i
i
“509-Petkovsek-Naloga” — 2010/6/2 — 10:43 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 8 (1980/1981)
Številka 4
Stran 222
Marko Petkovšek:
NALOGA O PRESEKOVEM ZNAMENJU
Ključne besede: matematika, kombinatorika, Eulerjeva formula.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/8/509-Petkovsek.pdf
c© 1981 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NALOGA 0 PRESEWEM W\BlENJU 
Prasekova snanenja tglej naslovno st ran,  desno spodaj) j e  ses- 
t r v l j e n a  t z  trah krogov, k i  ponazsrjajo medsebojno p rep le tan je  
t reh  ved: aatewatike,  f i z i k e  i n  astronon-tje. Poskusi n a r i s s t i  
ustreeno znantenjc %a Btirt vedel Zastopani n a j  bod0 vst  motni 
prssekf S t i r t h  l i k o u ,  a vsak saao enkrat .  
Pozor: s s a m l w l  krogf n a j b r f  ne bo J l o l  
LIST ZA MLADE 
MATEMATIKE 
FlZIKE 
ASTRONOME 
I I D A J A  D M F A  S R S  

Pr av t a k r a zmi sl ek nam
o = (n (n - 1 ) / 2) x
l' = n x (2 (n - 1 ) )
P l' - o + 2 = n 2
Ka ko pa vidi mo, da se zn amen ja za 4 vede ne da ses ta vi t i iz sa -
mih kr ogov ?
Eule r j eva f ormula za pove za ne r av ni ns ke mnogoko t niš ke mre že s e
g1as i
o - r + p = 2
Tu je o - š t e v i l o o 'l l i š č , l' - š te vi l o r obov in p - š t e v i l o polj
mre že ( vk lj u čno z zuna nj i m).
Deni mo , da mrežo se stavljajo šti ri kro žni ce . Ko l ik o ima o'l l i šč ,
r obov? Dve kro ž nic i v ravnini sta l a hko brez s kupni h točk, a l i
pa i ma t a sku pne vse svoje t oč ke , na ta nko e no t o č k o a l i pa natan -
ko d ve t oč k i . Prv i t r ije pr imer i tu ne pridej o v pošte v, sa j po -
t em ne bi do bil i vse h mo žni h pre se kov; pra v ta ko s e veni to č ki
ne smej o se kati t ri a li ce lo več kr ožnic . Vs ak par krožni c pr i -
s pe va pote mtake m nata nko d ve 0'11 i š č i mr eže . Ke r l a hko med š t i -
ri mi krožn icam i iz ber em o 6 r az li čn ih parov, ima mr ež a o = 6x 2 =
= 12 oql i š č ,
Posamezna kro žn i ca se s e ka s t r emi drugim i kr ož ni ca mi, t a ko da
l ež i na njej 6 og l išč mreže, ki jo razde lijo na 6 lo kov - ro-
bov mrež e . Torej j e l' = 4x6 24.
Iz Eule r jeve f ormule dobimo s t emi podat ki
p = l' - o + 2 = 14
Ra bil i pa b i 16 pol j, to r e j s sa mi mi kr ogi ne gre . Elip s i na
s l ik i se seka ta v 4 t o č kah, tak o da dob imo dve o g lišči i n 4 r o-
bove v eč , t o pa nam da r avno dve man j ka joči polj i .
po ka že , da je pri n kr ožn i cah
2 = n 2 - n
2 ( n 2 - n )
- n + 2
če j e n ~ 2 . Formul a za p pa o č i t n o ve l j a tud i pr i n = 1.
Ozna č im o k (n ) = n 2 - n + 2 i n p (n ) = 2n . Vel ja
k (n ) = p (n ) za n 1,2, 3
k (n ) < p (n ) za n ~ 4
S s ami mi kro g i lahk o na r i š emo l e zname nja za 1 , 2 a l i 3 vede .
Marko Petk ov šek
251