Mag. Božidar Brudar, dipl. inž., Železarna Jesenice DK: 519.24 ASM/SLA: S12K Faktorski poskusi in ortogonalni polinomi V članku je opisan primer, kjer smo z metodo ortogonalnih polinomov obdelali podatke, ki smo jih dobili pri faktorskem poskusu 3x3x3. Z analizo variance smo ugotovili, kateri faktor je statistično pomemben. S pomočjo ortogonalnih polinomov smo zapisali tudi regresijsko enačbo (polinom), v kateri so bili vsi členi statistično pomembni. UVOD Faktorski poskus lahko zelo uspešno uporabimo, če želimo raziskati, kakšna je povezava med neko odvisno spremenljivko in več neodvisnimi vplivi (faktorji), ki jih lahko poljubno spreminjamo. Ni nujno, da so ti vplivi vedno kvantitativni, t. j. da se posamezni faktorji dajo izraziti s številkami. Lahko imamo opraviti s kvalitativnimi vplivi, kjer različnih vrednosti faktorja ne moremo izraziti s številkami. Poseben primer take faktorske analize je tudi latinski kvadrat, ki je bil že opisan v železarskem zborniku.1 Omejili se bomo na opis faktorskega poskusa s kvantitativnimi faktorji. Preden se lotimo poskusa, t. j. merjenja opazovane spremenljivke, določimo nekaj diskretnih vrednosti posameznih faktorjev, pri katerih nameravamo meriti vrednosti odvisne spremenljivke Y. Tem vrednostim faktorjev pravimo nivoji. Zaželeno je, da si nivoji enega faktorja sledijo po aritmetičnem zaporedju, t. j. da so razlike med posameznimi vrednostmi nivojev enega faktorja konstantne. Potrebujemo toliko meritev odvisne spremenljivke, kolikor je možnih različnih kombinacij nivojev vseh faktorjev. V splošnem tako dobimo neko končno število različnih vrednosti opazovane spremenljivke Y, ki so porazdeljene z večjo ali manjšo varianco okrog neke srednje vrednosti Y. Efekt posameznih faktorjev imenujemo spremembo vrednosti odvisne spremenljivke, ki nastane zaradi spremembe vrednosti nekega faktorja. Če ta efekt določimo tako, da računamo spremembo povprečja vrednosti Y po nivojih vseh ostalih faktorjev, rečemo takemu efektu glavni efekt. V primeru, ko je efekt enega faktorja odvisen od nivojev nekega drugega faktorja, pravimo, da imamo opraviti z interakcijo. Vse te efekte lahko najbolj zanesljivo ugotovimo z analizo variance, ki je tudi že bila opisana v železarskem zborniku.2 Vsoto kvadratov odstopanj posameznih vrednosti odvisne spremenljivke Y od povprečja Y lahko namreč razstavimo na prispevke posameznih efektov. ANALIZE VARIANCE PRI FAKTORSKEM POSKUSU 3x3x3 Omejimo se na primer faktorskega poskusa s tremi faktorji: A, B in C. Pri tem bomo odvisno spremenljivko Y na primer opazovali pri a nivojih faktorja A, b nivojih faktorja B in c nivojih faktorja C. Potrebovali bomo axbxc poskusov, če bomo pri vsaki kombinaciji naredili le po eno meritev. Označimo neko določeno vrednost odvisne spremenljivke z Y; j k, kjer indeks i, j, k pomeni, da pripada i-temu nivoju faktorja A, j-temu nivoju faktorja B in k-temu nivoju faktorja C. Povprečno vrednost Y izračunamo: abc i, j, k Yi,j,k Vsoto kvadratov Q odstopanj posameznih vrednosti Yj j kod Y izračunamo po znani formuli:. a, b, c a, b, c i, j, k i, j, k (a, b, c i. j. k a . b . c Vrednost Q razstavimo na vsoto prispevkov posameznih efektov: Q = Ay + By + CY + (AB)Y + (AC)y + (BC)y + + 0Y Pri tem so prispevki glavnih efektov definirani s sledečimi izrazi: Faktor A: Ar = S i=l / b c \2 U=1 k=l abc j = l k=l b. c Faktor B: by = 2 j=l i=l k=l a . b . c i=i j=i k=i a. c a . b . c Faktor C: 2 N2 a b c N2 ""i. i, k i = l j = l 22*,,.* 222Yu. i=i j=i k=i a. b a . b . c a b i=l j = l 2^, k=l b c j=l k=l \2 22 2yu.I i=l k = l Prispevek interakcij: Faktorja A in B: (AB)Y = — Ay — By a c / b \2 22 2v,, Faktorja A in C: (AC)Y = _ b - Ay - Cy Faktorja B in C: (BC)Y = a - By - Cy Ostanek O: 0Y = Q — AY — BY — CY— (AB)Y — - (ACy) - (BC)y Te izraze navadno prikažemo s primerno tabelo (Tabela I.) Vrednosti F izračunamo tako, da delimo posamezne povprečne kvadrate s s20 in jih primerjamo s tabeliranimi vrednostmi pri izbrani vrednosti za napake prve vrste (a). Te namreč potrebujemo pri testiranju ničelne hipoteze, t. j. pri ugotavljanju, če ne gre morda pri določeni variaciji le za slu-čajnostne vplive. Trdimo, da je efekt statistično pomemben, če je izračunana F-vrednost večja od tabelirane vrednosti2 in je pri tem a% verjetno, da smo naredili napako prve vrste.3 V primeru, ko imamo opraviti s kvantitativnimi faktorji, ki so definirani v več nivojih, pa lahko z metodo ortogonalnih polinomov pridemo še do dodatnih informacij. Ne ugotovimo le tega, če je na primer glavni efekt faktorja A statistično pomemben, ampak tudi za kakšno odvisnost pri tem gre. če zapišemo glavni efekt v obliki polinoma nivojev faktorja A, lahko s to metodo ugotovimo, katera stopnja polinoma je statistično pomembna in katera ne. Pri tem pa je najvišja stopnja polinoma (a— 1). To je namreč zelo pomembno, če želimo poiskati regresi j sko odvisnost Y od vseh kvantitativnih faktorjev, če je več faktorjev z večjim številom nivojev, je možnih členov v polinomnem razvoju lahko zelo veliko. ortogonalni polinomi v faktorskem poskusu 3x3x3 Oglejmo si, kako bi si s to metodo lahko pomagali v primeru, če imamo opraviti z analizo podatkov, kjer smo variirali 3 faktorje v treh nivojih in smo meritev izvršili samo enkrat. Tako smo dobili 27 podatkov. Faktor A ... nivoji X( (i = 1, 2, 3) Faktor B ... nivoji Xj (j = 1, 2, 3) Faktor C ... nivoji Xk (k = (1, 2, 3) V takem primeru bi bila regresijska enačba: j, k = bQ + b, X, + b2 Xj + b3 Xk + b4 X;2 + + b5Xj2 + b6Xk2 + b7X X, + bgX1Xk + b9XjXk + + b,0 X;2 Xj+ b„ X;2 Xk + b12 X; X;2 + b13 Xj2 Xk + + b14 X; Xk2 + b15 Xj Xk2 + blt Xi2 Xj2 + b17 X;2 Xk2 + + 18 Xj2 Xk2 pri čemer bi bile X; posamezne vrednosti nivojev faktorja A, Xj bi bile vrednosti nivojev faktorja B in Xk vrednosti nivojev faktorja C. Prvih 7 členov predstavlja glavne efekte, ostali pa interakcije. Tabela I. Vir variacij Vsota kvadratov Stopnje prostosti Povprečni kvadr. F-vrednost Glavni efekti A B C Interakcije AB AC BC Ostanek O AY by CY (AB)Y (AC)Y (BC)Y OY a—1 b —1 c —1 (a-1) (b —1) (a_l) (c 1) (b-1) (c—1) (a— 1) (b-1) (c—1) s2a s2b s2c «2 ab s ac s bc */s2o b/s2O c/s2o s2ab s2ACi s2bc, /s2o :7S20 /s2o «2 S O Vsota (abc — 1) Kateri pa so statistično pomembni? Na to vprašanje nam odgovori metoda ortogo-nalnih polinomov. Da se dokazati, da se zgornja regresijska enačba da zapisati v obliki: j, k = A0 + A, šu + A2 %V3 + A3 S=lk + A4 %2i + + A5 i=2j + ^ š2k + A7 %n + A8 + AlO %2i + Au + AI2 + + «Slk + + A17 Š2k + Alg %2j Š2k> pri čemer so Šij, ortogonalni polinomi4 prve stopnje, £2i, q2j, ^2k pa ortogonalni polinomi druge stopnje. Ce si nivoji posameznega faktorja sledijo po aritmetičnem zaporedju z razliko, ki je enaka enoti, so ti polinomi enaki: Š, : - 1,0, + 1 Š2: + 1,-2, + 1 Zaradi lastnosti i i i lahko izračunamo koeficiente A„ do A18 po formulah: 3 3 3 i = lj = l k = l /333 \2 Ao = 27 3 3 3 2 Šli A, = i = i j=i k=i A,» = (18) 3.3-2 (?li)2 i = 1 3 3 3 2 ^2> i = 1 j=l k=l 3 3 j = l k=l Podobno lahko izračunamo za tak primer tudi prispevke posameznih členov k vsoti kvadratov: '2 YiikY v = ^ Y2ijk — 27 A20 = ijk 3 3 ijk 27 = 27 A20 + 9 A\ J ^n + 9 A22 2 ^ + + ... —27A20 i = 1 i = 1 222 Y'ik ' i=l j=l k=l ■2^ i=l i = l ^ 9 . 2j i = l 3 3 3 V j=l k=l 3 9 • 2 ^n)2 i=l ANALIZA VARIANCE — RAČUNSKI PRIMER Oglejmo si praktični primer obdelave podatkov faktorskega poskusa 3 X 3 X 3.(5) Merili* smo čas (Y), ki je bil potreben za popolno redukcijo rude v odvisnosti od temperature (T), debeline plasti (P) in pretoka vodika (L). Vsak faktor je bil podan v treh nivojih. Nivoje smo označili z —1, 0, + 1, da smo tako ustregli zahtevam nadaljnje obdelave z ortogonalnimi polinomi. Nivoji posameznih faktorjev: Faktor T (temperatura) (1) Faktor P (debeline plasti) Faktor L (pretok plina) V tabeli II so podane opazovane vrednosti v minutah, ki pripadajo različnim nivojem posameznih faktorjev. Meritev je bila narejena le enkrat. Tabela II. T0 = 700° C — 1 Ti = 600° C 0 T2 = 500° C + 1 P0 = 1,0 cm — 1 Pi = 1,5 cm 0 P2 = 2,0 cm +1 L0 = 45,4 l/h — 1 L, = 37,8 l/h 0 L2 = 30,3 l/h +1 Po P. P2 L„ L, U U L, U Lo L, U T0 35 44 58 48 60 77 63 78 98 T, 50 63 82 68 86 110 90 112 147 T2 78 95 115 104 126 161 143 166 210 Najprej izračunamo vsoto vseh vrednosti Y; j k in pripadajočo vsoto kvadratov Q: Prispevek prvega člena, oziroma prvega glavnega efekta (linearnega) faktorja A: * Meritve je opravil J. Zaveljcina, dipl. ing. met. pri svojem diplomskem delu. Avtor članka Brudar Božidar — strokovni sodelavec raziskovalnega oddelka — se mu za posredovane podatke in sodelovanje najlepše zahvaljuje. 3 3 3 22IXi.x = 2567 i=i j=i k=i 3 3 3 222Y2u.* = 290633 i=i j=i k=i '33 3 222Yu.k ki = l j=l k=l 27 3 3 3 = 244055 ' i=l 3 3 ijk ' 222 v ^ 3 j=l k=l 27 = 46578 k=l j=l k=l Nato prepišemo tabelo II v primernejšo obliko za računanje glavnih efektov in interakcij. V naslednjih tabelah so podane vrednosti, ki pripadajo posameznim nivojem tretjega faktorja: T X L L„ L, L: Vsota To 146 182 233 561 T, 208 261 339 808 T2 325 387 486 1198 Vsota 679 830 1058 2567 T X P Po P, P2 Vsota T0 137 185 239 561 T, 195 264 349 808 t2 288 391 519 1198 Vsota 620 840 1107 2567 L X P Po P, P, Vsota u 163 220 296 679 l, 202 272 356 830 L2 255 348 455 1058 Vsota 620 840 1107 2567 vrednost izraza 27 totalna vsota kvadratov. Iz tabele T X L dobimo: Groba vsota kvadratov: 275541,66 Korektura za povprečje: 244055,14 Totalna vsota kvadratov: 31486,52 (19) Iz tabele T X P dobimo: Groba vsota kvadratov: 281607,66 Korektura za povprečje: 244055,14 Totalna vsota kvadratov: 37552,52 (20) Iz tabele L X P dobimo: Groba vsota kvadratov: 265754,33 Korektura za povprečje: 244055,14 Totalna vsota kvadratov: 21699,19 (21) Grobo vsoto nekega glavnega efekta dobimo tako, da seštejemo kvadrate vsot vrednosti, ki pripadajo posameznim nivojem ostalih faktorjev. Rezultat delimo z 9, saj je vrednost pri vsakem nivoju nekega faktorja sestavljena iz 9 vrednosti Y, ki pripadajo ostalim faktorskim nivojem. Tako dobimo na primer grobo vsoto kvadratov za glavni efekt faktorja T takole: (5612 + 8082 + 11982) : 9 = 26 6 9 7 65 Od te vrednosti je treba odšteti korekturo za \2 povprečje 2 ijk Y i, j, k 27 in tako dobimo vsoto kva- V vsaki tabeli izračunamo vsoto kvadratov posameznih vrednosti (groba vsota kvadratov) in jo delimo s 3, ker smo pri vsaki vrednosti v teh tabelah morali sešteti po tri podatke. Nato odštejemo uk in imenujemo razliko dratov za glavne efekte: Vsota kvadratov za T : 266976,5 — 244055,1 = = 22921,4 Vsota kvadratov za L : 252145,0 — 244055,1 = = 8089,9 Vsota kvadratov za P : 257272,1 —244055,1 = = 13217,0 Prispevke k vsoti kvadratov Q od interakcij med pari faktorjev izračunamo tako, da od totalne vsota kvadratov (19, 20, 21) odštejemo oba glavna efekta. Tako dobimo za interakcijo T X L: 31486,5 — 22921,4 — 8089,9 = 475,2 Vsota kvadratov, ki pripada interakciji T X P: 37552,5 — 22921,4 — 13217,0 = 1414,1 Vsota kvadratov, ki pripada interakciji L x P: 21699,2 — 8089,9 — 13217,0 = 392,3 Končno lahko zapišemo že znano tabelo za analizo variance v obliki (Tabela III) Vsoto kvadratov, ki pripada ostanku, smo določili tako, da smo od skupne vsote Q odšteli prispevke glavnih efektov in interakcij skih efektov. Ako želimo vedeti, če ni morda prispevek nekega faktorja statistično nepomemben, primerjamo izračunano F-vrednost z ustrezno vrednostjo iz tabel/2* Pri a = 0,05 so vsi efekti pomembni. Za praktično računanje je ugodno, če si izdelamo sledečo tabelo (Tabela IV): V stolpcu z naslovom Linearna komponenta so navedene vrednosti števcev, izračunane po formulah za linearne regresijske koeficiente glavnih efektov. V stolpcu z naslovom Kvadratna komponenta pa so navedene vrednosti števcev, ki so izračunane po formulah za kvadratne regresijske koeficiente glavni efektov (formule od 1 do 6). Divizor, ki pripada vsakemu stolpcu, je imenovalec iz pripadajočih formul. Vsoto kvadratov določimo tako, da vsako komponento kvadriramo in delimo s pripadajočim divizorjem. Skupna vsota kvadratov se mora ujemati z vrednostjo iz tabele III. Podobno naredimo tudi pri interakcij skih členih. V tabeli V so navedene vrednosti števcev in imenovalcev, ki so izračunane iz formul za regresijske koeficiente (formule od 7 do 18). Na povsem enak način kot za glavne efekte lahko izračunamo tudi prispevke k vsoti kvadratov za interakcij ske efekte. Končno pridemo do izboljšane forme za analizo variance (Tabela VI.), iz katere je razvidno tudi, kolikšen je prispevek posameznih komponent efektov. Ker pripada vsaka komponenta efekta eni prostostni stopnji, primerjamo izračunane vrednosti F le s tabelirano vrednostjo F[ s , ki znaša pri a = 0,05 5,317, pri a = 0,01 pa 11,259. Statistično pomembni efekti so označeni z zvezdico. Tabela IV. _ Linearna komponenta Divizor Kvadr. komp. Divizor Vsota Lin. komp. kvadratov Kvadr. komp. Totalna vsota T 637 L 379 P 487 18 18 18 143 77 47 54 54 54 22542,7 7980,1 13176,1 378.7 109.8 40,9 22921,4 8089,9 13217,0 Tabela V. Interakcija T T AB A " D QaL„ D laqb D 0, Qo D TL 74 TP 129 LP 67 12 12 12 — 14 25 25 36 36 36 22 19 — 5 36 36 — 36 2 1 5 108 108 108 S črko L je označena linearna komponenta in -terakcije: , s Q kvadratna, D pa predstavlj; a divizor. Prispevki k vsoti kvadratov: Interakcija , T AB La Lb Q, Le laq, QaQb Skupaj TL 456,3 TP 1386,8 LP 374,1 5,4 17,4 17,4 13,4 10,0 0,7 0,0 0,0 0,0 475.1 1414,2 392.2 Tabela III. Vir Vsota Prost Povprečni kv. F - vredne variacij kvadratov stopnje Glavni efekti T 22921,4 2 11460,7 1348 L 8089,9 2 4045,0 476 P 13217,0 2 6608,5 777 Inter- akcije: T X L 475,2 4 118,8 14 T X P 1414,1 4 353,5 42 L X P 392,3 4 98,1 12 Ostanek: 68,1 8 8,5 Vsota 46578,0 26 računski primer z ortogonalnimi polinomi S pomočjo ortogonalnih polinomov lahko še nadalje razcepimo prispevke k vsoti kvadratov. Ker imamo le po tri nivoje posameznih faktorjev, bo najvišja druga stopnja polinoma pri glavnih efektih, oziroma četrta stopnja pri interakcijah. Tabela VI. Vir variacij Vsota kvadratov efekta Vsota kvadratov komponent Prost, stop. Povpreč. kvadrat F-vredn. Glavni efekti m | linearni T < I kvadratni | linearni \ kvadratni p | linearni 1 kvadratni Dvofaktorske interakcije Ll Lx LlQt QlLt Ql Qt Ll Lp LlQp Ql LP QlQp Lp Lt LP Qt QP Lt QP Qt Ostanek 22542,7 378.7 7980,1 109.8 13176,1 40,9 456,3 5,4 13,4 0,0 374,1 0,7 17,4 0,0 1386,8 17,4 10,0 0,0 68,1 | 22921,4 J 8089,9 j 13217,0 475,1 392,2 1414,2 2648,2* 444,9* 937,5* 12,9* 1547,9* 4,8 53,6* 0,6 1,6 0,0 43,9* 0,1 2,0 0,0 162,9* 2,0 1,2 0,0 8,5 Skupaj 46577,9 26 regresijska enačba Koeficiente dobimo tako, da posamezne komponente v tabelah IV in V delimo s pripadajočimi divizorji. Seveda upoštevamo le tiste komponente, ki so se izkazale pomembne pri razčlenitvi vsote kvadratov. Regresijsko enačbo torej zapišemo v obliki: Yy,k = 95,07 + 35,39 + 2,65 !=2i + 6,17 ^ + + 27,06 i;,k + 21,06 šij + 1,43 I=2j + 5,58 ^ |lk + + 10,75 šii 5ik Pri tem zavzamejo linearne komponente S, vrednosti —1,0, + 1, kvadratne pa 1, —2, 1. Indeksi i označujejo nivoje faktorja T, j nivoje faktorja L in k nivoje faktorja P. Zelo ugodno je, če prikažemo to regresijsko enačbo z nomogramom (Slika 1). Če si na primer izberemo temperaturo 600° C, debelino plasti 1,5 cm in pretok plina 37,8 l/h, lahko pričakujemo, da bo čas, potreben za totalno redukcijo, približno 87 minut. Če pa potrebujemo enačbo zapisano tako, da v njej nastopajo prave vrednosti (temperatura T v °C, pretok L v l/h in debelina P v cm) in ne le ortogonalni polinomi, moramo v zgornji enačbi nadomestiti ši in ?2 s sledečimi izrazi: ?ik = 600° C - 100° C 37,8 l/h — L 7,5 l/h P —1,5 cm 0,5 cm š2i = 3.1=u2-2 Š2k = 3 . ?ik2 — 2 ZAKLJUČEK Pri raziskovalnem delu zelo pogosto iščemo odvisnost med eno odvisno in več neodvisnimi spremenljivkami. če prav planiramo poskus, lahko na zelo učinkovit način z manjšim številom poskusov pridemo do odgovora na vprašanje, kateri faktor je statistično pomemben. Metoda ortogonalnih polinomov pa nam da še bolj koristno informacijo: pove nam, katera potenca polinoma je statistično pomembna. Regresijska enačba, ki je zapisana z ortogonalnimi polinomi, je primernejša za risanje nomograma. V opisanem primeru smo zahtevali, da je med nivoji posameznih faktorjev konstantna razlika. To namreč olajšuje delo. če nivoji niso enako odda- Čos redukcije v odvisnosti od temperature ( T ), debeline plasti (P) in pretoka plina (L) Cas (min.) L= L= L = ljeni med seboj, je potrebna primerna transformacija, kar pa delo močno zakomplicira. Za obdelavo podatkov faktorskega poskusa 3x3x3 smo na raziskovalnem oddelku jeseniške železarne izdelali tudi program za naš računalnik IBM/360. Računski primer, ki je opisan v tem članku, naj bi koristil tudi tistim raziskovalcem, ki nimajo na razpolago modernega elektronskega računalnika, saj takšna obdelava ne traja tako dolgo. Debelina plash (P) št. 1 Literatura 1. Rode Boštjan: Latinski kvadrat, Železarski zbornik št. 2, leto 1969, stran 141. 2. Rode B., J. Rodič: Statistično planiranje in vrednotenje metalurških raziskav, Železarski zbornik št. 2, leto 1968, str. 99. 3. Brudar Božidar: Preverjanje statističnih hipotez s pomočjo operacijskih karakteristik, Železarski zbornik št. 3, leto 1972, stran 175. 4. Brudar Božidar: Interpretacija diagramov, Železarski zbornik št. 1, leto 1973, stran 53. 5. Janez Zaveljcina: Diplomsko delo, FNT oddelek za mon-tanistiko leto 1972. ZUSAMMENFASSUNG Die Aufgabe zahlreicher Untersuchungen ist die Abhangigkeit zvvischen der abhangigen Veranderliche und einer grosseren oder kleineren Zahl unabhangiger Veran-derlichen zu finden. Ublichervveise helfen wir uns so, dass die Werte der unabhangigen Veranderlichen geandert und die Werte der abhangigen Veranderliche, die sich da herausstellen, gemessen vverden. Wie gross der Einfluss der einzelnen unabhangigen Veranderlichen ist zeigt uns schon die iibliche Varianzen-analyse. Die Methode der ortogonalen Polynome ermoglicht uns auch zu erfahren, um was fiir eine Abhangigkeit sich bei den einzelnen Faktoren handelt. Es kann festgestellt werden, ob die Abhangigkeit linear oder quadratisch ist bzw. vvenn irgendeine hohere Potenz des Polynomen stati-stisch gesichert ist. Es ist giinstig diese Faktoren so zu vvahlen, dass die Unterschiede zvvischen einzelnen Werten (Stufen) der unabhangigen Veranderlichen konstant gehalten vverden. Die notige Versuchszahl soli der moglichen Zahl der einzelnen Faktorenstufen gleich sein. Im Artikel ist ein Beispiel fiir eine Analyse 3x3x3 angegeben, vvo drei unabhangige Veranderliche in drei Stufen geandert vvorden sind. Wir erhielten dadurch 27 Daten. Danach vvar eine Regressionsgleichung zu finden, vvelche die Abhangigkeit zvvischen der abhangigen und unabhangigen Veranderliche deuten solite und in vvelcher alle Glieder statistisch gesichert sein sollten. Die Anleitung fiir eine solche Bearbeitung ist beschrie-ben, vvenn uns keine moderne Elektronnenrechenmaschi-nen zur Verfiigung stehen. SUMMARY In many fields of research the relationship betvveen some dependent variable and some number of independent variables (factors) is to be found. The values of the independent variables are usually varied and the values of the dependent variable are measured. The importance of some specified independent variable can be found by the analysis of variance. Using the method of orthogonal polynomials the type of this dependence can be found out. It can be namely decided vvhich term in the polynomial expansion is sta- tistically important. It is convenient to choose such values of the factor that the difference between tvvo sequent values of the factor is constant. These values are called levels. The number of the necessary experimental values is equal to the number of the possible combinations with the levels of different factors. In the article the example of an analysis 3x3x3 is given where there are three independent variables varied in three levels. So we got 27 experimental data. Then we wished to find the regression equation describing the relation betvveen the dependent variable and the independent variables so that only the statistically important terms vvould be taken into account. Is it also described how such an analysis could be done in the čase where modern computer is not available. 3AKAK3MEHHE B pa3Hbix ofivacIH\ HCCAeAOBaHHH JiceAaeM onpeAeAHTb 3aBHCH-MOCTb MOKAV 3aB[(CHMOH nepeMeHHOH II 60AbUlHM HAH MaAbIM HH-CAOM H£3aBHCHMbIX nepeMeHHblX (4>aKTOpOB). IlpH 3TOM IIOAbaVCMCH CIIOCOOOM H3MCHCHEIH BeAHMHH H£3aBHCHMbIX nepeMeHHbIX H H3MCpX6M BeAHMMHy IipHHHIViO 33BHCHMOH nepeMeHHOH. KaKOe BAHHHHe HMeiOT OTAeAbHbie He3aBHCHMbre nepeMeHHbie Haii yKa3biBaeT 06biKH0BeHHbitt BapiianiioimuH aHaAH3. MeTOA 0pT0r0HaAbHbix mhoiomachob Ha.M n03B0AaeT y3HaTb TaiOKe O KaKOH 33BHCHMOCTH CyTb, HTO KaCaeTCSI OTAeAbHMX (JiaKTOpOB. Bo3" MoaiHo TaKJKe onpeAeAHTb a AHepeHmipoBaTb AHHeimyio 3aBncn-MOCTb OT KBaApaTHOH 3aBHCHMOCTH; TaKJKe cAyqaii eCAH KaKaH hh6v'ab Bbicmaa CTeneHb noAimoMa HMeeT CTaTHCTHMCCKoe 3naqenne. IlpH 3TOM HaM COAeHCTByeT CAyiaft, eCAH bi.lGop <}>aKTOpOB TaKOB, 1TO pa3HHHbI MOKAV OTAeAbHbIMH BeAlmHHaMH f mto KaCaeTCSI VPOBHH) He3aBHCHMbix nepeMeHHbix npeACTaBASHOT n0CT0SHHyi0 BeAHaKTOpOB ypOBHH. PaccMOTpeH npHMep aah aHaAH3a 3x3x3, t. e. CAViaii npH ko-TopoM H3MeH»AH TpH He3aBHCHMbie nepeMeuHtie B Tpex ypOBH«X. B pe3yAbTaTe noAyneHo 27 AaHHbix. ITocAeAOBaAO onpeAeAeHHe ypaB-HeHHfl perpecCHH, K0T0p0e OUMICH5UT 3aBHCHMOCTb MOKAV 3aBHCH-MOH H He3aBHCHMbIMH nepeMeHHaMH. Sto ypaBHeHHe AOAb>KHO co-Aep>KaTb TaK>Ke Bce MACHLI nOAHHOMa, KOTOpbie HMeiOT CTaTHCTHMe-CKoe 3HaMeHHe. AaHHO VKaaanne, KaKHM 06pa30M BbinOAHHTb TaKyio o6pa6oTKy AaHHbix b CAyHae, eCAH He HMeeM b pacnopaaceHHH coBpeMeHHbiii 3AeKTpOHHbIH CHCTMHK.