MATEM ATI KA
Po sledi neke neenakosti
•is •i' ■i'
Marija D. Miloševič
Na pripravah za tekmovanje iz matematike so Zoran, Irena, Marjan in Zdenka reševali naslednjo nalogo:
Dokaži, da za a > b > 0 velja naslednja neenakost:
a2 b2
— - — > a - b. ba
(1)
Zoranova rešitev. Iz pogoja naloge a > b sledi a -b > 0. Z množenjem te neenakosti z 1 in z 1 do-
2	, 2	v
bimo ab— a > 0in b - > 0. Ce seštejemo ti dve
neenakosti, dobimo — - a + b - — > 0, od koder sledi iskana neenakost (1).
Irenina rešitev. Zaradi a > b je a < - oz. - - a > 0. Ce to neenakost pomnožimo z a2 + b2, dobimo
a2+b2 ' '	'	'	' '
b
a - b, tj. (1).
Marjanova rešitev. Pogoj a > b nam da - > 1. Z množenjem te neenakosti po vrsti z a2 in b2 dobimo — > a in b > ^r. Ce seštejemo ti dve neenakosti,

a2+b2 . n „i- a2 . i „ b2 . n „„ a2 b2 .
-+- > 0ali ab + b - a - a > 0oz- -b - a>
dobimo b + b > a + a2, od tod pa je b - a > a - b.
Zdenkina rešitev. Iz a > b sledi a - b > 0. Potem je (a - b)(a2 + b2) > 0 in od tod a3 - b3 - a2b + ab2 > 0, ali a3 - b3 > ab(a - b). Z deljenjem zadnje neenakosti z ab dobimo a3-b3
b2
koncno sledi neenakost (1).
ab
Poglejmo, ce je neenakost (1) mogoče še izboljšati. Za a > b > 0 velja bolj natančna neenakost
1 a2
b2
T7 -;---I > a - b.
3 \ b a
(2)
Rešitev. Iz neenakosti (a - b)2 > 0 sledi a2 + ab + b2 > 3ab. Ce to neenakost pomnožimo z a - b > 0, dobimo (a - b)(a2 + ab + b2) > 3ab(a - b), tj. a3 - b3 > 3ab(a - b). Po deljenju z 3ab sledi 3 (b - -r) > a - b, (za a > b > 0), kar je bilo treba dokazati.
Naloge za samostojno delo
Za pozitivni števili a in b dokaži naslednji neenakosti:
b2
b>a+b
1 (b - b?) > a2 - b2, za a > b.
Dokaži, da za pozitivni števili a in b velja naslednja neenakost ± (f + > ^
a+b
XXX
> a - b, od tod pa
Rešitvi nalog iz prejšnje številke
•is "is •i'
Marko Razpet
1. Za peterico
■	(2n, 2n + 1, 2n + 2,6n2 + 6n + 2,6n2 + 6n + 3), (1)
ki ima očitno za vsako naravno število n naravne koordinate, moramo preveriti enakost
■	(2n)2 + (2n + 1)2 + (2n + 2)2 + (6n2 + 6n + 2)2
= (6n2 + 6n + 3)2 .	(2)
10
PRESEK 45 (2017/2018)4
MATEM ATI KA
Spomniti se je treba, da je kvadrat troclenika enak vsoti kvadratov posameznih njegovih clenov in vseh dvakratnih produktov po dva clena. Racun poteka tako:
■	4n2 + (4n2 + 4n + 1) + (4n2 + 8n + 4) +
(36n4 + 36n2 + 4 + 72n3 + 24n2 + 24n) = = 36n4 + 36n2 + 9 + 72n3 + 36n2 + 36n = (6n2 + 6n + 3)2 .
S tem je enakost (2) preverjena.
Največja je peta koordinata 6n2 + 6n + 3, ki ne presega 100 samo za n = 1, 2, 3. Tedaj dobimo pita-gorejske peterice:
■	(2, 3,4,14,15), (4, 5,6, 38, 39), (6, 7,8, 74, 75). Opomba.
Z uporabo peterice (1) ne dobimo vseh pitagorejskih peteric. Pitagorejske peterice (2,4,6,13,15), npr. ni med njimi.
2. Uporabimo enakost a2 - b2 = (a - b)(a + b) i
in
V posebnem primeru q = 10 je
1
1 + 10 + 102 + ... + 10n = - (10n+1 - 1).
9
(4)
Enakost (3) lahko sedaj z uporabo mestnega zapisa in (4) preverimo tako:
55 ... 5 62 - 44 ... 4 52 =
(55... 5 6 - 44... 4 5)(55... 5 6 + 44... 4 5)
n	n	n	n
11... 1 -1 00... 0 1 =
n+1	n
(10n + ... + 10 + 1)(10n+1 + 1) =
1(10n+1 - 1)(10n+1 + 1) = 9
9 ((10n+1)2 -1) = 9 (102n+2 -1) =
1 + 10 + ... + 102n+1 = 11... 1 .
2n+2
XXX
dobimo:
62 - 52 = (6 - 5)(6 + 5) = 1 ■ 11 = 11,
562 - 452 = (56 - 45)(56 + 45) = 11 -101 = 1111,
5562 - 4452 = (556 - 445)(556 + 445) =
111 ■ 1001 = 111111,
55562 - 44452 = (5556 - 4445)(5556 + 4445) = 1111■10001 =11111111.
Predvidevamo, da velja enakost
55... 5 62 - 44... 4 52 = 11... 1
n	n	2n+2
(3)
Ce hocemo (3) zares izpeljati, ne le uganiti, se moramo spomniti, kaj desetiški mestni zapis števil sploh pomeni. Primer: 1949 je le krajši zapis števila 1 ■ 103 + 9 ■ 102 + 4 ■ 10 + 9. Brez težav pa lahko krajše izrazimo vsoto Sn = 1 + q + q2 +... + qn, kjer je q poljubno število, ki ni enako 1, n pa poljubno naravno število. Ker je qSn = q + q2 +q3 +.. .+qn + qn+1 = Sn-1 + qn+1, dobimo Sn iz enacbe qSn = Sn + (qn+1 - 1):
Sn = 1 + q + q2 + . . . + qn =
q
n+ 1
-1
q-1
SLIKA K MATEMATIČNEMU TRENUTKU.
Bitcoin je primer kriptovalute, to je, sistema digitalnega plačila, ki obstaja le v elektronski obliki. Več lahko izveste v matematičnem trenutku na strani 2.
_XXX
11	PRESEK 45 (2017/2018)4