Univerza v Ljubljani Ekonomska fakulteta Marijan Blejec Statistične metode ekonomskih raziskavah Ljubljana 1963 I i UNIVERZA-V LJUBLJANI Ekonomska fakulteta dr, Marijan Blejec STATISTIČNE METODE V EKONOMSKIH RAZISKAVAH Ljubljana 19č>3 ✓ - - .Izdala Ekonomska fakulteta Tiskala in založila Univerzitetna založUa v Ljubljani Naklada 2^0 izvodov V S E B I IT A UVOD Osnova statistične analize, pojavov ... 1 Načini statistične analize .. 3 Uporala statističnih, metod v ekonomskih raziskavah «.« 4 . /B OŽIČNIH POJAVOV Sistematika množičnih pojavov O Frekvenčne porazdelitve .. J Lorenz ov grafikon .,... 12 Ginijev koeficient koncentracije .. 15 Lorenzov grafikon in Ginijev koeficient koncentracije iz negrupiranih podatkov ....«.««•»»••* ♦• • • * ** ****'• * * ^ 7 Specifični primeri analize z relativnimi števili ..... 2 o Proučevan je korel aoijslci h odvisnosti v K orelacija relativnih odnosov ...*** ^4 Spearmanov koeficient korelacije .. 44 Kendallov koeficient korelacije .................. 47 ANA LIZA DINA MI KE POJ AVOV Primerljivost podatkov v časovni vrsti ... Elementarna analiza časovnih vrst ..... 54 Enostavni indeksi s stalno hazo .......... *..........» 4'-j Logaritemski grafikoni .* Komponente dinamike po javov ..*..* * * 'Modeli časovnih vrst_.................«»»..«•*»».••■*• * 67 Vloga povprečij pri analizi časovnih vrst ............ TREND " Preskus o značilnosti trenda ... 7o Grafično in mehanično določanje trenda .. 73 o o \ P X*0 S "fc O X" O C XIS metoda .00..co......oo..«o......a. o. ...... 73 Metoda sredin med najvišjimi in najnižjimi točkami ... 74 Metoda drsečih, sredin ... 77 Vrsta drsečih, sredin z enakimi razmaki Vrsta drsečih sredin s spremenljivimi razmaki .... Analitično določanje trenda Metoda izbranih točk Metoda delnih sredin Metoda delnih vsot . Metoda najmanjših kvadratov Linearni trond .... Polinomi potone X r Polinomi potone x r Polinomi binomskih funkcij (^) .. Ortogonalni polinomi o c o a 0 o o o o o a o e e c o e o 0 9 0 0 9 0 0 O o o o o o o • 9 0 0 0 0 0 77 8o 87 92 95 97 lo8 112 114 115 122 138 PERIODIČNI VPLIVI Metodo za merjenje statične sezonske komponente ...... 164 ' M etoda vsot I....o......... ............ « j Metoda kvocientov na trond ............ ■ Metoda kvocientov na drsečo sredino ... Metoda itcracijo .... 0090000000 o 0 o 0 o 165 166 167 173 Metoda verižnih kvocientov ...................... 174 Metoda grafičnega približka .. 0000 I80 Proučevanje dinamične sezonske komponento . 181 182 Grafična metoda analizo dinamične sezonske kompo¬ nent o ........... 000000000 00000 I Proučitev dinamično sezonske komponente z anali¬ zo varianco .. 184 CIKLIČNI VPLIVI Preskus o značilnosti ciklično komponento ............. 189 Merjen jo ciklično komponento .....193 Rozidualna metoda ............................o®.«..... 193 Eliminacija tronda in sezonskih vplivov ............... 193 Eliminacija irogularnih vplivov .................... 2ol Sistemi tehtanja v vrsti drsečih sredin ......... 2o2 Netehtane sredine ............................ 2o2 Sredino, tehtane z hinomskini koeficienti .... 2o2 Grafično eliminiranje ........................ 2o3 Metoda drsečih lokov ......................... 2o4 Primerjava ciklov - standardizacija ................... 2o9 IREGULARNI VPLIVI 2 Preskus s 3^ ................o........................ 214 Preskusi o neodvisnosti iregulamih vplivov ........... 216 Preskus sekvenc .........oo.....«....®.®........«... ^17^ Preskus s ooo.«.o«.«.®....».«.«o 218 PROUČEVANJE KORELACIJE PRI DINAMIKI POJAVOV Korelacija med dvema časovnima vrstama .. 221 Analiza korelacije z ortogonalnimi polinomi ........... 225 Korelacija z odlogom .................................. 231 Asociacija z odlogom .................................. 234 Avtokore1acija .........o......e®..«......*.*.......... 242 ■ uvod feČaj iz statističnih metod v okviru poglobljenega študija iz zunanje trgovine obravnava statistične metode z vidikov, ki se pojavljajo pri proučevanju problemov v zu- • nanji trgovini* Ker zavzemajo v tej zvezi posebno mesto me¬ tode analize dinamike pojavov, jih obravnavamo podrobno, medtem ko so druge metode obdelane le za tipične in specifič¬ ne primere statistične analize problemov iz zunanje trgovi¬ ne. Zato skripta niso sistematičen učbenik o statističnih metodah v ekonomskih raziskavah, temveč dopolnilo h knjigi: M, Blejec, Statistične metode za ekonomiste Ljubljano, 1961, v kateri najdemo sistematično obdelane statistične metode, ki se pojavljajo v socialno-ekonomskih raziskavah. Osnova statistične analize pojavov 0.1 Statistika se bavi s kvantitativnim proučevanjem mno¬ žičnih pojavov, s specifičnimi metodami odkriva zakonitosti množičnega pojavljanja in podaja kvalitativno analizo poja¬ vov. Iz te definicije sledi, da so ekonomska raziskavanja tipično področje, v katerem uporabljamo statistične metode- analiz. Ekonomski pojavi se namreč z malimi izjemami pojav¬ ljajo množično. Tako je množičen pojav akt kupoprodaje, ker se v času in prostoru pojavlja v velikem številu, množičen Pojav je tudi proizvodnja določenega artikla, akt izvoza ali uvoza itd. Specifične metode, ki so tipične za statistično proučevanje, so metode kvantitativnega proučevanja variabilnosti pojavov, proučevanja medsebojnih zvez in vplivanja med pojavi, ki so¬ di v proučevanje korelacijskih odvisnosti in ne na zadnjem mestu proučevanje dinamike pojavov, V definiciji statistike smo navedli, da statistika s kvanti¬ tativnimi metodami daje kvalitativno sliko pojavov. V pojas¬ nilo omenimo samo povprečno proizvodnjo na enoto časa. Ta je 1 tipičen kvalitativen pokazatelj čeprav je izražen kvantita¬ tivno in kaže produktivnost dela. Podobno je obseg proizvod¬ nje ali potrošnje določenega artikla pokazatelj standarda, ♦ procent slabih artiklov ali mera variabilnosti pokazatelj kvalitete proizvodnje itd. Ena izmed osnovnih črt množičnih pojavov je variabilnost, na katero naletimo pri statističnem proučevanju na vseh področ¬ jih, Pojavi, ki niso variabilni, v kolikor ti pojavi v naravi in družbi sploh obstojajo, niso predmet statističnega prouče¬ vanja, Kljub temu, da nekateri pojavi izgledajo na prvi pogled konstantni oziroma enaki, t-emu ni tako. Vzemimo n,pr, samo proizvodnjo določenega artikla pod določenimi stalnimi pogo¬ ji, Zaradi individualnih slučajnostnih vplivov so artikli glede na proizvodne pogoje več ali manj različni. Vrsta me¬ tod za proučevanje množičnih pojavov ima posredno ali nepo¬ sredno za osnovo proučevanje variabilnosti pojava. Cela dis¬ ciplina statističnega proučevanja - planiranje eksperimentov pa je zasnovana izključno na proučevanju variabilnosti. Zaradi variabilnosti, ki izvira iz individualnih in slučaj- nostnih vplivov se zdi, da so zakonitosti o pojavih zamegle- ne. Vendar se po zakonu o velikih številih rezultati indivi¬ dualnih vplivov v množici pojavov v povprečju uničijo in ta¬ ko izbije tipičnost oziroma zakonitost, če pojav proučujemo množično. Produktivnost posameznega delavca je rezultat vseh - splošnih in individualnih vplivov kot so starost, čas zaposlit¬ ve na delovnem mestu, zdravstvena kondicija itd. V povprečju pa se rezultat individualnih vplivo% T zabriše. Zato je povpreč¬ na produktivnost dela izraz splošnih pogojev dela, nivoja pro¬ duktivnosti itd. Enako je teža posameznega artikla rezultat vseh, splošnih in individualnih pogojev, pod katerimi je bil artikel proizveden, mera variabilnosti v proizvodnji, ki jo dobimo računsko iz podatkov za posamezne artikle pa karakte¬ ristika proizvodnega procesa ali stroja, na katerem so bili artikli proizvedeni, ne pa posameznega artikla. 2 Hačinl statistične analize Statistična analiza sestoji iz več vsebinsko različnih nači¬ nov, 0,2 Statistično opisovanje množičnih pojavov sestoji iz grupiranja podatkov po vsebinskih grupah in iz izračunavanja različnih pokazateljev, s katerimi opisujemo značilnosti^mno¬ žičnih pojavov? Tipični opisni pokazatelji ^o relativne vila, srednje vrednosti, nere variacije itd. Statistična^ana¬ liza obstoji v tem primeru iz tabelarne analize v tem smislu, da primerjamo ned seboj posamezne pokazatelje, ki jih izraču¬ namo po grupah, in tako odkrijemo zakonitosti v populaciji. ho podatkov o posameznih enotah, ^katerimi opisujemo množi¬ čen pojav, pridemo na dva, tehnično različna načina, S popol¬ nim opazovanjem, običajno s popisom, dobimo podatke o vseh enotah populacije in iz njih izračunamo ustrezne opisne poka¬ zatelje. Ta način, v kolikor je zaradi popolnega zajetja popu¬ lacije nesporen, bolj in bolj izpodrivajo metode delnega opa¬ zovanja, predvsem vzorčenje. Z vzorčenjem, pri katerem .zavest¬ no ne opazujemo vseh enot, temveč le del enot populacije, ki jih izberemo na sluČajnostni način, objektivno ocengujemo o- plsne pokazatelje. Čeprav so z vzorčenjem dobljeni rezultati le ocena pravih pokazateljev, ga zaradi očitnih prednosti pred drugimi metodami delnega opazovanja in tudi pred metodami po- . nnn-Mtl lamo z vedno večjim uspehom, polnega opazovanca, upora.Dijauu Možnost ocenjevanja napake, ki izvira iz vzorčenja in reguli¬ ranje te napake, so teoretične prednosti, ki jih ima vzorče¬ nje pred drugimi metodami delnega opazovanja. Hitrost, s ka¬ tero pridemo do podatkov, razmeroma nizki stroški, kvaliteta izvedbe itd., pa so tehnične in materialne prednosti, mi čil¬ ima vzorčenje pred metodami popolnega opazovanja, 0.3 Preskušanje hipotez je druga tipična metoda za.analizi¬ ranje množičnih pojavov, Prav tako z vzorčenjem, ki ima za osnovo verjetnostni račun, s posebnimi metodami^preskušamo hipoteze o določenem množičnem pojavu. Statistično presku- 3 sanje hipotez je stvarno osnova velikega števila analitič¬ nih. statističnih metod« Celotna statistična kontrola kvali¬ tete .sna za teoretično osnovo preskušanje hipotez o kvaliteti, Planiranje eksperimentov, ki je osnova raziskovalnega dela, je osnovano na preskušanju hipotez in ima za osnovo analizo variance. 0*4 8 korelao ijsko in regr esijsko anali zo proučujemo odvi- stnosti med množičnimi pojavi, Te odvisnosti niso funkcijske* Zaradi individualnih in slucajnostnih vpliven so zakonitosti v odvisnosti-med množičnimi pojavi zamegljene, S korelacijsko in regresijsko analizo pa uspemo te odvisnosti odkriti in ana¬ lizirati, Tako količina blaga na trgu in cena nista odvisni funkcijsko, temveč korelacijsko. Enako je korelacijska odvis¬ nost med količino in vrednostjo izvoza« vrednostjo izvoza in uvoza itd. 0,5 S posebnimi statističnimi metodami proučujemo dinamiko po javov« Proučevanje dinamike pojavov je posebna disciplina statistične analize, ki se je razvila predvsem iz proučevanja ekonomskih pojavov in se tudi z največjim uspehom uporabi ja- pri analizi dinamike ekonomskih pojavovm Konjunkturno prouče¬ vanje ekonomskih pojavov je zasnovano na analizi Časovnih vrst in ima za osnovo metode analize dinamike in korelacijske ana¬ lize časovnih vrstah. Ekonomski pojavi niso statični, ampak se časovno spreminjajo. Spremembe pa glede na faktorje, ki vplivajo nanje, slede določenim zakonitostim kot sc n,pr, osnovi a snor razvoja, sezonski vplivi, ciklični vplivi itd, katere proučujemo s posebnimi statističnimi metodami, Uporaba statls'; : .čnih metod v ekonomskih raziskavah 0,6 Statističnih podatkov ali metod statistične analize se v ekonomiji poslužujemo v najrazličnejše svr.ie. Tako potrebu¬ jemo pri planiranju novih investicij kompleksne podatke o do¬ segljivosti surovin, o trendu potreb po določenem artiklu, o 4 klimatskih prilikah, o delovni sili, o življenjskih stroš¬ kih itd, Tu pridejo v poštev najrazličnejši podatki in meto¬ de statistične analize. Pri načrtu prodaje je troba poznati trend, sezonsko in ciklično komponento v prodaji. Če pozna¬ no elemente, moremo s korelacijsko analizo doseči koordinaci¬ jo med produkcijo, prodajo in zalogami. Problem minimalno potrebnih zalog je v ozki povezanosti s proučevanjem odnosov med proizvodnjo in prodajo, proučevanjem obračanja zalog itd. 0.7 Posebno poglavje uporabe statističnih metod v ekonomiji je kontrola kvalitete . Statistična kontrola kvalitete ima v glavnem tri cilje: a) pomagati pri določanju standardov za posamezne ahtikle b) kontrolirati proizvodni proces^ Če teče proizvodnja v skladu s predpisanimi standardi c) kontrolirati gotovo blago, pri čemer ugotavljamo, ali prodano ali kupljeno blago ustreza danim specifikaci¬ jam, Statistična kontrola standardov pokaže ali in v koliko je proizvodnja zmožna, da proizvaja artikle določene specifika¬ cije. Z vzorcem poizkusne proizvodnje dobimo pokazatelje, ki- povedo, v koliko proizvodnja ustreza standardom. Pri tem pre¬ skusu ugotovimo, kolik del proizvodnje ustreza specifikaciji, more pa ta kontrola odkriti tudi primere, do je toleranca, ki jo dopušča standard, večja kot po jo daje stroj. V tem pri-- meru odkrijemo, da je stroj glede na dano specifikacijo pre¬ več natančen. Statistična kontrola proizvodnega procesa sproti kontrolira, oli proizvodni proces teče pravilno ali pa je zaradi katere¬ gakoli vzroka začel proizvajati proizvode, ki so od predvide¬ ne specifikacije različni. Pri tej kontroli običajno kontroli¬ ramo povprečja določenih karakteristik artiklov kot so: teža, upor, trdnost itd., razen tega pa variabilnost teh karakte¬ ristik. Zvečanje variabilnosti karakteristike, ki je kontro¬ liramo, kaže običajno resnejše motnje v proizvodnem procesu kot pa sprememba povprečne karakteristike, ITapake, ki izvirajo iz variabilnosti namreč običajno težje odpravimo kot pa moreno 5 uravnati' stroj na pravo povprečje Statistična kontro l a blaga pri pravnemu ima 2a cilju da z razmeroma majhnimi vzorci ugotovimo, ali izdana pošiljka ustreza ali ne ustreza danim specifikacijam. Pri kontroli prevzema na osnovi statistične kontrole kvali¬ tete z vzorcem sprejmemo kot ustrezno ali zavrnemo kot ne¬ ustrezno pos; mezno skupino artiklov. Statistična kontrola prevzema na jr. a) ščiti vonzumenta, da no sprejme preveč slabih skupin,- b) ščiti roducenta oziroma prodajalca, da ne zavrne pre¬ več do rib. skupin, c) zagotovi, da v velikem številu preskusov število slabih ar tiki. v ni - preveliko, d ) zmanjša stroške kontrole na čim manjšo mero. t-8, . .g ic-ako analize 3 pridom uporab . jamo tudi pri trgovanju« Znane so statistične metode anea-ize prodaje, ana~ - liže tržišč . n območij, ki morejo v perspektivi nastopiti kot potencialni trg/ Statistična analiza trga, ki je zasno¬ vana na anketah ali statističnih eksperimentih, odkrije naj¬ boljši način prodaje/daje informacije o željah potrošnikov, da odgovor ne vprašanja o efektnosti različnih sredstev re¬ klame, oglašanje itd. Pri proučevanju pojavov Iz trgovine na sploh in iz zunanje trgovine -posebe j z metodami, analize dinamike po.ja^cv odkri¬ vamo smeri razvoja v zunanji trgovini, odvisnosti v razvoju v zunanji trgovini, odvisnosti v.razvoju zunanje -trgovine med državami in odvisno,sti zunanje trgovine od drugih ekonom¬ skih pojavov. 1 STATISTIČNO OPISOVANJE MNOŽIČNIH POJAVOV S is tematika v množičnih, p o j a vih 1.1., Kot množičen pojav smatramo vsak pojav, ki v času in prostoru množično nastopa, kot statistično populacij o pa definiramo skupnost istovrstnih pojavov, ki zadoščajo dolo¬ čenim opredeljujočim pogojem, Statistične populacije so sestavljene iz s tatističnih enot, Vsaka enota ima določene značilnosti, ki jih imenujemo znake. Statistični znaki pa imajo svoje ^rednosti znakov, ki se spreminjajo od enote-do enote. Kvantitativne značilnosti populacij imenujemo sta¬ tistične parametre , Te običajno izvedemo iz. znakov oziroma iz vrednosti znakov za posamezne enote, Statistične parametre, s katerimi opisujemo na kvantitativen način populacije, izvedemo iz vrednosti znakov enot, ki po¬ pulacijo sestavljajo. Parametre dobimo s statistično obde¬ lavo o vrednostih znakov podatkov. Kot smo že navedli, je ta obdelava specifična in jo izvedemo z različnimi statistič¬ nimi metodami# Če vzamemo kot primer za posamezne navedene pojme primer iz zunanje trgovine, moremo kot populacijo vzeti skupnost dr¬ žav, ki so imele v levu 1961 zunanjetrgovinske stike z ELRJ. Ta populacija je opredeljena s.'pogojem: da je imela država v letu 1961 zunanjetrgovinske stike z FLRJ«. S tem pogojem državo, ki so enote populacije, ločimo od držav, ki zunanje¬ trgovinskih stikov niso imele in niso enote populacije, Eno¬ te navedene populacije so posamezne države, statistični zna¬ ki pa so n,pr, vrednost uvoza ali izvoza v letu 1951, razmerje med izvozom in uvozom, celina, iz katere država .izhaja, leto v katerem je država vzpostavila zunanjetrgovinske stike z FLRJ itd. Čeprav ima posamezna država nebroj značilnosti, izmed teh smatramo kot statistične znake v ožjem smislu le ■ tiste značilnosti, ki jih v doni raziskavi opazujemo in ana¬ liziramo, 1 Vrednosti znakov so konkretne vrednosti zgornjih znakov za posamezno državo, Rot parameter moremo za zgornjo popu¬ lacijo vzeti skupno vrednost izvoza ali uvoza.vseh držav z FLRJ, ki so imele zunanjetrgovinske stike z FLRJ v letu 1961, Frekvenčne porazdelitve ' 1.2 Za obsežnejše populacije je pregled vrednosti popu-- laoijc v razširni vrsti nemogoč, Z odstopom od skrajne na¬ tančnosti razporeda, ki ga dobimo z ranžirno vrsto na ra¬ čun večje preglednosti in nazornosti, vrednosti v populaci¬ ji uredimo v frekvenčno porazdelitev, v kateri nazorno do določene natančnosti prikažemo, kakšne so vrednosti enot v populaciji. Frekvenčno porazdelitev dobimo, če numerični znak, po kate¬ rem proučujemo določeno populacijo, najprej zgrupiramo v razrede, tako da je vsaka vrednost znaka v enem in samo enem razredu, S preštevanjem dobimo, koliko enot populaci¬ je ima vrednosti v posameznem razredu, Ta števila imenuje¬ mo frekvence, V praksi pridejo za formiranje razredov v glavnem v poštev trije načini. Če ni vsebinskega razloga za neko drugo razdelitev znaka, vzamemo razrede z enakimi širinami ( širina razreda i v = X, , ‘ _ •• \Ki , miar = i je razlika med največjo in naj-- k k 7 mak k 7 ^ 1 - manjšo vrednotijo v ra,zredu). Me je-razredov so v tem prime¬ ru aritmetično zaporedje. Če vzamemo za primer .frekvenčne porazdelitve strukturnih deležev držav •* svetovnem izvozu v letu 1928-1958, dobimo naslednje štiri frekvenčne -porazdelitve. 8 Tabela 1,1 Prekv on.cn e porazdelitve .strukturnih deležev držav v svetovnem izvozu in uvozu v letih 1928 in 1958 Zgornje frekvenčne porazdelitve imajo tipično obliko, ki jo zasledimo v mnogih ekonomskih pojavih. Velika gostitev ozi¬ roma velike frekvence v razredih z majhnimi vrednostmi in rapiden padec frekvenc v razredih z velikimi vrednostmi* Slika takih frekvenčnih porazdelitev je J porazdelitev, Po¬ dobno frekvenčno porazdelitev dobimo pri grupiranju podjetij po velikosti (po številu delavcev, po vrednosti proizvodnje itd.) ? pri grupiranju kmetijskih gospodarstev po površini itd 1.3- Za primere? ki smo jih nakazali, v prejšnjem odstavku, je bolj upravičena grupacija oziroma razredi, ki nimajo ena¬ ko absolutno, ampak relativno širino. Razredi imajo enako relativno širino, če je kvocient med zgornjo in spodnjo me¬ jo za vse razrede enak, Posebno pri podatkih, ki so med se¬ boj zelo različni in so v isti populaciji er.ote z zelo majhni mi vrednostmi in. enote z zelo velikimi vrednostmi, je pri 9 primerjanju podatkov smiselna relativna primerjava. Če pri¬ merjamo izvoz dveh držav, smatramo, da je med državama A z ir vozom 10 in državo B z izvozom 20 veliko večja razlika kot pa med državama C z izvozom 100 in državo I) z izvozom 110, čeprav je absolutna razlika med prvima in dru¬ gima državama enaka« Relativna razlika med prvima državama je namreč 100 med drugima pa le 10 %, Zato smatramo v relativnem kot enako velike tiste razrede, pri katerih je kvocient med zgornjo in spodnjo mejo enak. Potreba po re¬ lativno enakih razredih je v proučevanjih iz zunanje trgo¬ vine pogosta. Vse analize, ki imajo za osnovo podatke po- državah, so v večini primerov navezane na relativne primer¬ jave, ker nasropaj o države z zelo majhnimi in države z ze¬ lo velikim zunanjetrgovinskim prometom. V nadaljnjem navajamo nekaj primerov z relativno onakjmi' razredi-u Za razrede s konstantnim kvocientom x max. = 2 dobimo naslednjo geometrijsko zaporedje za meje x mir razredov? 1,2,4,8,16,32.,,64,128,256,512,1024,2048 itd* Za konstantni kvocient x_ /x . = 3, dobimo geometrijsko zaporedje: 1,3,9,27,54,162,486,1458 itd. Za konstantni kvo¬ cient x mx / x m j n ~ 5, dobimo geometrijsko zaporedje: 1,5, 25,125,625,3125,15625,78125 itd** Hiba teh razredov' je v tem, da vrednosti mej niso okrogle, lahko predstavljive vrednosti. Če malenkostno odstopimo od principa, da mora biti kvocient med dvema mejama popolnoma enak, moremo skonstruirati zaporedje mej in razredov, ki imajo obe lastnosti: meje razredov so vsaj do neke mere zaokrožene vrednosti, razredi pa so z nebistvenim odklonom relativno enaki med seboj. Tako predstavlja zaporedje l,2,4,8,15,3o,6o,125,25o,5oo, looo itd, mejo razredov, za katere so razmerja med zgornjo in spodnjo mejo enaka ali blizu 2, vrednosti pa so zaokro¬ žene in si jih lahko predstavljamo . Številke se v ciklu tromestnih števil ponavljajo. V zgornjem zaporedju imamo dva odstopa cd konstantnega razmerja 2: od 8 smo prešli na 15 namesto na 16 ( razmerje 1,88 namesto 2,oo), od 6o smo pa prešli na 125 namesto'na 12o in je kvocient 2,o8 namesto 2 j oo. Zaporedje s približnimi verižnimi razmerji 2,5 je: 1; 2.5; 6; 15; 4o; loo, Zaporedje, s približnim verižnim razmerjem 3 je: 5,15,50, 15o s Zaporedje s približnimi verižnimi razmerji 4 pa: l,4,15,6o, 25o s looo« Seveda moramo meje razredov glede na problem prirediti z množenjem lo x na poljubne veličine oziroma jih nadaljevati: n,pr« za prvo zgornjo zaporedje: looo, 2ooo, 4ooo itd,. In4- Vzemimo kot primer frekvenčnih porazdelitev z rela¬ tivno enakimi razredi odstotke za vrednost izvoza in uvoza za države v svetovni trgovini v letu 1928 in 1958, ki smo ga obravnavali že v tabeli 1.1. Ustrezne frekvenčne poraz¬ delitve so prikazane v tabeli 1.2. Tabela 1.2 Frekvenčne porazdelitve strukturnih deležev dr¬ žav v svetovnem izvozu in uvozu v letu 1928 in 1958 11 Porazdelitev držav po deležih v svetovnem izvoza oziroma uvozu v tabeli 1,2 se bistveno razlikuje od porazdelitve v - tabeli 1 , 1 « Namesto J - distribucij dobimo frekvenčne poraz¬ delitve, ki imajo tipično lastnost uninodalnih ali binodal- nih porazdelitev* Prvi vrh je v glavnem v vseh porazdelitvah v razredu nad 'o,o8 - 0,15. drugi vrh v razredu o,3o - 0,60. To kaže na to, da je populacija heterogena in sestavljena iz dveh vsebinsko različnih skupin: razvite - nerazvite dr¬ žave , 1.5 Frekvenčne porazdelitve tipa kot so prikazane v tabeli 1,2 grafično prikazujemo v histogramih ali poligonih, pri katerih je skala za znak.logaritemska, V verjetnostnem gra¬ fikonu pa je ena os logaritemska, druga pa verjetnostna« V sliki 1,1 vidimo, da so linije kunulativ relativnih frek¬ venc na logaritemskem grafikonu precej regularne (v smeri premice) razen odklonov v razredu o, 15 -o, 3 o zaradi bimodal- nosti. Iz istega vzroka, zaradi katerega smo uvedli relativ¬ no enake razrede je tudi kot mera centralne tendence umest¬ ne j ša geometrijska kot aritmetična sredina. V grafikonu so prikazane frekvenčne porazdelitve struktur¬ nih deležev v svetovni zunanji trgovini v letu 1953 , 1.6 Tretja vrsta grupiranja znaka v frekvenčni porazde¬ litvi nima nobene omejitve glede mej oziroma širine raz¬ redov, Razredi so formirani po vsebinskem kriteriju in ima¬ jo razrede- prilagojene vsebini in cilju analize. Lorenzov grafikon 1,7 Če za vsak razred v frekvenčni porazdelitvi razen frekvenc f, poznamo še V3oto vrednosti podatkov x^, moremo z lorenzovir:. grafikonom nazorno prikazati koncentracijo po¬ java., ki ga prikazuje frekvenčna porazdelitev. 12 Lorenzov grafikon izdelano po naslednjih točkah: a) Izračunano kunulativo frekvenc 1^. in kunulativo vx ; e da¬ nosti X^. h) Iz kunulativ frekvenc in kumulativ vrednosti iz¬ računano kumulative relativnih frekvenc k, % in kumulati- ve relativnih vrednosti X, Kunulativo relativnih frek- v k vene dolino tako, da kunulativo frekvenc delino z obsegom populacije N j kvociente pa pomnožimo s 100» Podobno krmi- lative vrednosti X~_ delimo s skupno vsoto X in pomnožimo s 100 V k loo Jc N' V X loo k ( 1 . 1 ) X c) V kvadrat s skalama od o do loo % vrišemo točke, ki imajo za abscise kumulative relativnih frekvenc kot ordinate pa ustrezne kumulative -relativnih vrednosti č) Če dobljene točke zvežemo z daljicami, dobimo v loku od levega spodnjega kota kvadrata proti zgornjemu desnemu kotu lomljeno črto. Čim večja je koncentracija pojava v nekih enotah populacije (n.pr Q izvoza v neke države) tem¬ bolj se lok približuje stranicam kvadrata in čim manjša je koncentracija (n^pr. čim bolj je izvoz enakomerno raz¬ deljen po državah), tem bolj se lok približuje diagonali kvadrata« Lorenzov grafikon zato nazorno pokaže koncentracijo po¬ java« Odlika Lorenzovega grafikona je tudi v tem, da ni vezan na določen način grupiranja. Linija koncentracije je le bolj precizna, če v posameznih razredih frekvence niso prevelike« 1,8, Za primer imamo v sliki 1,2 narisan Lorenzov grafi¬ kon za svetovni izvoz v letih 1928 in 1958. Računske osnove za linijo svetovnega izvoza so v tabeli 1-3« 14 ■ * Ginijev koeficient koncentracije 1.9 Razen grafičnega prikaza koncentracije pojava v Lorenzovem grafikonu jakost koncentracije izražamo tudi z G-inijevim koeficientom koncentracije. Iiakazali smo že, trači je v Lorenzovem grafikonu ukrivljena proti spodnjemu desnemu oglu in tem manjša, čim "bolj se prilega diagonali. Če je koncentracija močna, je torej površina med diagona¬ lo in Lorenz.ovo krivuljo velika, pri majhni koncentraciji pa je ta površina majhna oziroma nič, če koncentracije pojava ni in se Lorenzova krivulja in diagonala skladata., Zato moremo vzeti razmerje med omenjeno ploščino in plo¬ ščino trikotnika h ABC, ki ga oklepata abscisna os AB, navpičnica. BC in diagonala kvadrata AC, kot mero koncen¬ tracije, To merilo koncentracije ima vse lastnosti dobre- ga pokazatelja koncentracijej a) ima vrednosti med o in 1; L) je o, če koncentracije ni in 1, če je koncentracija maksimalna, za vmesne stopnje koncentracije pa je pokaza¬ telj koncentracije manjši, če je koncentracija pojava manjša in večji, če je koncentracija pojava večja. Iz po¬ datkov, ki so grupirani v frekvenčni porazdelitvi, izra¬ čunamo Ginijev koeficient koncentracije po obrazcu l,lo. Za primer strukturnih deležev izvoza v svetovni trgovini imamd v zadnjih dveh stolpcih v tabeli 1,3 naka¬ zane količine produkte 0yXy in vsoto teh produktov C =* £ ~k x k - 1 'Jf.JT ( 1 . 2 ) pri čemer je; Xy ~ vsota vrednosti enot v razredu k F = obseg populacije X = vsota znaka x za celo populacijo 15 Tako dokimo za svetovni izvoz v letu 1958 po podatkih iz tahele 1.3 in po od raz c n 1 0 2 Ginijev koeiicient koncentrat ci je C co - 16219,28 - 1 = o,69o 53 961oo Ce primerjamo koeficient koncentracije za izvoz C r;o = o,69o z indeksom koncentracije izvoza v le.tu 1928 C- 0 g = o, 728, spoznamo, da se je koncentracija v izvozu zmanjšala in je indeks. 1^q/ 2 q ~ 3-oo.C^g/Cpg - loo e o,69o/o,728 n 94,7. Takela 1.3 Kačunske osnove za Lorenzov grafikon in Ginijev koeficient koncentracije za strukturne deleže držav v svetovnem izvozu v letu 1958 V našem primeru sta vrsti jemo v os nov j. že strukturne je' loo. in X,% identični ? ker prouču deleže, katerih skupna vsota 16 Lorenzov grafikon i:i Gonijev koeficient koncentracije i'- negrupiranih podatkov 1.11. Pri proučevanju pojavov iz zunanje trgovine dosti¬ krat-naletimo na populacije 5 ki imajo razmeroma majhno šte¬ vilo enot* Zato zanje ne pride v poštev grupiranje v frek¬ venčne porazdelitve, Najbolj tipičen primer je skupnost držav uvoznic ali izvoznic za določeno državo. Kljub temuj da nimamo frekvenčne porazdelitve, pa moremo tudi iz negrupiranih podatkov narisati lorenzov .grafikon po naslednjem postopku? a) Podatke uredimo po velikosti v ranžirno vrsto in pripi¬ šemo posameznim podatkom range E b) Po obrazcu E % « loo . S. el ;3) I izračuna;; relativne range E °!o c) Iz rangiranih podatkov znaka X - izračunamo kumull-t: v vsote X^ in relativne vsote X.% po obrazcu X a loo i f:U4) 1 r~ Pri računanju kumulativnih vsot moramo paziti, da je X. n = X. + x. - in ne X. n = X. + x. kot običajno raču- i+l i i+i i+l i l nano kumulativne vrste, č) Podobno kot pri frekvenčnih distribucijah rišemo pri Lorenzovem grafikonu iz negrupiranih podatkov kot absciso Ekot ordinato pa ustrezne vrednosti X#« 1,12,. Ginijev koeficient koncentracije pa iz negrupira¬ nih podatkov izračuna.mo iz elementov, ki jih dobimo pri. risanju Lorenzovega grafikona po obrazcu 17 C -■ I ~ 2 ŽXr - X N X (1.5) pri čemer je Če računamo Ginijev koeficient koncentracije iz kumulativ¬ nih relativnih vsot pa velja obrazec P. ~ lo o (1.6) “TčoTF pri čemer je 'J>X% - vsota kumulativnih relativnih vsot 1.13 Za primer vzemimo vrednost izvoza PLRJ v.evropske države v prvem tromesečju 1961., Tabela 1,4 Elementi za Lorenzov grafikon in izračun Gini- jc ve ga koeficienta koncentracije za vrednost i zvoza PLRJ v -evropske države v 1* tromesečju 1961 (vrednost izvoza x . v ml j.din). 19 V Lorenzov grafikon nanašamo R% kot at s c is e in X% kot or¬ dinate. V sliki 1,3 sta razen Lorenzove krivuljo za izvoz v 1.tromesečju 1961 narisani Lorenz o vi krivulji tudi za u- voz v istem razdobju in za izvoz v letu 1956. Če za Zgornji primer izračunamo še Ginijev koeficient kon¬ centracije, dobimo po obrazcu'1.6 C T = 1 — 2ll% - loo = l- 2<,52o,5-5 o_ = o,638 loo.N Io0o26 Podobno dobimo, da je indeks koncentracije za uvoz za isto razdobje = o , 641 c Razlika med koeficientoma je minimalna. Pač pa opazimo znatne razlike v Lorenzo vi h krivuljah, ki izvirajo iz različne,strukture'izvoza in uvoza. Za izvoz za leto 1956 Cj - o,6Qo je koeficient koncentracije znatno večji; kar je razvidno tpdi iz Lorenzovega grafikona. Specifični primeri analize z relativnimi števili 1.14 Najpogosteje in najbolj efektno primerjamo statistič¬ ne podatke z relativnimi števili. O relativnih številih go¬ vorimo v statistiki vselej, kadar izračunamo kvociente med podatkoma, ki ju primerjamo. Tako dobimo strukturne deleže, če primerjamo z relativnim številom del s celoto, n.pr. uvoz iz SSSR v FLRJ v primerjavi s skupnim uvozom v Jugosla¬ vijo, statistične koeficiente, če primerjamo med seboj dva podatka, ki sta sicer raznovrstna, sta pa v vsebinski zve¬ zi. V to skupino relativnih števil spadajo koeficienti pro¬ izvodnje potrošnje, uvoza ali izvoza na prebivalca, koefi¬ cienti, ki jih dobimo, če proizvodnjo primerjamo z izvršeni¬ mi urami ali številom delavcev, itd. Tretjo vrsto relativ¬ nih števil - indekse - dobimo, če med seboj primerjamo isto¬ vrstne pojave, ki pa so si prirejeni. Najpogosteje izraču¬ navamo časovne indekse, ki v znatni meri pripomorejo k ana¬ lizi dinamike pojavov in jih zato podrobneje obravnavamo v poglavju o dinamiki pojavov. Imamo tudi druge vrste indeksov. 2o Stvarne indekse- dobimo, če se primerjana podatka razliku¬ jeta med set oj v stvarnem znaku n,pr. razmerje med izvozom in uvozom, Krajevne indekse pa dobimo, če n,pr, primerjamo razmerja med izvozom in uvozom za posamezne države z raz¬ merjem med izvozom in uvozčm za neko karakteristično drža¬ vo, s povprečnim razmerjem itd, 1,15 V nadaljnjem navajamo tri primere grafičnega prika¬ zovanja struktur« Z njimi želimo prikazati, kako z enostav¬ nimi sredstvi statistične analize, če jih uporabimo kombi¬ nirano, kompleksno analiziramo statistične podatke. Za prvi primer navedimo časovni vrsti struktur vrednosti uvoza in izvoza Jugoslavije po stopnji obdelave, Ker ima¬ mo tri stopnjo obdelave; neobdelani produkti, navadna ob¬ delava in visoka obdelava, najlepše prikažemo razvoj struk¬ ture izvoza in uvoza po stopnji obdelave v trikotniku, Ker ponazarja enačba X°/b + Jfo + Z 1o = loo (1.7) ' ravnino v prostoru z ordinatnimi odseki loo, leže vse toč¬ ke trojne strukture, prikazane v prostoru, v ravnini, ki v pozitivnem '•-vcdran-ki predstavlja trikotnik. Če ta trikot¬ nik položimo v horizontalno ravnino, dobimo trikotnik, v katerem so s točkami prikazane trojne strukture, V sliki 1,4 so prikazane s točkami časovne vrste strukture po stopnji obdelave iz tabele 1«5» 21 Tabela 1.5 Struktura vrednosti izvoza in uvoza Jugoslavije v razdobju 1952-1965 (N = neobdelani; iTO = navadna obdelava? 70 = visoka obdelava) se je odstotek uvoza neobdelanih produktov večal na račun produktov navadne in visoke obdelave. Od leta 1957 pa se smer obrne in je delež neobdelanih produktov v uvozu od leta do lota manjšiy veča pa se predvsem delež produktov visoke obdelave. .Vzrok tega preokreta je sprememba v eko¬ nomski politiki. Struktura izvoza kaže tendenco k stalnemu manjšanju deleža neobdelanih produktov predvsem na račun večjega izvoza vi¬ soko obdelanih produktov? kar je v zvezi z vedno večjo in¬ dustrializacijo države. Enako kaže postopne zmanjšanje v našem izvozu tudi odstotek produktov navadne obdelave, če¬ prav to zniževanje ni tako intenzivno kot pri neobdelanih produktih. Struktura izvoza po stopnji obdelave pa je v razdobju 1959-1961 ustaljena, 22 Nao1>ol«lc»tii proizvodi sl. 1.4 Struktura vrednosti izvoza in uvoza FLRJ po stopnji obdelave v razdobju 19 52- 1961 1»I6 Kot drugi primer uporabe trikotniške strukturo pri analizi podatkov iz zunanje trgovine vzemimo dinamiko v regionalni orientaciji izvoza pomembnejših, držav izvoznic v razdobju 1955-1959 e la ne preobremenimo grafikona, smo od časovne vrste struktur v razdobju 1955-1959 vzeli samo začetno leto 1955 in končno leto 1959 0 Izvoz je razdeljen v tri regionalne grupe; ZDA + Kanada, Zapadna Evropa, dru¬ ge države 9 Za vsako državo izvoznico imamo torej struk¬ turno točko za. leto 1955 in strukturno točko za leto 1959 o Za vsako državo sta točki povezani v vektor, usmerjen od leta 1955 proti letu 1959» Tabela 1*6 .Regionalna orientacija izvoza za pomembnejše države r■'c ~ v razdobju 1955—1959 24 01 ARGENTINA 02 BOLIVIJA 03 BRAZIUJA 04 ČILE 05 DOMINIK.REPUBL 06 EKVADOR 07 GUATEMALA 09 HONOURAS 10 KANADA 11 KOLUMBIJA 12 KOSTARIKA 13 KUBA 14 MEHIKA 15 NIKARAGUA 16 PANAMA 17 PERU 18 PARAGVAJ 19 SALVADOR 20 VENEZUELA 21 ZDA 31 ANGLIJA 32 AVSTRIJA 33 BELGIJA 34 DANSKA 35 FINSKA 36 FRANCIJA 37 GRČIJA 38 IRSKA 39 ISLAND 40 ITALIJA 41 JUGOSLAVIJA 42 NEMČIJA 43 NIZOZEMSKA 44 NORVEŠKA 45 PORTUGALSKA 46 Španija 47 Švedska 48 Švica 49 TURČIJA 51 AVSTRALIJA 52 BURMA 53 CETLON 54 ETIOPIJA 55 FILIPINI 56 FORMOZA 57 GANA 58 INDIJA 59 INDONEZIJA 60 IRAK 61 IZRAEL 62 JAPONSKA 63 JORDANIJA 64 JUŽ.AFR.UNIJA 65 KOREJA 66 LIBANON 67 MALAJA 68 NOVA ZELANDIJA 69 PAKISTAN 70 SIAM 71 SIRIJA 72 SUDAN 73 VIETNAM 74 ZAR DA »KANA DA sl.15 Regionalna orientacija izvoza pom mbnejših držav izvoznic od 195 5-1959 ■ • ■ ' - ; . • z-/ • ■.< % ... ■ ■ ’ - ■' V grafikonu je prikazanih, za 64 držav 128 strukturnih vrst za skupno 384 podatkov* Države so grupirane po celinah. Po¬ datki se nanašajo na 21 ameriških držav, 19 evropskih in 24 držav iz drugih celin, V grafikonu so začetki usmer^jivlh vektorjev, ki ustrezajo regionalni strukturi v letu 1955 za ameriške države, zaznamovani s kvadratom, za evropske drža¬ ve s krogi, za države drugih celin pa s trikotniki. II3 da 11 se spuščali v podrobno analizo grafikona, moremo iz njega napraviti nekaj splošnih zaključkov. Če statično prou¬ čimo lego vektorjev glede na položaj v trikotniku, sklepamo, da večina ameriških držav izvaža predvsem v ZDA in Kanado, da evropske države izvažajo pretežno v evropske države. Približ¬ no isto velja tudi za večino držav iz drugih kontinentov. Ve¬ čina teh držav izvaža predvsem v države izven Evrope in Se¬ verne Amerike. 28 Če pa proučimo dinamiko izvoza pa iz usmeritve in dolžine vektorjev sklepamo? da se je v razdobju 1955-1959 regional- na struktura izvoza večine ameriških držav preusmerila pro¬ ti zahodni Evropi. To sklepamo iz smeri vektorjev. Dinamika v strukturi je precejšnja, na kar sklepamo iz dolžine vek¬ tor j e v. Regionalna preusmeritev izvoza za evropske države j c tolj pestra in imamo primere držav, ki so v letu 1959 v primerja¬ vi z letom 1955 povečale delež izvoza v evropske države, druge pa so ga zmanjšale. Vektorji za države iz drugih celin so v veliki meri usmerje¬ ni proti trikotu, v katerem je čez 5o % izvoza v neevropske in neameriške države, kar kaže na povečano medsebojno trgo¬ vino med temi državami. Vektorji za te države so v primerjali z večino vektorjev za ameriške države, posebno pa za evropske države znatno daljši. Spremembe v orientaciji izvoza v razdobju 1955-1959 so za te države znatno večje. 1.17 Kot tretji primer za specifičen grafični prikaz struk¬ tur vzemimo strukturo izvoza in uvoza ELRJ po količini in vrednosti. V logaritemskem grafikonu, v katerem sta obe osi logaritemski, je abscisa os za odstotke uvoza, ordinatna os pa os za odstotke izvoza. V ta grafikon so vneseni podatki iz tabele 1,7, katera prikazuje strukturo uvoza in izvoza po količini in vrednosti po panogah. Za vsako panogo je za odstotek vrednosti uvoza in izvoza v grafikonu narisana točka. Prav tako je narisana točka iz podatkov o strukturnih deležih za količino. Ti dve točki sta povezani v vektor, ki je usmerjen ou točke za količino proti točki za vrednost e Iz mesta, kjer vektor leži, sklepamo na delež, ki ga pred¬ stavlja posamezna panoga v celotni zunanji trgovini. Čimbolj je vektor pomaknjen proti desni in čim višje leži, tem večji je delež določene panoge v zunanji, trgovini. 29 Glede na to, ali je posamezno krajišče ali ves vektor nad ali pod črto pod kotom 45 $>, ki teče v diagonali grafikona, velja, da je razmerje vrednosti in količin izvoza in uvoza večje ali manjše kot je razmerje med skupnim izvozom in uvo¬ zom. Iz smeri in dolžine vektorja sklepamo na razlike v vredno¬ sti na enoto teže za posamezne panoge. Če točki za vrednost in količino sovpadata in je dolžina vektorja nič, je vred¬ nost na enoto teže tako pri izvozu kot pri uvozu enaka kot je v povprečju za vso zunanjo trgovino v Jugoslaviji. Čim daljši je vektor, tem večje so v splošnem razlike med vred¬ nostjo na enoto teže za določeno panogo in povprečjem za zunanjo trgovino v FLRJ. Iz slike l,6a vidimo, da je raz¬ lika med ordinatama točk V in Q v sorazmerju z logaritmom indeksa vrednosti izvoza na enoto količine (laza = povprečje Vi/Qi). Razlika med abscisama pa je v sorazmerju z logarit¬ mom indeksa vrednosti t uvoza na enoto količine (laza = pov¬ prečje V n /Q n )« Iz smeri vektorja pa posredno sklepamo na razlike v sestavu med izvozom in uvozom, V sliki l.čb je osem sektorjev vseh možnih smeri vektorjev. Dvojni krog, v katerem notranji krog predstavlja uvoz, zu¬ nanji kolobar pa izvoz, je razdeljen v osem sektorjev A do H, V posameznih krogovih izsekih'za uvoz in v delih kolobarja za izvoz je —, -, + , ++ označeno, ali je indeks vrednosti na enoto teže pri izvozu v primerjavi z indeksom vrednosti na enoto teže pri uvozu močneje'naraste! ali padel oziroma obratno. Enojen znak + ali — pomeni, da je porast (+) ali padec (—) vrednosti na enoto teže v'izvozu ali uvozu šibkej¬ ši kot v sektorju, v katerem je dvojni plus (++) ali minus (-). Če je smer vektorja v sektorju A, je v tej panogi vrednost izvoza in uvoza na enoto teže večja kot je v povprečju, ven¬ dar je povečanje relativno večje pri uvozu kot pri izvozu. Če je smer vektorja v sektorju B, je za to panogo vrednost izvoza in na enoto večja kot v povprečju, vendar je relativno 3o povečanje večje pri izvozu kot pri uvozu* Če jo smer vektorja v sektorju C, je vrednost'izvoza na enoto teže za to panogo večje kot v povprečju, za uvoz pa manjše j vendar je relativno zvečanje izvoza večje kot .je zmanjšanje uvoza, Če je smer vektorja v sektorju E, je vrednost izvoza na enote teže večje kot v povprečju* vrednost uvoza na enoto teže pa manjše kot je povprečje; relativno pa je zmanjšanje za uvoz večje kot pa zvečanje za izvoz« Če je smer vektorja v sektorju E je tako za uvoz kot za iz¬ voz vrednost na enoto teže v tej panogi manjše kot v pov¬ prečju*' vendf je relativno zmanjšanje za uvoz večje kot za izvoz. Če je smer vektorja v sektorju E, je za uvoz in za izvoz vrednost na enoto teže manjša kot v povprečju, relativno zmanjšanje pa jo za izvoz večje kot za uvoz. Če je smer vektorja v sektorju G, je za to panogo vrednost izvoza na enoto teže manjša kot v povprečju, vrednost uvo¬ za na enoto teže pa večja kot je povprečna« Relativno pa je zmanjšanje vrednosti na enoto teže pri izvozu večje- kot pri uvozu* Če je smer vektorja v sektorju Ii, je za to panogo vrednost izvoza na enoto teže manjši kot je povprečje, vrednost na enoto teže za uvoz pa večje kot v povprečju. Relativno pa je zvečanje uvoza večje kot zmanjšanje izvoza. Iz lege točk za vrednost in količino oz, iz dolžino in sme¬ ri vektorja, ki ga dokimo, če povežemo ti točki, za vsako panogo poseke j analiziramo strukturo zunanje trgovine v pri¬ merjavi s povprečnimi količinami. 127 živilska industr. 60 o38 24,72 143 047 53 5 93 7 824 4 06 95»97 5 5°1 114 44»33 128 grafična industr, 66 o,o3 249 °»°9 27 917 9>34 348 852 2,81 129 tobačna industr. 7 372 3, 04 1 0,00 2 311 59& 28,35 1 314 o,ol 130 filmska industr. 1 0,00 5 0,00 56 773 o, 7 o 8 l 369 0,66 J» H * -~~0 i Struktura količin in vrednosti izvoza in uvoza, za I. polletje I 96 I v FLRJ Vir: Statistika spoljne trgovine I 96 I, tabela 1-7 in 1-8 * 33 Iz grafikona' napravimo rec zanimivih zaključkovo Odločno odstopa od povprečnih odnosov eksploatacija gozdov* ha to panogo odpade količinsko čez loo o/oo vsega izvoza, na uvoz pa pod 1 o/oo. Vektor za to panogo je usmerjen navz- dol, kar pomeni, da je vrednost izvoza na enoto količine iz te panoge znatno pod povprečno '/rednostjo izvoza na eno¬ to količine, da pa je vrednost uvoza na enoto teže za to panoge malenkostno nad povprečno. Za večino panog so vek¬ tor ji' usmerjeni tako, da izražajo za izvoz in za uvoz večjo ali manjšo '/rednost na enoto količine. To je posledica na¬ rave panoge same. Le za nekaj pa.nog je to razmerje obrnje¬ no in imamo vrednost na enoto količine za izvoz večji, za uvoz pa manjša kot je povprečje (panoge 118, 127, 212, 216), za panogi 115 in 313 pa obrnjeno razmerje večje vrednosti uvoza in manjša vrednosti izvoza na enoto količine. ppouciVATj-p _l:; /l acvjcl jh oevisitosti_ . Korelacija relativnih odnosov 1.18 Pri proučevanju korolacijskih odvisnosti za določe¬ ne probleme iz zunanje trgovine naletimo na podobne teža¬ ve oziroma probleme kot pri frekvenčnih porazdelitvah. Po¬ datki se med seboj zelo razlikujejo, distribucije so pre¬ tirano asimetrične oziroma imajo obliko J-porazdelitve e Korelacijski grafikon ima v takem primeru tipično sliko velike gostitve okrog izhodišča koordinatnega sistema in več ali manj neurejen sistem '-očk brez izrazite smeri raz¬ voja, Tipičen primer take razmestitve je korelacijski gra¬ fikon med vrednostjo uvoza in vrednostjo izvoza v PLHJ v letu 1959 po državah v sliki 1,7. Tudi v teh primerih so smiselnejše in važnejše relativne kot pa absolutne primer¬ jave podatkov, zato dobimo pravilno sliko odnosov, če ko¬ relacijski grafikon narišemo v logaritemskem grafikonu, v katerem sta abscisna in ordinat na, skala logaritmični,, Y sliki 1.7 je nazorno prikazana razlika med obema načinoma j »otu« n jtoordinal v«Vtoi*jc» 2 V 0 2 sl.1.6 Struktura količin in vrednosti uvo 2 a in i 2 V 02 a FLRJ v 1 polletju 19 61 po panoqah Vr prikazovanja s z linearnimi in logaritemskimi skalami* 7 lo- garitemskem grafikonu se meglica točk obnaša regularno, od¬ nosi med uvozom in izvozom pa so podani nazorno in pravilno, ker so dani relativno, ne pa absolutno* Na linearnih skalah pa so točke nakopičene v izhodišču grafikona, ' 1,19 Iz istega razloga kot uporabljamo logaritemske ska¬ le, da dobimo sliko relativnih odnosov, vzamemo v zgornjem in v podobnih primerih v korelaoijski tabeli razrede z me¬ jami v geometrijskem zaporedju, V sliki 1,8 je prikazan odnos med vrednostjo in količino za izvoz iz FLRJ v letu 1959 po državah* Za vrednost izvoza smo vzeli kot kvocient med mejama razredov 4, pri količini pa 5o Ta grupacija dobro nakaže odnose med vrednostjo in količino. Nasprotno pa je brez prave cene korelacijska ta>~ bela v sliki 1.9, 7 kateri so prikazani isti podatki kot v sliki 1,8, le da so širine razredov enake* Velika frekvenca v skrajnem razredu, neuvejen potek v drugih razredih in nujni odprti razredi so tipični za te vrste prikazov, v V korelaoijski tabeli 1.8 je vrisana tudi regresijska črta sredin. Ta jasno kaže smer odvisnosti med relativnimi od¬ nosi količin in vrednosti* Zanimivo je, da kažejo države, ki imajo količinsko srednje velik uvoz iz naše države, re¬ lativno večjo variabilnost v vrednosti kot pa države s ko¬ ličinsko majhnim ali velikim uvozom* To kaže na različnejšo strukturo asortimana* Zanimivo sliko pokaže tudi primerjava vrednosti izvoza med letoma 1958 in 1959 po državah. Ti odnosi so prikazani v korelaoijski tabeli v sliki l,lo. Iz korelacijske tabele in regresijske črte v sliki l.lo že brez nadaljnje računske analize napravimo nekaj važnih za¬ ključkov. Črtkana diagonalna črta kaže smer, ki bi jo ime¬ la regresijska črta, če bi bile razmere v izvozu FLRJ v le¬ tu 1959 podobne kot v letu 1958. Vidimo pa, da stvarna re¬ gresi jska črta odstopa od te hipotetične črte. Stvarna črta 37 1 ALBANIJA 2 AVSTRIJA 3 BELGIJA-LUKSEMBURG 4 BOLGARI|A 5 ČEHOSLOVAŠKA 6 DANSKA 7 D.R.NEI1ČI|A 8 FINSKA 9 FRANCIJA 10 GRČIJA 11 HOLANDI|A 12 IRSKA 13 ITALI|A (4 MALA RS HA 15 NORVEŠKA 16 POL|SKA 17 ROMUNIJA 18 Z.R. NEMCI|A 19 SSSR 20 ŠPANIJA 21 ŠVICA 22 ŠVEDSKA 25 VEL. BRITANIJA 51 BURMA 52 C£|LON 55 INDIJA 54 INDONEZI|A 55 IRAK 56 IZRAEL 37 | OR DAN 38 KITA|SKA 59 CIPER 4o LIBANON 41 MALAJA 42 PAKISTAN 43 Sl JAM 44 TURČIJA 61 BELG. KONGO 62 ETIOPIJA 63 JUŽNOAFRIŠKA UNIJA 64 KENI|A-U6ANDA 65 MAROKO 66 NIGERIJA 67 SUDAN 68 TUNIS 69 ZAR 71 KANADA 72 PANAMA 73 ZDA 81 ARGENTINA 82 BRAZILI|A 83 ČILE 84 PARAGVA| 85 PERU 86 URUGVA| 87 VENEZUELA 91 AVSTRALI|A s 1.1.7b korelacijski grafikon med vrednostjo uvoza in izvoza flrj v letu 1959 (logaritmične skale) jr i » je položnejša in diagonalno črto v nižjih razredih v leta 1958 prekoračuje , v višjih pa je pod njo« To kaže smer raz¬ voja zunanje trgovine PLEJ* Trgovina z državami, s katerimi smo imeli v letu 1958 razmeroma majhne stike, se je poži¬ vila. To se pokaže posebno v veliki razgibanosti in dinami¬ ki od leta 1958 na leto 1959 v državah, ki so imele v letu 1958 izredno majhno zunanjetrgovinsko dejavnost 0 Variacija v spremembi od leta 1950 na 1959 je za te države izredno velika in je v vseh državah razen v enem primeru prešla v višje razrede* Splošen zaključek;, ki ga napravimo iz gornjih primerov., je. da v mnogih primerih proučevanje korelacije iz netransfor¬ miranih podatkov ne da prave slike o odnosih,j*; logaritemsko transformacijo dosežemo, da pridejo pravilno do izraza re¬ lativni odnosih To je posebno velikokrat primer pri p o j a- vihj za katere so zaradi narave pojava razlike med podatki zelo veliki? l c 19 če so v korelacijski analizi razlike med podatki veliki ? z izjemno velikimi ekstremnimi vrednostmi, Pearsonov korelacijski koeficient c r ~ xy (Ir 8) —“ 0 x O p¬ ne da prave slike o povezanosti med proučevanima pojavoma, ker je vpliv ekstremnih vrednosti prevelik in odnosi okrog sredine ne pridejo v poštev,, Izhod is te težave je v logaritemski transformaciji osnov¬ nih podatkov« Pravilno sliko da Pearsonov korelacijski koe¬ ficient, izračunan iz transformiranih podatkov r lgx,lgy c lgx,Igy 6lgx 6lgy (i.s) £ ff } 6 16 ? 84 4o^4 1o24 44 z o c. . m ' 't 5 25 % ^ 5 « 5 7®^5 sl.1.8 Korelacijska tabela med količino in vrednostjo izvoza FLRJ po dr¬ žavah namena v letu 19 59: relativni odnosi (vir.ST FNRJ 51) 1o 9 8 7 6 5 4 5 O 10 2 o ^ O 4 O IjO 6o 7 O 8 o c) o 1 o oo Količino v tijoč t sl.1.9 Korelacijska tabela med količino in vrednostjo izvoza FLRJ po dr¬ žavah namena v letu 19 5 9.absolutni odnosi Spearrnanov koeficient korelacije /v* <7 1.2o Izračun Pearsopvih korelacijskih koeficientov, po¬ sebno še iz transformiranih podatkov je računsko zelo zah¬ teven. Dostikrat se zato poslužujemo drugih meril korela- cijskih odvisnosti. Čeprav v vseh primerih ta merila nima¬ jo take teoretične vrednosti kot jo ima Pearsonov korela- cijski koeficient^ imajo to prednost, da jih razmeroma hitro in enostavno izračunamo« Tu prideta predvsem v poštev Spearrnanov in TCendallov korelacijski koeficient« Ota omenjena koeficienta imata razen tega, da ju tehnično razmeroma hitro izračunamo, še to dcbro lastnost, da omili¬ ta vpliv skrajnih izrednosti« Spearrnanov in Kendallov koefi¬ cient korelacije sta enaka, če ju izračunamo iz osnovnih ali iz transformiranih podatkov. Spearrnanov korelacijski koeficient izračunamo po naslednjih točkah: a) enote populacije uredimo po velikosti po znaku x in vsaki enoti pripišemo rang R . Enako uredimo enote v ranžir- -A- • no vrsto po znaku y in jim priredimo rang E ; b) za vsako enoto izračunamo razliko med rangoma , 2 KR = - R^ m posamezne razlike kvadriramo DR ; c) če kvadrate razlik med rangoma seštejemo in vsoto X(DR) vnesemo v obrazec O & 1- 6 ,. ^(P . R . )- 2 - (l„lo) / 2T(ir-l) dobimo Spearrnanov korelacijski koeficient. Če je med znakoma x in y korelacija, je korelacija tudi med rangoma R in R „ Čim večja je korelacija med znakoma x in x y y, tem večja je tudi koordinacija med rangoma R in R . u\. Zato služi korelacijski koeficient med rangoma. R^ in E kot dober pokazatelj korelacije med x in y. 44 Ta,'bela 1.8 Osnove za izračun Spearmanpvega koeficienta korelacije Vrednost v I. tromesečju 1961 v mil j.din (Vir s Spoljna trgovina Ic tromesečje 1961) 168 x čeprav so 0 zaokrožene vrednosti med sel oj enake se iz nezaokroženih vrednosti da določiti rang . Iz talele 1.8 dobimo, da vnesemo v obrazec l.lo, 6 £ (PR) 2 N (N 2 -!) je I(DE) 2 - 168e Če ledi, da je 6.168 26/26 2 - 1 / gornje podatke 0,943 Korelacija med vrednostjo uvoza in izvoza po državah je ze- f \ lo visoka. 45 1.21 Če sta dve ali več vrednosti za x ali y med selo;) enake 5 vzamemo za vse enote, ki imajo enako vrednost:, range enake povprečju iz rangov enakih vrednosti, V tem primeru izračunamo Spearmanov korelacijski obrazec po korigiranem obrazcu % K r k >ak * X + C \ N(3)^-1) ~ 6 ton) >/fl( h 2 ~l) vi. 2-kx r f( i T (i.ii) ■D Tk yj Pri tem pomeni k in k korekturo za vsako skupino po več «y vrednosti x ali y 0 Pri tem znese korektura za vsako skupi¬ no po dve enaki vrednosti 6 , po tri enake vrednosti 24, za po štiri enake vrednosti 6 o, za po pet enakih vrednosti loo p ali na splošno za t enakih vrednosti t(t -1), Kot shemati¬ čen primer vzemimo populacijo z N = lo enotami. Tabela 1.9 Izračun Spearmanovega korelacijskega koeficienta s korekturo 41 - 2 (DR) 2 Za znak x se vrednost 15 ponovi dvakrat, vrednost 3o pa trikrat, Ker sta vrednosti 15 druga in tretja po rangu je vezani skupni rang 2+3 P c 46 Ker so vrednosti 3o sedma, osma in deveta po rangu, je skup¬ ni. rang (7+8+9) ; 3 = 8 0 Korektura pa je.^fk; = 6 + 24 = 3o. Y znaku y vrednosti 27 in 3 o ponovita dvakrat, korektura jo = 6+6 - 12 , veza¬ ni rc...'igi pa o , _j_4 - 3^5 in = 7,5. Ker je v našem pri¬ meru K(.¥ 2 -l) = lo(10 2 ~l) =•■ 99o, X (DR)^ pa 41, je korigiran Spearmanov korelacijski koeficient po otrazcu 1.11 99o - 6.41-- - y (99o-3o) • (99o-12) Nekorigirana /rednost pa je = o,747 6,41 lo(lo 2 -l) Razlika med korigirano in nekorigirano vrednostjo je torej malenkostna. Kendallov koeficient korelacije 1*12 Kendall je uvedel drug koeficient korelacije, ki je prav tako kot Spearmanov zasnovan na rangih. Če imamo eno¬ te urejene po velikosti znaka x v ranžirano vrsto, od dane vrednosti naprej po definiciji vse vrednosti presegajo dano vrednost e Če je med znakom x in y pozitivna korelacija, velja zgornje tudi za nekatere vrednosti y, ki so prirejene urejenim vrednostim .„x in to tem tol j, čim večja je kore¬ lacija, To lastnost ima za osnovo Kendallov korelacijski koeficient, k3 ga izračunamo po naslednjem postopku; a) Enote populacije uredimo po znaku x v ranžirno vrsto in pripišemo k vsaki vrednosti x ustrezno vrednost za y. 13 ) Preštejemo koliko enot ima y večji kot je vrednost za prvo enoto. To število pripišemo k prvi enoti. Postopek 47 ponovimo, z drugim členom in preštejemo, koliko enot od druge dalje ima y večji kot je Pod okno postopamo s tretjim, četrtim itd. do zadnjega člena. c) Seštejemo doti jene vrednosti v in dobimo X v = k o) Če vstavimo k v obrazec S « 2k ~ (|) (1.12) dobimo Kendallovo številko S. e) Kendallov korelacijski koeficient, ki ima enake lastnosti kot Pearsonov ali Spearmanov korelacijski koe¬ ficient, pa dobimo po obrazcu t = 4 — (1.13) , cf) 1.23 Kot primer za izračun Kendallovega. koeficienta ko¬ relacije vzemimo iste podatke kot za izračun Spearmanove- ga koeficienta korelacije«. Tabela l.lo Osnova za izračun Kendallovega koeficienta korelacije t (Vir; tabela 1.9) Država vrednost v milij. din izvoz uvoz v 48 Država vrednost v milij, din Ro obrazcih 1„12 in 1,13 jo dalje 5 = 2k - (|) « 2.294 -= 263 t - S/ (p) o 263/ ‘i%~ ~ o,8o9 1 0 24 Prednost Spearmanovega ih Kendallovega koeficienta je med drugim tudi v tem, da jih moremo izračunati tudi za nenumerične podatke, če le imajo ti lastnost, da jih moremo razvrstiti v ranžirno vrsto. Tako moremo vrst c raaliSnoga -loga razvrstiti po kvaliteti, določeno število sadežev Po izgledu itd Veliko takih pojavov je tudi s področja psi¬ holoških raziskav« Rri proučevanju dinamike pojavov s pridom uporabljamo Ken- dallov koeficient korelacije ranga za preskušanje hipotez o določenih komponentah v časovni vrsti. 49 2 ANALIZA DINAMIKE POJAVOV 2,1 Pri proučevanju socialno-ekonomskih pojavov ima po¬ sebno mesto analiza dinamike pojavov. Spremembe, ki so re¬ zultat najrazličnejših faktorjev, ki vplivajo na ekonomske pojave, se pojavljajo v določenih zakonitostih. Z odkriva¬ njem in analiziranjem teh zakonitosti dobimo splošno sliko o dinamiki pojavov in predvidevamo ekonomsko pojave za bo¬ dočnost,, Posebna disciplina, veda o konjunkturi se bavi spe cialno z odkrivanjem zakonitosti v dinamiki ekonomskih po¬ javov v zvezi s predvidevanjem o ekonomskih pojavih. Seveda je napovedovanje ekonomskih dogodkov bolj ali manj nezane¬ sljivo, ker ne moremo v analizo zajeti vseh faktorjev, ki na pojav vplivajo, niti se vselej ne izpolnijo predpostav¬ ke, pod katerimi je bila prognoza izdelana. Osnova za proučevanje dinamike ekonomskih pojavov in vede o konjunkturah na sploh so časovne vrste. Časovna vrsta je niz istovrstnih podatkov, ki se nanašajo na sukcesivna ča¬ sovna razdobja.ali momenta. Glede na to ločimo intervalne in momentne časovne vrste. Intervalna časovna vrsta je n.pr vrednost proizvodnje po mesecih, momentna pa stanje zalog konec meseca, Metode statistične analize časovnih vrst se v bistveni meri razlikujejo od metod za proučevanje drugih statističnih vrst. Pri analizi časovnih vrst uporabljamo., niz. metod, ki so specifične za proučevanje časovnih vrst. V kolikor pa pri analizi časovnih vrst uporabljamo splošne metode sta¬ tistične analize, so te v večini primerov posebej prilago¬ jena za primer analize časovnih vrst oziroma dinamike poja¬ vov, Tako pri analizi časovnih vrst uporabljamo n,pr, sre¬ dine, vendar je metoda sredin v večini primerov prilagoje¬ na za proučevanje 'dinamike pojavov. Tipičen primer so vrste drsečih sredin* 51 Primerljivost; podatkov v Časovnih vrstah 2,2 Kljub temu, da so podatki v časovnih vrstah isto¬ vrstni, podatki v časovni vrsti niso vselej med seboj pri¬ merljivi. Ker pa je primerljivost podatkov v časovni vrsti osnoven pogoj za proučevanje dinamike, je treba časovno vrsto, za katero podatki niso primerljivi, pred analizo preurediti, da je ta pogoj izpolnjen. Eden izmed osnovnih pogojev za primerljivost podatkov v ča¬ sovni vrsti je nedvoumna in enaka opredelitev v časovnem razmaku, ki ga proučujemo, Podatki, ki jih časovna vrsta prikazuje, so v bistveni me¬ ri odvisni od razmaka, na katerega se nanašajo. Enako pa je tudi velikost spremembe od člena do člena odvisna od razmaka med dvema členoma v časovni vrsti. Zato je osnov¬ no, da so razmaki med členi, v časovni vrsti, katero anali si¬ rarna, med seboj enaki. Če ta pogoj ni izpolnjen, je treba časovno vrsto, pred analizo v tem smislu korigirati. Medtem ko je časovna vrsta letnih podatkov take narave, da je ča¬ sovno razdobje, na katerega se nanašajo intervalni podat¬ ki - z nebistvenim odklonom za-prestopna leta - izpolnjen, je problem bolj pereč pri časovnih vrstah mesečnih podat¬ kov* Ker niso redki primeri, pri katerih analiziramo ča¬ sovno vrste.jne sečnih podatkov, je ta problem v praksi ze¬ lo pomemben. Razlika v,dolžini mesecev znese do tri dni ali ca 10 % dolžine .meseca, kar bistveno izkrivi stvarno sliko dinamike pojava. Korigiranje na standardni mesec dni, vrste mesečnih dnevnih povprečij, so-jnetode, s katerimi odpravimo vpliv različne dolžine mesecev. Pri proučevanju določenih pojavov, korekture na koledarske dolžine mesecev niso u- spešne, če gre za pojave, ki so odvisni n.pr. od število,, delovnih dni, V tem primeru morejo biti razlike med posa¬ meznimi meseci še večje kot pri koledarskem mesecu. Take podatke korigiramo s številom delovnih dni po mesecih. Tudi pri momentnih časovnih vrstah moramo paziti, da so razmaki med členi v časovni vrstij ki jo proučujemo,,, enaki. Časovne vrste, za katere ta pogoj ni izpolnjen, ne moremo oziroma težko analiziramo)«. Niz metod, s katerimi analiziramo dinamiko časovnih vrst, ne moremo uporabiti za časovne vrste-, za katere ta pogoj ni izpolnjen, 2, 3 Ker se večina ekonomskih pojavov spreminja v skla¬ du s skupnim številom prebivalstva ali z določeno katego¬ rijo prebivalstva, n.pr« številom delavstva, številom kmečkega prebivalstva itd,, povečanje skupne potrošnje ali povečanje; skupne proizvodnje še ne pomeni nujno povečanje standarda ali produktivnosti dela. Šele časovne vrste, ki jih. reduciramo s skupnim številom prebivalstva ali s šte¬ vilom prebivalstva v ustrezni kategoriji, pravilna poka¬ žejo dinamiko standarda, produktivnosti dela,, intenzivno¬ sti izvoza ali uvoza itd*/ Zato pogosto analiziramo: določe¬ ne pojave s časovnimi vrstami "na prebivalca", "na delavca" itd. Eden izmed pogostih faktorjev, ki vpliva na spremembe po¬ javov nasploh kakor tudi na spremembe v časovni dinamiki, je sprememba strukture pojavov. Sprememba v strukturi pro¬ izvodnje je eden izmed bistvenih faktorjev, ki vpliva m sumarno produktivnost dola. Spremembe v socialni strukturi prebivalstvo., vplivajo na niz pojavov iz področja, skupne potrošnje, narodnega dohodka itd. S standardizacijo po¬ datkov, t.j. izračunavanjem sumarnih povprečnih pokazate¬ ljev pri stalni strukturi proizvodnje dobimo pokazatelj o dinamiki čiste proizvodnosti dela. S standardiziranimi povprečnimi pokazatelji potrošnje pri stalni socialni struk¬ turi dobimo pokazatelj o dinamiki standarda itd. Seveda se poslužujemo standardizacije podatkov le, kadar je elimina¬ cija vpliva strukture vsebinsko upravičena. Posebej moramo biti oprezni pri proučevanju časovnih vrst vrednostnih pokazateljev. Dinamika vrednosti izvoza ali uvoza ne daje direktno dinamiko volumna i ZV* O Z Q li uvoza, ker ga 53 motijo spremembe v cenah. Šele izračun vrednosti po "stal¬ nih cenah" odpravi to hibo vrednosti po "tekočih cenah". Izračun vrednost:', po "stalnih cenah", ki ga.izvršimo samo zaradi spremljanja dinamike volumna.izvoza, uvoza, proiz¬ vodnje itd,, je seveda zamudne. Računsko manj natančna, vendar tehnično lažje izvedi jiva t ja metoda,po kateri ia vred¬ nosti po "tekočih" cenah, ki jo imamo iz osnovnih evidenc, ocenimo vrednost po "stalnih" cenah, tako da vrednost po "tekočih cenah" delimo z ustreznim indeksom cen. Elementarna an-.J-.' m časovnih vrst 2,4 Najenostavnejše analiziramo časovno vrsto tako, da primerjamo med seboj člene v časovni vrsti. Primerjavo moremo izvesti na več načinov, Ker je dinamika za določen pojav razvidna iz spreminjanja vrednosti členov v časovni vrsti ustreznega pokazatelja, elementarno analiziramo dinamiko pojava, če primerjamo po vrsti po dva in dva zaporedna člena v Časovni vrsti. Že ugotovitev, ali se vrednosti členov v časovni vrsti od člena do člena dvigajo ali padajo, d d vpogled v dinamiko pojava, Ta enostaven pokazatelj, ki nakazuje samo dvig ali padec (+ -) pojava, v nadaljevanju dostikrat uporabimo kot osnovo za podrobnejšo analizo časovne vrste. Bolj natančen pokazatelj dinamike je vrsta absolutnih raz ¬ lik med dvema zaporednima členoma v časovni vrsti. V1 ( 2 . 1 ) Vrsta absolutnih razlik vsebuje kvaliteto prvega pokazate¬ lja, ki daje smer sprememb od člena do člena, ima pa še dodatno informacijo-absolutno velikost spremembe. 54 . Običaj 110 boljši pokazatelj dinanike kot absolutna razlika, je relativni pokazatelj spremembe od člena do člena ali koeficient dinamike h = V Y k-1 v 2) Ta v obliki koeficienta pokaže dvig ali.padec od člena do člena* Koeficient dinamike je 1, če se pojav v primerjavi s predhodnim členom ne spremeni, je večji .od 1,. če je po¬ jav narastel in manjši, od 1, če se je zmanjšal. Nazorne jšo sliko relativne razlike dobimo, če izrazimo ko¬ eficient dinamike v obliki verižnega indeksa 1^ k = 100 -VVi (2 - 3) »/ Podobno kakor koeficient dinamike tudi verižni indeks kaže relativno spremembo in je 100, če se pojav napram predhod¬ nemu ne spremeni, je večji kot 100, ce se je pojav povečal in manjši kot 100, če se je zmanjšal. Tempo rasti T k izraža povečanje ali zmanjšanje v odstotkih. Izračunamo ga po obrazcu Y — Y T, = 100 — (2*4) K k-1 Med navedenimi pokazatelji dinamike je enostavna zveza in sicer je: T k = 100.k k (2.5) T fc = 100.D k /Y k-1 = 100 (k k - 1) = I - 100 55 2,5 . Za svetovno proizvodnjo boksita v razdobju 1950-1956. so v tabeli 2..1.. izračunani vsi navedeni pokazatelji dina¬ mike e Tabela 2,l n Pokazatelji dinamike za svetovno proiz¬ vodnjo boksita (Vir SC---58) členih. Možni pa so tudi drugi pokazatelji dinamike. Eden izmed običajnih pokazateljev dinamike za pojave, ki so sezonskega značaja, so pokazatelji, ki jih dobimo s pri¬ merjavo podatkov za iste mesece dveh zaporednih let, V tem primeru primerjamo januar tekočega leta z januarjem pred¬ hodnega leta, ..februar tekočega leta s februarjem predhod¬ nega leta itd, Ta primerjava je upravičena in bolj smi¬ selna kakor primerjava dveh zaporednih mesečnih podatkov za¬ tegadelj, ker sta zaradi sezonskega značaja n„pr, februar tekočega leta in februar preteklega leta bolj sorodna in je taka primerjava bolj smiselna kakor primerjava 'med febru¬ arjem in januarjem istega leta. Tudi za ta tip primerjave moremo izračunati katerokoli izmed zgornjih pokazateljev dinamike, Enostavni indeksi s stalno bazo 2. 7 Razen zgornjih pokazateljev dinamike, pogosto, poseb¬ no pa kadar kompleksno primerjamo več časovnih vrst-Jikrati, izračunavamo indeksne vrste s stalno osnovo ali bazo e Primerljivost v dinamiki med več raznovrstnimi časovnimi vrstami motijo različne enote mere in različni nivoji, na katerih se nahajajo podatki v posameznih časovnih vrstah, To hibo odpravimo z vrstami indeksov s stalno bazo. Osnovno vrsto indeksov z isto bazo ali osnovo dobimo.., če z relativnimi števili primerjamo, vse člene v časovni vr¬ sti z enim in istim členom oziroma z enim in istim časom oziromarazdobjem. Osnovni obrazec za izračun indeksa s stalno bazo je " Y i I /o = 100. T t- ' (2.6) 1 o pri čemer pomeni tekočo, Y q pa bazično vrednost. Če primerjamo istočasno več statističnih vrst med seboj, vzamemo za vse časovne vrste za bazo isti moment ali raz¬ dobje. Le v tem primeru dosežemo popolno primerljivost v dinamiki pojavov, 2*8. Za primer vzemimo vrednost izvoza FLRJ v važnejše afriške države v razdobju 1957-1961,..Za bazo vzemimo pr¬ vo leto v naših časovnih vrstah 1957. Tab. 2.2 Izvoz FLRJ v važnejše afriške države v raz¬ dobju 1957-1961. 57 Ker je vrednost izvoza za posamezne države na različnih nivojih, je dinamika izvoza v posamezne države med seboj težko primerljiva. Vrste indeksov pa ta problem rešijo . tako, da. je izhodiščni nivo za vse države isti. 2.9 Izračunavanje indeksnih vrst je v glavnem brez po¬ sebne problematike, če izvzamemo vprašanje izbire bazič¬ nega razdobja, ki mora biti vselej vsebinsko utemeljeno in normalno. To pomeni, da ne sinemo vzeti kot bazo leto iz¬ jemnih prilik kakor je n.pr, čas tik pred vojno, med vojno' ali tik po vojni, loto gospodarskega zastoja. Bazično raz¬ dobje ne sme biti preveč odmaknjeno od razdobja, v katerem proučujemo, pojav itd. Je pa nekaj tehničnih problemov, ki jih moramo poznati, če hočemo, z indeksi proučevati dinamiko pojavov, a) Iz Indeksne časovne vrste s stalno osnovo moremo enako kot izi absolutnih podatkov po istih načelih izračunati vse relativne elementarne pokazatelje dinamike k, , I, in T, k’ k k kot iz. absolutnih podatkov. b) Obratno moremo iz vrste koeficientov dinamike k, se- k staviti s kumulativnim množenjem indeksno vrsto s poljub¬ no stalno bazo po obrazcih itd. I l/o ~ 100 * k i I 2 / 0 = 100.,k 2 I 3/ , q = lOO.k^.-k^.k^ (2.7) Pogosto nastopi problem, da moramo indeksno vrsto z dano osnovo°preračunati na indeksno vrsto z drugo bazo 1. Ta preračun je preprost. Iz podatkov indeksne vrste z osnovo 0 izračunamo novo indeksno vrsto z osnovo 1 kot iz absolut¬ nih podatkov po obrazcu X k/1 " 100 5^2. l/o ( 2 . 8 ) 58 Ta problem v praksi pogosto nastopi. Včasih imamo za raz¬ lične pojave indeksne vrste iz različnih virov z različ¬ nimi bazami. Če hočemo izdelati primerljive vrste, moramo vse indeksne vrste prevesti na isto bazo. 2 „10 Drug problem, ki ga rešujemo z indeksnimi vrstami. Pa je naslednji., Za isti pojav hočemo za daljše razdobje sestaviti indeksno vrsto s stalno bazo. Iz različnih vi-. rov pa imamo na razpolago za dva odseka osnovnega razdob¬ ja samostojni indeksni vrsti, ki sta izračunani na raz¬ lični bazi? Če se dani indeksni vrsti vežeta med seboj ta¬ ko, da imamo vsaj za en člen indeks v prvi indeksni vrsti X r/1 , ki je vezan z enim členom druge indeksne vrste ^r/2 J moramo prevesti člene druge indeksne vrste na skupno bazo 1 po obrazcu (2.9) Če je treba časovno vrsto sestaviti iz treh različnih od¬ sekov, vključimo podobno še tretji odsek itd. Če je treba združeno indeksno vrsto preračunati na novo bazo, upora¬ bimo obrazec 2,8, 2.11 Za primer vzemimo indeksne vrste volumna uvoza zu¬ nanje trgovine ZDA v razdobju 1937-1958. Razpolagamo s po¬ datki iz treh virov; UD Yearbook, Inter.Pin Statistics June 1951 in okt. 1960, 59 Tabela'2. 3 Preračun'indeksa' volumna uvoza ZDA v razdobju 1928-1959 na bazo 1937 = 100 Navedene časovne vrste ustrezajo zgornjemu pogoju, zato moremo sestaviti združeno indeksno vrsto. 6o Prehod iz leta 1949 na 195o ni problematičen, ker je baza za prvo in drugo indeksno vrsto ista (leto 1937). Od leta 1951 naprej pa je indeks preračunan po obrazcu 2. 9. Za leto 1951 dobimo 127 za leto 1952 134 itd. Logaritemski grafikoni 2.12 Najbolj naravno sliko o dinamiki pojava dobimo z grafičnim prikazom časovnih vrst. Načinov za grafično prikazovanje časovnih vrst imamo več. Vendar so najboljše in najuniveržalnejše sredstvo za prikazovanje časovnih vrst logaritemski grafikoni. Zato zaradi pomembnosti ob¬ ravnavamo logaritemske grafikone za prikazovanje in ana¬ lizo časovnih vrst posebej. Zaradi svoje velike preglednosti odnosov med pojavi, mož¬ nosti prikazovanja raznovrstnih podatkov, ki so v medse¬ bojni vsebinski zvezi in zaradi lastnosti logaritmov, ki so v ozki zvozi z relativnimi odnosi med podatki, skoro izključno uporabljamo za prikazovanje časovnih vrst lo¬ garitemske grafikone. Zaradi lastnosti logaritmov, da je tarna dveh podatkov v sorazmerju' s kvocientom med ustrez¬ nima podatkoma. log B - log A = log j (2.1o) je namreč v logaritemskem grafikonu daljica med ordina 61 Mreža logaritemskega grafikona je pollogaritemska in si¬ cer je časovna skala linearna, skala ža podatke pa loga¬ ritemska. Zaradi zgornje lastnosti moremo iz logaritem¬ skega' časovnega grafikona odbrati vse vrste relativnih števil: razlika od člena do člena za isto časovno vrsto je v sorazmerju z logaritmom koeficienta dinamike oziroma verižnega indeksa (glej a na sliki 2.1). Razdalja med ordinatama za podatke v dveh poljubnih časovnih obdobjih jena logaritemskem grafikonu v sorazmerju z logaritmom indeksa, pri čemer je en člen baza. Če prikazujemo v istem grafikonu dve časovni vrsti, od katerih je ena ce¬ lota, druga pa del, je razdalja med ordinatama obeh vrst za isti moment ali isto obdobje v sorazmerju z logaritmom za strukturni delež, Iz d ,r eh raznovrstnih časovnih vrst, ki so narisane v istem grafikonu, pa na enak način kot pri strukturah dobimo, da so razdalje med dvema podatko¬ ma v grafikonu sorazmerju z ustreznim statističnim koeficientom,- Te odnose v praksi odčitavamo s posebno premakljivo lo¬ garitemsko skalo, narisano ob rob papirja. To tehniko zasledimo sistematično 'uporabljeno v mesečni statistični reviji SZS INDEKS, v kateri so vsi grafikoni časovnih vrst logaritemski, na platnicah pa sta narisani logaritemski skali, ki ju odrežemo in uporabljamo kot premakljivi ska¬ li pri analizi odnosov in dinamike, A tudi brez pomožne skale moremo iz logaritemskega grafi¬ kona vizuelno analizirati dinamiko odnosov med podatki, Če je razvoj pojava tak, da se razvija v logaritemskem grafikonu linearno, sklepamo, da je osnovna tendenca raz¬ voja pojava eksponentna funkcija s stalnim koeficientom 62 dinamike. Če tečeta liniji za dva pojava, ki sta v med¬ sebojni povezavi 'paralelno, pomeni, da so odnosi med po¬ javoma v tem razdobju stalni _td. 2.13, Da na praktičnem primeru prikažemo prednosti lo¬ garitemskih časovnih grafikonov, vzemimo vrednost in količino izv za in uvoza v FLRJ v razdobju 1946 - 1960. Osnovni podatki iz tabele 2.4* so prikazani v grafiko¬ nu 2.1. Tabela 2.4 Količina in vrednost uvoza in izvoza v FLRJ v razdobju 1946~196o (Vir: SC 1961 ) 63 Logaritemska skala v logaritemskih grafikonih je neimeno¬ vana, ter v njem prikazujemo raznovrstne časovne vrste (količine in vrednost). Za katere enote mere gre vred- X nost, označimo pri vsaki posamezni časovni vrsti, Z lo nakažemo, s katerim mnogokratnikom od lo ponnožino vrednosti, ki jo odčitamo na skali, da dobimo pravi podatek. Ne da bi se spuščali v podrobnejšo vsebinsko analizo pri¬ kazanih podatkov, lahko napravimo iz grafikona nekaj važ¬ nih zaključkov* Te iz tabele zaradi obilice podatkov in ker iz njih niso neposredno razvidni relativni odnosi, ne moremo napraviti, Primerjava volumna izvoza in uvoza pokaže, da se razmerje med izvozom in uvozom v prikazanem razdobju veča v korist uvoza in da se uvoz veča z večjim povprečnim koeficientom dinamike kot izvoz. Drugačna slika se pokaže, če primer¬ jamo uvoz in izvoz po vrednosti. Za te podatke, razen za nekaj izjem, ugotovimo? da je razmerje med vrednostjo u~ voza in izvoza več ali manj v vsem razdobju precej usta¬ ljeno in je vrednost uvoza v splošnem večja kot vrednost izvoza. Za leto 1951, ko je disproporc med volumnom iz¬ voza in uvoza največ ji, je nakazano, kako s pomožno ska¬ lo odčitamo relativni odnos med izvozom in uvozom (ca 3,1)» Če primerjamo med seboj linijo vrednosti in količin, mo¬ remo posredno sklepati na sestav uvoza ali izvoza, pri čemer je treba seveda upoštevati, da so vrednosti dane v tekočih cenah. Primerjava teh odnosov za uvoz in izvoz kaže na razlike v sestavu oziroma stopnji obdelave v uvo¬ zu in izvozu. Tako n.pr. za leto 1952 vidimo, da je to razmerje zelo neugodno, ker je iz grafikona razvidna so¬ razmerno veliko večja vrednost na enoto teže pri uvozu kot pa pri izvozu. 64 Komponente dinamike pojavov 2,14 Časovna vrsta je kvantitativen izraz rezultatov vseh vplivov, ki v toku razvoja vplivajo na določen po¬ jav, Težko oziroma nemogoče je v skupnem rezultatu, ki ga časovna vrsta podaja, ugotoviti, koliko del izvira iz posameznega faktorja,.Pač pa moramo z analizo časovne vr¬ ste ugotoviti, kakšen je skupen učinek skupine faktorjev, ki imajo več ali manj enak značaj, Tako zasledimo, d a določena skup i na fak torjev deluje na pojav tako, da ima neko stalno tendenco razvoja,, r 'o smer razvoja moremo z analizo ugotoviti in jo imenujemo trend . Druge vrste faktorji imajo lastnost, da se njih učinek pojavlja periodično na enake časovne razmake z enakim u~ činkom. To so periodični vplivi ali v posebnem, če je dolžina ene periode leto, sezonski vplivi . Tretje vrste faktorji, ki delujejo na ekonomske pojave, so ciklični vplivi , Ti se podobno kot periodični, ponavljajo na do¬ ločeno razdobje, vendar je dolžina razmaka, v katerem se ponavljajo in njih amplituda, spremenljiva. Druge vplive imenujemo iregularne vplive , One vplive izmed njih, ki se v določenem momentu ali razdobju pojavijo z določenim u- činkom in se po prenehanju delovanja pojav povrne v nor¬ malno stanje, imenujemo enkratne , V vsakem pojavu zasle¬ dimo še slučajne faktorje, ki trajno, vendar iregularno vplivajo na pojav. Če s statistično analizo že ne moremo iz časovne vrste izluščiti, kolik je učinek posameznega faktorja, pa mo¬ remo s posebnimi metodami analize časovno vrsto praktično razstaviti na komponente v tem smislu, da ugotovimo, ko- 66 lik del izvira iz posamezne vrste oziroma skupine vplivov, ki smo jih našteli, Pri tem predpostavljamo, da se učinek posameznih kompo¬ nent veže med seboj po določenem modelu, tako da je njih skupni rezultat osnovna časovna vrsta. Modeli časovnih vrst 2.15 Pri analizi časovnih vrst najpogosteje, predpo¬ stavljamo, da se rezultati posameznih skupin vplivov (trend I, periodična komponenta P ali p, ciklična kom¬ ponenta G ali c, iregularni vplivi I ali i) vežejo v skupen rezultat - osnovno časovno vrsto Y v eni izmed na¬ slednjih oblik n I = T-fP+C + I Y ‘ — T (1 + p + c + i) - (2,11) Y = T. P. C» I. Y = T. P. C + I Prvi model predpostavlja, da je med posameznimi kompo¬ nentami linearna zveza. Ta model je najenostavnejši, je pa najredkeje v skladu z vsebinskimi odnosi v časovnih vrstah. Težko je namreč, združljivo s stvarnostjo, da je n.pr, absolutni učinek periodične komponente neodvisen od trenutnega nivoja pojava, ki je dan s trendom in se pre- minja. Vpliv nivoja na absoluten učinek upoštevajo vsi trije ostali modeli. Pri proučevanju stvarnih časovnih vrst pa moremo zadnje tri modele prevesti na prvega, ki je najenostavnejši. Če namreč v drugam modelu stvarne vrednosti v časovni vrsti 67 Y delimo 's trendom T, dobimo linearen model med drugimi komponentami; Y/T = 1+p+c+i* Tretji model prevedemo v linearno obliko z logaritmira¬ njem logY = 1ogT + logP + logC + logi. Jasno je, da v časovnih vrstah po letih ne zasledimo se¬ zonske komponente, da v razdobjih, v katerih ni enkratnih vplivov, ti izpadejo iz modela, da nekateri pojavi nimajo cikličnih faktorjev itd, V teh primerih iz gornjih mode¬ lov, ki vsebujejo vse komponente, komponento, ki ne na¬ stopa, izpustimo. Vloga povprečij pri analizi časovnih vrst 2,16 Enostaven, a učinkovit pripomoček pri proučevanju časovnih vrst so srednje vrednosti. Pod določenimi pogoji s sredinami iz časovne vrste učinke nekaterih komponent uničimo, medtem ko druge ohranimo. Zato sredine s pridom uporabljamo pri razstavljanju časovne vrste na komponen¬ te, kar je osnovna naloga analize časovnih vrst. V vrsti drsečih sredin se trend ohranja, če je linearen, se pa izravnava, če je trend krivuljčen. Efekt izravna- nja trenda je tem večji, čim daljša so razdobja, za ka¬ tera izračunamo povprečja. Sezonska oziroma periodična komponenta se v povprečju v enem letu oziroma na splošno iz povprečja iz razdobja ene periode uniči. Če je razdobje, iz katerega izračunavamo povprečje, daljše ali krajše od ene periode, ni pa mnogo¬ kratnik periode, se periodična komponenta ne uniči, pač pa le omili. Prav tako predpostavljamo tudi za ciklično komponento, da se v razdobju enega cikla uniči* 68 Učinki slučajncstnih vplivov se v povprečju omilijo in to tembolj, čim daljše je razdobje, za katero izračunavamo povprečje. Kombiniranje teh predpostavk je mogočo koristiti pri raz¬ stavljanju časovnih vrst na komponente„ TREND 2.17 Osnovno smer razvoja zasledimo v daljšem razdob¬ ju pri vseh, ekonomskih pojavih, V gospodarstvu ga povzro¬ čajo; naraščanje prebivalstva, naraščanje energetskih vi¬ rov, akumulacija in izboljšanje tehnične metode, povpra¬ ševanje pc določenem artiklu itd. Trend proučujemo' iz dveh razlogov. Določanje trenda kot osnovne smeri razvoja ekonomskih pojavov da uvid v zako¬ nitosti razvoja, kar izkoriščamo n.pr. pri planiranju gospodarske dejavnosti. Rožnavanj e osnovne smeri razvoja oziroma trenda pa izko¬ riščamo tudi pri proučevanju drugih komponent v časovnih vrstah. Tako si z njim pomagamo zlasti pri proučevanju cikličnih vplivov in sezonskih oziroma periodičnih vpli¬ vih. Pri proučevanju trenda ločimo dolgoročne - sekularne trende, ki podajajo osnovne smer razvoja za daljša raz¬ dobja, od kratkoročnih trendov, ki podajajo smer razvoja za krajša obdobja. Metod za določanje trenda je veliko. Vsaka izmed njih. ima za osnovo različne predpostavke in postopke. Za o je važno in odgovorno delo ' vsakem posa¬ meznem primeru, izbrati primerno metodo, ki da čim pra¬ vilnejšo smer razvoja. Mehanična uporaba metod more vča- s ih. dovesti čo pogrošnih rezultatov inzaključkov. Trend določamo grafične z določenimi postopki, katerih osnova so sredine, ali analitično, s prilagajanjem ustreznih funkcij danim podatkom. Od grafičnih metod za določanje trenda bomo obravnavali; p rostoročno metodo in metodo sredin mod najnižjlmi in na j višjimi točkami . Me hanič na metoda je metoda drsečih sredin . Analitičnih metod pa je več. Od njih ima vsaka določene predpostavke in so neka¬ tere teoretično bolj, druge manj neoporečne. Od njih bo¬ mo obravnavali metodo izbranih točk , metodo delnih sredin , metodo delnih vsot in metodo, ki ima za osnovo metodo n a jman j ših k vadra tov . Ker je ta metoda najvažnejša in se v praksi zelo pogosto uporablja, jo bomo navedli v treh različnih variantah; pri prvi so osnova funkcije potenc časa, pri drugi binomske funkcije časa, pri tretji pa ortogonalnl polinomi . Preizkus o značilnosti trenda 2.18 Čeprav predpostavljamo, da imajo vsi ekonomski pojavi v daljšem razdobju dano smer razvoja, je vendar včasih časovna, vrsta taka, da iz nje ni možno brez vsega razbrati smer razvoja. Včasih je časovno razdobje pre¬ kratko, včasih pa je variacija podatkov prevelika. Zato v takih primerih ni umestno določati trenda, čeprav bi določena metoda, uporabljena mehanično, tudi pokazala neko smer razvoja. Ali je v časovni vrsti značilna smer razvoja, s pridom uporabljano preskus s Kendall-ovim številom S, 7o I . Kendall-ovo število S poznamo že iz neparametričnega Kendal¬ lovega korelaoijskega koeficienta* Postopek .je analogen iz¬ računavanju Kendallovega koeficienta korelacije, pri čemer je znak x čas, znak y pa podatek, za katerega preizkušamo zna¬ čilnost trenda. Po tem postopku preizkusimo značilnost trenda po naslednjih stopnjah: a) Za izpisano časovno Vrsto od člena do člena ugotovimo, koliko podatkov v časovni vrsti od tega člena dalje je več¬ jih od njega. Ta števila v vpišemo v posebno kolono k ustrez¬ nemu členu v časovni vrsti* b) Seštejemo dobljene vrednosti v za vse člene v časovni vrsti. Tako dobimo k. c) Po obrazcu S = 2k - (^) izračunamo Kendallovo število S d) Za časovne vrste z N ^:lo členi pri preizkusih značilnosti uporabimo tablico: Tabela za preizkus Kendallovega števila S Ge pa je N >lo, izračunamo p o obrazcu: SDg = \J *( . n-l? 1 | (2.12) standardni odklon za S in preizkusimo S s standardiziranim odklonom Z S = fhl (2.13) Trend je značilen na stopnji C>C = o,o5, Se je 1,96 < Zg < <2,58, no. stopnji oC = o,ol, če je 2,58 < z g <3,29 in na stopnji ot = o.ool, če je Zg >3,29. 71 2,1$ Za preizkus značilnosti trenda vzemimo volumen v looo tonah v ■predvojni in povojni Jugoslaviji/ Tabela 2,5 Preizkus o značilnosti trenda volumna izvoza ■ v looo tonah v Jugoslaviji pred in pc vojni (vir SG 1961) S = 2k -(£) = 2c 112 ~( 2 ?) - + 32 SP, n (n~-l) (2n + 5 ) \ / V 2o, ( 20 ' -l) (2,2o+5) 18 3o,8 S S-l + 32 - 1 SP,,' " 3o(8 o =3 + 1 , Ol 72 Za izvoz po vojni dobimo - + 63 18 Trend volumna izvoza za pred vojno se je pokazal kot ne¬ značilen, ker je z^ znatno manjši kot z o,o5 = 1,96, po vojni pa je trend v volumnu izvoza visoko značilen, ker - je 2 p večji kot z o,ol = 2,58, Seveda pa rezultat o zna¬ čilnosti trenda ne pove nič o obliki trenda. G-rafično in mehanično določanje trenda Prost.oročna_metoda 2.20 Trend moremo določiti grafično enostavno, tako da v časovni grafikon, ki ga imamo narisanega na linearnih ali logaritmensklh mrežah, prostoročno narišemo med stvar¬ ne vrednosti, krivuljo, za katero smatramo, da se danim vrednostim najbolj prilega, Ta metoda je subjektivna, ven¬ dar jo zaradi svoje enostavnosti, posebno v preliminiranih raziskavah, pogosto uporabljamo, 2.21 Za primer je v sliki 2,2 včrtan prostoročno trend v časovno vrsto izvoza za Anglijo, 73 Metoda sredin med na f iv išj i mi i n na,iniž,ji mi to čkam i 2.22 Grafična metoda sredin med najvišjimi in najnižjimi točkami sloni na predpostavki, da leži trend sredi pasu, ki ga omejimo, če povežemo med seboj najvišje in najnižje osti v linijskein'grafikonu* Zgornjo mejo pasu dobimo, če povežemo med'seboj najvišje osti v grafikonu. Enako dobimo spodnjo mejo pasu, če zvežemo najnižje osti v grafikonu* Če od osti potegnemo navpičnice do nasprotne meje pasu in te daljice razpolovimo, dobimo točke v sredini pasu. Če te točke med seboj povežemo, dobimo lomljeno črto, ki teče med stvarnimi vrednostmi in jo v aproksimaciji vzamemo za trend. 2.23 Za primer vzemimo svetovno proizvodnjo črnega pre¬ moga v razdobju 1890-1959. Iz primera vidimo, da moramo • metodo uporabiti tudi, če so razmaki med posameznimi čle¬ ni v časovni vrsti različni, V teh primerih je treba le pri risanju grafikona upoštevati, da so razmaki členov v časovni vrsti različni. Tabela 2 , 5a. Svetovna proizvodnja črnega premoga v razdobju 189o-1959 74 182 o 1S 5 o 184 o i 8 tj o 186 o i 8 jo 188 o I890 l^oo sl.2.2 Vrednost izvoza A n q I i j e od 1820 1930 s prostoročno vrisanim trendom i h . sredin 2,24 Zarad.1 lastnosti, ki smo jih že nakazali, leži pov¬ prečje, izračunano iz določenega števila osnovnih podatkov pod določenimi pogoji na trendu ali vsaj blizu trenda. Raz¬ dobje, ,za katero računamo povprečje, mora biti enako mnogo¬ kratniku periode oziroma sezone, da sredina ne vsebuje li¬ činka periodičnih ali sezonskih vplivov, mora obsečj raz¬ dobje cikla, da eliminiramo vpliv cikla, ne sme biti pre¬ kratko, da ne vsebuje ostanka slučajnostnih vplivov, niti predolgo, če je trend krivuljčen. do sredina ne odstopa od trenda, Povprečje centriramo na sredino razdobja, za katero smo izračunal- sredino„ Če priredimo vsakemu členu povprečje, dobimo vrsto povpre¬ čij, ki pod zgornjimi pogoji predstavlja trend, Ker se v tem primeru razdobja, iz katerih izračunavamo povprečja za posamezne člene v časovni vrsti, nujno prekrivajo oziroma pomikajo od člena do člena, imenujemo tako vrsto sredin vr¬ sto drsečih sredin, Vr sta d rsečih sred in z en akim i razm aki 2.25 Če v proučevani časovni vrsti zasledimo samo trend in slučajne vplive, je najenostavnejše, ch so razmaki za po¬ samezna povprečja med'seboj enaki? Prav tako so razmaki, za katere izračunamo sredine, med seboj enaki, če je v časovni vrsti še sezonska ali periodična komponenta. Problematične j' če je izračunavanje povprečij v primeru, da je v časovni vrsti še ciklična komponenta, ki ima različne dolžine ci¬ klov, V tem primeru enaki razmaki ne dajo zadovoljivega re¬ zultata, ker ostane v tako izračunani vrsti drsečih sredin na posameznih cdsekih še ostanek cikličnih vplivov. Pa dobimo v vsakem primeru sredino, prirejeno določenemu členu izračunavamo povprečje v primeru da obsega liho število r = 21 + 1 osnovnih razmakov po obrazcu = — (Y . r v -l 4+1 + * • *+^o + '** + ^i— l + ^i^ ( 2 . 14) «• * 77 = 2i pa po obrazcu pri sodom številu razmakov r Y 1 2r (Y .-r2Y -l -X + o «.» +2Y + o ...+2Y. _+Y.) (2.15) l-l i' 2,26 Za primer vzemimo indeks volumna za rastlinsko proizvodnjo v PLRJ v razdobju 1947~196o (0 1947~1956=loo)* Iz osnovne časovne vrste, še bolj pa. iz grafikona je raz¬ vidno, da ima rastlinska proizvodnja izrazit dvoletni ci¬ kel, To komponento eliminirajo edino sredine, izračunane iz razdobja dveh let ali mnogokratnika dveh let. Da uni¬ čimo slučajnostne vplive, naj bi bil razmak za izračuna¬ vanje sredin čim daljši, ker pa izgleda, da je smer raz¬ voja rastlinske proizvodnje v razdobju 1947-196o krivulje— » na, je možno, da so ta smer izravna, če vzamemo razdobja prevelika. Da prikažemo učinek vseh navedenih efektov, pri različnih dolžinah, izračunajmo vrste drsečih sredin ’ pri različnih dolžinah; r = 2, r = 3, in r = 6„ Sistematično izračunamo vrsto drsečih sredin po postopku, ki je v tabeli 2,6 nakazan za r = 3 in r = 6. Če je število razmakov liho, k osnovni vrsti pripišemo v drugi stolpec osnovno vrsto, premaknjeno za r členov. Iz osnovne in premaknjene časovne vrste izračunamo razlike A Y Y "k »- k-r (2,16) Prvi člen v vrsti drsečih vsot S izračunamo tako, da seštejemo prvih r členov v osnovni časovni vrsti, dru¬ ge pa dobimo s kumulativnim prištevanjem razlik d^ S k+1 " S k H r d k (2,17) Če podatke v vrsti drsečih vsot delimo s ustrezne člene v vrsti drsečih sredin v _ S k+i~l x k = r dobimo (2,18) 78 Če je število razmakov, za katera izračunavamo povprečja, sodo, (r = 2i), na enak način kot zgoraj izračunamo naj¬ prej vrsto drsečih vsot S^, iz teh pa s seštevanjem po dve sosedni' vrednosti najprej S ]U = S k +S k+1 (2.19) iz S k pa drseče sredine po obrazcu ( 2 . 20 ) Tabela 2,6 Izračun vrste drsečih sredin za indeks volumna rastlinske proizvodnje v FLRJ v razdobju 1947-196o (1947-56 = loo) (Vir: SG-1961) Iz tabele 2*6 iv in slike 2.4 vidimo, da je c as ovna vrsta drsečih sredin krajša kakor osnovna časovna vrsta Ln si¬ cer za i členov na začetku in na koncu, To je ena izmed hib vrste drsečih sredin. Če primerjamo dobljene tri vr¬ ste drsečih sredin v tabeli ali grafikonu, opazimo, da je ros v vrsti.drsečih sredin za r = 3 ostal še del ci¬ kla in podatki ciklično nihajo. Lepo izglajene so vrste za r = 2 in r = 6, vendar pri vrsti z r = 2 opazimo še vpliv slučajnih vzrokov, medtem ko je iz zgoraj omenjene-- ga vzroka vrsta-drsečih sredin iz šestih členov sistema¬ tično prevelika, ker je razdobje šestih let predolgo in izravna krivuljo trenda. V rsta drsečih sredin s spremenljivimi razmaki 2,27 Če je dolžina ciklov spremenljiva, pri uporabi me¬ tode drsečih sredin nastane težava, ker je treba, razmake, za katere izračunavamo sredine, prilagajati spremenljivi dolžini ciklov. V teh primerih modificiramo metodo drse¬ čih sredin takole; a) Določimo dolžine posameznih ciklov, ki jo merimo s časovnim razmakom od ene do druge najvišje vrednosti oi-- kla- To dolžina razmaka velja za povprečje, ki go centri¬ ramo na sredino cikla, b) Določimo dolžine posameznih ciklov iz nojnižjih vrednosti cikla, Te dolžine razmaka veljajo za povprečja, ki jih centriramo na sredini ciklov, ki smo jih določili po najnižjih točkah, Opomba: Da določneje ugotovimo nojvišje in najnižje točke ciklov, jo priporočljivo, da iz osnovne časovne vr- ! ste okrog ekstremov izračunamo vrste kratkoročnih drsečih sredin iz razmakov r = 2 in Iz njih določimo člene s ekstremi ciklov. 8o sl.2.4 Drseče sredine za indeks volumna rastlinske proizvodnje v FLRJ v razdobju 19 4 7-19 60 (/ 1947-1960=10 0) o) Za druge člene določimo dolžine ciklov z interpo¬ lacijo,, Eden izmed možnih načinov je grafična interpola¬ cija^ V grafikon vnesemo dolžine ciklov za člene, za ka¬ tere smo jih dobili v točkah a in b 0 Skozi te vodilne točke narišemo krivuljo, kot dolžine ciklov, ki ustreza¬ jo posameznim Členom, pa vzamemo interpolirane vrednosti, zaokrožene na najbližjo celo vrednost,, d) Drseče sredine, ki ustrezajo posameznim členom, mo¬ remo glede na to, ali obsegajo sodo ali liho število raz¬ makov, izračunati po obrazcih 2,14 ali 2,15, e) Vendar je ta način zamuden. Podobno kot pri vrstah drsečih sredin z enakimi razmaki tudi v primeru neenakih razmakov izkoriščamo lastnost drsečih sredin, da se v sredinah zaporednih členov nekatere vrednosti iz osnovne časovne vrste v vsoti ponove Če to upoštevamo, izračunamo vrsto drsečih sredin tako, da najprej izračunamo vsoto V q za prvi člen, za katerega smo ugotovili dolžino cikla. Če je število razmakov, ki ustreza tenu členu liho, izra¬ čunamo vsoto V po obrazcu o L V o - 2 (Y Z + i k-1 če pa ustreza tenu členu sodo število razmakov, pa po obrazcu V = Y + 2 (Y n f7. x c*. O Z Pri ten je Y u r +1 + + W + h ;ačetni, pa končni člen v vsoti* f) Iz izračunane vsote za prvi člen dobimo vsoto za drugi člen in iz tega postopoma vse nadaljnje pomožne Vcote, Glede na to, ali je število členov, ki ustreza prvemu členu r liho ali sodo in glede na to ali je r-, za člen, ki sledi členu o enak r^= r -1, r ]_ = r 0 r-j^ = i* o +l računamo nadaljnje vsote po shemi; 82 •IT - — n —~ a. r '** ~i~ 1 o r =liho število r-, - r o 1 c X- =r 4-1 a. O “ h r V, = V -2Y„ j. O Z V n = V - I l.o s +2Y k +1 k +1 +2Y lc + l +Y k + 2 sodo r+ -r 1 o- r n =r 1 o+i V, = V ~Y .21. 1 o z +Y, "z +1 k V-, = V ~Y_~ Y r7 i +Y, . 1 oz z +1 k+j. V-, = V —Y 1 oz +Y, +2Y, , k k +1 Iz V q po zgornji shemi izračunamo iz V^ V^, iz tega itd, do konca časovne vrste, g) Iz vrste pomožnih vsot V dobimo časovno vrsto drsečih sredin Y^ po obrazcu - _ V *k “ 2 r 2,28 Za primer izračuna vrste -drsečih sredin z neenaki¬ mi razmaki vzemimo svetovno proizvodnjo živega srebra v ■ razdobju 191o~1959, Izrazita-večletna ciklična komponenta zahteva, da v tem primeru uporabimo zgornjo metodo. Prvi relativni maksimum cikla je v letu 1912, minimum pa v letu 1921, Dvomljive je zaradi iregulamih vplivov raz¬ dobje 1926 - 1930 , Če za ta odsek izračunamo vrsto drsečih sredin z razmakom r= 2 , dobimo: Y 27 = 1/4(116+2.15o+149>141,3 Y 28 = l/4(15o+2,149+163)=152,8 Y 2g - 1/4(149+2. 163+1o9)=146, o Iz zgornje vrste drsečih sredin dobimo, do maksimum cikla ni v letu 1929, ampak v letu 1928. Večjo vrednost v letu 1929 v osnovni časovni vrsti je izraz individualnih vplivov. Podobno postopamo tudi v drugih primerih ii dobimo nasled¬ nji minimum cikla v letu 1933 , maksimum v letu 1942 , zadnji minimum v letu 1949 in zadnji' maksimum v letu 1958 , 83 Tabela 2.6a Izračun vrste drsečih sredin za svetovno proizvodnjo živega srebra v razdobju 191o-1959 po metodi drsečih sredin s spremenljivimi razmaki 84 1952 151 1953 '16 o 1954 13o 1955 185 1956 22o 1957 245 1958 248 mar 1959 232 V sliki 2 e £ so v zgcm j en delu grafično določene dolžine ciklov, ki ustrezajo posameznici členom v časovni vrsti*. V spodnjem delu pa sta narisani osnovno časovna vrsta in vrsta drsečih, sredin. Vrsta drsečih sredin kaže stalen dvig«. Pred letom lS3o ne kaže izrazite smeri razvoja* Za¬ nimiv je izrazit vzpon letih 1934-1936 9 Po tem razdobju opazimo več ali manj konstanten dvig do leta 1948, po tem letu pa kaže vrsta drsečih sredin rahlo tendenco k pada¬ nju. Dejstvo, da je vrsta drsečih sredin za polovico raz¬ dobja enega cikla na začetku in no koncu krajša kot osnov¬ na časovna vrsta, ••omejuje njeno uporabnost. 8 3 Analitično določanje trenda Izbira tipa krivulje: 2.29 Pri analitičnem določanju trenda je osnova za trend funkcija, ki določa odvisnost med časom x in tren¬ dom T. Pri analitičnih metodah je za določanje trenda najvaž¬ nejša naloga, da izmed različnih funkcij, izberemo u- strezno funkcijo, ki naj ponazarja trend. Katera funk¬ cija ustreza za dan pojav kot trend, moremo včasih ugo¬ toviti iz predpostavk o zakonitosti razvoja proučevane¬ ga pojava. Tako predpostavki, da pojav narašča enako¬ merno, ustreza kot trend premica, predpostavki, da se pojav razvija s stalno relativno razliko, ustreza ekspo¬ nentna funkcija itd. Včasih pa funkcijo, ki naj predstavlja trend, določimo iz same časovne vrste, če jo prikažemo grafično, prosto¬ ročno poskusno vrišemo linijo trenda in iz nje sklepamo na analitično obliko trenda,. Ta način je vsebinsko znat¬ no slabši kakor prvi, ker je formalen. Najpogosteje uporabljamo za izračunavanje trenda eno iz¬ med naslednjih funkcij: 1. Premica: T = a + bx p 2. Parabola druge, tretje ... stopnje: T = a + bx + cx + 7. Pearl-Reedova logistična funkcija: m_T_22_ 1 ~ 1 + a, h* V teh funkcijah pomeni x čas, T trend, a,b,c,k,T_ _ pa so parametri trenda, ki so za posamezno časovno vrsto kon¬ kretne vrednosti. T = f (x) ( 2 . 22 ) 3. Parabola: T = a + b"Vx A, Eksponentna funkcija: T = ab 5. Modificirana eksponentna funkcija: T b z 6. Gompertzcva funkcija: T = k,a (2.23) k + ab x 87 Določanje trende, po analitični metodi sestoji torej iz več stopenj. Najprej z vsebinsko analizo pojava ali iz grafikona določimo tip funkcije, ki jo uporabimo za trend, Drug problem je izračunati vrednosti parametrov za ustrezen tip funkcije o Končno pa iz dane funkcije iz¬ računamo vrednosti trenda za posamezne člene v časovni vrsti ali ekstrapolirane vrednosti, 2 „ 30 * Pri izračunavanju parametrov za posamezne funk¬ cije, ki predstavljajo trend, je s tehničnega stališča najprikladneje, da je funkcija taka, da so parametri a,b in c,k itd. med seboj v linearni zvezi, Izmed funkcij v odstavku 2.29 imajo to lastnost le prve tri. Četrto, to je eksponentno funkcijo moremo v tako obliko prevesti, če jo logaritmiramo. Tako dobimo logT 3s> loga-f- xlogb (2.24) Če postavimo konstanto loga = a' in logb = b', dobimo, da je logaritem trenda pri eksponentni funkciji T'= a' + b^ x Modificirano eksponentno funkcijo, Gompertzovo in Pearl- Reedovo funkcijo ne moremo prevesti s transformacijo v obliko, v kateri so parametri med seboj v linearni zvezi. Pač ra morem: prevesti Gompertzovo in logistično funkci¬ jo v modificirano eksponentno. ki je od vseh treh naj- - b x enostavnejša. Ge namreč Gompertzovo funkcijo T = m,a logaritmiramo, dobimo logT = logk + b x loga (2,25) Če vzamemo, da je logT = T', logk = dobimo = k -r a , b modificirano eksponentno funkcijo. k( loga = a',b = b' , (2.26) Enako dobimo za logistično funkcijo, če izračunamo iz T a.b x ( 2 , 2 ?) 88 + . b x (2,28) 1 oo 1/T = T', 1/T = k', a/T = a' in b = b' oo 0*0 (2.29a) dobimo za logistično funkcijo T' = k' + a', b' x .(2,29b) • • -• /*., ... . 2.31 Pri izbiri tipa krivulje trenda moramo v splošnem zelo paziti. Časovna vrsta, za katero določamo trend, mo¬ ra biti taka, da se iz nje da trend razbrati. Iz časovne vrste za prekratka razdobja je dostikrat nemogoče dolo¬ čiti trend, posebno če je v pojavu ciklična komponenta. Krivulja oziroma funkcija, ki jo za take časovne vrste prilagodimo, sicer prikazuje smer razvoja v tem razdob¬ ju, vendar to ni trend, ker je v tej smeri razvoja vklju¬ čena tudi ciklična komponenta. Enako tudi za daljša raz¬ dobja dobimo s šablonsko uporabo tehničnih metod za pri¬ lagajanje funkcij linijo razvoja, ki ni čisti trend, ampak vsebuje tudi ciklične vplive, če proučevano raz¬ dobje ne vsebuje zaključenih ciklov. Pri pr ed ho dnov študiju časovne vrste, pri katerem izbi¬ ramo, katera funkcija je v danem primeru najprimernejša kot funkcija trenda, je najsplošnejši pripomoček grafi¬ kon časovne vrste z aritmetičnimi in logaritemskimi ska¬ lami . v Ce kaže časovna vrsta, risana na aritmetični mreži line¬ aren razvoj, vzamemo kot funkcijo trenda premico. Ce je na grafikonu nakazana krivuljčna smer razvoja z eno krivino, je dostikrat ustrezna funkcija trenda parabola 2 druge stopnje tipa T = a + bx + cx". Ce pa na grafikonu opazimo prevoj, je kot trend dostikrat uporabna parabola tretje stopnje: T = a + bx + cx + dx . reciprok 4 * T Če- postavimo 89 Če kažejo podatki, narisani na pollogaritemskem papirju,' linearno smer razvoja, je trend eksponentna funkcija. Krivulja z enim zavojem pa kaže, da je trend logaritmična parabola T = a,b x .c x . Preskus o tipu krivulje trenda izvedemo tudi z naslednjim postopkom. Osnovno časovno vrsto narišemo na aritmetičnem ali logaritmičnem grafikonu in vanj prostoročno narišemo linijo trenda. Na celotnem razmaku časovne vrste v enakih časovnih razmakih izberemo na prostoročno načrtanem tren¬ du najmanj pet vrednosti. Nadaljnji preizkus o funkciji trenda je naslednji. Če so prve r zlike med vrednostmi prostoročnega narisa¬ nega trenda DT k - \ - T k konstantne, je trend linea¬ ren. Če so druge diference med vrednostmi trenda 2 • • D konstantne, je trend parabola druge stopnje. Ce pa so konstantne tretje diference ali dife- z p p renče iz drugih diferenc = D T, - D T- , , je trend .K K i£*— JL parabola tretje stopnje. Če enak preizkus ponovimo z logaritmi iz vrednosti trenda, ki smo ga dobili prostoročno in so prve dife¬ rence iz teh vrednosti konstantne, je trend eksponentna funkcija. Če pa niso konstantne prve, temveč druge dife¬ rence iz logaritmov trenda, je trend logaritmična para- X X £ ” bola druge stopnje T = a.b .c Preizkus za eksponentni trend dobimo tudi, če iz vredno¬ sti trenda izračunamo verižne indekse. Če je trend' eksponenten, je vrsta verižnih indeksov konstantna. Če pa verižni indeksi niso konstantni, pač.pa so konstant¬ ni verižni indeksi, ki jih izračunamo iz vrste verižnih indeksov, je trend logaritmična parabola. Če verižni indeksi iz trenda niso konstantni, pač pa so konstantni verižni indeksi iz prvih diferenc DT^., je trend modificirana eksponentna krivulja. Če napravimo ta preizkus z logaritmi trenda in so veriž¬ ni indeksi iz diferenc iz logaritmov trenda konstantni, je trend Gompertzova. krivulja. Če pa napravimo ta preiz- 9o kus z reciproki in so konstantni verižni indeksi iz di¬ ferenc iz reciprokov trenda, je trend logistična kri- vulj a o Drug preizkus, ki da odgovor na to, ali je krivulja trenda logistična ali Gompertzova, je grafikon prvih di¬ ferenc iz osnovne časovne vrste ali iz vrednosti prosto¬ ročnega trenda. Ce se pojav giblje v Pearl-Reedovi logistični krivulji, je slika prvih diferenc iz trenda simetrična unimodalna .v *. ' distribucija' če pa je trend Gompertzova krivulj?., je slika prvih diferenc unimodalna asimetrična krivulja. ' Značilna lastnost logističnega trenda je, da relativni prirastek pr logističnem trendu linearno pada,* Preizkus o tem, ali je trend modificirana oksponencialna funkcija, Gompertzova funkcija ali .Pearl-Reedova logi¬ stična funkcija, je možen tudi z grafikonov naslednjih izrazov. Če narišemo ...a logaritemskem grafikonu podatke (I -k) in ■•ti kažejo linearno tendenco, je trend modificirana eksponentna krivulja. Če kažejo na logaritemskem grafi¬ konu linearno tendenco izrazi (logY -k'), je trend Gompertzova funkcija, če pa kažejo na logaritemskem grafikonu linearno tendenco izrazi (1/Y -k"), je trend logistična krivulja. Težava pri tem preizkusu je edino v tem, da je treba primerno konstanto k oziroma k‘‘ ugo¬ toviti s preizkušanjem. Pri odločitvi o tipu krivulje, ki naj predstavlja trend, vedno soodloča vsebinska upravičenost pred formalno. Če izbiramo, kateri tip krivulje je pravi, upoštevamo, da so primernejše funkcije z manjšin številom parametrov. Jasno je namreč, da se funkcija oziroma krivulja, ki ima več parametrov, vse bolje in bolje prilega stvarnim po¬ datkom. V skrajnem primeru, če je število parametrov enako številu členov v osnovni časovni vrsti, gre pri¬ lagojena krivulja skozi vse točke stvarne časovne vrste. Vendar to ni trend. Čim večje je število parametrov v funkciji, ki naj predstavlja trend, tembolj se izpostav- 91 Ijamo nevarnosti, da prilagojena krivulja ni trend, ampak vsebuje še ostanke drugih vplivov. 2.32 Subjektiven element,vendar v zmanjšani meri, kot ga ima prostoročna grafična metoda, ima tudi metoda iz¬ branih točk.' Po tej metodi'iz grafikona najprej z analizo ugotovimo tip krivulje, ki ustreza kc* trend. Glede na število parametrov v funkciji trenda določimo v grafiko¬ nu osnovne časovne vrste toliko točk, kolikor parametrov ima funkcija, ki predstavlja trend. Te točke so jasno izbrane subjektivno. Včasih celo najprej narišemo prosto¬ ročno trend in na tej krivulji trenda izberemo ustrezno število točk na trendu. Razumljivo je, da točke ne smejo biti izbrane na prekratkem razmaku, ker se v tem primeru vpliv subjektivnega elementa in pogreške poveča. Ce ima funkcija dva parametra, izberemo torej eno točko bolj na začetku, drugo pa pri koncu časovne vrste. Če ima'funk¬ cija tri parametre, izberemo eno točko v sredini časovne vrste, dve pa pri robnih členih, enako odmaknjeni od sredine itd. Metodo izbranih točk prav pogosto uporabljamo, kadar je trend funkcija, v kateri parametri niso med seboj v li¬ nearni zvezi in s.o druge metode, če že ne onemogočene, vsaj otežkočene. 2.33 Za primer vzemimo določanje trenda za izvoz An¬ glije v razdobju 182 o- 193 o v milj. Lstg po stalnih cenah. Tabela 2.7. Izvoz iz Anglije v razdobju 182o-193o v ml j Lštg 92 v Ce v grafikom.' prvih diferenc podatke grafično izravnamo, dajo prve diference precej simetrično unimodainc krivu¬ ljo. Zato sklepamo, da je primerno, da uporabimo kot funk cijo trenda logistično funkcijo, (Glej sliko 2.9) Da si olajšamo izračun parametrov in trenda, si izberemo nov znak x (čas), ki ima izhodišče v sredini celotnega razdobja (v lotu 1875) in d® v zvezi z osnovnim časom z enačbo x J) • 1-37 5 Io727 (2.,3 o) Ker ima logistična funkcija tri parametre, izberemo na trendu tri to^ke, eno v sredini, dve pa na robeh, Tako izberemo koordinate za tri točke na trendu: T^(-lo,3o). T 0 (o,285) in T, (+lo,5oo). Če vnesemo te koordinate v n a obrazec za reciprok logistične funkcije 1/T ='k'. + ,a',b' x (2.31) dobimo tri enačbe, ki posredujejo tri parametre: k, at b ? l/3o = o,o33333 = k' + a'.,b'" 10 1/285 = o,oo35o9 - k' + a' (2,32) l/5oo = o,o 2ooo = k' h- a" ,b' + ^° Ce odštejemo drugo enačbo od prve, tretjo pa od druge, eliminiramo p rameter k'" in dobimo iz sistema treh enačb s ifcremi parametri sistem dveh enačb z dvema parametroma: a' , f' o,029824 -= a' .b' lo . (l-b' +1 °) o, ool5«>9 = a", (l-b' +1 °) 93 Dobljeni enačbi delimo drugo s prvo. S ten eliminiramo še parameter a' in dobimo /1° _ o,ool5o9 o,o29824 o, c 5o59683 Z logaritmi dobimo, da je b' = o,742o Vstavimo vrednost b^° v zadnjo enačbo v sistemu 2.33* Tako dobimo, da je o,ool5o9 - a". (1 - o, o 5o59683) oziroma a'= _ o,ool5o9 l-o,o5o597 o ,ool589 Iz druge enačbe v sistemu enačb 2.32 sledi, da je o,oo35o9 = k' + o,ool589 oziroma k 7 = c,ool92o Funkcija recipročnih vrednosti za trend je torej: T' = k' + a'b ,x = o,ool92o + o,ool589 . o,742.* Če upoštevamo, da je po obrazcih = l/k' = = l/o,ool92o = 52o,8 a = a'/k' = c,ool589/o,ool92o = o,827 in D = b'= o, 74-2 dobimo, da je funkcija logističnega trenda za izvoz Anglije T rp _ 09 __ = _ _ 52 o ,8 _ 1 + a =• bX I + o,827.c,742^ (2.34) Pri ten moramo opozoriti, da je ned časom x in stvarnim časom L zvezd iz obrazca 2.3o. Izračun trenda za leta, ki so dana v tabeli 2.7, de na¬ kazan v tabeli 2.8, slika osnovne časovne vrste iz ustreznega trenda pa v sliki 2.5. 94 Tabela 2.8 j-zračun logističnega trenda za izvoz Metoda_delnih_sredin 2.3^ Metodo izbranih točk moremo nadomestiti z objek- tivnejšo metodo, metodo delnih sredin. Subjektivno iz¬ brane vrednosti nadomesti objektivno določena srednja vrednost. Metoda delnih sredin izkorišča lastnost, da se v povpreč¬ ju uničijo slučajnostni vplivi ter periodični in ciklični vplivi, če je razdobje, za katerega izračunamo sredine, enako dolžini periode ali cikla ali mnogokratnik iz teh dolžin. Dalje vemo, da povprečje iz trenda leži na tren¬ du, če je v razdobju, za katerega izračunavamo sredino, linearen. Vse te lastnosti dajo dosti omejitev za uporab¬ nost metode delnih sredin. Če upoštevamo zgornje omejit¬ ve, moremo po metodi delnih sredin določati linearen trend. V tem so vključeni tudi primeri, da je trend funk¬ cija, ki jo moremo s transformacijo prevesti v linearno funkcijo. Taka funkcija je n.pr. -eksponentna funkcija T = a,b x , ki jo z logaritmiranjem prevedemo v log T = logav z.logb. Enako hiperbolo tipa T = -4—- , 95 s. transformacijo 1/T = —- ■= a' - + b'x prevedemo v linearno funkcijo itd. Za eksponentno funkcijo velja iz zgornjega, da na trendu leže geometrijske sredine, za hiperbole pa harmo¬ nične sredine' iz osnovnih podatkov. Postopek izračuna funkcije trenda po metodi delnih sredin je torej v mno- gočem sličen metodi izbranih točk. Za vrste, za katere je trend krivuljčen, moremo vzeti približek, da je na krajšem odseku kljub temu, da je v celoti krivuljčen, trend linearen. Za take primere izračunavamo sredine iz čim krajših razdobij. To pa se kos.a z drugo omejitvijo, po kateri mora biti zaradi slučajnostnih cikličnih in pe¬ riodičnih vplivcv razmak,iz katerega izračunavamo sredine, čim daljši oziroma mora imeti dano dolžino. -f 2.J5 Za primer izračunajmo po metodi delnih sredin trend oziroma smer razvoja za indeks industrijske proiz¬ vodnje v Franciji. Trend se izkaže kot linearen. Tabela 2.9 Izračun trenda za indeks industrijske proizvodnje za Francijo po metodi delnih sredin Točki na trendu sta T^/-4, 115,75/ in 1^7+4, loo,75/, enačbi, ki ju dobimo iz enačbe T = a + bx 96 če vanjo vstavimo koordinati za obe točki pa 115.75 = a - 4b 155.75 = a + 4b 271,5o = 2a a = 135,75 4o = 8b b =5 enačba trenda pa T = 135,75 + 5 x Če vnesemo v to enačbo zaporedoma vrednosti za x, do¬ bimo vrednosti trenda. 2.36 Hiba metode delnih sredin je v tem, da sredine, izračunane is razdobja, v katerem trend ni linearen, ne leže na trendu, ampak delujejo v smeri izravnavanja trenda. To hibo odpravimo z metodo delnih vsot. Enako kakor pri metodi delnih sredin tudi pri metodi delnih vsot časovno vrsto razdelimo v toliko - najpri¬ merneje po obsegu enakih delov - kolikor ima funkcija trenda parametrov. Ce predpostavljamo, da je proučevani pojav odvisen le od trenda in slučajnostnih vplivov, moremo vzeti apro- ksimacijo, da se slučajnostni vplivi v vsoti v razdobjih, iz katerih izračunamo vsote, uničijo. Tako dobimo iz osnovnega modela Y = T + S (2.35) toliko enačb tipa 2Y = IT ■ (2.36) kolikor parametrov ima funkcija. V primeru, da so v ča¬ sovni vrsti še ciklični ali periodični vplivi, dobimo po znanih pravilih za ta primer enačbe tipa 2.36 le, če so razdobja, za katera računamo vsote, mnogokratniki iz dol¬ žin period oziroma ciklov. 97 Metoda delnih vsot je kot objektivna metoda za določanje trenda posebno primerna takrat, če 'v funkciji trenda zveza med parametri ni linearna oziroma se niti s trans¬ formacijo ne da prevesti v tako obliko. Pri funkcijah, ki pridejo v praksi najpogosteje v poštev, imajo to lastnost modificirana eksponencialna funkcija, Gompertzo- va funkcija in Pearl-Reedova logistična krivulja. Ker pri metodi delnih vsot predpostavljamo, da so kom¬ ponente ned seboj v aditivni zvezi, moramo v primerih, v katerih kaže osnovna časovna vrsta ali analiza pojava drugače, osnovno časovno vrsto s transformacijo prevesti v aditivno zvezo (n.pr. če je med komponentami faktorska zveza z logaritmiranjem). 2.37 ■ Kot prvi primer za uporabo metode delnih sredin za določanje trenda vzemimo razvoj števila potniških av¬ tomobilov v FLRJ v razdobju 1946-196o. Vsebinska analiza kakor tudi podatki kažejo tendenco razvoja, ki je tipič¬ na za različiie ekonomske pojave. Ob osvoboditvi smo raz¬ polagali z določenim številom osebnih avtomobilov iz okupacije. Na to osnovno število so se od leta do leta superponirali avtomobili in sicer zaradi izrednega dviga avtomobilizma v geometrijski progresiji. Tej predpostav¬ ki ustreza kot funkcija trenda modificirana eksponenci¬ alna 'funkcija. T = k + a.b x (2.37) oziroma model časovne vrste Y=.T+S=k+ a.b x + S (2.38) ker predpostavljamo, da so razen trenda v tem razdobju vplivali na pojav le slučajnostmi vplivi. Tabela 2.1o Število potniških avtomobilov v FLRJ v razdobju 1946-196o (v tisoč avtomobilih) Y lo,2 11,3 12,6 14,7 21,6 28,4 39,0 5^,3 98 Iz osnovne časovne vrste je razvidno, da je osnovni start okrog 6000 osebnih avtomobilov, Najprej napravimo grafič¬ ni preizkus hipoteze, da je trend modificirana eksponen- cialna funkcija, V ta namen smo v sliki 2.7 v loga '-it eni¬ škem grafikonu narisali osnovno časovno vrsto Y in časov¬ no vrsto, od katere smo odšteli preliminarno šest tisoč avtomobilov Y' - Y - 6,0 Slika 2.7 Grafični preizkus o funkciji trenda za število osebnih avtomobilov v FLRJ Slika potrdi hipotezo, ker je smer razvoja za časovno vr¬ sto Y' = Y - 6,0 na logaritemskem grafikonu linearna, medtem ko je linija za osnovno časovno vrsto krivuljčna. Na osnovi te analize prilagodimo osnovni časovni vrsti eksponentno funkcijo, V tabeli 2.11 je podrobno nakazan postopek izračuna trenda za ta primer j Tabela 2.11 Izračun trenda za razvoj števila potniških avtomobilov v FLRJ v razdobju 1946-0.96o V tabeli je sistematično prikazan sestav posameznih Kompo¬ nent za posamezna leta. in delne vsote« Ker celotno razdobje, ki ga proučujemo, obsega 15 let, smo ga razdelili v r tri delna razdobja po pet let. Namesto let v običajnem štetju je uvedeno nove štetje časa x z izhodiščen v sredi časov¬ nega razdobja (leto 1953)« V tabeli je nakazano, kane sc posamezni element : trenda sunirajo. v X Parameter k seštejemo enostavno V 5k. olen a.b v vsakem delnem razdobju tvori geometrijsko zaporedje in ga sešteje¬ mo po pravilih za vsoto členov iz geometrijskega zaporedja v izraze, ki so'naznačeni pri vsaki delni vsat_„ na slu¬ čajno s tne vplive G predpostavljamo, de se v vsoti v petlet¬ nem razmaku uničijo. Tako dobimo v prvem delu tabele enačbe za parametre k, a in b 2-L = 33,8 = 5k h- a.b -7 X 2 = 49,5 = 5k + a.b"^ I 3 =158,o = 5k + a.b' 1 ' 5 C - 1 b - 1 (2.39) Tretjo enačbo odštejemo od druge, drugo pa od prve. Tako eliminiramo parameter k in dobimo dve enačbi za parametra a in b - >_ = lo8.5 = a c b" 2 ' 5 - >- 2 = lo8,5 = ^2 " 15,7 = a.b’ b - 1 -7 n 5 -d 2 (2.4o) b - 1 Če nadalje v tem sistemu dveh enačb delimo prvo z drugo, eliminiramo.parameter a in dobimo, da Je ^3 ~ ^ 2 £2 1 II = 6,9108 = b 5 (2.41) Z logaritmiranjem dobimo, da Je b = 1,472 Vstavimo vrednost b v prvo enačbo v sistemu enačb 2.4o! Tako dobimo, da Je a = (I 3 -I 2 ) • * —5 = lo8,5 o 1,472 2 v'o - D 1„472-1 = 3,176 (2.42) (6,91o8-l) 2 Parameter k dobimo, če vnesemo vrednosti za parameter a in b v drugo enačbo v sistemu enačb 2.39 m = 1 Č 2 Z -T 0 m_ £1 b r - 1 J ^49,5 " 108,3 5,9108 ) = 6,23 Končno dobimo, da Je trend'za število potniških avtomo¬ bilov v FLRJ dan z enačbo T = 6,23 + 3,176 . l,472 x Konstanta b = 1,472 pomeni, da se Je število osebnih avto mobilov v FLRJ, ne upoštevaje število avtomobilov, ki smo Jih prevzeli ob osvoboditvi (k = 6,23), v petnajstletnem lo2 razdobju dvigalo s povprečnin koeficientom dinamike b = 1,4-72 ali vsako leto za 47,2 %. V drugem delu tabele je nakazan izračun trenda za po¬ samezna leta. Kot preizkus pravilnosti računa se morajo vsote osnovnih vrednosti in vsote trenda za posamezne dele ujemati, V našem primetu se kontrolne vsote uje¬ majo razen v prvem delu, kjer razlika +o,l izvira iz zaokroževanja. Slika 2.8 in zadnja kolona v tabeli 2,11, ki prikazuje razlike ned osnovno časovno vrsto in trendom, potrjuje¬ ta, da je izbira nodificirarie eksponentne funkcije v tem primeru upravičena. Da je upravičena predpostavka o linearni zvezi med tren¬ dom in slučajnimi vplivi, potrdi dejstvo, da so slučaj- nostni vplivi, ki so izraženi z odkloni, ned stvarnimi vrednostni in trendom (Y-T) v absolutnem iznosu v vseh odsekih približno enaki, kljub temu, da se nivo znatno spreminja. Če predpostavljamo, da se koeficient dinamike v letu po¬ večanja števila potniških avtomobilov v letu 1961 in 1962 ne spremeni, moremo funkcijo trenda ekstrapolirati in dobimo vrednost trenda in s tem približno število potniških avtomobilov v PLRJ v letu 1961. T 61 * T +8 = 6,25 + 5,176 9 1 ^ 2 +8 - 76,2 Pri tej predpostavki bi bila na račun razvoja avtomobi¬ lizma vrednost trenda v letu 1961 - 76,2oo potniških avtomobilov, v letu 1962 pa lo9 5 3* Vendar je treba biti pri ekstrapolaciji trenda previden. Ekstrapolacija za daljše časovno razdobje mora biti zelo problematična, ker se more zakonitost razvoja spremeniti (nova uredba o uvozu potniških avtomobilov!). 2.38 Postopek za izračunavanje modificirane eksponentne funkcije trenda T = k + ab x po metodi delnih vsot posplo¬ šimo na poljubno drugo število členov v časovni vrsti! I04 če je skupno število -členov v časovni vrsti N = Jr, pri ten pa je r = 2i + 2 liho število, ima transfornirani čas x za posamezne člene v časovni vrsti vrednosti -3, -2-1 ch-1+2+3. Parametre k, a in b izračunano v ten pri- neru po obrazcih b J X -7J tl___2 ^2 ‘Zi a = (4 r 2 ) * i b 1 (b r -l) 2 ( 2 , 43 ) k 2 ) Ge je število členov v osnovni časovni vrsti N-= 3r, pri čemer je r = 2i sodo število, ima transformiran čas x za posamezne člene v časovni vrsti vrednosti -7, -5? -3? -1» +1, +3 +5 +7 *«• Parametre trenda k, a in b za modificirano eksponencialno funkcijo izračunamo v tem primeru po obrazcih Z, -s. _2_ Z 2 -1-1 a a 3 -^ 2 ) ■b r ~ 1 b 2 -1 (b 2 ^? (2.44) t -1 (4 - ~ h ) " U 2r - i Pri tem povprečen koeficient dinamike reduciranih vrednosti (I - k) ni b, ampak b 2 . 2.39 Kot drugi primer za izračun funkcije trenda po me todi delnih vsot vzemimo skupen izvoz Anglije v razdobju l82o-193o. I05 Z analizo podatkov smo že v odstavku 2.33 nakazali«, da je trend logistična funkcija« Zato ima postopek določevanja trenda naslednje stopnje: a) Za osnovno časovno vrsto izračunamo recipročne vrednosti Y' = 1/Y. k) Ker so recipročne vrednosti iz logistične funk¬ cije modificirana eksponencialna funkcija, po postopku za izračunavanje trenda po metodi delnih sredin za modifici¬ rano eksponentno funkcijo izračunamo trend recipročnih vrednosti T'. Recipročne vrednosti iz T'dajo logističen trend. d) Podobno je s parametri logističnega trenda« Ko imamo izračunane parametre k', a', t/ za modificirano eksponentno funkcijo reciprokov,'dobimo parametre za lo¬ gistično funkcijo iz zvez: T = l/k', a = a'/k', o = b' Cv (glej obrazca 2.29)« Tabela 2.12 izračun logističnega trenda po metodi delnih vsot za izvoz Anglije v razdobju 182o-193o lo6 Iz tabele 2.12 povzamemo, da je Z 2 _ = o,o914o6, Z 2 = o,ol55ol, = o,oo8497 Z 2 ~Z ] = o,ol5$ol - o,o914o6 = -o,o759o5 = o,oo849.7 - o,ol55ol -o,oo7oo4 Ker je število podatkov v posameznem delu r = 4 = oziroma sodo., uporabimo za izračun parametrov k', obrazce 2..44, Po- teh dobimo, da je b 8 širim Z2 " Zi -o ,oo7oo4 -o,o759o5 o,o92273 2.2 a' , b' Z logaritmiranjem dobimo b' = o ,74239; b' 2 = o, 55114-; b' 5 = o,4o916 Dalje je a' = (Z^ -Z p) b'^ b ,2 - 1 (b' 8 -l) 2 C-o,oo7oo4) . o,4o916 in k' (o,55114 - 1) TŠto92273-TT 2 o,ool5611 1 (Z 2 _ ^8~~) = l ( o,ol55ol o , 00 19463 -o Jl oo_2oo4_n o,o92273-1 ; Funkcija trenda za recipročne vrednosti je torej T' = k' + a'b'' x = o,ool9463 + o,ool5611 . o,74239 X , za logističen trend izvoza Anglije pa T -- 2 . 73 , 3 , 9 -■j £er 1 + o,8o241 . o,74239 X = l/k' = i/o,o8l9463 = 513,9 a = aVk' = .0 00I56H/0 ,0019463 = o, 8 o 241 b = b' = 0,74239 Za interpolacijo in ekstrapolacijo trenda dobimo zvezo med letom L, za katero izračunavamo trend in pogojnim časom x, po obrazcu lo7 X I, — 1SZ5 lo72 L - 1875 5 Letu 1865 ustrezno vrednost trenda dobimo n.pr., če v logistično funkcijo trenda postavimo x 1865 - 18 75 5 =-2,4o Najprej z logaritmiranjem izračunajmo vrednost drugeg^^ dela v imenovalcu funkcije trenda: o,8o241 „ o, 75-23 9-2,4 log 0,74239 = o,87o6321_ 1 = - 0,1295679 -2,4 . log 0,74239 + o,31o483o log o,8o241 + q,9o43963-1 0,12148795" Antilogaritem tega izraza je l,64ol, vrednost trenda pa po obrazcu za logističen trend T 1863 515,9 1 + l,64ol = 194 Vrednost trenda v letu 1863 je T 2.863 = kvadratov Splošno 2.4o Med analitičnimi metodami za določanje trenda ima posebno mesto netoda najmanjših kvadratov, ki' jo v sta¬ tističnih analizah pogosto uporabljamo, med drugim po¬ sebno pri proučevanju korelacijskih odvisnosti. V pri¬ meru odvisnosti danega pojava od časa zamenja regresij- sko krivuljo, ki daje smer odvisnosti, trend, ki je smer časovnega razvoja« Splošen pogoj, da po metodi najmanjših kvadratov prilagodimo dani časovni vrsti funkcijo, ki jo pod danimi pogoji smatramo za trend, je, 'da je vsota kva¬ dratov odklonov stvarnih vrednosti v časovni vrsti od vrednosti prilagojene funkcije najmanjša. V simbolih je ta pogoj S (Y - T) 2 = Min (2.45) Ml,. Ljt,. KV |Al Tehnično je postopek so. določanje trenda po metodi naj¬ manjših kvadratov najlažje rešljiv, če so parametri trenda med seboj v linearni zvezi< V tem primeru je trend funkcija časa, ki je n.pr, za parabolo tretje stopnje dana v naslednji obliki T = a.f (x) + b,f^(x) + c.f 0 (x) + d„f-,(x) (2.46) o j. d p Pri tem sc a,b,c,d parametri trenda, f Q (x), f^(x), f^(x) pa funkcije časa, Zato pri metodi najmanjših kvadratov po pravilu vzamemo za osnovo vedno take funkcije, ali pa funkcije, ki se da¬ jo s transformacijami prevesti v tako obliko. Model ča¬ sovne vrste je v primeru, da razen trenda vplivajo na po¬ jav samo še slučajnostni vplivi 1 = a.f + b o f, + c.f— + d.f + S (2.47) o 1 2 3 Po metodi najmanjših kvadratov dobimo funkcijo trenda, če je izpolnjen pogoj F (a.b.c.d) = Z(Y - af - bf, - cf 0 - df-,)^ = Min (2,48) o 1 c- 3 Ta vsota kvadratov je funkcija parametrov a,b,c,d. Po znanih stavkih za določanje ekstremov za funkcije z več spremenljivkami, ima funkcija F (abcd) ekstremno vrednost (v našem primeru minimalno) za vrednosti para¬ metrov, za katere so prvi parcialni odvodi funkcije F (abcd) po a,b,c,d enaki nič d_i t) a ČF a'-b o c). F Z) d = o (2.49) V urejeni obliki dobimo iz teh pogojev sistem enačb, ka¬ terim morajo zadoščati parametri, da ima F (a,b,c,d) mi¬ nimalno vrednost Yf = alf 2 + bZf n f + cZf 0 f + d^ f,f 0 o lo 2o 30 Yf, = aZf f, + b2 f 2 + C Z f 0 f. + dl f z f, 1 ol 1 21 31 )>Yf2 = a^f Q f 0 + bi f 1 f 0 + cZ f2^ + dZ ^^2 lYf, = alf f 7 + blf,f 2 + cl f 0 f 7 + dZ f 2 3 03 13 23 3 11 o To pa je sistem linearnih enačb za parametre a, b, c, d. Struktura tega sistra linearnih enačb je dokaj enostavna* Osnovno shemo funkcije trenda T = af +bf_ +cf,^+dfnamreč no vrsti množimo s posameznimi funkcijami časa f f, f 0 f-* x o 1 k 3 in tvorimo vsote reli produktov, Po potrebi jo moremo raz¬ širiti ali skrčiti na funkcije s poljubnim številom para¬ metrov , Teoretično moremo vzeti kot funkcije, ki jih prilagodimo stvarnim časovnim vrstam, funkcije, ki imajo veliko šte¬ vilo parametrov.. Taka prilagojena krivulja pa ni trend, ker se stvarnim podatkom preveč prilagaja in vsebuje ra¬ zen trenda tudi ostanke drugih vplivov, V skrajnem pri¬ meru moremo prilagoditi stvarnim podatkom krivuljo, ki ima toliko parametrov, kolikor ima časovna vrsta členov. Ta prilagojena krivulja gre skozi vse člene osnovne ča¬ sovne vrste. Jasno je, da to ni trend. Zato moramo biti pri izbiri funkcij, ki imajo večje število parametrov, oprezni pri tolmačenju rezultatov. 2.41 Kot smo že omenili, funkcija trenda ni vselej da¬ na v obliki, da so parametri v linearni zvezi. Vendar mo¬ remo funkcijo večkrat s transformacijo prevesti v tako obliko. Najobičajnejša transformacija je logaritemska. Z logaritemsko transformacijo uspemo, da navadno ekspo¬ nentno funkcijo in kvadratično eksponentno funkcijo privedemo v take obliko, da so parametri v linearni zvezi. T = ab x logT' - loga + xlog b T' = V + xb' [ 2 .51) Pri tem je T f = logT; a' = loga; logb = b' y^~ 2 T = abf-c logT = log a + xlog b + x log c m ^ T— ^ ^ 2 T = a + bx + cx Pri tem je logT = T' ; log a = a' ; log b = b'; log c = c Enako je s hiperboličnim trendom T x - h (2.52) ...Funkcijo trenda prevedemo v željeno obliko, če vzamemo recipročne vrednosti 1 x - b 1 a ' (2-55) “ cl Pri tem. j^e I T + b'x = T; - — = a; a = b' (2.5^) Einecjni tre 1 po metodi najmanjših kvadratov 2,42 N - ajenostavnejša funkcija, ki jo moremo uporabiti z,a trend, je premica. V tem primeru je funkcija trenda E = a 1 . b x X (2.55) Ce primerjamo to funkcijo s splošno funkcijo v obrazcu 2 , 4 6, vidimo., da dobimo iz splošne oblike linearno funkcijo, če postavimo f = 1 in. f, = X o 1 Sistem normalnih enačb je v tem primeru dan z enačbama X Y = a.. N + b., X X 1 1 lYX = + b^ 2 (2.56) Ta sistem enačb za parametra a in b se znatno poenostavi, če za čas vzamemo transformiran čas z izhodiščem v sredi¬ šču časovne vrste. V tem primeru jeXx = o in iz zgornjih dveh er.ačb dobino Xy = ca IT; lYX = b 1 ^>^ ■a ] =% Y/N b-^ = X Yx/ X x 2 (2.57) 112 2.43 Za primer prilagoditve premice po metodi najmanj¬ ših kvadratov vzemimo indeks industrijske proizvodnje za Francijo v razdobju 1953-196o, Tabela 2.13 Trend za indeks industrijske proizvodnje za Francijo . Po obrazcih 2,57 je a^ = SI/N = I 068/8 = 135>75 b x = I.Yx/£x 2 = +842/168 = 5,ol2 T = 135>75 + 5>ol2x. Glede na vrednosti x, dobljeni b ni povprečen absoluten letni prirastek trenda. Da dobimo enačbo trenda s pri¬ mernejšo oznako časa (X, ki'ima za prvi člen vrednost G, nadalje pa 1,2 ... N-l/, moramo upoštevati zvezo med x in X. Če je število členov v časovni vrsti liho, je x = X .. (2.58 a) 2 če pa je sodo, je x = 2X - (N-l) (2.58 b) Ker je v našem primeru N - 8 , je x = 2X - 7» če vstavimo transformirano spremenljivko za čas v enačbo trenda, je trend v novih koordinatah T = 135,75 + 5,ol2(2X~7) = loo ,7 + lo,o 2 X Tetri prirastek je torej B = lo,o2 vrednost trenda za prvi člen pa je loo, 7 « Ge v obrazec za funkcijo trenda vnašamo vrednosti za X, dobimo vrednosti za trend za posamezna leta 0 113 Polinomi potenc X r 2.4-4 Naravna posplošitev linearnega trenda so polinomi višjih stopenj T = a, + bX Prva funkcija je linearna. Njene karakteristike so, da so zanjo prve diference konstanta. Druga funkcija je parabola druge stopnje. Ima dve smeri nagnjenosti. Zanjo je značilno, da so druge diference konstantne. Tretja funkcija je para¬ bola rretje stopnje z eno prevojno točko. Možne so tri sme¬ ri razvoja. Zanjo je značilno, da so tretje diference kon¬ stantne Četrta funkcija je parabola četrte stopnje z dvema prevojnima točkama. Možne so tri smeri razvoja. Zanjo je zna¬ čilno, da so četrte diference konstantne. j—— 2.45 Normalne enačbe za polinome tipa -T =k.a^X dobimo v enostavni in pregledni obliki. Punkcije f^, ki jih imamo v splošnem sistemu 2.5o, so v tem primeru potence od X Če to upoštevamo, dobimo za trend v obliki polinoma potenc naslednje sisteme normalnih enačb: Polinom prve stopnje ; premica T = ap + bpX j. ~ v "7 Ji- i vr. —7 3 p p O (2.59) T = a + h X + c 4 X 2 + d 4 X 5 + e 4 X 4 -k (2.6o) T. Y = a^N + b-j >. X I Yx = a-j X + b^Z (2.61) Polinom druge stopnje: parabola druge stopnje: T = a 0 + b 2 X + c 2 X 2 Z X = a^N + b 2 ZX + c 0 X X 2 Z YX = a 2 Z X + b 0 t X 2 + c^lX' IYX 2 = a 2 ^X 2 + b ? 4 X 5 + c^X 4 (2.62) 114 M m Polinom tretje stopnje: parabola tretje stopnje T = a, + b,X + c T X 2 r d-.X 3 3 3 3 3 ZY = a,N + b_ Ix + c^^X 2 + d-,ZX 3 3 3 3 3 ;£YX = a ? ZX + b 3 ZX 2 + c,TX 3 + d 3 ZX 4 (2.63) '■IyX 2 = a 7 ZX 2 + b 3 Z X 5 + c 5 lX 4 + d^I 5 . 2yX 3 = a Zx 5 + b 7 IX 4 + c x ZX 5 + d,lx 6 3 3 3 3 Polinom četrte stopnje: parabola četrte stopnje T = a^ + b Zj _X+ c^X 3 + d 4 X 4 + e 4 X 3 ZY = a 4 N + b Z’.X + o, + 1 X 2 + d z ,IX 5 + e 4 IX 4 YX = a, ,ŽX + b, Z X 2 + c,2x 3 + d. I X 4 + e a Zx 3 4^4 4 Zj ‘ c 4 r (2.64) YX 2 = a„lx 2 + b,,Z X 3 + cJX 4 + d. Z X 3 + e,,ZX° 4 4 4 4 4 ZYX 3 = a 4 Z X 3 + o 4 Z X 4 + c 4 Z X 3 + d 4 JX 6 + e 4 IX 7 ZYX 4 = a 4 IX 4 +b 4 Zx 3 + c 4 ZX 6 -i- d 4 ZX 7 + e 4 ZX 8 k Polinomi potenc x 2.46 Reševanje zgornjih, sistemov linearnih enačb je zamudno. Zelo se poenostavijo že, če namesto časovnega znaka X vpeljemo znak x, ki je z X v znani zvezi x = X - —če ima časovna vrsta liho število čle¬ nov in x = 2X-(N-l), če ima časovna vrsta sodo število členov. V prvem primerh ima znak x vrednosti - -4,-3,-2,-1,o, +l,+2,+3,+4 v drugem pa: ..... -7,-5,-3,-l,+1,+3,+5>+7 ••• Ker je vsota lihih potenc Z x c:r+1 za nove znake v vsakem primeru enaka C, dobimo enostavnejše sisteme normalnih enačb. 115 ( 2 . 65 ) Polinom prve stopnje: ŽY - a., N Z. Yx x 2 Polinom druge stopnje: ZY = a 0 N d + Cjx 2 > Yx = •bpl x 2 ( 2 . 66 ) 2 v 2 ~Yx - Z Yx č ~ - a^Zx 2 b^Z x c + a 4 Z x ( 2 . 68 ) + c 4 Ix 4 + zx i:- 6 lYx 3 = b 4 ^ x 4 + Z. x ZYx = a^Zx + c 4 Zx c + e,Zx 8 Iz zgornjih enačb vidimo, da smo s transformacijo iz X v x dosegli, da smo pri polinomu prve stopnje dobili eno enačbo s parametrom a, drugo s parametrom b. Za parabolo druge stopnje razpade sistem treh enačb v si¬ stem dveh enačb s parametroma a in c in eno enačbo s para¬ metrom b. 116 Za parabolo druge stopnje razpade sistem štirih enačb za parametre a,b,c,d v dva ločena sistema dveh enačh za pa- r rametre a in c in b in d„ Podobno razpade sistem petih linepzrnih enačb za parametre a,b,c,d,e v sistem treh enaASb s tremi parametri a,c,e in sistem dveh. enačb s parametrom b in d, Če razrešimo n,pr. sistem enačb za parabolo druge stopnje, dobimo: a^ = žx 4 2 ' i' f&b - <%x 2 ) Z- 2 x ~ Z Ix 2 ^ 4 /v '2 75 b 1 2 5 Z x Z Yx N ( 2 . 69 ) ' 2 " -(Zx 2 ) 2 2lx 2 - Z 2 'X NZx 4 - (XX 1 ZY Če analiziramo sestav obrazcev za izračun parametrov a, b,c, so .vseh-izraziXY, Z Yx,'X Yx. Samo ti so odvisni od dane časovne vrste Y. Druge količine pa vsebujejo samo izraze, izračunane? iz,x. Ti izrazi pa so enaki pri vseh časovnih vrstah, ki imajo enako število členov. N .pr.. če je N = 7 je (x : -J, -2, -1, 0, +1, +2, + 3 ) d© Ix 2 , 3 2 + 2 2 + l 2 + Q 2 + l 2 + 2 2 + 3 2 = 28. Zato jih moremo za posamezne časovne vrste glede na šte¬ vilo členov v časovni .vrsti izračunati vnaprej. V zgornjem primeru je a. = A^Zy - K JlYxY ; \>2 - B ^-Yx; C^Yx £ k 2 Zy - (2c?o) Pri tem so A , B , 0 o in K konstantne, ki so odvisne le d 2 d d od števila členov \t časovni vrsti N in so tabelirane v tabeli 2.14. 117 Tabela 2,14 Konstante za izračun parametrov paraboli enega trenda prve. druge in tretje stopnje T - ai + b x x. ; a x - A X 1Y j bi - B 1 £Yx 2.46 a. V tabeli 2.14 so tabclirane konstanto za iz¬ račun parametrov linearnega trenda, parabole druge in parabole tretje stopnje za časovno vrste z do N = 3o členi. Za posamezne vrste paraboličnega trenda izračunano parametre po naslednjih obrazcih Za prenico: T = a^ + b^x a = A IT; bp = Bpl Yx 2 Parabola druge stopnje: T = a 2 + b^ + c 2 x (2.71) a 2 = A 2 lY-K 2 ZYx 2 ; b g = Yx; c 2 = C 2 Ili 2 4£l 2 3 Parabola tretje stopnje: T = + b^x + c^x + d^x^ a z = A lY-K n ZYx 2 ; b, = B^IYx-K 7 1Yx 5 7 3 2 3 a 3 c -7 = CJ>Yx 2 -KJ1Y 5 d z = D 7 1Yx 5 - K X ZYX 3 3 2 3 3 3 2.47 Za priner vzemimo dinamiko razmerja med vrednostjo izvoza in uvoza v razdobju 192o-1939 v bivši Jugoslaviji v odstotkih. Tabela 2.15 Izračun paraboličnega trenda za razmerje med vrednostjo izvoza in uvoza v bivši Jugoslaviji v razdobju 192o~1939 Iz tabele 2.14 dobimo za 5T = 19 za paraboličen trend druge stppnje naslednje konstante A 2 = c,118974 ' B 2 = o ,1759-39-2 C 2 =0,737137-4 ■ ■ K 2 = 0,221141-2 121 Iz njih In ffe podatkov iz takele 2.15 izračunamo parametre a 2? b P in c 2 po obrazcih 2.72 a 2 - A 2 lY-K 2 lYx 2 = o, 118974*1813-0, 221141_ 2 5o172 = 1o4,74-9o- b 2 = B 2 ZYx = 0,175439 _ o . 1548 = +2,7158 c 2 =. ,C ? ZYx^-K Ž Y = o ,737137_ /; • 5ol72-o ,221141_ p .1813 = = ~o,31o9 Enačba trenda je: T = lo4.,749o + 2,7158x - o,31o9x 2 Polinomi binomskih -funkcij ( ) kot funkcije trenda 2348 Določene računsko tehnične prednosti dosežemo, če v funkciji trenda polinome potenc znaka x zamenjamo z bi- nomskimi funkcijami (S). Pri tem je binomska funkcija definirana z ■ x(x-l) ... (x-r+l-) ^r ; " ' 1 o2 ... r (2.72) Punkcije trenda so v tem primeru naslednje funkcije Premica: '1 — A + A-, j o 11 Parabola druge stopnje T Parabola tretje stopnje T + B 1 (f) + B 2 (|) (2.73) + ^ 1 (f)+C 2 ( 2 )+C 3 ( 3 ) ' Pri določanju trenda imajo binomske funkcije praktične prednosti pred navadnimi potencami. Pri računanju para¬ metrov trenda in pri računanju časovne vrste trenda od¬ pade namreč vsako množenje. Razen tega so parametri ko¬ ličine, ki imajo vsebinski pomen, Prav tako imajo anali¬ tične vrednost tudi pomožne vrste pri izračunu trenda. Za shematičen primer je: K q = 45+11=58; K 2 =lo6-24 = 82 K 2 = 114+43 = 157 = 59-69 = —lo in količnik K q , K ± , K 2 , K y 122 Postopek določanja trenda za dano časovno vrsto poteka po naslednjih točkah: a) Časovno vrsto s sodin številom N=2i ali lihim števi¬ lom N=2i+1 "leni razdelimo v dva dela: prvi del z i členi in drugi de], z i oziroma i+1 členi. Izhodišče znaka x v vsakem primeru vstavimo v prvi člen drugega dela časovne vrste. h) Glede na to, ali iščemo trend v ohliki premice, pa¬ rabole druge ali tretje stopnje, iz obeh polovic časovne vrste izračunamo ustrezne število kumulativ kot kaže she¬ matičen primer za parabolo tretje stopnje. Tabela 2.16 Izračun kumulativ K +2 5 K = K + K ( 2 . 74 ) 123 d) Parametre trenda izračunamo iz matrik konstant v tabeli 2.lf. V tabeli so. dane matrike po obrazcih 2.75, 2.76 in 2.77 za konstante za premico, parabolo druge in tretje stopnje za Časovne vrste z do N = 30 členi. Za premico: A = aK Za parabolo tretje stopnje: C = cK (2.75) (2.76) (2.77) Posamezne vrste v matrikah konstant torej pomnožimo z vek- / k / ■ K = ' torjem da dobimo vrstam ustrezne parametre A, B ali C glede ha to, ali iščemo premico, parabolo druge ali tretje stopnje. Za naš shematičen primer za vrsto N = 11 členi je po tabeli 124 V 10 / C = cK ali C k 2 1 c kl"S ten shemi so narametri C, C = 0,255411.56 - o, 2164-50 ,. 82 - o,4329oo_, .157 + o.(-lo) X = 5,731596 C 1 = o,21645o_ ] .56 + o,lol732.82 - o ,38961o_ ] _.157 + + 0 , 454545 .(-lo) = + 1,467572 C 2 = o,4329oo_ ] .56 - o,38961 o_ 1 .82 + o ,382395_ 3 .157 - - o,252525.(-lo) = + o,132o35 = 0,56 - 0,454545^ . 82 + o,252525_ 1 . 157 - - o',252525 _ 1 . lo = o,olol51 Ce parametre zaokrožimo na tri decimalke, dobimo trend T = 5,732 + 1,468 Cf) + 0,132 (p + o,ol5 ( 3 ) e) Parametri trenda kot konstante pri posamezni binomski funkciji imajo svoj vsebinski smisel. Prvi parameter v našem primeru = 5,732 je vrednost trenda za x = o. Drugi parameter vezan s prvo binomsko funkcijo (^) je prva diferenca trenda za x = o (v našem primeru C 1 =1,468). Ta pove, da v času x=o trend narašča, če je pozitiven in da pada, če je negativen. Parameter oziroma je druga diferenca trenda v času x=o, v našem primeru C Q = +0,132. Če je ta parameter po¬ zitiven, pomeni, da se prve diference v času x=o večajo, kar pomeni, da je v tem času trend konkaven oziroma obrat¬ no, da je trend konveksen, če je ali negativen. Parameter pove, kakšna je za x=o tretja diferenca. Če je pozitiven, se hitrost sprememb v rasti pojava veča oz. se obratno manjša, če je negativen. 125 f) Iz parametrov, ki jih. izračunamo po zgornjih točkah, dobimo vrsto trenda s postopnim kumuliranjem. V časovno vrsto vpišemo v x=o ustrezno vrsto parametre C , Cp, in C . o Parametru Cr kumulativno prištevamo (za člene od x=o navzgor) in kumulativno odštevamo (za člene od x=o navzdol) parameter C y . Tako dobimo časovno vrsto drugih diferenc trenda. Ge vrsto drugih diferenc trenda kumulativno pri¬ števamo parametru za člene večje od x=o in odštevamo za člene manjše od x=o, dobimo vrsto prvih diferenc trenda. Ko prve diference kumulativno prištejemo in. odštejemo od parametra C , dobimo linijo trenda. Če podamo nakazani postopek na naši shematični časovni vrsti, dobimo: Tabela 2.17 Shematičen primer izračuna trenda Iz vrste drugih diferenc in parametra C dobimo vrsto prvih diferenc s kunuliranjon • P +1 = P o + d c = d ’ 468 + o t 132 - l, 6 oo P + 2 = P+i + d +1 = 1 ,600 + o,117 = 1,717 P _1 = P 0 “ d _i - 1,468 - o,147 = 1,321 P _2 = P _ 1 - b . 2 = 1,321 - o,162 = 1,159 Iz vrste prvih diferenc in parametra C q pa končno dobimo po enakem postopku kumuliranja vrsto trenda T = C = 5,732 o o ’ T +1 = T o + p o = 5,732 + 1 ’ 468 = 7 ’ 2o ° I + 2 = T i + p i = 7,2oo + d , 8 oo = 8,800 T _1 = T 0 - P_]_ = 5,732 - 1,321 = 4,411 T -2 = T -1 " P -2 = 4 ’ 411 “ 1X >59 = 3,252 2.49 Po metodi binomskih funkcij dobimo funkcijo trenda in časovno vrsto trenda v glavnem s kumulativnim sešteva¬ njem in odštevanjem, kar je precejšnja tehnična prednost pred metodo polinomov običajnih potenc. Razen tega nudijo vrste diferenc, ki jih dobimo pri izra¬ čunu trenda kot postranski rezultat, osnovo za podrobnejšo analizo trenda. Pozitivne prve diference na določenem od¬ seku pomenijo, da tz^end raste, negativne pa, da. trend pa¬ da. Pozitivne druge diference pomenijo, da prve diference naraščajo, kar pomeni, da se temp sprememb trenda veča in obratno, negativne druge diference pomenijo, da se temp sprememb manjša. Pozitiven koeficient pri paraboli tretjega reda pomeni, da se na tem odseku druge diference trenda večajo, to je, da se spremembe v porastu pojava večajo. 127 Ob času, ko prve diference spremene svoj predznak, ima funkcija trenda ekstremno vrednost (maksimum če je druga diferenca v tem ra.zdobju negativna in minimum, če je dru- da diferenca v ten razdobju pozitivna). .V razdobju, ko druga diferenca menja predznak, pa ima trend prevojno tO C kG e. Če primerjamo vrsto prvih, difemenc z vrsto : drugih diferenc, dobimo kompleksno analizo sprememb v dinamiki časovne vr¬ ste oziroma trenda. Za časovno razdobje, v.katerem so prve in druge diference pozitivne, trend narašča progresivno. Za razdobje, v katerem so prve diference pozitivne, druge pa negativne,•trend sicer raste, povečanje pa je manjše in manjše, dokler ni hitrost naraščanja trenda enaka nič. V razdobju, v katerem so prvo diference negativne, a druge pozitivne, trend pada, a hitrost padanja je manjša in manj¬ ša, dokler trend ne pride do svojega minimuma, ko prve di¬ ference spremene predznak. V razdobju, v. katerem so prve in druge diference negativne, trend pada in se padanje ve¬ ča od člena do člena. V tabeli 2.. 18 so nazorno prikazane zgornje kombinacije. Tabela 2.18 Prikaz analize trenda iz prvih in' drugih diferenc V razdobju, ko druge diference menjajo predznak, ima trend prevojno točko in je sprememba hitrosti ekstremna. Če je tretja diferenca v ten primeru negativna, je sprenen- ba hitrosti maksimalna. Če pa je tretja diferenca v ten čle nu pozitivna, pa je hitrost spremembe trenda minimalna. 128 2.50 V tabeli 2.19 publicirane konstante služijo za iz¬ račun trenda do parabole tretje stopnje za časovne vrste z največ yc členi. Če je število členov v osnovni časovni vrsti preveliko, si pomagamo tako kakor v prikazanem primeru Časovne vrste živega srebra za idrijski rudnik. Letno ča¬ sovno vrsto s 135 členi smo reducirali na časovno vrsto s 2.7 Členi tako, da smo podatke združili v petletna pov¬ prečja. Podobno moremo časovno vrste'z n.pr. N = 60 členi reducirati na časovno vrsto z N - 30 členov, če izraču¬ namo vrsto povprečij iz dveh. členov, . . Podrobneje o metodi binomskih funkcij glej: M. Blejec: Upotreba binomnih funkcija u primeni najmanjih kvadrata, Zavod za statistiku i evidenci ju NR Srbije, Beograd. 1953« 2.51 Za primer izračuna trenda po metodi binomskih po¬ linomov vzemimo proizvodnjo živega srebra rudnika v Idri¬ ji v razdobju 1816-195o. Časovna vrsta je- vrsta .povprečne letne proizvodnje v petletnih razdobjih. Da zmanjšamo po¬ datke, ki jih dobimo, v'.vmesnih., računih,, od podatkov v osnovni časovni vrsti odštejemo loo. Zato v končnih re-. zultatih funkcijo trenda korigiramo tako, da prvemu para¬ metru C Q isto vrednost (v našem primeru loo) prištejemo. Ta enostaven trik pripomore k olajšanju vmesnih računov. Ker analiza osnovne časovne vrste pokaže, da je najpri¬ mernejša krivulja, ki pride v poštev kot trend, parabola tretje stopnje, iščemo funkcijo trenda v obliki j : T = C c + C 1 (^) + C 2 (*) + C 5 (*) ■ (2.78.) 1 ' Po navodilih za izračun trenda s pomočjo binomskih funk¬ cij moramo iz osnovne Časovne vrste najprej izračunati količine K , K-, K_ in K , ker iščemo parabolo trevje O 1 d - 2 • • • • stopnje, Te količine izračunamo s kumulativami kot je nakazano v tabeli 2.2o. 129 o T3 T O c+* O O- £ "O O 3 S- ”3 O cr o r» 7T 0) o 3 0) c+- "J 7T CD cr 7T N P T3 P “3 & O 3o TABELA 2 . 9 . MATRIKE KONSTANT ZA IZRAČUNAVANJE PARAMETROV PARABOUČNEGA TRENDA PO METOD! BINOMSKIH FUNKCIJ J r - 4 f - 1 cn co 4 CO CO 41» OD 03 03 od o ro O O Cn — a *—■ I 45 ' 1 ° 03 *~ j ro s a CO — 1 oi CD Ol CD OD I - 1 cd ro o o o o H Ol M I 4 ^ . I ° i—> «-< ro CD o o g CD CO OD CD OJ OJ a oj ro Oi Ol CD 4 =» 4 ^ O Oi i — 1 cd ro M : cd ; a! •t* 41 » Oi ro Ol CD •P* t- : o n: oj oj OD i-j -4 4 i - 4 o oi o cd ro r r ro oj co Ol CD -4 .D* j—* OJ Ol O I— 4 41 - OJ CD Ol 41 - CD OD CD Ol ro ro o oi oi o I - 4 1 -* 4 jCO jCO ro ro ro 41 * CO OD CD CD CD ro o o o o »-* 4i- O ! J 1 ° ro ro co CD o ro oi oi 41* o ro Cn CD CD CD Ol I *• H - 4 OJ CD CD g* OJ OJ • J J - i-' oj ro cn -o -oj oi i-* 41- -o cd ro oj. co ro oi h i 00 r ro . h-* r ! - 4 =» CD CD OJ cd ro Ol : Ol 41 * : OD oi • ro 1 t J— 4 J a po 1 , w j CO CD 41- ro co i—* Ol oi o v— • oj ro I® ^ g 0 D OD ro Ol OJ I ro cd i cn Oi i ro oj ' |Cn co t 5 I t cd ro o o o o 4i» O O CO CD O O -4 -O Oi Ol o o Oi oi co ro Oi ro ro cn . oi ro ro oi oi io ro Ol oi •P- Oi •P» Ol 4i» Cn Ol i Ol Ol . . --r i* i r i® ro ro ro ro i ro ro i-* ro cd .ro Cn 4i» Oi 41- Cn ipfc .Ol a CD O CD O v° ro oj »— 1 OJ CD Ol to ro h-« CD CO IO 4!»' : cO ro Ol : Ol OI O : 1 a -4 OJ o ! cn : a i ....Li.A.r oj j a n CD cD o o a § CD CD »- 1 i f Ol : 4 i» i Ol ? -P» CD 131 W fo H O |w N)'M.O I 'OJ to 133 Tabela 2.2o Izračun pomožnih količin K q , Ki , K Q in za trend proizvodnje živega srebra rudnika Idrija Ker ima časovna vrsta N = 27 členov, iščemo pa trend tretje stopnje, vzamemo za izračun parametrov C q , C^, in matriko c, za N = 27 iz tablice matrik za izračunavanja parametrov trenda v tabeli 2.19* 135 Množenje matrike z vektorjem pomožnih količin izvedemo sistematično takole: c kl= k Člene v vsakem stolpcu pomnožimo z ustreznim K in dohimo \ / V 'ki' 587,68122 -21,14789 -243,17549 - 5,591 57 +lo5,o42 28 - 24,o5o 32 -38,o48 28 -lo,783 14 - 4,183 lo + 9,575 59 + 2,113 79 - 4,88o 28 + 1,588 82 2,113 79 / Če vrednosti v matriki K, c , c, seštejemo v vodoravni smeri, l£ KI > dobimo parametre , C n , 0 o , C o Vkl = C 1 '3 / +323,357 84 = C C 1 + 37,552 11 = - 3,276 86 = C 2 - l,2o7 67 = C 3, Ker smo v začetku od osnovnih vrednosti odšteli loo, moramo dobij< glasi: dobljeni parameter C q povečati za loo. Enačba trenda se torej T (x) = 423,357 84 + 37,552 11 (*) - 3,276 86 <*) 1' rX' k O . 41 l,2o7 67 (f) 13 6 Ker bomo v končni obliki vrednosti trenda zaokrožili na cele vrednosti, moremo parametre zaokrožiti na -tri deci- - malke. Tako dobimo končno obliko trenda; T(x) = 423,358 + 37,552(J) - 3,277(p ~ l,2o8(*) Ker so v razdobju I 8 i 8 -1828 prve diference negativne, druge pa pozitivne, trend v tem razdobju degresivno pada. Ker prve diference med 1828-1833 spremene predznak, druge diference.pa so pozitivne, ima trend med temi leti svoj minimum. Od tu dalje trend narašča v vsem razdobju od 1833 do 19 o 8 (ker so prve diference p pozitivne). Nara- v- sčanje je v začetku (1833-1368 ) progresivno (prve in druge diference pozitivne). Brzina sprememb ima med leti 1868-1873 svoj maksimum, trend pa infleksijo, ker druge diference spremene predznak, tretja diferenca pa je ne¬ gativna. Od Io73-19o8 je večanje trenda degresivno, ker so prve diference pozitivne, druge pa negativne. Med le¬ toma 19 o 8 in 1913 ima trend svoj maksimum (ker prve dife¬ rence spremene predznak,'druge diference pa so negativne), od 1913 dalje pa trend progresivno pada (ker so prve in druge diference negativne). V sliki 2.12 je stvarni časovni vrsti prilagojen trend tretje stopnje, ki smo ga izračunali v tabeli 2 . 21 . Oe vpišemo dobljene parametre obratnem vrstnem redu C^, C^, kumuliranjem vrednosti končno v sredino tabele CL , C , dobimo s 1’ o’ vrednost trenda. (x - o) v postopnim / 137 Tabela 2.21 Izračun časovne vrste trenda po metodi bi no inskih funkcij Za kontrolo služi lastnost metode najmanjših kvadratov, da je I\ = K 0 + Hy =IT V našem primeru je K q = 7 o 36 N=27, y = loo I T = 9734 7o36 + 27.I00 -=. 9736« Razlika 2 izvira iz zaokroževanja. Ortogonalni polinomi X v 2,52 Razen polinomov potenc in binomskih funkcij upo¬ rabljamo za določanje trendov višjih stopenj tudi orto- gonalne polinome. Uporaba polinomov enostavnih potenc je namreč nesmotrna iz več razlogov. 138 a; Ce za isto časovno vrsto izračunamo trende raz¬ ličnih stopenj, je treba v vsakem primeru izračunati, če že ne vse, pa vsaj nekaj parametrov trenda nanovo. Ce imamo izračunan n.pr. linearen trend T 1 = a l + ^l x ih hočemo za iste podatke izračunati še paraboličen trend druge stopnje, 2 T 2 = a 2 + ' b 2 x + C 2 X sta b^ in sicer enaka, pa je treba izračunati na novo. Če imamo izračunano parabolo druge stopnje 2 = a^ + b,-, + CgX in hočemo za isto časovno vrsto preiti na parabolo tretje stopnje T * a, + b,x + c^x + d 3 x^ 3 3 3 5 moramo razen parametra d^ izračunati ponovno še b^, ker ni enak b^. Pač pa sta med seboj enaka = a^ in c^ - b) Če nimamo tabele izračunanih konstant za izračun trenda (tabela 2.Ih), je treba v vsakem primeru posebej reševati sistem linearnih enačb z več neznankami. c) Če hočemo izračunati za isto časovno vrsto trende za različne stopnje, je treba za vsako stopnjo izračunati celoten trend posebej. d) Preskušanje značilnosti konstant za navadne poli¬ nome potenc je zamotano. 2.53 Ortogonalni polinomi, s katerimi odpravimo vse zgornje hibe običajnih polinomov, zadoščajo naslednjim pogojem: 1. Ortogonalni polinom stopnje p X je polinom potenc 2 -n v P x, x ... x^ z najvisjo stopnjo p 2. Ortogonalni polinomi imajo lastnost, da je vsota produktov vrednosti ortogonalnih polinomov dveh različnih stopenj enaka nič N E X (x, ). X (x, ) = 0, če p/s (2.79) P JI S K 14 o Funkcije trenda, izražene z ortogonalnimi polinomi so to¬ rej premica: T = B + o 11 parabole, druge stopnje: T = + B^Xg + B 2 X 2 (2. 80 ) parabola tretje stopnje :T = B + B, X, + B 0 X 0 + B,X, o 1 1 22 3 3 itd. Ce upoštevano drugo lastnost ortogonalnih polinomov, se sistem normalnih, enačb 2.5o reducira na sistem enačb, v katerih je po en sam parameter lYX = B IX 2 o 0 0 IYX 1 = B 1 2 X x 2 lxx 2 = b 2 Ix 2 2 Zyx 5 '= - b 3 Zx 3 5 : itd, na splošno lYX = B IX 2 P P P (2.81 a) (2.81 b) Iz teh enačb je izračun parametrov trenda enostaven B B_ = 2YX ; = v ■Ž • itd. o IYX lYX-, Yy 2 ; b 2 = 2 YX. fx 2 2 5 5 2x 2 ’ 3 ali na splošno I Yx B =_E 'P 2x 2 (2.82 a) (2.82 b) Z ortogonalnimi polinomi izračunamo parametre trenda B tako, da vsoto produktov osnovnih vrednosti v časovni vrsti z ustreznimi vrednostmi ortogonalnega polinoma ti¬ pa p delimo z vsoto kvadratov vrednosti ortogonalnih po¬ linomov, ki ustrezajo posameznim vrednostim x. \ \ 141 Iz zgornjega povzamemo dve važni lastnosti ortogo-nalnih polinomov. Z ortogonalnini polinomi izračunamo parametre trenda neposredno , če le poznano vrednosti normalnih, po¬ linomov za posamezne vrednosti za x,. ne pa iz sistema linearnih normalnih enačb« 3 o Parameter B , ki se nanaša na ortogonalni po¬ linom X je onar, ne glede na bo, kakšno stopnjo trenda izračunamo„ Če imamo dan po metodi ortcgonalnih polino¬ mov trend stopnje p, dobimo trend stopnje p + 1, če iz¬ računamo parameter B ^ in trendu dodamo B^ + p ^p+i* Tako predstavlja funkcija T = B c x 0 nivc časovne vrste, ker je polinom nulte stopnje. Če temu nivoju T_ dodamo člen B^X n , dobimo linearen trend T. = T + B-, X . Ce linearnemu trendu T dodamo člen B X , dobimo trend v -L ČL čL obliki parabole druge stopnje itd. Ker je prva ortogonalna funkcija funkcija nulte stopnje, je prvi grtogonalni polinom X Q konstanta. Ker nanj ne po¬ stavljamo drugih žalitev, postavimo enostavno, da je X = 1. • o Iz enačbe B 2 xx. o IX 2 Z I 1 >: 2 N - Y (2.83) dobimo, da jc prvi parameter B^ pri ortogonalnih polino¬ mih enak povprečju iz osnovnih vrednosti v časovni vrsti. Iz lastnosti pogojnega časovnega znaka x, ki ima vredno¬ sti -3, -2, -1, o, +1, +2, +3 če je število členov v časovni vrsti N liho število in -5, -3? -1; +1? +3* +5 ••• če je N sodo število, povzamemo, da moremo vzeti kot ortogonalni polinom X^ kar znak x, ker ime zahtevane last¬ nosti . 142 Ker je (2.84) IXL =1 l.x = O o 1 ima namreč znak x lastnost ortogonalne funkcije X^, da mora biti Z X X = Q in da je linearna funkcija. C X Ne da bi se spuščali v dokazovanje, navajamo prvih pet ortogonalnih polinomov X-j^ = x X 2 = 12x 2 -(f-l) (2.85) X = 2ox 3 -(5N 2 -7)x D \ = 56ox 4 -4 o(5N 2 -13)x 2 + 3(N 2 -1) (N 2 -9) 2.54 V tabeli 2.22 so tabelirarie vrednosti za ortogo¬ nalne polinome prve, druge in tretje stopnje X^, X^, X^ za posamezne vrednosti x v območju časovne vrste. Ta tabela omogoča hiter in enostaven izračun parametrov trenda B = )EYX /]YX 2 , ker so za vsak N = 3 do K = 3o P P P dane vrednosti ortogonalnih polinomov za posamezne vred¬ nosti in vsota kvadratov teh vrednosti* Obsežnejše tabele ortogonalnih polinomov dobimo v Pisher and Yates: Statistični Tables for Biological Agri cul tur al and Medical Research. V teh tabelah imamo ortogonalne po¬ linome do pete stopnje za vrste 2 do N = 75 členi. Tabela 2.22 je skrčena tabela iz navedene knjige. 143 144 Tabela 2.22 ORTOGONALNI POLINOMI 772 99c ! 33o 132 8,58oj llo 858 4,29o ! 572 12,ol2 |182 2,oo2 572 91o 728 J ! 5 1 14-8 j 97,240 i 145 Tabela 2.22 0RT0G0NALNI POLINOMI (nadaljevanje) L Tabela 2.22 ORTOGONALNI POLINOMI (nadaljevanoe) 77o i 2ol.894 j 432,63o j 5,542 I 7.o84 j 96,14o j l,ol2 j 35,42o f 32.89o j 4 .600 j 394 .680 j 17,?6o.6oo + + + + + + + + + + i—' O CO GO <1 CT> Cn ■ ■■■> w M k-* I I ro 03 I 1 I I S I t I—* 43- CJl (J> -4 CD UD O \ X ! CD 03 CD 03 03 CT) CD CD ~4 ro cn ro oj co 4- + ro m C 3 k-* Cn I—1 O -P> -O CT) -T- o Cn •£» id cd CD I 43» 03 03 cn I ro CD + cn Cn cr> -O 03 V) 03 4^ -O cn. 03. O Cn 03 £ -F=* ro + 4 4 - + . + + + 4 - + ;—> i—■ i— 1 k — 1 -j cn 03 i— 1 co ,-• ro Cn o co cn -J 03 03 M Ni M CD Cn 03 -4 -J ro a i CD j-j 03 <1 cn ! a?! 147 j X j TABELA 2.22. O R TO 60 N A L N I POLINOM! (NADALJEVANJE) £> IO O 70 O O O TJ O I48 ' (NADALJEVANJE) + 25 |+91 j + 325 j +12 j + 74 | + 182 j +25 j +122 j + 45o +27 | + 117 | + 585 | +13 j +93 + 468 j + 27 j +161 j + lo71 I I +14 i + 126 | + 819 j +29 I + 2o3 j ,+ 1827 --j-; 1 -!-!-j ---- j - - - i - - 1- 7.3o8 j 95.oo4 j 2,lo3,66o j 2,c3o i 113.274 j 4,2c7.32o j 8.99o j 3o2*o64 \ 21, 36o.24o + + + + + + + |V) M H H »-» h-* W H(£) -sl oi OJ *-J + + + + + II I I I 1 l J l— 1 l—' l—• co s] oi W H H W Oi -d to t~* oj cn I F E 1 K I I no oj O Oi (Ji %3 to oi cn Gl 45 - cn -Cn co co cn co Cn Oi OJ to OJ Cn Cn OJ to uJ C. Oj OJ to + i i : f i : I— 1 H!\5 W OJ W o o o oj o cn cn h o h oi '- j Oi ^ h cn to o to oi i— 1 -P+ oi ro 45. H-* + + + h w cn •j to ro 45» tO er. ts + + + + O <1 OJ oj H H OJ Cn I. *d ( I F-J I— 1 oj cn I i— 1 -vj i &\ ! &\ .J~.i : X i ^ : IV) • I S - & K £3 58 ! iti l E I I I I I I i—* i—• i—* i—* i—* t-* ro -N> cn oo to o o t-* m o p - - -- - oj to ro t\o to Oj + + + I 00 cn m . „ . cn o OJ 4^* oo to -vi ro 4^ I I to oo cn I l 1 4Jv -d 00 tO o tO OO -d ->ropgo r? O Cn Cn h cn -d Oj 4^ o f-* <1 oo 45. cn a « -* oj OJ H H OJ j— 1 ro ro i— 1 cn + a -d oo to i— 1 Cn Cn 45- 00 -d tO OO OO 00 Xi ro : OJ i o • i & ro o 30 -H O * GO O z: 149 PO U N 0 M I (NADALJEVANJE) 2.55 S tabelami za ortogonalne polinome izračunamo trend po naslednjih stopnjah: a) V tabeli-vrednosti za ortogonalne polinome .izbe¬ remo številu členov v časovni vrsti N ustrezne vrednosti za X n , če gre za linearen trend, X^ in X^, če gre za para¬ bolo druge stopnje in X , X Q in X,, če gre za parabolo 1 5 v tretje stopnje, Te vrednosti pripišemo ustreznim členom v časovni vrsti Y, S» . b) Izračunamo produkte YX , YX ? in YX X. L- J in poiščemo vsote Zy, Z YX , 2YX inZYX l ' k 5 c") Ker imamo v tabelah ortogonalnih polinomov pod * vsakim stolpcem ortogonalnega polinoma ustrezno vsoto kva¬ dratov Z X .zračunamo iz vrst, ki smo jih dobili v točki c parametre trenda po obrazcih B o = Zy/N; B 1 = £ YX 1 /ZX 1 2 ; ' Bg = IYX 2 /ZX 2 2 ; B-, = lYX,/ZX 2 (2.86 a) 5 5 5 ali splošno , B = y YX AX 2 (2.86 b) P P P d) V nadaljevanju obdelovalne tabele izračunamo oz. vpišemo vrednosti'B X = B . Ta časovna vrsta pokaže pov- ooo prečen nivo, na katerem se giblje pojav. Moremo ga zato imenovati trend nulte stopnje T . e) Izračunamo produkteB-^X^ in jih vpišemo v poseben stolnec. Če seštejemo T + B_X_ = T , dobimo trend prve 0 o 1 1 1’ v stopnje ali linearni trend. f) Izračunamo produkte Če te vrednosti prište¬ jemo linearnemu trendu T^ + B 2 X 2 = T , dobimo paraboličen trend druge stopnje. g) Izračunamo produkte B_X . Te vrednosti prištejemo 5 5 paraboličnemu trendu druge stopnje T 0 in dobimo T 0 + B_X k d. 5 5 = T_, vrednosti paraboličnega trenda tretje stopnje, 5 15o sl.2.12 Ortoqonalni polinomi X, / X»in X, zsn=2 7 h) Primernejše je izračunati linearni trend direktno po naslednjem postopku Če je število členov v časovni vrsti liho, N - 2K + 1, dobimo ustrezno vrednost linearnega trenda za prvi člen v časovni vrsti po obrazcu: T n (8) - B - B, - 0 * ( 2 . 87 ) Vrednosti linearnega trenda za naslednje člene pa dobimo, če tej vrednosti sukcesivno prištevamo vrednosti parametra ^(1) = T 1 (o) 4 - B 1 T 1 (2) = T (1) + B itd. ( 2 . 88 ) Ce je število členov v časovni vrsti sodo (N = 2k), izr a. čunamo vrednost linearnega trenda za prvi člen v časovni vrsti po obrazcu T 1 (o) = B q - B 1 (N-1) ( 2 , 89 ) vrednosti linearnega trenda za naslednje člene v časovni vrsti pa dobimo, če vrednosti trenda za prvi člen sukce¬ sivno prištevamo 2B^ T (1) = T (o) 23, f , 1 o 1 C2o 9o J T 2 (2) = 1(1) + 2B itd. Če uporabljamo obsežnejše tabele in je potreba po parabo¬ lah višjih stopenj, izračunamo po istem principu parabole višjih stopenj oziroma če ni trend parabola tretje stopnje* se ustavimo pri nižji stopnji. Po tem postopku dobimo kompleksno analizo trenda.. Isto¬ časno dobimo namreč linearni, kvadratični, kubični itd. trend T. T-, . oziroma prispevke posameznih kompo¬ nent trenda (linearne, kvadratične in kubične itd.) k skupnemu trendu, Ti prispevki so: prispevek linearne kom¬ ponente B^X-, , prispevek kvadratične komponente: B 2 ■'2 prispevek kubične komponente B^X , 152 Z navedenim postopkom ugotovimo učinek posamezne kompo¬ nente na posamezen člen. 2 «57 Analiza variance komponent trenda. Kompleksen uči¬ nek posamezne komponente izvrednotimo z analizo variance. v Ce vzamemo, da je skupna časovna vrsta rezultat trenda in drugih vplivov, crend pa rezultat linearne kvadratične in kubične komponente, moremo časovno vrsto razstaviti takole: Y = T o + (T i~V ( V T 1 ) * (T 3~ T 2 ) + (Y ~V = B + B X, -i- B„X- + B_X_ + S o 11 2 2 3 p (2.91) ■Glede na IcsrrccDAv ortogonalnih polinomov od skupne vsote kvadratov I odpade G>Y)^/N na nivo, (2 YX^)^/)EX^, na P P linearni del trenda, (Z- YX^ ) na kvadratični del 2 2 trenda, (ZYX ) /2X, na kubični del trenda, 'na druge vplive pa razlika £y) ii 2 (2YX 1 )' 5 ~~~2 /- A_ (ixx ) 2 .Zx 2 y (Zxx 5 ) 2 ali na -splašno ■ na.komponento trenda .stopnje j> odpade CZYX )‘ 'fX 2 p (2.92) na druge vplive pa ClYX p ) £ (2.93) Ostanek (2,93) jo vsota kvadratov odklonov stvarnih vred' nosti od trenda. Če predpostavljamo, da so odkloni stvarnih vrednosti od trenda slučajnostni, in da se porazdeljujejo normalno, moremo z zgornjim postopkom razstaviti vsoto kvadratov po izvoru, z F testom analizirati trend in objektivno dcloči- 153 ti, ali je posamezna stopnja (linearna, kvadratična, ku¬ bična) v trendu značilna ali ne. Analiza variance ima v tem primeru naslednjo obliko: V tem primeru značilnost posameznih, komponent preskusimo s F- preskusom tako, da izračune vrednosti ( p. YXp) 2 / J s 2 s e primerjamo s teoretičnimi tabličnimi vrednostmi P o 6 (m-j_=l, ni 2 = IT - r~l) pri stopnji tveganja, oč če gre za trend v obliki polinoma r-te stopnje. 2,58 Za primer prilagajanja parabol stvarnim podatkom z or- togonalnimi polinomi vzemimo časovno vrsto indeksov izvoza FLRJ v razdobju 195o-196o. V tabeli je nakazan celoten postopek izračuna parametrov pa¬ rah oličnega trenda in trenda, samega. » 155 Tabela 2.23 Izračun paraboličnega trenda za indeks vrednosti izvoza iz FLRJ v razdobju 195o-196o M 1-3 rv M Jr i-- I U" r h ; CX 1 O 4 c+ H O .S±> o fsri 156 Tabela 2.23 Izračun paraboličnega trenda za indeks vrednosti izvoza iz FLRJ v razdobju 195o-196o (nadaljevanje) Čeprav časovna vrsta kaže, da je smer razvoja parabola druge stopnje, izračunajmo in analizirajmo časovno vrsto s paralelo tretje stopnjo, da z analizo-variance objektivno preskusimo tip trenda. Iz tabele 2,22 ortogonalnih__polinomov za N « 11 so v kolone ( 4 ) do ( 6 ) prepisane vrednosti za o.rtogonalne polinome do tretje stopnje,Za¬ radi enotnosti postopka so v koloni (3) podatki tudi za ^ « 1 , V ko¬ lonah (7) do_(lo) so vpisani produkti osnovnih vrednosti z ustreznimi vrednostmi za orfcogonalne polinome« XXq, YX]_, 1 X 2 » 1 X 3 . vsot teh produktov YXp in vsot kvadratov iz vrednosti ortogonalnih polino¬ mov Xp 2 ^izračunamo parametre B^ za funkcijo trenda in izvedemo ana¬ lizo variance. Parametri funkoije trenda do tretje stopnje so« B q * Y/N \ «.YX X / IX 1 2 b 2 -yx 2 / >: X 2 2 B3 =>YK^/ J X 3 2 = 6 ll/ll - 762/11o 458/858 = -I6/4290 55, 5455 6,9273 o,5338 o, oo37 Že__parametri sami kažejo, da je prispevek tretje stopnje k trendu ne¬ znaten, ker je B 3 v primerjavi z drugimi parametri izredno majhen. 2.59 C e predpostavimo, da so odkloni indeksov vrednosti od trenda iregulami in jih v analizi smatramo za slučajne, moremo izvesti ana¬ lizo variance, ki nakaže značilnosti posameznih komponent trenda. o V tabeli 2.24 je nakazano, kako se skupna vsota kvadratoviT^ =■ 39769 razdeli na posamezne komponente:_nivo, linearno, kvadratično in kubič¬ no komponento trenda, F - test za zgornji primer pokaže, da je linear¬ na komponenta v razvoju zelo značilna, ker je izračunani F za linear¬ no komponento F « 12o,3 znatno večji kot teoretični F na stopnji tve- ganjaCčd, a o,ool F 0?ool (in^ =* 1, m 2 = 7) “ 29 , 25 . Kvadratična kompo¬ nenta je na meji značilnosti s tveganjem CX/ “ 0,05 ker sta zanjo teore¬ tični F in izračunani F praktično enaka, F Q (m^-l, m 2 =7) ~ 5,5 9» 157 vD VN O . p, T m t—> c+ o o p T 3 'i-j. P C_l. O o pj ct 4 P P . Qi P CO -VI 00 w p P o* Tj H- o< p p p p cf p K >1 -o no o . pb T K H ct O O p Tj H- P C_i. O ' P pj ct 4 P P pj P On T W o < 3 P Tj Pj o 4 P P P ct p H- d- Q< P P P VN no M vn no vn I /-"N (T CO M Ki M no no > O’ no H Tj ra 4 ct o o m Tj ct • ra no ra ct H- H* tN <1 O N P V t H w 15 8 Kubična komponenta v trendu je. neznačilna, ker je izraču¬ nani K = o,oocl3 znatno manjši kot teoretični K s tvega¬ njem d = o,o54 Iz tega zaključimo, da je funkcija trenda parabola druge' stopnje in izdelamo revidirano oziroma re¬ ducirano analizo variance. Ker kubična konponenta ni zna¬ čilna, analizo variance zaključimo s parabolo druge stop¬ nje in kot trend upoštevamo parabolo druge stopnje: Tabela 2.25 Reducirana analiza variance za indeks izvoza. FLRJ v razdobju 195o-196o Linearna komponenta trenda 5278,60 Kvadrutična komponenta trenda Odkloni od t slučajnostni 244,48 renda 2«stopnje= odkloni j0 „ 62 1 1 8 5278,6o 244,48 38,45 137,2 6,37 1,0 Skupno odkloni od nivoja 583o,?c lo V reducirani analizi variance se tudi kvadratična kompo¬ nenta trenda izkaže kot zanesljivo značilna na stopnji Ok = o,o5, ker je za njo izračunana vrednost F = 6,37? ta- blična vrednost pa F q q ^( 1,8) = 5?32. Enako je linearna komponenta kot prej značilna na visokem nivoju, saj je tablični F 0 . 00 ]_ (l?8) = 25?42 2 _2 s - = s - = 38,45 je varianca odklonov od trenda druge e y.2 ^ ’ ■ u stopnje In sumarno kaže jakost individualnih vplivov oz. odklonov trenda. Ge Izračunamo kvadratni koren iz rezi- dualne variance 38,45 = 6,2 dobimo standardno napako ocene razvoja indeksov izvoza, če ga aproksimirajmo s parabolo druge stopnje. V 2 ? o y» 2 159 Glede na t.c , da analiza vari ar.-, c e nakaže, dr kubičr. * kom- nenta ni značilna in da je trend le kvadratičen, smo v zadnjem delu tabele 2.2J izračunali kvadratičen trend,. Konstanti I = 3 q X o smo najprej prišteli linearni del B-j X^, ki ga dobimo, če vrednosti ortogonalnega polinoma X-^ po¬ množimo s parametrom Tako dobimo linearni, trend T^. S tem, da vrednosti ortogonalnega polinoma pomnožimo s parametrom B 0 in produkte B 0 X prištejemo linearnemu C. C. trendu, dobimo kvadratični trend Tp. V zadnji koloni so zaokrožene vrednosti za kvadratični trend. Iz primera vidimo odločno prbdnost ortogonalnih polinomov., Ta je med drugim tudi v tem, da dobimo kot -vmesne rezulta¬ te tudi trende.' nižjih stopenj (v našem primeru T-^) in pri¬ spevke posameznih komponent k skupnemu trendu (v našem primeru: Nivo-povprečje , linearno in kvadratično komponen¬ to ) . V sliki 2.22 je med drugim prikazana časovna vrsta in¬ deksa vrednosti izvoza in paraboličen trend druge stopnje. 160 PERIODIČNI VPLIVI Splošno 2 o 60 Na veliko ekonomskih pojavov 'vplivajo faktorji,, ki se na, določeno razdobje periodično pojavljajo z ena¬ kim -učinkom,, Tako imamo dnevne, tedenske in mesečne pe¬ riodične vplive, razen periodičnih vplivov, ki se pojav- Ijajo pri določenih pojavih z drugimi dolžinami periode (n*pr« v periodi ene izmene dekade itd*). Večdnevna ča¬ sovna vrsta o uporabi električne energije, o poraoi vo¬ de, o pojavih is lokalnega prometa itd., kažejo dnevno periodičnost., Enako kažejo večtedenske časovne vrste po dnevih tede: iko periodo v prometu, številu nočnin v tu¬ rizmu, v premetu v gostinstvu, ti* go vini na drobno, itd c Najpogosteje po, opazujemo v ekonomskih pojavih sezonske periodičnosti. Sezonske periodičnosti so predvsem rezul¬ tat klima,tskih vplivov, ki imajo odločilen vpliv na vse pojave v kmetijstvu, v turizmu, v gradbeništvu itd«, in ustaljenih navad in dogovorov, ki so terminirani na do¬ ločene ustaljene datume : (npr. gospodarski sejmi itd.). Jakost sezonskih vplivov na določene pojave more biti večji ali manjši e Velikokrat so sezonski vplivi, vsaj kar zadeva klimatske izvore, škodljivi oziroma nezabe¬ ljeni 0 Tako imamo povečano gradbeno- dejavnost v poletnih mese¬ cih in zmanjšano v zimskih mesecih. Enako imamo poveča¬ no turistično dejavnost v poletnih mesecih itd., kar iz¬ ziva neenakomernosti v zaposlenosti^ izkoriščenosti ka¬ pacitet itd. Sezonske vplive proučujemo statistično iz več razlogov: Enako kot pri trendu tudi periodične vplive proučujemo in analiziramo zaradi njih samih ali pa zaradi tega, da posredno z njimi omogočimo analizo nekih drugih, npr.-, cikličnih vplivov. Pri proučevanju cikličnih vplivov z eliminacijo trenda in periodičnih oziroma sezonskih vpli vov skušamo dobiti iz skupne časovne vrste ciklično komp ne ni o. 161 Same zase pa proučujemo periodične -vplive zato, da anali¬ zirano jakost in značaj periodičnih vplivov- V glavnem je sezonski vpliv kvaren e Tako v turizmu pri zadostnih kapacitetah v sezoni ostanejo kapacitete v mrtvi sezoni neizkoriščene o Važna naloga turizma je ustvariti pogoje za razvoj turizma in izkoriščanje teh kapacitet tudi v "mrtvi" sezonir Podotino v gradbeni dejavnosti vpeljava industrijskega načina gradnje spreminja sezonsko kompo¬ nento v gradbeništvuj ki bolj in bolj postaja neodvisna od gradbene sezone? Proučevanje sezonske komponente omo¬ goča najprej prikaz sezonskega karakterja določenega po- java ? naknadno pa.primerjavo sezonske komponente pred in po izvedbi določenih ukrepov, katerih namen je omilitev sezonskih vplivov. 2.61 Pri proučevanju sezonske komponente vzamemo kot osnovo časovno vrsto po tednih* dekadah* mesecih ali kvar¬ talih. Odločitev, o tem je predvsem odvisna od vsebine analize. Čim večja so namreč osnovna razdobja podatkov v časovni vrsti, tem bolj je zabrisana sezonska kompo¬ nenta* Če pa so razdobja prekratka* more biti slika nepregledna in zaradi slučajnostnih vplivov* ki pridejo v tem prime¬ ru bolj do izraza* tudi manj vidna. Kompromisna rešitev, ki do neke mere zadosti obema zgornjima pogojema* so me¬ sečne časovne vrste* Dvanajst členov v eni ..periodi oziroma sezoni je dovolj, da so jasno vidne osnovne črte sezone, mesec pa je za¬ dosti dolgo razdobje, da ne pridejo preveč do izraza slu— čajnostni vplivi* Mesečni podatki pa imajo druge slabosti, ki otežujejo oziroma zameglijo sezonsko komponento« Različno število dni v mesecu je že eden izmed vzrokov. Med mesecem z naj¬ manjšim številom dni v mesecu in meseci z največjim šte¬ vilom dni v mesecu je razlika tri dni ali deset odstot¬ kov* To dejstvo* ki nima z vsebinsko platjo pojava nobe¬ ne zveze* vpliva na pojav tako* da je sistematično v 162 februarju manjši kot v januarju ali marcu itd. Prav tako je oteženo proučevanje sezonske komponente iz mesečnih podatkov za take pojave, ki imajo še drugo periodično kom¬ ponento z dolžino periode, ki ni mnogokratnik dolžine me- seča,, Tipična taka motnja so tedenske periodičnosti, ki se v najenostavnejši obliki izražajo s tem, da število nedelj ni v vseh mesecih enako, oziroma obratno, da število de¬ lovnih dni od meseca do meseca močno variira.,, če k temu dodamo, da ima veliko pojavov še razlike v dnevih, morejo mesečni podatki močno variirati zaradi tega, ker obsežejo * enkrat več, drugič, manj delovnih dni v mesecu ali ker ob¬ seže j o različne dneve o Prilagoditev podatkov, da odstra¬ nimo iz njih vplive, ki s pravo periodičnostjo sezonskih pojavov nimajo nobene .zveze, je v določenih primerih eno¬ stavna, more pa biti tudi komplicirana. Če predpostavljamo, da aktivnost določenega pojava ni od¬ visna od dneva (nprc število rojstev, smrti ipd«), redu¬ ciramo osnovne podatke enostavno tako, da izračunamo me¬ sečno vrsto povprečij na en dan, če mesečni podatek delimo s številom koledarskih dni, ki jih ima posamezen mesec. Podatke reduciramo na standardne mesece z 30 dnevi, če osnovne podatke pomnožimo z ustreznimi koeficienti k = 30/d<, Pri tem-pomeni k koeficient za ustrezen mesec, d pa šte¬ vilo koledarskih dni v mesecu, Če gre za dejavnost, za katero moremo predpostaviti, da njena intenziteta ni od¬ visna od dneva v tednu, razen da se v nedeljo ne vrši, osnovne podatke reduciramo tako, da izračunamo povprečja na delovni dan 3 Težji primer pa so dejavnosti, ki so od¬ visne od dneva v tednu. V teh primerih mesečni podatki variirajo pri isti intenziteti zaradi tega, ker niso po¬ samezni dnevi v raadobju enega meseca enakomerno zasto¬ pani« Enakomerno so zastopani edino v februarju, ker vklju¬ čuje točno štiri tedne. Ta vpliv je še posebno močan v turizmu, kjer je v dosti primerih v lokalnem gostinstvu večina dejavnosti skoncentrirana na nedeljo. Iz naštetih situacij vidimo, da ni pravila, ki bi ga mogli slepo upo¬ rabiti za posamezne primere, temveč moramo v vsakem po¬ sebnem primeru presoditi, ali je umestno, da uvedemo ko- 163 rektm-o in če jo, je treba poskrbeti, da je v skladu z naravo pojavao 2,.62 "Vprašanje zase je razdobje, za katero proučujemo sezonsko komponento« Običajne proučujemo časovno komponento iz časovnih, vrst za več let- 5 da so dobljeni rezultati reprezentativni,, Če predpostavljamo, da .je sezonska komponenta statična, to pomeni, da-.jo. od leta do leta nespremenjena« Število let pa- pri večini pojavov ne sme biti predolgo, ker predpo¬ stavka o nespremenjeni sezonski komponenti v daljšem raz¬ dobju ne vel..a in jo moramo zamenjati s predpostavko, da se sezonska komponenta kontinuirano spreminja. * Metode proučevanja stati^'j>2nne in dinamične komponente s-e ned seboj razlikujejo in iščemo pri statičnem modelu za posamezen mesec povprečne učinke sezonskih Vplivov, pri dinamičnem modelu pa smer razvoja sezonske komponente za posamezne mesece. Pri hitri spremembi sezonske komponente statično prouču- r- " 'jemo sezonsko komponento iz. razdobja malega števila let npr, tri leta, včasih pa. proučujemo statično sezonsko kom¬ ponento iz daljših, iz deset ali tudi večletnih časovnih vrsv, če so dani pogoji za predpostavko, da se sezonska komponenta v ten razdobju ni spremenila. Metode za merjenje statične sezonske komponente 2«63 Metod za morjenje sezonske komponente imamo več« Katero izmed njih izberemo, je odvisno od časovne vrste oziroma dinamike pojava,- ki ga proučujemo in od tega, kakšno natančnost rezultatov zahtevamo. Običajno uporab¬ ljamo tele.metode za proučevanje statične sezonske oziro¬ ma periodične komponente: a ) metoda vsot b ) metoda kvocientov na trend c ) metoda kvocientov na vrsto drsečih sredin 164 d) metodo verižnih indeksov e) metodo grafičnega približka. Metoda vsot 2«64 Če v razdobju, ko pojav proučujemo, ni izrazitega trenda, moremo sezonsko oziroma periodično komponento iz časovne vrste dobiti enostavno z metodo vsot: Iz modela za tako časovno vrsto Y lm = + + m Im' (2.94) dobimo, da je vsota podatkov za isti mesec enaka (2.95) JY 3 m 1 lm S... = ; LA( 1 + p m ) ker se v vsoti večih let slučajni vplivi uničijo. Povprečna vsota iz dobljenih vsot po mesecih pa je S = LA ■ ._ (2.96) ker se v\soti enega leta po definiciji periodični vplivi uničijo: Če izračunamo po mesecih kvociente S m /3 = LA (1 + p n ) / LA = 1 + P m (S. 97) dobimo sezonske kvociente oziroma, če jih pomnožimo s 100 sezonske indeks e 6 V izpeljavi pomeni;./^ ~ osnovni podatek za leto 1 in mesec m p = sezonska komponenta za mesec m s lm = sl'ačajnostna komponenta v mesecu m leta 1 A = konstanta - nivo časovne vrste L = število let v razdobju, v katerem proučujemo sezonsko . komponento 165 S - vsota podatkov Y-, za mesec m m Im S = povprečno iz mesečnih vsot Če ponovimo postopek izračuna sezonske komponente r dobimo za tako časovno vrsto sezonsko komponento po naslednjem postopkUo i) Iz podatkov za osnovno časovno vrsto Y^ Q tvorimo vsote iz podatkov različnih let za iste mesece: S m b) Iz dobljenih vsot izračunamo mesečno vsoto !3 c) Sezonske indekse 1 + p dobimo, če mesečne vsote delimo s povprečno vsoto, kvociente pa pomnožimo s 100 , Ta metoda je posebno prikladna pri proučevanju časovnih vrst s krajšimi periodami: tedni ali dnevi, ker je za te primere predpostavka, da v časovni vrsti trenda ni spre— j eml jiva. Metoda kvocientov na trend, 2*65 Stvarni podatki večkrat ustrezajo modelu » = T lm < 1 + Pm + ( 2 - 98 > da je v časovnem razvoju pojava trend, kot pa modelu, da trenda ni, Opozoriti moramo, da ta model predpostavlja, da v časovni vrsti ni ciklične komponente in je zato ome¬ jen samo na pojave, v katerih je razen trenda še periodi¬ čen oziroma sezonski vpliv in iregularni vplivi. Iz te časovna vrste eliminiramo trend, če člene v osnovni časovni vrsti delimo z ustreznimi členi trenda« Tako dobi¬ mo K lm = Y Xm /T lm = 1 ^ + p m + s lnP (2.99) Konstanta A je teoretično enaka 1, praktično pa je koli¬ čina, ki je blizu ena. Iz obrazca 2.99 vidimo, da je na- 166 daljnji postopek podoben oziroma enak kot pri metodi vsote Po metodi kvocientov na trend torej izračunamo sezonsko komponento tako, da : a) Osnovni časovni vrsti izračunamo ustrezen trend b) poiščemo kvociente med vrednostmi osnovne časovne . vrste in trenda E., .J.tn c) iz dobi jenih kvocientov poiščemo sezonsko komponento enako kot smo iz osnovnih vrednosti v časovni vrsti poiskali sezonsko komponento po metodi vsot* Vendar to metodo zaradi običajno zamudnega izračunavanja trenda in zaradi predpostavke« da časovna vrsta ne vsebu¬ je ciklične komponente ? razmeroma redko uporabljamo« Obe zgornji hibi namreč do neke mere odpravi metoda kvocien¬ tov na vrsto drsečih sredin;, ki jo zato pogosteje uporab¬ ljamo kot metodo' kvocientov na trend« Metoda kvocientov na drseče sredine 2. 3 66 Z metodo drseč ih sredin, pri kateri izračunavamo 'drseče sredine iz razdobij ene periode« odstranimo iz os¬ novne časovne vrste slučajne in periodične vplive, V vrsti drsečih sredin pa se učinek ciklične komponente nekoliko omili, trend pa delno izravna« če je krivuljcen« Če zane¬ marimo ta dva efekta, dobimo z vrsto drsečih sredin iz vrste osnovnih podatkov y-^ po modelu Y lm ~ ’ G lm ^ + p lm + S l: im ’ Im Im Im" naslednjo Časovno vrsto ( 2 . 100 ) ( 2 * 101 ) Če delimo podatke iz /osnovne časovne vrste z ustreznimi vrednostmi v vrsti drsečih sredin, dobimo torej 167 ( 2 o 102 ) "ln Y lm /? lm (1 p m ’lir pri čemer je konstanta A teoretično ena, praktično pa število* ki je zelo ‘blizu ena 0 Iz obrazca 2 102 vidimo* da je desna stran slična modelu* pri 2,,94 in je nadaljnji račun sezonske komponente sličen kot pri metodi vsot« Če združimo ves postopek v enotno na¬ vodilo- določimo sezonsko komponento po metodi kvocientov po naslednji!: točkah: a) Dani časovni vrsti Y. ( izračunamo stvarni časovni vrsti strežno vrsto drsečih sredin ene periode« 'lm iz razdobij b) V obliki indeksov izračunamo kvocienve med stvar¬ nimi vrednostmi Y n in ustreznimi vrednostmi v vrsti lm drseči:: sredin 7 -, j. m c) Da se 'zognemo odklonom, ki morejo nastati zaradi enkrat iih vplivov, iz kvocientov za vsak mesec iz¬ računamo modificirano aritmetično sredino tako, da izmed vseh kvocientov za ustrezen mesec črtamo naj¬ manjši in največ ji kvocient, iz ostalih pa izračuna¬ mo povprečje-, Tako dobimo za vsak mesec povprečen kvocient S , ki predstavlja nekorigiran sezonski indeks,^ S tem srno iz periodične komponente izločili enkratne in slučajnestne vplive« d) Iz nekorogira.nih sezonskih indeksov izračunamo korigirane sezonske indekse ; če iz njih izračunamo povprečje K in posamezne nekorigirane sezonske in¬ dekse delimo s tem povprečjem 1 P m ( 2 « 102 ) 2,67 Kot primer za izračun sezonske komponente po meto¬ di kvocientov na drseče sredine vzemimo indeks izvoza za KLEJ v razdobju 1954~1960 o Vrsta drsečih sredin jc izračunana s postopnim prištevan¬ jem dvojnih diferenc.. Prva drseča^ vsota je 168 Tabela 2.26 Izračun sezonske komponente za izvoz v FLRJ po metodi kvocientov na drseče sredine (podatki v lo° dinarjih) (l+p) zaok* = sezonska komponenta; zaokroženi podatki. P Pii Mtt Hi ro Pj ki + M k, d HI ro E> © o N Pj O P P H CO H- td O P P 4 id P II II II ^ id P> o <| 4 P O Dl H- O © H, P- G< H- © © O p p- ct ra 4 p 4 © Pj Pj 4 O 4 P P W N P © H C o

00 M HI ro p- Kj MHIdPjH P -P -HI-HI__ H3VN VN H O -H + P J - - vn roso \p> t - 1 iv) VDH (T p P doi-o . VN I—* 'O Pl , 00 H -P O OUlpvO -P CT C0 VN VD V0 00 • Vn VJ 1 M v* O VD VN -P 00 vn pvn m p j P o o o HH 01 j——I si» s/l si* 0 -Pvn H I— 1 PVN p p p o o o O O VN 1 -* sP s* s/1 o er co ro P J 00 o I- 1 M -P OOP povn ro !- 1 s/> N* S* O vO O M VN PVN I—' I—' -P o o ro (JIH 00 |— 1 si> -i> vo o vQ o ro h vnvh p p vn VN VN VN ro ro o p- 1 '* - - VN VH

(2.105) 173 uporabiti za točne jšo določitev sezonske komponente* Sezonske indekse, ki jih dobimo po metodi kvocientov na dvanajstmesečne drseče sredine, moremo smatrati samo za približek prave sezonske komponente, 'ker vsebujejo kvocienti na to vrsto še del ciklov.* Ker pa je vrsta pet¬ mesečnih drsečih vsot iz vrste iz katere smo eliminirali sezonski vpjiv boljši približek za T*C., postopek kvoci¬ entov na drseče sredine ponoviti z novo vrsto drsečih sredin Y/P, ki bolje ponazarja T.C* Jasno je- da je v tem primeru tudi časovna vrsta kvocientov osnovnih vred¬ nosti z novo vrsto drsečih sredin bolje očiščena vplivov cikla in bolje predstavlja komponento P.S„ Tako pridemo z iteracijo do realnejše slike o sezonski komponenti* Metoda iteracije ima po zgornjih izvajanjih naslednje stopnje: a) Po navadni metodi kvocientov na dvanajstmesečne drseče sredine izračunamo prvo oceno za sezonsko kompo¬ nento Po b) S tem, da delimo osnovno časovno vrsto Y z ustrezno sezonsko komponento (indeksi) P, iz osnovne časovne vrste eliminiramo sezonsko komponento; Y/P =* T«C.S. c) Z vrsto petmesečnih drsečih sredin 7/P iz vrste Y/P eliminiramo slučajnostnc vplive; 7/1 5 = TC d) S ppncvno uporabo metode kvocientov na petmesečne drseče sredine Y/P izračunamo popravljeno sezonsko kom¬ ponento P/ ( Metoda verižnih kvocientov 2,69 Hiba metode kvocientov na drseče sredine je v tem, da je treba izračunati vrsto drsečih sredin, kljub temu, da je neposredno ne potrebujemo* Zato v primerih, ko mo¬ remo predpostavljati, da je trend vsaj približno ekspo¬ nentna funkcija, uporabljamo metodo verižnih kvocientov* 174 V tem primera je model časovne vrste (1+ p m + s la ) = a,13 12a + m (l+P m +s lH ) (2.106) 'Im Im Y, im' .L m k lm= I l(-m-l) ajt 12.1 + m (l+P m +s x P „ , l'2,l+ro-l n a ’ 3 ^ +p m-l + s lm-l b. 1+p m + s lm (2.107) Od trenda je * verižnem kvocientu k^ m ostal le parameter b, za slučajnostjo komponento pa zaradi enostavnosti predpo¬ stavljamo, da je tudi v kvocientih z drugimi komponentami v aditivni zvezi 0 Če iz verižnih kvocientov k^ m izračunamo mesečna povprečja, se prvi del ne spremeni, ker je za po¬ samezen mesec konstanta. Slučajnostna komponenta pa se v povprečju eliminira. Tako dobimo 1 + p m k = b e —- m 1 + Pm-l (2.108) Geometrijska sredina iz povprečnih verižnih kvocientov k m 3e G* n b konstanta b, ki jo iz povprečnih verižnih kvocientov K. eliminiramo, če jih z G*r delimo. m 1+p V«L - P —-1- Ul J. ~r T) n ± m'~I j * = i+p m m 1+ Pm-1 S kumulativnim množenjem dobimo iz t postopoma ( 2 . 110 ) 175 1 + p. K 1 = ‘ b l = “I + p 12 1 + Pl 8 1+ p 2 1 + P 2 T + Pp2 -t + P 3 1 + Pi2 1 P 4 1 + p 12 ( 2 . 111 ) E 12 a K ll t 12 ' = 1 + p ll _ % 1 + p 12 1 + p 12 1 + Pil 1 + p 12 1 + p 12 Členi v vrsti kumulativnih produktov K ra so sezonske kom¬ ponente 1+ p m , deljena z 1 + Pi 2 Ker se v povprečju oziroma v vsoti periodična komponenta, uniči (Zp m =* o), je 1 K n* TT ( 2 . 112 ) P 12 Tako dobimo, da je 1 + P k rt = - m m 1 1 + Pl2 / 1 + p 12 1 + P m (2.113) Če ponovimo gornja izvajanja, izračunamo sezonsko kompo¬ nento po metodi verižnih kvocientov po naslednjem postopku: 1. Iz cenovne časovne vrste izračunamo vrsto verižnih kvocientov ^ (ali indeksov 1^) 2. Da eliminiramo vpliv enkratnih faktorjev iz vrste ve¬ rižnih kvocientov, črtamo za vsak mesec najmanjšo in največ jo vrednost, iz preostalih pa izračunamo vrsto mesečnih, povprečnih verižnih kvocientov k . - 1 x m »v 3o Iz povprečnih mesečnih verižnih kvocientov izračunamo (z logaritmiranjem) geometrijsko sredino Gs- 4o Zgornji, teoretično izpeljan postopek nadalje računsko znatno olajšamo z logaritmi po naslednjih stopnjah; a) Za povprečne mesečne verižne koeficiente poiščemo logaritme b) Iz loglč izračunamo po obrazcu logGg = Z log lč m (2.114) povprečje c) V vrsti logk n od posameznega člena odštejemo logG^ e Tako dobimo lo gk m - logG^ = logt m (2.115) d) Iz logt izračunamo kumulativo. Tako dobimo vrsto D m l0 sV logt-^ = logK-jJ logK^ + logt2 ~ logKgj logKg + logt^ = logK^ itd. e) Člene v vrsti logK^ antilogaritmiramo in dobimo K f) Iz K m izraČuna.mo povprečje £ = li Ž- K m (2.116) g) Sezonsko komponento, izraženo s koeficientom dobimo po obrazcu 1 + J>m = V K_ sezonske indekse pa dobimo, če dobljene kvociente pomnožimo s 100. Čeprav velja metoda verižnih kvocientov strogo le, če je izpolnjena hipoteza, da je trend eksponenten, jo s pridom 177 M ;«i iv S 3 H H H M M H M sO v0 vQ vD vO vO P> p p p vn p p vri o vD oo-O p vn -4 o 'p p o o o Ml ^ vi %( J vn (?> CT. oou> cfoo -4 p i o v^ipJiVm oo ro H ‘H M M M O p ^ *£ >4 IV) P M ro M vD -te p -M v>j vn vn vn o M H M M H H fp j> va sjr **£ *j» K0 *-o * ro p h o -4 p O) m ro o p .p p h; .p-O -t oo Hp H ir 1 P o o o o o 6 'jpvOsOvDsOP IM -4 P P O CT. (Tl -FH Od ro (Tl P P p O H H H H O M -®: v» o ve ve vj> dppy HO O vDH P P o o v_n ro ro Hoj. co o ppp M P MO O HM no (te o ppu> o pVp O OOpH o o H o pvnPo op O IM O O O o ^ o -•«i ve v*> %» Oo-W vP rb po co co vsicpvn IM oo vn co ood pC^-GPJP O H M P O MM **. ve vr 4 s* s* ve pP O VQ p M M -GP o -m covm ro oo o. p ro. -G p vn M M P M H O M ve ve *"4 ve v *-. vP vP o o (te o d p> o p Cn -te vn -9 -4 M PVU 00 03 M P Mp M M M M M vP ^ vA SP NJJ vP v«> oo Ho O O M -G IM U> oo -4 -P o p-4\ P VM co -Vi p MH M p O M O O *** vP ^ v> O vP O fp MP pop VU) -4H -G -4 00 pvo P vrt p vn en I— 1 M M M M H H -P ve VP v# vp vi v»j P M P M p p o m oop rovi? vn oo p oo p -4-4 -4 H N 4 P o< N ‘O j4 C0 I** I P t* O B P O p p p cf P <1 P 4 M ISK 4 n <1 O " o H- P 4 c+ H- M M M M M M M PPPPPPP ovji'jiuivrv/1'ji opcov pp -4 p P oo -G vn -4 -4 -4 o -4 vm P P CD M M M MP covn -4 vn - o vrt en oo p v>j en M M M -4 o o p co P P p en en fp co p M M M -4 0 0 coppp -4 ro ro ca-o p en j_i |_i j_i rop m oo oop en -4 OOP co M PP M M M PPM 00-G-O P O PP-GP O P M MM p p O O p p p -4 PP P P O P I_| I_I |_| I_| P P M O p P P M O O P-G PP MM M -4 PP O P P P O p ppp -4 -4 M M M M p M O M P P-G MGp P-G-G M 1_I L_J I_I I_I p -4 P O p ~G -G PPP PP O O M M M M M M p P P P P Mp -4 P MP M P -4 178 uporabljamo tudi tedaj, če je smer razvoja v vsem prouče¬ vanem razdobju ali naraščajoča ali padajoča. .2c7o Za primer izračuna sezonske komponente po metodi verižnih kvocientov vzemimo časovno vrsto za vrednost iz¬ voza FLRJ’, v razdobju. 1954-1962*. Povprečni mesečni verižni kvocienti so izračunani z modi¬ ficiranimi aritmetičnimi sredinami tako ? da je za vsak me¬ sec črtan najmanjši in največji kvocient* Za januar imamo en kvocient manj kot za. drugo mesece, ker januar za prvo leto ne moremo izračunati verižnega kvocienta« Zato deli¬ mo reducirano vsotp verižnih kvocientov s štiri in ne s pet» , kot za druge mesece,, Tabela 2,27 I 7} 1* So čun sezonskih indeksov za vrednost izvoza FLRJ v razdobju 1954-1962 po meto¬ di verižnih kvocientov 179 Metoda grafičnega približka 2.71 Zadosti dober približek sezonskih indeksov dobimo z razmeroma majhnim trudom tudi grafično. Metoda je po svoji osnovi metoda kvocientov na vrsto sredin, le da po¬ stopek izvršimo grafično«, Rezultat je zaradi tega sicer manj natančen, kot če bi go, izvršili računsko, tehnično pa je postopek znatno olajšan, Z metodo grafičnega približka določimo sezonske indekse po naslednjih stopnjah.; . a) Na pollogaritmičen grafikon v razmeroma velikem me¬ rilu narišemo osnovno časovno vrsto po mesecih, b) Izračunamo letna povprečja in jih v grafikonu nari¬ šemo v sredine ustreznih let. c) Te točke so vodilne točke in skozi nje prostoročno vrišemo krivuljo,'ki najbolj ponazarja vsoto trenda in ciklične komponente. d) Pravokotno, na rob lista papirja narišemo izhodišč¬ no črto z vrednostjo 100, Ta papir uporabimo za vrisanje <• , ■"> ■ odklonov osnovne * časovne vrste od vrisane črte trend- cikel. Izhodišče 100 na papirju naravnamo na vrednost čr¬ te trend-cikel fa januar prvega leta. Na tako naravnanem papirju s'črtico naznačimo odklon stvarne vrednosti od Črte trend-cikel, Podobno ob isti rob nanesemo odklone za januarje vseh let. v Časovni vrstic e) Ko smo zaznamovali odklone za januarje vseh let, prečrtamo obe skrajni črtici, Za točke, ki so ostale, na oko določimo- težišče oziroma povprečje, ki ga ob robu narišemo z drugačno oznako« Težišče moremo kontrolirati, če upoštevamo,'da mora biti vsota pozitivnih in negativ¬ nih odklonov enaka, Dobljeno težišče je modificirana geo¬ metrijska sredina odklonov od linije trend-cikel in je po svoji vsebini nekorigiran sezonski indeks za januar« f} Ko smo tako,dobili nekorigiran sezonski indeks za januar, papir preganemo pravokotno na izhodiščno črto 100 in postopek ponovimo za. februar« Podobno dobimo končno vrsto nekorigiranih sezonskih indeksov za vse mesece. l8o g) Če razgrnemo pregarijeni papir, pomenijo oznake, s katerimi smo zaznamovali težišča za posamezne mesece, lo¬ garitme nepopravljenih sezonskih indeksov. Zato moremo z logaritemsko skalo odirati vrsto nepopravljenih sezonskih indeks ov, h) Če je vsota nepopravljenih sezonskih indeksov pri- Hišno 1200 (razlika manj kot 6) dobljene indekse ne po¬ pravljamo. i) Če pa je vsota nepopravljenih sezonskih indeksov od 1200 različna za več kot 6, izračunamo kvocient med vsoto nepopravljenih indeksov in 1200, To razmerje zaznamujemo v skladu z logaritemsko skalo na nagubanem papirju ih u- strezno znižamo ali zvišamo izhodišče 100. Z logaritemsko skalo odberemo od nove izhodiščne črte popravljene sezon¬ ske indekse. Proučevanje dinaimčne sezonske komponente 'S 2*72 Kot srn C' že omenili/ je predpostavka > da je sezon¬ ska komponenta statična sprejemljiva v omejenem obsegu. Za veliko pojavov, posebno v primerih, ko skušamo z dolo¬ čenimi ukrepi, zavestno vplivati na sezonsko komponento, se sezonska, komponenta od leta do leta spreminja. Definicija t sezonske komponente, da se na določeno razdobje perioda pojavlja z enakim učinkom, za primer dinamične sezonske komponente ne vel.ja.* V tem primeru velja, le, da so določe¬ ni vplivi odvisni od sezone* Za take pojave moremo opazovati sezonsko komponento z do- sedaj nakazanimi metodami za določanje statične komponente le, če je razdobje, katero proučujemo, tako kratko, da se sezonska komponenta še ni bistveno spremenila. V tem pri¬ meru pa pride do izraza kvaren vpliv slučajnostnih faktor¬ jev. Kot osnovo za proučitev dinamične sezonske komponente mo¬ remo vzeti vrsto kvocientov na drseče sredine. V Časovni vrsti kvocientov na -vrsto drsečih sredin jc iz razlogov, 181 ki smo jih omenili že pri metodi kvocientov ostala le sezonska in sluča,jnostna komponenta .0 Ker je pri statični sezonski komponenti učinek sezone v istem mesecu v vseh letih enak, se kvocienti na drseče sredine za različna leta za, isti mesec med seboj razlikujejo samo zaradi’ slu- ča.jnostnih vplivov, V' časovni vrsti kvocientov na drseče sredine za določen mesec so v tem primeru vrednosti na istem nivoju in v njej ni noke tendence sprememb po le¬ tih* Če pa je sezonska komponenta dinamična, so razlike med kvocienti na drseče sredine za isti mesec po letih razen od slučajnostnih vplivov odvisne tudi od spremembe sezonske komponente« V tem primeru opazimo v vrsti kvo¬ cientov na drseče sredine po letih za določen mesec ten¬ denco sprememb — nek trend« Grafična metoda analize dinamične sezonske komponente 2.73 V sliki 2.12 so za vrednost izvoza PLKJ za posa¬ mezne mesece prikazane časovne vrste kvocientov na drse¬ če sredine po letih« Rasen časovne vrste teh kvocientov so vrisane tudi drseče sredine teh podatkov, da je bolje t vidna smer razvoja, sezonske komponente v posameznem me¬ secu« Ta grafična metoda daje prvi uvid v dinamičnost sezonske komponente, 'Iz slike je npr. nazorno razvidno, da je v nekaterih mesecih podana določena tendenca razvo¬ ja sezonske komponente, v drugih pa ne. Vendar je ta me¬ toda proučitve dinamičnosti sezonske komponente subjek¬ tivna. Proučitev dinamične sezonske komponente z analizo variance 2.72 Če predpostavljamo j da je v vrsti kvocientov na dr¬ seče sredine za določen mesec le sezonska komponenta, ki more "biti tudi spremenljiva, in slučajnostni vplivi, more¬ mo s pridom uporabiti za analizo dinamičnosti sezonske komponente v določenem mesecu analizo variance, Analizo variance izvedemo z ortogonalnimi polinomi, kot smo naka¬ zali že v primeru analize trenda. Kot primer za take vr¬ ste analize vzemimo iz tabele 2,26 kvociehte oziroma in¬ dekse na. drseče sredine za vrednost izvoza za januar. Če vzamemo kot ničelno hipotezo, da sezonskih odklonov ni, so hipotetične vrednosti indeksov na drseče sredine enake 100o Zato z analizo variance analizirajmo odklone od 100,, Ker razpolagamo za kvociente s podatki za šest let, iz tabele o ortogonalnih polinomih izberemo koeficiente za N = 6, Tabela 2,28 Osnovni obračun za analizo variance kvoci¬ entov na drseče sredine za izvoz v mesecu januarju v raz¬ dobju 1955-1960 v PLEJc Analiza variance pa* j e naslednja? Tabela 2»29 Analiza variance kvocientov na drseče sre¬ dine za izvoz v mesecu januarju v razdobju 1955-1960 v FLRJ. Ker od skupne variance odpade na linearno in kvadratično komponento manj kot pa je ocena za varianco za slučajno- stno komponento, sklepamo, da ti dve komponenti nista značilni* To pomeni, da ni utemeljen zaključek, da je se¬ zonska komponenta!, v januarju dinamična< Glede na to zdru¬ žimo neznačilni linearni in kvadratični del s pogreške. Tako do.bimo novo oceno pogreške 2 = 31,56 + 15,43 + 208,51 = 51 10 d 1 ■+ 1 + 3 1, on o ir r\ Izračunani F za preskus nivoja je F = 5 I ' ,"{" 0 — =82,5 Ker je teoretični F oq1 (1,5) = 47,2 smatramo, da je' nivo sezonske komponente značilen na nivojuoC = o,ool» Ker pa je predznak izraza I Q = -159 negativen, je sezonska komponenta v januarju negativna. Podobne moremo analizirati sezonsko komponento za vse mesece, V tabeli 2.30 so prikazane; komponente sezonskih sprememb za vred¬ nost izvoza po mesecih po značilnosti. V tabeli 2,30 je z K v ustrezni vrsti nakazano ali je na določeni stopnji neznačilen 'ali značilen nivo. Za linearno komponento je z I, za kvadratično komponento pa s K označeno v vrsti za 185 ustrezno stopnjo značilnosti le za mesece; v katerih je linearna ali kvadratična komponenta značilna« Tab el a 2 «30 .Prikaz značilnosti komponent za dinamično analizo Sezonskih variacij (k = nivo, 1 = linearna kompo¬ nenta s . K - kvadratična. komponenta) Mesec Stopnja značil¬ nosti 0,001 - ■H ej 'r*D ^. O £ £ & - !> © Ph •H rH O (V. — . H -p w •H >o ra . i _ N Cj Ct - - o rt rt neznačilen 0,01 0,05 0,10 •H PJ T-s p rt Sh l> © Pt H H O -P -H -P c\3 >o ra bb ra © p P P n p o L' = Ot, Oh = oO " 0,10 0,05 0., 01. 0,001 M A M J J A 0 N ' P N L N N K NK N h N h N IT N N Iz tabele povzamemo) da moremo kot značilno smatrati sezon¬ sko variacijo v januarja, februarju, juniju, novembru in decembru, V januarju je visoko značilen odklon nivoja navz¬ dol, V januarju se izkaže kot zelo značilno znižanje vred¬ nosti izvoza in sicer na istem nivoju v vseh mesecih. Po podatkih v tabeli 2,30 sklepamo s 5% tveganjem na sezonsko znižanje nivoja v vrednosti izvoza v februarju« S tveganjem oi = 0,10 pa moremo zaključiti, da se sezonski indeks po letih v februarju linearno veča. Čeprav je v juniju v pov¬ prečju nivo sezonske komponente neznačilen, se izkaže, da je s tveganjem oC-= 0,05 značilna kvadratična komponenta. Sezonski indeks je po tem takem v razdobju proučevanih šestih let najprej padal, nato pa zopet naraščal, kar le¬ po vidimo tudi iz grafikona za mesec junij v sliki 2.12« V mesecu novembru sta značilna nivo in kvadratična kompo¬ nenta, iz česar zaključimo, da Se na splošno, v novembru vrednost izvoza zaradi sezonskega vpliva odklanja v pozi¬ tivno smer, da pa se je ta odklon prva leta v proučevanem 186 razdobju šestih let manjšal, kasneje pa zopet večal. Zara¬ di velikih slučajnostnih variacij v decembru mesecu, kar je razvidno tudi v grafikonu, se kljub nakazanemu zmanj¬ šanju sezonske komponente izkaže v decembru kot značilen le splošen odstop vrednosti izvoza od trenda navzgor, ki je pa zelo velik. Iz analize se pokaže jasna tendenca se¬ zonske komponente v vrednosti izvoza FLRJ. Povečan izvoz v zadnjih dveh mesecih leta in zmanjšan izvoz v prvih dveh mesecih leta. Medtem, ko se za skrajna meseca letnega raz¬ dobja (december in januar) pokaže sicer izrazito velik se¬ zonski vpliv, se v naslednjih sosednih mesecih pokaže tu¬ di sprememba sezonske variacije v teh mesecih: v febru¬ arju linearni dvig, v novembru pa značilna kvadratična komponenta sezonskih koeficientov. Če napravimo podobno ana¬ lizo za vrednost uvoza, dobimo naslednjo sliko: Tabela 2.31: Prikaz značilnosti komponent za dinamično analizo sezonskih variacij za vrednost uvoza FLRJ (H = nivo, L = linearna komponenta, K = kvadratična komponenta) Slika o značilnosti nivoja nakaže tipično konturo o sezon¬ ski komponenti za uvoz, ki je povsem različna od sezonske variacije za izvoz. Za razliko od izvoza, pri katerem so se elementi dinamičnosti v sezonski komponenti pokazali v treh mesecih, se je pri uvozu pokazala kot značilna le kvadratična komponenta v februarju. Tako opazimo značil¬ nosti v dinamiki sezonske variacije v februarju pri uvozu in izvozu. 187 CIKLIČNI VPLIVI 2.74 Pri mnogih, posebno pa pri ekonomskih pojavih, opazimo pri proučevanju dinamike ciklično komponento. Gospodarski cikli so nihanja, ki izhajajo iz več ali manj zakonitega naraščanja in upadanja gospodarske dejavnosti. Čeprav opazimo pri ciklični komponenti do neke mere enake značilnosti kot pri periodični komponenti, vendar niti trajanje niti oblike ciklov nista tako stalna kot pri pe¬ riodičnih nihanjih. Razen tega se menjajo od cikla do cikla tudi amplitude. Čeprav torej pri cikličnih nihanjih zasledimo zakonitosti, da ima vsak cikel svojo dolžino, razdobje, v katerem se dejavnost veča, moment, v katerem doseže dejavnost svoj relativni maksimum, razdobje upa¬ danja dejavnosti in moment, v katerem je dejavnost rela¬ tivno minimalna, dolžina in oblika cikla ni tako regu¬ larna, kot sta regularna dolžina in oblika pri periodič¬ nih nihanjih. Ne da bi se spuščali v vzroke, ki pogojujejo ciklična nihanja, bomo nakazali nekaj metod, s katerimi iz časov¬ ne vrste za dan pojav izluščimo ciklično komponento. S prou "Vanjem ciklov in s primerjavo med cikličnimi kom¬ ponentami za različne pojave, ki so med seboj v vsebinski zvezi, osvetlimo določene ekonomske zakonitosti, opisu¬ jemo in analiziramo zakonitosti ekonomskih pojavov in iz analogij ali odvisnosti med pojavi napovedujemo ekonom¬ ski razvoj. Preskus o značilnosti ciklične komponente 2.75 Pri proučevanju cikličnih nihanj je včasih umestno, da pred uporabo določenih računskih metod preskusimo, ali časovna vrsta, ki prikazuje določen pojav, kaže značilno¬ sti, ki so tipične za ciklična nihanja. Ena izmed metod za preskušanje značilnosti o trendu, je neparametrična metoda sekvenc, s katero enostavno in hitro preskusimo, ali je v pojavu ciklična komponenta značilna ali ne, I89 Vzemimo, da ima trend za proučevano časovno vrste na ce¬ lotnem intervalu isuo tendenco naraščanja ali padanja in da na pojav vplivajo razen tmonču- samo še slučajnos "fe¬ ni or Irena iro,;’: larri vplivi 0 V časovni vrsti, ki prikazuje tak pojav, absolutne diference dveh zaporednih členov od člena do člena spreminjajo svoj predznak slu- čajnostno po zakonitostih slučajnostnega pojavljanja. V tem primeru ni verjetna daljša sekvenca stanovitega na¬ raščanja ali padanja pojava, niti stanovito zakonito padanje ali naraščanje. Število sekvenc, to je število razdobij, v katerih pojav oziroma časovna vrsta kon¬ stantno narašča ali pada, torej v primeru slučajnostnega pojavljanja ni niti zelo majhno niti zelo veliko. V.pri¬ meru pa, da so v dinamiki pojava vzroki, ki pogojujejo ciklična gibanja, je število sekvenc bodisi izredno majh¬ no ali izjemno veliko. Iz tega se ponuja rešitev, da s testom sekvenc preskusimo ali je v časovni dinamiki ne¬ kega pojava značilna ciklična komponenta ali ne. V pri¬ meru preskusa ciklične komponente uporabimo test sek¬ venc po naslednjem postopku: 1) S -f oziroma - v časovni vrsti od člena do člena na¬ kažemo, ali je absolutna diferenca pozitivna ali ne¬ gativna. 2) zaznamujemo grupe neprekinjenih istih predznakov + ali 3) preštejemo število grup neprekinjenih predznakov + ali Tako dobimo število sekvenc r. 4) Preštejemo pluse in minuse. Število pozitivnih pred¬ znakov zaznamujemo z n^, število negativnih predznakov pa z n^. Za kontrolo velja, da je vsota n^+ n^ = N-l za eno manjša, kot je število členov v osnovni časovni vrsti. 5) Ker proučujemo ciklična gibanja le v daljših če.sovnih vrstah, 'za katere je N>10 uporabimo zakonitost oziro¬ ma približek, da se izraz f 19o SDp (2.117) porazdeljuje-v standardizirani normalni porazdelitvi. Ciklična komponenta je značilna na stopnji oC = o,o5, če je 1 ? 96 < f"z 1 < 2,58 na stopnji d, = o,ol, če je 2,58 < l.zi' C 3 » 2 9 in značilna na stopnji 06 = o,ool, če je iz.i > 3,29. Pri tem iz r,np in np izračunamo Mj-> = 2npn2 np+n2 + 1 . /(M r -1) (M r -2) V ni + n 2 - 1 (2.118) 2.76 Za primer vzemimo angleško industrijsko proizvod¬ njo v razdotju 1819-1913 V tateli 2.32 nimamo osnovne časovne vrste, temveč samo z - in + zaznamovan padec (-) oziroma porast (+) indu¬ strijske proizvodnje napram prejšnjemu letu. H r = 2.np.n2 2.57.33 -- + 1 = -■* + 1 = 46,6 np + n 2 57 + 38 , SD r = \/- /(M r -1) . (M r - 2) ni + n 2 - 1 /( 46 , 6 - 1 ) . ( 46 , 6 - 2 ) 57 +38-1 4,64 r — Mp 3° — 46,6 -3,57 191 38 57 n 2 ni r = 3o Glede na to, da je absolutna vrednost izračunanega z večja kot z Q Q0 ^ = 3,29 zaključimo, da je ciklična komponenta v industrijski proizvodnji v Angliji visoko značilna. Merjenje ciklične komponente 2.77 Če iz osnovne časovne vrste eliminiramo trend, pe¬ riodične oziroma sezonske vplive in iregularne oziroma slučajnostne vplive, ostane čista ciklična komponenta. Ta zasnova je osnova rezidualne metode določanja ciklične komponente. Jasno je, da ni v vseh časovnih vrstah.peri¬ odične oziroma sezonske komponente, bodisi zaradi narave pojava, ki ga proučujemo, bodisi zaradi časovne vrste sa¬ me. V vrsti letnih'podatkov namreč ne zasledimo sezonskih variacij, kljub temu, da je pojav sezonskega značaja. Razen rezidualne metode, po kateri dobimo časovno vrsto ciklov v določenem razdobju, proučujemo ciklična gibanja tudi sumarno v obliki povprečnega cikla, katerega analizi¬ ramo po nekaterih značilnih obdobjih in točkah in nekate¬ rih značilnostih kot so povprečna dolžina cikla, povprečna oblika itd. Rezidualna metoda za določanje ciklične komponente Eliminacija trenda in sezonskih vplivov 2.78 Pri rezidualni metodi iz časovne vrste.postopoma eliminiramo trend, sezonsko komponento in iregularne oz. slučajnostne vplive. Če predpostavljamo, da je model časovne vrste Y = T.P.C.I. _ (2.119) moremo eliminirati trend in sezonske oziroma periodične vplive na tri načine, ki dajo končno enak rezultat: Po' prvem načinu iz osnovne časovne vrste najprej elimi¬ niramo trend I/T = P.C.S (2.120 a) 193 iz dobljene vrste pa eliminiramo sezonsko komponento tako, da kvociente na trend delimo s sezonskimi indeksi (Y/T) / P - C.S (2.120 b) Drug možen način je, da iz osnovne časovne vrste najprej eliminiramo sezonske vplive. Osnovno časovno vrsto delimo s sezonskimi indeksi Y/P = T.C.S (2.121 a) dobljeno časovno vrsto, katero smo očistili sezonskih vplivov, pa naknadno delimo s trendom, da odstranimo trend (Y/P) / T C.S (2.121 b) Po tretji metodi pa najprej izračunano takoimenovano nor¬ malo, ki je skupna'vrsta trenda in sezonskih vplivov N = T.P (2.122) in jo dobimo, če vrednosti trenda pomnožimo s sezonskimi indeksi. Če osnovno ča.sovno vrsto delimo z normalo, do¬ bimo Y/N = Y/T.P = C.S (2.123) Prvo metodo redko uporabljamo, ker vmesni rezultat P.C.S nima posebnega vsebinskega pomena. Druga metoda je bolj uporabna, ker dobimo kot "vmesni rezultat časovno vrsto, ki je očiščena sezonskih vplivov. Ker v analizah dosti¬ krat potrebujemo take časovne vrste, je ta pot praktična. Če pa proučujemo pojave, ki bodisi niso sezonskega značaja ali pa je proučevana časovna vrsta taka, da sezonsko kom¬ ponento zabriše (časovne vrste letnih podatkov), pri tej metodi odpade eliminacija sezonskih vplivov in dobimo ča¬ sovno vrsto CI tako, da osnovno časovno vrsto delimo s trendom. i Tretji način pa ima to prednost, da dobimo kot vmesni re¬ zultat normalo (N = T.P), ki ima svojo analitično vred¬ nost. 194 2.79 Za primer vzemimo tri časovne vrste o živem srebru, ki jih v kasnejšem poglavju analiziramo kompleksno. Te tri časovne vrste se nanašajo na svetovno proizvodnjo, proizvodnjo v ZDA in povprečno letno cono za jeklenko v dolarjih v New Yorku. Za vsako izmed teh treh časovnih vrst je izračunan z ortogonalnimi polinomi trend tretje stopnje T_. Kvocienti med Y in T~ Y/T ? = K = CI dajo 3 3 3 vrsto, ki ponazarja skupen učinek ciklične komponente in iregularnih vplivov. V tabeli 2.33 so nakazane vrednosti ortogonalnih polino¬ mov X , X 0 in X_ za časovne vrste z N = 5o členi, osnovne -L p časovne vrste, trendi tretje stopnje in kvocienti na trend za svetovno proizvodnjo, živega srebra, proizvodnjo v ZDA in povprečno letno ceno v New Yorku. V sliki 2.13 so prikazane vse tri vrste podatkov z vrisa¬ nimi trendi tretje stopnje* Slika 2.15 Svetovna proizvodnja, proizvodnja v ZDA živega srebra in cena za jeklenko v Nev; Yorku v razdobju 191o-l959. 196 o •ro d nd O r> N •H O P ft O •ro d "d o o P !> P CS3 0 •H P o ra d Ph o > O -H d >ra > o d -p N 0 > d ra d d d o ra M -P £ ra 0 > o d id •H d i> 0 o .o ra d >o NO NO * a d i—i CD ■s frH O d +3 ra 0 •H i—I d o tj d d >o 0 0 d d 4, £, d O' •n •H g .3 ■H d S o •H ISJ NO I M I I OJ I CJ^^O^COCVi^lAiJ) r|U'. OOIACOOOH ftlO^HOHPC^CO (jMi) 4 O H rH OJ 1 I ’ I i i + 4 + A A CA o CO A A OJ LA d d- CO KO LA vi) KV JU -+ J J- + + + ■)■ A vi) d + OJ O KO do od O OJ LA d d + + ca NO I W > ! I M i —l I M ! C0 OJ 00 CS Vi)- VO O 00 01 Vi) r-i no cO ON A d OJ O CO CO d KO rH i—t A rH rH rH rH i —I -!- -t* 4" •!- 4 4" +■ + i I CO NO, CO, CO CO Vi) d uo Vi) LO¬ GO A LA NO rH OO O- LA NO rH O' A JO NO H CT ■ A LA d d d d d rA rA rA no no OJ oj OJ OJ a: H rH r-i ! I ! : i : ; i i I ! ! I ! I i ! I I o -p 0 P O rH OJ NO d LA lD O- CX) OO o H OJ NO d LA vO A i—l i—i i—i i—f r—H i—I i—I i—! i—I i—I OJ OJ OJ OJ OJ C'J OJ O! CA Oo rH r-l ,X h- 1 H 1 L" 1 I VD VD VD 1 I 198 Tabela 2.33 Eliminacija trenda iz časovnih vrst za svetovno proizvodnjo, proizvodnjo v ZDA in povprečno letno ceno v N.ew Yorku za živo srebro (nadaljevanje) 0 0 o Iz tablic o ortogonalnih polinomih dobimo, da je Zx^ = 41.65o; X = 433.160; Z x| = ?7o. 715.4-00 Z računskim strojem so izračunane vsote produktov: Svetovna proizvodnja:ZY = ?o2o; X IX, = +49246; -v-2 1 Zyx 2 = 49247; Z YX^ =-713427 Parametri trenda: B = -4— = -Z2-2. _ 14 0 4 o -n po B X 1 =lf ’ ^ ' +1 ’ 182577 B~ ^ - « - °,1U69 2 2 ix 2 Zyx - 3 _ 5 Xx 2 -713427 770715*4-00 = -o,ooo92 5668 = 14o,4 + 1,182377 X,+ o,113692 X p - o,ooo925668 X^ Podobno dobimo za proizvodnjo v ZDA: Zy = lo 57 j 5 Z YX 1 = 3 o 42,9 z xx 2 = 5359,9 Z xx 3 = - 4 o 7499,3 Parametri trenda so: B o Zy K* Io57,5 5o - 21,15 Z xx, B-. = — p 1 1 >.Xj >xx 2 P - —p— / v 2 B tisfš 2 - °>°V5o589 5559.,.9 _ Q 0 p237 7 '9 433160 " B 3 -J3 5 - 77§ffi%Žo o - -0 ,ooo528?28 e 3 trend pa ■ T 3 = 21,15 + o,o73o589 X 1 + o,ol23739 X 2 - o,ooo528728 X ? Za povprečno letno ceno je: XY = 5992; Z YX - 64316; ZXX 2 = +888o7; Z ^ = +26ooo43 2oo Parametri trenda sc; B B o e o,oo337354 'orerio. pa Eliminacija iregularnih vplivov 2,8o Ko eliminiramo iz časovne vrste trend in sezonske vplive, ostane v časovni vrsti še ciklična komponenta in rezultat iregularnih oziroma slučajnostnih vplivov. Na¬ slednja faza pri določanju ciklov je, da iz časovne vr¬ ste Gl odstranimo vpliv iregularnih oziroma slučajnostnih faktorjev in dobimo oceno čiste ciklične komponente C« Enostavna, vendar učinkovita metoda, po kateri elimini¬ ramo iz časovne vrste iregularne oziroma slučajnostne vplive, je metoda drsečih sredin. Edina hiba, ki jo ima ta metoda, je v tem, da povprečja, izračunana za krajša razdobja, ne eliminirajo v celoti slučajnostnih vplivov, drseče sredine iz daljših razdobij pa ne eliminirajo le slučajnostnih vplivov, temveč vplivajo tudi na ciklično komponento in jo izravnavajo oziroma deformirajo. Zato metoda navadnih drsečih sredin običajno pri proučevanju ciklične komponente odpove, ker ima ciklična komponenta na določenih delih osti, metoda navadnih drsečih sredin pa te osti otopit, 2ol Sistemi tehtan,'ja_y yrsti_drsečih_sredin 2 c 61- Tl e t eb t ane sre di ne. Običajna metoda drsečih sredin, ki smo jo že obravnavali pri določanju trenda, ima za osnovo ne telit ane aritmetične sredine. • Te izračunamo po obrazcu K o K k .i + h (2.124) če sredine r ičunamo iz razmaka r = 2k + i z lihim šte~ vil on osnovnih razmakov in po obrazcu 1/2 + » • « + Kq + • <*►•>* 1/2 * o “ - V> (2,125) če izračunavamo drseče Sredine iz razmaka r = 2k, ki ima sodo ste /iio osnovnih razmakov. Ta metoda se poo. določenimi pogoji razmeroma dobro ob¬ nese pri določanju trenda. Pri določanju ciklične kompo¬ nente iz CI pa ima omejeno vrednost predvsem zaradi krivin, ki se pojavljajo v ciklični komponenti, Sredine iz kratkih razmakov vsebujejo se slučajnostne vplive, sredine iz daljših razmakov pa otope osti ciklične kom¬ ponente ■ 2.82 ' Sredi n e, tehtane z binomskimi koeficienti . Slabo¬ sti, ki jih imajo ne tehtat .c drseče sredine* izvire jo predvsem, iz tega, ker imajo ne izračunane sredine pre¬ velik vpliv robni členi, To hibo odpravimo s primernim tehtanjem, Eden izmed uporabnih načinov tehtanja je teh¬ tanje z binomskimi koeficienti. Za tehtane drseče sredi¬ ne uporabljamo binomske koeficiente druge, četrte in šeste potence banoma oziroma, v primeru potrebe in umestnosti tudi binomske koeficiente nadaljnjih sodih potenc binoma. Tako so v primeru uiuOmo^.Ja ^^fi^i^tov druge stopnje ponder.i 1 2 1, vsoto produktov vrednosti členov s ponde- ri pa delimo s 4, 2o2 Binomski koeficienti četrte stopnje so 1 4 '6 4 1, vsoto produktov pa delimo s 16,- 7 primeru Binonsklh koeficientov šeste stopnje pa so ponderi 1 6 15 2 o 15 6 1 vsoto produktov pa delimo s 64, Ustrezne sredine so centrirane no- srednji člen- V splošnem da vrsta drsečih sredin, ki so ponderirane z hinomskimi koeficienti, boljšo rezultate, ker se tudi pri daljših razmakih boljše prilagajo ciklu in ne pačijo cikla tako močno kakor enostavne netehtane sredinec Časovno vrsto drsečih sredin, ki so tehtane z binomski- mi koeficienta, dobimo enostavno iz vrst vsot sosednih členov, če postopek seštevanja sosednih vrednosti več¬ krat ponovimo, V tabeli 2.34- je za svetovno proizvodnjo živega srebra nakazan a) postopek izračuna vrste drse¬ čih sredin, ki so tentane z binomskimi koeficienti 1 2 1; b) izračun vrste drsečih sredin, ki so tehtane z binomskimi koeficienti 1 4641» 2.83 Gra f ično eliminiranje iregularnih vplivov . Iz rev- nano vrsto sredin, ki so ponderirane z binomskimi koefi¬ cienti, dobimo tudi grafično, Če narišemo linijski grafikon komponente CI in v njem zvežemo razpoloviščo. A veznic z daljicami, so presečišča B daljic z ustreznimi navpičnicami srednjih členov enaka sredinam iz srednjega člena in obeh srednjih členov, tehtane s ponderi 1 2 1. Če na novo dobljeni izrav¬ nani liniji postopek ponovimo (A' B'), dobimo vrsto sredin, ki je ponderirana s ponderi 14641 itd c (glej sliko 2.18). 2o3 v 2.84 Metoda drsečih, lokov . Da čin bolje eliminirano iregularne vpli-vo brez izravnavanja amplitud v ciklični komponenti, razen binomskim koeficientov uporabljamo pri tehtanih drsečih sredinah tudi druge načine tehtanja. Najobičajnejši je sistem polinomov. Po tej metodi skozi več točk oziroma vrednosti po metodi najmanjših kvadra¬ tov prilagodimo parabolo določene stopnje, od vseh vred¬ nosti pa uporabimo samo vrednost v sredini razmaka, v katerem izvedeno prilagoditev. Tako za vsak člen v ča¬ sovni vrsti (razen ustreznemu številu robnih č-lenov) izračunamo določeno vrednost, ki predstavlja po tej predpostavki vrednost cikla. Ker za vsak člen prilago¬ dimo vrednost z lokom neke krivulje, imenujemo to me¬ todo metodo drsečih lokov. Tehnično dobimo srednjemu členu ustrezno vrednost na pa¬ raboli določene stopnje, če iz zaporednih členov izra¬ čunamo tehtano aritmetično sredino, ki jo pripišemo srednjemu členu. Če prilagodimo parabolo druge stopnje iz petih členov, je vrednost ciklične komponente za srednji člen tehtana aritmetična sredina iz petih za¬ porednih členov z naslednjimi ponderi: -3 12 17 12 • -3* Vsoto produktov ponderov z ustreznimi zaporednimi vrednostmi časovne vrste delimo z vsoto ponderov -3 +12 +17 +12 -3 = 35 . Če upoštevano namesto pet po sedem členov, so ponderi: -236765-2. Vsoto produktov delimo z vsoto ponderov: 21. Če sedmim členom prilagodimo parabolo četrte stopnje, so ustrezni ponderi: 5 -3o 75 131 75 -3o 5« Da dobimo ustrezne sredine, ki se nanašajo na srednje člene, delimo vsoto produktov z 231. / L 2o4 sl.2.16 Indeksi ciklične komponente za svetovno proizvodnjo 2 .srebra, določeni po različnih metodah 12 13 14 15 16 17 18 19 )2o 21 22 23 24 25 26 27 28 29 )3o 31 32 33 34 35 36 37 38 39 a 2.34 Izračun vrste binomskih drseč ih. sredin in vrsta petletnih drsečih lokov za svetovno proizvodnjo živega srebra od 1910-1959 2o7 Tabela 2.34 (nadaljevanje) 2.86 Pri izbiri sistema odstranjevanja iregularnih vplivov iz ciklične komponente je treba paziti, da iz¬ beremo primeren sistem tehtanja in primerno dolžino in¬ tervalov, iz katerih računamo drseče sredine ali drseče loke, Ostre amplitude in kratki cikli govore za to, da vzamemo sistem sredin ali lokov iz relativno krajših raz 2o8 I makov kot v primerih, v katerih amplitudo niso velike in cikli obsegajo večje število osnovnih razmakov.- Pri odstranjevanju iregularnih vplivov si včasih pomaga¬ mo tudi tako, da za vrsto, ki po prvi uporabi določenega načina izglajevan.ja še ni zadosti izglajena, ampak kaže še ostanke iregularnosti, isti postopek izglajevanja po¬ novimo na izglajeni vrsti* Avtomatično se uveljavi ta princip pri sredinah,, ki imajo za ponderacijo binomske koeficiente, S postopno uporabo binomskih koeficientov prve stopnje 1 1 pridemo do vseh nadaljnjih sistemov binomske ponderacije, Po tem načelu je v tabeli 2.J4 izračunana vrsta drsečih sredin z binomskimi koeficienti četrte stopnje - Primerjava ciklov -- standardizacija *— ' "" " 7 2.87 Kompleks faktorjev, ki imajo za rezultat ciklična nihanja, ne 'vpliva samo na en pojav, ampak na niz eko¬ nomskih pojavov, ki so med seboj povezani hkrati, Zato ima posebno vlogo pri analiziranju ekonomskih pojavov primerjava cikličnih komponent za več pojavov, ki so v medsebojni povezanosti oz-iroma odvisnosti* Tako isti kompleks faktorjev vpliva istočasno na proizvodnjo naj¬ različnejših artiklov; na cene teh artiklov, na izvoz in uvoz surovin in končnih izdelkov itd. Ciklična komponenta za posamezen pojav je dana v časovni vrsti indeksov cikla, ki pokažejb, kako se v določenem času normala (trend + sezonski vplivi) poveča zaradi ci¬ kličnih .vpl: 'tav, Ker je ciklična komponenta za določen pojav prikaznima z indeksi, moremo formalno primerjati cikle za različne po-jave, ne glede na enote mere za osnovne podatke (količinske, vrednostne). Primerljivost ciklov za različne pojave pa moti predvsem, to, da je učznek faktorjev, ki povzročajo cikle, na ne¬ katere pojave močnejši, na druge pa šibkejši, To se po¬ kaže na različnih amplitudah ciklov za različne pojave.-, 2o9 Različno občutljivost posameznih pojavov na ciklične fak- torj e odpravimo s standardizacijo ciklične komponente* Standardizacijo cikla izvedemo po naslednjih točkah: a) iz indeksov ciklične komponente C za posamezen pojav izračunamo povprečje C in standardni odklon SD^' b) iz Č, SD^ in indeksov ciklične komponente izraču¬ namo standardizirane z - odklone C - C SD C (2.126) S standardizacijo ciklične komponente izenačimo razlike v amplitudah ciklov za različne pojave in omogočimo boljšo primerjavo med cikličnimi komponentami za pojave, ki so v medsebojni zvezi in odvisnosti. 2.88 Za primer vzemimo časovne vrste svetovne proizvod¬ nje, proizvodnje v ZDA in povprečne letne cene živega srebra iz tabele 2„33» Neočiščene časovne vrste kvocien¬ tov na trend Y/T^ = K = CI so očiščene iregularnih vpli¬ vov z vrsto drsečih sredin, K , ponderiranimi z binom- skini koeficienti 1 2 1, Časovno vrsto K = C smatramo kot čisto ciklično komponento. Za vsako časovno vrsto drsečih sredin so izračunani C in SD , ki so osnova za C standardizacijo cikla po obrazcu 2.126. V tabeli 2.35 so vneseni podatki: kvocienti na trend K, vrsta drsečih sredin K in standardizirana ciklična komponenta z^. Standardizirana ciklična komponenta za vse tri časovne vrste je narisana v grafikonu v sliki 2.17» Iz slike le¬ po sledimo zakonitosti odvisnosti med proučevanimi tremi cikli o Tabela 2.35 Standardizacija ciklične komponente za svetovno proizvodnjo, proizvodnjo v ZDA in povprečno letno za cono v Nev Yor':u za !■'" r o orolvo 211 Tabela 2.35 (nadaljevanje) Za svetovno proizvodnjo je C = 99,7, SD^ = 24,8. Za pro¬ izvodnjo v ZDA dobimo, da je C = 98,7, SD^ = 46,2, za povprečno letno ceno pa je C = 99,5, S1)q«3C-,1 SDc jc ona od su- marnih parametrov cikličnih nihanj in meri jakost vpliva¬ nja cikličnih faktorjev na določen pojav. Glede na to sklepamo, da izmed proučevanih treh vrst vplivajo ciklični faktorji najbolj na proizvodnjo v ZDA. 212 IREGULARNI VPLJVI 2.89 Ce iz časovne vrste CI izračunamo vrsto za ciklič¬ no komponento , za vsak člen v časovni vrsti ocenimo iregu- lamo komponento I, če neočiščeno vrsto CI delimo s cik¬ lično komponento - I - 4P- (21127) O Če predpostavi jamo 5 da sta ciklična in iregularna kompo~ nenta vezani aditivno (C+l), dobimo iregularno komponen¬ to, če od, neočiščene ciklične komponente C+l očiščeno ciklično komponento odštejemo I - (c+I) - C (2,128) Iregularne vplive proučujemo bodisi glede na splošen učinek, ki ga imajo na pojav, bodisi individualno. Po svojem nastanku in učinku na pojav delimo iregularne vplive v dve vrsti: a) slučajnostne, ki vplivajo na po¬ jav stalno in njinov efekt variira v skladu z zakonitost¬ mi slučajnostnega pojavljanja in b) enkratne vplive, ka¬ terih. učinek je večji oziroma drugačen kot pri slučaj- nostnih in je rezultat določenega enkratnega dogodka, ki vpliva na proučevani pojav 0 Statistično proučimo in ločimo slučajnostne vplive od enkratnih tako, da iz iregularne komponente I izračunamo standardizirane odklone. Za rezultat enkratnih, ne pa slu- čajnostnih vplivov smatramo vse vrednosti, za katere so standardizirani odkloni absolutno večji kot 2 oziroma 3c Kompleksno sliko o značaju iregularnih vplivov dobimo, če sestavimo za iregularno komponento I frekvenčno po¬ razdelitev. Običajno pokažemo iregularno komponento v odklonih iregularnih indeksov od loo . (I"= loo.I-loo). 213 2.90 Preskus s X v Ce iregularna komponenta sledi prostemu slucajnostnemu zakonu brez omejitev, se iregularna komponenta I oziroma I' porazdeljuje v normalni porazdelitvi. Ali iregularna komponenta zadosti temu pogoju ali ne, doženemo s presku¬ som, ali se stvarna porazdelitev za I ali T' značilno od¬ klanja od teoretične - normalne porazdelitve. Preskus iz¬ vršimo s X^ - preskusom„ 2.91 Za svetovno proizvodnje živega srebra so v vabeii 2.34 v zadnjem stolpcu izračunani v odstotkih j.regularni odkloni od binomske vrste druge stopnje. Frekvenčna po¬ razdelitev teli relativnih odklonov je dana v tabe 1 ! 2.36 Tabela 2.36 Frekvenčna porazdelitev iregularnih odklonov za svetovno proizvodnjo živega srebra s X 2 preskusom n = 48 11,29 = X 2 Porazdelitvi iregularna komponente I' je prilagojena nor- _ 2 malna porazdelitev z istim n, I in Sj, . Pri izračunu X je upoštevana omejitev, da teoretične frekvence ne smejo biti premajhne, ker le v tem primeru velja aproksimativno O X preskus. Pravilo, naj nobena izmed teoretičnih frekvenc ne bo manjša kakor 5, je kršeno le v najnižjem razredu. + Znak X 2 pomeni hi-kvadrat 214 v katerem je teoretična frekvenca f '= 4,1, vendar je ra frekvenca tako blizu 5? da jo moremo ohraniti, V splošnem smo dosegli zadostno velikost frekvenc z grupiranjem rob¬ nih razredov, v katerih je teoretična frekvenca premajhna. je izračunan po o c cov.oc o orazcu X c N (f. - > \ 2 . Izračunana vrednost je Xr - 11,29* Da preskusimo značilnost razlik med stvarno in teoretično normalno porazdelitvijo, izračunajo vred- nost za X c primerjamo s kritično vrednostjo za ustrezne stopnje tveganja: Stopinje prostosti se ravnajo po šte¬ vilu razredov \k-=7) zmanjšano za število zvez, Ker sta naši porazdelitvi vezani na isti obseg, isto aritmetično sredino in standardni odklon, se število stopinj prosto¬ sti zmanjša za 3: šinrilc etopir^ prostosti jo torej ar’>3* s 7-‘3"4 p Ustrezne kritične vredr sti so: X c (m=4) = 9>49, o ,03 p 2 X . (m=4) =13,28, Ker je izračunani X = 11,29 večji o , ol _ kot kritična vrednost r- (m---:-) = 9,49 in manjša kot X^ o -^(m=4) -- 13,28, sklepamo, da je stvarna porazdelitev iregularnih odklonov značilne različna od normalne po¬ razdelitve na stopnji 0(, = o,o5. Iz tega sledi, da i.re- gularna komponenta v svetovni proizvodnji ne sledi slu- čajnostnim zakonitostim in da so na iregularno komponen¬ to vplivali enkratni vzroki, ki so imeli v določenih le¬ tih izjemen vpliv. Iz slike 2,16 res opazimo izjemno ve¬ like odklone v več letih. Podrobna primerjava stvarne porazdelitve z normalno porazdelitvijo masovne pokaže, da je iregularna komponenta sestavljena iz slučajnostnih vplivov in enkratnih vplivov, 'To zaključimo iz koničavo- sti stvarne porazdelitve iregularnih vplivov. Preskus neodvisnosti iregularnih vplivov 2.92 Ce so iregularni vplivi neodvisni v časovnem redo- sledu, sekvence pozitivnih in negativnih odklonov slede zakonu slučajnostnega pojavljanja. Enako pri neodvisnem 216 -—- redosledu v smeri odklona od člena do člena ni kolera- cijske odvisnosti s Na osnovi tega preskusimo neodivnost v časovnem redosledu iregularnih vplivov z dvema preskusoma: o preskusom sek- p vene in s X 0 Preskus setvene 2.93 Po znanem postopku preskusa Sekvenc, ki smo ga upo¬ rabili že pid preskusu o ciklični komponenti v osnovni časovni vrsti., preskušamo tudi za iregularno komponento neodvisnost v časovnem redosledu. Pri odvisnem redosledu se moreta pojaviti dva, po značaju različna primera,, Predznak iregularne komponente more v čas.vnem redosledt. od člena do člena sistematično menjati predznak, ali pa morejo v Časovni vrsti iregularne komponente nastopati daljše sekvenc«? iregularnih vplivov z istim predznakom, V prvem primeru je število sekvenc večje kot pričakuje¬ mo pri neodvisnem pojavljanju, v drugem primeru pa je število sekvenc manjše kot pričakujemo pri neodvisnem časovnem redosledu« 2.94 Metodo preskusimo na primeru svetovne proizvodnje živega’srebra v razdobju 1910-1959» tabele 2,3+ za ta preskus potrebujemo samo predznake iregularne komponente iz zadnjega ali predzadnjega stolpca« Tabela 2.37 Smer iregularne komponente svetovne proizvodnje živega srebra v razdobju 19 I 0 --I 959 (vir: tabela 2.34) + + + - + - + — + + - + - + - + - -r — + + + + — — + — — + — — — + + V tabeli so v prvi vrsti s + in - zaznamovani pozitivni in negativni učinki iregularne komponente, v drugi vrsti pa 217 so s črtani označeno sekvence is to smernih, iregularnih u~ činkov po letilu Leta niso vpisana, ker hi motila pre¬ glednost , Iz tabele 2 37 razberemo, da je število pozitivnih vred¬ nosti iregularne komponente n^ -- 26, število negativnih vrednosti pa n 0 -- 22, Skupno je torej 48 vrednosti, ker robni dve v vrsti drsečih sredin odpadeta,. Število sek¬ venc r = 51 ., Po obrazcih 2,117 in' 2,118 dobimo., da je M H + 1 ^ 24,8 26+22 ’ m + n 2 SD j(M r -l) (M r -2) (24 ,8-1) (24,8-2) n, + n~ - 1 i a 2 26+22-1 = 3 ,39 (2.13o) Ivi. kdjJ 2l__L_24 J S _ + p 8 :< 3,39 " ’ ^ Ker je absolutna vrednost za z manjša kot z ^ = 1,96, o,o5 smatramo,, da ni razloga za zaključek, da vrstni red po¬ zitivnih in negativnih vrednosti za iregularno komponen¬ to ni slučajno s ten.. Preskus s X' 2.95 Ge so iregularno gibanja neodvisna, ni značilne korelacije ned zaporednimi členi. To moreno preskusiti s serialnim korelacijskin koeficientom zaporednih členov. Enostavnejše neodvisnost iregularne komponente preskusi¬ mo, če proučimo smeri oziroma predznake po dveh zapored¬ nih členov. Dvojice predznakov po dveh zaporednih členov imajo naslednje možne kombinacije: ++ +- ~+ —„ Iz teh 2 kombinacij sestavimo kombinacijsko tabelo, s Z preskusom pa preskusimo, ali so.predznaki med seboj zna¬ čilno odvisnic, 218 2.96 če obdelano po tej metodi predznake, ki podajajo sner iregularne komponente v tabeli 2.39-1 so začetne konbinacije po•dva predznaka naslednje: ++ ++ +- -++- -+ +~ -- -+ itd. Kombinacijska tabela dvojic predznakov pa je dana v tabeli 2.38 Tabela 2.38 Kombinacijska tabela predznakov iregularne komponente za dve zaporedni leti za svetovno proizvodnjo živega srebra Teoretične frekvence so izračunane po znanem pravilu, da je v kombinacijski tabeli teoretična frekvenca pri neod¬ visnosti enaka kvocientu med produktom ustreznik robnik frekvenc in obsega n. V našem primeru je teoretična frek¬ venca za kombinacijo ++ f' ++ 23.23 97 13.3 Analogno so izračunane tudi druge teoretične frekvence, Za tabelo 2x2 izračunamo X 2 po obrazcu, ki upošteva Tates-ovo korekturo X‘ (i: f - r' j 2 v 1 .5) (2,131) Za nas primer je ^ = (| f .f- ) -o,5)^ = ( lo-13,3 | -o,5) ,2 . L13,3 + 11,7 " H,7 T lo Ker je teoretični "Ir (n-l) = 3,89 tudi ta preskus nakaže n eznačilne razlike v redosledu v iregularni komponenta 0 + tA + 1 ,3_ •2,69 219 PROUČEVANJE KORELACIJE V DINAMIKI POJAVOV 2.96 Zaradi odvisnosti med pojavi na sploh opaši. \o ne samo pri statičnem opazovanju pojavov, temveč tudi pri proučevanju dinamike med pojavi odvisnosti oziroma pove¬ zanosti o Zaradi specifičnosti časovnih vrst so tudi neka¬ tere metode proučevanja korelacije pri dinamiki pojavov specifične, čeprav so osnovne metode proučevanja korela-' cije pri dinamiki iste kot splošne metode proučevanja ko¬ relacije , Proučevanje korelacije v časovnih vrstah je ozko poveza¬ no s problemom napovedovanja razvoja določenih ekonom¬ skih pojavov, v kolikor ne gre za planirane pojave, za katere je kratkoročen ali dolgoročen razvoj določen s planom,. 4 Ta napoved more biti zasnovana na osnovi korelacije med členi v sami časovni vrsti (avtokorelacija za ciklična nihanja) ali na osnovi korelacije med časovnimi vrstami za več pojavov ; ki so v medsebojni .zvezi (serialne ko¬ relacije) ali pa ima za podlago druge metode, ki niso v zvezi s korelacijsko analizo, 2.9? Razen za primere, v katerih moremo trend zanema¬ riti, proučujemo korelacijo večinoma za časovne vrste, iz katerih eliminiramo trend. Trend pri proučevanju od¬ visnosti med pojavi vnese element, ki moti odvisnosti med drugimi komponentami, v sami časovni vrsti ali med raz¬ ličnimi povezanimi časovnimi vrstami, To velja predvsem za ciklično komponento, Ali proučujemo odvisnosti med osnovnimi časovnimi vrstami, ki so rezultat vseh vplivov na pojav, ali pa časovno vrsto "očistimo" določenih kom¬ ponent, je odvisno od cilja analize. Tako pri proučeva¬ nju korelacij med cikličnimi pojavi dostikrat proučujemo časovne vrste, iz katerih pred analizo eliminiramo trend in sezonsko komponento i,p. Pri proučevanju korelacije v dinamiki pojavov največkrat proučujemo odvisnost med različnimi časovnimi vrstami, pri 22o čemer iščemo odvisnosti med členi v časovnim vrstai , ki se nanašajo na ista razdobja. Teoretično in praktično pa so velike važnosti korelacije z odlogom, pri katerih iščemo odvisnost določenega pojava od drugega pojava, temveč za časovno razdobje, ki je za določeno razdobje - odlog, od¬ maknjeno. Poseben problem pri dinamiki pojavov je avto— korelacija. Pri avtokorelaciji proučujemo zvezo med čle¬ ni v isti časovni vrsti, ki se med seboj razlikujejo za Čas t. Avtokorelacija na poseben način osvetli problem časovnih ritmov, kot so n.pr. sezonsko ali periodična nihanja nasploh in ciklična nihanja. Korela cija ned dv ema časovnima vrstama * 2.98 Kljub -pridržkom, da posamezni členi v časovni vrsti niso neodvisni in ki omejujejo izračunavanje najrazličnej¬ ših mer korelacije za časovne vrste, korelacijska metoda analize časovnih, vrst da določene važne informacije o za¬ konitostih v dinamiki pojavov. Kot prvi primer vzemimo proučevanje korelacije ned vrsto indek¬ sov ocnza uvoz in izvoz iz FLRJ v razdobju 1946—196o» S Preskusom s Kendalovin številom S, ki smo ga navedli pri Proučevanju značilnosti trenda, smo dognali, da v navede¬ nih časovnih vrstah ni značilnega Urenda. Zato proučimo korelacijo v vrsti osnovnih podatkov. Tehnično si olajšamo izračun pokazateljev korelacije in regresije, če jih iz¬ računamo po metodi pomožnega znaka u tako, da od osnovnih časovnih vrst za izvoz in uvoz odštejemo loo. Tabela 2.38 Izračun pokazateljev linearne korelacije v dinamiki indeksov izvoznih in uvoznih cen 221 -37 -22 895 4-87 35o -3,o8 -1,83 -114,o8 -87,83 -4o,33 78o,92 419,17 3o9,67 loo + - loo K K K__ 96,92 98,17 u uv v x j X = x 0 + ^ = loo + -=96,92 j = J o + J = loo + -j! = 98,17 K u =Zu 2 - ^ = 895 - - 78o,92 K =Iuv - = 487 - = 419,17 U? ^ IN 12 1 K v lu 2 - ~ = 35o - = 3o9,67 b K. 1 " T uv _ 419,17 u = 780,92 = o,5368 _ fuv _ 419,17 = 1,3536 K v 3o9,67 K r uv V /k. k u v 419,17 y78o,92 . 3o9,67 = o,852 Regresi j.ski prenici inata enačbi: y' = 7 + \(x - x) = 98,17 + o,5368 (x-96,92) = 46,14 + o,5368x x' = x + b 2 (y - y) = 96,92 + 1,3536 (y-98,17) = -35,96 + l,3536.y Vsebinsko ponenbna sta regresijska koeficienta, ki inata značilni vrednosti (x). Če proučujemo n.pr. odvisnost v obliki linearne regre¬ sije Y=A+B(x-x)+E (2.133) pri čener sta A in B parametra regresijske premice, E pa slučajnostna komponenta z variacijo^ ocenimo posamezne pokazatelje linearne regresije takole Ocena regresijske premice je: X' = a + b (x - x) = 98,17 + o,5368 (x - 96,92) Ocena standardnega odklona slUčajnostne komponente s y.x <3 e: y.x Kf K v " K uv u n - 2 (4i9,i7r 3o 9,67“ 78o,92 = 2 ,89 12-2 (2.134) (x) b^ = o,5368 pokaže, da se povprečno spremeni indeks cen izvoza samo za 0,5368 poena, če se indeks cen izvoza spremeni za 1 poen in obratno, da se pov¬ prečno indeks cen izvoza spremeni za 1,3536 poena, če se spremeni indeks cen uvoza za 1 poen. Standardna pogreška za oceno a parametra A je _ s s a - s y.x VroTiV y>x _ 2,89 V 780,92 K u = o ,lo3 ( 2 . 136 ) 223 Če vzamemo za primer, da je v do .ločenem letu indeks iz voznih, cen x - lo5, je ocena indeksa uvoznih cen na re gresijski premici j f = 98,1'? '+ 0 ,5368 (lo5 -• 96,92) ■- lo2,5l standardna pogreška te ocene pa je s_ „ — - 2,39 y y*x ,2 i_ + _ 1 19 7 8c ,92 ” > ^ (2.137) standardna pogreška prognoze za y iz regresijške premice pa 'I 4- (x-xV a >- (x-x) 2 (105-96,92) ?8o,92 2 - 7 11 ~ J-- 1 - ( 2 . 138 ) Pri eventualnem določanju mej zaupanja za posamezne iz¬ računane ocene moramo upoštevati, da iz tablic izberemo ustrezni t z m = n~2 = 12-2 stopinjami prostosti, n,pr 8 t r- (m=lo) = 2,?2o„ o ,05 Ana liza korela cijo z ortogonalnimi polinomi ' 2.99 Kot smo že omenili, je manjši interes za proučeva¬ nje korelacijskih odvisnosti med skupnimi rezultati vseh učinkov na pojav kot za koleracijske odvisnosti med posa¬ meznimi komponentami. Pri tem je predvsem trend tista komponenta, ki analizo odvisnosti v dinamiki pojavov za¬ megljuje oziroma dovede do napačnih zaključkov, Pri prou¬ čevanju odvisnosti ned cikličnimi ali iregularnimi kompo¬ nentami za različne odvisne pojave zato proučujemo pred¬ vsem časovne vrste, iz katerih poprej na znane načine eli¬ minirano trend in sezonske komponento, če se ta nahaja v proučevanih časovnih vrstah. Če predpostavljamo, da je trend z drugimi komponentami ve¬ zan aditivno (če je zveza faktorska, osnovno časovno vrsto pred analizo z logaritmi privedemo v aditivno obliko, da 225 je ta pogoj izpolnjen) in imamo trend izračunan z ortogonalni- mi polinomi, je korelaeijska analiza odklonov od trenda Y - T, ki so dani z razlikami med stvarnimi vrednostmi v časovni vr¬ sti in trendom, enostavna« Zaznamujemo ortogonalne polinome z. X , vrednosti za prvo časovno vrsto Y, za drugo pa z Z! Iz podatkov o X , Y in Z potrebujemo izraze s IY 2 , £Z 2 , P 2 •5.YZ, £YX , X' ZX in }„X . Delno dobimo te izraze v tablicah o P P P r 2 ortogonalnih polinomih (IX ), delno pri izračunavanju trendov 1 2 _ 2 za časovni vrsti (1YX^, XZX^) ali analize varianee (£Y in IZ )< Na novo moramo izračunati izraz £YZ. Iz zgornjih izrazov izračunamo korelacijske koeficiente odklonov od povprečja X in Z r , odklonov od linearnih tren¬ dov r 1 J odklonov od paraboličnega trenda druge stopnje r^ ali na splošno odklonov paraboličnega trenda stopnje k, r^ po obrazcih; S YZ (lY )(jZ) N T r ' S£y' mr 1J N J 1 V7 2 £Z) . lZ " N 5 YZ l Y.£Z _ >: YXi, 1 ZXj '1 SY 2 - m ) 2 _ ) 2 2_ (SZ) _ (IZXi ) N - 7 ^: 1^1 (2.139) > YZ - >: y . Z z 1 yxi. g zxi 5 ; yx 2 . 2 zx 2 N >' X]/ Ky = K Z = Iy2 - Iz 2 \/ k Y • K Z (I Y) 2 (2 YXi) 2 (X YX2) 2 X 2 2 ~ (X zx 2 ) 2 X x 2 2 (X. 2) Xi2 (> ZXi) 2 ;>• x r ali na splošno k I YZ - (,r yx p j" zx- p p=0 / X. p r k = \/1X y 2 k (I.YXp) 2 k p=o lir Z2 (> ZXp) (2.14o) p=o >. Xp kri tem pomeni: r 0 = korelacijski koeficient odklonov od povprečja/ navadni korelacijski koeficient iz osnovnih podatkov rp - korelacijski koeficient odklonov od linearnega trenda r 2 = korelacijski koeficient odklonov od trenda parahole druge stopnje *k = korelacijski koeficient odklonov od trenda parabole k-te stopnje o 2.1oo Za primer vzemimo indekse o vrednosti uvoza in izvoza FLRJ v razdobju 1950-196o Tabela 2.39 Indeks vrednosti uvoza in izvoza FLRJ v razdobju Za izračun ko relacij škili koeficientov potrebni vmesni rezultati so naslednji: 11 = (+762) 2 = 5278 , 60 ^—= 762.756 = 5o98,47 2 . X 2 Ho I X 2 Ho GLzx, ) 2 -L £ZX p ) 2 p ----- k — = 76ol = 675,21 >. Xp 858 228 (-16) 2 O 06 2 YX 3" ZX 3 „ (*I6) (+21) l X 3 2 429o 2 = -0,08 Glede na obrazce 139 in izračunane izraze so 3594o - 3o216,73 _ o Q g7g r o “ y (39769 - 3393873o) . T3278o - 269o3,25). 3594o - 3 o 216,73 - 5o98,47 „ q ggg r i “ \/(3976i - 33938,3o - 5278i6or . ('3278 o-269o 3, 25-4924i5o) 3594o - 3o46,73 - 5o98,47 - 4o5,19„ 0>747 r 2 " s/ (3Šr7©-"339i873o 5278^ & 1 244,48). (3278o-269o3,25-4924,5o - 673,21) 3594o - 3o2l6,73 - 5o98,47 - 4o569 - 0,08 _ o q 7iJ7 \/(39769-33938,3o-5278_,6o-244,48-o,o6) . (3278o-269o3,25 - 4924, 5o - 673,21 - o,loj r 0 = 0,978 vključuje vse vplive skupno s trendom. Korelacijski koeficient odklonov od linearnega trenda je rp = o,863? od trenda druge stopnje r2 = 0,747» Ker je tretja stopnja neznačilna, ni razlik med r2 in ro. V sliki 2.22 sta prikazani Časovni vrsti indeksov izvoza in uvoza z vrisanimi trendi (linearen in trend druge stopnje, časovni vrsti odklonov od trendov in korelacijski grafikon odklonov. 229 Korelacija z,odlogom 2.1ol V primerih., ki smo jih navedli v prejšnjih od¬ stavkih, smo pri proučevanju korelacije med dvema ča¬ sovnima vrstama proučevali odvisnost podatkov za isti moment ali razdobje. Tako smo .proučevali zvezo indeksov cen izvoza in indeksov cen uvoza za ista leta, zvezo indeksov vrednosti uvoza in indeksov vrednosti v istem letu. Pri proučevanju dinamike pojavov pa naletimo tudi na probleme, v katerih ta koncept ni smiselno upravičen, Ce vzamemo kot primere odvisnosti med izvozom in proiz¬ vodnjo za določen artikel, med nabavo surovin in proiz¬ vodnjo stanjem zalog blaga in prodajo itd., spoznamo, da zaradi dinamike ekonomskih procesov ne vpliva vselej večja proizvodnja v določenem mesecu na zvišanje izvoza v istem mes.ecu, da večja nabava surovin ni v direktni zvezi s proizvodnjo v istem mesecu, da imajo velike za¬ loge v določenem momentu za rezultat zvečano prodajo v enem izmed naslednjih obdobij itd. Iz tega zaključimo, . da je v teh primerih upravičeno proučevanje korelacije podatka x v danem razdobju s podatkom yv razdobju, ki je časovno ustrezno odmaknjen. Zato primerjamo izvoz v tekočem mesecu s proizvodnjo v preteklem mesecu ali s proizvodnjo pred dvema mesecema itd., proizvodnjo v te¬ kočem mesecu z nabavljenimi surovinami v preteklem me¬ secu ali v predpreteklem mesecu itd, V teh primerih govorimo o proučevanju korelacije z "od¬ logom". Razdobje, za kolikor sta podatka, katerih kore¬ lacijo proučujemo, odmaknjena, imenujemo "odlog", za¬ znamujemo pa ga s t« S proučevanjem korelacijo z odlogom podrobno proučimo odnose v dinamiki med pojavi. Podobno kot običajno pro¬ učevanje korelacije časovnih vrst, vendar še v večji meri je proučevanje korelacije z odlogom pri sestav¬ ljaj prognoz za določene pojave še pomembnejše kot obi¬ čajno proučevanje korelacije. 231 Statistično pri proučevanju korelacije z odlogom prouču¬ jemo korelacijske odnose in regresijske odnose med po¬ javoma Y^ in Z , ki je časovno pomaknjen za odlog t od pojava, ki je prikazan s časovno vrsto Y . x v Običajno pri proučevanju odvisnosti ned pojavi proučujemo korelacijske odnose med dvema pojavoma pri različnih, od¬ logih,. Ponemben je odlog t , pri katerem je korelacija max najtesnejša, Ta odlog pove, za kakšno razdobje stvarno bani pojav prehiteva drugega ali zaostaja za njim. 2.1o2 Kot riner vzemimo korelacijo med volumnom indu¬ strijske proizvodnje in proizvodnje surovega železa in volumnom industrijske proizvodnje in splošnim indeksom cen so ZDA v ekonomsko razmeroma stabilnem razdobju 1897- 1913» Podatki so vzeti iz obširnejše študije korelacije z odlogom za 13 glavnih ekonomskih pokazateljev v knjigi: H.T Davis, The Analysis of Economic Time Series, The Principia Press Inc. Bloomington Indiana 194-1» Odlog t je izražen v mesecih, korelacijski koeficienti z odlogom pa računani v razmakih treh mesecev. Korelacijski koeficienti z odlogom ned volumnom indu¬ strijske proizvodnje in proizvodnje surovega železa so: r_^ = +0,060, r_ 6 = o, 325 , r Q = o,994, r +5 = o,636, r + 9 = °,o46, r +12 = -o,177 Korelacijski koeficienti z odlogom ned volumnom indu¬ strijske proizvodnje in splošnim indeksom cen pa so: Indeks pri simbolu r pove, koliko mesecev znaša odlog. r _lp o,165, r _3 ■=■ 0,651, r +6 - o,313, 232 Če analizirano vrsto korelacij škili koeficientov z odlo¬ gom ned skupnin volunnon industrijske proizvodnje in proizvodnje surovega železa, vidimo, da je največji ko- relacijski koeficient r o = o,994, v primeru, če odloga ni, Gin večji je odlog naprej ali nazaj, ten manjši so korelacijski koeficienti, Če analizirano še odnose ned volunnon industrijske pro¬ izvodnje in splošnim indeksom cen, spoznano, da je v vrsti indeksov z odlogom ned tena dvena podatkona abso¬ lutno največji r = -o,4o9» kar poneni, da se največja negativna odvisnost cen kot rezultat sprememb industrij¬ ske proizvodnje pokaže šele v eneti letu. odlogom Asociacija 2 : 2. lop Korelacijo z odlogom pa ne proučujemo samo s ko- relacijskim koeficientom r. Kot merilo korelacije z od¬ logom uporabljamo katerikoli drug koeficient; koeficient korelacije ranga, Kendallov koeficient korelacije itd« Eden izmed meril korelacije, ki ga dobimo izredno hitro, ki pa da osnovno analizo o korelaciji z odlogom, je ko¬ eficient asociacije med verižnim zvišanjem + in zniža¬ njem - od člena do člena v časovnih vrstah. V tem primeru iščemo asociacijo med zvišanjem + in znižanjem - od člena do člena v prvi časovni vrsti in zvišanjem in znižanjem med členi druge časovne vrste, ki so pomaknjeni za od¬ log tc Kot merilo asociacije vzamemo v tem primeru bodisi Yuleov koeficient asociacije ad - bc ad + bc (2.141) ali pa v 2 latesovo korekturo X 2 = ( U - f'j - o,5) 2 £ (2.142) Čeprav je drugi pokazatelj tehnično težje izračunati, ima to prednost, da moremo z njim preskusiti tudi zna¬ čilnost zvez. s Z asociacijo proučujemo zveze z odlogi bodisi na osnovni časovni vrsti ali, če zahteva analiza, na časovnih vrstah, ki so očiščene določenih komponent, n.pr, trenda, sezon¬ ske komponente itd. 2.1o4 Postopek analize korelacije z odlogom s koefici¬ enti asociacije je naslednji: a) Za časovni vrsti, za kateri proučujemo korelacijo z odlogom, od člena do člena s + in - zaznamujemo, ali se je pojav povečal ali zmanjšal napram prejšnjemu členu. Za drugo izmed primerjanih časovnih vrst znake zmanjšanja - in zvečanja + napišemo premaknjene navzdol ali navzgor ustrezno odlogu t» 234 izračunamo ali koeficient Q ali X po obrazcih 2.141 oziroma 2.142 d) Predznake za drugo časovno vrsto je prikladno pisati ob premakljiv rob papirja, da moremo vrsto upora¬ biti za proučevanje asociacije pri različnih odlogih preprosto tako, da rob premaknemo navzgor ali navzdol.. 2,lo5 Za primer vzemimo časovni vrsti za proizvodnjo živega srebra v ZDA in povprečno letno ceno.za jeklenko živega srebra, v Nev/ Yorku v razdobju 191o-I959 iz ta¬ bel e 2.93 Tabela 2.^o Proizvodnja živega srebra v Nev/ Yorku in povprečna letna cena živega srebre za jeklenko v Nev/ Torku (osnovna tabela za proučitev asociacije z odlogom) \ . 23p V Tabela 2.4o (nadaljevanje) r 23 6 Tab sla 2. 4-0 (nadaljevanje) proizv.cena odlog t Iz vrste predznakov za proizvodnjo in predznakov za cene za posamezne, odloge dobimo iz tabele 2 . 4-0 naslednje kore¬ lacij ske tabele s Tabela 2.41 Korelacijske tabele med smerjo sprememb za proizvodnjo živega srebra v ZDA in ceno za jeklenko v New Yorku (+ povečanje, - zmanjšanje) i 237 Tabela 2.41 (nadaljevanje) Yuleov koeficient asociacije je npr. za prvo tabelo t = -3 _ ad - bc _ 14.1o - 1 1 .11 -3 ad + bc 14 .lo + 11.11 + 0,07 za Analogno izračunamo še vse druge. Tako dobimo vrsto koefi¬ cientov asociacije med smerjo dinamike za proizvodnjo žive¬ ga srebra v ZDA in povprečno letno oceno v New Yorku za je¬ klenko s 238 Izračunani koeficienti asociacije so zelo različni med seboj. Q q = +o,o4 koeficient asociacije, izračunan iz podatkov brez odloga, je najmanjši. Karakteristično je, da ima največji koeficient Q_^ = o ,72 za odlog t = -1. Iz tega sklepamo, da je najtesneje povezana proizvodnja v tekočem letu s ceno na svetovnem tržišču v New Yorku pred enim letom. Če skozi točke za t = -2, t = -1 in t = o v grafikonu interpoliramo parabolo druge stopnje in poiščemo njen maksimum, moremo izračunati t, pri katerem je Q maksi¬ malen in maksimalno vrednost ža Q. t pri maksimalnem Q je vsebinsko pomemben, ker natančneje pove, pri katerem odlogu je odvisnost med pojavoma maksimalna* Za naš pri¬ mer dobimo: Če je Q = a + bt + ct enačba iskane parabole, dobimo parametre, če v to enačbo vstavimo koordinate o,58 = a -2b + 4c o, 72 = a -b + c o,o4 = a Iz teh treh enačb dobimo, da je a = o,o4, b = -l,o9 in c = -o,41. Zgornja funkcija je maksimalna pri pogoju || = b + 2ct = o +■ _ = r.iLa.22— r = _i max 2c 2.(-o,41) Q max = o,o4 -l,o9 .(-1,33) -o,41.(-1,33) 2 = o,77 Največjo asociacijo z odlogom zasledimo pri t mnx = -1,35? kar pomeni, da se proizvodnja živega srebra v razdobju P 897_1913 spreminja v skladu s spremembami cen na svetovne trgu najbolj po 16 mesecih. 2.1o6 Iz istih podatkov moremo analizirati asociacijo 2 z odlogom tudi s X . 239 v 2 Ce za primer izračunamo X za odlog t - -1-, dobimo iz kombinacijske tabele za t = -1 v tabeli 2,41 Tabela 2.42 Stvarne in teoretične frekvence predznakov sprememb za t = --1 f f' teoretične frekvence f' , če produkte ustreznih robnih frekvenc delimo s skupno frekvenco 48, n.pr. f' _ 2^,26 11 " 48 13,5 X 2 je po obrazcu 2.142 enak X 2 = (If - f' I -o,5) 2 o^v> = (119-13,51 - 0 ,^ 1 ^ + i275 + IT75 + I575II = 8 > 4 ° 1 1 Podobno dobimo X 2 tudi za druge odloge«. Tako dobimo vrsto X' 2 o Pri pr-eBirusm značilnosti odvisnosti upoštevamo, da je šte¬ vilo stopinj prostosti za tabelo 2x2 ena. Iz tablic za O X - porazdelitev dobimo, da so kritične vrednosti X o,lo - 2’? 1 X' 0,05 X' o ,oo5 2 o ol 7,88 7 2 "o ,ool 3,84 lo ,83 6,64 2 Ce primerjamo izračunane vrednosti za X s kritičnimi vrednostmi, zaključimo, da za odlog t = -2 obstaja sum za značilnost odvisnosti, ker je izračunani X = 3 >57 večji kot kritična vrednost na stopnjiOL = o,lo in manjši kot kritična vrednost na stopnjioC = o,o5, da pa je za odlog t = -1 odvisnost visoko značilna na stopnji O Ca-' = o,oo2- ker jo izračunana vrednost X^ = 8,4o večja kot kritična vrednost na stopnji = o.,oo5 in manjša kot kritična vrednost na stopnji qL ■- o,ool, Za vse druge od- p loge pa izračunani X' kažejo na neznačilne odvisnosti e Avtokorelac ija 2.1o? V prejšnjih -odstavkih, smo proučevali kol orači jo z odlogom za odvisnost' med dvema različnima statistični¬ ma vrstama. Korelacijo z odlogom pa moremo proučevati tudi na isti časovni vrsti, če iščemo korelacijsko odvisnost med členi, ki so odmaknjeni za t členov. V tem primeru govorimo o avtokorelaciji« S proučevanjem avtokorelacijo odkrijemo določene zakonitosti v ritmičnem pojavljanju v isti časovni vrsti> S tega vidika je avtokorelacija važen pripomoček pri analizi časovnih vrst oziroma dinamike po¬ javov. Z avtokorelacijo ned drugim preskušano tudi hipo~ te'*e o neodvisnosti iregularnih vplivov, ki jih aobinc, če iz Časovne vrste postopoma eliminiramo vse druge vplive e Pri korelaciji z odlogom iščemo korelacijo med dvema raz¬ ličnima časovnima vrstama, ki sta za t odmaknjeni (med Y jL ■ in Z .). Pri Avtokorelaciji primerjano posamezne člene XH" "C s členi v isti časovni vrsti, ki so za t odmaknjeni (ned Y in I , )«. v x x+t' 2do8 Kot prvi primer vzemimo časovno vrsto incieksov volumna za rastlinsko proizvodnjo v FLRJ iz kat,re smo izločili z vrsto drsečih sredin trend. V sliki 2,25 je v grafikonu a prikazana časovna vrsta indeksov nm vrsto drsečih sredin. Ta vrsta je tipičen primer ritmičnega gi- 242 3 0 banja in sicer v dvoletnih razmakih,, Ta značilnost jasno pokaže v korelacijskem grafikonu, v katerem je prikazana avtokorelacija z odlogom enega leta in dveh let, Pri odlogu za eno leto pokaže avtokorelacijski grafikon izrazito negativno korelacijo med dvema zapored¬ nima členoma. Avtokorelacija z odlogom dveh let pa poka¬ že izrazito pozitivno korelacijo. Korelacijski grafikoni za odloge več let bi pokazali značilnost, da je avtoko¬ relacija za odloge lihih let negativna, za odloge sodih let pa pozitivna,. Tabela 2.43 Izračun korelacijskih koeficientov za avte- korelacijo za indeks volumna rastlinske proizvodnje v FLRJ I = indeks na vrsto drsečih sredin X 243 a), indeksi na vrsto drsečih sredin b). Korelacijski qrafikon avtokorelacije «tz1 *Tr2 sl.2.25 AvTokoleracija za indeks volumna rastlinske proizvodnje v FLRJ v razdobju 19 4 8-19 59 vsoto odloženih vrednosti pa, če od skupne vsote odšte¬ jemo u^g = +3 za prvi člen U-^ = +5 -(+3) = +2. V- Podobno dobimo tudi ustrezne vsote kvadratov. Ce od P v , skupne vsote 2- u = 3875 odštejemo kvadrat zadnjega X 2 člena= Z ll u x - 3875 14-4, dobimo vsoto kvadratov za osnovno vrsto ~ 14-4- = 3731 , vsoto kvadratov odloženih vrednosti pa, če od skupne vsote kvadratov odštejemo kvadrat prvega člena u 2 g = 9 :Xj2 u x = 3875 - 9 = 3866. Iz teh izrazov izračunamo avtokorelacijski koeficient z odlogom eno leto po obrazcu r i = u u , X X+1 U I1. U X2 H - 1 u 2 11 X u £ 11 N -1 2 2 12 u x U 2 12 N -1 -3544 - (-7)-»(+2) 12-1 V( 3731 - (-7) 12-1 2 (+ 2 ) 2 3866 - —2-1 = -o,93 (2.143) Podobno dobimo elemente za izračun avtokorelacijskega koeficienta z odlogom t = 2, če od skupne vsote U in skupne vsote kvadratov odštejemo po dva prva oziroma 245 Avtokorelacijski koeficient z odlogom t = 2 pa je enak '2 = u u n x x-r 2 IT Tj 21 U 22 N-2 1 5" o W/ p n A 211 4i) { Lf _ <4 \ N~2 l \ d ~u 2 x 22 N-2 I +2985 " Cl 6 } _ (-9) 12-2 Uf5562 V (+ 5 ) 2 12--2 t. 745 (~9) 2 \ " 12-2 j +o ,82 Koeficient avtokorelacije z odlogom t = +x (r^ = -o,93) kaže za ta primer visoko negativno, z odlogom t = +2 pa visoko pozitivno korelacijo (r^ = +o,82), kar je tipično za dvoletni ritem. 2.lo9 Kot drugi primer vzemimo koeficiente avtokorela- cije za volumen industrijske proizvodnje v ZDA v pri¬ merjavi z vrsto korelacijskih koeficientov z odlogom med volumnom industrijske proizvodnje in proizvodnjo suro¬ vega železa v ZDA, Tabela 2.44 Koeficienti serialne korelacije med volumnom industrijske proizvodnje in proizvodnjo^su¬ rovega železa v ZDA v razdobju 1897-1913 (Vir: H. T. Davi s: The Analysis of Economic Time Series) 246 Vrst,i koeficientov avtokorelaciJe volumna proizvodnje v koeficienti korelacije z odlogom med volumnom industrij¬ ske proizvodnje in proizvodnjo surovega železa se razme- roma zelo dobro ujemata. Iz tega zaključimo, da moramo smatrati proizvodnjo surovega železa kot zelo 'dober po¬ kazatelj dinamike skupne industrijske proizvodnje v istem mesecu, ker Je maksimalna korelacija r o - o,994, če J-e odlog t - o in so koeficienti avtokorelaciJe za volumen proizvodnje in koeficienti korelacije z odlogom meč volumnom industrijske proizvodnje in proizvodnje' surovega železa ned seboj zelo podobni. 2.11o Z e/tokorelaciJo večkrat preskušamo tudi hipo¬ teze o čašo ni neodvisnosti iregularne komponente« Pri proučev nju iregularne komponente sme navedi:-, že dva preskusa ne dvisnosti, ki imata za osnovo neparametrične metode.z ve ižnimi predznaki. Kot primer uporabe avtokorelaciJe pa vzemimo iregularno komponento za svetovno proizvodnjo živega srebra iz tabele 2-34' V tabeli 2.4-5 imamo vpisane podatke za iregularno kom¬ ponento, izraženo v odstotkih odklonov od ciklične komponente. Tabela 2.4-5 Iregularna komponenta za svetovno proiz¬ vodnjo živega srebra (izražena v od¬ stotkih odklonov od ciklične komponente) 247 Podatki iz takele 2.4-5 so grafično prikazani v sliki 2.24 Slika 2,24 Korelacijski grafikon za avtokorelacijo s t = +1 za iregularno komponento v svetovni proizvodnji živega srebra v razdobju 1911-1958. Koeficient avtokorelacije za odlog enega leta je r i.= o,58. Preskus značilnosti koeficienta avtokorela¬ ci je izvršimo s t- preizkusom po obrazcu n 2 1 -r 2 t (m = n-2) (2.145) .Ker je korelacijski koeficient izračunan iz n = 47 členov, je izračunani t po obrazcu 2.145 t r fe =- 0 ’ 58 _ 47-2 1 -(-0,58)' - 2 , 74 - Število stopinj prostosti je po obrazcu 2.145 m = n-2 = 47-2 = 45 teoretične vrednosti za t pa = 2 ’ 6 9 k.oof 111 ' 4 ^ “ 3 > 52 Iz zgornjih rezultatov sklepamo, da je korelacijski koeficient r =-o,38 značilno različen na nivoju OC = o,ol ker velja: 2,69 <2,74 < 3,52 24-8 LITERATURA Croxton and Cowden: Practical Business Statisties, Prentice-Kall Inc. Englewood Clifs N.J. 196o H.T. Davis: The nnalysis of Economic Time Series The Lrincipie, Press Inc. Bloomingtcn, Indiana 194-1 J.E. Riggleman and I.N. Erisbee,Mc Graw -Hill Book Company, New York 1951 Business Statisties J.G, Smith and A.J. Duncan: Elementary Statisties and Applications iic Graw - Hill Book Company, ITew Bork 1944 M. Blejec: Statistične metode za ekonomiste, Ljubljana 1961 . POPRAVKI i