α Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 005-019 Σ Povzetek V prispevku je opisan primer medpredmetne povezave med matematiko in likovno umetnostjo z uporabo programa za di- namično geometrijo. Predstavljeni sta dve šolski uri, v katerih so dijaki hkrati z učenjem osnovnih geometrijskih pojmov in zakonitosti usvojili tudi osnove dela z Geogebro. V samem član- ku je opisan tudi primer ustvarjalne domače naloge, ki je pove- zala matematiko z likovno umetnostjo. Ogledate si lahko delov- ni list za dijake in nekaj najzanimivejših slik, ki so jih ustvarili. Ključne besede: Geogebra, program za dinamično geometri- jo, geometrija, geometrijski objekti, umetniške slike, ustvar- jalnost, medpredmetne povezave Geogebra v šoli Klara Pugelj Srednja šola Veno Pilon Ajdovščina Geogebra in the school Σ Abstract The article describes an example of intercurricular cooperation between mathematics and fine arts, which was carried out with the usage of a program for rendering dynamic geometry. We pre- sent two lessons with help of which pupils, learning the basics of geometrical concepts and laws, managed to learn the basics of how to work with Geogebra at the same time. The article also de- scribes an example of creative homework, which is connected to mathematic as well as to fine arts. Keywords: Geogebra, program for dynamic geometry, geome- try, geometrical objects, paintings, creativity, inter-subject co- operation Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 075-083 Matematika v družboslovnih vedah 076 a Uv od Uporaba tehnologije je danes sestavni del vsakdanjega življenja, zato mora šola poskr- beti, da se dijaki usposobijo za njeno upo- rabo. Informacijsko-komunikacijska teh- nologija je med drugim sredstvo za razvoj matematičnih pojmov, omogoča pa tudi, da dijaki razvijajo svoje ideje. Tako lahko s po- močjo ustreznega računalniškega programa, kot je na primer Geogebra (program za dina- mično geometrijo), medpredmetno poveže- mo matematiko in likovno umetnost. Kot pripravnica za matematiko na Gim- naziji Vič sem se skupaj s svojo mentorico Nives Mihelič Erbežnik, profesorico za ma- tematiko na Gimnaziji Vič, odločila, da di- jakom prvega letnika predstavim ta program in jih spodbudim k razvijanju kreativnosti z domačo nalogo, ki bo osmislila matematično vsebino in povezala matematiko in umet- nost. b Prvo srečanje z geogebro Z mentorico sva timsko izvedli dve šolski uri, pri katerih so dijaki v parih, vsak par na svojem računalniku, spoznali osnove upo- rabe Geogebre. Obe učni uri sem vodila jaz, mentorica pa mi je bila pri tem v pomoč. Za dijake sem pripravila naslednji učni list: [Slika 1] Avtor Žiga Smrekar Geogebra v šoli 077 GEOMETRIJA V GEOGEBRI – učni list Geogebra je prosto dostopen program za dinamično geometrijo. Najdemo ga na spletni strani www.geogebra.org. 1.naloga: Osnovni geometrijski pojmi a) Nariši tri nekolinearne točke. b) Nariši tri kolinearne točke in premico, na kateri ležijo te tri točke. c) Narisani premici nariši vzporednico in pravokotnico skozi točko, ki ne leži na tej premici. Če kliknemo z desnim miškinim gumbom na geometrijski objekt, ga lahko skrijemo, pri- kažemo ali skrijemo njegov opis, vklopimo sled objekta, ga preimenujemo, zbrišemo ali mu spremenimo katero od lastnosti. d) Spremeni lastnosti narisanih točk in premic: pravokotnico odebeli in pobarvaj rdeče, pri narisanih točkah uporabi za slog krogec rdeče barve velikosti 5, vzporednico po- barvaj modro in uporabi slog črtkano. e) Nariši poltrak in ga poimenuj h. f) Nariši daljico UV in odčitaj njeno dolžino. g) K daljici UV načrtaj skladno daljico. 2. naloga: Krožnica in krog Nadaljujmo risanje v novem oknu, v katerem vključimo vidnost koordinatnih osi in ko- ordinatne mreže. a) Nariši krožnico s središčem v točki S(1, 2) in polmerom 4. b) Nariši tri premice k tej krožnici: sekanto, tangento in mimobežnico. c) Nariši še tetivo skozi dve točki na krožnici. d) Izračunaj dolžino narisane tetive, obseg krožnice in ploščino kroga, ki ga krožnica omejuje. e) V novem geometrijskem oknu nariši naslednji dve krožnici: - krožnico c s središčem v točki A(–2, 2), ki vsebuje točko B(–3, 2), - krožnico d s središčem v točki C(–2, 5) in polmerom 2. V kakšni medsebojni legi sta krožnici? Matematika v družboslovnih vedah 078 f) Krožnico c vzporedno premakni tako, - da se bosta krožnici sekali v dveh točkah; - da krožnici ne bosta imeli skupnih točk; - da bosta krožnici koncentrični. 3. naloga: Konveksna in konkavna množica a) Naštej nekaj primerov konveksnih množic in jih tudi nariši. b) Nariši nekaj primerov konkavnih množic. 4. naloga: Večkotnik a) Nariši 6-kotnik in ga obarvaj rdeče. Robovi naj bodo debeline 4. b) Ali si narisal konveksen 6-kotnik? c) Nariši vse diagonale narisanega 6-kotnika. d) Koliko diagonal ima narisani 6-kotnik? e) Nariši pravilni 10-kotnik in pravilni 20-kotnik. f) Nariši trikotnik z oglišči A(–1, –2), B(5, 2) in C(1, 5). g) Nariši vse tri težiščnice in označi težišče. h) Izračunaj ploščino trikotnika. i) Nariši premico y = – x – 4 in prezrcali trikotnik čez to premico. Ali se je trikotniku spremenila orientacija? j) Prezrcali trikotnik čez točko T(–4, 4). Ali se je trikotniku spremenila orientacija? 5. naloga: Drsniki a) Kreiraj drsnik za parameter na intervalu od –3 do 3 s prirastkom 0˙5 in ga poimenuj k. b) Kreiraj drsnik za parameter na intervalu od –5 do 5 s prirastkom 1 in ga poimenuj n. c) Nariši graf linearne funkcije f(x) = kx + n. d) Z orodjem za izbiro in premik objektov povleci drsnika in opazuj lego premice. e) Kreiraj drsnik za kot na intervalu od 0° do 360° s prirastkom 1° in ga poimenuj α. Drsnik odebeli. Nato nariši kot z dano velikostjo α. Nariši tudi oba kraka (poltraka) in ju pobarvaj zeleno. Z orodjem za izbiro in premik objektov povleci drsnik in opa- zuj velikost kota. 6. naloga Na spletni strani http://am.fmf.uni-lj.si/pajcevina-a4b72334/pajcevina.htm si oglej, kako narišemo pajčevino v Geogebri. Nariši jo tudi ti. Geogebra v šoli 079 Domača naloga V Geogebri nariši sliko, na kateri naj bodo poljubno izbrani geometrijski objekti (krožnica, točka, večkotnik, kot, premica …). Za navdih so ti lahko slike nadrealističnih slikarjev Joa- na Mirója in W assilyja Kandinskega, ki jih najdeš na spletu s pomočjo spletnega brskalni- ka. Oba sta znana po svojih abstraktnih slikah, ki vsebujejo različne geometrijske objekte. Narisanih naj bo najmanj 30 objektov in med njimi najmanj 5 različnih. Objekti naj bodo vsaj treh barv in različnih slogov. Na sliki naj bo napisano tvoje ime, priimek in razred. Sliko shrani kot ImePriimek.ggb (na primer JanezNovak.ggb). Prvo šolsko uro so se dijaki spoznavali z Ge- ogebro. Raziskali so vse menije (datoteka, urejanje, pogled, možnosti, orodja, okno in pomoč), samostojno našteli in preizkusili vsa orodja v orodni vrstici in odkrili, da vsak iz- raz v algebrskem oknu ustreza določenemu geometrijskemu objektu, ki so ga konstruira- li na risalni površini. Rešili smo prve tri na- loge na delovnem listu. Ker so se dijaki prvič srečali z Geogebro, so naloge reševali vodeno z mojo pomočjo. Novih ukazov so se učili z opazovanjem, saj so lahko moje delo sprem- ljali preko projekcije na tablo. Pokazala sem jim, kje najdemo posamezen ukaz, nato pa so dijaki sami narisali, kar je naloga od njih zahtevala. Ker sem tudi jaz sočasno reševala naloge, so lahko svoje rešitve preverili na ta- bli. Pri tem smo definirali nove geometrijske pojme in jih predstavili v Geogebri. [Slika 2] Avtor Vid Kocijan Matematika v družboslovnih vedah 080 V naslednji šolski uri smo rešili še preo- stale tri naloge. Ob koncu druge ure so dijaki dobili tudi domačo nalogo, ki jih je spodbu- dila k ustvarjalnosti, osmislila matematično vsebino in povezala matematiko z likovno umetnostjo. γ Kaj smo se naučili? Dijaki so se naučili uporabljati orodja v orod- ni vrstici, kar pomeni narisati točko, pre- mico, krožnico, večkotnik, poltrak, kot … Spoznali so, kako objekte premikamo, pre- imenujemo in jim spreminjamo lastnosti. Med drugim pa so se naučili tudi narisati graf linearne funkcije in narediti objekte dinamične s pomočjo drsnika. Tako smo združili učenje geometrije z učenjem nove- ga računalniškega programa. Ker je program prosto dostopen na internetu (www.geogeb- ra.org), so si ga dijaki namestili na svojem domačem računalniku in doma nadaljeva- li raziskovanje vseh funkcij, ki jih program omogoča. Dijaki so se tako naučili uporabljati program, ki jim bo v nadaljevanju njihovega šolanja v veliko pomoč. Geogebra ima namreč za vsa- kega srednješolca veliko uporabno vrednost, saj združuje geometrijo in algebro ter omo- goča tako konstrukcije geometrijskih objek- tov kot načrtovanje grafov funkcij. Z vsemi objekti je mogoče računati in jih dinamično spreminjati. V obeh učnih urah so dijaki hkrati ponovili, kaj že vedo o geometrijskih objektih iz osnovne šole in spoznali nekatere nove pojme in zakonitosti. [Slika 3] Avtor Urban Merhar Geogebra v šoli 081 δ Domača naloga Da bi z mentorico spodbudili dijake k sa- moizobraževanju, učenju v novi situaciji, raziskovanju in razvijanju njihove ustvar- jalnosti, sva jim dali naslednjo domačo na- logo. Narisati so morali sliko v Geogebri, ki je vsebovala poljubno izbrane geometrijske objekte (krožnico, točko, večkotnik, kot, pre- mico itd.). Na sliki je moralo biti najmanj 30 objektov in med njimi najmanj 5 različnih. Objekti so morali biti vsaj treh barv in različ- nih slogov. Za navdih so jim bile slike nadre- alističnih slikarjev Joana Mirója in Wassilyja Kandinskega, ki so jih poiskali na spletu s pomočjo spletnega brskalnika. Oba sta nam- reč znana po svojih abstraktnih slikah, ki vsebujejo različne geometrijske objekte. Kot dodatna motivacija je bila desetim najbolj- šim in najizvirnejšim dijakom obljubljena odlična ocena pri matematiki. Dijaki so se potrudili in nastale so neka- tere izjemne slike, ki si jih lahko v članku ogledate. S pomočjo Alenke Pikl Osole, pro- fesorice za likovno umetnost na Gimnaziji Vič, smo izbrale deset dijakov z najboljšimi izdelki. V ocenjevanje dijaki niso bili vklju- čeni. Naš kriterij pri izbiri izdelkov je bila izvirnost izdelka, kar pomeni, da smo iskale enkratne, neponovljive, nenavadne in izjem- ne slike. Pri pouku likovne umetnosti so se v eni izmed naslednjih ur pogovorili o nasta- lih izdelkih in tako na narisane geometrijske objekte pogledali tudi skozi umetniške oči. Pri pouku matematike smo si ogledali vse izdelke in razglasili nagrajene dijake. ε Evalvacija Dijaki so bili nad domačo nalogo navdušeni. Za oddajo naloge so imeli na voljo dva tedna in vsi, razen dveh dijakov, so se potrudili in nalogo naredili samostojno. Zanje je bila še posebej zanimiva, ker je vsebovala sodobno [Slika 4] Avtor Urban Kavčič Matematika v družboslovnih vedah 082 tehnologijo in se je razlikovala od drugih domačih nalog. Čeprav smo jim bile profe- sorice na voljo za kakršno koli vprašanje, ki se jim je pojavilo pri raziskovanju programa in ustvarjanju, dijaki pri uporabi programa niso imeli težav in niso potrebovali dodatnih pojasnil. Z Geogebro so se dijaki prvič srečali in njeno uporabo hitro usvojili. Ni se jim bilo težko naučiti novega programa, saj jim delo z računalnikom ni tuje. Najlažje jim je bilo narisati osnovne geometrijske pojme, kot so na primer točka in premica, najtežje pa jim je bilo ustvariti drsnik, saj nekateri niso bili zbrani in so preslišali postopek oblikovanja le-tega. Pri spreminjanju debeline roba več- kotnika so nekateri namesto tega spremeni- li debelino ene stranice, saj se niso z miško postavili v notranjost večkotnika, ampak na njegov rob. Dijaki so rešili vse naloge na delovnem listu, razen zadnje (6. naloge), ki se je je lo- tilo le nekaj dijakov, saj je drugim zmanjkalo časa. Kdor je želel, jo je potem rešil za doma- čo nalogo. Ker so delali v parih, so si lahko med seboj pomagali. Pri tem so bili glasnejši, vendar samega poteka učne ure niso motili. ζ Sklep Z odzivom dijakov sem bila zelo zadovoljna, saj so z zanimanjem raziskovali vse možnosti programa, ki jih ta omogoča. T o potrjuje tudi dejstvo, da so se pri domači nalogi potrudili in pokazali veliko ustvarjalnosti. Pri učni uri, pri kateri dijaki uporabljajo računalnike, je profesorjevo vodenje dijakov zahtevnejše kot pri klasični učni uri, saj di- jaki kaj hitro del pozornosti preusmerijo na računalnik in začnejo početi druge stvari, ki jih ne bi smeli. Zato je dobro, da sta v razredu dva profesorja, tako da lahko eden izmed nji- ju opravlja vlogo usmerjevalca uporabe ra- čunalnika v skladu s cilji učne ure. Obenem pa lahko drugi učitelj dijakom tudi pomaga in prispeva k bolj konstruktivnemu učenju. Smiselno se mi zdi izvesti nekaj učnih ur z računalnikom v vsakem letniku pri učni snovi, ki jo je mogoče obravnavati s pomoč- jo ustreznega računalniškega programa. Učne ure z računalnikom so lahko uvodne motivacijske ure v določeno poglavje, lahko pa s pomočjo računalnika poglobimo ali utr- dimo znanje matematike. Pomembno je, da s takimi dejavnostmi sledimo ciljem pouka matematike, vzporedno pa pri dijakih lahko poleg matematične kompetence razvijamo tudi druge (uporaba IKT, samoiniciativnost in ustvarjalnost). Takšne učne ure večini di- jakov predstavljajo nov izziv, saj so dejavni na drugačen način kot pri pouku brez raču- nalnika. V prihodnje si želim izpeljati še kakšno podobno učno uro, ki bo povezala matemati- ko še s kakšnim drugim učnim predmetom. Pri tem bo moj cilj usmerjen v približevanje matematike interesom dijakov in prikazu njene uporabne vrednosti na različnih po- dročjih njihovega delovanja. Geogebra v šoli 083 η Viri in literatura: 1. spletna stran http://www.geogebra.org (31. 5. 2011). 2. spletna stran http://am.fmf.uni-lj.si/pajcevina- -a4b72334/pajcevina.htm (31. 5. 2011). 3. Kavka, D., Šparovec, J., Pavlič, G., Rugelj, M. (2006). Linea. Ljubljana: Modrijan. 4. Legiša, P . (2000). Matematika 1, Geometrija v ravnini. Ljubljana: DZS.