PRESEK LETNIK 015) ŠTEVILKA 5 m iil j»™®. ii ■■ bmm DIMENZIJE EGIPČANSKIH PIRAMID PO SLEDEH NEKE NALOGE ODBOJ SVETLOBE IN ZRCALA ODPRAVE NA MARS PRESLIKAVA TEKSTUR NA ENOSTAVNE 3D OBJEKTE ISSN 0351-6652 9 7 7 O 3 5 I ÜÜ5250 9770351665258 9770351665258 matematični trenutki kolofon 2 Z dravljenje Parkinsonove bolezni su nu su -> Misel na v možgane vsajeno elektrodo ni prav nic prijetna. Je pa takšna rešitev v veliko pomoč bolnikom s Parkinsonovo boleznijo in bolnikom z esenci-alno tresavico, ki bi sicer zelo težko v rokah obdržali karkoli za več kot trenutek. Pri takšnih težavah pomaga stimulacija notranjih delov možganov. Načrtovanje primerne stimulacije je lahko dolgotrajno in zahteva veckratne obiske pacientov. Pri novem pristopu si bistveno pomagajo z matematiko. Z njeno uporabo bistveno skrajšajo cas, ki je potreben za ustrezno nastavitev elektrod. Najprej z mate-maticnim modelom natancno opišejo možgane obolelega. Nato numericno rešijo sisteme diferencialnih enacb, ki opisujejo obnašanje nevronov. Tako lahko zdravniki v realnem casu opazujejo rezultate razlic-nih strategij in s tem pospešijo vrnitev bolnikov v normalno življenje. Bistveni napredek na tem podrocju predstavlja združitev razlicnih vrst podatkov v ustrezni model, ucinkovita predstavitev trirazsežnih slik in predstavitev informacij s pomocjo enostavnega tablicnega vmesnika. Tako lahko zdravnik z enim dotikom zaslona priklice ustrezni model bolnikovih možganov in z uporabo modela predvidi klinicne rezultate pri razlicnih nacinih stimulacije. Moc matematike in ra-cunalniška vizualizacija s pomocjo tablic in pametnih telefonov sta tako hkrati enostavnejša za zdravnike in koristna za bolnike, ki kljub najmanjšemu potrebnemu številu obiskov zdravnika dobijo najboljšo možno terapijo. Za vec informacij si lahko preberete clanek Chri-stopherja R. Butsona in ostalih avtorjev, Evaluation of Interactive Visualization on Mobile Computing Platforms for Selection of Deep Brain Stimulation Parameters, ki je bil objavljen v reviji IEEE Transactions on Visualisation and Computer Graphics (zvezek št. 19) leta 2013. PRESEK 42 (2014/2015) 5 Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 42, šolsko leto 2014/2015, številka 5 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Cepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domanjko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Peter Legiša (glavni urednik), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Igor Pesek (računalništvo), Marko Razpet, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik). Dopisi in naročnine: DMFA-založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2014/2015 je za posamezne naročnike 19,20 eur - posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 16,80 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100-1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift(bic): SKBASI2X, iban: SI56 031001000018 787. List sofinancira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikacij. Založilo DMFA-založništvo Oblikovanje Tadeja Šekoranja Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1400 izvodov © 2015 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1958 Razmnoževanje ali reprodučiranje čelote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. navodila sodelavčem preseka za oddajo prispevkov Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralčev, u čenčem višjih razredov osnovnih šol in srednješolčem. Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte-vilč ene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko ve č inoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 čm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyri-ght). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrstičami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva DMFA-založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re-čenzentu, ki očeni primernost članka za objavo. Ce je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, potem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. Slika na naslovnici: V petek, 20. marca 2015, je Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije v sodelovanju z revijama Gea in Spika, Prirodoslovnim muzejem Slovenije in Elektrotehniško-racunalniško strokovno šolo in gimnazijo Ljubljana organiziralo javno opazovanje delnega Sončevega mrka. Po ocenah organizatorjev sije mrk ogledalo okoli deset tisoc obiskovalcev. Foto: Miha Jeršek Dimenzije egipčanskih piramid Borut Jurčič Zlobec -> Soočili se bomo z večkrat ponovljeno trditvijo, da sta v dimenzijah Keopsove piramide zakodirani števili $ (razmerje zlatega reza) in število n (razmerje med premerom in obsegom krožnice), kljub temu, da razmerje zlatega reza v Egiptu ni bilo nikjer omenjeno in tudi števila n niso poznali tako natančno, kot ga najdemo zakodiranega v dimenzijah Keopsove piramide. Ali so graditelji piramid poznali dejstva, ki niso zgodovinsko izpričana, ali pa je to čisto naključje? Pokazali bomo, da je naključno sovpadanje mnogo bolj verjetno, kot se zdi na prvi pogled. Poskušali bomo razložiti, kako so graditelji določali dimenzije in zakaj so te takšne, kakršne so. Predvsem se bomo posvetili razmerju stranič v trikotniku, ki ga tvorijo poloviča roba osnovne ploskve piramide, višina piramide in višina njene stranske ploskve (glej sliko 2 zgoraj). Naša predpostavka bo, da je mere piramid določala predvsem pragmatičnost, kompromis med fizikalnimi lastnostmi materiala, preprostim zapisom mer v navodilih za gradnjo in seveda omejenost sredstev. Zlati rez v literaturi Razmerje zlatega reza ima mnogo zanimivih lastnosti. Vendar pa se mu jih zelo rado pripisuje mnogo vec, kot jih ima v resnici. Razmerje zlatega reza je iracionalno in je v nekem smislu najbolj iracionalno število od vseh iracionalnih števil. Ta lastnost razmerja je odločilna, da naletimo nanj v naravi. Srecamo ga npr. pri proucevanju optimalne porazdelitve listov okoli stebla rastlin (fi-lotaksa) in razporeditve semen v soncnicnem cvetu. Manj prepricljivo je povezovanje razmerja zlatega reza s sebi podobnimi spiralnimi strukturami v naravi, kot so spiralna struktura nautilusove hišice in spiralne strukture galaksij. Odlocilna lastnost spirale pri nautilusovi hišici je njena sebi podobnost. Kot se je izrazil Jacob Bernoulli (1655-1705), eadem mutata resurgo (raste, vendar ostaja vedno enaka). Sebi podobnost v naravi je pogost pojav, verjetno zaradi ekonomicnosti genskega zapisa. Vendar pa sebi podobne spirale pripadajo razredu logaritemskih spiral, kjer je zlata spirala le poseben primer. Nastanek spiral v galaksijah se podreja drugacnim zakonom in v splošnem niso niti logaritemske. Najbolj problematicno pa je iskanje razmerja zlatega reza v glasbi, arhitekturi, slikarstvu, umetnosti in filozofiji nasploh. Pripisuje se mu mocan pomenski naboj, ki velikokrat vodi v pretiravanje in na-pacne interpretacije. Zlati rez je bil predmet misti-fikacij, tako v starem veku, pri grških filozofih, kot tudi v srednjem veku in je tudi v današnjem casu. Poglejmo enega od sodobnih opisov zlatega reza. Zlato razmerje pomeni vrata do razumevanja življenja. To razmerje imenujemo Zlato oziroma Božansko razmerje, ker predstavlja vrata za globlje razumevanje lepote, čudežnosti in duhovnosti življenja. Je skoraj neverjetno, da ima eno samo število tolikšen vpliv v naravi, človeški zgodovini, znanosti, umetnosti in v vsemirju v čeloti. Profesor racunalniških znanosti univerze v Maine George Markowsky je preveril nekatere najbolj znane trditve na temo zlatega reza, zapisane v šolskih uc- benikih in člankih. Presenečen je opazil, kako malo resnice je v teh trditvah. O svojih ugotovitvah je napisal članek z naslovom »Misconceptions about the Golden Ratio«, ki ga lahko najdete na naslovu http: //www.umcs.mai ne.edu/~markov/GoldenRati o. pdf. Razmerje zlatega reza, zlati pravokotnik in zlati trikotnik To poglavje je namenjeno spoznavanju razmerja zlatega reza, zlatega pravokotnika in zlatega trikotnika. Definicija 1 (Razmerje zlatega reza). Razdelimo da-ljico na dva neenaka dela tako, da je razmerje med vecjim in manjšim delom enako razmerju med celotno daljico in večjim delom. To razmerje imenujemo razmerje zlatega reza. V našem sestavku bomo razmerje zlatega reza oznacili s crko 0, v cast grškega filozofa in matematika Fidesa (500-432), ki je prvi omenil to razmerje. Ce vzamemo, da je dolžina prvotne daljice enaka 0 in dolžina vecjega dela enaka 1, potem gornjo definicijo lahko zapišemo v matematicni obliki takole: 0 - 1 1 ' od tod dobimo zvezo ■ 02 - 0 - 1 = 0. Pozitivna rešitev enacbe je enaka (1) 0 = 1 + V5 2 1,61803398874989... (2) Pravokotnik z razmerjem stranic, ki je enako razmerju zlatega reza, ima naslednjo lastnost: ce mu odstranimo kvadrat s stranico, enako krajši stranici, ostane pravokotnik, katerega razmerje stranic je ravno tako enako razmerju zlatega reza. Tak pravokotnik bomo imenovali zlati pravokotnik. Na sliki 1 zgoraj je prikazan postopek za nacrtanje zlatega pravokotnika. 1. 2. Najprej nacrtamo kvadrat, nato razpolovimo eno od stranic. Izberemo enega od nasprotnih oglišc, nato nacr-tamo krožnico s središčem v razpolovišcu in izbranim oglišcem na obodu. 3. Presečišče krožnice z nosilko razpolovljene daljice je eno od oglišc zlatega pravokotnika. 4. Ostalo preberemo s slike 1 zgoraj. Prepričajmo se, da je to res zlati pravokotnik. Naj bo dolžina stranice kvadrata enaka 1. Po Pitagorovem izreku je polmer krožnice enak -J1 + 1/4 = V5/2. Daljša stranica pravokotnika meri (1 + \fŠ)/2 = 0. Razmerje stranic je resnicno enako razmerju zlatega reza. V geometriji poznamo še en lik, ki je tesno povezan z razmerjem zlatega reza, to je zlati trikotnik. V knjigi Mysterium Cosmographicum (Skrivnosti sveta) Johannes Kepler (1571-1630) omenja razmerje zlatega reza v stavku: V geometriji najdemo dva velika zaklada: eden je Pitagorov izrek, drugi je razmerje zlatega reza. SLIKA 1. Zgoraj: zlati pravokotnik, spodaj: zlati trikotnik matematika —^ Keplerjev trikotnik, vcasih tudi zlati trikotnik, povezuje oboje. To je pravokotni trikotnik z razmerjem stranic 1 ^ : p. Slika 1 spodaj prikazuje, kako nacrtamo zlati trikotnik. 1. Najprej nacrtamo zlati pravokotnik in si izberemo eno od oglišc. 2. Nacrtamo krožnico s središcem v izbranem ogli-šcu in polmerom, enakim daljši stranici. 3. Ostalo je razvidno s slike 1 spodaj. Prepricajmo se, da smo res nacrtali zlati trikotnik. Vzemimo, daje dolžina daljše stranice pravokotnika enaka p in dolžina krajše enaka 1. V trikotniku oznacimo neznano kateto z Po Pitagorovem izreku je p2 - 1 = x2. Iz enacbe (1) sledi, da je %2 = p oziroma % = *Jp. Zlati rez, zapisan v merah Keopsove piramide Sledi ena od najpogosteje citiranih neresnicnih zgodb v zvezi z dimenzijami egipcanskih piramid, ki jo pripisujejo grškemu zgodovinopiscu Herodotu (484-425). Zgodba pravi, da je ob neki priliki egip-canski svecenik zaupal Herodotu skrivnost Keopsove piramide v Gizi. Svecenik: Dimenzije Velike piramide so izbrane tako, da je površina kvadrata s stranico, enako višini piramide, enaka površini stranske ploskve. Egipcanske piramide so pokoncne, pri vecini od njih je osnovna ploskev kvadrat. Taka je tudi Keop-sova piramida (glej sliko 2 zgoraj). Oznacimo višino piramide s h, stranico osnovnega kvadrata z b in višino stranske ploskve z 5. Preprost racun nam da 2 bs 2 2 b2 ■ h2 = —, s2 = h2 + —. Delimo zadnjo enacbo z b2/4 in dobimo 2h\4 _ (2h\ b b + 1, oznacimo r = in dobimo ■ r2 - r - 1 = 0. Edina pozitivna rešitev gornje enacbe je r = p = (1 + VŠ)/ 2. Od tod sledi, da je 2h/b = Jp. Trikotnik (b/2, h,s) je zlati trikotnik, dolžine njegovih stranic so v razmerju 1 : Jp : p. V resnici pa je v Herodotovi knjigi Zgodovina en sam odstavek, ki govori o veliki piramidi (glej zgoraj omenjeni clanek Georgea Markowskega), ta pa se glasi: Herodot: Veliko piramido so gradili dvajset let. Stranica osnovnega kvadrata meri osemsto čevljev, njena višina meri ravno tako osemsto čevljev, površina je bila pokrita z gladkimi ploščami, ki so se natanko prilegale druga drugi. Kamniti bloki, iz katerih je narejena, merijo vsak od njih več kot trideset čevljev v dolžino. Herodot je napisal te vrstice dva tisoc let po izgradnji piramide. Mere, ki jih je podal, ne ustrezajo dejanskemu stanju. Z nekaj domišljije lahko zaslutimo, kako s prevracanjem besed iz gornjega odstavka pridemo do trditve o zvezi med kvadratom višine in plošcino stranske ploskve. Tu imamo kljucne besede kvadrat, višina in površina, ostalo pa naredi domišljija in želja, da bi našli razmerje zlatega reza. Pri Keopsovi piramidi je razmerje med višino in polovico osnovnega roba enako 14/11, kar je zelo blizu vrednosti -Jp. To naj bi napeljevalo, da je v teh piramidah zakodirano razmerje zlatega reza. Po drugi strani pa je vrednost 4/Vp zelo blizu vrednosti n, zato nekateri trdijo, da je v egipcanskih piramidah zakodirano tudi število n oziroma njegova približna vrednost 22/7, ki pa je natancnejša, kot so jo poznali v tistem casu. V skoraj tisoc let mlajšem dokumentu je omenjena vrednost 256/81 kot približek za n. Merjenje kotov in dolžin v starem Egiptu Razmerje dimenzij egipcanskih piramid bomo bolje razumeli, ce si ogledamo njihov merski sistem. Osnova za merjenje dolžine je bil kraljevi komolec, ki je imel vlogo našega metra. Kraljevi komolec je meril 28 palcev. Dolžina enega palca ni bila natanko dolocena. S casom se je nekoliko spreminjala in se je gibala med 18,7 mm in 18,8 mm, tako se je dolžina kraljevega komolca gibala med 52,36 cm in 52,64 cm. Poleg kraljevega komolca so uporabljali še (navaden) komolec, ki pa je meril 24 palcev. 2 Kote so merili v stopinjah, vendar pa so v gradbeništvu in zemljemerstvu kote izražali v sekedih. Seked kota je enak dolžini kotu priležne katete v pravokotnem trikotniku, merjene v palcih, ce je dolžina nepriležne katete en kraljevi komolec (glej sliko 2 spodaj). Pri pisanju sestavka nismo imeli na razpolago enako natančnih mer za vse piramide. V literaturi in na internetu se mere piramid niso vedno ujemale. Razlike so bile tudi do 50 cm. Pri pretvarjanju mer piramid iz metrov v komolce smo upoštevali nacelo, da so dolžine osnovnih robov piramid, izražene v komolcih, zaokrožene. To je smiselno, ker so navodila kraljevi komolec SLIKA 2. Središčni pravokotni trikotnik piramide in seked. Zgoraj: trikotnik v piramidi, spodaj: seked. za gradnjo tako preprostejša. Mere piramid smo izbrali v mejah, ki smo jih našli v literaturi in ki so najbolj ustrezale gornjemu nacelu. Dimenzije egipčanskih piramid Pri proucevanju dimenzij egipcanskih piramid se bomo omejili na razmerje stranic trikotnika, ki ga tvorijo polovicni osnovni rob piramide, njena višina in višina stranske ploskve. Ker bomo ta trikotnik še velikokrat omenili, mu bomo dali delovno ime središčni pravokotni trikotnik piramide (glej sliko 2 zgoraj). Pricakujemo, da so graditelje iz estetskega vidika privlacile piramide, ki imajo dodatne geometrijske simetrije. Gradili so pokoncne piramide. Vecinoma je osnovna ploskev imela kvadratno obliko. Izjema je piramida 3 v tabeli 1. Med piramidami, ki imajo dodatne simetrije, izstopajo piramide, katerih središcni pravokotni trikotnik ima stranice v razmerju 3:4:5 (pitagorejska trojica). V tabeli 1 so te piramide oznacene z znakom to so piramide 5, 8, 9 in od 11 do 15. Naklonski kot stranskih ploskev teh piramid je 53°7'48". Naslednji primer so piramide, katerih stranske ploskve so enakostranicni trikotniki. Naklonski kot teh pira-midje 54°44'10''. Pri teh piramidah je razmerje med višino in robom osnovne ploskve iracionalno. Temu se najbolj približata piramidi 18 in 22, z nekoliko slabšo natancnostjo na 1° jima sledita še piramidi 10 in 16. V tabeli sta prvi dve oznaceni z znakom ▲, drugi dve s slabšim ujemanjem pa smo oznacili s A. V tabeli ni piramide, katere osni presek bi bil ena-kostranicni trikotnik, to je piramide z naklonskim kotom 60°. Najbolj pa burijo domišljijo piramide 1, 4 in 7, katerih razmerje stranic v središcnem pravokotnem trikotniku se približa zlatemu trikotniku. Pogojno štejemo mednje tudi piramido 3, pogojno zato, ker nima kvadratnega tlorisa, vendar se dva od naklonskih kotov stranskih ploskev približata kotu 51°50'35'', ki je znacilen za ostale tri. V tabeli so te piramide oznacene z znakom ♦. V zacetku so gradili stopnicaste piramide, nato so na prehodu med III. in IV. dinastijo zaceli graditi piramide z ravnimi stranskimi ploskvami. Snefrujevo lomljeno piramido štejemo za prehodno piramido med obema nacinoma gradnje (glej sliko 3 zgoraj levo). Pri tej piramidi so postavili temelje za naklon-ski kot 60°. Zelo verjetno se je izkazalo, da bi bila v SLIKA 3. Piramide. Zgoraj levo: lomljena piramida v Dahshurju, zgoraj desno: rdeca piramida v Dahshurju, spodaj levo: Keopsova piramida v Gizi, spodaj desno: Kefrenova piramida v Gizi. tem primeru piramida prevec strma, konstrukcija ne bi vzdržala, verjetno bi bil problem pritrditve tlaka za stranske ploskve. Takoj po zacetku gradnje so kot popravili na 54° 50'. Ta kot je zelo blizu kota, ki ga ima piramida z enakostranicnimi stranskimi ploskvami. Nekje na sredini gradnje so naklonski kot še enkrat popravili, to pot na 43°22'. Ta kot se še enkrat ponovi pri Rdeci piramidi, ki je bila ravno tako zgrajena v casu vladanja faraona Snefruja (glej sliko 3 zgoraj desno). V tabeli najdemo še eno piramido z naklonskim kotom blizu 45°, to je piramida 21, njen naklonski kot je 42°. Ta piramida je med vsemi piramidami v tabeli 1 najbolj položna. Najvecji naklonski kot ima piramida 17. Njen naklonski kot je 57° 15'53'' in spada med srednje visoke piramide. Pri višjih piramidah bi moral biti kot manjši, da bi konstrukcija vzdržala. Seveda pa kot ni smel biti premajhen, po eni strani zaradi videza, strma piramida deluje mo-gocno, po drugi strani pa zaradi kolicine materiala, ki bi ga potrebovali za gradnjo. Naklonski koti stranskih ploskev piramid so v mejah od 42° do 56°, to so meje, ki jih zasledimo pri lomljeni piramidi. V nadaljevanju si bomo ogledali še en kriterij pri izbiri dimenzij, ki je cisto prakticen. Kako zapisati cim bolj preprosta navodila za gradnjo? Videli bomo, kako so egipcanske dolžinske enote in merjenje kotov vplivali na dolocanje dimenzij. Naklonski koti v egipčanskih piramidah Keopsova piramida ima izjemno natancno dolocene dimenzije. Stranice osnovne ploskve se razlikujejo le za nekaj centimetrov. Tudi koti med robovi osnovne ploskve se razlikujejo od pravih za najvec 2'. Se-ked naklonskega kota pri Keopsovi piramidi je enak Piramida dimenzije (b/2)/h napaka ** št. faraon mesto b h b s/q £ 1 Snefru Maidum 147,0 93,5 280 22/28 0'48'' 2 Snefru* Dahshur 220,0 105,0 240 21/20 0'46'' □ 3 Mikerin* Giza 103,0 65,6 195 22/28 1'23'' 3 Mikerin Giza 105,0 65,6 200 4/5 0'38'' □ 4 Keops Giza 230,3 146,6 440 22/28 0'31'' ♦ 5 Kefren Giza 215,2 143,5 410 21/28 0'23'' * 6 Sahure Abusir 78,7 47,2 150 20/24 0'42'' 7 Niuserre' Abusir 81,0 51,6 180 22/28 1'45'' ♦ 8 Neferirkare Abusir 105,0 70,0 200 21/28 0'00'' * 9 Userkaf Sakkara 73,5 49,0 140 21/28 0'00'' * 10 Unas Sakkara 57,7 43,3 110 16/24 0'45'' △ 11 Izezi Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 12 Teti Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 13 Pepi I Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 14 Merenre Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 15 Pepi II Sakkara 78,7 52,5 150 21/28 1'02'' * 16 Senwosret III Dahshur 105,0 78,7 200 16/24 1'00'' △ 17 Amenemhat III Dahshur 105,0 81,6 200 18/28 1'16'' 18 Amenemhat I El-Lisht 78,7 55,1 150 20/28 0'17'' ▲ 19 Senusret I El-Lisht 105,0 61,2 200 24/28 1'23'' 20 Amenemhat III Hawara 99,7 57,7 190 19/22 0'37'' □ 21 Senusret II El-Lahun 105,0 47,2 200 10/9 1'48'' □ 22 Khendjer Sakkara 52,5 36,7 100 20/28 0'00'' ▲ ** Pomen oznak je opisan v besedilu clanka. * Rdeca piramida (glej sliko 3 zgoraj desno). b' Osnovni rob, izražen v kraljevih komolcih. ' Pri piramidi 7 je osnovni rob izražen v navadnih komolcih. * Piramida 3 nima kvadratnega tlorisa. TABELA 1. Dimenzije egipčanskih piramid. 22 palcev, odstopanje je manj kot 1'. Tudi druga najvecja (Kefrenova) piramida v Gizi ima natancno dolocene dimenzije. Seked naklonskega kota pri tej piramidi je 21 palcev, odstopanje pa je ravno tako manj kot 1'. V tabeli 1 so zapisane dimenzije 22 piramid. V sedmem stolpcu tabele 1 je zapisano razmerje med polovicnim robom in višino piramide v idealiziranem primeru. Ce je imenovalec enak 28, je števec enak sekedu. V osmem stolpcu je zapisana razlika med kotom, ki ga dobimo z idealiziranim razmerjem in razmerjem, ki je izracunamo iz podatkov v cetrtem in petem stolpcu. Iz tabele 1 preberemo, da ima 16 od 22 piramid celoštevilcni seked. Pri nadaljnjih treh piramidah dobimo dobro ujemanje, ce v definiciji za seked kraljevi komolec, ki meri 28 palcev, nadomestimo z navadnim komolcem, ki meri 24 palcev. Vidimo, da so v tabeli le štiri piramide, katerih seked kota se v nobenem primeru ne izraža celoštevilcno. To so piramide 2, 3, 20 in 21. V tabeli smo jih ozna- —^ čili z znakom □. Za piramido 3 vemo, da nima kvadratnega tlorisa. Piramide s celoštevilčnim sekedom, ki ne spadajo v nobeno od teh kategorij, smo označili z znakom Zakaj meri seked naklonskega kota Keopsove piramide 22 palcev? Pri sekedu 22 palcev se razmerje stranic v središčnem pravokotnem trikotniku približa razmerju stranic zlatega trikotnika. Ker zlati rez v zgodovini Egipta ni bil nikoli omenjen, ne smemo podleči skušnjavi, da bi trdili, da je bil zlati trikotnik namerno izbran. Seked 21 palcev bi bil razumljiv, ker je v mejah, v katerih se da varno graditi piramide; poleg tega je razmerje stranic središčnega pravokotnega trikotnika enako 3:4:5 (pitagorejska trojica). Pitagorejske trojiče so uporabljali za določanje pravih kotov pri gradnji piramid (glej sliko 4). Pitagorov izrek so v Egiptu poznali, vendar ga v tistem času niso imenovali tako, ker je moralo preteči več kot 1500 let, da je Pitagora ugledal luč sveta. Celoštevilčni sekedi naklonskih kotov piramid merijo 18, 20, 21, 22 in 24 palcev. V poštev pri gradnji velike piramide prideta sekeda 21 in 22 palcev, manjši so preveč tvegani, večji pa preveč potratni, kar se tiče gradbenega materiala. Vidimo, da izbira ni bila velika. Do začetka gradnje Keopsove piramide ni bilo uspešno dograjene večje piramide s sekedom, manjšim od 22 palcev. Lahko rečemo, da graditelji Keop-sove piramide, vedoč, da gradijo največjo piramido doslej, niso hoteli tvegali in so izbrali seked 22 palcev. Šele po uspehu Keopsove piramide so pri gradnji Kefrenove tvegali seked 21 palcev. Zaključek Želeli smo poudariti, da so graditelji piramid izbirali dimenzije tako, da večinoma ustrezajo čelošte-vilčnemu sekedu, če upoštevamo, da je pri nekaterih potrebno kraljevi komoleč nadomestiti z navadnim. Tudi pri piramidah, pri katerih seked ni čeloštevil-čen, se razmerje med višino in osnovnim robom izraža s kvočientom majhnih čelih števil. Celoštevilčne podatke je preprosteje zapisati v navodila graditeljem. Izbor čeloštevilčnega sekeda pri upoštevanju robnih pogojev, kot sta varčnost pri uporabi materiala in varnost, je zelo omejen. In lahko rečemo, SLIKA4. Konstrukcija pravega kota. 3:4:5. Zgoraj: 3 + 4 + 5 = 12, spodaj: da niso izbrali sekeda 22 palcev zaradi skritega zlatega trikotnika, ampak ker se nahaja v »zlati sredini« kompromisa med varnostjo in varčevanjem. V resnici je graditelje bolj privlačil seked 21 palcev, ker v sebi skriva pitagorejsko trojico, ki so jo brez dvoma poznali. _ xxx www.presek.si Po sledeh neke naloge •j/ •i' Np Jens Carstensen in Alija Muminacič -> Ko se v drugem letniku srednje šole učimo o kvadratni funkciji, običajno srečamo tudi naslednjo nalogo. Naloga 1. Med vsemi pravokotniki z danim obsegom poiščite tistega z največjo ploščino. Rešitev. Višino pravokotnika označimo z x, njegovo širino z y, obseg pa z o. Veljati mora ■ 2x + 2y = o, pri tem pa morata biti x in y takšna, da je ploščina ■ P(x, y) = xy največja možna. Iz 2x + 2y = o sledi y = | (o - 2x) in ploščino lahko zapišemo kot xy = x (o - 2x). Nalogo smo prevedli na določanje maksimuma kvadratne funkčije ■ p(x) = -x2 + 2 x. Vodilni koefičient je negativen in funkčija ima maksimum pri D x b 2a 2■(-1) 4' SLIKA 1. y 1- x — ---J x v/ A y v ločnih enotah kot razmerje dolžine loka in polmera krožniče v = x, zato je l = xty. Privzemimo, daje 0 < v < . Ta privzetek je potreben, da se krožni izsek in pravokotnik ne prekrivata. Obseg lika je enak o = 2x + 2y + xv in od tu sledi y = 1 (o - 2x - x 1, je vodilni koeficient parabole pozitiven in v temenu dobimo minimum plošcine. Zato je maksimum dosežen nekje na robu obmo-cja, torej ali pri x = 0 ali pri x = j+p. V obeh primerih lik na sliki 2 degenerira v krožni izsek s plošcino P vo 2(v + 2)2' Literatura [1] N. Lord, Two surprising maximization problems, The mathematical gazette, november 2013. [2] J. Carstensen in A. Muminagic, En optimering-sopgave, 3, sprejeto v objavo v LMFK-Bladet. _ xxx X o 3 o o Odboj svetlobe in zrcala -i' •i' Andrej Likar Ko iščemo slike, ki jih tvorijo zrcala, ne moremo mimo večkratnih odbojev. Skiciranje, ki smo se ga naučili pri geometrijski optiki, postane precej zapleteno in nepregledno. Zato je smiselno skiciranje prepustiti racunalniku, ki sledi poti posameznim ozkim curkom svetlobe. Seveda pa potrebujemo ustrezen program, ki to omogoca. V prispevku bomo pokazali, kako lahko sorazmerno preprosto tak program napišemo in si s tem mocno razširimo razumevanje zrcalnih sestavov, z majhno prilagoditvijo pa tudi lecjem. Pri sledenju svetlobe skozi prostor si pomagamo z ozkimi curki svetlobe, ki izhajajo iz svetil. Bistvena lastnost curkov je njihova smer, zato vpeljemo »žarke«, to je crte, ki kažejo smer širjenja svetlobe. Pojem žarkov je bil znan že v Starem Egiptu, kjer so Sonce slikali, kot ga slikajo danes otroci, torej z žarki, ki se radialno širijo od Sonca. Na zglajeni površini se svetlobni curek odbije tako, da je vpadni kot a, merjen med curkom in pra-vokotnico p na površino, enak odbojnemu kotu a', ki ga merimo med smerjo odbitega curka in to pra-vokotnico, pri cemer pravokotnica ter vpadni in odbiti curek ležijo v isti ravnini. Smer pravokotnice p curek otipa sam; ko pa curke v skicah nadomestimo z žarki, moramo smer pravokotnice navesti. Pri odboju na zakrivljenih zrcalih je smer pravoko-tnice odvisna od tocke T, ki jo žarek zadene. Pravo-kotnica sovpada s pravokotnico tangentne ravnine v tej tocki. Pri sledenju žarkov moramo torej navesti vpadni žarek, tocko T in pripadajoco smer pravoko-tnice p (glej sliko 1). Sedaj je dolocitev smeri odbitega žarka prav preprosta. Ce pripišemo smeri vpadnega žarka enot- ski vektor kv, smeri odbitega pa enotski vektor ko in smeri pravokotnice enotski vektor p (glej sliko 2), sledi s kvadiranjem zveze ■ kv + xp = ko najprej za velikost razlike vekorjev kv in ko: ■ x = -2kv ■ p . Za vektor odbitega žarka potem dobimo ■ ko = kv - (2kv ■ p) p. Na desni strani te enačbe je vse znano. Žarku potem sledimo takole: žarek od svetlobnega vira korakoma razširjamo in po vsakem koraku preverimo, če je žarek trčil ob ploskev, kjer naj se odbije. Ko ploskev doseže, obrnemo smer žarka skladno z odbojnim zakonom, saj imamo v točki trka vpisan enotski vektor SLIKA 1. Odboj žarka na zakrivljenem zrcalu v točki T. Z zeleno barvo sta označena vpadni in odbiti žarek, ki tvorita s pravokotnico p na tangentno ravnino enaka kota, torej a = a'. PRESEK 42 (2014/2015) 5 13 SLIKA 2. Vpadni in odbojni žarek opremimo z enotskima vektorjema kv in ko, prav tako pravokotnico p z enotskim vektorjem p. Pot do enacbe, ki povezuje vektorja kv in ko, je tako preprosta. SLIKA 3. Realno sliko predmeta, ki leži na temenu spodnjega zrcala, vi dimo, kot da predmet plava v prostoru. Jasno vidimo sliko ko vanca pa tudi kovanec sam na spodnjem delu odprtine. p. V večini primerov zadošča sledenje žarkov v ravnini tako, da so razmere pregledne. Odločiti se moramo še o gostoti mrežnih točk, kjer žarkom sledimo. Pri nas je to mreža s 1000 x 1000 točkami, kamor postavljamo odbojne krivulje. Sedaj je čas, da predstavimo nekaj primerov. Najprej bomo sledili žarkom v znani fizikalni igrači imenovani 3D Mirage, ki na res učinkovit način predstavi realno sliko predmeta. Sliko vidimo hkrati z obema očesoma, vsako oko vidi nekoliko drugačno sliko, celoten vtis pa je, kot da gledamo predmet, ki plava v prostoru (glej sliko 3). Realno sliko tvorita dve parabolični konkavni zrcali, ki sta postavljeni eno proti drugemu, optična os zrčal pa je navpična. Gorišče enega zrcala je v temenu nasprotnega zrcala. Točkasto svetilo, ki ga postavimo v teme spodnjega zrcala, se preslika v gorišče spodnjega zrcala, torej v teme zgornjega. V zgornjem zrcalu je središčna luknja, skozi katero opazujemo realno sliko svetila. Tak sestav zrcal je bil odkrit povsem po naključju pred ne več kot štiridesetimi leti, ko je tehnik fizikalnega oddelka kalifornijske univerze čistil parabolična zrcala protiletalskih reflektorjev iz 2. svetovne vojne. Opazil je prepričljivo realno sliko prašnih delcev na enem od zrcal, ki so bila skladiščena paroma eno proti drugemu. Luknja v zrcalih je bila že izvrtana za obločno luč, s katero so osvetljevali nočno nebo in iskali sovražna letala. Na sliki 4 vidimo žarke, ki se od točkastega svetila na dnu dvakrat odbijejo, preden se zberejo v točki na vrhu, kjer tvorijo realno sliko. Lahko si predstavljamo, da SLIKA 4. Žarki, ki izhajajo iz točke na temenu spodnjega parabolicnega zrcala v igraci Mirage 3D, se zberejo na zgornji strani. Predmet, ki leži na temenu spodnjega zrcala, se preslika na zgornji strani, kjer je v zgornje zrcalo izvrtana luknja. 14 PRESEK 42 (2014/2015) 5 SLIKA 5. Modificirana igrača Mirage 3D, kjer namesto zgornjega parabo ličnega zrcala postavimo ravno zrcalo z luknjo. lahko sliko udobno opazujemo hkrati z obema oce-soma, kar pricara trodimenzionalnost. Seveda bomo videli tudi realno sliko razsežnega predmeta, ki ga postavimo blizu dna sestava. Realna slika je tako prepricljiva, da so gledalci osupli, ko slike ne morejo prijeti. SLIKA 7. »Školjčna« postavitev dveh sferičnih zrcal, ki dajo sliko podobno kot igrača Mirage 3D. Igraco lahko tudi poenostavimo, ce imamo na voljo le eno parabolicno zrcalo. Namesto zgornjega zrcala lahko uporabimo ravno zrcalo z luknjo (glej sliko 5). Ker je igraca patentirana, bi se morda lahko patentni zašciti na ta nacin izognili. Naslednji zgled predstavi kavstiko, to je krivuljo, ki jo valjasto zrcalo naslika pri odboju žarkov, ki izhajajo iz oddaljenega svetila. Kavstike ni težko videti, le pozorni moramo biti nanjo. Najpogosteje jo vidimo na dnu skodelic, na katero posije Sonce. Na sliki 6 smo vzporedne žarke s Sonca obarvali rumeno. Za konec si poglejmo še »školjcno« postavitev dveh zrcal, ki tvorita realno sliko predmeta drugace, kot smo vajeni pri enem konkavnem zrcalu (glej sliko 7). Poskus lahko izvedemo s kozmeticnimi zrcali, ki jih prodajajo v tehnicnih trgovinah s kopalniško opremo. _xxx SLIKA 6. Odbiti žarki iz oddaljenega svetila tvorijo na valjastem zrcalu kavstiko. Vzporedni curek vpadne svetlobe smo ponazorili z rumenimi žarki. www.presek.si www.dmfa-zaloznistvo.si PRESEK 42 (2014/2015) 5 15 ■is ■i' ■i' Nagradna križanka -> Crke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazeč na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 5. maja 2015, ko bomo izžrebali tri nagrajenče, ki bodo prejeli knjižno nagrado. xxx Večkratne sence Nada Razpet -> Ob lepem sončnem vremenu lahko opazujemo sence predmetov. Navadno vsak predmet meče le eno senco. Nas pa tokrat zanima, kdaj lahko na vodoravni podlagi poleg že znane sence opazimo še dodatne sence in od cesa je odvisna njihova dolžina ter lega. Opazovali bomo enojne, dvojne in trojne senče predmeta. Potrebujemo: premično podlago (karton, desko, mizo), risalni list, primeren prostor ob hiši, kjer sta na navpični steni okno in steklena vrata (balkon ali terasa), karton za zaslon, dva manjša predmeta (tulča, kavni skodeliči), lepo sončno vreme. še tretjo senčo predmeta in ponovite opazovanja. Pri iskanju tretje senče si pomagajte s premikanjem lege okenskega krila ali steklenih vrat. Odgovorite še na naslednja vprašanja: ■ Kako ugotovite, ali je v danem trenutku možno videti sekundarni senči? Zakaj lahko dvojne (trojne senče) na vzhodni (zahodni) strani hiše opazujemo le ob določenih urah? ■ Kako veste, katera senča je poslediča absorpčije direktne (sončne) svetlobe in katera absorpčije od okna ali vrat odbite svetlobe? ■ Ali se pri nespremenjeni legi predmeta čez dan spreminjajo lege in dolžine vseh senč? Kako na sekundarni senči vplivata spremenjeni legi steklenih površin? ■ Ali lahko na južni strani hiše opazujemo dvojne in trojne senče ves dan? Naredite simulačijo nastanka senč z enim od prosto dostopnih računalniških programov (npr. z GeoGebro 5). Za opazovanje izberite prostor na balkonu ali terasi, blizu okna ali steklenih vrat. Na premično vodoravno podlago položite risalni list in nanj predmet. Na listu naj bo vidna senča predmeta, imenovali jo bomo primarna senča. Premikajte podlago tako, da se bo na listu pojavila še ena senča. Včasih je potrebno podlago dvigniti in se oknu približati ali od njega oddaljiti. Da bo druga senča (rečimo ji sekundarna senča) vidnejša, zastrite del sončne svetlobe. Opazujte, kako se legi in dolžini senč spreminjata v odvisnosti od časa pri nespremenjeni legi predmeta in steklenih površin. Nato na risalni list postavite še en predmet in opazujte, kakšni sta medsebojni legi primarnih oziroma sekundarnih senč. Poiščite Literatura [1] [2] M. Cepic, Svetlobni (2006/2007), 2, str. 19. zajček?, Presek, 34 M. Cepič, Svetlobni zajček in dvojna senca, Presek, 34 (2006/2007), 3, 20-22. _xxx www.presek.si www.obzornik.si Kratko poročilo o 34. tekmovanju iz znanja fizike za Štefanova priznanja -i' -i' -i' Barbara Rovšek Tudi v šolskem letu 2013/2014 se je tekmovanja iz znanja fizike udeležila približno četrtina generacij učencev 8. in 9. razreda, vseh skupaj je bilo 8687. Vsak tretji udeleženec je osvojil bronasto Štefanovo priznanje, vsak peti pa se je prebil na podrocno tekmovanje, ki je potekalo v 17 regijah po Sloveniji. Od 1737 udeležencev področnega tekmovanja jih je vec kot polovica osvojila srebrno Štefanovo priznanje, vsak šesti udeleženec pa se je uvrstil na državno tekmovanje. Na državnem tekmovanju, ki je potekalo 5. aprila 2014 na Pedagoški fakulteti v Ljubljani, Fakulteti za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru ter Osnovni šoli Šturje v Ajdovšcini, je tekmovalo 299 ucencev, od katerih jih je 109 osvojilo zlata priznanja. Državno tekmovanje se je odvijalo nekoliko dru-gace kot v preteklih letih. Celo preizkušnjo smo skrajšali s 180 minut na 160 minut, pa še nekaj casa za menjave skupin smo prihranili. Poleg tega je bila eksperimentalna naloga, ki jo je reševal vsak tekmovalec 80 minut, ena sama, pa zato malce obsežnejša (in proti koncu tudi bolj zapletena). Osmošolci so pri eksperimentalni nalogi raziskovali prehod svetlobe skozi planparalelno plošcico, devetošolci pa so v vodo potapljali dva valja in se ukvarjali z vzgonom. Kljub težkim nalogam smo, kot vedno, dobili zmagovalce. Čestitamo vsem tekmovalcem, nagrajencem ter njihovim mentorjem in mentoricam pa še posebej! V 8. razredu je prejelo nagrade osem učencev: 1. nagrada ■ Klemen Bogataj, OŠ Poljane, Ljubljana, mentor Edi Bajt; ■ Jon Judež, OŠ Šmihel, Novo mesto, mentorica Milena Košak. 2. nagrada ■ Marko Cmrlec, OŠ Dobrepolje, mentorica Renata Pelc; ■ Juš Mirtic, OŠ Trzin, mentorica Jana Klopcic. SLIKA 1. Med državnim tekmovanjem v Ljubljani. 3. nagrada ■ Žiga Trcek, OŠ dr. Ivana Korošca Borovnica, mentorica Simona Trcek; ■ Miha Radež, OŠ Otocec, mentorica Andreja Grom; ■ Gašper Lotrič, OŠ Predoslje Kranj, mentorica Erna Fajfar; ■ Maša Krašovec, OŠ Prežihovega Voranca, Ljubljana, mentorica Polonca Štefanic. V 9. razredu je prejelo nagrade osem učencev: 1. nagrada ■ David Opalič, OŠ Šmarje pri Jelšah, mentorica Martina Petauer. 2. nagrada ■ Luka Jevšenak, OŠ Mihe Pintarja Toleda, Velenje, mentor Dejan Zupanc; ■ Gašper Jalen, OŠ Antona Tomaža Linharta, Radovljica, mentor Jože Stare; ■ Martin Rihtaršič, OŠ Ivana Groharja, Škofja Loka, mentorica Majda Jeraj. 3. nagrada ■ Luka Govedič, OŠ Pohorskega odreda, Slovenska Bistrica, mentor Valentin Strašek; ■ Natan Dominko Kobilica, OŠ Trnovo, Ljubljana, mentorica Dulijana JuriCic; ■ Gregor Kikelj, OŠ Drska, mentorica Katja Peca-ver; ■ Filip Rutar, OŠ narodnega heroja Maksa Pečarja, Ljubljana, mentor Bojan Mlakar. Razpis tekmovanja za novo šolsko leto, v katerem so zapisane vsebine tekmovanja, pravilnik tekmovanja in bilten 34. državnega tekmovanja, kjer najdete tudi naloge s tekmovanja z obširnimi rešitvami, so objavljeni na spletnih straneh DMFA Slovenije, http://www.dmfa.si/fi z_OS/. SLIKA 2. Nagrajenci 34. tekmovanja osnovnošolcev za Štefanova priznanja na prireditvi Bistroumni 2014 v Cankarjevem domu v Ljubljani (foto: Jan Šuntajs). _ xxx 20 PRESEK 42 (2014/2015) 5 Odprave na Mars \|/ \|/ s|/ Tadeja Veršiš Rdeči planet trenutno gosti že četrto ameriško robotizirano vozilo Curiosity. Pred prihodom prvih sond in satelitov so ljudje razmišljali in verjeli v obstoj življenja ter vode na našem najbližjem sosedu - Marsu. Od obiska prvih sond se je to mnenje močno spremenilo. Na Mars smo poslali več satelitov in sond, v tem prispevku pa so omenjeni samo najpomembnejši med njimi. Planet, ki v Osončju še najbolj spominja na našo domačo Zemljo, je leta 1965 prva, za zelo kratek čas, pobližje pogledala vesoljska sonda Mariner 4. Pomembno izhodišče za nadaljnje misije na Mars, predvsem za pristanek robotiziranih sond, je postavil satelit Mariner 9. Izstreljen šest let po svojem najuspešnejšem predhodniku je v manj kot letu dni posnel skoraj celotno površje planeta. Potrdil je, da planet nima tekoče vode in kompleksnih oblik življenja. Odkritje ogromnega kanjona Valles Marineris, ki se razteza čez dobršni del planeta in spominja na veliko brazgotino, je razkrilo, da je bil Mars nekoč geološko prečej aktivnejši. Danes njegovo pokrajino spreminjajo samo še številni meteoriti in vetrna erozija. Mariner 9 je tlakoval pot za odhod robotiziranih sond in satelitov, in sicer Vikinga 1 in Vikinga 2 v 70-ih letih prejšnjega stoletja. Ko sta se sondi utirili v orbiti okoli Marsa, sta na njegovo površje spustili nepremicni sondi. Le-ti sta opravili podrobne bioke-micne analize površja planeta ter nam vrsto kakovo- SLIKA1. Mars z velikim kanjonom Valles Marineris (Vir: NASA) stnih orbitalnih posnetkov posredovali. Na njih je bilo ocitno, da kompleksnega življenja ni, kar ne iz-kljucuje možnosti obstoja mikroskopskega življenja. Znanstvenike je zanimalo, ali je po površju Marsa kdaj tekla voda. Zaradi svoje pomembnosti za življenje na Zemlji je namrec obstoj tekoce vode dobra izhodišcna tocka za nadaljnje raziskave. Posnetki iz orbite so nakazovali veliko število geoloških struktur, podobnim suhim recnim strugam. S prekinitvijo radijske zveze s sondo Viking 1 na površju planeta leta 1982 se je ta program dokoncno zakljucil brez dokazov o obstoju življenja na Marsu. Kljub temu sta satelita Viking 1 in Viking 2 v orbiti in sondi na površju podkrepili predstavo o nekoc tekoci vodi na Marsu. -> SLIKA 2. Modeli roverjev Sojurner, Spirit in Opportunity ter Curiosity prikazujejo razvoj teh robotiziranih mobilnih fotografov, geologov in popotnikov, ki so jih pri NASI poslali na Mars. (Vir: NASA) Pristajalna dela sond Viking se nista premikala po površju Marsa. Prva mobilna sonda se je po Marsu zapeljala šele leta 1997. Sojurner, ki ga je do Marsa pripeljalo pristajalno plovilo Pathfinder, je raziskoval kamnine v neposredni bližini kraja pristanka. Predvsem pa je bil namen misije preizkušanje vzdržljivosti opreme za nadaljnje mobilne raziskovalne sonde na Marsu. V nadaljnjih podvigih na Mars sta izjemen uspeh poželi Nasini dvojčici Spirit (Duh) in Opportunity (Priložnost). Vozili sta pristali na nasprotnih straneh Marsove oble v začetku leta 2004 in daleč presegli predviden čas misije. Načrtovan čas delovanja posameznega roverja je bil 90 solov - marsovskih dni, kar je približno 92 zemeljskih. Medtem ko se Opportunity po več kot 3800 solih in 39 prevoženih kilometrih še vedno vztrajno premika, se je Spirit pred petimi leti na žalost ujel v mehke sedimente in se zagozdil. Po 2208 solih delovanja in osem prevoženih kilometrih se sonda Spirit ni več oglasila na kliče in ukaze svojih skrbnikov na Zemlji. Podobno kot veliko pomembnih odkritij je tudi sonda Spirit v času svojega delovanja po naključju razkrila plasti siliči-jevega dioksida v obliki opala tik pod površjem, in sicer medtem ko so jo operaterji na Zemlji reševali iz mehke prsti. Zakaj je to tako veliko odkritje? Opal je poseben mineral iz silicijevega dioksida z visoko vsebnostjo vode in lahko nastane samo ob njeni prisotnosti, kar dokazuje, da je po Marsu nekoc tekla voda. Sestrski robotek Opportunity je med tem na drugi strani Marsa na planoti Meridiani Planum naletel na sedimentno kamnino hematit, ki prav tako na Zemlji nastaja večinoma v tekoci vodi. Znanstveniki predpostavljajo, daje to planoto nekoč pokrivalo kot Baltik veliko morje. Količine nekaterih ključnih mineralov v vzorcih kamnin, ki jih je analizirala sonda Spirit, so ostanek toplejšega in bolj vlažnega obdobja v zgodovini rdecega planeta. Sondi pa sta odkrili še vec; na robu kraterja Endurance je Opportunity naletela na plast gline, ki nastaja v za življenje prijaznejši, pH nevtralni vodi. Glavni namen preteklih misij je bilo iskanje znakov tekoce vode na površju Marsa, ki je kljucna za življenje na Zemlji. Uspehi misij, kot sta Opportunity in Spirit, so pripomogli, da so pri nacrtovanju roverja Curiosity, ki je na Mars poletel 26. novembra 2011, dodali instrumente za iskanje primitivnih oblik življenja. Ta novi robotek tako preverja mo- 22 PRESEK 42 (2014/2015) 5 SLIKA 3. Sled, ki jo je za seboj na Marsu pustil Opportunity. (Vir: NASA) žnost Človeških misij na tem planetu. Pri izbiri geološko najzanimivejšega območja za pristanek najnovejšega prebivalca Marsa je ključno vlogo, skupaj s predhodniki, odigral tudi Marsov satelit - Mars Reconnaissance Orbiter, ki se je okrog planeta utiril marca 2006 in nam od takrat posredoval neprecenljive posnetke. Z nežnim pristankom na Marsu 6. avgusta 2012 se je zakljucil prvi del potovanja roverja Curiosity. Za razliko od dvojcic Spirit in Opportunity Curiosity ne uporablja soncnih celic za proizvodnjo elektricne energije. Ima majhno jedrsko elektrarno, ki polni baterije in zagotavlja dovolj energije za delovanje vseh znanstvenih instrumentov ter kamer. Tako tudi vec tednov trajajoci pešceni viharji sonde ne ovirajo pri raziskovanju. Za kraj pristanka so znanstveniki izbrali krater Gale, saj so sateliti v orbiti okrog Marsa pokazali, da je to obmocje polno raznovrstnih sedimentov. To ro-verju omogoca dostop do plasti, nastalih v razlicnih obdobjih na Marsu. Cilji misije so med drugim iskanje znakov življenja, dolocanje geološke sestave površinskih kamnin, dolocanje ciklov kroženja vode in ogljikovega dioksida na planetu ter preverjanje sevanja na površju, slednje predvsem zaradi prihodnjih cloveških odprav na ta Zemlji najbližji planet. Po uspešno zakljuceni prvotni dvoletni misiji so upravljanje roverja podaljšali za nedolocen cas. Med nje- gova najpomembnejša odkritja sodi odsotnost metana v Marsovi atmosferi. Ta plin proizvajajo organizmi in ga Sonceva svetloba hitro unici, zato bi sledi metana nakazovale na obstoj življenja. Zaradi odsotnosti magnetnega šcita je rover tudi zaznal povišane vrednosti sevanja, ki bi lahko predstavljale oviro za cloveške odprave. Prav tako so posneli sledove vodne erozije na skalah okrog kraterja: še en dokaz o obstoju tekoce vode na Marsu. Septembra 2014 pa je robot prvic zbral vzorce kamnine iz Marsove gore. Z vgrajenim svedrom je zvrtal vzorce in potrdil vsebnost mineralov, ki jih je opazil že satelit Mars Reconnaissance Orbiter. Tako so se znanstveniki prepricali o pravilnosti analiz fotografij satelita. Septembra lani sta se okrog Marsa uspešno utirila indijski raziskovalni orbiter in satelit MAVEN pod okriljem NASE. Cilj slednjega je spremljanje vremena na planetu in iskanje mehanizmov, odgovornih za postopno izgubo površinskih voda. V preteklih štirih desetletjih so posnete fotografije prikazale Mars kot hladen, kamnit in suh planet z rožnatim nebom. Vzorci tal so razkrili ostanke aktivne vulkanske preteklosti in obdobje pogostih padcev meteoritov ter znake mocnih povodnji. Z vsako novo misijo izboljšani tehnološki dosežki odpirajo podrobnejši pogled v zgradbo Marsa in v njegovo preteklost. _ xxx PRESEK 42 (2014/2015) 5 23 Preslikava tekstur na enostavne 3D objekte vp •i' vp Peter Žnuderl Na racunalniku, telefonu, tablici in drugod se vsakodnevno srecujemo s 3D modeli, npr. pri ra-cunalniških slikah, igricah, programih. Vsi ti modeli so sestavljeni iz osnovnih geometrijskih likov - najpogosteje trikotnikov. Vendar bi sami po sebi bili zelo dolgocasni, ce ne bi imeli teksture (informacije o barvi, pa tudi senc, obliki površine) in osvetlitve. V tem clanku si bomo pogledali nekaj nacinov, kako na 3D objekte dodajamo teksture. Teksture so 2D objekti - slike, 3D modeli pa v 3D prostoru definirani liki; tako nastane problem predstavitve 2D slik na 3D objektih. Obstaja več načinov preslikave 2D tekstur na objekte. V tem članku jih bomo omenili, posvetili pa se bomo enostavnejšim preslikavam na valje in krogle. Že za to pa bo potrebno nekaj znanja matematike. Računali bomo v radianih in uporabljali kotne funkčije ter sistem enačb z več neznankami. Kako preslikavamo teksture? Poznamo več načinov preslikave. Preslikava naprej in preslikava nazaj sta najbolj enostavni preslikavi uporabni za enostavne ploskve, npr. za kvadre, valje in krogle. Pri preslikavi naprej je postopek sledeč: vsak pi-ksel teksture preslikamo na objekt in objekt preslikamo na zaslon. Prvi korak imenujemo parametriza-čija, drugega pa projekčija. Nato sledi še t. i. antialiasing, da slika nima žagastih robov ali lukenj v teks-turi. Pri preslikavi nazaj računamo v obratni smeri. Za vsak piksel na zaslonu nas zanima, kateri del 3D objekta prikazuje in kateri del teksture leži na tistem delu objekta. SLIKA 1. 3D objekt (desno spodaj), teksture (levo spodaj) ter kompozicija istega objekta s teksturo in osvetlitvijo (na sredini) Parametrizacija Posvetili se bomo prvemu koraku preslikave naprej, to je parametrizačiji. Parametrizačija je podana z enačbami. Poznamo dimenzije teksture ter dimenzije objekta in podamo enačbo, po kateri lahko katero koli točko teksture preslikamo na pravilni del objekta. Enostavneje povedano, podali bomo enačbo, kako obleči teksturo na objekt. Preslikava s pomočjo ravnine. Parametrizačijo lahko zelo poenostavimo, če pri njej ne upoštevamo koordinate z oziroma globine. Tako imajo vsi elementi z enakima koordinatama x in y tudi enako barvo, ne glede na to, ali se nahajo spredaj ali zadaj ali kje vmes. To pomeni, da povsod na stranskih površinah, razen povsem spredaj in povsem zadaj, dobimo črtast vzoreč (glej sliko 2). Takšna preslikava je ravninska, saj si lahko predstavljamo, da slikamo teksturo tako, kot da bi jo obsijali iz ene ravnine. Preslikava s pomočjo valja. Drugi nacin je parame-trizacija s pomocjo valja. Namesto ploskve tu teks-turo oblecemo na valj in nato prežarcimo objekt z valjem. Predstavljajmo si, da vsak del valja oddaja svetlobo, proti objektu znotraj valja. Strani objekta tako dobijo pravilnejšo teksturo, vrh pa je še vedno precej spremenjen (glej sliko 3). Preslikava s pomocjo krogle. Pri preslikavi s pomocjo krogle lahko posebej dolocamo teksturo vsakega dela objekta (pri preslikavi z valjem sta zgornja in v -si fj J^m l. m J» SLIKA 3. Objekti po preslikavi s pomocjo valja spodnja ploskev preprosto iste barve kot zgornji oziroma spodnji del piksla na strani). Prihaja pa do popacitev na straneh pri oglatih površinah (glej sliko 4). Preslikava na valj Valj je precej preprosto dolociti, saj gre pravzaprav le za zvit pravokotnik. Tako je koordinato v teksture (višino) potrebno le pomnožiti z razmerjem višine teksture ter višine valja in rezultat je y koordinata valja. Iz razmerja med širino teksture in velikostjo kota dela valja, na katerega želimo nanesti teksturo, pa lahko izracunamo prostorske % in z koordinate. Koordinatni sistem teksture izberemo tako, da je višina teksture enaka 1 in širina teksture prav tako 1. V tem primeru preprosto preracunamo y koordinato po formuli y = v ■ h, pri cemer je h v koordinata tocke P, ki jo želimo preslikati. Koordinato % preracunamo po formuli % = r ■ sin(2^ ■ u), z pa po formuli z = r ■ cos(2n ■ u). v = višina teksture u = širina teksture % = širina valja y = višina valja z = globina valja r = polmer valja PRESEK 42 (2014/2015) 5 25 Primer. Preslikave tocke P iz teksture v tocko P' na valju. Podatki: višina valja h = 2 ■ v polmer valja r = 1 P(0,2,0,6) ■ P' y = v ■ h P'y = 0,6 ■ 2 = 1,2 P'x = r ■ sin(2n ■ u) P'x = 1 ■ sin(2n ■ u) = 0,95 P' z = r ■ cos(2n ■ u) P'z = 1 ■ cos(2n ■ u) = 0,31 Rezultat: P'(0,95, 1,2, 0,31) Preslikava na kroglo Objekt je podan s sfericnima koordinatama $ in 0 (navpicni in horizontalni kot): ■ 0 = f(u,v), $ = g(u,v). Ce sta f in g funkciji enega parametra, lahko zapišemo enacbi kot: ■ 0 = au + b, $ = cv + d. Imamo dve enacbi s štirimi neznankami in štiri raz-licne tocke. v 1 u P(u,v) v 0 0,25 0,5 0,75 Vedeti moramo kam bomo vpeli štiri tocke teks-ture na objekt. Lahko so štiri oglišca pravokotne teksture, lahko pa so to poljubne tocke znotraj. Ce vemo, kam želimo postaviti te štiri tocke, lahko z vstavljanjem 0 in $ ter u in v dobimo enacbi, s katerimi lahko izracunamo pozicijo katerekoli tocke na krogli. Za preracunanje pozicije tock iz sfericnih koordinat $ in 0 v koordinate x, y, z, to storimo z naslednjimi enacbami: ■ x = r sin 0 sin$, y = r cos $, z = r cos 0 sin$. Primer. Dani sta enotska tekstura (slika 7) in del krogle, na katero jo želimo preslikati (slika 8). V zgoraj navedeni enacbi za izracunanje formul za pridobivanje sfericnih koordinat vstavimo podatke: 1. Za tocki A in A' (u = 0,v = 0) (0 = 0, $ = n/2). 2. Za tocki B in B' (u = 1,v = 0) (0 = n/2, $ = n/2). 3. Za tocki C in C (u = 0,v = 1) (0 = 0, $ = n/4). 4. Za tocki D in D' (u = 1,v = 1) (0 = n/2, $ = n/4). y a h P4 P1 P2 P3 P4 u SLIKA 5. Tekstura v 2D koordinatnem sistemu SLIKA 6. Valj v 3D koordinatnem sistemu 1 Izračunamo a, b, c in d ter jih vstavimo v splošni formuli. Dobili smo formuli za izracun sfericnih koordinat za ta primer. 1. 4. Vstavimo podatke tock A in A': 0 = au + b 0 = a • 0 + b b = 0 $ = cv + d n/2 = c • 0 + d d = n/2 Vstavimo podatke tock B in B': 0 = au + b n /2 = a • 1 + 0(Iz prejšnjega racuna vemo, da je b = 0.) a = n/2 $ = cv + d n /2 = c • 0 + n/2 (Iz prejšnjega racuna vemo, da je d = n/2.) ■ n/2 = n/2 (c smo množili z 0, zato ga bomo morali pridobiti iz drugih racunov.) Vstavimo podatke tock C in C': ■ 0 = au + b (Ni vec potrebno racunati, saj že poznamo vse spremenljivke iz te enacbe.) ■ $ = cv + d ■ n/4 = c • 1 + n/2 (Iz prejšnjega racuna vemo, da je d = n/2.) ■ c = -n/4 Za tocko D nam ni potrebno racunati, saj smo že iz prvih treh enacb pridobili vse potrebne podatke. v D C u - Sedaj lahko za poljubno tocko P izracunamo položaj na krogli tako, da vstavimo koordinate iz teks-ture v spodnji formuli: ■ 0 = (n/2)u, $ = (-n/4)v + n/2. Po formulah za preracunanje y in z koordinat iz $ in 0 lahko te iste koordinate preracunamo še za xyz koordinatni sistem. Primer. Naj bo v našem primeru r = 3 in racunamo položaj tocke P', pri cemer se tocka P teksture nahaja na P(0,75,0,5). ■ x = r sin 0 sin $ y = rcos$ z = r cos 0 sin $. 0 = (n/2)u = n/2 • 0,75 = 3n/8 $ = (-n/4)v + n/2 = (-n/4) • 0,5 + n/2 = = 3n/8 ■ P' x = r • sin 0 • sin $ P'x = 3 • sin(3n/8) • sin(3n/8) P'x = 3 • 0,92 • 0,92 P'x = 2,54 ■ P' y = r • cos $ P'y = 3 • cos(3n/8) P'y = 3 • 0,38 P'y = 1,14 0 = n/2 00 A B $ = n/2 SLIKA 7. Enotska tekstura SLIKA 8. Del krogle, na katero slikamo teksturo. 2 3 raču n a l ništvo ■ P 'z = r ■ cos 0 ■ sin $ P 'z = 3 ■ sin(3n/8) ■ cos(3n/8) P 'z = 3 ■ sin(3n/8) ■ cos(3n/8) P 'z = 3 ■ 0,92 ■ 0,38 P 'z = 1,05 Rezultat: P'(2,54, 1,14, 1,05) Zaključek Preslikava na kvader, valj ali kroglo je prvi korak lepljenja tekstur na objekte v računalništvu. Namen te-kstur je, da računalniško izdelanim objektom dodajo več podrobnosti; virtualne stvaritve tako po izgledu približajo naravnim. Brez tekstur bi si težko predstavljali videoigre, animirane filme, 3D kompozicije; predmeti bi namrec delovali togo in plasticno, saj povsem gladkih, enobarvnih površin v realnem svetu ne najdemo. Racunalniški svet bi tako bil mnogo manj privlacen in raznovrsten, kot je sedaj. Literatura [1] http://www.sharecg.com/v/52192/ related/5/3D-Model/Fuel-Can, dostopano: 16. 3. 2015. [2] http://escience.anu.edu.au/lecture/cg/ Texture/pri ntNotes.en.html, dostopano: 16. 3. 2015. [3] N. Guid, Skripta predmeta Racunalniška animacija, 2014. [4] http://escience.anu.edu.au/lecture/cg/ Texture/pri ntNotes.en.html, dostopano: 16. 3. 2015. [5] http://en.wiki pedi a.org/wi ki/Texture_ mapping, dostopano: 16. 3. 2015. _ xxx www.dmfa-zaloznistvo.si Barvni sudoku V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati zacetna naravna števila od 1 do 8 tako, da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. O v o □ O m > a < 00 > m * £ a 2 3 1 3 5 8 .............. 4 4 1 7 8 6 4 2 4 6 5 2 2 L 5 E 8 L 6 4 L 8 17 9 2 S L E 4 6 Z 8 E L 7 S E S L 1 9 4 8 Z 8 E L L 17 Z 8 5 3 9 L S 4 9 Z L 9 Z 8 S L E 17 1 L L 3 17 S 9 2 8 www.presek.si xxx Astronomska literatura Ob mednarodnem letu astronomije smo na enem mestu zbrali vse publikacije s področja astronomije, ki so na voljo pri DMFA-založništvu. Govert Schilling in Lars Lindberg Christensen OČI, ZAZRTE V NEBO 400 let odkritij s teleskopi 136 strani format 17 x 24 cm trda vezava, barvni tisk 24,99 EUR Dintinjana, Fabjan, Mikuž, Zwitter NAŠE NEBO 2015 Astronomske efemeride 84 strani format 16 x 23 cm mehka vezava 10,00 EUR Poleg omenjenih dveh ponujamo še veliko drugih astronomskih del. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite: http://www.dmfa-zalozni stvo.si/astro/ Individualni naročniki revije Presek, Člani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob naroČilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553. vu su vu REŽ ITEV NAGRADNE KRIŽ ANKE PRESEK 42/4 Pravilna rešitev nagradne križanke iz Četrte številke 42. letnika Preseka je Deformacija. Izmed pravilnih rešitev so bili izžrebani Oscar Križanec iz Ptuja, Tanja Zanjkovic iz Ljutomera in Martin Avguštin iz Dolenjskih Toplic, ki so razpisane nagrade prejeli po pošti. _ xxx Senca plamena nu nu nu Aleš Mohorič zz. V prejšnji številki smo objavili fotografijo prižgane vžigalice in njene sence; na senci smo pogrešali senco plamena. To enostavno pojasnimo, saj je plamen redek kot plin in ne absorbira ali odbije svetlobe, kot jo absorbirajo in odbijajo trdna, neprozorna telesa. V spremnem besedilu smo tudi opozorili, da svetloba iz svetilke vendarle ne prepotuje plamena popolnoma neovirano. Plamen je vroc in segreje tudi zrak v okolici. Vroc zrak se zaradi naravne konvekcije dviga v stebru nad plamenom. Steber vročega zraka nad plamenom je raven in približno valjaste oblike, ce je zrak v okolici plamena miren. Zrak se premeša že ob najmanjšem pišu; dovolj je že, da se sprehodimo dovolj blizu. Širine stebra ne moremo enostavno dolociti, saj meja med vrocim, dvigajocim se zrakom in hladnejšim, mirujocim zrakom v okolici ni ostra. Vseeno pa premer stebra lahko ocenimo na kak centimeter ali dva, tako kot je opisano v nadaljevanju. Naredimo fotografijo (slika 1) plamena svece in njegove sence, ki nastane tako, da skozi plamen posvetimo s svetlo in majhno svetilko. Svetilka mora biti majhna, da bo senca karseda ostra. Podobno senco bi lahko opazili tudi ob soncni svetlobi, vendar bi imela tedaj senca manj oster in manj izrazit rob, ker Sonce ni tockasto svetilo. Senca, ki nastane na zaslonu (v našem primeru kar na zidu), razkriva plamen in steber vrocega zraka, torej vec, kot nam razkrije pogled naravnost v plamen. Tedaj namrec stebra vrocega zraka ne vidimo. SLIKA 1. Goreca sveca in njena senca na zidu. Senca nastane zato, ker je pred sveco postavljena majhna svetilka, usmerjena proti zidu za sveco. Opticne lastnosti prozorne snovi, kot je vroc zrak, opišemo z lomnim kvocientom. Ta je enak razmerju med hitrostjo svetlobe v vakuumu in hitrostjo svetlobe v snovi. Lomni kvocient je vedno vecji od ena, saj svetloba v snovi potuje pocasneje kot v praznem prostoru. Lomni kvocient zraka je zelo blizu 1 in izkaže se, da je v prvem približku razlika od ena kar sorazmeren gostoti zraka: n - 1 oc p. Iz plinske enacbe pV = M^T sledi, da je gostota plina obratno sorazmerna s temperaturo plina in odstopanje lomnega kvocienta od ena je obratno soraz- 30 PRESEK 42 (2014/2015)5 merno s temperaturo: n - 1 oc 1. Zrak ima pri temperaturi T0 = 15 °C (to je 288 K) lomni kvoci-ent enak 1,00028. Pri tem zanemarimo odvisnosti lomnega kvocienta od valovne dolžine svetlobe. Lomni kvocient zraka pri normalnem zračnem tlaku in poljubni temperaturi, pri kateri še velja približek idealnega plina, približno izračunamo z izrazom [1, 2]: n(T) = 1 + 28 ■ 10-5 T . Pri visoki temperaturi (v stebru vročega zraka nad plamenom sveče lahko doseže tudi vec sto stopinj Celzija) je lomni kvocient zraka manjši kot v zraku pri sobni temperaturi. Steber dvigajocega se vrocega zraka ima zato podobno vlogo kot razpršilna cilindricna leca. Snop žarkov iz majhne svetilke, ki vpadajo na steber vrocega zraka, se razprši približno tako, kot kaže slika 2. Žarki, ki potekajo skozi steber, se razklonijo in zato ima senca stebra na zaslonu temnejši del v sredini. Žarki, ki se razklonijo na robu stebra, se na zaslonu sekajo z žarki, ki potujejo mimo stebra, zato ima senca svetlejši rob. Širina sence na zaslonu je odvisna od lege svetilke, lege zaslona ter velikosti in temperature plamena. Razlike v osvetljenosti sence so majhne, zato senco na fotografiji bolje vidimo, ce povecamo kontrast. Tedaj postane bolj izrazit tudi šum. Izsek sence s poudarjenim kontrastom kaže slika 3. steber vrocega zraka svetilka senca na zaslonu plamen SLIKA 2. Steber vrocega zraka nad sveco deluje kot razpršilna cilindrična leca in razprši žarke iz svetilke tako, da na zaslonu nastane temnejša senca stebra s svetlejšim robom. Na opisani nacin lahko s fotografiranjem senc proučujejo konvekcijski tok v prozorni tekocini, Macho-vo valovno celo ali pa tok v okolici telesa, ki ga obliva tekocina (aero-, hidrodinamika). Z rezultati opazovanj lahko nacrtujemo tehnološke izboljšave, npr. kako oblikovati vesoljsko sondo, da bo med vstopom v atmosfero njen let bolj stabilen [3]. Literatura [1] P. E. Ciddor, Refractive index of air: new equations for the visible and near infrared, Appl. Optics 35 1996, 1566-1573. [2] http://emtoolbox.ni st.gov/Wavelength/ Documentation.asp, dostop 25. 3. 2015. [3] http://commons.wi kimedia.org/wi ki/ File:Shadowgraph_Images_of_Re-entry_ Vehi cl es_-_GPN- 2000-001938. j pg, dostop 25. 3. 2015. SLIKA 3. Senco plamena vidimo fotografiji. bolje, Ce povecamo kontrast na XXX PRESEK 42 (2014/2015)5 31 Zgodovina znanosti v stripu Sredi decembra 2012 je Center za mladinsko književnost in knjižničarstvo pri Mestni knjižnici Ljubljana že tretjič podelil priznanja Zlata hruška. Z njimi so tokrat odlikovali kakovostno najboljših deset odstotkov otroške in mladinske književnosti, ki je izšla v letu 2011. DMFA-založništvo je priznanje prejelo za strip Življenja Marie Curie. Švicarski avtor Raphaël Fiammingo, s kratkim umetniškim imenom Fiami, v tem stripu večjega formata duhovito predstavlja nekaj izsekov iz zgodovine kemije, od Aristotela do današnjega Casa. V vsakem razdelku nastopa dekle ali ženska, katere ime je razliCica imena Marija, v Cast veliki znanstvenici Marie Curie. Zgodbice ilustrirajo tudi vlogo žensk v raznih zgodovinskih obdobjih. Predvsem pa so zabavne in obenem poucne, saj zvemo marsikakšno zanimivo podrobnost o nastanku znanstvenih odkritij. Med najbolj posrecenimi je zgodbica o Mendeljejevu in njegovem sestavljanju periodnega sistema elementov. Tudi druge pripovedi ne zaostajajo. Knjigo je odlicno prevedel prof. dr. Alojz Kodre. 7,68 EUR 7,68 EUR 8,31 EUR Pri DMFA-založništvo sta v Presekovi knjižnici izšli še dve knjigi istega avtorja • Galilejeva življenja, z zgodbami iz zgodovine astronomije, od Babiloncev do danes, ter • Einsteinova življenja, z zgodbami iz zgodovine fizike, vse od Sokrata do danes. Ta dva stripa je prav tako izvrstno prevedel Alojz Kodre. Sta enako zanimiva, zabavna in poucna in bosta bralcu brez dvoma polepšala dan. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematicna, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše predstavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi narocite: http://www.dmfa-za1ozni stvo.si/ Individualni narocniki revije Presek, clani DMFA Slovenije, dijaki in študentje imate ob narocilu pri DMFA-založništvo 20 % popusta na zgornje cene - izkoristite ga! Dodatne informacije lahko dobite v uredništvu Preseka po telefonu (01) 4766 553.