  Matematika v šoli   XIX. [2013]   067-073
  Povzetek
V članku predstavimo tetivne večkotnike. Natančneje sta 
obravnavana trikotnik in tetivni štirikotnik. Predstavljene vse-
bine niso vključene v redni učni načrt (na Hrvaškem), se pa lah-
ko na zelo učinkovit način predelajo z učenci, ki so nadarjeni za 
matematiko in se željo naučiti tudi kaj novega.
Ključne besede: tetivni večkotniki, trikotnik, štirikotnik, učni 
načrt, nadarjeni učenci
Tetivni ve kotniki
Vladimir Kadum
Cyclic Polygons
  Abstract
The article presents cyclic polygons. The triangle and cyclic qua-
drilateral are described in detail. The presented topics are not in-
cluded in the regular curriculum (in Croatia), but can be examined 
very efficiently with pupils who are gifted in mathematics and wil-
ling to learn more.
Key words: cyclic polygons, triangle, quadrilateral, curriculum, 
gifted pupils
Tetivni ve kotniki
68
α Uvod
Večkotnike, ki jim lahko očrtamo krožni-
co, imenujemo tetivni večkotniki. Stranice 
večkotnika so tetive očrtane krožnice. Od tu 
izvira tudi ime. 
Tetivni večkotnik z najmanjšim številom 
stranic (n = 3), ki je tudi najbolj raziskan in 
najbolj poznan, je trikotnik. Že stari Grki so 
o njem veliko vedeli.
Če štirikotniku lahko očrtamo krožnico, 
temu štirikotniku pravimo tetivni štirikot-
nik. Štirikotnik je tetiven, če in samo če je 
vsota nasprotnih kotov enaka 180  . Ptole-
mejev izrek pa poda zvezo med stranicami in 
diagonalama štirikotnika. Tetivni štirikotnik 
je popolnoma določen s svojimi stranicami. 
Ploščino tetivnega štirikotnika izračunamo 
po Heronovi formuli.
Na podoben način definiramo tudi tetivni 
večkotnik.
β Trikotnik
V nadaljevanju si bomo pogledali nekate-
re pomembne zveze, ki veljajo v trikotniku. 
TRDITEV 1. 
Naj bo ABC poljuben trikotnik, pri kate-
rem so a = |AB|, b = |BC|, c = |CA| stranice, 
P ploščina in R polmer očrtane krožnice. Ta-
krat velja enakost
4PR = abc.                                                             (1)
Dokaz: 
Najprej predstavimo dokaz, ki ga lahko 
najdemo tudi v osnovnošolskih učbenikih in 
ki so ga dobro poznali že stari Grki. V do-
kazu bomo uporabili podobnost trikotnikov 
in enakost obodnih kotov. Opazujmo sliko 
1.  
[Slika 1] Trikotnik ABC
Veljajo enakosti 
a : 2R = v : c,     av = 2P.
Od tu sledi enakost (1).
S pomočjo slike 2 bomo enakost (1) izpe-
ljali še na drug način. 
[Slika 2] Trikotnik ABC
Zapišemo
2γ
1
 + 2γ
2
 + 2γ
3
 = 180  ,
γ
1
 + γ
2
 + γ
3
 = 90  ,
cos (γ
1
 + γ
2
) = sin γ
3
,
cosγ
1 
cosγ
2
 – sinγ
1 
sinγ
2
 = sinγ
3
.
Zaradi preglednosti in krajšega zapisa bomo 
uvedli oznake: c
1
, c
2
, s
1
, s
2
, s
3, 
pri čemer so 
c
1
 = cosγ
1
,    c
2
 = cosγ
2
,
s
1
 = sinγ
1
,    s
2
 = sinγ
2
,    s
3
 = sinγ
3
.
Velja torej 
c
1 
c
2
 = s
1 
s
2
 + s
3
.                                                           (2)
69
Zapišimo s
i
 = √1-ci²  (i = 1, 2, 3). Iz enako-
sti (2) s kvadriranjem pridemo do enakosti, 
v kateri ne nastopa koren. Tako dobimo na-
slednje enakosti
c
1
2 
c
2
2
 = s
1
2 
s
2
2
 + 2 s
1 
s
2 
s
3
 + s
3
2
,
(2 s
1 
s
2  
s
3
)
2
 = (c
1
2 
c
2
2
 – s
1
2 
s
2
2
 – s
3
2
)
2
,
4s
1
2
s
2
2
s
3
2
 = c
1
4
c
2
4
 + s
1
4
s
2
4
 + s
3
4
 – 2c
1
2
c
2
2
s
1
2
s
2
2
 
– 2c
1
2
c
2
2
s
3
2
 + 2s
1
2
s
2
2
s
3
2
.                     (3)
Ker je
,     ,
,  ,  ,
lahko enakost (3) zapišemo v obliki
16 P
2 
R
2
 = a
2 
b
2 
c
2
,
kjer je
16P
2
 = –a
4
– b
4
 – c
4
 + 2a
2
b
2
 + 2b
2
c
2
 + 2c
2
a
2
. 
Z direktnim računom lahko preverimo, 
da velja
P
2
 = s(s – a)(s – b)(s – c),
kjer je s polovica obsega, tj. .
Tako smo izpeljali Heronovo formulo, ki 
jo uporabljamo za izračun ploščine trikotni-
ka s podanimi stranicami.
δ Tetivni štirikotnik
TRDITEV 2. 
Naj bo ABCD poljuben tetivni štirikotnik, 
pri katerem so a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, 
d = |DA|, P ploščina in R polmer očrtane 
krožnice. Tedaj velja enakost
 .     (5)
Dokaz. Opazujmo sliko 3. 
[Slika 3] Poljubni tetivni štirikotnik ABCD
Veljajo enakosti 
γ
1
 + γ
2
 + γ
3
 + γ
4
 = 180  ,                                                  ( 6 )
,  ,
,     .                   (7)
Iz enakosti (6) lahko izpeljemo naslednje 
enakosti
γ
1
 + γ
2
 = 180  – (γ
3
 + γ
4
),
cos(γ
1
 + γ
2
) = cos(γ
3
 + γ
4
),
cosγ
1
cosγ
2
–sinγ
1
sinγ
2
= –cosγ
3
cosγ
4
+sinγ
3
sinγ
4
. (8)
Uvedemo oznake c
1
, c
2
, c
3
, c
4
, s
1
, s
2
, s
3
, s
4
 
tako, da je
c
i
 = cosγ
i
,     s
i
 = sinγ
i
,     (i = 1, 2, 3, 4).
Vsoto c
1
c
2
 + c
3
c
4
 krajše označimo z s, ena-
kost (8) pa zapišemo v obliki
s
1
s
2
 + s
3
s
4
 = s.                                                          (9)
S kvadriranjem preoblikujemo zapis do 
enakosti, v kateri bodo vrednosti s
1
, s
2
, s
3
, s
4
 
na drugo ali na četrto potenco. S tem se izo-
gnemo zapisom s koreni.  Na sliki 3 opazimo 
še nekatere enakosti, na primer, 
70
Situacija je podobna kot v predhodni trditvi.
S kvadriranjem enakosti (9) dobimo ena-
kosti
s
1
2 
s
2
2
 + 2 s
1 
s
2 
s
3 
s
4
 + s
3
2 
s
4
2
 = s
2
,
ali
2 s
1 
s
2 
s
3 
s
4
 = s
2
 – s
1
2 
s
2
2
 – s
3
2 
s
4
2 
.
S kvadriranjem predhodne enakosti do-
bimo
4s
1
2
s
2
2
s
3
2
s
4
2
 = 
=s
4
+s
1
4
s
2
4
+s
3
4
s
4
4
–2s
2
s
1
2
s
2
2
–2s
2
s
3
2
s
4
2
+2s
1
2
s
2
2
s
3
2
s
4
2
         
 (10)
Da smo se znebili korenov v izrazih za s
1
, 
s
2
, s
3
, s
4,
 sta bili potrebni dve zaporedni kva-
driranji. 
Če zdaj vstavimo v enakost (10) namesto 
c
1
, c
2
, c
3
, c
4
 ustrezne izraze navedene pod (7) 
in s pomočjo njih izrazimo s
1
, s
2
, s
3
, s
4,
 do-
bimo enakost, ki jo lahko zapišemo v obliki 
 ,
kjer je s polovica obsega, tj.
  
.
S pomočjo Heronove formule 
P
2
 = (s – a)(s – b)(s – c)(s – d) (11)
lahko izračunamo ploščino tetivnega šti-
rikotnika s podanimi stranicami. Njeno pra-
vilnost bomo videli ob alternativnem dokazu 
trditve 2.
Dokazovanje trditve 2 na alternativni na-
čin je lahko zelo zanimivo. Pri tem opazu-
jemo, kako se na različne načine odkrivajo 
resnice v matematiki.  
Opazujmo sliko 4.
[Slika 4] Tetivni štirikotnik ABCD
Ker sta nasprotna kota v tetivnem štiriko-
tniku suplementarna, nam kosinusni izrek 
da naslednje enakosti 
f 
2
 = a
2
 + d
2
 – 2ad cos α
f 
2
 = b
2
 + c
2
 + 2bc cos α (12)
Od tu sledi 
. (13)
Glede na zgoraj uporabljeno enakost skle-
pamo, da je 
,
,
ali, ker je , 
,
,
.
Tetivni ve kotniki
71
Ker je a + b + c + d = 2s, lahko zapišemo 
enakost 
,                                                 (14)
,                                                 (15)
.
Če vstavimo v enakost (12) vrednosti za 
cos navedeno pod (13), dobimo enakost
.  (16)
Podobno je
in 
.   (17)
Če pomnožimo (16) in (17) ter korenimo, 
dobimo enakost
ef = ac + bd.
Imenujmo še Ptolomejev izrek za tetivni 
štirikotnik. Ptolomej jo je brez uporabe tri-
gonometrije dokazal pred več kot dva tisoč 
leti. Ker trigonometrija takrat še ni bila raz-
vita, je bil njegov dokaz seveda drugačen. 
Dodajmo, da z deljenjem enakosti (16) in 
(17) dobimo enakost
.
Tej enakosti pravimo Ptolomejev izrek za 
tetivni štirikotnik.
Za dokaz Heronove formule (11) bomo 
ploščino štirikotnika napisali kot vsoto plo-
ščin dveh trikotnikov 
ali
.
Z vstavljanjem izrazov za  in  
navedenih pod (14) in (15), dobimo enakost 
(11).
Iz slike 4 opazimo povezavo
f = 2R sinα,
od tu sledi enakost 
 .
Z uporabo navedenih izrazov za  in 
 zapišemo zgornjo enakost v obliki (5).
γ Na kratko o tetivnih ve kotnikih z 
ve  kot štirimi stranicami
Najprej predstavimo naslednjo trditev. 
TRDITEV 3. 
Naj bo n poljubno naravno število, ki ni 
manjše od 3, in naj bodo a
1
, a
2
, ..., a
n
 poljubne 
dolžine stranic, za katere velja, da je vsaka od 
njih manjša od seštevka preostalih n – 1 dol-
žin. Tedaj obstaja vsaj en tetivni večkotnik z 
n stranicami, katerega dolžine stranic so a
1
, 
a
2
, ..., a
n
.
72
Vsebino trditve se da intuitivno enostavno 
videti (naloga 1). Vzemimo na primer, da so 
podane dolžine stranic poljubnega petkotnika: 
a
1
 = 2 cm, 
a
2
 = 3.5 cm, 
a
3
 = 3 cm, 
a
4
 = 3.7 cm, 
a
5
 = 3.6 cm.
Krožnica na sliki 5 bi morala biti malo 
več ja, da bi bila očrtana petokotniku, z zna-
nimi dolžinami stranic. 
[Slika 5] Poljubni petkotnik
Tetivni štirikotnik je s svojimi stranica-
mi natanko določen. V primeru več kot šti-
rih stranic pa obstaja več različnih tetivnih 
večkotnikov z enako dolgimi stranicami. V 
zgoraj navedenem primeru za dane dolžine 
stranic obstaja še en petokotnik. Prikazan je 
na sliki 6. 
[Slika 6] Tetivni petkotnik
Pri splošnih tetivnih večkotnikih je zelo 
težko s pomočjo dolžin stranic izračunati 
polmer večkotniku očrtane krožnice. Za pri-
mer si poglejmo petkotnik na sliki 7.
[Slika 7] Petkotnik
Iz enakosti
γ
1
 + γ
2
 + γ
3
 + γ
4
 + γ
5
 = 3 · 90  ,
in z uporabo trigonometrijskih funkcij 
za sinus in kosinus (kot v trditvi 2) dobimo 
enačbo, v kateri moramo odpraviti korene, 
ki nastopajo pri sinusih. Na koncu vredno-
sti trigonometrijskih funkcij napišemo kot 
funkcije stranic večkotnika.
Na koncu si postavimo še nekaj vprašanj, 
ki so povezana s trditvijo 3: 
1. V trditvi 3 privzamemo, da je najdaljša 
stranica krajša od vsote dolžin ostalih 
stranic. Zakaj je ta pogoj sploh potre-
ben? (V nasprotnem primeru stranic ne 
moremo skleniti v večkotnik. Za obstoj 
trikotnika je na primer potrebna veljav-
nost trikotniške neenakosti za njegove 
stranice.) 
2. Obstajajo tetivni štirikotniki z enako 
dolgimi stranicami in različnimi pol-
meri očrtanih krožnic, vendar se pri 
drugačnih polmerih nesosedne stranice 
večkotnika lahko sekajo.
Tetivni ve kotniki
73
3. Obstaja le en tetivni štirikotnik z dolži-
nami stranic a
1
 = a
2
 = a
3
 = a
4
 = 3 cm. 
Ugotovite, zakaj ne obstaja še kakšen 
drug. 
ζ  Viri in literatura:
1. Dörrie, H. (1965), 100 Great Problems of Elementa-
ry Mathematics, Their History and Solution. Dover 
Publications, Inc. (Ori ginally published in German 
under the title of Triumph der Mathematik)
2. Fuss, N. (1797), De quadrilateris quibus circulum 
tam inscribere quamcircumscribere licet. Nova acta 
acad. sci. Petrop. 10, St. Petersburg, 103-125
3. Griffiths, P. – Harris, J. (1978), On Cayley's explicit 
solution to Poncelet's porism. Enseign. Math. 31-40
4. Poncelet, J. W . (1865), Traité des propriétés projecti-
ves des figures. Paris, (first ed. in 1822).
5. Radić, M. i Kadum (2005), Tangencijalni i tetivni po-
ligoni. Bicentrički poligoni. Pula: IGSA