 60 X 57 228 00 31 920 259 920 : 6 43-32 3inS ä u 6% 14-44 „ „ 2° 0 = i oon 6 n / 0 57-76 = fl. 57„76 3in« ju 8"/ 0 . 4- SDßie Ijocf) belaufen fief) bie 3ini’en oon fl. 2345„25 ju 4°/ 0 in 99 Jagen? 5. SSSie biel 3»'« bringen 3844 fl. a ) 3 U 3°/ 0 in 125 Jagen? b) ju 5°/ 0 in 56 Jagen? c) ju 6|°/ 0 in 88 Jagen? d) 30 7° /o in 124 Jagen? 6. SEBie oiel 3in8 geben 780 fl. Kapital 3U 67 0 bom 3.Slprit biö 12. Sluguft? S3om 3. Slpril bi« 3. Sluguft finb 4 Sfton. = 120 Jage ft 3. Slug. „ 12. „ . 9 ,, 78 0 X 129 15 60 7 020 100 620 1677 = ft. 16„77. 129 Jage 151 7. 9ßte Diel 3tng geben fl. 748,,36 ju 6 % Dom 17. Sluguft big 5. Cctober? 8 . SBic Diel $in$ geben fl. 9379 „ 19 k 5% t)om 3. äftärj big 4. 5ftoDember? 9. 2öie Diel 3i n f en tragen a) 945 ff. ju 5|- 0 /o öom 1. äug. big 7. 91 od.? b) 1278 ff. ju 64%) &om 25. SJfat big 3. Dctobcr? c) 3377 fl. 31 t 5 % Dom 13. 3uni big 27. Suguft? 10. Bemanb nimmt 1580 ff. auf 22 £agc ju 6 % auf 3^ n f en ? mie Diel mtrb er naef) Verlauf biefer 3 e ^ 5 U sagten fjaben? 11 . ©n Kaufmann fjatte eine ©umme Don 4108 fl. am 20. 0ct. 3 U gafylen, er leiftetc aber bie 3 a ^f urt 9 wft um 31. Secember; toie Diel fjatte er ba bei 6 % 3 * nö ä u fajafjfen? 12 . A Ijatte an B 31t 3af)len: bagegen f)attte B an A jü gaffen: am 5. 3uli ff. 2325„82, am 13. Slug. fl. 1646,,6, am 27. ©ept. „ 978„39, am 5. ®ec. „ 2410,,—, am 19. 9toD. „ 1815„40; SIm 31. ®ecember merben bie gegenfeitigen ©djulben mit 5% 3* n $ auggeglid)en; mie Diel l)at ba A an B 3 U besagten ? ^mdjnmtg be$ gapitate. §. 81. Bft 3 . 33. bie @rö£e eineg Sapitalg 3 U finben, tneldjeg in 2 Sauren 3 U 4 °/ 0 188 fl. 3* n $ fo f)at man: Um in 1 3. 1 4 fl. ging j 3 U erhalten, tt fr ft n tr tt 1 188 tt t t % „ 188 tt tt tt tt „1 mug man anlegen 100 100 fl. Sap. tt rt ) >00X188 4 tf tt 100 X 188 4 X 2 ' j! " b. t). bag Sapital ift gletd) ben lOOfadjen 3t^f en / Mbi* biert burd) bag ^ßrobuct aug bem ^Srocent unt) ber 3^1 in Bahren. » r —' * Fr 5D?att farnt fjier aud) fo fcE)liegen: ©er BtnS für 1 3aljr ju 4% ift 'f 8 ff. = ',9.k ff'., b. i. t £ö beS Sapttafg - 94 ff., baijer Th " " = ¥ P- - 23-5-ff,' unb ba§ Kapital fefbft - 23'5 ff. X 100 = '2350 fl. 152 Aufgaben. 1.* 2ßie gro§ ift ba$ Kapital, menn bie jäljrlidjen 3tnfen ju 5°/ 0 20 fl., 30 fl., 42 fl., 36 fl., 25 fl., 64 fl., 100 fl. betragen ? 2* 23on meldjem Kapital betragen bie jäfyrlicfien 3wfen , a) 80 ft. ju 4% ? b) 54 fl. ju 4i°/ 0 ? c) 69 fl. ju o%? d) 96 fl. ju 6%? 3.* SöeldjeS Sapital bringt a) ju 4%, b) ju 5°/ 0 , c) ju 8% jäljrlicf) 1 fl. 3tn$? 4-* 2Belcf)eS ßapital bringt an 3infen a) ju 4°/ 0 in 2 Sauren 44 fl. ? b) ju 5°/ 0 in 4 Sauren 68 fl. ? c) ju 6°/ 0 in 3 Sauren 81 ft. ? 5. Semanb bejiel)t in 3 Sauren 556 fl. als 3* n $; tote groß ift baS Kapital bei 6°/ 0 ? 6. SBeldjeS Kapital gibt ju 5% in 2 Sauren 586 ft. 3*n$? 7. Semanb bejiefjt jö^rlic^ 330 fl. als 6% 3*nS; toie groß ift baS Kapital? 8. 332eld)eS Sapitat gibt a) ju 4i°/ 0 in 3 Sauren 837 fl. 3utS? b) ju 64°/ 0 in lf Sauren 390 fl. 3inS? c) ju 5|°/ 0 in 2 Satiren 7 2fton. 398*58 ättarf 3in$? 9. 3Bie groß muft baS Kapital fein, baS ju 4^°/ 0 in 3 Sauren eben fo Diel 3inS gibt, als 5480 fl. Kapital ju 5°/ 0 in 2^ Sauren? 10. @in Sapital bringt ju 4J% faljrlicl) .18 fl. 3inS; toie öiel jäf)rlid|en 3inS bringt ein 300 fl. größeres Kapital ju o°/ 0 ? 11. $ür ein Kapital, meldjeS burd) 3 Sal)re ju 5£% auSge* ftanben ift, erhält man an Kapital unb 3inf en 5359 fl.; mie gro§ mar baS ßapitat? 100 fl. betragen fammt ben 5 l / a °/ 0 Sinfen nadj 3 Sauren 1167* fl.; man Ijat alfo 100 fl. Gap. 1167 2 fl- Sap. mit SinS x „ „ 5359 tr tt tr tr X : 100 -= 5359 : 1167* alfo x = 4600 fl. 12. 3emanb jafjft für eilt burcf) 6 3aljre benüfcteS Gtafntaf fammt ben 5^% Binfen ff. 452„20 juriitf; mie groß mar baS urfprünglicf)e ßapitaf? 153 33crf(5ttttng ber Jeit. §. 82. 3ft 3 . 33. bie ber 3al)re ju fudjen, in Weiter ein Sapital öon 3800 fl. ju 6 % 684 fl. 3infen Qt&t, fo f)at man b. fj. bie 3 e it in Satiren tft g[etcf) ben lOOfadfen 3infen, biüibiert burd) ba« fßrobuct au« bem Sapital unb bem Ißrocent. 9J?an fann fjier aitcf) fo fdftiefen: 3800 fl. Sap. geben au 6°/ 0 in 1 3al)re 38 X 6 = 228 fl. 3infen; 684 fl. 3' n f en ßibt alfo badfelbe Sapital in fo btef Salfren, als tote oft 228 fl. in 684 fl. enthalten finb, fomit in 684 :228 = 3 Sauren. 21 u f g a b e n. 1.* 3n toie öiel Sauren geben 225 fl. Kapital a 4% 45 fl. 3infen ? 2* Sn toefcfjer3 c it bringen a) 675 fl. au 4% 81 ft. 3in« ? b) 820 ft. au 5% 83 ft. 3in« ? c) 450 ff. au 6% 67-1 fT. 3tn« ? 3. Sn toetdjer 3eit geben 4700 ft. Sapital au 4^% 423 ft. 3in« ? 4- 2Bie tauge muff ein Sapital öon 6520 ff. ja 5% agbfteljen, um 320 fl. 3infen au geben? 3 5. Sn toie tiel 3*it geben 3541 fl. Kapital 31t 4* 0 # . # r * •% •'i 6. Sn toeldjer '3eit geben a) 5460 fl. Sap. ju 5i% 365 ft. 3inS ? ' • z / b) 5244-55 fl. Sap. au 5f- # / 0 9563 ft. 3in«?X c) 6580-5 äJiarf Sap. ju 4|°/ 0 849-82 SKnrfigb«? 7. Sßie lange muff ein Sapital angelegt bleiben, bamit 3infeu a) au 4°/ 0 , b) au 5%, c) au 6°/ 0 eben fo öief betragen, ba« Sapital? bie at§ 154 8 . -Sn metcfjer $eit geben 720 ft. (Sapitat ju 5 °/ 0 eben fo niet 3infen, 2400 fl. (Sapitaf ju 6 % in 6 SJconaten? 9. 2lm 1. 9JJat mürben 1550 fl. ju 4% auögelietjett; at 8 bie 9tü baS ‘tßrobuct aus bem Kapital «nb bef 21 n= gaßt 3aßre. 2 Jtan !ann aud) fo fcß ließen: l °/ 0 oon 3460 fl. beträgt in 1 3aßre 34-6 ft., in 3 Saßren 103 - 8 ft.; 519 ft. finb baßer fo Oiet °/ 0 , atS mie oft 103 8 ft. in 519 fl. entßatten finb, atfo 519 : 103 8 = 5 Stuf g ab en. 1.* 800 ft. (Sapitaf bringen in 1 3aßre 32 ft. 3infen; S» wie oiet % 5)03 <5apitaf auSgetießen? 2* a) 250 ft. Sapitat bringen jäßrticß 15 fl. 3inS, b) 550 „ „ „ „ 22 c) 360 „ „ „ „ gu ttie oiet °/ 0 fteßen biefe Kapitalien aus? 3 * 600 ft. geben in 3 Saßren 72 ft. 3inS; gu wie oiet % ift biefeS (Sapttaf angelegt? 4- 3u wie oiet % muß ein Kapital oon ft. 3250 angelegt werben, bamit es in 3 Saßren fl. 390 3inS gebe? 5. 3emanb teißet 16000 ft. auS; wie oiet % muß er oerlangen, um baoon ein jährliches Kinlommen oon 900 ft. *u aenießen? 10t « // n 155 6 . 3 l * tüte bief % geben 4240 fl. Kapital in 34 3abren 848 fT. 3inS? 7. 7840 fl. 50 fr. bringen in 1 3apr 6 SDion. 705 fl. 65 fr. 3mS; 31 t toie Diel °/ 0 gefd^ie^t bie 23er^infung ? 8. 3u toie Diel % muß man 9110 fl. anlegen, bamit fie Dom 2. 9JJai bis 15. October 206 fl. 23 fr. 3'nS bringen? 9. 3u toie bief °/ 0 muß ein Kapital auSfteßen, bamit bie ein* fadjen 3infen a) in 20, b) in 25, c) 33*- Saßren bem Kapitale greidj finb? . \10. 3u toie tuet °/ 0 mäßen 2205 angefegt toerfcum, bamit fie in 2 3af)ren eben fo bict 3tnfen geben, als 1600 Kapital su 4* °/ 0 in 3^ 3afjren? 11. Kin Kapital bringt in 3 3at)ren 3 U 4 ^°/ 0 60f- fl. $in$; ein um 150 fl. größeres Kapital bringt in berfetben $üt 90 ff. 3*nS; 3 U toie öie£ °/ 0 ift baS festere ber^inft ? 12. 3 U mie Diel ° 0 mäßen 375 fl. anSgetiehen toerben, bamit fie mit ben einfachen $in\tn in lj?- Sauren 3 U 402 fl. anmacpfen? 6 . $i 0 contrcd)mmg. §. 84. 3öenn Semanb eine Summe ©elbeS, bie er erft nad) einer getoiffen 3 ß il ohne 3 *nfen 3 U galten berpffidjtet ift, fogleid} bejaht, fo toirb er offenbar nidjt bie bolle fcßulbtge Summe entrichten, fonbern nur einen fo großen Setrag, baß biefer bermeljrt um bie 3mfen, bie er bis 3 um 3 a htnngStermine tragen toürbe, ber Sdjulb* fumme gleich toirb; es muß baper in biefem galle bem Schulbner ein beftimmter Slb^ug gemährt toerben. £)iefer Slbjug Don ber Si^ulb* fumme fjeißt ®iScont ober Rabatt unb toirb nach $roc£nten beregnet. Sßenn man ben £)iScont Don bem Sdjülbcapitale Subtrahiert, fo ber SReft ber bare ober gegentoärtige (auch ^iSConjRerte) SBert beS Kapitals. /.&£ 3» S. 3emanb tottt eine unber 3 Ütölid)e Sdjulb Don 4iB/fL, bie er nach 1 ^ Sauren absutragen pat, fogteich bejahten; a) toieOnet toirb i^m bei 6°/o jährlichen £)iScont nacpgelaffen, b) toie groß ift bie bare Segafylung ? SBenn bie Sarfumme 100 ff. ift, fo beträgt bei 6°/o $in$ bereu fänftiger SBert nad) 14 Sauren 109 fl., unb umgefehrt: 109 ff., toelc^e unberjin^Iich nad) 1 ^ Sauren gejahtt toerben foffen, finb bar 156 nur 100 fl. inert, ober bon je 109 fl. werben, wenn man fte U-JSafjre früher bejaht, 9 fl. als ®iScont in Slbjug gebracht. ÜJlan fjat lafjer: a) 109 fl. Sap. 9 fl. ©tScont // ft #8 9 109 418 X 9 tt tt tt " 109 b) ©cfiulbcapital 418. ab jDiScont •S3arja£)lung grober 3 83-49 fl. ä 6 n / 0 23 00 94 fl. ßinä für 1 3. 11-50 47 . = 34-51 fl. ®iScont. - fl- 34'51_„ 383 49 fl. 1 ©arjafyfang 383*49 ff. 3tn$ für 1£ 3al)r 34*51 „ 34.51 4^ ^ ^ ^18 P* 2Iuö btefer ©arfteffung gef)t Kar Terror, baf$ ftdj ber £)i$cont ttidjt auf bie «Summe 100 felbft, fonbern auf 100 oermefyrt um bie $>t$contprocente bejiefyt, b. i. bafö ber J)iScont auf £mnbert geregnet toerben miipe. Sßürbe man ben 2)i3cont 00 n öunbert regnen, fo ^ätte man: 418 fl. k 9°/ 0 ~ Gap. 418 fl. 37*62 fl. ©iScont ab Siäcont 3762 Söarjaljlung 380*38 ft. ©ine $Bar$af)lung non 380*38 fl. mürbe aber mit ben 6% Sinfen nad) 1V 2 Safjren nid^t ba§ «Sdjulbcapital 418 fl., fonbern nur 414*61 fl. geben. Aufgaben. 1. 9?ad) 1 3al)re fotl jemanb 2345 ff. bejafjfen; er bejaht fogfeid; mit 57 0 ®i$cont; toie rief betrögt a) ber ®i$cont, b) bte 23arjaf)fung ? ' 2. 2Bte oief ftnb 850 fl., toefdje nad) 2 3af)ren bejaht toerben foffen, bet 5 °/ 0 ßinS fefct toert? WL A foff an B nad) 5 Sapren 1245 ff. bejahen; tote oief f)ätte fl! bei 5^°/o nad) 2^3al)ren ju jafyfen? 4. @tn Sdjufbbetrag oon 1275 ff., ber nad) 7^ Sflonaten gafjfbar ift, toirb gegen 5°/ 0 jäprfidjen ®i$cont bar bejaht; toie grop ift a) ber 2fbjug, b) bie Sarjafjfung ? 5. -Semanb feitjt 1850 ff. ju 6% au$, jiel)t aber bie jäl)rficf)en 3infen fogfeid) ab; um toie oief ift babei ber Sdjufbner, toefdjer bie 3tnfen erft nad; Slbfauf beS 3af)reS ju ja^fen fjätte, im 9la$tl)eit? 157 § 6 3emanb erbt 4850 ft., metcpe aber erft nacp 5 Sauren au$* gejagt merben fotlen; man mit! iprn auf feinen Söunfcp gegen 6|%' ©iScont ba$ ©etD gteidj auSgapten; mie öiel beträgt bie Srbfcpaft in barer Summe ? 7. ftür eine nacp 2 ± 3apren fällige beträgt atfo 9°/ 0 für 1V 2 3ab)r, atfa / '© r fü^/1 ;$abr. 11. 3emanb begaptte für ein (Kapital, ba$ nacp 4-3äpmt gaptbar mar, bar 1600 Sßarf; ber ©iScont betrug 288^SÄarf ^ tpte^oiet 7o jäprticp finb gereepnet morben? ’ v **'/%*./ 12. A bietet für ein £>auS entmeber 25230 ft: bat/, ober 26355 ft. nacp 9 2J?onaten gaptbar; menn nun ber Serfäufer : ’b'tö ©etb gu 5% auSteipen fann, metcpeS 2tnbot ift für ipn nortpeitpafter? 13* 3emanb lauft einen äßeingarten für 8000 ft. mit ber Sebüt* gung, bajs er 2580 ft. fogteiep, 2380 ft. nacp einem 3apre unb ben SRcft nacp 3 3apren opue 3^ n f enö ergütung gaptt; er entfdjtiefjt fiep aber, ba ber SSerfäufer bamit gufrteben ift, (^(p bie beiben tepten ^often mit 6-}°/ 0 jäßrlidjem ©iScont fogleid) ju entrichten; miß groß ift bie ganje S3ar3at)Iixng ? 14. 3emanb lauft ein £auS für 29000 ft., meldje oertrag^mäßig nad) 5 Safjrcn ja^tbar finb; er bejaht nun 6000 ft, bar, 7500 ft. nad) Saßren unb ben 5Reft nad) 4 3al)rcn; mie groß ift biefer Sfteft, 15. A I)at an gmei ©laubiger nad) einem 3ai)re jufammen 5319 ft. ofjtte 3mfen ju entrichten; er bejal)lt bar, unb erhält non bem erften bei 4^% ©iScont einen 9?ad)Iaf$ oon 135 ft.; mie groß mirb ber Slbjug bei bem jmeiten fein, ber il)m nur 4% ©iöcont gemäßrt ? 7. Stermtnredjtmng. §. 85. ©enn unberjin^Iidhe ©etbfummen, metdje in üerfd)iebenen 3eitfriften ober ©erminen jaßlbar finb, auf einmal ober ju anbcren, als ben fcftgefe^ten ©erminen abgetragen merben fotten, fo nennt man baS 23erfat)ren, burd) melcßeS ermittelt mirb, ju melier £tit biefeS ol)ne 97ad)tl)eil beS @d)ulbnerS unb beS ©läubigerS gefd)el)en lann, bie ©erminred)nung. Sei biefer 9ted)nung merben einfache 3* n f en <$ u ©ninbe gelegt, unb man lann bemnad) fagen: 500 ft. geben in 4 3al)ren eben fo oiel 3inS, als 4mal 500 ft. in 1 3al)re; ober: 700 ft. geben tn 8 2J?o* naten eben fo Diel 3w8, Q l$ 8mat 700 fl. in 1 äftonate. 3- S. A t)at ein £>auS um 8000 fl. unter ber Sebingung gelauft, baß bie 3# utt 9 ™ mehreren ©erminen öljne $in$ unb jmar in fotgenber SBeife geleiftet merben folt: 3500 fl. nach 2 SJionaten, 2000 ft. nad) 3 ßJlonaten, 1500 ft. nad) 4 Sftonaten unb 1000 fl. nad) 5 ÜJJtonaten; mann ift ber mittlere ©ermin für bie ©efammt* jaljfiMjj, b. ß. mann muß bie 3^Iung gefd)ehen, menn fie auf einmal geleiftet merben foß? . Sßenn bie einzelnen 3aßlungen in ben feftgefe^ten ©erminen gemacht merben, fo genießt A bie 3fatfert oon 3500 fl. auf 2 $D7on. ober non 7000 fl. auf 1 SJJon. „ 2000 ff (f 3 „ ff „ 6000 tt f , 1 1 1 „ 1500 „ ff 4 ff „ „ 6000 ff „ 1 „ ff 1000 „ „5 ff ff ff 5000 „ _ ff 1 u alfo pfammen oon 24000 fl. auf 1 Stton. 159 A wirb bal)er bie 3af)fung ber gangen (Summe Don 8000 fl. fo fange gurüc£f)alten bürfen, bis bie Don berfefben eingebradjtett 3 'tnfen gerabe fo Dief betragen, als bie 3infen Don 24000 ff. in 1 SDfonate, auf wefdje er bei ber bebmtgeneit 3al)[ung$weife baS 9ied)t I)at. (Damit nun 8000 ff. eben fo rief gittfen bringen, afs 24000 fl. in 1 9)?onate, müßen fie fo oiefe SJJonate angefegt bleiben, afS wie oft 8000 ff. in 24000 ff. entsaften ift; man Ijat bafjer 24000 : 8000 = 3 SDlonate. Um affo ben mittleren 3af)fung3terntin mehrerer $Ratengaf)fungen 51 t f in ben, muftipficiert matt jebe Dermingaljfung mit ber 3ett, nad) wefdjer fie gefeiftet werben {off, unb bioibiert bie Summe tiefer ^robucte burd) bie Summe aller Dermingal)fungen; ber Quotient geigt ben mittferen Dermin an. Slufgaben. 1. SBenn A 400 ff. nad) 4, 600 ff. nad) 5, unb 800 ff. nad) 10 SRonaten begaffen foffte, nad) wie trief Sßonaten müßte er bie gange Summe auf einmal begafjfen? A iann benu^en 2fladje bie $robe für einen Beftimnunten ginSfufj, g. 23. für 6°/ 0 . 2. ©ne Summe non 10000 ff. ift in 4 Terminen gu begaffen, unb gwar: 3000 ff. nad; 4 SKonaten, 2500 ff. nad; 6 ÜÖJonaten, 2000 fl. nad) 8 SRonaten, unb ber 9?eft nad) 1 3al)re; wenn nun bie gange Summe auf einmal erfegt werben foff, wann muß biefeS gefdjeßen? 3. Qemanb f )at 6000 ff. fogleid) , 4500 ff. nad) 4 -ättana^ 4500 ff. nad) 8 SRonaten, 4500 nad) 12 SDionaten unb 4SQp/ffv'; nad) 16 2Jionaten gu entrichten; fud)e ben mittferen 3^W^?errnin ( o für bie ©efammtgaf)fung. t'/ ]< J . 4 . Semanb foff 800 ff. in 4 Sauren begaffen, untj ^ar-am r* (Enbe eines jeben 3aljre$ 200 ff.; er wünfdjt aber bie gang+^djufb ' auf einmal gu tilgen; wann Wirb biefeS gefd)efjen müßen? . ; Sßemt bie £ermingat)tungen gleich finb, fo erhält man ben mittiern lungätermin fürger, wenn man nur bie geiten abbiert unb bie ©umme burd) bie 2fngaf)l ber £ermingaf)tungen bioibiert. 1 + 2 + 3 + 4=10, 10 : 4 = 2V* 3«$*. 1800 ff. auf x 2Jto n. = 12600 ff. auf 1 Mon. 400 ft. auf 4 3)ton. = 1600 fl. auf 1 2fton. 600 „ „ 5 „ = 3000 „ „ 1 „ 800 „ „ 10 „ = 8000 ,, „ 1 „ 1800 = 7 3fton. 160 5. A lauft einen ©arten für 1200 ft., wobon er ficg nacg je 3 -Konnten 240 ft. gu galten berpfticgtet; wann wägte er bie gange @uwwe auf einwat entrichten ? 6. 2lw 18. Kai erhält ein ßowwiffionär fotgcnbe SBecgfef guw (ätncafftren gugefenbet: 600 ft. gagtbar nad) 36 Stagen., , 800 ft. gagtbar nacg' 45 Stagen unb 400 ft. galjtbar nad) 60 Stagen; an wetcgew Stage wirb er fcinew (Sowwittenten bie ©uwwe berfetben gutfehreiben ? 7. A ift an 13 gu galten fegufbig: 200 fl. fogteieg, 300 ft. nad) 5 Kematen, 450 ft. nad) 8 Konaten, 300 ft. noch H Konatett 600 ft. nacg 15 Konaten unb 400 ft. nad) 30 Konnten. SDagegen ift B an A gu gafjtcn fegutbig: 350 ft. nacg 3 Konafen, 500 ft. nad) 7 Konaten unb 600 ff. nad) 1 Sagre. Kun wollen beibe wit ein= anber abreegnen unb fott ber SReft auf einwat berichtiget Werben; wie oiet beträgt ber 9ieft, unb Wann wug feine 3 a ^ un S erfolgen? 8. A fott 2000 ft. nacg 2 Sagren unb 1600 ft. nad) 4 Sagten ogne 3'nfen galjfcn; er begagtt 2400 ft. fegon nacg 1* Sagt; wann wug er bann ben Keft begagten? A barf benu^en: 2000 fl 2 ^al)vc = 4000 fl. 1 Satyr 1600 „ 4 „ ^ 6 400 „ 1 „ _ gufammen 3600 fl. 10400 fl. 1 S non beginne an gerectynei, gu gatylen fein. 9- 3emanb £)at nad) 8 Monaten 3000 fl. gu bejahten; er 1800 ff. bar; miß lange barf er ben 9?eft bemalten? 10. A t )at 800 fl. nacb 2 SJconaten, 500 fl. nacty 3 Monaten nnb 600 fl. nacty 4 üJJZonaten gu gatylen; er begatylt bie 800 fl. nacty 1 SJionate, bie 500 fl. nacty SDZonaten; mann muji er bann bie 800 fl. berictytigen? 11. Sernanb fall am 20. 3JZärg 1500 fl., am 25. 3uni 2000 fl. nnb am 30. September 1200 fl. gatylen; er gatylt aber am 1. üDZärg 1000 fl., am 25. 9JZai 800 fl. nnb am 15. Slugnft 1600 fl.; mann mu& er ben 9Zeft gatylen? 161 8. (SefeUfdjaftsredjmmg. (StyeUregcl.) §* 86 . ©inb mehrere gleichartige ©rögen fo befdjaffen, bafg btc crfte $> 33. fo öielmaf 2 ©nfjeiten enthält, afö beren bie jtvcite 5, mtb bie britte beren 7 enthält, fo bafg fid) bie erfte jnr 3 toeiten tote 2 : 5, unb bie erfte 3 ur brüten toie 2 : 7 bcrfjält, fo fagt matt: bie ©rögen bereiten fidjj fo tote bie n 2, 5, 7, ober fie ftnb ben >$af)Un 5, 7 proportional. ®ie SRedjmutg, burd; toetdjc eine 3 afjl in mehrere Steile gereift toirb, toeldje gegebenen 3 al)fen proportional' ftnb, toirb bie ©efefl* fc^aft^re^nung ober £fjeitregef genannt. 5Dte '$af)kn, in beren 33erljäftniffe bie Reifung 31 t gefcf)el)en pat, feigen SBerljäÜni^aljten. 2öenn in einer Aufgabe nur eine Steipe bon 33 ert)ältni^ 3 a^ten gegeben unb formt eine Steilung nadj einfachen 33erpäüttiffen bor* guneljmen tft , fo tjeifü bie ®efettfd)aft§red)nung eine e i n f a dj ej bagegeu eine 3 ufamntengefe^te, toenn bie Steilung nadj gufantmen* gefegten 33erpäftniffen 3 U gefdjetjen pat, unb bafjer mehrere Steifen bon S$erl)ättni$ 3 aljten gegeben ftnb. gfrtfadje &cfettfd)aft5xe$nun$' §. 87. 33ei ber einfadjen ©efeUfcfyaftSrecpnung bibibiert man bie 3 U tfyeitenbe 3 al)t burd) bit ©umrne ber auf bie einfache gorm gebrachten 33 erpäftntS 3 af)Ien, unb muttipliciert ben Quotienten mit jeher 33 erl)ä(tni$ 3 af)f. 4 ^ Oft 3 . 33. bie ©umrne bon 3600 fl. unter brei ^erfoften fo 3 U t^eiten, bafö A 2, B 3, C 7 Steile enthält, baf^ ftch affo/bte Zfyxlt ben Ballen % 3, 7 proportional bereiten, fo bitbe /man :jtte$l 2 - 4 - 3 + 7 zz 12 aleicöe Steile, tnbent man 3600 fl. btirdj 12';biDt*' £)ie Rechnung fteJjt KJ l 3600 : 12 = 300 A 2 B 3 300 X 2 = 600 fl. erfjält A, 300 X 3 = 900 „ „ B, 300 X 7 = 2100 „ „ C, iK 0 c n t f, Strit&mttif füt Unterredfcijuteii 16 . Kufl, 3600 fl. aufammett. 11 162 91 u f gaben. 1. * A unb B Reifen 98 ft. fo, bafS A fo oft 3 ft., al$ B 4 ft. befommt; lote oiet ertjätt jeber? 2. * Sljeite nad) bem SSert)ättniÖ 3:5 bie 3 a ^ en a ) 24, b) 52, c) 66 , d) 128, e) 30*. j^.* 3*oet ^erfonen foltert 240 ft. fo tfjeifcn, baf$ A 5 S^fjeite unb B 7 fotcpe Sljeite befommt; loie oiet ertjcitt jeber? 198 ft. fotten unter brct ^erfonen fo ucrtfjeitt loerben, bafS A 2,B 3 unb C 4 Steife ertjätt; loie oiet befommt jeber? 5. * 3u einem gemeinfdjafttidjen ©efdjäfte gibt A i, B \ unb C ben 9teft; fie gewinnen jufammen 420 ft.; loie oiet ertjätt jeber? 6 . ®ret ^erfonen treten ju einem fmnbfungggefcfiäfte ju* fammen, unb jioar gibt A 1800 ft., B 2700 ft., C 4500 ft. ju bem gemeinfdjafttidjen gonbe t)er; locnn nun bei bem ©efcpäfte 1570 ft. geioonnett loerben, toeldjcn Stnttjeit an bem ©etotune toirb jeber tjaben? £ier mub ber ©eroinn ben ©inlagen 1800, 2700, 4500 ober, icenn man burdj 900 abflirjt, ben 3 a ^ten 2, 3, 5 proportional geteilt raerben. 9ttan b**t alfo 7. 3 U weißem ©tafe nimmt man 25 Sfyeite Äieöfanb, 5 ST^eife öeftanbtfjeite ju einer 207affe oon 100 Sitogr.? 8 . 3 U feinem rotten ©iegettad braudjt man 4 Sljeite Serpentin, 1 Stjeit Ä'reibe, 6 Sfyeite 3 ^ nn ober unb 6 Stjeite ©epettaef; loie oiet oon jebem biefer 4Seftanbtt)eite muß man 51 t 50 Sitogramm ©iegetlad nehmen ? , Srei 'ißerfonen fegen ju einem gemeinfdjaftficßen Unternehmen 12800 ft. jufainmen, unb jioar A 4300 ft. B 3800 ft., C ben 91eft; loenn fie nun habet 3000 ft. gelotnnen, loie oiet gebüfjrt einem A 180-0 2 B 279Oj 3 G 4599; 5 157 X 2 = 314 fl. gercinnt A 157 X 3 = 471 „ „ B 157 X 5 = 785 „ „ C 1570 : 10 = 157 1570 fl. ganzer ©eminn. ^ßottafepe unb einen Streit treibe; loie oiet braudjt man oon jebem biefer jcb A ” 0 i) 300üft. fdjutbig; er fjat aber nur 171Ö ft. Vermögen; loie oiet ermatten bie ©laubiger naif) SSerf)ättniö itjrer g’orberung? 163 11. SBie Diel ©auerftoff iinb ©ticfftoff befinbet fic^ in einem lufterfüüten kannte öon 87 Sub. SDJeter, trenn in 100 ipeiteit atmo* fppärifcper 8 uft 21 £peite ©auerftoff unb 79 ST^eite ©ttcfftoff ent¬ halten finb? 12 - Sine SBaarc ift bet gtret Stffeairanjgefettjcpaften öerficf;ert unb 3 mar mit 5000 grancS unb 7000 grauet ;• trie riet pat jebe ©efetlfcpaft pon bem entftanbenen ©epaben non 3854 grancS ju tragen ? 13. 23on 2734 ßüogramm $D?anbetn unb 2891 Ättogr. ^erffee jaljlt man 121 ft. 95 fr. graept; trie riet entfällt baoon für bie ÜBan* betn, trie riet für ben S'affce ? 14. Sin Kaufmann erpätt 3 rerfeptebene Söaaren, tretepe einzeln 385 ft., 560 ft. unb 625 ft. fofien; trenn nun bie äöertfpefett für atte bret SSaaren 68| ft. betragen, tric riet entfällt baron auf jebe einjetne SSBaare ? 15. @S fotten 252 ff. in bret benotet proportionate Steife getpeitt trerbett. rei ^erfonen taufen ein ©epiff um 24000 ft. ©aronjaptt A 12000 fl., B 8000 fl., C ben 9?eft; tretepen £peit ober $art trtrb feber am ©epiffe haben ? £)a$ ganje ©epiff trtrb als ©npeit angenommen. 5In einem ©epiffe pat AI Bl unb C ^-Oßart ;,tjerrtr nun. btefeS ©epiff 1854 ft. graept rerbietft, mi? riet trirb rer Sty’lptif eines jebett betragen? ,v / 18.* 33ter ‘ißerfonen nepmett ein 8otterieto$; baju gibl'A* 50frl, B 1 f(., C 1 fl. 50 fr*, D 2 ft., fie gewinnen bamit 8000 ff t ir.ie riet befommt jeher? \ *\/Z 19. @S fotten 67270 ft. naep bem SSerpättniffe ber Sja^fctt %/ * t _z_ f j3 un ter A, B, C, D unb E getpeitt trerben; tote riet tommt auf jebe ^ßerfon? 11 * 164 20. 3m Sprengputoer Debatten ftdj bie äßaffen Don (Salpeter, Sol)le unb Sdjmefel, tote bic Sagten 1, T 5 C , toie t>iet Don biefett Stoffen ift ju 5934 Sitogr. Sprengputoer nötfjtg? 21. 23icr ^ßerfonen füllen 48000 fl. fo unter einanber teilen, baf3 fid) iljre Steile tote bie galten % 2.}, 3 unb 4 Debatten; toie Diel erl)ält jebc Sßerfon ? 22. 23ier ©emeinben follen eine Sriegäfteuer non 1500 fl. be* galten, unb jtoor uad) 35erl)ä(tni$ ihrer ©runbfteuer; bie ©emeittbe A jaljlt 758 fl. 40 Ir., 13 813 fl. 22 fr., C 459 fl. 78 fr., D 908 fl. 50 fr. ©runbfteuer; toie Diel muß jebe ©emeinbe ju jener SriegSfteuer beitragen? 23- einem ©efdjäfte, gu meinem A 3500 fl., B 2850 fl., C 4180 fl. Ijergegcben hat, toerben 11% gemonnen; toie Diel getoinnt jeber ? 24. 3u einem gemeinfdjaftttdjeu Unternehmen gibt A B] unb C beu 9icft ber Summe; meint nun ber ©eminn Don 1355 fl. fo geteilt toerben foll, baf$ A toegett feiner befonberen ®ieuftleiftung außer feinem DerfjöltniSmäßigen Slntheile uod) 6% be$ ©enrimteS be= fomrne, toie Diel erhält jeber? 25. 3 ^ßerfonen tpeifeu 3060 fl. fo unter einanber, bafS B bop* pelt fo Diel al3 A, unb C 3mal fo Diel ßttBbefommt; toie Diel erteilt jebe ^ßerfon? 26- ®rci Saufleute f)aben 760 fl. im £>anbet getoonnett; ber Slntljeit beS A Der^ätt fid) gu beut be§ B toie 4 : 3, ber Slnt^eil be$ B gu bem be$ C toie 6 : 5. SBie Diel befommt jeber? ,3ufic oiet non bem (gewinne wirb jeber non itjnen ermatten? 165 A f(. 2000 burd) 8 9fton. = 16 WO 2 115 X 2 = 230 fl. B „ 4000 „ 6 „ = 24WO 3 115 X 3 = 345 „ C „ 8000 „ 5 „ = 40 WO 5 115 X ^ — 575 „ 1150 : 10 = 115 1150 fl. $ier raerben je graei neben eincmber ftefjenbe SSerhäftni^alflen muttipliciert; benn e§ ift gleidjmef ob A 2000 fl. burdf) 8 2)ton. ober 16C00 fl. burd) 1 3J?on. in bem gonbe liegen läfst. 2)a nun im jroeiten Jade bie Seit bet alten gleid) ifl, nämlicf) 1 SÄonat, fo hängen bie einzelnen Slnttjeile am ©eminne bto§ non ben ©intagen, nämlidfj ben ^proöueten 16000, 240C0, 40000 ab, welche baljer als $er* fjättntögahfen einer einfachen ©e)ell)d)aftsrechmmg betrachtet werben. 2 . ®rei ^ßerfonen I)anbefn auf gemeinfd)aftfid)cn ©ettnnn. A fegt ein 1500 fl. auf eitt 3aljr, B 1200 ff. auf 6 SJtonate, C 1000 ff. auf 8 2JJonate; fie gewinnen 960 ff.; wie Diel erfjäft ieber babon? 3. SSter gfetfd){)auer pachten einen Söeibepfafj. A fäfSt 30 Cd)fen burd) 4 Sßonate, B 40 Qdjfen burd) 6 SJionate, C 60 Ockfen burcf) 3 SD?onate, ü and) 60 Od)fen aber burd) 5 2)?onafe barauf weiben; fie jafjfen 126 ff. ^adfljtnS; wie rief f)at {eher einjefne 31 t jafjfenf 4 . Set einem £>urd)marfdj Ijatte A 4 SDiann 7 £age, B 5 STOattn 4 £age, C 4 9)?ann 8 £age fang im Quartier; fie erfjieften Don ber Regierung 8 fl. Vergütung; wie rief befam jeber? 5. 3 U einem geftungSbaue fc^tcft ba8 ®orf A 40 Süiann burd) 28 £age, ba3 35orf B 25 9J?ann burd) 24 £age, unb C 30 $D?ann burd) 30 £age; eö wirb bafür eine (Sntfdjäbigung Don 850 ff. fjer* gegeben; mie Diel befommt jebeS ®orf? » ^ * 0. 4% • • . . r*' ' | 6* A beginnt im Sfnfange beS 3aI)reS ein ^rnnbefSgefcf/äff mit einem gonbe Don 8000 ff.; nad) 3 SQ?onaten tritt B/wtt 4000 ff. bei, unb nod) 2 üttonate fpäter gefeilt fid) aud) C mit SQQO flv bajit; §eftoftter, B in 3 ©tunben 16 §elfoIiter, C in 5 , 41 %, 47o, 3f/ 0 , 3|-7o, 3}°/ 0 ; meld)e$ ift ber ©urdjfdjnittScurS biefer Söodje ? 9. 5 Sapitafien ä 800 ft. finb für biefelbe Beit jit 5%, 5±7d, 6°/ 0, 4*- 0 / o , 5{-% ner*in$lid) auSgetietjen; ju mie niet °/ 0 ift int ®urd)* fdjnitte ba$ ganje Sapital non 4000 ft. auSgetietjen? ■ 10. 5 gleiche Sapitatien finb ben 31. 3änner, 31. $läx$, 15. ^Ölprit, 20. üUJai unb 15. 3uni fäütg; auf melden Jag fällt dieJmitffer£'2$er* fatt^eit biefer Sapitatien, menn man jur 33ered)nung ocjm-Sl.J®ecen|ber auSgefjt? (Sin 2Konat ju 30 Jage.) S 5 /«£/ 11*. 3emanb mifdjt 5 Siter Sßein ä 40 fr. unb 3 8iter.*a€>6 fr.; mie niet ift 1 Siter ber 3ftifd)ung mert? r J > ' • / 12 * 3entanb mifdjt smet ©orten 9tei§, 6 Stfogr. ä 25 !r. mit 4 Stiogr. ä 30 tr.; mie ötef foftet 1 Sitogr. ber 3)itfci)ung? 168 13 . @n SBeintoirt mifcpt 4 §eftotiter 2ßctn ä 24 ff., 3 §efto* fiter ä 28 fl. unb 5 §>eftotiter ä 30 ft.; rote oiet ift 1 §e!totiter be$ fo gemifcpten 2Beine$ wert? 14. @8 merbcn 5 $ifogr. Sitber ä 720 £aufenbtpeite itnb 2 Sitogr. ä 900 £fbtp. jufammengefdjmotjen; ruelcfjen ©rab ber geinpeit pat bie 2JZifcpung? 15- 2Betd)en geingepatt begatt bie Öegierung, toenn man 3 Sitogr. Sitber 0 800 fein, a) mit einem Sitogr. feines Sitber, b) mit einem Sitogr. Tupfer nermifdjt? 16 . 3 U 2 fi'itogr. ©otb ä 0*900 fein fefct man 1 Sifogr. feinet ©otb unb 1 $itogr. ©otb ä 0*560 fein; metcpeu ©epatt pat bie Sfttfcpung? 17. 33on melcpem ©chatte mirb bie 3J?ifcpung, menn man aus 3 Äitogr. 0*850 feinen ©otbeS 1*5 Sitogr. reinem ©otb auSfcpeibet? 18. 3emanb mifcpt 16 Sit er Spiritus ä 80 °/ 0 (80 ®rab,*j unb 4 Siter ä 70%; metcpen ©epatt pat bie Sfttfcpmtg? 19. 3 U 5 $eftofiter Spiritus ä 60% gießt man 75 Siter Sßaffer (ä 0%) ju; auf mie riet % mirb baburcp ber Spiritus oerbünnt? 20- $3cnn man 4 Sitogr. SBaffer oon 30° SBärme mit 3 Sfitogr. öon 40° Sßärme oermifcpt unb bafür forgt, baß leine SBärme oertoren gept, toetdje SBärme mirb bie 2Kifcpung paben? 21. Stuf einem Sßocpenmarfte merben 42 ^eftofiter ©erfte ä ft. 5„35, 37 §e!to(iter ä ft. 5„60, 25 §eftotiter ä fl. 5„12 unb 36 §e!totiter ä ft. 5,,36 oerfauft; mie groß ift ber SDiittetpreiS pr. §)eftofiter? 22- Semanb pat 3600 ft. ä 4®-%, 4500 ft. ä 5% unb 1900 ft. ä 6% auSgctiepen; ju mie oiet % müßte er bie Summe alter brei @apt* tatien auSteipen, um gteicp oiet 3^ n f cn 3 U erpatten ? 23 - 3u 28 Siter Spiritus oon 60% gießt man 20 Siter einer fcpmäcperen Sorte; toie riet ©rab muß ber 3 u f a 6 f)uben, menn bie 2ftifd)ung einen ©epatt oon 55% betommen fott? 24. Sentanb pat 60 Äitogramm einer Sßaare a 60 !r. unb 80 Sitogr. ä 55 fr*; er fc^t nocp 100 ffitogr. einer brüten Sorte ba$u unb nun foftet 1 Sitogr. ber SRifcpung 50 fr.; toie oiet foftet baS Sitogr. ber testen Sorte? *j Spiritus oon 80% cntpäft unter 100 Sftaumtpeiren 80 £peite Stßeingeift (SUfopol) unb 20 £peite Saffer. 169 3>ie ^ffigationsre^mmtg. §. 91. Um ba£ iBerfjäftnt^ gu ftnben, in meinem gleichartige £inge non öerfSiebenern SBerte mit einanber oerbuuben merben mäßen, um eine äftifdjmtg oon beftimmtem SDiittetoerte ju ermatten, mirb bie 2HtigationSred)nung angemenbet. SBemt nur gm ei ©attungen gemifdd merben fotten. 3- 33. ©in Söeinfjänbfer miß SBein ju 20 fl. pv. §e!totiter haben, er tjat aber nur SBetne ju 16 ft. unb gu 30 fl.; in meinem 33erf)ättniffe mu§ er biefe beiben ©attungen mifdjen, bamit 1 £>efto* liter ber 5Ditfdjung gerabe ben ^ßreis non 20 fl. ermatte? — ©in£)etto^ fiter ber befferen ©orte foftet 30 — 20 = 10 ft. mef)r, 1 §)eftotiter ber ftfßecfßeren ©orte 20 — 16 = 4 fl. mentger, at§ 1 §e!totiter ber SBifc^ung. 2)?an mirb atfo beim Verlaufe ber 3Jitfcf)ung an 4 f>efto* titern ber befferen ©orte, ft>etd)e barin oorfommen, eben fo niet öer^ Keren, at$ an 10 £)eftotitern ber fd)ted)teren ©orte gewonnen mirb, nämtid) 4 X 10 = 40 ft. äftan muß baf>er, bamit fid; ber 93ertuft unb ber ©ennnn auSgletdjen, je 4 £)eftoKter ber befferen ©orte mit 10 £e!totitern ber fd)ted)teren, ober man muß bie beffere ©orte mit ber geringeren in bem 23erf)ättniffe 4 : 10 mifdjen. Um ba^er baS SftifchungSöerhäftnig gmeier @at* tungen, bamit barau§ eine SJIittet gattung ermatten merbe, ju finben, fe^e man bie beiben ©attungen unter einanber unb fcfyreibe Itn!$ in ber üDiitte bie 3)iittetgattung t)in; fobann beftimme man ben Unterfdjieb jmifc^en ber SDUttelgattung unb ber geringeren, unb fe^e benfetben rechts neben bie beffere ©attung; ebenfo beftimme man and) ben Unterfdjieb gmifdjen ber 2Jiittetgattung unb ber befferen unb fcfyreibe i^n recf)t8 neben bie geringere. ®ie Unterfdjiebe finb bie S3ert)ättni§3al)ten ber 90?tfcf)ung für bie nebenfteljenben ©attungen; fie merben, menn fie burdj) biefetbe j&ofyt tfjeitbar finb, noch Subür^ abgelürjt. gür ba$ frühere 33eifariet ^at man fotgenben Stnfa^: 30! 4!2 20 5 1 - » 1610 ij & 7 I V* §. 92. Sßenn metjr at« aioei ©attungen jur ©Zifctfüttg bertoenbet »erben fotten, fo taffen fidj betriebene 3ufantmenfefeungen bornetjmen, loetdfe atte auf bie bertangte SDIittetgattung führen. 170 Um Me 3 $erl)ättni$ 3 aljten bcr SJtifdjung bei bicfcn nerfdjiebenen 3 ufammenfteffungen 31 t ermatten, nerbinbet man immer je eine beffere nnb eine geringere ©attung fo, baf$ man bie aftittefgattung erhält, unb befiimmt babei baS 9Jiifcf)ung$nerI)ältnig nadj ber im Dorier* gefyenben §. für jmei ©attnngen gegebenen SSorfdjrift. 3- 93. 2 lu§ Silber non 500, 640 nnb 900 SEaufenbttjeiten foll ©Uber non 720 £fbtl). ©efjatt jufammengef^motjen merben; in tneldjem 33ert)ältntffe mirb bie 2ttifdmng gefdjefjett? 3 3 o §ier oerBinbet man bie erfte ©orte mit ber britten, bann bie groeite mit ber britten, unb erhält (o bie ^erljältniSjatylen 3, 3 unb 5. stimmt man 3 . 33. 3 ßitogr. ©itber ä 500, 3 $itogr. k 640 unb 5 ^ttogr. k 900 Xfbtf)., fo erhält man 11 $ilogr. k 720 Xjbtlj.: benn e3 ift 3 $itogr. k 500 £jbtl). = 1500 Xjbtlj. 3 „ k 640 „ = 1920 „ 5_ „ _ k 900 „ = 4500 „ _ 11 $fdogr. ber 9ttifcf)ung = 7920 $jbtlj. atfo fommen auf 1 ßilogr. 720 „ Stuf gaben. 1.* Sin Saufmann Ijat jtnei ©orten diä$, ba 8 Sitogr. ju 28 Sr. unb ju 35 Sr.; er miß au$ beiben eine britte ©orte mifdjen, non roetdjer ba$ Sitogr. 32 Sr. loften foß; in meinem 33erf)ättniffe muß er bie beiben ©orten mifdjen? 2-* 3n metdjem 93erl)äftniffe muß man ©pirituS ä 60% nnb ä 45% mifdjen, um ©piritu# ä 50% ju ermatten? 3.* StuS 800* unb 600taufenbtI)eUigem ©Über fott 720taufenb* ttjeitigeS ßgiert merben; mctdjeS ift ba$ SJiifcpunggoerljättniS? 4* 3n meinem 33erf)ättntffe mifdjt man aus üDtetjl ju 18 Sr. itnb 3 U 30 Sr. ba$ Silogr. eine ©orte 31 t 25 Sr.? 5* Sin Söeinmirt Ijat 3 meiertei Sßeine, ä 48 Sr. nnb ä 36 Sr. ba$- 8 iter; in meinem 33er!)ättniffe rnirb er biefelben mifdjen, um einen SBein 3 U erhalten, non bem baS Siter 40 Sr. foftet? 6 . * SBie nie! Citer Sßein ä 36 Sr. nnb mie nie! ä 56 Sr. muß v < man mifdjen, um 100 8 itcr ä 42 Sr. 31 t erhalten? 7. Sin Sßeinmirt miß 3 tx>eterlei Sßeine, rnonoit ber erfte 16 ft., ber stneite 28 ft. pr. £jeftotiter foftet, fo mifdjen, baf$ er 24 §eftotiter 171 ä 23 fl. befommt; toie t>ief non feber ©attung toirb er gu ber 9)itfcgung nehmen müßen? ^)tefe Aufgabe entgätt zmei £geite; ber erfte Xgeit bitbet eine 5 CtHga= tionSrecguurtg, nämticg: in roetcgem $erg$Itniffe rnügen gmeiertei Söeine zu 16 fl. unb 28 fl. gemifcgt roerbert, um einen SBcin gu 23 fl. zu ergatten? 16 i 5 23 tmtg atfo bie 3Beine zu 16 fl. unb 28 ft. in bent 28 7 Sergättniffe 5 : 7 mifcgen. 2 )cr groeite £gei£ ber Aufgabe ift eine ©efettfcgaftSrecgnung, metcge fo tautet: um einen Söein zu 23 ft. zu ergatten, mug man bie SBeine zu 16 ft. unb 28 ft. in bem SSergättniffe 5 : 7 mit einanber mifcgen; mie niet non jeher biefer ©attungen mirb man nehmen mügen, um 24 ©eftotiter zu 23 ft. zu erhalten? 5 2 X 5 = 10 ©eftoliter zu 17 ft. _ 7 2X7 = 14 „ „ 28 „ 24:12 = 2 Um ficg non ber 3Ucgtig!eit zu überzeugen, raenbet man bie £)urcg= fegnittSrecg nung an; man tetjrt nämticg bie Aufgabe um, unb fagt: menn man 10 £e!totiter Sßein zu 16 ft. unb 14 föettotiter 2ßein zu 28 ft. mifcgt, mie tuet mirb ein öeftotiter non ber 2 Jüfcgung toften? 9ttan gat 10 ©eftotiter k 16 ft. = 160 ft. 14 „ ä 28 „ = 392 ,, 24 ®eft. ber 3Jiifc§ung 552 ft. - : 24 atfo 1 §ett. „ „ 23 ft. 8. 2öie nie! feines (Silber unb tote nie! Supfer Braudjt man ju einer 33?affe non 6 Süogr. 0750 feinen ©übers? 9- S^neS ©über unb ©über non 0'640 ©egalt foüenju©über non 0750 eingefcgmotjen toerben; toie niet non jebent ©eftanbtgeüe fomrnt auf 24 Süogramm? 10. ©in ©olbfcgmieb brauet ju einer Slrbeit Sifogr. ®oIb ä 700 £aufenbtg.; er toifi foIcgeS aus ©oft) non 650 ttnb^OÖ ©egatt gerfteüen; toie nie! mug er non {ebent negnten?.^ * v . ^ V V s w 11. 3Bte nie! 0720 feines ©otb mug ju 3 Süogr^.0-900 firnem ©olb legiert toerben, toenn 0*840 feines ©otb barauSz^ntftegem f|ll? 12. ©in ©otbarbeiter gat 2 Sifogr. 0’900 fernes, ©nfö^fjur SSerfertigung non Setten totfl er 0*750 feines ©otb gaben; ;nä‘e/niet reines @o(b mug er auSfcgeiben? ^ 13. .gmet ©attungen Saffee, ju 1*08 fl. unb 1*32 fl. baSSüogr. foflen fo gemifcgt »erben, bafs man 100 Süogr. ä 116 fl. ergaft; toie niel non jeber ©attung mug baju genommen toerben? 172 14 - 9Iu$ gmei ©orten ©ein, non beiten ba§ Siter 40 unb 30 fr. foftet, fcßett 50 Stter fo gemifcfjt inerben, baf$ ein Siter 36 fr. fofte; roie nie! non jeber ®attung inirb ntan bagu neunten? 15. (Sttt ©etreibefjänbfer t)at gmeiertci Sotn; non ber beffern ©orte gift baS §eftotiter 6 fl. 60 fr., non ber fdjtedjtern 6 ft. 20 fr.; er mitt nun 42 §eftotiter fo mifdjen, bafö er jebeS §eftotiter um 6 ft. 36 fr. nerfaufen fann; mie nie! muß er non jeber ©orte nehmen? 16 . Semanb miß ©pirituS gu 90°/ o unb gu 56°/ 0 gufammen* gießen, um 720 Siter gu 70% gu ermatten; mie nie! Siter muß er non jeher ©orte neunten? 17 . ©ie niet Siter ©affer non 30° R. müßen 31 t 4 Öiter Söaffer non 15° R. fytngugegoffen merben, bamit bie SRifdjttng eine Temperatur non 24° R. t)abe? 18 . 3n meinem 3Serf)dttntffe fann man brei ©orten einer ©aare, non benett ba$ Sitogr. 56, 60 unb 80 fr. foftet, gufammenfefcen, um eine ÜRifdjung gum greife non 72 fr. pr. Sitogr. tjergufteüen ? 19 - @tn ©itberarbeiter braucht 4*- Sitogr. 0-800 feines ©itber; er l)at aber nur gang feines unb 0*900 feinet ©ttber unb muß batjer audj Tupfer bagu mifdjeu; mie niet Sitogr. muß er nott jeber ©orte jur üTOtfcfjung nehmen? 20 . Sin Kaufmann beftfct non einer ©aare brei ©orten gtt 60 fr., 66 fr., 80 fr. pr. Kilogramm; mie niet muß er non jeber ©orte neunten, um burdj bie 3J?if(f)ung 340 Kilogramm ä 72 fr. gu ermatten? 21 . 3n meinem 23erf)ättniffe fann man ©eine ä 26 ft., 20 ft., 16 ft. unb 12 fl. pr. £>eftotiter mifepen, um einen ©ein gu erhalten, monon baS §eftotiter 18 ft. mert ift? 22. Oemaitb miß aus 4 ©orten Äaffee ä 1*32 ft., 1*24 ft., 1*20 ft. unb 1*08 ft. pr. Sifogr., 240 Äitogr. ä 1*18 fl. gufammen* fe^en; mie niet fann er non jeber ©orte neunten? 23 . ©ie niet ©affer muß man gu 6 $eftotiter ©pirituS ä 46%, 3 §eftotiter a 44% unb 2 §efto(iter ä 40% gießen, um ben ©etjatt auf 42% gu bringen? 173 'gStebe^ofungsaufgaßeii. 1* 3, 5, 6 @tiieftof., B 140 $eftot., C 160 £eftol. ©ie jagten für bie 8rad)t jufammen 35 ft.; tüte biet Ijatte jeber baju beantragen? 10* 2öie biet feinet ©Uber ift in 42 Sitogr. 12 ©efagr. ent* fjatten, mnn febeS $itogr. 72 ®efagr. 6*2 ©ramm feines ©über enthält ? 11. ©ne ©fenbaljn fteigt bon ber ©tation A jnr Station B nm 3 m 2*8 dm , bon B bis C um 2 m l*3 dm , bon C bis D faßt fie um 4 m 49 dra , bon D bis E fteigt fie mieber nm 3 ra 3*4 dm ; nm tbie biet liegt E fjöljer als A ? 12. ®ie §atbmeffer ber @rbe unb beS SJonbeS berfjatten ftd> tüie 11 : 3; mm nun ber mittlere £>albmeffer ber Grbj* fr J$^ geogr. Steilen beträgt, mie grofj ift ber §atbmeffer beS 3Ronbje^> 13* ©ne ©trage bon 10 Km 161*6 ra Sänge jn^eiben ©eiten mit Säumen befe^t, bie 20 Stritte ä 582*v bQQ .fhmnber ftanben; mie biet Säume maren erforberlid) ? * 14. -Öemanb fanft jmei £>üte ßutfer, bon eme 7^Sitogr., ber anbere 8| flüogr. miegt; mm nun bej. erftefe 3 ft. 75 fr, foftet, mie tjoef) fommt bann ber leitete? ’ fcu_| £X i r* ■ * 174 15 . ©iribiere 26541200 burd) jebe ber Sagten a) 37 b) 46 c) 60 d) 104 e) 115 f) 150 g) 185 li) 230 i) 520 k) 455 1) 1560 m) 3404. 16. Sin Körper legt in jeber ©ecunbe 3^- 2ftetcr juriicf, ein jtreiter 35| äfteter; trie nielmal fo feinet! beruegt fidt; ber streite Körper als ber erfte? 17. ©in Kaufmann fann für eine getrtffe ©untmeöOOSilogr. laufen, wenn baS Silogr. 48 fr. gilt; wie riet Silogr. fann er taufen, trenn ba$ Silogr. a) 36 fr., b) 30 fr., c) 56 fr. foftet? 18- 2luö einer Diöljre fliegen in 27 Minuten 459 Citer SBaffer; in wie riet SDlinuten fliegen aus berfelben Siöfjre 1728 £iter? 19 . 93ci einem nad) 3 Sftonaten jafylbaren Söaarenbetrage non 895 fl. 38 fr. ttrirb bei barer 23ejat)Iung ein ©conto oon 1^% (für 3 SJZonate) bewilligt; trie grog ift a) ber ©conto, b) bie bare 3al)lung? 20 . * 24 SJJeter foften 32 fl.; trie riel foften 30 Bieter? 21. * Sin gäfSdjen SBcin, baS 45 Siter I)ält, foftet 16 ft. 20 fr.; trie tjoä) fommen 10 Siter ? 22. * Sßenn 1000 ©tüd Bteger 15 fl. 50 fr. foften, trie ^od) fommen 400 ©tüd ? 23 * Stuf ben Umfang eines 9^abe§ geljen 30 3ü^ne, trenn fie 9 cro ron einanber entfernt finb; trie riet fttyn e gelten baranf, trenn fic 6 cm auSeinanber ftefjen? 24. * A, B nnb C laufen gemeinfdjaftlid) 40 üUieter £nd) für 150 fl.; A erhält 6 üDJeter nnb C 4 ÜÜfeter metjr als B; trie riel mug jeber bejahen? 25 . Semanb erhält 5 gaffer ftudtv, treidle einjeln 138 Silogr. 46 ©efagr., 120 Sil. 20 ©ef., 112 Sil. 28 ©ef., 118 Sit. 4 ©ef., 120 Sil. wiegen; wie grog ift baS ganje ©ctrid)t? 3402 X 125 X 96 966 X 1001 X 126 _ 0 aj . 5670 X 35 J 56 X 99 X 49 “ f an > 50 X 2J- X 12 375 v 30 X 9 X 8 _ „ a) 256| X 1 (X) ~ ’ D ' 25 X 12 X 7 : 5 28. 3emanb Ijat 385 Ä’ifogr. für 173 fl. 25 !r. gelauft unb beim ©erlaufe 20°/ 0 gewonnen; lüte treuer ift bab Silogr. o erlauft worben ? 175 29 . Oentanb erlieft ein gaf3 mit flaffee, mcfdjeS 275 tifogr. ©rutto mog; bic Sara betrug 8% unb 100 Sifogr. 9letto fofteten 118*6 fl.; mie treuer mar ber Kaffee? 30 . ©on 32500 3^ e 9 e ffW ncn erteibet man burcf) ©rnd) einen SSerluft non 1820 ©tiid; mie nief % beträgt ber ©erfuft? 31 . ©3ie nief betragen bic einjährigen 3infen S u 6°/ 0 non 975, 1225, 2870, 5995, 8445, 12760 fl. ? 32 - a) 250 ft. ßapitaf bringen jährlich 15 ft. 3mfen, b) 360 „ „ „ „ 10J- „ „ , c) 550 n „ „ „ 35 f- n „ ; $u mie nie! % finb biefe ßapitafien angefegt? 33. 20 ©aSflammen 300 Mächte unb gmar jebe 9?adjt 6 ©tunbett gu unterhaften, foftet 675 ff.; mie nief foften 30 ©aSflammen non gfeidjer ©tärfe, bic inan 240 9?ädjte gu 4 ©tunben jebe ‘Jtadjt brennen läf$t, meun ba$ ®aS um im greife geftiegen ift? 34. * 2Bic nief geminnt man an: a) 450 ft. bei 20%, b) 86 ft. 20 fr. bei 10°/ 0 , c) 772 ff. 40 fr. bei 121%, d) 1224 ff. bei 25% ©eminn ? 35. * 2öte nief % geminnt jemanb, ber % T % beg ©nfauf3preife$ geminnt? 36. * ©?ie nief beträgt bie ‘’ßronifion gu 14% öou 712 ff., 884 ff., 1308 ff., 1426 ff.? 37. * Scmatib nerfauft 48 Sifogr. Qudcv k 52 fir. unb geminnt babei 5 ff. 32 fr.; mie nief hat er beim ßinfaufe bafiir ansgegeben? 38* ©tt -©affen Such non 42 2)?eter foftete 140 ff.; mie nief hatte ein Suchhänbfer gu begaffen, ber 120 3J?eter fofcf»en Suchet faufte? v—. 1 \ 39* ©ei lOftönbiger SIrbeit noffenben 3 2frbeit’e*.iin iHSerf in 16 Sagen; in mefdjer 3eit hätten baöfefbe 4 2Irbeitc< *b&i; Sftünbiger Arbeit beenbet? I — '■" % 40. ©eftimme nach ber abgefiirgten Sinifion ? c) oon 5540 fl. in 23 Stagen ju 7]°/ 0 ? 54. SSSie Dief ertjäft jeber Oon 688 ff., loenn A fo oft 2 ff. af$ B 3 ff. unb C fo oft 6 ff. afö B 5 ff. erraffen foff? 55. 2 fub gtoei ©orten ©über oon 0760 unb 0650 ?*eingefjatt foff eine Regierung oon 0700 ©efjaft fjergeftefft werben; wefdjeS ift ba 8 ■JßifcfiungSDerfjaltnig ? 56. 3« einem ©efefjäfte gibt A 1250 ff. auf 4 ÜKonatc, B 2380 ff. auf 5 Monate, C 3000 ff. auf 3 Monate unb D 2710 ff. auf 10 2J?onate; ber ©eminn beträgt 2188 ft. 48 fr.; loie oiel erljäft jeber? 57 . SBefcfje ©apitalien geben a) ju 4j°/o in 3 3afjrcn 246 ff. 24 Sr.? b) „ 5°/. „ 2 „ 125 ff.? c) „ 6°. „ 108 Stagen 67i ff.? 58. A ift oertragömäjjig Oerpfficfjtet, 4800 ff. fogfeiefj, 2000 ff. naefj 1 Bafjre, unb 2200 ff. naefj 15 SKonaten 3 U gaffen; loann fann er biefe ganje ©djufb auf einmal tifgen? 59- 3 U ißorjeffan nimmt man 25 Stfjeife Stfjon, 1 Streif ©pp« unb 2 Stfjeife Sied; wie oiel oon jebem brauefjt man 3 U einer SJfaffe oon 85 Sifogr.? 60. Sßit 20 §eftofiter pmfer fann man 36 Sßferbe eine gemiffe 3eit fang füttern, wenn bad Sßferb tägfiefj 5 Siter erfjäft; wie oief Sßferbe fann man mit 50 peftofiter pafer eben fo fange füttern, Wenn man jebem Sßferbe tägfiefj 9 ßiter gibt? 61. 2 ßie oief 3 inS geben a) 8888 ff. ©apitaf ju 7% in 12 Stagen? v ' \ . b) 9379 ff. su 6fc°/. in 147 Stagen? 'S ’ ‘ ’ c) 1230 ff. 39 fr. 311 4=\ in 305 Stagetj 2/ 62. 53ei 42° o jäfjrlicfjem SDidcont werben oon einer'näcfj ^f ÜJfo= naten gafjfbaren ©cfjufbfumme 47 l ff. abgejogen'e^wie grp§ .ift bie ©cfjufbfumme? \> v ■ • ' . 63- -Semanb leibjt ein ©apitaf oon 3700 ff. 311 5i%.aud, Wobon er fefbft einen Streif ju 4% aufgenommen fjat; wie grofj ift ber ifjrn gefjörenbe Streif bed ©apitafd, Wenn er einen jä£>rfic^en 3 indüberfcfjuj 3 oon 154i ff. fjat? / t X ♦ \ 2ftocntf, 8nt$mettf für ttntemalföulcn» 16. 8ufL 12 $e#er illirdjttiff. 3lntoeubung bet UtrttTjmetit ouf bie SBeredjnung ber äJJünjen unb Söertpafiiere. I. bie JRünjredfnung. §. 93. ©a8 allgemeine SJiittet jur iBertbeftimmung unb junt (iintaufepe ber oerfdjiebenen ©egenfiänbe heißt ©etb. @in au« Metall geprägtes @tüanbet$foert. ©er innere SBert einer Sttünje ift ber Sßert beg barin enthaltenen feinen Sftetaßg; ber gefe^lidje Söert ift ber feon ber Regierung beftimmte SSert, 3 U bem fie im Sanbe, mo fie geprägt mürbe, aßgemein angenommen merben foß; ber $anbetgmert, auch ©nrgmert, ift ber feeränber* lid)e ^ßretg, melden eine SD^ünje im ^mnbelgöerfepre hat. in einem Sanbe ber Söert fämmtlidjer SRnnjen nach einer befiimmten ©ilbermünje beftimmt, fo fagt man, bag 8 anb hafte bie Sitfter* mäh^nng; liegt bagegen bem ©elbfpftem eine @olbmün^r^;@runbe, fo hat bag 8 anb bie ©otbmährung. geltere befielt 3 . 33. in ©ngtanb, Portugal, in ben norbamerifanifchen greiftaatetf,-tu bbt mneften Beit auch in ©euifchlanb. ^ | §. 94 . ©ie michttgften ©otbmünjen finb: | 1 . ©ie öfterr eichifd) = ungarifd)en Sl^tgnlben^utte, öon benen aug bem Kilogramm 0*900 feinen ©olbeg MMt 12f* 180 ausgeprägt Serben. 9iacf) 93erljältniS werben aud) 33t er gut ben* ft ü cfe geprägt 2. ©ie g fr auf ftitcfe in $ranfreid), Belgien unb ber ©djweij, unb bte ßroanjiglireftüde- in Italien; fie ftimmen mit ben öfterr. Sldjtgulbenftücfen überein; eben fo finb bie 3el)nfranf« ftüdc unb jfrtfjnlix eftütfe ben öfterr. 93iergutbenftücfen gteid). 3. ©ie faif. öfterr. ©ucaten; 67 Stücf wiegen eine cöln. 2ftarf = 233*87 ©ramm unb enthalten 23j faratigeS ©olb. 4. ©ie heutigen SKeicpSgolbmiinjen, unb jtoar günf*, 3el)n= unb 3ü)anjigmarfftü(!e; non ben 3 e ^ nma rfftü(fen werben aus bem ^funb — 500 ©ramm feinen ©olbeS 139|- Stücf auSgebrad)t ©er geingetjalt ift 0*900. 5. ©ie engltfdjen SoneretngS (^ßfuttb Sterling); aus bem ©roppfunb = 373*246 ©ramm \\ feinen ©olbeS werben 46;| Stüd geprägt. 6. ©ie ruffifd^ert |)albimperialen, non bencn 62|§ Stiüf ein ruffifdjeS $funb ©otb non ber 88. ‘ißrobe enthalten. 7. ©ie norbamerifanifcpenßagleS (21bler) $u 10 ©ollarS; ein (Sagte wiegt 16*718 ©ramm unb ift y 9 ^ fein. ©ie widjtigften Silbermünsfüge finb: 1. ©ie öfterreidfifcpe Sßäprung. 2IuS 500 ©ramm feinen Silbers werben 45 ©utben (0*900 fein) geprägt. 3n Defterreid) beftanb bis 3 um 3a§re 1857 ber gtnanjtg ©utbenfufc ober ber (SonoentionS^ün^fug, nach meinem aus einer cölnifcfjen äßarf oon 233 87 ©ramm feinen ©ilberS 20 ©utben ßonoenttonSmünge k 60 ^reuger k 4 Pfennige geprägt mürben. 2. ©er ftranfenfug (in granlreid), Belgien, Italien unb ber Scpweij), nad) welchem aus bem Silogramm -^o feinen Silbers 185f grancS (Öire ober ^raufen) geprägt werben. 3. ©er Silberrubelfug in SRußlanb. 100 Silberrubel wiegen 5 ^3funb 6 Sclotni! unb finb non ber ^ßrobe 83|. i * , §. 95, 3n ber SJlünjredjtutng fornmen gett)ö^nlid^ fofgenbe Stuf* gaben cor. 1. Seredinung beö fjeinge^aftcs, be§ Äorneö ober @c§roteö. 181 a) £)cr g ein geaalt toirb gefuttben, inbern man baS Horn burdj baS <3c£)rot binibiert. 3- SDie neuen öfterr. 3manäiger miegett 2| ©ramm unb enthalten 1| ©ramm feinen ©itberb; mie grof; ift itjr geingeijatt? _ _4 _ 500 “ 8 . “ 1000 ' 11 2 | ©ie neuen 3toanbefööerfel)re f)at, Ijeifjt ber Sur 8 berfefben. §at eine SDlünje einen feftgefe^ten (gefefclid&en) SBert, fo fann ber SurS ^öljer ober niebriger fielen, at$ biefer SBert; ber SJZefjrbetrag toirb Slgio, ber -äßinberbetrag ©i$* agio genannt. Unter befonberen Umftänben fann auef) bie £anbe§münge einen (Sur3 f)erbeifüßren, ütsbefonbere bann, raenn ficfj neben bem Sftetallgelbe aucij $apiergelb im Umlaufe befinbet unb ein größerer Mangel an Sftetallgelb eingetreten ift. 3)iefe3 ift gegenwärtig in Defierreicß ber galt, wo ba3 ©Ubergelb gegen Sßapiergelb ein größere^ ober geringeres Slgio ßat. ®er (Sur8 toirb meiften« pr. ©tüd, feltener in ^ßrocenten angegeben, ©ie Slgio ^rocente toerben immer öon §unbert ber i eff er en 2ttünsforte berechnet. ©aS S n r 8 b l a 11 (ber ßarSjetteO §at gar Slufgetdjnung getoöljnlid) gtoei (Sofonnen, non benen bie eine mit @efb, bie anbere mit SBaare übertrieben ift. ©er in ber ®efbcofonne üerjeidjnete 6ur8 brltcft au8, bafj man bie üftüttje nm btefen ^3reiö gu taufen fucfjte ober and) fanfte (üfacfjfrage); ber ßurS in ber SBaarencofonne bebeutet, ba£ man bie SJJünge gu biefem greife gu Verläufen fudjte (Angebot). Sin ber 2$iener*S3örfe werben fämmtli^e S^ün^en per ©tücf unb jroar in (Bulben ö. SB. S3anfoaIuta notirt; nur für ©Über (©itbergulben ober ßouponS ber ©ilbeprente) wirb ber (SurS in ^ßrocenten angegeben, g. 23. für 100 fl. in ©über 103- fl. in 23anfnoten, in meinem gälte ©übergelb gegen Sknfnoten ein Slgio oon 3 ö / 0 §at. 183 3. 33. £er SttrS ber faif- ®ucaten ift 5*42; toie nie! finb 128 ©tücf teert? 5*42 X 128 1084 4336 693*76 fl. = 693 fl. 76 fr. £)aS ©Uber ift mit 103 notiert; teie nief in 33anfnafuta teirb man für 375 fl. ©ifber begaben? 375 ä 103 1125 38625 fl. 33anfnafuta. Slufgaben. 1. ®ie öfterr. 3teangtger finb 500, bie 3?pner 400, bie günfer 350 STaufenbtpeife fein; gib ben geingepatt biefer Sfttüngen in ben ffeinften 33rücpen an. 2. £>te faif. 35ucaten enthalten 23^ faratigeS ©ofb, bie engl. ©onereignS finb -{4 fein, bie ruff. Smperiafe non ber 88. $robe; brüefe ben geingepatt jeher biefer 3)füngen in £aufcnbtpeifen aus. 3. Söefcpen geingepatt pat eine ©ifbermaffe, teefepe 640 ©ramm teiegt nnb 480 ©ramm feines ©Uber enthält? 4. 9fuS 500 ©ramm feinen ©ifberS teerben 45 ft. ö. SB. geprägt; teie oief feines ©über enthält 1 ©ulben? 5. Sin granfftüd teiegt 5*3892 ©ramm nnb enthält 0*835 feines ©ifber; teie Diel beträgt baS Sorn? 6. 23ie nief feines ©Uber entpäft ein poffänb. ©ufben, ba aus 1 Sifogr. ©Uber non 0-945 geingepatt 100 ©ufben geprägt teerben? 7. Seftimme aus ben 2ln gaben in §. 94, teie nief ßont a) 1 öfterr. SIcptgufbenftücf, b) 1 faif. ®ucaten, c) 1 beutfcpeS Qtfynmaxb ftüd, d) 1 engf. ©onereign, e) 1 ruff. fmfbimperiaf, f) 1 norbamerif. Sagle pat. 8. 2Bie nief ©Uber unb Tupfer pat ein Sarren ©Uber, ber 3* Kilogramm teiegt unb 0-520 fein ift? . 9. Sine ©ofbfegterung ift 0*580 fein unb teiegt 168*2 ©rjmm; teie gro§ ift baS geingeteiept? ‘ \ 10. Sin öfterr. 3 ft)a ngiger pat bei geingepaff 1-J- ©raijtm feines ©ifber; teie nief teiegt er? 11, SöefcpeS ©eprot pat eine engfifepe Srone, teefepe 28*276 ©ramm feines ©ifber entpäft unb ££ fein ift? "r 1 184 12* Seftimme au$ bett Angaben in §. 94, toie t)ief ©cprot a) 1 öfterr. 23iergutbenftücf, b) 1 beutfcpeS 3^nmarfftü(f, c) 1 engl, ©onereign, d) 1 ruff. §atbimperiat f)at. 13* 3 U einer ©cfjüffel aus 0*750 feinem ©Uber merben 935 ©ramm feinen ©ilber$ öertoenbet; tote riet miegt bie ©Rüffel? 14* SBie trief ift 1 ©ramm feinen ©itberS toert? 500 ©ramm fein ©Uber = 45 fl. ö. SB. 1 „ „ „ = 009 fl. = 9 fr. ©ilber. ©o oiele ©ramm feinen ©ilberg eine ©ilbermiinge enthält, fo oielmat 9 fr. öfterr. ©ilbergelb beträgt il)r SBert. 15* a) 1 pottänb. ©ufben t)at 9 45 ©ramm feinet ©über, b) 1 ruff. ©itberrubet I)at 17 996 „ „ „ c) 1 bän. 9ietcf)§tt)ater pat 16*511 „ „ „ melden ©ilbermert in ö. SB. fyat jebe btefer 9JJünjen? 16. 3n 375 gmanjtgern, ebenfo in 750 3ü)nern, tute and) in 1500 Fünfern finb 500 ©ramm feinen ©itber$ enthalten; meinen ©ilbermert in ö. SB. Ijat a) l^^anjiger, b) ein 3d) ne ^ c) lgünfer? 17- 20 fl. Sonuention^SJiünje enthalten 233*87 ©ramm feinen ©überS; mie ui ei fl. ö. SB. ift piernad) 1 fl. 6. 3Ji, mert? 18. ©ne ©itberftange toiegt 2£® Kilogramm nnb ift ^ fein; mie grofj ift ber ©ilbermert tn ö. SB.? 19. 1 SIcptgutbenftM gilt bei ben f. f. gaffen 8*1 fl. ö. SB. in ©über; melden ©übermert pat f)iernad) a) 1 ©ramm feinen ©otbeS, b) 1 Sitogr. feinen ©otbeS, c) metcpeS SBertuerpättniS finbet smifepen . bem ©otbe nnb ©über ftatt, ba 1 Sitogr. ©über = 90 ft. ö. SB. ift? 1 ©ramm ©olb = 1 fl. 39 l / 2 fr. ö. SB. in ©Uber 1 ßilogr. ©olb = 1395 fl. ö. SB. in ©ilber ©olb : ©ilber = 15 x / 2 ** 1. 20. Seftimme an$ ben Angaben im §. 94, melden SBert 1) in öfterreiepifepen ©itbergutben, 2) in Slcptgutbenftiicfen a) 1 latf. $)ucaten, b) 1 betftfcpeS 3 e ^tnar!ftü(f / c) 1 engt, ©ouereign, d) 1 ruff. §>atb* imperial pat. 21** SBenn man 1 beutfcpeS 3 e *) nmar ff*ü ©enfarie unb ±°/ 0 ^rooifion; auf melden Setrag lautet bie Rechnung? 26 . 2Bte Diel in ^ßaptergelb ftnb 328 fl. ©Uber toert, toenn ba§ Sfgio 3% beträgt, b. i. toenn ba§ ©ifber mit 103 notiert ift? 27. 2Bie oief ff. in Sanfnoten erljäft man für 1234 ff. ©ifber bei a) 67o, b) 5i°/o, c) 47o, d) 3157» Sfgio? 28. 2Bie Oief ff. in Sanfnoten ftnb bei bem ©ifbercurfe 103*35 a) 32 ff., b) 85 ff., c) 248 fl., d) 3032 ff., ff. ©ifber toert? 29 . 2Bie oief ff. ©ifber erfjäft man für 100 ff. ^aptergefb, toenn baS ©ifber auf 107 ftefjt ? 30. S53te oief ff. ©ifber ftnb 2360 ff. in Sanfnoten a) bei 5%, b) bei 4£7 0 , c) bei 3£%, d) bei 2% 2tgio toert? 31. r 3480 ff. in ©ifber b.ejaljft man 3501 ff. 80 fr. Rapier* gefb; ju toie oief % toirb baS ©ifberagio geregnet? * v II. $ie täaedjfelredjnung. ■ §. 96. Sine Urfanbe-, in tuelc^er ftd^ ber StuSftetter unter .. tt)cd^felred)ttic£)er Haftung oerpfüdjtet, eine beftimmte ©eibftnnntt- ct» f eine gemiffe ^ßerfon ju einer bestimmten 3eit entroeber fetbft jtt ja|Ic,n^ ' ober burcf) eine britte ißerfon jaulen ju taffen, toirb e cfy f c-i genannt. 9iü(fftd§tfi4 beS galjterg unferfdjeibet man eigene Söedjfet unb frembe, ober gezogene, traffierte SBedjfel. Eigene SBecfjfet feigen jette SBecfjfet, in metcfien fitf) ber 2tuß ftetter Derpffidjtet, bie Söedjfetfumme fetbft $u bejahen. 3- A. Richter in SBien lauft Don F. Haas bafetbft um 2000 fl. SBaaren, jaljtbar nad) 2 Sionaten, unb [teilt itjm über biefen Setrag fotgenben SBedjfet aud: SBien am 7. Sluguft 1876. pr. fi. 2000 ö. 3trei Stonate Don tjeute ja^te idj gegen biefen Sota*3BectjfeI an ben £errn F. Haas bie «Summe Don jtoeitaufenb ©uiben oft. SBäljrung. A. Richter. Richter ift bann na cf) ber SEBedjfelftrenge üerpflidjtet, nad) 2 Stonaten bem Snljaber biefeö SBedjfetö bie barin genannte Summe $u jaulen. 3n einem eigenen SSecfjfet fommen wenigftenS jtnei fßerfonen Dor 1. ber lußftetter, toetcfjer fiH) jur 3 a ¥ un S ber SBedjfetfumme Der* gofftcfjtet (Ijier Richter); 2. ber Remittent ober ber erfte 3n* fjaber be§ SBedjfetb, bem fid) ber 2Iu?ftetter bie 3 a ^ un 9 5 U ieiften Der» pflid)tet (Ijier Haas). exogene ober traffierte SBedjfet finb fotdje SBedjfet, in ttefcfjen ficf) ber StuSfteCfer üerpftidjtet, bie 3Bed)fetfumme burdj eine Dritte ißerfon jaulen jn taffen. 3- 33. C. Fischer in Söien erhält Don H. Wittgen in Hamburg SBaaren im Setrage Don 1200 Start Sanco, ga^tOar nad) 3 Stonaten. 3n Söien ift aber ber Kaufmann J. Moser, weiter mit bem Hamburger Saufmann F. Korne in ©efdjäftSDerbinbung unb Oterfmung ftef)t. Statt, bafö ber Sßiener Fischer bie Summe Hamburger @etb mit ßfterreidjifcfiem tauft unb an Wittgen in fmmburg fenbet, tnaS mit Unbequemtidjteit, Soften unb ©efafjren Derbunben märe, begibt er fid) ju Moser, erlegt ifjtn eine Summe in ö. SB., teetdje benfeiben SBert fjat at§ 1200 Star! Sanco unb erfjätt bafiir Don Moser fotgenben SBedjfet: SBien am 15. 3uti 1876. fir. 3». 33. 1200. ®rei Stonate nad) fjeute jagten Sie gegen biefen Srtma»2Becf)fet an ben §errn H. Wittgen bie Summe Don eintaufenb jtoei* bunbert Start Sanco. $errn F. Korne J. Moser, in Hamburg. J. Moser. 187 liefen 2Bed)feI überfenbet Fischer oon SBien an Wittgen in Hamburg, melier benfefben bent Korne bort jur 3 a ^f un 9 ^erflärung Dortreifet ober präfentiert. Korne erffärt fid) auf bemfetben fdjriftlicf) jur 3 a f)tog ©nmnte jur beftimmten £tit, b. i. er accep* tiert ben 2 Bed)fef, unb Ijat nun 3 U ber genannten $dt bie 3 a ^ utl 9 an Wittgen jn feiften. £)er Sßiener l)at baburd) feine 3of)tnng an ben ©laubiger Wittgen in Hamburg auf eine fefjr einfache SBeife geleiftet. SBiirbe aber Korne ben Sßedjfef nidjt acceptiren, fo märe ber 2 ln^fte£ter unter medjfelrecfjtlidjer Gattung öerpflid)tet, für bie 2 Bed)felfumme unb für bie Slustagen ©faf$ ju reiften. ©n SBed^fef bietet bemnad) ein feljr einfac^e^ bittet jur 3lu§* gletd^ung öon @d)u(ben unb gorberungen jtrifcfjen $aufleuten üer* fdjiebener $(ä£e. 33ei einem gesogenen 3Bed)fel finb im Snigemeinen hier ^ßerfonen beseitigt: 1. ber 31 u$ ft etter ober Sraffant, melcper ben 3Bed)fe( au^fteüt ober traffiert (t)ier Moser); 2. ber Sraffat, meiner oom SXuöftctler jur 3 a ^ un 9 öer Sßecfjfelfumme aufgeforbert mirb (f)ier Korne), er fjeifft menn er ben2ßed)fel acceptiert I)at, and) 3lcceptant; 3. ber Remittent, b. i. jene '’ßerfon, meldje ben 2öed)fe( lauft, um ipn an feinen ©laubiger ju übermalen, ju remittieren (fjier Fischer); 4. ber ^ßräfentant, tvddjt r ben 2öed)fet jur Slnnafjme unb fpäteren 3 a ^ un 9 bormeifet (f)ier Wittgen). ©n 933ecf)fet mirb in Sesieljung auf ben Sraffanten unb ben 37raffaten eine SEratte, in Sesieljung auf ben Remittenten unb ben ^räfentanten eine Rimeffe genannt. §. 97. Sie im 333ecf)fef beftimmte %tit jur $a1)lmQ btv 3Bed)fet* fumme, b. i. bie SBerfatlSjeit, fann auf mer 2lrten feftgefefct merben: a) 21 uf einen beftimmten Sag, 3 . 33. 8 . 2 J?ai biefeö $al)re#, medio SJiai b. 3. (unter medio oerftefjt man immer ben 15. be$ 2ftonate$), ultimo 3JZai (31. SRai). @old)e 2Bed)fet feigen S v ag* % tt> e d) f e I. .. b) Sßadj ©idjt, unb stear 1 . unmittelbar nad) feite ober einer ©opte beSfelben, Snboffament ober ©iro genannt, ©erjenige, melier ben 2Bed)fe( an einen anbern überträgt, b e ifft önboffant ober ©irant; berjenige, an treiben ber S3ed)fel über* tragen trirb, Snboffatar ober ©iratar. ©er Bnboffatar fann ben SBecbfel trieber an einen anberen, felbft an ben 2luSfteHer, Se* jogenen ober einen früheren ©iranten giftig girieren, bis jur Ser-' falls$eit ber lefcte ©igentbümer bie SBechfeljablung trirflid) erhält, früher mußte im SBecbfel oor bem Flamen beS Remittenten, bamit er baS Recht bube, ben SBecbfel $u girieren, ber 3 u f a fe »ent bte Drbre" gefegt trerben; nach ben gegenwärtigen SJecbfelgefe^en ift biefer gufafc nicht mehr notbtrenbig. 189 ?$cd)(erbi5Cöuf. §. 98. SBedjfel, mefdje auf bic SSaütta beS eigenen £)anbe(Sp(a£e$ lauten unb bafetbft jaf)tbar finb, Ijeijjen ^(aferoedjfet. SBenn ein < ‘ß(afetned)fe( nor bem 93erfa((stage nerlauft mirb, fo muß fidj ber 25er= fäufer tnegen ber früheren Sejaptung einen Slbjug gefallen (affen, tne(d)er non ber $t\t abfyängt, bie ber SBccfyfef nod) 31 t laufen fjat. Jiefer SSb^ug fjeißt ©iScont ober 6 «compt. einen Sßedjfet nor ber SSerfaüS- 3 eit gegen Slbjug be$ SDi^conteö oerlaufen ober laufen, Ijeißt benfelben biScontieren. ©er 3Bed)fe(biScont mirb in ^ßrocenten für ein 3a(jr angegeben unb foüte richtig auf Rimbert gerechnet merben (§. 84); er toirb jeboef) tl)atiäd)lid) immer nad) ber bequemeren ^rocentred)nung non £mnbert beftimmt, mei( bie fid) ergebenbe ©ifferen 3 mit 9iitdfid)t auf bie fur 3 e 8 auf 3 eit ber SBedjfel fef)r gering ift. äftan berechnet bafjer ben SBedjfel biScont für bie oont Sauftage bis 3 um 33erfa(($tage mie bie 3mf en auf Jage (§. 80), jätjft bei ber Seftimmung biefer 3eit ben Sauftag ober ben Verfallstag nic^t unb rechnet jeben 2J2onat 3 U fo nie! Jagen, als er bereu toirflid) I)at. 3 . 33. ©n 335ec^fel non 3500 fl., fällig am 20. 3uni, mirb am 23. 2Ipril mit 5% ©iScont nerfauft; tnie niel beträgt a) ber ©iScont, b) ber biScontierte SBert? ©iScontierungStag 23. 2Iprit Verfallstag 20. 3uni SIpril 7 Jage mti 31 „ 3uni 20 „ 3500 X 58 28000' 175 203000 : 6000 58 ©iSconttage 33*833 a 6°/o 5*639 a l°/o 28194 f(. ©iScont edjfelfumme 3500 fl. ab 5°/o ©iScont für 58 Jage 28 „ 19 Ir. ui *r' SDiScontierter SBert 3471 fl. 81 fr. f [ u f g a 6 e it. / .•»i 1. ein SBedjfel non 1565 fl., treuer nad) 24 Jagen jaljfimr ift, tnirb ju 5^-% biScontiert; toie gro§ ift a) ber ©iScont, b) ber biScontierte SBert? *-■ 4 . 190 2 . Vereine bett ©iScont imb beit biScontierten SBert für fol= genbe 2 Bed)fet: 3. 2lm 27. 3uni mirb ein 2Sed)fel üon 2664 fl. pr. 5. Sluguft a 77. biöcontiert; ftte groß ift beffen äBert? 4. SDfan lauft am 4. Oättner einen SBedjfel pr. 3800 fl., fällig medio gebruar, mit 5i°/o ©iöcont; toie oiel ift bafür 31 t 3 aljfen? 5. SSeldjen 2Bert f)at am 22. ÜM bei 4|% ©iScont ein 2Becf)fel Don 655 fl., jafjlbar ultimo Quni? 6 . ©n SBe^fel über 2844 ÜJiarf, jatjlbat 14 Sage nad) Sid)t, acceptiert am 25. September, mirb am 1. October mit 47o ©iScont oerlauft; wie Diel nimmt man bafür ein? 7. <5in am 12. 3uli 3 ÜÖlonatc a dato auSgeftellter 2Becf)fel pr. 2517 fl. 88 fr. toirb am 26. Sluguft a 6f-% biScontiert; toie Diel beträgt ber biScontierte SEBert? 8- 21m 24. Slpril merben bei ber öfterr. OEationalbanf folgenbe Söedjfel 3 U 57o eScomptiert: 3128 fl. auf © Sttofer, pr. 20. 2ttai; 1073 „ „ ff. Sinf, pr. ultimo iUfai; 536 „ „ f?. 9Jfülfer, 31. ©age nad; Sid)t, accept. 8. Slpril; 2895 „ „ §. ißrobft, Dom 28. SUfärj, 2 9Jfon. a dato. 3Bie Diel l)at bie ©an! für alle biefe S35efel 3 U bejahen? 9. $u foie fiel 7o würbe ein am 15. üluguft fälliger 2öed)fel Don 3456 fl. am 23. 3uni biScontiert, toemt ber ©iScont 25 fl. 44 fr. betrug? gSedjfeltebuctfon. §. 99. SBecfifel, toelcfje auf frembe §anbel 8 pläpe unb gemöljnlicf) aud) auf eine frembe SBäfjrmtg tauten, Reifen auSlänbifdje SBedjfel 191 ober 2) c bi feit. ©eint (Sin* ober ©erlaufe oon ©eoifen muß nad) einem gegebenen 2Bed)felcurfe ber betrag beS fremben ©etbeö (bie 2Bed)feloaluta) in bie eigene 2Bäl)rung, ober mngeleljrt umgeredjnet »erben. Diefe Siedlung nennt man bie SBed)felrebuction. ©er äöedjfelcurS f)ängt oon bern inneren Söerte beS fremben ©elbbetragcS, oon ber 8 a u f 3 c i t beS 3Bed)felS, fotoie oon ber 92ad)frage unb bcm Angebote fotc^er 2 ßed)fel ab unb begiefjt fic^ immer auf gm ei (Selbtoäljrungen, bie beS eigenen unb bie beS fremben §anbel$pla( 3 e$; eS toirb nämlid) angegeben, bafS für eine unoeränberlidje ober fefte Summe ber einen ©atuta eine oer* änberliefe, halb größere, halb geringere Summe in ber anbern Valuta geleiftet toirb. 2 ln beit öfterreidjifdjen ©örfen hüben immer 100 (für Sonbon 10 ) ©inljeiten be$ fremben ©etbeö bie fefte ©aluta, unb gibt ber notierte ßur$ an, tote oiet fl. ö. 2 ö. ©anloatuta bafür gejault ober empfangen toerben. 2 öenn g. ©. ber ßur$ auf $aris mit 43 notiert ift, fo Ijeißt bieß: für 100 gtancö gaf)U man 43 fl. öfterr. ©3äljr. in ©anlnoten. ©er (SurSgettel enthält, toie bei ben SRüngcurfen, aud) für bie 2öed)felcurfe gtrei Kolonnen; ber ßurS in ber mit „(Selb" über* fdjrtebenen ©otonne gibt an, gu meinem greife bie ©eoifen gu laufen gefudjt toerben; ber ©urS in ber mit „ffiaarc" ober *©r ief" über* fdiriebenen ©olonne bagegen, gu toelcfjem greife äßedjfel angeboten toerben. ©ei ber JBedjfelrebuction ioenbet man bie ©rocentredjnung, bie 3 erfätlunggmetf)obe ober aud) ben $ettenfa§ am 3 * ©in SBiener fjat in Stmfterbam eine 3^lung oon 2360 fl. Ijoö. gu leiften; er toill biefe burd) Ueberfenbung eines SBecßfelS begleiten, ben er gum (Surfe 92*50 einfauft; toie oiel muß er für biefen SBedjfel begabten ? 1 r\r^ 1 C -4 r\r\ r/ f. * VY Ci ll A— Aufgaben. 1. ©in Sßicner fjat in ©erlin 2915 SReicßSntarl gu forbern unb toill biefe gorberung mittelft eines SöedjfelS, ben er auf feinen 192 Schutbner auöftetft unb a 55-60 berfauft, an ficf( bringen; tote oiel nimmt er für riefen SBechfel ein? 2. Gin SBiener ift nach Hamburg ben ^Reinertrag einer Sßerfaufö* recf)nung mit 2155 fl. ö. SB. fdjutbig unb übermalt bafür einen Hamburger SBedjfet; auf toie öiet ÜRarf muff biefer gefteöt toerben, toenn ber Gur« auf Hamburg 55'55 ift? 3. Gin SBiener fdjutbet in Sonbon 261 ‘ßfunb 12 Sd)ilt. Stert.; er toitt riefe Sdjutb burcf) eine iRimeffe berichtigen, bie er k 115 (10 Bfunb Stert. = 115 ft. ö. SB.) einlauft; wie riet mufj er bafür bejahten ? 4. StBie riet loftet eine 9timeffe auf SJaitanb pr. 5320 Sire k 43-15 ? 5. Gin Barifer Kaufmann ift einem Banger 3022 ft. ö. 93. fchufbig; ber Bf«g« traffiert ju 43-30, auf toie biet ffranc« jft bie Tratte aubjuftetten? 6. 9Bie biet erhält man für fotgenbe berlaufte ©ebifen: a) 3189 Start auf 33ertin a 55-40, b) 4610 ft. hott, auf Slmfterbam k 92-55, c) 5275 granc« auf Starfeitte a 43-40, toenn }7oo Senfarie geregnet toirb ? 7. Sßenn für einen Stmfterbamer SBectjfet pr. 2950 ft. hott, in SBien 2666 ft. 80 Ir. ö. SB. gejatftt toerben, toie ift ber Gur« auf Slntfterbam notiert, b. !)■ toie biet ft. ö. 93. finb 100 ft. hott. toert? 8. SBie fteht ber Gur« auf SBrüffet, toenn bei ^Berechnung bon i°/o Brooifion für 5248 granc« 2241 ft. 55 tr. ö. 9B. gutgefchrieben toerben ? 9. SBertin remittiert nach SBten 2772 ft. 8. SB.; wie biet jafftt e« bei l 0, 0 o Senfarie jum Gurfe 184 (100 ft. ö. SB. = 184 2Rar!) für bie iRimeffe? 10. Gin SBiener ift Stmfterbam 4164 ft. h°ß- f^utbig. Um riefe Sct)utb ju berichtigen, lann ber SBiener entmeber nach Slmfterbam ä 9235 ft. ö. SB. pr. 100 ft. hott, remittieren, ober bon Stmfterbam a 112} fit. hott. pr. 100 ft. ö. SB. auf fief) traffieren taffen, ©urctj toetche biefer SBechfetoperationen toirb ber SBiener feine Scfjutb mit ber geringeren Slubgabe tilgen? 193 III. S)rrrd)i!ung ber 55taatapapiere un b ^Utien. §. 100. SBcnn ein Staat genöthiget ift, ein 2t nt eben auf* juitehmen, fo t^eift er, bamit fiel) baran aud) Heinere Sapitaßften beteiligen tonnen, bic ganje 2tntehen$fumme in niete Heinere betrage unb [teilt bariiber ben ©arteif)ern @ür großartige Unternehmungen, foetdje fe^r hohe ßapitatien erforbern, 3 . S. ©fenbatjnbauten, Srebitcaffen, Serg* unb $üttem toerfe, bitben fich ©efeßfhaften, tnetebe ba$ benöthigte ßapitat, in Heinere Xi )eite nertheift, non nieten ©etbbefi^ern anfnehmen. Oie Urfunbe, toetd)e bem ©etbgeber für jebe einzelne ©etbeintage au 8 ge- fteßt mirb, nennt man eine 2 tctie, nnb bie ©efeßfetjaft fetbft eine SIctiengefettfdjaft. Sei einer 2lctie ift ber Setrag, auf ben fie tautet, at 8 beren Sftominattnert anjufehen. ©a 8 ©rträgnis ber tlctien, bie ©inibenbe, befteht entmeber in beftimmten 3 infen °^ er in einem Sftttheite am ©etoinne ber Unternehmung, ober meiftenS in beiben jugteid). ©ie orbenttidje ©inibenbe gilt für bie 3 infen, bie aufterorbenttidje nertheitt ben SJiehrgetoinn. 2 tußer ben Stctien tnerben non ben 2 Ictiengefeßfd)aften h^üßö and) oersinStidje ©chutbnerfchreibungen hinausgegeben, tnetebe gtnftr jn feinem Slntheite am ©etninne, bagegen jn bem 2 tnjprucbe auf bic 3 at)tung ber 3 infen noch nor ben Stctien berechtigen, nnb barum PrioritätS^Obtigationen ober Prioritäten beißen. ©ie 2tctien, Prioritäten nnb bie öffentlichen ftonbS tnerben mit bem gemeinfebafttidjen 9famen Sffecten bejeiebnet. 3R 0 cntt, 2lrit§mettffür Untematfdjul«*. 16. 3lufL 13 194 §. 101. ®ie Sffecten fyaben einen oeränberticljen SBert, melier SurS f)ei§t nnb nicht b!o§ non bem 91ominalmerte, fonbern auch non ber £)öl)e beS B^fu^eS unb beS ©eminneS, non ber 91ad)* frage .nnb bem Slnbote abhängt. ®er SurS mirb enüoeber in Vrocenten b. i. für 100 Sinheiten beS ^lominaltoerteS, ober pr. Stücf angegeben. 2 ln ben öfterreichifchen Sörfen tnerben bie Surfe in ©ulben ö. SB. ©anloaluta, nnb jmar bet fämmtlicfjen Slctien fomie bei Vnoatlofen pr. Stüd:, bagegen bei allen Staatspapieren, ©runbentlaftungS*£)bligationen, ^ßfanbbriefen nnb ben meiften priori* tätS*£)bligationen für 100 fl. beS SftominalmerteS notiert. SBie für bie Säftünj* nnb SBechfelcurfe, fo enthält baS SurSblatt and) für bie Sffectencurfe 2 Solennen, non benen bie eine mit „@elo", bie anbere mit „SBaare" übertrieben ift. Veirn Saufe jtnStragenber Sffecten müffen bem Verläufer mbit bem SapitalStoerte auch bie noch nicht behobenen 3 i n f e n oom testen QinSterntine bis jurn £age beS Saufet oergütet merben. 93ei ben Slctien ift bie augerorbentlidje ©ioiöenbe in bem Surfe mitbegriffen, bie orbenttidje Sinibenbe aber ift als laufenber nom lebten Ver¬ fallstage bis jum Sauftage gleichfalls bem Verläufer ju nergüten. Vei ber Vereinung beS SinlaufS* ober Verlaufs* merteS ber Sffecten oerfährt man auf folgenbe 2lrt: 1) SJtan beftimme ben SurStnert ber Sffecten b. i. beit SBert berfelben mit 91üdficht auf ben gegebenen SurS. -3ft ber SurS in ^Srocenten gegeben, fo multipliciert man ben üftominaltoert mit bem Surfe unb binibiert baS Vrobuct burch 100. Bft bagegen ber SurS pr. Stüd gegeben, fo multipliciert man ben SurS mit ber Slnjaht ber Stüde. 2) Vei nerjinSlten Staatspapieren berechne man bie Btnfeu nom lebten 3™Stermine bis jum Sauftage unb abbiere fie ju bem früher gefunbenen SurSmerte. £)er SJionat tnirb habet 31 t 30 STagen angenommen unb ber Sauftag nicht mitgejähtt. ®te &in)m ber Sffecten merben immer non bem Nominal* merte berechnet. SBemt ein Sffect auf SonnentionS*3)lünje lautet, fo h^ben biefelbe Benennung and) bie B^fa^ tiefe müffen baher, meil ber SurStnert in i>. SB. auSgebriidt ift, gleichfalls in ö. SB. umgerechnet merbeu. iSejüglich ber in Silber nerjinSlichen Sffecten befte^t an ben öfter* 19ö rcidjifdjen Torfen bie Uebung, bafS bie laufenben 3 wfen in ^apiergelb ol)nc Bufdjlag be 8 ©Uberagio berechnet werben. Öei ben meifien ©taatflpapieren mufc oon beit 3 infeit nod) bic Sinfommenfteuer in Slbjug gebracht werben; nur bic 2 lctien, $fanb* briefe unb einige s J?riorität$obligationen finb [teuerfrei. Aufgaben. 1. 3Bie oiel betragen 9 ©tiid 8 ofe oom 3. 1864 ä 146? 2. SBte Diel foften 6 ©titef Srebitlofe ä 161, 12 fr ^Jalfftj* 8 ofe ä 29, unb 15 „ 2ofc ber NubolfSftiftung ä 14? 3. 3einanb lauft am 3. ®ecember 8 ©titef 2lctien ber National* banf ä 842; wie oiel mu§ er bafitr bejahten? (Nominalwert einer 2lctie = 600 ft. ö. 2ß., 5°/o &in\m [eit 1. 3u(i rücfftänbig). 8 ©tücf h 842 6736 fl. 3tnfen non 8 ©tücf ä 600 ft. = 4800 ft. Dom 1. 3uli, 152 Xage, ä 5°/ 0 101 „ 33 fr. 6837 ff. 33 fr. 4. 2lm 15. 9Nai werben 8 ©tücf Slctien ber Srebitanftalt für £)anbel unb ©ewerbe gum Surfe 145 gefauft; wie oiel foften fie? (Nominalwert einer Stctie 160 fl., 5°/o 3*nf en feit 1. 3änner.) 5. 2lm 27. 2luguft werben oerfauft: 4 ©tüd 2lnglo*2lctien ä 65, (Nominalwert!) ä 100 ff. 5% 3^ n f en frft 1- 3cinner); 7 ©tücf franco * Slctien ä 39, Nominalwert ä 100 fl., 5% 3i°f en fett 1* 3ünner). 6 . 2lm 8 . Nooember werben gefauft: 8 ©tüd Nubolf$bal)n*2lctien ä 108, (Nominalwert^ ä 200 fl., 3infen feit 1. 3ult); 14 ©tücf 3:i>eigbal)n^2lctien a 198, (Nominalwert ä 200 fl., 3tn[en feit 1. 3ult); 6 ©tüd @übbaf)m2lctien ä 78, (Nominalwert ä 200 fl., 3infen jeit 1. Noo.). 7 . 2tm 28. Stuguft werben 1400 fl. einheitliche ©taatöfefjulb in ©über (©itberrente) ä 70*50 gefauft; wie Diel ift bafür 31 t jagten? (Binfen 3 U 5 °/ 0 mit 16% @infommcn*@teuer feit 1. 3uli). 13 * §ier werben bie riicfftänbigen ginfett anfiatt mit 5% naä> 2fb3ug non 16°/ 0 ©in!ommen=0teuer fogteic^ nur mit 4 l / 5 °/ 0 beregnet. 1400 ft. ©itberrente ä 70*50 987 ft. ginfen feit 1. guti, 57 Sage ä 4 1 / 5 °/ 0 9 „ 81 !r. 996 ft. 31 Ix. 8- 2lm 12. September tterfauft man 2600 ff. einljeitficpe Staate fdjulb tn 9ioten (Papierrente) ä 66*20? (3tnfen 4J-7 0 feit 1 Sfuguft). 9- Semanb verlauft am 6. £)ecember 9 Stücf Sofe üom gafyre 1854 ä 105; tüte trief nimmt er Dafür ein? (9?ominafocrt ä 250 ff. 6. 9Dt., gtnfen 4°/ 0 mit 20°/ o ©ntommen*Steuer feit 1. SIprif). 9 ©tücf ä 250 ft. & Wl = 2250 ft. ©. 3». 2250 ft. ©. TI. a 105 2362*5 ft. ö. 30. ginf. non 2250 ft. CL 3Jt., 245 Sage ä 4% 61*25 ft. (L 3». = 64*31 ft. 5. 30. ab ©in!. 0t. 20° 0 12 86 „ „ „ 51*45 „ „ „ 2413-95 ft. 10 . Slm 18. gufi merben 6 Stücf gange Sofe üom g. 1860 ä 108 getauft. (üRominatoert ä 500 ff., 5°/ 0 mit 20°/ 0 Sin* fomnt. St. feit 1. 9Jfoi). 11. Slm 13. SKarg tnerben üerfauft: 6000 ff. S. ÜK. böptn. ©runbentfaftungS-Obfig. ä 99, 2500 fr „ (f nieberöfterr. „ „ k 101, unb 3000 „ „ „ fteierm. „ „ ä 96. (Binfen ä 57o mit 10°/ 0 @infom.=St. feit 1. 9loüember). 12. 2öie trief betragen am 28. Slnguft 8 Stücf Prioritäten ber granj-gofefsbafm ä 90*50 (SRominatoert ä 200 ff., gtnfen 5% feit 1 £)ct.), bei l°loo Senfarie? 13. Sernanb fäf$t am 7. Dctober fofgenbe Prioritäten üerfauf en: 10 Stücf böfjnu 33$eftbaf)n ä 87, (Otominafmertf) 300 ff., 5°/ 0 Bwfcit mit 107o ©n!.*St. feit 1. Sufi); 8 Stücf Seoben^SSorbernb. Saljn ä 68*50 (SRomingtoert a 300 ff., 57o B^fen feit 1 Sluguft); 12 Stücf Siebenbürger Safjn ä 6460, (üRomittatoert ä 200 ff., 5% Bitten feit 1 October); nrie trief erpäft er bafür, rnenn bie Senfarie £%o unb bte Proüifion \°lo beträgt? 197 2$teberl;0futt8saufgafict!. 1. * Gin Arbeiter f)at in 2~ SDionaten 181 3 ff. üerbtent; trte rief in * SJJonat? 2. * Der 2frbeit$fof)n für 4 Arbeiter auf 5 Sßodjen ift 140 ff.; mie Dief beträgt berfefbc für 7 2lrbeiter auf 9 SBodjen? 3. Der SJionb brefjt fief) in 27Dagen um feine 2ld)fc; Supiter, ber größte unter ben ^faneten, in 9 T 9 ^ ©tunben; mie Debatten fidj ifjre UmbrefjungSgeiten? 4. 3ur Neigung eine$ ©rfjulgimmer$ roaren für jeben SßSinter 18 5ub. m Sucpenfjofg crforberlicf); in 3ulunft ^itt man mit ©tein= fofjfen t)eijen. S35ie Dief Donnen ©teinloljfen mirb man braunen, toenn 1 Gub. m Sudjenfjofg 376 Sifogramm miegt unb toemt bic §eiglraft ber ©teinfofjfen um 70°/ o größer ift af$ bie einer gleichen ©etoid)t$* maffe Sucpenfjofg? 5. 2ßie groß ift ber Unterfcfjieb gtoifdjen 37841-!? 4- 1738 t 3 ö 8 t unb 233 ö*j + 1817 tVö + 2789*%? 6- 35?ic f)od) finb bic Slffecurangfoffen Don einer Sßaare, treffe mit 7600 ff. Derficfjert tnirb, wenn bie SIffecurangprämie 1|%, ©enfarie 1% 0 , bie ^JroDifion -J-°/ 0 beträgt unb bie ißofigge 2 ff. loftet? 7. A lauft eine 9iuboff£baf)nactie im ^tominafmerte Don 200 ff. für 112 ff.; gu mie Dief ^rocent Derginfet fief) fein ßapitaf, roenn für bie 2lctie fyafbfäfirig 5 ff. ßinfen in ©ifber gegafft merben unb ba$ ©ifberagio auf 3% ftef)t? 8- 525 £ifogr. Kaffee merben für 609 ff. eiugefauft; bie ©pefen betragen 16°/ 0 . 2Bie treuer muß ba$ .ftifogr. D erlauft merben, menn man 12°/ 0 gewinnen miß? \ 9. 3n einer gactura (@inlauf$red)nung) ift ber 'tßreiö ber ge¬ tauften 2Baarett 2260 ff. 18 Ir., ©conto 1^%, Derfdjiebene ©pefen 62 ff. 20 Ir., ©enfarie l°/ 0 (Dom $rei$), ^ProDifion 2|°/ 0 .; 2öic groß ift ber Setrag ber ©inlaufSrecfjnung? ; I 10. Den 5ten Dfjeif eines ©rabenö f)aben 22 jSWBeiter in 35 3 Dagen gemacht; menn nad) biefer 3eit 6 2trbeiter entlaßen tnerben, in mie Dief Dagen merben bie übrigen ba$ geftfenbe gu ©taube bringen ? 11. aEefcfjen StBcrt Ijat baS Siter einer SRifd^mtg, toemt unter 5 8iter 233ein ä 34 $r. unb 4 Sifer ä 40 Ir. 1 8iter DBaffer ge* goffen toirb? 198 12* 120 fl. fottett unter bret *ßerfonen fo geteilt Serben, bafs A fo oft 3 ft. unb B fo oft 4 fl. erhält, als C 5 ft.; inte Diel erhält jebe ^ßerfon? 13 * 3ur ©ebielung eines 3tnmter$ brauet man 24 ©retter oon 4 m Sänge unb 25 cra ©reite; trie oiel ©retter brauet man, wenn fie 5 m Sänge unb 30 cm ©reite Ijaben? 14. Bernanb Ijat 6000 ft. in brei gfeid^ großen 9?aten $u jagten, unb jtrar je 2000 ft. nacf) 1, nad; 4, nad; 10 Monaten; mann trirb bie Bufjlung erfolgen, trenn er bte gan$e ©urntne auf einmal abtragen foll ? 15. Bur £apejierung eines gimmtrS brauet man 28 Sollen Jäteten oon 45 Zentimeter ©reite; trie oiel Sollen oon gteidjer Sänge finb baju erforberlid), trenn bie Tapeten nur 42 Zentimeter breit finb? 16- Zin ©arren ©über tniegt 12* Silogr. unb enthält 6^ Sil. feines ©über; trie Oiel taufenbtl; eilig ift berfelbe? 17. ®ie neuen öfterr. B e f) ner bu6en eiuen I5etnget)aft oon 400 STaufenbtfjeilen unb ein ©cprotgetricpt oon 1| ©ramm; trie groß ift baS $orngetrid)t eines folgen ©tünjftüdes ? 18. 2Sie oiel betragen 58 B^unjig-SRarfftäde ä 11 fl. 65 !r.? 19- Zine -Blauer oon 80 cm £)ide unb 24 ra 8 dm Sänge enthält 287^j m 680^ dm ; toie Ijod) ift bie ©lauer? 20. A legt in eine £anblung 5000 fl., B 7400 fl., 0 8409 fl., I) 6200 fl.; trenn fie nun jufantmett 1800 fl. getrtnnen, traS erhält jeber oom ©etrinne? 21. Zin ©djnitttnaarenljänbler Ijat 6 ©tüd Xuä) oon berfelben ©iite getauft unb für fämmtlidje ©tüde 852 fl. bejaht. £)aS erfte pält 48 ©leter, baS jtreite 52*, baS britte 51 t, baS oierte 58|, baS fünfte 60 unb baS fccftfte 54*- ©Zeter; trie oiel foftet jebeS ©tüd? 22. Zin SBiener tauft einen 3Bed;fel auf $aris über 2705 gxancS 40 Zent, im Zurfe ju 45 50 (100 grancS = 45*50 fl. ö. SB.;; trie oiel in ö. SB. muß er bafür bejahen? 23- SBte tjofy ift ber SabenpreiS eines ©ucfyeS, baS nad) Slbjug oon 25°/o Rabatt 5 ©iart 10 $f. toftet? 24. 3tm 25. Buni trerben folgenbe SBecßfet gu 5|°/o biScontiert: 2735 fl. auf g. Sang, pr. 20. 3uli; 3088 „ f , S. gritfdje, oom 31. ©lai, 2 ©Ion. a dato; 970 „ „ ©. 9?otf), 31 X. nad) @id)t, accep. 12. Buni; trie groß ift ber biScontierte SBert biefer SBedjfef? 25 - 4500 ©lann f;aben auf 8 ©lonate ©rot, trenn jeber täglich 1} Kilogramm betommt. ©un tommen 500 ©lann baju; trie riet 199 ßitoqramm roirb jeber tägticf) befommen, bamtt baS Srot auf 7\ Sßonate auSreicpe? 26. 3?ott einer SBaarengattung foftet ba£ Ättogramm 22 grancS, öon einer anberen 12 $ranc$; roie üiet muß man non jeber ©orte gu einer 3Jiifdjung oon 70 Äitogramm nehmen, menn baS Äifogramm 18 ^ranctf foften foü ? 27. 2lm 22. Februar merben getauft: 2500 fl. s Bfanbbriefe ber Sobencrebit^ünftaft ä 109*25 (ßtnfen ä 5/ 0 feit 1. 9toö.); 2000 ft. ^fanbbriefe ber gatig. 9tufticat=Srebit=2lnft. ä 93, ( >^tnfen ä 6°/o feit 1. Sänner). 28- 3 U ftk Dtel 0 o nerginft fid^ ein in öfterr. ‘ißapierrente (Stofen 41 °fo) bei einem Surfe bon 66 angelegtes ßapitat? 29- Um einen ©raben tjergufteüen, merben 32 Arbeiter auf- genommen, roeteije bie Arbeit in 25 Sagen bottenben mürben; nad) 7 Sagen id erben jeboef) 7 Arbeiter entfaffen; mie lange merben bie übrigen noch ju arbeiten fjaben? 30. Sin Sriefter tauft in Slmfterbam 3214 $fb. Saffee unb begatjtt baS 'ißfunb mit •» ft. tjottänbifdj; bie ©pefen betragen 207 o ; mie biet fl. ö. SB. muß er begabten, menn 100 fl. Ijoü. = 99 ft. ö. SB. gerechnet roerben? *» t » \ * £td>enfer JU’ffßniü 2>a§ 9?cd)ncn mit algebraift^cn nab allgemeinen galjleit I. ,3Ugebraifd)e laljlftr. §. 102 . 3 ur btlblitfien Darfteüung ber Balten bebient man fidj ber 3 “l)Ietttinie. 0 12 3 4 STrägt man nämfid) auf eine gerabe öinie Bon einem fünfte 0 au§ nad) einer beftimmten fftidjtung, 3 . V. nad) rechts, gleiche ©tredcn (Cängenein^eiten) auf, fo [teilen bie Entfernungen ber Enbfmnfte biefcr ©treden Bon bem SfnfangSpunfte 0 bie auf einanber fofgenben n at itr* (icfjet: 30 £;■ Ien bar. SDurd) fortgefefjteS ^injufügen einer Einheit fann man in ber 3 afjfenfinie, unb ebenfe in ber baburtf) oerfinntidjten natürlichen 3 a ^t ett= reifje oljne Enfce BortoärtS fd)reiten. SEBenn man bann Bon irgenb einer 3 a f;f aus burd^ fortgefefcteS äöegnefjmen einer Einfjeit in ber galjrenräfje riicfroärtfi fdjreitet, fo gelangt man nad) unb na cf) 3 U 1 , unb enbftdj, wenn nod) eine Einheit tueggenommen toirb, 3 ur 0. ES ift nun nid)t hötjjig, bei ber 0 fielen 31 t bleiben; man fann nad) bemfelben ©efefce bie 3at)fenreilje Bon 0 aus aud) Weiter rücftoärtS fortfe^en. —4 -3 —'2 —1 0 +1 +2 +3 +4 Verlängert man nämficl) bie 3af)fenfinie über ben SlnfangSpunft 0 IjinauS nad) ber entgegengefe^ten fRidjtung (nad) linfS) unb trägt aud) hier gteidj große ©treden auf, fo ftelfen bie Entfernungen ifjrer Enb= Bunftc Bon bem fünfte 0 eine neue Üfeilje Bon 3®bi en bar, Wefdje fief) Bon ben urfprüngfidien 3 a ^ en nur baburd) unterfdjeiben, bafs fie Bon 0 aus rücfmärtS fortfdjreiten, »äljrenb bie früheren Sagten öon 0 au$ nacf) norfccirtä gegärt mürben. Um biefen @egenfa£ auSgubrücfen, begeidwet man bie 3 a ^en, ft>eld)e non 0 au$ in ber urfprüngticben 9?id)tung, alfo öorroärt$, fortfcfjrciten, mit bent 93 org eichen + fmef)r, plus) unb nennt fie pofitiö, mogegen bie 3&f)^n, toetetje üon 0 au$ in ber entgegengefefcten Stiftung, alfo rüdmärtS, nad) bemfetben 33itbnng$gefe($e fortfd)reiten, mit bent 93orgeid)en — (meniger, minus) begegnet unb negatin genannt rnerben. Turd) biefe Srmeitcrung beS 3 ö ^ cn 9 e ^ etc§ entfielt bie streik feitige Bafjfenreifje • • • 4, — 3, — 2, — 1, 0/ -f* 1, + 2, + 3, + 4, . . • 3nbem Ijier bie pofittoett Balten bie urfprünglidjen 3 a ^ en ^ er natürlichen 3 a ^ enrß i4) c öorfteften, treten bie negativen 3<# en Ballen einer neuen gorm auf, bie ben ©egenfa§ gu ben pofitiben auSbriiden. £>ie mit 93orgeid)en öerfeljenen 3^1en inerben entgegengefe£te ober atgebraifdje 3ct^fett genannt, im ©egenfa^e gu ben urfprünglidjen 3 a ^ en / tnet^e abfotute 3a^len Reißen. 3ebe atgebraifdje 3 a % j. 93. + 3 ober — 3, heftest au§ einem 93orgeitf)en + ober — unb einem B^^erte, fytv 3. £>aS 93or= geid)en geigt an, ob fid) bie 3 a ^ auf to pofxtinen ober negativen Seite ber 3al)tenreibe befinbet; ber 3 a Ö e r t ift eine abfotute 3 a ^ unb geigt an, metd)e Stelle bie 3 a fyl in ber 9?eil)e ber pofitiüen ober negativen 3 a ^ en einnimmt. 2)a3 $orgeicben + wirb am Anfänge eineä 3<ü)tenau§brude§ unb nach bem ©leicbbeit^geicben nic£jt angefdjrieben; ba3 Beiden — barf nie raeggelaffen werben. 3ßenn baber oor einer gafyt fein $orgeicben ftebt, ift fie al3 pofttio angufeben; g. 33. 3 bebeutet fo oiet al3 + 3. 2)ie ©rweiterung be3 gablengebieteS bureb bie ©infüljiuttg 'ber negativen Bahlen macht e3 erft möglich, bie ©ubtraction gweier Ballen auch-bann au§gu* führen, trenn ber ©ubtrabenb größer al3 ber 3Fcinuenb i$. Uyx g.’Jö. bie 3)iffe* reng 4—7 gu beftimmen, foll man nach bem ^Begriffe be^Subtracjtkmj non 4 au§ um 7 ©inbeiten gurücf[freiten; biefeä ift unmöglich, fo lange man +auf, ba§ ©ebiet ber abfoluten Qabten befdjränft ift. 2ßirb aber bie bureb bie 2lufnabjmfc ber nega= tioen Bahlen erweiterte 3 a btenreibe gu ©runbe gelegt, fo gelangt tnan, non 4 um 7 ©inbeiten gurücffebreitenb, gur Qafyl — 3, unb e3 erhält fortab bie SDiffereng 4 — 7 = — 3 ihre gang beftimmte Sebeutung. V/ ' Sine ölgebraifdje 3 a % toetdje mit einer anbern burd) eine 9?ed)= nungSoperation gu öerbinben ift, umgibt man mit Stammern; 202 g. B. + 3 — (— 5) bebeutet bie ©iffereng ber galten -f 3 xmb — 5. ©er begriff beS ©egenfa^eS, metcher gmifdjen bett pofitiben mtb negatiben galten befteljt, tritt in gasreichen gälten beS prafti[ct)en Sebent ^eroor, g. B. bei ber Bemegung nad) bormärts unb rüdmärts, nad) rechts unb tinfS, bei ber 3eit bor unb nad) Eljrifti ©eburt, bei Vermögen unb Sdjutben, Einnahme unb Ausgabe, ©eminn unb 33er- tuft u. bgt. ©er ©egenfafc befielt barin, bafs je gmei fotcfje entgegen* gefegte ©röpen mit einanber in Berbinbung gebracht, fid) gegen* fettig cntmeber gang ober ttjeibmeife aufljeben. 3 . B. SBenn jemanb in einer beftimmten SRtdjiung 20 (Schritte bormärts geht unb bann bon bem erreichten fünfte 20 Stritte in entgegengefe^ter Dichtung, atfo nad) rüdmärts macht, fo ift er, obroof)t er 40 Schritte meit gegangen, hoch um nidüS bon feinem anfänglichen Orte entfernt, unb eS ift in Begug auf baS erreichte 3iet eben f° ^iet, ats menn er ftd) gar nicht bemegt hätte; 20 Stritte nad) bormärts unb 20 Schritte nad) rüd* märtS heben fid) atfo gegenseitig gang auf. Ebenfo heben ftd) 20 ft. Vermögen unb 20 ft. Sd)utben gang auf; bagegen heben ftd) 20 ft. Vermögen unb 8 ft. Sdjutben nur tfjeifmeife auf, inbem burch ihre Bereinigung b. i. nach ber ©itgung ber Schutben noch 12 ft. Ber* mögen übrig bteiben. 9tad)bem mir burd) bie Einführung ber negatioen galjten unfer gahtengebiet erweitert haben, müßen and) bie urfpriingtidjen Begriffe ber 9?ed)nungSoperationen angemeffen erweitert merben, fo bafs fie auch auf ncgatibe galjten anmenbbar merben, unb bafs baS Rechnen mit btefen ats ©egenfa^ beS Rechnens mit pofitiben 3al)ten erfcheint. 3lu^ ben fo ermeiterten Erftärungen ber Operationen ergibt fich bann oon fetbft auch baS bei ber Ausführung berfetben angumenbenbe Berfahren. ( > ,• -4 jlbbterett afgeßratfdjer J&ahfett. % . . ’,**■* 9 < J V' < . ! . *'■ ' .*!/)>* V* ' §. 103.,Bei ber Abbttion abfoluter 3at)ten ffreitet man in ber .natürlichen gahtenreihe 1)om er |~ten ©ummanb um fo biete Ein* heilen bormärts, at$ ber gmeite Summanb angibt. Atgebraifdje fahlen abbieren hei§t nun, in ber atge* braifdjen 3ahtenreif)e bom erften Summanb um bie Einheiten beS gmeiten ebenfalls bormärtS fchreiten, menn ber gmeite Summanb pofitib, bagegen rüdmärts fchreiten, menn berfetbe negatio ift, atfo allgemein in berfetben Stiftung f ortf djreiten, metd)e baS Borgeichen beS gmeiten 203 ©untmanben angibt; bie 3af)l ber galjlenreilje, gu ber man baburdf) gelangt, ift bie gefugte (Summe. 3ft j. S. bie Summe -+- 5 + (+ 3) gu fudjeti, fo febreitet man non + 5 au£ in pofitioer 9?id)tung um 3 (Sinljeiten fort, moburd) man gur 3al)l + 8 gelangt; alfo + 5 + (+ 3) = + (5 + 3) = + 8 Um bie Summe — 5 + (— 3) gu erhalten, fcfjreitet man non — 5 au$ in negativer 9itdf)tung um 3 ©nljeiten fort, moburrf) matt gur 3a^l — 8 gelangt; folglich - 5 + (— 3) = - (5 + 3) = - 8. Crbenfo erfjält man + 5 + (— 3) = + (5 — 3) = + 2, — 5 + (+ 3) = — (5 — 3) = — 2. 3mei algebratfdje 3ai)Ien merben alfo abbieri, inbem man, menn fie gleiche SSorjetdjen fjaben, ber Summe ifyrer abfoluten SSerte baö gemeinfdjaftlidje 93orgeid)en, unb, menn fie nerfdjiebene 2Jor= geilen Ijaben, ber ©ifferenj ifjrer abfoluten SBcrte ba§ 33orgetd)en ber größeren gibt. Sie Summe praeter ©eroinne roie groeier SBerlufte ift roieber begügltdj ein ©eroinn ober ein SBerluft; bie Summe eine§ ©eimnneS unb eineö 33erlufte3 gibt ben Ueberfdjufs be§ einen über ben anbern al§ ©eroinn ober SSerluft. 91 u f g a b e n. i. a) + 7 + (+ 2) = ? 2 . 3- a) a) - 4 + (+ 5) = ? + 9 b) — 5 4 — 6 — 9 “ "" ♦ — 9 2 ) 5) d) + 9 — 3 4. a) o. 6 . 7. 8 . 9. 30 . 31. 3 2. 33- 14. 15. a) a) b) + 7 -4- (- b) - 4 + (- c) - 7 _+ ß _ b) + 35 + (- 35) =? b) - 3048 + (— 1.768 f= b) _ 5*684 + (^7>10 r i b) + \ 4* ( !£t r = ' c b) — 15 + (lfce* 18) ;=-?: i* i ■9 ■V ■ ♦ % J - 38 + (+ 13) = ? a) + 297 + (— 128) = ? a) +3405 + (—4-342)- 1 -! + (+*)=? - 20+ (45-17)=? + 15 + (_ 8) + (+ 5) = + 7 + (+-5'i Säg — 31 + (+ 57) + (- 38) = ? — 217 + (- 196) + (+ 790) = ? — 9 + (— 7) + (+ 12) + ( 3) = + 22-9 + (+ 31*7> + (- 50-1) + ( — 702-13 + (+ 819-92) + (— 563-09) + (+ 8558) =? — 2L + (+ 6f) + [- 1J- + (~ in = ? /,*<- / • * £ 19) 1> 204 16. £>er erfte punifche Stieg begann im 3ahre 264 o. Gf)r. unb bauerte 23 3af)re; Wattn hörte er auf? |>as §tt6trtt5te«tt argcßraifcfier 5a?rcu. ) §. 104. Sei ber ©ubtraction abfoluter 3°^^ ffreitet man in ber natürlichen 3“I)t e ureihe »out SJtütuenb aub um fo Diele Sin* heilen rücfwärtb, alb ber ©ubirahenb anjeigt. 211 g e b r a i f d) e 3 a fj l e n f u b t r a h i e r e n ^ei§t nun, in ber algebraischen 3 a fykureil)e oorn üKittuenb aub um bie Einheiten beb ©ubtrahenbb ebenfalls rücfwärtb fdjreiten, wenn biefer pofttio, bagegett oorwärtb fdjreiten, wenn berfelbe negatio ift, alfo allgemein in ber entgegengefesten Dichtung fortfehreiten, alb fie bab Sorjeichen beb Subtrafjenbb angibt; bie 3 a ht ber Ba^tenreiEje, an welcher man auf biefe 2lrt gelangt, ift bie gefugte Sifferenj. Um j. 23. bie SDifferena + 5 — (+ 3) ju finben, fdjreite man oon + 5 attb um 3 Einheiten in negatioer Dücljtung fort; man gelangt baburdh ju ber 3^ + 2. £)ieb ift aber berfelbe Üiechnungbgang, alb ob man au + 5 bie 3“h t ~ 3 abbiert, folglich 4- 5 - (+ 3) = + 5 + (- 3) = + 2. <5b fei ferner + 5 . (— 3) a« beftimmen. §ier muh man oon 5 aub um 3 (Einheiten in pofitioer Dichtung fortfehreiten, wo* bttreh man au ber 3“hl + 8 gelangt. ©ieb ift aber berfelbe Dled)- nungbgang, alb ob man ä« + 5 bie 3«h t + 3 abbiert; alfo + 5 — (— 3) = 4~ 5 4- (4* 3) = 4- 8. ßbenfo finbet man - 5 - (+ 3) = - 5 +' (- 3) = — 8, , — 5 — (— 3) = - 5 4- (+ 3) = — 2. Itb folgt: 3ah^ n werben fubtrat)iert, inbem man eno-’nett ©ubtrahenb mit entgegengefe^tem 3 e td)etx abbiert. ntanbem 3 fl. Vermögen gu nehmen, fann man ifjnt 3 fl; ©cf)ulben g, fo oiel 31t begabten) geben; ftatt if>m 3 fl. ©cfyulben abjune^men, Vermögen (bjtfg er bie ©cfjulb bamit felber &al)le,) geben. W ^nt f Statt $erpflt marti ‘ :> .f u 4 'iVa)*+ 8 ■ 2. a) — 13 3. a) 4- 5 — 12 (+ 3) = ? b) + 8 - (- 3) = ?. (+ 15) = ? b) - 13 + (- 15) = ? b) - 15 c) 4- 23 d) - 45 4.8 4-32 - 60 205 lieber Sreite, ittrifdjen 12° toefttidjer unb 63° öfttieper Sänge (non IJSariö auo); tüte niete ©rabe bepnt fiep baSfelbe a) in bie Sreite, b) in bie Sänge au$? 3>a$ ^attfitpfteiere* nfgeöraiftper 3a§feu. §. 105. Sei ber SPMtiptication abfotuter $apten fept man ben SJMtipticanb fo oft ats ©ummanb, tote ber SJMtipticator an$eigt. SUgebraifcpe Qafyltn mutttplicieren, peifjt nun, toenn ber ÜJiuttipIicator pofitin ift, ben SRutttpficanb fetbft mit unneränbertem Sorjeicpen, tnenn ober ber Sütuttipticator negatin ift, ba§ (Entgegen* gefegte be3 3JZuttipticanb8, b. i. ben Sßnttipticanb mit entgegengefefctem Sorjetcpen, fo oft ate (Summanb fe^en, tnie ber gaptmert bc£ pticaiorS anjetgt. ^iernoep ift * I + 4. + 3 = + 4 + (+ 4) + (-J- 4) = + 4. - 3 = — 4 + (— 4) + (— 4) = - 4. + 3 = - 4 + (- 4) + (- 4) = - 4. - 3 = + 4 + (+ 4) + (+ 3tnei atgebraifepe 3apten werben beütnai anber multiplicier t, inbem man baS ^ßrobnet aus i SBerten pofitin ober negatin nimmt, \t naepbem beibe 8 ober nerfepiebene Sorjeicpcn paben. /< T. s SDZan brüeft biefen @a§ auep fo auS: v 3mei gteid)bejeicpnete gactoren geben ein pofittöe'S, jtnei ungleicpbegeicpnete^actoren ein negatineS ‘’ßrobuct. SBer 4 ©dritte naep xwrroärtS 3mal maept, fommt 12 ©epritte naep oor- suärtS; roer 4 ©eprttie naep südwärts 3mal madpt, legt 12 ©epritte naep südwärts 206 furtict 3*™anbem 4 fl. ©eroinn 3mal f)inn>egnef)men (if)n barurn oerfür^en), ift fo oiel, alö if)m einen $erluft non 12 fL $ugief)en. Semanbem 4 fl. SSerluft 3mal Ijinroegneljmen (erj'paren), ift fo oiel, als üjrn einen ©eroinn oon 12 fl. jumitteln. gür bret ober mehrere gactoren ergibt fid) au$ bem oor= fyergefjenben @a£e: 1. <$inö alte actoren pofitio, fo ift aud) baS ^robuct pofitio. 2. ©inö alle ober and) nur einige gactoren negatio, fo ift 0a3 $robuct pofitio ober negatio, je nadjbent bie negatioen g*actoren in geraber ober mtgeraber ainjaf)! oorfoinmen. Aufgaben. 1. a) + 9. + 5 = ? 2. a) - 15. + 3 = ? 3. a) — 118 . + 63 = ? S ' 3f 4. a) — 52-28 . 5. a) + 5 6. a) — 7. - 19 . 8. “f* 83 . 9. + 83 . 10. - 72-8 11. + 2-34 5 rr ? 3 = ? — 41 = ? + 299 = ? 3_ 1 0 3 5 X — 9 4 * L2. — 35 . - 13. [- 345 + (+ 2091] . [ b) + 9. - b) — 15. - b) + 307 7-49 = ? b) - 1328 = ? b) - + 5». = ? b) + 12-i . _ 7‘ = ? 27 . + 31 = ? 25 . + 49 = ? 11 . — 70 . + 72 . — 91 - ? - 125 . — 991 . — 4-17 = ? - 3-45 . — 14-4 . + 12-5 = ? 63 . + 14 . - 84 . — 49 = ? _ 596 _ (_ 3741] = ? 14. [+ 2315 (+ 788)] . [— 749 — (+ 385)] . [+ 569 + (- 219)] JJ).Jf>on jroei Körpern, roelcpe fid) gleichzeitig oon bemfelben '’ßimcte.c&fsA in berfelben 9ticf)tung, b) in entgegengefefcten 9xicf)tungen bastenen, legöber eine in einer ÜMnute 783“, ber anbere 828“ juriitf; iife. ro eit ttfa]kn beibe nad) 15 ÜDiinuten Don einanber entfernt fein? ♦ * oibteren arfte#tai|itjet JJalire», §. 106. ©er Quotient muß fo befdjaffen fein, bafß er mit bem ©iüifor multipliciert ben ©ioibenb gibt. Oft nun -j- 12 burcf) + 3 ju bioibieren, fo ift ber Quotient ber 3af)(roerte 4, unb zwar muß berfelbe pofitio fein, roeil nur eine 4 207 poi'itiDe 3af)l -f 4 mit einer pofitioen + 3 multipliciert ein pofitioe« ]3robuct 12 geben fann; alfo 12 : -|- 3 = + 4. fei ferner -j- 12 burcp — 3 31 t bioibieren. £>ier foß ber Cuotient mit — 3 multipliciert + 12 geben, meldjer gorberung nur — 4 entfpridjt; folglid) + 12 : — 3 = - 4. Öben fo erhält man — 12 : -f 3 = — 4. — 12 : — 3 = + 4. 3 mi algebraifdje 3 a t) 1 en werben bemnad) burd) ein* anber bioibiert, inbem man ben Quotienten iljrer abfoluten äöerte pofitio ober negatio nimmt, je narfjbent SDioibenb unb SDioifor gleidje ober oerfdjiebene 93or$eid)en paben. Aufgabe n. + 9 = ? 6 = ? - 5 = ? + 13 = ? - 6 = ? _j_ 31 — ? 5070736 : —‘ 752 = ? 1. 2. 3 . 4 . 5 - 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 . 12 . 13 . a) a) a) a) a) a ) + + + + 72 144 2185 : 73-242 3 . _ 5 • 10 : b) + b) - b) - b) + b) - b) - 72 : - 144 : 3840 : 10416 : + 24 : - 5 R 3 ‘4 9 = ? 6 = ? - 30 = ? — 48 = ? = ? 21 = ? — 56035 : — 56035 . [ -f- 74608 (32-7.4- (32-17.4 [32 — 7. (4 422)] = ? - 8) :'4 = ? 8): 4] — ? 52 = ? + 4923 : — 34461 = ? - (— 14816] : [- 278 — (— ■8):4 = ? 18. (32-7). (4- -8)]:4 = ? 16. 32 —[(74- -8,]:4=? 17. 32-7. [(4- 14. ®aö S^ermometer jeigte an einem £age SJforg SDHttagS + 2° 91., ülbenbd — 5 U 91.; wie grofj mar £age8temperatur? • * II. Allgemeine J5a|)len. * 4 ' ^ §. 107. 3ebe burd) 3rff ern aubgebrüdte $al)l fonn nur-.4rn0fc] beftimmte SRenge oon tSin^eiten oorfteßen. 2)fann nennt eine foldfe 3at)t eine befonbere 3af)t, im ©egenfafce $u einer allgemeinen 3 a f) I, me(d)e irgenb eine beliebige SDlenge oon ©infjeiten oor= fteüen fann. -J Sie allgemeinen Saniert merben burcp iöudjftabcn bejeicpnet. ©o bebeutet a irgenb eine ganje ober gebrodene, pofitioe ober negatioe 3 a Pf- Sie Sepre oom iRecpnen mit atlgemeinen 3 a ^ en Reifet bie all* gemeine 2IritpmetiI, turn Unterfdjiebe öon ber befonberen Stritpmetif, mefef^e nur bte befonberen 3&pten in iSetracptung jie£)t. §. 108. Sie Operationsteilen für allgemeine Bapten finb bie^ felben, mie für befonbere 3 a P^ en - ©inb gtnei ober mehrere allgemeine 3 a ^ en wit einanber tu multiplicieren, fo mirb baS ^MtipIicationSjeicpen X ober . gemöpnlicp megaelaffen; 5 . iS. ftatt a X b ober a . b fepreibt man ab „ a X b X c „ a . b . c ff „ abc. SaS 2fad)e, 3faä)e, 4facpe, . . einer allgemeinen a tnirb burd) 2a, 3a, 4a, . . auSgebrüdt. Sie oor einem iSucpftabenauSbrud: ffepenben befonberen 3 a ^ en So efficienten. Ser ßoefficient einer allgemeinen 3<*pf ^ ann itnmer als gactor berfeiben betrachtet tnerben; benn 2a = a X 2 ~ a -)- a, 3a = a X 3 = a -f a I a, 4a = aX4~a + a + a“f-a. 1 nurb als ßoefficient nicht angefdjrieben; eS bebeutet baper a fotuel als la. SBemt mehrere gleiche 3 a ^ etT Sactoren gefeilt merben fo£Ien r fo fepreibt man jur Slbfürjung einen folgen gactor nur einmal, unb fügt bemfelben reepts oben bie Qofyl an, toelcpe angibt, mie oft tiefer Factor *t)orfommt. 3 » ®- ..*' ftatt aa * fehreibt man a 2 , ff ff 4.4.4 xxxx ff rr ft n 4 3 , 4 TT A ©n J ü#buct aus mehreren gleichen gactoren nennt man eine 3 a ^ btv gleichen gactoren peifjt ber ißotenj- extern unb ber gactor, ber fo oft ftept, als ber ßyponent an^^yfie Üßurtel. ©0 ift a 4 eine $otenj, 4 ift ber ßyponent unb a bie SBurjel. Ser ßyponent ift baper a fo oiel a 1 . 1 n)irb nicht angefeprieben unb 9 Die ^Begriffe Soefficicnt öerroedjfelt Kerben; e$ ift unb ßjponcnt börfen mit einanber nicf)t — a -j— a -f- a —|— a, a 4 =aXaXaXa / U)e(d)e ?lu$brücfe mefentficf; öerfc^ieben finb, bei 3 . für a = 2 4a = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 , a 4 = 2 X 2 X 2 X 2 = 16 Die gmeite $otenj einer 3aht mirb gewöhnlich auch bag Qua brat, bie britte ‘potenj ber ßubuS genannt. §. 109. 2tu$briicfe, in benen biefelben Sudjftaben unb biefe auch in gleicher 3lnjal)[ dorfommen, Reißen gleichnamig; bie Reichen unb ßoefficienten tonnen barin aud) oerfdjieben fein. 2tu8brü(fe, in benen entmeber üerfdjiebene öuehftaben, ober gleiche Suchftaben, aber in ungleicher Slnjaht dortommen, h e *B en ungleichnamig; bie Reichen unb Goefficicnten tonnen barin aud) gleich fein. 3 . ’©• 2a unb 3a, ebeufo — 4a 2 x unb a 2 x finb gleichnamig, 2a unb 3b, ebenfo — 5ax unb — öax 2 finb ungleichnamige 2tu$brüde. 3 u)ei ober mehrere gleichnamige 2 lu$brücfe tonnen rebueiert, b. i. in einen eingigeit StuSbrucf gufammengegogen werben. ift gunädjft -f- a — a — “f - a — (“I” a) ” 0, + 3a — 3a = + 3a — (+ 3a) = 0; b. h* groei gleiche 2Iu$brüor ben gemein* fcfjaftlidjen 23uchftabenau8brud fefct. ©ittbmehralSgmeigleichnamige 2 tn§brüde gu rebu* eieren, fo rebuciert man guerft bie pofitiaen, bann bie negatiüen, unb enblidf) bie baburch erhaltenen StuSbrüde. + 7x + 2x + 6x = 9x -j“ 6x = -f- 15x. — 3a — 8a — 5a = — 11a — 5a = — 16a. + 3bx — 2bx + 6bx — 3bx = + 9bx — 5bx zu -f- 4bx. Sluf gaben. 1. a) 6a + 7a = V b) 8x — 2x = ? 2. a) 3ax + 8ax + ax = ? b) 3by + 7by — 5by = ? 3. a) 9a 2 — a 2 + 4a 2 = ? b) 6x — 5x + 2x — 7x = ? 4. 6m + 9 m — 12m — 15m + 18m ~ ? 5. |x + fx — fX 4- X — {x = ? 6. 12m 2 — 9m 2 - 17m 2 + 3m 2 = ? 7. 5a — 6b + 3a - 7b — 2a -f 10b =: ? 8. 7ax — 3by — 7by — 5ax + llby + ax = ? §. 110. (Sin Bafylenaugbruä, n?etd)er burci) ein Beiden, einen (Soeffictenten unb einen SSudfftaben ober audf mehrere ofyne geidjen mit einanber berbunbene Sudfftaben bargeftetlt ift, ljei§t ein eingfiebrig er afg ebraif d)er luäbrud ober ein ÜJionom; 3. 33. a, 3b, — 4ac, 5a 2 bx 3 . @in galjfenauSbrucf, mefdjer mehrere burd) baS geidjett -f- ober — oerbmtbene eingliebrige SfuSbriide enthält, Jjeigt ein melfrgfiebriger af g ebraifcf) er Slitsbrucf ober ein ißofbnom. ©>ie einzelnen burdf )/kaS gtMjen + ober — öerbunbenen 33eftanbtljeife eines foltfjen SludfruiJeS negitt man feine ©lieber, kommen in einem Sfusbrude 3*0# ©lieber'Jor, fo fjeifjt er inSbefonbere ein 33inom; fommen bor, fo ffeijft er ein £rinont. @0 ift 3. 33. a 2 — ax + x 2 ein ©rinom, unb beibe SfuSbriide SfuSbrüife merben, Wenn bamit fKedjnungSopera; tionen boqunefjraen finb, in tiammern eingefdjfoffen. 211 2 Benn in einem ^ßoftjnom mehrere ^Sofenjen bcrfetöen SBur^et oorfommen, fo pflegt man megen ber leichteren Ueberfxd^t bie einjelnen ©lieber nach ben ^ßoten 3 ejrponenten ber gemeinfc^aftfidjen SBurjel ju orbnen, inbem man entmeber mit ber hofften ^otenj beginnt itnb bann immer niebrigere ^otenjen folgen läfst, ober inbem man $uerft ieneS ©lieb feist, roeldjeS feine ober bie niebrigfte ^ßotenj ber gemein* fd)aftlid;erf SBurjel enthält nnb bann 31 t immer höheren ^ßotenjen hinauffteigt. 3m erften gatte grifft ba$ *ßoItjnom fallenb, im jmeiten fteigenb georbnct. ©o erhält 3 . 33. ber AttSbrucf 3x 2 -f- 4 + 5x — 6 x 3 -f- x 4 fattenb georbnet bie gönn: x 4 — 6 x 3 -f 3x 2 -|- 5x + 4, unb fteigenb georbnet: 4 4" 5x + 3x 2 — 6 x 3 + x 4 * 3>a$ Jtbbieren allgemeiner ^a?fenau$brudie. §. 111. Sei allgemeinen 3 a ¥ en fann Abbition nicht, mie bei befonberen $a1)Un, it)irlltdh oerrichtet toerben; man fann bie ©ummc nur anjeigen, inbem man bie ©lieber ber ©ummanben mit ungeän* berten 3 ß ^ en neben einanber fefct. Allgemeine 3 a ht e ttau^brücfe tnerben alfo abbiert, inbem man bie ©lieber ber ©ummanben mit unoeränberten geilen neben einanber fefct, unb menn barunter gleichnamige 3 a h^ n öorfommen, biefe rebuciert. Au$ biefem @a£e folgt auch: ©teht oor einer klammer ba 8 t + , fo bleiben bei 2 öeg* laffung ber Slammern bie 3 ei ch en innerhalb berfelben unoeränbert; 3 . 93. a b + c +(p — ftaben, metcfie aucfi im ©idifor dorfommen, unb *mar in qfeicfier 2InjaI)( megtäföt. kommen im ©idifor 33ud)ftaben dor, meiere ber ©idibenb nid)t enthält, fo famt man bie ©idifion burd) biefe 33ud)ftaben nur anjeigen, inbem man fie in ben 9ienner beS Quotienten fe£t; $. 33. , , abx ax abx : by = — = —. by y ©nfad) geftattet fidj bie ©idifton allgemeiner galjfen, menn fie ^otenjen berfelben SBnr^et finb. 9JJan Ijat a 3 : a — aaa : a ~ aa = a 2 , a* = aaaaa R£l£L _ Sj a" : a 7 : a 3 ~ aaaaaaa : aaa = aaaa = a 4 . ^otenjen berfetben Söurjet werben atfo bidibiert, inbem man don bem Opponenten be$ ©idibenbs ben (Syponenten be$ ©idiforS fubtraf)iert, unb bie erhaltene ©ifferenj ber gemeinfdjaftfidien äßurgel jnm ^otenjeyponenten gibt. ©iefer @a£ Ijat dorerft nur @inn unb ©ittigfeit, wenn ber ^ßotenjeyponent beS ©idibenb£ größer ift afö jener be$ ©idiforS. @inb beibe Opponenten gteicp, fo mürbe mau uad) biefern @a^e eine $oten.$ mit bem Opponenten Statt erhalten; ift ber Opponent beS ©idibenbö Heiner at$ ber ©idifor, fo fäme bei Slmnenbung be§ obigen @a£e3 eine ‘ißotenä mit negatidem Opponenten jnm SJorfdjein. muß baljer juuädjft nodj bie 33ebentung fotd)er ^otenjeu feftgefteßt werben. 9tadj bem obigen @a£e ift a a 3 = a°; a a 3 — aaa : aaa = 1; a o _ e$ ift aber aud) fotgtic^ b. I). eine ißotenj mit bem (S^-ponenten 0 tft gteief) 1. ‘ iftaci) ,bem obigen @o^e Ijat man ferner mj '■& ift abefjiucfi v # % * *• “ (otgtid)% r ' a 5 _ r. 2—5 _ n-3 ♦ a* = a a a 3 a aa aaaaa aaa a 3 1 a —3 — a 3 * b. 1). eine ^3otenj mit negatidem Opponenten ift gteidj 1 bidibiertburdjbiefetbe^ßotenämitpofitidem Opponenten* 9iöd) bicfer Erweiterung beS Begriffes einer ^oten* l)at nun ber oben für bie ©ioifion jrucier ^otenjett berfefbeit SBurjet anfgeftellte Safc allgemeine ©iltigfeit. 2. Es ift (a + b + c) . m = am + bm + cm, folglich umge!el)rt (am + bm + cm) : m == a + b + c. Ein mefjrgliebrtger 2(uSbrucf wirb alfo burd) einen eingltebrigen biüibiert, tnbent mau febeS ©lieb beSfelbett burd) ben eingltebrigen ®it>ifor biüibiert. Sßenn ber 25ioibenb eingttebrig unb ber 2)ioi}or metyrgHebrig ift, fo fann man ben Quotienten nur anjetgen; $. 53. a : (m + n) = a m -f- n' 3. SBenn man a + b + c mit p + q + r multipliciert, fo erhält man DJtultiplicanb a + b + c ©iöifor SDMtiplicator p + g + r Quotient I ap + bp + cp ] ^robuct j + a( l + bq + cq J- ®töfbenb ( + ar + br + cr ' 2ßirb fjier baS $robuct als Qitribenb unb ber Sftultiplicanb als ®totfor angenommen, fo muß ber 9J?ultiplicator als Quotient IjerauS* fontmen. 21itS beut ©efe^e, nad; meldjem bie ©lieber beS SDtoiforS unb beS Quotienten in i!)rem ^robucte, beut Qimbenbe, jufammen* gefteßt erfcfjeitteit, ergibt fiel; nun für bie ©ibifion 3 Weier rnefjr* gliebriger 2tnSbrtiefe foTgettbeS 23erfahren: 1) 3J?an bioibiere baS erfte ©lieb beS ‘DiüibenbS burd) j>a$ erfte ©lieb beS £>ioiforS, fo erhält man baS erfte ©lieb beS\Quotienten. SDJit biejern muttipliciere man ben oollftänbigen Qioifor un^fübträ^e^e baS ‘ißrobuct oont $>ioibenbe. C>V 2) 2J?an bioibiere baS erfte ©lieb beS SRefteS bu|^ baS etfjle' ©lieb beS QiüiforS, Wo burd) man baS jmeite ©lieb beSj^fcuoFktftö|[ erhält, unb wieberljole baS oorfjergefjettbe 23erfaf)ren, bis äfft ©li beS ®iüibenbS in 2Infprudj genommen mürben. V * 5 @inb ber SDtoibeub unb ber ®ioifor ^olpnome, meldje ^ofetrjen berfelben SBur^el enthalten, fo mitten fie oor ber SDtoifioit überein* ftimmenb georbuet werben. 4. @3 ift (a * 7 b ’) •• (a + b) = a a* + ab b, ab ab b 2 b 2 + 0 @ben fo erhält man (a 2 — b 2 ) : (a b) = a + b; b. f). bie £>iffereng gmeier Quabrate burdj bte «Summe ber SBurgetn btbibtcrt, gibt bie ©ifferettg ber 2Bur= gein; bie SDiffereng gmeier Quabrate bnrtfj bie SDiffe= reng berSBurgeln biöibiert, gibt bie Summe ber SBurgein. 21 nf gaben. 1. 2 . 3 . 4. 5. 6 . 7. 8 . a) 10a : 5 = ? a) — 6ab : 6a = ? a) 36xy : — 6y = ? a) 4ax : 2by = ? a) 3a 3 : — a = ? a) 16x 4 y 4 : 8x 3 y 3 = ? a) 54ab 2 x 3 : — bx 2 = 4m = ? a) 9- a) 10. a) 11. a) ~ 3’2ab 12 ax ~öy~ : 2 5 2mn : 0*5a 3a = ? ay = ? 8nx b) 4a : a = ? b) — 24mx : - b) 15abc : 20bc = ? b) — amx : 3my = ? b) 8a 3 : 4a 2 = ? b) — 7a 2 m 5 : 4a 2 m = ? b) a 2 b 3 x 4 8ab 2 x 5 = ? b) 0*4x 2 yz : OOlöxz — ? b) 2ab : 4ax b) = ? b) 57 a my • 12 . 13 . „ 14 - * 15 . * 16 . • a 17. — 9 7pq ' 21qy (20ac -f- 12bc) ; 4c (15a 2 - 25ab) : —5 a - ? (21m 4 + 15m 3 — 18m 2 ) ; 3m 2 - ? (12x 3 24x 2 y -j- 30xy 2 ) * 6x — 9 (5a 3 - 35a 4 - l 5a 3 + 10a 3 ) T-Sa 3 ■ b ' 8a 6 xy 3 3bc 4 z 5 f 5b 3 c 2 z 4 4a 5 x 3 y (16xb ,3 12x 2 y 2 + 8xy + 4) : 4x 2 y 2 = ? 18. (7xy — 14xz 4- 0z) : fxy 19. (15a* + 19ab — 10b l ) : (5a — 15a= — 6ab — _+ _ + 25ab — 10b* + 2öab — 10b s - + 0 2b) = 3a + 5b 20. (35x* - 27xy — 18y*) : (5x — 6y) = ? 21. (4a* — 28ay 4- 49y*) : (2a — 7y) = ? 22. (64y* - 25) : (8y + 5) = ? 23. (9x* - 49) : (3x + 7) = ? 24. (4x 3 — 16x* + 7x + 20) : (2x — 5) = ? 25. (15x* -j- 4x*y — 29xy* + 10y 3 ) : (3x -j- 5y) = ? 26. (x 8 - 1) : (x* + 1) = ? 27- (a 7 — 1) : (a — 1) = ? 28. (48x* - 12y* - lllx + 5y + 72) : (8x — 4y — 9) = ? 29. (12a* + 26ab — 10b* — 36ac + 29bc — 21c*) : (2a + 5b — 7c) = ? 30- (15 -f- 8x — 32x* + 32x 3 — 15x 4 ) : (3 + 4x — 5x*) = ? 31. (3a 4 — 11a 3 + 29a* - 27a + 30) : (3a* — 2a + 5) = ? 32. (12 + y - 18y* - 73y 3 + 36y=) : (4 — 5x — 6x*) — ? 33 . (12a 4 - 37a* + 29a* + 13a — 20) : (3a* — 7a + 5) = ? 34. (18x 6 — 47x 4 — 10x 3 + 55x* + 42x — 49) : (6x* + 4x — 7) = ? 35. (8m 6 + 27) : (4m 4 — 6m* + 9) = ? 36 . (a 6 — 9a 4 x* + 27a*x 4 — 27x 6 ) : (a 4 - 6a*x* + 9x 4 ) = ? 37 . (15x 4 + 8x 3 y — 41x*z* + 10xy 3 + 8y 3 ) . •'*- : (5x* + 6xy — 8y*) = i'f. (**• r • Vv '■ - 38- (x B — y 8 ) : (x 3 —2x*y + 2xy* — y 3 ) = ? 39. (a 6 — 16a 3 b 3 + 64b 6 ) . (a 4 + 4a 3 b + 12a*b* + 16ab 3 + 16b 4 ) = ^ 40. (i. __ 14a* + 45a 4 ) : (]■ + 2a + 3a*) = ? '* 1 t V/ ' 41. (ffx* + x s y* + 6y 4 ) : (jx* 42. 3 ^ 2 xy •+ 3y*) (a lab fb 2 \ 3 ac + ybe — ^-c 2 ) : (3a — 5b + -ic) = ? $a$ £>u0fHfutmn* §. 115. Sit einem 3al)tenau$bru(fe an bie Stelle ber allgemeinen 3al)len (Sucfyftaben) befonbere ^aljtmerte feien, nnb mit biefen bie norgeftfjriebenen 9tecl)nungen auSfüI)ren, ^eißt fubftttuieren. 3- -33. 3ft ber SluSbrmf y = ax 2 -f- 2bx für a — 2, b = 1 nnb x = 4 ju beregnen, fo §at man y = 2 . 4 2 + 2 . 1 . 4 = 32 + 8 zz 40. Stuf gaben. Seftimme bie ßaljftDerti folgenber 2lu$brüde für bie beigefügten Subftitutionem 1. A = a rf-- 2b — 3c für a = 3, b ■= 2, c = 1, 2. B = 2m — 3a + 4p für m = 8, n = — 3, p = — 1. 3. C = 1 + 2x + 3x 2 4~ 4x 3 für x = 5. 4. D = 3ab — 5ac + 3bc für a = 5, b = 4, c = 3. 5- E = 6x 3 — löx 2 + 48x — 10 für x = 3. 6. F = 72x 2 — 17xy — 72y 2 für x = £, y r,K ?. G = , — für a = 450, b == 2 3 * 8. H = 9. K = a + b MC-fmc M + m 23-84. für M = 80, m = 20, C = 5, c = 8. — ax 3 — bx s + cx — d für a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, x = 2, 10. L = m 4 — 4m 3 n -f- 6m s n 3 — 4mn 3 -f- n 4 für m = 3, n = — 2. 11. M = (3x + 5y — 6z) (7x — 2y + 3z) für x = 4 y = 5, z = 6, a*b s — 3a s b s c -f 3abc 5 — c 3 12. N b 7, c ab 5, für a = 9, ^5iebct^oftt«ö0auföaßett. 1. * SBie «riet foften 9, 15, 20 , 31 Meter ä a) 40 fr., b) 52 fr., c) 1 ff. 24 fr., d) 3 ff. 93 fr.? 2. * gür 36 ßifogr. bejafjlt man 23 ff. 4 fr.; tote tfjcuer finb bentnad) 18, 12, 9, 6 , 4, 3, 2 Sifogr. ? 3 . * SBie öief beträgt a) 2 °/ 0 Don 290 ff.? b) 6°/ 0 Don 915 ff.? c) | % Don 760 ff.? d) 12i °/ 0 non834 ff.? 4 * a) (48 — 36) + 52 = ? b) (57 — 18) + (14—24) = ? 5 * a) 5 — (12— 15) = ? b) (17 + 39) — (43 — 73) = ? 6 * (7 — 21) — (9 — 7) — (19 — 5) - (28 — 38} = ? 7* [11 - 2 — (5 — 3)] - [2 - (3 — 7) — (13 - 16)] = ? 8 - ©ine Summe non 2952 ff. foff unter öier Mrfonen fo gereift toerben, baf; A B C 3 % unb D ben 9feft erraff; wie Diel fommt auf jebe ]3erfon? 9. 3n Oefterreidi-'Ungarn machen bie ©runbbefifjer 19’5°/ 0 ber ©efammtbeDöfferung, wefdje 35944000 beträgt, aub; mie Diel ©rttnb* befifcer gibt eb? 10 . ©ne ffeftung, wefcfje 12000 Mann Sefaf^ung fjat, ift auf 10 Monate mit 8 ebenbmittefn üerfefjen; wenn nun 2000 Mann ab* jiefien, wie fange werben jene Sebenbmittel für bie übriggebliebene Mannhaft aubreidjen? 11 . (Sine Müljfe mafjft auf 3 ©ängen bei 126 Umbrefjungeu per Minute in 22 ©tunben 24 fpeftofiter ©etreibe; auf wie Diel ©äugen fönnen bet 99 Umbreffungen per Minute in 42 ©tunben 32 fteftof. geliefert werben? 12. 23eftimme fofgenbe Sfubbrütfe: a) 6 x . 8 ; b) 7a . — 5; c) — 12a . 6 b; d) I5x . |a; e) — |x . f-y; f) 2.Lax . 3 3 by; g) (7x - 12) . - 3; h) (4x + 3y - 3) . ,5. 13. a)(2a —3)* = ? b) (20 + 7 ) 3 = ? c) (380 + 4)*=? 14 . a) (3x + 2y ) 3 = ? b) (50 + 3 ) 3 = ? c) (570 -f- 9 ) 3 = ? 15. $Die Sfdjfe unferer ©be beträgt 6356 Km , ber ®urd;meffer beb Sfequatorb 6377 K "; wenn man nun bei einem ©bgfobub bie ©b» I adjfe 395 ” m fang annimmt, wie grofj muff babei ber £)urdjmeffer beb *3» ’ Sfequatorb angenommen werben? 16. 3ft einen SBafferbef)äfter, toefdser l m 5 dm lang unb 5 am breit ift, tütrb ein ©efä§ öon 20 [X]'’ m Snljatt 15maf geteert; tote fjod) toirb bad SBaffer in jenem ©eßatter ftefjen? 17. * ©eftimme fotgenbe SfuSbrüde: a) 15 — 8 . 3 + 6 : 3; d) 15 — 8 . (3 + 6 : 3); b) (15-8) .3 + 6:3; e) (15 — 8) . (3 + 6) : 3; c) 15 — 8 . (3 + 6) : 3; f) (15 - 8 . 3 + 6) : 3. 18. Sin (Kapital gibt ju 4f°/o in einer beftimmten 3eit 239= ft. 3infen; toie biet 3htfen gibt ed in berfefben 3««* P 5f%? 19. Sin Sapitaf bringt in 3 Sauren 251 ft. 22 fr. 3infen; toie oiet in 10 üftonaten ? 20. Süßentt 4080 ff. Sapitaf 500|f ff. 3 htfen t ra g en . ^ief 3infen trägt tn berjetben 3«t «in um 1425 ff. größere^ Sapitaf? 21. a) 6x + (2x + 2y) = ? b) 5a — (3a + 4b) = ? 22. a) 12a — (5a — 4b) = ? b) 16x— 7y — (7x—5y)=? 23- 20 — (5x - 7) + (3x + 2) - (x + 12) = ? 24. 8a - 3b — [(4a — 3c) - (4b — 2c)] = ? 25. 20 SBeber soeben in 4] SBotfien, bie SGBoc^e ju 5 Silagen, ben Stag jit 10 ©tmtben, 150 @tüd iuef), beren jebed 45 9J?eter fang unb 120 cm breit ift; toie oief ©tüd oon 36 SJÜeter Sänge unb 180 5m ©reite toerben 25 SBeber in 12 Süßodjen »neben, menn fte toöd)ertt= litf) 6 Sage, unb tägfid) 12 ©tunben arbeiten? 26. ©eftimme fofgenbe Sfusbritde: a) 36ab : 9; b) 24ab : — 6; c) — 42bx : 7b; d) fax*: fx; e) fmn : fn; f) +a=b : ff ab; g) (ax + ay — az) : a; h) (24x — 16y) : 8. 27. Sin Stder oon 5+ .ipeftar toirb für 7497f ff. getauft; ber Käufer tritt nun 1+ gieftar ju bem öerfjäftnidmäßigen greife an feinen ÜJladjbar ab; toie oief fjat biefer ju bejahten? 28. Sin freibntnber §of, ber 15 m 2 äm 3' m im SDnrcfjmeffer fjat, foff gepftaftert toerben; toie fiod) toirb bie Arbeit fommett, toenn für „b’a§ □“ 275 ff. bejaljft toirb? 29. A erlieft 5 Giften einer Süßaare, Oon benen jebe 82 Sifogr. . ©rntto jcops, gegen 127» Sara, $u bem Sinfaufdprcife oon f ff. pr. . ®itogr..D f ietto; toenn nun bie Süßaare mit llf°/o ©etoimt toieber oer* lauft toufbe, toie groß toar ber ganje ©etoimt? 30* Sine £>ampfmafd)iue non 24 ‘fSferbefraft braucht ju einer geroiffen Arbeit 4 Jage; wie Diel eine anbere Don 16 ‘fJferbefraft? 31* ®rei gleite Kapitalien ftnb nad) einanber abjutragen, baS erfte nad) 2, baS jweite nacf) 5, baS britte nad) 6 3af>ren; ber @d)u(bner n>finfcf)t fte gugleicf) ju bejahen; wann muf baS gefc^etjen ? 32.* Sin Sumerer lie^ einem öanbmann 45 f(. unb forberte als $inS ieöcö SSierteljatjr 2-j. fl.; wie Diel % naljm er? 33* 3n welker Beit bringen 800 fl. ju 5 l # /. 110 fl. Binfen? 34. * A unb B teilen 522 fl. fo unter fiel), bafS fiel) iljre 2ln= tfjeile wie * : jj Debatten; wie Diel erhält jeber? 35. ©eredjne bie Binfen folgeuber Kapitalien: a) 4007 fl. ju 4i*/ 0 Dom 1. 3uti bis 23. ?ftoDember; b) 3025 fl. ju 7% Dom 20. Slprit bis 15. 3uli; c) 6140 fl. ju 5f/ 0 Dom 14. Öct, bis 31. ®ecember. 36. Sine 353aare wirb im Serte Don 18700 fl. Don STrieft nad) ©mtyrna gegen scefdjaben Derfidjert; wie Ijod) finb bie Slffecuranj* foften, wenn bie Prämie H% unb bie ©enfarie l°/«c (Don ber Prämie) beträgt ? 37. a) 6x + (5a — 4b) = ? b) 15x — (9x -f 2) = ? 38. (10x - 4) + (lOy - 2x) - (2 - 3y) - (7x + y) = ? 39. (4ix - 8iy + 5|) - (2|x + ljy - 1*) = ? 40. 5a + 3b — [3a — (2b + 4c)] = ? 41. 7x — 2y — [x — (3y — z) + (2x — 3z)] = ? 42. 8a— 3b + (6 — 5b) — [5b - 7b - (3a — 6)] == ? 43. $ür eine ©teuer fammt 47 0 3ufchu§ würben 468 ft. bejaht; wie groß mar ber eigentticf)e ©teuerbetrag? 44. 2Bie riet beträgt ber in bern 33erfauf$pretfe öon 788 ft. enthaltene ©emimt h 6°/o ? 45. Qüv eine mit 3% SSertuft öerfaufte Söaare merbett 520 ft. getöft; mie grog ift a) ber Serluft, b) ber Sinfaitfspreis ? ' N 46. $Betcf)e ©treefe mirb eine Socomotine bei gleichförmige^ Semegung in 4 ©tunben 24 Minuten burchlaufen, nt* fie ift v . 2 ©tunben 15 Spinnten eine ©treefe non 69 Km 274 m jurinftegt?- 47. Sie Diel Tupfer mufj man ju 8 «llogr. @ilb?f Don 720 Saufenbtfjeilen bajufdjmeljen, bamit bie Regierung 540 £cfufenbttjeile ©ef)alt erhalte? Ti 0 c n t f, 9 rtt$meiif für Untertealföulen. 16, Btf!. 15 48. ©rei ÜUlaurermeifter ermatten für einen genteinfefjafttidjen ©au 2700 ft., wetdje fie nad) SBerfjättntS ber Slnjafjt Sirbeiter unb her 3eit unter fiejj t^eiten; nun f)at A 16 Arbeiter 40 Sage, B 20 9tr= beiter 36 Sage unb C 25 Arbeiter 32 Sage geftettt; wie riet erljätt jeber ÜDlcifter? 49. a) (5ax — 2by). 3z = ? b) (5x ? — 3x 4- 3). — 2x 2 =? 50. a) (2a + x) (2a — x) = ? b) (7a - 5) 2 = ? 51. a) (4x* + 3a 2 ) 2 = ? b) (5x —6a) 3 = ? 52. (3-4x - 05y) (25x - l*2y) = ? 53. (12x 3 - 7x 2 -f 4x — 1) (8x - 5) = ? 54. (5a 2 x 2 — 4ax + 6) (3a 2 x 2 + 4ax — 5) = ? 55. (?a 2 + 3 ab - fb 2 ) (=a 2 - fab + fb 2 ) = ? 8x r fi rox ° 6 ’ Uy 9y _ 2 + f ) 4- - 9y 3 1 4xJ V3y 1 2 8x ) = ? 57. 2im 18. SOJni wirb ein SBedjfet Don 1355 ft., jajjtbar ultimo 3uni, ä 57o biScontiert; wie grojj ift beffen SBert? 58. A bejog für einen nad) 75 Sagen fälligen SBed)fct bei 5°/o ©iScont 532 ft,; auf wetdje Summe lautete ber SBedjfet? 59. Sin SBirt witt Dicrertei SBeine, ba§ £>e!totiter ju 24 ft., ju 28 ft., ju 36 ft. unb ju 48 ft., fo mifetjen, bafS er 38 §e!totiter ju 32 ft. erljatte; wie oiet £eftotiter fann er üon jeber ©orte baju nehmen ? 60. Sine ©ampfmafdjine Don 36 ißferbetraft bewegt in 18 Sagen ä 12 ©tunben eine Srbmaffe Don 8“ Sänge, 5 m ©reite unb 5-2“ £>öfje; in wie oiet Sagen itnunterbrodjener Arbeit wirb eine Srbmaffe Don 15“ Sänge, 7“ ©reite unb 4-5“ fjölje burcf) eine ©ampfmafdjine Don 24 ©ferbefraft bewegt werben? 61. (4a 3 b 4 + 8a 5 b s — 12a T b 6 ) : 2a 2 b 3 = ? - 27b 3 ) : (2a - 3b) = ? - 46ax + 15x 2 ) : (8a — 3x) = ? - 16a* + 7a + 20) : (2a - 5) = ? - 12y 2 — 118x + 5y + 72): (8x — 4y — 9) = ? - 58x 2 y 2 + 49y 4 ) : (3x 2 — 4xy — 7y 2 ) = ? 62. (8a 3 63. (16a 2 64. (4a 3 ■ 65. ; (48x* 6 & j (9x 4 - 67/ (30a 4 4- 11a 3 — 20a 2 4- 29a - 6) : (5a 2 — 4a 4- 3) = ? . SBcnn 1 fitogr. ®otb löfmat fo oiet wert ift ats 1 $itogr. ©itbev-/ wetdjen SBert in ©utben ö. SB. tjat ein neues ©iergutbenftücf, ba au? 500 ©ramm ®otb, baS T 9 5 fein ift, 155, ©iergutbenftüde geprägt Werben? 69. 3n einem neuen öfterr. Befynfreujerftücfe finb ©ilber nnb Tupfer in bcm 23erl)ä[tniffe 2:3 mit einanber gemifd)t; mie nie! ©ilber unb mie riet Tupfer l;at man nötfjig, um 6600 fl. in Befjn* freugerftüden ju fragen, mettn 300 3^§nlreugcrftflcfe \ Äilogr. miegen? 70. ©n SBirt gewinnt an einem £)eftoliter SBein 8 fl. 75 Ir. ober 28°/ 0 ; meldjeS mar bie SJerfaufSfumme? 71. ©n Sefjälter, melier 5 m lang, 3*25 m breit unb 1*2“ tief ift, mirb burd) eine Oiöfyre in 3 ©tunben 15 üDJinuten gefüllt; in melier Beit mirb burd) eine gleite Siöljre ein anberer Sefjälter gefüllt, melier 4 m lang, 3 m breit unb l*5 m tief ift? 72« @S l)at Bemanb nad) unb nad) fotgenbe Befangen gu teiften: ben 17. 2ftärj 250 fl., ben 13. 3u(i 300 fl., ben 21. Sluguft 400 fl., ben 7. October 250 fl. unb ben 18. ©ecember 500 fl. 9ln meinem ©age fann er biefe färnrntlidjen '’ßoften auf einmal abtragen? (3JJan beregne [)ier bie einzelnen fttittn t>om 1. 2J?ärj an, non meinem $tiU fünfte aus bann aud) baS SRefuItat gu nehmen ift.) 73. Bur 2luSfül)rung einer Arbeit oermenbet man anfangs 203Jiann 3 2Bod)en lang jeben ©ag 8 ©tunben, bann 30 SJZann 4 3ßod)en täglid) 10 ©tunben, unb enblid) 50 üDlann, meldje in 2 2öod)en bei täglid) 9ftünbiger 33efd)äftigung mit ber Arbeit fertig merben. 3n mie oiel 2öod)en mürben 40 3Jcann bei täglich 12ftünbiger Slrbeit baS gange Söerl gu ©tanbe gebracht traben? \ 15 * & Icßfer Jlßfcfmtff. Ditabriercn unb GuiBterett, Slu^te^en ber Duatunt* unb (Subifumtjd. §. 116. @itt ißrobuct mehrerer gleicher $actoren (§. 108) geigt eine ißotenj; jeber ber gleichen gactoren tff bie äBurget, unb bie 3agt, melcge anjeigt, mie titelmal bie SEour&et als Factor gefegt mürbe, ber Opponent. 3- ©. 4* = 4 X 4 = 16 43 — 4x4x4 = 64 4 4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256. §icr ift 16 bie 2. ißotenj tion 4, 64 bie 3., 256 bie 4. ißotcnj Don 4; umgefegrt ift 4 bie jmeite Sßurget tion 16, bie 3. SBurjel oon 64, bie 4. SBurjel tion 256. (Sine 3®P 3 ur 2 v 3., 4, . . . ißoteng ergeben £}ei§t, biefe 3 a bl 2mal, 3mal, 4mat . . . als gactor feiert. äöirb eine gegebene 3 a f)t in lauter 0lerff er enthalten lann, fo hot man fo Diele Slbtfieilungen, alb bie Quabratwurgel Ziffern hat. 3m borliegenben gälte hot bah Quabrat 218089, woraus bie Quabratwurgcl gezogen werben foü, brei foldje Stbt^eilwngen, QaS Quabrat ber erften Sßurgelgiffer ift in ber erfte» Slbtheb lung enthalten; man finbet bat)er bie erfte 3iff er a berQitabratwurgel, wenn man bie 3 a ^ fud)t, beren Quabrat ber 3 a f)i in ber erften Stbtheilnng am nächften lommt, ohne größer als fie gu fein; biefe 3ahf ift 4, alfo a = 4. SBirb a 2 = 4 S = 16 bon ber erften ül&tljeifung fubtrahiert, unb ju bem Diefte 5 bie jvoette 2l6tfjeiluRg 80 hinjugefe^t, fo mühen in ber fo entftehenben 3®f)l 580 bie iöeftanbtheile borlommen, wetcf;e bie gweite SBurjeljiffer b im Quabrate h»borbringt, nämlich baS ißrobuct 2ab aus ihr unb ber hoppelten erften 3iffer «nb th r Quabrat b 1 , unb gwar erftrecft fid) baS ißrobuct 2ab nur bis auf bie erfte 3'ff er in ber ^weiten Slbtheitnng, ift alfo in 58 enthalten, ©ioibiert man baijer bie 3ahl 580 mit SluSfchlufj ber lebten 3iff e B nämlich 58, burdf baS hoppelte 2a ber erften SSurjelgiffer, nämlich burd) 8, fo erhält man bie gweite Sßurjeljiffer b = 6. Sßenn man bann bie Qeftanbtheite beS QnabrateS, welche aus biefer ^weiten ÜBurgelgiffer entfielen, nämlich 2ab = 48 unb b 2 — 36 an ben gehörigen ©teilen üon 580 fubtrahiert unb gu bem 9fefte 64 bie britte ülbthetlung 89 fgngufeht, fo enthält bie baburch ent- ftehenbe 3# 6489 bie Seftanbtheite, welche bie britte 3iff er c i m Quabrate h»oorbringt, unb gwar fommt baS ißrcbuct 2 (a + b) c = . 2Bc. aus biefer SBurgel^iffer unb ber hoppelten ihr öorangehenben bereits gefunbenen 3 a ^ in her 3# 6489 mit SluSfchtufS ber lebten 3iffer, ’alfo in 648 öor. ®ioibiert man hoher 648 burch 2B = 92, fo er|ält man bie britte Sßnrgelgiffer c =. 7; it. f. w. J s£a 2ab b 2 = (2a -j~ b) b ift, fo lann man, anftatt 2ab unb & gu fubtrahieren, fogteid) gu bem begügltchen Qioifor 2a mit ^üdfieht auf ben ©tellenwert bie neugefunbene Söurgelsiffer l) bagu icfcen, unb fobann ba« ^robuct au« ber baburdj gebitbeten 3af>t unb ber neuen SBuqefjiffer b fubtrafjieren. §iernad) würbe fid) bie 9?ed)= nung fo ftctlen: V21 80 89 = 467 a ! . . .16 58,0 : 86 X 6 (2a + b) b . . . 51 6 6 48,9 (2B -f- c) c . . . 6 489 : 927 X 7 ©a« ^jSrobuct au« bern jebeömahgen ©iüifor, nadjbem man ißm bie neue SBurjcfjiffer angeljcingt l)at, unb au« biefer neuen 3iffer fanit aud) fogleid) wäfjrenb beö -Biuttiplicieren« öon bem ©iöibenbe fubtra- f)iert werben. ©ie SRedjnung ftefjt bann: V21 80 89 := 467 5 8,0 : 86 X 6 6 48,9 : 927 X 7 Seim 2Iu«jie^en ber Qnabratwur^e( »erfahrt man baßer natf) folgenben 9?egetn: 1. üftan tijeife bie gegebene 3°^ öon ^ cr 5RedE)teti gegen bie Sinfe in 2(6tf)eifungen öon jwei 3ifT ern > f)öd;fte SlbtijeUung fantt aud) nur eine 3iff cr enthalten. @obatm fud)t man bie größte 3 a f)^ beren Quabrat in ber erften Slbl^eifung tinf« entsaften ift, fdjreibt biefetbe at« erfte 3iffer ber SBurjet an, unb fubtraßiert if)r Quabrat öon ber erften 916ff»eif«ng. 2. 3« bem SRef te f e $h man nädiftfotgettbe SlötljeUung fiinju. SEirb biefe 3060/ unb entroicfelt bie fotgenben Jßurjeljiffern mittetft ber abgetürjten ÜDittifion. 16. ßnümcfle V17-478 in 6 ©ecimafen. a. naef) bem gewöhnlichen SSerfafjren: V17-47 8 0 = 4180669 1 4,7 : 81 66 8,0 : 828 5600 0,0 : 83606 583 6 40,0 : 836126 8196440,0 : 8361329 6712439 b. abgefiirjt: V17-4 7{8 0 = 4180669 1 4,7 : 81 66 8,0 : 8 5 60,0: 8,3,6,0 584 82 7 Seftimme auf 5 ÜDecimalen: 17. a) V& = ? b) \/7-3 =? c) V228-314 18. a) V0'08 =? b) V9-0571 =? c) V0008739 19- a) V3-78853 =? b) VO041375 =? = ? = ? 20. VsVe = V25 V576 5 24* 21- a) V/fL = ? b) Vlffltf 22. W 5 = VO-12 = 0-34641 . 30,0 : 64 4 40,0 : 68 6 284 : 6,9,2 7 _ Q \/ 99 8 00 1 — • W V 226G7121 — 9 b) VÜ c) V123ÜI = ? 23. a) VH = ? 24- SBie grofj ift bie ©eite eine« QuabrateS, beffen glädjeninljalt 9216 □" beträgt? 25. S55ic groß ift bie ©eite eine« QuabrateS, toeldjeS fo grofj ift als jmei anbere Quabrate jufammengenommen, bereit ©eiten 13, 2/ 4 om unb 1“ 5 dm 2° m fittb? 26. 2öie beffen Katheten 27. 3n einem recfitwinfligen ®reiede beträgt bie giljföjjtertufe • ^ f 31" l d " unb bie eine Sattjete 24" 4 dm ; mie groß ift bi\a»bere dm ^ * t • « • * • f ie groß ift bie £>ßpotenufe eines recßtminlligen'^eietfeS,-^ t 4-52" unb 6*38" finb? \* Kathete? \y 28. ©rei halfen werben fo an einanber gefegt, bafs jtoet ber» felbett einen redeten SSinfef bifben; wenn nun biefe Betben Saften l m 3 dm unb l m l dm 8' m fang finb, wie grofj Wirb bie Sänge beS britten SöatfenS fein? 29. Seftimme bie ©iagonafe eine« QuabrateS, beffen ©eite 5'24 äm beträgt. 30. @in SiefStifdfbfatt ift ein öuabrat non 7 dm 8 cm (Seitenfänge; wie fang ift bie ©iagonafe? 31. SSie fang rnufj eine Seiter fein, nrn bi§ jur Spifje einer 15 m hohen Stauer gu reifen, wenn fie unten 2 m 8 dm non ber Stauer abfteljt ? 32. ®ine 12 m 3 dm fange Setter wirb gegen eine öerttcafe SBanb fo aufgeftefft, bafS ber gujj ber Seiter 2 m 7 dm tion ber SBanb abfteht; wie weit ift baS obere @nbe ber Seiter ootn ffupoben entfernt? 33. Stuf ein 8 m 85 om breites £>aus foff ein 3 m 7o cm hoffeS ©ad) gefegt werben; wie fang mäßen bie ©achfparren fein, wenn fie 64 cm Sorfprung ermatten? 34. Sßie grofj ift bie £>öfje eines gleichzeitigen ©reiedeS, wenn eine Seite 2 m 3 dm 4 om beträgt? 35- ©in ©arten bon ber gorrn eines 97ecßtecfeS ift 24 m 2 dm fang unb 16 m 5 dm breit; ein anberer ©arten tjat benfefben fftächen» infjaft, aber bie gorm eines QuabrateS; wie grofj ift eine Seite beSfefben? 36. ©ie Oberfläche eines SBürfefS beträgt 19 □“ 44 □ d "; wie fang ift eine Kante beSfefben? 37. Sßefcfien ©urcfmteffer pt ein Kreis non 23 □“ 93 □ dm 14 □ cm 3nf)aft? 38. ©ie Oberfläche einer Kugef beträgt 60 O 01 ”; wie groß ift ber fpafbmeffer berfef&en ? - 39. Stuf einer unrichtigen Söage wiegt ein Körper in ber einen SßagfcEjafe 472 ©ramm, in ber anberen nur 454 ©ramm; wie grofj ifttbaS wahre ©ewidjt biefeS Körpers? (Sian mnftipficiert bie betben faffdien ®ewi$te, nnb gief)t aus bem ^3robucte bie Quabratwurjef.) II. Q:r|)fbm auf öcn (Eubus unb ^uejicljcu ber ffinbiknmrjel. §. 119. Um eine Balft jum (SubuS ju ergeben, fefct mau btcfetbe 3mal ai 8 gactor; 3 . SB. 319 3 = 319 . 319 . 319 = 32461759, (5i \3 — 5 5 5 — 1 2 5 Vs/ — 8 • S * 8' — 512' 1-28 3 = 1-28 . 128 . 1*28 = 2 097152. ®a ber GubuS eines ©ecimatbrucfjeS 3ma( (o oief ®ecimaten als ber gegebene £)ecimalbrudj enthält, fo mup in einem üoßftänbigen GubuS bie 2tnjaf){ ber £)ecima(en fletö ein SMetfadjeS non 3 fein. £)ie britten ^ßotenjen ber einjiffrigen 3af)(en ftab: ßubifrourjef: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; GubuS: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729. 3ur leichteren -öegrünbung ber Se^re oom 9luSjiel)en ber ßubif* murjel foEt aud) hier ein jmeiteS 23erfal)ren, eine 3al)t jum GubuS ju ergeben, abgeleitet toerben. £>aSfettie beruht auf ber formet (a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 . 3ft j. 23. bie 3afjt 59 jum GubuS ju ergeben, fo f)at man ab a 3 Sa*b 3ab 3 b 3 59 3 = (50 + 9) 3 = 50 3 + 3 . 50* . 9 + 3.50.9 5 + 9 3 . Um eine breijiffrige Baljf, 3- 248 = 200 + 40 + 8 auf beit Subuö ju ergeben, fefce man a = 200, b = 40, c = 8 unb a + b = 200 + 40 = B; bann ift B ab a 3 3a 2 b 3ab a b 3 240 3 = (200 + 40J 3 = 200 3 + 3 . 200* . 40 + 3.200.40* + 40 3 , unb B c B* 3B 3 c 3Bc* c 3 248 3 = (240 + 8) 3 = 240 3 + 3.240*.8 + 3 . 240.8 2 + 8 3 , ober menn man ftatt 240 3 ben früheren Söert fefct, Tb c a3 Sa2b 3ab2 b3 \ 248 3 = 200 3 + 3 . 200*.40 -f 3 . 200.40* + 40* \ 3B 3 c 3Bc 3 t- c 3 + 3 . 240 2 . 8 + 3 . 240.8 S + ^ 3 . ^Serben bie Seftanbtljeite unter einauber gefcfirieb'en^unb wiiltitf) beregnet, fo ift I | ) 48 3 = ‘ . ' a 3 zz 200 3 = 8000^0 3a s b = 3.200 3 „ 40 = 4800000 3ab 3 3 . 200.40 3 = 960000 b 3 = 40 3 = 64000 3B 3 c = 3 . 240 3 . 8 = 1382400 3Bc 3 = 3 . 240.8 3 = 46080 c 3 = 8 3 = 512 15252992. Stuf btefef&e Sirt erhalt inan c B_ ab c d 7135 3 = a 3 = 7000 3 343000000000 363230185375. 3m' beit Subu« einer nteijrsiffrigen 3 9 f)t ergtöt fotgcnbc« 23ii bun g 8 g cf e <3: 1. £)ic crfte 3iffer tinf« gibt i^rert eigenen Subu«. 2. Bebe fofgenbc Sßttrgefjiffer gibt brei 23eftanbtf)eiie: ba« ißrobuct au« bent breifad)en Quabrate ber iijr öorangeljenben 3°^ mit biefer 3'ff er - ba« 23roöuct au« ber breifadjen oorattgefjenben 3a§[ unb bent Quabrate biefer 3*ff cr / ertblitf) if)ren eigenen Subu«. 3. £>iefe 23eftanbtf)eile roerbett fo unter einanber getrieben, baf« jcber fotgenbe um eine ©tefte weiter red)t« erfdjcint, unb bann, fo wie fie ftefjen, abbiert. §. 120. ®a« 23 erfahren, nad) wefdjent au« einer 3 9 *) t bie Subilwurjet au8ge$ogen wirb, täf«t ficf) au« bent ©efe^e abteiten, nad) Weitem bie 3*TT ern ber Subifwurjel in bem Subu« jufammem gefteüt erfdjeitten. <5r£)ebt man j. 23. 537 jum Subu«, unb ift bann cxirS- bem gefunbenen Subu« bie Subümurjel ju sieben, fo 4at 'man >V- f • \ 4 t •' t \ X B a b e 537 : 75 . . 3a 2 : 8427.. 3B 2 \ ®a bie erffc äßurgeljiffer int (Eubub eine, gwei ober brei ©teilen gibt, wegen jeher folgenben SBurgeljiffer aber im (Eubub immer brei ©teilen juwatfen, fo enthält ber (Eubub einer 3mnb nacfi f£etner genommen inerben, bis man fubtra- gieren farrn. 4. £>iefe« SBerfaljren mirb fortgefe^t. 33teibt am ©nbe ein 9?eft, fo ift bie ßubürourjet nicf)t boüfommen genau; fie fann aber mit jeher befiebigen ©enauigfeit in SDecimaten beftimmt toerben, inbem man nämficf) jebem 9tefte eine Stbtfjeitung bon brei Butten anljängt, unb übrigens mie borgte berfäfjrt. tommen in ber gegebenen 3afyt aud) ©ecimalen bor, fo merben biefe bom ®edmaty>mtfte angefangen gegen bie rechte ^in in ülbtfjeitungen eingetfjeilt; Ijat bie te|te SDedmatabtljeitung rechts meniger a(S brei Äffern, fo merben bie fetjtenben burcfj Butten erfe|t. 3n ber SSurjet fe^t man ben Secimafyunft, bebor man bie erfte ®ecimal= abtfjeitung in Siedlung jtet)t. ®etfbieie unb Stufgaben. 1- a) V5 92 704 = 84 __ 512 ~~ 80 7 ft 4 : 192 76 8 3 84 64 b) V5-B32 = 1*8 1 48,32 : 3 24 192 512 c) V12 2 30 590464 = 2304 8 42,30 ; 12 36 54 _27 635904,64:158700 634800 11040 64 3 3 2. a) \T7301384 = ?. 3. a) ^152273-304 = ? 4. a) Y U-0S9567 = ? .5. a) Y 1593413632 = ? 6. a) y'12895213625 = ? 7. a) ^750494663741376=? b) 1^139798359 = ? b) y'22364854.3 = ? b) ^644972-544 = ? b) ^60006085875 = ? b) 1/^914367667816 = ? b) ^91557005892911 = ? 8 . a) 9 2 95 = 21025 . . . _ 8_ 12,95 : 12 1 2 6 1 340000,00:132300 2G4600 252 0 8 Jeier rügt nmrjet nur amtä^erungäroeife befttmtnen. 75147 920,00 : 13255212 66276 060 15 765 0 125 8856 093 75 Sowie beim 2Iu$siehen ber Quabratwurgei, fann and) beim 2luö* Stegen ber (Subifwursei, wenn feljr üieie giffern 3 U beftimmen finb, ein abgefürjteö 93erfat)ren angewenbet werben. 9iaif)bem man nämlich mehr af$ bie §ä(fte ber SBurjefjiffern nach bem gewöhnlichen Verfahren gefunben hat, entwicfeft man bie foigenben 3iffern mittelft ber abgefüqten Diöifion, in Weicher man ben testen 3feft ai« Dioibenb unb ba$ breifad)e Quabrat ber bereit« gefunbenen SBurget nach äßeg* laffung ber testen giffer a I® ®ibifor annimmt. 9. Seftimme V'84313527 auf 7 Ziffern. 1^8-431 352|700 = 2-035319 8 _ > 431 352 : 120 360 0 540 27 65925700 : 123627 618135 15225 125 3959825 : 12423,6,7,5 232722 108485 16 * ) ^ 4A. • .ue in 5 ©ecimaten: 3 10. a) K7958 =? b) ^8-539 =? c) K0'8035 =? 11. a) Yb =? b) Y 123456 =? c) V'25‘47382 =? 3 \/27 _ 3 ,; \ 3 /54872 4* 12. a) YSi b) 571787 — 9 I 7 4 S 12 \/64 13. a) VU = VO-275 = ? b) Vjfi = ? C) V 14. ®te grog ift bie ©eite eine« äßürfetb, beffen Subifinljatt 167 g] d “ beträgt? 15. SBenn man 21952 gleite würfetförmige ©teine fo in einen Raufen bringen mürbe, bafS in ber Sänge, SSreite unb £öhe gleich niete ©tücfe finb; mie nie! ©teine lommen in jebe SReitje? 16. SÜBie tang ift bie ©eite eines SÖürfetS, meiner fo oiet 3?aum einnimmt, atb 2 Söürfet äufammengenommen, beren ©eiten 3 am 4 cm unb 2 ,im 7 cm finb? 17. ©b fott ein toürfetförmiger Seffel gefertigt werben, Wetdjer 18 §ettotiter fjäft; mie tang mirb eine ©eite beb Seffetb werben? (1 Siter = 1 ^ dm .) 18. ©in eiferner SBiirfet wiegt 18 Sitogr.; wie grofj ift eine ©eite, wenn baS Subifbecimeter ©ifen 7-8 Sitogr. wiegt? 19- Sie groß ift ber ©urchmeffer einer Suget, wenn ifjr ©nbiB Inhalt 13444256 @ub.=©ecimeter beträgt? 20. Sie groß ift ber £albmeffer einer Suget, Welche mit einem Siirfet non l m 5 dm ©eitentänge gteictjcn Bnljatt fiat? 21. 2Bie groß ift ber ©urdjmeffer einer 15 Sitogramm ferneren Sanonenfuget, wenn 1 ©ubtfbecimeter ©fen $u 7f Sitogr. angenommen wirb ? ^neberfjofuucjöaufgitßen. ■' 1* 100 Sit. foften 72 ft.; mie oiet foften 26 Sit.? » 2.* 1 §>eftot. foftet 36 ft.; mie oiet foften 49 Siter? 3. * Selche 3af|t ift eb, beren 3facheb p ih r eot öfadjen abbiert 104 gibt? 4. * A fjat boppett fo oiet ®etb ats B, er tritt an B 40 ft. ab unb bann haben beibe gteid) oiet; mie oiet hatte jeher? 5. * ©in §eftofiter SBein ä 60 fr. pr. Stter toa3*"§^«^pprus 60 Öfter ä 65 fr. unb einer geringeren ©orte; toefifiett äBert ^atte 1 öfter ber streiten ©orte? 6. ©in SSater IjinterfäfSt Bei feinem Slbfterben 7 Sinber, unb öermacht jebem 4500 ff.; nun fterben 3 Sin ber ab; toie riet toirb auf jebeS ber iibriggebfiebenen fommen? 7. 23on 531 lOfä^rigen SDtenfchen erteilen im ©urcfjf a SDteter üonoärtS unb bann b SOieter riidtocirfö; tote riet Sfteter f>at er überhaupt jurücfgefegt unb toie toeit iff er öon bem anfänglichen Orte entfernt, je nacfjbem a größer, eben fo groß ober Heiner als b ift? 12. ©ine ©ifenbafjn fteigt öon ber Station A jur Station B um 3" 1-25- 5 “, öon B bis C um l m 4-ll äm , öon C bis D fällt fie um 5 m 5-87 dm , öon D bis E fteigt fie trieber um l m l-ö 1 “; um toie öief liegt E f)öf)er ober tiefer afS A? 13. SßebfjeS ©apitaf bringt in 4 Bahren biefefben Binfen, toefcße 1680 ff. ©ap. in 3 Bahren bringen? 14. äBefdjeS ©apitat bebarf man, um ju 5% biefefben BMen ju haben, treibe 3200 ff. ©apitat a 4°/ 0 geben? 15. 33on toefdjem ©apitaf er^äft man 117 ff. 3>nfen, wenn 1230 ff. ©apitaf unter gfeidjen Umftänben 61| ff. Binfen geben? 16. ©nd)e bas größte gemeinfdhaftficfte fDtaß öon a) 23310 unb 79365; b) 11467 unb 16031; c) 22287 unb 30030; d) 47005 unb 56485. 17. SBie öief -Steter muß man eine 10-4 m fange Seifer öon ber SOtauer eines 9-6” hoffen ©iebefS fteffen, toenn fie bis jur ©pifce reifen foff? v , 18. Betnanb mifiht 50 Sitogr. einer SBaare, tooüon baS Sit 60 fr. foftet, mit 40 Sit einer geringeren ©orte, unb nun fomrnt baS Sit ber Sftifdjung auf 54 fr.; toie öief foftet ein Sifogr. ber jtoeitem ©orte ? 19. ©in Saufmann hat in feinem ©efdjäfte ein ©apitaf öon 18356 ff.; am ©cßfuffe beS BafjreS ftefft fid) ein reiner ©etoinn öon 1376 ff. 70 fr. heraus; toie öief % hat ißm baS ©apitaf eingebracht ? . # It W s nnb reifet ab mtb mad)t tägtid) 32 Sitom. 500 Ufteter nad) 3 STageit wirb ifjm ein ©ote trädfgef diidt, bcr tägtid) 48 Sitom 250 üDieter jurücffegt; in wie nie! Sagen t)o!t er itjn ein? 21. 2Bte öiet DJIünsgotb a 900 Saufenbttjeite lann man aue 8 - 35 Sitogr. ©otb a 800 fein Iferftetten? 22. a) \/256036 =.? 23. a) V545-2225 -? 24. a) V1292114916 = ? 25. a) V592704 = ? 26. a) V125751501 = ? 27. a) \/2'918076589 = ? b) V64617-64 =? b) VöO'296464 -? b) \/0'1626186276 =? b) v'34-012224 =? b) V256047875 =? b) V166920094216 =? 28. Sin-Sucf)Ijättbter lauft Sud), fe 4\ SÖleter für 23; ff. ; et: »erlauft baSfetbe wieber, bad -Dieter a 6 ft.; wie öiel SJltt« waren eS„ wenn er beim ©erlaufe 276 ft. gewonnen tfat? 29. Sin Saufmann ermatt au§ Hamburg brei Siften Saffec gewogen ©rutto 1835 Sitogr., bie Sara beträgt 13"/o, ©utgcw. i% i wie groff ift bei* SBert, wenn ber metr. Sentner SRetto mit 112 ft. 50 fr. bejaht wirb? 30. S)i»ibiere bie gatjt 11576250 »ortljeitfjaft burd) a) 25, b) 125, c) 35, d) 49, e) 54. 31. ©ucfje ben ©eburtstag »on ©erfonen, Welche ftarben: unb att würben: a) ben 13. Stprit 1868 ... 59 a 7 2J?on. 18 S.; . 72 . 64 2 . 29 .. 11 5 23 20 tr ; ff 7 ff * b) „ 5. Sunt 1837 ; . c) „ 28. „SRoo. 1875 . . d) „ 42. 2tug. 1870 . . 32- 3üt einer Sabril belaufen fid) bie jäffrlidjen Soften für 250 ©aSfIantnt.cn, wetdje tetijetn in fcber @tunbe 160 g] d " ©aS »erjefirert unb 1440 r @tunben brennen, auf 8064 ft.; wie Ijodj lommt fiernad) bie ©aäbeleudjtmtg In einer anberen Sabril, in wetdjer 220 Stimmen brennen, jcbe ftünbtid) 144 [x^ 01 @a§ »erjetjrt unb bie 2kteud)tung$. jeit 1560 ©tunben beträgt? 33 äöetdjen geingetjatt in Saufenbttfeiten IjajflQ^HpiErren Bon 20 Slitogr. ©erpirfjt, menn fidj barunter 15 Sit^Tf^^HSitber befinbett? 34 * £>aö öfacfje einer 3afjl ift um 30 Keiner ats ifjr 7fadjeö; roetdfc 3 nf)i ift eS? 35-* ÜÜfuttipticiert man eine gemiffe mit 7 unb fubtraljiert bom ißrobucte 4, fo bleibt 24; roetdje 3af|t ift eS? 36* Sine gemiffe SIrbeit mürbe A für ficf) aßein in 15 Sagen ooflenben, B in 10 Sagen; in mic Biet Sagen mirb bie Arbeit ooß= enbet, menn beibe jufammen arbeiten? 37.* @in SBcinfjänbler lauft ba§ §eftoliter SBein um 23 fl. 72 Ir. unb miß 4 fl. 28 fr. baran geminnen; mie ttfeuer mirb er baS 8 iter oerfaufen ? 38- ®rei ‘tßcrfonen foüen 2050 ft. fo unter -einanber tljeiten, baf A fo oft 3 ft. ol« B 4 fl., C aber fo oft 5 ft. a(S B 3 ft. er= ßält; mie oiet befommt jebe iJSerfon ? 39 . 3n mie oiet ßeit geben a) 908 ft. Gapitat 31 t 4f% 86 ft. 26 fr. 3in$? b) 5160 ft. Sapitat ju 5 °/ 0 330 ft. 3inS ? c) 2180 ft. ßapitat 311 6°/ 0 327 ft. 3inS? Serecfme abgefür^t auf 4 ©ecimaten: 40. a) V10; b) V? 6 ; c) V7-15. 41. a) \/002; b) \/33'731; c) \/04832. 42. a) V8-2571; b) YOOQ294; c) V228'5635. 3 3 43. a) V100; b) 1/7-587;' c) VO'09146. 44- a) V69-245; b) \/4;2£888; c) \/l-341592. 45. ©in §cut 8 mürbe für 28500 ft. gefauft;• berjäfjrtidje ibtiett)* 3 in§ertrag ift 1980 fl.; 3 U mie oiet ißrocent öer^infet ficb baö ©apitat, menn für ^Reparaturen 125 ft. in Stnfdßag gebracht roerbet), unb menn bie §au 83 itt 8 fteuer 25°/ 0 beträgt? 46. Söie oiet finb 850 ft., roetdje nad) 2 jtat)ren bejg^It merben foßen, bei 5% Siöcont jefct mert ? ' v 47. 23ei bem Saufe eines SltferS mirb beftimmt, baf oon ber Sauffumme 600 ft. fogteid), bie übrigen 636 ft. aber nach 1 Bapre- geja^tt merben foßett; ber Säufer jat)tt jebodj aud) biefe fogteid) uttb erpätt 6 % £)iScont; rote oiet tjat er 3 ufammen bar 3 U sagten? V eine SBoare für 150 fl. nerfauft, fo oerfiert man man fte »erlaufen, um 5% p gewinnen? 49. 33eim Verläufe einer SBaare p 462 fl. gewinnt man 16 |%; wie Diel % gewinnt man, wenn fie für 420 fl. »erlauft wirb? 50- 2x + 3 + (5x - 7) - (4x — 3) + 7 = ? 51. 5 (x — 3) — 4 (x + 2) — 3 (x — 5) + 6 (x — 1) — ? 52. 7a — 3b + 9c — (4a + 7b - c) =? 3x — 2y 5x 4- 3y . 3v — 4x 53. 5x + 3y , 3y 6 ~ +- — 9 54- ®rei ©tücf SutdE) foften pfammen 278 ff., unb par ift ba« ©tücf A 20 m fang unb 125 cm breit, B 24" fang unb 112-5 0 " breit, 0 30" fang unb 110'" breit; ber ©üte nacf) »erf/afteu fidEj bie ©orten A, B unb C wie bie gafflen 6, 5 unb 4; a) wie oief toftet jebe« ©tücf, b) wie Diel foftet 1 SDJeter jebe« ©tücfe«? 55- Bn wie Diel ^ßrocent tragen a) 3075 ff. Sapitaf in 9 SOfonaten 92 ff. 25 fr. Btn«? b) 5409 ff. Sapitaf in 2| Satiren 607 ff. 50 fr. Bin«? c) 650 ff. Sapital in 3| Sauren 143 ff. Bin« ? 56. ÜMtipficiere jebe ber Baffen 7158267, 3095619, 4786216 a) mit 11, b) mit 19, c) mit 501, d) mit 25, e) mit 125. 57. SMtipficiere jebe ber Barett 877205, 1356637 , 4924781 a) mit 28, b) mit 36, c) mit 56, d) mit 72, e) mit 993, f) mit 7999. 58- ©eredjne f —” \/s (s — a) (s — b) (s — c) für a = 5-23, b = 4 - 78, c = 3'45 unb s = 59. B^i ßapitafien, bie pfammen 3600 ff. betragen, bringen jäfjrlid) 168 ff. Btefe« ein; wie groß ift jebe« ©apitaf, ba ba§ eine p 5°/ 0 , ba« anbere p 4% aubgefießen ift? §0. Stuf ein Sanbgut werben fofgenbe Slnbote gemalt: A bietet 40000 ff. bar; B bietet 44000 ff. unb wiff 20000 ff. bar unb ben 9{eft nacf) 3 .Baffren offne B«tf ett sollen; C bietet 45000 ff., unb jwar 4000 ff. fogteidj, ben 91eft nacfj 2| Baijren pßfbar; a) wie uief ftnb bH» Sfnboie be« B unb C bar wert, wenn man 5°/ 0 Si«cont rechnet, b) wefdje« ber brei SCnbote ift ba« »ortljeiffjaftefte? 61* 2Bie oiet 3inS geben 420 fl gu 4°/^ 62* SBetdjeb (Sapitat bringt an 3wf en: a) in 3 Sauren gu 5°/ 0 341 fl.? b) „ 2i „ „ 6% 60' „ ? 63* f?ür 36 fl. lauft man 114 8itcr; wie oiet für 60 ft.? 64* SDret Sßerfonen fotten 350 ft. fo unter fidj feiten, baf B 18 ft. nteljr erhält atö C, unb A 14 ft. meljr atd B; wie biet erfjätt jeber ? 65- 3 U ^ie oiet °/o muffen 960 ft. angelegt fein, wenn fie in berfetben 3eit bie nämlidjen 3infen geben fotten, wetcfie man bon 840 ft. a 6°/ 0 ergebt? 66. 3u toie biet % muff ein Safntat angelegt werben, bamit eö in 3 Bahren eben fo biet 3™f ttl 9 £ be, atö eS in 2 Bafren ä 6% geben mürbe? 67. SBon einer ©djutb fott bie §ätfte fogteicfi, i nad) li 3at)ren, ber SReft nad) 3 Bahren bejaht werben. (SS ftctjt jebod) bem ©djutbner frei, bie gange ©ctjutb auf einmal gu galten; wann müfte bie8 ge» fdiefen? 68. a) V208574891 = ? b) V52301824 = ? 69. a) V412455481 =? b) \/3163725009 = ? 70. ®er Reinertrag einer 23erfauf8red)nung betrug nad) Slbgug bon 2i°/„ ©oefen 3448 ft.: für wie oiet ft. o aare oerfauft worben ? 71. SSon ben alten öfterr. 3*oangigern ber testen Prägung geben auf 1 cötn. SD7arf feinen ©itberS 60 ©tücf bon T 9 ^ geingeljatt; wie groß ift baS ©djrot biefer SDfünge? 72. a) (a + b)* + (a - b) 2 =? b) (a -f b) 2 — (a - b) 2 =? - 73. 25x® - (5x + 3y) (5x — 3)**=? 74. (3a + 8x) 3 + (4a + 6x) 3 — (5a — 10x) 3 =? 75- (x 3 + 2ax 3 — 2a 2 x + a *) ( x + 2a) —? • > 76. (4a 4 + 5a 2 b 3 — 6b 4 ) (2a* — 3ab + 4b 2 ) = ? \ 78. 2tn einer ©träfe arbeiten 20 ÜJfann 12 £age, 16 Sffann 15 Stage, 18 3Jiann 25 Stage, 15 äftamt 18 Stage unb 24 üDfamt 25 Stage; wie biete Arbeiter fätte man aufnetjmen müfen, Wenn bie ©träfe in 40 Stagen fertig werben fottte? Sftocntf, Slrit^mettf für Unterrealfdjulen. 16 , HnfI» 17 fi *v % ;Ci/W^ ö[er »»Q feinen au ftarfen Kffig mit ÜBaffer berbünnen; wimbämt mürbe er baS Siter um 28 fr. berfaufen; wenn er 12i £eftofiter berbünnten @ffig ermatten uub baö Siter bobon um 21 fr. berfaufen miß, wie bief Kfftg uub wie bief Sßaffer muß er ju ber 2JZifcf)ung nehmen? 80. a) V0-857375 = ? b) V109902239 = ? 81. a) V80677-568161 =? b) V69021909208 =? 82. 33ou einer ©chufö foß j om 15. Sänner fogfeich, {- am 31. Banner, ]- am 28. Februar uub ber 9teft am 31. 93tära bejaht werben; mann fauu mau aße Ballungen au gleicher 3eit entrichten? 83. 3n SreStau merben im Aufträge eine« fraget Kommittenten 218 Ktr. SSeijen ä 93tar! 19 „ 80 pr. 200 B berfauft; bie ©pefen betragen 30 ißfenn. pr. Ktr., 9JtafjgeIb, ©riufgetb :c. Wart 10 „ 80, ©enfarie .}%; auf VDeldjen ^Reinertrag lautet bie Sßexfaufbredjnung, toemt bie ißrobifion au 2^% geregnet wirb ? 84. A leidet bem B 1800 ft. unb bem C 3000 ff.; B aatjlt um i°/o höfere Stufen afS C. £u wie bief % ift jebeS Kapitaf auögeftefjen, Wenn A bon beiben aufammen 225 ff. Binfen erhält? 85. A, B unb C erfitten bei einem gemeinfdjaftlidgen ©efdjäfte 20% SSerfuft; ihre Kurtagen berhaften fiel) wie 9:8:7 unb baS Kapitaf nach 2tbjug be§ 33erfufteö beträgt 22480 ff. 80 fr.; a) wie bief erhält jeber jurüd; b) wie bief tjat jeber berforen? 86. (225a s w- (Sf ' 480ab + 256b s ) : (15a - 16b) = ? 11 _ . f §5 4 - t’Z'l -? 45 3xO * v2y ‘4x7 ~ * 88. (63x 3 89. (30x 4 - 16x a — 132x — 80) : (9x + 10) = ? - 2x 3 — 125x 2 — 51x + 27) : (5x 2 — 7x — 9)=? 90. 9'cach ben neueften Angaben hat Kuropa 302, Stfien 794, Slfrica 192, Imerica 85, Stuftrafien 4 SÖtißioueu 93tenfchen; wie ber» theift fidf), in ißrocenten auSgebrücft, bie gahf ber 93Zenfcf)en auf bie einaefnen Söefttheite? 91. '2Bie bief foften am 26. üfpril @tücf 2jerbtnanbs4Rorbbahn4!fctien a 1862 (9tominaf» teert k 1000 ff. K. 93t.), unb > v - 6 ©tücf Kfifabethbahn»Slctien k 148-25 (9tominafteert k 200 ff. K. 93t.), wenn bie 5% Binfen feit 1. Banner au bergüten finb unb |% 0 farie geregnet wirb? 92- ®rei ^ßerfotten 6efcE)Iiepen ouf 2 mrinjdjaft ju führen; A legt baju 4800 fl., B C 6000 fl. ein. Siad) 4 Stionaten nimmt A 800 ft., nad) 8 Stionaten B 300 ft. unb nad) 10 Stionaten C 1000 ft. suriid. 3tm ©djtuffe teilten fie einen ©emimt bon 1415 ft.; mie biet gebührt jebent? 93. A ift an B ju galten fdjutbig: 200 ft. fogteic^, 300 ft. nad) 5 Stionaten, 450 ft. nad) 8 SDJonaten, 300 ft. nad) 11 Stionaten, 600 ft. nad) 15 Stimmten unb 400 ft. nad) 20 Stimmten. ®agegen ift B an A ju jagten fcfiutbig: 350 ft. nad) 3 Stionaten, 500 ft. nad) 7 3tio= naten unb 600 ft. nad) 1 3at)re. Siun motten beibe mit einanber ab= regnen unb fott ber Sieft auf einmal berichtiget merben; mie oiet beträgt ber Sieft, unb mann muf feine 3at)tung erfolgen? 17 * nm j & Semflgty in jffrqjp 9Jl3cm^ Dr. %WJ$nVitter v. f £ebr* unb Uebung^bucb ber 2lrüf)tnetif. gür Unterrealfcbulen. 16. nerbefferte Auflage. 16 23ogen gr.8. 1877. aeß. o ... Jk 90 !c * “ 1 80 W. 3lnrang§grunbe ber ©e*>metrie in $erbinbung mit bem 3eidmen. ür Unterrealfcbulen. Mit $02 in ben £eyt gebrühten ©olsfcbnitten. 6. nerbefferte Auflage, gr. 8. 1877. geb- 70 fr. — 1 Marf 50 $f. ?famtcrer, Dr. Maurus, (f. f. £anbe§f